Μέθοδοι Βελτιστοποίησης
|
|
- Γιώργος Μπότσαρης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Ενότητα # : Επιχειρησιακή έρευνα Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων
2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.
3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
4 Σκοποί ενότητας Να γίνει κατανοητή η ανάγκη των προβλημάτων της δικτυωτής ανάλυσης και οι λύσεις που δίδονται με τους αλγόριθμους ευρεσης συντομότερης διαδρομής και ελαχιστοποίησης κάλυψης κόμβων
5 Περιεχόμενα ενότητας Δικτυωτή Ανάλυση Προβλήματα Δικτυωτής Ανάλυσης Ελαχιστοποίηση κάλυψης κόμβων Πρόβλημα Συντομότερης Διαδρομής Αλγόριθμος Dijkstra Βελτιστοποίηση Ροής-Αλγόριθμος Ford - Fulkerson
6 Βιβλιογραφία Π. Υψηλάντη, Επιχειρησιακή Έρευνα: Λήψη Επιχειρηματικών Αποφάσεων, Εκδόσεις ΕΛΛΗΝ, 99. Γ. Πραστάκος. Μαθηματικός Προγραμματισμός για τη λήψη επιχειρηματικών αποφάσεων, Εκδόσεις Σταμούλης, 99. Δ. Ξηρόκωστας, Επιχειρησιακή Έρευνα Αντικείμενο και μεθοδολογία, Συμμετρία, 99. Ι. Σίσκος, Γραμμικός Προγραμματισμός, Εκδόσεις Νέων Τεχνολογιών, 99. F.S. Hillier και G.L. Lieberman, Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Έρευνα, Εκδόσεις Παπαζήση, 9.
7 Δικτυωτή Ανάλυση (α) Ένα δίκτυο αποτελείται από κόμβους και συνδέσεις μεταξύ των κόμβων (κλάδους ή διαδρομές). Κάθε σύνδεση (κλάδος) συνδέει δυο διαφορετικούς κόμβους. Ένας κόμβος μπορεί να είναι συνδεδεμένος με περισσότερους από έναν κόμβους, όπως και σε έναν κόμβο μπορούν να καταλήγουν περισσότερες από μια συνδέσεις. Οι κόμβοι χαρακτηρίζονται συνήθως με αριθμούς (,, ). Οι κόμβοι συμβολίζονται συνήθως με έναν κύκλο που περιλαμβάνει τον αριθμό του κόμβου. (00) (0,0,) (00) 7
8 Δικτυωτή Ανάλυση (β) Ένα δίκτυο αποτελείται από κόμβους και συνδέσεις μεταξύ των κόμβων (Σε κάθε διαδρομη συνδέονται τρεις αριθμοί (α, α, α) όπου α: ελάχιστη τιμή χωρητικότητας, α η μέγιστη τιμή χωρητικότητας και α το κόστος. Σε κόμβους εισόδου ή εξόδου καταχωρούμε τις ποσότητες εισόδου ή εξόδου από το Δίκτυο Στην περίπτωση μονόδρομης μεταφοράς ή ροής στους κόμβους έχουμε κατευθυνόμενο δίκτυο. Σε δίκτυα ροής στις διαδρομές καταγράφουμε εκτός από τη μέγιστη δυνατή ροή (χωρητικότητα) και την υπάρχουσα (00) 00: Ποσότητα Εισόδυ στο Δίκτυο (0,0,) 0/ 0: ελάχιστη ροή 0: μέγιστη ροή :κόστος μονάδας (00) 0: μέγιστη ροή : Ροή στη διαδρομή 00: Ποσότητα εξόδου από το Δικτυο
9 Προβλήματα Δικτυωτής Ανάλυσης (α) Τα Προβλήματα που συνήθως αντιμετωπίζουμε στη Δικτυωτή Ανάλυση είναι: Βέλτιστης κάλυψης όλων των κόμβων Σε ένα δίκτυο υπολογίζουμε την διαδρομή με την μικρότερη απόσταση ή κόστος προκειμένου να καλυφθούν όλοι οι κόμβοι. (Εφαρμογές στα Δίκτυα Η/Υ, Υδραυλικά Δίκτυα, Ηλεκτρικά Δίκτυα, κ.ά.) Εύρεση της ελάχιστης απόστασης μεταξύ των κόμβων. Σε δίκτυα που έχουν έναν αρχικό και έναν τελικό κόμβο και δίνονται οι αποστάσεις (κόστος) μεταξύ των κόμβων βρίσκουμε τις συνδέσεις που μας δίνουν την ελάχιστη απόσταση (κόστος) διασύνδεσης του αρχικού με τον τελικό κόμβο. Μεγιστοποίηση της Ροής Δικτύου Σε ένα δίκτυο μεταφοράς με αρχικό και τελικό κόμβο και τις χωρητικότητες (ικανότητες μεταφοράς) των συνδέσεων (κλάδων) βρίσκουμε τη διαδρομή (συνδέσεις) μέσω των οποίων θα μεγιστοποιηθεί η αποδοτικότητα δηλαδή θα μεγιστοποιηθεί η χωρητικότητα. 9
10 Προβλήματα Δικτυωτής Ανάλυσης (β) Το πρόβλημα της Μεταφοράς Σε δίκτυα που έχουν ένα σύνολο κόμβων Αφετηρίας Α i και ένα άλλο σύνολο κόμβων Προορισμού T i με συγκεκριμνες δυνατότητες οσον αφορά στις ποσότητες αποστολής και παραλαβής και γνωρίζοντας τα κόστη μεταφοράς από τις Αφετηρίες προς τους Προορισμοπυς προσδιορίζουμε τις διαδρομές με το ελάχιστο κόστος με εξασφάλιση ότι μεταφερθούν όλες οι ποσότητες από τις Αφετηρίες προς τους Προορισμους. Το Πρόβλημα της Ανάθεσης Το πρόβλημα της Ανάθεσης αφορά την τομποθέτηση ν αντικειμένων σε μ θέσεις έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται το κόστος (η μεγιστοποιείται η απόδοση), γνωριζοντας το κόστος ή την απόοδση της ανάθεσης αντικειμένου σε θέση. Το Κρίσιμο Μονοπάτι Σε ένα δίκτυο αλλαηλοεξαρτώμενων δραστηριοτήτων υλοποίησης ενός έργου προσδιορίζονται οι δραστηριότητες που είναι κρίσιμες ώστε το έργο να εκτεκεσθεί στα απαιτούμενα χρονικά πλαίσιο.. 0
11 Προβλήματα Δικτυωτής Ανάλυσης (γ) Τα προβλήματα της Δικτυωτής Ανάλυσης συναντώνται συχνά σε πολλούς τομείς της Διοίκησης Λειτουργιών, μεταφορών και της Παραγωγής. Πολλά από τα Προβλήματα Δικτυωτής Ανάλυσης μπορούν να διατυπωθούν σε πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού & να επιλυθούν με τη μέθοδο Simple. Για κάθε ένα από αυτά έχουν αναπτυχθεί τεχνικές και μέθοδοι επίλυσης, οι οποίες λειτουργούν ταχύτερα από την SIMPLEX. Κάθε πρόβλημα θα παρουσιασθεί διεξοδικά
12 Ελαχιστοποίηση κάλυψης κόμβων (α) Αφορά προβλήματα στα οποία σε ένα δίκτυο κόμβων απαιτείται να προσδιορισθεί η διαδρομή εκείνη που καλύπτει όλους του κόμβους και ταυτόχρονα ελαχιστοποιεί μια παράμετρο (το κόστος ή η απόσταση). Εντάσσεται στην κατηγορία πρβλημάτων χωροθέτσησης. Παράδειγμα: Η Εταιρεία Παροχής Φυσικού Αερίου σκοπεύει να συνδέσει να κατασκευάσει αγωγό για να παρέχει φυσικό αέριο από τις κετρικές εγκαταστάσεις (Α) στις πόλεις έως 9. Στο δίκτυο που ακολουθεί δίδονται οι επιτρεπτές διαδρομές και το κόστος κατασκευής. Α
13 Ελαχιστοποίηση κάλυψης κόμβων (β) Γ.Π. Μοντελοποίηση σε μορφή Γραμμικού Προβλήματος (Ακέραιου) N. Αριθμός των κόμβων, Κ ο κόμβος της Αφετηρίας C ij : το κόστος κατασκευής της διδρομης KiKj. min(c n n ij i i {0,} ij i ij ij ), i 0,,,..n, j,,.., n j,..,n c ij
14 Ελαχιστοποίηση κάλυψης κόμβων (γ) Παράδειγμα: Σε ένα συγκρότημα με 9 κατοικίες σχεδιάζεται το δίκτυο ύδρευσης. Το κόστος κατασκευής είναι ανάλογο των αποστάσεων μεταξύ των κατοικιών. Δεν είναι απαραίτητο όλες οι κατοικίες να συνδεθούν με το κεντρικό δίκτυο. Μια κατοικία μπορεί να συνδεθεί με μια άλλη. Δεν είναι δυνατόν να συνδεθούν όλες οι κατοικίες μεταξύ τους λόγω ιδιομορφίας του εδάφους. Στο δικτυωτό διάγραμμα δίνονται οι αποστάσεις σε μέτρα των συνδέσεων. Να βρεθεί ο τρόπος σύνδεσης ώστε να καλυφθούν όλες οι κατοικίες με το ελάχιστο δυνατό κόστος
15 Βήματα Επίλυσης. Καταγράφουμε σε πίνακα όλους τους κλάδους του δικτύου κατά αύξουσα σειρά αποστάσεων.. Ξεκινάμε με την επιλογή του πρώτου κλάδου (αυτόν με την μικρότερη απόσταση και επιλέγουμε έναν - έναν τους κλάδους με την προϋπόθεση ότι δεν δημιουργείται βρόγχος (κλειστό κύκλωμα).. Συνεχίζουμε μέχρι να επιλεγούν όλοι οι κόμβοι.. Σχεδιάζουμε με έντονες συνδέσεις τη διαδρομή στο διάγραμμα του δικτύου.
16 Επίλυση Παραδείγματος ( ο βήμα) Κλάδος Απόσταση (,) 0 (,) 0 (7,) 0. Καταγράφουμε όλους του κλάδους και τις αποστάσεις και ταξινομούμε τον πίνακα κατά αύξουσα σειρά ως προς τις αποστάσεις (,) 0 (,) 0 (,) 70 (,) 0 (,) 0 (7,9) 0 (,) 90 (,7) 90 (,) (,) 0 (,9) 0
17 Επίλυση Παραδείγματος ( ο βήμα) Κλάδος Απόσταση (,) 0 (,) 0 (7,) 0 (,) 0 (,) 0 (,) 70 (,) 0 (,) 0 (7,9) 0 (,) 90 (,7) 90 (,) 0 (,) 0 (,9) 0 0. Ξεκινάμε από τον κλάδο (,), Συνεχίζουμε στον (,), (7,), (,),.. (,) Ταυτόχρονα σημειώνουμε περισσότερο έντονα τους κόμβος στο διάγραμμα
18 Επίλυση Παραδείγματος ( ο βήμα) Κλάδος Απόσταση (,) 0 (,) 0 (7,) 0. Δεν λαμβάνουμε την περίπτωση (,) διότι δημιουργεί βρόγχο. Συνεχίζουμε με το (7,9) Καλύπτονται όλοι οι κόμβοι. (,) 0 (,) 0 (,) 70 (,) 0 (,) 0 (7,9) 0 (,) 90 (,7) 90 (,) 0 (,) 0 (,9)
19 Πρόβλημα Συντομότερης Διαδρομής (α) Εύρεση Ελάχιστης Απόστασης Μεταξύ Αφετηρίας & Προορισμού ( Πρόβλημα Συντομότερης Διαδρομής): Οι αποθήκες μιας κατασκευαστικής εταιρείας (κόμβος Α) βρίσκονται σε απόσταση από το εργοτάξιο της Οικοδομής (κόμβος Π) που βρίσκεται σε εξέλιξη. Για τη μεταφορά των υλικών υπάρχουν οι οδικές αρτηρίες που δίνονται στο σχήμα δικτύου που ακολουθεί όπως και οι σχετικές αποστάσεις. Ποιά είναι η διαδρομή που πρέπει να ακολουθηθεί για τη μεταφορά ώστε να ελαχιστοποιηθεί η απόσταση. Α 0 9 Π 9
20 Πρόβλημα Συντομότερης Διαδρομής (β) 0 Ανάμεσα στην αφετηρία και τον Προορισμό παρεμβάλονται κόμβοι που δημιουργούν πολλές εναλλακτικές διαδρομές. Ζητείται να προσδιορισθεί η μικρότερη διαδρομή (ή με το μικρότερο κόστος) ανάμεσα στην Αφετηρία και τον Προορισμό. Αν Α (K 0 ): η αφετηρία, Π (k n+ ): ο Προορισμός, c ij : η απόσταση του κόμβου i από τον κόμβο j και n ο αριθμός των ενδιάμεσων κόμβων 0 9 min(c n i n ij n i {0,} ij i,j 0 ij in ij ), i 0,,,..n n i,j ji J,..,n, i j c ij 0 0
21 Βήματα Επίλυσης του προβλήματος με. Σε έναν πίνακα καταγράφουμε τους κόμβους και τους κλάδους με τις αντίστοιχες αποστάσεις στην παρακάτω μορφή. Δεν καταγράφουμε κλάδους που καταλήγουν στην αφετηρία ή ξεκινούν από τον προορισμό. αλγόριθμο Dijkstra () Α Π (Α,): (,): (,): (,): (,): (,): (Α,): 9 (,): (,): (,): (,): (,): (Α,):0 (,): (,): (,): (,):9 (,):9 Α 9 0 (,): (,Π): (,Π): (,Π): 9 Π
22 Βήματα Επίλυσης του προβλήματος ()(α). Ξεκινάμε από τον κόμβο που είναι πλησιέστερα στον Α (έχει τη μικρότερη απόσταση). Διαγράφουμε τους κλάδους που οδηγούν στον Κόμβο αυτόν. Α Π (Α,): (,): (,): (,): (,): (,): (Α,): 9 (,): (,): (,): (,): (,): (Α,):0 (,): (,): (,): (,):9 (,):9 (,): (,Π): (,Π):. Ο κόμβος είναι ο πλησιέστερος στον Α. Σημειώνεται έντονα ο κλάδος (,Π):. Διαγράφουμε τους κλάδους που οδηγούν στον κόμβο Α Π
23 Βήματα Επίλυσης του προβλήματος ()(β). Ξεκινάμε από τον κόμβο που είναι πλησιέστερα στον Α (έχει τη μικρότερη απόσταση). Διαγράφουμε τους κλάδους που οδηγούν στον Κόμβο αυτόν. Σημειώνουμε πάνω στον κόμβο την απόσταση από τον Α Α Π (Α,): (,): (,): (,): (,): (,): (Α,): 9 (,): (,): (,): (,): (,): (Α,):0 (,): (,): (,): (,):9 (,):9. Σημειώνουμε πάνω από τον κόμβο το (απόσταση από Α) (,): (,Π): (,Π): (,Π):. Ο κόμβος είναι ο πλησιέστερος στον Α. Σημειώνεται έντονα ο κλάδος. Διαγράφουμε τους κλάδους που οδηγούν στον κόμβο Α Π
24 Βήματα Επίλυσης του προβλήματος ()(γ). Συνεχίζουμε προσδιορίζοντας τον κόμβο που βρίσκεται πλησιέστερα στους Α και. Διαγράφουμε τους κλάδους που οδηγούν στον Κόμβο αυτόν. Σημειώνουμε πάνω στον κόμβο την απόσταση από τον Α 9 Α Π (Α,): (,): (,): (,): (,): (,): (Α,): 9 (,): (,): (,): (,): (,): (Α,):0 (,): (,): (,): (,):9 (,):9. Επιλέγουμε τον κόμβο που απέχει λιγότερο από τον αρχικό κόμβο Α. Διαγράφουμε τους κλάδους που καταλήγουν στον και σημειώνουμε την απόσταση πάνω από τον (,): (,Π): (,Π): (,Π):. Ο κόμβος είναι ο πλησιέστερος στον Α. Απόσταση 9. Ο Κόμβος είναι ο πλησιέστερος στον με Απόσταση. Η απόσταση από τον Α είναι +=
25 Βήματα Επίλυσης του προβλήματος ()(δ). Συνεχίζουμε προσδιορίζοντας τον κόμβο που βρίσκεται πλησιέστερα στους Α, και. Διαγράφουμε τους κλάδους που οδηγούν στον Κόμβο αυτόν. Σημειώνουμε πάνω στον κόμβο την απόσταση από τον Α 9 0 Α Π (Α,): (,): (,): (,): (,): (,): (Α,): 9 (,): (,): (,): (,): (,): 7. Επιλέγουμε τον κόμβο που απέχει λιγότερο από τον αρχικό κόμβο Α. Διαγράφουμε τους κλάδους που καταλήγουν στον και σημειώνουμε την απόσταση πάνω από τον (Α,):0 (,): (,): (,): (,):9 (,):9 (,): (,Π): (,Π): (,Π):. Ο κόμβος είναι ο πλησιέστερος στον Α. Απόσταση 0 9. Ο Κόμβος είναι ο πλησιέστερος στον Απόσταση. Η απόσταση από τον Α είναι += 0. Ο Κόμβος είναι ο πλησιέστερος στον Απόσταση. Η απόσταση από τον Α είναι 9+=7
26 Βήματα Επίλυσης του προβλήματος ()(ε). Συνεχίζουμε προσδιορίζοντας τον κόμβο που βρίσκεται πλησιέστερα στους Α,, και. Διαγράφουμε τους κλάδους που οδηγούν στον Κόμβο αυτόν. Σημειώνουμε πάνω στον κόμβο την απόσταση από τον Α 9 0 Α Π (Α,): (,): (,): (,): (,): (,): (Α,): 9 (,): (,): (,): (,): (,):. Επιλέγουμε τον κόμβο που απέχει λιγότερο από τον αρχικό κόμβο Α. Διαγράφουμε τους κλάδους που καταλήγουν στον και σημειώνουμε την απόσταση πάνω από τον (Α,):0 (,): (,): (,): (,):9 (,):9 (,): (,Π): (,Π): (,Π):. Ο Κόμβος είναι ο πλησιέστερος στον Απόσταση. Η απόσταση από τον Α είναι +=. Ο Κόμβος είναι ο πλησιέστερος στον Απόσταση. Η απόσταση από τον Α είναι 9+=0. Οι Κόμβος και είναι οι πλησιέστερος στον Απόσταση. Η απόσταση από τον Α είναι 0+=
27 Βήματα Επίλ. του προβλήματος ()(στ). Συνεχίζουμε προσδιορίζοντας τον κόμβο που βρίσκεται πλησιέστερα στους Α,,,, και. Βρίσκουμε την απόσταση από Α. Βρίσκονται σ=τον Πλησιέστερο κόμβο στον Α. Διαγράφουμε τους κλάδους που οδηγούν στον Κόμβο αυτόν. Σημειώνουμε πάνω στον κόμβο την απόσταση από τον Α 9 0 Α Π (Α,): (,): (,): (,): (,): (,): (Α,): 9 (,): (,): (,): (,): (,): (Α,):0 (,): (,): (,): (,):9 (,):9. Επιλέγουμε τον κόμβο που απέχει λιγότερο από τον αρχικό κόμβο Α. Διαγράφουμε τους κλάδους που καταλήγουν στον και σημειώνουμε την απόσταση πάνω από τον. Ο Κόμβος είναι ο πλησιέστερος στον Απόσταση. Η απόσταση από τον Α είναι +9=0 (,): (,Π): (,Π): (,Π): 7. Ο Κόμβος είναι ο πλησιέστερος στον Απόσταση. Η απόσταση από τον Α είναι 0+=. Οι Κόμβος Π ο πλησιέστερος στον. Απόσταση. Η απόσταση από τον Α είναι += 7
28 Βήματα Επίλυσης του προβλήματος (7)(ζ). Έμεινε μόνο ο κόμβιος Π. Εχουμε τις αποστάσεις 9 0 Α Π (Α,): (,): (,): (,): (,): (,): 9. Επιλέγουμε τη σύνδεση με τον Κόμβο διαγράφοντας τις άλλες. Ο Κόμβος συνδέεται με τον και ο με τον Α (Α,): 9 (,): (,): (,): (,): (,): (Α,):0 (,): (,): (,): (,):9 (,):9 (,): (,Π): (,Π): (,Π): 0. Ο κόμβος Π απέχει από κόμβο και από τον Α +0=. Ο Κόμβος Π απέχει από τον κόμβο κατά η απόσταση από τον Α είναι +=. Οι Κόμβος Π ο απέχει από τον κόμβο κατά και από τον Α 0.
29 Το Τελικό Διάγραμμα Δικτύου Α 0 9 Π 9 Η διαδρομή είναι Α,,,Π Απόσταση 0++=0. 9
30 Άσκηση Εξάσκησης Για την καθημερινή σας μετακίνηση από το σπίτι σας στο ΤΕΙ Πειραιά μπορείτε να ακολουθήσετε κάποιες εναλλακτικές διαδρομές που περιλαμβάνουν οδικούς άξονες και διασταυρώσεις - κόμβους. Για λόγους άσκησης και προστασίας του περιβάλλοντος αποφασίσατε να χρησιμοποιήσετε ποδήλατο. Να προσδιορίσετε τη συντομότερη διαδρομή. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το για να αντλήσετε στοιχεία. 0
31 Άσκηση Εξάσκησης Ο σχεδιασμός της διαδρομής του σιδηροδρόμου από τη πόλη Α στον πόλη Π εδωσε το παρακάτω διάγραμμα εφικτών κλάδων και κόμβων του τμήματος του σοδηροδρομικού δικτύο που μπορεί να συνδέσει τις δυο πόλεις. Ποιά είναι η διαδρομή που πρέπει να ακολουθηθεί ώστε να ελαχιστοποιηθεί η απόσταση που θα διανύει η αμαξοστοιχεία. Α Π
32 Μεγιστοποίηση ροής σε ένα δίκτυο (α) Δίκτυο διαδρομών με διαφορετικές χωτηρικότητες στις διαδρομές Τα προβλήματα αυτά αφορούν στην επιλογή των διαδρομών σε ένα δίκτυο, έτσι ώστε να εξασφαλίζεται η μέγιστη ροή στο δίκτυο. Βασικό Χαρακτηριστικό: Σε δυο διαδρομές με διαφορετική δυναμικότητα ροής που συνδέονται σε ένα κόμβο η ροη που θα επιτευχθεί είναι η μικρότερη από τις ροές των δύο διαδρομών. Flow: Flow: Total Flow:
33 Μεγιστοποίηση ροής σε ένα δίκτυο (β) Πολλές Εφαρμογές (Δίκτυα Η/Υ- Δρομολόγηση της μεταφοράς δεδομένων, Δίκτυα Υδρευσης, Παροχής Ενέργειας, Μεταφοοράς Φυσικού Αερίου, κ.ά.) Αν Α=Κ 0, Π=Κ n+ W ij οι χωρητικότητες των διαδρομών X ij οι ζητούμενες ροές τότε το Γ.Π. επίλυσης έχει ως ακολούθως Α W 0 / 0 W / 0k W 0 / 0 n- W n-,n+ X n-,n+ W r,n+ X r,n+ W n,n+ X n,n+ n Π ma( ij ), i 0,,,..n j n ij 0 ij j k, j,,.., n, i,,.., n, i j, k,,... n ij ij 0, i,,.., n w ij, i,,.., n
34 Παράδειγμα Δίδεται το παρακάτω δίκτυο όπου Α είναι η Αφετηρία και Π ο Προορισμός. Στο Γράφο δίνεται η δυνατότητες ροής στο κατευθυνόμενο δίκτυο. Να προσδιορισθούν οι ροές στις διαδρομές έτσι ώστε να μεγιστοποιηθεί η συνολική ροή στο δίκτυο. Αν Α=Κ 0, Π=Κ και ij Οι ροές στο δίκτυο (άγνωστες) ma( , 0,,, 0 0,, 0,, 0 ),, 9,,,,,, Α,, 0 9,, 0, i,,,,.., n 9 Π
35 Αλγόριθμος Επίλυσης (α) Δίδεται το παρακάτω δίκτυο όπου Α είναι η Αφετηρία και Π ο Προορισμός. Σημειώνουμε στις διαδρομές τη μέγιστη ροή και τις υπολογισμένη ροή. Ξεκινάμε σε όλες τις διαδρομές με εκτιμημένη ροή 0. Επιλέγουμε μια διαδρομή απο Αφετηρία προς Προορισμό (πχ Α,,,Π). Βρίσκουμε την μικρότερη ροή. Θέτουμε τη ροή αυτή στο σύνολο των επιμέρους κλάδων της Διαδρομής και αφαιρούμε από τις ποσότητες από τη χωρητικότα των κλάδων της διαδρομής. Η μικρότερη ροή στη διαδρομή Α,,,Π είναι. Βάζουμε την τιμή στη ροή και αφαιρούμε από όλους τους κλάδους της διαδρομής Συνεχίζουμε με την επόμενη διαδρομή (Α,,,Π) μέχρι να μην έχουμε δυνατότητα ροής σε καμμία διαδρομή. Α Α /0 /0 0/ /0 /0 /0 / 0 /0 /0 /0 /0 / 7/0 Π 7/0 7/0 / Π
36 Αλγόριθμος Επίλυσης (β) Συνεχίζουμε με την επόμενη διαδρομή (Α,,,Π) μέχρι να μην έχουμε δυνατότητα ροής σε καμμία διαδρομή. Η μικρότερη ποσότητα στη διαδρομή (Α,,,Π) είναι. Α 0/ / /0 0/ /0 / / / Π Αφαιρούμε από τη δυναμικότητα των κόμβων της διαδρομής και προσθέτουμε στις ροές Συνεχίζουμε με τη διαδρομή Α,,,,Π. Η μικρότερη Ποσότητα είναι στους κόμβους. Αφαιρούμε από τη δυναμικότητα των κόμβων και προσθέτουμε στις ροές Α /7 0/ / 0/ / / 0/7 / Π Η Μέγιστη Ροή είναι
37 Βελτιστοποίηση Ροής-Αλγόριθμος Ford Fulkerson (α) Αλγόριθμος Ford & Fulkerson Βρισκουμε μια εφικτή λύση (όχι βέλτιστη): Ξεκινάμε από τον κόμβο και διαδοχικά αναθέτουμε ροές στους κλάδους του δικτύου, έτσι ώστε οι εισροές σε ένα κόμβο να είναι ίσες με τις εκροές. Ή διαδικασία περιλαμβάνει ένα σύνολο βημάτων που επαναλαμβάνονται / / / / / /7 / / / 7
38 Βελτιστοποίηση Ροής - Αλγόριθμος Ford Fulkerson (β) Αλγόριθμος Ford & Fulkerson Βήμα : Ξεκιναμε με τον πρώτο κόμβο. Δίνουμε την ετικέτα (+0, Μ) όπου 0 αντιστοιχεί στο ότι 7 δεν υπάρχει προαπαιτούμενος κόμβος και Μ ότι δεν υπάρχει όριο σε επιπρόσθετη παροχή. Ο Κόμβος θεωρείται σημασμένος και μη διερευνημένος. Βήμα : Επιλέγουμε έναν κόμβο ο οποίος είναι σημασμένος και μη διερευνημένος (ο Κόμβος στην πρώτη φάση). Αν όλοι οι κόμβοι είναι σημασμένοι και διερευνημένοι τότε έχουμε βρεί την βέλτιστη λύση. Βήμα : Στον σημασμένο κόμβο I, για κάθε μη σημασμένο κόμβο (j): α) για τον οποίο υπάρχει κλάδος με τον σημασμένο κόμβο που εξετάζουμε (I,j) και η ροή του κλάδου ( ij ) είναι μικρότερη της χωτηρικότητας (b ij ) θέτουμε ετικέτα (+i, y j ) όπου y i = min( b ij - ij, y i ) β) για το οποίο υπάρχει κλάδος (j,i) και ή ροή είναι μεγαλύτερη του 0 ( ij <0) θέτουμε την ετικέτα (-i, y j ) όπου y j =min( ji, y i ) O κόμος I έχει διερευνηθεί. Τον τσεκάρουμε / 7/ (0, Μ) Βήμα / (0, Μ) / / /7 7/ / / / Βήμα, () (+, ) Μόνο ο κόμβος ικανοποιεί τις συνθήκες (α) y= min(7-=, M)
39 Βελτιστοποίηση Ροής - Αλγόριθμος Ford Fulkerson (γ) Αλγόριθμος Ford & Fulkerson Βήμα : Αν ο Κόμβος Προορισμου (0, Μ) 7/ (ο Κόμβος ν) είναι σημασμένος τότε 7 μεταβαίνουμε στο βήμα, αλλιώς / μεταβαίνουμε στο βήμα. Βήμα :Ελέγχουμε τη τιμη y n της ετικέτας του κόμβου προορισμού. Με τη τιμή αυτή αυξάνουμε τη ροή της διαδρομής με την εξής διαδικασία: α) Για κάθε κλάδο που η ετικέτα έχει θετικό πρόσημο αυξανουμε τη ροή κατά y n β) Για κάθε κλάδο που η ετικέτα έχει αρνητικό πρόσημο αφαιρούμε από τη ροή y n (+, ) / / / /7 / Ο Κόμβος δεν είναι σημασμένος, επομένως πάμε στο βήμα 9 / /
40 Βελτιστοποίηση Ροής - Αλγόριθμος Ford (0, Μ) 7 (+, ) (+, ) / 7/ Βήμα : Ο Κόμβος είναι σημασμένος και μη διερευνημένος. Fulkerson(δ) Βήμα : Ο κλάδος (,) ικανοποιεί τη συνθηκη α. Σημαίνουμε τον Κόμβο με (+, min(-, )=) Τσεκάρουμε τον κόμβο (0, Μ) 7 / 7/ (+, ) / / / /7 / / / Βήμα : Ο Κόμβος δεν είναι σημασμένος, επομένως πάμε στο βήμα (0, Μ) 7 7/ (+, ) / Βήμα : Ο Κόμβος είναι σημασμένος και μη διερευνημένος. (+, ) / (-, ) Βήμα : Ο κλάδος (,) ικανοποιεί τη συνθηκη β. Σημαίνουμε τον Κόμβο με (-, min(, )=) Τσεκάρουμε τον κόμβο (0, Μ) 7 / 7/ (+, ) / Βήμα : Ο Κόμβος δεν είναι σημασμένος, επομένως πάμε στοβήμα (+, ) / /7 / / / (-, ) 0
41 Βελτιστοποίηση Ροής - Αλγόριθμος Ford Fulkerson (ε) (0, Μ) (+,) / 7/ 7 / / (+, ) /7 / (-, ) (--, ) (+.) (+.) (+,) / 7/ / 7 / / / / /7 / (-, ) (0, Μ) Βήμα : Ο Κόμβος είναι σημασμένος και μη διερευνημένος. Βήμα : Οι κλάδοι (,) και (,) ικανοποιούν τις συνθήκες α, β. Σημαίνουμε τους κόμβους και με (-, min(7, )=) και (, Min(-,)= Τσεκάρουμε τον κόμβο Βήμα : Ο Κόμβος είναι σημασμένος, επομένως πάμε στο βήμα
42 Βελτιστοποίηση Ροής-Αλγόριθμος Ford Fulkerson (στ) (0, Μ) 7 7/+ (+,) (--, ) / + / /7 (+.) /- (-, ) /+ (+, ) Βήμα : Στους κλάδους ((,), (,) και (,) προσθέτουμε στη ροή. Στους κλάδους (,), αφαιρούμε. / (0, Μ) 9 7/ / / /0 / / /7 /7 Ξεκινάμε τη Διαδικασία από την Αρχή Βήμα
43 Βελτιστοποίηση Ροής-Αλγόριθμος Ford Fulkerson (ζ) / (0, Μ) 9 7/ / / /0 / / / (-, ) /7 (0, Μ) 7 (+, ) / 7/ (+, ) Μετά από επαναλήψεις φθάνουμε στο σημείο όπου οι κόμβοι είναι σημασμένοι και διερευνημένοι ή μη σημασμένοι. Έχουμε Βέλτιστη λύση Μέγιστη Ροή στον Κόμβο 7+ =9.
44 Τέλος Ενότητας
Μέθοδοι Βελτιστοποίησης
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Ενότητα # 4: Το Πρόβλημα Ανάθεσης Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα #3: Ασκήσεις Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα #3: Ακέραιος Προγραμματισμός Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα #1: Ασκήσεις Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΠρόβλημα συντομότερης διαδρομής - Shortest path problem. Κηρυττόπουλος Κωνσταντίνος Επ. Καθηγητής ΕΜΠ
Πρόβλημα συντομότερης διαδρομής - Shortest path problem Κηρυττόπουλος Κωνσταντίνος Επ. Καθηγητής ΕΜΠ Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα #: Δυναμικός Προγραμματισμός Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδοι Βελτιστοποίησης
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Ενότητα # 5: Ασκήσεις Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα #: Εφαρμογές του Γραμμικού Προγραμματισμού Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα #6: Στοχαστικός Γραμμικός Προγραμματισμός Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΠΕΡΣΕΦΟΝΗ ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΔΟΥ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΤΕ
ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΠΕΡΣΕΦΟΝΗ ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΔΟΥ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΤο Πρόβλημα του Περιοδεύοντος Πωλητή - The Travelling Salesman Problem
Το Πρόβλημα του Περιοδεύοντος Πωλητή - The Travelling Salesman Problem Έλενα Ρόκου Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια ΕΜΠ Κηρυττόπουλος Κωνσταντίνος Επ. Καθηγητής ΕΜΠ Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΠοσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος
Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου. Ενότητα Α: Γραμμικά Συστήματα
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα Α: Γραμμικά Συστήματα Όνομα Καθηγητή: Ραγκούση Μαρία Τμήμα: Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες
Διαβάστε περισσότερα2 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 2 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Μ. Καρλαύτης Ν. Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες Χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 23: Κλασική Ανάλυση Ευαισθησίας, Βασικές Έννοιες Γραφημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΠρόβλημα μέγιστης ροής - Maximum flow problem. Κηρυττόπουλος Κωνσταντίνος Επ. Καθηγητής ΕΜΠ
Πρόβλημα μέγιστης ροής - Maximum flow problem Κηρυττόπουλος Κωνσταντίνος π. Καθηγητής ΜΠ Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. ια εκπαιδευτικό υλικό, όπως
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα I
Επιχειρησιακή Έρευνα I Operations/Operational Research (OR) Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 9: : Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα EE & Εισαγωγή Μαθηματικός Προγραμματισμός - Γραμμικός Προγραμματισμός
Διαβάστε περισσότερα4.4 Το πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου
. Το πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου Σ αυτή την παράγραφο θα εξεταστεί μια παραλλαγή του προβλήματος της συντομότερης διαδρομής, το πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου. Σ αυτό το πρόβλημα
Διαβάστε περισσότεραΑστικά υδραυλικά έργα
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Αστικά υδραυλικά έργα Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Δημήτρης Κουτσογιάννης, Καθηγητής ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Άδεια Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΠληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 3: Εφαρμογές Δικτυωτής Ανάλυσης (2 ο Μέρος)
Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 3: Εφαρμογές Δικτυωτής Ανάλυσης (2 ο Μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΠΕΡΣΕΦΟΝΗ ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΔΟΥ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΤΕ
ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΠΕΡΣΕΦΟΝΗ ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΔΟΥ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΛογιστικές Εφαρμογές Εργαστήριο
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Λογιστικές Εφαρμογές Εργαστήριο Ενότητα #7: Αναλυτικό Ημερολόγιο Διαφόρων Πράξεων Μαρία Ροδοσθένους Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής
Διαβάστε περισσότερα6 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 6 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Μ. Καρλαύτης Ν. Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες Χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΒιομηχανικοί Ελεγκτές
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τ.Τ Βιομηχανικοί Ελεγκτές Ενότητα #9: Αναλογικά Συστήματα Ελέγχου Κωνσταντίνος Αλαφοδήμος Τμήματος Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση
Κεφάλαιο ο: Δικτυωτή Ανάλυση. Εισαγωγή Η δικτυωτή ανάλυση έχει παίξει σημαντικό ρόλο στην Ηλεκτρολογία. Όμως, ορισμένες έννοιες και τεχνικές της δικτυωτής ανάλυσης είναι πολύ χρήσιμες και σε άλλες επιστήμες.
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμογές Συστημάτων Γεωγραφικών Πληροφοριών
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμογές Συστημάτων Γεωγραφικών Πληροφοριών Ενότητα # 8: Ανάλυση δικτύων στα ΣΓΠ Ιωάννης Γ. Παρασχάκης Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 5: Χρήση μετασχηματισμού Laplace για επίλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων Μέθοδοι εντάσεων βρόχων και τάσεων κόμβων
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 5: Χρήση μετασχηματισμού Laplace για επίλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων Μέθοδοι εντάσεων βρόχων και τάσεων
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 9: Γεωμετρία του Χώρου των Μεταβλητών, Υπολογισμός Αντιστρόφου Μήτρας Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 10
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 10: Επαναληπτική Βελτίωση Ιωάννης Μανωλόπουλος, Καθηγητής Αναστάσιος Γούναρης, Επίκουρος Καθηγητής Άδειες Χρήσης Το
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 4: Μετασχηματισμοί Ισοδυναμίας Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
Διαβάστε περισσότερα4. ΔΙΚΤΥΑ
. ΔΙΚΤΥΑ Τελευταία μορφή επιχειρησιακής έρευνας αποτελεί η δικτυωτή ανάλυση (δίκτυα). Τα δίκτυα είναι ένα διάγραμμα από ς οι οποίοι συνδέονται όλοι μεταξύ τους άμεσα ή έμμεσα μέσω ακμών. Πρόκειται δηλαδή
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδοι Βελτιστοποίησης
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Ενότητα # 7: Ασκήσεις - Παραδείγματα Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες
Διαβάστε περισσότερα9 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα 9 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Υποστήριξης Αποφάσεων
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Υποστήριξης Αποφάσεων Ενότητα # 8: Σχεσιακά Μοντέλα Αποφάσεων(β) Διονύσης Γιαννακόπουλος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικές Στρατηγικές. διαδρομής (1)
Στοχαστικές Στρατηγικές η ενότητα: Το γενικό πρόβλημα ελάχιστης διαδρομής () Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος 08-09 Χειμερινό Εξάμηνο Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & Πανεπιστήμιο
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 7: Γεωμετρία Γραμμικού Προβλήματος Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 22: Ανάπτυξη Κώδικα σε Matlab για την επίλυση Γραμμικών Προβλημάτων με τον Αναθεωρημένο Αλγόριθμο Simplex Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 18: Επίλυση Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΥδραυλικά & Πνευματικά ΣΑΕ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Υδραυλικά & Πνευματικά ΣΑΕ Ενότητα # 6: Υδραυλικά Κυκλώματα Μιχαήλ Παπουτσιδάκης Τμήμα Αυτοματισμού Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΥδραυλικά & Πνευματικά ΣΑΕ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Υδραυλικά & Πνευματικά ΣΑΕ Ενότητα # 2: Βαλβίδες Ελέγχου Μιχαήλ Παπουτσιδάκης Τμήμα Αυτοματισμού Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΠρόβλημα του ελάχιστα εκτεταμένου δένδρου - Minimum spanning tree. Κηρυττόπουλος Κωνσταντίνος Επ. Καθηγητής ΕΜΠ
Πρόβλημα του ελάχιστα εκτεταμένου δένδρου - Minimum spanning tree Κηρυττόπουλος Κωνσταντίνος π. Καθηγητής ΜΠ Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. ια εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 3: Αριθμητικά Περιγραφικά Μέτρα Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΑΔΕΙΕΣ
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Τεχνικό Σχέδιο
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Τεχνικό Σχέδιο Ενότητα 4.2: Μεθοδολογία Παράστασης Τομών Επιφανειών Στερεών Σωμάτων (Συμπαγών και μη Συμπαγών) Σταματίνα Γ. Μαλικούτη
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδοι Βελτιστοποίησης
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Ενότητα # 7: Έλεγχος Αποθεμάτων Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Επιχειρήσεων
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων Ενότητα # 2: Στατιστικοί Πίνακες Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Νίκος Λαγαρός
ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ 5 η Σειρά Ασκήσεων του Μαθήματος «ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ» Διδάσκων: Νίκος Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες Χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ενότητα #17: Σειρές Πληρωμών ή Ράντες Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΑΔΕΙΕΣ
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΦΟΔΙΑΣΤΙΚΗΣ ΑΛΥΣΙΔΑΣ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΦΟΔΙΑΣΤΙΚΗΣ ΑΛΥΣΙΔΑΣ Ενότητα 8: Μοντέλα χωροθέτησης και ανάθεσης δυναμικότητας - Μέρος ΙΙ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative
Διαβάστε περισσότεραΠληροφορική. Εργαστηριακή Ενότητα 3 η : Επεξεργασία Κελιών Γραμμών & Στηλών. Ι. Ψαρομήλιγκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Πληροφορική Εργαστηριακή Ενότητα 3 η : Επεξεργασία Κελιών Γραμμών & Στηλών Ι. Ψαρομήλιγκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής
Διαβάστε περισσότεραΠαραλλαγές του Προβλήματος Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφόρτωσης και το Πρόβλημα Αναθέσεων Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Παραλλαγές του Προβλήματος Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφόρτωσης και το Πρόβλημα Αναθέσεων Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα To Πρόβλημα Μεταφοράς
Διαβάστε περισσότεραΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Ενότητα: Αναγνώριση Διεργασίας - Προσαρμοστικός Έλεγχος (Process Identification) Αλαφοδήμος Κωνσταντίνος
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 10: Το πρόβλημα μεταφοράς: μαθηματικό μοντέλο και μεθοδολογία επίλυσης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραz = c 1 x 1 + c 2 x c n x n
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός & Βελτιστοποίηση Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Καθηγητής Εφαρμογών Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ
Ενότητα 6 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας
Διαβάστε περισσότεραΠοσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων Ι Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος
Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων Ι Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Πρόβλημα Μεταφοράς. Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Πρόβλημα Μεταφοράς Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα To Πρόβλημα Μεταφοράς Μαθηματική Διατύπωση Εύρεση Αρχικής Λύσης Προσδιορισμός Βέλτιστης Λύσης
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ενότητα #7: Μονοτονία- Ακρότατα-Αντιγραφή Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής
Διαβάστε περισσότεραΧρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ»
Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» 2 ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προβλήματα ελάχιστης συνεκτικότητας δικτύου Το πρόβλημα της ελάχιστης
Διαβάστε περισσότεραΣχεδιασμός Κατασκευών
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Σχεδιασμός Κατασκευών Ενότητα 4: Αναζήτηση Λύσεων Δρ Κ. Στεργίου Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΈλεγχος Κίνησης
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα 1501 - Έλεγχος Κίνησης Ενότητα: Συστήματα Ελέγχου Κίνησης Μιχαήλ Παπουτσιδάκης Τμήμα Αυτοματισμού Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΒέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων
Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 10: Δυναμικός προγραμματισμός Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 1: Αλγόριθμος Ford-Fulkerson
ΘΕΜΑ : Αλγόριθμος Ford-Fulkerson Α Να εξετάσετε αν ισχύει η συνθήκη συντήρησης της αρχικής ροής στο δίκτυο. Β Με χρήση του αλγορίθμου Ford-Fulkerson να βρεθεί η μέγιστη ροή που μπορεί να σταλεί από τον
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ
Ενότητα 5 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας
Διαβάστε περισσότεραΜικροοικονομία. Ενότητα 7: Μορφές Αγοράς Συμπεριφορά Επιχείρησης στον Πλήρη Ανταγωνισμό. Δριτσάκη Χάιδω Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής
Μικροοικονομία Ενότητα 7: Μορφές Αγοράς Συμπεριφορά Επιχείρησης στον Πλήρη Ανταγωνισμό Δριτσάκη Χάιδω Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότερα5 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑΚΟΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 5 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑΚΟΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Μ. Καρλαύτης Ν. Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ Ενότητα 7:
ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ Ενότητα 7: Ανάλυση σύνθετων ηλεκτρικών κυκλωμάτων Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΕΙ Δ. ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΒιομηχανικοί Ελεγκτές
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τ.Τ Βιομηχανικοί Ελεγκτές Ενότητα #10: Μοντέρνες Μέθοδοι Αναλογικού Ελέγχου Κωνσταντίνος Αλαφοδήμος Τμήματος Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε. Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 7: Επίλυση με τη μέθοδο Simplex (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ενότητα #8: Όριο και Συνέχεια Συνάρτησης Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής
Διαβάστε περισσότεραΒιομηχανικοί Ελεγκτές
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τ.Τ Βιομηχανικοί Ελεγκτές Ενότητα #12: Παραδείγματα Αναλογικών Συστημάτων Ελέγχου Κωνσταντίνος Αλαφοδήμος Τμήματος Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε. Άδειες
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΈΡΕΥΝΑ ΣΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΜΕΡΙΣΜΟΥ
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΠΑΝΤΑΙΔΑΚΗΣ ΜΙΧΑΗΛ Α.Μ 8342 ΕΞΑΜΗΝΟ :ΠΤΘ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΈΡΕΥΝΑ ΣΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΜΕΡΙΣΜΟΥ ΠΤΥΧΙΑΚΗ
Διαβάστε περισσότερα5 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα 5 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα: ΣΥΝΕΛΙΞΗ ΜΕΡΟΣ Α Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότερα7 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα 7 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότερα11 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα 11 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα: Μ/Σ FOURIER Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 9: Δυϊκή Θεωρία Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Διαβάστε περισσότεραΠροχωρημένα Θέματα Προγραμματισμού Δικτύων Ενότητα 13: QoS Policy, Παραδείγματα QoS, Επισκόπηση μαθήματος Φώτης Βαρζιώτης
1 Ελληνική ημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Προχωρημένα Θέματα Προγραμματισμού Δικτύων Ενότητα 13: QoS Policy, Παραδείγματα QoS, Επισκόπηση μαθήματος Φώτης Βαρζιώτης 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά
Διαβάστε περισσότεραΠεριβαλλοντική Γεωτεχνική Θεματική Ενότητα 4 Υπόγεια Ροή
Περιβαλλοντική Γεωτεχνική Θεματική Ενότητα 4 Υπόγεια Ροή Λυμένες ασκήσεις Χρόνος παραμονής ρύπου σε περατό διάφραγμα Μ. Πανταζίδου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Άδειες Χρήσης Το
Διαβάστε περισσότεραΔιοικητική των επιχειρήσεων
1 Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Διοικητική των επιχειρήσεων Ενότητα 5 : Εισαγωγή στη λήψη αποφάσεων Καραμάνης Κωνσταντίνος 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Λογιστικής
Διαβάστε περισσότεραΈλεγχος Ποιότητας και Τεχνολογία Δομικών Υλικών
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Έλεγχος Ποιότητας και Τεχνολογία Δομικών Υλικών Εργαστηριακό Μέρος Ενότητα 3: Θεριμκή Ανάλυση - Διαγράμματα Φάσεων Κραμάτων Ευάγγελος
Διαβάστε περισσότεραΧρηματοοικονομική Διοίκηση
Χρηματοοικονομική Διοίκηση Ενότητα 5: Τεχνικές επενδύσεων ΙΙΙ Γιανναράκης Γρηγόρης Τμήμα Διοίκηση Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Τεχνικό Σχέδιο
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Τεχνικό Σχέδιο Ενότητα 4.1: Μεθοδολογία Παράστασης Τομών Επιφανειών Στερεών Σωμάτων (Συμπαγών και μη Συμπαγών) Σταματίνα Γ. Μαλικούτη
Διαβάστε περισσότεραΠληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 2: Εφαρμογές Δικτυωτής Ανάλυσης (1 ο Μέρος)
Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 2: Εφαρμογές Δικτυωτής Ανάλυσης (1 ο Μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενότητα : ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά. Ενότητα 6: Ασκήσεις Ορίων Συνάρτησης. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής
Μαθηματικά Ενότητα 6: Ασκήσεις Ορίων Συνάρτησης Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ. Ενότητα #8: Βελτιστοποίηση Συστημάτων Ασαφούς Λογικής. Αναστάσιος Ντούνης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε.
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ενότητα #8: Βελτιστοποίηση Συστημάτων Ασαφούς Λογικής Αναστάσιος Ντούνης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε. Άδειες
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ Συνδυασμένη χρήση μοντέλων προσομοίωσης βελτιστοποίησης. Η μέθοδος του μητρώου μοναδιαίας απόκρισης Νικόλαος
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα
7ο εξάμηνο Σ.Η.Μ.Μ.Υ. & Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/ 4η εβδομάδα: Εύρεση k-οστού Μικρότερου Στοιχείου, Master Theorem, Τεχνική Greedy: Knapsack, Minimum Spanning Tree, Shortest Paths
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 1: Δυϊκή Θεωρία, Οικονομική Ερμηνεία Δυϊκού Προβλήματος Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου. Ενότητα Β: Ευστάθεια Συστήματος (Γ Μέρος)
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα Β: Ευστάθεια Συστήματος (Γ Μέρος) Όνομα Καθηγητή: Ραγκούση Μαρία Τμήμα: Ηλεκτρονικών Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά. Ενότητα 3: Εξισώσεις και Ανισώσεις 1 ου βαθμού. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής
Μαθηματικά Ενότητα 3: Εξισώσεις και Ανισώσεις 1 ου βαθμού Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 10: Ειδικές περιπτώσεις επίλυσης με τη μέθοδο simplex (2o μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδοι Βελτιστοποίησης
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Ενότητα # 5: Πολυστοχαστικός Προγραμματισμός Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ενότητα # 2: Συναρτήσεις Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΑΔΕΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 3: Μαθηματικό Πρότυπο, Κανονική Μορφή, Τυποποιημένη Μορφή Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτόματου Ελέγχου
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Ευστάθεια Συστημάτων Ελέγχου Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX
ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 6
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 6 Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΠΕΡΣΕΦΟΝΗ ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΔΟΥ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΤΕ
ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΠΕΡΣΕΦΟΝΗ ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΔΟΥ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 8: Πιθανότητες ΙΙ Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΑΔΕΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ Το
Διαβάστε περισσότερα12 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα 12 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα: ΤΑΧΥΣ Μ/Σ FOURIER Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότερα