«Δυσκολίες κατανόησης της έννοιας της συνάρτησης

Transcript

1 ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Δυσκολίες κατανόησης της έννοιας της συνάρτησης από μαθητές της Α Λυκείου» ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Γ. ΘΩΜΑΣ Δ Επιβλέπων Καθηγητής : κ. Θ. ΖΑΧΑΡΙΑΔΗΣ ΙΟΥΛΙΟΣ

2 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Κατά τη διάρκεια της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης οι μαθητές έρχονται σε επαφή με την έννοια της συνάρτησης. Η έννοια της συνάρτησης είναι αφηρημένη και αποδεικνύεται ότι είναι μια από τις πιο δύσκολες έννοιες που αντιμετωπίζουν οι μαθητές στα σχολικά μαθηματικά. Οι μαθητές δυσκολεύονται να ερμηνεύουν διαγράμματα και να χειρίζονται σύμβολα όπως f(x), cos(x+α) κ.λ.π. Επίσης, συναντούν δυσκολία στο να συνδέσουν μεταξύ τους τις διαφορετικές αναπαραστάσεις των συναρτήσεων: τύπους, γραφήματα, πίνακες τιμών, διαγράμματα, προφορική περιγραφή σχέσεων. Στην παρούσα έρευνα εξετάζεται η κατανόηση της έννοιας της συνάρτησης από τους μαθητές της Α Λυκείου δύο λυκείων της Εύβοιας. Με βάση τα συμπεράσματα της έρευνας προτείνονται τρόποι υπέρβασης των δυσκολιών που αντιμετωπίζουν οι μαθητές μέσω καινοτόμων μεθόδων διδασκαλίας των συναρτήσεων, για τα μαθηματικά της Α Λυκείου. ABSTRACT During the secondary school, students come into contact with the concept of function. Function is a process that assigns an element x of a set A is called the domain; a single element y of a set B is called the range. The concept of function is abstract and is proving to be one of the most difficult concepts encountered by students in school mathematics. Students find it difficult to interpret diagrams and manipulate symbols like f (x), cos (x + a), etc. Also, find it difficult to connect between different representations of functions: formulas, graphs, tables of values, graphs, verbal description relations. In the present study examines the understanding of the concept of the function by students in the A lyceum of two secondary schools of Evia. Based on the findings of the investigation are ways to overcome the difficulties faced by students through innovative teaching methods functions for math of A lyceum. 2

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σελίδα ΕΙΣΑΓΩΓΗ 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ & ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ Ερευνητικό Πρόβλημα Ερευνητικά Ερωτήματα 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ Η έννοια της συνάρτησης Ο ορισμός της συνάρτησης Η διδακτική μεταφορά της συνάρτησης Οι δυσκολίες και τα λάθη των μαθητών στην κατανόηση της συνάρτησης Μελέτες που πραγματοποιήθηκαν για τη συνάρτηση Η σημασία των αναπαραστάσεων στην έννοια της συνάρτησης Αλλαγή πεδίου αναπαράστασης της συνάρτησης Η σύνδεση μεταξύ γραφικής και αλγεβρικής αναπαράστασης 31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Δεδομένα Ανάλυση Ερωτηματολογίου Τεστ Μέθοδος Δειγματοληψίας Εργαλεία 39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Συμπεράσματα Αποτελεσμάτων Έρευνας Τρόποι Υπέρβασης Function Probe AristoClass Διδακτικό Σχέδιο της Sierpinska 63 ΕΠΙΛΟΓΟΣ 66 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 68 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 1 : ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ 73 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 2 : ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ SPSS 83 3

4 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι μια δύσκολη έννοια. Πολλοί μαθητές ταυτίζουν οποιαδήποτε σχέση με την έννοια της συνάρτησης, άλλοι θεωρούν ότι μια οποιαδήποτε σχέση μεταξύ δύο μεταβλητών x και y είναι συνάρτηση ή ότι μόνο οι συναρτήσεις έχουν γραφικές παραστάσεις κ.λπ. Στόχος της έρευνας, που πραγματοποιήθηκε, είναι να προσδιορίσει μερικές από τις λανθασμένες αντιλήψεις των μαθητών σχετικά με την έννοια της συνάρτησης. Με βάση τα αποτελέσματα που προκύπτουν θα προταθούν διάφοροι τρόποι υπέρβασης αυτών. Είναι γενικά παραδεκτό, ανάμεσα στους μαθηματικούς παιδαγωγούς, ότι η συνάρτηση είναι ένα απ τα σημαντικότερα θέματα, το οποίο καλούνται να αντιμετωπίσουν τα παιδιά κατά τη διάρκεια της δευτεροβάθμιας και της τριτοβάθμιας εκπαίδευσής τους (Eisenberg, 1992) Ο σημαντικός ρόλος που κατέχει η έννοια της συνάρτησης, η οποία αποτελεί μια έννοια με μακρόχρονη ιστορική εξέλιξη, στη διδασκαλία και στη μάθηση των Μαθηματικών φαίνεται από το μεγάλο αριθμό ερευνητικών εργασιών που εμφανίζονται στη διεθνή βιβλιογραφία και επιχειρούν μια πολυδιάστατη μελέτη της έννοιας αυτής. Μια συνάρτηση μπορεί να εκφραστεί με τη χρήση ενός πίνακα τιμών, μιας γραφικής παράστασης, μιας αλγεβρικής έκφρασης ή μιας λεκτικής έκφρασης. Κάθε αναπαράσταση παρέχει πληροφορίες για ορισμένες πτυχές της έννοιας, χωρίς να μπορεί να την περιγράψει ολοκληρωτικά. Χαρακτηριστικά αναφέρεται η μετάβαση από την αλγεβρική έκφραση μιας συνάρτησης στη γραφική της παράσταση και αντίστροφα. (Γραββάνη, 2006) Όπως αναφέρουν οι Καλδρυμίδου και Οικονόμου (2001), μια αλγεβρική έκφραση είναι αναλογική με την έννοια ότι μεταφέρει πληροφορία γραμμικά μέσω μιας ακολουθίας προτάσεων, που μπορούν να διαβαστούν η μια μετά την άλλη. Αντίθετα, η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης είναι ολιστική, αφού οι σχέσεις μεταξύ των απλών συστατικών της γραφικής παράστασης δίνονται ταυτόχρονα, με παράλληλο τρόπο και η επεξεργασία τους απαιτεί την ανάλυση του όλου και τη σύνθεση των μερών. 4

5 Η Δρίβα (2005) στην διπλωματική της εργασία με θέμα «Δυσκολίες μαθητών λυκείου στην κατανόηση της συνάρτησης» κάνει αναφορά στις δυσκολίες συνδυασμού των διαφόρων αναπαραστάσεων της έννοιας της συνάρτησης και προκύπτουν ορισμένα στάδια διαμόρφωσης της έννοιας της συνάρτησης τα οποία είναι: 1. Οι μαθητές έχουν ανακριβείς ιδέες για την έννοια. 2. Είναι σε θέση ν αντιμετωπίζουν διαφορετικές αναπαραστάσεις της έννοιας. 3. Είναι σε θέση να κάνουν μετάφραση με διατήρηση του νοήματος από ένα σύστημα αναπαράστασης σε άλλο. 4. Είναι σε θέση να συνδυάζουν δύο συστήματα αναπαράστασης. 5. Είναι σε θέση να συνδυάζουν διάφορα συστήματα αναπαράστασης με στόχο την επίλυση προβλήματος (Δρίβα, 2005). Στην παρούσα εργασία θα προσπαθήσουμε να εξερευνήσουμε τις δυσκολίες που συναντούν και τα λάθη πού κάνουν οι μαθητές της Α Λυκείου στην κατανόηση της έννοιας της συνάρτησης καθώς και τους τρόπους υπέρβασης αυτών. Διαλέξαμε το θέμα αυτό, διότι η συνάρτηση είναι μια πολύ σημαντική έννοια, την οποία αντιμετωπίζουν οι μαθητές σε όλη τη διάρκεια της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης, αφού η διδασκαλία της άλγεβρας και της ανάλυσης έχουν ως επίκεντρο τις συναρτήσεις. Η δομή της εργασίας είναι η εξής. Στο κεφάλαιο 1 αναλύεται το ερευνητικό πρόβλημα και τα ερευνητικά ερωτήματα, στο κεφάλαιο 2 παρατίθεται το θεωρητικό υπόβαθρο, στο κεφάλαιο 3 η μεθοδολογία της εμπειρικής έρευνας, στο κεφάλαιο 4 τα αποτελέσματα και στο κεφάλαιο 5 τα συμπεράσματα. Στο σημείο αυτό θεωρώ αναγκαίο να εκφράσω τις ευχαριστίες μου, ιδιαίτερα στον επιβλέποντα καθηγητή μου κ. Θεοδόση Ζαχαριάδη, Καθηγητή του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αθηνών, του οποίου η βοήθεια ήταν καθοριστική για την υλοποίηση της παρούσας εργασίας. 5

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΚΑΙ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ Στην Ελλάδα, η έννοια της συνάρτησης εισάγεται στην Β Γυμνασίου μέσω προβλημάτων αναλόγων ποσών. Στην ίδια τάξη γίνεται και η διαπραγμάτευση της γραμμικής συνάρτησης και της συνάρτησης αντιστρόφως αναλόγων ποσών. Είναι χαρακτηριστικό ότι η γραμμική συνάρτηση ψ=αχ+β δεν αντιμετωπίζεται ως μία συνάρτηση που παίρνει διαφορετικές μορφές, ανάλογα με τις τιμές των α και β, αλλά αρχικά γίνεται η μελέτη της συνάρτησης ψ=αχ των αναλόγων ποσών και στη συνέχεια, σε ξεχωριστή ενότητα, γίνεται η μελέτη της συνάρτησης ψ=αχ+β. Η μελέτη αυτών των συναρτήσεων περιορίζεται στην κατασκευή του πίνακα τιμών και της γραφικής παράστασης της κάθε συνάρτησης. Η συνάρτηση δευτέρου βαθμού εισάγεται στην επόμενη τάξη, ενώ αναλυτική μελέτη των συναρτήσεων γίνεται στην Α Λυκείου. 1.1 Ερευνητικό Πρόβλημα Για την εισαγωγή της έννοιας της συνάρτησης στην δευτεροβάθμια εκπαίδευση, αλλά και την κατανόηση της από τους μαθητές διάφορων ηλικιών, έχουν διενεργηθεί πολλές έρευνες παγκοσμίως, ειδικά όσον αφορά την κατανόηση από τους μαθητές της έννοιας της συνάρτησης και το πώς εκείνοι αντιλαμβάνονται την αριθμητική ή τη γραφική μορφή της συνάρτησης καθώς και τις επιμέρους έννοιές της (Brown 2009, Heid 2009). Στη χώρα μας έχουν επίσης διενεργηθεί αρκετές έρευνες για την διδασκαλία και την κατανόηση των επιμέρους εννοιών της συνάρτησης (Σταμπουλίδης, 2003; Ζουλινάκη, 2006). Ο κύριος προβληματισμός, όμως που θα απασχολήσει την παρούσα έρευνα είναι να προσδιοριστεί η ικανότητα των μαθητών της Α Λυκείου να κατανοήσουν συνολικά την έννοια και την διδακτέα ύλη της συνάρτησης. Σε αυτό το κεφάλαιο θα διατυπωθούν τα ερευνητικά ερωτήματα που πηγάζουν από το παραπάνω ερευνητικό πρόβλημα, καθώς και οι επιμέρους ερευνητικοί στόχοι που η παρούσα έρευνα διερευνά για να απαντηθούν τα ερευνητικά ερωτήματα. 6

7 1.2 Ερευνητικά Ερωτήματα Από την βιβλιογραφική ανασκόπηση που παρατίθεται στο επόμενο κεφάλαιο και από τον προσδιορισμό του ερευνητικού προβλήματος, πηγάζουν τα παρακάτω ερευνητικά ερωτήματα, τα οποία έχουν ως σκοπό να καλύψουν τα κενά γνώσης πάνω στην ικανότητα κατανόησης των μαθητών της Α Λυκείου της έννοιας της συνάρτησης. Ερευνητικό Ερώτημα 1 (Ε.Ε.1): Είναι ικανοί οι μαθητές της Α Λυκείου να κατανοήσουν την έννοια της συνάρτησης σύμφωνα με την θεωρία; Για να δώσει μια ουσιώδη απάντηση στο παραπάνω ερευνητικό ερώτημα η έρευνα σκοπεύει να εκπληρώσει τέσσερεις ερευνητικούς στόχους. Αρχικά θα εξετάσει αν οι μαθητές μετά από ένα τετράμηνο διδασκαλίας μπορούν να δώσουν έναν επαρκή ορισμό της συνάρτησης (Ερευνητικός Στόχος 1.1, Ε.Σ.1.1). Στη συνέχεια θα εξετάσει αν οι μαθητές μπορούν να διαχωρίσουν ποιες γραφικές παραστάσεις αναφέρονται σε συναρτήσεις (Ε.Σ.1.2). Έπειτα, θα διερευνήσει αν οι μαθητές μπορούν να αναγνωρίσουν σε μια μαθηματική σχέση μια συνάρτηση και τις ανεξάρτητες ή εξαρτημένες μεταβλητές της (Ε.Σ.1.3). Τέλος, θα ερευνήσει αν οι μαθητές μπορούν να κατανοήσουν πότε ένα βελοδιάγραμμα αναφέρεται σε συνάρτηση (Ε.Σ.1.4). Ερευνητικό Ερώτημα 2 (Ε.Ε.2): Είναι ικανοί οι μαθητές της Α Λυκείου να κατανοήσουν τις επιμέρους έννοιες οι οποίες συνδέονται με την έννοια της συνάρτησης; Για να απαντήσει στο παραπάνω ερευνητικό ερώτημα η παρούσα έρευνα έχει ως ερευνητικούς στόχους να διερευνήσει αν οι μαθητές της Α Λυκείου μπορούν να προσδιορίσουν το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης (Ε.Σ.2.1), αν μπορούν να προσδιορίσουν το είδος συμμετρίας μιας συνάρτησης (Ε.Σ.2.2), αν μπορούν να κατανοήσουν την έννοια των ακρότατων μιας συνάρτησης και να τα προσδιορίσουν (Ε.Σ.2.3) και τέλος αν οι μαθητές είναι ικανοί να κατατάξουν τις συναρτήσεις σε άρτιες ή περιττές (Ε.Σ.2.4). Ερευνητικό Ερώτημα 3 (Ε.Ε.3): Μπορούν οι μαθητές της Α Λυκείου να επιλύσουν μαθηματικά προβλήματα συναρτήσεων; 7

8 Για την απάντηση στο Ε.Ε.3 η παρούσα έρευνα σκοπεύει να διερευνήσει αν οι μαθητές της Α Λυκείου μπορούν να επιλύσουν προβλήματα συναρτήσεων χρησιμοποιώντας τις μεθοδολογίες που έχουν διδαχτεί κατά την διάρκεια του τετραμήνου. Αρχικά, εξετάζει αν οι μαθητές μπορούν να επιλύσουν γραφικά συστήματα συναρτήσεων (Ε.Σ.3.1). Επιπλέον, εξετάζει αν οι μαθητές μπορούν να βρουν τον άγνωστο συντελεστή μιας παράσταση όταν δίνεται η γραφική της παράσταση και ο τύπος της (Ε.Σ.3.2). Τέλος, διερευνά αν οι μαθητές μπορούν να συμπληρώσουν μια γραφική παράσταση συνάρτησης όταν δίνεται η συμμετρία της σε ένα σημείο (Ε.Σ.3.3). 8

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ Στις επόμενες ενότητες γίνεται μια παρουσίαση της υπάρχουσας βιβλιογραφίας η οποία αφορά στο αντικείμενο μελέτης της διπλωματικής. 2.1 Η έννοια της συνάρτησης Η έννοια της συνάρτησης είναι κεντρική στην επιστήμη των μαθηματικών και ανάγεται στην γενικότερη τάση του ανθρώπου να κάνει συσχετισμούς μεταξύ ποσοτήτων. Η έννοια της συνάρτησης, σαν έκφραση μιας εξάρτησης ανάμεσα σε δύο συγκεκριμένες ποσότητες, υπήρχε με τη μορφή αστρονομικών πινάκων από την εποχή των Βαβυλώνιων (1800 π.χ.). Κατά τους Ελληνιστικούς χρόνους, χαρακτηριστικό παράδειγμα αποτελούν και οι πίνακες χορδών της «Αλμαγέστης», του Έλληνα μαθηματικού και αστρονόμου της αλεξανδρινής περιόδου Κλαύδιου Πτολεμαίου ( μ.χ.). Σύμφωνα με τον Youschkevitch (1977) οι απόψεις σχετικά με το πότε ανακαλύφθηκε η έννοια της συνάρτησης ποικίλουν. Άλλοι θεωρούν τον Καρτέσιο ως τον πρώτο που επινόησε την έννοια της συνάρτησης με την εισαγωγή των συντεταγμένων, άλλοι πάλι επισημαίνουν σημεία συναρτησιακής σκέψης στα μαθηματικά των Αρχαίων Ελλήνων. Η πιο κοινή άποψη παρουσιάζεται στο βιβλίο History of Mathematics του D.E. Smith, που αναφέρει πως η πραγματική έννοια της συνάρτησης με χρήση συντεταγμένων εκφράστηκε για πρώτη φορά καθαρά και δημόσια από τον Descartes. Ωστόσο, ο Boyer (1968) θεωρεί πως η ιδέα της συνάρτησης και των συμβόλων για μεταβλητές δεν υπήρχε στους μαθηματικούς εκείνης της εποχής. (Struik, 1982) Σύμφωνα με αναφορές που γίνονται στο βιβλίο του Struik, A concise history of Mathematics οι W. Hartner & M. Schramm υποστηρίζουν πως οι πράξεις με συναρτήσεις άρχισαν στην αρχαιότητα και τελειοποιήθηκαν την εποχή που δόθηκε η γενική έννοια της συνάρτησης. Ο Boyer (1968) αναφέρει κάποια πρότυπα συναρτήσεων από την αρχαία Ελλάδα με τη χρήση αναλογιών, ενώ ο Bell υποστηρίζει πως οι Βαβυλώνιοι μαθηματικοί ασχολούνταν με συναρτήσεις. Είναι γεγονός πάντως ότι ο κλασικός ορισμός της συνάρτησης αποδίδεται είτε στον Dirichlet, είτε στον Lobatchevsky, αν και αυτή η άποψη μπορεί να αμφισβητηθεί, αφού η γενική έννοια της συνάρτησης ως σχέση μεταξύ δύο συνόλων διατυπώθηκε πολύ νωρίτερα, περί τα μέσα του 18 ου αιώνα. (Struik, 1982) 9

10 Οι βασικές περίοδοι εξέλιξης της έννοιας της συνάρτησης μέχρι τα μέσα του 19 ου αιώνα, είναι οι εξής (Youschkevitch, 1977) : 1. Αρχαιότητα: η περίοδος όπου η μελέτη συγκεκριμένων περιπτώσεων αλληλεξάρτησης δύο ποσοτήτων δεν οδήγησε στις έννοιες των μεταβλητών και των ποσοτήτων. 2. Μεσαίωνας: η περίοδος όπου αυτές οι γενικές έννοιες αρχικά εκφράστηκαν γεωμετρικά και μηχανικά, αλλά κάθε συγκεκριμένη περίπτωση αλληλεξάρτησης δύο ποσοτήτων ορίστηκε με προφορική περιγραφή ή με ένα γράφημα, όχι όμως με τύπο. 3. Η Μοντέρνα περίοδος: η περίοδος όπου άρχισαν να αναδύονται αναλυτικές εκφράσεις των συναρτήσεων. Φαίνεται ότι η μαθηματική σκέψη στην Αρχαιότητα, παρά το προχωρημένο επίπεδο που είχε φτάσει σε πολλούς τομείς, δεν οδηγήθηκε σε μία γενική έννοια της συνάρτησης. Είναι χαρακτηριστικό ότι στο πεδίο των εφαρμογών της εποχής, και ιδιαίτερα στην αστρονομία, ο κύριος στόχος ήταν η πινακοποίηση των συναρτήσεων, που τότε τις αντιλαμβάνονταν ως σχέσεις μεταξύ συνόλων. Ακόμα και στα τέλη του 16 ου αιώνα μ.χ. οι συναρτήσεις παριστάνονταν είτε προφορικά, είτε με γράφημα, είτε με πίνακες τιμών. Η εισαγωγή του τύπου της συνάρτησης έγινε αργότερα και ήταν μία επανάσταση για την εξέλιξη των μαθηματικών. (Youschkevitch, 1977) Τα γεγονότα που έδωσαν αποφασιστική ώθηση στην ανάπτυξη της έννοιας της συνάρτησης ήταν η δημιουργία της Άλγεβρας (χρήση γραμμάτων και ειδικών συμβόλων για την αναπαράσταση μαθηματικών πράξεων, σχέσεων, αγνώστων κ.λπ.) και της αναλυτικής γεωμετρίας (χρήση του αλγεβρικού συμβολισμού σε γεωμετρικά προβλήματα). 2.2 Ορισμός της Συνάρτησης Ο πρώτος ορισμός για την συνάρτηση δόθηκε από τον Bernoulli: «Συνάρτηση ενός μεταβλητού μεγέθους ορίζεται μια ποσότητα, που σχηματίζεται με οποιονδήποτε τρόπο απ αυτό το μεταβλητό μέγεθος και από σταθερές». Επίσης, πρότεινε το ελληνικό γράμμα «φ» να χρησιμοποιείται ως συμβολισμός για μια συνάρτηση και μάλιστα χωρίς παρενθέσεις δηλαδή «φ χ». (Struik, 1982) Ο ορισμός του Bernoulli δεν έδειχνε πως θα συγκροτήσουμε συναρτήσεις από ανεξάρτητες μεταβλητές, αλλά αναφερόταν σε αναλυτικές εκφράσεις των συναρτήσεων, με βάση τη γενική τάση της εποχής. Το 1734, ο Euler είναι ο πρώτος 10

11 μαθηματικός που εισήγαγε το συμβολισμό f(x) και το 1748 στο έργο του «Εισαγωγή στην απειροστική ανάλυση» δίνει τον ακόλουθο ορισμό : «Συνάρτηση μιας μεταβλητής ποσότητας ονομάζεται μια αναλυτική έκφραση, που σχηματίζεται με οποιονδήποτε τρόπο από αυτή τη μεταβλητή ποσότητα και αριθμούς ή σταθερές ποσότητες». (Struik, 1982) Ο ορισμός της συνάρτησης του Euler κέρδιζε ολοένα και μεγαλύτερη αναγνώριση. Με βάση αυτόν τον ορισμό ο Condorcet διακρίνει 3 είδη συναρτήσεων : 1) αυτές που γνωρίζουμε τον τύπο τους 2) αυτές που εισάγονται με άλυτες εξισώσεις 3) αυτές που δίνονται μόνο από κάτω ορισμένες προϋποθέσεις. Ο Lagrange έδωσε τον εξής ορισμό «συνάρτηση μιας ή περισσότερων μεταβλητών ποσοτήτων ονομάζεται κάθε αναλυτική έκφραση στην οποία εμφανίζονται με οποιονδήποτε τρόπο αυτές οι ποσότητες είτε μόνες τους είτε μαζί με άλλες των οποίων οι τιμές θεωρούνται σταθερές, ενώ οι ποσότητες της συνάρτησης μπορούν να παίρνουν όλες τις δυνατές τιμές». Ο ορισμός του Euler έγινε αποδεκτός από τρεις μεγάλους μαθηματικούς : τον Fourier, τον Lobatchevsky και τον Dirichlet. O Lobatchevsky ορίζει «συνάρτηση του χ είναι ένας αριθμός που δίνεται για κάθε χ και αλλάζει καθώς αλλάζει το χ. Η τιμή της συνάρτησης μπορεί να δίνεται ή με αναλυτική έκφραση ή με μια συνθήκη με την οποία ελέγχεις ένα σύνολο αριθμών και επιλέγεις έναν από αυτούς ή τέλος η εξάρτηση μπορεί να υπάρχει και να παραμένει άγνωστη». (Struik, 1982) Το 1837 δόθηκε ακόμη ένας ορισμός για τη συνάρτηση από τον Dirichlet που στηριζόταν στη μελέτη των σειρών Fourier. «Αν μια μεταβλητή y σχετίζεται με μια άλλη μεταβλητή x, ώστε κάθε φορά που δίνεται στο x μια αριθμητική τιμή υπάρχει ένας κανόνας σύμφωνα με τον οποίο ορίζεται μια μοναδική τιμή του y, τότε λέμε ότι το y είναι μια συνάρτηση της ανεξάρτητης μεταβλητής x.» (Boyer, 1968) Το 1870 ο Hankel έγινε γνωστός με τον εξής ορισμό «μια σχέση του y ως προς χ είναι συνάρτηση εάν κάθε τιμή του y μέσα σε ένα συγκεκριμένο διάστημα αντιστοιχίζεται σε μια τιμή του χ». Η έννοια της συνάρτησης είναι μια από τις βασικές έννοιες για τη συγκρότηση της Μαθηματικής επιστήμης στη σημερινή της μορφή. Ωστόσο το αφηρημένο και περιεκτικό της νόημα δύσκολα γίνεται κατανοητό και οι μαθητές έχουν δυσκολίες στο χειρισμό και στην εφαρμογή. Η ανάπτυξη της έννοιας μέσα 11

12 στην επιστημολογική και ιστορική της διάσταση φωτίζει πολλές από τις δυσκολίες που αφορούν τη διδασκαλία της. Τέλος, ο ορισμός που χρησιμοποιείται και διδάσκεται σήμερα στους μαθητές είναι ο συνολοθεωρητικός ορισμός: «Συνάρτηση είναι μια διαδικασία κατά την οποία αντιστοιχίζουμε ένα στοιχείο x ενός συνόλου Α που το ονομάζουμε πεδίο ορισμού, σε ένα και μόνο στοιχείο y ενός συνόλου Β που το ονομάζουμε πεδίο τιμών». 2.3 Η διδακτική μεταφορά της συνάρτησης Η έννοια της συνάρτησης είναι αφηρημένη και αποδεικνύεται ότι είναι μια από τις πιο δύσκολες έννοιες που αντιμετωπίζουν οι μαθητές στα σχολικά μαθηματικά. Οι μαθητές δυσκολεύονται να ερμηνεύουν διαγράμματα και να χειρίζονται σύμβολα όπως f(x), f(x+α) κ.λπ. Επίσης, συναντούν δυσκολία στο να συνδέσουν μεταξύ τους τις διαφορετικές αναπαραστάσεις των συναρτήσεων: τύπους, γραφήματα, πίνακες τιμών, διαγράμματα, προφορική περιγραφή σχέσεων. Αυτό οφείλεται στα επίπεδα πολυπλοκότητας και στις πολυάριθμες υπό-έννοιες που συνδέονται με την έννοια αυτή, στην έλλειψη θεωρητικού πλαισίου, στη δυσκολία των θεωρητικών της μοντέλων και στους τρόπους διδακτικής μεταφοράς της στην τάξη. Είναι γενικά παραδεκτό ότι η διδασκαλία των Μαθηματικών στο σχολείο γίνεται σε μεγάλο βαθμό ξεκομμένη από τις εμπειρίες των παιδιών, με αποτέλεσμα οι έννοιες να μη βρίσκουν κάποιο προηγούμενο εννοιολογικό υπόστρωμα για να στηριχτούν. Οι μαθητές ενίοτε, παγιδεύονται σε μια σειρά εμποδίων που αποτελούν γενικεύσεις των αποσπασματικών σχολικών εμπειριών ή μεταφορών γλωσσικών συνειρμών, που προσλαμβάνονται κατά κυριολεξία, όπως για παράδειγμα την αναζήτηση μιας χρονικής μεταβλητής πίσω από τους όρους της ανεξάρτητης ή της εξαρτημένης μεταβλητής. Τα εκπαιδευτικά προγράμματα ακολουθούν διάφορους δρόμους αποκαλύπτοντας στους μαθητές κομμάτια ενός πάζλ, που συγκροτούν ένα αόριστο συνονθύλευμα αποσπασματικών πληροφοριών, τυφλών απομνημονεύσεων, διάσπαρτων συνιστωσών, που ενδεχομένως ενοποιούνται σε πανεπιστημιακό επίπεδο σπουδών που έχουν να κάνουν με τις θετικές επιστήμες: τύποι, γραφήματα, διαγράμματα, προφορική περιγραφή σχέσεων κ.α. Σύμφωνα με την Sierpinska (1992) οι μαθητές αντιμετωπίζουν τις παρακάτω δυσκολίες στην κατανόηση της συνάρτησης κατά τη διδασκαλία της: 12

13 Το ασυνείδητο σχήμα σκέψης που αναφέρεται στις αλλαγές του κόσμου ως φαινόμενα και χωρίς να επικεντρώνεται στο πως τα πράγματα αλλάζουν, παραγνωρίζοντας το τι αλλάζει, δηλαδή τις παραμέτρους της αλλαγής. Μια τέτοια στάση βλέπει κατά ποιοτικό τρόπο τον κόσμο και δεν στέκεται στις ποσοτικές σχέσεις. Η σκέψη που κατά πρωταρχικό τρόπο αναπτύσσεται στην άλγεβρα και αφορά στο χωρισμό σε σταθερές και άγνωστες ποσότητες οδηγεί συχνά στην ιδέα της εξίσωσης και όχι στη συνάρτηση. Η σύγχυση μεταξύ συνάρτησης και σχέσης. Η διάκριση μεταξύ της χρήσης του αριθμού και της ποσότητας. Αυτό εν γένει οφείλεται σε μια περιορισμένη κατανόηση του συνόλου των πραγματικών αριθμών. Η εντύπωση ότι οι συναρτήσεις πρέπει να δίνονται με έναν αναλυτικό τύπο. Το πρόβλημα μεταξύ των διαφορετικών αναπαραστάσεων μιας συνάρτησης, συμβολική, γραφική, με πίνακα τιμών κ.λπ. Άλλα εμπόδια, όπως η εύκολη εντύπωση της συνάρτησης ως 1-1 και η δυσκολία της κατανόησης του πολλά ένα. Με βάση τα παραπάνω, η διδασκαλία της συνάρτησης θα πρέπει να ξεκινά από τις διάφορες δυνατές εμφανίσεις της έννοιας, π.χ. γραφικές παραστάσεις, πίνακες τιμών, λεκτικές είτε συμβολικές μορφές και θα πρέπει να διακρίνεται από άλλες που συνειρμικά ενδεχομένως εμπλέκονται στο νου των μαθητών π.χ. σχέσεις που δεν είναι συναρτήσεις, όπως η εξίσωση του κύκλου από την έννοια της εξίσωσης, επειδή και εκείνη δίνεται με τύπο, από στερεότυπες αποδόσεις της έννοιας, π.χ. συνέχεια της συνάρτησης, μονοκλαδική. Θα πρέπει να προσθέσουμε και άλλες στερεότυπες προσκολλήσεις των μαθητών που έχουν παρατηρηθεί σε διάφορες έρευνες, όπως η 1-1 συνάρτηση ως το πλέον διαδεδομένο παράδειγμα συνάρτησης. Μια άλλη δυσκολία, που οι μαθητές αντιμετωπίζουν στην κατανόηση των εννοιών που έχουν σχέση με τις συναρτήσεις καθώς και της μετάφρασής τους από τη μια μορφή έκφρασης στην άλλη, είναι ο τρόπος με τον οποίο γίνεται η διδακτική μεταφορά τους στην τάξη. Συγκεκριμένα, το πλαίσιο μελέτης της συνάρτησης παρουσιάζεται πολύ περιορισμένο και τα προβλήματα που χρησιμοποιούνται είναι συγκεκριμένου τύπου συνήθως καλλιεργείται η μετάβαση από την αλγεβρική έκφραση στη γραφική παράσταση. 13

14 Οι ερευνητές Vinner & Dreyfus (1989) διαπίστωσαν ότι οι μαθητές πιστεύουν λανθασμένα ότι: Οι συναρτήσεις πρέπει να δίνονται με έναν τύπο. Αν δίνονται πολλαπλοί τύποι συναρτήσεων, τότε έχουμε πολλές συναρτήσεις. Μια συνάρτηση υπάρχει αν υπάρχει ένας τύπος που την περιγράφει. Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης πρέπει να έχει «καλή συμπεριφορά» (συμμετρικότητα, ομαλότητα, συνεχώς να αυξάνεται) Θα πρέπει να υπάρχει μια πράξη στο x που να αποδίδει το y, αυτό αποκλείει άλλου είδους σχέσεις. Ο καθορισμός του πεδίου ορισμού δεν αποτελεί μέρος του ορισμού της συνάρτησης. Συνεπώς, η διδακτική μεταφορά της συνάρτησης και η κατανόησή της από τους μαθητές είναι πολύ δύσκολη, αφού η τελευταία εμπλέκει τρεις διαφορετικές διαστάσεις: την επιστημολογική διάσταση, όπως αυτή εκφράστηκε στα μαθηματικά κείμενα διαφόρων μαθηματικών μέσα στην ιστορία, την επιστημολογία των καθηγητών των μαθηματικών και τέλος, τη διδακτική διάσταση, η οποία δεν αφορά μόνο τις γνώσεις των μαθητών, αλλά και τη λειτουργία του εν γένει διδακτικού συστήματος και τους περιορισμούς, τους οποίους θέτει. 2.4 Οι δυσκολίες και τα λάθη των μαθητών στην κατανόηση της συνάρτησης Κατά τη διάρκεια της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης οι μαθητές έρχονται σε επαφή με την έννοια της συνάρτησης. Η συνάρτηση είναι μια από τις πιο σημαντικές και θεμελιώδης έννοιες της μαθηματικής εκπαίδευσης αφού πολλά κεφάλαια συνδέονται με αυτήν και η κατανόηση της έννοιας της συνάρτησης μας βοηθάει να κατανοήσουμε και άλλες έννοιες καλύτερα(συστήματα, πολυώνυμα, κτλ). Ωστόσο, είναι μια από τις δυσκολότερες έννοιες για τους μαθητές. Αυτό οφείλεται κυρίως στο γεγονός ότι για την αναπαράσταση της συνάρτησης υπάρχουν πολλοί τρόποι αναπαράστασης και οι μαθητές συναντούν δυσκολία στο να συνδέουν μεταξύ τους τις διαφορετικές παραστάσεις των συναρτήσεων. Για παράδειγμα πίνακας τιμών, γραφική παράσταση, τύπος, λεκτική έκφραση. Ακόμη, δυσκολεύονται στο να ερμηνεύουν γραφήματα και να χειρίζονται τα γραφήματα που έχουν σχέση με τις συναρτήσεις. (Fey, 1984) Οι μαθητές θα πρέπει να είναι σε θέση να παριστάνουν τις 14

15 συναρτήσεις και με τους τρεις αυτούς τρόπους, αλλά και να μπορούν να μεταβαίνουν από τη μια αναπαράσταση στην άλλη (O Callaghan, 1998). Επίσης, δυσκολεύονται στην κατανόηση των εννοιών που συνδέονται με την συνάρτηση. Αυτές οι έννοιες είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή, η εξαρτημένη μεταβλητή, το πεδίο ορισμού κτλ. Άλλη δυσκολία που αντιμετωπίζουν είναι στην χρήση της συμβολικής γλώσσας και στην μετάβαση από τη μια μορφή αναπαράστασης στην άλλη. Ειδικότερα, κάθε είδος αναπαράστασης περιέχει συγκεκριμένες πληροφορίες για τη συνάρτηση χωρίς όμως να την περιγράφει ολοκληρωτικά. Η μια ουσιαστικά αλληλοσυμπληρώνει την άλλη και όλες μαζί δίνουν μια πιο ολοκληρωμένη εικόνα της έννοιας. Τέλος, η γλώσσα που χρησιμοποιείται σε σχέση με τις συναρτήσεις δεν βοηθά στην κατανόηση της έννοιας της συνάρτησης. Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι το «f(x)» που αντιπροσωπεύει συγχρόνως και την ονομασία της συνάρτησης και την τιμή της. Υπάρχουν πολλές περιπτώσεις που οι μαθητές χρησιμοποιούν διαφορετικό συμβολισμό και διαφορετική γλώσσα. Ο Gerson (2008) υποστηρίζει ότι υπάρχει διαφορά μεταξύ του μαθηματικού ορισμού μίας έννοιας και του τρόπου με τον οποίο ένας μαθητής κατανοεί την έννοια αυτή. Η εικόνα της έννοιας της συνάρτησης μπορεί να περιλαμβάνει τη διαδικασία παραγωγής στοιχείων - «βάζεις έναν αριθμό και σου βγάζει κάποιον άλλο» ή ότι «αν φέρεις κάθετη στον άξονα χ χ τέμνει τη γραφική παράσταση το πολύ σε ένα σημείο». Μπορεί επίσης η έννοια της συνάρτησης για μερικούς μαθητές να ταυτίζεται με το σύμβολο «f(χ)». Είναι πολύ πιθανό η εικόνα μίας έννοιας στο μυαλό του μαθητή να μην περιλαμβάνει τον μαθηματικό ορισμό της έννοιας. Ο Gerson (2008) συνεχίζει διατυπώνοντας την άποψη ότι οι μαθητές συχνά δυσκολεύονται κατά τη μετάβαση από μία αναπαράσταση της συνάρτησης σε μία άλλη. Είναι δε αξιοσημείωτο ότι, ακόμα και όταν οι μαθητές μπορούν να μεταβούν με ευκολία από τη μία αναπαράσταση στην άλλη, συχνά δυσκολεύονται να μεταφέρουν τις πληροφορίες που έχουν από τη μία αναπαράσταση ως γνώση για μια άλλη αναπαράσταση. Για παράδειγμα, στη γραμμική συνάρτηση ψ=αχ+β, ενώ οι μαθητές, όταν έχουν τον τύπο αναφέρουν ότι το α αποτελεί την κλίση της ευθείας, ωστόσο δεν συσχετίζουν την κλίση με την εφαπτομένη της γωνίας που η ευθεία, δηλαδή η γραφική παράσταση της συνάρτησης, σχηματίζει με τον άξονα Οχ. Στην πραγματικότητα οι μαθητές αντιμετωπίζουν τις αναπαραστάσεις μίας συνάρτησης ως ανεξάρτητες μεταξύ τους. 15

16 Ειδικότερα, οι μαθητές βρίσκουν δυσκολία στη μετάφραση της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης και στη σύνδεσή της με άλλες αναπαραστάσεις της συνάρτησης. Συχνά οι μαθητές βρίσκουν παρόμοιες δυσκολίες και στην αναπαράσταση μιας συνάρτησης με πίνακα τιμών. Σύμφωνα με την Sajka (2003) βασική αιτία, των δυσκολιών που οι μαθητές συναντούν με την έννοια της συνάρτησης, είναι η διπλή της φύση. Η συνάρτηση μπορεί να γίνει κατανοητή με δύο τρόπους. Ο ένας τρόπος είναι ως αντικείμενο και ο άλλος ως διαδικασία. Για παράδειγμα, ο τύπος της συνάρτησης ψ=f(χ)=2χ+3 μας λέει συγχρόνως δύο πράγματα: πρώτον, πώς μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή της συνάρτησης (του ψ) για συγκεκριμένη τιμή του χ (διαδικασία) και δεύτερον, μας δίνει το σύνολο των ζευγών (χ, ψ) για ολόκληρο το πεδίο ορισμού της συνάρτησης (αντικείμενο). Επίσης, η Sierpinska (1992) τονίζει ότι για την κατανόηση της συνάρτησης χρειάζεται ευελιξία διότι, για παράδειγμα, το f(χ) αντιπροσωπεύει και το όνομα μιας συνάρτησης, αλλά και την τιμή της συνάρτησης f. Η ερμηνεία του συμβόλου αυτού εξαρτάται από το πλαίσιο μέσα στο οποίο αναφέρεται και είναι κάτι που μπορεί να μπερδέψει τους αρχάριους μαθητές. Σύμφωνα με την Sierpinska (1992), για να πουν ότι η τιμή μιας συνάρτησης στο 7 είναι 8 κάποιοι μαθητές θα έγραφαν «x(7)=8». Αυτό θα διαβαζόταν: «θέσε το 7 στη θέση του x στον τύπο της συνάρτησης. Παίρνει τότε τιμή 8». Η έννοια της τιμής της συνάρτησης είναι στενά συνδεδεμένη με την δραστηριότητα των μαθητών να υπολογίζουν την τιμή εάν δοθεί ο τύπος. Για να εκφράσουν το «f(x)» αυτοί θα έλεγαν: «θέσε 7 στον τύπο της συνάρτησης και υπολόγισε. Τότε παίρνεις έναν αριθμό». Η Artigue (1997) θεωρεί ότι τα κριτήρια στα οποία βασίζονται οι μαθητές ώστε να διακρίνουν αν μία σχέση είναι συνάρτηση ή όχι, διαφέρουν από τον τυπικό ορισμό της έννοιας και αυτό ισχύει ακόμα και για μαθητές που φαίνεται να γνωρίζουν τον τυπικό ορισμό της συνάρτησης. Αυτά τα κριτήρια εξαρτώνται περισσότερο από τυπικά παραδείγματα που λειτουργούν ως πρότυπα (prototypes) και από συσχετίσεις όπως η συσχέτιση συνάρτηση-τύπος ή συνάρτηση-καμπύλη. Έτσι, το ίδιο αντικείμενο μπορεί να θεωρηθεί συνάρτηση ή όχι, ανάλογα με την αναπαράστασή του. 16

17 Αυτό επιβεβαιώνεται και από την έρευνα των Dubinsky & Harel (1992), καθώς οι αντιλήψεις των μαθητών για την συνάρτηση κυριαρχούνται από τα κοινά πρότυπα των συναρτήσεων όπως : η συνάρτηση είναι ένας τύπος ή συνάρτηση είναι μια κανονική καμπύλη. Τα κριτήρια των μαθητών για τον καθορισμό μιας συναρτησιακής κατάστασης βασίζονται συνήθως σε συμβολικές εκφράσεις. Για παράδειγμα, η συνάρτηση με το σταθερό εξαγόμενο 4 δεν θα αναγνωρισθεί ως συνάρτηση εάν παρουσιάζεται με την αλγεβρική έκφραση y=4 διότι σύμφωνα με την αντίληψη : «συνάρτηση είναι τύπος» πρέπει να υπάρχει μια μεταβλητή x η οποία είναι συμβολικώς απούσα με αυτή την έκφραση. Εξάλλου, η ίδια συνάρτηση είναι πιθανόν να αναγνωρίζεται εάν παρουσιάζεται σε μια γραφική παράσταση, εξ αιτίας της αντίληψης «συνάρτηση είναι καμπύλη». Ειδικότερα, ο Vinner (1992) και οι Dubinsky & Harel (1992) μας αναφέρουν κάποια άλλα λάθη που κάνουν οι μαθητές : 1) Σχετικά με τον χειρισμό θεωρούν για μια κατάσταση η οποία ερμηνεύεται ως συνάρτηση, πρέπει να περιλαμβάνει σαφείς εκτελεστικούς χειρισμούς. Για παράδειγμα, σύμφωνα με την αντίληψη αυτή, ένας πίνακας με δύο στήλες δεδομένων, ίσως δεν ερμηνεύεται ως αντιπροσωπευτικό τύπος συναρτήσεως γιατί δεν γίνεται σαφής διάκριση των εισαγομένων δεδομένων ανεξάρτητης μεταβλητής στην μια στήλη από τα εξαγόμενα δεδομένα στην άλλη στήλη. 2) Η ποσότητα : Οι μεταβλητές πρέπει να είναι αριθμοί 3) Η συνέχεια : Μια γραφική παράσταση η οποία αντιπροσωπεύει μια συνάρτηση πρέπει να είναι συνεχής. Μια ακόμη δυσκολία με την έννοια της συναρτήσεως είναι η θεώρηση συναρτήσεων ως μαθηματικών εργαλείων στην επίλυση προβλημάτων όπου η έννοια της συναρτήσεως δεν παρουσιάζεται σαφώς στα οπτικοποιημένα προβλήματα. Σε αυτά τα προβλήματα απαιτείται να ερμηνεύσουμε το φαινόμενο με όρους μιας συναρτήσεως και εν συνεχεία να αναζητήσουμε τα ακρότατά της.η βασική απαίτηση για την κατανόηση συναρτήσεων, την οποία δεν φαίνεται να έχουν οι μαθητές, είναι η ικανότητα να μετουσιώνουν μεταβολές πραγματικών καταστάσεων χρησιμοποιώντας συναρτήσεις». Ο Vinner (1983) υποστηρίζει ότι το πρόβλημα έγκειται στη διάκριση ανάμεσα στην έννοια, έτσι όπως ορίζεται από τον τυπικό ορισμό και στην εικόνα της έννοιας, έτσι όπως αναπαρίσταται στο νου του ατόμου ως αποτέλεσμα των διαδικασιών μάθησης 17

18 Πιο συγκεκριμένα, οι Vinner & Dreyfus (1989) βρήκαν ότι οι μαθητές για να διακρίνουν αν μία γραφική παράσταση ή ένας τύπος είναι συνάρτηση, δεν στηρίζονταν στον τυπικό ορισμό της συνάρτησης. Επίσης, κάποιες ιδιότητες της γραμμικής συνάρτησης, αλλά και της συνάρτησης δευτέρου βαθμού λειτουργούσαν ως πρότυπα. Είχαν ως σημείο αναφοράς την εικόνα της έννοιας αντί του μαθηματικού ορισμού της. Έτσι, αφού οι μαθητές στηρίζονται στην εικόνα της έννοιας ώστε να αποφασίσουν αν μία σχέση είναι ή όχι συνάρτηση, είναι πολύ σημαντικό η εικόνα της έννοιας που θα αναπτύξουν να είναι πλούσια και ακριβής. Επιπροσθέτως, πολλοί δάσκαλοι και ερευνητές ισχυρίζονται ότι ο ορισμός της συνάρτησης ως σχέσης μεταξύ μεταβλητών είναι πιο ευκολονόητος για τους μαθητές, διότι ανταποκρίνεται καλύτερα στη διαίσθησή τους για την συνάρτηση (Vinner & Dreyfus, 1989). Επιπλέον, η Sierpinska (1992) προτείνει σε πρώτο στάδιο οι συναρτήσεις να παρουσιάζονται ως μοντέλα σχέσεων, αφού έτσι πρωτοεμφανίστηκαν στην ιστορία. Τέλος, οι μαθητές οι οποίοι δεν έχουν αφομοιώσει την έννοια της συναρτήσεως συνήθως συνδέουν τις συναρτήσεις και τις εξισώσεις μόνο δια μέσου του τύπου. Για παράδειγμα, οι μαθητές ίσως βλέπουν την δευτεροβάθμια συνάρτηση και την αναγνωρίζουν απλώς συνδέοντάς την με την εξίσωση, για την οποία γνωρίζουν τους τύπους επιλύσεως. Αυτή η σύνδεση βασίζεται στην ομοιότητα μόνο και όχι στη γνώση της σχέσης μεταξύ των δύο. Με άλλα λόγια, οι συγκεκριμένοι μαθητές θεωρούν την εξίσωση ως μια συλλογή στοιχείων, τα οποία αναγνωρίζουν δια των σχέσεων χώρου ή χρόνου οι οποίες σχέσεις τα συνδέουν. Σε κανένα στάδιο του σχηματισμού της έννοιας δεν πρέπει αυτό το επίπεδο της κατανόησης να είναι ανεκτό. Δυστυχώς εν τούτοις, πολλοί μαθητές δεν προχωρούν πέραν του σημείου τούτου. Η βασική αιτία αυτής της δυσκολίας είναι ότι οι μαθητές εισάγονται βιαστικά στον χειρισμό συμβόλων, στις διαδικασίες και στις λύσεις προβλημάτων. Φθάνει να κοιτάξουμε τα μαθηματικά εγχειρίδια για να αντιληφθούμε ότι το μεγαλύτερο μέρος της ενασχολήσεως με τα μαθηματικά αποτελείται από επαναλαμβανόμενες ανιαρές εκπαιδευτικές δραστηριότητες εφαρμογών σταθερών διαδικασιών σε αναρίθμητες συλλογές κατασκευαστικών ιδανικών προβλημάτων. Το χειρότερο από την πλευρά των μαθητών είναι ότι ο μόνος σκοπός αυτού του είδους της δραστηριότητας είναι η εξαγωγή αριθμητικών αποτελεσμάτων, τα οποία συμπίπτουν με αριθμούς και παραστάσεις καταχωρημένες στο τέλος του βιβλίου υπό τον τίτλο «απαντήσεις» 18

19 2.5 Μελέτες που πραγματοποιήθηκαν για τη συνάρτηση Η σημασία των αναπαραστάσεων στην έννοια της συνάρτησης Η ανάπτυξη της έννοιας της συνάρτησης στους μαθητές θα έπρεπε να αποτελεί βασικό στόχο του αναλυτικού προγράμματος τόσο της δευτεροβάθμιας όσο και της τριτοβάθμιας εκπαίδευσης (Eisenberg, 1992). Ωστόσο, η ποικιλία αναπαραστάσεων που συνδέονται με την έννοια της συνάρτησης και οι δυσκολίες που παρουσιάζονται κατά τη διαδικασία συνδυασμού των συστημάτων αναπαράστασης μιας έννοιας, η οποία εμπλέκεται στην επίλυση προβλήματος, δυσχεραίνουν την επίτευξη του παραπάνω στόχου (Hitt, 1998). Είναι γενικά παραδεκτός ο σημαντικός ρόλος που διαδραματίζουν οι πολλαπλές αναπαραστάσεις των συναρτήσεων στη μαθηματική ανάπτυξη των μαθητών και γι αυτό θα πρέπει οι μαθητές να είναι ικανοί να μεταβαίνουν μεταξύ της συμβολικής, της γραφικής και της αναπαράστασης σε πίνακα μιας συνάρτησης. (Γραββάνη, 2006) Επιπλέον, θα πρέπει να υπάρχει η δυνατότητα χρησιμοποίησης των αναπαραστάσεων ως ένα από τα νέα μοντέλα στη διδασκαλία και τη μάθηση των μαθηματικών. (Γραββάνη, 2006) Η έννοια της συνάρτησης είναι θεμελιώδους σημασίας στη μάθηση των μαθηματικών (Eisenberg, 1992). Οι συναρτήσεις έχουν μια βασική θέση στο αναλυτικό πρόγραμμα σπουδών των μαθηματικών, όπως έχουμε ήδη αναφέρει, σε όλες τις βαθμίδες εκπαίδευσης και ιδιαίτερα στη δευτεροβάθμια και τριτοβάθμια, όπου παίρνουν ένα ευρύ φάσμα εκφράσεων και αναπαραστάσεων. Όντας θεμελιώδης για τη μελέτη των μαθηματικών, η έννοια της συνάρτησης έχει προσδιοριστεί ως ενιαία σημαντικότερη έννοια, καθ όλη τη σχολική εκπαίδευση των μαθητών (Dubinsky & Harel, 1992). Η διδακτική μεταφορά της έννοιας της συνάρτησης, όπως ήδη έχει προαναφερθεί, φαίνεται δύσκολη, δεδομένου ότι περιλαμβάνει τρεις διαφορετικές διαστάσεις: την επιστημολογική διάσταση όπως εκφράζεται στα ιστορικά μαθηματικά κείμενα, την επιστημολογία των καθηγητών μαθηματικών για τη συνάρτηση και τη διδακτική διάσταση που αφορά στη γνώση των μαθητών και στους περιορισμούς που θέτει το εκπαιδευτικό σύστημα (Evangelidou, Spyrou, Elia & Gagatsis, 2004). Η πολυπλοκότητα της διδακτικής μεταφοράς και η κατανόηση της έννοιας της συνάρτησης είναι κύρια ανησυχία των εκπαιδευτικών και σημαντική εστίαση της 19

20 προσοχής για την ερευνητική κοινότητα (Dubinsky & Harel, 1992; Sierpinska, 1992). Οι έρευνες σχετικά με τις συναρτήσεις, τη διδασκαλία τους και τη μάθηση κατέχουν ένα τεράστιο μέρος στη βιβλιογραφία μαθηματικών κειμένων. (Evangelidou et al, 2004; Sfard, 1992; Sierpinska, 1992; Vinner & Dreyfus, 1989) Ένας ουσιαστικός αριθμός ερευνητικών μελετών έχει εξετάσει επίσης το ρόλο των διαφορετικών αναπαραστάσεων στην κατανόηση και την ερμηνεία των συναρτήσεων (Gagatsis & Shiakalli, 2004; Hitt, 1998). Η έννοια της συνάρτησης περιλαμβάνει ποικίλες αναπαραστάσεις, οι οποίες πρέπει να εφαρμόζονται κατά τη διδασκαλία της έννοιας και κάθε μια από αυτές προσφέρει πληροφορίες για τις ιδιαίτερες πτυχές της έννοιας χωρίς να είναι σε θέση να την περιγράφει εντελώς. Τα μαθηματικά κείμενα επεξηγούν τις συναρτήσεις με διάφορους τρόπους, όπως με διαγράμματα, πίνακες τιμών, γραφικές παραστάσεις και αλγεβρικούς τύπους. Η χρησιμοποίηση των πολλαπλών αναπαραστάσεων για τη διδασκαλία της συνάρτησης, δηλαδή, η λεκτική, η γραφική και συμβολική μορφή, στοχεύει στην προώθηση, την ενίσχυση και τη βαθιά κατανόηση της συνάρτησης. Οι Eisenberg και Dreyfus (1994) επισημαίνουν ότι η συνάρτηση είναι μια από τις σημαντικότερες ιδέες της μαθηματικής σκέψης, δεδομένου ότι επιτρέπει στους μαθητές να αποκτήσουν τις επιμέρους γνώσεις στις σχέσεις μεταξύ των μεταβλητών σε καταστάσεις επίλυσης προβλήματος. Επίσης, λαμβάνοντας υπόψη την ποικιλία των αναπαραστάσεων που συνδέονται με αυτή την έννοια και τις δυσκολίες που παρουσιάζονται στη διαδικασία επιλογής κατάλληλων συστημάτων αναπαραστάσεων για την επίλυση προβλήματος, είναι φανερό πως οι συναρτήσεις στα σχολικά μαθηματικά δεν είναι εύκολη υπόθεση. Η έννοια της συνάρτησης είναι θεμελιώδους σπουδαιότητας στη μάθηση των μαθηματικών και κατέλαβε σημαντική εστίαση της προσοχής για την ερευνητική μαθηματική κοινότητα κατά τη διάρκεια των προηγούμενων δεκαετιών. (Dubinsky & Harel (1992); Evangelidou et al, 2004; Gagatsis & Shiakalli, 2004; Sfard, 1992; Sierpinska, 1992; Vinner & Dreyfus, 1989). Διάφοροι ερευνητές έχουν ασχοληθεί πρόσφατα με την προφανή μοναδικότητα της έννοιας της συνάρτησης (Janvier, 1998). Αν και οι αναπαραστάσεις χρησιμοποιούνται εκτενώς στα μαθηματικά και η ικανότητα μετάφρασης συσχετίζεται ιδιαίτερα επιτυχώς στη μαθηματική εκπαίδευση, 20

21 η χρήση των πολλαπλών αναπαραστάσεων των συναρτήσεων, που υποστηρίζονται έντονα από την τεχνολογία, δεν έχει φτάσει σε όλες τις γωνίες της εκπαίδευσης. Ο σημαντικός ρόλος που κατέχει η έννοια της συνάρτησης, η οποία αποτελεί μια έννοια με μακρόχρονη ιστορική εξέλιξη, στη διδασκαλία και μάθηση των μαθηματικών διαφαίνεται από το μεγάλο αριθμό ερευνητικών εργασιών που εμφανίζονται στη διεθνή βιβλιογραφία και επιχειρούν μια πολυδιάστατη μελέτη της έννοιας αυτής. Οι εργασίες θα μπορούσαν να ταξινομηθούν σε δύο τομείς ανάλογα με το θέμα στο οποίο εξειδικεύονται: Ο ορισμός της συνάρτησης και η διδακτική προσέγγιση της έννοιας, αφορά σε έρευνες που ασχολούνται με τις αντιλήψεις των μαθητών σε σχέση με την έννοια της συνάρτησης (Dubinsky & Harel, 1992; Gagatsis & Shiakalli, 2004; Sfard, 1992; Sierpinska, 1992; Vinner & Dreyfus, 1989) Η συνάρτηση και οι διάφοροι τρόποι αναπαράστασής της (Duval, 2002; Hitt, 1998; Καλδρυμίδου & Οικονόμου, 1992). Στον πρώτο τομέα μπορούν να ταξινομηθούν οι εργασίες που εστιάζουν την προσοχή τους στον ορισμό της συνάρτησης και στη διδακτική προσέγγιση της έννοιας. Ένας σημαντικός αριθμός εργασιών που εμπίπτουν στον τομέα αυτό ασχολείται με τις αντιλήψεις των μαθητών σε σχέση με την έννοια της συνάρτησης, όπως αυτές διαμορφώνονται κατά τη διάρκεια της μαθηματικής τους παιδείας. Ο δεύτερος τομέας περιλαμβάνει τις εργασίες που εξετάζουν τη συνάρτηση σε σχέση με τους διάφορους τρόπους αναπαράστασής της και τη μετάβαση από το ένα πεδίο έκφρασης στο άλλο. Μια συνάρτηση μπορεί να εκφραστεί με τη χρήση ενός πίνακα τιμών, μιας γραφικής παράστασης, μιας αλγεβρικής έκφρασης ή μιας λεκτικής έκφρασης. Όπως επισημαίνουν οι Καλδρυμίδου και Οικονόμου (1992) κάθε πεδίο έκφρασης, κάθε αναπαράσταση, διαφωτίζει και παρέχει πληροφορίες για ορισμένες πτυχές της έννοιας, χωρίς να μπορεί να την περιγράψει ολοκληρωτικά. Αντίθετα, οι διάφορες αναπαραστάσεις της ίδιας έννοιας αλληλοσυμπληρώνονται. Ως παράδειγμα αναφέρεται η μετάβαση από την αλγεβρική έκφραση μιας συνάρτησης στη γραφική της παράσταση και αντίστροφα. Αυτή η μετάβαση δεν είναι μια απλή μετάφραση, 21

22 όπως υποδεικνύει ο Janvier (1998), αλλά μια μεταφορά. Αυτό σημαίνει, σύμφωνα με τον Janvier (1998), ότι ένα μέρος πληροφορίας δεν μετατρέπεται απλώς σε ένα άλλο συμβολικό σύστημα, αλλά αναλύεται και ως αποτέλεσμα αυτής της ανάλυσης προκύπτει νέα πληροφορία, η οποία με τη σειρά της εκφράζεται σε ένα άλλο συμβολικό σύστημα. Σύμφωνα με αποτελέσματα ερευνών, η μετάβαση από τη μια μορφή έκφρασης στην άλλη παρουσιάζει αρκετές δυσκολίες, τόσο σε μαθητές γυμνασίου-λυκείου (Hitt, 1998) όσο και σε απόφοιτους λυκείου (Καλδρυμίδου & Οικονόμου, 1992). Μέρος των δυσκολιών αυτών οφείλεται στον τρόπο διδασκαλίας της έννοιας της συνάρτησης στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση. (Καλδρυμίδου και Οικονόμου, 1992). Συγκεκριμένα, το πλαίσιο μελέτης της συνάρτησης παρουσιάζεται πολύ περιορισμένο και τα προβλήματα που χρησιμοποιούνται είναι συγκεκριμένου τύπου συνήθως καλλιεργείται η μετάβαση από την αλγεβρική έκφραση στη γραφική παράσταση. Κατά συνέπεια, ένας βασικός στόχος της διδασκαλίας της έννοιας της συνάρτησης αφορά στην ανάπτυξη της ικανότητας των μαθητών να περνούν από μια αναπαράσταση σε άλλη, χωρίς να υποπίπτουν σε αντιφάσεις (Hitt, 1998). Επιπρόσθετα, μια αλγεβρική έκφραση είναι αναλογική, με την έννοια ότι μεταφέρει πληροφορία γραμμικά μέσω μιας ακολουθίας προτάσεων που μπορούν να διαβαστούν η μια μετά την άλλη. Αντίθετα, η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης είναι ολιστική. Αυτό σημαίνει ότι οι σχέσεις μεταξύ των απλών συστατικών της γραφικής παράστασης δίνονται ταυτόχρονα, με παράλληλο τρόπο και η επεξεργασία τους απαιτεί την ανάλυση του όλου και τη σύνθεση των μερών. Οι δυσκολίες των μαθητών σχετικά με την έννοια της συνάρτησης έχουν ευρέως αναφερθεί. Οι μαθητές αντιμετωπίζουν πρόβλημα στο να δημιουργήσουν συνδέσμους μεταξύ διαφορετικών αναπαραστάσεων των συναρτήσεων (τύπων, γραφικών παραστάσεων, διαγραμμάτων, λεκτικών περιγραφών ή σχέσεων), στην ερμηνεία διαγραμμάτων και στο χειρισμό συμβόλων που σχετίζονται με τις συναρτήσεις (Sierpinska, 1992). Ωστόσο, η φύση των συνδέσμων μέσα στις αναπαραστάσεις και μεταξύ των αναπαραστάσεων είναι άξια έρευνας (Kaput, 1989). Φαίνεται ότι οι μαθητές διατηρούν τελείως διαφορετικά αναπαραστασιακά συστήματα για τη συνάρτηση και δεν εκμεταλλεύονται πλήρως τα συμπληρωματικά χαρακτηριστικά καθενός. Όταν η διδασκαλία εννοιών γίνεται με τη χρήση πολλαπλών 22

23 αναπαραστάσεων, οι μαθητές πραγματοποιούν τις συνδέσεις μεταξύ των διαφόρων αναπαραστάσεων και έτσι μπορούν να διακρίνουν μεταξύ τους τις μαθηματικές έννοιες (Gagatsis & Christou, 2002). Επίσης, μπορεί να βοηθήσει τους μαθητές να οργανώσουν εποικοδομητικά τις δικές τους αναπαραστάσεις (Yerushalmy & Schwartz, 1993). Οι Schwartz & Yerushalmy (1992) ισχυρίζονται ότι η συμβολική αναπαράσταση είναι σχετικά πιο αποτελεσματική στην ανάδειξη της φύσης της συνάρτησης ως μιας διαδικασίας, ενώ η γραφική αναπαράσταση είναι πιο αποτελεσματική στην ανάδειξη της φύσης της συνάρτησης ως οντότητας (Schwartz & Yerushalmy, 1992). Για την κατανόηση της έννοιας της συνάρτησης είναι απαραίτητο οι μαθητές να αντιλαμβάνονται τη συνάρτηση (και τη γραφική της παράσταση) τόσο ως διαδικασία όσο και ως οντότητα. (Sfard, 1991; Yerushalmy & Schwartz, 1993) Οι Dubinsky & Harel (1992) επισημαίνουν ότι οι δύο έννοιες είναι άρρηκτα συνδεδεμένες: «είναι σημαντικό να τονίσουμε ότι η έννοια του αντικειμένου είναι δομημένη ώστε να ενσωματώνει τη διαδικασία». Αυτές οι προοπτικές απορρέουν από έναν οντολογικό δυϊσμό συμφυή με τις μαθηματικές έννοιες, δηλαδή, «την ιδέα ότι πολλές μαθηματικές έννοιες μπορούμε να τις δούμε με δύο διαφορετικούς συμπληρωματικούς τρόπους, ως λειτουργικό και δομικό ή ως διαδικασία και αντικείμενο (αντιστοίχως)». (Dubinsky & Harel, 1992) Η Sfard (1991) υποστήριξε ότι «η ικανότητα να αντιμετωπίζεις μια συνάρτηση ή έναν αριθμό ή άλλη μαθηματική έννοια ταυτόχρονα ως διαδικασία και ως αντικείμενο είναι απαραίτητη για τη βαθιά κατανόηση των μαθηματικών, όπως και αν ορίζεται η κατανόηση». (Sfard, 1991) Οι Moschkovich, Schoenfeld & Arcavi (1993) ανέπτυξαν ένα θεωρητικό πλαίσιο για την αλληλεπίδραση των μαθητών με τα διάφορα είδη αναπαράστασης των συναρτήσεων. Το θεωρητικό πλαίσιο που υποστηρίζεται, χαρακτηρίζεται από δύο αρχές: α) τα διαθέσιμα μέσα για την αναπαράσταση των συναρτήσεων, δηλαδή, την αλγεβρική, τη γεωμετρική και την αναπαράσταση σε πίνακα και β) τη διάσταση στην οποία αντιμετωπίζεται μια συνάρτηση. Ο Moschkovich και οι συνεργάτες (1993) του διακρίνουν δύο διαφορετικές διαστάσεις: 23

24 i) τη διάσταση διαδικασίας και ii) τη διάσταση αντικειμένου. Σύμφωνα με την πρώτη, οι μαθητές αντιλαμβάνονται τη συνάρτηση ως μια σχέση τιμών μεταξύ των τετμημένων και τεταγμένων (x και y), αντικαθιστούν σε μια εξίσωση το x και προσπαθούν να βρουν λύση σε μια εξίσωση βρίσκοντας τις συντεταγμένες ενός σημείου της γραφικής παράστασης. Σύμφωνα με τη διάσταση αντικειμένου, οι μαθητές αντιλαμβάνονται τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ως μια οντότητα. Οι μαθητές που χρησιμοποιούν τη διάσταση αυτή, αναγνωρίζουν τη μορφή της γραφικής παράστασης της συνάρτησης από τη μελέτη της συμβολικής της μορφής και κάνουν παρατηρήσεις για τις τιμές και το πρόσημο των συντελεστών της (π.χ. για την κατασκευή των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f(x)= 3x και g(x)=3x+1, χρησιμοποιούν τη σχέση που τις συνδέει g(x)=f(x)+1). (Knuth, 2000) Η αντιμετώπιση της συνάρτησης ως διάσταση αντικειμένου αναφέρεται και ως «ποιοτική» διάσταση των συναρτήσεων. Από αυτή τη σκοπιά οι συναρτήσεις αντιμετωπίζονται ολιστικά, ως ανεξάρτητες οντότητες, ως αντικείμενα στα οποία πράξεις όπως π.χ. η σύνθεση, μπορούν να εκτελεστούν. Σύμφωνα με τον Dubinsky (1991), ο οποίος υιοθετεί απόψεις της θεωρίας του Piaget σχετικά με την απόκτηση των μαθηματικών εννοιών, κάθε άτομο κατασκευάζει τη δική του μαθηματική γνώση διαμέσου μιας διαδικασίας στοχαστικής αφαίρεσης. Η θεωρία ασχολείται με τον τρόπο με τον οποίο οι διαδικασίες εσωτερικοποιούνται για να γίνουν τετριμμένες, συντονίζονται (δύο ή περισσότερες διαδικασίες για να κατασκευαστεί μια νέα), συμπυκνώνονται για να θεωρηθούν έννοιες, γενικεύονται τοποθετούμενες σε ένα ευρύτερο πλαίσιο και αντιστρέφονται (εκτελούνται από την αντίθετη κατεύθυνση). Για να επεξεργαστεί το μοντέλο του και να το συνδέσει με συγκεκριμένες έννοιες ο Dubinsky χρησιμοποιεί την έννοια του «σχήματος». Ένα σχήμα είναι μια περισσότερο ή λιγότερο συναφής συλλογή από αντικείμενα και διαδικασίες. Ο Dubinsky πιστεύει ότι η μαθηματική γνώση ενός ατόμου έχει σχέση με την τάση να απαντήσει σε μια συγκεκριμένη κατάσταση προβλήματος κατασκευάζοντας νέο σχήμα σε μια προσπάθεια να διεκπεραιώσει την κατάσταση. Η μάθηση είναι αποσπασματική. Ο μαθητής απομονώνει αποσπάσματα μιας σύνθετης δομής, τα 24

25 αναλύει και τοποθετεί σε μερική διάταξη τα περιεχόμενά τους για να παράγει αυτό που ορίζεται ως «γενετική ανάλυση» της έννοιας και μετά ερευνά πως αυτή η γενετική αποσύνθεση συνδέεται με τα σχήματά του. Ο Dubinsky εφάρμοσε αυτό το θεωρητικό πλαίσιο σε αρκετά μαθηματικά θέματα συμπεριλαμβανομένης και της έννοιας της συνάρτησης. Οι μαθητές όταν χρησιμοποιούν τη συνάρτηση περνούν από διαδοχικά επίπεδα αφαίρεσης και φθάνουν σε κάποια ορόσημα, τα οποία κάλεσε έννοιες της συνάρτησης ως ενέργεια, διαδικασία, αντικείμενο. (Dubinsky, 1991) Όποιος αντιλαμβάνεται την έννοια της συνάρτησης ως ενέργεια βλέπει τη συνάρτηση ως ένα σύνολο από μεμονωμένους υπολογισμούς. Έτσι, όταν αναφέρεται στη συνάρτηση μιλάει για κάποιο συγκεκριμένο δεδομένο. Δηλαδή η έννοια της συνάρτησης ως ενέργειας είναι συνδεδεμένη με σαφείς υπολογισμούς και κάθε εξαγόμενο από μια συγκεκριμένη συνάρτηση είναι το αποτέλεσμα ενός πειράματος χωρίς να συνδέεται με άλλα εξαγόμενα. Έτσι, φαίνεται η συνάρτηση ως στατική έννοια, γιατί κάποιος καλείται να κάνει έναν συλλογισμό πάνω σ αυτήν μια μόνο φορά. Η έννοια της συνάρτησης ως διαδικασίας συνεπάγεται έναν δυναμικό χειρισμό των ποσοτήτων. Όταν ένα δίκτυο υπολογισμών εσωτερικοποιηθεί σε μια διαδικασία μπορεί να χρησιμοποιηθεί σα μια βασική πρωταρχική έννοια στους υπολογισμούς χωρίς να μας ενδιαφέρει ο εσωτερικός τρόπος λειτουργίας της, π.χ. η συνάρτηση f(x)=4x-1 ερμηνεύεται ως η διαδικασία κατά την οποία όταν δίνουμε το δεδομένο x, παράγεται το εξαγόμενο f(x). Οι μαθητές που προσανατολίζονται στη συνάρτηση ως διαδικασία, αισθάνονται περισσότερη σιγουριά αιχμαλωτίζοντας ένα περίπλοκο δίκτυο υπολογισμών σε μια διαδικασία και στη συνέχεια χρησιμοποιούν τη συμπεριφορά της διαδικασίας αντί για τα αποτελέσματα ενός εμπειρικού πειράματος ως κριτήριο για την ορθότητα της εκτέλεσης των υπολογισμών (Cuoco, 1995). Η συνάρτηση μπορεί να αντιμετωπιστεί ως αντικείμενο, ανεξάρτητο από αυτό που κάνει και πάνω στο οποίο μπορούμε να ενεργήσουμε ολιστικά. Στη φάση αυτή συμπυκνώνονται διαδικασίες και στη συνέχεια χρησιμοποιούνται ως δεδομένα. Για παράδειγμα, όταν οι μαθητές δεν ασχολούνται με τις λεπτομέρειες των υπολογισμών, αρχίζουν να συγκρίνουν συναρτήσεις, όχι στη βάση των βημάτων που εκτελούνται για να υπολογίσουμε τα εξαγόμενα, αλλά περισσότερο στη βάση της συμπεριφοράς των συναρτήσεων. Από τη σύλληψη της έννοιας της συνάρτησης ως αντικείμενο 25

26 εξαρτάται και η κατανόηση διεργασιών πάνω στις συναρτήσεις όπως η σύνθεση, ο μετασχηματισμός, η διαφόριση και η ολοκλήρωση (Cuoco, 1995). Σχετικά με τις διάφορες μορφές αναπαραστάσεων των συναρτήσεων η Sfard υποστηρίζει ότι η αλγεβρική αναπαράσταση μπορεί να αντιμετωπιστεί με δύο τρόπους: είτε λειτουργικά ως μια περιληπτική περιγραφή κάποιων σχέσεων ή δομικά ως μια στατική σχέση δύο μεγεθών. Από την άλλη μεριά, επειδή σε μια γραφική παράσταση τα άπειρα συνθετικά μιας συνάρτησης συνδυάζονται σε μια λεπτή γραμμή έτσι ώστε να μπορούν να θεωρηθούν ταυτοχρόνως σαν μια ολοκληρωμένη ολότητα, το γράφημα ενθαρρύνει μια δομική προσέγγιση της έννοιας (Sfard, 1992). Είδαμε ότι ένας τεράστιος αριθμός ερευνών έχει χρησιμοποιήσει διαφορετικές προσεγγίσεις για να μελετήσει την έννοια της συνάρτησης στη διδασκαλία και τη μάθηση των μαθηματικών. Η Sierpinska (1992) μελέτησε τις αντιλήψεις των μαθητών για τις συναρτήσεις, τον τρόπο με τον οποίο αυτές διατυπώνονται στα πλαίσια της διδασκαλίας και τη σχέση τους με την ιστορική ανάπτυξη της συνάρτησης. Η Sfard (1992) εισήγαγε τη δομική και λειτουργική κατανόηση της έννοιας της συνάρτησης, ενώ οι Dubinsky και Harel (1992) πρότειναν τέσσερα διαφορετικά στάδια στην κατανόηση των συναρτήσεων (προσυνάρτηση, ενέργεια, διαδικασία και αντικείμενο). Ωστόσο, οι μαθητές συνάντησαν δυσκολίες στα διάφορα έργα που περιελάμβαναν τρεις ιδιαίτερους τύπους συναρτήσεων: τη σταθερή συνάρτηση, τη συνάρτηση που η γραφική της παράσταση είναι διακεκομμένη και τη συνάρτηση πολλαπλού τύπου. Επίσης, το πεδίο ορισμού της συνάρτησης και η γραφική της παράσταση αποτέλεσαν το βασικό αντικείμενο πολλών άρθρων. Στην παρούσα έρευνα λαμβάνονται υπόψη τρεις ερευνητικές περιοχές για την κατανόηση της συνάρτησης. Η πρώτη ερευνητική περιοχή αναφέρεται στην εικόνα της έννοιας της συνάρτησης στο μυαλό του μαθητή, η δεύτερη, που αναφέρθηκε παραπάνω, αφορά στις διαφορετικές αναπαραστάσεις της έννοιας και στη μετάβαση από μια μορφή σε άλλη και η τρίτη ερευνητική κατεύθυνση μελετά τις ικανότητες των μαθητών στην επίλυση προβλήματος συνάρτησης. Οι όροι «εικόνα» και «ορισμός» είναι δύο έννοιες που έχουν συζητηθεί εκτενώς στα μαθηματικά κείμενα σχετικά με τις αντιλήψεις των μαθητών για τη συνάρτηση. (Vinner & Dreyfus, 1989) Αν και οι τυπικοί ορισμοί των μαθηματικών εννοιών εισάγονται στους μαθητές γυμνασίου ή λυκείου, οι μαθητές δεν τους χρησιμοποιούν 26