Άπειρη πυρηνική ύλη και εισαγωγή στην καταστατική εξίσωση αστέρα νετρονίων

Transcript

1 Άπειρη πυρηνική ύλη και εισαγωγή στην καταστατική εξίσωση αστέρα νετρονίων Ηλίας Χατζηχιδήρογλου October 13, 2016 Abstract Επιβλέποντας καθηγητής: Θεόδωρος Γαϊτάνος Στο Κεφάλαιο-1 αναπτύσσουµε τις εισαγωγικές ϑερµοδυναµικές έννοιες, το Standar Model και τις οµάδες ϐαρυονίων και µεσονίων, τις πυρηνικές αλληλεπιδράσεις στο κενό και τα πυρηνικά πρότυπα. ίνονται ακόµα κάποια στοιχεία Αστροφυσικής που επαφίονται στον αστέρα νετρονίων, όπως ο µηχανισµός δηµιουργίας εκρήξεων Supernovae, ενώ σχετικά αναλυτικά συζητιέται και η καταστατική εξίσωση που αφορά το ϕλοιό και τον εξωτερικό του πυρήνα. Για να περιγράψουµε σε πρώτη προσέγγιση τον εσωτερικό πυρήνα του άστρου χρειάζεται να αναπτύξουµε το µοντέλο της άπειρης πυρηνικής ύλης. Οι πυκνότητες ύλης και ενέργειας που επικρατούν εκεί κάνουν τη σχετικιστική κβαντική ϑεωρία πεδίου ΚΘΠ) την κατάλληλη ϑεωρία για να κατασκευάσουµε το Ϲητούµενο πυρηνικό µοντέλο µας, και αυτό αναπτύσσεται στο Κεφάλαιο-3, όπου συζητάµε τα πεδία Klein-Gordon, Dirac και την εξίσωση Proca. Για την οµαλότερη εισαγωγή στην ΚΘΠ στο Κεφάλαιο-2 παρουσιάζεται η µη-σχετικιστική ϑεωρία πεδίου, κλασική και κβαντική, καθώς και το ϑεώρηµα της Noether για τις διατηρήσιµες ϕυσικές ποσότητες. Στο Κεφάλαιο-4 αναπτύσσεται η κβαντική αδρονιοδυναµική και συγκεκριµένα η σχετικιστική ϑεωρία µέσου πεδίου Relativistic Mean Field Theory-RMF). Στο Κεφάλαιο-5 προχωράµε σε παρουσίαση των αποτελεσµάτων του υπολογιστικού µέρους της εργασίας και σε συγκρίσεις δύο πακέτων παραµέτρων, του QHD-I και NL3, για διάφορες τιµές της παραµέτρου συµµετρίας. Contents 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Οι αστέρες: ηµιουργία και τελικές καταστάσεις Θερµοδυναµικές έννοιες Στοιχειώδη και σύνθετα σωµατίδια Πυρηνική ύλη Το διάγραµµα ϕάσης της πυρηνικής ύλης Πυρηνικό δυναµικό Πυρηνικά πρότυπα Άπειρη πυρηνική ύλη Supernovae και δηµιουργία αστέρα νετρονίων Ψυχρή καταστατική εξίσωση για ρ < gr/cm Καταστατική εξίσωση πλήρως εκφυλισµένου ιδανικού αερίου ϕερµιονίων ιορθώσεις Μερικές ακόµα διορθώσεις. Ηµιεµπειρικός τύπος µάζας και οι καταστατικές εξισώσεις HW και BPS Συνοπτικά Ψυχρή καταστατική εξίσωση για gr/cm 3 < ρ < gr/cm Καταστατική εξίσωση BBP Οι αστέρες νετρονίων µακροσκοπικά οµή αστέρων νετρονίων Ιστορική εξέλιξη της µελέτης της κατασταστικής εξίσωσης του αστέρα νετρονίων

2 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ 2 ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΕ ΙΟΥ Κλασική Θεωρία Πεδίου Ο Χαµιλτονιανός ϕορµαλισµός Θεώρηµα Noether και συµµετρίες Μη σχετικιστική κβαντική ϑεωρία πεδίου Γενικά-Εισαγωγικά Κανόνες Κβάντωσης για µποζόνια Κανόνες κβάντωσης για ϕερµιόνια ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗ ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΕ ΙΟΥ Το πεδίο Klein-Gordon για µποζόνια µε spin Το ουδέτερο πεδίο Klein Gordon Το ϕορτισµένο πεδίο Klein-Gordon Το πεδίο Dirac για ϕερµιόνια µε spin Η εξίσωση Proca ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΥΚΝΗΣ ΠΥΡΗΝΙΚΗΣ ΥΛΗΣ Μοντελοποίηση πυκνής πυρηνικής ύλης Κβαντική Αδρονιοδυναµική QHD) Θεωρία Σχετικιστικού Μέσου Πεδίου RMF) Υπολογισµός µέσων τιµών Το ϱ-µεσόνιο και οι αυτοαλληλεπιδράσεις του σ Τα υπερόνια ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΚΑΙ ΣΥΖΗΤΗΣΗ QHD-I Συµµετρική ύλη δ = Ασύµµετρη ύλη νετρονίων δ = 1) NL Συµµετρική πυρηνική ύλη δ = 0) Ασύµµετρη ύλη νετρονίων δ = 1) Συγκρίσεις Μερικά σχόλια ακόµα References ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ 1.1 Οι αστέρες: ηµιουργία και τελικές καταστάσεις Ο σκοτεινός νυχτερινός ουρανός έχει ϕώτα αναµµένα και τα περισσότερα από αυτά είναι τα ουράνια σώµατα που ονοµάζουµε αστέρες. Οι αστέρες ακτινοβολούν από τις τεράστιες αστρονοµικές αποστάσεις τους για εκατοντάδες εκατοµµύρια έως και δεκάδες δισεκατοµµύρια χρόνια. Το σύµπαν µας είναι γεµάτο από αυτά τα µεγάλα πυρηνικά εργοστάσια παραγωγής χηµικών στοιχείων και ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας. Ολες οι µακροσκοπικές δοµές στη ϕύση παρουσιάζουν µια χρονική εξέλιξη, και δε ϑα µπορούσε να ισχύει κάτι διαφορετικό για τα άστρα, τα οποία έχουν αρχή, µέση και τέλος. Η γέννεσή τους λαµβάνει χώρα όταν οι ελαφρώς πιο πυκνές περιοχές σε ελαφρώς ανοµοιογενή νέφη αέριου Υδρογόνου 1 1H και σκόνης συστέλλονται λόγω της ϐαρυτικής δυναµικής τους ενέργειας. 2

3 1.1 Οι αστέρες: ηµιουργία και τελικές καταστάσεις 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Επιπλέον η σκόνη προφυλλάσει το αέριο από την υπεριώδη ακτινοβολία γειτονικών αστέρων, κι έτσι το αέριο ψύχεται και κατερρέει. Η κατάρρευση έχει ως αποτέλεσµα την περαιτέρω αύξηση της πυκνότητας ύλης κατά περίπου 20 τάξεις µεγέθους, καθώς η αρχική µάζα της περιοχής του νέφους περιορίζεται σε όλο και µικρότερο όγκο. Τα νέφη-κοιτήδες έχουν διαµέτρους της τάξεως έτη ϕωτός. Η αύξηση της πυκνότητας επιφέρει αύξηση στην πίεση του αερίου και στη ϑερµοκρασία του. Οταν η ϑερµοκρασία στον πυρήνα της νέας συµπύκνωσης ϕτάσει µια τιµή γύρω στους 107 K σηµαίνει πως ήρθε η ώρα για να ανάψει το καµίνι της πυρηνικής σύντηξης, και το αέριο που έχει γίνει πλάσµα επιτρέπει µέσω του κβαντοµηχανικού ϕαινοµένου σήρραγας στα πρωτόνια να υπερβούν το µεταξύ τους απωστικό ϕράγµα Coulomb. Παράγεται το πρώτο ϕως και περαιτέρω ϑερµότητα η οποία τώρα εκλύεται λόγω της σύντηξης και όχι της συστολής του αερίου. Αυτή η ϑερµότητα τείνει να διαστείλλει τον αστέρα και αυξάνει την πίεση στο εσωτερικό του. Από εδώ και περα η Ϲωή του άστρου ϑα ϐασίζεται στην εξισσορόπηση δύο αντίπαλων δυνάµεων: της ϐαρυτικής δύναµης που τείνει να συµπιέσει τον αστέρα προς το κέντρο του, και της ϑερµικής πίεσης που τείνει να διαστείλλει τον αστέρα προς τα έξω. Figure 1.1: Ενδεικτικές αλυσίδες αντιδράσεων reaction chains) αστρικής νουκλεοσύνθεσης. Αριστερά ϐλέπουµε την αλυσίδα PP-I PP:από proton-proton) προς δηµιουργία 4 He. εξιά παρουσιάζεται η αλυσίδα PP-II που συνθέτει πυρήνες 7 Be και 7 Li. Στο κέντρο έχουµε την αλυσίδα CNO-I Carbon-Nitrogen-Oxygen), που ουσιαστικά συντήκει το 1 H που εισέρχεται σε διαφορετικά σηµεία του κύκλου σε 4 He. Σε γενικές γραµµές η έναρξη της σύντηξη 1 H στον πυρήνα του άστρου οδηγεί στην παραγωγή του ϐαρύτερου πυρήνα Ηλίου 42 He και κυρήσσει της έναρξη της Ϲωής του στην κύρια ακολουθία του διαγράµµατος Herzprung-Rassel H-R), το οποίο ϕαίνεται στην Εικόνα 1.2). Ανάλογα µε την ποσότητα της µάζας που αποτέλεσε την πρωταρχική συµπύκνωση για τη δηµιουργία του αστέρα, διαφορετικοί διαδοχικοί και όλο και πιο σύντοµοι κύκλοι εξώθερµων συντήξεων σταµατάν στο 4 He ή προχωρούν προς ϐαρύτερα στοιχεία, όπως Οξυγόνο 16 8 Ο, Ανθρακα 6 C, Μαγνήγιο 12 M g και διάφορα άλλα ισότοπα, έως ότου καταλήξουν στους πυρήνες του στοιχείου Σιδήρος 56 F e. Ο 56 F e 26 είναι η πιο ϑεµελιώδης µορφή συνήθους πυρηνικής ύλης µε τη µικρότερη ενέργεια σύνδεσης ανά νουκλεόνιο1. Περαιτέρω αύξηση του µαζικού αριθµού του πηρήνα είναι ενδόθερµη. 1 Για την ακρίβεια ο πιο σταθερός πυρήνας είναι αυτός του N i µε ενέργεια σύνδεσης ανά νουκλεόνιο στα M ev, 56 F e έχει αντίστοιχα ενώ αµέσως µετά ακολουθεί ένα άλλο ισότοπο του Σιδήρου, ο πυρήνας F e µε M ev. Ο M ev. Στη ϐιβλιογραφία τις περισσότερες ϕορές παίρνει λαθεµένα τα σκήπτρα πιθανότατα για ιστορικούς και πρακτικούς λόγους εξαιτίας της µεγαλύτερης αφθονίας και συνεπώς της σηµασίας του στις αστροφυσικές πυρηνικές διεργασίες νουκλεοσύνθεση, εκρήξεις supernovae, κ.τ.λ.). Σε αυτήν την εργασία ϑα διατηρήσουµε αυτόν τον παράτυπο τίτλο για το 56 F e. 3

4 1.1 Οι αστέρες: ηµιουργία και τελικές καταστάσεις 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Figure 1.2: ιάγραµµα Hertzprung-Russel:Ουσιαστικά ϐλέπουµε ένα διάγραµµα ϕωτεινότητας ισοδύναµα απόλυτου µεγέθους) - ϕαινόµενης επιφανειακής ϑερµοκρασίας ϕασµατικού τύπου). Η λαµπρότητα µετράται σε λογαριθµική κλίµακα. Οι αστέρες της κύριας ακολουθίας όπως ο Ηλιος ϐρίσκονται στη διαγώνια κοιλάδα που διατρέχει το διάγραµµα από πάνω αριστερά ως κάτω δεξιά περιοχές C και E). Οι µέσες µάζες όταν εξαντλήσουν τα πρώτα καύσιµα 1 H εισέρχονται στο στάδιο του ερυθρού γίγαντα περιοχή A) και έχοντας αρκετή αρχική µάζα µπορούν να γίνουν και υπεργίγαντες περιοχή D). Οι τελευταίοι τερµατίζουν τη ϕυσική τους εξέλιξη εκρηκτικά Supernovae, Hypernovae, κ.τ.λ.) προς τη διάλυσή τους. Οι γίγαντες ολοκληρώνουν τη Ϲωή τους ως λευκοί νάνοι περιοχή B) ή εκρηκτικά προς διάλυση, ή δηµιουργία αστέρα νετρονίων/µελανής οπής. Οι µικρές αρχικές µάζες δεν εγκαταλείπουν ποτέ την κύρια ακολουθία και εξελίσσονται πολύ αργά ως ερυθροί νάνοι κάτω δεξιά). Οι άσπρες διαγώνιες γραµµές εκφράζουν το µέγεθος των αστέρων καθώς είναι ευθείες ίσης αστρικής ακτίνας. Η κατηγορία µάζας του άστρου καθορίζει και ένα διαφορετικό µέλλον του τελευταίου στα χρόνια χωρίς σύντηξη που ακολουθούν. Οι ελαφριοί αστέρες εξαντλούν κάποια στιγµή όλο το 1 H τους και οδεύουν προς τα τελικά τους στάδια, ενώ οι πιο µαζικοί συνεχίζουν να συντήκουν σε ξεχωριστούς ϕλοιούς προς το κέντρο τα νέα ϐαρύτερα στοιχεία τους. Στην Εικόνα 1.3) αποτυπώνεται ο πυρηνικός καταµερισµός των στοιχείων που δηµιουργεί τη δοµή στους ερυθρούς γίγαντες κατά τα τελευταία στάδια της Ϲωής ϑερµοπυρηνικής καύσης) του αστέρα. Ως προς το χρόνο Ϲωής αναφέρουµε απλά ότι οι µικρότερης µάζας αστέρες, παρόλο που περνάν από λιγότερα στάδια σύντηξης, Ϲούνε πιο πολύ από τους µαζικούς. 4

5 1.1 Οι αστέρες: ηµιουργία και τελικές καταστάσεις 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Figure 1.3: ιαφορετικοί ϕλοιοί που ϑυµίζουν κρεµµύδι και διατηρούν διαφορετική χηµική πυρηνική) σύσταση ο καθένας για ένα µαζικό άστρο πριν τη ϐαρυτική του κατάρρευση. Οι ϑερµοπυρηνικές καύσεις λαµβάνουν χώρα στα σύνορα των διαφορετικών στρωµάτων όπου και αλλάζει εκατέρωθεν αυτού απότοµα η σύσταση και η πυκνότητα της ύλης ως συνάρτηση της ακτίνας. Στον πυρήνα δε λαµβάνει χώρα σύντηξη. Η πίεση είναι µια οµαλά µεταβαλλόµενη µεταβλητή της ακτίνας. ποιοτική και όχι πραγµατική κλίµακα µεγέθους) Η µεγάλη αρχική µάζα δεν ευθύνεται µόνο για το ϐραχυπρόθεσµο - για αστρονοµικές κλίµακες χρόνου- ϐίο ενός αστέρα, αλλά και για το µέγεθος της ϐιαιότητας που ϑα προκληθεί όταν το τέλος των ϑερµοπυρηνικών αντιδράσεων αφήνει τη ϐαρυτική κατάρρευση χωρίς αντίπαλο, µέχρις ότου τουλάχιστον να ϐρεθεί αντικαταστάτης για τη ϑερµική πίεση. Οι µικρές µάζες καταλήγουν σε λευκούς νάνους και πλανητικά νεφελώµατα, αφού περάσουν από το στάδιο του ερυθρού γίγαντα. Οι λευκοί νάνοι στηρίζονται στην πίεση των σχετικιστικών ηλεκτρονίων τους, που λόγω της Απαγορευτικής Αρχής του Pauli για τα ϕερµιόνια σωµατίδια µε ηµιακέραιο spin), δε µπορούν να περιοριστούν σε µικρό όγκο και µε µικρή ορµή ταυτόχονα. Η µάζα τους είναι περίπου 1M και η ακτίνα τους περίπου όσο της Γης, στα km. Συνεπώς η πυκνότητά τους είναι της τάξως g/cm3. Οι µεγαλύτερες µάζες µπορούν να συµπιεστούν σε ακόµα µεγαλύτερες πυκνότητες καθώς δε µπορούν να ανακόψουν την κατάρρευσή τους µε την ανεπαρκή πλέον πίεση ηλεκτρονίων των λευκών νάνων. Στις µεγάλες αυτές πυκνότητες τα σχετικιστικά ηλεκτρόνια αλληλεπιδρούν µε τους πυρήνες και τα νουκλεόνια, και συγκεκριµένα µέσω της αντίστροφης ϐ-διάσπασης που ονοµάζεται αρπαγή ηλεκτρονίου, p + e n + v. Ολες οι ϕυσικές διεργασίες που εµπλέκονται µέχρι και τη σταϑεροποίηση της ύλης σε αστέρα νετρονίων είναι πολύπλοκες και µερικές ϑα τις περιγράψουµε πιο αναλυτικά στις επόµενες ενότητες. Προς το παρόν αναφέρουµε ότι οι ασυνήθεις αυτές ϕυσικές καταστάσεις προς τη δηµιουργία του αστέρα νετρονίων συνοδεύονται από πολύ ϑόρυβο και λάµψη, και για την ακρίβεια απαιτούν ένα ολόκληρο άστρο να ανατιναχτεί, ένα Supernova. Αν ο πυρήνας δε διαλυθεί, ϑα προκύψει από ποσότητα µάζας 1 2 M ο αστέρας νετρονίων. Οι αστέρες νετρονίων είναι τα µοναδικά αστροφυσικά σώµατα που αποτελούνται από συµπαγή ύλη σωµατιδίων. Συγκεκριµένα, κατά το µεγαλύτερο µέρος τους είναι ύλη νετρονίων και ισορροπούν λόγω της κβαντοµηχανικής πίεσης των τελευταίων. Πιστεύεται ότι έχουν ακτίνα µόλις km 5

6 1.1 Οι αστέρες: ηµιουργία και τελικές καταστάσεις 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ περίπου, και οι πυκνότητές τους είναι µερικές ϕορές η πυκνότητα κορεσµού της πυρηνικής ύλης ρ c, τάξεως g/cm 3. Σε αρκετά εισαγωγικά συγγράµµατα Αστροφυσικής αναφέρονται ως τεράστιοι ατοµικοί πυρήνες giant nucleus), µια προσέγγιση ποιοτική για τη δοµή τους, αλλά όχι ακριβής για την αιτία της ευστάθειάς τους. Η ϐαρυτική δύναµη είναι αυτή που συγκρατεί τα νετρόνια στο άστρο γιατί έχει το πάνω χέρι στις µεγάλες πυκνότητες µάζας όντας δύναµη άπειρης εµβέλειας. Η ισχυρή πυρηνική δύναµη που κυριαρχεί στις αλληλεπιδράσεις των νουκλεονίων όταν αυτά ϐρίσκονται σε συνήθεις πυκνότητες ύλης περιορίζεται στην αληλλεπίδραση γειτονικών νουκλεονιών µόνο, µια ιδιότητα της δύναµης αυτής που αναφέρεται και ως κορεσµός. Η συµπιεσµένη ύλη στους λευκούς νάνους σε σχέση µε την ύλη στις συνήθεις πυκνότητες ϐρίσκεται σε µια πιο ϑεµελιώδη κατάσταση από την τελευταία, δηλαδή σε µια ενεργειακά χαµηλότερη, λιγότερο διεγερµένη κατάσταση της ύλης. Μια περαιτέρω συµπίεση ως τις πυκνότητες των αστέρων νετρονίων επιτυγχάνει µια ακόµα πιο ϑεµελιώδη κατάσταση της ύλης, που προσεγγίζεται από το µοντέλο της άπειρης πυρηνικής ύλης και ϑα αναπτυχθεί παρακάτω στην παρούσα εργασία. Αυτή η πιο ϑεµελιώδης κατάσταση κάνει τους αστέρες νετρονίων εξαιρετικά ενδιαφέροντα ϕυσικά εργαστήρια για τη µελέτη των ιδιοτήτων της πυρηνικής ύλης και των ισχυρών αλληλεπιδράσεων. Η πυκνότητα γενικά δε µπορεί να αυξάνεται απεριόριστα. Οι εξισώσεις της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας προβλέπουν ένα άνω όριο, το όριο Oppenheimer-Volkoff, πέρα από το οποίο η ύλη και η ακτινοβολία που αποτελούσαν το αστέρι καταρρέουν οριστικά σε µια χωροχρονική ανωµαλία. Ο ορίζοντας της µελανής οπής λογοκρίνει την ανωµαλία και δεν επιτρέπει σε καµιά ϕυσική πληροφορία να εξέλθει από αυτόν, επιτρέποντάς µας να γνωρίζουµε µόνο τη συνολική µάζα της ύλης που κατάρρευσε, και τη στροφορµή ή και το ηλεκτρικό ϕορτίο της αν είχε. Πιθανότατα οι αστέρες νετρονίων να είναι τα πιο συµπαγή και ϑεµελιώδη υλικά σώµατα στο σύµπαν αν αποδειχθεί ότι κάποια ϑεωρητικά µοντέλα για αστέρες quark quark stars) ή αστέρες παραξενιάς strange stars) δε δύναται να αποτελέσουν ϕυσική πραγµατικότητα. Στην Εικόνα 1.4) παρουσιάζεται η πιθανή ϕυσική κατάληξη των αστέρων αναλόγως της ποσότητας της αρχικής µάζας που αποτέλεσαι τον πρωταστέρα. Figure 1.4: Στάδια αστρικής εξέλιξης. Από πάνω προς τα κάτω η αρχική µάζα που αποτέλεσε τον αστέρα ϕθίνει. 6

7 1.2 Θερµοδυναµικές έννοιες 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Το άνω όριο στην πυκνότητα ϑέτει ένα ϑεωρητικό άνω όριο στη µάζα των αστέρων νετρονίων. Κάθε µοντέλο που επιχειρεί να ερµηνεύσει τη σύνθεση, τη δοµή και την κατάσταση της ύλης τους ϑα πρέπει να προβλέπει ένα ϑεωρητικό άνω όριο µεγαλύτερο ή ίσο από τη µέγιστη παρατηρούµενη µάζα. Οι λευκοί νάνοι, οι αστέρες νετρονίων και οι µαύρες τρύπες αναφέρονται ως συµπαγείς αστέρες. Στην παρούσα µελέτη ϑα ασχοληθούµε µε τους αστέρες νετρονίων και ιδιαίτερα µε την καταστατική εξίσωση που περιγράφει την ύλη τους. 1.2 Θερµοδυναµικές έννοιες Η καταστατική εξίσωση της ύλης γενικά Η καταστατική εξίσωση είναι µια µαθηµατική σχέση µεταξύ µεταβλητών που περιγράφουν την κατάσταση κάποιας ουσίας ή µείγµατος ουσιών. Οι µεταβλητές αυτές είναι συναρτήσεις και σχετίζονται µε κάποιες ϕυσικές ιδιότητες της υπό εξέταση ύλης και υπό τις συγκεκριµένες ϕυσικές συνθήκες που µελετάται αυτή. Οι καταστατικές µεταβλητές είναι συνήθως η πίεση p, η πυκνότητα ρ, ο αριθµός των σωµατιδίων µορίων, ατόµων, ιόντων, πυρήνων, νουκλεονίων, ϑραυσµάτων κ.τ.λ.), ο όγκος V, η εσωτερική ενέργεια, η ϑερµοκρασία Τ, κ.α. Οι ποσότητες που εξαρτώνται από το µέγεθος του συστήµατος ονοµάζονται εκτατικές, ενώ οι ποσότητες που είναι ανεξάρτητες από τις διαστάσεις του ονοµάζονται εντατικές. Μια ποσότητα που είναι εκτατική, όπως η ολική ενέργεια ενός συστήµατος, µπορεί να γίνει εντατική αν τη διαιρέσουµε µε τον αριθµό των σωµατιδίων ή τον όγκο του συστήµατος, εποµένως προκύπτουν η ενέργεια ανά σωµατίδιο ή η ενεργειακή πυκνότητα αντίστοιχα, που είναι και πιο χρήσιµες έννοιες για συγκρίσεις διαφορετικών ϕυσικών καταστάσεων και την εξαγωγή συµπερασµάτων. Υπάρχουν διαφορετικές καταστατικές εξισώσεις για να περιγράψουν τελείως διαφορετικές καταστάσεις της ύλης όπως ϱευστά, στερεά, πλάσµα quark-γλυονίων, πεδία ακτινοβολίας, το εσωτερικό των αστέρων της κύριας ακολουθίας και το εσωτερικό συµπαγών αστέρων, όπως οι αστέρες νετρονίων που µελετάµε στην παρούσα εργασία. Υπάρχουν επιπλέον διαφορετικές καταστατικές εξισώσεις για το ίδιο είδος ύλης καθώς διαφορετικά ϑεωρητικά µοντέλα συνεπάγονται διαφορετικές αλληλεξαρτήσεις των καταστατικών µεταβλητών, ενώ µια καταστατική εξίσωση δύναται να αλλάζει µορφή για το ίδιο µοντέλο αν µελετάµε διαφορετικές περιοχές τιµών κάποιων παραµέτρων. Κάποιες από τις πιο συνηθισµένες καταστατικές εξισώσεις είναι οι παρακάτω: Κλασσικό ιδανικό αέριο: pv = nrt, όπου R η σταθερά των ιδανικών αερίων και n τα mole της ουσίας ) Van der Waals: p + a V V m 2 m b) = RT, όπου V m = V n ο µοριακός όγκος, α = 3p cvc 2 = 27RT c) 2 64p c και b = Vc 3 = RTc 8p c µε το δείκτη-c να δηλώνει τις τιµές των αντίστοιχων µεγεθών στο κρίσιµο σηµείο Υπερσχετικιστική ύλη: p = ρ m c 2 s, όπου ρ m η πυκνότητα ύλης και c s η ταχύτητα του ήχου Θερµοδυναµική Στα συµπαγή σώµατα µπορούµε να ταξινοµήσουµε τις ϕυσικές ιδιότητές τους σε δύο κατηγορίες, τις τοπικές και τις παγκόσµιες. Οι τοπικές ϕυσικές ιδιότητες αναφέρονται σε ϐαθµούς ελευθερίας του συστήµατος που καθορίζονται από την τοπική ϑερµοδυναµική κατάσταση της ύλης, όπως τοπική πίεση p r), τοπική πυκνότητα ρ r) και τοπική ϑερµοκρασία T r). Τέτοιοι ϐαθµοί ελευθερίας µπορούν να προκαλέσουν ϐαροβαθµίδα, ενεργειακή διάχυση λόγω του ιξώδους της ακτινοβολίας, εκποµπή ακτινοβολίας κ.τ.λ. Αντιθέτως οι παγκόσµιες ή µη-τοπικές) ιδιότητες των συµπαγών σωµάτων χαρακτηρίζουν τη µακροσκοπικής κλίµακας συµπεριφορά της ύλης που περιγράφεται από τις εξισώσεις κίνησης. Εδώ έχουµε για παράδειγµα µελέτη της ύλης κάτω από ϐαρυτικά και ηλεκτροµαγνητικά πεδία, περιστροφές κ.τ.λ. Εκκινώντας να ϕτιάξουµε το µοντέλο µας υποθέτουµε ότι έχουµε ένα ϱευστό Ν ϐαρυονίων σε όγκο V. Αν ε = E /V είναι η ενεργειακή πυκνότητα που περιλαµβάνει και τη µάζα ηρεµίας και n = N /V η αριθµητική πυκνότητα των ϐαρυονίων, τότε ε /n ϑα είναι η ενέργεια ανα ϐαρυόνιο. Οι µετρήσεις ϑεωρούµε ότι γίνονται σε ένα τοπικό αδρανειακό σύστηµα αναφοράς συν-κινούµενο µε την ταχύτητα του ϐαρυονικού ϱευστού. Αν υποθέσουµε για απλότητα ότι το ϱευστό µας αποτελείται από ένα µόνο συστατικό, το νουκλεόνιο, ο πρώτος νόµος της Θερµοδυναµικής γι αυτό είναι ) ε 1 ðq = d + P d 1.1) n) n 7

8 1.2 Θερµοδυναµικές έννοιες 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ όπου P είναι η πίεση, 1 n είναι ο όγκος ανά ϐαρυόνιο και το µη τέλειο διαφορικό ðq που εξαρτάται από τη πως ϑα γίνει µια µεταβολή στο σύστηµα είναι η µεταφορά ϑερµότητας. Για ϱευστό σε ισορροπία ισχύει ðq = T ds 1.2) όπου s η εντροπία ανά ϐαρυόνιο και Τ η ϑερµοκρασία. Από τις 1.1) και 1.2) προκύπτει d ε n) = P d 1 n) + T ds. Αν στο ϱευστό υπάρχουν διαφορετικά συστατικά µε δείκτη-i το καθένα, τότε κάποια ϕυσικά µεγέθη πρέπει να οριστούν ξεχωριστά για το καθέ συστατικό και να ϕέρουν τον αντίστοιχο δείκτη. Η ενεργειακή πυκνότητα εξαρτάται από τις σχετικές αναλογίες τους Y i = ni n, δηλαδή ε = ε n, s, Y i ) και ) ε 1 d = P d + T ds + n) µ i dy i 1.3) n i µε P = ε /n) 1 /n) = n2 ε /n) n T = ε /n) s 1.4) 1.5) µ i = ε /n) Y i = ε n i 1.6) Το χηµικό δυναµικό για το συστατικό τύπου-i περιλαµβάνει τις µάζες ηρεµίας του ϐαρυονικού του είδους και εκφράζει την ενεργειακή πυκνότητα για µια µοναδιαία µεταβολή της αριθµητικής πυκνότητας αυτού του συστατικού, κρατώντας σταθερά τον όγκο, την εντροπία και τις υπόλοιπες αριθµητικές πυκνότητες των άλλων ϐαρυονίων. ηλαδή ) µ i = ε n Y i = ε n i 1.7) Για σταθερό όγκο είναι dn = 0 και για αδιαβατικές µεταβολές ϑερµικά µονωµένο σύστηµα) είναι ðq = 0, συνεπώς d ε n) = 0, δηλαδή η ενέργεια του συστήµατος παραµένει σταθερή. Η εντροπία όµως αυξάνει. Για απειροστή µεταβολή στη γειτονιά του σηµείου ισορροπίας η εντροπία µεγιστοποιείται και ϑα είναι ds = 0 σε πρώτης τάξης προσέγγιση. Αυτό συνεπάγεται µ i dy i = 0. i Αν για παράδειγµα έχουµε την αντίδραση p + e n + ν e σε ισορροπία και dy e = dy p = dy n = dy νe ϑα είναι και µ e + µ p = µ n + µ νe. Για ϑερµικά µη-µονωµένο σύστηµα ϑεωρώ ηµιστατικές µεταβολές και ισχύει dq = T ds. Οµως γενικά πρέπει dq T ds, άρα η διατήρηση της ενέργειας µας οδηγεί στην ε d + P n) 1 n ) T ds 1.8) Αναλόγως ποιες ποσότητες κρατούνται σταθερές, πρέπει να επιλεγεί και η κατάλληλη ϑερµοδυναµική ενεργειακή συνάρτηση ανά ϐαρυόνιο): Για σταθερα n και s είναι dε 0 Για σταθερά Τ και n είναι df 0 µε f = ε n T s η ελεύθερη ενέργεια Helmholtz Για σταθερά Τ και P είναι dg 0 µε g = ε+p n T s η ελεύθερη ενέργεια Gibbs Για σταθερά Τ και P και ασυνέχειες στην αριθµητική πυκνότητα n είναι dg = 1 ndp sdt + µ i dy i και µε ελαχιστοποίηση της g, dg=0), ξαναπαίρνουµε µ i dy i = 0. i i 8

9 1.2 Θερµοδυναµικές έννοιες 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ dr Κινητική Θεωρία Στην κινητική ϑεωρία, η αριθµητική πυκνότητα στο χώρο ϕάσεων d 3 x d 3 p για κάθε είδος σωµατιδίων µας παρέχει µια πλήρη περιγραφή του συστήµατος. Ισοδύναµα µπορεί να οριστεί η αδιάστατη συνάρτηση κατανοµής στο χώρο ϕάσεων f x, p, t) από τη σχέση dr d 3 x d 3 p = g h 3 f 1.9) όπου h η σταθερά του Planck και h 3 είναι ο όγκος µιας κυψελίδας του χώρου ϕάσεων, g το στατιστικό ϐάρος. Το στατιστικό ϐάρος εκφράζει τον αριθµό των καταστάσεων ενός σωµατίδιου µε δεδοµένη τιµή ορµής p. Για σωµατίδια µε µάζα και spin-s είναι g = 2S + 1, για ϕωτόνια g = 2 και για νετρίνα g = 1. Η συνάρτηση f µας δίνει το µέσο αριθµό κατάληψης µιας κυψελίδας του χώρου ϕάσεων. Η αριθµητική πυκνότητα για κάθε είδος δίνεται µε ολοκλήρωση για όλες τις τιµές των ορµών ˆ dr n = d 3 x d 3 p d3 p 1.10) και η πυκνότητα ενέργειας ˆ ε = E dr d 3 x d 3 p d3 p 1.11) µε την ενέργεια E σωµατίδιου µάζας ηρεµίας m να είναι E = p 2 c 2 + m 2 c 4) 1/2. Εποµένως η ε περιέχει και την ενέργεια ηρεµίας. Αν η κατανοµή των ορµών στο σύστηµα είναι ισότροπη, τότε η πίεσή του ϑα είναι P = 1 ˆ pυ dr 3 d 3 x d 3 p d3 p 1.12) µε την ταχύτητα υ = pc 2 /E. Εδώ ϕαίνεται ότι η πίεση µπορεί να ϑεωρηθεί ως ϱοή ορµής. Ο παράγοντας 1 /3 οφείλεται στην υποτιθέµενη ισοτροπία. Ενα ιδανικό αέριο σε ϑερµοδυναµική ισορροπία έχει συνάρτηση κατανοµής f E) = 1 e E µ kt ± ) µε το + να αφορά τα σωµατίδια ηµιακέραιου spin που ακολουθούν τη στατιστική Fermi-Dirac και το τα σωµατίδια µε ακέραιο spin που ακολουθούν τη στατιστική Bose-Einstein. Η k είναι η σταθερά του Boltzmann και µ το χηµικό δυναµικό. Για αρκετά χαµηλές πυκνότητες και υψηλές ϑερµοκρασίες η f E) είναι πολύ µικρότερη της µονάδας. Σε αυτήν την περίπτωση και τα ϕερµιόνια και τα µποζόνια ακολουθούν τη στατιστική Maxwell-Boltzmann f E) e µ E kt 1.14) Για ϑερµοκρασία T 0 ή ισοδύναµα µ /kt το µ είναι ίσο µε την ενέργεια Fermi E F και ισχύει { 1, E E F f E) = 1.15) 0 E > E F Σε αυτήν την περίπτωση το αέριο ϕερµιονίων είναι πλήρως εκφυλισµένο. Ολες οι κβαντικές καταστάσεις ϐρίσκονται ενεργειακά κάτω από την ενέργεια Fermi, ή ισοδύναµα όλες οι ορµές των σωµατιδίων είναι χαµηλότερες από την αντίστοιχη ορµή Fermi p F = 2mE F. 2 2 Η ορµή ενός σωµατιδίου συνδέεται µε το κυµατοδιάνυσµα k µέσω της σχέσης p = k και πολλές ϕορές αναφέρετε ως ορµή Fermi το αντίστοιχο κυµατοδιάνυσµα k F, ιδαίτερα αν χρησιµοποιούµε σύστηµα ϕυσικών µονάδων µε = 1 όπου και τα δύο µεγέθη είναι πλήρως ισοδύναµα. Βέβαια η ισοδυναµία των δύο µεγεθών δεν είναι γενική καθώς υπάρχουν ϕυσικές καταστάσεις, όπως κατά την κίνηση ηλεκτρονίων εντός ενός κρυσταλλικού πλέγµατος όπου και απαιτείται διάκριση σε σωµατιδιακή και πλεγµατική ορµή και η παραπάνω σχέση ισχύει για τη δεύτερη. Στις ϕυσικές καταστάσεις που µελετάµε εδώ και παρακάτω ϑα ϑεωρούµε ότι ισχύει η ισοδυναµία των p και k εκτός κι αν διατυπωθεί ϱητά το αντίθετο. 9

10 1.3 Στοιχειώδη και σύνθετα σωµατίδια 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ 1.3 Στοιχειώδη και σύνθετα σωµατίδια Αν σε έναν επικείµενο κατακλυσµό ήταν να καταστραφεί ο ανθρώπινος πολιτισµός µε το σύνολο της επιστηµονικής µας γνώσης και έπρεπε να επιλέξουµε µόνο µία ϕράση για να αποσώσουµε στην επόµενη γενιά, που να περιέχει όσο το δυνατόν περισσότερη πληροφορία µε τις λιγότερες λέξεις, τότε αυτή ϑα ήταν η ατοµική υπόθεση. Οτι τα πάντα αποτελούνται από άτοµα και κενό. Ολα τα πράγµατα στον κόσµο µας ϕτιάχνονται από µικρά σωµατίδια που τρεµοπαίζουν από εδώ κι από κει, έλκονται µεταξύ τους όταν πλησιάζουν αρκετά και απωθούνται όταν πάνε να συµπτυχθούνε στο ίδιο σηµείο. -Richard Feynman [The Feynman Lectures on Physics Vol.1, ελεύθερη µετάφραση] Η λέξη άτοµο [αστερητικό) + τοµήτέµνω)] ετυµολογικά σηµαίνει αυτό που δεν τέµνεται. Η ατοµική υπόθεση του ηµόκριτου, ότι όλα όσα αντιλαµβάνεται ο άνθρωπος γύρω του αποτελούνται από άτοµα και κενό, όταν διατυπώθηκε δεν είχε κάποια επιστηµονική ϐάση µε τη σύγχρονη έννοια του όρου που εµπλέκει την πειραµατική παρατήρηση και επιβεβαίωση. Αντιθέτως εκκινούσε από ένα ϕιλοσοφικό προβληµατισµό που επεδίωκε να δώσει µιαν απάντηση για το πεπερασµένο ή άπειρο τεµαχισµό της ύλης. Το αν µπορούµε δηλαδή να παίρνουµε επ άπειρον όλο και µικρότερα υλικά κοµµάτια ή αν υπάρχουν κάποιοι ϑεµελιώδεις κόκκοι ύλης που δε δύνανται να διασπαστούν περαιτέρω. Τόσο τα κίνητρά του όσο και η απάντησή του ήταν ϕιλοσοφικής ϕύσεως, κάτι που κάνει ακόµα πιο εντυπωσιακή τη διατύπωση αυτής της υπόθεσης πριν από κάτι παραπάνω από δύο χιλιετίες όταν και ϑα διατυπώνονταν η σύγχρονη και επιστηµονική ατοµική υπόθεση. Η επιστηµονική προσέγγιση του Ϲητήµατος έγινε δυνατή µε την ανάπτυξη των Φυσικών Επιστηµών και της Χηµείας προς τα τέλη του 18ου αιώνα και την αντίστοιχη διατύπωση του John Dalton. Με την τεχνολογική πρόοδο και τη µελέτη της ύλης σε µικροσκοπικό επίπεδο ανακαλύψαµε ότι τα σωµατίδια που ονοµάσαµε άτοµα δεν ήταν τελικά άτµητα, αλλά σύνθετα σωµατίδια: αποτελούνταν από έναν πυρήνα που είχε ϑετικό ηλεκτρικό ϕορτίο και γύρω του κατανέµονταν σωµατίδια αρνητικού ηλεκτρικού ϕορτίου, τα ηλεκτρόνια. Σε αυτό το ιστορικό σηµείο ϑα µπορούσε να ονοµάσει κάποιος τους πυρήνες και τα ηλεκτρόνια ως άτοµα. Καθώς ϐελτιώναµε ακόµα περισσότερο τις πειραµατικές µας διατάξεις, οι οποίες για τον µικρόκοσµο είναι κυρίως ϐοµβαρδισµοί σωµατιδίων µε άλλα σωµατίδια, και καθώς αυξανόταν η διαθέσιµη ενέργεια µε την οποία πραγµατοποιούσαµε τις συγκρούσεις αυτές, ανακαλύπταµε ξανά ότι σωµατίδια που προηγουµένως ϕαίνονταν ως ενιαία και αδιαίρετα παρουσίαζαν εσωτερική δοµή. Αρχικά οι πυρήνες ϐρέθηκε ότι αποτελούνταν από πρωτόνια και νετρόνια, και αργότερα ϐρέθηκε ότι και αυτά αποτελούνται από τρία πιο ϑεµελιώδη σωµατίδια, τα quark. Παράλληλα ϐέβαια παρατηρήθηκαν και µια πληθώρα νέων σύν- ϑετων σωµατιδίων, τα περισσότερα από τα οποία διασπώνται γρήγορα για τις ανθρώπινες κλίµακες χρόνου. Το πλήθος των νέων σωµατιδίων, σύνθετων ή ϑεµελιωδών, έπρεπε να µπει σε µια τάξη. Η ταξινόµηση των πρώτων, όντας πολύ περισσότερα από τα ϑεµελιώδη καθώς προκύπτουν µε τους διάφορους συνδυασµούς αυτών, έπαιτε της ταξινόµησης των τελευταίων. Η ταξινόµηση των ϑεµελιωδών στοιχειωδών) σωµατιδίων γίνεται στο Θεµελιώδες Μοντέλο Standar Model) της Σωµατιδιακής Φυσικής. Το Standar Model ϑεωρεί ως σύγχρονα άτοµα τα 6 quark και τα 6 λεπτόνια. Οι δύο αυτές οµάδες σωµατιδίων χωρίζονται η καθεµία σε τρεις οικογένειες, η κάθεµία πιο ϐαριά πιο µαζική) από την προηγούµενη. Στο Standar Model ανήκουν επιπλέον και τα µποζόνια ϐαθµίδας, οι ϕορείς των 4 αλληλεπιδράσεων ϐαρυτική, ηλεκτροµαγνητική, ασθενή και ισχυρή) καθώς και το µποζόνιο Higgs που είναι υπεύθυνο για τη µάζα των σωµάτων που αλληλεπιδρούν µε το πεδίο που του αντιστοιχεί. Συγκεντρωτικά το Standar Model ϕαίνεται στην Εικόνα 1.5). Σηµειώνουµε ότι για κάθε σωµατίδιο αντιστοιχεί και ένα αντισωµατίδιο, µε ίδια µάζα και αντίθετο ϕορτίο, ενώ πιο προχωρηµένες ϑεωρίες όπως αυτή της υπερσυµµετρίας προτείνουν ότι για κάθε ϕερµιόνιο µποζόνιο) υπάρχει και ένας υπερσύντροφος superpartner) µποζόνιο ϕερµιόνιο). 10

11 1.3 Στοιχειώδη και σύνθετα σωµατίδια 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Figure 1.5: Standar Model: Αριστερά, παρουσιάζονται τα στοιχειώδη σωµατίδια, που χωρίζονται αρχικά στα ϕερµιόνια λεπτόνια και quark) και στα µποζόνια ϐαθµίδας που µεσολαβούν στις µεταξύ τους αλληλεπιδράσεις. ίνονται για το καθένα οι µάζες τους σε µονάδες MeV ), το ϕορτίο τους και το spin τους. εξιά, δείχνουµε τους διάφορους συνδυασµούς αλληλεπιδράσεων. Παρατηρούµε ότι το µποζόνιο Higgs και τα γκλουόνια αλληλεπιδρούν µε τον εαυτό τους. Τα σύνθετα σωµατίδια µπορούν αρχικά να διαχωριστούν ανάλογα µε τον τρόπο που αλληλεπιδρούν. Η ϐαρυτική αλληλεπίδραση είναι δεκάδες τάξεις µεγέθους πιο ασθενής από τις άλλες τρεις και δε ϑα ληφθεί υπόψιν από εδώ και πέρα. Τα σωµατίδια που ϕτιάχνονται από quark, τα αδρόνια ϐαρυόνια και µεσόνια) συµµετέχουν στις αλληλεπιδράσεις που πραγµατοποιούνται µέσω ηλεκτροµαγνητικών, ασθενών και ισχυρών δυνάµεων. Τα ϐαρυόνια είναι δέσµιες καταστάσεις τριών quark ενώ τα µεσόνια είναι δέσµιες καταστάσεις quark-antiquark. Τα λεπτόνια δεν αντιδρούν µέσω ισχυρών δυνάµεων. Καθώς υπάρχουν 6 διαφορετικά quark, όπως και 6 διαφορετικά antiquark, ο συνδυασµός διαφορετικών αδρονίων που µπορούν να παράξουν είναι αρκετά µεγάλος. Αν δε λάβουµε υπόψιν και άλλους κβαντικούς αριθµούς όπως το spin τους, έχουµε και διεγερµένες καταστάσεις αυτών. Τα πιο σηµαντικά quark είναι τα up και down, που ϕτιάχνουν το πρωτόνιο και το νετρόνιο. Για να παρατηρήσουµε τα ϐαρύτερα quark χρειάζεται να έχει προηγηθεί ασϑενής αντίδραση, η οποία αλλάζει τη γεύση των quark. Στην πράξη η µεγάλη µάζα των charm, top και bottom δυσκολεύει την παραγωγή τους και ελαττώνει το χρόνο Ϲωής τους, καθώς διασπώνται πολύ γρήγορα στα άλλα ελαφρύτερα quark. Εποµένως κρατώντας τα up και down και προσϑέτοντας σε αυτά και το strange quark µπορούµε να αποκτήσουµε µια αρκετά καλή περιγραφή των περισσότερων αδρονίων που παρατηρούνται και των αλληλεπιδράσεών τους. Μια πιο αυστηρή και µαθηµατική ταξινόµηση των σύνθετων σωµατιδίων γίνεται µέσω της ϑεω- ϱίας οµάδων, και συγκεκριµένα της οµάδας SU N), όπου εδώ N είναι ο αριθµός τως quark που διαθέτουµε. Η πιο απλή οµάδα είναι η SU 2) η οποία κατασκευάζει το πρωτόνιο και το νετρόνιο. Η SU 3) είναι η πιο σηµαντική και ϑα την αναλύσουµε συνοπτικά αµέσως παρακάτω, εξαιτίας της σηµασίας που έχουν στην παρούσα εργασία τα σωµατίδια που προβλέπει. Στον Πίνακα 1.6) παρουσιάζουµε τα τρία ελαφρύτερα quark, τις µάζες τους και τους κβαντικούς τους αριθµούς. Το υπερφορτίο Y δίνεται από τον τύπο Y = B + S ) 2 ενώ ισχύει και η σχέση Gell-mann - Nishijima για το ηλεκτρικό ϕορτίο, το υπερφορτίο και την προβολή του isospin Q = T 3 + Y ) 11

12 1.3 Στοιχειώδη και σύνθετα σωµατίδια 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ q t t 3 y S B m u 2/3 1/2 1/2 1/3 0 1/ d 1 /3 1/2 1 /2 1/3 0 1/ s 1 / /3 1 1/3 95 ± 0.7 Figure 1.6: Τα ελαφριά quark u,d,s). ίνονται οι κβαντικοί αριθµοί του ηλεκτρικού ϕορτίου q), του isospin και της προβολής του t, t 3 ), του υπερφορτίου y), της παραδοξότητας S) και του ϐαρυονικού αριθµού B). Στην τελευταία µάζα οι τιµές των µαζών και οι αντίστοιχες αβεβαιότητες δίνονται σε µονάδες MeV. [ ] Η οµάδα SU 3) : Αρχικά ϑα δώσουµε σύντοµα κάποιες σηµαντικές έννοιες από τη ϑεωρία οµάδων που ϑα χρειαστούν για την κατανόηση των όσων ϑα παρουσιαστούν εδώ. Οµάδα G = {a, b,... } ονοµάζουµε ένα σύνολο µαθηµατικών στοιχείων αριθµοί, πίνακες, κ.α.) ως προς µια πράξη σύνθεσης για εµάς το ευθύ γινόµενο πινάκων) που τηρεί κάποιες ιδιότητες Πίνακας 1.7)) Ιδιότητα Κλειστότητα Ταυτοτικό στοιχείο Αντίστροφο στοιχείο Προσεταιριστική ιδιότητα Μαθηµατική έκφραση a b = c, c G a e = e a = a, a G a a 1 = a 1 a = e, a G a b c) = a b) c, a, b, c G Figure 1.7: Ιδιότητες οµάδων και οι αντίστοιχες µαθηµατικές εκφράσεις τους Συνεχής είναι η οµάδα που το πλήθος των στοιχείων της είναι άπειρο και µη αριθµήσιµο. Τα στοιχεία της οµάδας είναι συναρτήσεις µιας ή περισσότερων συνεχών µεταβλητών και σχηµατίζουν ένα συνεχές ϕάσµα G = {a t), b t),...} Αβελιανή είναι η οµάδα για την οποία ισχύει a b = b a, a, b G Υποοµάδα H µιας οµάδας G είναι ένα υποσύνολο της G που µπορεί να αποτελέσει από µόνο του οµάδα ως προς την ίδια πράξη σύνθεσης Γεννήτορες είναι το µικρότερο δυνατό πλήθος στοιχείων µιας οµάδας, από όπου παράγονται όλα τα στοιχεία της οµάδας Ευθύ γινόµενο δύο οµάδων X = {x 1, x 2,.. } Y = {y 1, y 2,... } είναι η οµάδα Z που προκύπτει απ το τανυστικό γινόµενο Z = X Y και έχει για στοιχεία της τις διατεταγµένες δυάδες z 1 = x 1, y 1 ), z 2 = x 2, y 2 ), κ.τ.λ. και η νέα πράξη σύνθεσης είναι z 1 z 2 = x 1 x 2, y 1 y 2 ) η οποία διατηρεί την προσεταιριστική ιδιότητα. Γραµµική) αναπαράσταση D µιας οµάδας ονοµάζουµε την πινακική απεικόνιση g D g) η οποία τηρεί τις παρακάτω ιδιότητες D g 1 g 2 ) = D g 1 ) D g 2 ), g 1, g 2 G D e) = I n n D g 1) = [D g)] 1, g G 12

13 1.3 Στοιχειώδη και σύνθετα σωµατίδια 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Ισοδύναµες είναι δύο αναπαραστάσεις για τις οποίες υπάρχει µη-ιδιάζων πίνακας S τέτοιος ώστε να είναι δυνατός ένας µετασχηµατισµός οµοιότητας: D 1 = S 1 D 2 S, g G Αναλλοίωτος υπόχωρος U ενός διανυσµατικού χώρου V ως προς µια οµάδα G, λέγεται ο υπόχωρος του V που είναι κλειστός ως προς τους µετασχηµατισµούς D που ορίζουν τα στοιχεία g της οµάδας G, δηλαδή g G, u U : D g) u U Ο διανυσµατικός χώρος V ονοµάζεται τότε αναγωγήσιµος reducible) ως προς την οµάδα G. 3 Αναγωγήσιµη αναπαράσταση είναι αυτή για την οποία ο διανυσµατικός της χώρος είναι αναγωγίσιµος έχει έναν γνήσιο αναλλοίωτο υπόχωρο). Στην αντίθετη περίπτωση η αναπαράσταση λέγεται µη-αναγωγίσιµη irreducible) 4 Οµάδες Lie είναι οι συνεχείς οµάδες στις οποίες υπάρχει συναρτησιακή σχέση f a i, a j ) = a k ανάµεσα στις παραµέτρους των στοιχείων της, η οποία επιπλέον είναι αναλυτική συνεχής διαφορίσιµη πολλαπλότητα). Άλγεβρα επί του σώµατος F = R ή C) είναι ο διανυσµατικός χώρος V για τον οποίο ισχύει µία πράξη σύνθεσης και εισάγουµε µία νέα τέτοια ώστε : V V V και µε ιδιότητες τις x, y, x V ) : x y + z) = x y + x z x, y, z V ) : x + y) z = x z + y z x, y, z, V, λ F ) : λ x y) = λx) y = x λy) Άλγεβρα Lie είναι η άλγεβρα που σχηµατίζεται από το πλήθος των γεννητόρων J k µιας συνεχούς οµάδας. Οι γεννήτορες αυτοί παράγουν ένα γραµµικό χώρο, ο µεταθέτης δύο γεννητόρων ανήκει στην άλγεβρα, και οι J k ικανοποιούν την ταυτότητα Jakobi [J k, [J l, J m ]] = [J l, [J m, J k ]] = [J m, [J k, J l ]] = 0 Τάξη µιας διακριτής µη-συνεχούς) οµάδας, είναι το πλήθος των στοιχείων της. ιάσταση διανυσµατικού χώρου είναι το πλήθος των γραµµικά ανεξάρτητων διανυσµάτων που αποτελούν τη ϐάση του. Στις συνεχείς οµάδες ονοµάζουµε τάξη-r το ικανό και αναγκαίο πλήθος των παραµέτρων α i που απαιτείται για τον προσδιορισµό όλων των στοιχείων g j α 1, α 2,.., α r ) της οµάδας, ενώ το πλήθος των στοιχείων της ονοµάζεται τώρα διάσταση-j της οµάδας. ιάσταση µια αναπαράστασης είναι η διάσταση των πινάκων αυτής. Τάξη µιας οµάδας Lie είναι ο ελάχιστος αριθµός των γεννητόρων της οι οποίοι µετατίθενται όλοι µεταξύ τους. Τελεστής Casimir Ĉ ή αναλλοίωτος τελεστής) είναι ένας γεννήτορας ο οποίος είναι συνάρτηση όλως των γεννητόρων µια οµάδας Lie ) Ĉ m = Ĵ1 Ĉm, Ĵ2,.., Ĵr, m = 1, 2,.., r και µετατίθενται µε όλους τους, οπότε ισχύει και [Ĉm Ĉl], = 0. Οι τελεστές Casimir µαζί µε έναν γεννήτορα που διαγωνοποιούνται ταυτόχρονα µετατίθεντε και έχουν κοινό ϕάσµα ιδιοτιµών) προσδιορίζουν τις ανάγωγες αναπαραστάσεις και την ταξινόµησή τους µε το πιθανά) εκφυλισµένο ϕάσµα ιδιοτιµών. Θεώρηµα Racah : Ο αριθµός των ανεξάρτητων τελεστών Casimir µιας οµάδας Lie ισούται µε την τάξη της οµάδας αυτής. 3 Η ιδιότητα της κλειστότητας των στοιχείων g της οµάδας G µεταφέρεται στις πινακικές αναπαραστάσεις D g). Οταν αυτή η ιδιότητα διατηρείται ως προς τη ϐάση του υποχώρου U, τότε έχουµε έναν αναγωγήσιµο µετασχηµατισµό. 4 Στην πράξη η πινακική αναπαράσταση µιας οµάδας ως προς ένα διανυσµατικό χώρο διασπάτε σε µικρότερες αναπαραστάσσεις που δρουν σε διανυσµατικούς χώρους µικρότερης διάστασης 13

14 1.3 Στοιχειώδη και σύνθετα σωµατίδια 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Πολλαπλότητες multiplets) είναι οι ανάγωγοι υπόχωροι που παράγονται από τις ανάγωγες αναπαραστάσεις D j, έχουν διάσταση που προσδιορίζεται από το ϐαθµό εκφυλισµού της ιδιοτιµής-j του τελεστή Casimir και ορίζουν πλήρως τις ϕυσικές κβαντικές καταστάσεις στοιχειωδών σωµατιδίων. Γενικευµένη σύζευξη αναπαραστάσεων {3} {3}... {3} {3 } {3 }... {3 } = Γ 1 Γ 2... όπου το αριστερό µέλος είναι µια αναγωγίσιµη αναπαράσταση που προκύπτει από τανυστικό γινόµενο, ενώ το δεξί µέλος είναι το ευθύ άθροισµα των ανάγωγων αναπαραστάσεων. Ολα τα ϐαρυόνια qqq) µπορούν να προκύψουν µε σύζευξη των αναπαραστάσεων {3} µε τον εαυτό της και τα µεσόνια qq) µε σύζευξη των {3} και {3 }. Επειδή η SU 3) άλγεβρα περιέχει τρεις SU 2) υποάλγεβρες η µέθοδος σύζευξης στροφορµών δυσκολεύει, και είναι προτιµότερο να αναπτυχθεί η γραφική µέθοδος µε τα διαγράµµατα ϐαρών weight diagrams ή root diagrams). Συµβολίζουµε τις τρισδιάστατες ϐάσεις των στοιχειωδών αναπαραστάσεων ως q = t 3, y q = t3, y και το ευθύ γινόµενο ως q q... q q q... q 1.18) Οι γεννήτορες F 3 και Y διατηρούν τη διαγώνια µορφή τους και στην τανυστική αναπαράσταση, αφού ορίζονται ως και έτσι οι ιδιοτιµές τους αθροίζονται ως F 3 = F 3 I... + I F 3 I I.. F 3 Y = Y I... + I Y I I.. Y t 3 = p t 3 ) i + p ) t3 i=1 i=1 y = p y i + p i=1 y i i=1 i Για τα µεσόνια η 1.18) γίνεται {3} {3 } = {9} και η αντίστοιχη γραφική µέθοδος ϕαίνεται στην Εικόνα 1.8) Figure 1.8: Αριστερά: Γραφική µέθοδος σύζευξης των ϐασικών αναπαραστάσεων {3} και {3 }. Η νέα τανυστική αναπαράσταση που προκύπτει είναι αναγωγίσιµη και δεν τηρεί τους κανόνες πληρότητας. εξιά : Αναγωγή της {9} nonet αναπαράστασης στις ανάγωγες {8} {1}, που ονοµά- Ϲοντια octet και singlet. 14

15 1.3 Στοιχειώδη και σύνθετα σωµατίδια 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Παρατηρούµε ότι η σύνθεση δύο quark στην SU 3) παράγει 9 διαφορετικές µεσονικές καταστάσεις οι οποίες χωρίζονται σε µια αναπαράσταση οκταπλότητας octet) {8} και µια singlet αναπαράσταση {1}. Αυτό ϐέβαια ισχύει χωρίς να λάβουµε υπόψιν το spin 5 s = 1 /2 των quark και συνεπώς των τρόπο που ϑα αθροιστούν στα µεσόνια. Οταν συνυπολογιστεί και το spin έχουµε περαιτέρω διαχωρισµό σε ψευδοβαθµωτά s = 0) και διανυσµατικά s = 1) µεσόνια,τα οποία παρουσιάζονται στα δύο σχήµατα της Εικόνας 1.9), ενώ οι κβαντικού αριθµοί τους και οι µάζες τους δίνονται αναλυτικά στον Πίνακα 1). Figure 1.9: ιαγράµµατα ϐάρους για τα ψευδοβαθµωτά πάνω) και τα διανυσµατικά κάτω) µεσόνια. Για τα πρώτα ϕαίνεται η σύστασή τους σε quark ενώ για τα δεύτερα το όνοµά τους. Η αντιστοιχία των δύο δίνεται στον Πίνακα 1). ψευδοβαθµωτά µεσόνια σύµβολο quark q t t 3 y S m πιόνια καόνια αντι-καόνια η/η µεσόνια π + ud π 0 uu dd π ud Κ + us 1 1/2 + 1 / K 0 ds 0 1/2 1 / K us 1 1/2 1 / K 0 ds 0 1/2 + 1 / η uu+dd+ss η uu+dd 2ss διανυσµατικά µεσόνια σύµβολο quark q t t 3 y S m ρ + ud ϱ-µεσόνιο ρ 0 uu dd ρ ud ω-µεσόνιο ω uu+dd K + us +1 1/2 + 1 / συντονισµοί καονίων K us 1 1/2 1 /2 1 1 K 0 ds 0 1/2 1 / K 0 ds 0 1/2 + 1 / ϕ-µεσόνιο ϕ ss Table 1: Ψευδοβαθµωτά και διανυσµατικά µεσόνια Η ταξινόµηση των µεσονίων σε ψευδοβαθµωτά και διανυσµατικά είναι γενικότερη και ϐαθύτερη, 5 σηµειώνουµε ότι µε s εννούµε το spin και µε S την παραξενιά, για αποφυγή σύγχυσης 15

16 1.3 Στοιχειώδη και σύνθετα σωµατίδια 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ και περιλαµβάνει ακόµα τα ϐαθµωτά µεσόνια, τα ψευδοδιανυσµατικά και τα τανυστικά µεσόνια. Το χαρακτηριστικό που µας ϐοηθάει να τα κατατάξουµε είναι το συνολικό spin τους J και η parity του καθενός, τα οποία µπορούν να εκφραστούν µαζί στο µέγεθος J P για κάθε είδος και παρουσιάζονται στον Πίνακα 2) Είδος s l J = l + s P J P Βαθµωτά Ψευδοβαθωτά Ψευδοδιανυσµατικά ιανυσµατικά Τανυστικά Table 2: Ταξινόµηση των µεσονικών ειδών κατά J P Με ανάλογο τρόπο µπορούµε τώρα να προχωρήσουµε στην κατασκευή ϐαρυονικών καταστάσεων, για τα οποία τώρα η 1.18) γίνεται {3} {3} {3} = {3} {6} = {18} µε το πρώτο ϐήµα της σύζευξης {3} {3} = {6} να ϕαίνεται στη δεύτερη ϕιγούρα της Εικόνας 1.10). Η αναπαράσταση που προκύπτει είναι η αναγωγήσιµη {18}, της οποία και ανάγουµε στην Εικόνα 1.11) στις ανάγωγες αναπαραστάσεις {10}και {8}. H {8} αναφέρεται ως ϐαρυονική οκτάδα baryon octet) και περιέχει εκτός των νουκλεονίων n και p τα λεγόµενα υπερόνια Λ 0, Σ, Σ 0, Σ +, Ξ και Ξ 0, τα οποία είναι πολύ σηµαντικά στη µελέτη της πραγµατικής σωµατιδιακής σύνθεσης των αστέρων νετρονίων. Figure 1.10: Σύζευξη {3} {6} προς κατασκευή ϐαρυονικών καταστάσεων 16

17 1.4 Πυρηνική ύλη 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Figure 1.11: Αναγωγή της αναπαράστασης {3} {6} = {18} στις ανάγωγες baryon decuplet {10} και baryon octet {8}. Η ϐαρυονική δεκάδα {10} περιέχει τους λεγόµενους ϐαρυονικούς συντονισµούς. Η συµπερίληψη τουλάχιστον της πιο ελαφριάς τετράδας isospin νουκλεονικοί συντονισµοί) στη σωµατιδιακή σύνθεση των αστέρων νετρονίων γίνεται διερευνητικά σε κάποιες πιο προχωρηµένες δηµοσιεύσεις. Στην Εικόνα 1.12) δίνεται η ταξινόµηση της ϐαρυονικής οκτάδας και οι αντίστοιχες ευθείες στα- ϑερής παραξενιάς, ϕορτίου και µάζας. Ο πίνακας που συνοδεύει της εικόνα παρουσιάζει αναλυτικά τους κβαντικούς αριθµούς και τις µάζες των νουκλεονίων και των υπερονίων. όνοµα σύµβολο quark q t t 3 y S m πρωτόνιο p uud 1 1/2 1/ νετρόνιο n udd 1 1/2 1/ Σ dds υπερόνια S = 1) Σ 0 uds Σ + uus Λ 0 uds υπερόνια S = 2) Ξ 0 uss 0 1/2 + 1 / Ξ dss 1 1/2 1 / Figure 1.12: Πάνω: Η οκτάδα των ϐαρυονίων baryon octet) της ανάγωγης αναπαράστασης {8} της άλγεβρας-su 3) µε ϐαρυονικό αριθµό B = 1 και spin-parity J P = ίνεται η σύστασή τους σε quark, το ηλεκτρικό ϕορτίο τους, το isospin και η προβολή του, το υπερφορτίο, η παραξενιά και οι µάζες τους σε µονάδες MeV /c 2. Κάτω: Root diagram 1.4 Πυρηνική ύλη Το διάγραµµα ϕάσης της πυρηνικής ύλης Το διάγραµµα ϕάσης της πυρηνικής ύλης είναι ένα διάγραµµα της ϑερµοκρασίας T συναρτήσει του ϐαρυονικού χηµικού δυναµικού µ B και παρουσιάζει διάφορες καταστάσεις της πυρηνικής 17

18 1.4 Πυρηνική ύλη 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ύλης, όπως την αέρια και την υγρή ϕάση, το πλάσµα κουάρκ-γκλουονίων και την ύλη αστέρα νετρονίων που µελετάµε στην παρούσα εργασία. Οπως ϕαίνεται και στην Εικόνα 1.13), η ύλη αστέρα νετρονίων ϐρίσκεται πάνω στον άξονα του χηµικού δυναµικού, και για αυτό χαρακτηρίζεται ως ψυχρή πυρηνική ύλη, σε αντίθεση µε τη ϑερµή πυρηνική ύλη που µελετάτε στις συγκρούσεις ϐαρέων ιόντων. Εδώ να σηµειώσουµε πως η ιδιότητα ψυχρή αναφέρεται στη ϑερµοκρασία σε Figure 1.13: ιάγραµµα ϕάσης Τ-µ B και καταστάσεις της πυρηνικής ύλης [7] σύγκριση µε το χηµικό δυναµικό, καθώς για τα γήινα δεδοµένα ο αστέρας νετρονίων είναι αρκετά ϑερµός ακόµα και όταν ψυχθεί από τη ϕυγή νετρίνων στους 10 6 K. 1eV αντιστοιχεί σε 11000K). Για πληρότητα αναφέρουµε τις παρακάτω ϕάσεις: υγρή ϕάση: αντιστοιχεί σε ϑερµοκρασίες 10M ev και πυκνότητες στην περιοχή της πυκνότητας κορεσµού εδώ ϐρίσκεται και το µοντέλο υγρής σταγόνας του πυρήνα) αέρια ϕάση: αντιστοιχεί σε ϑερµοκρασίας M ev και υψηλές τιµές πυκνοτήτων πλάσµα κουάρκ-γκλουονίων: από ϑερµοκρασίες 100M ev και πάνω και υψηλές τιµές πυκνοτήτων Πυρηνικό δυναµικό Η αλληλεπίδραση νουκλεονίου-νουκλεονίου ΝΝ) Θα υποθέσουµε αρχικά ότι µελετάµε την πυρηνική δύναµη στο µη-σχετικιστικό όριο, οπότε αυτή είναι ανεξάρτητη της ταχύτητας του πυρήνα, όπως συµβαίνει και µε την ηλεκτροµαγνητική δύναµη. Πιθανή εξάρτηση από την ταχύτητα ϑα είχε ως αποτέλεσµα την παρουσία όρων L S και L S ) 2 στην έκφραση της αλληλεπίδρασης, η οποία λόγω αυτής της ανεξαρτησίας δύναται να προκύψει από ένα στατικό δυναµικό. Σε αντίθεση τώρα µε 18

19 1.4 Πυρηνική ύλη 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ την ηλεκτροµαγνητική δύναµη, η πυρηνική δεν υπερτίθεται, δηλαδή δε µπορεί να αναχθεί σε άθροισµα δυνάµεων µεταξύ όλων των διαφορετικών Ϲευγών νουκλεονίων ενός πυρήνα. Για πυκνότητες ρ < ρ nuc µπορούν να αγνοηθούν οι αλληλεπιδράσεις τριών σωµάτων και άνω, άφηνοντας ουσιαστικά ως πρόβληµα τον υπολογισµό της αλληλεπίδρασης νουκλεονίου-νουκλεονίου N N). Η πυρηνική δύναµη εξαρτάται από την απόσταση r που απέχουν τα δύο νουκλεόνια. Υπάρχει επίσης εξάρτηση από τα spin s 1 και s 2 των δύο αλληλεπιδρώντων σωµατιδίων. Για να µπορέσουµε να ϐρούµε τη µορφή που πρέπει να έχει το δυναµικό από το οποίο προκύπτει η πυρηνική δύναµη, πρέπει να λάβουµε υπόψιν ότι η δύναµη πρέπει να είναι αναλλοίωτη κάτω από χωρικές µεταθέσεις, χρονικές µεταθέσεις και κατοπτρισµούς του συστήµατος. Η τελευταία ισοδυναµεί µε την εναλλαγή r 1 r 2 και είναι η συµµετρία της Parity, η οποία εκφράζεται από τη δράση του τελεστή P στην κυµατοσυνάρτηση του συστήµατος. Γενικά προκύπτει ένα µικρό σπάσιµο της συµµετρίας Parity, όµως αυτό οφείλεται στην ασθενή ϐ-αλληλεπίδραση και δε ϑα τη λάβουµε υπόψιν. Αυτό όµως µας υποχρεώνει να κατασκευάσουµε το δυναµικό ως ϐαθµωτή ποσότητα και όχι ως ψευδοβαθµωτή. Οι τρεις προαναφερθέντες συµµετρίες µπορούν να επιτευχθούν µε αναγωγή οποιασδήποτε µορ- ϕής συνάρτησης του τελεστή του spin- 1 2 σε γραµµική συνάρτηση του spin και άλλων ϐαθµωτών ποσοτήτων. Επιτρέπεται εξάρτηση µόνο από διανύσµατα s 1, s 2 και n, όπου το τελευταίο είναι το µοναδιαίο διάνυσµα στη διεύθυνση του διανύσµατος απόστασης των δύο νουκλεονίων. Η πιο γενική µορφή για το δυναµικό σε πρώτη προσέγγιση είναι V ord = V 1 r) + V 2 r) σ 1 σ 2 ) + V 3 [3 σ 1 n) σ 2 n) σ 1 σ 2 ] 1.19) µε τις ποσότητες σ 1 σ 2 και σ 1 n) σ 2 n) να είναι ϐαθµωτές, ενώ η σ i n από µόνη της είναι ψευδοβαθµωτή. Ο δείκτης ord µπήκε για να τονίσουµε ότι ϑεωρούµε µόνο συνήθεις ordinary) αλληλεπιδράσεις που δεν αλλάζουν το ϕορτίο ενός νουκλεονίου. Παρακάτω ϑα γενικεύσουµε το δυναµικό αυτό για να περιλαµβάνει και αυτήν την περίπτωση. Οι διανυσµατικοί πίνακες σ i του Pauli εκφράζουν το spin για τα δύο σωµατίδια αντίστοιχα i = 1, 2) σύµφωνα µε τη σχέση σε µονάδες = 1) s i = σ i ) Ο όρος V 3 [3 σ 1 n) σ 2 n) σ 1 σ 2 ] είναι τανυστικός και µη-κεντρικός, ενώ η τιµή του κατά µέσο όρο για όλες τις διευθύνσεις n του διανύσµατος απόστασης των δύο νουκλενίων r = r n είναι µηδέν. Πειραµατικά προκύπτει ότι όταν έχουµε αγνοήσει τις πολύ µικρές επιδράσεις της αντισυµ- µετρίας και την ασθενέστερη ηλεκτροµαγνητική αλληλεπίδραση, η πυρηνική δύναµη δεν ενδιαφέρεται για το αν τα νουκλεόνια που αλληλεπιδρούν είναι νετρόνια ή πρωτόνια. Ετσι το πρωτόνιο και το νετρόνιο µπορούν να ϑεωρηθούν ως δύο διαφορετικές καταστάσεις ηλεκτρικού ϕορτίου του ίδιου σωµατιδίου, του νουκλεονίου. Αυτή ήταν η ιδέα που οδήγησε τον Heisenberg το 1932 να εισαγάγει την έννοια του ισοτοπικού spin, ή isospin, ο οποίος είναι ένας κβαντικός αριθµός t που σχετίζεται µε την ισχυρή αλληλεπίδραση. Η άλγεβρα πινάκων που περιγράφει τις καταστάσεις πρωτόνιο και νετρόνιο είναι η SU 2). Με κάποιες µικρές διαφοροποιήσεις παρουσιάζει εξαιρετική οµοιότητα µε την άλγεβρα SU 2) των πινάκων του Pauli που περιγράφει τα σωµατίδια µε spin- 1 2 για καταστάσεις προβολής του spin πάνω µε s 3 = και κάτω µε s 3 = 1 2 και γι αυτό αποδόθηκε η ονοµασία isospin. Οπως στο spin αντιστοιχούµε το διάνυσµα s, έτσι και στον τελεστή του isospin αντιστοιχούµε ένα τρισδιάστατο3d) διάνυσµα t. Εντελώς ανάλογα µε τη 1.20) ορίζονται οι τρεις 2 2-πίνακες Pauli του isospin από τη σχέση t = τ 2. Ο διανυσµατικός χώρος που Ϲει το t δεν είναι προφανώς ο ϕυσικός χώρος 3D, αλλά ο χώρος που δρα η αναπαράσταση-3 των πινάκων τ i, όπου εδώ i = 1, 2, 3. Για ένα νουκλεόνιο ο κβαντικός αριθµός του isospin είναι το µέτρο του t, το οποίο είναι t = 1 2 αφού τi 2 = σ2 i = I 2 2. Οι ισχυρές αλληλεπιδράσεις διατηρούν τη γεύση των σωµατιδίων, εποµένως η[ αντίστοιχη Χαµιλτονιανή πρέπει να µετατίθεται µε τον τελεστές του µέτρου του isospin, δηλαδή Hstr, τ 2] = 0, και της προβολής του t στο z-άξονα, [H str, τ 3 ] = 0, όπου οι ιδιοτιµές της τελευταίας είναι t 3 = { + 1 2, 1 2, για p για n 1.21) Οι νουκλεονικές ιδιοκαταστάσεις είναι δύο, εποµένως περιγράφονται από spinors δύο συνιστωσών ) ) 1 0 p =, n =

20 1.4 Πυρηνική ύλη 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ και γενικά το νουκλεόνιο N µπορεί να γραφεί ως ) p 1 N = = 2, 1 2 n 1 2, 1 2 ) όπου στην παραπάνω σχέση σηµειώσαµε τις ιδιοκαταστάσεις σύµφωνα µε τις ιδιοτιµές τως t και t 3 xως t, t 3. Μαθηµατικά η αντικατάσταση ενός πρωτονίου από ένα νετρόνιο και αντίστροφα µπορεί να ιδωθεί ως στροφή του t γύρω από τον άξονα-z του διανυσµατικού του χώρου. Αν κάποιο ϕυσικό µέγεθος παρουσιάζει συµµετρία ϕορτίου, όπως στην περίπτωση των πυρηνικών δυνάµεων όταν αγνοούµε το ηλεκτρικό ϕορτίο, λέµε ότι είναι αναλλοίωτο ως προς το isospin. Για ένα σύστηµα νουκλεονίων συνολικού αριθµού n, το ολικό isospin T και η ολική προβολή T 3 είναι T = t 1 + t t n 1.22) και λόγω της 1.21) είναι προφανώς T 3 = t 31) + t 32) t 3n) 1.23) T 3 = Z A ) Τα νουκλεόνια είναι ϕερµιόνια, εποµένως η ολική κυµατοσυνάρτηση Ψ ενός συστήµατος οποιουδήποτε αριθµού νουκλεονίων οφείλει να είναι αντισυµµετρική. Για δύο νουκλεόνια µπορούµε να γράψουµε Ψ = ψ r 1, s 1 ; r 2, s 2 ) ω t 1, t 2 ) 1.25) µε την ψ r 1, s 1 ; r 2, s 2 ) να εκφράζει την εξάρτηση από τις ϑέσεις και τα spin των δύο νουκλεονίων, ενώ η ω t 1, t 2 ) την εξάρτηση από τα isospin τους. Η αντισυµµετρικότητα της Ψ σηµαίνει ότι αυτή ϑα αποκτήσει ένα αρνητικό πρόσηµο στην ταυτόχρονη εναλλαγή των r 1 r 2, s 1 s 2 και t 1 t 2. Ολες οι δυνατές τιµές των T και T 3 λαµβάνοντας υπόψιν το διανυσµατικό χαρακτήρα του isospin είναι t 1 + t 2 = 1 2 T = = 1 T 3 = t 1 + t 2 = = 0 T 3 = 1, 0, nn 1 2 pn + np) pp { 1, 1 0, 2 pn np) συµµετρ. ω αντισυµµετρ. ω 1.26) Φαίνεται ξεκάθαρα ότι η τιµή του T καθορίζει τη συµµετρία της ω, και επειδή σε κάθε περίπτωση η ολική κυµατοσυνάρτηση είναι αντισυµµετρική, καθορίζει και τη συµµετρία της ψ. Για ω συµ- µετρική είναι ψ αντισυµµετρική και αντίστροφα. Οταν το T διατηρείται και οι ηλεκτροµαγνητικές αλληλεπιδράσεις παραλείπονται, οι παραπάνω συµµετρίες των κυµατοσυναρτήσεων διατηρούνται και αυτές. Η διατήρηση τώρα του T 3 για ένα σύστηµα συγκεκριµένου αριθµού ϐαρυονίων συνδέεται µε τη διατήρηση του ηλεκτρικού ϕορτίου και είναι µια ακριβής συµµετρία ακόµα και υπό την παρουσία ηλεκτροµαγνητικών δυνάµεων. Θέτουµε ω 0 την αντισυµµετρική κυµατοσυνάρτηση isospin µε T = 0 και ω 1 την αντίστοιχη συµµετρική µε T = 1. H εναλλαγή r 1, σ 1 r 2, σ 2 εκφράζεται από τη δράση του τελεστή του Heisenberg P τ, για τον οποίο ισχύει P τ ) 2 = 1 P τ = ±1 και η δράση του στις κυµατοσυναρτήσεις του isospin δίνει P τ ω 0 = +ω 0 P τ ω 1 = ω ) δηλαδή οι συµµετρικές ψ διατηρούνται ως έχουν και οι αντισυµµετρικές ψ αλλάζουν πρόσηµο. Οι ιδιοτιµές σε µονάδες του τελεστή T 2 είναι T T + 1) ενώ των τελεστών t 2 1 και t2 2 είναι ίδιες µεταξύ τους µε µε τιµή t t + 1) = 3 4. Εποµένως µπορούµε να γράψουµε P τ = 1 T 2 = 1 t 1 + t 2 ) 2 = t 1 t 2 = τ 1 τ 2 ) 1.28) 20

21 1.4 Πυρηνική ύλη 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Ο τελεστής Barlett P B εναλλάσει τα spin των δύο σωµατιδίων και έχει και αυτός ιδιοτιµές ±1, αναλόγως το ολικό spin S του συστήµατος: Από σύγκριση µε την 1.27) προκύπτει P B ψ S=0 = ψ S=0 P B ψ S=1 = +ψ S=1 1.29) P B = S 2 1 = σ 1 σ 2 ) 1.30) Ο τελεστής που εναλλάσει µόνο τις ϑέσεις των δύο σωµατιδίων είναι ο τελεστής Majorana P M = P B P τ = σ 1 σ 2 ) 1 + τ 1 τ 2 ) 1.31) Παρατηρούµε ότι το δυναµινό V ord µπορεί να προκαλέσει την εναλλαγή των spin των δύο νουκλεονίων, καθώς περιέχει τον όρο σ 1 σ 2 που µπορεί πάντα να γραφεί συναρτήσει του P B. Γενικά οι όροι εναλλαγής έχουν συνέπειες στον κορεσµό των πυρηνικών δυνάµεων και οι υπόλοιπες µπορούν να αποδοθούν σε ένα συµπληρωµατικό δυναµικό V exch, εποµένως V r) = V ord r)+v exch r) όπου V exch r) = V 4 r) + V 5 r) σ 1 σ 2 ) + V 6 r) [3 σ 1 n) σ 2 n) σ 1 σ 2 ]) P τ 1.32) Αν στο συνολικό δυναµικό επαναδιατυπώσoυµε τους όρους spin ως προς το ολικό spin S ϐλέπουµε ότι διατηρείται το S 2, αλλά όχι το S, συνεπώς διατηρείται το µέτρο του spin αλλά όχι η διεύθυνσή του. Επακόλουθα, ενώ διατηρείται η συνολική στροφορµή J = L + S, η τροχιακή στρο- ϕορµή L δε διατηρείται απαραίτητα. Αυτό οφείλεται στο τανυστικό κοµµάτι της δύναµης NN, η οποία επιτρέπει µεταβολές L = ±2, κάτι που απαγορεύεται από µια διανυσµατική αλληλεπίδραση για την οποία L = 0, ±1 υποχρεωτικά. Την επιβεβαίωση για το τανυστικό χαρακτήρα της αλληλεπίδρασης N N µπορεί να τη δει κάποιος στο πειραµατικό δεδοµένο της µείξης των καταστάσεων 3 S 1 και 3 D 1 του δευτερίου, το οποίο αποτελεί τη µόνη δέσµια κατάσταση δύο νουκλεονίων και έχει J = 1, T = 0 και S = 1. υναµικό Yukawa και ανταλλαγή µεσονίων Η ανταλλαγή µποζονίωνµεσονίων) ως αίτιο της αλληλεπίδρασης δύο ϐαρυονίων διατυπώθηκε αρχικά από το Yukawa. Ουσιαστικά πρότεινε ότι η αλληλεπίδραση ενός Ϲεύγους ϐαρυονίων ϑα µπορούσε να αναχθεί στην αλληλεπίδραση των ϐαρυονίων µε τα µεσόνια και αυτό είχε ως πρακτικό αποτέλεσµα να µας δώσει µια κατανοητή µορφή της ακτινικής εξάρτησης του πυρηνικού δυναµικού που αναπτύχθηκε παραπάνω. Μια απλή και εύκολη εισαγωγή στο δυναµικό Yukawa, χωρίς να αναπτύξουµε ακόµα τη ϑεωρία πεδίου που γίνεται στα επόµενα κεφάλαια, µπορεί να επιτευχθεί αν προσπαθήσουµε να κατασκευάσουµε ένα ανάλογο δυναµικό για την πυρηνική δύναµη µε αυτό το καλά κατανοητό και γνωστό δυναµικό της Κλασικής Ηλεκτροδυναµικής ϕ r). Για το τελευταίο ισχύει 2 ϕ r) = ) όταν δεν υπάρχουν πηγές ηλεκτρικά ϕορτία) στο χώρο τον οποίο αναφέρεται, ενώ αν υπάρχει πηγή ϕορτίου q στην αρχή του συστήµατος συντεταγµένων r = 0, σε µια απόσταση r από αυτήν είναι [ ] 1 2 ϕ r) = 4πqδ r) 1.34) 4πε 0 η οποία είναι η γνωστή εξίσωση του Poisson. Ο παράγοντας µέσα στις αγκύλες αφορά το σύστηµα µονάδων και µπορεί να παραλειφθεί µε κατάλληλη εκλογή του τελευταίου, ώστε να εστιάσουµε στις σηµαντικές από ϕυσικής πλευράς εξαρτήσεις. Το δ r) είναι η συνάρτηση δέλτα. Η λύση της εξίσωσης του Poisson είναι [ ] 1 q ϕ r) = 1.35) 4πε 0 r Παρατηρούµε ότι όσο µεγαλύτερο είναι το ηλεκτρικό ϕορτίο q τόσο µεγαλύτερη γίνεται η τιµή του δυναµικού, γι αυτό και το q αναφέρεται και ως ισχύς του πεδίου. Αν µελετήσουµε σε όλο και µικρότερη χωρική κλίµακα ένα πεδίο, η συνέχειά του χωρικά και χρονικά δίνει τη ϑέση της 21

22 1.4 Πυρηνική ύλη 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ στην παρουσία κβάντων πεδίου, δηλαδή διακριτών σωµατιδίων του πεδίου στο χώρο και το χρόνο. Ενα κβαντισµένο ηλεκτροµαγνητικό πεδίο εµφανίζει τα ϕωτόνια ως µποζόνια ανταλλαγής άπειρης εµβέλειας και ϕορείς της ηλεκτροµαγνητικής δύναµης. Η πυρηνική δύναµη διαφέρει σε αρκετές ιδιότητες από την ηλεκτροµαγνητική και µία από αυτές και η πιο σηµαντική είναι η εµβέλειά της, η οποία είναι αρκετά µικρή και όχι άπειρη όπως ϑα δούµε λίγο παρακάτω. Αυτό που χρειαζόµαστε τώρα για τα µποζόνια της πυρηνικής δύναµης είναι µία εξίσωση ανάλογη της κλασικής 1.34) για να περιγράψει τον τρόπο που πηγάζουν τα κβάντα, να είναι επιπλέον σχετικιστικά αναλλοίωτη και να περιγράφει την περιορισµένη εµβέλεια τους. Για το αναλλοίωτο Lorentz µπορούµε να ξεκινήσουµε από τη σχετικιστική σχέση ενέργειας ορµής E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 και να επιτύχουµε την κβάντωσή της µε της αντικατάσταση της ενέργειας και της ορµής µε τους τελεστές E i t και p i r, και µε µία αναδιάταξη των όρων να πάρουµε 2 1c 2 ) 2 ϕ r) = m2 c 2 t 2 ϕ r) 1.36) 2 όπου m είναι η µάζα του κβάντου. Η παραπάνω εξίσωση είναι παρόµοια µε την εξίσωση Klein- Gordon, αλλά δεν περιέχει όρο που να περιγράφει την πηγή των κβάντων του πεδίου. Στην περίπτωση που δεν υπάρχει χρονική εξάρτηση και επιτρέψουµε τη µάζα να µηδενιστεί, παρατηρούµε ότι παίρνουµε την εξίσωση 1.33). Αν τώρα για απλότητα µελετήσουµε το στατικό όριο, δηλαδή να εξαφανιστεί η χρονική παράγωγος από την 1.36) και εισάγουµε ένας όρο πηγής gδ r) ισχύως g στη ϑέση r = 0, έχουµε την ανάλογη εξίσωση της 1.34): 2 ϕ r) = m2 c 2 ϕ r) gδ r) 1.37) 2 η οποία έχει λύση την ϕ r) = g mc e r 1.38) 4πr H 1.38) περιγράφει ένα πεδίο που η ισχύς 6 του ge mc r ϕθίνει εκθετικά όσο αυξάνεται η απόσταση και µάλιστα τόσο πιο γρήγορα όσο πιο µεγάλη είναι η µάζα του κβάντου της δύναµης. Αυτό έχει ως αποτέλεσµα τα ϐαρύτερα κβάντα να περιορίζουν περισσότερο την εµβέλεια της δύναµης. Σε αυτό το σηµείο µπορούµε να ορίσουµε και ως εµβέλεια της δύναµης την απόσταση r 0 = mc για την οποία η ισχύς της δύναµης πέφτει στο 1 e της αρχικής. Αν πάρουµε για παράδειγµα το πιόνιο π) για µεσόνιο ανταλλαγής, το οποίο έχει µάζα m π 140 MeV /c 2 προκύπτει µια αρκετά καλή τιµή για την εµβέλεια r fm. Αυτός ήταν και ο λόγος για τον οποίο τα πιόνια ϑεωρήθηκαν αρχικά ως τα µποζόνια ανταλλαγής της ελκτικής πυρηνικής δύναµης. Η ανταλλαγή ενός πιονίου ανάµεσα στα αλληλεπιδρώντα νουκλεόνια είναι αρκετά καλή όταν αυτά ϐρίσκονται σε αποστάσεις µεγαλύτερες των 2 f m. Αυτή η απλή εικόνα ϐέβαια διατηρείται για µια πρώτη και αρκετά χονδρική προσέγγιση. Αν επιθυµούµε µια λεπτοµερέστερη περιγραφή και γνώση του ϕαινοµένου πρέπει να αντιµετωπίσουµε κάποια προβλήµατα που ανακύπτουν από αυτήν την απλότητα. Πρώτα απ όλα, επειδή η πιθανότητα αλληλεπίδρασης δύο νουκλεονίων ϑα πρέπει να συνδέεται µε την αντίστοιχη πιθανότητα πραγµατικής αλληλεπίδρασης πιονίου-νουκλεονίου, δηλαδή να εξαρτάται από την τιµή της σταθεράς g πn, µια εισαγωγή της πειραµατικής τιµής από τις σκεδάσεις πn δε δίνει καθόλου καλά αποτελέσµατα. Άρα η σταθερά g πn πρέπει να γίνει προσαρµόσιµη παράµετρος στα δεδοµένα της σκέδασης. εύτερον, αν η ανταλλαγή ενός πιονίου ανάµεσα σε δύο νουκλεόνια είναι σηµαντική στις µεγάλες αποστάσεις τότε ϑα πρέπει να ληφθούν υπόψιν και ανταλλαγές δύο, τριών ή και περισσότερων πιονίων. Τρίτον, αν αυξήσουµε την ενέργεια των σκεδάσεων ώστε τα δύο νουκλεόνια να αλληλεπιδρούν από όλο και µικρότερες των 2 f m µεταξύ τους αποστάσεις, η περιγραφή ανταλλαγής ενός πιονίου αποκλίνει όλο και περισσότερο από τη συµπεριφορά που παρατηρείται στα πειράµατα. Αυτό υποδεικνύει ότι υπάρχουν και άλλου είδους συνεισϕορές στην αλληλεπίδραση, δηλαδή ανταλλαγή και διαφορετικών τύπων µεσονίων εκτός των π. Αν τα νουκλεόνια πλησιάσουν σε αποστάσεις περίπου 1 f m νιώθουν µια ισχυρή άπωση αντί για έλξη 7. Αν αναλογιστούµε το ϕαινόµενο σε επίπεδο quark, όταν δύο νουκλεόνια πλησιάζουν 6 σηµειώνουµε για να µην υπάρχει σύγχυση ότι αρχικά ονοµάσαµε ισχύ τη σταθερά g ενώ στη λύση αναφέραµε ως ισχύ το g = ge mc r, καθώς η εκθετικά ϕθίνουσα συµπεριφορά του πεδίου µπορεί να χρεωθεί συµβατικά σε µια µη σταθερή ισχύ g. 7 Για ενέργειες γύρω στα 250 MeV για το κανάλι 1 S 0 και γύρω στα 300 MeV για το 3 S 1 οι µετατοπίσεις ϕάσεων των s-µερικών κυµάτων γίνονται αρνητικές 22

23 1.4 Πυρηνική ύλη 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ αρκετά µεταξύ τους υπάρχει αλληλεπικάλυψη των κυµατοσυναρτήσεων των έξι quark. Επειδή τα quark είναι ϕερµιόνια, η Απαγορευτική Αρχή του Pauli δεν τους επιτρέπει να παραµείνουν στις τρεις χαµηλότερες ενεργειακές καταστάσεις όπως όταν τα νουκλεόνια ήταν αποµακρυσµένα και είχαµε δύο ξεχωριστές οµάδες τριών και τριών quark που δεν επικαλύπτονταν. Η διέγερση λοιπόν των τριών από αυτά σε υψηλότερες καταστάσεις απαιτεί µεγάλα ποσά ενέργειας, κάτι που εµφανίζεται στη σκέδαση ως ένα αδιαπέραστο ϕράγµα. Αυτό είναι το κοµµάτι του δυναµικού αλληλεπίδρασης στις µικρές αποστάσεις που αποκαλούµε σκληρός πυρήνας του ϐαρυονίου και πρέπει να αναπαραχθεί από το µοντέλο που ϑα υιοθετήσουµε. Σε γενικές γραµµές χωρίζουµε το δυναµικό Yukawa σε τρεις περιοχές, µια µεγάλης εµβέλειας για r > 2 fm, µία ενδιάµεσης εµβέλειας για 1 fm < r < 2 fm και µια µικρής εµβέλειας για r < 1 fm. Στην πρώτη µπορούµε να διατηρήσουµε την ανταλλαγή ενός πιονίου, η δεύτερη κυριαρχείται από την ανταλλαγή ενός ϐαθµωτού µεσονίου 8 και η τρίτη από ανταλλαγή ϐαρέων µεσονίων, πολλών πιονίων και ϕαινόµενα της Κβαντικής Χρωµοδυναµικής. Στην Είκονα 1.14) ϐλέπουµε τη µορφή του δυναµικού Yukawa. Figure 1.14: υναµικό Yukawa και οι τρεις περιοχές αλληλεπίδρασης: Απωστικός πυρήνας, ελκτική περιοχή ανταλλαγής δύο πιονίων, ανταλλαγή ενός πιονίου. Nature.com) Η εισαγωγή νέων µεσονίων ανταλλαγής δηµιουργεί κάποια νέα προβλήµατα που πρέπει να ξεπεράσουµε. Καταρχήν, παρότι υποκινούµενη από την πειραµατική συµπεριφορά της αλληλεπίδρασης που περιγράψαµε παραπάνω, µοιάζει αυθαίρετη τόσο η επιλογή των µεσονίων όσο και ο αριθµός τους. Αν ακολουθήσουµε τη συλλογιστική της όλο και λεπτοµερέστερης περιγραφής του δυναµικού µε την εισαγωγή νέων όρων συνεισφοράς, ϑα συµπεράνουµε ότι ϑα χρειαστεί κάποιος περιορισµός στον αριθµό των διαφορετικών όρων ώστε το µοντέλο µας να είναι και υπολογιστικά επιλύσιµο. Ενας ελάχιστος αριθµός όρων έχει ως προαπαιτούµενο να ϱυθµίσουµε τις µάζες και τις ακτίνες των µεσονίων κατάλληλα, σε τιµές που τις περισσότερες ϕορές δεν έχουν καµία σχέση µε 8 ϐλ. παρακάτω, ενότητα 4.2) 23

24 1.4 Πυρηνική ύλη 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ τις πραγµατικές. Σε αυτό το σηµείο είναι προφανές ότι όταν κάνουµε λόγο για ανταλλαγή µεσονίων, αναφερόµαστε σε δυνητικά virtual) µεσόνια και όχι πραγµατικά. Μπορούµε όµως να υποθέσουµε ότι αυτά τα δυνητικά µεσόνια προκύπτουν από κατάλληλο γραµµικό συνδυασµό πραγµατικών µεσονίων. Η σταθερές σύζευξης των διάφορων µεσονίων είναι και αυτές ϱυθµιζόµενες. Η περιγραφή αυτή είναι ξεκάθαρα µια ϕαινοµενολογική περιγραφή της ϕυσικής και όχι µια οντολογική. Κάποια περαιτέρω Ϲητήµατα που µπορούν να προκύψουν στην αλληλεπίδραση δύο σωµάτων αφορούν τον πεπερασµένο χρόνο Ϲωής των µεσονίων, κάτι το οποίο µας υποχρεώνει να λάβουµε υπόψιν την αποδιέγερσή τους. Για παράδειγµα ένα µεσόνιο ω µπορεί να εκπεµφθεί από ένα νουκλεόνιο, να διασπαστεί σε τρία πιόνια και έπειτα αυτά να απορροφηθούν από ένα άλλο νουκλεόνιο. Ενα µεσόνιο ρ µπορεί να διασπαστεί σε δύο πιόνια πριν απορροφηθεί από άλλο νουκλεόνιο. Η τελευταία διάσπαση µπορεί να οδηγήσει σε ένα δευτερεύον ϕαινόµενο, την αλληλεπίδραση τριών σωµάτων, αν τα δύο πιόνια που παραχθούν απορροφηθούν από διαφορετικά νουκλεόνια. Τέλος τα δυναµικά της Βόννης κα του Παρισιού είναι δύο δυναµικά που περιλαµβάνουν συνεισφορές από τρία και τέσσερα πιόνια, καθώς και έναν συνυπολογισµό του συντονισµού που προκύπτει ως διεγερµένη κατάσταση του νουκλεονίου στις σκεδάσεις του µε ένα πιόνιο µη ελαστική σκέδαση), στα οποία όµως δε ϑα επεκταθούµε στην παρούσα εργασία. Οι αντιδράσεις αντινουκλεονίουαντινουκλεονίου και αντινουκλεονίου-νουκλεονίου ϑα πρέπει επίσης να αποτελούν κοµµάτι του δυναµικού καθώς στα πλαίσια της Σχετικιστικής Κβαντοµηχανικής οι κυµατοσυναρτήσεις περιγρά- ϕουν ταυτόχρονα και τα δύο είδη ύλης τα οποία δε µπορούν να διαχωριστούν 9. Οσα αναπτύξαµε σε αυτήν την παράγραφο αφορούν την αλληλεπίδραση ελεύθερων νουκλεονίων σε σκεδαστικά πειράµατα. Η αλληλεπίδραση στα δέσµια συστήµατα για τα οποία ενδιαφερόµαστε εδώ, δηλαδή στους πυρήνες και ακόµη περισσότερο στην άπειρη πυρηνική ύλη που µοντελοποιεί τους αστέρες νετρονίων, έχει κατά ϐάση παρόµοια περιγραφή, αλλά διαφοροποιείται για δύο σηµαντικούς λόγους. Ο ένας είναι ότι τα στοιχεία πίνακα που περιγράφουν τις αλληλεπιδράσεις δύο σωµάτων είναι ελαφρώς διαφορετικά στις σκεδάσεις και στους πυρήνες. Ο δεύτερος είναι ότι η αλληλεπίδραση δύο σωµάτων σε ένα δέσµιο σύστηµα πολλών σωµάτων δεν οφείλει να διατηρεί την ενέργεια και την ορµή, καθώς κάτι τέτοιο συµβαίνει για το σύνολο του συστήµατος. Στην σκέδαση δύο νουκλεονίων η συνολική ενέργεια είναι σταθερή και ισούται µε το άθροισµα των κινητικών ενεργειών των δύο νουκλεονίων: E = p2 1 µ 1 + p2 2 µ ) όπου p οι ορµές και µ οι ανηγµένες µάζες των σωµατιδίων στο κέντρο µάζας. Σε αυτό το σύστηµα µπορούµε να ϕανταστούµε τις τιµές των ορµών ότι είναι αναγκασµένες να παραµένουν σε ένα σϕαιρικό κέλυφος shell) στο χώρο των ορµών το οποίο έχει ακτίνα το τετράγωνο της οποίας ικανοποιεί τη σχέση p 2 x + p 2 y + p 2 z = 2µE. Σε αυτή την περίπτωση το ϕαινόµενο ονοµάζεται εντός ϕλοιού on shell). Η αλληλεπίδραση δύο νουκλεονίων στον πυρήνα που δεν τηρεί την 1.39) ονοµάζεται εκτός ϕλοιού off shell). Οι δύο λόγοι που διαφοροποιούν την αλληλεπίδραση στον πυρήνα και σε µια σκέδαση συνεπάγονται για το πυρηνικό δυναµικό ότι δε µπορεί να περιγραφεί ακριβώς απο αλληλεπίδραση δύο σωµάτων και µόνο. Ενας ξεκάθαρος προσδιορισµός της off-shell συµπεριφοράς είναι ένα εκκρεµές πρόβληµα µέχρι σήµερα Πυρηνικά πρότυπα Ενα πρότυπο που επιθυµεί να περιγράψει τη δοµή και τη δυναµική του πυρήνα, δηλαδή τη ϕυσική πραγµατικότητα αυτού του συστήµατος πολλών σωµάτων, ϑα πρέπει να ξεκινήσει αναγκαστικά µε κάποιες παραδοχές. Αυτές σίγουρα δε ϑα πρέπει να περιορίζονται στην Κλασική Μηχανική για δύο κυρίως λόγους. Ο πρώτος έχει να κάνει µε το ότι ακόµα και για ένα κλασικό σύστηµα, το πρόβληµα των N σωµάτων παύει να είναι προβλέψιµο και γίνεται χαοτικό ήδη από N 3. Ο δεύτερος ϐασίζεται στο ότι είναι αδύνατη µια πλήρως αιτιοκρατική και αναλυτική εξίσωση κίνησης κβαντικών σωµατιδίων, καθώς η απαγορευτική αρχή του Pauli δεν επιτρέπει τη ταυτόχρονη γνώση της ϑέσης και της ορµής ταχύτητας) των σωµατιδίων. Περαιτέρω περιορισµοί στην περιγραφή του συστήµατος µπορούν να προκύψουν από το πεπερασµένο της ακρίβειας µε την οποία µπορούµε να µετρήσουµε τις πυρηνικές παραµέτρους στα διάφορα πειράµατα και οι οποίες δε προκύπτουν από πρώτες αρχές στη ϑεωρία, αλλά ϑα πρέπει να ϱυθµιστούν µε το χέρι. 9 ϐλ. κεφάλαιο 3) 24

25 1.4 Πυρηνική ύλη 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Αυτό συνεπάγεται σε γενικές γραµµές ότι το µοντέλο ϑα κάνει έκπτωση σε κάποιους αναλυτικούς υπολογισµούς παραµέτρων του πλήρους σύστηµατος, είτε προσεγγίζοντας µε απλουστευτικές υποθέσεις τη σύνθεση των διάφορων αλληλεξαρτήσεων και σχέσεων, είτε προχωρώντας µε αριθητικές µεθόδους στον υπολογισµό παραµέτρων ή και στην απαλειφή κάποιων. Στη διάρκεια του τελευταίου αιώνα έχουν αναπτυχθεί και εξελιχθεί µια πληθώρα µοντέλων που το καθένα από αυτά απαντά και σε µια ανάγκη για γνώση διαφορετικής πλευράς του πυρήνα. Μπορούµε σε µια πρώτη ταξινόµηση αυτών των µοντέλων να τα επιµερίσουµε στα λεγόµενα συλλογικά µοντέλα που περιγράφουν τον πυρήνα ως σύνολο και τα νουκλεόνια ως αλληλεξαρτώµενα στη ϕυσική συµπεριφορά τους, και σε αυτά που επιχειρούν να περιγράψουν τη συµπεριφορά ενός νουκλεονίου ως προς το υπόλοιπο πυρηνικό σύστηµα, τα λεγόµενα µονοσωµατιδιακά µοντέλα. Στην πρώτη κατηγορία ανήκει το µοντέλο της υγρής σταγόνας, ενώ στη δεύτερη το µοντέλο των ϕλοιών, το πρότυπο του ιδανικού αέριου Fermi και το σχετικιστικό µέσο πεδίο. Τα δύο πρώτα είναι πολύ σηµαντικές προσεγγίσεις για µια ϐασική κατονόηση των πυρηνικών συστηµάτων και αναπτύσσονται σχετικά σύντοµα αµέσως παρακάτω. Το τρίτο ϑα χρησιµοποιηθεί εκτεταµένα στις επόµενες ενότητες 1.6), 1.7) και 1.8) ) που αφορούν τις καταστατικές εξισώσεις που χρειάζονται για την περιγραφή του ϕλοιού και του εξωτερικού πυρήνα του αστέρα νετρονίων, αλλά και των εκρήξεων supernovae. Το τελευταίο ϑα αναπτυχθεί αναλυτικά στην ενότητα 4.2). Σε αυτό το σηµείο να υπενθυµίσουµε ότι οποιοδήποτε µοντέλο κι αν κατασκευάσουµε, οφείλει να επιβεβαιώνεται από τα πειραµατικά δεδοµένα και τις παρατηρήσεις για να γίνει αποδεκτό ως µια πιθανή περιγραφή του πως έχουν τα πράγµατα στον πυρήνα. Ανεξαρτήτως όµως αυτού του ποσοστού συµφωνίας, ακόµα και τα ανεπαρκή µοντέλα περιέχουν ως κάποιο ϐαθµό µια εξήγηση για τις αποκλίσεις τους από το πείραµα, και αυτή ϐρίσκεται στις αρχικές παραδοχές και απλουστεύσεις στις οποίες ϐασίστηκαν, οι οποίες υποτίµησαν το ϱόλο των παραλείψεών τους, ή αναβάθµισαν την εξάρτηση από κάποια χαρακτηριστικά του προβλήµατος. Οσο κατασκευάζουµε ϑεωρίες και µοντέλα και υλοποιούµε πειράµατα ϑα παίρνουµε απαντήσεις. Ο ϕυσικός έχει χρέος να διακρίνει τις σωστές και να αιτιολογήσει τις λάθος. Το µοντέλο της υγρής σταγόνας Το µοντέλο της υγρής σταγόνας είναι ένα συλλογικό µοντέλο. Αντιµετωπίζει τις κινήσεις των νουκλεονίων στον πυρήνα ως αλληλεξαρτώµενες, συζευγµένες, όπως προσεγγίζεται και η συµπεριφορά των µορίων στο εσωτερικό µιας σταγόνας υγρού. Η αλληλεπίδραση των µορίων ϐασίζεται σε διαµοριακές δυνάµεις που είναι αγνοήσιµες σε µεγάλες αποστάσεις, απωστικές σε πολύ κοντινές και ελκτικές στις ενδιάµεσες, µε τις δύο τελευταίες να συνορεύουν σε αποστάσεις κοντά στο µέγεθος των ίδιων των µορίων. Σύµφωνα µε όσα αναπτύξαµε και στις παραπάνω παραγράφους δυναµικό Yukawa) για την αλληλεπίδραση N N αυτός είναι ένας εύλογος παραλληλισµός. Ενα δέσµιο σύστηµα µορίων τοποθετεί τα σωµατίδιά του σε ελκτικά δυναµικά και η µηχανική του ενέργεια είναι αρνητική όταν τα µόρια ισορροπούν στις ενδιάµεσες µεταξύ τους αποστάσεις σχηµατίζοντας τη δοµή του υγρού. Πρέπει να προσφέρουµε ενέργεια στο σύστηµα για να το διαλύσουµε στα συστατικά του. Μια σχετική ελάττωση αυτής της προσφερόµενης ενέργειας προκύπτει από τη ϑετική συνεισφορά της επιφανειακής τάσης 10 στη συνολική ενέργεια της σταγόνας. Μια µη-περιστρεφόµενη σταγόνα τώρα, η οποία ϐρίσκεται σε περιβάλλον χωρίς επίδραση εξωτερικών πεδίων δυνάµεων, συµπεριλαµβανοµένου και του ϐαρυτικού, τείνει να διαµορφώσει ένα σϕαιρικό σχήµα και συνεπώς µια αντίστοιχη σϕαιρική κατανοµή των µορίων. Αυτό οφείλεται στην ελαχιστοποίηση της ϑετικής επιφανειακής ενέργειας τάσης). Αν επιπλέον το υγρό είναι ασυµπίεστο, συνεπάγεται ότι η πυκνότητά του διατηρείται σταθερή καθόλον τον όγκο του και ως εκ τούτου η ακτίνα του ϑα είναι R n 1 /3, µε n εδώ τον αριθµό των µορίων της σταγόνας. Αν καθένα από αυτά τα µόρια συγκρατείται στον όγκο της σταγόνας µε ενέργεια α, τότε αντιστοιχεί µια συνολική ενέργεια αn για όλο το σύστηµα, η οποία αναφέρεται ως ενέργεια όγκου. Η επιφανειακή ενέργεια είναι +4πR 2 T, όπου εδώ T είναι η επιφανειακή τάση. Συνολικά η ενέργεια της σταγόνας είναι αn + 4πR 2 T, ή µπορούµε να ϑεωρήσουµε την αντίθετη ποσότητα, τη ϑετική ενέργεια σύνδεσης 10 στην επιφανειακή τάση αντιστοιχεί η ιδιότητα των υγρών να αντιστέκονται στην αύξηση του εµβαδού της εξωτερικής τους επιφάνειας. Αυτο συµβαίνει γιατί τα µόριά τους δέχονται ελκτικές δυνάµεις µόνο από τα γειτονικά τους µόρια κορεσµός) και τα µόρια της επιφάνειας, µη έχοντας υπερκείµενα ως προς το κέντρο της σταγόνας, δέχονται συνισταµένες δυνάµεις µόνο προς το εσωτερικό της. Αυτές οι συνισταµένες δυνάµεις αναφέρονται και ως δυνάµεις συνοχής. Η ενέργεια ανά µονάδα επιφάνειας που απαιτείται για αύξηση της επιφάνειας είναι η επιφανειακή τάση. Η επιφάνεια του υγρού αναφέρεται και ως ελαστική επιδερµίδα, κάτι που στο πυρηνικό του ανάλογο συναντάται ως nuclear skin. 25

26 1.4 Πυρηνική ύλη 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ της σταγόνας E B = an βn 2 /3 όπου ϑεωρήσαµε ότι η διδιάστατη επιφάνεια είναι ανάλογη του n 2/3 αφού ρ = σταθ. και συνοψίσαµε όλες τις άλλες επιφανειακές παραµέτρους στο β. Ολα τα παραπάνω µεταφέρονται αυτούσια ως πρώτες παραδοχές του πυρηνικού µοντέλου. ηλαδή ϑα ϑεωρούµε τους πυρήνες ως σϕαιρικούς, τις πυρηνικές δυνάµεις ανάλογες των διαµοριακών στα υγρά και την πυκνότητα σταθερή. Θα συνεχίσουµε από εδώ και πέρα να αναφερόµαστε στην ενέργεια σύνδεσης E B αντί της ενέργειας της σταγόνας, σηµειώνοντας ότι όλοι οι όροι που συνεισφέρουν ϑα έχουν αντίθετα πρόσηµα στις δύο περιπτώσεις. Θα πρέπει να προσθέσουµε τώρα έναν όρο στη E B που να αντιστοιχεί στη µηχανική, δυναµική ενέργεια Coulomb, η οποία προκύπτει από την ηλεκτροστατική άπωση των ϑετικά ϕορτισµένων πρωτονίων. Για µια οµοιόµορφη σϕαιρική 3Q κατανοµή όγκου η δυναµική ενέργεια είναι 2 20πε 0R.11 Άρα, για Q Z και n A είναι E B Z, A) = a v A a s A 2 /3 a c Z 2 µε τις παραµέτρους a v και a s να αναφέρονται στον όρο όγκου και επιφάνειας αντίστοιχα και την a c να συνοψίζει όλες τις εξαρτήσεις πλην των Q και n στον όρο Coulomb. Σε αυτό το σηµείο το µοντέλο είναι ικανοποιητικό ως ένα ϐαθµό αλλά παρουσιάζει και τις πρώτες αποκλίσεις ανάµεσα στις προβλέψεις του και τις πειραµατικές παρατηρήσεις. Ισως η πιο σηµαντική απόκλιση είναι η πρόβλεψη για µεγιστοποίηση της E B για συγκεκριµένο A όταν Z = 0, ενώ πειραµατικά δεν προκύπτουν διασπάσεις Z 0 Z = 0. Το µοντέλο µας πρέπει να συµπεριλάβει κβαντικές συνεισϕορές. Εχοντας εισαγάγει την αλληλεπίδραση Coulomb στον αντίστοιχο όρο και επειδή η υπόλοιπη αλληλεπίδραση-nn είναι ίδια για τα πρωτόνια και τα νετρόνια 12, το ίδιο ϑα ισχύει για την πυρηνική ενέργεια σύνδεσης και των δύο νουκλεονικών ειδών. Οπως αναφέρθηκε στη σχετική παράγραφο της κινητικής ϑεωρίας στην ενότητα 1.2), τα πρωτόνια και τα νετρόνια όντας ϕερµιόνια ακολουθούν τη στατιστική Fermi-Dirac και στη ϑεµελιώδη κατάσταση ενός νουκλεονικού συστήµατος γεµί- Ϲουν όλες τις µονοσωµατιδιακές ενεργειακές καταστάσεις κάτω από αυτήν που χαρακτηρίζεται ως ενέργεια Fermi E F, για κάθε είδος ξεχωριστά ϐλ. Εικόνα 1.15)). Σε ένα τρισδιάστατο τετραγωνικό ϕρέαρ δυναµικού η πιο χονδρική προσέγγιση πυρηνικού δυναµικού) τα ενεργειακά επίπεδα είναι ισαπέχοντα µε ενεργειακό ϐήµα E A 1, όπου ο µαζικός αριθµός A είνα ανάλογος του όγκου του πυρήνα του ϕρέατος). Προκύπτει ότι αν µεταβούµε από πυρήνες συγκεκριµένου A µε N = Z σε N Z απαιτείται ενέργεια N Z)2 8 E. Εποµένως και οι N = Z πυρήνες είναι πιο σφιχτοί πιο δέσµιοι) από τους N Z αν κρατήσουµε όλους τους άλλους όρους της E B στις ίδιες τιµές. Ο όρος που πρέπει να προσθέσουµε στην E B εξαιτίας αυτού του ϕαινοµένου είναι αρνητικός, ονοµάζεται ενέργεια συµµετρίας 13 και ισούται µε a A Z N) 2 A. 11 για µια οµοιόµορφη σϕαιρική κατανοµή επιφάνειας είναι 3Q 2 8πε 0 R 12 ϐλ. αναλλοίωτο isospin της αλληλεπίδρασης-nn στην παράγραφο 1.4.2) 13 ένας ίσως πιο δόκιµος όρος ϑα ήταν ενέργεια ασυµµετρίας, καθώς είναι µη µηδενική και ουσιαστικά αυξάνει την ενέργεια του συστήµατοςµειώνει την E B ) όταν δεν έχουµε ίδιο αριθµό Z και N ασύµµετρη πυρηνική ύλη). Εχει καθιερωθεί όµως ως ενέργεια συµµετρίας. A 1 /3 26

27 1.4 Πυρηνική ύλη 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Figure 1.15: Προέλευση ενέργειας συµµετρίας. Για N + Z = στ αθ. εδώ A = 16), όταν υπάρχει ίδιος αριθµός πρωτονίων Z και νετρονίων N, τα δύο ϕρέατα δυναµικού είναι γεµάτα µέχρι την ίδια ενεργειακή στάθµη ενέργεια Fermi E F ). Για απλότητα υποτίθενται ισαπέχουσες ενεργειακές στάθµες E. Αν αντικαταστήσουµε ένα πρωτόνιο µε ένα νετρόνιο, τότε το τελευταίο πρέπει να τοποθετηθεί σε µια ενεργειακή κατάσταση πάνω από την E F κατά E, εποµένως το σύστηµα αυξάνει τη συνολική του ενέργεια κατά E χάνει ενέργει E µε την αποµάκρυνση του σωµατιδίου και κερδίζει 2 E όταν επανατοποθετείται στην υψηλότερη ενέργεια). Αν επαναληφθεί αυτή η διαδικασία για ένα δεύτερο πρωτόνιο αυξάνεται ξανά η ενέργεια κατά E γεµίζοντας την πρώτη διεγερµένη κατάσταση πάνω από τη στάθµη Fermi, συνεπώς ένα τρίτο πρωτόνιο ϑα αυξήσει κατά 3 E γιατί ϑα τοποθετηθεί από χαµηλότερη αρχική στάθµη σε σχέση µε τα δύο πρώτα πρωτόνια στη δεύτερη διεγερµένη. ιαδοχικά λοιπόν έχουµε σε κάθε ϐήµα αύξηση της ενέργειας σε µονάδες E που δίνεται από την ακολουθία αριθµών 1, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7,.. και αντίστοιχα αθροίζοντας σε κάθε ϐήµα συνολική αύξηση στην ενέργεια 1, 2, 5, 8, 13, 18, 25,.., η οποία µπορεί να µοντελοποιηθεί ως N Z) 2 /8 ενεργειακές µονάδες E. Μια τελευταία συνεισϕορά στην ενέργεια σύνδεσης προκύπτει από το γεγονός ότι ένα Ϲεύγος πρωτονίων ή ένα Ϲεύγος νετρονίων συγκρατούνται πιο σϕιχτά σε ένα πυρήνα από ένα πρωτόνιο και ένα νετρόνιο. Αυτή η τάση για δηµιουργία Ϲεύγους δίνει και το όνοµά της στη ενέργεια Ϲεύγους pairing energy) η οποία είναι δ = ap A 1 /2.14 Η ποσότητα δ προστίθεται στη E B για πυρήνες µε άρτιο N και άρτιο Z, είναι µηδέν για Z άρτιο και N περιττό ή αντίστροφα, και αφαιρείται για Z και A περιττά. Τελικά η πυρηνική ενέργεια σύνδεσης είναι ϑετική και δίνεται από τη σχέση 15 E B = a v a s A 2 /3 a c Z 2 A 1 /3 a A 2Z) 2 A ± δz, A) A 14 Είναι a p = 12 MeV µε ακρίβεια καλύτερη του 1 MeV για πυρήνες µε A > στον όρο Coulomb ϑα πρέπει να έχουµε στον αριθµητή την ποσότητα Z Z 1) αντί της Z 2 καθώς το πρωτόνιο δεν αλληλεπιδρά ηλεκτροστατικά µε τον εαυτό του. Για µεγάλους όµως πυρήνες δεν υπάρχει πολύ σηµαντική µεταβολή στη συνολική E B, ενώ µε αυτόν τον τρόπο λαµβάνονται και καλύτερες τιµές της σταθεράς a v 27

28 1.4 Πυρηνική ύλη 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Figure 1.16: Οι όροι που συνεισϕέρουν στην πυρηνική ενέργεια σύνδεσης του πυρήνα. Ο όρος όγκο volume), επιφάνειας surface), Coulomb, συµµετρίας asymmetry) και Ϲεύγους pairing) για έναν τυχαίο πυρηνικό σύστηµα εδώ πυρήνας 18 N). Τα πρωτόνια αναπαρίστανται µε κόκκινο χρώµα, και οι ϕορά των ϐέλων δείχνει αντίστοιχα την έλξη ή την άπωση ανάµεσα σε δύο νουκλεόνια. Στα δύο τελευταία σχήµατα η γκριζαρισµένη περιοχή αναδεικνύει τη µη-µηδενική συνεισϕορά των δύο όρων εξαιτίας της απουσίας κατάλληλου σε κάθε περίπτωση νουκλεονικού Ϲευγαρώµατος. Ο όρος συµµετρίας δικαιολογεί γιατί η λεγόµενη κοιλάδα σταθερότητας των σταθερών ισότοπων ϐρίσκεται σχεδόν πάνω στην ηµιευθεία N = Z και ο όρος Coulomb δικαιολογεί την ελαφριά κάµψη προς τον άξονα N Εικόνες 1.17) και 1.18)) Figure 1.17: ιάγραµµα όλων των σταθερών πυρήνων. Οι διπλές παράλληλες γραµµές στους άξονες N και Z αναφέρονται στους αντίστοιχους µαγικούς αριθµούς για τους οποίους παρουσιάζονται περισσότερα σταθερά ισότοπα µοντέλο ϕλοιών) 28

29 1.4 Πυρηνική ύλη 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Figure 1.18: ιάγραµµα µόνο των σταθερών πυρήνων. Εχει σχεδιαστεί και η ευθεία N = Z των συµµετρικών πυρήνων. Ο τύπος αυτός είναι καλός µόνο για πυρήνες µε A > 20 ενδιάµεσοι και ϐαρείς πυρήνες) γιατί στους ελαφρούς δεν υπάρχει οµαλή µεταβολή της E B ως προς µεταβολές του µαζικού και του ατοµικού αριθµού. Εδώ αναδεικνύονται τα ϕαινόµενα κλειστών ϕλοιών. Στο µοντέλο της υγρής σταγόνας ϐασίζεται ο παρακάτω τύπος που αναφέρεται ως ηµιεµπειρικός τύπος µάζας: M Z, A) c 2 = Zm p c 2 + A Z) m n c 2 E B Z, A) Στον πίνακα 3) δίνονται οι τιµές των παραµέτρων. Table 3: Τιµές σταθερών των όρων της ενέργειας σύνδεσης E B σε µονάδες MeV [6] a v a s a c a A a p Το µοντέλο των ϕλοιών Ας επιλέξουµε αρχικά της εξίσωση του Schrödinger για την περιγραφή ενός πυρήνα HΨ = ΕΨ, όπου η Χαµιλτονιανή του συστήµατος H = T i + ij µε T i την κινητική ενέργεια του -i-νουκλεονίου και V ij το δυναµικό αλληλεπίδρασής του µε το j-νουκλεόνιο. Για i i<jv τη λύση του προβλήµατος ιδιοτιµών απαιτείται γνώση του δυναµικού V ij, κάτι όµως που εµπεριέχει µαθηµατικές δυσκολίες ακόµα και για ένα σύστηµα µόνο δύο σωµάτων. Επιπλέον δε γνωρίζουµε τη µορφή του τελεστή και αν έχουµε παραπάνω από δύο σωµατίδια ϑα πρέπει να συνυπολογιστούν και συνεισφορές αλληλεπιδράσεων πολλών σωµάτων, ενώ αδυνατούµε επίσης να πάρουµε µια περιγραφή της κίνησης σε κλειστή µορφή. Ενας τρόπος να παρακάµψουµε αυτές τις δυσκολίες είναι να ακολουθήσουµε κάποια προσεγγιστική µέθοδο που να παραβλέπει τα συλλογικά ϕαινόµενα του πυρήνα αντικαθιστώντας τα µε τη περιγραφή ενός ανεξαρτητου σωµατιδίου σε κάποιο µέσο δυναµικό. Κάτι αντίστοιχο γίνεται µε την κίνηση των ατοµικών ηλεκτρονίων σε ένα κεντρικό δυναµικό, όπου και αναδεικνύεται το µοντέλο των ϕλοιών. Το πυρηνικό µοντέλο των ϕλοιών είναι λοιπόν µονοσωµατιδιακό πρότυπο σε αντίθεση µε το συλλογικό µοντέλο της υγρής σταγόνας που αναπτύχθηκε παραπάνω, και µελετάµε σε αυτό την αποσυζευγµένη κίνηση από τις κινήσεις των γειτονικών του) ενός νουκλεονίου που κινείται σε ένα µέσο πυρηνικό δυναµικό στο οποίο έχουµε αναγάγει την αλληλεπίδραση από όλα τα άλλα A 1 νουκλεόνια. Η επιλογή αυτού του δυναµικού εξαρτάται από την προσεγγιστική µέθοδο που ϑα ακολουθηθεί. Η πιο απλές προσεγγίσεις δυναµικών στην Κβαντοµηχανική είναι το απειρόβαθµο 29

30 1.5 Άπειρη πυρηνική ύλη 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ πηγάδι δυναµικού, το πεπερασµένο πηγάδι και µετά ο αρµονικός ταλαντωτής. Μια πιο λεπτή προσέγγιση είναι το δυναµικό Woods-Saxon που έχει οµαλότερη συνοριακή συµπεριφορά για αποστάσεις r. Μία από τις χαρακτηριστικές προβλέψεις του µοντέλου των ϕλοιών είναι η ύπαρξη ιδιαίτερα σταθερών πυρήνων όταν συµπληρωθεί πλήρως µια στοιβάδα µε νετρόνια ή πρωτόνια. Αυτό µοιάζει µε την ιδιότητα των πλήρως συµπληρωµένων ατοµικών στοιβάδων που δίνουν στα ιδανικά αέρια αυξηµένη ενεργειακή ευστάθεια και τον χηµικά αδρανή χαρακτήρα τους. Συνεπώς υπάρχουν συγκεκριµένοι αριθµοί N και Z, οι οποίοι ονοµάζονται µαγικοί, και δίνουν στους αντίστοιχους πυρήνες αυξηµένη σταθερότητα. Συγκεκριµένα για N, Z = 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126. Ενας πυρήνας µπορεί να έχει ταυτόχρονα N και Z µαγικούς αριθµούς και χαρακτηρίζεται ως διπλά µαγικός. Στην Εικόνα 1.19) ϐλέπουµε το πρότυπο των ϕλοιών για κάποια δυναµικά και τους µαγικούς αριθµούς που προβλέπει η κάθε προσέγγιση. Figure 1.19: Το πυρηνικό µοντέλο των ϕλοιών συγκριτικά για διαφορετικές προσεγγίσεις του δυναµικού. Από αριστερά προς τα δεξιά οι προσεγγίσεις: αρµονικός ταλαντωτής, απειρόβαθµο πηγάδι, πεπερασµένο τετράγωνο πηγάδι, στρογγυλεµένο πηγάδι, στρογγυλεµένο πηγάδι µε συνυπολογισµό της σύζευξης spin-τροχιάς. Στις παρενθέσεις δίνονται οι µαγικοί αριθµοί που προβλέπει το κάθε δυναµικό, µε τους δεξιά να είναι αυτοί που επιβεβαιώνονται από τα πυρηνικά δεδοµένα. 1.5 Απειρη πυρηνική ύλη Οι ατοµικοί πυρήνες δε µπορούν να υπάρξουν σε καταστάσεις της ύλης που η πυκνότητα υπερβαίνει κάποιο όριο. Στις πυκνότητες ρ 1.5 2) gr/cm 3 η ύλη είναι οµοιόµορφη και αποτελεί πλάσµα n, p, e και ίσως µ αν η ενέργεια Fermi των ηλεκτρονίων είναι µεγαλύτερη της m µ c 2 = MeV ). Αν είναι ρ 2ρ 0 ϐρισκόµαστε στον εξωτερικό πυρήνα του αστέρα νετρονίων και η 30

31 1.5 Άπειρη πυρηνική ύλη 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ύλη µας ονοµάζεται npeµ. Το πρόβληµα που αναδεικνύεται στην πιο γενική περίπτωση µπορεί να διατυπωθεί ως εξής: Αναζητούµε τη ϑεµελιώδη κατάσταση της ύλης που αποτελείται από αδρόνια και λεπτόνια. Εχουµε δύο διατηρήσιµα ϕορτία τα οποία µπορούν να καθοριστούν ελαχιστοποιώντας την ενέργεια της κατάστασης. Το ηλεκτρικό ϕορτίο που είναι µηδενικό και το ϐαρυονικό ϕορτίο A b. Αφού ορίσουµε τη Χαµιλτονιανή του συστήµατος και τον όγκο του πρέπει να υπολογίσουµε µία κατάσταση µε ελάχιστη ενέργεια ανά ϐαρυόνιο, η οποία εξαρτάται µόνο από την αριθµητική πυκνότητα των ϐαρυονίων n b = A b V. Για ρ 2ρ 0 ϐρισκόµαστε στον εσωτερικό πυρήνα του αστέρα όπου η δοµή και η σύνθεση της ύλης είναι αρκετά αβέβαιες. Υπάρχουν µοντέλα που προβλέπουν ανοµοιογενή ύλη µε συµπυκνώ- µατα π και Κ και περιοδική δοµή, πλάσµα quark, ακόµα και συνδυασµό διαφορετικών ϕάσεων σε ϑερµοδυναµική ισορροπία µε κάποια αναλογία που καθορίζεται από την πίεση. Εµείς εδώ ενδιαφερόµαστε για την περίπτωση που η ύλη αποτελείται µόνο από πρωτόνια και νετρόνια, δηλαδή πυρηνική ύλη. Οποιαδήποτε πολυσωµατιδιακή ϑεωρία για τον αστέρα νετρονίων πρέπει να αναπαράγει τα εµπειρικά δεδοµένα για την πυρηνική ύλη. Ως πυρηνική ύλη εννοούµε ουσιαστικά το υλικό των ϐαριών ατοµικών πυρήνων, αλλά σε µια πιο αυστηρή προσέγγιση ϑα ϑεωρήσουµε το εξιδανικευµένο, άπειρο και οµοιόµορφο σύστηµα νουκλεονίων στο οποίο η ηλεκτροµαγνητική αλληλεπίδραση έχει απενεργοποιηθεί. Η πυρηνική ύλη προκύπτει µε ϕυσικό τρόπο στο Μοντέλο Υγρής Σταγόνας 16 για E Coul = 0 και στο όριο A. Το µοντέλο αυτό επιχειρεί να εκφράσει τη µάζα ενός πυρήνα M A ή ισοδύναµα την ενέργειά του E A συναρτήσει µόνο του µαζικού αριθµού A και του ατοµικού αριθµού Z. Η ενέργεια ανά νουκλεόνιο E σε αυτό το όριο εξαρτάται µόνο από τις αριθµητικές πυκνότητες των πρωτονίων και των νετρονίων, n p και n n αντίστοιχα. Αν είναι n b η πυκνότητα των ϐαρυονίων και ορίσουµε την παράµετρο ασυµµετρίας δ = n n n p ) /n b τότε ϑα ισχύει n n = 1+δ)n b 2 και n p = 1 δ)n b ) Οι πυρηνικές δυνάµεις είναι συµµετρικές ως προς το ηλεκτρικό ϕορτίο, εποµένως δε ϑα επηρεαστούν αν αλλάξουµε τα πρωτόνια µε νετρόνια και αντίστροφα. Αυτό συνεπάγεται ότι E n b, δ) = E n b, δ). Αν δ = 0 έχουµε ίδιο αριθµό πρωτονίων και νετρονίων, δηλαδή συµµετρική πυρηνική ύλη, ενώ αν δ = 1 έχουµε καθαρά ύλη νετρονίων, η πιο ακραία αντισυµµετρική ύλη. Οποιαδήποτε άλλη ενδιάµεση τιµή µεταξύ του 1 και του -1 µας δίνει ένα µέτρο για την ασυµµετρία της πυρηνικής ύλης σε µια γενική περίπτωση, αν και στην πράξη είναι αδύνατον να έχουµε δ = 1 λόγω την απωστικής ηλεκτρικής δύναµης µεταξύ των πρωτονίων και της Απαγορευτικής Αρχής του Pauli. Η Αρχή του Pauli απαγορεύει στην πράξη και την περίπτωση δ = 1, εποµένως µια καλύτερη πρώτη προσέγγιση για τον αστέρα νετρονίων είναι αυτή των δύο συστατικών αντί του ενός, µε τα πρωτόνια να κατέχουν ένα µικρό ποσοστό των νουκλεονίων. Η περίπτωση της συµµετρικής πυρηνικής ύλης είναι αρκετά απλή και χρησιµεύει ως καλή προσέγγιση των ϐαρέων ατοµικών πυρήνων. Για ϑετικό δ 1 τα ϕαινόµενα ασυµµετρίας εκδηλώνονται ως τετραγωνική εξάρτηση από το δ, λόγω της συµµετρίας ϕορτίου των πυρηνικών δυνάµεων, και προκύπτουν από ένα µικρό σπάσιµο της συµµετρίας στην αλληλεπίδραση νουκλεονίου-νουκλεονίου ΝΝ και τη διαφορά στις µάζες του νετρονίου και του πρωτονίου. Μπορούν να µη ληφθούν υπόψιν ή να ϑεωρηθούν ως διορθώσεις στον κύριο όρο µε δ = Ενα άλλο χαρακτηριστικό των πυρηνικών δυνάµεων που οφείλεται στην πεπερασµένη και µικρή εµβέλειά τους είναι ο συνεπαγόµενος κορεσµός των πυρηνικών συστηµάτων, άπειρων ή πεπερασ- µένων. Η έλξη για ενδιάµεσες αποστάσεις, η ισχυρή άπωση στις µικρές αποστάσεις και η επιπρόσ- ϑετη άπωση από την Αρχή του Pauli έχουν ως αποτέλεσµα ότι όσα νουκλεόνια και αν προστεθούν στο σύστηµα, η πυκνότητα του κεντρικού σηµείου του ρ c ϑα παραµένει σταθερή. Ετσι η ακτίνα του συστήµατος µεταβάλλεται ως R = r 0 A 1 /3, µε σταθερό r fm, και ο όγκος του είναι ανάλογος του αριθµού των νουκλεονίων. Από εδώ προκύπτει και η κύρια συνεισφορά στην ενέργεια του συστήµατος, ο όρος όγκου που αναφέραµε στην προηγούµενη ενότητα. ιαιρώντας µε τον όγκο του συστήµατος προκύπτει η ενεργειακή πυκνότητα κορεσµού ε 0 = E A V = σταθ.. Ενδεικτικά, και σύµφωνα µε όσα αναλύθηκαν για τους υπόλοιπους όρους της πυρηνικής ενέργειας-µάζας στην 16 ϐλ. ενότητα 1.4.3) 17 τυπικά είναι δ για τους πυρήνες στη Γη και είναι λογικό να επιλεγεί για αυτήν την περίπτωση µια προσέγγιση αναπτύγµατος γύρω από την τιµή δ = 0, κάτι που σε καµία περίπτωση δε µπορεί να γίνει στους αστέρες νετρονίων. 31

32 1.5 Άπειρη πυρηνική ύλη 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ προηγούµενη ενότητα, αγνοώντας τους όρους Ϲεύγους, ο ηµιεµπειρικός τύπος µάζας δίνει [ ) ] 2 M A A, Z) c 2 4 N Z = A 3 πr3 0ε 0 + a A + 4πr 2 A 0A 2 /3 ε S + 3 e 2 Z 2 5 r 0 A 1 /3 1.41) Παρατηρούµε ότι ο όρος όγκου µπορεί να γραφεί ως σταθερή ενεργειακή πυκνότητα)*όγκος) και στο όριο A είναι αυτός που επιβιώνει µαζί µε τον όρο συµµετρίας δεύτερος όρος στην αγκύλη). Προφανώς και για τη συµµετρική ύλη ο δεύτερος όρος απαλείφεται κι αυτός. Για την αποφυγή σύγχυσης των διαφόρων ενεργειών δίνουνται στον Πίνακα 4) συγκεντρωτικά τα διάφορα σύµβολα που χρησιµοποιούνται σε αυτήν την εργασία και η ϕυσική σηµασία που τους αποδίδεται. Σύµβολο Φυσική σηµασία Σχέσεις E A = M A c 2 ενέργεια ηρεµίας πυρήνα µε A-νουκλεόνια E A = A Mc 2 E B E = E ε A/A ενέργεια ανά n = E A/V A/V = E νουκλεόνιο και E = Mc 2 B E = E Mc 2 ενέργεια ανά νουκλεόνιο E = ε n Mc2 χωρίς µάζα ηρεµίας) και E = B E B πυρηνική ενέργεια E B = A Mc 2 M A c 2 σύνδεσης = AM M A ) c 2 > 0 B = E B/A ενέργεια σύνδεσης ανά νουκλεόνιο B = Mc 2 E = E > 0 ε = E A/V ενεργειακή ε = n Mc 2 n B = n E πυκνότητα και ε = M A V c 2 = ρc 2 Mc 2 νουκλεονική ενέργεια ηρεµίας Mc 2 = E E = E + B Table 4: Ενεργειακά σύµβολα, η ϕυσική τους σηµασία και εµπλεκόµενες σχέσεις. Με ρ συµβολί- Ϲουµε την πυκνότητα µάζας και µε n την αριθµητική πυκνότητα, ενώ M m n m p είναι η µάζα ενός νουκλεονίου και M A ενός πυρήνα µε A νουκλεόνια. Πυκνότητα, αριθµητική πυκνότητα και κυµατοδιάνυσµα Fermi στον κορεσµό : Η ενέργεια ανά νουκλεόνιο σε ένα σύστηµα, η αριθµητική πυκνότητα των νουκλεονίων και η πίεση του συστή- µατος συνδέονται µε τη σχέση de P = n b 1.42) dn b Στην Εικόνα 1.20) ϐλέπουµε ότι το ελάχιστο ευσταθής ισορροπία) των καµπυλών E n b ) για τη συµµετρική πυρηνική ύλη αντιστοιχεί σε µια δέσµια κατάσταση ισορροπίας µε µηδενική πίεση. Η πυρηνική ύλη παραµένει σε αυτήν την κατάσταση αν δε διαταραχθεί απο εξωτερικά αίτια. Οι τιµές της E και της n b σε αυτό το σηµείο ϐασιζόµενες σε ένα πλήθος πειραµατικών δεδοµένων πεπερασµένων πυρήνων για την τιµή της ε 0 και αναπτύσσοντας είναι 18 και E 0 = ε 0 n 0 = 16 MeV n 0 = 0.16 fm 3 οι οποίες αναφέρονται ως πυρηνική ενέργεια κορεσµού ανά νουκλεόνιο και αριθµητική πυκνότητα κορεσµού 19 αντίστοιχα. Στην αριθµητική πυκνότητα κορεσµού αντιστοιχεί η πυκνότητα µάζας) κορεσµού ρ 0 = n 0 M = g/cm 3 όπου M = g είναι η νουκλεονική µάζα. Επειδή για εκφυλισµό spin και isospin γ = 4, είναι ˆ kf d n 0 = γ k 0 2π) 3 = 2k3 F 3π 2 18 Μια πιο ακριβής επιλογή για αυτές τις παραµέτρους είναι E 0 = 16.3 MeV και n 0 = fm 3 19 ο δείκτης 0 ϑα αναφέρεται στα αντίστοιχα ϕυσικά µεγέθη στον κορεµό από εδώ και πέρα, εκτός κι αν δηλώνεται το αντίθετο 32

33 1.5 Άπειρη πυρηνική ύλη 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ στον κορεσµό αντιστοιχεί και το κυµατοδιάνυσµα Fermi µε τιµή k F = 1.33 fm 1 Η ϑετική ενέργεια σύνδεσης ανά νουκλεόνιο 20 B A, δ) για ένα δέσµιο σύστηµα A νουκλεονίων όταν δ 0 και υπό µηδενική πίεση δεν έχει τη µέγιστη τιµή της B 0. Η µέγιστη ενέργεια σύνδεσης ανά νουκλεόνιο B 0 = E 0 = +16 MeV επιτυγχάνεται στο όριο A, δ 0 και ϑεωρώντας E Coul = 0. Μη αρνητική πίεση υπάρχει για τις µη-στικτές γραµµές και η συµµετρική ύλη είναι συµπιεσµένη σε πυκνότητες n b > n 0. Στο προαναφερθέν όριο επιτυγχάνεται επίσης n n 0. Εποµένως η B 0 είναι η ενέργεια σύνδεσης ανά νουκλεόνιο στο σηµείο κορεσµού. Σηµειώνουµε πως µε όρους καταστατικής εξίσωσης όπου και εµπλέκεται η ενεργειακή πυκνότητα ε έχουµε για την κορεσµένη πυρηνική ύλη B 0 = ε 0 n 0 M και για νουκλεονική µάζα σε ϕυσικές µονάδες M = MeV = fm 1 ϐρίσκουµε την ενεργειακή πυκνότητα κορεσµού ε 0 = MeV /fm 3 Οι τιµές n 0 και B 0 µας ϐοηθούν να περιορίσουµε το σύνολο των πιθανών καταστατικών εξισώσεων 21 καθώς δένουν την καµπύλη της ε n) στο σηµείο B 0, n 0 ), όπως ϕαίνεται και στο διάγραµµα της Εικόνας 1.20). Περαιτέρω περιορισµό της καταστατικής εξίσωσης τουλάχιστον για τη γειτονιά αυτού του σηµείου µπορούµε να επιτύχουµε αν γνωρίζουµε την κλίση της καµπύλης και την καµπυλότητά της, δηλαδή την πρώτη και δεύτερη παράγωγο της ε n). Ενέργεια συµµετρίας και παράµετρος συµπιεστότητας : Για τους ατοµικούς πυρήνες που συναντάµε στη Γη η παράµετρος συµµετρίας δ είναι γενικά αρκετά µικρή, όπως και ο λόγος n b n 0 ) /n 0. Ετσι µπορούµε να αναπτύξουµε την E n b, δ) ως προς όρους του δ και να κρατήσουµε µέχρι δεύτερης τάξης. Επίσης µπορούµε να παραλείψουµε και τον όρο ασυµµετρίας E a δ επειδή είναι πολύ µικρός και να καταλήξουµε στη σχέση ) 2 E n b, δ) E 0 + S 0 δ 2 nb n 0 + K ) n 0 όπου S 0 = a A είναι η ενέργεια συµµετρίας a A η σταθερά του ηµιεµπειρικού τύπου µάζας, σχέση 1.41)) και K 0 η παράµετρος συµπιεστότητας, που ορίζονται ως S 0 = 1 2 ) E 2 δ ) n b =n 0, δ=0 και K 0 = [ ] k 2 2 E k 2 = 9 n 2 2 ) E b k=k F, δ=0 n 2 b n b =n 0, δ=0 1.45) 20 στην προηγούµενη παράγραφο συµβολίσαµε µε E B την ενέργεια σύνδεσης όλου του πυρήνα. Με B συµβολίζουµε την ενέργεια σύνδεσης ανά νουκλεόνιο. 21 επίσης µας επιτρέπουν να ϱυθµίσουµε δύο σταθερές σύζευξης στη ϑεωρία RMF ϐλ. Κεφάλαιο 4)) 33

34 1.5 Άπειρη πυρηνική ύλη 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Figure 1.20: Ενέργεια ανά νουκλεόνιο συναρτήσει της ϐαρυονικής αριθµητικής πυκνότητας για συµµετρική πυρηνική ύλη δ = 0, ασύµµετρη πυρηνική ύλη µε δ = 0.4 σηµείο κόρου των νετρονίων στους ϕλοιούς των αστέρων νετρονίων και κεντρικός πυρήνας ενός πρωταστέρα νετρονίων) και κα- ϑαρά νετρονική ύλη µε δ = 1. Το ελάχιστο των καµπυλών της ενέργειας E n b ) δίνεται στο κοµµάτι των µη-στικτών γραµµών, ενώ οι στικτές γραµµές αντιστοιχούν σε αρνητική πίεση και δεν παρουσιά- Ϲουν ϕυσικό ενδιαφέρον. Προκύπτει n 0 = 0.16 fm 3 και E 0 = 16.0 MeV Η ενέργεια συµµετρίας S 0 δίνει την κλίση την E n b ) στην πυκνότητα κορεσµού καικαθορίζει την αύξηση στην ενέργεια ανά νουκλεόνιο λόγω µιας µικρής ασυµµετρίας δ. Η παράµετρος συµπιεστότητας K 0 δίνει την καµπυλότητα της E n b ) στην πυκνότητα κορεσµού και σχετίζεται µε την αύξηση της ενέργειας ανά νουκλεόνιο λόγω µιας µικρής συµπίεσης ή αραίωσης της συµµετρικής πυρηνικής ύλης. Οσο µεγαλύτερη είναι η τιµή της, τόσο πιο απότοµη είναι η αύξηση της E για αύξηση της n b. Καταστατικές εξισώσεις µε µεγάλη K 0 χαρακτηρίζονται ως σκληρές καθώς είναι δυσκολότερο να συµπιεστούν, ενώ για τους αστέρες νετρονίων επιτρέπουν µεγαλύτερη τιµή της µέγιστης µάζας τους M max. Στην αντίθετη περίπτωση µιλάµε για µαλακή καταστατική εξίσωση και ο αστέρας µας δε σηκώνει πολύ µάζα. Οι τιµές των B 0, n 0, S 0, K 0 µπορούν να καθοριστούν από πειραµατικές µετρήσεις πυρηνικών µαζών. Οι αβεβαιότητες που υπάρχουν για τις ακριβείς τιµές αυτών των µεγεθών οφείλονται στη µη ακριβή αναπαραγωγή όλων των πειραµατικών δεδοµένων από τον ηµιεµπειρικό τύπο µάζας. Από τα παραπάνω µεγέθη σχετικά καλά καθορισµένα είναι η ενέργεια σύνδεσης ανά νουκλεόνιο και η πυκνότητα κορεσµού. Η ενέργεια συµµετρίας είναι η πιο αβέβαιη από όλες τις παραµέτρους γιατί υπάρχει δυσκολία να ξεχωρίσουµε τον όρο όγκου από τον επιφανειακό όρο στον τύπο της ενέργειας σύνδεσης, εποµένως έχουµε S 0 = 32 ± 6 MeV. Για τον καθορισµό της παραµέτρου συµπιεστότητας είναι λίγο πιο περίπλοκα τα πράγµατα. Για παράδειγµα, από αναλύσεις γιγάντιων ισοβαθµωτών µονόπολικών τρόπων ταλάντωσης συλλογική κίνηση τύπου αναπνοής ) σε ϐαρείς πυρήνες προκύπτει K 0 = 210 ± 30 MeV. Για πιο πρόσϕατες αναλύσεις συντονισµών σε γιγάντια µονόπολα 90 Zr, 116 Sn, 144 Sm, 208 P b που διεγείρονται µε ανελαστικές α-σκεδάσεις έχουµε K 0 = 231 ± 5 MeV. Αυτή η µέτρηση είναι συνεπής και µε έναν υπολογισµό µε K MeV µέσω ενός ϕαινοµενολογικού µοντέλου Thomas-Fermi για µέτρηση πυρηνικών µαζών και διάχυσης της πυρηνικής επιφάνειας. Ενεργός ϕαινόµενη) µάζα : Η τελευταία παράµετρος που ϑα χρειαστούµε είναι η ϕαινό- µενη µάζα effective mass) m. Ας υποθέσουµε ότι έχουµε ένα κουτί, που περιέχει µια συλλογή σωµατιδίων που αλληλεπιδρούν µεταξύ τους. Αυτό το κουτί ϑα µπορούσε να περιέχει κλασικά 34

35 1.5 Άπειρη πυρηνική ύλη 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ µακροσκοπικά σώµατα, έστω µικρές σϕαίρες, να είναι ένας κρύσταλλος στερεού, ο οποίος αποτελείται από πυρήνες και ηλεκτρόνια που αλληλεπιδρούν µέσω της δύναµης Coulomb, ή ένα πυρηνικό µέσο, ένας πυρήνας ή µια κουταλιά αστέρα νετρονίων, που αποτελείται από νουκλεόνια που αλληλεπιδρούν µέσω της ισχυρής δύναµης για απλότητα παραβλέπουµε την ασθενέστερη άπωση Coulomb των πρωτονίων, αλλά τα όσα ϑα αναφέρουµε εδώ ισχύουν ανάλογα και για αυτήν). Εχουµε σε κάθε περίπτωση να λύσουµε ένα πρόβληµα πολλών σωµάτων. Η αλληλεπίδραση όµως των σωµάτων δίνει στο αντίστοιχο δυναµικό και την κυµατοσυνάρτηση του συστήµατος εξάρτηση από τις ϑέσεις των σωµάτων και πιο συγκεκριµένα από τρεις χωρικές µεταβλητές για το καθένα. Ετσι αν έχουµε ένα κλασικό σύστηµα N-σωµάτων πρέπει να λύσουµε 3 N συζευγµένες διαφορικές εξισώσεις 2ος Νόµος του Νεύτωνα), ή για N κβαντικά σωµατίδια, πρέπει να λύσουµε την εξίσωση του Scrödinger, µια διαφορική εξίσωση µερικών παραγώγων, στις 3 N διαστάσεις, κάτι που µας στερεί κάθε ελπίδα για έναν αναλυτικό υπολογισµό. Μπορούµε όµως να εγκαταλείψουµε την προσπάθεια για εύρεση της πολύπλοκης µορφής του δυναµικού και της εξελισσόµενης κυµατοσυνάρτησης του συστήµατος, και να ακολουθήσουµε µία προσέγγιση κατά την οποία τα σωµατίδια δεν αλληλεπιδρούν µεταξύ τους. Αυτό επιτυγχάνεται ϑεωρώντας ένα µέσο πεδίο και αντίστοιχα ένα µέσο δυναµικό εντός του οποίου κινούνται ανεξάρτητα σωµατίδια. Η µαθηµατική απλότητα σε αυτήν την περίπτωση δε συγκρίνεται µε τον αναλυτικό υπολογισµό. Προφανώς και αναµένουµε οι ανεξάρτητες και αποσυζευγµένες κινήσεις αυτών των σωµατιδίων να είναι διαφορετικές από τις αντίστοιχες που ϑα είχαν στην περίπτωση που κινούνταν στο κενό. Στην κλασική µηχανική η κίνηση στο κενό ενός ανεξάρτητου σωµατιδίου είναι µια ευθεία στον αντίστοιχο µετρικό χώρο, και στην κβαντική µηχανική είναι µια υπέρθεση επίπεδων κυµάτων. Οταν όµως η κίνηση πραγµατοποιείται σε ένα µέσο, τότε αυτό µεταβάλλει τα χαρακτηριστικά της κίνησης. Μπορούµε λοιπόν να συνεχίσουµε να αγνοούµε τις πραγµατικές αλληλεπιδράσεις των πραγµατικών σωµατιδίων και να ϕανταστούµε ότι δίνουν τη ϑέση τους σε ψευδοσωµατίδια µέσα στο κουτί 22 που έχουν τροποποιηµένη µάζα, τη λεγόµενη ενεργό µάζα. Συνήθως αν έχουµε να κάνουµε µε µποζόνιο, προτιµούµε αντί για τη ϑεώρηση ψευδοσωµάτιου να αναφερθούµε σε συλλογικές διεγέρσεις 23. Ενα παράδειγµα είναι τα ϕωνόνια, τα κβάντα του ηχητικού πεδίου µέσω των οποίων διαδίδονται µηχανικές διαταραχές σε ένα µέσο µε τη µορφή κυµάτων. Τα ϕωνόνια προκαλούν τα επιµέρους ϕερµιόνια στο κουτί µας να πραγµατοποιήσουν ταλαντώσεις σε πρώτη προσέγγιση αρµονικές) γύρω από τις ϑέσεις ισορροπίας τους, αλλά το πολυσωµατιδιακό σύστηµα µπορεί να παρουσιάζει συλλογικά ϕαινόµενα, λόγω σύζευξης των επιµέρους κινήσεων µεταξύ τους, και συνεπώς αποµάκρυνση από την αρµονική συµπεριφορά. ύναται έτσι να διαδοθούν διάφορες διαταραχές στο µέσο, όπως δονήσεις τύπου αναπνοής και επι- ϕανειακά κυµάτα. Υπενθυµίζουµε ότι γενικά τα µποζόνια λόγω της στατιστικής που υπακούουν τείνουν να ϐρεθούν στην ίδια ιδιοκατάσταση και να κατασκευάσουν πεδία δυνάµεων µακροσκοπικά, αποµακρυνόµενα έτσι από τη σωµατιδιακή εικόνα και χρίζοντας πιο δόκιµη µια κυµατική περιγραφή για το σύνολο. Αντιθέτως τα ϕερµιόνια που υπακούν στην απαγορευτική αρχή του Pauli µελετώνται καλύτερα ως σωµατίδιακβάντα) ή ψευδοσωµατίδια σε µέσο. Αφού ενδιαφερόµαστε για την άπειρη πυρηνική ύλη και συγκεκριµένα για τους αστέρες νετρονίων όπου η ύλη ϐρίσκεται στη ϑεµελιώδη της κατάσταση, οι συλλογικές διεγέρσεις δε ϑα µας απασχολήσουν ιδιαίτερα εκτός από τις πιο χαµηλές, στις οποίες ϐασίζεται ο ορισµός της ενεργού µάζας. Η ύπαρξη αυτών των συλλογικών διεγέρσεων στο σύστηµα µπορεί να αντιστοιχηθεί σε ψευδοσωµατίδια µε αριθµητική πυκνότητα πολύ µικρότερη της n b, τα οποία έχουν ορµή k και ενέργεια ε k. Αν είναι N ε ο αριθµός των ενεργειακών καταστάσεων κάτω από µια ενέργεια E, τότε η πυκνότητα αυτών των καταστάσεων ανά µοναδιαίο ενεργειακό διάστηµα και ανά όγκο) και dn ε dε = 2mk π 2 2 Θεωρώντας ότι οι ενεργειακές καταστάσεις είναι εκφυλισµένες ως προς το spin και το isospin, η παραπάνω σχέση υπολογιζόµενη για µια σϕαιρική επιφάνεια Fermi δηλαδή µέχρι ενέργειες ε F ή ισοδύναµα ορµές k F ) και για κορεσµένη και συµµετρική ύλη είναι ) dnε dε ε=ε F = 2m k F π π.χ. ηλεκτρόνια σε ένα κρυσταλλικό πλέγµα ή νουκλεόνια σε έναν πυρήνα 23 η διάκριση ψευδοσωµάτιου και συλλογικών διεγέρσεων δεν είναι πάντα ξεκάθαρη και δεν υπάρχει απόλυτη συµφωνία στην επιστηµονική κοινότητα 35

36 1.5 Άπειρη πυρηνική ύλη 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ όπου ϐλέπουµε πως εµπλέκεται η ενεργός µάζα m. Οι παραπάνω δύο σχέσεις είναι µη-σχετικιστικές, και η δεύτερη οριακή περίπτωση για k k F αναφέρεται και ως ενεργός µάζα Landau. Ουσιαστικά η m παραµετροποιεί την εξάρτηση του δυναµικού ενός σωµατιδίου single-particle potential) από την ορµή k και µπορεί να υπολογιστεί από τη σχέση ) dεk dk k=k F = 2 k F m 1.46) Πολλές ϕορές αναφέρεται στη ϐιβλιογραφία και η ενεργός µάζα Dirac m D και ϑα πρέπει να δωθεί η απαραίτητη προσοχή για τη διάκρισή τους. Η m D σε αντίθεση µε την m παραπάνω, έχει σχετικιστική προέλευση. Ορίζεται µέσω του ϐαθµωτού µέρους της ιδιο-ενέργειας Σ s του νουκλεονίου που αντιστοιχεί στην επίδραση του µέσου σε αυτό. Στην εξίσωση πεδίου του Dirac αυτή η ενέργεια απορροφάτε στην m D : m D k, k F ) = M + RΣ s k, k F ) Είναι οµαλή συνάρτηση της k όπως ϕαίνεται και στην Εικόνα 1.21). Η µη-σχετικιστική µάζα από την άλλη δεν είναι και τόσο οµαλή. Αυτό οφείλεται στο ότι προκύπτει ως γινόµενο δύο όρων, της m k και της m E, οι οποίοι ονοµάζονται k µάζα και E µάζα αντίστοιχα, και προκύπτουν από τη µη-τοπικότητα non-locality) του δυναµικού ενός σωµατιδίου. Για την ακρίβεια η m είναι ένα µέτρο αυτής της µη τοπικότητας του δυναµικού, ενώ η m k και m E εκφράζουν τη χωρική και τη χρονική µη-τοπικότητα αντίστοιχα. Αυτό µπορούµε να το δούµε αν γράψουµε τη σχέση διασποράς στην προσέγγιση του ψευδοσωµατιδίου και σε συνδυασµό µε τη 1.46) παίρνουµε 24 E = k2 2M + RU m = 1 M + 1 d k d RU ) k, ω k ενώ για τις k µάζα και E µάζα ϑεωρώντας αντίστοιχα παραγωγίσεις ως προς σταθερή ενέργεια και σταθερή ορµή στις δύο παρακάτω σχέσεις) είναι και τελικά [ m k k) M = 1 + M k [ m E ω) M = 1 m k) M 24 υπενθυµίζουµε ότι E = ω στις ϕυσικές µονάδες όπου = 1 ] 1 U k, ω) k ] U k, ω) ω = m k k) m E ω) M M 36

37 1.6 Supernovae και δηµιουργία αστέρα νετρονίων 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Figure 1.21: ιάγραµµα ενεργού µάζας συναρτήσει της ορµής. Ενεργός µάζα Dirac m D κόκκινη στικτή γραµµή), µη σχετικιστική ενεργός µάζα m µπλε διακεκοµµένη µε τελείες), k µάζα µπλε συµπαγής) και E µάζα µπλε διακεκοµµένη). [ ] Παρατηρούµε ότι η k µάζα είναι οµαλή συνάρτηση του k, ενώ η E µάζα σχηµατίζει ένα αρκετά έντονο µέγιστο. Αυτό οφείλεται σε ϕαινόµενα σκεδάσεων off-shell λίγο πάνω από την επιφάνεια Fermi και συνεπώς ισχυρή εξάρτηση από την ορµή σε αυτήν την περιοχή. Στην εργασία µας από εδώ και πέρα ϑα χρησιµοποιήσουµε τη µη-σχετικιστική m για k k F, δηλαδή τη µάζα Landau. Συνοπτικά Οι πέντε παράµετροι που χρειαζόµαστε για να περιορίσουµε την καταστατική εξίσωση της πυρηνικής ύλης παρουσιάζονται στον Πίνακα 5) Παράµετρος n 0 B 0 K 0 S 0 m Τιµή±Αβεβαιότητα 0.16 ± 0.01 fm ± 1.0 MeV 231 ± 5 MeV 32 ± 6 MeV 0.8 MeV Table 5: Τιµές παραµέτρων πυρηνικής ύλης και οι αβεβαιότητές τους 1.6 Supernovae και δηµιουργία αστέρα νετρονίων Οι ελαφροί αστέρες συντήκουν υδρογόνο προς ήλιο, και αργότερα κάποιοι και το ήλιο. Οταν αρχίζει η καύση του ηλίου σε µεγαλύτερες ϑερµοκρασίες, ο αστέρας έχει διασταλλεί και ϐρίσκεται στο στάδιο του κόκκινου γίγαντα. Ενα άστρο που έχει µάζα M > 4M συνεχίζει τις συντήξεις στοιχείων στο ϕλοιό του µέχρι το τέλος της αλυσίδας πυρηνοσυνθέσεων, δηλαδή τη δηµιουργία του σταθερότερου πυρήνα, του πυρήνα µε την µέγιστη ενέργεια σύνδεσης ανά νουκλεόνιο, το σίδηρο 56 F e. Κάθε στάδιο πυρηνοσύνθεσης δηµιουργεί και ένα σϕαιρικό στρώµα στον αστέρα καθορισ- µένης χηµικής σύστασης που αποτελείται από ένα είδος πυρήνα, καθώς τα στοιχεία µεγαλύτερου ατοµικού ϐάρους κινούνται λόγω της ϐαρύτητας προς το εσωτερικό. Προφανώς και το ϐαρύτερο 37

38 1.6 Supernovae και δηµιουργία αστέρα νετρονίων 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ στοιχείο είναι ο σίδηρος, ο οποίος ϑα πρέπει να καταλαµβάνει την κεντρική περιοχή του αστέρα, τον πυρήνα του. Η εξάντληση των ελαφρότερων στοιχείων που είναι διαθέσιµα για εξώθερµες πυρηνικές συντήξεις στερεί κάποια στίγµη από τον αστέρα την απαραίτητη ϑερµική πίεση που χρειάζεται για να αντισταθεί στη ϐαρυτική του κατάρρευση. Αν η µάζα στα τελευταία στάδια καύσεων του αστέρα είναι µικρότερη από 8M, τότε ο αστέρας ϑα διαλυθεί µε µία έκρηξη supernova τύπου-ι, χωρίς να αφήσει κάποιο αστρικό κουφάρι πίσω του. Αν όµως υπερβαίνει τις 8M, τότε ϑα προκλη- ϑεί έκρηξη supernova τύπου-ιι, που ϑα αποτινάξει τα εξωτερικά του στρώµατα, ενώ ο κεντρικός πυρήνας ϑα δηµιουργήσει έναν αστέρα νετρονίων ή µια µαύρη τρύπα. Και οι δύο τύποι υπερκαινοφανών ερµηνεύουν τις αναλογίες των στοιχείων στο σύµπαν από το Οξυγόνο µέχρι το Σίδηρο, οι οποίες απαιτούν την εκρηκτική νουκλεοσύνθεση διαδικασία-r, r-process) πέρα από αυτήν που γίνεται στο εσωτερικό των αστέρων κατά τα στάδια Ϲωής της κύριας ακολουθίας. Επίσης είναι υπεύθυνοι για τα πλούσια σε νετρόνια ϐαρύτερα στοιχεία που ϐρίσκονται µετά το 56 F e στον περιοδικό πίνακα. Είναι προφανές ότι στην παρούσα εργασία µας ενδιαφέρουν οι supernovae τύπου-ιι, τους οποίους αναπτύσσουµε σχετικά συνοπτικά σε αυτό το µέρος. Στην Εικόνα παρουσιάζεται και εξηγείται συνοπτικά τα ϕυσικά στάδια προς την έκρηξη supernova. Παρακάτω αναπτύσσουµε ένα µόντελο που οδηγεί στη δηµιουργία αστέρα νετρονίων. Figure 1.22: Στο εσωτερικού ενός µαζικού αστέρα στα τελευταία στάδια της εξέλιξής του a) στα διάφορα στρώµατά του πραγµατοποιείται σύντηξη, που σχηµατίζει έναν πυρήνα 56 F e b) ο οποίος ϕτάνει στο όριο µάζας Chandrasekhar και αρχίζει να καταρρέει. Το εσωτερικό µέρος του πυρήνα συµπιέζεται, νετρονιοποιείται και σκληραίνει c), προκαλώντας το υλικό που πέφτει προς τα µέσα να αναπηδήσει d) και σχηµατίζεται ένα διαδιδόµενο προς τα έξω ωστικό κύµα κόκκινα ϐέλη). Το κύµα αρχίζει να επιβραδύνει e), αλλά ξαναεπιταχύνεται µε αντιδράσεις που εµπεριέχουν νετρίνα. Τα περιβάλλοντα στρώµατα αποτινάζονται ϐίαια f), αφήνοντας µόνο ένα αποµεινάρι εκφυλισµένης ύλης στην κεντρική περιοχή Supernova τύπου-ιι προς δηµιουργία αστέρα νετρονίων Οι ϕυσικοί υπολογισµοί αστρικής εξέλιξης για µάζες 10 MM 70 συγκλίνουν ως προς ένα χαρακτηριστικό. Παρουσιάζεται σε όλους τους αστέρες ένας πυρήνας 56 F e περίπου 1.5M ο οποίος γίνεται ϐαρυτικά ασταθής. Οι καµπύλες ϕωτός που λαµβάνουµε από τις εκρήξεις supernovae µοντελοποιούν µια αυθόρµητη απελευθέρωση ενέργειας E τάξης µεγέθους erg από το ϕλοιό του κόκκινου γίγαντα. Αυτή η ενέργεια είναι δύο τάξεις µεγέθους µικρότερη από τη ϐαρυτική ενέργεια σύνδεσης E B που εκλύεται κατά την κατάρρευση της µάζας του πυρήνα και τη συρρίκνωσή της στην ακτίνα ενός αστέρα νετρονίων: E B GM cor 2 ) 2 ) 1 R = 3 Mcor R 1053 erg 1.47) M 10km 38

39 1.6 Supernovae και δηµιουργία αστέρα νετρονίων 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ όπου G είναι η παγκόσµια ϐαρυτική σταθερά, M cor η µάζα του υπό κατάρρευση πυρήνα και R η αρχική του ακτίνα. Η ακριβής µελέτη και πρόβλεψη όλου του ϕαινοµένου παρουσιάζει αρκετές δυσκολίες, λόγω τις πολύπλοκης διάδρασης µεταξύ των υδροστατικών και ϐαρυτικών δυνάµεων παγκόσµιες) και των µετακινήσεων νετρίνων, ενώ παραµένουν µέχρι και σήµερα αβεβαιότητες για την τοπική µικρο- ϕυσική της ϑερµής και πυκνής ύλης. Σε γενικές γραµµές πάντως τα αίτια της αστάθειας του πυρήνα είναι δύο: Η µερική αποσύνθεση των πυρήνων σιδήρου αρχικά, και η διαδικασία της νετρονιοποίησης που ακολουθεί. Αρχικά ο πυρήνας σιδήρου και στοιχείων της οµάδας του σιδήρου) που δηµιουργείται αντιστέκεται στην κατάρρευσή του µέσω της πίεσης των εκφυλισµένων ηλεκτρονίων. Ο πυρήνας αυτός είναι σχετικά οµογενής και διατηρεί την ίδια ϑερµοκρασία, καθώς δηµιουργούνται µεγάλες ϑερµοβα- ϑµίδες σε αυτόν ή ϐαθµίδες εντροπίας) και µεγάλο µέρος της ϑερµότητας διαδίδεται µε µεταφορά ϱευµάτων που αναµειγνύουν το αέριο. Επειδή λοιπόν τα εκφυλισµένα ηλεκτρόνια κυριαρχούν µέσω της πίεσής τους στην καταστατική εξίσωση και ϑα κατανέµονται ως αέριο Maxwell-Boltzmann, η σχέση που συνδυάζει τον εκφυλισµό και την κλασική κατανοµή είναι: P ρ = Y ekt m B + K Γ Y Γ e ρ Γ ) όπου Y e = ne /n ο αριθµός ηλεκτρονίων ανά ϐαρυόνιο. Η σταθερά Γ είναι ο αδιαβατικός δείκτης και εξαρτάται από τους ϐαθµούς ελευθερίας των σωµατιδίων που αναφέρεται 25, ενώ το K Γ που εξαρτάται από την τιµή του αδιαβατικού δείκτη είναι σταθερά για το µη σχετικιστικό όριο Γ = 5 3 ) και το ακραία σχετικιστικό όριο Γ = 4 3 ). Για µια σϕαιρική κατανοµή µάζας M και ακτίνας R οι υδροστατικές εξισώσεις δίνουν P c ρ c GM R fgm 2 /3 ρ 1 /3 c 1.49) µε f τον παράγοντα δοµής, και το δείκτη-c να χαρακτηρίζει τα αντίστοιχα µεγέθη στην κεντρική περιοχή. Εχουµε λοιπόν µια σχέση P ρ 4 /3. Από τις 1.48) και 1.49) προκύπτει Y e kt = fgm 2 /3 ρ 1 /3 c K Γ Ye Γ ρ Γ ) m B Για µεγάλες τιµές µάζας M ο πρώτος όρος στο δεξί µέλος της παραπάνω εξίσωσης κυριαρχεί και T c ρ 1 /3 c. Για συνεχή µεταφορά µάζας στον πυρήνα οι ϑερµοκρασίες αυξάνονται σε σηµείο να µπορούν να συντήξουν οποιονδήποτε πυρήνα. Για µικρές τιµές M η κεντρική ϑερµοκρασία T c είναι δυνατόν να µηδενιστεί αν Γ > 4 3 και η πυκνότητα αυξηθεί ως την κρίσιµη critical) τιµή fgm 2/3 ρ cr = K Γ Ye Γ ) 1 Γ ) Οταν ρ < ρ cr είναι T c M 2 /3 ρ 1 /3 c, ενώ η περίπτωση ρ > ρ cr είναι αφύσικη καθώς οδηγεί σε T c < 0. Εποµένως η ρ cr είναι ένα άνω όριο στην πυκνότητα. Η κατανοµή ϑα περάσει από µία µέγιστη ϑερµοκρασία καθώς συστέλλεται και έπειτα ϑα ψυχθεί καθώς τα εκφυλισµένα ηλεκτρόνια ϑα παρέχουν την απαραίτητη στήριξη. Οι δύο τύποι συµπεριφοράς διακρίνονται από µια οριακή τιµή µάζας, τη µάζα Chandrasekhar M Ch, η οποία ϐρίσκεται ϑέτωντας T c = 0 και Γ = 4 /3 στην 1.50): M Ch = K4/3 fg ) 3/2 Y 2 e 5.83Y 2 e M 1.52) Το τελικό στάδιο καύσης είναι αυτό του πυριτίου, που απαιτεί kt 0.6m e c 2 και συνεπαγό- µενα απαιτούµενη µάζα πυρήνα M cor ίση µε M Si M Ch. Αν M cor < M Si µετά την καύση 25 λέγεται επίσης και λόγος ϑερµοχωρητικοτήτωνheat capacity ratio) µιας και εξ ορισµού είναι Γ = C P/C V όπου C P η ϑερµοχωρητικότητα υπό σταθερή πίεση και C V η αντίστοιχη υπό σταθερό όγκο. Για ιδανικό αέριο η τιµή του είναι σταθερή ως προς µεταβολές της ϑερµοκρασίας και εξαρτάται από τους ϐαθµούς ελευθερίας ν των σωµατιδίων του αερίου µεταφορικούς, περιστροφικούς, δονητικούς) ως Γ = Καταστατικές εξισώσεις µε τιµές του Γ µεγαλύτερες από άλλες ν αναφέρονται ως πιο σκληρές, ενώ αυτές µε µικρότερες ως πιο µαλακές αντίστοιχα. Η σχέση pv Γ = σταθ. δικαιολογεί κάτι τέτοιο. Άλλες ονοµασίες του αδιαβατικού δείκτη µε τις οποίες µπορεί να το συναντήσει κάποιος είναι ισεντροπικός παράγοντας διαστολής και σταθερά του Poisson. 39

40 1.6 Supernovae και δηµιουργία αστέρα νετρονίων 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ των ελαφρύτερων στοιχείων στον πυρήνα, τότε προφανώς η πυροδότηση σύντηξης του πυριτίου ϑα πρέπει να αναµένει την καύση των ελαφρότερων στοιχείων στο ϕλοιό του αστέρα για να αυξηθεί η M cor. Οταν ξεκινάει αυτό το στάδιο είναι Y e 0.42, άρα η 1.52) δίνει M cor M si 1.2 M. Αν κάποια στιγµή πιο νωρίς στην εξελικτική πορεία του άστρου επιτευχθεί M cor > M Si, η υδροστατική συστολή ϑα οδηγήσει σε ακόµα µεγαλύτερες κεντρικές ϑερµοκρασίες T c. Η ψύξη λόγω διαφυγής νετρίνων εξαρτάται από µεγάλη δύναµη της T, εποµένως γίνεται σηµαντική στο κέντρο του αστέρα, όπου και µειώνει την εντροπία του εκεί, δηµιουργώντας ϑετική ϐαθµίδα εντροπίας. Τα ϕαινόµενα επιφάνειας αναστέλλουν την αύξηση του κοµµατιού του πυρήνα στο οποίο γίνεται µεταφορά σε κάθε µεταγενέστερο στάδιο πυρηνικής καύσης, δηλαδή µειώνουν το χώρο στον οποίο γίνεται χηµική µείξη. Οι ϑερµοπυρηνικές στάχτες ϑα αποτελούν µικρότερη µάζα από τον αρχικά άκαυτο πυρήνα. Είτε η µάζα του πυρήνα είναι µεγαλύτερη από τη M Ch, είτε µικρότερη, σε κάθε περίπτωση οι ϕυσικές διεργασίες οδηγούν στην επίτευξη ισότητας των δύο όταν το υλικό είναι οι πυρήνες της οµάδας του σιδήρου. Για παράδειγµα, αν ένας αστέρας έχει µάζα 15 M, o 1.5 M πυρήνας του ϑα έχει λίγο πριν την κατάρρευση, αρχικά: T c,i K = 0.69 MeV k ρ c,i gr cm 3 Y e,i 0.42 s i k ) και ϑα προκύπτει M cor 1.5 M M Ch. Η πυκνότητα και η ϑερµοκρασία µειώνονται καθώς αποµακρυνόµαστε από το κέντρο του πυρήνα, ένω ο λόγος Y e και η εντροπία µένουν σχεδόν σταθερά η s αυξάνει ελαφρώς). Αφού η καύση του πυριτίου έρθει στο τέλος της, είναι η ώρα για τη µερική αποσύνθεση των πυρήνων σιδήρου η οποία πυροδοτεί την έναρξη της ϐαρυτικής κατάρρευσης. Αυτή η αποσύνθεση είναι ενδόθερµη, καταναλώνει πυρηνική ενέργεια σύνδεσης και ελαττώνει την πίεση. Αυτό οδηγεί σε αύξηση της πυκνότητας και κατά συνέπεια και του χηµικού δυναµικού των ηλεκτρονίων, κάτι που κάνει συµφέρουσα ενεργειακά την αρπαγή των ηλεκτρονίων από πυρήνες και πρωτόνια προς δηµιουργία νετρονίων. Και η µερική αποσύνθεση και η συνεπαγόµενη νετρονιοποίηση είναι ϕαινό- µενα που οδηγούν σε µείωση του Γ κάτω από την τιµή 4 /3 και στο αναπόφευκτο της κατάρρευσης. Η µερική αποσύνθεση είναι ουσιαστικά η αντίδραση ϕωτοαποσύνθεσης γ + 56 F e 13α + 4n 1.54) η οποία απαιτεί ενέργεια ϕωτονίου Q = 13m α + 4m n 4m F e ) c 2 = MeV. Στην παραπάνω αντίδραση ϑεωρούµε ταυτόχρονα και την αντίστροφή της, γιατί για υψηλές ϑερµοκρασίες και πυκνότητες οι ισχυρές και οι ηλεκτροµαγνητικές αλληλεπιδράσεις είναι αρκετά γρήγορες και ϐρίσκονται σε ισορροπία. Η 1.54) δίνει για τα χηµικά δυναµικά ισορροπίας µ F e = 13µ α + 4µ n. Σε αυτές τις T και ρ οι πυρήνες και τα νουκλεόνια δεν είναι εκφυλισµένα, εποµένως µπορεί να εφαρµοστεί η στατιστική Maxwell-Boltzmann [ µ i m i c 2 ] n i 2π 2 )3/2 = ln 1.55) kt g i m i kt όπου g i = 2I r + 1) e Er/kT είναι η πυρηνική συνάρτηση επιµερισµού και I r το σπιν της r- r διεγερµένης κατάστασης. Συγκεκριµένα είναι g α = 1 για σωµατίδια-α στη ϑεµελιώδη τους κατάσταση µε σπιν-0, g n = 2 αφού τα νετρόνια είναι ϕερµιόνια µε σπιν- 1 /2 και g F e 1.4 υπολογίζοντας για τον πηρήνα σιδήρου τη ϑεµελιώση του κατάσταση µε σπιν-0 και τις χαµηλότερες διεγερµένες καταστάσεις του. Η εξίσωση Saha για την αναλογία των πυρήνων στην ισορροπία, προσεγγίζοντας τις µάζες του κάθε είδους µε το ατοµικό ϐάρος m i A i m u, είναι: n 13 α n 4 n n F e = όπου m u είναι η ατοµική µονάδα µάζας ) 3 /2 1.4) mu kt 2π 2 ) 24 e Q /kt 1.56) 26 Η ατοµική µονάδα µάζας atomic mass unit - AMU) m u υπολογίζεται ως το 1/12 της µάζας του ουδέτερου ατόµου 40

41 1.6 Supernovae και δηµιουργία αστέρα νετρονίων 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Για να διασπαστούν οι µισοί πυρήνες σιδήρου για την πυκνότητα ρ c,i απαιτείται ϑερµοκρασία T K, όχι πολύ υψηλότερη από την T c,i. Για να ξεκινήσει η κατάρρευση ϑα πρέπει ο πυρήνας του άστρου να µπει σε αυτή την περιοχή ϑερµοκρασιών. Σε αυτές τις πυκνότητες και σε ελαφρώς µεγαλύτερες ϑερµοκρασίες υπάρχει αποσύνθεση και των σωµατίδιων-α, σύµφωνα µε την γ + 4 He 2p + 2n 1.57) και κατανάλωση ενέργειας ϕωτονίου Q = MeV. Συγκρίνοντας τις ενέργειες ανά σωµατίδιο για τις 1.54) και 1.57), όπου είναι αντίστοιχα N = = 16 Q/ N 7.7 MeV και N = 4 1 = 3 Q / N 9.5 MeV 1.58) συµπεραίνουµε ότι πιο εύκολα διασπώνται οι πυρήνες σιδήρου από τα σωµατίδια-α και εποµένως υπάρχει ένα διάστηµα ϑερµοκρασιών που διασπώνται οι πρώτοι αλλά όχι οι τελευταίοι. Για ρ = 10 9 gr/cm 3 η απαιτούµενη ϑερµοκρασία για αποσύνθεση του 50% των πυρήνων είναι αντίστοιχα για το κάθε είδος T = K και T = K. Ενας ϱεαλιστικός υπολογισµός σε µεγάλες πυκνότητες και ϑερµοκρασίες πρέπει να αντιµετωπίζει όλους τους πυρήνες, σταθερούς ή ασταθείς, σε πυρηνική στατιστική ισορροπία. Τυπικά έχουµε αντιδράσεις Z, A) + p Z + 1, A + 1) + γ 1.59) Z, A) + n Z, A + 1) + γ και αντιδράσεις του τύπου α, γ), α, n), α, p), p, n). Παρότι οι πυρήνες και τα νουκλεόνια προσεγγίζονται ως ιδανικό µη-σχετικιστικό αέριο που υπακούει τη στατιστική 1.55), πρέπει να ληφθούν υπόψιν και όλες οι παραπάνω αντιδράσεις, οι οποίες συνεπάγονται µόνο δύο ανεξάρτητα χηµικά δυναµικά. Επιλέγουµε αυτά να είναι τα µ p και µ n, οπότε η συνθήκη στατιστικής πυρηνικής ισορ- ϱοπίας είναι η µ Z, A) = Zµ p + A Z) µ n 1.60) H 1.55) δίνει επίσης n i = n Z, A) = g Z, A) A3 /2 2 A θ A 1 n Z p n A Z n e QZ,A) /kt 1.61) όπου η πυρηνική ενέργεια σύνδεσης είναι Q Z, A) = [Zm p + A Z) m n M Z, A)] c 2 και ϑέσαµε θ = m ukt )3/2 2π. Οι αριθµητικές πυκνότητες των πρωτονίων και των νετρονίων ϐρίσκονται αν απαιτήσουµε διατήρηση του ϐαρυονικού αριθµού B και του µηδενικού ηλεκτρικού ϕορτίου 2 q, οπότε προκύπτουν οι σχέσεις n i A i = ρ = n 1.62) m i u n i Z i = ny e 1.63) i Αν έχουµε συγκεκριµένες τιµές για τα T, ρ, και Y e, οι εξισώσεις 1.60), 1.61), 1.62) και 1.63) µπορούν να µας δώσουν τα πάντα στη στατιστική πυρηνική ισορροπία: καταστατική εξίσωση, σύν- ϑεση, εντροπία ανά ϐαρυόνιο, κ.τ.λ. Σηµειώνουµε µόνο ότι η τιµή Y e για οποιαδήποτε στιγµή εξαρτάται από την προηγηθείσα εξελικτική ιστορία του άστρου. Η νετρονιοποίηση που πραγµατοποιείται οφείλεται στις αρπαγές ηλεκτρονίων από πυρήνες και πρωτόνια, οι οποίες είναι αντίστοιχα e + Z, A) W v e + Z 1, A) 1.64) e + p W v e + n 1.65) άνθρακα 12 C και προσεγγίζει τη µάζα ενός νουκλεονίου. Από τον ορισµό της ϕαίνεται ότι περιέχει και τις µάζες ηρεµίας των 12 ηλεκτρονίων του ατόµου, την πυρηνική ενέργεια σύνδεσης και την αµελητέα ατοµική ενέργεια σύνδεσης των e. Είναι m u = 1kg N A = ) kg = ) MeV/c 2 όπου N A = ) mol 1 ο αριθµός Avogadro. Συγκριτικά οι µάζες του πρωτονίου και του νετρονίου είναι αντίστοιχα m p = ) m u και m n = ) m u. Συναντάται και µε την ονοµασία Dalton Da). 41

42 1.6 Supernovae και δηµιουργία αστέρα νετρονίων 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ και πραγµατοποιούνται µέσω των ϕορτισµένων ϱευµάτων των διανυσµατικών µεσονίων W ±. Το στοιχείο πίνακα της 1.65) είναι καλά γνωστό καθώς σχετίζεται µε το αντίστοιχο της διάσπασης του ελεύθερου νετρονίου. Η αρπαγή από πρωτόνια είναι σχετικά περιορισµένη λόγω του µικρού αριθµού τους. Καθώς οι πυρήνες γίνονται όλο και πιο πλούσιοι σε νετρόνια, η ελάχιστη ενέργεια για αρπαγή από πυρήνες µεγαλώνει και γίνεται απαγορευτική, εποµένως η νετρονιοποίηση συνεχίζεται από τα πρωτόνια σϑένους, δηλαδή τα πρωτόνια στις εξωτερικές στοιβάδες των πυρήνων, τα οποία µεταβαίνουν σε υπερεπιτρεπτές καταστάσεις. Στην αρχή είναι ρ gr/cm 3 και οι αρπαγές γίνονται γρήγορα, όµως τα στοιχεία που αποκτούν N = A Z > 40 έχουν γεµάτη την εξωτερική τους στοιβάδα µε νετρόνια, δεν επιτρέπουν τη νόµιµη µετάβαση Gamow-Teller να πραγµατοποιηθεί, και η αρπαγή από ελεύθερα πρωτόνια τελικά κυριαρχεί, ενώ ο συνολικός ϱυθµός νετρονιοποίησης ελαττώνεται. Χρησιµοποιώντας το χρυσό κανόνα του Fermi για τις κβαντικές µεταβάσεις και υποθέτωντας ότι τα µικρά ηλεκτρόνια είναι ακραία σχετικιστικά και εκφυλισµένα µπορούµε να ϐρούµε το ϱυθµό νετρονιοποίησης ανά πρωτόνιο Γ = ) 5 µe 5 m e c 2 s 1 πρωτ) ) και σε αυτόν αντιστοιχεί λαµπρότητα νετρίνων L ν = ) µe 6 m e c 2 erg s 1 πρωτ) ) Από τις 1.64) και 1.65) ϐλέπουµε ότι παράγονται νετρίνα στον πυρήνα του αστέρα. Οµως η νετρονιοποίηση δεν είναι ο µοναδικός τρόπος παραγωγής νετρίνων, καθώς υπάρχουν και ϑερµικοί µηχανισµοί παραγωγής. Οι µηχανισµοί αυτοί είναι: e + + e W,Z ν + ν διέγεϱση πλάσµατος W,Z εκποµπή plasmon e + γ W,Z e + ν + ν e + Z, A) W,Z Z, A) + e + ν + ν 1.68) Η τελευταία αντιστοιχεί στην πέδηση επιβράδυνση) του ηλεκτρονίου κατά τη σκέδασή του µε έναν πυρήνα και παραχώρηση µέρους της κινητικής του ενέργειας για δηµιουργία Ϲεύγους νετρίνων. Παρατηρούµε ότι στις παραπάνω αντιδράσεις έχουµε και τα ουδέτερα ϱεύµατα διανυσµατικών µεσονίων Z 0 και τα ϕορτισµένα W ±. Στα νετρίνα δε ϐάλαµε κάποιον δείκτη, γιατί µπορούν να παραχθούν και τα τρία είδη γεύσεων. Tα Ϲεύγη ν µ ν µ και ν τ ν τ παράγονται µόνο µέσω ανταλλαγής Z 0. Οι ϱυθµοί παραγωγής υπολογίζονται µε ϐάση τη ϑεωρία των ασθενών αλληλεπιδράσεων των Weinberg-Salam-Glashow WSG). Σηµειώνουµε τέλος ότι το πλασµόνιο είναι ένα κβαντισµένο ηλεκτροµαγνητικό κύµα που διαδίδεται σε ένα πυκνό διηλεκτρικό πλάσµα και συµπεριφέρεται ως σχετικιστικό µποζόνιο µε µη-µηδενική µάζα ηρεµίας m pl = ωp c, κάτι που το κάνει ενεργειακά ασταθές σε σύγκριση µε το άµαζο ϕωτόνιο. Τα ϑερµικά νετρίνα έχουν ενέργεια E ν kt και υπερέχουν αριθµητικά σε σχέση µε τα νετρίνα που προέκυψαν από τις αρπαγές, µέχρι να έχει οριστικοποιηθεί η ϐαρυτική κατάρρευση και για όσο τα νουκλεόνια και οι πυρήνες παραµένουν µη-εκφυλισµένο και µη-σχετικιστικό αέριο. Ολα αυτά τα νετρίνα δραπετεύουν από τον αστέρα, καθώς οι πολύ µικρές ενεργές διατοµές σκέδασης που έχουν συνεπάγονται την πολύ ασϑενή αλληλεπίδρασή τους µε την ύλη. Οταν όµως αρχίζει η κατάρρευση, η αύξηση της πυκνότητας του πυρήνα αλλάζει αυτήν την κατάσταση και παγιδεύει τα νετρίνα εκεί µέσω των πολλαπλών σκεδάσεων µε τα διάφορα σωµατίδια ή απορροφήσεων από αυτά. Αυτή η αύξηση της πυκνότητας σε συνδυασµό µε τη µείωση της Y e δηµιουργεί µεγαλύτερους πυρήνες µε αυξηµένα A, Z και A Z. Αντίστροφα λοιπόν µε τις αντιδράσεις εκποµπής νετρίνων 1.68), οι αντιδράσεις που εγκλωβίζουν τα νετρίνα στον πυρήνα και αυξάνουν την αδιαφάνειά τους είναι οι εξής: ν + n Z ν + n ν + p Z ν + p σκέδαση ελέθερου νουκλεονίου) ν + Z, A) Z ν + Z, A) συναφής σκέδαση πυρήνα µε A > 1). Συναφής σκέδαση είναι αυτή κατα την οποία ο πυρήνας συµπεριφέρεται ως ένα σώµα και όχι ως A ανεξάρτηρα σωµατίδια. 42

43 1.6 Supernovae και δηµιουργία αστέρα νετρονίων 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ν e + n W p + e απορρόφηση νετρίνου) e + ν W,Z e + ν σκέδαση ηλεκτρονίου-νετρίνου) Παρόµοιες αντιδράσεις ισχύουν και για τα αντινετρίνα. Οι δύο πρώτες πηγές αδιαφάνειας ϐασί- Ϲονται στα ουδέτερα ϱεύµατα Z 0 και ϑεωρούνται αµελητέες στη ϑεωρία WSG των ασθενών αλληλεπιδράσεων ως προς τις αντιδράσεις µε ϕορτισµένα ϱεύµατα. Οι ολικές διατοµές σκέδασης υπολογίζονται στο σύστηµα ηρεµίας του αστέρα. Τα νετρίνα που δυσκολεύονται να εγκαταλείψουν τον αστέρα, παρασύρονται από τον πυρήνα που καταρρέει. Για πυκνότητες ρ trap gr/cm 3 τα παγιδευµένα νετρίνα που συν-κινούνται µε την ύλη σχηµατίζουν µια ηµι-εκφυλισµένη ϑάλασσα Fermi. Η χρονική κλίµακα για τη διάχυση των νετρίνων εκτός πυρήνα t dif σε αυτές τις πυκνότητες είναι συγκρίσιµη µε τη χρονική κλίµακα της κατάρρευσης t col. Αν ρ 12 είναι η πυκνότητα σε µονάδες gr/cm 3, τότε t col 1 ) ρ 1 /2 Gρ 1/2 12 s 1.69) όπου ρ M η µέση πυκνότητα του καταρρέοντα πυρήνα, M M 4πR 3 /3 η µάζα του και R η ακτίνα του. Η συναφής σκέδαση είναι η κύρια πηγή αδιαφάνειας, οπότε t dif λ AN sc c 1.70) µε λ A τη µέση ελεύθερη διαδροµή των νετρίνων στη ϑάλασσα των ϐαρέων πυρήνων και N sc 1 είναι ο αριθµός των συναφών σκεδάσεων που ϑα υποστεί ένα νετρίνο µέχρι να δραπετεύσει από τον πυρήνα. Ουσιαστικά τα νετρίνα ακολουθούν µια διαδροµή Ϲιγκ-Ϲαγκ που δεν επιφέρει σηµαντική αλλαγή στην ενέργειά τους. Τα παραπάνω µεγέθη σχετίζονται ως λ A N sc R. Από αυτή την έκφραση µπορεί να υπολογιστεί t dif 0.08 ρ 12 s 1.71) Από τις 1.69) και 1.71), για αρκετά µεγάλες πυκνότητες ισχύει t dif t col µε τους δύο χρόνους να γίνονται συγκρίσιµοι όταν ρ ρ trap. Επίσης N sc = 1 όταν ρ ρtrap /10. Η παγίδευση των νετρίνων στις ρ ρ trap σηµαίνει ότι ο λεπτονικός αριθµός ανά ϐαρυόνιο Y e δεν αλλάζει, και η κατανοµή τους προσεγγίζει αυτή των Fermi-Dirac f = 1 e E µ) /kt ) Το σύστηµα µπορεί να καθοριστεί κατά µοναδικό τρόπο µε δεδοµένα τα T, ρ και Y e. Η αδιαφάνεια των νετρίνων συνεχίζει να αυξάνει µε την πυκνότητα, έως ότου η τελευταία ϕτάσει την τιµή της πυρηνικής πυκνότητας ρ nuc = gr/cm 3, όπου η ϑερµική πίεση και οι πυρηνικές δυνάµεις προκαλούν ξανά σκλήρυνση της καταστατικής εξίσωσης και εµποδίζουν την περαιτέρω κατάρευση. Εως εδώ η περισσότερη ϐαρυτική δυναµική ενέργεια του πυρήνα έχει µετατραπεί σε νετρίνα. Αν τα τελευταία δεν παγιδεύονταν, η λαµπρότητά τους ϑα µεγιστοποιούνταν καθώς όλη αυτή η ενέργεια ϑα εκπεµπόταν σε χρόνους κλίµακας t col. Για µια τυπική συστολή στη µισή ακτίνα µέχρι να 1/3 M ϕτάσουµε την ρ nuc, είναι R nuc = 4πρnuc/3) 12 km και L v,max GM 2 /R nuc t col 57 erg 10 s 1.73) ενώ πιο ϱεαλιστικά, λαµβάνοντας υπόψιν την παγίδευση είναι L v GM 2 /R nuc t dif 52 erg 10 s 1.74) που είναι σωστή ως προς την πραγµατική τιµή παρά µία τάξη µεγέθους. Εποµένως η ενέργεια των νετρίνων δεν εγκαταλείπει το άστρο, αλλά το µεγαλύτερο µέρος της µετατρέπεται σε άλλης µορφής εσωτερική ενέργεια, όπως ϑερµική, ενέργεια κβαντικών διεγέρσεων, κινητική ενέργεια αναπήδησης εξωτερικών στρωµάτων, κ.τ.λ. Γι αυτό και η κατάρρευση είναι προσεγγιστικά αδιαβατική. 43

44 1.6 Supernovae και δηµιουργία αστέρα νετρονίων 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Εντροπία και καταστατική εξίσωση κατά τη ϑερµή κατάρρευση Ο Bethe το 1979 τόνισε τη σηµασία που έχει η εντροπία ανά ϐαρυόνιο. Αρχικά είναι χαµηλή µε τιµή si k 1, αυξάνει ελαφρώς λόγω της παγίδευσης νετρίνων s k 0.5 και στο τέλος είναι s f k 1 2 κατά το στάδιο της αδιαβατικής κατάρρευσης. Η διατήρηση της s k σε χαµηλή τιµή σε συνδυασµό µε το υψηλό Y e διατηρεί τους µεγάλους πυρήνες για υψηλές πυκνότητες που ϕτάνουν ως την τιµή ρ nuc, όταν και τα νουκλεόνια πιέζονται να ϐγουν εκτός πυρήνων. Στη ϑερµή-πυκνή ύλη εµποδίζεται ο κορεσµός των νετρονίων Neutron Drip, ND) που ϑα αύξανε και την εντροπία, ενώ η αποσύνθεση των πυρήνων στα αρχικά στάδια της κατάρρευσης τώρα αναστρέφεται µε επαναπορρόφηση των σωµατιδίων-α από τους πυρήνες. Αντιθέτως, η ψυχρή- πυκνή ύλη, την οποία ϑα µελετήσουµε πιο αναλυτικά σε αυτήν την εργασία καθώς αφορά την ύλη των αστέρων νετρονίων, έχει s k = 0, Y l 1, το ND συµβαίνει σε πυκνότητα τρεις τάξεις µεγέθους κάτω από την πυρηνική για ρ ND gr/cm 3 και τα ελεύθερα νετρόνια κυριαρχούν στις µεγαλύτερες ρ. Στο κέντρο του πυρήνα υπάρχουν ϑερµοκρασίες και πυκνότητες που δίνονται στην 1.53). Θεω- ϱούµε όλους τους πυρήνες ως ιδανικό, µη-εκφυλισµένο αέριο που ϐρίσκονται µέσα σε µια ακραία εκφυλισµένη και υπερσχετικιστική ϑάλασσα Fermi ηλεκτρονίων. Για προσεγγιστικούς υπολογισ- µούς µπορούν να υποτεθούν όλοι πυρήνες ότι είναι 56 F e, ενώ για πιο ακριβείς συνυπολογίζουµε και κάποιο ποσοστό στη σύσταση για σωµατίδια-α και ελεύθερα νουκλεόνια. Η αρχική εντροπία ανά πυρήνα λόγω της µεταφορικής τους κίνησης όταν ξεκινάει η κατάρρευση είναι [ si ) = 5 ) 3/2 ] k πυρ 2 + ln 1 56mu kt c,i n F e 2π 2 = ) και αφού η αριθµητική πυκνότητα του σιδήρου είναι n F e = ρc,i 56m u, η εντροπία ανά ϐαρυόνιο προκύπτει διαιρώντας το παραπάνω αποτέλεσµα µε 56 si ) = 0.3 k βαρ 1.76) Τα ηλεκτρόνια αντίστοιχα στο όριο x p F e) m 1 και µε µ ec e = 6.2 MeV έχουν εντροπία si ) = π 2 kt c,i = ) k e µ e Πιο ϱεαλιστικοί υπολογισµοί δίνουν την ολική αρχική εντροπία αντί = 1.4, s i k = si ) si ) + = = ) k βαρ k e Αυτή η εντροπία αυξάνεται στα αρχικά στάδια της κατάρρευσης όταν και παγιδεύονται τα νετρίνα, εξ αιτίας των ασθενών δυνάµεων. Ως προς τις ισχυρές και τις ηλεκτροµαγνητικές αλληλεπιδράσεις η ύλη ϐρίσκεται σε ισορροπία. Ο πρώτος νόµος της Θερµοδυναµικής δίνει για τη µεταβολή της απορροφούµενης ϑερµότητας ανά ϐαρυόνιο q = T ṡ + i µ i Ẏ i 1.79) Η απώλεια ϑερµότητας λόγω νετρίνων είναι q E ν esc χρονική µεταβολή του Y ν είναι Y ν t esc, όπου t esc = max R c, t dif ). Η Ẏ ν = Ẏe Y ν t esc 1.80) όπου ο πρώτος όρος αντιστοιχεί στην παραγωγή νετρίνων κατά τη ϐ-αρπαγή ενώ ο δεύτερος στη διαφυγή των νετρίνων από τον πυρήνα. Το άθροισµα της 1.79) είναι µ i Ẏ i = µ e Ẏ e + µ p Ẏ p + µ n Ẏ n + µ ν Ẏ ν + µ Zi Ẏ Zi 1.81) i i µε τον τελευταίο όρο να περιγράφει την αντίδραση e + Z i + 1, A i ) Z i, A i ) + v. Η νετρονιοποίηση διατηρεί ϐαρυονικό αριθµό και ϕορτίο, εποµένως Ẏ Zi A i + Ẏp + Ẏn = ) i 44

45 1.6 Supernovae και δηµιουργία αστέρα νετρονίων 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Ẏ Zi Z i + Ẏp Ẏe = ) i Η πυρηνική στατιστική ισορροπία εκφράζεται από τη σχέση µ Zi Ẏ Zi = [Z i µ p + A i Z i ) µ n ] ẎZ i 1.84) i i ενώ ισχύει και τελικά µ i Ẏ i = µ e + µ p µ n µ ν ) Ẏe + µ ν Y ν 1.85) i T ṡ = µ e + µ p µ n µ ν ) Ẏe + µ ν E ν esc ) Y n t esc 1.86) όπου ο πρώτος όρος εκφράζει ασϑενείς αντιδράσεις εκτός ισορροπίας και ο δεύτερος την απώλεια νετρίνων. Σηµαντικά χαρακτηριστικά της κατάρρευσης στα τελευταία στάδια είναι η σταθερότητα των Y e,f και s f k ανεξαρτήτως της µικροφυσικής, του ϱυθµού κατάρρευσης και των αρχικών συνθηκών. Η κατάρρευση πραγµατοποιείται κατά µήκος αδιαβατικής καµπύλης σταθερής s, και στη χαµηλότερης τάξης προσέγγιση αγνοώντας συνεισφορές από σωµατίδια-α και νουκλεόνια, τα οποία ϑεω- ϱούµε δέσµια σε πυρήνες µέσου µεγέθους A: { [ s k 1 ]} )3/2 5 A 2 + ln Am u Amu kt ρ 2π 2 + π2 kt Y e + π2 kt m e 2E F,nuc σταθ. 1.87) Κατά την έναρξη της κατάρρευσης οι δύο πρώτοι όροι της 1.87) αποτελούν την κύρια συνεισ- ϕορά στην εντροπία. Ο πρώτος όρος εξαρτάται µόνο λογαριθµηκά από τη ϑερµοκρασία και την πυκνότητα, εποµένως ο δεύτερος όρος αρχικά ελέγχει την εξέλιξη της σχέσης T ρ) κατά µήκος της αδιαβατικής καµπύλης της µεταβολής. Ισχύει T ρ 1 /3 κατά τη διάρκεια της κατάρρευσης, εποµένως ) 1/3 ρ T T c,i 1.88) ρ c,i µε s σταθ. και Y e σταθ. Η σταθερότητα του Y e που είναι συνέπεια της παγίδευσης των νετρίνων, επιτρέπει και τον υπολογισµό της καταστατικής εξίσωσης που γίνεται ανεξάρτητος από την συνολική υδροδυναµική. H 1.88) για ρ ρ nuc στο τέλος της κατάρρευσης συνεπάγεται T = T nuc 29 MeV. Με πιο προσεκτικούς υπολογισµούς που λαµβάνουν υπόψιν σύσταση n, p, α, A, e, v τροποποιούν την 1.87) λόγω αυξηµένης συνεισϕοράς του τρίτου όρου που αντιστοιχεί στη συνεισϕορά των διεγερµένων κβαντικών µεταβάσεων και T nuc 10 MeV. Οπως και να χει, υπάρχει µια σχετικά απότοµη αύξηση στη ϑερµοκρασία. Για να µπορέσει να υπολογιστεί το ποσό της απελευθερωµένης ϐαρυτικής δυναµικής ενέργειας ϑα πρέπει να συµπεριλάβουµε τη σύζευξη της υδροδυναµικής του πυρήνα µε τη µετακίνηση των νετρίνων, που επιφέρουν αλλαγή στην Y e και την εντροπία κατά τη νετρονιοποίηση, τη διαφυγή νετρίνων, τη διάχυση του ωστικού κύµατος, κ.α. Ενας τέτοιος υπολογισµός είναι αναγκαίος για να καθοριστεί αν η ενέργεια που ϑα απελευθερωθεί είναι αρκετή για να πυροδοτήσει την έκρηξη supernova. Το ϐασικό µας αποτέλεσµα είναι ότι οι µεγάλοι πυρήνες δεν έχουν διαλυθεί στις µεγάλες πυκνότητες λόγω της χαµηλής εντροπίας και της παγίδευσης των νετρίνων. Η παγίδευση αναστέλλει τη νετρονιοποίηση έως ότου η παρουσία της ϑάλασσας Fermi των νετρίνων οδηγήσει προς τα αριστερά την ισορροπία της e + Z, A) Z 1, A) + v. Επακόλουθα ο λόγος Y e παραµένει υψηλός και εγγυάται την παρουσία µεγάλου αριθµού πρωτονίων, µιας και ισχύει η συνθήκη ηλεκτρικής ουδετερότητας. Επειδή ο κορεσµός νετρονίων δεν είναι προτιµητέος για χαµηλές πυκνότητες, όλα τα πρωτόνια παραµένουν στους πυρήνες. Αλλά καθώς για µεγάλες πυκνότητες για τους πυρήνες είναι Z A , οι τελευταίοι οφείλουν να γίνουν αρκετά µεγάλοι για να διαχειριστούν τις ηλεκτρικές απώσεις των πρωτονίων. Για όλες τις πυκνότητες πάνω από την ρ nuc η πίεση κυριαρχείται από σχετικιστικά και εκφυλισ- µένα ηλεκτρόνια. Ετσι ο αδιαβατικός δείκτης Γ παραµένει κοντά στην τιµή 4 3, µε µια µικρή µείωση 45

46 1.7 Ψυχρή καταστατική εξίσωση για ρ < gr/cm 3 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ λογω των ϐ-αρπαγών. Κατα την έναρξη της κατάρρευσης η πίεση των ηλεκτρονίων είναι κοντά στην αντίστοιχη τιµή για υδροστατική ισορροπία στον πυρήνα P i P eq Y e,i ρ) 4 /3 1.89) και οι πυκνότητες του πυρήνα συµπεριφέρονται σαν ενός πολύτροπου µε n 3. Μετά τη νετρονιοποίηση η Y e πέφτει από την τιµή 0.42 στην , εποµένως η πίεση κατά την παγίδευση νετρίνων πέφτει κάτω από την P eq : P f ) 4/3 Ye,f P eq ) P eq 1.90) Y e,i Μια κατανοµή µε Γ = 4 3 είναι ουδέτερα στατική σε µια οµόλογη ακτινική διαταραχή. H 1.89) ισχύει µέχρι τις πυρηνικές πυκνότητες. Οταν αυτές επιτευχθούν, η καταστατική εξίσωση σκληραίνει απότοµα και ο δείκτης Γ αυξάνεται απότοµα. Σε µεγαλύτερες πυκνότητες οι πυρήνες συγχωνεύονται σε ένα οµογενές µέσο ξεχωριστών νετρονίων και πρωτονίων. Αν η πυκνότητα γίνει µερικές ϕορές η ρ nuc στον εσωτερικό πυρήνα, τότε αυτό το µέρος του µπορει να αναχαιτήσει την κατάρρευσή του και να αναπηδήσει. Ο εξωτερικός πυρήνας όµως συνεχίζει να πέφτει προς τα µέσα και µάλιστα µε υπερηχητικές ταχύτητες. Το ωστικό κύµα που δηµιουργείται από την αναπήδηση του εσωτερικού, διαδίδεται προς τον εξωτερικό πυρήνα. Η ολική ενέργεια του ωστικού κύµατος είναι µερικές ϕορές η ποσότητα erg, και αντιστοιχεί σε ταχύτητα του ήχου u s cm/s συγκριτικά η ταχύτητα του ϕωτός είναι c = cm/s. Αυτή η ενέργεια είναι κάτι παραπάνω από αρκετή για να διαλύσει τα επικείµενα στρώµατα του αστρικού µανδύα, παρότι ένα µέρος της απορροφάτε µε τη απελευ- ϑέρωση των νετρίνων. Η πτώση των τµηµάτων του αστέρα που περιέβαλλαν το σιδερένιο πυρήνα αναστρέφεται µε εκρηκτικό τρόπο. Το supernova λαµβάνει χώρα και ένας αστέρας νετρονίων έχει γεννηθεί. 1.7 Ψυχρή καταστατική εξίσωση για ρ < gr/cm Καταστατική εξίσωση πλήρως εκφυλισµένου ιδανικού αερίου ϕερµιονίων Οι αστέρες νετρονίων όπως και οι λευκοί νάνοι) ψύχονται σε πρακτικά µηδενική ϑερµοκρασία σε σχέση µε τις ενέργειες Fermi των νετρονίων. Εποµένως είναι η πίεση για T = 0 που συγκρατά τη ϐαρυτική κατάρρευσή της µάζας τους και δε ϑα είναι ϑερµικής ϕύσεως. Η πιο απλή καταστατική εξίσωση για ψυχρό, εκφυλισµένο, ιδανικό αέριο είναι αυτή που υποθέτει ένα είδος σωµατιδίων, µόνο νετρόνια, ή παροµοίως µόνο ηλεκρόνια, αν αγνοήσουµε όµως τις ηλεκτρικές αλληλεπιδράσεις τους στην δεύτερη περίπτωση. Αυτό το απλό πρότυπο για την καταστατική εξίσωση υπολογίστηκε από το Chandrashekhar το Η ορµή Fermi των ηλεκτρονίων προκύπτει από E F = p 2 F c 2 + m 2 ec 4) 1/2 1.91) οπότε n e = 2 h 3 ˆ pf 0 4πp 2 dp = 8π 3h 3 p3 F 1.92) Αν ορίσουµε την αδιάστατη ορµή Fermi ως x = p F/m ec και χρησιµοποιώντας το µήκος κύµατος Compton του σωµατιδίου λ = /mc, τότε n e = 1 3π 2 λ 3 x3 1.93) Οι παραπάνω εξισώσεις δίνουν για την πίεση και την πυκνότητα ενέργειας και ε = 2 h 3 ˆ pf P = 1 2 pf p 2 c 2 3 h 4πp 2 dp 3 0 p 2 c 2 +m 2 c 4 ) 1/2 = 8πm4 c 5 x x 4 dx 3h = mc x 2 ) 1/2 λ ϕ x) 1.94) 3 = ϕ x) dyn /cm 2 0 p 2 c 2 + m 2 c 4) 1/2 4πp 2 dp = mc2 χ x) 1.95) λ3 46

47 1.7 Ψυχρή καταστατική εξίσωση για ρ < gr/cm 3 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ µε τις συναρτήσεις ϕ x) και χx) να είναι ϕ x) = 1 { 8π 2 x 1 + x 2) ) 1/2 2x 2 [ ln x x 2) ]} 1/2 1.96) χ x) = 1 { 8π 2 x 1 + x 2) 1/ x 2 ) [ ln x x 2) ]} 1/2 1.97) Οι αναλυτικοί υπολογισµοί και µε δεδοµένο ότι η πυκνότητα ρ 0 οφείλεται κυρίως στα ιόντα, οδηγούν στην καταστατική εξίσωση P = n e + i n i ) kt 1.98) η οποία µπορεί να γραφτεί στην πολυτροπική µορφή ιακρίνω τις εξής δύο περιπτώσεις: P = Kρ Γ 0 για µη-σχετικιστικά ηλεκτρόνια στις ρ gr/cm 3 είναι x 1, ϕ x) Γ = 5 3, K = 32/3 π 4/3 5 2 = m emu 5/3 µ ε 5/3 x5 15π 2 και cgs 1.99) µ ε 5/3 για ακραία σχετικιστικά ηλεκτρόνια στις ρ gr/cm 3 είναι x 1, ϕ x) Γ = 4 3, K = 31/3 π 2/3 4 c = mu 4/3 µ ε 4/3 Αν αντί των ιόντων έχουµε µόνο νετρόνια τα παραπάνω δίνουν µε τις δύο οριακές περιπτώσεις x4 12π 2 και cgs 1.100) µ ε 4/3 ε n = m nc 2 λ 3 χ x n ) = χ x n ) erg /cm ) n ρ 0 = m n n n = m n λ 3 n για µη-σχετικιστικά νετρόνια στις ρ gr/cm 3 είναι Γ = 5 3, K = 32/3 π 4/3 5 για ακραία σχετικιστικά νετρόνια στις ρ gr/cm 3 είναι Γ = 4 3, K = 31/3 π 2/ π 2 x3 n = x 3 n gr /cm ) P = Kρ Γ ) 2 = cgs 1.104) mn 8/3 c = cgs 1.105) mn 4/3 Η πυκνότητα µάζας ρ = εn /c 2 οφείλεται εξ ολοκλήρου στα νετρόνια και για την ακραία σχετικιστική περίπτωση υπερβαίνει κατά πολύ τη ρ 0 47

48 1.7 Ψυχρή καταστατική εξίσωση για ρ < gr/cm 3 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ιορθώσεις Πιο ϱεαλιστικές καταστατικές εξισώσεις από αυτήν του Chandrashkhar συνυπολογίζουν επιπλέον διορθώσεις λόγο ηλεκτροστατικών αλληλεπιδράσεων των ηλεκτρονίων µεταξύ τους και µε τα ιόντα, αλλά και την αντίστροφη ϐ-διάσπαση που λαµβάνει χώρα στο πυκνό υλικό. Εδώ ϑα δώσουµε συνοπτικά κάποια αποτελέσµατα. H επιπλέον ενέργεια Coulomb είναι αρνητική 3 E C = E e e + E e i = 5 3 ) Z 2 e 2 = 9 Z 2 e ) 2 r 0 10 r 0 και από την ενέργεια ανά ηλεκτρόνιο ϐλέπουµε ότι και η πίεση που αντιστοιχεί σε αυτήν είναι αρνητική P C = n 2 d E C/Z) e = 3 ) 1/3 4π Z 2 /3 e 2 n 4 /3 e 1.107) dn e 10 3 Τα αποτελέσµατα αυτά ϐασίζονταν στην προσέγγιση του νέφος ηλεκτρονίων ως µια οµοιόµορφη σϕαιρική κατανοµή. Η προσέγγιση αυτή είναι καλή για υψηλής πυκνότητας λευκούς νάνους και χαµηλής πυκνότητας αστέρες νετρονίων, καθώς σε χαµηλότερες πυκνότητες η ηλεκτρονιακή κατανοµή αποκλίνει από την οµοιοµορφία και είναι πιο χρήσιµες οι προσεγγίσεις της ϕυσικής στερεάς κατάστασης. Σε ακραία σχετικιστικό όριο είναι P 0 = c 3π 2)1 /3 n 4 /3 e 4 και η συνολική πίεση ) 1/3 P = P 0 + P C = P /3 3 az /3) ) 5 π ενώ στο µη-σχετικιστικό όριο είναι P 0 = 2 3π 2)2 /3 n 5 /3 e 5m e P = P 0 1 Z 2 /3 2 1 /3 πα 0 n 1 /3 e και η συνολική πίεση ) 1.109) Στα παραπάνω a = e2 / c = η σταθερά της λεπτής υφής και a 0 = 2 m ee η ακτίνα του Bohr. 2 Τα πρωτόνια και τα νετρόνια γενικά ϐρίσκονται δέσµια στον πυρήνα. Αν τα e αποκτήσουν αρκετή ενέργεια και συγκεκριµένη µεγαλύτερη από την ενεργειακή διαφορά στις µάζες ηρεµίας του πρωτονίου και του νετρονίου m n m p ) c 2 τότε συµφέρει ενεργειακά να αντιδράσουν µε την αρπαγή ηλεκτρονίου p + e n + ν e και να αποτραπεί η ϐ-διάσπαση n p + e + ν e. Τα νετρίνα διαφεύγουν καθώς έχουν πολύ µικρή ενεργό διατοµή σκέδασης και τα υπόλοιπα τρία συστατικά ϐρίσκονται σε ισορροπία για την οποία είναι µ e + µ p = µ n. Ορίζοντας x e = p F e) m ec, η σχέση για τα χηµικά δυναµικά γράφεται x p = p F p) m pc, x n = p F n) m nc 1.110) m e 1 + x 2)1/2 e + m p 1 + x 2)1/2 p = m n 1 + x 2 )1/2 n Στην ισορροπία ϑα πρέπει να ισχύει ) 3 n p mp x p = = m 2 n m2 p m2 e) m 2 n x2 n n n m n x n 8 + Q2 m 2 e)m n+m p) 2 m 2 e) m 4 n x4 n x 2 n 3/ ) 1.112) και επειδή η διαφορά µάζας Q = m n m p m n και m e m n, ο ελάχιστος λόγος αριθµητικών πυκνοτήτων ϑα είναι ) [ ) ] np Q Q 2 m 2 3/2 1/2 e = + = ) n n min m n m n που αντιστοιχεί σε n n = 23 /2 3π 2 λ 3 n ) Q 2 m 2 3/4 e, ρ0 m n n n = gr/cm ) m 2 n Ο λόγος των δύο αριθµητικών πυκνοτήτων αυξάνεται µονότονα µέχρι την τιµή 1 8 ρ 0. στο όριο x, 48

49 1.7 Ψυχρή καταστατική εξίσωση για ρ < gr/cm 3 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Μερικές ακόµα διορθώσεις. Ηµιεµπειρικός τύπος µάζας και οι καταστατικές εξισώσεις HW και BPS Στην περιοχή πυκνοτήτων ) gr/cm 3 η ύλη αποτελείται από πυρήνες και αέριο ελεύ- ϑερων ηλεκτρονίων. Για ένα άστρο νετρονίων όπου χοντρικά M 1 M υπάχουν A 1057 ϐαρυόνια. Η εύρεση της καταστατικής εξίσωσης έρχεται να απαντήσει στο ποιος πυρήνας A, Z) ελαχιστοποιεί την ενέργεια και πόση είναι η πίεση του συστήµατος. Οταν A 90 η χαµηλότερη ενεργειακή κατάσταση αποτελείται από πυρήνες 56 26F e ο οποίος είναι και ο πιο σϕιχτός. Για A 90 η χαµηλότερη ενέργεια αντιστοιχεί σε περισσότερους του ενός πυρήνες ακέραια πολλαπλάσια του 56). Οσο αυξάνεται το A τόσο πιο καλά προσεγγίζεται η ύλη ως 56 F e. Οταν A η ϐαρυτική έλξη είναι σηµαντική και τα ϐαρυόνια που ϐρίσκονται σε υδροστατική ισορροπία ξεπερνούν τη ρ 10 7 gr/cm 3. Τώρα τα ηλεκτρόνια είναι σχετικιστικά και αλλάζουν ϐήµα-ϐήµα τη σύσταση από 56 F e σε πυρήνες πιο πλούσιους σε νετρόνια µέσω της αρπαγής ηλεκτρονίου. Οταν ρ gr/cm 3 ο λόγος νετρονίων προς πρωτόνια είναι σε κρίσιµο σηµείο, το σηµείο κόρου τον νετρονίων όπου εγκαταλείπουν τον πυρήνα και σχηµατίζουν ένα αέριο ελεύθερων ϕερµιονίων. Εδώ η ύλη αποτελείται από δύο ϕάσεις. Οταν ρ > gr/cm 3 τότε η πίεση των νετρονίων έχει υπερβεί αυτήν των ηλεκτρονίων. Η ενέργειακή πυκνότητα ϑα δίνεται τότε ε = n N M A, Z) + ε e n e ) + ε n n n ) 1.115) όπου η M A, Z) είναι η ενέργεια του πυρήνα που περιέχει τη µάζα ηρεµίας του αλλά και τη µάζα ηρεµίας των ηλεκτρονίων η οποία αφαιρέθηκε από την ε. Εκµεταλλευόµενοι το ότι η ϐαρυονική αριθµητική πυκνότητα είναι n = n N A + n n και η αντίστοιχη των ηλεκτρονίων n e = n N Z µπορούµε να εκφράσουµε την ενεργειακή πυκνότητα ως ε = ε n, A, Z, Y n ). Η σύσταση ισορροπίας µπορεί να ϐρεθεί µε ελαχιστοποίηση της ε ως προς A κρατώντας σταθερά τα Z, Y n, n. Για πυκνότητες µεγαλύτερες των gr/cm 3 η M A, Z) δεν είναι πολύ καλά γνωστή και πρέπει να χρησιµοποιηθεί ο ηµιεµπειρικός τύπος µάζας του Green που ϐασίζεται στο πυρηνικό µοντέλο υγρής σταγόνας, αγνοώντας ϕαινόµενα Ϲευγών και στοιβάδας: M A, Z) = [ ] A Z) m n c 2 + Z m p + m e ) c 2 AE b = m u c [b 2 1 A + b 2 A 2 /3 b 3 Z + b 4 Z + b 4 A 1 2 ) Z 2 ] A + b 5Z ) A 1 /3 µε µε b 1 = b 2 = b 3 = Η ενεργειακή πυκνότητα γράφεται τώρα ως Επίσης είναι ε = n 1 Y n ) M A, Z) A b 4 = b 5 = ) + ε e n e ) + ε n n n ) 1.118) n e = n 1 Y n ) Z A, n n = ny n 1.119) dε e = ε e + p e = E F e) m e c ) dn e n e dε n dn n = ε n + p n n n = E F n) 1.121) Οι Harrison και Wheeler κατά τον υπολογισµό της οµώνυµης καταστατικής εξίσωσης HW χρησι- µοποιήσανε τον ηµιεµπειρικό τύπο µάζας µε τα Z και A προσεγγιζόµενα ως συνεχείς µεταβλητές. Ετσι από ε / Z = 0 συνεπάγεται Οµοίως ε / A = 0 συνεπάγεται A 2 M Z = E F e) m e c 2) 1.122) A ) M = Z E F e) m e c 2) 1.123) A 49

50 1.7 Ψυχρή καταστατική εξίσωση για ρ < gr/cm 3 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ και οι δύο τελευταίες σχέσεις συνδυάζονται στην Z M Z + A M A M = ) Η συνθήκη ε / Y n = 0 µας δίνει άρα η 1.2) λόγω της 1.135) δίνει M A = E F n) 1.125) Z = b2 2b 5 ) 1/2 A 1 /2 = 3.54 A 1 / ) ηλαδή ο Z αυξάνει µε τον A, αλλά ο λόγος Z A µειώνεται ανάλογα του A 1 /2. Τελικά η καταστατική εξίσωση ΗW προβλέπει ρ = ε c 2 = nema,z) /Z + ε e + ε n c ) P = P e + P n 1.128) n = n e A Z + n n 1.129) Οι πραγµατικοί πυρήνες έχουν προφανώς διακριτά A και Z και τα ϕαινόµενα στοιβάδας που δε λάβανε υπόψη οι HW παίζουν σηµαντικό ϱόλο στην ενέργεια σύνδεσης. Αυτές τις ϐελτιώσεις τις υπολόγισε ο Salpeter το έκα χρόνια µετά οι Baym, Pethick και Sutherland παρατηρούν ότι η ενέργεια του πλέγµατος πυρήνων είναι σηµαντική για τον καθορισµό της σύστασης ισορροπίας, ακόµα και αν ήταν µικρή διόρθωση που επιφέραν στην πίεση των ηλεκτρονίων. Ο πυρήνας στην ισορροπία καθορίζεται σε µεγάλο ϐαθµό από τον ανταγωνισµό µεταξύ της επιφανειακής ενέργειας και της ηλεκτροστατικής ενέργειας Coulomb. Χρησιµοποίησαν επίσης καλύτερο ηµιεµπειρικό τύπο µάζας. Για την καταστατική εξίσωση BPS ϐασίστηκαν στη σχέση ε = n 1 Y n ) M A, Z) A + ε e n e ) + ε n n n ) + ε L 1.130) µε ενέργεια πλέγµατος ε L = 1.444Z 2 /3 e 2 n 4 /3 e. Η συνθήκη ε / Y n = 0 δίνει τώρα E F n) = M A, Z) + Z E F e) m e c 2) + 4Z ε L 3n e A 1.131) Οταν το δεξί µέλος της παραπάνω εξίσωσης γίνει ίσο µε m n c 2 τότε ϐρισκόµαστε στο σηµείο κορεσµού των νετρονίων. Υποθέτουµε ότι ϐρισκόµαστε σε χαµηλότερες πυκνότητες που αντιστοιχεί σε αυτό το σηµείο. Η σύσταση ισορροπίας καθρίζεται ως εξής: Πρώτα ορίζεται µια τιµή για την n. Επειτα επιλέγονται δοκιµαστικά Ϲεύγη τιµών A, Z) και σε συνδυασµό µε τις n N = n A και n e = Zn A υπολογίζεται η ε. Το Ϲεύγος τιµώς A, Z) που µηδενίζει την πυκνότητα ενέργειας είναι ο πυρήνας ισορροπίας. Η πίεση δίνεται ως P = n 2 ε/n) n A,Z = P e + P L 1.132) µε P L = 1 3 ε L και P e την πίεση που οφείλεται στο ιδανικό αέριο Fermi των ηλεκτρονίων. Οποτε γίνεται αλλαγή ϕάσης από ένα είδος σταθερού πυρήνα σε έναν άλλο, υπάρχει ταυτόχρονα και ασυνέχεια στην n και στη ρ = ε c. Η πίεση όµως στο εσωτερικό ενός αστέρα οφείλει να είναι 2 συνεχής συνάρτηση της ακτίνας του. Επειδή P L P e µε την πίεση των εκφυλισµένων ηλεκτρονίων να εξαρτάται µόνο από την αριθµητική τους πυκνότητα n e = nz A, η οποία είναι συνεχής στο σύνορο αλλαγής ϕάσης, µπορούµε να υπολογίσουµε το µέγεθος της ασυνέχειας. ρ ρ = n n = Z /A) Z/A 1.133) 50

51 1.7 Ψυχρή καταστατική εξίσωση για ρ < gr/cm 3 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Ενα χαρακτηριστικό παράδειγµα είναι η ϕασική µετάβαση από 56 F e µε Z /A = στο 62 Ni µε Z /A = που προκαλεί αύξηση 2.9% στην πυκνότητα. Εξ αιτίας αυτών των ασυνεχειών είναι πιο ϐολικό να ελαχιστοποιηθεί η ενέργεια Gibbs g κρατώντας σταθερή την P. Για T = 0 g = ε + P n = M A, Z) + ZE F e) Zε L/n e A 1.134) Ορίζουµε τώρα µια σταθερή τιµή για την πίεση P, επιλέγουµε και πάλι δοκιµαστικά Ϲεύγη τιµών A, Z) και λύνουµε την P = P e + P L για n e = x3 3π 2 λ. Τέλος υπολογίζεται η g µέχρι να ϐρεθεί η 3 e ελάχιστη τιµή της. Στην καταστατική εξίσωση BPS συνυπολογίζονται και τα ϕαινόµενα στοιβάδας, τα οποία είναι σηµαντικά καθώς οι πυρήνες από το 84 Se έως το 76 F e έχουν µια συµπληρωµένη στοιβάδα 50 νετρονίων, ενώ στους πυρήνες από το 120 Mo µέχρι το 118 Kr η συµπληρωµένη στοιβάδα έχει 80 νετρόνια. Ο κορεσµός νετρονίων λαµβάνει χώρα για ρ gr/cm 3 όπου ο λόγος Z/A = για το 118 Kr Συνοπτικά Η καταστατική εξίσωση για ύλη µηδενικής ϑερµοκρασίας είναι αρκετά καλά κατανοητή για πυκνότητες κάτω από την πυκνότητα της γραµµής κόρου των νετρονίων. Η πίεση οφείλεται κυρίως στα εκφυλισµένα ηλεκτρόνια τα οποία γίνονται και πλήρως σχετικιστικά ήδη από πυκνότητες ρ 10 7 gr/cm 3. Τα ϑετικά ϕορτία ϐρίσκονται στους πυρήνες που σχηµατίζουν ένα κανονικό πλέγµα Coulomb µέσα στο ηλεκτρονιακό νέφος Αν η ύλη ϐρίσκεται στη ϑεµελιώδη της κατάσταση τότε µπορούµε να υποθέσουµε πυρηνική ισορροπία, δηλαδή δεν είναι δυνατόν να αλλάξει η ενέργειά του συστήµατος µε αλλάγή της σύστασής του µέσω ισχυρών, ασθενών ή ηλεκτροµαγνητικών αλληλεπιδράσεων. Ο πυρήνας ισορροπίας µπορεί να καθοριστεί ως συνάρτηση της πυκνότητας. Κάτω από ρ 10 7 gr/cm 3 η ϑεµελιώδης κατάσταση είναι αυτή του 56 F e ενώ πάνω από αυτό το όριο οι πυρήνες γίνονται όλο και πιο πλούσιοι σε νετρόνια µε αύξηση της πυκνότητας. Οι πυρήνες παραµένουν στα- ϑεροί και δε διασπώνται µε ϐ-διάσπαση εξ αιτίας της συµπληρωµένης ϑάλασσας Fermi των ηλεκτρονίων Η καταστατική εξίσωση κάτω από τη γραµµή κόρου των νετρονίων καθορίζει τη δοµή των πλανητών και των λευκών νάνων. Στους λευκούς νάνους η ύλη πιθανότατα δεν έχει επιτύχει πλήρη ισορροπία και η δοµή τους εξαρτάται από τη συγκεκριµένη εξελικτική τους πορεία. Περιγράφονται από την καταστατική εξίσωση Chandrasekhar µε κάποιες διορθώσεις Coulomb. Αντιθέτως, στους αστέρες νετρονίων η ύλη ϐρίσκεται σε ισορροπία και περιγράφεται από την καταστατική εξίσωση BPS 51

52 1.8 Ψυχρή καταστατική εξίσωση για gr/cm 3 < ρ < gr/cm 3 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Table 6: Συγκεντρωτικός πίνακας ψυχρών καταστατικών εξισώσεων κάτω από το σηµείο κόρου των νετρονίων Καταστατική εξίσωση Περιοχή πυκνοτήτων σε gr/cm 3 Σύνθεση της ύλης Θεωρητικό Μοντέλο Ιδανικό αέριο ηλεκτρονίων Chandrashkhar 1931, Ch) Ιδανικό αέριο npe Feynman- Metropolis-Teller 1949, FMT) Harrison-Wheeler 1958, HW) Baym-Bethick- Sutherland 1971, BPS) 0 e οι πυρήνες καθορίζονται από το µ e ) Μη αλληλεπιδρώντα e e, p n, e, p Υλη σε ισορροπία e και 56 F e Ατοµικό µοντέλο Thomas-Fermi-Dirac e και 56 F e Ατοµικό µοντέλο Thomas-Fermi-Dirac e και πυρήνες σε Μη αλληλεπιδρώντα e ισορροπία e, n και πυρήνες σε ισορροπία Ηµιεµπειρικός τύπος µάζας, ύλη σε ισορροπία e, n και πυρήνες σε ισορροπία Ηµιεµπειρικός τύπος µάζας, ύλη σε ισορροπία n, e, p Υλη σε ισορροπία e και 56 F e Ατοµικό µοντέλο Thomas-Fermi-Dirac e και 56 F e Ιδανικό αέριο e µε διορθώσεις πλέγµατος Coulomb e και πυρήνες σε Πυρηνικές ενέργειες ισορροπία ϐασιζόµενες σε εργαστηριακές τιµές µε ϑεωρητικές επεκτάσεις και ενέργεια πλέγµατος Coulomb από ύλη σε ισορροπία 1.8 Ψυχρή καταστατική εξίσωση για gr/cm 3 < ρ < gr/cm 3 Αυτή η περιοχή πυκνοτήτων πάνω από τη γραµµή κόρου των νετρονίων µπορεί να χωριστεί σε δύο υποπεριοχές. Η πρώτη είναι η περιοχή των ενδιάµεσων πυκνοτήτων για τιµές έως και ρ gr/cm 3 η οποία ϑεωρείται και αρκετά γνωστή ως προς τις ϕυσικές της ιδιότητες και την καταστατική εξίσωση που την περιγράφει. Σε αυτό το όριο οι ξεχωριστοί πυρήνες διαλύονται και συγχωνεύονται γιατί η ενέργεια σύνδεσης ανά νουκλεόνιο ϕθίνει µε την αύξηση της πυκνότητας. Η δεύτερη είναι για πυκνότητες από αυτό το όριο και πάνω, στην οποία υπάρχουν αρκετές αβεβαιότητες, κυρίως για το πυρηνικό δυναµικό. Επιπλέον για ένα δεδοµένο δυναµικό ϑα πρέπει να επιλεγεί κάποιο υπολογιστικό µοντέλο για τη λύση της εξίσωσης Schrödinger πολλών σωµάτων. Οσο περισσότερο ανεβαίνει η πυκνότητα πάνω από την πυρηνική, τόσο λιγότερα εργαστηριακά δεδοµένα υπάρχουν από συγκρούσεις ϐαρέων ιόντων, εποµένως οι αστέρες νετρονίων αποτελούν το καλύτερο ϕυσικό εργαστήριο για µελέτη των ιδιοτήτων της ύλης σε αυτήν την περιοχή των υψηλών πυκνοτήτων. Η καταστατική εξίσωση BBP που αναπτύσσεται αµέσως παρακάτω αφορά την πρώτη περιοχή. 52

53 1.8 Ψυχρή καταστατική εξίσωση για gr/cm 3 < ρ < gr/cm 3 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Καταστατική εξίσωση BBP Οι πρώτες καταστατικές εξισώσεις ϐασίζονταν στον ηµιεµπειρικό τύπο µάζας. Οι Baym, Bethe και Pethick ϐελτίωσαν αυτό το µοντέλο και ϕτιάξανε µια καταστατική εξίσωση που ϕέρει τα ονόµατά τους ή πιο σύντοµα BBP. Στο µοντέλο τους ϑεώρησαν ότι έχουν ύλη που αποτελείται από κάποιους πυρήνες, ελεύθερα νετρόνια και ελεύθερα ηλεκτρόνια. Αν η ύλη ήταν καθαρά νετρονική το σύστηµα ϑα ήταν µη-δέσµιο σε οποιαδήποτε πυκνότητα καθώς δε δρα η τανυστική, ισχυρή πυρηνική έλξη κατάσταση 3 S 1 του δευτέριου), λόγω της απαγορευτικής αρχής του Pauli. Παρόλα αυτά η ύλη στους πυρήνες είναι πλούσια σε νετρόνια και προσεγγίζεται στην BBP ως παρόµοια µε το νέφος ελεύθερων νετρονίων έξω από αυτούς. Πριν τη BBP χρησιµοποιούνταν ο ηµιεµπειρικός τύπος µάζας για τους πυρήνες µε A Z 0.5, ενώ το αέριο νετρονίων ϐασιζόταν στις αλληλεπιδράσεις n-n. Η παρουσία του αερίου έξω από τους πυρήνες µειώνει την επιφανειακή ενέργεια. Προφανώς όταν δεν υπάρχει διαφορά στο περιβάλλον εντός-εκτός πυρήνα η επιφανειακή ενέργεια ϑα πρέπει να µηδενίζεται. Τέλος οι πυρήνες που είναι ϑετικά ϕορτισµένοι σχηµατίζουν ένα πλέγµα Coulomb, το οποίο και λήφθηκε υπόψη στον υπολογισµό της ενέργειας πιο προσεκτικά. Η BBP ϐασίζεται στο µοντέλο της υγρής σταγόνας. Είναι ε = ε A, Z, n N, n n, V N ) = n N W N + W L ) + ε n n n ) 1 V N n N ) + ε e n e ) 1.135) όπου n είναι οι αριθµητικές πυκνότητες, ε οι ενέργειες, W N είναι η ενέργεια των πυρήνων που περιέχει και τις µάζες ηρεµίας, W L είναι η ενέργεια του πλέγµατος Coulomb, V N ο όγκος ενός πυρήνα,v N n N το ποσοστό όγκου όλων των πυρήνων και 1 V N n N το ποσοστό όγκου των νετρονίων στην αέρια κατάσταση. Ο όγκος των πυρήνων V N µειώνεται ως αποτέλεσµα της πίεσης που δέχεται από το εξωτερικό αέριο. Η συνθήκη ηλεκτρικής ουδετερότητας είναι n e = Zn N ενώ η ϐαρυονική πυκνότητα είναι n = An N + 1 V N n N ) n n µε n n = Nn N V n = n V 1 V N n N ). Η ισορροπία καθορίζεται από ελαχιστοποίηση της ε για δεδοµένη n. H ε εξαρτάται από πέντε µεταβλητές, εποµένως ϑα υπάρχουν τέσσερις ανεξάρτητες συνθήκες, οι οποίες δίνονται παρακάτω: 1. Για ένα µοναδιαίο όγκο για να ϐρούµε το είδος A των πυρήνων, µε δεδοµένο αριθµό πρωτονίων n N Z, δεδοµένο αριθµό νετρονίων n N A Z), δεδοµένο λόγο νετρονίων εκτός πυρήνων n n 1 V N n N ) και δεδοµένο λόγο όγκου πυρήνων n N V N, κρατάµε αυτές τις ποσότητες σταθερές και ελαχιστοποιούµε την ε. Είναι ε n σταθερή, και επειδή n e επίσης σταθερή, ε e και αυτή σταθερή. Ορίζουµε x = Z A. Αφού n N = σταθ A από την 1.135) προκύπτει ότι ) WN + W L = ) A A x,n N A,n N V N,n n Η ϕυσική σηµασία αυτού του αποτελέσµατος είναι ότι η ενέργεια ανά νουκλεόνιο πρέπει να είναι ελάχιστη µέσα στον πυρήνα. 2. Οι πυρήνες πρέπει να είναι σταθεροί ως προς τη ϐ-διάσπαση, δηλαδή να µην αναµένονται αλλαγές στο Z. Άρα ελαχιστοποιούµε την ε ως προς Z µε σταθερά τα A, n N, V N, n n Z ε e n e ) = dε e dn e n e Z = µ en N 1.137) και από την 1.135) προκύπτει µ e = Z W N + W L ) A,nN,V N,n n. Αυτό το χηµικό δυναµικό µπορεί να γραφεί και διαφορετικά αν χρησιµοποιήσουµε τα αντίστοιχα για νετρόνια και πρωτόνια και επειδή A/ Z = 1 και τελικά µ N) p µ N) n = A W N + W L ) Z,nN,V N,n n = Z W N + W L ) A,nN,V N,n n + A W N + W L ) Z,nN 1.138),V N,n n = Z W N + W L ) A Z,nN,V N,n n µ e = µ N) n µ N) p 1.139) 3. Τα ελεύθερα νετρόνια στο αέριο ϐρίσκονται σε ισορροπία µε τα νετρόνια στους πυρήνες, κάτι που σηµαίνει ότι δεν κοστίζει ενεργειακά η µεταφορά ενός νετρονίου από το ένα περιβάλλον στο άλλο. Ελαχιστοποιούµε την ε µε σταθερά τα Z, n N, V N, n n n A = n N 1.140) 1 V N n N 53

54 1.8 Ψυχρή καταστατική εξίσωση για gr/cm 3 < ρ < gr/cm 3 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ή µ N) n n N µ N) n = µ G) n n N 1 V N n N και [ W N n N Z,A,nN,V n N + 1 V N n N ) dε ] n = ) n dn n µ G) n N W N n = Z,A,nN,V 1 V N n N n N + dε n 1.142) n dn n Η ενέργεια ανά πυρήνα και ανά µοναδιαίο όγκο που καταλαµβάνεται από το αέριο είναι n N V ) W N n N = W N 1.143) V n 1 V N n N 4. Ισορροπία στις πιέσεις του αερίου και των πυρήνων P G) = P N). Ελαχιστοποιώ ε ως προς V N µε σταθερά τα Z, A, n N και Nn V = n n 1 V N n N ). Επειδή n n = σταθ 1 V N n N είναι Επίσης από την 1.135) είναι n n = n nn N 1.144) V N 1 V N n N n 0 = n N V N W N + W L ) Z,A,nN,n n + n n W N N ) V N n n Z,A,nN,V N +n n 1 V N n N ) nn ε n 1.145) V N n n n n Z,A,n N,n n οπότε και P N) = W N + W L ) V Z,A,nN,n n 1.146) N P G) = n n µ G) n ε n 1.147) Για να υπολογίσουµε την καταστατική εξίσωση πρέπει να ϐρούµε τη συναρτησιακή µορφή των W N, W L, ε n και ε e. Για την ενέργεια των πυρήνων, σύµφωνα µε το µοντέλο της υγρής σταγόνας είναι W N = A [ 1 x) m n c 2 + xm p c 2 + W k, x) ] + W C + W S 1.148) όπου W k, x) είναι η ενέργεια όγκου της πυρηνικής ύλης που αντιστοιχεί σε κάθε νουκλεόνιο αν η αριθµητική πυκνότητα είναι n = 2k3 3π και συµπεριλαµβάνει την ενέργεια που οφείλεται στην 2 αλληλεπίδραση νουκλεονίου-νουκλεονίου. Με W C συµβολίζουµε την ενέργεια Coulomb και W S την επιφανειακή ενέργεια. Για x = 0 η W k, x) χρησιµοποιείται και για το νετρονικό αέριο, οπότε ε n = n n [ W kn, 0) + m n c 2] όπου n n = 2k3 n 3π 2. Οι υπολογισµοί παράµετρων στηνw k, x) ϐασίζονται σε πυρηνικά δεδοµένα του ηµιεµειρικού τύπου µάζας µε κατάλληλη, Στην Εικόνα 1.23) παρουσιάζεται γραφικά η καταστατική εξίσωση BBP. 54

55 1.8 Ψυχρή καταστατική εξίσωση για gr/cm 3 < ρ < gr/cm 3 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Figure 1.23: Η καταστατική εξίσωση BBP. Συγκριτικά παρουσιάζεται και η εξίσωση HW. [8] Τα σηµαντικότερα αποτελέσµατα της προσέγγισης των BBP είναι: Τα ελεύθερα νετρόνια συνεισφέρουν όλο και µεγαλύτερο ποσοστό της πίεσης καθώς αυξάνουµε την πυκνότητα. Στο σηµείο κόρου των νετρονίων, η πίεση οφείλεται σχεδόν αποκλειστικά στα ηλεκτρόνια, αλλά για ρ = gr/cm 3 είναι Pn /P = 0.2 και όταν ρ = gr/cm 3 είναι Pn /P = 0.8 Η πυκνότητα στην οποία συµβαίνει το ND επιτυγχάνεται και λίγο πάνω από αυτήν ο Γ πέφτει απότοµα Εικόνα 1.24)) και µοντελοποιείται ως Γ = 4 3 [ ] 1 a ρ ρ ND ) 1 /2 µε a µια ϑετική σταθερά. Αυτό συµβαίνει γιατί τα νετρόνια του αερίου συνεισϕέρουν αισϑητά στην ρ αλλά όχι στην P. Η συνεισϕορά στην P αποκαθίσταται ξανά όταν ρ gr/cm 3 και ο αδιαβατικός δείκτης γίνεται και πάλι Γ = 4 3. Καµιά αστρική δοµή δε µπορεί να είναι σταθερή έχοντας κεντρική πίεση ρ c σε αυτή την περιοχή πυκνοτήτων που µαλακώνει η καταστατική εξίσωση. 55

56 1.9 Οι αστέρες νετρονίων µακροσκοπικά 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Figure 1.24: Αδιαβατικός δείκτης Γ συναρτήσει της πυκνότητας ρ.[8] Οι πυρήνες υπάρχουν στην ύλη µέχρι και τις πυκνότητες ρ gr/cm 3 όπου και σχεδόν εφάπτονται. Σε µεγαλύτερες πυκνότητες το πλέγµα εξαφανίζεται και δίνει τη ϑέση του σε ένα πυρηνικό υγρό. Στις πυκνότητες ρ > gr/cm 3 είναι µ e > m µ, όπου m µ η µάζα ηρεµίας του µυονίου, το οποίο και πρέπει να συµπεριληφθεί στον υπολογισµό της καταστατικής εξίσωσης. 1.9 Οι αστέρες νετρονίων µακροσκοπικά οµή αστέρων νετρονίων Ο αστέρας νετρονίων αποτελείται από έναν πυρήνα, έναν ϕλοιό και µια ατµόσϕαιρα. Ο πυρήνας και ο ϕλοιός διαιρούνται σε εξωτερικά και εσωτερικά τµήµατα. Η ατµόσφαιρα αποτελείται από ένα πολύ λεπτό στρώµα πλάσµατος, έως 10 cm για ϑερµούς αστέρες µε T K και λίγα χιλιοστά για κάποιον ψυχρό µε T 10 5 K. Το πλάσµα εκπέµπει κάποια ϑερµική ηλεκτροµαγνητική ακτινοβολία. Η ακτινοβολία αυτή µπορεί να δώσει πληροφορίες για το επιφανειακό στρώµα του αστέρα, όπως την ενεργό του ϑερµοκρασία, την επι- ϕανειακή ϐαρύτητα, τη χηµική του σύσταση, την ισχύ και τη γεωµετρία του µαγνητικού πεδίου, αλλά και πληροφορίες για την ακτίνα και τη µάζα του αστέρα. Για ψυχρούς ή υπερµαγνητισµένους αστέρες µπορεί να έχουµε στερεή ή υγρή επιφάνεια. Για T 10 6 K και B K τα υπάρχοντα µοντέλα δεν είναι πολύ καλά. Τα προβλήµατα αφορούν τον υπολογισµό της καταστατικής εξίσωσης, την ισορροπία ιοντισµού και τη ϕασµατική αδιαφάνεια του πλάσµατος. Αν η ϱοή ακτινοβολίας είναι αρκετά ισχυρή είναι δυνατόν η δύναµη που ασκεί στα ϕορτισµένα σωµατίδια να υπερβαίνει τη ϐαρυτική δύναµη και η ατµόσϕαιρα να είναι ασταθής µε απώλεια πλάσµατος. Για τις ϑερµές και µη-µαγνητισµένες ατµόσϕαιρες αυτό γίνεται όταν ξεπεραστεί το όριο Eddington L edd = 4πcGMm ) p M erg/s 1.149) σ T M Κάτω από την ατµόσφαιρα και για µερικές εκατοντάδες µέτρα, µέχρι η πυκνότητα να ϕτάσει την αντίστοιχη πυκνότητα κορεσµού των νετρονίων ρ ND, ϐρίσκεται ο εξωτερικός ϕλοιός. Αποτελείται από ϑετικά ιόντα και ηλεκτρόνια. Οταν ρ 10 4 gr/cm 3 τα άτοµα ιονίζονται πλήρως. Για τους ϑερ- µούς αστέρες νετρονίων υπάρχει και µια λεπτή επιφάνεια λίγων µέτρων µη-εκφυλισµένου αερίου 56

57 1.9 Οι αστέρες νετρονίων µακροσκοπικά 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ηλεκτρονίων. Πιο ϐαθιά όµως ο εκφυλισµός αυξάνεται σε σηµείο τα ηλεκτρόνια να αποτελούν σχεδόν ιδανικό αέριο, ενώ γίνονται και υπερσχετικιστικά για ρ 10 6 gr/cm 3 και η πίεση οφείλεται κυρίως σε αυτά. Τα ιόντα του πλάσµατος στην ατµόσφαιρα του αστέρα νετρονίων µπορεί να περιγραφούν από τη στατιστική Maxwell-Boltzmann, πιο ϐαθιά όµως στον εξωτερικό ϕλοιό σχηµατίζουν συζευγµένο σύστηµα Coulomb, υγρό ή αέριο. Το µεγαλύτερο µέρος συνήθως είναι στερεό. Με την αύξηση της πυκνότητας αυξάνεται και η ενέργεια Fermi των ηλεκτρονίων E F e) µε αποτέλεσµα να συµφέρει ενεργειακά η νετρονιοποίηση της ύλης µέσω αρπαγής ηλεκτρονίων από τους πυρήνες. Στη ϐάση του εξωτερικού ϕλοιού σχηµατίζεται αέριο ελεύθερων νετρονίων. Ο εσωτερικός ϕλοιός είναι περίπου 1 km σε πάχος και οριοθετείται από τις πυκνότητες ρ ND 0.5ρ 0 αποτελούµενος από αέριο ελεύθερων νετρονίων και ηλεκτρονίων και πυρήνες πλούσιους σε νετρόνια. Γενικά η νετρονιοποίηση της ύλης µαλακώνει την καταστατική εξίσωση, αλλά στη ϐάση του ϕλοιού η απωστική δύναµη µικρής εµβέλειας των νετρονίων τη σκληραίνει. Σε κάποια µοντέλα, το κατώτερο µέρος του ϕλοιού µε ρ0 /3 ρ0 /2 οι πυρήνες χάνουν το σϕαιρικό σχήµα τους και σχηµατίζουν ένα µανδύα. Σε κάθε περίπτωση οι πυρήνες εξαφανίζονται στο σύνορο ϕλοιού-πυρήνα του αστέρα νετρονίων. Τα ελεύθερα νετρόνια και τα νουκλεόνια στους πυρήνες µπορεί να ϐρίσκονται σε υπέρρευστη κατάσταση. Κατεβαίνοντας προς τα κάτω συναντάµε τον εξωτερικό πυρήνα ϐάθους αρκετών χιλιοµέτρων. Οι πυκνότητες εδώ είναι 0.5ρ 0 2ρ 0 και η σύσταση της ύλης είναι η λεγόµενη npeµ, δηλαδή νετρόνια, πρωτόνια, ηλεκτρόνια και µυόνια. Το πλάσµα εδώ είναι ισχυρά εκφυλισµένο και τα e και µ σχηµατίζουν ένα σχεδόν ιδανικό αέριο. Η κατάσταση καθορίζεται από τις συνθήκες ηλεκτρικής ουδετερότητας και ϐ-ισορροπίας που παρέχονται από ένα µικροσκοπικό µοντέλο αλληλεπίδρασης πολλών νουκλεονίων. Αν ο αστέρας έχει µικρή µάζα, τότε αυτή η περιοχή εκτείνεται µέχρι το κέντρο του. Τέλος, η κεντρική περιοχή των πιο µαζικών αστέρων νετρονίων δεν είναι άλλη από τον εσωτερικό πυρήνα και αφορά τις πυκνότητες ρ 2ρ 0. Η ακτίνα είναι αρκετών χιλιοµέτων και η κεντρική πυκνότητα κυµαίνεται στις τιµές ρ c = 10 15) ρ 0. Η σύσταση και η καταστατική εξίσωση εδώ έχουν ισχυρή εξάρτηση από το µοντέλο που ϑα επιλεχθεί για να περιγράψει την ύλη. Οι υποθέσεις που υπάρχουν µέχρι σήµερα είναι 1. Υπερονιοποίηση, δηλαδή παραγωγή υπερονίων, κυρίως Σ και Λ 0 2. Συµπύκνωµα πιονίων, που συνδέεται µε ισχυρή επανακανονικοποίηση και µείξη των νουκλεονικών καταστάσεων 3. Συµπύκνωµα καονίων, ύλη που περιγράφεται από τη στατιστική Bose-Einstein µε παραξενιά strange quark) 4. Αλλαγή ϕάσης σε ύλη quark, δηλαδή ελεύθερα u, d και s quark µε λίγα έως καθόλου e Οι υποθέσεις 2, 3 και 4 ανήκουν στα λεγόµενα εξωτικά µοντέλα. Τα 2 και 3 δε µπορούν να µελετηθούν σε εργαστήριο, κάτι που αυξάνει τη σηµασία των µοντέλων στους αστέρες νετρονίων. Το 4 είναι η κατάσταση της ύλης στις σχετικιστικές συγκρούσεις ϐαρέων ιόντων. Με την υπόθεση της υπερονιοποίησης ϑα ασχοληθούµε στο τελευταίο µέρος αυτής της εργασίας. Στην Εικόνα 1.25) ϐλέπουµε τη δοµή του αστέρα νετρονίων. 57

58 1.10 Ιστορική εξέλιξη της µελέτης της κατασταστικής εξίσωσης του αστέρα νετρονίων 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Figure 1.25: οµή αστέρα νετρονίων. Πάνω: Ο εξωτερικός ϕλοιός αποτελείται από ϑετικά ιόντα Z και ηλεκτρόνια e και στη ϐάση του σχηµατίζεται αέριο ελεύθερων νετρονίων n. Είναι αρκετά λεπτός σε σχέση µε τα υπόλοιπα υποκείµενα στρώµατα. Ο εσωτερικός ϕλοιός ξεκινάει από τις πυκνότητες ρ ND gr/cm 3 και τελείωνει όταν η τιµή της πυκνότητας γίνει η µισή περίπου της πυρηνικής πυκνότητας κορεσµού ρ 0 = gr/cm 3. Αποτελείται από πυρήνες Z πλούσιους σε νετρόνια και από ελεύθερα n και e και έχει συνολικό πάχος 1 2 km. Το µεγαλύτερο µέρος του αστέρα καταλαµβάνει ο πυρήνας του. Ο εξωτερικός πυρήνας αποτελείται από ύλη npeµ και ϕτάνει µέχρι το ϐάθος εκείνο στο οποίο η πυκνότητα είναι δύο ϕορές η ρ 0. Από έκει και πέρα αρχίζει η κεντρική περιοχή του αστέρα για οποία η γνώση µας γύρω από τη σύσταση και την καταστατική εξίσωση της ύλης είναι αρκετά αβέβαιη. Η κεντρική πίεση ρ c σε κάποια µοντέλα κυµαίνεται στις τιµές ρ 0. Τα αποτελέσµατα είναι πολύ ευαίσϑητα εξαρτώµενα από το υποτιθέµενο µοντέλο. Μια υπόθεση είναι η ύπαρξη υπερονίων σε αυτόν. Κάτω: Λεπτοµερέστερη περιγραφή των εξωτερικών στρωµάτων. Πηγή:[5] 1.10 Ιστορική εξέλιξη της µελέτης της κατασταστικής εξίσωσης του αστέρα νετρονίων Σε αυτή την παράγραφο αναφέρουµε τις χρονιές και τους επιστήµονες που συνέβαλλαν στη διαµόρφωση των προσεγγίσεων, των ιδεών και των ϑεωριών για την καταστατική εξίσωση της πυκνής πυρηνικής ύλης και του αστέρα νετρονίων. Παράλληλα δίνεται και µια πιο σϕαιρική εικόνα της 58