Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 2: Τριγωνομετρικές, Εκθετικές και Σύνθετες Συναρτήσεις. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Τριγωνομετρικές, Εκθετικές και Σύνθετες Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Ημίτονο: y a 0 sin 4

5 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Ημίτονο: y a 0 sin Πλάτος Κυματάριθμος Αρχική Φάση 5

6 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Ημίτονο: y a 0 sin Στάσιμο Κύμα 6

7 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Ημίτονο: y a 0 sin Στάσιμο Κύμα t: χρόνος y a sin t 0 Τρέχον Κύμα 7

8 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Ημίτονο: y a 0 sin Στάσιμο Κύμα t: χρόνος y a sin t 0 Τρέχον Κύμα 2 : T Κυκλική Συχνότητα 8

9 Άλλες Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Εφαπτομένη: tan sin cos Συνεφαπτομένη: cot cos sin 9

10 Άλλες Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Τέμνουσα: sec 1 cos Συντέμνουσα: csc 1 sin 10

11 Τριγωνομετρικές Ταυτότητες sin 2 2 cos tan sec cot csc 2 11

12 Τριγωνομετρικές Ταυτότητες sin2 2sin cos cos 2 cos 2 sin 2 tan 2 tan 2 1 tan 2 12

13 Τριγωνομετρικές Ταυτότητες 13 ) )sin( cos( ) )cos( sin( sin B A B A B A ) )sin( cos( ) )cos( sin( sin B A B A B A ) )sin( sin( ) )cos( cos( cos B A B A B A ) )sin( sin( ) )cos( cos( cos B A B A B A

14 Αντίστροφες Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Τόξο Ημιτόνου: y sin 1 arcsin, ( 1 1) Τόξο Συνημιτόνου: y cos 1 arccos, ( 1 1) 14

15 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Ως Λύσεις Διαφορικών Εξισώσεων Η τριγωνομετρική συνάρτηση συνημιτόνου: y a 0 cos Προκύπτει ως λύση της διαφορικής εξίσωσης: d 2 d y 2 2 y 0 15

16 Εκθετικές Συναρτήσεις y a Δύο είναι οι πιο συνηθισμένες τιμές για το α: 1. Η σταθερά e: a e

17 Εκθετικές Συναρτήσεις y a Δύο είναι οι πιο συνηθισμένες τιμές για το α: 1. Η σταθερά e: a e Ο αριθμός 10 17

18 Ιδιότητες Εκθετικών Συναρτήσεων e 0 1 ( e a ) r e ar e a e b e ab e e a b e ab 18

19 Λογαριθμικές Συναρτήσεις y log a Η λογαριθμική συνάρτηση είναι η αντίστροφη της εκθετικής συνάρτησης, δηλαδή είναι: log a ( a ) 19

20 Λογαριθμικές Συναρτήσεις y log a Για α = e, χρησιμοποιούμε το συμβολισμό y ln Για α = 10, χρησιμοποιούμε το συμβολισμό y log 20

21 Αλλαγή Βάσης Λογαρίθμου Για να αλλάξουμε τη βάση ενός λογαρίθμου από b σε α: log a log log b b a 21

22 Σύνθετες Συναρτήσεις y f () Το όρισμα μιας συνάρτησης είναι επίσης μια συνάρτηση. 22

23 Παραμετρικές Συναρτήσεις ( t), y( t) Συναρτήσεις του χρόνου (t) 23

24 Παραμετρικές Συναρτήσεις ( t), y( t) Συναρτήσεις του χρόνου (t) Για να εκφράσουμε το y ως συνάρτηση του, λύνουμε την (t) ως προς t και αντικαθιστούμε στην y(t) 24

25 Παραμετρικές Συναρτήσεις ( t), y( t) Παραμετρικές συναρτήσεις σαν τις παραπάνω είναι ιδιαίτερα χρήσιμες στη Φυσική. Για παράδειγμα, αν θεωρήσουμε ότι,y είναι οι συντεταγμένες ενός σωματιδίου, μπορούμε με τις (t), y(t) να περιγράψουμε την τροχιά ενός σωματιδίου. 25

26 Πεπλεγμένες Συναρτήσεις F, y( ) 0 Σε αυτήν την κατηγορία συναρτήσεων, η συνάρτηση y() ορίζεται μέσω της παραπάνω συνάρτησης F(,y()). Έτσι, εδώ η y() ορίζεται πεπλεγμένα μέσω της F(,y()). 26

27 Μαθηματικά Μοντέλα Τα μαθηματικά μοντέλα κατασκευάζονται από τους Φυσικούς με σκοπό να περιγράψουν τη Φύση. Τα μαθηματικά μοντέλα έχουν περιορισμένη ισχύ και φυσικά μπορεί να καταρριφθούν. Παραδείγματα μαθηματικών μοντέλων είναι: Οι νόμοι του Νεύτωνα. Η Γενική Θεωρία της Σχετικότητας. 27

28 Ερευνητική Εργασία Να περιγράψετε την κίνηση μιας μπάλας του τέννις, που αφήνεται να πέσει από κάποιο ύψος στο έδαφος και στη συνέχεια αναπηδά μέχρι να σταματήσει. 28

29 Πρόβλημα Μια εταιρεία παράγει σούπες και τις διαθέτει στην αγορά σε κυλινδρικά κουτάκια που να 3 χωράνε 500cm. Να βρείτε την ακτίνα της βάσης του κυλίνδρου ώστε να χρησιμοποιηθεί το ελάχιστο υλικό κατασκευής των κουτιών. 29

30 Σημείωμα Αναφοράς Copyright, Λουκάς Βλάχος.. Έκδοση: 1.0. Θεσσαλονίκη Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:

31 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. [1]

32 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος ενότητας Επεξεργασία: Νικόλαος Τρυφωνίδης Θεσσαλονίκη, 30/03/2015

33 ΣΗΜΕΙΏΜΑΤΑ

34 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.