4 o Μάθημα Διάστημα Εμπιστοσύνης του Μέσου

Transcript

1 4 o Μάθημα Διάστημα Εμπιστοσύνης του Μέσου Για την εκτίμηση των παραμέτρων ενός πληθυσμού (όπως η μέση τιμή ή η διασπορά), χρησιμοποιούνται συνήθως δύο μέθοδοι εκτίμησης. Η πρώτη ονομάζεται σημειακή εκτίμηση. Σε αυτήν υπολογίζουμε έναν μοναδικό αριθμό για να εκτιμήσουμε την παράμετρο που μας ενδιαφέρει. Για παράδειγμα, χρησιμοποιούμε τον 1 δειγματικό μέσο fx i i για να εκτιμήσουμε την πραγματική αλλά άγνωστη τιμή της μέσης τιμής του πληθυσμού. Ο δειγματικός μέσος καλείται σημειακός εκτιμητής της μέσης τιμής του πληθυσμού. Καθώς όμως μια σημειακή εκτίμηση υπολογίζεται από ένα συγκεκριμένο δείγμα, είναι ευνόητο ότι διαφορετικά δείγματα θα μας δώσουν διαφορετικές εκτιμήσεις για την παράμετρο του πληθυσμού. Αυτό σημαίνει ότι ένας σημειακός εκτιμητής εμφανίζει μια μεταβλητότητα στις τιμές του. Αυτήν ακριβώς, η ενυπάρχουσα μεταβλητότητα της εκτιμήτριας, δεν καταγράφεται από τον σημειακό εκτιμητή. Το αποτέλεσμα είναι ότι, στην πραγματικότητα, δεν γνωρίζουμε πόσο κοντά στην πραγματική τιμή της παραμέτρου βρίσκεται η εκτίμησή της. Έτσι, πολλές φορές, για την εκτίμηση των παραμέτρων ενός πληθυσμού χρησιμοποιούμε μια δεύτερη μέθοδο, γνωστή ως εκτίμηση σε διάστημα. Αυτή η μέθοδος μας παρέχει ένα εύρος τιμών, ένα διάστημα το οποίο είναι έτσι σχεδιασμένο ώστε να περιέχει την παράμετρο που μας ενδιαφέρει, με κάποιον βαθμό εμπιστοσύνης. Αυτό το εύρος τιμών καλείται διάστημα εμπιστοσύνης της παραμέτρου (1 α)% Διάστημα Εμπιστοσύνης του Μέσου Μεγάλα Δείγματα ( > 0) οποιαδήποτε Κατανομή όπου: Ζα Z το σφάλμα (η πιθανότητα λάθους) το μέγεθος του δείγματος είναι ο δειγματικός μέσος είναι ο συντελεστής εμπιστοσύνης ( Z0.01., Z , Z ) Η τυπική απόκλιση της εκτιμήτριας X

2 58 4 ο Μάθημα Παράδειγμα 1 Για τη μελέτη των ετήσιων κερδών των εταιρειών cterig στην Ελλάδα πάρθηκε ένα τυχαίο δείγμα 6 τέτοιων εταιρειών, και υπολογίστηκαν X 60 χιλ. και 6 χιλ.. ( α ) Ποιά η μεταβλητή και ποιός ο πληθυσμός που μελετούμε; ( β ) Να παρουσιάσετε τον αριθμητικό μέσο. ( γ ) Να υπολογιστεί και να ερμηνευτεί το 95% διάστημα εμπιστοσύνης για το μέσο ετήσιο κέρδος των εταιρειών cterig στην Ελλάδα. (α) Μεταβλητή: X : Ετήσια κέρδη (σε χιλ. ) Πληθυσμός: Οι εταιρείες cterig στην Ελλάδα. ( β ) Τα μέσα ετήσια κέρδη των επιχειρήσεων cterig στην Ελλάδα εκτιμώνται σε 60 χιλ.. ( γ ) 6 > 0 (μεγάλο δείγμα) ,95 10,95 α = 0,05 Z Z Z 1,96 0,05 0,05 Z , , , ,96 58,04, 61,96 Με πιθανότητα σφάλματος α = 0,05 εκτιμούμε ότι τα μέσα ετήσια κέρδη των εταιρειών cterig στην Ελλάδα, βρίσκονται εντός των ορίων 58,04 και 7,96 χιλ.. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Η πιθανότητα σφάλματος α, είναι η πιθανότητα να έχουμε σφάλμα στην εκτίμησή μας, δηλαδή η πιθανότητα το διάστημα εμπιστοσύνης που υπολογίσαμε να μην έχει εντοπίσει την πραγματική τιμή της άγνωστης παραμέτρου μ, η οποία είναι μοναδική και συγκεκριμένη. Μαρίνα Σύρπη

3 Διαστήματα Εμπιστοσύνης 59 Παράδειγμα Για τη μελέτη της δαπάνης των τουριστών στην Ελλάδα πάρθηκε ένα τυχαίο δείγμα 100 τουριστών, και υπολογίστηκαν X 55 /ημέρα και 5 /ημέρα. ( α ) Ποιά η μεταβλητή και ποιός ο πληθυσμός που μελετούμε; ( β ) Να παρουσιάσετε τον αριθμητικό μέσο. ( β ) Να υπολογιστεί και να ερμηνευτεί το 95% διάστημα εμπιστοσύνης για τη μέση δαπάνη των τουριστών στην Ελλάδα. (α) Μεταβλητή: X : Δαπάνη ( /ημέρα) Πληθυσμός: Οι τουρίστες στην Ελλάδα ( β ) Η μέση δαπάνη των τουριστών στην Ελλάδα εκτιμάται σε 55 /ημέρα. ( γ ) 100 > 0 (μεγάλο δείγμα) ,95 10,95 α = 0,05 Z Z Z 1,96 0,05 0,05 Z , , , , 98 54,0,56,96 Με πιθανότητα σφάλματος α = 0,05 εκτιμούμε ότι η μέση δαπάνη των τουριστών στην Ελλάδα, βρίσκεται εντός των ορίων 54,0 και 56,96. Σημειώσεις Στατιστικής

4 60 4 ο Μάθημα (1 α)% Διάστημα Εμπιστοσύνης του Μέσου : όπου: Μικρά Δείγματα ( 0) & Κανονικός Πληθυσμός t ; 1 t είναι ο συντελεστής εμπιστοσύνης (βρίσκεται στον πίνακα της t - κατανομής ) ; 1 Παράδειγμα Η τιμή πώλησης του προϊόντος Α είναι τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί την Κανονική Κατανομή. Από μία έρευνα που έγινε σε 5 τυχαία επιλεγμένα σημεία πώλησής του υπολογίστηκαν Χ = / Kgr και = 0,5 /Kgr. ( α ) Να παρουσιάσετε τον αριθμητικό μέσο. ( β ) Να βρεθεί και να ερμηνευτεί το 90% διάστημα εμπιστοσύνης για την πραγματική μέση τιμή πώλησης του προϊόντος Α. ( α ) Η μέση τιμή πώλησης του προϊόντος Α εκτιμάται σε /Kgr. ( β ) 5 0 (μικρό δείγμα) & δίνεται ότι η Κατανομή της τιμής του προϊόντος είναι Κανονική. 0, ,90 1 0,90 α = 0,10 t t t 1,86 0,10 ; 1 ;9 1 0,05;8 t ; 1 0,5 1,86 5 0,5 1,86 5 0,11,86 0,19,81,,19 Με πιθανότητα σφάλματος α = 0,05 εκτιμούμε ότι η μέση τιμή πώλησης του προϊόντος Α, βρίσκεται εντός των ορίων,81 και,19. Μαρίνα Σύρπη

5 Διαστήματα Εμπιστοσύνης 61 Παράδειγμα 4 Τα κέρδη των μονάδων τυποποίησης προϊόντων στην περιοχή της Μακεδονίας ακολουθούν την Κανονική Κατανομή. Από ένα δείγμα 16 τυχαία επιλεγμένων μονάδων υπολογίστηκαν X / έτος και 0 10 / έτος ( α ) Ποιά η μεταβλητή και ποιός ο πληθυσμός που μελετούμε; ( β ) Να παρουσιάσετε τον αριθμητικό μέσο. ( γ ) Να βρεθεί και να ερμηνευτεί το 95% διάστημα εμπιστοσύνης για το πραγματικό μέσο κέρδος των μονάδων τυποποίησης προϊόντων στην περιοχή της Μακεδονίας. (α) Μεταβλητή: X : Κέρδος ( 10 /έτος) Πληθυσμός: Οι μονάδες τυποποίησης προϊόντων στην περιοχή της Μακεδονίας. ( β ) Tο μέσο κέρδος των μονάδων τυποποίησης προϊόντων στην περιοχή της Μακεδονίας εκτιμάται σε / έτος / έτος ( β ) 16 0 (μικρό δείγμα) & δίνεται ότι η Κατανομή των κερδών των μονάδων τυποποίησης προϊόντων στην περιοχή της Μακεδονίας είναι Κανονική ,95 1 0,95 α = 0,05 t t t,1 0,05 ; 1 ;16 1 0,05;15 t ; , , , ,65 19,5, 160,65 Με πιθανότητα σφάλματος α = 0,05 εκτιμούμε ότι το μέσο κέρδος των μονάδων τυποποίησης προϊόντων στην περιοχή της Μακεδονίας βρίσκεται εντός των ορίων 19,5 10 / έτος / έτος και 160,65 10 / έτος / έτος Σημειώσεις Στατιστικής

6 6 4 ο Μάθημα Πίνακας της Κατανομής t - Studet ν οι βαθμοί ελευθερίας Παράδειγμα t t t 1,75 1, ;15 ; 1 ;16 1 Μαρίνα Σύρπη