T. C. LOUNGHIS SOME QUESTIONS CONCERNING THE TERMINOLOGY USED IN NARRATIVE SOURCES TO DESIGNATE THE BYZANTINE STATE

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "T. C. LOUNGHIS SOME QUESTIONS CONCERNING THE TERMINOLOGY USED IN NARRATIVE SOURCES TO DESIGNATE THE BYZANTINE STATE"

Transcript

1 T. C. LOUNGHIS SOME QUESTIONS CONCERNING THE TERMINOLOGY USED IN NARRATIVE SOURCES TO DESIGNATE THE BYZANTINE STATE There are a considerable number of terms used by Byzantine writers to designate their empire, the nature of their state, its territorial extent and boundaries, the political regime of the empire and its name 1. In the study that follows, the terms in question are gathered mainly from narrative sources, and an attempt is made to follow and understand the evolution of each term's connotations through the centuries. As one might expect, the most proper and accurate term to designate the territorial extent of the Byzantine Empire throughout its thousand year existence is the term 'Ρωμαίων επικράτεια, which bears the clearest and most constant meaning among the terms included in this investigation. The term επικράτεια presupposes concrete boundaries, which though they may be respected or disputed by enemies, nevertheless exist Very useful general theoretical works: O. TREITINGER, Die oströmische Kaiserund Reichsidee nach ihrer Gestaltung im höfischen Zeremoniell. Von oströmischen Staats- und Reichsgedanken, Darmstadt ; H. HUNGER, Prooimion. Elemente der byzantinischen Kaiseridee in den Arengen der Urkunden, Wiener Byzantinistische Studien 1, Vienna 1964; G. RÖSCH, "Ονομα βασιλείας. Studien zum offiziellen Gebrauch der Kaisertitel in spätantiker und frühbyzantinischer Zeit, Wiener Byzantinistische Studien 10, Vienna Cf. Hélène AHRWEILER, L'idéologie politique de l'empire byzantin, Paris 1974, which contains general formulations rather than data. 2. E. g. PRISCUS, 585 and (ed. DE BOOR); AGATHIAS, Proem., 24 and V. 11,6 (ed. KEYDELL, p. 28 and 177); EVAGRIUS, III. 36, III. 37, IV. 9, V. 9 (ed. BIDEZ- PARMENTIER, p. 135, 136, 160, 204,); GENESIUS, II. 5, Ш. 2, III. 3, IV. 15 (ed. LESMUELLER-WERNER and THURN, p. 26, 37, 38, 68); THEOPHANES CONTINUATUS, 112, 277, 288, 292, 293, 298, 299, 301, 302 (CSHB); SKYLITZES, 67, 145, 154 (ed. THURN);

2 12 T. C. LOUNGHIS The term Τωμαίων (or φωμαϊκή) αρχή may be considered identical in meaning (though with some qualifications) with the term 'Ρωμαίων επικράτεια. Further, the term Τωμαίων αρχή frequently denotes boundaries 3 and is employed in this sense by Nicephorus and Theophanes the sources of the socalled 'Dark Ages' to whom the term Τωμαίων επικράτεια is unknown. Procopius of Caesarea, two centuries earlier, appears also to have been unfamiliar with this latter usage. In the vast majority of cases 4, the term Τωμαίων αρχή conveys also the old meaning of imperium готшит, to which people, territories and power belong. Gradually, the term acquires the sense of a state limited in space, as can be observed from Procopius to Theophanes. The phenomenon becomes more than obvious, of course, in the last centuries of Byzantium 5, while the term CONSTANTINUS PORPHYROGENITUS, De Administrando Imperio (=Ш/), 4.3-5, (ed. MORAVSCIK-JENKINS, p. 50,188); LEON DIACONUS, 1.2, III. 11, X.3,6, 7, 8 (CSHB, p. 6,53, 165, 169, 170,171); ATTALEIATES, 77 and 229 (CSHB); ACROPOLITES, 167 (ed. HEISENBERG); PACHYMERES, IV. 24 (ed. FAILLER, 397). Cf. ATTALEIATES, 120, 233 (CSHB); and CANTACUZENUS, I, 179,188, 189, 204, 205, 323, 328 (CSHB): είς τήν 'Ρωμαίων. 3. PROCOPIUS, Aed., 13.2,8.5, II 8.11, III 1.1, 7. 10, V 8.2-3, VI 1.5, 7. 7,7. 17, (ed. HAURY-WIRTH p. 20, 34, 70, 82, , 168, 172, 184, ); AGATHIAS, Proem. 26, И, 18.7, 31. 2, (p. 8, 65, 81): ρωμαϊκά όρια; EVAGRIUS, IV. 20, V. 7 (p. 170, 203); NICEPHORUS, p , , , (DE BOOR); THEOPHANES CONTINUATUS, 54; CONSTANTINUS PORPHYROGENITUS, De them., 62 and 97 (ed. PERTUSI); SKYLITZES, 31; LEON DIACONUS, ILI, and X.8 (p. 18, 33, 173): 'Ρωμαϊκά όρια; ATTALEIATES, 181 ('Ρωμαϊκά δρια), 117 (tà τής Αύσονίτιδος δρια); CINNAMUS. 79,11-14 (CSHB); ACROPOLrres, 113, 187; GREGORAS, 1.3, III.5, III.5 (CSHB, p. 18, 19, 72); PACHYMERES, (p. 209). 4. E. g. DAI, , , , and 61-62, (p. 72, 88,94,94-96,96,140); De them., 60,62; PROCOPIUS, Aed., 11.11, , II 6.6, III 2.2, IV 2.2,5.8 (p. 7, 38, 64., 86, 108, 125); SIMOCATTES, III 18.3, IV 13.6 (ed. DE BOOR, p. 147, 174); THEOPHANES, ,215.26, 222.4, (ed. DE BOOR); EVAGRIUS, 1.22, III.3, IV.3, 19 and 21, V.14 (p. 33, 100, 154, 169, 170,210); ATTALEIATES, 51, 99, 180,182,207,310; CINNAMUS, , ; NICEPHORUS, ; GENESIUS, II.4 (p ); THEOPH. CONT., 112,305; SKYLITZES, 13-14,66-67, 197, ; Life of Peter ofatroa, 85 (ed. LAURENT, 223); Fontes historiae imperii Trapezuntini, 53 and 79 (ed. PAPADOPOULOS-KERAMEUS). 5. E. g. ACROPOLITES, 34, where the notorius expression: èv στενφ τεθεαμένος οϋσαν τήν φωμαίων αρχήν. Cf. ACROPOLITES, 35, 73, 74, 76, 89, 154, 156, 158, 163;

3 TERMINOLOGY QUESTIONS 13 Τωμαίων αρχή is regularly used during the Comnenian period, mainly by Anna Comnena 6 (from whose text the term Τωμαίων πολιτεία is totally absent, as will be discussed below). The same remark is valid for the History of John Cantacuzenus, where all kinds of misfortune are foreseen to engulf the Τωμαίων αρχή 7. The constitutional aspect of the term Τωμαίων αρχή needs to be seen as closely associated with the well-known term Τωμαίων πολιτεία, as used, in fact, by Constantine Porphyrogenitus himself in his treatise De administrando imperia 'and thereafter, whatever reforms have been introduced from time to time in our state (τη καθ' ημάς πολιτεία), and also throughout the Roman empire (èv πάση %ъ Τωμαίων άρχήτ 8. The order of terms is repeated in another chapter of the same work 9, as if to confirm the affinity of both meanings. Generally speaking, the term Τωμαίων αρχή has a much broader meaning than the term πολιτεία, as this is found in Procopius, when dealing with territorial expansion of the empire under Justinian I: 'the emperor,' says Procopius, 'has considerable experience in annexing other states (πολιτείας ετέρας) to the Roman empire (xf\ Τωμαίων αρχή)' 10. In a famous passage of the Gothic War^, the same author reveals the close connexion that exists between the preservation of a just political order in the empire (πολιτεία MICHAEL PALAEOLOGUS, De vita sua opusculum, 455 (ed. GRÉGOIRE); PACHYMERES, 1.27,11.25, 30 (p. 109, 187, 209); GREGORAS, VILS, XII.12 (p. 233, 612). 6. ANNA COMNENA, 1.9,123,130,137,146,156; II. 69,73,81 passim; CINNAMUS, , , , , , , , ,243 (two mentions). CHONIATES, 246, 315, 347,437,475,498,529,541 (ed. VAN DIETEN), where the term obviously declines in use and meaning as well. 7. CANTACUZENUS, vol. 1,78,98,114,311,399; vol. II, 114,115,117, 147,148,231, 270, , 306, 307, 321, 329, 350, 371, 372,442, 466, 475, 490, 527, 551, 568; vol. HI, 31, 108, 149,262, DAI, Proem., (p. 46). 9. Ibid., (p. 226). 10. PROCOPIUS, Aed., 11.8 (p. 6): ό δέ ούκ αμελέτητός έστιν έμπορίζεσθαι πολιτείας ετέρας, πολλάς άμέλει προσεποίησεν ήδη τη Τωμαίων άρχ% 11. PROCOPIUS, De Bello Gothico, 1.12,20 (ed. HAURY-WIRTH II, 65-66): "Εως μεν οϋν πολιτεία Τωμαίοις ή αύτη έμενε, Γαλλίας τα εντός Ύοδανον πόταμου βασιλεύς εϊχεν. έπεί δέ Όδόακρος ές τυραννίδα μετέβαλε, τότε δη, τον τυράννου σφίσιν ένδι-

4 14 T. C. LOUNGHIS Τωμαίοις) and the maintaining of its territorial integrity. In another equally unequivocal passage of the Buildings 12, Procopius makes a remarkable distinction between the component parts of the πολιτεία: under Justinian I, the empire (πολιτεία) has more than doubled its territories and other trappings of power (τη τε χώρα και τή άλλη δυνάμει). If the term Τωμαίων αρχή signifies the Roman empire in general, in Procopius the term πολιτεία conveys the meaning of the old res publica headed by the emperor, that is, a political system, which, according to Prisais of Panium 13, had been invented by wise and good men in Antiquity, who took care to maintain the laws, the army, and other institutions. As early as the first half of the fifth century, Prisais found the laws and the Roman political system to be good (ως οί μεν νόμοι καλοί και ή πολιτεία Τωμαίων αγαθή), excepting a number of critical remarks prompted by the conduct of some of its leaders 14. There are some exceptions to the rule. Less literary sources of the second half of the sixth century, such as the Chronography of John Malalas and the Ecclesiastical History of Evagrius, use the term Τωμαίων πολιτεία in a strictly territorial sense, almost equivalent to the term επικράτεια 15. This tendency seems to become general towards the end of the sixth and the beginning of the seventh century, when a literary source such as the History of Theophylactus Simocattes uses the term Τωμαίων πολιτεία in the same sense as Malalas and Evagrius 16. This evolution of the meaning of the Τωμαίων πολιτεία is of crucial interest, not only because the tyrant Phocas destroyed the τάξις in 602, δόντος, ξύμπασαν Γαλλίαν Ούσίγοτθοι έσχον μέχρι "Αλπεων, αϊ τα Γάλλων τε δρια και Λιγούρων διορίζονσι. 12. PROCOPIUS, 11,15-16 (p. 7-8); AGATHIAS, 12.2 and (ρ. 11, 35) prefers the term πολιτεία ρωμαϊκή, while the term ρωμαϊκή κατάστασις (IV 26, p. 156) conveys the meaning of the whole Roman political establishment. 13. PRISCUS, 136; CANDIDUS OF ISAURIA, Frg. 1: FHG IV, 136, designates by the same term the byzantine state under Zenon ( ). 14. PRISCUS, MALALAS, 361,412,422,449,460 (CSHB); EVAGRIUS, II. 9 (p. 59). 16. SIMOCATTES, II 10.4 and IV (p. 89, 170). It must be noted, however, that the old, 'constitutional' use of Τωμαίων πολιτεία is also to be found in SIMOCATTES, III 5.4 (p. 117). Cf. also the use of the expression το 'Ρωμαίων πολίτευμα, SIMOCATTES, III 9.6 (p. 128). All mentions in Simocattes concern the earliest part of his History, thus they do not extend beyond Book IV, with the single exception in VIII (p. 306).

5 TERMINOLOGY QUESTIONS 15 γενόμενος επίβουλος της 'Ρωμαϊκής πολιτείας, according to the Chronicon Paschale 11, but mainly because, starting from that time, the Chronography of Theophanes the Confessor uses the term Τωμαίων πολιτεία in the sense of 'the Byzantine State' 18. In Theophanes, all uses of the Τωμαίων αρχή concern the early Byzantine period, till the beginning of the seventh century. From then on, it is replaced by another, more current, term. Theophanes, Constantine Porphyrogenitus (who follows his great-uncle 19 ) and, at times, Nicephorus the Patriarch, make use of the term Τωμαίων πολιτεία in this sense very frequently throughout the seventh century 20, up to the year , while very few echoes of its old meaning are to be detected in the Short History. Such is the case for the year 641 (under the empress Martina), when the author uses highly expressive language to point out his exasperation: 'God forbid that the Roman state sink into such bad order' 22. From the year 724 on, there are no references to the term Τωμαίων πολιτεία and it is totally absent from the Chronography of Theophanes 23 which covers the entire eighth century up to the year 813, that is, shortly after Charlemagne's diplomatic recognition. The beginning of the ninth century witnesses the appearance of the term Τωμαίων ηγεμονία. Its first mentions are attributed to Genesius 24 and Skylitzes 25 almost simultaneously with the revival of the term Τωμαίων πολιτεία, used alternatively by the same authors 26. Here, the term Τωμαίων πολι- 17. CHRONICON PASCHALE, 707 (CSHB). According to the same source (p. 708), Heraclius liberated the 'Ρωμαίων πολιτεία in THEOPHANES, (a. D. 571). Cf. THEOPHANES, (a D. 610). 19. Cf. T. C. LOUNGHIS, Κωνσταντίνου Ζ'Πορφυρογέννητου, De administrando imperio (Προς τόν ίδιον υιόν Ρωμανόν). Μια μέθοδος ανάγνωσης, Thessalonica 1990, DAI, (p. 88); THEOPHANES, , , ; NICEPHORUS, , ,50.4-6, THEOPHANES, NICEPHORUS, : μηδέ δοίη Θεός èv τούτω τάξεως τήν όωμαϊκήν έλθειν πολιτείαν Cf. supra, note 6, on the absence of the term in Anna's Alexiad. 24. GENESIUS, 1.9 (p. 9). 25. SKYLITZES, GENESIUS, 1.16 (p. 14); SKYLITZES, 47.

6 16 T. C. LOUNGHIS τεία seems to have lost something of its earlier meaning and to return to its original sense 27, adapting to new realities: Τωμαίων πολιτεία in the ninth century means 'the organisation of the state' 28, not only in Genesius and Skylitzes but also in other sources up to the twelfth century 29, whereas Τωμαίων ηγεμονία fulfills the functions of the old term Τωμαίων αρχή, the imperium romanum, and is used in this sense by Anna Comnena 30. Only once is the term πολιτεία (unaccompanied by Τωμαίων) to be found in Anna's text 31 in clear juxtaposition with the term Τωμαίων αρχή: Anna Dalassena was able to govern the state apparatus (πολιτείαν), not only in the Roman empire, but also in any realm under the sun. It could be argued, that the reappearance of the term Τωμαίων πολιτεία in its original, constitutional sense, is attributable to the decline of the rather confusing style of the Chronography in general and to the revival of the sounder historiographical style, something that is very apparent in Leo Diaconus: in the text of his History (a literary genre that reappears at the end of the tenth century 32 ), we have four clear mentions of the term with the meaning 'state organisation' 33 as well as six mentions of the term Τωμαίων (or φωμαϊκή) ηγεμονία with the meaning of Roman empire, inclusive of its territories and power 34. The History of Leon Diaconus is permeated by a belief in long-term stability and power, which underlines the longevity of the Empire. Hence, all terms concerning Byzantine self-determination are used very clearly 35. However, just 27. Cf. supra, notes Which may be interpreted: the singularity of Byzantine state organisation. 29. DAI (p. 74): τήν ευγενή πολιτείαν 'Ρωμαίων; THEOPH. CONT., 442,446; Fontes historiae imperii Trapezuntini, ; CINNAMUS, ANNA COMNENA, 110,57,72,106,127, II72,73 passim. Cf. also supra, note ANNA COMNENA, T. C. LOUNGHIS, Η ιδεολογία της βυζαντινής Ιστοριογραφίας, Athens 1993, LEON DIACONUS, IH. 3,5, VI. 2, VII, 7 (p. 40,42-43,95,124). 34. LEON DIACONUS, III. 6, IV. 1, V. 1, 7 and 8 VII. 7 (p. 44,56, 77,88, 90,124). Similar use of the term in ATTALEIATES, 131 and Cf. the combined use of three terms in order to describe the empire's growth in LEON DIACONUS, III.6 (p. 45): και προσέτι τά μέγιστα τήν πολιτείαν όνήσοντα, και τής Ψωμαϊκής αρχής τήν επικράτειαν αύξήσοντα. The double use in LEO DIACONUS, IX.4 (p. 146): τήν τής ηγεμονίας αρχήν, presents no difficulty. It must be noted, however, that

7 TERMINOLOGY QUESTIONS 17 the opposite occurs in Michael Attaleiates, Anna Comnena and Nicetas Chômâtes, whose historiographical texts constitute the beginning and end of a particular period of 'Roman' history: the term Τωμαίων πολιτεία is totally absent from their texts, literary though they may be. The term exists, however, in the History of John Cinnamus, in whose time the empire was not on the brink of destruction, as it was in the case of Anna and Nicetas. In the History of John Cinnamus the term Τωμαίων πολιτεία acquires, as a rule 36, a meaning which includes state organisation and society 37 and which will later also be found in George Pachymeres 38 and Nicephorus Gregoras 39. Last, but not least, we have to take into account the fact that the term Τωμαίων ηγεμονία means indisputably the Byzantine empire in Gregoras 40, but not in Pachymeres, who uses the rather ambiguous expression τα πράγματα τής των Τωμαίων ηγεμονίας 41. The term τα Τωμαίων (sc. πράγματα) is known by its broad use in the History of Nicetas Chômâtes 42, to whom the term Τωμαίων πολιτεία is totally unknown (as already pointed out). A similar example is to be found in John Cantacuzenus in the fourteenth century 43. The term, which almost imperceptibly replaced Τωμαίων πολιτεία in Byzantine narrative sources, is not τα Τωμαίων πράγματα, but the very commonly encountered expression Τωμαίων βασιλεία, also very frequent in Nicetas Chômâtes 44 and designating the nature of the Byzantine political in LEON DIACONUS, V.3 (p. 81): δυναστεία φωμαϊκή denotes the successive emperors, the line of sovereigns, and not the dynasty. 36. Not in the case of note 29, supra. 37. E. g. CINNAMUS, ,275, PACHYMERES, 1.27 and III.21 (p ,289). 39. GREGORAS, 11,6 (p. 42). Cf. also supra, notes 3 and 5, for the meaning of the term 'Ρωμαίων αρχή in Gregoras. 40. GREGORAS, 1.2, 4, 17, ILI, V5, VI.6, 11, VILI, 5, XII.2 (p. 13, 13-14, 20, 77, 24-25, ,187,208, ,214 [two mentions], 215,234,579); GREGORAS, Epp and 130,11-19 (ed. LEONE, p. 242 and 331). 41. PACHYMERES, 1.17 (p. 77). 42. CHÔMÂTES, 46, 96, 194, 223, 436, 438, 472, 507, 510, 522, 551, 572. ATTALEIATES also uses this expression, though not so often (199,223). 43. CANTACUZENUS, vol. 1.17,219, 391,425,450; vol. II. 34, 35,44,110,119,202, 203,230, 381; vol. III. 11, CHONIATES, 120, 127,238, 327,433,477,557,571.

8 18 T. C. LOUNGHIS system, starting from the second half of the sixth century, that is at the same time that Malalas, Evagrius and Simocattes begin to alter the original, constitutional meaning of the old term Τωμαίων πολιτεία 45. The first mention of the term Τωμαίων βασιλεία in the sense of the Byzantine political system, and not the reign of a given sovereign, which is current much earlier 46, is to be seen in Evagrius of Epiphaneia 47, followed by the Chronography of Theophanes 48 and its Continuators 49, just once by Nicephorus the Patriarch 50, by the emperor Constantine VII Porphyrogenitus 51, John Skylitzes 52, Michael Attaleiates 53, Anna Comnena 54, John Cinnamus (who, using the term Τωμαίων πολιτεία 55, seldom uses βασιλεία 56 ), Nicetas Choniates 57 and, afterwards, George Acropolites 58, George Pachymeres 59, Nicephorus Gregoras 60 and the emperor John Cantacuzenus 61, who prefers both the term Τωμαίων αρχή 62, and, more importantly, Τωμαίων ηγεμονία, which is mentioned some seventy times in his work 63 in the sense of the Roman empire, in most cases coinciding 45. Cf. supra, notes 15 and Cf. e. g. PRISCUS, 584; PROCOPIUS, Aed., Ill 1.11 (p ). 47. EVAGRIUS, III.44, p (if not EVAGRIUS, II.8, p. 55). Cf. also IV.25, p THEOPHANES, , , , , , (passim), , ,456^57, THEOPH. CONT., 51, 84, 96, 162, 172, 184, 429, NICEPHORUS, 35-36; cf. also Life of Peter of Atroa, (p. 187). 51. De Глелг, 62; DAI, , , 63-66, (p. 98, 124, 126). 52. SKYLITZES, 29,56, 97, 115, 130, 145, 197,204, passim. 53. ATTALEIATES, 45, ANNA COMNENA, I. 9, 10 (alternately with Τωμαίων ηγεμονία), 18 (two mentions) 92,130,132,144; II, 43. II. 63, 73, passim. 55. Cf. supra, note CINNAMUS, Cf. supra, note ACROPOLITES, 84 (as in the case of Cinnamus). 59. PACHYMERES, 1.3,11.30 (p. 115,209). 60. GREGORAS, II.3, III.2, VII.5, XIII.3 (p. 28,59,242,644, passim). 61. CANTACUZENUS, vol. 113,15,18,486,487,543; vol. II. 12,21,54,76,364; vol. III. 16, 17, 60, 79, 151, Cf. supra, note CANTACUZENUS, vol. I 114, 115, 117, 184, 220, 223, 280, 335, 392, 430, 502, 505, 523; vol. II 15, 24, 43,59, 67-68, 80, 131, 151, 201, 203,209, 210, 257, 264, 269,

9 TERMINOLOGY QUESTIONS 19 with the term Τωμαίων αρχή, which only in relatively few examples draws nearer to the official term Τωμαίων βασιλεία. It is also worth pointing out that in the History of John Cantacuzenus, the term Τωμαίων βασιλεία is used to designate the old, Roman age 64. The historical work of Cantacuzenus, replete with a steady devaluation of the old, traditional terms, consists of an epilogue worthy of the best Byzantine administrative traditions. The author seems so conscious of the decline of all 'Roman' realities that, instead of a substantive, he ventures to use an adjective, το Τωμαϊκόν 65, earlier used only by Attaleiates 66. The adjective, το Τωμαϊκόν, which tends to be an equivalent of το κοινον των Τωμαίων, also used by Cantacuzenus 67, has the meaning of what today we in a non-roman world would call 'the Roman element' or 'the Roman community', an element which clearly has weak dimensions, as the empire dies away. The term Τωμαίων εξουσία in the sense of 'the Roman power' or 'the Roman domination' appears in the Byzantine narrative sources from Nicephorus the Patriarch 68 to Anna Comnena 69, that is from the mid-eighth to the end of the eleventh century, in other words during the period of the so-called 'limited oikoumene', which starts with the papal political secession from the Empire and the forgery of the Constitutum Constantini, and ends around the time of the first Crusade. The term Τωμαίων εξουσία is used mostly by Byzantine sources close to the ideology of the Macedonian dynasty, that is the Continuators of Theophanes 70, Constantine VII Porphyrogenitus 71 and John 273,274,276,292, 310, 365, 366, 388, 396, 398,403,411,449,472,481,507,508,535; vol. Ill 12,20,28,29, 32, 33, 34,40,41,48, 63, 110, 138, 140, 143, 148, 149, 257, 263, 264,280, Cf. the cases in the examples cited in note CANTACUZENUS, ATTALEIATES, 76,141,163, CANTACUZENUS, 1228,283,393,505; Ill NICEPHORUS, 64, ANNA COMNENA, II THEOPHANES CONTINUATUS, 277,291, DAI, , , , ,29-30, , (p. 112, 134, 148, 152, 154,204,238).

10 20 T. C. LOUNGHIS Skylitzes 72, and underlines very clearly the fact that the Byzantine Empire rules territories and peoples beyond certain limits, that is, it points to Byzantine expansion. This, however, is not the subject of our discussion here: it is enough merely to compare the term with the Τωμαϊκόν in the world of the fourteenth century, when the εξουσία belonged to others. In the second half of the sixth century, the Oriental chronicler John Malalas used the term 'Ρωμανία in order to depict the eastern provinces of the Empire, that is the Eastern Roman Empire itself, since his use of the term does not embrace the reign of Justinian 73. At the beginning of the seventh century, in the Chronography of Theophanes, the term 'Ρωμανία replaces the term Τωμαίων αρχή, which is henceforth totally abandoned. The term 'Ρωμανία in the territorial meaning of the Empire is more than frequent throughout Theophanes's text 74. In a single mention, the Continuators of Theophanes inform us that the glorious general of the tenth century, John Courcouas, has doubled the size of 'Romania' 75. The term seems to have been preferred by Skylitzes 76 and especially by Constantine Porphyrogenitus 77, for whom 'Ρωμανία has precise boundaries, such as with Armenia 78. It seems natural to conclude, therefore, that, for those same authors who also employ the term 'Ρωμανία, the Τωμαίων εξουσία represents a notion of Byzantium that goes far beyond the boundaries of 'Ρωμανία, a term that had restricted the Τωμαίων 72. SKYLITZES, ,156,167. An echo of the achievements of the Macedonian dynasty en bloc in Fontes historiae imperii Trapezuntini, 79, where αρχή, πολιτεία and εξουσία are ομώνυμοι (i.e. Roman). 73. MALALAS, 398,400,407,408, THEOPHANES, , , , , 17, 23, 26, 349.1, , 364.4, 367.1, 10, 11, 370.2, 18, 372.2, , 383.2, 27, 31, 384.4, 389.5, 392.8, , 25, , , , 410.3, 30, , 15, , , 430.9, 431.3, , , , 24, 447.6,449.9, 451.4,452.22, ,473.24, THEOPH. CONT., : και τήν Ψωμανίαν διπλήν κατεστήσατο. 76. SKYLITZES, 135, DAI, , , , , , (p. 62, 94,220, , 224,286). 78. Cf. DAI, (p. 204): μέσον 'Ρωμανίας και Αρμενίας, cf. also DAI, (p. 214).

11 TERMINOLOGY QUESTIONS 21 αρχή at the beginning of the seventh century and which resulted in debasing the value of the term Τωμαίων πολιτεία, predicted once by Procopius of Caesarea. The last Byzantine author to employ the term 'Ρωμανία 79 is George Pachymeres 80, in whose times the decline was not yet so marked. Later, however, with Cantacuzenus, a humbler polity seems to be implied by το Τωμαϊκόν. 79. Cf. A. CARILE, Impero Romano e Romania, Da Roma alla Terza Roma. Documenti e studi. Studi II: La nozione di «Romano» tra cittadinanza e universalità, Naples 1984, PACHYMERES, 1.31, V.3 (p. 123 and 125,443).

12 22 T. C. LOUNGHIS T. Κ. ΛΟΥΠΉΣ, Σχετικά με την ορολογία των αφηγηματικών πηγών για το χαρακτηρισμό του βυζαντινού κράτους 1. Ο όρος 'Ρωμαίων επικράτεια προϋποθέτει συγκεκριμένα σύνορα και χρησιμοποιείται σε ολόκληρη την υπερχιλιετή ζωή του βυζαντινού κράτους. 2. Ο όρος 'Ρωμαίων αρχή προϋποθέτει σύνορα μόνο στη διάρκεια των «σκοτεινών αιώνων» και αντικαθιστά στο Νικηφόρο και στο Θεοφάνη τον όρο Τωμαίων επικράτεια. Βαθμιαία, ο όρος υπονοεί το ρωμαϊκό κράτος περιορισμένο στο χώρο, από την Άννα Κομνηνή ως τον Ιωάννη Καντακουζηνό. 3. Ο όρος 'Ρωμαίων αρχή είναι ευρύτερος σε περιεχόμενο από τον όρο 'Ρωμαίων πολιτεία (Προκόπιος ή, ακόμα, Πρίσκος Πανίτης). Αντίθετα, στον Ιωάννη Μαλάλα, στον Ευάγριο και στον Θεοφύλακτο Σιμοκάττη, ο όρος Ρωμαίων πολιτεία έχει εδαφική σημασία. Η συνήθεια αυτή θα υιοθετηθεί και από τους Νικηφόρο πατριάρχη, Θεοφάνη και Κωνσταντίνο Πορφυρογέννητο για να αποδώσει καταστάσεις ως το Από τις αρχές του 9ου αιώνα εμφανίζεται ο όρος 'Ρωμαίων ηγεμονία (Γενέσιος, Σκυλίτζης), ταυτόχρονα με την επανεμφάνιση του όρου 'Ρωμαίων πολιτεία με ελαφρά διαφορετική έννοια τώρα (κρατική οργάνωση). Στην Αννα Κομνηνή και στο Νικήτα Χωνιάτη, ο όρος 'Ρωμαίων πολιτεία απουσιάζει, ενώ απαντάται σε κείμενα που αποπνέουν βυζαντινή κρατική συνέχεια και σταθερότητα (Λέων Διάκονος, Ιωάννης Κίνναμος). 5. Η μελέτη προσπαθεί να παρακολουθεί την εναλλαγή των αποχρώσεων της έννοιας των πιο πάνω όρων σε αντιστοιχία με την εξέλιξη της βυζαντινής πολιτικής ιδεολογίας στην εξωτερική πολιτική. Πρόκειται για προσωρινά συμπεράσματα, ιδιαίτερα σε ό, τι αφορά την εξέταση των όρων 'Ρωμαίων βασιλεία, το φωμαϊκόν, 'Ρωμανία κλπ.

C.S. 430 Assignment 6, Sample Solutions

C.S. 430 Assignment 6, Sample Solutions C.S. 430 Assignment 6, Sample Solutions Paul Liu November 15, 2007 Note that these are sample solutions only; in many cases there were many acceptable answers. 1 Reynolds Problem 10.1 1.1 Normal-order

Διαβάστε περισσότερα

6.1. Dirac Equation. Hamiltonian. Dirac Eq.

6.1. Dirac Equation. Hamiltonian. Dirac Eq. 6.1. Dirac Equation Ref: M.Kaku, Quantum Field Theory, Oxford Univ Press (1993) η μν = η μν = diag(1, -1, -1, -1) p 0 = p 0 p = p i = -p i p μ p μ = p 0 p 0 + p i p i = E c 2 - p 2 = (m c) 2 H = c p 2

Διαβάστε περισσότερα

HOMEWORK 4 = G. In order to plot the stress versus the stretch we define a normalized stretch:

HOMEWORK 4 = G. In order to plot the stress versus the stretch we define a normalized stretch: HOMEWORK 4 Problem a For the fast loading case, we want to derive the relationship between P zz and λ z. We know that the nominal stress is expressed as: P zz = ψ λ z where λ z = λ λ z. Therefore, applying

Διαβάστε περισσότερα

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS CHAPTER 5 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS EXERCISE 104 Page 8 1. Find the positive root of the equation x + 3x 5 = 0, correct to 3 significant figures, using the method of bisection. Let f(x) =

Διαβάστε περισσότερα

Section 8.3 Trigonometric Equations

Section 8.3 Trigonometric Equations 99 Section 8. Trigonometric Equations Objective 1: Solve Equations Involving One Trigonometric Function. In this section and the next, we will exple how to solving equations involving trigonometric functions.

Διαβάστε περισσότερα

2 Composition. Invertible Mappings

2 Composition. Invertible Mappings Arkansas Tech University MATH 4033: Elementary Modern Algebra Dr. Marcel B. Finan Composition. Invertible Mappings In this section we discuss two procedures for creating new mappings from old ones, namely,

Διαβάστε περισσότερα

Finite Field Problems: Solutions

Finite Field Problems: Solutions Finite Field Problems: Solutions 1. Let f = x 2 +1 Z 11 [x] and let F = Z 11 [x]/(f), a field. Let Solution: F =11 2 = 121, so F = 121 1 = 120. The possible orders are the divisors of 120. Solution: The

Διαβάστε περισσότερα

derivation of the Laplacian from rectangular to spherical coordinates

derivation of the Laplacian from rectangular to spherical coordinates derivation of the Laplacian from rectangular to spherical coordinates swapnizzle 03-03- :5:43 We begin by recognizing the familiar conversion from rectangular to spherical coordinates (note that φ is used

Διαβάστε περισσότερα

Jesse Maassen and Mark Lundstrom Purdue University November 25, 2013

Jesse Maassen and Mark Lundstrom Purdue University November 25, 2013 Notes on Average Scattering imes and Hall Factors Jesse Maassen and Mar Lundstrom Purdue University November 5, 13 I. Introduction 1 II. Solution of the BE 1 III. Exercises: Woring out average scattering

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΕΠΗΡΕΑΣΜΟΥ ΤΗΣ ΑΝΑΓΝΩΣΗΣ- ΑΠΟΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΗΣ BRAILLE ΑΠΟ ΑΤΟΜΑ ΜΕ ΤΥΦΛΩΣΗ

ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΕΠΗΡΕΑΣΜΟΥ ΤΗΣ ΑΝΑΓΝΩΣΗΣ- ΑΠΟΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΗΣ BRAILLE ΑΠΟ ΑΤΟΜΑ ΜΕ ΤΥΦΛΩΣΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΕΠΗΡΕΑΣΜΟΥ ΤΗΣ ΑΝΑΓΝΩΣΗΣ- ΑΠΟΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΗΣ BRAILLE

Διαβάστε περισσότερα

Phys460.nb Solution for the t-dependent Schrodinger s equation How did we find the solution? (not required)

Phys460.nb Solution for the t-dependent Schrodinger s equation How did we find the solution? (not required) Phys460.nb 81 ψ n (t) is still the (same) eigenstate of H But for tdependent H. The answer is NO. 5.5.5. Solution for the tdependent Schrodinger s equation If we assume that at time t 0, the electron starts

Διαβάστε περισσότερα

«ΑΓΡΟΤΟΥΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΤΟΠΙΚΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ: Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΝΕΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΣΤΗΝ ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΤΩΝ ΓΥΝΑΙΚΕΙΩΝ ΣΥΝΕΤΑΙΡΙΣΜΩΝ»

«ΑΓΡΟΤΟΥΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΤΟΠΙΚΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ: Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΝΕΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΣΤΗΝ ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΤΩΝ ΓΥΝΑΙΚΕΙΩΝ ΣΥΝΕΤΑΙΡΙΣΜΩΝ» I ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΝΟΜΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ «ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ» ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Math221: HW# 1 solutions

Math221: HW# 1 solutions Math: HW# solutions Andy Royston October, 5 7.5.7, 3 rd Ed. We have a n = b n = a = fxdx = xdx =, x cos nxdx = x sin nx n sin nxdx n = cos nx n = n n, x sin nxdx = x cos nx n + cos nxdx n cos n = + sin

Διαβάστε περισσότερα

Every set of first-order formulas is equivalent to an independent set

Every set of first-order formulas is equivalent to an independent set Every set of first-order formulas is equivalent to an independent set May 6, 2008 Abstract A set of first-order formulas, whatever the cardinality of the set of symbols, is equivalent to an independent

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΝΑΥΤΙΛΙΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΝΑΥΤΙΛΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΝΑΥΤΙΛΙΑ ΝΟΜΙΚΟ ΚΑΙ ΘΕΣΜΙΚΟ ΦΟΡΟΛΟΓΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΚΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΚΜΕΤΑΛΛΕΥΣΗΣ ΠΛΟΙΟΥ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ που υποβλήθηκε στο

Διαβάστε περισσότερα

Η αλληλεπίδραση ανάμεσα στην καθημερινή γλώσσα και την επιστημονική ορολογία: παράδειγμα από το πεδίο της Κοσμολογίας

Η αλληλεπίδραση ανάμεσα στην καθημερινή γλώσσα και την επιστημονική ορολογία: παράδειγμα από το πεδίο της Κοσμολογίας Η αλληλεπίδραση ανάμεσα στην καθημερινή γλώσσα και την επιστημονική ορολογία: παράδειγμα από το πεδίο της Κοσμολογίας ΠΕΡΙΛΗΨΗ Αριστείδης Κοσιονίδης Η κατανόηση των εννοιών ενός επιστημονικού πεδίου απαιτεί

Διαβάστε περισσότερα

Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme

Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme. (a) Note: Award A for vertical line to right of mean, A for shading to right of their vertical line. AA N (b) evidence of recognizing symmetry

Διαβάστε περισσότερα

Statistical Inference I Locally most powerful tests

Statistical Inference I Locally most powerful tests Statistical Inference I Locally most powerful tests Shirsendu Mukherjee Department of Statistics, Asutosh College, Kolkata, India. shirsendu st@yahoo.co.in So far we have treated the testing of one-sided

Διαβάστε περισσότερα

EE512: Error Control Coding

EE512: Error Control Coding EE512: Error Control Coding Solution for Assignment on Finite Fields February 16, 2007 1. (a) Addition and Multiplication tables for GF (5) and GF (7) are shown in Tables 1 and 2. + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΓΛΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ ΣΕ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΕΘΝΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ

ΑΓΓΛΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ ΣΕ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΕΘΝΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΑΓΓΛΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ ΣΕ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΕΘΝΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ Ενότητα 1β: Principles of PS Ιφιγένεια Μαχίλη Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ST5224: Advanced Statistical Theory II

ST5224: Advanced Statistical Theory II ST5224: Advanced Statistical Theory II 2014/2015: Semester II Tutorial 7 1. Let X be a sample from a population P and consider testing hypotheses H 0 : P = P 0 versus H 1 : P = P 1, where P j is a known

Διαβάστε περισσότερα

Homework 3 Solutions

Homework 3 Solutions Homework 3 Solutions Igor Yanovsky (Math 151A TA) Problem 1: Compute the absolute error and relative error in approximations of p by p. (Use calculator!) a) p π, p 22/7; b) p π, p 3.141. Solution: For

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις να αναφερθούν στη σχετική ερώτηση. Όλα τα αρχεία που αναφέρονται στα προβλήματα βρίσκονται στον ίδιο φάκελο με το εκτελέσιμο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΨΥΧΟΛΟΓΙΚΕΣ ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΣΕ ΓΥΝΑΙΚΕΣ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΜΑΣΤΕΚΤΟΜΗ ΓΕΩΡΓΙΑ ΤΡΙΣΟΚΚΑ Λευκωσία 2012 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(1,1)

4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(1,1) 84 CHAPTER 4. STATIONARY TS MODELS 4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(,) This section is an introduction to a wide class of models ARMA(p,q) which we will consider in more detail later in this

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6/5/2006

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6/5/2006 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Ολοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα είναι μικρότεροι το 1000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Διάρκεια: 3,5 ώρες Καλή

Διαβάστε περισσότερα

Strain gauge and rosettes

Strain gauge and rosettes Strain gauge and rosettes Introduction A strain gauge is a device which is used to measure strain (deformation) on an object subjected to forces. Strain can be measured using various types of devices classified

Διαβάστε περισσότερα

the total number of electrons passing through the lamp.

the total number of electrons passing through the lamp. 1. A 12 V 36 W lamp is lit to normal brightness using a 12 V car battery of negligible internal resistance. The lamp is switched on for one hour (3600 s). For the time of 1 hour, calculate (i) the energy

Διαβάστε περισσότερα

Assalamu `alaikum wr. wb.

Assalamu `alaikum wr. wb. LUMP SUM Assalamu `alaikum wr. wb. LUMP SUM Wassalamu alaikum wr. wb. Assalamu `alaikum wr. wb. LUMP SUM Wassalamu alaikum wr. wb. LUMP SUM Lump sum lump sum lump sum. lump sum fixed price lump sum lump

Διαβάστε περισσότερα

Example Sheet 3 Solutions

Example Sheet 3 Solutions Example Sheet 3 Solutions. i Regular Sturm-Liouville. ii Singular Sturm-Liouville mixed boundary conditions. iii Not Sturm-Liouville ODE is not in Sturm-Liouville form. iv Regular Sturm-Liouville note

Διαβάστε περισσότερα

CRASH COURSE IN PRECALCULUS

CRASH COURSE IN PRECALCULUS CRASH COURSE IN PRECALCULUS Shiah-Sen Wang The graphs are prepared by Chien-Lun Lai Based on : Precalculus: Mathematics for Calculus by J. Stuwart, L. Redin & S. Watson, 6th edition, 01, Brooks/Cole Chapter

Διαβάστε περισσότερα

Right Rear Door. Let's now finish the door hinge saga with the right rear door

Right Rear Door. Let's now finish the door hinge saga with the right rear door Right Rear Door Let's now finish the door hinge saga with the right rear door You may have been already guessed my steps, so there is not much to describe in detail. Old upper one file:///c /Documents

Διαβάστε περισσότερα

Η ΨΥΧΙΑΤΡΙΚΗ - ΨΥΧΟΛΟΓΙΚΗ ΠΡΑΓΜΑΤΟΓΝΩΜΟΣΥΝΗ ΣΤΗΝ ΠΟΙΝΙΚΗ ΔΙΚΗ

Η ΨΥΧΙΑΤΡΙΚΗ - ΨΥΧΟΛΟΓΙΚΗ ΠΡΑΓΜΑΤΟΓΝΩΜΟΣΥΝΗ ΣΤΗΝ ΠΟΙΝΙΚΗ ΔΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΝΟΜΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΑΣ ΤΟΥ ΔΙΚΑΙΟΥ Διπλωματική εργασία στο μάθημα «ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΑ ΤΟΥ ΔΙΚΑΙΟΥ»

Διαβάστε περισσότερα

Matrices and Determinants

Matrices and Determinants Matrices and Determinants SUBJECTIVE PROBLEMS: Q 1. For what value of k do the following system of equations possess a non-trivial (i.e., not all zero) solution over the set of rationals Q? x + ky + 3z

Διαβάστε περισσότερα

Η ΠΡΟΣΩΠΙΚΗ ΟΡΙΟΘΕΤΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΩΝ CHAT ROOMS

Η ΠΡΟΣΩΠΙΚΗ ΟΡΙΟΘΕΤΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΩΝ CHAT ROOMS ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ Ι Ο Ν Ι Ω Ν Ν Η Σ Ω Ν ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ Ταχ. Δ/νση : ΑΤΕΙ Ιονίων Νήσων- Λεωφόρος Αντώνη Τρίτση Αργοστόλι Κεφαλληνίας, Ελλάδα 28100,+30

Διαβάστε περισσότερα

PARTIAL NOTES for 6.1 Trigonometric Identities

PARTIAL NOTES for 6.1 Trigonometric Identities PARTIAL NOTES for 6.1 Trigonometric Identities tanθ = sinθ cosθ cotθ = cosθ sinθ BASIC IDENTITIES cscθ = 1 sinθ secθ = 1 cosθ cotθ = 1 tanθ PYTHAGOREAN IDENTITIES sin θ + cos θ =1 tan θ +1= sec θ 1 + cot

Διαβάστε περισσότερα

3.4 SUM AND DIFFERENCE FORMULAS. NOTE: cos(α+β) cos α + cos β cos(α-β) cos α -cos β

3.4 SUM AND DIFFERENCE FORMULAS. NOTE: cos(α+β) cos α + cos β cos(α-β) cos α -cos β 3.4 SUM AND DIFFERENCE FORMULAS Page Theorem cos(αβ cos α cos β -sin α cos(α-β cos α cos β sin α NOTE: cos(αβ cos α cos β cos(α-β cos α -cos β Proof of cos(α-β cos α cos β sin α Let s use a unit circle

Διαβάστε περισσότερα

Main source: "Discrete-time systems and computer control" by Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 4 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1

Main source: Discrete-time systems and computer control by Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 4 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1 Main source: "Discrete-time systems and computer control" by Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 4 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1 A Brief History of Sampling Research 1915 - Edmund Taylor Whittaker (1873-1956) devised a

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Διαχείρισης Βάσεων Δεδομένων

Συστήματα Διαχείρισης Βάσεων Δεδομένων ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Συστήματα Διαχείρισης Βάσεων Δεδομένων Φροντιστήριο 9: Transactions - part 1 Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Tutorial on Undo, Redo and Undo/Redo

Διαβάστε περισσότερα

Concrete Mathematics Exercises from 30 September 2016

Concrete Mathematics Exercises from 30 September 2016 Concrete Mathematics Exercises from 30 September 2016 Silvio Capobianco Exercise 1.7 Let H(n) = J(n + 1) J(n). Equation (1.8) tells us that H(2n) = 2, and H(2n+1) = J(2n+2) J(2n+1) = (2J(n+1) 1) (2J(n)+1)

Διαβάστε περισσότερα

Ordinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit

Ordinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit Ordinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit Ting Zhang Stanford May 11, 2001 Stanford, 5/11/2001 1 Outline Ordinal Classification Ordinal Addition Ordinal Multiplication Ordinal

Διαβάστε περισσότερα

Code Breaker. TEACHER s NOTES

Code Breaker. TEACHER s NOTES TEACHER s NOTES Time: 50 minutes Learning Outcomes: To relate the genetic code to the assembly of proteins To summarize factors that lead to different types of mutations To distinguish among positive,

Διαβάστε περισσότερα

Instruction Execution Times

Instruction Execution Times 1 C Execution Times InThisAppendix... Introduction DL330 Execution Times DL330P Execution Times DL340 Execution Times C-2 Execution Times Introduction Data Registers This appendix contains several tables

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 24/3/2007

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 24/3/2007 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Όλοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα μικρότεροι του 10000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

On a four-dimensional hyperbolic manifold with finite volume

On a four-dimensional hyperbolic manifold with finite volume BULETINUL ACADEMIEI DE ŞTIINŢE A REPUBLICII MOLDOVA. MATEMATICA Numbers 2(72) 3(73), 2013, Pages 80 89 ISSN 1024 7696 On a four-dimensional hyperbolic manifold with finite volume I.S.Gutsul Abstract. In

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY 21 ος ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Δεύτερος Γύρος - 30 Μαρτίου 2011

ΚΥΠΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY 21 ος ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Δεύτερος Γύρος - 30 Μαρτίου 2011 Διάρκεια Διαγωνισμού: 3 ώρες Απαντήστε όλες τις ερωτήσεις Μέγιστο Βάρος (20 Μονάδες) Δίνεται ένα σύνολο από N σφαιρίδια τα οποία δεν έχουν όλα το ίδιο βάρος μεταξύ τους και ένα κουτί που αντέχει μέχρι

Διαβάστε περισσότερα

ANSWERSHEET (TOPIC = DIFFERENTIAL CALCULUS) COLLECTION #2. h 0 h h 0 h h 0 ( ) g k = g 0 + g 1 + g g 2009 =?

ANSWERSHEET (TOPIC = DIFFERENTIAL CALCULUS) COLLECTION #2. h 0 h h 0 h h 0 ( ) g k = g 0 + g 1 + g g 2009 =? Teko Classes IITJEE/AIEEE Maths by SUHAAG SIR, Bhopal, Ph (0755) 3 00 000 www.tekoclasses.com ANSWERSHEET (TOPIC DIFFERENTIAL CALCULUS) COLLECTION # Question Type A.Single Correct Type Q. (A) Sol least

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Μελέτη των υλικών των προετοιμασιών σε υφασμάτινο υπόστρωμα, φορητών έργων τέχνης (17ος-20ος αιώνας). Διερεύνηση της χρήσης της τεχνικής της Ηλεκτρονικής Μικροσκοπίας

Διαβάστε περισσότερα

Lecture 2. Soundness and completeness of propositional logic

Lecture 2. Soundness and completeness of propositional logic Lecture 2 Soundness and completeness of propositional logic February 9, 2004 1 Overview Review of natural deduction. Soundness and completeness. Semantics of propositional formulas. Soundness proof. Completeness

Διαβάστε περισσότερα

Practice Exam 2. Conceptual Questions. 1. State a Basic identity and then verify it. (a) Identity: Solution: One identity is csc(θ) = 1

Practice Exam 2. Conceptual Questions. 1. State a Basic identity and then verify it. (a) Identity: Solution: One identity is csc(θ) = 1 Conceptual Questions. State a Basic identity and then verify it. a) Identity: Solution: One identity is cscθ) = sinθ) Practice Exam b) Verification: Solution: Given the point of intersection x, y) of the

Διαβάστε περισσότερα

Lecture 2: Dirac notation and a review of linear algebra Read Sakurai chapter 1, Baym chatper 3

Lecture 2: Dirac notation and a review of linear algebra Read Sakurai chapter 1, Baym chatper 3 Lecture 2: Dirac notation and a review of linear algebra Read Sakurai chapter 1, Baym chatper 3 1 State vector space and the dual space Space of wavefunctions The space of wavefunctions is the set of all

Διαβάστε περισσότερα

Επιβλέπουσα Καθηγήτρια: ΣΟΦΙΑ ΑΡΑΒΟΥ ΠΑΠΑΔΑΤΟΥ

Επιβλέπουσα Καθηγήτρια: ΣΟΦΙΑ ΑΡΑΒΟΥ ΠΑΠΑΔΑΤΟΥ EΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ Ταχ. Δ/νση : Λεωφ. Αντ.Τρίτση, Αργοστόλι Κεφαλληνίας Τ.Κ. 28 100 τηλ. : 26710-27311 fax : 26710-27312

Διαβάστε περισσότερα

Partial Differential Equations in Biology The boundary element method. March 26, 2013

Partial Differential Equations in Biology The boundary element method. March 26, 2013 The boundary element method March 26, 203 Introduction and notation The problem: u = f in D R d u = ϕ in Γ D u n = g on Γ N, where D = Γ D Γ N, Γ D Γ N = (possibly, Γ D = [Neumann problem] or Γ N = [Dirichlet

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΔΗΜΟΣΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΙΓ' ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΣΕΙΡΑ

ΕΘΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΔΗΜΟΣΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΙΓ' ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΣΕΙΡΑ ΕΘΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΔΗΜΟΣΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΙΓ' ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΣΕΙΡΑ ΤΜΗΜΑ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΥΤΟΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΤΕΛΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΜΕΣΩ ΔΕΙΚΤΩΝ Επιβλέπων: Αθ.Δελαπάσχος

Διαβάστε περισσότερα

Srednicki Chapter 55

Srednicki Chapter 55 Srednicki Chapter 55 QFT Problems & Solutions A. George August 3, 03 Srednicki 55.. Use equations 55.3-55.0 and A i, A j ] = Π i, Π j ] = 0 (at equal times) to verify equations 55.-55.3. This is our third

Διαβάστε περισσότερα

ω ω ω ω ω ω+2 ω ω+2 + ω ω ω ω+2 + ω ω+1 ω ω+2 2 ω ω ω ω ω ω ω ω+1 ω ω2 ω ω2 + ω ω ω2 + ω ω ω ω2 + ω ω+1 ω ω2 + ω ω+1 + ω ω ω ω2 + ω

ω ω ω ω ω ω+2 ω ω+2 + ω ω ω ω+2 + ω ω+1 ω ω+2 2 ω ω ω ω ω ω ω ω+1 ω ω2 ω ω2 + ω ω ω2 + ω ω ω ω2 + ω ω+1 ω ω2 + ω ω+1 + ω ω ω ω2 + ω 0 1 2 3 4 5 6 ω ω + 1 ω + 2 ω + 3 ω + 4 ω2 ω2 + 1 ω2 + 2 ω2 + 3 ω3 ω3 + 1 ω3 + 2 ω4 ω4 + 1 ω5 ω 2 ω 2 + 1 ω 2 + 2 ω 2 + ω ω 2 + ω + 1 ω 2 + ω2 ω 2 2 ω 2 2 + 1 ω 2 2 + ω ω 2 3 ω 3 ω 3 + 1 ω 3 + ω ω 3 +

Διαβάστε περισσότερα

Démographie spatiale/spatial Demography

Démographie spatiale/spatial Demography ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ Démographie spatiale/spatial Demography Session 1: Introduction to spatial demography Basic concepts Michail Agorastakis Department of Planning & Regional Development Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Αναερόβια Φυσική Κατάσταση

Αναερόβια Φυσική Κατάσταση Αναερόβια Φυσική Κατάσταση Γιάννης Κουτεντάκης, BSc, MA. PhD Αναπληρωτής Καθηγητής ΤΕΦΑΑ, Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας Περιεχόµενο Μαθήµατος Ορισµός της αναερόβιας φυσικής κατάστασης Σχέσης µε µηχανισµούς παραγωγής

Διαβάστε περισσότερα

The challenges of non-stable predicates

The challenges of non-stable predicates The challenges of non-stable predicates Consider a non-stable predicate Φ encoding, say, a safety property. We want to determine whether Φ holds for our program. The challenges of non-stable predicates

Διαβάστε περισσότερα

Απόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ.

Απόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ. Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο The time integral of a force is referred to as impulse, is determined by and is obtained from: Newton s 2 nd Law of motion states that the action

Διαβάστε περισσότερα

Section 9.2 Polar Equations and Graphs

Section 9.2 Polar Equations and Graphs 180 Section 9. Polar Equations and Graphs In this section, we will be graphing polar equations on a polar grid. In the first few examples, we will write the polar equation in rectangular form to help identify

Διαβάστε περισσότερα

Συντακτικές λειτουργίες

Συντακτικές λειτουργίες 2 Συντακτικές λειτουργίες (Syntactic functions) A. Πτώσεις και συντακτικές λειτουργίες (Cases and syntactic functions) The subject can be identified by asking ποιος (who) or τι (what) the sentence is about.

Διαβάστε περισσότερα

Other Test Constructions: Likelihood Ratio & Bayes Tests

Other Test Constructions: Likelihood Ratio & Bayes Tests Other Test Constructions: Likelihood Ratio & Bayes Tests Side-Note: So far we have seen a few approaches for creating tests such as Neyman-Pearson Lemma ( most powerful tests of H 0 : θ = θ 0 vs H 1 :

Διαβάστε περισσότερα

Approximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude

Approximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude Approximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude Jan Behrens 2012-12-31 In this paper we shall provide a method to approximate distances between two points on earth

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΑΡΓΟΣΤΟΛΙ ΚΕΦΑΛΗΝΙΑΣ

ΑΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΑΡΓΟΣΤΟΛΙ ΚΕΦΑΛΗΝΙΑΣ ΑΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΑΡΓΟΣΤΟΛΙ ΚΕΦΑΛΗΝΙΑΣ 2014 Η ΜΕΤΑΒΑΣΗ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΤΗ ΚΙΝΗΤΗ ΤΗΛΕΦΩΝΙΑ ΚΑΙ ΟΙ ΕΠΙΔΡΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΣΤΗΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ:

Διαβάστε περισσότερα

TMA4115 Matematikk 3

TMA4115 Matematikk 3 TMA4115 Matematikk 3 Andrew Stacey Norges Teknisk-Naturvitenskapelige Universitet Trondheim Spring 2010 Lecture 12: Mathematics Marvellous Matrices Andrew Stacey Norges Teknisk-Naturvitenskapelige Universitet

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Κατ/νση Τοπικής Αυτοδιοίκησης ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Μοντέλα στρατηγικής διοίκησης και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΒΑΛΕΝΤΙΝΑ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΥ Α.Μ.: 09/061. Υπεύθυνος Καθηγητής: Σάββας Μακρίδης

ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΒΑΛΕΝΤΙΝΑ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΥ Α.Μ.: 09/061. Υπεύθυνος Καθηγητής: Σάββας Μακρίδης Α.Τ.Ε.Ι. ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΑΡΓΟΣΤΟΛΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Η διαμόρφωση επικοινωνιακής στρατηγικής (και των τακτικών ενεργειών) για την ενδυνάμωση της εταιρικής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΠΑΛΛΗΣ SCHOOLTIME E-BOOKS

ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΠΑΛΛΗΣ SCHOOLTIME E-BOOKS ΟΜΗΡΟΥ ΙΛΙΑΔΑ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΠΑΛΛΗΣ SCHOOLTIME E-BOOKS www.scooltime.gr [- 2 -] The Project Gutenberg EBook of Iliad, by Homer This ebook is for the use of anyone anywhere at no cost and with almost no restrictions

Διαβάστε περισσότερα

The Simply Typed Lambda Calculus

The Simply Typed Lambda Calculus Type Inference Instead of writing type annotations, can we use an algorithm to infer what the type annotations should be? That depends on the type system. For simple type systems the answer is yes, and

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΔΙΚΤΥΩΝ ΔΙΑΝΟΜΗΣ. Η εργασία υποβάλλεται για τη μερική κάλυψη των απαιτήσεων με στόχο. την απόκτηση του διπλώματος

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΔΙΚΤΥΩΝ ΔΙΑΝΟΜΗΣ. Η εργασία υποβάλλεται για τη μερική κάλυψη των απαιτήσεων με στόχο. την απόκτηση του διπλώματος ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΔΙΚΤΥΩΝ ΔΙΑΝΟΜΗΣ Η εργασία υποβάλλεται για τη μερική κάλυψη των απαιτήσεων με στόχο την απόκτηση του διπλώματος «Οργάνωση και Διοίκηση Βιομηχανικών Συστημάτων με εξειδίκευση στα Συστήματα Εφοδιασμού

Διαβάστε περισσότερα

SCHOOL OF MATHEMATICAL SCIENCES G11LMA Linear Mathematics Examination Solutions

SCHOOL OF MATHEMATICAL SCIENCES G11LMA Linear Mathematics Examination Solutions SCHOOL OF MATHEMATICAL SCIENCES GLMA Linear Mathematics 00- Examination Solutions. (a) i. ( + 5i)( i) = (6 + 5) + (5 )i = + i. Real part is, imaginary part is. (b) ii. + 5i i ( + 5i)( + i) = ( i)( + i)

Διαβάστε περισσότερα

Econ 2110: Fall 2008 Suggested Solutions to Problem Set 8 questions or comments to Dan Fetter 1

Econ 2110: Fall 2008 Suggested Solutions to Problem Set 8  questions or comments to Dan Fetter 1 Eon : Fall 8 Suggested Solutions to Problem Set 8 Email questions or omments to Dan Fetter Problem. Let X be a salar with density f(x, θ) (θx + θ) [ x ] with θ. (a) Find the most powerful level α test

Διαβάστε περισσότερα

Block Ciphers Modes. Ramki Thurimella

Block Ciphers Modes. Ramki Thurimella Block Ciphers Modes Ramki Thurimella Only Encryption I.e. messages could be modified Should not assume that nonsensical messages do no harm Always must be combined with authentication 2 Padding Must be

Διαβάστε περισσότερα

«Χρήσεις γης, αξίες γης και κυκλοφοριακές ρυθμίσεις στο Δήμο Χαλκιδέων. Η μεταξύ τους σχέση και εξέλιξη.»

«Χρήσεις γης, αξίες γης και κυκλοφοριακές ρυθμίσεις στο Δήμο Χαλκιδέων. Η μεταξύ τους σχέση και εξέλιξη.» ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: «Χρήσεις γης, αξίες γης και κυκλοφοριακές ρυθμίσεις στο Δήμο Χαλκιδέων.

Διαβάστε περισσότερα

ΙΩΑΝΝΗΣ ΛΑΣΚΑΡΗΣ, ΠΗΓΩΝΙΤΗΣ Ή ΣΥΡΠΑΓΑΝΟΣ, Ο ΚΑΛΟΜΙΣΙΔΗΣ

ΙΩΑΝΝΗΣ ΛΑΣΚΑΡΗΣ, ΠΗΓΩΝΙΤΗΣ Ή ΣΥΡΠΑΓΑΝΟΣ, Ο ΚΑΛΟΜΙΣΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΛΑΣΚΑΡΗΣ, ΠΗΓΩΝΙΤΗΣ Ή ΣΥΡΠΑΓΑΝΟΣ, Ο ΚΑΛΟΜΙΣΙΔΗΣ Ἀναπάντεχες λεπτομέρειες γιὰ τὸν βίο καὶ τὴν πολιτεία τοῦ Ἰωάννη Λάσκαρη μᾶς εἶναι γνωστὲς ἀπὸ μιὰ σειρὰ ἐγγράφων (ποὺ ἀνακάλυψε στὰ κρατικὰ ἀρχεῖα

Διαβάστε περισσότερα

[1] P Q. Fig. 3.1

[1] P Q. Fig. 3.1 1 (a) Define resistance....... [1] (b) The smallest conductor within a computer processing chip can be represented as a rectangular block that is one atom high, four atoms wide and twenty atoms long. One

Διαβάστε περισσότερα

ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. ΘΕΜΑ: «ιερεύνηση της σχέσης µεταξύ φωνηµικής επίγνωσης και ορθογραφικής δεξιότητας σε παιδιά προσχολικής ηλικίας»

ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. ΘΕΜΑ: «ιερεύνηση της σχέσης µεταξύ φωνηµικής επίγνωσης και ορθογραφικής δεξιότητας σε παιδιά προσχολικής ηλικίας» ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ «ΠΑΙ ΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ΚΑΙ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΥΛΙΚΟ» ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ που εκπονήθηκε για τη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΑΛΛΗΛΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΣΤΗΝ ΑΓΓΛΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΑΛΛΗΛΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΣΤΗΝ ΑΓΓΛΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΑΛΛΗΛΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΣΤΗΝ ΑΓΓΛΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ Ενότητα 1: Elements of Syntactic Structure Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΑ ΗΜΙΑ ΕΜΠΟΡΙΚΟΥ ΝΑΥΤΙΚΟΥ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΑΚΑ ΗΜΙΑ ΕΜΠΟΡΙΚΟΥ ΝΑΥΤΙΚΟΥ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΚΑ ΗΜΙΑ ΕΜΠΟΡΙΚΟΥ ΝΑΥΤΙΚΟΥ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ :ΤΥΠΟΙ ΑΕΡΟΣΥΜΠΙΕΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΡΟΠΟΙ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΣΠΟΥ ΑΣΤΡΙΑ: ΕΥΘΥΜΙΑ ΟΥ ΣΩΣΑΝΝΑ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ : ΓΟΥΛΟΠΟΥΛΟΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 1 ΑΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ. Πτυχιακή εργασία

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ. Πτυχιακή εργασία ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Πτυχιακή εργασία ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΟΣΤΟΥΣ-ΟΦΕΛΟΥΣ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΕΙΣΔΥΣΗ ΤΩΝ ΑΝΑΝΕΩΣΙΜΩΝ ΠΗΓΩΝ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΣΤΗΝ ΚΥΠΡΟ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 2030

Διαβάστε περισσότερα

LESSON 14 (ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΚΑΤΕΣΣΕΡΑ) REF : 202/057/34-ADV. 18 February 2014

LESSON 14 (ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΚΑΤΕΣΣΕΡΑ) REF : 202/057/34-ADV. 18 February 2014 LESSON 14 (ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΚΑΤΕΣΣΕΡΑ) REF : 202/057/34-ADV 18 February 2014 Slowly/quietly Clear/clearly Clean Quickly/quick/fast Hurry (in a hurry) Driver Attention/caution/notice/care Dance Σιγά Καθαρά Καθαρός/η/ο

Διαβάστε περισσότερα

"ΦΟΡΟΛΟΓΙΑ ΕΙΣΟΔΗΜΑΤΟΣ ΕΤΑΙΡΕΙΩΝ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΕΤΗ 2011-2013"

ΦΟΡΟΛΟΓΙΑ ΕΙΣΟΔΗΜΑΤΟΣ ΕΤΑΙΡΕΙΩΝ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΕΤΗ 2011-2013 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ Επιμέλεια Κρανιωτάκη Δήμητρα Α.Μ. 8252 Κωστορρίζου Δήμητρα Α.Μ. 8206 Μελετίου Χαράλαμπος Α.Μ.

Διαβάστε περισσότερα

Section 1: Listening and responding. Presenter: Niki Farfara MGTAV VCE Seminar 7 August 2016

Section 1: Listening and responding. Presenter: Niki Farfara MGTAV VCE Seminar 7 August 2016 Section 1: Listening and responding Presenter: Niki Farfara MGTAV VCE Seminar 7 August 2016 Section 1: Listening and responding Section 1: Listening and Responding/ Aκουστική εξέταση Στο πρώτο μέρος της

Διαβάστε περισσότερα

Second Order Partial Differential Equations

Second Order Partial Differential Equations Chapter 7 Second Order Partial Differential Equations 7.1 Introduction A second order linear PDE in two independent variables (x, y Ω can be written as A(x, y u x + B(x, y u xy + C(x, y u u u + D(x, y

Διαβάστε περισσότερα

9.09. # 1. Area inside the oval limaçon r = cos θ. To graph, start with θ = 0 so r = 6. Compute dr

9.09. # 1. Area inside the oval limaçon r = cos θ. To graph, start with θ = 0 so r = 6. Compute dr 9.9 #. Area inside the oval limaçon r = + cos. To graph, start with = so r =. Compute d = sin. Interesting points are where d vanishes, or at =,,, etc. For these values of we compute r:,,, and the values

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ Π Τ Υ Χ Ι Α Κ Η Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α: Ο ΡΟΛΟΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΙΣΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗΣ ΣΤΗΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΙΚΗ ΗΓΕΣΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Η ΔΙΑΣΤΡΕΥΛΩΣΗ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΜΕΣΩ ΤΩΝ SOCIAL MEDIA ΤΗΝ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΠΕΝΤΑΕΤΙΑ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΗΣ ΑΝΑΣΤΑΣΙΑΣ-ΜΑΡΙΝΑΣ ΔΑΦΝΗ

Η ΔΙΑΣΤΡΕΥΛΩΣΗ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΜΕΣΩ ΤΩΝ SOCIAL MEDIA ΤΗΝ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΠΕΝΤΑΕΤΙΑ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΗΣ ΑΝΑΣΤΑΣΙΑΣ-ΜΑΡΙΝΑΣ ΔΑΦΝΗ Η ΔΙΑΣΤΡΕΥΛΩΣΗ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΜΕΣΩ ΤΩΝ SOCIAL MEDIA ΤΗΝ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΠΕΝΤΑΕΤΙΑ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΗΣ ΑΝΑΣΤΑΣΙΑΣ-ΜΑΡΙΝΑΣ ΔΑΦΝΗ Τμήμα Δημοσίων Σχέσεων & Επικοινωνίας Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ιονίων

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 2 * * * * * * * Introduction to Verbs * * * * * * *

Chapter 2 * * * * * * * Introduction to Verbs * * * * * * * Chapter 2 * * * * * * * Introduction to Verbs * * * * * * * In the first chapter, we practiced the skill of reading Greek words. Now we want to try to understand some parts of what we read. There are a

Διαβάστε περισσότερα

Bounding Nonsplitting Enumeration Degrees

Bounding Nonsplitting Enumeration Degrees Bounding Nonsplitting Enumeration Degrees Thomas F. Kent Andrea Sorbi Università degli Studi di Siena Italia July 18, 2007 Goal: Introduce a form of Σ 0 2-permitting for the enumeration degrees. Till now,

Διαβάστε περισσότερα

Homework 8 Model Solution Section

Homework 8 Model Solution Section MATH 004 Homework Solution Homework 8 Model Solution Section 14.5 14.6. 14.5. Use the Chain Rule to find dz where z cosx + 4y), x 5t 4, y 1 t. dz dx + dy y sinx + 4y)0t + 4) sinx + 4y) 1t ) 0t + 4t ) sinx

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΥΨΗΛΩΝ ΤΑΣΕΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΥΨΗΛΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΥΨΗΛΩΝ ΤΑΣΕΩΝ Διπλωµατική Εργασία Της Φοιτήτριας του Τµήµατος Ηλεκτρολόγων

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΗΛΙΚΙΑ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Διαπολιτισμική Εκπαίδευση και Θρησκευτική Ετερότητα: εθνικές και θρησκευτικές

Διαβάστε περισσότερα

Fourier Series. MATH 211, Calculus II. J. Robert Buchanan. Spring Department of Mathematics

Fourier Series. MATH 211, Calculus II. J. Robert Buchanan. Spring Department of Mathematics Fourier Series MATH 211, Calculus II J. Robert Buchanan Department of Mathematics Spring 2018 Introduction Not all functions can be represented by Taylor series. f (k) (c) A Taylor series f (x) = (x c)

Διαβάστε περισσότερα

MATH423 String Theory Solutions 4. = 0 τ = f(s). (1) dτ ds = dxµ dτ f (s) (2) dτ 2 [f (s)] 2 + dxµ. dτ f (s) (3)

MATH423 String Theory Solutions 4. = 0 τ = f(s). (1) dτ ds = dxµ dτ f (s) (2) dτ 2 [f (s)] 2 + dxµ. dτ f (s) (3) 1. MATH43 String Theory Solutions 4 x = 0 τ = fs). 1) = = f s) ) x = x [f s)] + f s) 3) equation of motion is x = 0 if an only if f s) = 0 i.e. fs) = As + B with A, B constants. i.e. allowe reparametrisations

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΔΠΗΣΖΜΗΟ ΠΑΣΡΩΝ ΣΜΖΜΑ ΖΛΔΚΣΡΟΛΟΓΩΝ ΜΖΥΑΝΗΚΩΝ ΚΑΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΗΑ ΤΠΟΛΟΓΗΣΩΝ ΣΟΜΔΑ ΤΣΖΜΑΣΩΝ ΖΛΔΚΣΡΗΚΖ ΔΝΔΡΓΔΗΑ

ΠΑΝΔΠΗΣΖΜΗΟ ΠΑΣΡΩΝ ΣΜΖΜΑ ΖΛΔΚΣΡΟΛΟΓΩΝ ΜΖΥΑΝΗΚΩΝ ΚΑΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΗΑ ΤΠΟΛΟΓΗΣΩΝ ΣΟΜΔΑ ΤΣΖΜΑΣΩΝ ΖΛΔΚΣΡΗΚΖ ΔΝΔΡΓΔΗΑ ΠΑΝΔΠΗΣΖΜΗΟ ΠΑΣΡΩΝ ΣΜΖΜΑ ΖΛΔΚΣΡΟΛΟΓΩΝ ΜΖΥΑΝΗΚΩΝ ΚΑΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΗΑ ΤΠΟΛΟΓΗΣΩΝ ΣΟΜΔΑ ΤΣΖΜΑΣΩΝ ΖΛΔΚΣΡΗΚΖ ΔΝΔΡΓΔΗΑ Γηπισκαηηθή Δξγαζία ηνπ Φνηηεηή ηνπ ηκήκαηνο Ζιεθηξνιόγσλ Μεραληθώλ θαη Σερλνινγίαο Ζιεθηξνληθώλ

Διαβάστε περισσότερα

Πτυχιακή Εργασία. Παραδοσιακά Προϊόντα Διατροφική Αξία και η Πιστοποίηση τους

Πτυχιακή Εργασία. Παραδοσιακά Προϊόντα Διατροφική Αξία και η Πιστοποίηση τους ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΤΡΟΦΗΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΤΡΟΦΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΙΤΟΛΟΓΙΑΣ Πτυχιακή Εργασία Παραδοσιακά Προϊόντα Διατροφική Αξία και η Πιστοποίηση τους Εκπόνηση:

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Ε.Ι. ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ

Τ.Ε.Ι. ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ Τ.Ε.Ι. ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Η προβολή επιστημονικών θεμάτων από τα ελληνικά ΜΜΕ : Η κάλυψή τους στον ελληνικό ημερήσιο τύπο Σαραλιώτου

Διαβάστε περισσότερα

b. Use the parametrization from (a) to compute the area of S a as S a ds. Be sure to substitute for ds!

b. Use the parametrization from (a) to compute the area of S a as S a ds. Be sure to substitute for ds! MTH U341 urface Integrals, tokes theorem, the divergence theorem To be turned in Wed., Dec. 1. 1. Let be the sphere of radius a, x 2 + y 2 + z 2 a 2. a. Use spherical coordinates (with ρ a) to parametrize.

Διαβάστε περισσότερα