ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

Transcript

1 ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ& ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ ΑΥΤΟΠΑΛΙΝΔΡΟΜΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ AR(p) Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος

2 ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια ΑΥΤΟΠΑΛΙΝΔΡΟΜΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΤΑΞΗΣ(p) O όρος αυτοπαλίνδρομο αναφέρεται στο γεγονός ότι έχουμε ένα οικονομετρικό υπόδειγμα που οι ερμηνευτικές μεταβλητές (repressors) ή παλινδρομητές είναι οι τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής με χρονική υστέρηση. Ο όρος εt καλείται λευκός θόρυβος. Y a ay ay = t 0 t t p t p t ay ε

3 ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια ΑΥΤΟΠΑΛΙΝΔΡΟΜΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΤΑΞΗΣ(p) Οι παράμετροι α0,α,α αp είναι σταθερές και το εt καλείται λευκός θόρυβος(white noise) το οποίο μετράει τα τυχαία σφάλματα. Τα παραπάνω είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές μεμέσοτομηδένκαισταθερήδιακύμανση. Οόρος αυτοπαλινδρομοέχεινακάνειστοότιησχέσηαυτήείναιένα υπόδειγμα παλινδρόμησης, όπου η εξαρτημένη μεταβλητή Υt παλινδρομείτε στις προηγούμενες τιμές της ίδιας της μεταβλητής Υt.Το p υποδηλώνει την τάξη του αυτοπαλίνδρομου υποδείγματος και αναφέρεται στο μήκος της υστερήσεως ενώ τα Yt-,Υt-, Yt-p είναι οι τιμές της χρονοσειράς με υστέρηση. Y a ay ay = t 0 t t p t p t ay ε

4 ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 3 ΑΥTOΠΑΛΙΝΔΡΟΜΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ (AR()) Τα αυτοπαλίνδρομα υποδείγματα πρώτης τάξης έχουν την παρακάτω μορφή όπου εtθεωρείται ότι είναι ο λευκός θόρυβος Yt = a0 + ay t + εt a0 EY ( ) t = Ea ( 0 + ay t + ε t) =... = a0 + aµ µ = ( a ) Γιαναείναιηχρονοσειράμαςστάσιμηθαπρέπει Αφαιρώνταςμεμκαιταδύομέληθαέχωότι Y µ = a µ + ay + ε = ay ( µ ) + ε y = ay + ε t 0 t t t t t t t a <

5 ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 4 ΑΥTOΠΑΛΙΝΔΡΟΜΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ (AR()) Για τα αυτοπαλίνδρομα υποδείγματα πρώτης τάξης επίσης ισχύουν ότι: s s j t = a ( ayt + t ) =... = ayt s + a t j j= 0 γ ε ε E ( y ) = E ( ε ) + ae ( ε ) +... = 0 t t t Var ( y ) = E ( y ) =... = σ ( + a + a +...), t 4 t ε σ γ γ γ γ γ ε 0 = Var ( yt ) =, = E ( yt yt ) =... = a 0 a = E ( y y ) =... = t t 0 k γ = a γ, οπότε ρ = = a k k k 0 κ γ 0 a γ

6 ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 4α ΑΥTOΠΑΛΙΝΔΡΟΜΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ (AR())

7 ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 5 ΤΕΛΕΣΤΗΣΥΣΤΕΡΗΣΗΣ Ο τελεστής υστέρησης(lag operator) χρησιμοποιείται αρκετά συχνά σε χρονολογικές σειρές και συμβολίζεται με το γράμμα L. Για παράδειγμα: j Lyt = yt, Lyt = L( Lyt ) = yt, Lyt = yt j, j = 0,,... Οι πρώτες διαφορές εκφράζονται ως εξής: y = y y = ( L) y t t t t Για παράδειγμα στο AR() υπόδειγμα θα έχουμε ότι j j al yt = εt yt = = al t j= 0 ( ), ε

8 ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 6 ΑΥTOΠΑΛΙΝΔΡΟΜΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΕΥΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ AR() Τα αυτοπαλίνδρομα υποδείγματα δεύτερης τάξης έχουν την παρακάτω μορφή όπου εt θεωρείται ότι είναι ο λευκός θόρυβος Y = a + ay + ay + ε t 0 t t t Γιαναείναιηχρονοσειράμαςστάσιμηθαπρέπει a + a < a a < a < Αφαιρώνταςμεμκαιταδύομέληθαέχωότι Y µ = a µ + ay + ay + ε... y = ay + ay + ε t 0 t t t t t t t

9 ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 7 ΑΥTOΠΑΛΙΝΔΡΟΜΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΕΥΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ(AR()) Χρησιμοποιώντας τον τελεστή υστέρησης το AR() μπορεί να αποδοθεί ως εξής: ( La La ) y = ε AL ( ) y = ε 0 t t t t EY ( ) Ea ( ay ay )... γ 0 t = 0 + t + t + ε t = µ = a a ( a ) σ ( )( )( ) = + a a a + a a γ = CovYY ( ) = aγ + aγ s t, t s s s ρ = aρ + aρ s s s a ( )

10 ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 8 ΑΥΤΟΠΑΛΙΝΔΡΟΜΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΤΑΞΗΣ(p) Το αυτοπαλίνδρομο υπόδειγμα τάξης p δίνεται: Y a ay ay t = 0 + t + t p t p + t Χρησιμοποιώντας τα προηγούμενα θα έχουμε ( La La... a L) y = ε 0 ay ε p t t E( Y ) = E( a + ay + ay + ε ) =... µ = γ = t 0 t t t σ ( aρ a ρ... a ρ ) p p γ = CovYY ( ) = aγ + a γ a γ s t, t s s s p s p ρ = a ρ + a ρ a ρ s s s p s p a ( a a... a ) 0 Εξισώσεις Yule-Walker p

11 ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 9 ΑΥΤΟΠΑΛΙΝΔΡΟΜΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΤΑΞΗΣ(p)- Εξισώσεις Yule-Walker Εξισώσεις Yule-Walker: Γιαs=, ρ=α + αρ + α3ρ + + αpρp- Γιαs=, ρ= αρ + α +α3ρ + + αpρp- Γιαs=3, ρ3= αρ + αρ + α3 + + αpρp R = ΠΑ Α = Π R Γιαs=p, ρp= αρp- + αρp- + α3ρp αp

12 ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 0 Εξισώσεις Yule-Walker Επομένως η μορφή της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης ενός AR(p) υποδείγματος εξαρτάται από τις τιμές των παραμέτρων του αυτοπαλίνδρομου υποδείγματος (α,α,..,αp). R ρ α ρ α ρ ρ.. ρ ρ ρ p α p p =., Α =., Π = ρ O ρp p p

13 ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια ΣυνάρτησηΜερικήςΑυτοσυσχετίσεως Όλες οι αυτοπαλίνδρομες διαδικασίες έχουν συναρτήσεις αυτοσυσχέτισης οι οποίες βαίνουν φθίνουσες καθώς αυξάνει τομήκοςτηςυστέρησης, μεαποτέλεσμαναείναιπολλές φορές δύσκολο να καθοριστεί η τάξη του υποδείγματος. Η μερικήαυτοσυσχέτισηανάμεσαστηνυtκαιτηνyt-s αναφέρεταιστηνσυσχέτισηανάμεσαστηνυt καιτηνyt-s όταν έχουν αφαιρεθεί οι γραμμικές επιδράσεις των ενδιάμεσων μεταβλητών Υt-,Yt-,..Yt-(s-). Αν παραστήσουμε τον συντελεστή αυτοσυσχέτισης με ρss τάξεως s, δηλαδή τον συντελεστή αυτοσυσχετισης ανάμεσα στηνυt και Yt-s γιαs=,..p, τότετορssθαείναιο συντελεστής μερικής παλινδρόμησης της μεταβλητής yt-s στο υπόδειγμα: yt= ρsyt-+ ρsyt- + ρ3syt ρssyt-s + εt

14 ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια ΣυνάρτησηΜερικήςΑυτοσυσχετίσεως Ομερικόςσυντελεστήςαυτοσυσχέτισηςόπωςβλέπουμεέχειδυοδείκτες. Ο αριστερός δείκτης μας δείχνει την χρονική υστέρηση της μεταβλητής σύμφωνα με το Yt-, Yt-... Ο δείκτης δεξιά μας δείχνει την μέγιστη τάξη της παλινδρόμησης. Άραησυνάρτησημερικήςαυτοσυσχέτισηςείναιμηδένγιαs> pόταν θα μιλάμε για μια αυτοπαλίνδρομη διαδικασία τάξεως p. Με άλλα λόγια ισχύουν τα εξής: Για AR(): α) ρ=ρ=α β) ρss= 0 γιαs> Για AR(): γ) ρ=ρ δ) ε) ρss= 0 γιαs> 0 ΓιαAR(p): στ) ρ= ρ ζ),, η) ρss= 0 γιαs>

15 ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου 3 ΕΝΝΟΙΑΔΙΑΦΟΡΙΣΗΣ ιαφάνεια Όταν μια χρονοσειρά δεν είναι στάσιμη την μετατρέπω υπολογίζοντας τις πρώτες και δεύτερες διαφορές ως εξής: Y = Y Y t t t Yt = ( Y ) t = Yt Yt =... = Yt Yt + Yt

16 ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 4 ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Ο έλεγχος του Bartlett(Bartlett Test) στηρίζεται στην ακόλουθη υπόθεση: Αν η χρονολογική σειρά είναι στάσιμη τότε οι συντελεστές αυτοσυσχέτισης ρs του δείγματος ακολουθούν προσεγγιστικά την κανονική κατανομή με μέσο μηδέν και διακύμανση /N (N το μέγεθος του δείγματος). Για μεγάλα δείγματα οι συντελεστές αυτοσυσχέτισης ρs του δείγματος ακολουθούν την κανονική κατανομή με μέσο μηδέν και διακύμανση /N(N το μέγεθος του δείγματος)]. Θεωρούμε τις εξής υποθέσεις: H (Η χρονολογική σειρά είναι στάσιμη) 0 : ρs = 0 vs (Η χρονολογική σειρά δεν είναι στάσιμη) H : ρ 0 s

17 ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 5 Η υπόθεση Η 0 ελέγχεται µε τη στατιστική: t s = p s = T N p s Για α = 5% και για Τ > 30 η κρίσιµη τιµή του tα είναι (- ή +),96 κατά συνέπεια η Η 0 απορρίπτεται για t s = ρ T s < -,96 ή ts = ρs T >,96

18 ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 6 ΕΦΑΡΜΟΓΗ (Ασκηση Χρήστου σελ. 770) Έστω η ακόλουθη AR() διαδικασία Y Y ε σε t = t + t, = 4 Α) Είναι η διαδικασία στάσιμη; Β) Ναβρεθείομέσος, οιαυτοδιακυμάνσειςκαιοι αυτοσυσχετίσεις για s=0,,, Γ) Να γίνει το διάγραμμα αυτοσυσχέτισης.

19 ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 7 ΕΦΑΡΜΟΓΗ (Ασκηση Χρήστου 3 σελ. 770) Έστω η ακόλουθη στοχαστική διαδικασία Y Y Y ε t = t 0.6 t + εt, σ = Α) Ναδιατυπωθείηπαραπάνωσχέσημετον συμβολισμό του τελεστή υστέρησης L. B)Είναι η διαδικασία στάσιμη; Γ) Ποιοςείναιομέσοςτηςσειράς; Δ) Να διατυπωθούν και να λυθούν οι εξισώσεις Yule-Walker E) Να γίνει το διάγραμμα αυτοσυσχέτισης G) Να γίνει το διάγραμμα μερικής αυτοσυσχέτισης αφού βρεθούν οι μερικές αυτοσυσχετίσεις.

20 ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 8 ΕΦΑΡΜΟΓΗ3 Το παρακάτω υπόδειγμα Y κατασκευάστηκε t= εt+ 0.79Y t από ένα δείγμα 00 παρατηρήσεων της μεταβλητής των ακαθάριστων κερδών(εξαμηνιαίες παρατηρήσεις) με διακύμανση την μονάδα.. Είναι η διαδικασία στάσιμη και αντιστρέψιμη; Ποιος ομέσοςτης;. Να υπολογίσετε τις αυτοσυνδιακυμάνσεις και τις απλές αυτοσυσχετίσεις. 3. Να παραστήσετε γραφικά το διάγραμμα των αυτοσυσχετίσεων. 4. Να γίνει πρόβλεψη για την τιμή των ακαθάριστων κερδών την επόμενη περίοδο t+ εάν γνωρίζεται ότι χιλιάδες ευρώ.

21 ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 9 ΧαρακτηριστικήΕξίσωση Ένα υπόδειγμα AR() μπορεί να γραφτεί με την εξής μορφή: ( La La ) y = ε AL ( ) y = ε Δηλαδή με την μορφή t t t t X ax b = 0 με λύσεις λ, α ± α + 4β = Άρα µ ν ALy ( ) = ( λl)( λl)... y = ε + ε t t λ t L λ t L Στάσιμη όταν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης να είναι σε απολυτες τιμές μικρότερες της μονάδας(εντός του μοναδιαίου κύκλου) λ, λ <

22 ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια 0 ΤΙΝΑΔΙΑΒΑΣΩ Κεφάλαιο Δεύτερο Δημελή(σελ.56-67) Σημειώσεις από το e-class.