ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

Transcript

1 6 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Δεύτερη Φάση) Κυριακή, 08 Απριλίου, 01 Ώρα: 10:00-13:00 Οδηγίες: 1) Το δοκίμιο αποτελείται από τέσσερις (6) σελίδες και πέντε (5) θέματα. ) Να απαντήσετε σε όλα τα θέματα του δοκιμίου. 3) Επιτρέπεται η χρήση μόνο μη προγραμματιζόμενης υπολογιστικής μηχανής. 4) Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. 5) Επιτρέπεται η χρήση ΜΟΝΟ μπλε μελανιού. (Οι γραφικές παραστάσεις μπορούν να γίνουν και με μολύβι). 6) Τα σχήματα των θεμάτων δεν είναι υπό κλίμακα. 7) Δίνεται: g = 10 m/s. ΘΕΜΑ 1 ο : (Μονάδες 10) Δύο ελαστικές σφαίρες Α και Β με μάζες m Α = m και m Β = m είναι δεμένες στα άκρα κατακόρυφων νημάτων με μήκη l A = l και l Β = l έτσι ώστε να εφάπτονται μεταξύ τους και τα κέντρα τους να βρίσκονται στην ίδια οριζόντια ευθεία όπως φαίνονται στο σχήμα 1. Σχήμα 1 Σχήμα l l A l φ l A B m B m m Εκτρέποντας τη σφαίρα Α από την κατακόρυφη θέση του έτσι ώστε το νήμα να σχηματίζει γωνία φ = 60 o με την κατακόρυφο και στη συνέχεια αφήνεται ελεύθερη (σχήμα ). Αν η κρούση των σφαιρών είναι κεντρική ελαστική να υπολογίσετε: α. τις ταχύτητες των δύο σφαιρών μετά την κρούση. (μον. 6) β. τη μέγιστη γωνία που θα σχηματίσει το νήμα της σφαίρας Β με την κατακόρυφο μετά την κρούση. (μον. 4) m Σελίδα 1 από 6

2 ΘΕΜΑ ο : (Μονάδες 0) Δύο ίδιες ομογενείς ράβδοι ΚΑ και ΚΓ έχουν μάζες m = kg και μήκος l = 1, m η καθεμία. Οι δύο ράβδοι είναι σταθερά ενωμένες μεταξύ τους στο άκρο Κ και σχηματίζουν ορθή γωνία. Στο μέσο της οριζόντιας ράβδου ΚΑ στερεώνουμε μια μικρή σφαίρα μάζας X K X,5 kg. Το σύστημα μπορεί να Α περιστρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα κάθετο στο επίπεδο ΑΚΓ που διέρχεται από το σημείο Κ. Αρχικά το σύστημα συγκρατείται στη θέση όπου η ράβδος ΚΑ είναι οριζόντια. Από την αρχική θέση το σύστημα αφήνεται ελεύθερο να περιστραφεί. Η ροπή αδράνειας της ράβδου δίνεται από τη 1 σχέση I m. 3 Γ α. Τη χρονική στιγμή κατά την οποία οι δύο ράβδοι σχηματίζουν ίσες γωνίες με την οριζόντια ευθεία ΧΧ να υπολογίσετε: i. To μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του συστήματος. (μον. 5) ii. Το μέτρο της στροφορμής του συστήματος ως προς τον άξονα περιστροφής που διέρχεται από το σημείο Κ. (μον. ) β. Να υπολογίσετε τη μέγιστη γωνιακή ταχύτητα του συστήματος. (μον. 5) γ. Nα κατασκευάσετε σε βαθμολογημένους άξονες τη γραφική παράσταση της κινητικής ενέργειας λόγω περιστροφής της ράβδου ΚΓ σε σχέση με τη γωνιακή ταχύτητα Ε κιν.περ. = f (ω) από τη στιγμή που αφέθηκε ελεύθερο το σύστημα μέχρι που απόκτησε για πρώτη φορά μέγιστη γωνιακή ταχύτητα. (μον. 3) δ. Να υπολογίσετε την ελάχιστη απόσταση από το σημείο Κ που πρέπει να στερεώσουμε τη σφαίρα Σ έτσι ώστε η ράβδος ΚΓ να ανέλθει πάνω από την ευθεία ΚΧ σχηματίζοντας γωνία 45 0 με αυτή. (μον. 5) Σελίδα από 6

3 ΘΕΜΑ 3 ο : (Μονάδες 5) Το σώμα Α έχει μάζα m A = 4 kg και ισορροπεί με τη βοήθεια νήματος και ελατηρίου σταθεράς k = 5 π Ν/m σε λείο κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης 30 ο. Tα νήματα και το ελατήριο είναι παράλληλα με το κεκλιμένο επίπεδο. Η τάση του νήματος Α έχει μέτρο 4, 7 Ν. Τη χρονική στιγμή t = 0 τα δύο νήματα κόβονται. Το σώμα Β, Νήμα Β μάζας m B = 5 kg, ολισθαίνει στο B κεκλιμένο επίπεδο και όταν διανύσει απόσταση S =,5 m συγκρούεται πλαστικά με το σώμα Α. Ο χρόνος Α της κρούσης είναι αμελητέος. α. Να αποδείξετε ότι το σώμα Α, πριν την κρούση, εκτελεί Α.Α.Τ. (μον. 5) β. Να υπολογίσετε: Νήμα Α i. την ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση. (μον. 5) ii. την απόσταση του συσσωματώματος από την νέα θέση ισορροπίας τη στιγμή της κρούσης. (μον. 3) iii. την απόσταση που θα διανύσει το συσσωμάτωμα μέχρι να μηδενιστεί στιγμιαία για δεύτερη φορά η ταχύτητά του. (μον. 4) γ. Να κατασκευάσετε σε βαθμολογημένους άξονες τη γραφική παράσταση της ταχύτητας του σώματος A μέχρι τη στιγμή της κρούσης. (μον. 3) δ. Να κατασκευάσετε σε βαθμολογημένους άξονες τη γραφική παράσταση της ταχύτητας του συσσωματώματος από τη στιγμή της κρούσης μέχρι τη στιγμή που μηδενίζεται η ταχύτητά του για δεύτερη φορά. (μον. 5) Σελίδα 3 από 6

4 ΘΕΜΑ 4 ο : (Μονάδες 5) Σε μία λεκάνη κυμάτων (ripple tank) οι σημειακές πηγές Π 1 και Π παράγουν κύματα ίδιας συχνότητας η οποία ρυθμίζεται από την ίδια γεννήτρια συχνοτήτων. Τα κύματα που παράγονται από τις πηγές είναι σε φάση μεταξύ τους, έχουν πλάτος ψ 0 =0,0 m και διαδίδονται στην επιφάνεια του νερού με ταχύτητα υ = 0,8 m/s. Οι δύο πηγές απέχουν μεταξύ τους 4 cm. Ένα σημείο Α απέχει από την πηγή Π 1 10 cm όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Π 1 10 cm Α Η γεννήτρια συχνοτήτων έχει τη δυνατότητα να παράγει κύματα με συχνότητα από 30 Hz μέχρι και 40 Hz. 4 cm Α. α. Να προσδιορίσετε για ποιες συχνότητες το σημείο Α i. εκτελεί ταλάντωση με μέγιστο πλάτος, (μον. 3) ii. παραμένει ακίνητο. (μον. 3) β. Αν η γεννήτρια συχνοτήτων παράγει κύματα συχνότητας 3 Hz να υπολογίσετε: i. το πλάτος της ταλάντωσης του σημείου Α (μον. ) ii. την απομάκρυνση του σημείου Α τις χρονικές στιγμές (1). t = 0,1 s (μον. 1) (). t = 0, s (μον. ) (3). t = 0,4 s (μον. 3) Β. Στο πιο κάτω σχήμα φαίνεται η πειραματική διάταξη για τη μελέτη στάσιμου κύματος σε χορδή. Η χορδή έχει μήκος l και τεντώνεται με τη βοήθεια τεσσάρων σταθμών μάζας m το καθένα. Η γεννήτρια ταλαντώσεων τίθεται σε λειτουργία και παράγει ταλαντώσεις συχνότητας f. Π Γεννήτρια ταλαντώσεων Σελίδα 4 από 6

5 α. Να εξηγήσετε τον τρόπο δημιουργίας του στάσιμου κύματος στη χορδή της πειραματικής διάταξης. (μον. 3) β. Η χορδή πάλλεται με τη δεύτερη αρμονική της συχνότητα. Να σχεδιάσετε τη μορφή του στάσιμου κύματος που δημιουργείται στη χορδή όταν τα σημεία της χορδής βρίσκονται στις ακραίες τους θέσεις. (μον. ) γ. Να περιγράψετε δύο αλλαγές που θα κάνατε στην αρχική πειραματική διάταξη (χωρίς να αλλάξετε τη συχνότητα λειτουργίας της γεννήτριας ταλαντώσεων) έτσι που με κάθε αλλαγή η χορδή να ταλαντώνεται με τη θεμελιώδη της συχνότητα. (μον. 4) δ. Να εξηγήσετε τι εννοούμε όταν λέμε ότι «το στάσιμο κύμα δεν είναι κύμα». (μον. ) ΘΕΜΑ 5 ο : (Μονάδες 0) α. Να διατυπώσετε το νόμο του Faraday για την ηλεκτρομαγνητική επαγωγή. (μον. 3) β. Το μεταλλικό πλαίσιο που φαίνεται στο διπλανό σχήμα βρίσκεται σε ομογενές μαγνητικό πεδίο μαγνητικής επαγωγής. Το πάνω μέρος του πλαισίου έχει τη μορφή ημικυκλίου ακτίνας και μπορεί να O περιστρέφεται γύρω από τον άξονα ΟΟ χωρίς να χάνει επαφή με τις άλλες πλευρές του πλαισίου. Οι τρεις ευθύγραμμες πλευρές του Β πλαισίου έχουν μήκος η καθεμιά. Τη χρονική στιγμή η μαγνητική ροή μέσα από το πλαίσιο είναι μέγιστη. i. Να υπολογίσετε τη μέγιστη μαγνητική ροή που διαρρέει το πλαίσιο. (μον. ) ii. Τη χρονική στιγμή το ημικυκλικό τμήμα του πλαισίου αρχίζει να περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα γύρω από τον άξονα ΟΟ. Να υπολογίσετε την ηλεκτρεγερτική δύναμη από επαγωγή που παράγεται στο πλαίσιο σαν συνάρτηση του χρόνου. (μον. 4) Ο Σελίδα 5 από 6

6 γ. Δύο παράλληλες μεταλλικές ράγες ΚΛ και ΜΝ μήκους L και αντίστασης r ανά μονάδα μήκους στερεώνονται στο οριζόντιο επίπεδο σε απόσταση l η μία από την άλλη. Τα άκρα τους συνδέονται με πανομοιότυπες ηλεκτρικές πηγές με ηλεκτρεγερτική δύναμη Ε. Η αγώγιμη ράβδος ΑΓ μάζας και αντίστασης τοποθετείται κάθετα πάνω στις δύο ράγες και μπορεί να γλιστρά πάνω σε αυτές χωρίς τριβή. Το σύστημα εισάγεται σε κατακόρυφο ομογενές μαγνητικό πεδίο. Η αντίσταση των αγωγών που συνδέουν τις ράγες με τις ηλεκτρικές πηγές και οι εσωτερικές αντιστάσεις των πηγών είναι αμελητέες. K A Λ E B l E Μ Γ Ν L i. Η ράβδος ΑΓ την αρχική χρονική στιγμή βρίσκεται πιο κοντά στα άκρα Κ και Μ. Να περιγράψετε την κίνηση της ράβδου ΑΓ όταν αυτή αφεθεί ελεύθερη. Να εξηγήσετε την απάντησή σας. (μον. 4) ii. Να προσδιορίσετε τη θέση ισορροπίας της ράβδου. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (μον. ) iii. Μετατοπίζουμε τη ράβδο ΑΓ από τη θέση ισορροπίας της κατά πολύ μικρή απόσταση πάνω στις ράγες και την αφήνουμε ελεύθερη. Θεωρώντας σε αυτή την περίπτωση αμελητέα τα επαγωγικά ρεύματα στη ράβδο ΑΓ να δείξετε ότι η περίοδος των ταλαντώσεων που θα εκτελεί η ράβδος δίνεται από τη σχέση: Να θεωρήσετε ότι. Υπενθυμίζονται οι κανόνες του Kirchoff: για κόμβο αγωγών και για βρόχο του κυκλώματος. (μον. 5) Σελίδα 6 από 6

7 6 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Δεύτερη Φάση) Κυριακή, 08 Απριλίου, 01 Ώρα: 10:00-13:00 ΘΕΜΑ 1 ο : (Μονάδες 10) ΛΥΣΕΙΣ α. Να υπολογίσετε τις ταχύτητες των δύο σφαιρών μετά την κρούση. (μον. 6) x E δυν = Ε κιν συνφ = mgh = ½ mu A h = l(1- συν 60 0 ) u A = gh h= l/ u A = gl/ u Α = g m Από την Αρχή Διατήρησης της Ορμής: ΣF εξ. = 0 t t ΔΡ=0 Ρ τελ. - Ρ αρχ = 0 Ρ αρχ = Ρ τελ ΣF εξ. = 0 Ρ Α + Ρ Β = Ρ Α + Ρ Β A l h φ x l B m (1) Από την Αρχή Διατήρησης της Μηχανικής Ενέργειας: Ε κινα + Ε κινβ = Ε κινα + Ε κινβ () Διαιρώντας ()/(1): (3) Από την εξίσωση (3) και αντικαθιστώντας στην εξίσωση (1) ( g + v A ) = v B m( g - v Α ) = m ( g + v A ) Σελίδα 1 από 15

8 ( g + v B = 4 3 g /3) = v B g ( g - v Α ) = ( 1 v A = 3 3 v A = g g g + v A ) β. Να υπολογίσετε τη μέγιστη γωνία που θα σχηματίσει το νήμα της σφαίρας Β με την κατακόρυφο μετά την κρούση. (μον. 4) E δυνβ = Ε κινβ 4 mgh Β = ½ m( g gh Β = ( ) 9 g ) φ l h Β = ( 9 8 ) x 10 x φ = 56,5 o h ΘΕΜΑ ο : (Μονάδες 0) α. Τη χρονική στιγμή κατά την οποία οι δύο ράβδοι σχηματίζουν ίσες γωνίες με την οριζόντια ευθεία ΧΧ να υπολογίσετε: i. To μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του συστήματος. (μον. 5) K X ημ45 o = x = l/ ημ 45 o h 1 = l/ - l/ ημ 45 o h 1 = l/ (1 - ημ 45 o ) h 1 = 0,176 m Ι ραβ. =(1/3) m.l Ι σφ. = m.r Ι ραβ. =(1/3).1, Ι σφ. =,5.0,6 Ι ραβ. =0,96 kg.m Ι σφ. =0,90 kg.m Θέση 1 Ε δυν = 0 Α h=l/ Θέση x h X Γ Ε μηχ1 = Ε μηχ Σελίδα από 15

9 Ε δυνραβ1 + Ε δυνσφ1 = Ε δυνραβ + Ε κιν. περ.ραβ + Ε δυνσφ + Ε κιν. περ.σφ m ραβ gh + m σφ gh = m ραβ gh 1 + ½Ι ραβ. ω + m σφ gh 1 + ½Ι σφ. ω.10.0,6 +,5.10.0,6 = , ,96 ω +,5.10.0, ,45 ω = 7,04 + 4,4 + 1,41.ω 15,56 = 1,41.ω ω = 3,3 rad/s ii. Το μέτρο της στροφορμής του συστήματος ως προς τον άξονα περιστροφής που διέρχεται από το σημείο Κ. (μον. ) L συστ. = L ραβ. + L σφ L συστ. = I ραβ. ω + Ι σφ. ω L συστ. = (I ραβ. + Ι σφ. )ω L συστ. = (.0,96+0,9)3,3 L συστ. = 9,36 kg.m /s β. Να υπολογίσετε τη μέγιστη γωνιακή ταχύτητα του συστήματος. (μον. 5) ΣΜ = 0 d 1 = Μ 1 + Μ = Μ 3 d 3 = X K φ 90-φ y 1 d 3 y 3 X Β 1.d 1 + Β.d 1 = Β 3. d 3 (Β 1 + Β ).d 1 = Β 3. d 3 (Β 1 + Β ). = Β 3 (Β 1 + Β ). = Β = 0. εφφ = φ= 66,03 0 Ε δυν =0 Θέση 3 Α d h 1 1 y 1 = y 3 = h 1 = - h 3 = h 3 Γ h 1 = 0,05 m h 3 = 0,356 m Ε μηχ1 = Ε μηχ3 Ε δυνραβ1 + Ε δυνσφ1 = Ε δυνραβ3α + Ε δυνραβ3γ + Ε κιν. περ.ραβ3 + Ε δυνσφ3 + Ε κιν. περ.σφ3 m ραβ gh + m σφ gh = m ραβ gh 1 + m ραβ gh 3 + ½Ι ραβ. ω + m σφ gh 1 + ½Ι σφ. ω.10.0,6 +,5.10.0,6 =.10. 0, , ,96 ω +,5.10.0,05 + 0,45 ω = 1,04 + 7,1 + 1,3 +1,41.ω 17,54 = 1,41.ω ω = 3,53 rad/s Σελίδα 3 από 15

10 Eκιν (j) ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ γ. Nα κατασκευάσετε σε βαθμολογημένους άξονες τη γραφική παράσταση της κινητικής ενέργειας λόγω περιστροφής της ράβδου ΚΓ σε σχέση με τη γωνιακή ταχύτητα Ε κιν.περ. = f (ω) από τη στιγμή που αφέθηκε ελεύθερο το σύστημα μέχρι που απόκτησε για πρώτη φορά μέγιστη γωνιακή ταχύτητα. (μον. 3) Ε κιν. περ. = ½. Ι ραβ. ω Ε κιν. περ. = ½. 0,96.(3,53) Ε κιν. περ. = 5,98 J και ω = 3,53 rad/s ,5 1 1,5,5 3 3,5 4 ω (rad/s) δ. Να υπολογίσετε την ελάχιστη απόσταση από το Κ που πρέπει να στερεώσουμε τη σφαίρα Σ έτσι ώστε η ράβδος ΚΓ να σχηματίζει γωνία 45 0 με την ευθεία ΚΧ. (μον. 5) y 3 = h 1 = - y 3 h 1 = - h 1 = 0,05 h 3 = 0,356 m X y X y 3 Z Ε μηχ1 = Ε μηχ4 Ε δυνραβ1 + Ε δυνσφ1 = Ε δυνραβ3α + Ε δυνραβ3γ + Ε δυνσφ3 m ραβ gh + m σφ gh = m ραβ gh 1 + m ραβ gh + m σφ gh 3 h 1 h 3 Ε δυν =0.10.0,6 +,5.10.0,6 = m ραβ. g( - ) + m ραβ g( + ) + m σφ gh = h 3 5.h 3 = 3 h 3 =0,1 m Z = - h 3 Z = 0,48 m ημ4 = S= S = S = 0,679 m Σελίδα 4 από 15

11 ΘΕΜΑ 3 ο : (Μονάδες 5) α. Να αποδείξετε ότι το σώμα Α, πριν την κρούση, εκτελεί Α.Α.Τ. (μον. 5) B Νήμα Β Δl Στο σχήμα 1 το ελατήριο βρίσκεται στο φυσικό του μήκος Bx N Α F ελ B Νήμα Β Στο σχήμα το σώμα Α βρίσκεται στη Θέση Ισορροπίας. B B ψ Bx Χ N Α F ελ B Νήμα Β Στο σχήμα 3 το σώμα Α βρίσκεται σε τυχαία θέση σε απόσταση x από τη Θέση Ισορροπίας. B ψ B Στη Θέση Ισορροπίας (Σχήμα ) ΣF=0 B x =F ελ mgημφ = k Δl Στη Τυχαία Θέση ΣF = B x - F ελ ΣF = mgημφ - k (Δl+ x) ΣF = mgημφ - kδl - kx ΣF = - kx Σελίδα 5 από 15

12 β. Να υπολογίσετε: i. την ταχύτητα του συσσωματώματος. (μον. 5) T m 4 T k 5 T 5 T 0, 8s Β xβ = m Β gημφ Β xβ = ,5 Β xβ = 5Ν Στη Θέση Ισορροπίας ΣF=0 Β xα = F ελ Η τάση του νήματος προκαλεί συσπείρωση στο ελατήριο πέρα από την θέση ισορροπίας η οποία ισούται με το πλάτος της ταλάντωσης του σώματος. T = F ελ 4,7 = 5 π 4,7. Δl Δl = 0,1 m χ οa = 0,1 m 5 Η κρούση γίνεται τη χρονική στιγμή Β xβ = m Β α α = 5 m/s S=1/.α.t,5=1/.5.t t = 1s Tο σώμα Α εκτελεί ταλάντωση Την χρονική στιγμή t = 1s το σώμα A βρίσκεται στη θέση ισορροπίας t T 1 0,8 t= 1,5 T u A = ω.x ο u A =.0,1 ua = 0,8 m / s 4 u A = 0,785 m/s Tο σώμα Β επιταχύνεται κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου u Β =αt u Β = 5 m/s ΣF εξ. = t ΣF εξ. = 0 t 0 ΔΡ=0 Ρ τελ. - Ρ αρχ = 0 Ρ αρχ = Ρ τελ -Ρ Α + Ρ Β = Ρ συσ -m A υ Α + m B υ Β = (m A + m B )v κ - 4.0, = 9.v κ -3, = 9.v κ v κ =,43 m/s Σελίδα 6 από 15

13 u (m/s) ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ii. την απόσταση του συσσωματώματος από τη νέα θέση ισορροπίας τη στιγμή της κρούσης. (μον. 3) Στην νέα Θέση Ισορροπίας ισχύει ΣF=0 Β xσυσ = F ελ 5 = 5 π 5. Δl Δl = 0,1 m x = 0,1 m 5 iii. την απόσταση που θα διανύσει το συσσωμάτωμα μέχρι να μηδενιστεί στιγμιαία για δεύτερη φορά η ταχύτητά του. (μον. 4) T ma B 9 T m k 5 T 3. 5 T 1, s Α τρόπος β τρόπος Ε μηχ1 = Ε μηχ u x x Ε κιν1 + Ε ελ1 = Ε κιν u x x ½ m.(v κ ) + ½ k Δl = ½ k.(x 0 ),43 x 0, 01 1, 9., π. 0,01 = 5.π.(x 0 ) x 0 = 0,475 m 53,14 +,469 = 5.π.( x 0 ) 55,61 = 5.π.( x 0 ) (x 0 ) = 0,6 x 0 = 0,475 m S=3.x 0 + Δl = 1,55 m γ. Να κατασκευάσετε σε βαθμολογημένους άξονες τη γραφική παράσταση της ταχύτητας του σώματος A μέχρι τη στιγμή της κρούσης. (μον. 3) 1 0,8 0,6 0,4 0, 0-0, -0,4-0,6-0,8-1 t (s) 0 0, 0,4 0,6 0,8 1 1, Η αρχική φορά του σώματος Α θεωρείται θετική (ανέρχεται στο κεκλιμένο επίπεδο). δ. Να κατασκευάσετε σε βαθμολογημένους άξονες τη γραφική παράσταση της ταχύτητας του συσσωματώματος από την στιγμή της κρούσης μέχρι τη στιγμή που μηδενίζεται η ταχύτητά του για δεύτερη φορά. (μον. 5) Σελίδα 7 από 15

14 u (m/s) ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ u συσ = ω.x ο u συσ =.0,475 1, uσυσ =,485 m/s 3,5 1,5 1 0,5 0-0,5-1 -1,5 - -,5-3 1,04 1,34 1 1,1 1, 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9,1 1,64 1,94 t (s) ΘΕΜΑ 4 ο : (Μονάδες 5) Α. α. Να προσδιορίσετε για ποιες συχνότητες το σημείο Α i. εκτελεί ταλάντωση με μέγιστο πλάτος, (μον. 3) Δx=κλ (Π Α) = (Π 1 Π ) + (Π 1 Α) x f f x f 0,8 0,16 f 5 (Π Α) = (4) + (10) κ=6 f=30 Hz (Π Α) = 6 cm κ=7 f=35 Hz κ=8 f=40 Hz Δx = (Π Α) - (Π 1 Α) = 0,16 m ii. παραμένει ακίνητο. (μον. 3) x ( 1) x ( 1) f κ=7 f=3,5 Hz κ=8 f=37,5 Hz f ( 1) x 0,8 f ( 1) f,5( 1).0,16 β. Αν η γεννήτρια συχνοτήτων παράγει κύματα συχνότητας 3 Hz να υπολογίσετε: i. το πλάτος της ταλάντωσης του σημείου Α (μον. ) Ψ= ψ 1 + ψ Σελίδα 8 από 15

15 t x1 t x t x1 t x 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) T T x x1 t x1 x 0 ( ) ( ) T Το πλάτος της ταλάντωση του σημείου Α είναι: x x1 0,16 0 ( ).0,0 ( ) 0,05.0,0 (6,4 ) Ψ=0,014 m ii. την απομάκρυνση του σημείου Α τις χρονικές στιγμές (1). t = 0,1 s (μον. 1) x=ut x=ut u=λ.f 0,1=0,8t 0,6=0,8t 0,8=3.λ t = 0,15 s t = 0,35 s λ = 0,05 m Τη χρονική στιγμή t=0,15 s φτάνει το κύμα που παράγει η Π 1 στο σημείο Α. Τη χρονική στιγμή t = 0,35 s τα δύο κύματα συμβάλλουν στο σημείο Α. Τη χρονική στιγμή t = 0,15 s το σημείο Α βρίσκεται στην θέση ισορροπία του γιατί κανένα από τα δύο κύμα δεν έφτασε στο σημείο Α. άρα ψ = 0. (). t = 0, s (μον. ) Τη χρονική στιγμή t=0, s φτάνει στο σημείο Α μόνο το κύμα που παράγει η Π 1. t x1 0 ( ) 0 Ψ= ψ 1 + ψ 0,1 0,0. (3.0, ) 0,05 0,0. (6,4 4) 0,0. (4,8 ) 0,01 cm (3). t = 0,4 s Ψ= ψ 1 + ψ t x1 t x 0 ( ) ( ) T 0,1 0,0. (3.0,4 ) 0,0 (3.0,4 0,05 0,0. (1,8 4) 0,0 (1,8 10,4) 0,0. (17,6 ) 0,0. (4,8 ) 0,019 0,01 cm 0,6 ) 0,05 (μον. 3) 0,007 cm B. α. Να εξηγήσετε τον τρόπο δημιουργίας του στάσιμου κύματος στη χορδή της πειραματικής διάταξης. (μον. 3) Καθώς η γεννήτρια ταλαντώσεων πάλλεται δημιουργεί κύμα το οποίο διαδίδεται κατά μήκος της χορδής. Όταν το κύμα φτάσει στο τέλος της χορδής ανακλάται Σελίδα 9 από 15

16 και επιστρέφει με την αντίθετη φορά. Το προσπίπτων και ανακλώμενο κύμα έχουν την ίδια συχνότητα, πλάτος και μήκος κύματος με αποτέλεσμα όταν συμβάλουν να δημιουργούν στάσιμο κύμα. Κάποια σημεία παραμένουν ακίνητα και κάποια σημεία ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος. β. Η χορδή πάλλεται με τη δεύτερη αρμονική της συχνότητα. Να σχεδιάσετε τη μορφή του στάσιμου κύματος που δημιουργείται στη χορδή όταν τα σημεία της χορδής βρίσκονται στις ακραίες τους θέσεις. (μον. ) 1 0,8 0,6 0,4 0, 0-0, -0,4-0,6-0,8-1 γ. Να περιγράψετε δύο αλλαγές που θα κάνατε στην αρχική πειραματική διάταξη (χωρίς να αλλάξετε τη συχνότητα λειτουργίας της γεννήτριας ταλαντώσεων) έτσι που με κάθε αλλαγή η χορδή να ταλαντώνεται με τη θεμελιώδη της συχνότητα. (μον. 4) n f L F n f L F Για να ταλαντώνεται η χορδή με την θεμελιώδη συχνότητα θα πρέπει ο αριθμός των κοιλιών να μειωθεί. Αυτό επιτυγχάνεται με τους εξής τρόπους: α. Να αυξηθεί (τετραπλασιασθεί) η τείνουσα δύναμη. β. Να μειωθεί (υποτετραπλασιασθεί) η γραμμική πυκνότητα της χορδής. γ. Να μειωθεί (υποδιπλασιασθεί) το μήκος της χορδής. δ. Να εξηγήσετε τι εννοούμε όταν λέμε ότι «το στάσιμο κύμα δεν είναι κύμα». (μον. ) Όταν λέμε ότι «το στάσιμο κύμα δεν είναι κύμα» εννοούμε ότι το στάσιμο κύμα δεν μπορεί να θεωρηθεί κύμα αφού δεν διαδίδεται στο ελαστικό μέσο (όπως απαιτεί ο ορισμός της έννοιας του κύματος), αλλά αποτελεί μια κατάσταση ταυτόχρονης ταλάντωσης των σωματιδίων του ελαστικού μέσου. Σελίδα 10 από 15

17 ΘΕΜΑ 5 ο : (Μονάδες 0) α. Να διατυπώσετε το νόμο του Faraday για την ηλεκτρομαγνητική επαγωγή. (μον. 3) Η ΗΕΔ από επαγωγή είναι ανάλογη με το ρυθμό μεταβολής της μαγνητικής ροής. β. Το μεταλλικό πλαίσιο που φαίνεται στο διπλανό σχήμα βρίσκεται σε ομογενές μαγνητικό πεδίο μαγνητικής επαγωγής. Το πάνω μέρος του πλαισίου έχει τη μορφή O Ο ημικυκλίου ακτίνας και μπορεί να περιστρέφεται γύρω από τον άξονα ΟΟ χωρίς να χάνει επαφή με τις άλλες πλευρές του πλαισίου. Οι τρεις ευθύγραμμες πλευρές του πλαισίου έχουν μήκος η καθεμιά. Τη χρονική στιγμή η μαγνητική ροή μέσα από το πλαίσιο είναι μέγιστη. i. Να υπολογίσετε τη μέγιστη μαγνητική ροή που διαρρέει το πλαίσιο. (μον. ) Η μαγνητική ροή υπολογίζεται από τη σχέση, όπου είναι το εμβαδόν του πλαισίου και είναι η γωνία μεταξύ των μαγνητικών δυναμικών γραμμών και της κάθετης στο επίπεδο του πλαισίου. Άρα, η μέγιστη μαγνητική ροή θα διαρρέει το πλαίσιο όταν αυτό έχει τη μορφή που φαίνεται στο σχήμα, όταν, δηλαδή, το ημικυκλικό τμήμα βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο με το τετράγωνο τμήμα του πλαισίου και έξω από αυτό. Άρα, ii. Τη χρονική στιγμή το ημικυκλικό τμήμα του πλαισίου αρχίζει να περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα γύρω από τον άξονα ΟΟ. Να υπολογίσετε την ηλεκτρεγερτική δύναμη από επαγωγή που παράγεται στο πλαίσιο σαν συνάρτηση του χρόνου. (μον. 4) Λόγω της περιστροφής του ημικυκλικού τμήματος του πλαισίου η μαγνητική ροή μέσα από το πλαίσιο θα μεταβάλλεται χρονικά σύμφωνα με τη σχέση Άρα η ΗΕΔ από επαγωγή που θα εμφανιστεί στο πλαίσιο θα είναι: γ. Δύο παράλληλες μεταλλικές ράγες ΚΛ και ΜΝ μήκους L και αντίστασης r ανά μονάδα μήκους στερεώνονται στο οριζόντιο επίπεδο σε απόσταση l η μία από την άλλη. Τα άκρα τους συνδέονται με πανομοιότυπες ηλεκτρικές πηγές με ηλεκτρεγερτική δύναμη Ε. Η αγώγιμη ράβδος ΑΓ μάζας και αντίστασης Σελίδα 11 από 15

18 τοποθετείται κάθετα πάνω στις δύο ράγες και μπορεί να γλιστρά πάνω σε αυτές χωρίς τριβή. Το σύστημα εισάγεται σε κατακόρυφο ομογενές μαγνητικό πεδίο. Η αντίσταση των αγωγών που συνδέουν τις ράγες με τις ηλεκτρικές πηγές και οι εσωτερικές αντιστάσεις των πηγών είναι αμελητέες. K A Λ E l E Μ Γ Ν L i. Η ράβδος ΑΓ την αρχική χρονική στιγμή βρίσκεται πιο κοντά στα άκρα Κ και Μ. Να περιγράψετε την κίνηση της ράβδου ΑΓ όταν αυτή αφεθεί ελεύθερη. Να εξηγήσετε την απάντησή σας. (μον. 4) Η ράβδος θα εκτελέσει φθίνουσα παλινδρομική κίνηση μέχρι να ισορροπήσει στη θέση που να συνδέει τα μέσα των δύο ράγων. Αφού η ράβδος ΑΓ βρίσκεται αρχικά πιο κοντά στα άκρα Κ και Μ η αντίσταση των τμημάτων ΚΑ και ΜΓ θα είναι μικρότερη από την αντίσταση των τμημάτων ΛΑ και ΝΑ. Άρα, η ράβδος θα διαρρέεται από ρεύμα με φορά από το Γ προς το Α. Αφού η ράβδος ΑΓ διαρρέεται από ρεύμα και βρίσκεται σε μαγνητικό πεδίο, θα ασκείται σε αυτή δύναμη Laplace με φορά προς τα άκρα Λ και Ν. Έτσι η ράβδος θα αρχίσει να κινείται με επιτάχυνση προς τα άκρα Λ και Ν. Η επιτάχυνση της ράβδου δεν θα είναι σταθερή. Θα μειώνεται για δύο λόγους: λόγω αύξησης της αντίστασης των αγωγών ΚΑ και ΜΓ και λόγω της επαγωγικής τάσης που θα αναπτυχθεί στα άκρα της ράβδου ΑΓ. Λίγο πριν περάσει από το μέσο των ράγων (διακεκομμένη γραμμή) η επιτάχυνση K A Λ E l E Μ Γ L Ν Σελίδα 1 από 15

19 της ράβδου θα μηδενιστεί. Λόγω αδράνειας η ράβδος θα συνεχίσει την κίνησή της προς τα άκρα Λ και Ν. Η αντίσταση των τμημάτων ΑΛ και ΓΝ θα γίνει μικρότερη από την αντίσταση των τμημάτων ΚΑ και ΜΓ με αποτέλεσμα η ράβδος ΑΓ να διαρρέεται από ρεύμα με φορά από το Α προς το Γ. Η φορά της δύναμης Laplace θα αντιστραφεί επιβραδύνοντας τη ράβδο. Η ράβδος θα σταματήσει για μια στιγμή σε θέση πλησιέστερη στο μέσο των ράγων σε σύγκριση με τη θέση από την οποία αφέθηκε ελεύθερη (λόγω των επαγωγικών φαινομένων). Στη συνέχεια η ράβδος θα εκτελέσει παρόμοια κίνηση προς τα άκρα Κ και Μ. Οι κινήσεις αυτές θα επαναλαμβάνονται με τη ράβδο να σταματά κάθε φορά σε μικρότερη απόσταση από το μέσο των ράγων. Τελικά η ράβδος θα ισορροπήσει στο μέσο των ράγων. ii. Να προσδιορίσετε τη θέση ισορροπίας της ράβδου. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (μον. ) Η θέση ισορροπίας της ράβδου είναι το μέσο των ράγων ΚΛ και ΜΝ. Σε αυτή τη θέση η διαφορά δυναμικού μεταξύ των άκρων Α και Γ είναι μηδέν και άρα η ράβδος δεν θα διαρρέεται από ρεύμα και δεν θα ασκείται σε αυτή δύναμη Laplace. iii. Μετατοπίζουμε τη ράβδο ΑΓ από τη θέση ισορροπίας της κατά πολύ μικρή απόσταση πάνω στις ράγες και την αφήνουμε ελεύθερη. Θεωρώντας σε αυτή την περίπτωση αμελητέα τα επαγωγικά ρεύματα στη ράβδο ΑΓ να δείξετε ότι η περίοδος των ταλαντώσεων που θα εκτελεί η ράβδος δίνεται από τη σχέση: Να θεωρήσετε ότι. Υπενθυμίζονται οι κανόνες του Kirchhoff: για κόμβο αγωγών και για βρόχο του κυκλώματος. (μον. 5) Για να προσδιορίσουμε την περίοδο των ταλαντώσεων της ράβδου θα δείξουμε ότι η δύναμη που ασκείται στη ράβδο είναι της μορφής όπου είναι η απομάκρυνση της ράβδου από τη θέση ισορροπίας και είναι μια σταθερά. Για να υπολογίσουμε τη δύναμη που ασκείται στη ράβδο (δύναμη Laplace) θα πρέπει να υπολογίσουμε την ένταση του ρεύματος που διαρρέει τη ράβδο ΑΓ (χωρίς να λάβουμε υπ όψιν μας τα επαγωγικά φαινόμενα σε αυτή την περίπτωση). Γι αυτό το σκοπό εφαρμόζουμε τους κανόνες του Kirchhoff για τον κόμβο Α και τους βρόχους ΚΑΓΜΚ και ΛΑΓΝΛ. Σελίδα 13 από 15

20 K A 0 Λ E l E Μ Γ L Ν 1 ος κανόνας (για τον κόμβο Α): (1) ος κανόνας: Βρόχος ΚΑΓΜΚ: () Βρόχος ΛΑΓΝΛ: (3) Από τις εξισώσεις (1), () και (3) υπολογίζουμε την ένταση του ρεύματος που διαρρέει τη ράβδο ΑΓ: Αφού και, άρα, μπορούμε να παραλείψουμε τον όρο στον παρονομαστή. Έτσι, έχουμε Επομένως, η δύναμη Laplace που θα ασκείται στον αγωγό θα είναι ίση με Η φορά της δύναμης Laplace είναι αντίθετη της φοράς της απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας και άρα: Σελίδα 14 από 15

21 Αφού η δύναμη που ασκείται στη ράβδο είναι της μορφής ράβδος θα εκτελέσει Α. Α. Τ. με σταθερά ταλάντωσης, η Επομένως, η περίοδος των ταλαντώσεων της ράβδου θα είναι Σελίδα 15 από 15