Θεωρία παραγωγού. Μικροοικονομική Θεωρία Ι / Διάλεξη 10 / Φ. Κουραντή

Transcript

1 Θεωρία παραγωγού Σκοπεύουμε να εξάγουμε από το πρόβλημα του παραγωγού τις συναρτήσεις ζήτησης παραγωγικών συντελεστών, την συνάρτηση προσφοράς της επιχείρησης και τις συναρτήσεις κόστους και κερδών. 1

2 Θεωρία παραγωγού Παραγωγική διαδικασία: μετατροπή εισροών (παραγωγικοί συντελεστές inputs) σε εκροές (προϊόν output). Παραγωγικοί συντελεστές/εισροές: Γή, εργασία, κεφάλαιο (φυσικό ή χρηματικό) κτλ. Περιορισμοί της επιχείρησης: 1. Τεχνολογία. Τύπος της αγοράς προϊόντος (πλευρά ζήτησης και προσφοράς) 3. Τύπος της αγοράς παραγωγικών συντελεστών

3 Τεχνολογία Τεχνολογία είναι μια διαδικασία με την οποία εισροές μετατρέπονται σε εκροές. π.χ. εργασία, ένας υπολογιστής, ένας προβολέας, ηλεκτρισμός, κ.α. Συνδυάζονται για την παραγωγή αυτής της διάλεξης. 3

4 Συνδυασμοί εισροών x i συμβολίζει το ποσό που χρησιμοποιείται από την εισροή i. Ένας συνδυασμός εισροών είναι ένα διάνυσμα του επιπέδου των εισροών : (x 1, x,, x n ). π.χ. (x 1, x, x 3 ) = (6, 0, 3). 4

5 Συναρτήσεις παραγωγής y συμβολίζει το επίπεδο του προϊόντος. Η συνάρτηση παραγωγής της τεχνολογίας, δηλώνει το μέγιστο ποσό προϊόντος που μπορεί να παραχθεί από ένα συνδυασμό εισροών. y f( x1,, x n ) 5

6 Συναρτήσεις παραγωγής Μια εισροή, ένα προϊόν προϊόν y y = f(x) είναι η συνάρτηση παραγωγής. y = f(x ) είναι το μέγιστο ποσό προϊόντος που μπορεί να αποκτηθεί από τις εισροές x μονάδων. x x εισροή 6

7 Τεχνολογικά σύνολα Ένα σχέδιο παραγωγής είναι ένας συνδυασμός εισροών και ένα επίπεδο προϊόντος: (x 1,, x n, y). Ένα σχέδιο παραγωγής είναι εφικτό αν y f( x1,, x n ) Αν βάλουμε μαζί όλα τα εφικτά σχέδια παραγωγής, τότε έχουμε το τεχνολογικό σύνολο (ή σύνολο παραγωγής). 7

8 Τεχνολογικά σύνολα προϊόν y y Μια εισροή, ένα προϊόν y = f(x) είναι η συνάρτηση παραγωγής. y = f(x ) είναι το μέγιστο ποσό προϊόντος που μπορεί να αποκτηθεί από τις εισροές x μονάδων. y = f(x ) είναι ένα επίπεδο προϊόντος που είναι εφικτό από τις εισροές x μονάδων. x x εισροή 8

9 Τεχνολογικά σύνολα Το τεχνολογικό σύνολο είναι 9

10 Τεχνολογικά σύνολα Μια εισροή, ένα προϊόν προϊόν y y Αναποτελεσματικά σχέδια από τεχνική άποψη Αποτελεσματικά σχέδια από τεχνική άποψη Τεχνολογικό σύνολο x x εισροή 10

11 Τεχνολογίες με πολλαπλές εισροές Με τι μοιάζει η τεχνολογία όταν υπάρχουν πάνω από μια εισροές; Ας πάρουμε δύο εισροές: Τα επίπεδα εισροών είναι x 1 και x. Το επίπεδο προϊόντος είναι y. Έστω ότι η συνάρτηση παραγωγής είναι y f 1/ 3 ( x, x ) x x 1 1 1/ 3. 11

12 Τεχνολογίες με πολλαπλές εισροές Π.χ. Το μέγιστο επίπεδο προϊόντος που μπορεί να παραχθεί από το συνδυασμό εισροών (x 1, x ) = (1, 8) είναι 1/3 1/3 1/3 1/3 1 y x x Το μέγιστο επίπεδο προϊόντος που μπορεί να παραχθεί από το συνδυασμό εισροών (x 1,x ) = (8,8) είναι 1/3 1/3 1/3 1/3 1 y x x

13 Τεχνολογίες με πολλαπλές εισροές Η καμπύλη ίσου προϊόντος (ή καμπύλη ισοπαραγωγής) του y είναι το σύνολο όλων των συνδυασμών εισροών που μόλις επαρκούν για την παραγωγή μιας δεδομένης ποσότητας προϊόντος y. Η καμπύλη ίσου προϊόντος εκφράζει ένα επίπεδο παραγόμενου προϊόντος, άρα έχει οικονομική έννοια (σε αντίθεση με την χρησιμότητα που μας ενδιέφερε μόνο η κατάταξη). 13

14 Καμπύλες ίσου προϊόντος με δύο x μεταβλητές εισροές y y=8 y y y y=4 x 1 14

15 Τεχνολογίες με πολλαπλές εισροές Το πλήρες σύνολο των καμπυλών ίσου προϊόντος (ΚΙΠ) είναι ο χάρτης καμπυλών ίσου προϊόντος. Ο χάρτης ΚΙΠ είναι το ισοδύναμο της συνάρτησης παραγωγής το ένα είναι το άλλο. 15

16 Τεχνολογίες Cobb-Douglas Μια συνάρτηση παραγωγής Cobb-Douglas είναι της μορφής π.χ. a a 1 y Ax 1x x. n a n με 1/3 1/3 y x 1 x n 1, A 1, a a

17 Τεχνολογίες Cobb-Douglas x Όλες οι ΚΙΠ είναι υπερβολές, ασύμπτωτες με τους άξονες a a 1 1 y x x y" > y' a 1 a a 1 a x 1x y" x 1x y' x 1 17

18 Τεχνολογίες σταθερών αναλογιών Οι εισροές είναι τέλεια συμπληρωματικά Μια συνάρτηση παραγωγής με σταθερές αναλογίες είναι της μορφής y min{ a x, a x,, a x }. 1 1 n n π.χ. με y min{ x1, x} n, a 1 and a. 1 18

19 Τεχνολογίες σταθερών αναλογιών x y min{ x1, x} x 1 = x min{x 1,x } = 14 min{x 1,x } = 8 min{x 1,x } = 4 x 1 19

20 Τεχνολογίες με τέλεια υποκατάστατα Μια συνάρτηση παραγωγής με εισροές τέλεια υποκατάστατα είναι της μορφής y a1 x1 ax a x. n n π.χ. με y x 3x 1 n, a 1 and a

21 Τεχνολογίες με τέλεια υποκατάστατα x x 1 + 3x = 9 y x 3x 1 x 1 + 3x = x 1 + 3x = 4 Οι ΚΙΠ είναι παράλληλες ευθείες x 1 1

22 Οριακό προϊόν Συνάρτηση παραγωγής: y f( x1,, x n ) Το οριακό προϊόν (Marginal Product - MP) μιας εισροής i είναι ο ρυθμός μεταβολής του επιπέδου του προϊόντος, καθώς το επίπεδο του συντελεστή i μεταβάλλεται, διατηρώντας τα επίπεδα όλων των άλλων συντελεστών σταθερά. Δηλαδή, MP i y x i

23 Οριακό προϊόν / 1 1 1/3 3 π.χ. αν y f( x, x ) x x Τότε το οριακό προϊόν του συντελεστή 1 είναι MP 1 y x 1 1 x1 / 3 x / 3 3 και το οριακό προϊόν του συντελεστή είναι MP y x 3 x 1/3 1 x 1/3. 3

24 Οριακό προϊόν Το οριακό προϊόν μιας εισροής εξαρτάται από την ποσότητα που χρησιμοποιείται από τις άλλες εισροές, π.χ. αν 1 MP x x / 3 / 3 τότε για 1 MP1 x x / / 8 x1 / 3 = 8: ενώ για x = 7: MP x 7 3x / 3 / 3 1 / 3. 4

25 5 Οριακό προϊόν Το οριακό προϊόν μιας εισροής i είναι φθίνον αν γίνεται μικρότερο καθώς το επίπεδο της εισροής i αυξάνεται. Δηλαδή, αν 0. i i i i i x y x y x x MP

26 Οριακό προϊόν 1/3 / 3 1 Π.χ. αν y x x 1 MP1 x1 / 3 x / 3 3 και τότε MP x 3 x 1/3 1 1/3 Έτσι MP x 1 MP x 1 x1 5 / 3 x / x 1/3 1 x 4 / Και τα δύο οριακά προϊόντα είναι φθίνοντα 6

27 Οριακό προϊόν Γενικά, υποθέτουμε φθίνουσα οριακή παραγωγικότητα αν η συνάρτηση παραγωγής είναι q = f(k,l) και MP k k f k f kk f 11 0 MPl l f l f ll f 0 7

28 Νόμος του φθίνοντος οριακού προϊόντος Για δεδομένο επίπεδο κεφαλαίου, μια αύξηση της εργασίας αυξάνει την παραγωγή αλλά σταδιακά με φθίνων ρυθμό. 8

29 Οριακό προϊόν Λόγω της φθίνουσας οριακής παραγωγικότητας, ο οικονομολόγος του 19ου αιώνα Thomas Malthus ανησυχούσε για την επίπτωση που θα είχε ο αυξανόμενος πληθυσμός στην παραγωγικότητα της εργασίας. Όμως, οι μεταβολές στην οριακή παραγωγικότητα της εργασίας διαχρονικά εξαρτώνται και από τις μεταβολές άλλων συντελεστών, όπως π.χ. το κεφάλαιο, καθώς και τις τεχνολογικές αλλαγές. 9

30 Νόμος του φθίνοντος οριακού προϊόντος και τεχνολογικές αλλαγές Η επίδραση μιας τεχνολογικής αλλαγής Η παραγωγικότητα της εργασίας (παραγωγή ανά μονάδα εργασίας) αυξάνει λόγω μιας βελτίωσης της τεχνολογίας, παρόλο που κάθε τεχνολογία ξεχωριστά χαρακτηρίζεται από το νόμο του φθίνοντος οριακού προϊόντος. 30

31 Μέσο προϊόν Μέσο προϊόν: παραγόμενη ποσότητα ανά μονάδα εισροής, APi = y/xi = f(x1,,xn)/xi Η παραγωγικότητα της εργασίας μετράται συνήθως με τη μέση παραγωγικότητα προϊόν q f ( k, l) AP l εργασία l l Το AP l εξαρτάται από την απασχολούμενη ποσότητα κεφαλαίου 31

32 Παράδειγμα 1: παραγωγή με μία μεταβλητή εισροή Amount of Labor (L) Amount of Capital (K) Total Output (q) Average Product (q/l) Marginal Product (dq/dl)

33 Καμπύλη συνολικού, μέσου και οριακού προϊόντος 33

34 Παρατηρήσεις Από τον πίνακα εξάγουμε τις καμπύλες συνολικού, μέσου και οριακού προϊόντος (είτε από την συνάρτηση παραγωγής όταν μας δίνεται). Το οριακό προϊόν είναι η κλίση της εφαπτομένης της καμπύλης συνολικού προϊόντος (δες σημείο Α), ενώ το μέσο προϊόν είναι η κλίση της ακτίνας που ενώνει την αρχή των αξόνων με τα σημεία πάνω στην καμπύλη συνολικού προϊόντος (δες σημείο Β). Στο σημείο C αυτά τα δυο συμπίπτουν. Όσο το MPi είναι μεγαλύτερο (μικρότερο) του APi, το APi αυξάνει (μειώνεται). Επιπλέον, στο σημείο που MPi= APi, το APi είναι στο μέγιστο. Απόδειξη: dapi/dxi = = (MPi-APi) / xi 34

35 Επιπλέον παρατηρήσεις Για επίπεδο εργασίας από 0 έως 3, το οριακό προϊόν της εργασίας είναι θετικό και αύξων, άρα η καμπύλη συνολικού προϊόντος έχει θετική κλίση και είναι κυρτή. Για επίπεδο εργασίας από 3 έως 8, το οριακό προϊόν της εργασίας είναι θετικό και φθίνων, άρα η καμπύλη συνολικού προϊόντος έχει θετική κλίση και είναι κοίλη. Για επίπεδο εργασίας μεγαλύτερο του 8, το οριακό προϊόν της εργασίας είναι αρνητικό, άρα το συνολικό προϊόν πέφτει. Στο D το προϊόν είναι το μέγιστο, άρα το MP είναι μηδέν. Άσκηση: Να κατασκευάσετε και μελετήσετε την καμπύλη συνολικού, μέσου και οριακού προϊόντος της συνάρτησης παραγωγής y fx 30x x 3 35

36 Παράδειγμα Έστω ότι η συνάρτηση παραγωγής είναι q = f(k,l) = 600k l - k 3 l 3 Έστω ότι k = 10. Η συνάρτηση παραγωγής γίνεται q = l 1.000l 3 36

37 Παράδειγμα Η οριακή παραγωγικότητα (οριακό προϊόν) της εργασίας είναι MP l = q/l = 10,000l l Το q έχει μια μέγιστη τιμή όταν: MP l =0 10,000l l = 0 40l = l l = 40 Η εισροή εργασίας πάνω από l = 40 μειώνει το προϊόν. 37

38 Παράδειγμα Για να βρούμε τη μέση παραγωγικότητα, κρατούμε το k=10 και επιλύοντας βρίσκουμε AP l = q/l = 60,000l l Το AP l είναι μέγιστο όταν AP l /l = 60, l = 0 l = 30 38

39 Παράδειγμα Πράγματι, όταν l = 30, τότε το AP l και το MP l είναι ίσα με 900,000 Άρα, όταν το AP l είναι στο μέγιστο του, τότε τα AP l και MP l είναι ίσα 39

40 Αποδόσεις κλίμακας Το οριακό προϊόν περιγράφει τη μεταβολή στο επίπεδο προϊόντος καθώς το επίπεδο μιας εισροής μεταβάλλεται. Οι αποδόσεις κλίμακας περιγράφουν πώς μεταβάλλεται το επίπεδο του προϊόντος καθώς το επίπεδο όλων των εισροών μεταβάλλεται με την ίδια αναλογία (π.χ. όλες οι εισροές διπλασιάζονται, ή διαιρούνται στο μισό). 40

41 Αποδόσεις κλίμακας Αν, για κάθε δέσμη εισροών (x 1,,x n ), f( kx, kx,, kx ) kf( x, x,, x ) 1 n 1 Τότε η τεχνολογία που περιγράφεται από τη συνάρτηση παραγωγής f παρουσιάζει σταθερές αποδόσεις κλίμακας. π.χ. (k = ) ο διπλασιασμός των ποσοτήτων όλων των εισροών διπλασιάζει το επίπεδο του προϊόντος. n 41

42 Αποδόσεις κλίμακας Μια εισροή, ένα προϊόν προϊόν y y y = f(x) Σταθερές αποδόσεις κλίμακας x x x εισροή 4

43 Αποδόσεις κλίμακας Αν, για κάθε δέσμη εισροών (x 1,,x n ), f( kx, kx,, kx ) kf( x, x,, x ) 1 n 1 Τότε η τεχνολογία που περιγράφεται από τη συνάρτηση παραγωγής f παρουσιάζει φθίνουσες αποδόσεις κλίμακας. π.χ. (k = ) ο διπλασιασμός των ποσοτήτων όλων των εισροών υποδιπλασιάζει το επίπεδο του προϊόντος. n 43

44 Αποδόσεις κλίμακας Μια εισροή, ένα προϊόν προϊόν f(x ) f(x ) f(x ) y = f(x) Φθίνουσες αποδόσεις κλίμακας x x x εισροή 44

45 Αποδόσεις κλίμακας Αν, για κάθε δέσμη εισροών (x 1,,x n ), f( kx, kx,, kx ) kf( x, x,, x ) 1 n 1 Τότε η τεχνολογία που περιγράφεται από τη συνάρτηση παραγωγής f παρουσιάζει αύξουσες αποδόσεις κλίμακας. π.χ. (k = ) ο διπλασιασμός των ποσοτήτων όλων των εισροών υπερδιπλασιάζει το επίπεδο του προϊόντος. n 45

46 Αποδόσεις κλίμακας Μια εισροή, ένα προϊόν προϊόν f(x ) Αύξουσες αποδόσεις κλίμακας y = f(x) f(x ) f(x ) x x x εισροή 46

47 Αποδόσεις κλίμακας Μια τεχνολογία μπορεί «τοπικά» να παρουσιάζει διαφορετικές αποδόσεις κλίμακας. 47

48 προϊόν Αποδόσεις κλίμακας Μια εισροή, ένα προϊόν Αύξουσες αποδόσεις κλίμακας y = f(x) Φθίνουσες αποδόσεις κλίμακας εισροή x 48

49 Αποδόσεις κλίμακας: δυο εισροές Σταθερές αποδόσεις κλίμακας F(K,L) -> q Αύξουσες αποδόσεις κλίμακας F(K,L) -> περισσότερο από q 49

50 Αποδόσεις κλίμακας με εισροές τέλεια υποκατάστατα y a1 x1 ax an xn. Αύξησε όλες τις εισροές αναλογικά κατά k. Το επίπεδο του προϊόντος γίνεται Σταθερές αποδόσεις κλίμακας 50

51 Αποδόσεις κλίμακας με εισροές τέλεια συμπληρωματικά y min{ a x, a x,, a x }. 1 1 Αύξησε όλες τις εισροές αναλογικά κατά k. Το επίπεδο του προϊόντος γίνεται min{ a 1 k(min{ ( kx a 1 1 ), a x 1, a ( kx x ),, a,, a n x n n n ( kx }) n n )} ky Σταθερές αποδόσεις κλίμακας 51

52 Αποδόσεις κλίμακας με συνάρτηση παραγωγής Cobb-Douglas a a 1 y x 1 x x. Αύξησε όλα τα επίπεδα εισροών κατά k. Το επίπεδο του προϊόντος γίνεται ( kx ) 1 ( kx ) ( kx ) k 1k k nx 1x x k 1 nx 1x x k a a 1 n a a a a a a a a a a a a 1 a a 1 n y. n n n a n a n n 5

53 Αποδόσεις κλίμακας με συνάρτηση παραγωγής Cobb-Douglas Οι αποδόσεις κλίμακας τεχνολογίας Cobb-Douglas είναι σταθερές αν a a n = 1 αύξουσες αν a a n > 1 φθίνουσες αν a a n < 1 53

54 Αποδόσεις κλίμακας και οριακό προϊόν Ε: Μπορεί μια τεχνολογία να παρουσιάζει αύξουσες αποδόσεις κλίμακας ακόμη κι αν όλα τα οριακά της προϊόντα είναι φθίνοντα; 54

55 Αποδόσεις κλίμακας και οριακό προϊόν Ε: Μπορεί μια τεχνολογία να παρουσιάζει αύξουσες αποδόσεις κλίμακας ακόμη κι αν όλα τα οριακά της προϊόντα είναι φθίνοντα; A:Ναι. π.χ. y x / 3 1 x / 3. 55

56 Αποδόσεις κλίμακας και οριακό y x x x x a a a 1 / 3 / a προϊόν 1 Αύξουσες αποδόσεις κλίμακας, αλλά MP x x /3 / 3 / MP x x /3 φθίνει καθώς το x 1 αυξάνει και φθίνει καθώς το x αυξάνει 56

57 Αποδόσεις κλίμακας και οριακό προϊόν Επομένως, μια τεχνολογία παρουσιάζει αύξουσες αποδόσεις κλίμακας ακόμη και αν όλα τα οριακά της προϊόντα φθίνουν. Γιατί; 57

58 Αποδόσεις κλίμακας και οριακό προϊόν Το οριακό προϊόν είναι ο ρυθμός μεταβολής του προϊόντος καθώς το επίπεδο μιας εισροής αυξάνει, διατηρώντας όλες τις άλλες εισροές σταθερές. Το οριακό προϊόν φθίνει επειδή τα επίπεδα των άλλων συντελεστών παραμένουν σταθερά. Επομένως, οι μονάδες της εισροής που αυξάνει έχουν όλο και λιγότερες μονάδες από τις άλλες εισροές για να συνεργαστούν. 58

59 Αποδόσεις κλίμακας και οριακό προϊόν Όταν τα επίπεδα όλων των εισροών αυξάνονται αναλογικά, δεν είναι απαραίτητο να μειώνονται τα οριακά προϊόντα, αφού η κάθε εισροή θα έχει πάντα την ίδια ποσότητα από τις άλλες εισροές με τις οποίες συνεργάζεται. Οι παραγωγικότητες των συντελεστών δεν μειώνονται απαραίτητα και γι αυτό οι αποδόσεις κλίμακας μπορεί να είναι σταθερές ή αύξουσες. 59

60 Οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης Marginal Rate of Technical Substitution (MRTS) Με ποιο ρυθμό μπορεί μια επιχείρηση να υποκαθιστά ένα συντελεστή με έναν άλλο, χωρίς να αλλάζει το επίπεδο παραγωγής της; 60

61 Οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης x x ' y x 1 ' x 1 61

62 Οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης x x ' dx dx 1 Κλίση είναι ο ρυθμός στον οποίο πρέπει να υποκαταστήσουμε μονάδες του x με μονάδες του x1 για να μείνει αμετάβλητο το επίπεδο παραγωγής. Η κλίση μιας καμπύλης ίσου προϊόντος λέγεται οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης (MRTS). y x 1 ' x 1 6

63 Οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης Πώς υπολογίζεται ο οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης; Η συνάρτηση παραγωγής είναι y f( x, x ). 1 Μια μικρή μεταβολή στις εισροές (dx 1, dx ) προκαλεί μια μεταβολή στο επίπεδο του προϊόντος dy y x dx 1 1 y x dx. 63

64 Οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης Αλλά με dy = 0 αφού δεν αλλάζει το επίπεδο παραγωγής στην καμπύλη ίσου προϊόντος, οι μεταβολές dx 1 και dx πρέπει να ικανοποιούν τη σχέση 0 y x dx 1 y x dx dx dx 1 1 y y y x dx 1 y x dx / / x x

65 Οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης dx dx 1 y y / / x x 1 = -MP1/MP Είναι ο λόγος στον οποίο πρέπει να θυσιάσουμε μονάδες του συντελεστή καθώς αυξάνει η χρήση του συντελεστή 1 έτσι ώστε να μείνει αμετάβλητο το επίπεδο παραγωγής. Είναι η κλίση της καμπύλης ίσου προϊόντος και ισούται με τον λόγο των οριακών προϊόντων (με ένα μείον). 65

66 Οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης Cobb-Douglas άρα y x a b y f( x, x ) x x ax a b 1 1 x και y x 1 a b 1. bx x Ο οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης (Marginal Rate of Technical Substitution-MRTS) είναι dx dx 1 a y / x1 ax1 1 x ax y / x a b bx x bx b

67 Οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης Cobb-Douglas x 8 1/3 / 3 1 y x1 x ; a and b 3 3 ax x x TRS ( 1 / 3) bx1 ( / 3) x1 x MRTS x TRS 8 1 x 4 MRTS x 1 67

68 Οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης Cobb-Douglas x 6 1/3 / 3 1 y x1 x ; a and b 3 MRTS TRS ax x x ( 1 / 3) bx ( / 3) x x MRTS TRS 1 x 6 x x 1 68

69 Ομαλές τεχνολογίες Η τεχνολογία συνήθως θα είναι συνεχής και ομαλή (άρα ο χάρτης ΚΙΠ είναι συνεχής). Μια ομαλή τεχνολογία είναι μονοτονική και κυρτή. Μικροοικονομική Θεωρία Ι / Διάλεξη 10 / Φ. Κουραντή 69

70 Ομαλές τεχνολογίες-μονοτονικότητα Μονοτονικότητα: με μια αύξηση τουλάχιστον του ενός συντελεστή παραγωγής, παράγεται τουλάχιστον τόση ποσότητα προϊόντος όσο και αρχικά y μονοτονική y μη μονοτονική x x 70

71 Ομαλές τεχνολογίες-μονοτονικότητα Μονοτονικότητα συνεπάγεται: ότι οι ΚΙΠ δεν έχουν θετική κλίση το οριακό προϊόν δεν είναι αρνητικό (μπορεί όμως στην πραγματικότητα να είναι αρνητικό, πχ. αν αυξήσω πάρα πολύ το λίπασμα θα καταστραφεί η παραγωγή, αλλά μια τέτοια ενέργεια δεν θα είναι επιλογή της επιχείρησης, άρα δεν είναι ενδιαφέρον να το μελετήσουμε). άρα και ο MRTS<0 71

72 Ομαλές τεχνολογίες - κυρτότητα Κυρτότητα: Αν ο συνδυασμός εισροών x και ο συνδυασμός x παράγουν y μονάδες προϊόντος, τότε το μείγμα εισροών tx + (1-t)x παράγουν τουλάχιστο y μονάδες προϊόντος, για κάθε 0 < t < 1. 7

73 Ομαλές τεχνολογίες - κυρτότητα x x ' ' " ' " 1 1 tx ( 1 t) x, tx ( 1 t) x x " x 1 ' x 1 " y x 1 73

74 Ομαλές τεχνολογίες - κυρτότητα x x ' ' " ' " 1 1 tx ( 1 t) x, tx ( 1 t) x x " x 1 ' x 1 " y y x 1 74

75 Ομαλές τεχνολογίες - κυρτότητα Κυρτότητα συνεπάγεται: ότι οι ΚΙΠ είναι κυρτές ο MRTS φθίνει σε απόλυτες τιμές. 75

76 Ομαλές τεχνολογίες - κυρτότητα x x ' Η κυρτότητα συνεπάγεται ότι ο MRTS αυξάνει (γίνεται λιγότερο αρνητικός) καθώς το x 1 αυξάνει. x " x 1 ' x 1 " x 1 76

77 Η γραμμική συνάρτηση παραγωγής Έστω η συνάρτηση παραγωγής q = f(k,l) = ak + bl Αυτή η συνάρτηση παρουσιάζει σταθερές αποδόσεις κλίμακας f(tk,tl) = atk + btl = t(ak + bl) = tf(k,l) Όλες οι καμπύλες ίσου προϊόντος είναι ευθείες γραμμές. Ο MRTS είναι σταθερός 77

78 Η γραμμική συνάρτηση παραγωγής Κεφάλαιο και εργασία είναι τέλεια υποκατάστατα k ανά περίοδο Ο MRTS είναι σταθερός καθώς το k/l μεταβάλλεται κλίση = -b/a q 1 q q 3 l ανά περίοδο 78

79 Σταθερές αναλογίες Έστω ότι η συνάρτηση παραγωγής είναι q = min (ak, bl) a,b > 0 Το κεφάλαιο και η εργασία πρέπει να χρησιμοποιούνται πάντα σε σταθερή αναλογία Η επιχείρηση λειτουργεί πάντα κατά μήκος μιας ακτίνας όπου το k/l είναι σταθερό 79

80 Σταθερές αναλογίες Καμιά υποκατάσταση μεταξύ κεφαλαίου και εργασίας δεν είναι δυνατή k ανά περίοδο k/l είναι σταθερό στο b/a q 3 /a q 3 q q 1 q 3 /b l ανά περίοδο 80

81 Βραχυχρόνια και μακροχρόνια περίοδος Βραχυχρόνια περίοδος: όταν παραμένει τουλάχιστον ένας παραγωγικός συντελεστής σταθερός. Μακροχρόνια περίοδος: όταν μεταβάλλονται όλοι οι παραγωγικοί συντελεστές. Π.χ. Βραχυχρόνια περίοδος με τον συντελεστή x₂ σταθερό σε επίπεδο : x y fx 1,x Μακροχρόνια περίοδος, το x₂ αλλάζει: y fx 1,x 81

82 Μακροχρόνια και βραχυχρόνια περίοδος Στη μακροχρόνια περίοδο η επιχείρηση δεν έχει περιορισμούς στην επιλογή της για τις ποσότητες που θα χρησιμοποιήσει από όλες τις εισροές. Υπάρχουν πολλές βραχυχρόνιες περίοδοι. Στη βραχυχρόνια περίοδο η επιχείρηση έχει περιορισμούς στις επιλογές της για το επίπεδο εισροής που θα χρησιμοποιήσει τουλάχιστο για μια εισροή. 8

83 Μακροχρόνια και βραχυχρόνια περίοδος Παραδείγματα περιορισμών που έχει μια επιχείρηση βραχυχρόνια : Δεν μπορεί να εγκαταστήσει ή να απομακρύνει εξοπλισμό για μικρό χρονικό διάστημα. Υποχρεώνεται από το νόμο να μην χρησιμοποιεί κάποιες εισροές πάνω από ένα ποσό Σε μερικές περιπτώσεις πρέπει να χρησιμοποιεί, μέχρι ένα ποσοστό, εγχώριες εισροές. 83

84 Μακροχρόνια και βραχυχρόνια περίοδος Ένας χρήσιμος τρόπος για να σκεφτούμε τη μακροχρόνια περίοδο είναι να θεωρήσουμε ότι η επιχείρηση μπορεί να επιλέξει, όπως της αρέσει, σε ποια βραχυχρόνια κατάσταση θα ήθελε να είναι. 84

85 Μακροχρόνια και βραχυχρόνια περίοδος Τι συνεπάγονται οι βραχυχρόνιοι περιορισμοί στην τεχνολογία μιας επιχείρησης; Ας υποθέσουμε ότι ένας βραχυχρόνιος περιορισμός είναι να είναι σταθερό το επίπεδο χρήσης της εισροής. Η εισροή είναι επομένως μια σταθερή εισροή βραχυχρόνια. Η εισροή 1 παραμένει μεταβλητή. 85

86 Μακροχρόνια και βραχυχρόνια περίοδος y x x 1 1/3 1/3 είναι η μακροχρόνια συνάρτηση παραγωγής (x 1 και x είναι μεταβλητά). Η βραχυχρόνια συνάρτηση παραγωγής όταν x 1 είναι y 1/ 3 1/ 3 x 1 1 x 1 1 / Η βραχυχρόνια συνάρτηση παραγωγής όταν x 10 είναι y x 1/ /

87 Μακροχρόνια και βραχυχρόνια περίοδος 1/ 3 y x 1 10 / 3 y x / 3 1/ 3 y / 3 y x 1 1 / 3 y x / 3 1/ 3 x 1 Τέσσερις βραχυχρόνιες συναρτήσεις παραγωγής. 87

88 Άσκηση εξάσκησης 1 «Αν μια επιχείρηση που χρησιμοποιεί παραγωγικούς συντελεστές παρουσιάζει αύξουσες αποδόσεις κλίμακας, τότε τουλάχιστον ο ένας από τους δύο συντελεστές θα παραβιάζει το νόμο της φθίνουσας οριακής παραγωγικότητας». Συμφωνείτε ή όχι με την πρόταση αυτή; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 88

89 Άσκηση εξάσκησης «Αν μια συνάρτηση παραγωγής ικανοποιεί το νόμο της φθίνουσας οριακής παραγωγικότητας, τότε αυτή η συνάρτηση θα πρέπει να παρουσιάζει φθίνουσες αποδόσεις κλίμακας». Συμφωνείτε με αυτόν τον ισχυρισμό; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 89

90 Άσκηση εξάσκησης 3 Για μια επιχείρηση που χρησιμοποιεί εργασία και κεφάλαιο, το οριακό προϊόν της εργασίας είναι 4 και το οριακό προϊόν του κεφαλαίου είναι 5. Αν η επιχείρηση αυτή χρησιμοποιήσει μια μονάδα εργασίας ακόμα, αλλά δε θέλει να αλλάξει την ποσότητα του προϊόντος που παράγει, πόσο πρέπει να αλλάξει την ποσότητα κεφαλαίου που χρησιμοποιεί; 90

91 Άσκηση εξάσκησης 4 Μια επιχείρηση έχει συνάρτηση παραγωγής f(x,y)=(x a +y a ) s/a, όπου a= 1 και s μια θετική σταθερά. Τι αποδόσεις κλίμακας έχει η συνάρτηση αυτή; 91

92 Άσκηση εξάσκησης 5 Μια επιχείρηση έχει συνάρτηση παραγωγής f(x, y) = 0x 3/5 y /5. Ποια είναι η κλίση της καμπύλης ίσου προϊόντος στο σημείο (x, y) = (80, 10); 9