Μέτρηση αποδοτικότητας σχολικών μονάδων με την μέθοδο της Περιβάλλουσας Ανάλυσης Δεδομένων

Transcript

1 ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Μέτρηση αποδοτικότητας σχολικών μονάδων με την μέθοδο της Περιβάλλουσας Ανάλυσης Δεδομένων Ελισσάβετ Χαραλαμπίδη Επιβλέπων: Ιωάννης Γιαννίκος Καθηγητής Πανεπιστημίου Πατρών Πάτρα, Σεπτέμβριος 2016

2 2

3 ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Μέτρηση αποδοτικότητας σχολικών μονάδων με την μέθοδο της Περιβάλλουσας Ανάλυσης Δεδομένων Ελισσάβετ Χαραλαμπίδη Επιβλέπων: Ιωάννης Γιαννίκος Καθηγητής Πανεπιστημίου Πατρών Εγκρίθηκε από την τριμελή εξεταστική επιτροπή την 27η Σεπτεμβρίου 2016 Ι. Γιαννίκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών Ν. Τσάντας Καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Πατρών Ι. Δημητρίου Λέκτορας Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Πατρών Πάτρα, Σεπτέμβριος

4 Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Ελισσάβετ Χαραλαμπίδη, [2016] - Με την επιφύλαξη παντός δικαιώματος 4

5 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Τα τελευταία χρόνια η μέτρηση της απόδοσης των επιχειρήσεων και οργανισμών αποτελεί σημαντικό πρόβλημα προς επίλυση. Στον τομέα της εκπαίδευσης ένα αποδοτικό εκπαιδευτικό σύστημα είναι κεντρικής σημασίας για την ευημερία μιας χώρας. Η παρούσα εργασία έχει ως σκοπό την έρευνα και την σύγκριση της αποδοτικότητας των δημόσιων Γενικών Λυκείων του Δήμου Πατρέων κατά το σχολικό έτος , με την χρήση της μεθόδου της Περιβάλλουσας Ανάλυσης Δεδομένων. Το μοντέλο που εφαρμόστηκε στα δεδομένα των Γενικών Λυκείων, στηρίχθηκε σε μεταβλητές αποδόσεις κλίμακας με προσανατολισμό στις εκροές, μοντέλο το οποίο είναι το πλέον κατάλληλο για να αποδώσει την εκπαιδευτική διαδικασία. Η επίλυση της μεθόδου της Περιβάλλουσας Ανάλυσης Δεδομένων για το μοντέλο αυτό είχε ως στόχο τη μέτρηση της σχετικής αποδοτικότητας για κάθε μονάδα του συνόλου, τον καθορισμό ενός υποσυνόλου ομότιμων μονάδων για κάθε μη αποδοτική μονάδα και τον καθορισμό ενός συνόλου στόχων. Επιπρόσθετα, η ενσωμάτωση περιορισμών στα βάρη, βοήθησε ώστε τα αποτελέσματα από την αξιολόγηση να γίνουν πιο ρεαλιστικά. ΛΕΞΕΙΣ ΚΛΕΙΔΙΑ Σχολική αποδοτικότητα, Περιβάλλουσα Ανάλυση Δεδομένων, μεταβλητές αποδόσεις κλίμακας 5

6 ABSTRACT In the past few years, the measurement of performance of enterprises and organisms constitute important problem to resolution. In the sector of education a efficient educational system is very important for the prosperity of a country. The purpose of the present work is the research and the comparison of efficiency of selected secondary public schools from the Municipality of Patras, Greece, during the school year , using the method of Data Envelopment Analysis. The model that was applied in the data of public schools is based in variable return to scale with output orientation, model which is best suited to provide the educational process. The solution to the Data Envelopment Analysis, provided a relative efficiency measure for each unit in the set, determined of a subset of peer units for each inefficient unit, and a set of targets. In addition, the incorporation of weight restrictions in model helped in order that the results from the evaluation to be more realistic. KEY WORDS School efficiency, Data Envelopment Analysis, Variable return to scale 6

7 Αφιερώνεται στον σύζυγό μου Γρηγόρη και στα παιδιά μου Ευρυβιάδη και Μαρία. 7

8 Ευχαριστίες Για την εκπόνηση της παρούσας διπλωματικής εργασίας, θέλω να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα καθηγητή μου και πρόεδρο του τμήματος Διοίκησης Επιχειρήσεων του Πανεπιστημίου Πατρών κ. Ιωάννη Γιαννίκο, για την πολύτιμη βοήθειά του και τις άμεσες και άρτιες κατευθύνσεις και υποδείξεις του στην ολοκλήρωση της ερευνητικής προσπάθειας. Επίσης, τον καθηγητή του τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Πατρών κ. Νικόλαο Τσάντα για τη συνεχή ενθάρρυνσή του στην παραγωγή της έρευνας μέσα από σύγχρονες διαδικασίες της ανάλυσης δεδομένων. Τέλος, θέλω να ευχαριστήσω τον λέκτορα κ. Ιωάννη Δημητρίου του τμήματος Μαθηματικών και τους καθηγητές του τμήματος Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής του Πανεπιστημίου Πατρών που συνεργάστηκα κατά την διάρκεια σπουδών μου στο μεταπτυχιακό πρόγραμμα. Πάτρα, 27 Σεπτεμβρίου

9 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ Σελίδα ΠΕΡΙΛΗΨΗ... 5 ABSTRACT... 6 ΔΟΜΗ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Εισαγωγή Η εκπαίδευση στην Ελλάδα Παραγωγικότητα Αποδοτικότητα-Αποτελεσματικότητα Μέθοδοι μέτρησης απόδοσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΥΣΑ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ - Data Envelopment Analysis Μονάδες Λήψης Απόφασης (Decision Making Units DMU) Εισροές-Εκροές Επιλογή εισροών -εκροών και πλήθους μονάδων λήψης απόφασης Πεδίο Εφαρμογών Πλεονεκτήματα της ΠΑΔ Μειονεκτήματα της ΠΑΔ Μέτρηση αποδοτικότητας Τεχνική αποδοτικότητα (ΤΕ) Σύνορο αποδοτικότητας Προσανατολισμός μοντέλων Προσανατολισμός εισροών Προσανατολισμός εκροών Αποδοτικότητα κατά Pareto ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Μαθηματικά μοντέλα της ΠΑΔ Μοντέλο CCR (Charnes, Cooper, Rhodes) Το δυικό μοντέλο CCR Μοντέλο ΒCC (Banker, Charnes και Cooper) To Δυικό μοντέλο BCC

10 3.5 Διαφορές μοντέλου CCR και BCC Slacks ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Επιλογή των Μονάδων Λήψης Απόφασης Επιλογή των Εισροών - Εκροών Συλλογή δεδομένων Μοντέλα Εισροών-Εκροών ΚΕΦΑΛΑΙΟ Εφαρμογή της Περιβάλλουσας Ανάλυσης Δεδομένων Λογισμικό AIMMS Μοντέλο 1 (First Experiment) Μοντέλο 2 (Second Experiment) Μοντέλο 3 (Third Experiment) Μοντέλο 4 (Fourth Experiment) Συγκεντρωτικά αποτελέσματα Επιλογή κατάλληλου μοντέλου για μελέτη Εφαρμογή των μοντέλων CCR και BCC στα δεδομένα Μοντέλο BCC με προσανατολισμό στις εκροές Σύνολο Αναφοράς (Reference Set) Χαλαρώσεις (Slacks) Οριοθέτηση στόχων Περιορισμοί στους Συντελεστές Βαρύτητας (Weights Restrictions) Εφαρμογή επιπλέον περιορισμών στο μοντέλο Αποτελέσματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 10

11 ΔΟΜΗ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Στο πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζεται μια εισαγωγή για τα χαρακτηριστικά του αποδοτικού ή αποτελεσματικού σχολείου και το Ελληνικό εκπαιδευτικό σύστημα. Επίσης αναλύονται οι έννοιες της αποτελεσματικότητας, αποδοτικότητας και παραγωγικότητας. Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζεται το θεωρητικό υπόβαθρο της μεθοδολογίας της Περιβάλλουσας Ανάλυσης Δεδομένων, περιγράφονται οι γενικές αρχές της μεθόδου και παραθέτονται τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματά της. Γίνεται επίσης αναφορά στον δείκτη αποδοτικότητας και στην έννοια της αποδοτικότητας κατά Pareto. Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζονται τα βασικά μαθηματικά μοντέλα της ΠΑΔ, το μοντέλο CCR και BCC, καθώς και οι διαφορές των δύο μοντέλων. Στο τέταρτο κεφάλαιο γίνεται η προεργασία για την εφαρμογή του μοντέλου της ΠΑΔ στα 21 Γενικά Λύκεια που επιλέχθηκαν από τον Δήμο Πατρέων, για το σχολικό έτος Η προεργασία περιλαμβάνει την συλλογή των στοιχείων από τα σχολεία και την κατάλληλη επιλογή των εισροών και εκροών που θα χρησιμοποιηθούν. Στο πέμπτο κεφάλαιο υλοποιείται η εφαρμογή του κλασσικού μοντέλου της ΠΑΔ με την βοήθεια του λογισμικού AIMMS. Τέσσερις περιπτώσεις με διαφορετικό αριθμό εισροών-εκροών αξιολογούνται και εξάγονται συμπεράσματα για την επιλογή του κατάλληλου αριθμού εισροών-εκροών του μοντέλου που τελικά θα χρησιμοποιηθεί. Στην συνέχεια γίνεται η εφαρμογή του μοντέλου CCR και του BCC στα δεδομένα έτσι ώστε να γίνει η σύγκριση των αποτελεσμάτων και των δύο μοντέλων. Στο τελικό μοντέλο που επιλέγεται να χρησιμοποιηθεί στην έρευνα γίνεται ο καθορισμός των μονάδων αναφοράς, του συνόλου των στόχων και εισάγονται περιορισμοί στα βάρη έτσι ώστε η μέθοδος να γίνει πιο ευέλικτη και να διεξαχθούν πιο αντικειμενικά αποτελέσματα. 11

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Εισαγωγή Τα τελευταία χρόνια η μέτρηση της απόδοσης έχει γίνει βασικός στόχος χάραξης πολιτικής στο εσωτερικό των περισσότερων δημόσιων και ιδιωτικών υπηρεσιών. Ιδιαίτερα η μέτρηση και η σύγκριση της σχετικής αποδοτικότητας και αποτελεσματικότητας των οργανισμών ανοίγει τον δρόμο στην διοίκηση, έτσι ώστε να αποκτήσει ισχυρές γνώσεις για καλύτερη απόδοση και βελτίωση της απόδοσης εκεί που είναι δυνατόν να υπάρξει. Η εργασία αυτή έχει σαν σκοπό την μέτρηση της απόδοσης στον χώρο της εκπαίδευσης. Το υπουργείο Παιδείας και η διοίκηση των σχολικών μονάδων πρέπει να προσαρμόσουν νέες μεθόδους έτσι ώστε να χρησιμοποιούν τους πόρους που έχουν στην διάθεσή τους προκειμένου να επιτευχθεί υψηλή απόδοση. Η απόδοση μπορεί να οριστεί ως ο κατάλληλος συνδυασμός αποδοτικότητας και αποτελεσματικότητας. Το ζήτημα του αποδοτικού ή αποτελεσματικού σχολείου είναι αρκετά πολύπλοκο και υπάρχουν πολλές διαφορετικές απόψεις για τον ορισμό του. Όλα τα εκπαιδευτικά συστήματα πρέπει να είναι αποτελεσματικά και αποδοτικά. Έρευνες που έχουν γίνει σχετικά με την αποδοτικότητα ή την αποτελεσματικότητα μιας σχολικής μονάδας κυρίως σε διεθνές επίπεδο καταδεικνύουν πλήθος παραμέτρων που πρέπει να αξιολογούνται προκειμένου ένα σχολείο να χαρακτηρίζεται ως "αποδοτικό" ή "αποτελεσματικό". Μερικοί είναι η διεύθυνση του σχολείου, ο χρόνος που αφιερώνεται στη διδασκαλία, ο αριθμός των εκπαιδευτικών, η αξιολόγηση της επίδοσης του μαθητικού πληθυσμού, η ουσιαστική συμμετοχή των γονέων στην σχολική πραγματικότητα κ.α Ο ορισμός του "καλού" σχολείου διαφέρει από άτομο σε άτομο. Θα μπορούσε κανείς να πει ότι ένα "καλό" σχολείο είναι αυτό που ωθεί τους μαθητές του να αποκτήσουν γνώσεις, κριτική ικανότητα και φιλελεύθερο πνεύμα. Για πολλούς όμως το "καλό" σχολείο νοείται αυτό όπου οι μαθητές τους καταφέρνουν καλές επιδόσεις και μια θέση στις σχολές της Τριτοβάθμιας Εκπαίδευσης. Σήμερα, η έρευνα δεν μένει στο ερώτημα "αν το σχολείο μπορεί να επηρεάζει την σχολική επιτυχία", αλλά έχει στραφεί σε νέα φάση. Ερευνά την βελτίωση του σχολείου και την εκπαιδευτική μεταρρύθμιση έτσι ώστε το σχολείο να ακολουθεί τις 12

13 κοινωνικές εξελίξεις. Άρα το πρόβλημα τώρα εστιάζεται στις στρατηγικές που χρειάζονται έτσι ώστε τα "μη αποτελεσματικά" ή "μη αποδοτικά" σχολεία να αναβαθμιστούν και τα "αποτελεσματικά" ή "αποδοτικά" σχολεία να βελτιωθούν περισσότερο. (Παμουκτσόγλου, Α., 2008) Στην διαδικασία της αξιολόγησης της απόδοσης των δημόσιων σχολείων που μας αφορά, είναι βασικό να γνωρίζουμε σε ποιο βαθμό τα σχολεία κατάφεραν τελικά να επιτύχουν τους στόχους και τις προσδοκίες τους. Το Ελληνικό εκπαιδευτικό σύστημα δεν είχε ποτέ ένα ολοκληρωμένο σχέδιο που να συγκρίνει τα σχολεία μεταξύ τους με ένα αντικειμενικό και επιστημονικό τρόπο. Στο τέλος κάθε σχολικής χρονιάς γνωστοποιούνται στο ευρύ κοινό τα αποτελέσματα των Πανελλαδικών Εξετάσεων των υποψηφίων για την εισαγωγή στην Τριτοβάθμιας Εκπαίδευση. Αυτά τα αποτελέσματα μαζί με άλλους παράγοντες όπως η οικονομική και κοινωνική προέλευση των μαθητών, η γεωγραφική θέση του σχολείου, χρησιμοποιούνται συνήθως για να κατατάξουν άτυπα τα σχολεία σε "καλά" και "κακά". 1.2 Η εκπαίδευση στην Ελλάδα Η εκπαίδευση στην Ελλάδα είναι υποχρεωτική για όλα τα παιδιά ηλικίας από 6-15 ετών. Το Ελληνικό εκπαιδευτικό σύστημα είναι πολύ συγκεντρωτικό (ΟΟΣΑ, 2015) τόσο όσο αφορά την οργάνωση και διοίκηση όσο και στο παρεχόμενο πρόγραμμα σπουδών. Για παράδειγμα υπάρχει ένα εθνικό πρόγραμμα σπουδών, ενιαία ωρολόγια προγράμματα και εγκεκριμένα βιβλία τα οποία είναι υποχρεωτικά τόσο για τα δημόσια όσο και για τα ιδιωτικά σχολεία. Η δημόσια εκπαίδευση στην Ελλάδα δεν απαιτεί δίδακτρα και το κόστος παροχής της καλύπτεται από το κράτος. Όλες οι σχολές (δημόσιες και ιδιωτικές) επιβλέπονται από το Υπουργείο Παιδείας, Έρευνας και Θρησκευμάτων το οποίο ασκεί συγκεντρωτικό έλεγχο διαμορφώνοντας το αναλυτικό πρόγραμμα σπουδών. Επίσης είναι υπεύθυνο για τον διορισμό των εκπαιδευτικών καθώς και για την χρηματοδότηση του εκάστοτε σχολείου. 1.3 Παραγωγικότητα Η παραγωγικότητα (productivity) είναι η αναλογία μερικών (ή όλων) των εκτιμημένων εκροών που ένας οργανισμός παράγει προς μερικές (ή όλες) τις εισροές 13

14 που χρησιμοποιούνται στην παραγωγική διαδικασία. O λόγος εκροές/εισροές αποτελεί έναν δείκτη της τρέχουσας απόδοσης. Oι επιχειρήσεις συχνά χρησιμοποιούν ένα μερικό δείκτη όταν γίνεται συζήτηση για παραγωγικότητα. Δείκτες όπως παραγωγή ανά εργαζόμενο ή πελάτες ανά εργαζόμενο χρησιμοποιούνται συχνά για να γίνουν συγκρίσεις κατά την πάροδο του χρόνου ή μεταξύ διαφορετικών επιχειρήσεων. Aν και η παραγωγή ανά εργαζόμενο είναι ένα μέτρο παραγωγικότητας εργασίας, μεμονωμένα αυτός ο δείκτης είναι μη κατατοπιστικός. Όταν πρέπει να χρησιμοποιηθούν πολλές εισροές και να παραχθούν πολλαπλές εκροές αντιμετωπίζουμε το πρόβλημα πώς να συγκεντρώσουμε τα στοιχεία και τι περίπου βάρος θα δώσουμε στην ποσότητα των εκροών και εισροών για να κατασκευάσουμε ένα συνολικό δείκτη. Οι οικονομολόγοι χρησιμοποιούν τον όρο "Ολική παραγωγικότητα" για να καθορίσουν τον λόγο εκροές δια εισροές. Berg, S. (2010) 1.4 Αποδοτικότητα-Αποτελεσματικότητα Η ανάγκη για αποδοτική χρήση των πόρων όλων των οργανισμών και συγκεκριμένα των σχολικών μονάδων είναι επιτακτική, ειδικά όταν η χώρα βρίσκεται σε οικονομική ύφεση. Παρά το γεγονός ότι οι πόροι για την εκπαίδευση είναι γενικά λιγοστοί θα πρέπει να διατίθενται με τέτοιο τρόπο ώστε να επιτυγχάνονται οι στόχοι που έχει χαράξει η πολιτική ηγεσία με την μέγιστη δυνατή αποδοτικότητα. (Χαλκιώτης, Δ., 2007). Κατά την διάρκεια των τελευταίων δεκαετιών διάφορες μέθοδοι χρησιμοποιούνται όλο και περισσότερο ως μέθοδοι μέτρησης απόδοσης σε διάφορους τομείς όπως και στον τομέα της εκπαίδευσης. Η απόδοση μπορεί να οριστεί ως ο συνδυασμός της αποδοτικότητας και της αποτελεσματικότητας. Ο όρος αποτελεσματικότητα συχνά αντιπαραβάλλεται με αυτόν της αποδοτικότητας. Αποτελεσματικότητα (effectiveness) είναι ο βαθμός στον οποίο η επιχείρηση πετυχαίνει τους στόχους της, δηλαδή το να κάνει σωστή δουλειά (do the right job). Αποδοτικότητα (efficiency) είναι η ικανότητα απόδοσης ενός προσδοκώμενου αποτελέσματος. Η ικανότητα να παράγει η επιχείρηση ή οργανισμός εκροές ή υπηρεσίες με το ελάχιστο επίπεδο πόρων που απαιτείται, δηλαδή να κάνει τη δουλειά σωστά. (to do the job right). (Sherman, and Zhu, J,. 2006) 14

15 H αποδοτικότητα αναφέρεται γενικά στην χρήση του ελάχιστου αριθμού εισροών για την παραγωγή ενός δεδομένου αριθμού εκροών. Αποδοτική εκπαίδευση ως εκ τούτου σημαίνει ότι το σύστημα εκπαίδευσης παράγει ένα δεδομένο επίπεδο εκπαίδευσης ή την ποσότητα που πληροί ένα αποδεκτό επίπεδο ποιότητας, χρησιμοποιώντας τον ελάχιστο δυνατό συνδυασμό πόρων. Εντός της εκπαιδευτικής μονάδας οι εκροές όπως προαναφέραμε μετρούνται σε σχέση με τους εκπαιδευτικούς στόχους. Οι στόχοι αυτοί στέλνονται από το Υπουργείο Παιδείας, Έρευνας και Θρησκευμάτων και υλοποιούνται από το σχολείο. Η αποτελεσματικότητα χρησιμοποιείται για την αξιολόγηση στον τομέα της εκπαίδευσης και μπορεί να επηρεαστεί από την αποδοτικότητα ή μπορεί να επηρεάσει την αποδοτικότητα και να έχει αντίκτυπο στον τομέα της εκπαίδευσης. Η αποτελεσματικότητα αναφέρεται στο αν χρησιμοποιούνται οι αναγκαίες είσοδοι έτσι ώστε να παραχθούν τα καλύτερα δυνατά αποτελέσματα. Ένα σχολείο μπορεί να είναι αποδοτικό αλλά να μην είναι αποτελεσματικό ή μπορεί επίσης να είναι αποτελεσματικό αλλά να μην είναι αποδοτικό. Ο στόχος είναι να συνδυαστούν και τα δύο. Α Αποδοτικότητα Π Ο Δ Αποτελεσματικότητα Ο Σ Η Σχήμα 1. Στοιχεία απόδοσης Στην βιβλιογραφία, οι όροι αποδοτικότητα και παραγωγικότητα συχνά χρησιμοποιούνται εναλλακτικά. Ενώ η παραγωγικότητα υποδηλώνει γενικά μια ευρύτερη έννοια, και οι δύο όροι θεωρούνται συστατικά της απόδοσης. Παρόλο που οι όροι αυτοί χρησιμοποιούνται εναλλακτικά δεν είναι ακριβώς το ίδιο πράγμα. Η αποδοτικότητα ενσωματώνει την έννοια των συνόρων αποδοτικότητας της παραγωγής, τα οποία δείχνουν τα εφικτά επίπεδα παραγωγής δεδομένης της 15

16 κλίμακας λειτουργίας. Κατά συνέπεια η έννοια της παραγωγικότητας μπορεί να αγκαλιάσει αλλά δεν περιορίζεται στην έννοια της αποδοτικότητας. 1.5 Μέθοδοι μέτρησης απόδοσης Η συγκριτική ανάλυση της απόδοσης μιας επιχείρησης ή ενός οργανισμού μπορεί να γίνει στα πλαίσια τόσο παραμετρικών όσο και μη-παραμετρικών μεθόδων. Μερικές από αυτές είναι: Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων (Least-Squares Regression) Ανάλυση στοχαστικού συνόρου (Stochastic Frontier Analysis) Δείκτης Ολικής Παραγωγικότητας (Total Factor Productivity) Περιβάλλουσα Ανάλυση δεδομένων (Data Envelopment Analysis) Οι δύο πρώτες μέθοδοι είναι παραμετρικές μέθοδοι με την έννοια ότι στηρίζονται στην οικοδόμηση και τη χρήση θεωρητικών συναρτήσεων παραγωγής, η καταλληλότητα των οποίων ελέγχεται σε σύνολα πραγματικών αριθμών. Ο Farrell (1957) εισήγαγε μια εναλλακτική προσέγγιση στην οποία η μέτρηση της αποδοτικότητας γίνεται με εμπειρικά δεδομένα, χωρίς εκ των προτέρων υιοθέτηση συγκεκριμένων συναρτήσεων παραγωγής. Οι μέθοδοι που ακολουθούν αυτή την προσέγγιση χαρακτηρίζονται ως μη παραμετρικές. Η μέθοδος της Περιβάλλουσας Ανάλυσης Δεδομένων (Data Envelopment Analysis-DEA) με την οποία θα ασχοληθούμε στο επόμενο κεφάλαιο, είναι μια ιδιαίτερα δημοφιλής μη παραμετρική μέθοδος αποτίμησης της αποδοτικότητας που στηρίζεται στο υπόδειγμα του γραμμικού προγραμματισμού και θα χρησιμοποιηθεί για την μέτρηση της αποδοτικότητας ενός συνόλου σχολικών μονάδων οι οποίες αποτελούν αντικείμενο της έρευνας που θα ακολουθήσει. 16

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΥΣΑ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ - Data Envelopment Analysis Η Περιβάλλουσα Ανάλυση Δεδομένων (ΠΑΔ) είναι μια πολύ ισχυρή μέθοδος συγκριτικής αξιολόγησης που βασίζεται στην τεχνική του γραμμικού προγραμματισμού. Αναπτύχθηκε αρχικά από τους Chames, Cooper and Rhodes (1978), για την αξιολόγηση μη κερδοσκοπικών οργανισμών του δημόσιου τομέα και από τότε έχει αποδειχθεί ότι η μέθοδος αυτή εντοπίζει τρόπους για την βελτίωση των υπηρεσιών των οργανισμών αυτών οι οποίοι δεν είναι ορατοί με άλλες τεχνικές (Sherman, D Zhu, J., 2006). Η μέθοδος της Περιβάλλουσας Ανάλυσης Δεδομένων μετρά την αποδοτικότητα ενός ομοιογενούς συνόλου μονάδων λήψης απόφασης που έχουν πολλαπλές εισροές και πολλαπλές εκροές. (Cooper, Seiford, Zhu,2011). 2.1 Μονάδες Λήψης Απόφασης (Decision Making Units DMU) Μια μονάδα αξιολόγησης είναι η οντότητα της οποίας επιθυμούμε να μετρήσουμε την αποδοτικότητα σε σύγκριση με άλλες οντότητες του ίδιου είδους. Οι μονάδες αυτές ονομάζονται Μονάδες Λήψης Απόφασης, όρος ο οποίος δόθηκε από το Charnes (1978). Οι ΜΛΑ πρέπει να είναι ομοιογενείς οντότητες με την έννοια ότι αυτές χρησιμοποιούν τους ίδιους πόρους για να παράγουν τις ίδιες εκροές αν και σε διαφορετικά ποσά. Για παράδειγμα, τα υποκαταστήματα της τράπεζας είναι ομοιογενείς οντότητες, διότι όλοι εκτελούν τον ίδιο στόχο αλλά φυσικά διαφέρουν στη σχέση και στα απόλυτα επίπεδα δραστηριοτήτων και πόρων. (Thanassoulis, E.,2001) O χαρακτηριστικός των μονάδων αξιολόγησης ως "μονάδων απόφασης" υποδηλώνει ότι αυτές έχουν τον έλεγχο της διαδικασίας η οποία υιοθετείται για να μετατραπούν 17

18 οι είσοδοι σε έξοδοι. Στην ΠΑΔ οι είσοδοι αναφέρονται ως "εισροές" και οι έξοδοι ως "εκροές". Μια ΜΛΑ μετασχηματίζει εισροές σε εκροές και η διαδικασία αυτή απεικονίζεται στο παρακάτω σχήμα: Μετασχηματισμός από Εισροές Εκροές την Μονάδα Λήψης Απόφασης Σχήμα 2.1 Μια ΜΛΑ μετασχηματίζει εισροές σε εκροές Η κεντρική ιδέα είναι ότι επιθυμούμε να αξιολογήσουμε πόσο αποδοτική είναι κάθε MΛΑ που χειρίζεται την διαδικασία μετασχηματισμού, όταν συγκρίνεται με άλλες ΜΛΑ που είναι δεσμευμένες στην ίδια διαδικασία. Για να το κάνουμε αυτό πρέπει να διαλέξουμε εκείνες τις εκροές τις οποίες μια ΜΛΑ μπορεί να επιτύχει, λαμβάνοντας υπόψη τους πόρους που αυτή χρησιμοποιεί (Thanassoulis, E., 2001). Οι ΜΛΑ θεωρούνται πάντα ομοειδείς ομάδες που λειτουργούν σε ένα κοινό πλαίσιοσύστημα. H Περιβάλλουσα Ανάλυση Δεδομένων (ΠΑΔ) λειτουργεί ως εξής: Συγκρίνει όλες τις υπό εξέταση λειτουργικές μονάδες εξετάζοντας όλους τους πόρους που χρησιμοποιούνται και τις υπηρεσίες που παρέχονται και προσδιορίζει τις πιο αποδοτικές μονάδες αλλά και τις μη αποδοτικές στις οποίες είναι δυνατόν να επιτευχθεί πραγματική βελτίωση στην αποδοτικότητα. Αυτό επιτυγχάνεται με τη σύγκριση συνδυασμού του όγκου των παρεχόμενων υπηρεσιών και των πόρων που χρησιμοποιούνται από κάθε μονάδα σε σχέση με εκείνα που χρησιμοποιούνται από τις άλλες μονάδες. Υπολογίζει τον τρόπο και την πρακτική με την οποία μπορούν οι μη αποδοτικές λειτουργικές μονάδες ενός οργανισμού να καταστούν αποδοτικές. Εντοπίζει τις συγκεκριμένες αλλαγές στις ανεπαρκείς λειτουργικές μονάδες τις οποίες η Διοίκηση μπορεί να εφαρμόσει για να επιτύχει τη μέγιστη δυνατή εξοικονόμηση. Επιπλέον εκτιμά το ποσό πρόσθετης υπηρεσίας που μια 18

19 ανεπαρκής μονάδα μπορεί να παρέχει χωρίς την ανάγκη χρήσης πρόσθετων πόρων. Η Διοίκηση λαμβάνει τις πληροφορίες για την απόδοση των λειτουργικών μονάδων και μπορεί να τις χρησιμοποιήσει για να βοηθήσει στην μεταβολή των συντελεστών ώστε να βελτιωθεί η παραγωγικότητα των μη ανεπαρκών μονάδων (Sherman, D Zhu, J., 2006). 2.2 Εισροές-Εκροές Εισροές είναι οι πόροι που χρησιμοποιούνται για να παραχθούν οι εκροές όπως πρώτες ύλες, εργατικό δυναμικό, κεφάλαιο. Εκροές είναι τα προϊόντα ή οι υπηρεσίες που παράγονται. Η εκπαιδευτική διαδικασία έχει «εισροές» (inputs), οι οποίες, μέσα από µια διαδικασία (process) μετατρέπονται σε «εκροές» - αποτελέσματα (outputs). Εισροές Σχολική μονάδα Εκροές Πληροφορίες, ενέργεια, εργατικό δυναμικό κ.α Σχήμα 2.2 Εισροές-εκροές μιας σχολικής μονάδας Μόρφωση, επαγγελματική κατάρτιση των μαθητών, επιδόσεις μαθητών κ.α Η αποδοτικότητα μιας παραγωγικής διαδικασίας συνήθως αναφέρεται στη μετατροπή των εισροών σε εκροές µε τον καλύτερο δυνατό τρόπο, στη μέγιστη δυνατή ποσότητα, χρησιμοποιώντας όσο το δυνατό μικρότερες ποσότητες εισροών και µε το λιγότερο κόστος. (Eliophotou - Menon, M., 2016) Συνήθως η ΠΑΔ προσπαθεί να μεγιστοποιήσει τις εκροές και να ελαχιστοποιήσει τις εισροές. Μια μονάδα λήψης απόφασης είναι 100% αποδοτική αν καμία από τις εκροές δεν μπορεί να αυξηθεί χωρίς είτε να αυξηθεί άλλη εισροή (ή εισροές) είτε να μειωθεί 19

20 άλλη εκροή (ή εκροές). Μια σχετική αποδοτικότητα 100% επιτυγχάνεται από μια μονάδα λήψης απόφασης όταν οποιαδήποτε σύγκριση με άλλες σχετικές μονάδες λήψης απόφασης δεν παρέχει στοιχεία μη αποδοτικότητας στην χρήση οποιασδήποτε εισροής ή εκροής Επιλογή εισροών -εκροών και πλήθους μονάδων λήψης απόφασης Η επιλογή των εισροών και εκροών αφορά την προετοιμασία των δεδομένων που θα χρησιμοποιηθούν σε κάθε αξιολόγηση. Η επιλογή αυτή είναι σημαντική διότι παίζει καθοριστικό ρόλο στην διάκριση μεταξύ των αποδοτικών και των μη αποδοτικών μονάδων. Ωστόσο, υπάρχουν μερικοί κανόνες για την επιλογή του αριθμού των εισροών/εκροών και την σχέση τους με το πλήθος των ΜΛΑ. Στην έκδοση του Sarkis J., (2002), οι Boussofiane et al. (1991) ορίζουν ότι για να έχουμε μια καλή διάκριση μεταξύ των αποδοτικών και μη αποδοτικών μονάδων, το κατώτερο όριο για τον αριθμό των ΜΛΑ θα πρέπει να είναι το γινόμενο του αριθμού των εισροών και των εκροών. Για παράδειγμα, αν έχουμε 3 εισροές και 4 εκροές, το ελάχιστο πλήθος των ΜΛΑ πρέπει να είναι 12. Οι Golany και Roll (1989), καθιέρωσαν τον κανόνα που ορίζει ότι ο αριθμός των μονάδων πρέπει να είναι τουλάχιστον διπλάσιος από το άθροισμα των εισροών και των εκροών μαζί. Για παράδειγμα, στο μοντέλο 3 εισροών και 4 εκροών συνιστούν τη χρήση 14 ΜΛΑ. Ο Bowlin (1998), αναφέρει την ανάγκη ο αριθμός των ΜΛΑ να είναι τρεις φορές το άθροισμα των εισροών και εκροών δηλαδή προτείνει να χρησιμοποιηθούν στο παράδειγμά μας 21 ΜΛΑ. Οι Dyson et al. (2001) προτείνουν ένα σύνολο δύο φορές το γινόμενο του αριθμού των μεταβλητών εισροών και εκροών, προτείνοντας έτσι να χρησιμοποιηθούν 24 ΜΛΑ. Σε κάθε περίπτωση, οι αριθμοί αυτοί θα πρέπει να χρησιμοποιηθούν ως ελάχιστα για τα βασικά μοντέλα της παραγωγικότητας. (Joseph Sarkis, 2007) O Thanassoulis (2001) αναφέρει στο βιβλίο του ότι: 20

21 Οι μεταβλητές των εισροών-εκροών θα πρέπει να επιλέγονται σύμφωνα με τον τύπο της αποδοτικότητας που αξιολογείται. Οι μεταβλητές των εισροών-εκροών θα πρέπει να είναι όσο το δυνατόν λιγότερες. Οι περισσότερες ΜΛΑ αξιολογούνται από αυτές τις εισροές-εκροές οι οποίες μπορούν να γίνουν ανεκτές χωρίς απώλεια της ισχύος της αποδοτικότητας. Όπως δηλώνεται από τους Friedman and Sinuany-Stern (1998) και Cooper et al. (2007) στην εργασία του Khezrimotlagh D. (2014), ο αριθμός των ΜΛΑ πρέπει να είναι μεγαλύτερος από τρεις φορές το άθροισμα των εισροών και εκροών, δηλαδή να πληρείται η σχέση: όπου: : αριθμός εισροών : αριθμός εκροών : πλήθος ΜΛΑ 2.3 Πεδίο Εφαρμογών H μέθοδος αυτή μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε πολλούς οργανισμούς του δημόσιου ή του ιδιωτικού τομέα. Συχνά εφαρμόζεται στον τομέα της ηλεκτρικής ενέργειας. Για παράδειγμα μια κρατική αρχή μπορεί να επιλέξει την μέθοδο της Περιβάλλουσας Ανάλυσης Δεδομένων για να κατατάξει τις μονάδες διανομής και τους σταθμούς παραγωγής μιας τέτοιας επιχείρησης με βάση την συγκριτική αποδοτικότητά τους. (Berg, 2010) Η μέθοδος ΠΑΔ χρησιμοποιείται επίσης σε τακτική βάση για την αξιολόγηση της αποδοτικότητας των δημόσιων και μη κερδοσκοπικών οργανισμών όπως νοσοκομεία, σχολεία κ.α (Thanassoulis, 2001). Στον τομέα της εκπαίδευσης, η μέθοδος αρχικά αναπτύχθηκε για να αναλύσει την απόδοση εκπαιδευτικών οργανισμών που συμμετείχαν στο πρόγραμμα "Follow Through" που διεξήχθη την δεκαετία 1960 (Charnes et al, 1978) και μετέπειτα χρησιμοποιήθηκε με αρκετή συχνότητα σε διάφορα εκπαιδευτικά περιβάλλοντα. Στον τομέα της υγείας, η πρώτη εφαρμογή της μεθόδου χρονολογείται το 1983 σε μια εργασία των Nunamaker και Lewin, οι οποίοι μέτρησαν την απόδοση των νοσηλευτικών υπηρεσιών. Από τότε η ΠΑΔ έχει ευρέως χρησιμοποιηθεί για την 21

22 μέτρηση της αποδοτικότητας πολλών νοσοκομείων στις Ηνωμένες Πολιτείες της Αμερικής αλλά και σε όλο τον κόσμο. Γενικά, η μέθοδος ΠΑΔ έχει εφαρμογή στους παρακάτω τομείς: Παροχές Υγείας (Νοσοκομεία, κλινικές) Εκπαιδευτικά Ιδρύματα (Σχολεία - Πανεπιστήμια) Τράπεζες Επιχειρήσεις Μη κερδοσκοπικοί οργανισμοί Αστυνομία Εμπορικά καταστήματα κ.α Φυσικά, μπορεί να εφαρμοστεί και σε πολλούς άλλους τομείς εκεί όπου χρειάζεται να εφαρμοστεί συγκριτική αξιολόγηση. 2.4 Πλεονεκτήματα της ΠΑΔ H προσέγγιση που ενσωματώνεται στην ΠΑΔ είναι χρήσιμη στο χώρο της διοίκησης για τους εξής λόγους (Cooper, Seiford and Tone, 2007): Λαμβάνει υπόψη πολλαπλές εισροές - εκροές. Δεν απαιτεί να έχουμε προκαθορισμένους συντελεστές βαρύτητας που συνδέονται με κάθε εισροή και εκροή, όπως στις συνηθισμένες αριθμητικές προσεγγίσεις δεικτών. Δεν απαιτεί να οριστεί ρητά ένας μαθηματικός τύπος για την συνάρτηση παραγωγής. Οι εισροές και εκροές μπορεί να έχουν διαφορετικές μονάδες μέτρησης, χωρίς να χρειάζεται εκ των προτέρων ανταποδοτική συσχέτιση. Μπορεί να διαχωρίσει τις αποδοτικές και μη αποδοτικές μονάδες και να εντοπίσει για κάθε ΜΛΑ τις περιοχές που χρήζουν βελτίωσης. Μπορεί να εκτιμήσει τις αιτίες της μη αποδοτικότητας και να εξάγει συμπεράσματα για το γενικότερο προφίλ της ΜΛΑ. Ο γραμμικός προγραμματισμός είναι η βασική μεθοδολογία που καθιστά την ΠΑΔ ιδιαίτερα ισχυρή σε σύγκριση με άλλα εναλλακτικά εργαλεία διαχείρισης της παραγωγικότητας. 22

23 2.5 Μειονεκτήματα της ΠΑΔ Τα αποτελέσματα είναι ευαίσθητα στην επιλογή των εισροών και των εκροών (Berg, 2010). Ο αριθμός των αποδοτικών μονάδων που βρίσκονται στο σύνορο αποδοτικότητας τείνει να αυξάνει καθώς αυξάνει το πλήθος των εισροών και των εκροών (Berg, 2010). Είναι μια μη-παραμετρική μέθοδος και γι' αυτό δεν υπάρχουν κατάλληλα στατιστικά τεστ (Berg, 2010). Ο υπολογισμός που γίνεται αφορά τις τιμές της σχετικής αποδοτικότητας και όχι της απόλυτης καθώς γίνεται η σύγκριση των μονάδων μεταξύ τους. Αυτό μπορεί να έχει ως συνέπεια οι αποδοτικές μονάδες στην πραγματικότητα να αποδίδουν μέτρια. Δεν λαμβάνονται υπόψη οι εξωτερικοί παράγοντες που ισχύουν για κάθε μονάδα δηλαδή το εξωτερικό περιβάλλον που ασκεί διαφορετική επίδραση στην αποδοτικότητα της κάθε μονάδας. (Cooper, Seiford, Tone, 2007) 2.6 Μέτρηση αποδοτικότητας O Farrell (1957) προσπάθησε να μετρήσει την απόδοση μιας παραγωγικής μονάδας εφαρμόζοντας ένα μοντέλο μονής εισροής και μονής εκροής. Εφάρμοσε αρχικά το συγκεκριμένο μοντέλο για να μελετήσει και εκτιμήσει την αποδοτικότητα της αμερικάνικης γεωργίας σε σχέση με άλλες χώρες. Έτσι εξέφρασε την αποδοτικότητα των παραγωγικών μονάδων με τον παρακάτω δείκτη: ό Αυτός ο λόγος αποτελεί το πιο συχνό μέτρο αποδοτικότητας για την αξιολόγηση των οργανισμών αυτών. Ο Farrell διατύπωσε μια θεωρία για την εκτίμηση της αποδοτικότητας που αγνοεί την εσωτερική διαδικασία παραγωγής και βασίζεται σε εμπειρικές μετρήσεις των εισροών- εκροών που είναι σχεδόν πάντα μετρήσιμες. Για να αυξηθεί η αποδοτικότητα από τον παραπάνω λόγο, θα πρέπει είτε να αυξηθούν οι εκροές, είτε να μειωθούν οι εισροές. Αν αυξηθούν οι εισροές και οι εκροές μαζί, το ποσοστό αύξησης των εκροών θα πρέπει να είναι μεγαλύτερο από το ποσοστό αύξησης των εισροών. Αντιθέτως, αν μειωθούν οι εισροές και οι εκροές μαζί, τότε το ποσοστό μείωσης των εκροών θα πρέπει να είναι μικρότερο από το ποσοστό αύξησης 23

24 των εισροών. Ένας άλλος τρόπος για να επιτευχθεί υψηλότερη αποδοτικότητα είναι να εισαχθούν τεχνολογικές αλλαγές ή θα σχηματιστούν τέτοιοι μηχανισμοί διαχείρισης οι οποίοι θα μειώσουν τις εισροές ή θα αυξήσουν την πιθανότητα να παραχθούν περισσότερες εκροές.( Ozcan, 2009) Τα μοντέλα ΠΑΔ μπορούν να παράγουν νέες εναλλακτικές για να βελτιώσουν την απόδοση συγκρινόμενα με άλλες τεχνικές. Ο γραμμικός προγραμματισμός είναι η μεθοδολογία η οποία βασίζεται σε πλατφόρμα βελτιστοποίησης. Έτσι, η διαφορά της ΠΑΔ από τις άλλες μεθόδους είναι ότι προσδιορίζει τους βέλτιστους τρόπους της απόδοσης παρά τους μέσους όρους. O παραπάνω δείκτης αποδοτικότητας είναι συχνά ανεπαρκής ειδικά σε περιπτώσεις όπου υπάρχουν πολλαπλές εισροές και εκροές που συνδέονται με διαφορετικούς πόρους, διαφορετικές δραστηριότητες και περιβαλλοντικούς παράγοντες. H θεωρία αυτή αναπτύχθηκε εκτενέστερα από τους A. Charnes, W.W. Cooper, E.Rhodes το Το βιβλίο τους "Measuring the efficiency of decision making units", χρησιμοποιεί γραμμικό προγραμματισμό για να εκτιμήσει εμπειρικά σύνορα αποδοτικότητας για πρώτη φορά. Οι κύριες εξελίξεις της ΠΑΔ έγιναν στις δεκαετίες 1970 και τεκμηριώθηκαν από τους Seiford και Thrall (1990) και Τεχνική αποδοτικότητα (ΤΕ) Η τεχνική αποδοτικότητα αντιστοιχεί στην ικανότητα παραγωγής όσο περισσότερης ποσότητας εκροών επιτρέπεται από την διαθέσιμη ποσότητα εισροών και την χρησιμοποιούμενη τεχνολογία παραγωγής ή την χρησιμοποίηση της ελάχιστης ποσότητας εισροών που απαιτείται για την παραγωγή μιας δεδομένης ποσότητας εκροών. (Καραγιάννη, 2007). Η τεχνική αποδοτικότητα ερμηνεύει την απόδοση μιας σχολικής μονάδας συγκρίνοντάς την με την συνάρτηση παραγωγής μιας υποθετικής βέλτιστης μονάδας. Δίνει έμφαση στην έννοια της αποδοτικής συνάρτησης παραγωγής, η οποία ενέχει ρόλο προτύπου και εκφράζει τις δυνατές εκροές μιας τέλεια αποδοτικής μονάδας με δεδομένο συνδυασμό εισροών. Αναφέρεται δηλαδή, στις σχέσεις τεχνολογικής φύσης των εισροών (κεφάλαιο, εργασία, εξοπλισμός) και των αποτελεσμάτων εκφρασμένα 24

25 σε όρους ενδιάμεσων εκροών (μόρφωση, επαγγελματική κατάρτιση, επιτεύγματα κα.) (Καλογεροπούλου, 2011) Μια ΜΛΑ είναι τεχνικά αποδοτική αν επιτύχει το υψηλότερο δυνατό επίπεδο εκροών ενώ χρησιμοποιεί το ελάχιστο δυνατό ποσό των εισροών, συγκρινόμενο με άλλες μονάδες που λειτουργούν σε παρόμοιο εξωγενές περιβάλλον. Η τεχνική αποδοτικότητα αποτελείται από την: καθαρή τεχνική αποδοτικότητα (pure technical efficiency) αποδοτικότητα κλίμακας (scale efficiency) Οι συγκεκριμένες έννοιες θα αναφερθούν και θα αναλυθούν στο επόμενο κεφάλαιο της συγκεκριμένης εργασίας. 2.7 Σύνορο αποδοτικότητας Περίπτωση μονής εισροής και μονής εκροής Η περιβάλλουσα ανάλυση δεδομένων μπορεί να υλοποιηθεί υπό το πρίσμα δύο διαφορετικών υποθέσεων, της κλίμακας σταθερής απόδοσης (Constant Return to Scale-CRS) και της κλίμακας μεταβλητών αποδόσεων (Variable Return to Scale). To σύνορο αποδοτικότητας διαφέρει ανάλογα με την παραδοχή κλίμακας που υποστηρίζει το μοντέλο που μελετάται. Κλίμακα σταθερής απόδοσης: Μια μεταβολή στις εισροές θα οδηγήσει σε μεταβολή των εκροών με την ίδια αναλογία. Για παράδειγμα, ένας διπλασιασμός των εισροών θα έχει ως αποτέλεσμα και αντίστοιχο διπλασιασμό των εκροών. Κλίμακα μεταβλητής απόδοσης: Μια αύξηση των εισροών δεν έχει ως αποτέλεσμα μια αναλογική μεταβολή στις εκροές. Για την καλύτερη κατανόηση των βασικών αρχών της ΠΑΔ θα μελετήσουμε γραφικά ένα παράδειγμα μονής εισροής και εκροής πέντε (5) σχολικών μονάδων. Στο παράδειγμα αυτό θα συγκρίνουμε τις επιδόσεις των μαθητών στα Μαθηματικά σε σχέση με τις δαπάνες. Οι σχολικές μονάδες ονομάζονται με ετικέτες από Α μέχρι Ε. 25

26 Πίνακας 2.1 Σταθερή απόδοση κλ μακα (Constant Returns to Scale) Περίπτωση μονής εισροής, μονής εκροής Α Β C D E Ποσοστό "αριστούχων" στα Μαθηματικά Δαπάνες (σε χιλιάδες) Κλίμακα σταθερής απόδοσης Ποσοστό αριστούχων 60 E 50 D 40 C 30 B 20 A Δαπάνες ανά μαθητή (σε χιλιάδες) Σχήμα 2.3 Κλίμακα σταθερής απόδοσης- μονή εισροή, μονή εκροή Ο λόγος δηλαδή η εκροή ανά μονάδα εισροής αποτελεί την αποδοτικότητα της κάθε μονάδας. Όσο μεγαλώνει η κλίση της ευθείας τόσο μεγαλώνει και η αποδοτικότητα της μονάδας. Είναι κατανοητό ότι μεγαλύτερη αποδοτικότητα έχει η μονάδα C η οποία έχει και την μεγαλύτερη κλίση. Η ευθεία που ενώνει την αρχή των αξόνων με τη μονάδα με την μεγαλύτερη αποδοτικότητα ονομάζεται σύνορο αποδοτικότητας. Σημειώνεται ότι αυτό το σύνορο αγγίζει τουλάχιστον ένα σημείο και όλα τα σημεία είναι ως εκ τούτου πάνω στην γραμμή ή κάτω από την γραμμή. Το όνομα Περιβάλλουσα Ανάλυση Δεδομένων (ΠΑΔ), προήλθε από αυτή την ιδιότητα, διότι στην γλώσσα των μαθηματικών, ένα τέτοιο σύνορο λέγεται ότι "περιβάλλει" αυτά τα σημεία. 26

27 Δοσμένων των δεδομένων μπορεί να κατασκευαστεί η γραμμή παλινδρόμησης που ταιριάζει σε αυτά. 60 Κλίμακα σταθερής απόδοσης Ποσοστό αριστούχων A C B D E Γραμμή παλινδρόμησης Δαπάνες ανά μαθητή (σε χιλιάδες) Σχήμα 2.4 Σύνορο αποδοτικότητας και γραμμή παλινδρόμησης Η γραμμή παλινδρόμησης όπως τυπικά καθορίστηκε στην στατιστική ανάλυση, διέρχεται περί την "μέση" των σημείων και έτσι μπορούν να καθοριστούν τα στοιχεία πάνω από αυτή ως "άριστα" και τα σημεία κάτω από αυτή ως "κατώτερα" ή "μη ικανοποιητικά". Κάποιος μπορεί να μετρήσει τον βαθμό της αποδοτικότητας ή μη αυτών των σημείων από το μέγεθος της απόκλισής τους από την γραμμή παλινδρόμησης. Από την άλλη μεριά η γραμμή του συνόρου αποδοτικότητας υποδεικνύει την απόδοση της καλύτερης μονάδας (C) και μετράει την απόδοση των άλλων μονάδων παραγωγής από τις αποκλίσεις τους από αυτή. Εδώ υπάρχει και η θεμελιώδης διαφορά μεταξύ των δύο μεθόδων δηλαδή της ανάλυσης παλινδρόμησης και της ΠΑΔ. H πρώτη απεικονίζει τον "μέσο όρο" ή την "κεντρική τάση" της συμπεριφοράς των παρατηρήσεων, ενώ η τελευταία ασχολείται με την εκτίμηση όλων των αποδόσεων των μονάδων ανάλογα με τις αποκλίσεις τους από το σύνορο αποδοτικότητας. Η ΠΑΔ καθορίζει ένα σημείο όπως το C στο παράδειγμά μας για μελλοντική εξέταση ή για να εξυπηρετήσει ως "πρότυπο" που θα χρησιμοποιηθεί στην επίτευξη των βελτιώσεων των άλλων μονάδων. 27

28 2.8 Προσανατολισμός μοντέλων Τα μέτρα αποδοτικότητας βασίζονται στο να εκτιμήσουν τον βαθμό τον οποίο οι ενδιαφερόμενες ΜΛΑ θα μπορούσαν να εξασφαλίσουν μεγαλύτερες εκροές για δεδομένα επίπεδα των εισροών τους ή λιγότερες εισροές για τα δεδομένα επίπεδα των εκροών τους. Έτσι θα πρέπει να απαντηθεί η ερώτηση αν οι ΜΛΑ έχουν περισσότερη διακριτική ευχέρεια ως προς τα επίπεδα εισροών τους ή προς τα επίπεδα εκροών τους. Η απάντηση εξαρτάται από το πλαίσιο. Τα νοσοκομεία για παράδειγμα, έχουν μικρό έλεγχο πάνω στις εκροές τους οι οποίες θα μπορούσαν να είναι ασθενείς διαφόρων κατηγοριών που χρειάζονται θεραπεία, και περισσότερο έλεγχο πάνω στα επίπεδα εισροών τους δηλαδή πιθανών πόρων όπως γιατροί, νοσοκόμες κ.λ.π. (Thanassoulis, E., 2001) Από την άλλη πλευρά τα σχολεία ασκούν ελάχιστο έλεγχο ως προς τα επίπεδα εισροών τους όπως η έμφυτη ικανότητα των μαθητών και το κοινωνικο -οικονομικό τους υπόβαθρο και περισσότερο έλεγχο ως προς τις εκροές τους όπως τα επιτεύγματα των μαθητών κατά την έξοδό τους από το σχολείο. Υπάρχουν δύο πιθανοί ορισμοί της αποδοτικότητας ανάλογα με τον σκοπό της αξιολόγησης και με το τι μπορεί να ελέγξει κάθε μονάδα. Ο πρώτος ονομάζεται προσανατολισμός εισροών (Input orientation) και είναι κατάλληλος όταν οι εισροές είναι ελέγξιμες. Ο δεύτερος ονομάζεται προσανατολισμός εκροών και είναι κατάλληλος όταν οι εκροές είναι ελέγξιμες Προσανατολισμός εισροών Το μοντέλο που είναι προσανατολισμένο στις εισροές έχει ως σκοπό την όσο το δυνατόν μείωση των εισροών κρατώντας σταθερά τα επίπεδα των εκροών. Όταν οι εισροές μειώνονται ο λόγος αποδοτικότητας αυξάνεται. Αυτό το μοντέλο υποθέτει ότι οι εισροές είναι σε θέση να μειωθούν, άρα είναι κατάλληλο στην περίπτωση που η ΜΛΑ έχει την δυνατότητα μείωσης των εισροών, αλλά χρειάζεται να διατηρήσει σταθερά τα επίπεδα εκροών. Για παράδειγμα, στα δεδομένα της προηγούμενης περίπτωσης των σχολικών μονάδων και κάτω από σταθερές αποδόσεις κλίμακας, το σχολείο C βρίσκεται πάνω στο σύνορο αποδοτικότητας και είναι πλήρως αποδοτικό. Τα σχολεία Α,Β,D και Ε βρίσκονται κάτω από αυτό και πρέπει να μειώσουν τις εισροές κατά κάποιο ποσό 28

29 όπως φαίνεται στο σχήμα 2.3, έτσι ώστε να τοποθετηθούν πάνω στο σύνορο αποδοτικότητας. Αποδοτικότητα εισροής (Input Efficiency) Η απόσταση μεταξύ της παρατηρηθείσας και της ελάχιστης πιθανής εισροής για δοσμένες εισροές. 60 Κλίμακα σταθερής απόδοσης -Προσανατολισμός εισροών Ποσοστό αριστούχων A C B D E Δαπάνες ανά μαθητή (σε χιλιάδες) Σχήμα 2.5 Σταθερή απόδοση κλίμακας με Προσανατολισμό εισροών Η αποδοτικότητα της εισροής στο παράδειγμά μας υπολογίζεται από τον λόγο των βέλτιστων δαπανών προς τις τρέχουσες δαπάνες και φαίνεται στον παρακάτω πίνακα. Π νακας 2.2 Σταθερή απόδοση κλίμακας και προσανατολισμός εισροών CCR Input Α B C D E Βέλτιστες δαπάνες Τρέχουσες δαπάνες Αποδοτικότητα /2= % 2/4= % 3/3= % 4/5= % 5/6= % Προσανατολισμός εκροών Ο προσανατολισμός εκροών έχει ως σκοπό την όσο το δυνατόν μεγιστοποίηση των εκροών, διατηρώντας σταθερές τις τρέχουσες εισροές. Όταν οι εκροές αυξηθούν, ο 29

30 λόγος αποδοτικότητας αυξάνεται. Ο προσανατολισμός αυτός υποθέτει ότι οι εκροές είναι δυνατόν να αυξηθούν. Χρησιμοποιώντας τα δεδομένα του παραδείγματος, κάτω από τον προσανατολισμό εκροών τα μη αποδοτικά σχολεία A,B,D και E απαιτείται να αυξήσουν τις εκροές τους κατά κάποιο ποσό όπως φαίνεται στο σχήμα έτσι ώστε να τοποθετηθούν πάνω στο σύνορο αποδοτικότητας. Αποδοτικότητα εκροής (Output Efficiency) Η απόσταση μεταξύ της παρατηρηθείσας και της μέγιστης πιθανής εκροής για δοσμένες εκροές. 60 Κλίμακα σταθερής απόδοσης - Προσανατολισμός εκροών 50 E Ποσοστό αριστούχων C B D 10 A Δαπάνες ανά μαθητή (σε χιλιάδες) Σχήμα 2.6 Σταθερή απόδοση κλίμακας με Προσανατολισμό εισροών Η αποδοτικότητα της εκροής στο παράδειγμά μας υπολογίζεται από τον λόγο του τρέχοντος ποσοστού αριστούχων προς το βέλτιστο ποσοστό αυτών και φαίνεται στον παρακάτω πίνακα. 30

31 Π νακας 2.3 Σταθερή απόδοση κλίμακας και προσανατολισμός εκροών CCR Output Α B C D E Βέλτιστο ποσοστό αριστούχων Τρέχων ποσοστό αριστούχων Αποδοτικότητα /20= /40= /30= /50= /60= % 50% 100% 80% 83% 2.9 Αποδοτικότητα κατά Pareto Για τον ορισμό της αποδοτικότητας κατά Pareto θα χρησιμοποιήσουμε ένα σύνολο ομοιογενών μονάδων (DMU S ), οι οποίες χρησιμοποιούν μία ή περισσότερες εισροές για να εξασφαλίσουν μία ή και περισσότερες εκροές. Προσανατολισμός εισροής (Input orientation) Μια ΜΛΑ είναι αποδοτική κατά Pareto αν δεν είναι δυνατόν να μειώσει καμία από τις εισροές της χωρίς να αυξήσει τουλάχιστον μία από αυτές ή/και χωρίς να μειώσει τουλάχιστον μία από τις εκροές της. Προσανατολισμός εκροής (output orientation) Μια ΜΛΑ είναι αποδοτική κατά Pareto αν δεν είναι δυνατόν να αυξήσει καμία από τις εκροές της χωρίς να μειώσει τουλάχιστον μία από τις εκροές της ή/και χωρίς να αυξήσει τουλάχιστον μία από τις εισροές της. Ένα παράδειγμα μέτρησης αποδοτικότητας μιας μονάδας λήψης απόφασης Α (DMU- A) στην απλή περίπτωση όπου έχουμε μοντέλο με μια εισροή και μία εκροή, δίνεται στο παρακάτω σχήμα. 31

32 Αποδοτικότητα εισροής της DMU A = Εκροή Αποδοτικότητα εκροής της DMU A = Εισροή Σχήμα 2.7 Μέτρηση αποδοτικότητας με μονή εισροή και εκροή Η DMU A θα μπορούσε να έχει λειτουργήσει στο σημείο D για να πετύχει μέγιστη εκροή για αυτό το επίπεδο εισροής. Εναλλακτικά η DMU A μπορεί να λειτουργήσει στο σημείο C για να χρησιμοποιήσει ελάχιστη εισροή για αυτό το επίπεδο εκροής. Έτσι η DMU A δεν είναι αποδοτική κατά Pareto δεδομένου ότι θα μπορούσε να παραδώσει περισσότερη εκροή χωρίς καμία πρόσθετη εισροή, ή να χρησιμοποιήσει λιγότερη εισροή χωρίς να ζημιωθεί το επίπεδο εκροής. (Thanassoulis, E., 2001) Περίπτωση πολλαπλών εισροών και πολλαπλών εκροών Όταν έχουμε πολλές εισροές και εκροές, η αποδοτικότητα μετριέται με τον ακόλουθο λόγο: ή ή έ έ ό ό ά όπου: πλήθος DMUS βάρος εκροής1 βάρος εισροής1 ή ά ή ά 32 ά ά ώ ώ

33 Ο ορισμός αυτός απαιτεί ένα σύνολο από βάρη που πρέπει να καθοριστούν και αυτό είναι δύσκολο ειδικά όταν ένα κοινό σύνολο βαρών πρέπει να εφαρμοστεί σε όλες τις μονάδες απόφασης. Αυτό το πρόβλημα μπορεί να επιλυθεί με το επιχείρημα ότι οι μεμονωμένες μονάδες μπορούν να έχουν τα δικά τους συστήματα αξιών και ως εκ τούτου μπορούν να καθορίσουν τη δική τους ιδιότυπη σειρά βαρών. Ο βαθμός αποδοτικότητας ορίζεται ένας αριθμός ανάμεσα στο 0 και 1, αλλά συχνά αναφερόμαστε στον βαθμό αποδοτικότητας ως ποσοστό από 0 έως και 100%. Όταν ο λόγος αποδοτικότητας είναι 1 η μονάδα λήψης απόφασης είναι πλήρως αποδοτική, ενώ αν είναι <1 τότε η μονάδα χαρακτηρίζεται ως μη αποδοτική. Στο εκπαιδευτικό περιβάλλον, αν για παράδειγμα μια σχολική μονάδα χαρακτηριστεί αποδοτική αυτό σημαίνει ότι αυτή παράγει ένα σύνολο εκπαιδευτικών εκροών με τα χαμηλότερα επίπεδα εισροών που είναι καθορισμένα σε ένα σύνολο αναφοράς. Δεν σημαίνει σε καμία περίπτωση, ότι το σχολείο με βαθμό αποδοτικότητας 1 έχει τις καλύτερες εκπαιδευτικές εκροές, ή τα χαμηλότερα επίπεδα εκπαιδευτικών εισροών, ούτε επίσης σημαίνει ότι το σχολείο αυτό επιτυγχάνει επαρκή ετήσια πρόοδο, ούτε ακόμα ότι πληροί όλες τις προδιαγραφές. Απλά σημαίνει ότι κανένα άλλο σχολείο στο σύνολο αναφοράς που μελετάται δεν έχει πετύχει τα ίδια ή καλύτερα εκπαιδευτικά αποτελέσματα με λιγότερες εισροές. H μέτρηση της αποδοτικότητας σχετίζεται με την έννοια ότι η αποδοτικότητα κάθε σχολείου αξιολογείται ενάντια στο περισσότερο αποδοτικό σχολείο που βρίσκεται σε παρόμοια κατάσταση. Αν ένα σχολείο μπορεί να παράγει αναλογικά μεγαλύτερες εκροές από το δοθέν σχολείο χωρίς να αυξηθούν οι εισροές, τότε το δοθέν σχολείο δεν λειτουργεί υπό την καλύτερη πρακτική, όπως αναφέρουν οι Barnett et. al., (2002) στο βιβλίο του Adams, (2008). H μέθοδος ΠΑΔ συγκρίνει κάθε σχολείο με μια εικονική μονάδα η οποία δημιουργείται από το γραμμικό συνδυασμό εκροών και εισροών των περισσότερο αποδοτικών σχολείων και στην συνέχεια παρέχει μια κατάταξη της σχετικής αποδοτικότητας, η οποία συγκρίνει τα μη αποδοτικά σχολεία με τα περισσότερο αποδοτικά. (Mizala, Romaguera & Farren, 2002) Συμπερασματικά, αν ένα σχολείο χαρακτηριστεί 100% αποδοτικό αυτό δεν σημαίνει ότι δεν μπορεί να αυξήσει τα μαθητικά επιτεύγματα του ή να μειώσει περαιτέρω τις εισροές του. Αντιθέτως, πολύ απλά σημαίνει, ότι δεν υπάρχουν εμπειρικά στοιχεία 33

34 μέσα στο δοσμένο σύνολο αναφοράς που καταδεικνύουν ότι άλλη παρόμοιας κατάστασης σχολική μονάδα ξεπερνάει την δοθείσα στο θέμα της αποδοτικότητας. Στο επόμενο κεφάλαιο θα παρουσιαστεί η μαθηματική διατύπωση των δύο βασικών μοντέλων της μεθόδου, το μοντέλο CCR και το μοντέλο BCC.Το πρώτο υποθέτει σταθερή απόδοση κλίμακας, ενώ το δεύτερο υποθέτει κλίμακα μεταβλητών αποδόσεων. 34

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΠΑΔ Η μέτρηση της σχετικής αποδοτικότητας μιας ΜΛΑ καθορίζεται μαθηματικά από τον λόγο του σταθμισμένου αθροίσματος των εκροών προς το σταθμισμένο άθροισμα των εισροών. Αυτός ο λόγος μπορεί να μεγιστοποιηθεί επιτρέποντας την μέγιστη δυνατή επιλογή μη αρνητικών βαρών για κάθε ΜΛΑ ξεχωριστά. Αυτό δηλώνει την ύπαρξη πολλών μοντέλων βελτιστοποίησης όσων και οι ΜΛΑ. Φυσικά τα βάρη δεν πρέπει να είναι αυθαίρετα μεγάλα, και κατά συνέπεια πρέπει να περιοριστούν (Bisschop, 2000). Μια ΜΛΑ λέγεται ότι είναι αποδοτική σε σχέση με άλλες ΜΛΑ εάν η τιμή της αναλογίας της σχετικής αποδοτικότητας είναι τουλάχιστον τόσο μεγάλη όσο των άλλων ΜΛΑ χρησιμοποιώντας τα ίδια βάρη. Η γενική διατύπωση των προβλημάτων αυτών περιλαμβάνει την επίλυση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού, όπου απόφασης. είναι ο αριθμός των μονάδων Μαθηματικά μοντέλα της ΠΑΔ 3.1 Μοντέλο CCR (Charnes, Cooper, Rhodes) Ένα από τα πιο βασικά μοντέλα της ΠΑΔ είναι το μοντέλο CCR, το οποίο αρχικά προτάθηκε από τους Charnes, Cooper και Rhodes το Σύμφωνα με το μοντέλο αυτό υποθέτουμε ότι υπάρχουν DMU που αξιολογούνται. Κάθε μονάδα καταναλώνει διαφορετικά ποσά από την εισροή και παράγει ποσό από την εκροή. Υποθέτουμε ότι 0 και και ότι κάθε έχει τουλάχιστον μια θετική εισροή και μια θετική εκροή. Στο μοντέλο ΠΑΔ η αναλογία των εκροών προς εισροών χρησιμοποιείται για να μετρήσει την σχετική αποδοτικότητα των μονάδων = που θα αξιολογηθούν σε σχέση με τις αναλογίες όλων των j = 1, 2,, n. Η πρώτη μαθηματική φόρμουλα του μοντέλου είναι η εξής: 35

36 ό : ή ή ά ή ή ά ά ί ή ά ί ή ό ά t = ο αριθμός των εκροών ό ώ ε = ένας πολύ μικρός θετικός αριθμός Στην προηγούμενη διατύπωση, μπορούμε να αλλάξουμε κάθε βέλτιστη λύση πολλαπλασιάζοντας τις σταθμισμένες μεταβλητές με μια σταθερά. Τέτοιος πολλαπλασιασμός δεν αλλάζει την αναλογία εισροών - εκροών. Εξαναγκάζοντας το σταθμισμένο άθροισμα των εισροών (δηλαδή τον παρανομαστή) στην αντικειμενική συνάρτηση να είναι 1, αφαιρούμε ουσιαστικά αυτόν τον βαθμό ελευθερίας. Επιπλέον ο μη γραμμικός λόγος των περιορισμών μπορεί να μετασχηματιστεί σε γραμμικό πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές της ανισότητας με τον θετικό παρανομαστή τους. Ο παρανομαστής είναι πάντα θετικός, διότι: α) όλα τα επίπεδα των εισροών και των εκροών υποτίθεται ότι είναι θετικά και β) τα μη αρνητικά βάρη δεν μπορεί να είναι όλα μηδέν όταν το σταθμισμένο άθροισμα των εισροών στην αντικειμενική συνάρτηση είναι ίσο με 1. Με αυτόν τον τρόπο το κλασματικό μοντέλο μετατρέπεται σε γραμμικό, θέτοντας τον παρονομαστή ίσο με ένα και μεγιστοποιώντας τον αριθμητή υπό τον περιορισμό το 36

37 σταθμισμένο άθροισμα των εκροών να είναι μικρότερο ή ίσο του σταθμισμένου αθροίσματος των εισροών. Από τα παραπάνω προκύπτει το γενικό μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού το οποίο θα δούμε παρακάτω. Το μοντέλο CCR χωρίζεται σε δύο προσανατολισμούς: Προσανατολισμός στις εισροές ( Input - oriented model) Προσανατολισμός στις εκροές (Output - oriented model) O προσανατολισμός καθορίζεται ανάλογα με τους στόχους που ο ερευνητής έχει βάλει, και το αποτέλεσμα που θέλει να πετύχει. Ο προσανατολισμός στις εισροές έχει ως στόχο την όσο τον δυνατόν μεγαλύτερη μείωση των εισροών για ένα δεδομένο σύνολο εκροών, ενώ ο προσανατολισμός στις εκροές έχει ως στόχο την όσο το δυνατόν αύξηση των εκροών για ένα δεδομένο σύνολο εισροών. Προσανατολισμός στις εισροές Προσανατολισμός στις εκροές 37

38 Ορισμός (CCR-Efficiency) 1. Η είναι CCR-Efficient αν και υπάρχει τουλάχιστον μια βέλτιστη λύση με και. 2. Σε κάθε άλλη περίπτωση η είναι CCR-inefficient (Cooper, Seiford, Tone,2007) Η βέλτιστη τιμή για την αντικειμενική συνάρτηση κάθε ξεχωριστής DMU αναφέρεται ως και είναι είτε 1 είτε λιγότερο από 1. H αποδοτικότητα στο μοντέλο με προσανατολισμό τις εκροές προκύπτει από το κλάσμα 1/. Το μοντέλο εφαρμόζεται μια φορά για κάθε ΜΛΑ και η λύση που προκύπτει είναι το σύνολο των τιμών των και που δίνουν τον μέγιστο δυνατό λόγο αποδοτικότητας χωρίς να ξεπερνά την τιμή 1. Για κάθε μονάδα που αξιολογείται εκτιμάται ο βαθμός αποδοτικότητάς της ο οποίος κυμαίνεται από 0 έως 1. Μια μονάδα είναι πλήρως αποδοτική όταν ο βαθμός αποδοτικότητάς είναι 1. Με βαθμό λιγότερο από 1 καταδεικνύονται οι λιγότερο αποδοτικές μονάδες. 3.2 Το δυικό μοντέλο CCR Εναλλακτικά μπορεί να επιλυθεί το δυικό μοντέλο της σχέσης (M2) και (Μ3), το οποίο αποφέρει αποτελέσματα ίδια με το αρχικό μοντέλο. Το δυϊκό μοντέλο κατασκευάζεται εκχωρώντας μία μεταβλητή (δυική μεταβλητή) σε κάθε περιορισμό του πρωτεύοντος μοντέλου και κατασκευάζοντας ένα νέο μοντέλο με αυτές τις μεταβλητές. Καθώς το αρχικό μοντέλο έχει μεταβλητές, το δυικό μοντέλο θα έχει περιορισμούς. Το αρχικό μοντέλο έχει περιορισμούς. Εφόσον ο αριθμός των υπό εξέταση μονάδων ( ), είναι συνήθως αρκετά μεγαλύτερος από που είναι το άθροισμα των εισροών και εκροών είναι πιο χρονοβόρο να λυθεί το πρωτεύον πρόβλημα παρά το δυικό. Το δυϊκό γραμμικό πρόβλημα της ΠΑΔ χρησιμοποιεί μια πραγματική μεταβλητή θ και ένα μη αρνητικό διάνυσμα. Από την θεωρία του γραμμικού προγραμματισμού είναι γνωστό ότι οι τιμές των δυικών μεταβλητών ως αποτέλεσμα της επίλυσης του δυικού μοντέλου είναι 38

39 ταυτόσημες με τις σκιώδεις τιμές στο πρωτεύον μοντέλο. Έτσι, οι δυικές τιμές (λ j ) είναι επομένως οι σκιώδεις τιμές που σχετίζονται με τους περιορισμούς που περιορίζουν την αποδοτικότητα κάθε ΜΛΑ να μην ξεπεράσει την μονάδα. Προσανατολισμός στις εισροές Προσανατολισμός στις εκροές Για την βέλτιστη τιμή θα ισχύει: Θα εισάγουμε τις πλεονασματικές μεταβλητές ό ώ και ώ του παραπάνω γραμμικού προβλήματος ως εξής: Ορισμός (CCR-Efficiency) Αν για μια βέλτιστη λύση ( προκύπτουν: τότε το συγκεκριμένο DMU θα καλείται CCR-Efficient, διαφορετικά θα καλείται CCRinefficient. (Cooper, Seiford, Tone, 2007) 39

40 Ορισμός (Pareto - Koopsmans Efficiency) Ένα DMU είναι πλήρως αποτελεσματικό, αν και μόνο αν, δεν είναι δυνατό να βελτιώσει καμία εισροή ή εκροή δίχως να χειροτερέψει μία άλλη εισροή ή εκροή. Το CCR μοντέλο λειτουργεί με την παραδοχή της σταθερής απόδοση κλίμακας δηλαδή αν όλες οι εισροές αυξηθούν αναλογικά κατά κάποιο ποσό τότε και οι εκροές θα αυξηθούν αναλογικά κατά το ίδιο ποσό. Αν για παράδειγμα, 1 μονάδα εισροής παράγει 4 μονάδες εκροής τότε 2 μονάδες εισροής θα πρέπει να παράγουν οκτώ μονάδες εκροής. Το CCR μοντέλο δεν κάνει διάκριση μεταξύ της "καθαρής" τεχνικής μη αποδοτικότητας και της μη αποδοτικότητας που οφείλεται στη μεταβλητή απόδοση.(cooper et.al.,2007) Μεταβλητή απόδοση κλίμακας (VRS) στο μοντέλο DEA Η υπόθεση CRS είναι κατάλληλη μόνο όταν όλες οι ΜΛΑ λειτουργούν σε βέλτιστη κλίμακα. Όταν όλες οι ΜΛΑ δεν λειτουργούν στη βέλτιστη κλίμακα η μέτρηση της τεχνικής αποδοτικότητας συγχέεται με την αποδοτικότητα κλίμακας (Scale Efficiency -SE). Η χρήση της υπόθεσης VRS επιτρέπει τον υπολογισμό του βαθμού της τεχνικής αποδοτικότητας (TE) απαλλαγμένο από την επίδραση της αποδοτικότητας κλίμακας (SE). Στην περίπτωση αυτή, το μοντέλο VRS δημιουργείται ουσιαστικά από το μοντέλο CRS με έναν πρόσθετο περιορισμό που προστίθεται στο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού. Αποδοτικότητα κλίμακας (SE) Είναι πιθανόν μια ΜΛΑ να είναι τεχνικά αποδοτική, αλλά η κλίμακα μεγέθους στην οποία λειτουργεί να μην είναι η βέλτιστη. Για παράδειγμα, αν μια ΜΛΑ χαρακτηρίζεται από τεχνολογία παραγωγής με μεταβλητές αποδόσεις κλίμακας, τότε μπορεί η κλίμακα μεγέθους να είναι τόσο μικρή, ώστε η επιχείρηση να λειτουργεί σε εκείνο το στάδιο παραγωγής που χαρακτηρίζεται από αύξουσες αποδόσεις κλίμακας. Αντίθετα, μπορεί η κλίμακα μεγέθους να είναι τόσο μεγάλη, ώστε η ΜΛΑ να λειτουργεί στο στάδιο που χαρακτηρίζεται από φθίνουσες αποδόσεις κλίμακας. Αν η τεχνολογία παραγωγής χαρακτηρίζεται από σταθερές αποδόσεις κλίμακας, τότε η ΜΛΑ είναι αποδοτική ως προς το μέγεθος. (Καραγιάννη, 2007) 40

41 Η αποδοτικότητα κλίμακας εκφράζει την απόσταση μιας ΜΛΑ από το άριστο μέγεθος κλίμακας παραγωγής, και μπορεί να υπολογιστεί με τον υπολογισμό των αποτελεσμάτων των μοντέλων CRS και VRS και την εξέταση της μεταξύ τους διαφοράς. Όσο αφορά τη μεθοδολογία ΠΑΔ, πρώτοι οι Banker, Charnes και Cooper (1984) διαπίστωσαν ότι η σταθερή απόδοση κλίμακας οδηγεί σε λανθασμένα αποτελέσματα όταν γίνονται συγκρίσεις μεταξύ παραγωγικών μονάδων με διαφορετική σημαντικότητα στα δείγματα- μεγέθη. Έτσι ο Banker εξέλιξε μια νέα φόρμουλα περιβάλλουσας ανάλυσης δεδομένων γνωστή ως BCC μοντέλο. Στο μοντέλο αυτό, το σύνορο αποδοτικότητας είναι ένα κυρτό περίβλημα και υποθέτουμε σαφώς ότι υπάρχει μια μεταβλητή αναλογία μεταξύ των εισροών και των εκροών. Ο βαθμός αποδοτικότητας αποτυπώνει την "καθαρή" τεχνική αποδοτικότητα. (Cooper et.al.,2007). Κάτω από το μοντέλο BCC, τα σύνορα αποδοτικότητας μπορεί να είναι τμηματικά γραμμικά και κυρτά με: α) αυξανόμενη απόδοση κλίμακας β) μειούμενη απόδοση κλίμακας γ) σταθερή απόδοση κλίμακας 60 Ποσοστό αριστούχων A C B D E Δαπάνες ανά μαθητή (σε χιλιάδες) Σχήμα 3.1 Κλίμακα μεταβλητής απόδοσης - Μοντέλο ΒCC Η μεταβλητή απόδοση κλίμακας επιτρέπει τον διαχωρισμό του βαθμού της συνολικής αποδοτικότητας (CCR-efficiency), σε "καθαρή" τεχνική αποδοτικότητα (BCC-efficiency) και αποδοτικότητα κλίμακας (SE) (Mizala, 41

42 Romaguera, & Farren, 2002). Oι μεταβλητές αποδόσεις κλίμακας είναι κατάλληλες όταν οι εκροές κάτω από μια συγκεκριμένη θεώρηση είναι αδύνατον να αυξηθούν περαιτέρω. 3.3 Μοντέλο ΒCC (Banker, Charnes και Cooper) Σε μαθηματικούς όρους, στο τροποποιημένο αυτό υπόδειγμα, που αναπτύχθηκε από τους Banker, Charnes και Cooper γι αυτό και ονομάζεται υπόδειγμα BCC απαιτείται να προστεθεί ο περιορισμός τότητας. O περιορισμός κυρτότητας αποκλείει την κατασκευή μιας μη περιορισμένης ακτίνας διότι το απεριόριστο διάνυσμα επέκτασης τώρα δεν είναι δυνατόν να δημιουργηθεί και εξασφαλίζει ότι μια μη αποδοτική DMU έχει ως πρότυπα αποδοτικές DMU παρόμοιου μεγέθους. Το BCC μοντέλο όπως αναφέρουμε, δουλεύει κάτω από την παραδοχή των μεταβλητών αποδόσεων κλίμακας. Σε αυτό το μοντέλο γίνεται επιλογή ως προς τον προσανατολισμό (μείωση εισροών ή αύξηση εκροών) και με την ανάλογη μέθοδο γίνεται η εξαγωγή των αποτελεσμάτων. To μοντέλο αυτό περιγράφεται ως εξής: Προσανατολισμός στις εισροές Προσανατολισμός στις εκροές 42

43 Στο μοντέλο τα και είναι οι μεταβλητές. Aν χρησιμοποιηθεί ο αστερίσκος για να καταδείξει την βέλτιστη τιμή της αντίστοιχης μεταβλητής του μοντέλου τότε η τεχνική αποδοτικότητα ως προς τις εισροές της μονάδας είναι ό (Thanassoulis, 2001) Είναι φανερό ότι η μόνη διαφορά με το αρχικό μοντέλο CCR είναι η προσθήκη της επιπλέον ελεύθερης μεταβλητής Η τιμή της μεταβλητής απεικονίζει την επίδραση του μεγέθους κλίμακας στην παραγωγικότητα μιας μονάδας απόφασης. Αν η μεταβλητή είναι μηδέν, το μοντέλο γίνεται CRS (σταθερής απόδοσης κλίμακας) και ταυτίζεται με το μοντέλο CCR. Αν η βέλτιστη τιμή της μεταβλητής δεν είναι μηδέν, αυτή μπορεί να έχει αρνητική ή θετική τιμή. Αν η μεταβλητή αυτή έχει αρνητική τιμή έχουμε αύξουσες αποδόσεις κλίμακας, ενώ αν έχει θετική τιμή έχουμε φθίνουσες αποδόσεις κλίμακας. έ ό ό ό Γενικά, αν καθώς αυξάνονται οι πόροι, η παραγωγή αυξάνεται: 1. κατά το ίδιο ποσοστό σταθερές αποδόσεις κλίμακας (Constants Return to Scale - CRS) 2. κατά μεγαλύτερο ποσοστό αύξουσες αποδόσεις κλίμακας (Increasing Return to Scale - IRS) 3. κατά μικρότερο ποσοστό φθίνουσες αποδόσεις κλίμακας (Decreasing Return to Scale - DRS) Στο μοντέλο τα και είναι οι μεταβλητές. Η τεχνική αποδοτικότητα ως προς τις εκροές της μονάδας είναι. ό (Thanassoulis, 2001) 43

44 Είναι φανερό ότι και εδώ η μόνη διαφορά με το αρχικό μοντέλο CCR είναι η προσθήκη της επιπλέον ελεύθερης μεταβλητής Γενικά σε περιπτώσεις όπου κάποιες εισροές ή εκροές είναι ποιοτικού χαρακτήρα, ή σε περιπτώσεις όπου οι ΜΛΑ ανήκουν σε μη κερδοσκοπικούς Οργανισμούς όπως στην περίπτωση της εκπαιδευτικής αξιολόγησης, θεωρείται ενδεδειγμένη η χρήση του μοντέλου Banker, Charnes και Cooper(1984), όπως αναφέρουν οι Conceicao και Thanassoulis (2001) (Μαραγκός, Η.,2005). 3.4 To Δυικό μοντέλο BCC Το προηγούμενο μοντέλο έχει και το αντίστοιχο δυικό, του οποίου η διαφορά από το μοντέλο CCR είναι ότι σε αυτό υπάρχει ένας επιπλέον περιορισμός ο οποίος ορίζει το σταθμικό άθροισμα των να είναι ίσο με 1. Έτσι οι σχέσεις γίνονται: Προσανατολισμός στις εισροές Προσανατολισμός στις εκροές 44

45 3.5 Διαφορές μοντέλου CCR και BCC Οι διαφορές των 2 μοντέλων συνοψίζονται παρακάτω: Α. The CCR Model (Charnes, Cooper & Rhodes 1978) Παράγει μια αντικειμενική εκτίμηση της συνολικής αποδοτικότητας. Προσδιορίζει τις αιτίες της έλλειψης αποδοτικότητας και εκτιμά ποσοτικά αυτήν την έλλειψη. Υποθέτει την σταθερή απόδοση κλίμακας (CRS). B. The BCC Model (Banker, Charnes & Cooper 1984 ) Κάνει διάκριση μεταξύ της έλλειψης τεχνικής αποδοτικότητας και αποδοτικότητας κλίμακας. Εκτιμά την απόλυτη τεχνική αποτελεσματικότητα σε μια δεδομένη λειτουργία κλίμακας. Υποθέτει στην μεταβλητή απόδοση κλίμακας (VRS). Εντοπίζει αν υπάρχει αυξανόμενη, σταθερή ή μειούμενη απόδοση κλίμακας. Γίνεται επιλογή ως προς τον προσανατολισμό που θα έχει το μοντέλο (προσανατολισμός ως προς τις εισροές ή προσανατολισμός ως προς τις εκροές). 60 Σταθερή απόδοση κλίμακας(ccr) & Mεταβλητή απόδοση κλίμακας (BCC) Ποσοστό αριστούχων Μ Ν Ρ B Δαπάνες ανά μαθητή (σε χιλιάδες) Σχήμα 3.2 Σταθερή απόδοση κλίμακας (CCR) & Μεταβλητή απόδοση κλίμακας (BCC) H τεχνική αποδοτικότητα εισροών του σημείου Β υπολογίζεται από το λόγο: 45

46 Η αποδοτικότητα κλίμακας του σημείου Β υπολογίζεται από το λόγο: Συνδυάζοντας αυτούς τους δύο βαθμούς αποδοτικότητας μπορούμε να βρούμε την συνολική αποδοτικότητα της μονάδας όπως δίνεται από το βασικό μοντέλο CCR. = = Είναι φανερό ότι το μοντέλο BCC έχει καλύτερα αποτελέσματα από το μοντέλο CCR και αυτό διότι το σύνορο αποδοτικότητας περιβάλλει πιο σφικτά τα δεδομένα με συνέπεια περισσότερες μονάδες να χαρακτηρίζονται αποδοτικές. Συμπερασματικά, αν υιοθετηθεί στην έρευνα η υπόθεση της σταθερής απόδοσης κλίμακας, δεν υπάρχουν οικονομίες κλίμακας. Το μέγεθος της DMU δεν λαμβάνεται υπόψη και δεν επηρεάζει την σχετική αποδοτικότητα της μονάδας αυτής. Οι μικρές σε μέγεθος DMU's μπορούν να παράγουν εκροές με ίδια αναλογία εισροών προς εκροές με αυτές των μεγαλύτερων σε μέγεθος DMU's. Σε πολλές περιπτώσεις όμως, η υπόθεση αυτή είναι ακατάλληλη, διότι πολλοί οργανισμοί ή υπηρεσίες παρουσιάζουν οικονομίες κλίμακας (αύξουσες ή φθίνουσες). Στις περιπτώσεις αυτές πρέπει να υιοθετηθεί η υπόθεση της μεταβλητής απόδοσης κλίμακας. 3.6 Slacks Πολλές φορές υπάρχει περίπτωση κάποιες μεμονωμένες εισροές ή εκροές να χρειαστεί να μειωθούν περαιτέρω ή να αυξηθούν αντίστοιχα, για να πετύχουν μέγιστη αποδοτικότητα. Για παράδειγμα στην παρακάτω εικόνα η DMU4 βρίσκεται πάνω στο σύνορο αποδοτικότητας με σχετική αποδοτικότητα 1. Όμως αν εφαρμόσουμε μοντέλο VRS προσανατολισμένο στις εισροές, η μονάδα αυτή μπορεί πρακτικά ακόμα να μειώσει τις εισροές της κατά 2 μονάδες. Αυτές οι 2 μονάδες μείωσης καλούνται slack στην μέθοδο ΠΑΔ. Τα slacks μπορούν να υπολογιστούν μετά την μέτρηση της σχετικής αποδοτικότητας του μοντέλου. 46

47 6 5 DMU1 4 DMU5 3 2 DMU2 1 0 DMU3 DMU Σχήμα 3.3 Slacks Μια ΜΛΑ είναι: πλήρως αποδοτική αν έχει σχετική αποδοτικότητα 1 και μηδενικές τιμές στα slacks. χαλαρά αποδοτική αν έχει σχετική αποδοτικότητα 1 και μερικές μη μηδενικές τιμές στα slacks. Στο επόμενο κεφάλαιο θα γίνει η προεργασία για την εφαρμογή του μοντέλου της ΠΑΔ στα Γενικά Λύκεια του Δήμου Πατρέων, για το σχολικό έτος Η προεργασία περιλαμβάνει την συλλογή των στοιχείων από τα σχολεία και την κατάλληλη επιλογή των εισροών και εκροών, έτσι ώστε να γίνει η επιλογή του τελικού μοντέλου που θα χρησιμοποιηθεί και αντιπροσωπεύει τα δεδομένα. 47

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Όπως προαναφέρθηκε, σκοπός της εργασίας είναι η σύγκριση της αποδοτικότητας των Γενικών Λυκείων του Δήμου Πατρέων κατά το σχολικό έτος Η μεθοδολογία που θα ακολουθηθεί για την μοντελοποίηση του προβλήματος αυτού είναι η εξής: 1. Επιλογή του δείγματος (21 Γενικά Λύκεια του δήμου Πατρέων). 2. Καθορισμός των εισροών και εκροών που θα χρησιμοποιηθούν. 3. Συλλογή των δεδομένων (από ερωτηματολόγια που δόθηκαν στις σχολικές μονάδες και επίσημα στοιχεία του Υπουργείου Παιδείας). 4. Επιλογή του τύπου του μοντέλου που θα χρησιμοποιηθεί για την ανάλυση δεδομένων. 5. Μέτρηση της σχετικής αποδοτικότητας (Relative efficiency measure) για κάθε μονάδα του συνόλου. 6. Καθορισμός ενός υποσυνόλου ομότιμων μονάδων (peer group) για κάθε μη αποδοτική μονάδα. 7. Υπολογισμός των χαλαρώσεων (slacks) των εισροών και των εκροών για να εντοπιστούν οι ΜΛΑ που είναι πλήρως αποδοτικές. 8. Μέτρηση της σχετικής αποδοτικότητας (Relative efficiency measure) μετά την προσθήκη περιορισμών στα βάρη (Weight Restrictions). 4.1 Επιλογή των Μονάδων Λήψης Απόφασης Από το σύνολο των Γενικών Λυκείων του Δήμου Πατρέων επιλέχθηκαν 21 Γενικά Λύκεια τα οποία και αποτελούν τις Μονάδες Λήψης Απόφασης των οποίων η αποδοτικότητα θα εκτιμηθεί. Δεν επιλέχθηκε να χρησιμοποιηθεί στην έρευνα το Εκκλησιαστικό Γενικό Λύκειο και το Μουσικό Γενικό Λύκειο, λόγο της 48

49 ιδιαιτερότητας του αντικειμένου τους και της ανομοιογένειας σε σχέση με τα υπόλοιπα, η οποία τα καθιστά μη συγκρίσιμα. Προϋπόθεση για να διεξαχθεί η έρευνα και να εγκριθεί από το Υπουργείο Παιδείας είναι να διασφαλιστεί η ανωνυμία των σχολείων, γεγονός που επισημαινόταν και στα ερωτηματολόγια που δόθηκαν στα σχολεία προς συμπλήρωση. Έτσι οι επωνυμίες των σχολείων αναφέρονται τυχαία με το αναγνωριστικό DMU-x. Ο πίνακας 1.2 δείχνει τα συμβολικά ονόματα των σχολικών μονάδων που έχουν χρησιμοποιηθεί στην έρευνα. Π νακας 4.1 Τα αναγνωριστικά των σχολικών μονάδων (ΓΕΛ του Δήμου Πατρέων) ΣΧΟΛΕΙΟ ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΤΙΚΟ 1 DMU-Α 2 DMU-Β 3 DMU-C 4 DMU-D 5 DMU-E 6 DMU-F 7 DMU-G 8 DMU-H 9 DMU-I 10 DMU-J 11 DMU-K 12 DMU-L 13 DMU-M 14 DMU-N 15 DMU-O 16 DMU-P 17 DMU-Q 18 DMU-R 19 DMU-S 20 DMU-T 21 DMU-U 4.2 Επιλογή των Εισροών - Εκροών Η επιλογή των εισροών-εκροών αποτελεί το δεύτερο βήμα για την δόμηση ενός μοντέλο ΠΑΔ. Η επιλογή αυτή έγινε με βάση: 1. Το πλήθος των ΜΛΑ. Ένας γενικός κανόνας είναι το πλήθος των λειτουργικών μονάδων πρέπει να είναι τριπλάσιο από το σύνολο των εισροών και των εκροών μαζί. Απαιτείται μεγάλη προσοχή στο πλήθος των εισροών και των εκροών, δεδομένου ότι κάθε πρόσθετη εισροή ή εκροή προσθέτει 49

50 έναν παραπάνω περιορισμό, με αποτέλεσμα να μειώνεται ο αριθμός των λύσεων του μοντέλου και έτσι να εμφανίζονται περισσότερες μονάδες ως αποδοτικές. 2. Τον στόχο του μοντέλου και τον τύπο των ΜΛΑ που αξιολογούνται. Η αξιολόγηση των μονάδων έγινε με τελικό στόχο την επίδοση των μαθητών στις Πανελλαδικές Εξετάσεις, και γι' αυτό επιλέχθηκαν μεταβλητές που οδηγούσαν σε αυτόν το στόχο. Το μοντέλο ΠΑΔ συγκρίνει την απόδοση των σχολείων σε σχέση με τους "εκπαιδευτικούς" πόρους που διαθέτουν. Στο μοντέλο αυτό τα σχολεία θεωρούνται ως DMUs τα οποία μετατρέπουν τους εκπαιδευτικούς πόρους σε διδασκαλία, της οποίας η ποιότητα κρίνεται από το αποτελέσματα των μαθητών στις Πανελλήνιες Εξετάσεις. Η μέθοδος ΠΑΔ έχει χρησιμοποιηθεί πολλές φορές προκειμένου να γίνει εκπαιδευτική αξιολόγηση. Το αρχικό μοντέλο ΠΑΔ όπως αρχικά παρουσιάστηκε από τους Charnes,Cooper, και Rhodes (CCR) (1978) προέρχεται αρχικά από την διατριβή του Rhodes η οποία τελούσε υπό την επίβλεψη του Cooper και είχε σχέση με την αξιολόγηση εκπαιδευτικών προγραμμάτων μειονεκτούντων μαθητών κυρίως μαύρων και ισπανόφωνων. Για το σκοπό αυτό διεξήχθη μια σειρά μελετών που έγινε σε αρκετά δημόσια σχολεία των ΗΠΑ με την υποστήριξη της κυβέρνησης. Η προσοχή τελικά επικεντρώθηκε στο πρόγραμμα "Follow Through", μια τεράστια προσπάθεια του τμήματος Παιδείας να εφαρμόσει αρχές στατιστικού σχεδιασμού πειραματικά σε ένα σύνολο ομοιογενών σχολείων σε μια μελέτη εθνικού επιπέδου. Το έτος 1979, οι Bessent A. και Bessent W., δημοσίευσαν μια έρευνα με θέμα την αξιολόγηση 55 δημόσιων δημοτικών σχολείων που βρίσκονται σε αστική περιοχή στο Τέξας των Ηνωμένων Πολιτειών. Θέλησαν να επικεντρωθούν στην δυνατότητα εφαρμογής της μεθόδου ΠΑΔ στην διαχείριση μιας αστικής περιοχής δημόσιων σχολείων με έμφαση: α) στον προσδιορισμό των σχολικών μονάδων που κάνουν την καλύτερη χρήση των πόρων και β) στην εκτίμηση του βαθμού στον οποίο κάποιες εισροές δεν χρησιμοποιήθηκαν σωστά σε ΜΛΑ οι οποίες είναι σχετικά μη παραγωγικές. Οι εκροές ήταν ο μέσος όρος επίδοσης των μαθητών στο μάθημα της "Γλώσσας" και στα "Μαθηματικά" και οι εισροές το πλήθος των μαθητών που 50

51 παρακολούθησαν τα μαθήματα αυτά ένα πλήρες έτος, το ποσοστό των Άγγλοαμερικανών μαθητών, ποσοστό μαθητών με χαμηλό οικογενειακό εισόδημα, ποσοστό ημερήσιας προσέλευσης, αριθμό επιστημονικού προσωπικού ανά 100 μαθητές κ.α Στην Πανεπιστημιακή εκπαίδευση ο Jill Johnes το 2005 μελέτησε περισσότερα από 100 εκπαιδευτικά ιδρύματα στην Αγγλία, χρησιμοποιώντας δεδομένα του έτους Η ποσότητα και η ποιότητα των προπτυχιακών φοιτητών, η ποσότητα των μεταπτυχιακών φοιτητών, το ποσό των δαπανών για τη διοίκηση, καθώς και η αξία των πληρωμών τόκων και αποσβέσεων ήταν σημαντικές εισροές, καθώς και η ποσότητα και η ποιότητα των προπτυχιακών σπουδών, η ποσότητα των μεταπτυχιακών τίτλων σπουδών και της έρευνας ήταν σημαντικά αποτελέσματα στην τριτοβάθμια εκπαίδευση της συγκεκριμένης περιοχής που μελετήθηκε. Στην συγκεκριμένη εργασία, η επιλογή των εισροών και των εκροών έγινε με βάση το πλήθος των ΜΛΑ και τους στόχους που έχουμε θέσει και αναφέρονται παρακάτω. Εισροές Συνολικός αριθμός μαθητών του Λυκείου, προκειμένου να μετρηθεί η ποσότητα των μαθητών σε κάθε σχολείο. Ποσοστό μονίμων καθηγητών που διδάσκουν στο Λύκειο, είναι ένα μέτρο του ανθρώπινου κεφαλαίου και στοχεύει να βρει τους ανθρώπινους πόρους που χρησιμοποιούνται σε κάθε σχολείο για τη διδασκαλία. Ο λόγος που επιλέχθηκε αυτή η εισροή είναι ότι κάποια σχολεία λειτουργούν με αναπληρωτές καθηγητές οι οποίοι μπορεί να έχουν λιγότερη πείρα από τους μόνιμους και διότι οι αναπληρωτές καθηγητές συχνά προσλαμβάνονται πολύ αργότερα από την έναρξη του σχολικού έτους οδηγώντας το σχολείο σε κενές ώρες διδασκαλίας οι οποίες δύσκολα αναπληρώνονται. Αριθμός μαθητών ανά καθηγητή, προκειμένου να μετρήσουμε την αναλογία δασκάλων - μαθητών. Ο δείκτης αυτός είναι σημαντικός διότι μετράει το πλήθος των μαθητών ανά αίθουσα διδασκαλίας το οποίο παίζει σημαντικό ρόλο στην ποιότητα της παρεχόμενης εκπαίδευσης. Πολυπληθείς τάξεις δυσχεραίνουν την εκπαιδευτική διαδικασία και καθιστούν το μάθημα μη λειτουργικό. Οι μαθητές σε κάθε τάξη ή τμήμα τάξης Γυμνασίων και Γενικών 51

52 Λυκείων δεν μπορεί να υπερβαίνουν τους είκοσι επτά (27). Τάξεις με μαθητές περισσότερους από τους είκοσι επτά (27) διαιρούνται σε τμήματα. Αυτή η εισροή είναι μια αρνητική εισροή διότι όσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός των μαθητών στην τάξη τόσο δυσχεραίνει το έργο του καθηγητή. Για το λόγο αυτό στην εισαγωγή δεδομένων έχει ληφθεί η αντίστροφη τιμή της μεταβλητής αυτής. Εκροές Αριθμός αποφοίτων που πέτυχαν σε ΑΕΙ κατόπιν Πανελλαδικών Εξετάσεων που οργάνωσε το Υπουργείο Παιδείας το σχολικό έτος Ο δείκτης αυτός είναι σημαντικός για την αποτίμηση της λειτουργίας ενός Λυκείου διότι οι επιδόσεις των μαθητών που προέρχονται από εξετάσεις που διοργανώνονται σε πανελλήνιο επίπεδο από το Υπουργείο Παιδείας χαρακτηρίζονται από αντικειμενικότητα. Αριθμός αποφοίτων που πέτυχαν σε ΤΕΙ κατόπιν Πανελλαδικών Εξετάσεων που οργάνωσε το Υπουργείο Παιδείας το σχολικό έτος Ο δείκτης αυτός αφορά μια μεγάλη μερίδα μαθητών που εισάγεται σε σχολές, μερικές από τις οποίες έχουν αρκετά χαμηλή βάση εισαγωγής. Ως εκ τούτου, ο δείκτης αυτός διαφέρει σε σημαντικότητα από τον πρώτο δείκτη ο οποίος έχει αρκετά μεγαλύτερο βαθμό δυσκολίας, διότι η εισαγωγή σε σχολές ΑΕΙ απαιτεί σε γενικές γραμμές μεγαλύτερο βαθμό πρόσβασης και περισσότερα μόρια εισαγωγής. Αριθμός αποφοίτων με Γενικό Βαθμό Πρόσβασης "Άριστα" στις εξετάσεις των πανελλαδικών μαθημάτων του σχολικού έτους Γενικός Βαθμός Πρόσβασης (ΓΒΠ) είναι ο μέσος όρος των βαθμών πρόσβασης των έξι ή επτά μαθημάτων που εξετάστηκαν πανελλαδικά, με ακρίβεια δύο δεκαδικών ψηφίων. Ο Γενικός Βαθμός Πρόσβασης σε συνδυασμό με τις επιδόσεις στα μαθήματα αυξημένης βαρύτητας των επιστημονικών πεδίων καθορίζει τα μόρια κάθε υποψήφιου και αυτά με τη σειρά τους ρυθμίζουν την εισαγωγή στην Τριτοβάθμια Εκπαίδευση. Ο Γενικός Βαθμός Πρόσβασης δεν ταυτίζεται με το Βαθμό του Απολυτηρίου 52

53 του Γενικού Λυκείου αλλά χρησιμεύει μόνο για την εισαγωγή του μαθητή σε κάποιο τμήμα ή σχολή της τριτοβάθμιας εκπαίδευσης. Οι απόφοιτοι που επέτυχαν γενικό βαθμό πρόσβασης "Άριστα" είναι αυτοί που έχουν βαθμό μεγαλύτερο του 18, δηλαδή βρίσκονται στην βαθμολογική κλίμακα Ο δείκτης αυτός είναι σημαντικός, γιατί δείχνει ως επί το πλείστον, το ποσοστό των αποφοίτων που πέτυχαν σε σχολή της πρώτης τους επιλογής. Το ποσοστό μαθητών που αρίστευσαν, έφτασε το σχολικό έτος μόλις το 5,07%. 4.3 Συλλογή δεδομένων Το τρίτο στάδιο της μοντελοποίησης είναι η συλλογή των κατάλληλων δεδομένων που θα χρησιμοποιηθούν για την εφαρμογή της μεθόδου ΠΑΔ. Στην περιοχή του Δήμου Πατρέων λειτουργούν 24 Ημερήσια Γενικά Λύκεια και ένα Εσπερινό Γενικό Λύκειο. Από αυτά τα Γενικά Λύκεια του Δήμου Πατρέων επιλέχθηκαν τα 21. Τα δεδομένα που συλλέξαμε αφορούν το σχολικό έτος H συλλογή μέρους των δεδομένων έγινε με την συμπλήρωση ενός ερωτηματολογίου από αυτά τα Λύκεια. Τα στοιχεία συλλέχθηκαν από το πληροφοριακό σύστημα "myschool". To "myschool" είναι ένα ενιαίο πληροφοριακό σύστημα με στόχο την μηχανογραφική στήριξη των σχολικών μονάδων και των διοικητικών δομών της εκπαίδευσης στην Ελληνική Επικράτεια. Πρόκειται για μια νέα ηλεκτρονική πύλη του Υπουργείου Παιδείας που σκοπό έχει τη καθολική λειτουργική ενοποίηση των υφιστάμενων πληροφοριακών συστημάτων υποστήριξης της καθημερινής λειτουργίας των σχολικών μονάδων. Τα στοιχεία των επιτυχόντων σε ΑΕΙ - ΤΕΙ της κάθε σχολικής μονάδας του σχολικού έτους δόθηκαν από την Διεύθυνση Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης Νομού Αχαΐας. 4.4 Μοντέλα Εισροών-Εκροών Αρχικά, δημιουργήθηκαν τέσσερα διαφορετικά μοντέλα με διαφορετικό αριθμό εισροών και εκροών ώστε να αντιληφθούμε πώς επηρεάζεται η αποδοτικότητα σε κάθε περίπτωση. Στα τέσσερα μοντέλα εφαρμόστηκε το βασικό μοντέλο CCR με προσανατολισμό στις εισροές. Στόχος είναι η αξιολόγηση και η σύγκριση των μοντέλων αυτών σε σχέση με την αποδοτικότητα για να γίνει τελικά η επιλογή του κατάλληλου μοντέλου 53

54 εισροών-εκροών που θα χρησιμοποιηθεί στην εργασία. Τα μοντέλα αυτά παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα: Π νακας 4.2 Τέσσερα μοντέλα εισροών -εκροών Α/Α Εισροές Εκροές Μοντέλο 1 Συνολικός αριθμός μαθητών Ποσοστό μονίμων καθηγητών Αριθμός αποφοίτων που πέτυχαν σε ΑΕΙ Συνολικός αριθμός μαθητών Ποσοστό μονίμων καθηγητών Αριθμός αποφοίτων που πέτυχαν σε ΑΕΙ Αριθμός αποφοίτων που πέτυχαν σε ΤΕΙ Συνολικός αριθμός μαθητών Ποσοστό μονίμων καθηγητών Αριθμός μαθητών ανά καθηγητή Αριθμός αποφοίτων που πέτυχαν σε ΑΕΙ Αριθμός αποφοίτων με Γενικό Βαθμό Πρόσβασης "Άριστα" Συνολικός αριθμός μαθητών Ποσοστό μονίμων καθηγητών Αριθμός μαθητών ανά καθηγητή Αριθμός αποφοίτων που πέτυχαν σε ΑΕΙ Αριθμός αποφοίτων που πέτυχαν σε ΤΕΙ Αριθμός αποφοίτων με Γενικό Βαθμό Πρόσβασης "Άριστα" 3-3 Στο επόμενο κεφάλαιο, θα ακολουθήσει η υλοποίηση της μεθόδου ΠΑΔ στις παραπάνω τέσσερις περιπτώσεις με την βοήθεια του λογισμικού AIMMS. Επίσης θα γίνει η εφαρμογή των δύο βασικών μοντέλων της ΠΑΔ (CCR και BCC) στα δεδομένα έτσι ώστε να εξετάσουμε την αποδοτικότητα ή μη των μονάδων και να γίνει σύγκριση των αποτελεσμάτων. 54

55 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Εφαρμογή της Περιβάλλουσας Ανάλυσης Δεδομένων Η μέθοδος ΠΑΔ μας δίνει την δυνατότητα να καταγράψουμε τη σχετική αποδοτικότητα μιας λειτουργικής μονάδας στο δίκτυο ενός οργανισμού. Η μέθοδος συγκρίνει για κάθε μονάδα απόφασης (εδώ τα σχολεία) την κατανάλωση των πόρων (εισροές) με την παραγωγή έργου (εκροές) αυτής της μονάδας. Η μεθοδολογία προσδιορίζει τις μονάδες με μέγιστη αποδοτικότητα, δηλαδή με σχετική αποδοτικότητα 100% των πόρων τους και με βάση αυτές σχηματίζει το σύνορο αποδοτικότητας του οργανισμού. Για την εφαρμογή της μεθόδου αυτής στα δεδομένα χρησιμοποιήθηκε το πρόγραμμα AIMMS (Advanced Integrated Multidimensional Modeling System). Το πρόγραμμα αυτό είναι ένα ολοκληρωμένο σύστημα λογισμικού, σχεδιασμένο για τη μοντελοποίηση και την επίλυση μεγάλης κλίμακας προβλημάτων βελτιστοποίησης και έχει αναπτυχθεί από την εταιρεία Paragon Decision Technology. Το πληροφοριακό αυτό σύστημα μοντελοποιεί και επιλύει γενικότερα προβλήματα μαθηματικού προγραμματισμού (ακέραιου, μη γραμμικού, τετραγωνικού, κλπ). Από τα ερωτηματολόγια που συμπλήρωσαν τα σχολεία καθώς και τα αρχεία Excel με τους βαθμούς πρόσβασης και τους επιτυχόντες ΑΕΙ -ΤΕΙ του σχολικού έτους συλλέχθηκαν τα δεδομένα και καταγράφτηκαν. Για κάθε ένα σχολείο συλλέχθηκαν τιμές για τις 3 εισροές και 3 εκροές που αναφέραμε παραπάνω. Τα ονόματα των εισροών-εκροών με τα αναγνωριστικά τους φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. Π νακας 5.1 Αναγνωριστικά εισροών - εκροών εισροές εκροές Λεκτικό Αναγνωριστικό Λεκτικό Αναγνωριστικό Συνολικός αριθμός μαθητών Ποσοστό μονίμων καθηγητών Αριθμός μαθητών ανά καθηγητή num_of_stud perc_teach stud_per_teach Αριθμός εισαχθέντων σε ΑΕΙ Αριθμός εισαχθέντων σε ΤΕΙ Αριθμός αποφοίτων με Γενικό Βαθμό Πρόσβασης > 18 succ_aei succ_tei GVP_Exc 55

56 Αφού καθορίστηκαν οι μεταβλητές των εισροών και εκροών, δημιουργήθηκε αρχικά ένα αρχείο Excel με τα δεδομένα των μονάδων που θα αξιολογηθούν τα οποία στη συνέχεια τα εισάγουμε στο πρόγραμμα AIMMS. Ο παρακάτω πίνακας περιέχει τα συγκεντρωτικά στατιστικά των εισροών-εκροών για τα 21 Γενικά Λύκεια του Δήμου Πατρέων. Π νακας 5.2 Συγκεντρωτικά στατιστικά Γενικών Λυκείων του δήμου Πατρέων, Μεταβλητή Μέσος όρος Τυπική Απόκλιση Ελάχιστη τιμή Μέγιστη τιμή Αριθμός μαθητών 234,619 85, Ποσοστό μονίμων καθηγητών 77,23 17,44 44, Αναλογία μαθητών /καθηγητή 10,33 3,09 3,85 16 Αριθμός επιτυχόντων σε ΑΕΙ 49,71 21, Αριθμός επιτυχόντων σε ΤΕΙ 15,14 6, Αριθμός με Γεν. Βαθμό Πρόσβασης "Άριστα" 5,47 4, Η μέτρηση της τεχνικής αποδοτικότητας με την χρήση της μεθόδου της ΠΑΔ, απαιτεί για κάποιες από τις εισροές να καθιερώσουμε νέα κλίμακα έτσι ώστε συσχετίζονται θετικά με το διάνυσμα παραγωγής. Για παράδειγμα η αναλογία μαθητές/καθηγητή είναι μεταβλητή που συνδέεται αρνητικά. Γι' αυτό το λόγο στο μοντέλο παίρνουμε το λόγο (1/x). Λογισμικό AIMMS Το επόμενο βήμα είναι να εισάγουμε τις πληροφορίες στο πρόγραμμα ΑΙΜΜS. Το λογισμικό ΑΙΜΜS είναι από τα πιο γνωστά λογισμικά βελτιστοποίησης συστημάτων που είναι σχεδιασμένο για την μοντελοποίηση και επίλυση μεγάλων προβλημάτων βελτιστοποίησης. Αποτελείται από μια αλγεβρική γλώσσα μοντελοποίησης και ένα ενσωματωμένο περιβάλλον ανάπτυξης για την επεξεργασία των μοντέλων. Η αρχική οθόνη του προγράμματος είναι η ακόλουθη: 56

57 Εικόνα 5.1 Η αρχική οθόνη του προγράμματος AIMMS. Η αρχική οθόνη του προγράμματος χωρίζεται σε δύο μέρη. Στο αριστερό μέρος υπάρχει το παράθυρο Model Explorer. Όλα τα στοιχεία του μοντέλου εκπροσωπούνται εκεί στον Model Explorer, ο οποίος είναι διαθέσιμος και από την εντολή "Tools" της γραμμής εντολών. Αυτός δομείται από 4 μέρη: Declaration: Κάθε αντικείμενο του μοντέλου (σύνολο, πίνακας κ.α) πρέπει να δηλωθεί και να ονομαστεί πριν αρχικοποιηθεί. Initialization: Η διαδικασία "MainInitiazation" δίνει τιμές στα στοιχεία (αναγνωριστικά) που έχουν δηλωθεί στο μοντέλο. Execution: Η διαδικασία "MainExecution" χρησιμοποιείται για την επίλυση του μοντέλου βελτιστοποίησης. Εκτελείται όταν επιλέξεις "Main Execution" στο μενού "Run". Termination: Αυτή η διαδικασία αυτομάτως εκτελείται όταν κλείσεις την εργασία και υπάρχει ερώτηση αν θέλεις να αποθηκεύσεις ή όχι τα δεδομένα. Το πρόγραμμα AIMMS χρησιμοποιεί καθορισμένα στοιχεία της μαθηματικής βελτιστοποίησης όπως παραμέτρους, μεταβλητές, περιορισμούς, αντικειμενικές συναρτήσεις. 57

58 Εικόνα 5.2 Στοιχεία του προγράμματος AIMMS. Parameters: Οι παράμετροι χρησιμοποιούνται για αποθηκεύσουμε δεδομένα αριθμητικά και δεδομένα χαρακτήρων. Στην συγκεκριμένη εργασία, έχουν δημιουργηθεί οι παρακάτω παράμετροι: Π νακας 5.3 Δημιουργία πινάκων στο πρόγραμμα AIMMS Παράμετρος Values (d, c) InputLevel(d, ic) OutputLevel(d, oc) RelativeEfficiency(d) InWeights(d, ic) OutWeights(d, oc) FinalLamdas(d, d1) Reference_units(d, d1) Λειτουργία Πίνακας 21x6 στον οποίο εισάγονται τα αριθμητικά δεδομένα. Πίνακας 21x3 στον οποίο εισάγονται οι τιμές των εισροών. Πίνακας 21x3 στον οποίο εισάγονται οι τιμές των εκροών. Διάνυσμα 21x1 στο οποίο αποθηκεύονται οι σχετικές αποδοτικότητες των μονάδων. Πίνακας 21x3 ο οποίος αποθηκεύει τα βάρη των εισροών για κάθε μια μονάδα. Πίνακας 21x3 ο οποίος αποθηκεύει τα βάρη των εκροών για κάθε μια μονάδα. Πίνακας 21x21 ο οποίος αποθηκεύει τις σκιώδεις τιμές για κάθε μονάδα. Πίνακας 21x21 ο οποίος αποθηκεύει τις μονάδες αναφοράς που σχετίζονται με τις μη αποδοτικές μονάδες 58

59 Variables: είναι άγνωστες ποσότητες που μπορούν να δεικτοδοτηθούν. Ένα εύρος μπορεί να καθοριστεί για κάθε μεταβλητή όπως: πραγματική, μη αρνητική, ακέραια, δυαδική. Οι βασικές μεταβλητές που θα χρησιμοποιηθούν στην εργασία είναι οι ακόλουθες: Μεταβλητές WeightInput(d, ic) WeightOutput(d, oc) RelativeEfficiencyRatio Λειτουργία κρατάει τα βάρη των εισροών κάθε ΜΛΑ. κρατάει τα βάρη των εκροών κάθε ΜΛΑ. κρατάει τη σχετική αποδοτικότητα κάθε ΜΛΑ όπως υπολογίζεται από το μοντέλο. Constraints: χρησιμοποιούνται για να περιορίσουν τις τιμές των μεταβλητών. Περιορισμοί Λειτουργία RatioConstraint1(d) Αφορά τον πρώτο περιορισμό RatioConstraint2 Αφορά τον δεύτερο περιορισμό Sets: χρησιμοποιούνται για να προσδιορίσουν σύνολα από ενεργά στοιχεία του μοντέλου. Τα σύνολα μπορεί να έχουν ως στοιχεία χαρακτήρες ή ακεραίους. Στην εργασία δημιουργούνται 4 σύνολα: Σύνολο Λειτουργία DecisionMakingUnits Περιέχει όλες τις ΜΛΑ {DMU-A...DMU-U} Categories data { GVP_Exc, num_of_stud, perc_teach, stud_per_teach, succ_aei, succ_tei } InputCategories data { 'num_of_stud', 'perc_teach', 'stud_per_teach' } OutputCategories data { 'succ_aei', 'succ_tei', GVP_Exc } Indices: χρησιμοποιούνται για να αναφερθούμε σε ένα στοιχείο ενός συνόλου. Δημιουργούνται αρχικά όταν προσδιορίζουμε ένα δείκτη ενός συνόλου. 59

60 Data manager Μέσω του προγράμματος AIMMS μπορείς να δημιουργήσεις και να αποθηκεύσεις πολλαπλές περιπτώσεις (cases) οι οποίες χρησιμοποιούνται στην αποθήκευση των δεδομένων και των αποτελεσμάτων. Ενσωματώνοντας διαφορετικές περιπτώσεις (cases) μπορούμε εύκολα να δούμε τις διαφορές των διαφορετικών περιπτώσεων και να εξάγουμε κατάλληλα συμπεράσματα. Στην συγκεκριμένη εργασία έχουν δημιουργηθεί τέσσερις διαφορετικές περιπτώσεις οι οποίες χρησιμοποιήθηκαν για να αποθηκεύσουν τα δεδομένα και τα αποτελέσματα τεσσάρων περιπτώσεων με διαφορετικό πλήθος εισροών και εκροών. Οι περιπτώσεις αυτές φαίνονται στην παρακάτω εικόνα. Εικόνα 5.3 Data Manager Η πρώτη περίπτωση (First Experiment) ερευνά μοντέλο που αποτελείται από 2 εισροές και 1 εκροή. Η δεύτερη περίπτωση (Second Experiment) ερευνά μοντέλο που αποτελείται από 2 εισροές και 2 εκροές Η τρίτη περίπτωση (Third Experiment) ερευνά μοντέλο που αποτελείται από 3 εισροές και 2 εκροές. Τέλος, η τέταρτη περίπτωση (Fourth Experiment) ερευνά μοντέλο που αποτελείται από 3 εισροές και 3 εκροές. 60

61 Εφαρμογή της ΠΑΔ - 4 διαφορετικά μοντέλα εισροών-εκροών Χρησιμοποιώντας το λογισμικό AIMMS θα εφαρμόσουμε την μέθοδο ΠΑΔ στα τέσσερα μοντέλα εισροών-εκροών που προαναφέρθηκαν για να εξετάσουμε την αποδοτικότητα ή μη των σχολικών μονάδων. Μοντέλο 1 (First Experiment) εισροές: Συνολικός αριθμός μαθητών - Ποσοστό μονίμων καθηγητών εκροή: Αριθμός επιτυχόντων σε ΑΕΙ Η σχετική αποδοτικότητα του μοντέλου 1 που παρήχθη αφού τρέξουμε την αντίστοιχη διαδικασία στο πρόγραμμα ΑΙΜΜS φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: Εικόνα 5.4 Η σχετική αποδοτικότητα του 1ου μοντέλου στο πρόγραμμα ΑΙΜΜS ΣΧΕΤΙΚΗ ΑΠΟΔΟΤΙΚΟΤΗΤΑ 61 ΣΕΙΡΑ KATATAΞΗΣ DMU-G 1 1 DMU-I 1 1 DMU-U 1 1 DMU-H 0, DMU-K 0, DMU-N 0, DMU-B 0, DMU-T 0, DMU-D 0, DMU-Q 0, DMU-P 0,

62 DMU-E 0, DMU-A 0, DMU-F 0, DMU-S 0, DMU-O 0, DMU-C 0, DMU-M 0, DMU-R 0, DMU-L 0, DMU-J 0, Π νακας 5.4 Σειρά κατάταξης ΜΛΑ του 1ου μοντέλου Στη συγκεκριμένη περίπτωση βλέπουμε τρεις ΜΛΑ να είναι πλήρως αποδοτικές, να έχουν δηλαδή σχετική αποδοτικότητα 1 και αυτές είναι οι μονάδες DMU-G, DMU-I, DMU-U, ενώ οι μονάδες με πολύ χαμηλή αποδοτικότητα σε σχέση με τις άλλες (με αποδοτικότητα από 60% και κάτω) είναι οι μονάδες DMU-Ο, DMU-C, DMU-M, DMU-R, DMU-L και DMU-J. Μοντέλο 2 (Second Experiment) εισροές: Συνολικός αριθμός μαθητών - Ποσοστό μονίμων καθηγητών εκροές: Αριθμός επιτυχόντων σε ΑΕΙ - Αριθμός επιτυχόντων σε ΤΕΙ Η σχετική αποδοτικότητα του μοντέλου 2 που παρήχθη αφού τρέξουμε την αντίστοιχη διαδικασία στο πρόγραμμα ΑΙΜΜS φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: Εικόνα 5.5 Η σχετική αποδοτικότητα του 2ου μοντέλου στο πρόγραμμα ΑΙΜΜS 62

63 ΣΧΕΤΙΚΗ ΑΠΟΔΟΤΙΚΟΤΗΤΑ ΣΕΙΡΑ KATATAΞΗΣ DMU-G 1 1 DMU-I 1 1 DMU-J 1 1 DMU-K 1 1 DMU-P 1 1 DMU-U 1 1 DMU-H 0, DMU-N 0, DMU-B 0, DMU-E 0, DMU-R 0, DMU-A 0, DMU-T 0, DMU-F 0, DMU-O 0, DMU-D 0, DMU-Q 0, DMU-S 0, DMU-M 0, DMU-C 0, DMU-L 0, Π νακας 5.5 Σειρά κατάταξης ΜΛΑ του 2ου μοντέλου Στην δεύτερη περίπτωση βλέπουμε το σύνολο των ΜΛΑ που είναι πλήρως αποδοτικές να αυξάνεται από τρεις σε έξι. Αυτές είναι οι μονάδες DMU-G, DMU-I, DMU-J, DMU-K, DMU-P, DMU-U, ενώ οι μονάδες με πολύ χαμηλή αποδοτικότητα σε σχέση με τις υπόλοιπες είναι οι μονάδες DMU-M, DMU-C, DMU-L. Η αύξηση των αποδοτικών μονάδων οφείλεται στην αύξηση των εκροών από μία σε δύο, γεγονός που βοηθάει να κριθούν αποδοτικότερες περισσότερες μονάδες. Μοντέλο 3 (Third Experiment) εισροές: Συνολικός αριθμός μαθητών - Ποσοστό μονίμων καθηγητών - Αριθμός μαθητών ανά καθηγητή εκροές: Αριθμός αποφοίτων που πέτυχαν σε ΑΕΙ - Αριθμός αποφοίτων με Γενικό Βαθμό Πρόσβασης > 18. Η σχετική αποδοτικότητα του μοντέλου 3 που παρήχθη αφού τρέξουμε την αντίστοιχη διαδικασία στο πρόγραμμα ΑΙΜΜS φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: 63

64 Εικόνα 5.6 Η σχετική αποδοτικότητα του 3ου μοντέλου ΣΧΕΤΙΚΗ ΑΠΟΔΟΤΙΚΟΤΗΤΑ ΣΕΙΡΑ KATATAΞΗΣ DMU-B 1 1 DMU-G 1 1 DMU-I 1 1 DMU-N 1 1 DMU-T 1 1 DMU-U 1 1 DMU-D 0, DMU-K 0, DMU-H 0, DMU-A 0, DMU-Q 0, DMU-P 0, DMU-E 0, DMU-F 0, DMU-S 0, DMU-O 0, DMU-C 0, DMU-M 0, DMU-R 0, DMU-L 0, DMU-J 0, Π νακας 5.6 Σειρά κατάταξης ΜΛΑ του 3ου μοντέλου 64

65 Στην τρίτη περίπτωση βλέπουμε πάλι έξι ΜΛΑ να είναι πλήρως αποδοτικές, να έχουν δηλαδή σχετική αποδοτικότητα 1. Αυτές τώρα όμως είναι οι μονάδες DMU-B, DMU-G, DMU-I, DMU-N, DMU-T, DMU-U. Οι μονάδες αυτές δεν είναι ακριβώς οι ίδιες με την περίπτωση 2 και αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι αντί της εκροής "Αριθμός επιτυχόντων σε ΤΕΙ", υπάρχει τώρα η εκροή "Αριθμός με Γενικό Βαθμό Πρόσβασης >18". Η εκροή αυτή είναι πιο απαιτητική, αποτελεί πιο δύσκολο στόχο, με αποτέλεσμα να αλλάζει η αποδοτικότητα των μονάδων. Οι μονάδες με πολύ χαμηλή αποδοτικότητα σε σχέση με τις άλλες είναι οι μονάδες DMU-O, DMU-C, DMU-M, DMU-R, DMU-L και DMU-J. Μοντέλο 4 (Fourth Experiment) εισροές: Συνολικός αριθμός μαθητών - Ποσοστό μονίμων καθηγητών - Αριθμός μαθητών ανά καθηγητή εκροές: Αριθμός επιτυχόντων σε ΑΕΙ - Αριθμός επιτυχόντων σε ΤΕΙ - Αριθμός αποφοίτων με Γενικό Βαθμό Πρόσβασης > 18. Η σχετική αποδοτικότητα του μοντέλου 4 φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: Εικόνα 5.7 Η σχετική αποδοτικότητα του 4ου μοντέλου 65

66 ΣΧΕΤΙΚΗ ΑΠΟΔΟΤΙΚΟΤΗΤΑ ΣΕΙΡΑ KATATAΞΗΣ DMU-A 1 1 DMU-B 1 1 DMU-G 1 1 DMU-I 1 1 DMU-J 1 1 DMU-K 1 1 DMU-N 1 1 DMU-P 1 1 DMU-T 1 1 DMU-U 1 1 DMU-D 0, DMU-H 0, DMU-E 0, DMU-Q 0, DMU-R 0, DMU-F 0, DMU-O 0, DMU-S 0, DMU-M 0, DMU-C 0, DMU-L 0, Π νακας 5.7 Σειρά κατάταξης ΜΛΑ του 4ου μοντέλου Στην τέταρτη περίπτωση βλέπουμε δέκα ΜΛΑ να είναι πλήρως αποδοτικές. Αυτές είναι οι μονάδες DMU-A, DMU-B, DMU-G, DMU-I, DMU-J, DMU-K, DMU-N, DMU-P, DMU-T και DMU-U. Η αύξηση των αποδοτικών μονάδων από έξι σε δέκα γίνεται διότι εισάγεται επιπλέον η εκροή "Αριθμός επιτυχόντων σε ΤΕΙ", αυξάνοντας τον αριθμό των εκροών από δύο σε τρεις, γεγονός που αυξάνει το πλήθος των αποδοτικών μονάδων. Οι μονάδες που έχουν χαμηλή αποδοτικότητα είναι οι DMU-M, DMU-C και DMU-L. Οι μονάδες αυτές έχουν γενικά χαρακτηριστεί με πολλή χαμηλή αποδοτικότητα σε όλα τα μοντέλα. Στις μονάδες αυτές οι υψηλές καταναλώσεις σε "εκπαιδευτικούς" πόρους δεν αντισταθμίζονται από αντίστοιχα υψηλές επιδόσεις στα αποτελέσματα των εξετάσεων των τελειόφοιτων μαθητών και για το λόγο αυτό καταδεικνύονται ως μη αποδοτικές. Ενδιαφέρον παρουσιάζει το παράδειγμα της DMU-M, η οποία παρόλο που καταναλώνει αρκετούς πόρους (αριθμός μαθητών: 182, ποσοστό μονίμων καθηγητών: 100%, δείκτη Μαθητή ανά καθηγητή: 0,11), αυτοί δεν μπορούν να 66

67 ισοσταθμιστούν με αντίστοιχες υψηλές αποδόσεις στα αποτελέσματα των μαθητών (αριθμός επιτυχόντων σε ΑΕΙ: 34, Αριθμός επιτυχόντων σε ΤΕΙ: 11, Γενικός Βαθμός πρόσβασης "Άριστα": 0). Το ίδιο ενδιαφέρον παρουσιάζει και η μονάδα DMU-L, η οποία και αυτή καταναλώνει αρκετούς "εκπαιδευτικούς" πόρους (αριθμός μαθητών: 130, ποσοστό μονίμων καθηγητών: 71,43%, δείκτη Μαθητή ανά καθηγητή: 0,154), αλλά τα χαμηλά αποτελέσματα των μαθητών της (αριθμός επιτυχόντων σε ΑΕΙ: 18, Αριθμός επιτυχόντων σε ΤΕΙ: 5, Γενικός Βαθμός πρόσβασης Άριστα: 0), δεν αντισταθμίζουν τους υψηλούς πόρους με αποτέλεσμα η μονάδα να χαρακτηρίζεται ως μη αποδοτική. 5.2 Συγκεντρωτικά αποτελέσματα Τα αποτελέσματα της σχετικής αποδοτικότητας των τεσσάρων μοντέλων με διαφορετικό πλήθος εισροών-εκροών που χρησιμοποιήθηκαν είναι συγκεντρωμένα στον παρακάτω πίνακα. Πίνακας 5.8 Η σχετική αποδοτικότητα των τεσσάρων μοντέλων 1ο ΜΟΝΤΕΛΟ 2ο ΜΟΝΤΕΛΟ 3ο ΜΟΝΤΕΛΟ 4ο ΜΟΝΤΕΛΟ DMU-A 0,7268 0,8300 0, DMU-B 0,9070 0, DMU-C 0,5826 0,5940 0,5834 0,5957 DMU-D 0,7904 0,7904 0,9345 0,9438 DMU-E 0,6847 0,8632 0,7805 0,9129 DMU-F 0,6982 0,8158 0,7046 0,8158 DMU-G DMU-H 0,9303 0,9303 0,9315 0,9315 DMU-I DMU-J 0, , DMU-K 0, , DMU-L 0,4255 0,4921 0,4273 0,4921 DMU-M 0,5740 0,6883 0,5766 0,6883 DMU-N 0,9072 0, DMU-O 0,5430 0,7975 0,5870 0,7975 DMU-P 0, , DMU-Q 0,7455 0,7836 0,8517 0,8517 DMU-R 0,4076 0,8311 0,4467 0,8311 DMU-S 0,5874 0,7237 0,6072 0,7735 DMU-T 0,7269 0, DMU-U Πλήθος αποδοτικών DMUs

68 Ο παραπάνω πίνακας καταδεικνύει ότι όσο αυξάνεται το πλήθος των εισροών και εκροών αυξάνεται και το πλήθος των αποδοτικών μονάδων, γεγονός που οφείλεται στην αύξηση των περιορισμών. Η ανησυχία με το πρότυπο ΠΑΔ είναι ότι αν όλες οι μονάδες υιοθετήσουν τα ευνοϊκότερα βάρη τους, μπορούν όλες να εμφανιστούν αποδοτικές. Με τα στοιχεία των σχολικών μονάδων φαίνεται ότι υπάρχει στην πραγματικότητα μια ιδιαίτερη διαφορά στις αποδοτικότητες. Στο μοντέλο CCR που εξετάσαμε η DMU-L παρουσιάζεται να έχει αποδοτικότητα μόνο Αυτό μπορεί να ερμηνευτεί λέγοντας ότι η DMU-L πρέπει να είναι σε θέση να υποστηρίξει τα επίπεδα δραστηριότητάς της με μόνο το 49,2% των πόρων της. Στην πραγματικότητα οκτώ από τα σχολεία έχουν αποδοτικότητα κάτω από 0.9 δείχνοντας ένα δίκαιο βαθμό διάκρισης. 5.3 Επιλογή κατάλληλου μοντέλου για μελέτη Παρακάτω θα εξεταστεί αποκλειστικά και μόνο το 4ο μοντέλο το οποίο χρησιμοποιεί όλα τα δεδομένα (3 εισροές - 3 εκροές) και είναι το πλέον κατάλληλο για την έρευνα που διεξάγεται, δεδομένου ότι το πλήθος των μονάδων είναι 21 και είναι μεγαλύτερο από το τριπλάσιο του αθροίσματος του πλήθους των εισροών και των εκροών μαζί. Η αξιολόγηση των μονάδων θα γίνει αρχικά και με τα δύο μοντέλα (το μοντέλο CCR και το μοντέλο BCC) έτσι ώστε να δούμε τις διαφορές τους και να επιλέξουμε αυτό που είναι το πλέον κατάλληλο για την έρευνα που διεξάγεται Εφαρμογή των μοντ λων CCR και BCC στα δεδομ να Το μοντέλο CCR επιτρέπει σταθερές αποδόσεις κλίμακας, δηλαδή οποιαδήποτε αλλαγή προκύψει στις εισροές θα προκύψει ανάλογη αλλαγή και στις εκροές. Σε ένα μοντέλο σταθερής κλίμακας (Constant Returns to scale - CRS) μια αύξηση ή μείωση των εισροών επιφέρει την αύξηση ή μείωση των εκροών με την ίδια αναλογία. Το μοντέλο BCC αυτό επιτρέπει μεταβλητές αποδόσεις κλίμακας (Variable Returns to scale - VRS) και με αυτόν τον τρόπο οδηγείται σε διαφορετικό σύνορο αποδοτικότητας. Το σύνορο αυτό αποτελείται από την κυρτή θήκη των μονάδων απόφασης, σε αντίθεση με το σύνορο αποδοτικότητας του μοντέλου CCR το οποίο είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα με ακμές τις αποδοτικές μονάδες. Τα αποτελέσματα από 68

69 την επίλυση των μοντέλων αυτού μέσω του προγράμματος AIMMS φαίνονται παρακάτω: Π νακας 5.9 Σύγκριση μοντέλων CCR και BCC ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ ΣΤΙΣ ΕΙΣΡΟΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ ΣΤΙΣ ΕΚΡΟΕΣ MONTEΛO CCR MONTEΛΟ BCC MONTEΛO CCR MONTEΛΟ BCC DMU-A 1 1 DMU-A 1 1 DMU-B 1 1 DMU-B 1 1 DMU-C 0, , DMU-C 0, , DMU-D 0, , DMU-D 0, , DMU-E 0, , DMU-E 0, , DMU-F 0, , DMU-F 0, , DMU-G 1 1 DMU-G 1 1 DMU-H 0, , DMU-H 0, , DMU-I 1 1 DMU-I 1 1 DMU-J 1 1 DMU-J 1 1 DMU-K 1 1 DMU-K 1 1 DMU-L 0, , DMU-L 0, , DMU-M 0, , DMU-M 0, , DMU-N 1 1 DMU-N 1 1 DMU-O 0, DMU-O 0, DMU-P 1 1 DMU-P 1 1 DMU-Q 0, , DMU-Q 0, DMU-R 0, , DMU-R 0, , DMU-S 0, , DMU-S 0, , DMU-T 1 1 DMU-T 1 1 DMU-U 1 1 DMU-U 1 1 Σύνολο Αποδοτικών DMU's Σύνολο Αποδοτικών DMU's Από την μελέτη του παραπάνω πίνακα παρατηρούμε τα εξής: Οι ΜΛΑ που χαρακτηρίζονται πλήρως αποδοτικές στο μοντέλο που είναι προσανατολισμένο στις εισροές, χαρακτηρίζονται πλήρως αποδοτικές και στο μοντέλο που είναι προσανατολισμένο στις εκροές. Μία ΜΛΑ που είναι μη αποδοτική στο πρώτο μοντέλο, είναι μη αποδοτική και στο δεύτερο μοντέλο. Στην περίπτωση του μοντέλου BCC παρατηρείται μια γενικότερη αύξηση της αποδοτικότητας με χαρακτηριστική την αύξηση της μονάδας DMU-L από 0,492 σε 0,827 γεγονός που υποδηλώνει τον ρόλο του μεγέθους της κλίμακας στην μονάδα αυτή στην περίπτωση που το μοντέλο είναι προσανατολισμένο στις εισροές. 69

70 Το μοντέλο CCR αποδίδει την ίδια σχετική αποδοτικότητα στις ΜΛΑ ανεξάρτητα από το αν είναι προσανατολισμένο στις εισροές ή στις εκροές. Ένα CCR μοντέλο προσανατολισμένο στις εισροές θα είναι το ίδιο αποδοτικό για κάθε ΜΛΑ με το μοντέλο το οποίο είναι προσανατολισμένο στις εκροές. Αυτό όμως δεν ισχύει για το μοντέλο BCC όπου εκεί υπάρχουν διαφορές στις αποδοτικότητες Η μονάδα DMU-Ο στο μοντέλο CCR χαρακτηρίζεται μη αποδοτική (δείκτης αποδοτικότητας 0,797489), ενώ στο μοντέλο BCC χαρακτηρίζεται πλήρως αποδοτική γεγονός που υποδηλώνει τον ρόλο του μεγέθους της κλίμακας στην μονάδα αυτή. Το μοντέλο που θα υιοθετηθεί από εδώ και κάτω θα είναι προσανατολισμένο στις εκροές (output oriented) διότι στόχος αυτής της εργασίας δεν είναι η εξοικονόμηση πόρων αλλά η μεγιστοποίηση των εκροών χρησιμοποιώντας τους δεδομένους πόρους που έχουμε. Επίσης στόχος είναι η παροχή πληροφοριών και προτύπων προς τις μη αποδοτικές μονάδες έτσι ώστε να υιοθετήσουν στρατηγικές καλύτερης αξιοποίησης των πόρων τους. Έτσι η σχετική αποδοτικότητα των ΜΛΑ υπολογίστηκε με βάση την δυνατότητά τους να αυξήσουν τις εκροές με δεδομένα τα υφιστάμενα επίπεδα εισροών. Τα αποτελέσματα στην περίπτωση του μοντέλου CCR και BCC καθώς και η ποσοστιαία αύξηση που παρατηρείται αν η αξιολόγηση γίνει βάσει του μοντέλου που είναι προσανατολισμένο στις εκροές φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. Π νακας 5.10 Αποτελέσματα σχετικής αποδοτικότητας μοντέλων CCR και BCC ΜΟΝΤΕΛΟ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ ΣΤΙΣ ΕΚΡΟΕΣ DMU CCR BCC % αύξηση Α B C 0, , ,54 D 0, , ,33 E 0, , ,06 F 0, , ,11 G H 0, , ,56 I J K

71 L 0, , ,09 M 0, , ,22 N O 0, ,39 P Q 0, ,41 R 0, , ,82 S 0, , ,24 T U Πλήθος αποδοτικ ών ΜΛΑ Από τον παραπάνω πίνακα παρατηρείται μια μικρή αύξηση στο πλήθος αποδοτικών μονάδων αν χρησιμοποιηθεί το μοντέλο BCC. Πράγματι το πλήθος των αποτελεσματικών μονάδων χρησιμοποιώντας το μοντέλο CCR είναι δέκα (10) και το ποσοστό των αποδοτικών μονάδων είναι 47,62%, ενώ χρησιμοποιώντας το μοντέλο BCC το πλήθος των αποδοτικών μονάδων αυξάνεται από δέκα (10) σε δώδεκα (12) και το ποσοστό των αποδοτικών μονάδων γίνεται 57,14%. Το μοντέλο αυτό χαρακτηρίζει πλήρως αποδοτικές τις DMU-Ο και DMU-Q. Συνολικά παρατηρείται μια γενικότερη αύξηση του βαθμού αποδοτικότητας όλων των μονάδων. Χαρακτηριστική είναι η αύξηση στην αποδοτικότητα της μονάδας της DMU-O από 0,7975 σε 1 (ποσοστιαία αύξηση 25,39%), της DMU-L από 0,4921 σε 0,5811 (ποσοστιαία αύξηση 18,09%) και της DMU-Q από 0,8517 σε 1 (ποσοστιαία αύξηση 17,41%). Η αύξηση αυτή οφείλεται στο γεγονός ότι η εφικτή περιοχή του μοντέλου BCC είναι μεγαλύτερη από αυτή του μοντέλου CCR, λόγω του περιορισμού της κυρτότητας με αποτέλεσμα να είναι δυνατοί υψηλότεροι βαθμοί αποδοτικότητας και έτσι να χαρακτηρίζονται περισσότερες μονάδες αποδοτικές. Το μοντέλο BCC δίνει ένα μέτρο της καθαρής τεχνικής αποδοτικότητας που αγνοεί τις επιπτώσεις του μεγέθους της κλίμακας, συγκρίνοντας μια DMU με μια μονάδα παρόμοιων σε κλίμακα μονάδων. Στην έρευνα που διεξάγεται θα χρησιμοποιήσουμε το μοντέλο BCC με προσανατολισμό στις εκροές που είναι το πλέον κατάλληλο μοντέλο για να αποδώσει την εκπαιδευτική αξιολόγηση. 71

72 Η επίλυση της μεθόδου της ΠΑΔ για το συγκεκριμένο μοντέλο έχει ως στόχο: 1. Τη μέτρηση της σχετικής αποδοτικότητας (Relative efficiency measure) για κάθε μονάδα του συνόλου. 2. Τον καθορισμό ενός υποσυνόλου ομότιμων μονάδων (peer group) για κάθε μη αποδοτική μονάδα. 3. Tον υπολογισμό των χαλαρώσεων (slacks) των εισροών και των εκροών για να εντοπιστούν οι ΜΛΑ που είναι πλήρως αποδοτικές. 4. Τον καθορισμό ενός συνόλου στόχων (target setting) για κάθε μη αποδοτική μονάδα. 5. Την προσθήκη περιορισμών στα βάρη έτσι ώστε τα αποτελέσματα που θα προκύψουν από την αξιολόγηση να είναι πιο ρεαλιστικά. 72

73 5.4 Μοντέλο BCC με προσανατολισμό στις εκροές Σ νολο Αναφοράς (Reference Set) Για κάθε μία μη αποδοτική μονάδα η μέθοδος ΠΑΔ καθορίζει ένα σύνολο από αντίστοιχες αποδοτικές μονάδες οι οποίες λέγεται ότι σχηματίζουν σύνολα αναφοράς (Reference Set) ή αλλιώς ομότιμα σύνολα (peer groups). Το σύνολο αναφοράς μιας δοσμένης ΜΛΑ αποτελείται από μια λίστα αποδοτικών ΜΛΑ των οποίων η απόδοση χρησιμοποιείται για να υπολογιστεί η αποδοτικότητα της δοσμένης μονάδας. Το επόμενο γράφημα δείχνει την απόδοση διαφορετικών σχολικών μονάδων βασισμένη σε 2 εκροές: επιτυχόντες ΑΕΙ, επιτυχόντες ΤΕΙ και μία εισροή: αριθμός μαθητών. Επιτυχόντες ΤΕΙ /αριθμό μαθητών 6 R 5 4 Σύνορο αποδοτικότητας B Α E 3 F D C' 2 Σύνολο παραγωγικών δυνατοτήτων C 1 G Επιτυχόντες ΑΕΙ/αριθμό μαθητών Γράφημα 5.1 Σύνορο αποδοτικότητας- Μονάδες αναφοράς Στο παραπάνω γράφημα, η DMU-C δεν είναι αποδοτική διότι δεν βρίσκεται πάνω στο σύνορο αποδοτικότητας. Προκειμένου η μονάδα αυτή να γίνει αποδοτική πρέπει να φτάσει το σύνορο αποδοτικότητας φέρνοντας την προβολή της στο σημείο C'. Αυτή η ακτινική προβολή αντιστοιχεί στην τεχνική αναποτελεσματικότητα της DMU-C. Το σημείο C' βρίσκεται ανάμεσα στις μονάδες DMU-F και DMU-G. Οι μονάδες αυτές καλούνται σύνολο αναφοράς της μονάδας DMU-C. Ορισμός (Reference Set). Έστω μια βέλτιστη λύση του δυικού μοντέλου BCC (Μ9) που αντιστοιχεί σε μια δοσμένη που αντιστοιχούν σε θετικό συμβολίζουμε. Καθορίζουμε το σύνολο των DMUs ως το σύνολο αναφοράς (RS) της ως: 73 και το

74 Κάθε μέλος του συνόλου καλείται μονάδα αναφοράς της μονάδας Για κάθε μία μη αποδοτική μονάδα η λύση του δυικού προβλήματος του γραμμικού προγραμματισμού (Μ9), αναδεικνύει, μεταξύ των αποδοτικών μονάδων εκείνες που ορίζουν το σύνορο αποδοτικότητας που σχετίζεται με την μονάδα που αποτιμάται. Από την θεωρία του γραμμικού προγραμματισμού είναι γνωστό ότι οι αξίες των δυικών μεταβλητών που είναι αποτέλεσμα της επίλυσης του δυικού μοντέλου (Μ9) είναι ίδιες με τις σκιώδεις τιμές στο αρχικό μοντέλο (Μ7). Οι δυικές τιμές λ's είναι επομένως και οι σκιώδεις τιμές που σχετίζονται με τους περιορισμούς που περιορίζουν την αποδοτικότητα της κάθε μονάδας να μην υπερβαίνει το 1. Είναι επίσης γνωστό ότι όταν ένας περιορισμός είναι δεσμευτικός, μια σκιώδη τιμή θα είναι σχεδόν πάντα μη μηδενική και όταν ο περιορισμός δεν είναι δεσμευτικός η σκιώδης τιμή θα είναι μηδέν. Στο αρχικό μοντέλο, δεσμευτικός περιορισμός σημαίνει ότι η αντίστοιχη μονάδα έχει αποδοτικότητα 1 και υπάρχει μια θετική σκιώδης τιμή ή δυική μεταβλητή. Έτσι οι θετικές σκιώδεις τιμές στο αρχικό μοντέλο, ή οι θετικές τιμές για τα λ's στο δυικό, αντιστοιχούν και προσδιορίζουν τις μονάδες αναφοράς (reference units) ή ομότιμες ομάδες (peer group) για κάθε μη αποδοτική μονάδα. Η Διαδικασία MainExecution δημιουργήθηκε στο πρόγραμμα ΑIMMS για να βρεθούν οι τελικές τιμές λ's του δυικού μοντέλου και οι μονάδες αναφοράς των μη αποδοτικών μονάδων. 74

75 Εικόνα 5.8 Πρόγραμμα ΑIMMS - Διαδικασία MainExecution Μέσω της διαδικασίας αυτής δημιουργείται ο πίνακας FinalLamdas (d,d1) o οποίος όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα περιέχει τις σκιώδεις τιμές του μοντέλου BCC με προσανατολισμό εκροών. Εικόνα 5.9 Οι σκιώδεις τιμές του μοντέλου BCC - Πίνακας FinalLamdas(d,d1) Ο πίνακας Reference_units(d,d1) δημιουργήθηκε για να αποθηκεύσει τις μονάδες αναφοράς των μη αποδοτικών μονάδων. 75

76 Εικόνα 5.10 Μονάδες Αναφοράς του μοντέλου BCC - Πίνακας Reference_units(d,d1) Στην παραπάνω εικόνα, κάθε στήλη του πίνακα αντιστοιχεί σε μια αποδοτική μονάδα και καταγράφει τις περιπτώσεις στις οποίες η αποδοτική μονάδα εμφανίζεται ως μονάδα αναφοράς. Είναι φανερό ότι όσο περισσότερες φορές μια μονάδα εμφανίζεται ως μονάδα αναφοράς σε πολλές μη αποδοτικές μονάδες, αυτό είναι ισχυρό κριτήριο ότι είναι μια από τις πλέον καθοριστικές αποδοτικές μονάδες για την διαμόρφωση του συνόρου αποδοτικότητας. Ο πίνακας Sum_Reference_units(d,d1), δημιουργήθηκε στο πρόγραμμα AIMMS για να αποθηκεύσει το άθροισμα των στηλών του πίνακα Reference_units(d, d1) και δείχνει τη συχνότητα εμφάνισης μιας αποδοτικής μονάδας ως μονάδα αναφοράς σε άλλες μη αποδοτικές μονάδες. Εικόνα 5.11 Συχνότητα εμφάνισης μονάδων αναφοράς - Πίνακας Sum_Reference_units(d,d1) Με αυτόν τον τρόπο προκύπτει ότι οι μονάδες DMU-I, DMU-J και DMU-K φαίνονται να είναι οι πλέον καθοριστικές από τις αποδοτικές μονάδες για την διαμόρφωση του συνόρου αποδοτικότητας, διότι η συχνότητα εμφάνισής τους ως 76

77 μονάδες αναφοράς είναι μεγάλη (εμφανίζονται πέντε φορές), σε σχέση με τις υπόλοιπες αποδοτικές μονάδες. Ακολουθούν οι μονάδες DMU-O με συχνότητα εμφάνισης τέσσερις φορές και οι DMU-B, DMU-G και DMU-N με συχνότητα εμφάνισης τρεις φορές η κάθε μία. Τέλος οι μονάδες DMU-P, DMU-Q και DMU-T παρόλο που στον πίνακα της σχετικής αποδοτικότητας του μοντέλου εμφανίζονται να έχουν πλήρη αποδοτικότητα, δεν εμφανίζονται καμία φορά ως μονάδες αναφοράς άλλων μη αποδοτικών μονάδων ενισχύοντας έτσι την πεποίθηση ότι δεν αποτελούν στην ουσία πλήρως αποδοτικές μονάδες. Τα συνολικά αποτελέσματα επίλυσης του μοντέλου μαζί με το σύνολο αναφοράς για τις μη αποδοτικές μονάδες καθώς και τις τιμές των λ'ς παραθέτονται στον παρακάτω συγκεντρωτικό πίνακα. 77

78 Score Rank Σύνολο αναφοράς (Lambdas) DMU -Α 1 1 DMU-Α 1 DMU -B 1 1 DMU-B 1 DMU -C 0, DMU-B 0, DMU-G 0, DMU-K 0, DMU -D 0, DMU-A 0, DMU-B 0, DMU-G 0, DMU -E 0, DMU-B 0, DMU-K 0, DMU-N 0, DMU -F 0, DMU-I 0, DMU-J 0, DMU-K 0, DMU -G 1 1 DMU -G 1 DMU -H 0, DMU-G 0, DMU-I 0, DMU -I 1 1 DMU -I 1 DMU -J 1 1 DMU -J 1 DMU -K 1 1 DMU -K 1 DMU -L 0, DMU-I 0, DMU-J 0, DMU-N 0, DMU-O 0, DMU -M 0, DMU-I 0, DMU-J 0, DMU-O 0, DMU-U 0, DMU -N 1 1 DMU -N 1 DMU -O 1 1 DMU -O 1 DMU -P 1 1 DMU -P 1 DMU -Q 1 1 DMU-B 1 DMU -R 0, DMU-I 0, DMU-J 0, DMU-K 0, DMU-O 0, DMU -S 0, DMU-J 0, DMU-K 0, DMU-N 0, DMU-O 0, DMU -T 1 1 DMU -T 1 DMU -U 1 1 DMU -U 1 Π νακας 5.11 Aποτελέσματα επίλυσης του μοντέλου BCC (προσανατολισμός εκροών) - Σύνολο αναφοράς - λ'ς

79 5.4.2 Χαλαρώσεις (Slacks) Τα slacks είναι η πρόσθετη βελτίωση (αύξηση στις εκροές ή/και μείωση στις εισροές) που απαιτείται για να γίνει μια μονάδα αποδοτική. Οι παρακάτω δύο οθόνες του προγράμματος AIMMS δείχνουν τον πίνακα Final_Input_Slack(d,ic) και τον πίνακα Final_Output_Slack(d,oc), που δημιουργήθηκε για να αποθηκεύσει τις χαλαρώσεις (slacks) των εισροών και των εκροών του μοντέλου. Εικόνα 5.12 Τα slacks των εισροών για το μοντέλο BCC με προσανατολισμό εκροών Εικόνα 5.13 Τα slacks των εκροών για το μοντέλο BCC με προσανατολισμό εκροών Τα συγκεντρωτικά αποτελέσματα επίλυσης του μοντέλου με τα slacks φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. 79

80 Π νακας 5.12 Aποτελέσματα επίλυσης του μοντέλου BCC (προσανατολισμός εκροών) - Slacks α/ α DMU Score Excess num_of_stud S-(1) Excess perc_teach S-(2) Excess stud_per_teach S-(3) Shortage GVP_Exc S+(1) Shortage succ_aei S+(2) Shortage succ_τei S+(3) 1 A B C 0, , , , D 0, , , , E 0, , , , F 0, , , , G H 0, , , , , I J K L 0, , , M 0, , , N O P Q ,46 0, R 0, , , S 0, , , T U Ερμηνεία των αποτελεσμάτων Ο παραπάνω πίνακας αναφέρει τον βαθμό αποδοτικότητας 21 σχολικών μονάδων. Το μοντέλο BCC με προσανατολισμό εκροών που έχει χρησιμοποιηθεί με 3 εισροές και 3 εκροές καταδεικνύει ως αποδοτικές τις 12 σχολικές μονάδες. Αυτές είναι οι μονάδες Α, Β, G, I, J, K, N, O, P, Q, T και U, οι οποίες λαμβάνουν βαθμό αποδοτικότητας 1 και χαρακτηρίζονται αποδοτικές, ενώ οι υπόλοιπες λαμβάνουν βαθμό αποδοτικότητας μικρότερο της μονάδας και χαρακτηρίζονται μη αποδοτικές. Αυτές οι σχολικές μονάδες μπορούν να βελτιώσουν την αποδοτικότητά τους αναλογικά, αυξάνοντας τις εκροές τους εφόσον το μοντέλο είναι προσανατολισμένο στις εκροές. Για παράδειγμα, η DMU-C μπορεί να αυξήσει την αποδοτικότητά της αυξάνοντας τις εκροές της μέχρι και 54,65% (1,5465-1). Παρομοίως, η DMU-D μπορεί να αυξήσει την αποδοτικότητά της αυξάνοντας τις εκροές της μέχρι και 5,6%, Το ποσοστό αυτό είναι κατά πολύ μικρότερο από αυτό της προηγούμενης ΜΛΑ, διότι αυτή βρίσκεται πιο κοντά στο σύνορο αποδοτικότητας, ενώ η DMU-L που βρίσκεται μακριά από το 80

81 σύνορο αποδοτικότητας πρέπει να αυξήσει τις εκροές της μέχρι και 72,09% για να βελτιώσει την αποδοτικότητά της. Το ερώτημα που τίθεται είναι όμως ποιες από αυτές τις εκροές πρέπει να αυξηθούν αναλογικά; Αυτή η αύξηση εκροών καλείται συνολική μη αποδοτικότητα, η οποία περιλαμβάνει όχι μόνο το ποσό των αναλογικών αυξήσεων, αλλά επίσης και ένα ποσό που καλείται "Slack" για εκείνες τις σχολικές μονάδες που δεν μπορούν να φτάσουν τον αποδοτικό στόχο (target) που βρίσκεται πάνω στο σύνορο αποδοτικότητας παρά τις αναλογικές αυξήσεις. Στον πίνακα 5.8 που περιέχει τις τιμές των "Slacks" του μοντέλου μας παρατηρούμε ότι η DMU-Q παρόλο που έχει αποδοτικότητα 1 έχει μη μηδενικές τιμές στα slacks (slacks εισροών: 14, 24.46, και slacks εκροών: 0, 3, 14) γεγονός που αποδεικνύει ότι η μονάδα αυτή δεν είναι πλήρως αποδοτική. Οι υπόλοιπες αποδοτικές μονάδες έχουν μηδενικά slacks, ενώ μη μηδενικές τιμές στα slacks υπάρχουν σε όλες τις μη αποδοτικές μονάδες. Τα slacks αντιπροσωπεύουν τα εναπομείναντα τμήματα της μη αποδοτικότητας. Μετά από αναλογική μείωση των εισροών ή αύξηση των εκροών εάν μια μονάδα δεν μπορεί να φτάσει το σύνορο αποδοτικότητας (αποδοτικό στόχο) τα slacks απαιτούνται για να ωθήσουν την μονάδα στο σύνορο αποδοτικότητας. Είναι ενδιαφέρον να παρατηρήσουμε ότι η DMU-Q απαιτείται να μειώσει τον αριθμό μαθητών κατά 14, το ποσοστό μονίμων καθηγητών κατά 24,46% και το δείκτη μαθητή/καθηγητή κατά 0,037. Επίσης θα πρέπει να αυξήσει τον αριθμό επιτυχόντων σε ΑΕΙ κατά 3 και τον αριθμό επιτυχόντων σε ΤΕΙ κατά 14. Από την άλλη πλευρά η DMU-R δεν χρειάζεται να μειώσει καμία εισροή, αλλά να αυξήσει τους απόφοιτους με Γενικό Βαθμό Πρόσβασης "Άριστα" κατά 3,59 και τον αριθμό επιτυχόντων σε ΑΕΙ κατά 16, Οριοθ τηση στόχων Σε πρακτικές καταστάσεις είναι πολύ συχνή επιθυμία η οριοθέτηση στόχων οι οποίοι θα οδηγήσουν τις μη αποδοτικές μονάδες να βελτιώσουν την αποδοτικότητά τους. Τέτοιοι στόχοι παρέχουν συγκεκριμένα σημεία αναφοράς (bench marks) μέσω των οποίων οι μονάδες μπορούν να ελέγχουν την απόδοσή τους. Οι στόχοι αποτελούν ουσιαστικά τις συντεταγμένες της εικονικής μονάδας η οποία βρίσκεται πάνω στο σύνορο αποδοτικότητας. 81

82 Όλες οι αξιολογήσεις της μεθόδου ΠΑΔ παράγουν ένα σύνολο από επίπεδα εισροών και εκροών που θα μπορούσαν να καταστήσουν μια μονάδα αποδοτική. Με άλλα λόγια για κάθε μη αποδοτική μονάδα η επίλυση του γραμμικού μοντέλου μπορεί να μας δώσει ένα σύνολο στόχων που σχετίζονται με τις εισροές και τις εκροές. Οι στόχοι αντιστοιχούν είτε σε αναλογική μείωση των εισροών είτε σε αύξηση των εκροών. Για μια μονάδα μια αναλογική μείωση των εισροών μπορεί να είναι μη ικανοποιητική και θα χρειαστεί να συνδυαστεί παράλληλα με αύξηση μιας ή και περισσότερων εκροών. Για παράδειγμα αν το μοντέλο (M3) χρησιμοποιείται για να πραγματοποιήσει αξιολόγηση με την μέθοδο ΠΑΔ, τότε όπου η μονάδα j 0 είναι μη αποδοτική, τα ακόλουθα επίπεδα εισροών/εκροών μπορούν να καταστήσουν αυτή σχετικά αποδοτική. (1) Ο αστερίσκος σε μια μεταβλητή χρησιμοποιείται για να δηλώσει μια βέλτιστη τιμή. Αυτό το σύνολο των στόχων είναι προσανατολισμένο στις εισροές, διότι οι κύριες αλλαγές γίνονται στα επίπεδα των εισροών. Η μέθοδος ΠΑΔ έχει καθορίσει ένα συνδυασμό μονάδων οι οποίες μπορούν να εξασφαλίσουν τα επίπεδα εκροών τους χρησιμοποιώντας τα επίπεδα των στόχων των εισροών από την παραπάνω έκφραση. Αυτά τα αποδοτικά επίπεδα εισροών/εκροών μπορούν εύκολα να μετατραπούν σε ένα ισοδύναμο σύνολο όπου τα επίπεδα εισροών δεν επιτρέπεται να χειροτερέψουν ενώ μια μέγιστη αναλογική επέκταση στα επίπεδα εκροών μπορεί να πραγματοποιηθεί. Για την ακρίβεια, η αποδοτικότητα των εισροών/εκροών με προσανατολισμό εκροών δίνεται ως ακολούθως: (2) Οι σχετικές αποδοτικότητες των επιπέδων εισροής/εκροής είτε στην περίπτωση (1) είτε στην περίπτωση (2) μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως στόχοι για την μονάδα Εναλλακτικά, το μη αποδοτικό, συγκρίνεται με το σημείο του αποδοτικού 82

83 συνόρου συνδυασμών αποδοτικών DMU's: το οποίο μπορεί να εκφραστεί μέσω των παρακάτω γραμμικών Στην πράξη όμως αυτοί οι στόχοι είναι μόνο δύο από ένα σύνολο άπειρων στόχων οι οποίοι κάνουν την μονάδα αποδοτική. Οι στόχοι αντιστοιχούν είτε σε αναλογική μείωση των εισροών είτε σε αύξηση των εκροών. Για τις μη αποδοτικές μονάδες οι στόχοι φαίνονται στις παρακάτω εικόνες. Εικόνα 5.14 Στόχοι στο επίπεδο των εισροών για κάθε μία μη αποδοτική μονάδα Εικόνα 5.15 Στόχοι στο επίπεδο των εκροών για κάθε μία μη αποδοτική μονάδα Αν πάρουμε για παράδειγμα την πρώτη μη αποδοτική μονάδα δηλαδή την μονάδα DMU-C, ο παρακάτω πίνακας συγκρίνει την μονάδα αυτή με την εικονική της μονάδα προκειμένου να εντοπιστούν οι πηγές της μη αποδοτικότητας. 83