Πρόβλημα μέγιστης ροής - Maximum flow problem. Κηρυττόπουλος Κωνσταντίνος Επ. Καθηγητής ΕΜΠ

Transcript

1 Πρόβλημα μέγιστης ροής - Maximum flow problem Κηρυττόπουλος Κωνσταντίνος π. Καθηγητής ΜΠ

2 Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. ια εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς. date: //1

3 Στόχος προβλημάτων ροής Βέλτιστη αξιοποίηση κλάδων ενός δικτύου, προσανατολισμένου ή μη, για την επίτευξη μέγιστης ροής από ένα κόμβο σε ένα κόμβο Β. date: //1

4 Σχετικά προβλήματα Μεγιστοποίηση διανομής από εργοστάσιο σε σημεία πώλησης Μεγιστοποίηση διακίνησης πετρελαίου / φυσικού αερίου μέσω δικτύου αγωγών Μεγιστοποίηση διακίνησης πόσιμου νερού σε σύστημα υδραγωγείων Μεγιστοποίηση ροής αυτοκινήτων σε δίκτυο κυκλοφορίας date: //1

5 πίλυση προβλημάτων Θέλετε να μεταφέρετε με τραίνο ημιέτοιμα προϊόντα από το εργοστάσιο στο εργοστάσιο. Οι δυνατές διαδρομές και η εβδομαδιαία δυναμικότητα κάθε διαδρομής σε βαγόνια για την εταιρεία σας μεταξύ των ενδιάμεσων σταθμών, φαίνεται στο ακόλουθο Σχήμα: Β 8 Βρείτε το μέγιστο αριθμό βαγονιών που μπορείτε να στείλετε εβδομαδιαίως από το εργοστάσιο στο εργοστάσιο και τη διαδρομή με την οποία θα το επιτύχετε. date: //1

6 λγόριθμος επίλυσης λγόριθμος Ford L. & Fulkerson D. ναπτύχθηκε κατά τη διάρκεια μελέτης προβλημάτων μεταφοράς στη RAND Corp. Το αρχικό πρόβλημα αφορούσε τη μεταφορά φορτίων με τραίνα μεταξύ πόλεων με δεδομένα τα όρια εξυπηρέτησης των γραμμών. L. R. Ford Jr D. R. Fulkerson date: //1

7 λγόριθμος επίλυσης Συμβολισμοί Κόμβος ναπομένουσα δυναμικότητα μεταφοράς από το στο ναπομένουσα δυναμικότητα μεταφοράς από το στο κμή = δρόμος μεταφοράς date: //1

8 λγόριθμος Ford & Fulkerson 1. ντοπίστε έναν (οποιοδήποτε) δρόμο από τον οποίο είναι δυνατή η θετική ροή φορτίου από τον κόμβο αφετηρίας (source) στον κόμβο προορισμού (sink).. Υπολογίστε το ύψος της ροής f ως την ελάχιστη απομένουσα δυναμικότητα μεταφοράς των κόμβων που απαρτίζουν το δρόμο στην κατεύθυνση από την έναρξη στον προορισμό.. φαιρέστε τη ροή f από την εναπομένουσα δυναμικότητα κάθε κόμβου του δρόμου στην κατεύθυνση από την έναρξη στον προορισμό και προσθέστε τη στην αντίθετη κατεύθυνση σε κάθε κόμβο.. παναλάβετε τα βήματα 1 έως έως ότου να μην είναι πλέον δυνατή η θετική ροή φορτίου. date: //1 8

9 λγόριθμος F&F - Παράδειγμα Θέλετε να μεταφέρετε με τραίνο ημιέτοιμα προϊόντα από το εργοστάσιο στο εργοστάσιο. Οι δυνατές διαδρομές και η εβδομαδιαία δυναμικότητα κάθε διαδρομής σε βαγόνια για την εταιρεία σας μεταξύ των ενδιάμεσων σταθμών, φαίνεται στο ακόλουθο Σχήμα: Β 8 Βρείτε το μέγιστο αριθμό βαγονιών που μπορείτε να στείλετε εβδομαδιαίως από το εργοστάσιο στο εργοστάσιο και τη διαδρομή με την οποία θα το επιτύχετε. date: //1 9

10 λγόριθμος F&F - Παράδειγμα Β 8 Όπου δε μας δίνεται δυναμικότητα ροής τη θέτουμε ίση με. date: //1 1

11 λγόριθμος F&F - Παράδειγμα Β 8 πιλέγω το δρόμο Μέγιστη ροή: Βήμα 1 >Β>> min{,8,}= date: //1 11

12 λγόριθμος F&F - Παράδειγμα Β πιλέγω το δρόμο Μέγιστη ροή: Βήμα 1 >Β>> min{,8,}= Βήμα >> min{,}= date: //1 1

13 λγόριθμος F&F - Παράδειγμα 8 Β πιλέγω το δρόμο: Μέγιστη ροή: Βήμα 1 >Β>> min{,8,}= Βήμα >> min{,}= Βήμα >> min{,}= date: //1 1

14 λγόριθμος F&F - Παράδειγμα 8 Β πιλέγω το δρόμο: Μέγιστη ροή: Βήμα 1 >Β>> min{,8,}= Βήμα >> min{,}= Βήμα >> min{,}= Βήμα >Β>> min{,,1}=1 date: //1 1

15 λγόριθμος F&F - Παράδειγμα 8 Β πιλέγω το δρόμο: Μέγιστη ροή: Βήμα 1 >Β>> min{,8,}= Βήμα >> min{,}= Βήμα >> min{,}= Βήμα >Β>> min{,,1}=1 Παρατηρούμε ότι δεν υπάρχει δυνατότητα επιπλέον θετικής ροής από σε. date: //1 1

16 λγόριθμος F&F - Παράδειγμα 8 Β Υπολογίζουμε την τελική ροή f f συγκρίνοντας ανά κόμβο την αρχική απομένουσα δυναμικότητα με την τελική. Τοποθετούμε την τελική ροή στο δίκτυο. Προσανατολίζουμε τις ακμές (κάνουμε τόξα) για να φαίνεται ξεκάθαρα η ροή. date: //1 1

17 λγόριθμος F&F- max flow/min cut Η αρχή της ισοδυναμίας μέγιστης ροής με την ελάχιστη τομή μας λέει ότι η μέγιστη δυνατή ροή από μοναδικό κόμβο αφετηρίας σε μοναδικό κόμβο προορισμού ισούται με την ελάχιστη χωρητικότητα τομής μεταξύ όλων των τομών του δικτύου. 8+++= 8++=19 Β 8 ++=1 min date: //1 1

18 λγόριθμος F&F- Άσκηση Βρείτε τη μέγιστη ροή και τις σχετικές διαδρομές από τον κόμβο στον κόμβο Η. 1 Β Η date: //1 18

19 λγόριθμος F&F- Άσκηση Λύση Β Η 1 date: //1 19

20 λγόριθμος F&F- Άσκηση παλήθευση. 1 Β 8 +++= Η date: //1

21 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «νοικτά καδημαϊκά Μαθήματα.Μ.Π.» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του πιχειρησιακού Προγράμματος «κπαίδευση και ια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την υρωπαϊκή Ένωση (υρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. date: //1 1