Ανάλυση Σ.Η.Ε. Ενότητα 7: Ασύμμετρα βραχυκυκλώματα

Transcript

1 Ανάλυση Σ.Η.Ε Ενότητα 7: Ασύμμετρα βραχυκυκλώματα Νικόλαος Βοβός, Γαβριήλ Γιαννακόπουλος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και τεχνολογίας Υπολογιστών 1

2 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. 2

3 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 3

4 Άδειες χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης creative commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκεινται σε άλλου τύπου άδεις χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 4

5 Εισαγωγή Τα περισσότερα σφάλματα που συμβαίνουν σε ένα σύστημα ηλεκτρικής ενέργειας είναι ασύμμετρα. Αυτά μπορούν να είναι ασύμμετρα στερεά βραχυκυκλώματα ή ασύμμετρα βραχυκυκλώματα δια μέσου αντιστάσεων ή ανοιχτοκυκλωμένοι αγωγοί. Όλα τα ασύμμετρα βραχυκυκλώματα μπορούν να μελετηθούν με τη χρήση προγραμμάτων ψηφιακού υπολογιστή, που αξιοποιούν μια συγχώνευση του ΜΣΣ του Κεφαλαίου 3 και του θεωρήματος Thevenin, που χρησιμοποιήσαμε στην ανάλυση συμμετρικών βραχυκυκλωμάτων στο Κεφάλαιο 2. Σε αρκετές όμως περιπτώσεις, μπορούμε να κάνουμε τη μελέτη με τον κλασικό τρόπο, τον οποίο θα περιγράψουμε πρώτα. 5

6 Κλασσικός τρόπος μελέτης ασύμμετρων βραχυκυκλωμάτων(1) Η διαδικασία αυτή στηρίζεται στην κατασκευή των δικτύων θετικής, αρνητικής και μηδενικής ακολουθίας του συστήματος και στη σύνδεσή τους, ανάλογα με τον τύπο του ασύμμετρου βραχυκυκλώματος, για την κατασκευή του τελικού δικτύου, από το οποίο θα υπολογιστούν οι συμμετρικές συνιστώσες του ρεύματος και της τάσης μετά το βραχυκύκλωμα στη θέση του βραχυκυκλώματος. Από αυτές τις συνιστώσες υπολογίζονται οι συμμετρικές συνιστώσες των ρευμάτων και σε άλλα σημεία του δικτύου, εφ όσον χρειάζονται, με τη βοήθεια των αντίστοιχων ακολουθιακών δικτύων. Το προσφαλματικό ρεύμα φορτίου μπορεί να ληφθεί υπόψη, είτε με πρόσθεσή του στις συνιστώσες θετικής ακολουθίας, αν χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα Thevenin στο κύκλωμα θετικής ακολουθίας, είτε με υπολογισμό των εσωτερικών τάσεων των μηχανών. Μετά τον υπολογισμό των συμμετρικών συνιστωσών των ρευμάτων και τάσεων υπολογίζονται οι φασικές τους συνιστώσες. Για την πραγματοποίηση της προηγούμενης διαδικασίας θα ακολουθήσουμε τα εξής βήματα: 6

7 Κλασσικός τρόπος μελέτης ασύμμετρων βραχυκυκλωμάτων(2) 1. Γράφουμε, ανάλογα με το είδος του βραχυκυκλώματος, τις χαρακτηριστικές τιμές που παίρνουν οι φασικές τάσεις και τα ρεύματα, στο σημείο του βραχυκυκλώματος (συνθήκες βραχυκυκλώματος). 2. Μετατρέπουμε τις συνθήκες που χαρακτηρίζουν τις φασικές ποσότητες, σε συνθήκες που χαρακτηρίζουν τις συμμετρικές συνιστώσες τους. 3. Από τις συνθήκες συμμετρικών συνιστωσών καθορίζουμε τον τρόπο που συνδέονται τα ακολουθιακά δίκτυα, για την κατασκευή του τελικού δικτύου. 4. Από το τελικό δίκτυο υπολογίζουμε τις συμμετρικές συνιστώσες του ρεύματος και της τάσης στη θέση του βραχυκυκλώματος. 5. Υπολογίζουμε τις φασικές τιμές των ρευμάτων και τάσεων στη θέση του βραχυκυκλώματος, με αντίστροφο μετασχηματισμό των συμμετρικών τους συνιστωσών. 6. Εφ όσον απαιτείται, λαμβάνεται υπόψη το ρεύμα φορτίου στις γραμμές μεταφοράς: α) με πρόσθεσή του στις συνιστώσες θετικής ακολουθίας, αν χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα Thevenin στο κύκλωμα θετικής ακολουθίας β) το ρεύμα αυτό λαμβάνεται αυτόματα υπόψη, αν στο κύκλωμα θετικής ακολουθίας χρησιμοποιήσουμε τις εσωτερικές ΗΕΔ 7 των μηχανών.

8 Κλασσικός τρόπος μελέτης ασύμμετρων βραχυκυκλωμάτων(3) Τα πιο πάνω βήματα θα τα χρησιμοποιήσουμε για τον υπολογισμό ασύμμετρων βραχυκυκλωμάτων: α) Στους ακροδέκτες αφόρτιστων σύγχρονων μηχανών. β) Στερεά βραχυκυκλώματα σε γραμμές μεταφοράς ηλεκτρικών συστημάτων. γ) Δια μέσου συνθέτων αντιστάσεων βραχυκυκλώματα σε γραμμές μεταφοράς ηλεκτρικών συστημάτων. 8

9 Συνθήκες φασικών ποσοτήτων ανάλογα με τον τύπο βραχυκυκλώματος(1) Στερεά βραχυκυκλώματα στους ακροδέκτες σύγχρονων γεννητριών. Όταν στη γεννήτρια δεν έχουμε συνδεδεμένο φορτίο, τα ρεύματα στις φάσεις της είναι μηδέν, εκτός από τα ρεύματα των φάσεων που είναι βραχυκυκλωμένες. Έτσι παίρνουμε: α) Βραχυκύκλωμα μεταξύ της φάσης a και της γης. V a = 0 I b = I c = 0 9

10 Συνθήκες φασικών ποσοτήτων ανάλογα με τον τύπο βραχυκυκλώματος(2) β) Βραχυκύκλωμα μεταξύ των φάσεων b και c. V b = V c I b = I c I a = 0 10

11 Συνθήκες φασικών ποσοτήτων ανάλογα με τον τύπο βραχυκυκλώματος(3) γ) Βραχυκύκλωμα μεταξύ των φάσεων b,c και γης. V b = V c = 0 I a = 0 11

12 Στερεά βραχυκυκλώματα σε γραμμές μεταφοράς(1) Τα ρεύματα βραχυκύκλωσης, που θέλουμε να υπολογίσουμε, ρέουν έξω από τη βραχυκυκλωμένη γραμμή. Έτσι, στις φάσεις που δεν είναι βραχυκυκλωμένες τα ρεύματα αυτά είναι μηδέν. Τις τάσεις μεταξύ των φάσεων και της γης, στο σημείο του βραχυκυκλώματος, θα τις συμβολίζουμε με Va, Vb και Vc. α) Βραχυκύκλωμα μεταξύ της φάσης a και της γης. V a = 0 I b = I c = 0 12

13 Στερεά βραχυκυκλώματα σε γραμμές μεταφοράς(2) β) Βραχυκύκλωμα μεταξύ των φάσεων b και c. V b = V c I b = I c I a = 0 13

14 Στερεά βραχυκυκλώματα σε γραμμές μεταφοράς(3) γ) Βραχυκύκλωμα μεταξύ των φάσεων b, c και γης. V b = V c = 0 I a = 0 14

15 Βραχυκυκλώματα μέσω συνθέτων αντιστάσεων σε γραμμές μεταφοράς(1) Παρόλο που τα στερεά βραχυκυκλώματα μας δίνουν τα μεγαλύτερα ρεύματα βραχυκύκλωσης (χειρότερη περίπτωση) και η αξιοποίησή τους εξασφαλίζει ασφάλεια, τα βραχυκυκλώματα συμβαίνουν συνήθως δια μέσου συνθέτων αντιστάσεων. α) Βραχυκύκλωμα μεταξύ της φάσης a και της γης, δια μέσου της Z σ. V a = I a Z σ I b = I c = 0 15

16 Βραχυκυκλώματα μέσω συνθέτων αντιστάσεων σε γραμμές μεταφοράς(2) β) Βραχυκύκλωμα μεταξύ των φάσεων b και c, δια μέσου της Z σ. V c = V b I b Z σ I b = I c I a = 0 16

17 Βραχυκυκλώματα μέσω συνθέτων αντιστάσεων σε γραμμές μεταφοράς(3) γ) Βραχυκύκλωμα μεταξύ των φάσεων b, c και γης, δια μέσου της Z σ. V b = V c = (I b +I c )Z σ I a = 0 17

18 Μετατροπή των φασικών συνθηκών βραχυκύκλωσης στις συμμετρικές τους συνιστώσες Για τη μετατροπή αυτή χρησιμοποιούμε τις εξισώσεις: Ι + Ι Ι0 V + V V 0 = 1 3 = α α 2 1 α 2 α α α 2 1 α 2 α Ι α Ιb Ιc V α V b V c Για τη μετατροπή αυτή μας χρειάζονται τρεις συνθήκες σφάλματος μεταξύ τάσεων ή ρευμάτων. 18

19 Στερεά βραχυκυκλώματα στους ακροδέκτες σύγχρονων γεννητριών(1) α) Στερεά βραχυκυκλώματα στους ακροδέκτες σύγχρονων γεννητριών. Συνθήκες: V a = 0 I b = I c = 0 Ι + Ι Ι0 = α α 2 1 α 2 α Ι α0 0 = 1 3 V + V = 1 1 α α 2 0 av b + α 2 V c 3 1 α 2 α V b = 1 α 2 V 3 b + αv c V V c V b + V c Από αυτές τις εξισώσεις παίρνουμε τις συνθήκες ΣΣ που είναι: Συνθήκες: I + = I = I 0 = Ι α 3 Ι α Ι α Ι α 19

20 Στερεά βραχυκυκλώματα στους ακροδέκτες σύγχρονων γεννητριών(2) β) Βραχυκύκλωμα μεταξύ των φάσεων b και c. Συνθήκες: V b = V c, I b = I c, I a = 0 Ι + Ι = 1 1 α α α 2 α I b Ι I b Άρα: I + = I και I 0 = 0 V + V V 0 = α α 2 1 α 2 α V b V c = 1 3 = 1 3 αi b α 2 I b α 2 I b αi b 0 V a + av b + α 2 V c V a +α 2 V b + αv c V a + V b + V c Άρα: V + = V Επιπλέον, επειδή το ρεύμα μηδενικής ακολουθίας I 0 = 0, θα πρέπει και η τάση μηδενικής ακολουθίας V 0 = 0. Αν συνοψίσουμε τα προηγούμενα συμπεράσματα παίρνουμε τις συνθήκες ΣΣ που είναι: I + = I, I 0 = 0, V + = V, V 0 = 0 20

21 Στερεά βραχυκυκλώματα στους ακροδέκτες σύγχρονων γεννητριών(3) γ) Βραχυκύκλωμα μεταξύ των φάσεων b, c και γης. Συνθήκες: V b = V c = 0, I a = 0 Ι + Ι Ι0 V + V = α α 2 1 α 2 α I b Ic = 1 3 αi b + α 2 I c α 2 I b + αi c I b + I c V α V α V α = 1 1 α α 2 V α 3 1 α 2 α 0 = 1 3 V Από αυτές τις εξισώσεις παίρνουμε τις συνθήκες ΣΣ που είναι: Συνθήκες: V + = V = V 0 = V α 3 21

22 Στερεά βραχυκυκλώματα σε γραμμές μεταφοράς Επειδή οι συνθήκες είναι όμοιες με αυτές που ισχύουν για βραχυκυκλώματα στους ακροδέκτες σύγχρονων γεννητριών, οι συνθήκες ΣΣ δίδονται από τις ίδιες εξισώσεις. 22

23 Βραχυκυκλώματα δια μέσου συνθέτων αντιστάσεων σε γραμμές μεταφοράς(1) α) Βραχυκύκλωμα μεταξύ της φάσης a και της γης, δια μέσου της Z σ. Συνθήκες: V a = I a Z σ, I b = I c = 0 Ι + Ι Ι0 = α α 2 1 α 2 α Ι α0 0 = 1 3 Ι α Ι α Ι α Άρα: I + = I = I 0 = Ι α 3 23

24 V + V V 0 Βραχυκυκλώματα δια μέσου συνθέτων αντιστάσεων σε γραμμές μεταφοράς(2) = α α 2 1 α 2 α I a Z σ V b V c = 1 3 I a Z σ + av b + α 2 V c I a Z σ +α 2 V b + αv c I a Z σ + V b + V c Με πρόσθεση κατά μέλη αυτών των εξισώσεων, παίρνουμε τη γνωστή σχέση V a = I a Z σ,δηλαδή: V + + V + V 0 = 1 3 3I az σ + α + α V b + α + α V c Αλλά: α + α = 0, οπότε: V + + V + V 0 = 1 3 3I az σ = 3 I a 3 Zσ = I + +I + I 0 Z σ Με μεταφορά του δεύτερου μέλους στο πρώτο, παίρνουμε τελικά: V + I + Z σ + V I Z σ + V 0 I 0 Z σ = 0 Αυτές οι εξισώσεις μας δίνουν τις συνθήκες ΣΣ, που είναι: Συνθήκες: I + = I = I 0 = Ι α 3, V + I + Z σ + V I Z σ + V 0 I 0 Z σ = 0 24

25 Βραχυκυκλώματα δια μέσου συνθέτων αντιστάσεων σε γραμμές μεταφοράς(3) β) Βραχυκύκλωμα μεταξύ των φάσεων b και c, δια μέσου της Z σ. Συνθήκες: V c = V b I b Z σ, I b = I c, I a = 0 Ι + Ι Ι0 = α α 2 1 α 2 α Άρα: I + = I, I 0 = 0 V + V V 0 = α α 2 1 α 2 α I b I b = 1 3 V a V b V b I b Z σ αi b α 2 I b α 2 I b αi b 0 = 1 3 Με αφαίρεση των δύο πρώτων εξισώσεων παίρνουμε: 3 V + V = a α 2 I b Z σ = j 3I b Z σ V a + av b + α 2 (V b I b Z σ ) V a +α 2 V b + α(v b I b Z σ ) V a + V b + V b I b Z σ 25

26 Βραχυκυκλώματα δια μέσου συνθέτων αντιστάσεων σε γραμμές μεταφοράς(4) Αλλά από την πρώτη εξίσωση που χρησιμοποιήσαμε παίρνουμε: 3I + = a α 2 I b = j 3I b Αντικαθιστούμε αυτήν την εξίσωση στην προηγούμενη και παίρνουμε: 3 V + V = 3I + Z σ ή V + V = I + Z σ Άρα οι συνθήκες ΣΣ είναι: Συνθήκες: I + = I, I 0 = 0, V + V = I + Z σ 26

27 Βραχυκυκλώματα δια μέσου συνθέτων αντιστάσεων σε γραμμές μεταφοράς(5) γ) Βραχυκύκλωμα μεταξύ των φάσεων b, c και γης, δια μέσου της Z σ. Συνθήκες: V b = V c = (I b +I c )Z σ, I a = 0 Ι + Ι = 1 1 α α 2 0 αi b + α 2 I c 3 1 α 2 α I b = 1 α 2 I 3 b + αi c Ι Ic I b + I c Με αντικατάσταση της τρίτης από αυτές τις εξισώσεις, δηλαδή, I 0 = (I b+i c ) 3,στις συνθήκες των φασικών τάσεων, παίρνουμε: V b = V c = 3 Z σ I 0 27

28 Βραχυκυκλώματα δια μέσου συνθέτων αντιστάσεων σε γραμμές μεταφοράς(6) V + V = 1 1 α α 2 V a V a + a + α 2 V b 3 1 α 2 α V b = 1 3 V a + α 2 + a V b V V b V a + 2V b Με αφαίρεση των δύο πρώτων από αυτές τις εξισώσεων παίρνουμε: 3 V + V = V a + a + α 2 V b V a α 2 + a V b = 0, δηλ. V + = V Επίσης αφαιρούμε την τελευταία από την πρώτη και παίρνουμε: 3 V + V 0 = V a + a + α 2 V b V a 2V b = a + α V b 3V b =-3V b Άρα: V + V 0 = V b Σε αυτήν την εξίσωση αντικαθιστούμε την εξίσωση V b = V c = 3 I 0 Z σ και παίρνουμε: V + V 0 = 3Z σ I 0,δηλ. V + = V 0 3Z σ I 0 Αν συνοψίσουμε τις εξισώσεις ΣΣ έχουμε: V + = V + = V 0 3Z σ I 0 28

29 Σύνδεση ακολουθιακών δικτύων(1) Οι συνθήκες συμμετρικών συνιστωσών της προηγούμενης παραγράφου μας καθορίζουν τον τρόπο σύνδεσης των ακολουθιακών δικτύων, ώστε να κατασκευάσουμε το τελικό δίκτυο, από το οποίο υπολογίζουμε τις ΣΣ του ρεύματος βραχυκύκλωσης. Οι βασικοί κανόνες που ακολουθούμε για τη σύνδεση των ακολουθιακών δικτύων είναι: α) Δύο ακολουθιακά δίκτυα συνδέονται παράλληλα, όταν οι τάσεις τους είναι ίσες ή τα ρεύματά τους αντίθετα. β) Δύο ακολουθιακά δίκτυα συνδέονται σε σειρά, όταν τα ρεύματά τους είναι ίσα. Η γνώση του τελικού δικτύου ανάλογα με τον τύπο του βραχυκυκλώματος, είναι ένας εύκολος τρόπος για να θυμόμαστε τις εξισώσεις, που χρησιμοποιούνται στην επίλυση του συγκεκριμένου βραχυκυκλώματος. 29

30 Σύνδεση ακολουθιακών δικτύων(2) Αν για την παράσταση του δικτύου θετικής ακολουθίας χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα Thevenin, χρειαζόμαστε και την προσφαλματική τάση στο σημείο του βραχυκυκλώματος. Σε αυτή την περίπτωση, το προσφαλματικό ρεύμα φορτίου στις γραμμές μεταφοράς λαμβάνεται υπόψη με κατάλληλη πρόσθεσή του στο ρεύμα θετικής ακολουθίας. Αν στην παράσταση του δικτύου θετικής ακολουθίας χρησιμοποιήσουμε τις εσωτερικές τάσεις των μηχανών, το προσφαλματικό ρεύμα φορτίου λαμβάνετε αυτομάτως υπόψη κατά την επίλυση του τελικού δικτύου ΣΣ. 30

31 Στερεά βραχυκυκλώματα στους ακροδέκτες σύγχρονων γεννητριών(1) α) Βραχυκύκλωμα μεταξύ της φάσης a και της γης. Συνθήκες: I + = I = I 0 = Ι α 3 31

32 Στερεά βραχυκυκλώματα στους ακροδέκτες σύγχρονων γεννητριών(2) β) Βραχυκύκλωμα μεταξύ των φάσεων b και c. Συνθήκες: I + = I, I 0 = 0, V + = V, V 0 = 0 32

33 Στερεά βραχυκυκλώματα στους ακροδέκτες σύγχρονων γεννητριών(3) γ) Βραχυκύκλωμα μεταξύ των φάσεων b, c και γης Συνθήκες: V + = V = V 0 = V α 3 33

34 Στερεά βραχυκυκλώματα σε γραμμές μεταφοράς(1) Επειδή ισχύουν οι ίδιες συνθήκες ΣΣ με την προηγούμενη περίπτωση, έχουμε τον ίδιο τρόπο σύνδεσης των ακολουθιακών δικτύων, που φαίνεται στα επόμενα σχήματα. α) Βραχυκύκλωμα μεταξύ της φάσης a και της γης. 34

35 Στερεά βραχυκυκλώματα σε γραμμές μεταφοράς(2) β) Βραχυκύκλωμα μεταξύ των φάσεων b και c. 35

36 Στερεά βραχυκυκλώματα σε γραμμές μεταφοράς(3) γ) Βραχυκύκλωμα μεταξύ των φάσεων b, c και γης. 36

37 Βραχυκυκλώματα δια μέσου συνθέτων αντιστάσεων σε γραμμές(1) α) Βραχυκύκλωμα μεταξύ της φάσης a και της γης, δια μέσου της Z σ. Συνθήκες: I + = I = I 0 = Ι α 3, V + I + Z σ + V I Z σ + V 0 I 0 Z σ = 0 37

38 Βραχυκυκλώματα δια μέσου συνθέτων αντιστάσεων σε γραμμές(2) β) Βραχυκύκλωμα μεταξύ των φάσεων b και c, δια μέσου της Z σ. Συνθήκες: I + = I, I 0 = 0, V + V = I + Z σ 38

39 Βραχυκυκλώματα δια μέσου συνθέτων αντιστάσεων σε γραμμές(3) γ) Βραχυκύκλωμα μεταξύ των φάσεων b, c και γης, δια μέσου της Z σ. Συνθήκες: V + = V + = V 0 3 I 0 Z σ 39

40 Υπολογισμός ρευμάτων και τάσεων στη θέση του βραχυκυκλώματος Μετά τη σύνδεση των ακολουθιακών δικτύων και τη κατασκευή του τελικού κυκλώματος, υπολογίζουμε απ αυτό τις συμμετρικές συνιστώσες του ρεύματος στη θέση του βραχυκυκλώματος. Οι συμμετρικές συνιστώσες των τάσεων στο βραχυκύκλωμα υπολογίζονται από τις εξισώσεις: V + V V 0 = V σ 0 0 = Z Z Z 0 I + I I0 όπου Z +, Z και Z 0 είναι οι ισοδύναμες σύνθετες αντιστάσεις, μεταξύ του σημείου βραχυκυκλώματος και του ζυγού αναφοράς, των δικτύων θετικής, αρνητικής και μηδενικής ακολουθίας, αντίστοιχα. 40

41 Στερεά βραχυκυκλώματα στους ακροδέκτες σύγχρονων γεννητριών α) Βραχυκύκλωμα μεταξύ της φάσης a και της γης. I + = I = I 0 = E + Z + +Z +Z 0 και V + = E + I + Z + = E + E +Z + V = I Z = Z Z + +Z +Z 0 E + = Z +Z 0 E Z + +Z +Z 0 Z + +Z +Z + 0 V 0 = I 0 Z 0 = Z 0 Z + +Z +Z 0 E + 41

42 Βραχυκυκλώματα δια μέσου συνθέτων αντιστάσεων σε γραμμές α) Βραχυκύκλωμα μεταξύ της φάσης a και της γης, δια μέσου της Z σ. V σ I + = I = I 0 = Z + +Z +Z 0 +3Z σ Οι ΣΣ της τάσης στη θέση του βραχυκυκλώματος είναι: V + = V σ I + Z + = V = I Z = V 0 = I 0 Z 0 = Z +Z 0 +3Z σ Z + +Z +Z 0 +3Zσ Vσ Z Z + +Z +Z 0 +3Zσ Vσ Z 0 Z + +Z +Z 0 +3Zσ Vσ 42

43 Υπολογισμός των φασικών τιμών ρευμάτων και τάσεων βραχυκυκλώματος Μετά τον υπολογισμό των ΣΣ ρευμάτων και τάσεων στη θέση του βραχυκυκλώματος, ο υπολογισμός των φασικών τους τιμών είναι πολύ εύκολος με τις γνωστές εξισώσεις μετασχηματισμού. 43

44 Στερεά βραχυκυκλώματα στους ακροδέκτες σύγχρονων γεννητριών α) Βραχυκύκλωμα μεταξύ της φάσης a και της γης. Ι α Ιb Ιc = α 2 α 1 α α 2 1 V α V b = α 2 α 1 V c α α 2 1 και τελικά: Ι + Ι + Ι + = V + V V 0 = 3Ι α 2 V + + av + V 0 av + + α 2 V + V 0 3E Ρεύματα: I a = +, Ι Z + +Z +Z b = 0, Ι c = 0 0 Τάσεις: V a = 0 V b = (α2 a)z +(α 2 +1)Z 0 Z + +Z +Z 0 E + V c = (a α2 )Z +(a 1)Z 0 Z + +Z +Z 0 E + 44

45 Παράδειγμα Μια γεννήτρια 7.5 MVA, 4.16 KV τροφοδοτεί μια ομάδα τεσσάρων ίδιων σύγχρονων κινητήρων δια μέσου ενός τριφασικού μετασχηματιστή, που αποτελείται από τρεις μονοφασικούς, που ο καθένας είναι 2400/600 V, 2.5 MVA και έχει επαγωγική αντίσταση σκέδασης 10%. Το 600 V τύλιγμα συνδέεται σε τρίγωνο στους κινητήρες και το 2.4 KV τύλιγμα συνδέεται σε αστέρα στη γεννήτρια. Ο ουδέτερος του μετασχηματιστή είναι στερεά γειωμένος. Οι επαγωγικές αντιστάσεις της γεννήτριας είναι X d = 10%,X = 10% καιx 0 = 5%. Οι κινητήρες είναι 600 V και λειτουργούν με 89.5% απόδοση, όταν φέρουν πλήρες φορτίο με συντελεστή ισχύος μονάδα και ονομαστική τάση. Το άθροισμα των ονομαστικών εξόδων τους είναι 6000 hp. Η επαγωγική αντίσταση κάθε κινητήρα είναι X d = 20%,X = 20% καιx 0 = 4% και ο καθένας είναι γειωμένος με αντίσταση 2%. Οι κινητήρες ισομοιράζονται ένα συνολικό φορτίο 5000 hp και λειτουργούν με ονομαστική τάση, 85% συντελεστή ισχύος επαγωγικό και απόδοση 88%, όταν ένα στερεό μονοφασικό βραχυκύκλωμα συμβαίνει στη πλευρά χαμηλής τάσης του μετασχηματιστή. Να χειριστείτε την ομάδα των κινητήρων σαν ένα απλό ισοδύναμο κινητήρα. Να ορίσετε πλήρως τα ακολουθιακά δίκτυα και το τελικό δίκτυο, παριστάνοντας τη γεννήτρια και τους κινητήρες με τις εσωτερικές τους τάσεις υπό φορτίο. Με τη χρήση του ισοδύναμου Thevenin, να προσδιορίσετε τα υπομεταβατικά ρεύματα γραμμής σε όλα τα μέρη του συστήματος: α) με αμελητέα προσφαλματικά ρεύματα β) λαμβάνοντας υπόψη τα προσφαλματικά ρεύματα. Επιλέξτε τα ονομαστικά μεγέθη της 45 γεννήτριας σαν βάση.

46 Λύση(1) Οι βάσεις στα διάφορα σημεία του κυκλώματος είναι: Στη γεννήτρια: 7. 5 MVA, KV Στους κινητήρες: 7. 5 MVA, 600 V, γιατί ο τριφασικός μετασχηματιστής έχει λόγο τάσεων: 3 24 = KV/600V Τα δεδομένα της γεννήτριας είναι εκφρασμένα στο δικό μας σύστημα βάσεων. Το ίδιο ισχύει και για τον τριφασικό μετασχηματιστή, γιατί έχει ισχύ: = 7. 5 MVA.Ο ισοδύναμος κινητήρας έχει ονομαστική ισχύ: = 5000 KVA = 5MVA Οι επαγωγικές αντιστάσεις του ισοδύναμου κινητήρα είναι: X d = X = = = 0. 3 pu = 0. 3 pu X 0 = = pu 46

47 Λύση(2) Στο δίκτυο μηδενικής ακολουθίας, η επαγωγική αντίσταση περιορισμού του ρεύματος στον ουδέτερο έχει τιμή: 3X n = = pu 5 Θα υπολογίσουμε τώρα τις εσωτερικές τάσεις της γεννήτριας και του ισοδύναμου κινητήρα υπό φορτίο. Επειδή ο κινητήρας προσφαλματικά εργάζεται με ονομαστική τάση, ίση με τη βάση τάσης μας, αν πάρουμε αυτή την τάση σαν αναφορά, έχουμε: V σ = 1 0 pu Το ρεύμα φορτίου των κινητήρων είναι: = 4810 A Η βάση ρεύματος στους κινητήρες είναι: = 7220 A Οι κινητήρες εργάζονται με συντελεστή ισχύος 0.85 επαγωγικό, που αντιστοιχεί σε γωνία και επομένως το ρεύμα φορτίου σε pu στους κινητήρες είναι: = = j pu 47

48 Λύση(3) Επομένως, η υπομεταβατική εσωτερική τάση του ισοδύναμου κινητήρα είναι: E M = 1 j j = j0. 17 = pu και της γεννήτριας: E G = 1 + j j j = j = pu Μετά τους υπολογισμούς αυτούς, για μονοφασικό βραχυκύκλωμα που τα ακολουθιακά δίκτυα συνδέονται σε σειρά, το τελικό δίκτυο είναι: 48

49 Λύση(4) Με το θεώρημα Thevenin, θα υπολογίσουμε τώρα όλα τα ρεύματα, χωρίς να λάβουμε υπόψη το ρεύμα φορτίου. Το δίκτυο θετικής ακολουθίας παίρνει τη μορφή: Άρα: Z + = j0.1+j0.1 j0.3 j Z = j0.1+j0.1 j0.3 j = j0. 12 pu = j0. 12 pu Z 0 = j j0. 06 = j0. 15 pu I a = I σ = 3V σ Z + +Z +Z 0 = 3 1 j = j7. 68 pu I b = I c = 0 49

50 Λύση(5) Οι συμμετρικές συνιστώσες του ρεύματος βραχυκύκλωσης είναι: I + = I = I 0 = Ι α = j7.68 = j2. 56 pu 3 3 Η συνιστώσα του ρεύματος I + από το μετασχηματιστή προς το P είναι: j2. 56 j0.3 j0.2+j0.3 = j pu και η συνιστώσα του ρεύματος από τον κινητήρα προς το P είναι: j2. 56 j0.2 j0.2+j0.3 = j pu Όμοια, η συνιστώσα του I από το μετασχηματιστή είναι j pu και από τον κινητήρα j pu. Όλο το I 0 ρέει από το P προς τον κινητήρα. 50

51 Λύση(6) Τα ρεύματα γραμμής στο βραχυκύκλωμα είναι: Από το μετασχηματιστή προς το P σε pu: I A = I + + I +I 0 = j j = j I B = a 2 I + + ai + I 0 = 0. 5 j j j j = j I C = ai + + a 2 I + I 0 = j j j j = j Από τον κινητήρα προς το P σε pu: I a = I + + I +I 0 = j j j2. 56 = j I b = a 2 I + + ai + I 0 = 0. 5 j j j j j2. 56 = j I c = a 2 I + + ai + I 0 = j j j j j2. 56 = j

52 Λύση(7) Οι συνιστώσες θετικής και αρνητικής ακολουθίας των ρευμάτων γεννήτριας έχουν φασική μετατόπιση +90 και 90 αντίστοιχα, από τις αντίστοιχες συνιστώσες μετά το μετασχηματιστή, αν δεχθούμε ότι ισχύουν οι εξισώσεις Έτσι : I a+ = j j = I a = j j = I a0 = 0 επειδή δεν υπάρχει ρεύμα μηδενικής ακολουθίας στη πλευρά της γεννήτριας. I a = I a+ +I a = 0 I b = a 2 I + + ai = 0. 5 j j = j2. 66 pu I c = a 2 I + + ai = j j = j2. 66 pu Αν ζητούσαμε τις τάσεις στα διάφορα σημεία του συστήματος, θα τις υπολογίζαμε από τα ρεύματα και τις επαγωγικές αντιστάσεις των ακολουθιακών δικτύων. 52

53 Λύση(8) Η βάση ρεύματος στον κινητήρα βρήκαμε ότι είναι 7220 A, ενώ η βάση ρεύματος στη γεννήτρια είναι: = 1040 A Έτσι οι απόλυτες τιμές των ρευμάτων είναι: Ρεύμα στο βραχυκύκλωμα: = A Ρεύματα στις γραμμές μεταξύ του κινητήρα και του βραχυκυκλώματος: Στη γραμμή a: = A Στη γραμμή b: = A Στη γραμμή c: = A Ρεύματα στις γραμμές μεταξύ του μετασχηματιστή και του βραχυκυκλώματος: Στη γραμμή a: = A Στη γραμμή b: = A Στη γραμμή c: = A Ρεύματα στις γραμμές στην πλευρά της γεννήτριας: Στη γραμμή a: 0 Στη γραμμή b: = 2765 A Στη γραμμή c: = 2765 A 53

54 Λύση(9) Όλα τα προηγούμενα ρεύματα που υπολογίσαμε δεν περιλαμβάνουν το προσφαλματικό ρεύμα φορτίου και φαίνονται στο Σχήμα. Για να λάβουμε υπόψη το ρεύμα φορτίου, προσθέτουμε αυτό το ρεύμα στη συνιστώσα I +, που ρέει προς το P από το μετασχηματιστή (είναι της ίδιας φοράς) και το αφαιρούμε από το I +, που ρέει από τον κινητήρα στο P (έχουν αντίθετη φορά). Έτσι, οι νέες τιμές θετικής ακολουθίας του ρεύματος είναι: Από το μετασχηματιστή στο P: j j = j Από τον κινητήρα στο P: j j = j

55 Λύση(10) Τα υπόλοιπα βήματα υπολογισμών είναι παρόμοια με την προηγούμενη περίπτωση. Στο Σχήμα φαίνονται τ αποτελέσματα όλων αυτών των υπολογισμών. 55

56 Ψηφιακός υπολογισμός ασύμμετρων βραχυκυκλωμάτων με χρήση της Z bus Με μικρές μόνο τροποποιήσεις, θα ακολουθήσουμε την πορεία ανάλυσης συμμετρικών βραχυκυκλωμάτων με τη χρήση υπολογιστή. Επειδή είμαστε υποχρεωμένοι να χρησιμοποιήσουμε μεγάλο πλήθος συμβόλων για τις μεταβλητές και υπάρχει κίνδυνος δημιουργίας σύγχυσης θα ακολουθήσουμε ορισμένους κανόνες συμβολισμού: 1. Τιμές μεταβλητών πριν το βραχυκύκλωμα θα συμβολίζονται με τον πάνω δείκτη Τιμές μεταβλητών μετά την εισαγωγή του βραχυκυκλώματος θα συμβολίζονται με τον πάνω δείκτη σ. 3. Φασικές τιμές των ρευμάτων και τάσεων θα συμβολίζονται διανυσματικά με τον κάτω δείκτη p και διακεκριμένα με τους κάτω δείκτες a, b ή c. 4. Οι συμμετρικές συνιστώσες θα συμβολίζονται διανυσματικά με τον κάτω δείκτη s και διακεκριμένα με τους κάτω δείκτες +, - ή Οι αριθμητικοί δείκτες θα παριστούν τους αριθμούς των ζυγών. 56

57 Επιλογή μοντέλου δικτύου Για τη μελέτη ενός συμμετρικού δικτύου n ζυγών, το τελικό αποτέλεσμα της κατασκευής του μοντέλου του είναι η n n μήτρα συνθέτων αγωγιμοτήτων ζυγών Y bus ή η αντίστροφή της n n μήτρα συνθέτων αντιστάσεων ζυγών Z bus. Για μια μελέτη ασύμμετρου δικτύου το μοντέλο γίνεται πιο πολύπλοκο, γιατί πρέπει να κατασκευάσουμε χωριστά μοντέλα δικτύων για τα τρία ακολουθιακά δίκτυα, που είναι γενικά όλα διαφορετικά. 57

58 Ακολουθιακά δίκτυα(1) Όταν ξέρουμε τις σύνθετες αντιστάσεις θετικής ακολουθίας των γεννητριών, μετασχηματιστών και γραμμών μπορούμε να κατασκευάσουμε το δίκτυο θετικής ακολουθίας για το σύστημα n ζυγών και από αυτό να υπολογίσουμε τη μήτρα Y +bus ή την αντίστροφή της Z +bus. Αυτές οι μήτρες συσχετίζουν τις συνιστώσες θετικής ακολουθίας των τάσεων ζυγών με τις συνιστώσες θετικής ακολουθίας των ρευμάτων ζυγών με την παρακάτω σχέση: J +bus = Y +bus V +bus ή V +bus = Z +bus J +bus όπου τα διανύσματα J +bus και V +bus ορίζονται από τις σχέσεις: V +bus = V +1 V V +n και J +bus = J +1 J J +n 58

59 Ακολουθιακά δίκτυα(2) Με την ίδια διαδικασία παίρνουμε τις μήτρες αγωγιμοτήτων ζυγών αρνητικής και μηδενικής ακολουθίας Y bus και Y 0bus και τις αντίστοιχες αντίστροφές τους Z bus και Z 0bus. Αυτές οι μήτρες συσχετίζουν τις συνιστώσες αρνητικής ακολουθίας των τάσεων ζυγών με τις συνιστώσες αρνητικής ακολουθίας ρευμάτων ζυγών με τις σχέσεις: J bus = Y bus V bus ή V bus = Z bus J bus Το ίδιο ισχύει και για τις συνιστώσες μηδενικής ακολουθίας: J 0bus = Y 0bus V 0bus ή V 0bus = Z 0bus J 0bus όπου: V bus = V 1 V 2... V n και J +bus = J 1 J 2... J n, V 0bus = V 01 V V 0n και J 0bus = J 01 J J 0n 59

60 Συστηματικός υπολογισμός ασύμμετρων βραχυκυκλωμάτων(1) Υποθέτουμε, για παράδειγμα, ότι ένα μονοφασικό βραχυκύκλωμα εισάγεται στο ζυγό ν ενός συστήματος ηλεκτρικής ενέργειας. Σύμφωνα με την ανάλυση που προηγήθηκε, για την εξομοίωση του βραχυκυκλώματος τα ακολουθιακά δίκτυα του συστήματος πρέπει να συνδεθούν σε σειρά, όπως φαίνεται στο Σχήμα. 60

61 Συστηματικός υπολογισμός ασύμμετρων βραχυκυκλωμάτων(2) Παρατηρούμε ότι στο παθητικό δίκτυο θετικής ακολουθίας το μόνο ρεύμα που εισάγεται είναι το I σ +ν στο ζυγό ν και επομένως για το δίκτυο αυτό έχουμε: 0.. J σ +bus = I σ +ν.. 0 Με αντικατάσταση αυτής της εξίσωσης στην εξίσωση τάσεων ζυγών θετικής ακολουθίας, βρίσκουμε ότι η τάση θετικής ακολουθίας του ζυγού ν στο παθητικό δίκτυο θετικής ακολουθίας, ισούται με: V σ +ν = Z +νν I σ +ν Από αυτήν την εξίσωση προκύπτει ότι η αντίσταση θετικής ακολουθίας για ένα ασύμμετρο βραχυκύκλωμα στο ζυγό ν ενός δικτύου, ισούται με το διαγώνιο στοιχείο της μήτρας Z +bus, που αντιστοιχεί στο ζυγό ν. 61

62 Συστηματικός υπολογισμός ασύμμετρων βραχυκυκλωμάτων(3) Επίσης το δίκτυο αρνητικής ακολουθίας διεγείρεται μόνο από το ρεύμα I σ ν στο ζυγό ν και επομένως: 0.. J σ bus = I σ ν.. 0 Με αντικατάσταση αυτής της εξίσωσης στην εξίσωση τάσεων ζυγών αρνητικής ακολουθίας, παίρνουμε: V σ ν = Z νν I σ ν Δηλαδή το διαγώνιο στοιχείο της μήτρας Z bus, που αντιστοιχεί στο ζυγό ν, ισούται με την αντίσταση αρνητικής ακολουθίας του δικτύου. 62

63 Συστηματικός υπολογισμός ασύμμετρων βραχυκυκλωμάτων(4) Με παρόμοιο τρόπο, για το δίκτυο μηδενικής ακολουθίας έχουμε: J σ 0bus = και 0.. I σ 0ν.. 0 V σ 0ν = Z 0νν I σ 0ν Δηλαδή, το στοιχείο Z 0νν ισούται με την αντίσταση μηδενικής ακολουθίας του δικτύου 63

64 Συστηματικός υπολογισμός ασύμμετρων βραχυκυκλωμάτων(5) Μετά τον υπολογισμό των ακολουθιακών αντιστάσεων δικτύου, είναι δυνατός ο υπολογισμός των ΣΣ του ρεύματος βραχυκύκλωσης, από το γνωστό τρόπο σύνδεσης των ακολουθιακών δικτύων, ανάλογα με τον τύπο του βραχυκυκλώματος. Επομένως, για το παράδειγμα μας, παίρνουμε: I σ +ν = I σ ν = I σ 0ν = V 0 ν Z +νν +Z νν +Z 0νν +3Z σ Για όλους τους τύπους ασύμμετρων βραχυκυκλωμάτων στο ζυγό ν δια μέσου σύνθετης αντίστασης, οι ΣΣ του ρεύματος βραχυκύκλωσης έχουν υπολογιστεί με τον κλασικό τρόπο μελέτης ασύμμετρων βραχυκυκλωμάτων ( 7.6.3). Τα αποτελέσματα αυτά συνοψίζονται στον επόμενο Πίνακα, στο οποίον τα V σ, Z +, Z και Z 0 της έχουν αντικατασταθεί από τα V 0 ν, Z +νν, Z νν και Z 0νν αντίστοιχα. 64

65 Συστηματικός υπολογισμός ασύμμετρων βραχυκυκλωμάτων(6) 65

66 Συστηματικός υπολογισμός ασύμμετρων βραχυκυκλωμάτων(7) Με γνωστές τις ΣΣ του ρεύματος βραχυκύκλωσης στο ζυγό ν (προηγούμενος Πίνακας), οι ΣΣ της τάσης μετά το βραχυκύκλωμα στο τυχαίο ζυγό μ υπολογίζονται προσθέτοντας στην προσφαλματική τιμή της τάσης του ζυγού μ την τάση, που αναπτύσσεται στο ζυγό μ, λόγω της εισαγωγής του κατάλληλου ακολουθιακού ρεύματος στο ζυγό ν. Για το παθητικό δίκτυο θετικής ακολουθίας, οι διακυμάνσεις των τάσεων θετικής ακολουθίας, λόγω του βραχυκυκλώματος, (ή τάσεις Thevenin) προκαλούνται από το ρεύμα J σ +bus και οι μετασφαλματικές τιμές τάσεων δίνονται από την εξίσωση: V σ +bus = V 0 +bus + Z +bus J σ +bus Λόγω της μορφής του ρεύματος J σ +bus, αν γράψουμε αναλυτικά την προηγούμενη εξ., η μετασφαλματική τάση θετικής ακολουθίας του τυχαίου ζυγού μ δίνεται από την εξίσωση: V σ +μ = V 0 +μ Z +μν I σ +ν για μ = 1, 2,, n 66

67 Συστηματικός υπολογισμός ασύμμετρων βραχυκυκλωμάτων(8) Επειδή για τα δίκτυα αρνητικής και μηδενικής ακολουθίας όλες οι προσφαλματικές τάσεις είναι μηδέν, ακολουθώντας μια ανάλογη πορεία με αυτή που χρησιμοποιήσαμε για το δίκτυο θετικής ακολουθίας, βρίσκουμε ότι οι μετασφαλματικές τάσεις αρνητικής και μηδενικής ακολουθίας του τυχαίου ζυγού μ δίνονται από τις εξισώσεις: V σ μ = Z μν I σ ν για V σ 0μ = Z 0μν I σ 0ν για μ = 1, 2,, n μ = 1, 2,, n 67

68 Συστηματικός υπολογισμός ασύμμετρων βραχυκυκλωμάτων(9) Με γνωστές τις ΣΣ των μετασφαλματικών τάσεων ζυγών, οι ΣΣ των ρευμάτων στις γραμμές υπολογίζονται από τις εξισώσεις: I σ +ij = Y +ij V σ +i V σ +j I σ ij = Y ij V σ i V σ j I σ 0ij = Y 0ij V σ 0i V σ 0j όπου τα i και j είναι δύο τυχαίοι ζυγοί, που συνδέονται με τις εν σειρά σύνθετες αγωγιμότητες ΣΣ Y +ij, Y ij και Y 0ij (που είναι στοιχεία των μητρών Y +bus, Y bus και Y 0bus αντίστοιχα) και τα ρεύματα ορίζονται θετικά στη διεύθυνση i j. 68

69 Συστηματικός υπολογισμός ασύμμετρων βραχυκυκλωμάτων(10) Τέλος, με γνωστές τις ΣΣ των μετασφαλματικών τάσεων ζυγών και ρευμάτων, οι φασικές τάσεις και ρεύματα υπολογίζονται με τη χρήση του μετασχηματισμού συμμετρικών συνιστωσών: V σ p = T V σ s I σ p = T I σ s 69

70 Συστηματικός υπολογισμός ασύμμετρων βραχυκυκλωμάτων(11) Ίσως η μέθοδος, που χρησιμοποιήθηκε σε αυτή την παράγραφο, να δίνει την εντύπωση ότι είναι πιο επίπονος από τη μέθοδο υπολογισμού των ασύμμετρων βραχυκυκλωμάτων, που χρησιμοποιήθηκε στην αρχή του κεφαλαίου. Για να αξιολογηθεί όμως σωστά πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι: α) είναι η μόνη, που μπορεί να εφαρμοστεί με τη βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή β) μετά την κατασκευή των ακολουθιακών μητρών συνθέτων αντιστάσεων ζυγών η ανάλυση για βραχυκύκλωμα σε οποιοδήποτε ζυγό γίνεται πολύ εύκολα και γ) οι μήτρες αντιστάσεων μπορούν εύκολα να τροποποιηθούν για να παραστήσουν δομικές αλλαγές του δικτύου, που μελετάμε. 70

71 Συστηματικός υπολογισμός ασύμμετρων βραχυκυκλωμάτων(12) 71

72 Συστηματικός υπολογισμός ασύμμετρων βραχυκυκλωμάτων(13) 72

73 Συστηματικός υπολογισμός ασύμμετρων βραχυκυκλωμάτων(14) 73

74 Περίληψη Σε αυτό το κεφάλαιο αναπτύχθηκαν οι τρόποι ανάλυσης ασύμμετρων βραχυκυκλωμάτων. Για απλά δίκτυα η ανάλυση μπορεί να γίνει με την κατασκευή των ακολουθιακών κυκλωμάτων του δικτύου και τη σύνδεσή τους ανάλογα με τον τύπο του βραχυκυκλώματος. Έτσι γίνεται η κατασκευή του τελικού δικτύου, από το οποίο υπολογίζονται όλα τα ρεύματα και οι τάσεις στις επιθυμητές θέσεις του δικτύου. Για πραγματικά δίκτυα η ανάλυση γίνεται μόνο με τη βοήθεια υπολογιστών. Γι αυτό περιγράφηκε ένας γενικός και συστηματικός τρόπος ανάλυσης ασύμμετρων βραχυκυκλωμάτων για ένα γενικό σύστημα n-ζυγών και παρήχθησαν οι εξισώσεις υπολογισμού ρευμάτων και τάσεων. 74

75 Βιβλιογραφία Όλα τα σχήματα, οι εικόνες και τα γραφήματα που παρουσιάστηκαν σε αυτήν την ενότητα είναι από το βιβλίο «Ανάλυση Συστημάτων Ηλεκτρικής Ενέργειας», Ν. Α. Βοβός, Γ. Β. Γιαννακόπουλος, Εκδόσεις Ζήτη. 75

76 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιο του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 76