Εξέταση προσομοίωσης στο μάθημα: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Χρόνος εξέτασης: 4.5 ώρες Σύνολο σελίδων: 7 (επτά) ΘΕΜΑ 1 ο

Transcript

1 Εξέταση προσομοίωσης στο μάθημα: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Χρόνος εξέτασης: 4.5 ώρες Σύνολο σελίδων: 7 (επτά) ΘΕΜΑ ο Στις ερωτήσεις -5 να γράψετε στο φύλλο απαντήσεών σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.. Κατά μήκος ενός σχοινιού δημιουργείται στάσιμο κύμα ως αποτέλεσμα της συμβολής δύο α- ντίθετα διαδιδόμενων αρμονικών κυμάτων ίδιου πλάτους και ίδιου μήκους κύματος λ. Η διαφορά φάσης των ταλαντώσεων (σε κάθε χρονική στιγμή) δύο σημείων που βρίσκονται εκατέρωθεν ενός δεσμού σε απόσταση μικρότερη από λ/ από αυτόν α. είναι πάντοτε μηδέν β. εξαρτάται από τις θέσεις των δύο σημείων εκατέρωθεν του δεσμού γ. κυμαίνεται από μηδέν μέχρι π rad δ. είναι πάντοτε π rad Μονάδες 5 t x. Ένα αρμονικό κύμα με εξίσωση yxt Aηµπ( ) (,) T λ = διαδίδεται σε γραμμικό, ισότροπο, και ομογενές ελαστικό μέσο. Το στιγμιότυπο του κύματος δίνεται από την εξίσωση του κύματος για α. t = σταθερό β. x = σταθερό γ. x/t = σταθερό δ. y(x, t) = σταθερό Μονάδες 5 3. Μονοχρωματική ακτινοβολία με μήκος κύματος στην περιοχή του ορατού φωτός βρίσκεται α- ρχικά στον αέρα, και κατόπιν εισέρχεται σε διαφανές υλικό με δείκτη διάθλασης n =. Καθώς η ακτινοβολία διαδίδεται στο εσωτερικό του διαφανούς υλικού, όντας ορατή, δεν είναι δυνατόν να έχει ποιον από τους παρακάτω χρωματισμούς; Θεωρήστε αμελητέο τον διασκεδασμό του υλικού πάνω σε όλη την περιοχή του ορατού φωτός. α. Τον ιώδη χρωματισμό. β. Τον πορτοκαλί χρωματισμό. γ. Τον πράσινο χρωματισμό. δ. Τον κυανό χρωματισμό. Μονάδες 5 Copyright: Pant. Lapas

2 4. Σε δύο σημεία της επιφάνειας ενός υγρού πολύ μικρού ιξώδους βρίσκονται δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Π και Π οι οποίες εκτελούν κατακόρυφη ταλάντωση ίδιου πλάτους Α (θεωρούμε την ήρεμη επιφάνεια του υγρού προσεγγιστικά επίπεδη οπότε οι πηγές ταλαντώνονται εγκάρσια προς την ήρεμη επίπεδη επιφάνεια). Τα κύματα που δημιουργούν έχουν μήκος κύματος λ = 0,5 m, και αλληλεπιδρούν μεταξύ τους. Ένα σημείο της επιφάνειας του υγρού που απέχει αποστάσεις r = 0,5 m και r =,5 m από τις πηγές Π και Π αντιστοίχως, α. υπό την επίδραση των δύο κυμάνσεων εξαναγκάζεται σε ταλάντωση με πλάτος ίσο προς Α β. υπό την επίδραση των δύο κυμάνσεων εξαναγκάζεται σε ταλάντωση με πλάτος ίσο προς Α γ. υπό την επίδραση των δύο κυμάνσεων υφίσταται ισχυρά απεριοδική κίνηση δ. υπό την επίδραση των δύο κυμάνσεων παραμένει διαρκώς ακίνητο Μονάδες 5 5. Σε ένα ιδανικό κύκλωμα πηνίου-πυκνωτή, στον χώρο μεταξύ των οπλισμών του πυκνωτή του κυκλώματος, όπου αρχικώς υπάρχει κενό/αέρας, εισάγουμε διηλεκτρικό υλικό. Αφού ολοκληρωθεί η εισαγωγή του διηλεκτρικού παρακολουθούμε τις νέες αμείωτες ταλαντώσεις του κυκλώματος. Ποιο από τα παρακάτω μεγέθη δεν έχει επηρεαστεί από την εισαγωγή του διηλεκτρικού; α. Η περίοδος των ηλεκτρικών ταλαντώσεων. β. Η ολική ενέργεια των ηλεκτρικών ταλαντώσεων. γ. Το μέγιστο φορτίο του πυκνωτή. δ. Η μέγιστη ένταση του ρεύματος. Μονάδες 5 Copyright: Pant. Lapas

3 ΘΕΜΑ ο. Η διάταξη του παρακάτω σχήματος βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Τα ελατήρια έ- χουν ίδιο μήκος, ίδιο προσανατολισμό αλλά διαφορετικές σταθερές επαναφοράς. Συγκεκριμένα, για τις σταθερές επαναφοράς ισχύει ότι k /k = 4, όπου k = 00 N/m. Στο ελεύθερο άκρο του το κάθε ελατήριο φέρει αβαρές μικρό επίπεδο λείο εμπόδιο ο μόνος ρόλος του οποίου είναι η μεταβίβαση δύναμης. Όταν τα ελατήρια έχουν το φυσικό τους μήκος τα αβαρή εμπόδια κείνται επί της ευθείας ε. Ακριβώς μπροστά από το αβαρές εμπόδιο του ελατηρίου σταθερής επαναφοράς k τοποθετείται πολύ μικρό σφαιρίδιο μάζας m = kg, έτσι ώστε το κέντρο μάζας του να βρίσκεται επί του άξονα του αντίστοιχου ελατηρίου. Ασκώντας οριζόντια δύναμη με φορέα τον άξονα του ελατηρίου σταθερής επαναφοράς k, μετατοπίζουμε το σφαιρίδιο προς τα αριστερά συμπιέζοντας συγχρόνως το αντίστοιχο ελατήριο κατά μία απόσταση s = 0 cm και κατόπιν αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο (t = 0). Το σφαιρίδιο αφού κινηθεί οριζόντια συναντά, σε σημείο Β, λείο επίπεδο κατακόρυφο τοίχωμα που σχηματίζει ορθή γωνία σε σημείο Ε, υπό γωνία 45 ο ως προς την κάθετο στο τοίχωμα στη θέση του σημείου Β (παραπομπή στην εικόνα), κατόπιν σκεδάζεται συναντώντας το άλλο τοίχωμα της ορθής γωνίας στη θέση του σημείου Γ, και τέλος κινούμενο και πάλι οριζόντια κατά το μήκος του άξονα του ελατηρίου σταθερής επαναφοράς k προσπίπτει σε αυτό συμπιέζοντάς το προς τα αριστερά. Όλες οι κρούσεις με τα τοιχώματα (στις θέσεις Β και Γ) είναι τελείως ελαστικές. Όταν το σφαιρίδιο εγκαταλείπει οριακά το ελατήριο σταθερής k το κέντρο μάζας του βρίσκεται στη θέση του σημείου Α, ενώ όταν αγγίζει οριακά το ελατήριο σταθερής k το κέντρο μάζας του βρίσκεται στη θέση του σημείου Δ, με τα σημεία Α και Δ να κείνται επί της ευθείας ζ. Δίνεται ότι (ΑΒ) = (ΓΔ) = m, ενώ η απόσταση μεταξύ των σημείων πρόσκρουσης Β και Γ είναι 0,5 m..α Τι είδους κίνηση θα εκτελέσει το σφαιρίδιο; Σε πόσο χρόνο από τη στιγμή που το σύστημα α- φέθηκε ελεύθερο, το σφαιρίδιο σταματά στιγμιαία την κίνησή του για πρώτη φορά; Copyright: Pant. Lapas Μονάδες 4.Β Διατηρούμε την παραπάνω διάταξη ως έχει με μόνη διαφορά ότι τοποθετούμε ένα όμοιο σφαιρίδιο ίδιας μάζας μπροστά από το ελατήριο σταθερής επαναφοράς k, έτσι ώστε το κέντρο μάζας του να βρίσκεται στη θέση του σημείου Δ (παρακάτω εικόνα). Ασκώντας οριζόντιες δυ-

4 νάμεις με φορείς τους άξονες των αντίστοιχων ελατηρίων, μετατοπίζουμε το κάθε σφαιρίδιο προς τα αριστερά συμπιέζοντας συγχρόνως το αντίστοιχο ελατήριο κατά μία απόσταση s = 0 cm (οπότε τα αβαρή εμπόδια κείνται επί της ευθείας γ) και κατόπιν αφήνουμε συγχρόνως τα σφαιρίδια ελεύθερα (t = 0), οπότε μετά από κάποιο χρονικό διάστημα αυτά συναντιούνται μετωπικά και συγκρούονται τελείως ελαστικά. Όλες οι κρούσεις με τα τοιχώματα είναι τελείως ελαστικές. Να υπολογίσετε σε πόσο χρόνο, από την στιγμή που αφέθηκε το σύστημα ελεύθερο, τα σφαιρίδια επιστρέφουν για πρώτη φορά στις θέσεις Α και Δ αντιστοίχως. Μονάδες 8. Στην ερώτηση που ακολουθεί, να γράψετε στο φύλλο απαντήσεών σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Ένα διαπασών που εκπέμπει ήχο μέτριας συχνότητας κινείται κάθετα προς επίπεδο κατακόρυφο ακίνητο τοίχο μεγάλων διαστάσεων ο οποίος λειτουργεί ως επίπεδη ανακλαστική επιφάνεια ηχητικών κυμάτων. Το διαπασών προσεγγίζει τον τοίχο με ταχύτητα υ << υ η, όπου υ η είναι η ταχύτητα του ήχου. Σε ποια από τις παρακάτω περιπτώσεις ένας παρατηρητής δεν μπορεί να ακούσει διακροτήματα; α. Όταν είναι ακίνητος μεταξύ του διαπασών και του τοίχου (στην ίδια ευθεία με το διαπασών). β. Όταν είναι ακίνητος πίσω από το διαπασών (στην ίδια ευθεία με το διαπασών). γ. Όταν κινείται μαζί με το διαπασών (προσεγγίζοντας μαζί τον τοίχο). Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Μονάδες Μονάδες 3 Copyright: Pant. Lapas

5 3.Α Σε ποιο οπτικό φαινόμενο στηρίζεται η λειτουργία των οπτικών ινών; Μονάδες 3.Β H οπτική ίνα του διπλανού σχήματος αποτελείται από μη διαβαθμισμένο γυάλινο κορμό με δείκτη διάθλασης n και περιβάλλεται από περίβλημα με δείκτη διάθλασης n, όπου n < n. Έστω μια δέσμη φωτός η οποία εισέρχεται στον γυάλινο κορμό προερχόμενη από τον αέρα υπό γωνία θ ως προς τον άξονα συμμετρίας της οπτικής ίνας (η διακεκομμένη ευθεία του σχήματος). Να αποδείξετε ότι η μέγιστη δυνατή τιμή της γωνίας θ για την οποίαν μια δέσμη μπορεί να διαδοθεί εντός της οπτικής ίνας δίνεται από τη σχέση θ ηµ ( ) n n =. Μονάδες 4 4. Τι είδους ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία εκπέμπει: (α) ένας πυρήνας κατά την αποδιέγερσή του; (β) το ανθρώπινο σώμα; Μονάδες Copyright: Pant. Lapas

6 ΘΕΜΑ 3ο Στη διάταξη του παρακάτω σχήματος, ομογενής και ισοπαχής δοκός ΑΒ μάζας Μ και μήκους 4R βρίσκεται σε επαφή με το ανώτερο σημείο ομογενούς δίσκου μάζας Μ και ακτίνας R ο οποίος μπορεί να περιστρέφεται γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα κάθετο στο επίπεδο της σελίδας. Προκειμένου η κίνηση της δοκού να περιοριστεί μόνο κατά την οριζόντια διεύθυνση (δηλ. κατά τη διεύθυνση του μήκους ΑΒ ως φαίνεται παρακάτω) το δεξιό τμήμα της δοκού βρίσκεται σε επαφή με κατάλληλα τοποθετημένο ακλόνητο υποστήριγμα. Το αριστερό άκρο Α της δοκού βρίσκεται σε ε- παφή (άλλα όχι δεμένο) με το ελεύθερο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθερής επαναφοράς k = Mg/R, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο. Ο συντελεστής τριβής (στατικής ή ολίσθησης) μεταξύ δοκού-δίσκου και δοκού-υποστηρίγματος είναι μ, ενώ η τριβή μεταξύ του δίσκου και του άξονα περιστροφής του είναι αμελητέα. Αρχικώς το σύστημα κρατείται ακινητοποιημένο έτσι ώστε το κέντρο της δοκού να βρίσκεται σε επαφή με το ανώτερο σημείο του δίσκου, ενώ το άκρο Β αυτής μόλις που αγγίζει το ακλόνητο υποστήριγμα. Το δε ελατήριο είναι συμπιεσμένο κατά μια απόσταση s ως προς το φυσικό του μήκος. Δίνονται: η ροπή αδράνειας ομογενούς δίσκου μάζας Μ και ακτίνας R ως προς οριζόντιο άξονα διερχόμενο εκ του κέντρου του Ι CM = ½ ΜR, και η επιτάχυνση της βαρύτητας g. Τη χρονική στιγμή t = 0 η δοκός αφήνεται ελεύθερη, οπότε κινείται κατά το μήκος της προς τα δεξιά. Υπό την προϋπόθεση ότι δεν λαμβάνει χώρα σχετική ολίσθηση μεταξύ δοκού και δίσκου, και ότι το σύστημα δοκού-δίσκου τελικώς ακινητοποιείται χωρίς να χαθεί η επαφή μεταξύ τους, να α- παντήσετε στα παρακάτω ερωτήματα συναρτήσει των δεδομένων μεγεθών της άσκησης και μόνον. Α. Να εκφράσετε τη δύναμη επαφής μεταξύ δοκού-δίσκου και δοκού-υποστηρίγματος συναρτήσει της μετατόπισης της δοκού από την αρχική της θέση (έστω x), και να βρείτε το μέτρο των δυνάμεων επαφής ακριβώς τη στιγμή που το ελατήριο αποκτά το φυσικό του μήκος. Μονάδες 5 Β. Να βρείτε την ταχύτητα του κέντρου μάζας της δοκού καθώς και τη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του δίσκου ακριβώς τη στιγμή που χάνεται η επαφή μεταξύ του ελατηρίου και της δοκού. Μονάδες 9 Γ. Να υπολογίσετε πόσες περιστροφές έχει εκτελέσει ο δίσκος από τη χρονική στιγμή t = 0 ως τη στιγμή που το σύστημα δοκού-δίσκου τελικώς ακινητοποιείται. Μονάδες 8 Δ. Να βρείτε την μέγιστη δυνατή τιμή που μπορεί να πάρει η αρχική συμπίεση s του ελατηρίου υπό την προϋπόθεση ότι δεν έχουμε ποτέ σχετική ολίσθηση μεταξύ δοκού και δίσκου. Μονάδες 3 Copyright: Pant. Lapas

7 ΘΕΜΑ 4ο Στη διάταξη του παρακάτω σχήματος, μία ομογενής στεφάνη αμελητέας διατομής με μάζα Μ και ακτίνα R βρίσκεται αρχικώς ακίνητη πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Μια σημειακή μάζα m κινούμενη οριζόντια με ταχύτητα υ απειροελάχιστα πάνω από το οριζόντιο δάπεδο συγκρούεται με σημείο Β της περιφέρειας της στεφάνης και σκεδάζεται σε διαφορετική κατεύθυνση. Έστω φ η γωνία που σχηματίζει η αρχική διεύθυνση κίνησης της σημειακής μάζας με την ακτίνα (BC), όπου C το κέντρο μάζας της στεφάνης, και θ γωνία που σχηματίζει η τελική διεύθυνση κίνησης της σημειακής μάζας με την ακτίνα (BC). Δίνεται η ροπή αδράνειας στεφάνης μάζας Μ και ακτίνας R ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της κάθετα στο επίπεδό της ΙCM = MR, και επίσης ότι Μ = 3m. Να απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήματα συναρτήσει των δεδομένων μεγεθών της άσκησης και μόνον, αν είναι γνωστό ότι 0 < φ < π/. Α. Αν η σύγκρουση μεταξύ της σημειακής μάζας και της στεφάνης είναι τελείως ελαστική, και είναι επίσης γνωστό ότι φ + θ = π/, δηλαδή η σημειακή μάζα σκεδάζεται σε διεύθυνση κάθετη προς την αρχική διεύθυνση κίνησής της, Α. να διατυπώσετε με σαφήνεια ποιες ποσότητες διατηρούνται κατά το παραπάνω φαινόμενο, Μονάδες 3 Α. να εκφράσετε την τελική ταχύτητα v της σημειακής μάζας συναρτήσει της γωνίας φ, Μονάδες 0 Α.3 να βρείτε για ποια τιμή της γωνίας φ η απώλεια κινητικής ενέργειας της σημειακής μάζας κατά τη σύγκρουση είναι η ελάχιστη δυνατή συγκεκριμένα να βρείτε μια εξίσωση από την ο- ποίαν υπολογίζεται η προαναφερθείσα τιμή της γωνίας φ (δεν απαιτείται να την επιλύσετε!). Μονάδες 5 Β. Αν η σύγκρουση μεταξύ της σημειακής μάζας και της στεφάνης είναι τελείως πλαστική, δηλαδή η σημειακή μάζα ενσφηνωθεί στο σημείο Β της περιφέρειας της στεφάνης, να υπολογίσετε την ολική ενέργεια του συστήματος σημειακή μάζα στεφάνη μετά την κρούση. Μονάδες 7 Επειδή ΔΕΝ δίνονται πληροφορίες για τη δυναμική της αλληλεπίδρασης μεταξύ της σημειακής μάζας και της στεφάνης (η παράπλευρη περιφέρεια της οποίας δεν είναι υποχρεωτικά λεία) το ερώτημα αυτό να απαντηθεί με βάση μόνο την κινηματική μελέτη του προβλήματος, δηλ. με βάση μόνο τυχόν κινηματικούς περιορισμούς! Copyright: Pant. Lapas

8 ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ! Εξέταση προσομοίωσης στο μάθημα: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Συνοπτικές απαντήσεις ΘΕΜΑ ο. (δ). (α) 3. (β) Αφού η προσπίπτουσα ακτινοβολία έχει μήκος κύματος εντός της περιοχής του ορατού φωτός θα ισχύει ότι 400 nm λ nm. Αν εντός του υλικού η ακτινοβολία έχει μήκος κύματος λ τότε κατά τα γνωστά ισχύει ότι n λ = λ 0. Συνδυάζοντας τις δύο σχέσεις λαμβάνουμε λ n λ 700 λ λ 83 λ 495 σε n n nm. Αφού όμως η ακτινοβολία εντός του υλικού είναι ορατή το μήκος κύματός της θα πρέπει τελικώς να ικανοποιεί την συνθήκη 400 nm λ 495 nm. Ο ιώδης χρωματισμός καλύπτει την περιοχή nm συνεπώς δύναται να χει ιώδη χρωματισμό. Ο κυανός χρωματισμός καλύπτει την περιοχή nm συνεπώς δύνται να χει κυανό χρωματισμό. Ο πράσινος καλύπτει την περιοχή nm συνεπώς δύναται να χει και πράσινο χρωματισμό. Τέλος ο πορτοκαλί χρωματισμός καλύπτει την περιοχή nm και είναι έξω από το όριο που ορίζει η συνθήκη 400 nm λ 495 nm συνεπώς δεν δύναται να χει πορτοκαλί χρωματισμό. 4. (δ) 5. (γ) Στο ερώτημα αυτό υποννοείται ότι η εισαγωγή του διηλεκτρικού γίνεται δίχως να αλλάξει το φορτίο του πυκνωτή (π.χ. αν αναφέρονταν ότι υπάρχει εξωτερική πηγή που διατηρεί σταθερή την τάση στα άκρα του πυκνωτή τότε το φορτίο του πυκνωτή δεν διατηρείται σταθερό κατά την εισαγωγή του διηλεκτρικού). Υπό την παραπάνω προϋπόθεση υπάρχει μοναδική απάντηση στο ερώτημα αυτό ας προχωρήσουμε δια της μεθόδου της απαλοιφής: Η εισαγωγή του διηλεκτρικού οδηγεί σε αύξηση της χωρητικότητας C, οπότε η περίοδος των ταλαντώσεων που εξαρτάται από το C αλλάζει η ολική ενέργεια των ταλαντώσεων επίσης εξαρτάται από το C συνεπώς αλλάζει κι αυτή όσον αφορά το μέγιστο ρεύμα αλλάζει κι αυτό γιατί αλλάζει η ολική ενέργεια χωρίς να μεταβάλλεται η αυτεπαγωγή L. Συνεπώς καταλήγουμε στο (γ). ΘΕΜΑ ο.α Στη διάταξη του διπλανού σχήματος το σφαιρίδιο εγκαταλείπει το αντίστοιχο ελατήριο με ταχύτητα k υ = s = 4. Στα σημεία Β και m m s Γ έχουμε ελαστική κρούση με λεία επίπεδη ακλόνητη επιφάνεια. Συνεπώς, στο Β ανακλάται υπό γωνία 45 ο κινούμενο κάθετα προς την αρχική του διεύθυνση. Στο Γ προσπίπτει υπό γωνία 45 ο ως προς την κάθετο στο τοίχωμα στη θέση του σημείου Γ οπότε ανακλάται υπό γωνία 45 ο και τελικώς κινείται οριζόντια προς τα αριστερά κατά μήκος της ΓΔ. Το μέτρο της ταχύτητας δεν αλλάζει κατά την πορεία Α Β Γ Δ μιας και οι κρούσεις με Copyright: Pant. Lapas

9 τα τοιχώματα είναι ελαστικές. Μόλις το σφαιρίδιο φτάσει στο Δ συμπιέζει το δεύτερο ελατήριο και σταματά στιγμιαία την κίνησή του. Το τελευταίο συμβαίνει σε χρόνο (( ΑΒ ) + ( ΒΓ ) + ( Γ ) ) m m t = π + + π = 0,86 sec 4 k υ 4 k... είναι προφανές ότι το σφαιρίδιο εκτελεί ταλάντωση μεταξύ των δύο ελατηρίων. Η περίοδος της ταλάντωσης είναι T = Δt, οπου το Δt βρέθηκε παραπάνω..β Το σύστημα αφήνεται ελεύθερο όταν τα αβαρή εμπόδια κείνται στην ίδια ευθεία γ. Για λόγους αναφοράς ας ονομάσουμε το ελατήριο σταθερής k ελατήριο και το αντίστοιχο σφαιρίδιο σφαιρίδιο, και το ελατήριο σταθερής k ελατήριο και το αντίστοιχο σφαιρίδιο σφαιρίδιο. Πρέπει να βρούμε που θα συγκρουστούν τα δύο σφαιρίδια. Ας μελετήσουμε την κίνηση βήμα βήμα λοιπόν. Σφαιρίδιο : συγκρούεται με το τοίχωμα στο σημείο Β σε χρόνο και φτάνει στο Γ όπου ανακλάται σε χρόνο π m (AB) t = + = 0,38 sec 4 k k s m π m (AB) ( ΒΓ) tɶ = + + = 0,453 sec 4 k k k s s m m Σφαιρίδιο : συγκρούεται με το τοίχωμα στο σημείο Γ σε χρόνο π m ( Γ) t = + = 0,657 sec < ɶ t 4 k k s m Από τα παραπάνω εύκολα διαπιστώνεται ότι τα δύο σφαιρίδια θα συγκρουστούν σε σημείο της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Γ και Δ. Μάλιστα επειδή ισχύει ότι π m tɶ > = 0,57 sec, όταν τα σφαιρίδια συγκρούονται έχουν ήδη χάσει επαφή με τα 4 k αντίστοιχα ελατήρια. Πρέπει να βρούμε όμως την ακριβή θέση της σύγκρουσης. Έστω ότι η σύγκρουση γίνεται σε σημείο Σ του ευθυγράμμου τμήματος (ΔΓ) το οποίο βρίσκεται σε απόσταση x από το σημείο Δ. Το σφαιρίδιο φτάνει στο σημείο Σ σε χρόνο (μετρημένο από το t = 0) ίσο προς π m ( Σ) π x x t = + = + = 0, k k 0 s m Το δε σφαιρίδιο φτάνει στο σημείο Σ σε χρόνο (μετρημένο από το t = 0) ίσο προς Copyright: Pant. Lapas

10 π m (AB) ( ΒΓ) ( Γ) x x t = = 0, k k k k 4 s s s m m m Εφόσον τα σφαιρίδια αφέθηκαν ελεύθερα την ίδια χρονική στιγμή θα ισχύει ότι t = t, απ όπου βρίσκουμε εύκολα ότι x = 0,78 m. Αντικαθιστώντας στις τελευταίες σχέσεις λαμβάνουμε το αποτέλεσμα t = t = 0,5sec Όταν όμως τα ίδιας μάζας σφαιρίδια συγκρούονται στο Σ μετωπικά και ελαστικά ανταλλάσσουν ταχύτητες, συνεπώς το σφαιρίδιο μετά την κρούση κινείται επιστρέφοντας στο σημείο Δ με ταχύτητα μέτρου 4 m/s, το δε σφαιρίδιο κινείται επιστρέφοντας στο σημείο Γ κι απ εκεί προς το Β και κατόπιν επιστρέφει στο σημείο Α, έχοντας σε όλη την πορεία ε- πιστροφής του ταχύτητα μέτρου m/s. Επιστροφή σφαιριδίου στο σημείο Δ: αυτή γίνεται σε χρόνο ολ x t = 0,5 + = 0,703sec 4 Επιστροφή σφαιριδίου στο σημείο Α: αυτή γίνεται σε χρόνο ολ x,5 t = 0,5 + + =,407sec Στην παραπάνω ανάλυση η διάρκεια όλων των κρούσεων θεωρήθηκε αμελητέα.. Το αυτί του παρατηρητή λαμβάνει ένα ηχητικό κύμα απευθείας από το διαπασών κι ένα ηχητικό κύμα (εξ ανακλάσεως) από τον τοίχο, ο οποίος λειτουργεί ως δευτερογενής πηγή ηχητικών κυμάτων. Έστω f s η συχνότητα δόνησης του διαπασών (μετρούμενη ως προς το σύστημα ηρεμίας του). Ο τοίχος αρχικώς λειτουργεί ως δέκτης ηχητικών κυμάτων τα οποία «αντιλαμβάνεται» με υη συχνότητα f = f (το διαπασών πλησιάζει προς τον τοίχο), όπου υ η ταχύτητα κίνη- τ s υ υ σης του διαπασών, και η υ η ταχύτητα του ήχου. Λειτουργώντας ως δευτερογενής πηγή ηχη- η τικών κυμάτων ο τοίχος «εκπέμπει» ηχητικά κύματα με συχνότητα Copyright: Pant. Lapas f τ υη = f... συνεπώς ο s υ υ παρατηρητής είναι δυνατόν να αντιληφθεί ηχητικά κύματα με ελαφρώς διαφορετικές συχνότητες κι επομένως να ακούσει διακροτήματα! Ας ελέγξουμε μία προς μία τις περιπτώσεις που δίνονται. α. Όταν ο παρατηρητής είναι ακίνητος μεταξύ διαπασών και τοίχου, τότε το διαπασών τον πλησιάζει οπότε ακούει απευθείας από το διαπασών ήχο συχνότητας f = f. Συγχρόνως υη s υ υ όμως ακούει και ήχο προερχόμενο από τον τοίχο με συχνότητα f = f. Καταφανώς, είναι τ f = f οπότε δεν δύναται να ακούει διακροτήματα. Η σωστή απάντηση λοιπόν είναι αυτή! β. Όταν ο παρατηρητής είναι ακίνητος πίσω από το διαπασών τότε δέχεται ένα ηχητικό κύμα α- υη πευθείας από το διαπασών με συχνότητα f = f (γιατί το διαπασών απομακρύνεται s υ + υ η η η

11 από αυτόν κινούμενο προς τον τοίχο) και ένα ηχητικό κύμα εκ του τοίχου με συχνότητα f = f = υη f τ υ υ. Εφόσον s f f f o παρατηρητής μπορεί να ακούσει διακροτήματα. s η γ. Όταν ο παρατηρητής κινείται μαζί με το διαπασών τότε το απευθείας ηχητικό κύμα που ακούει έχει συχνότητα f = f ενώ το ηχητικό κύμα εκ του τοίχου το λαμβάνει με συχνότητα s f = f = υη f τ υ υ. Εφόσον s f f f o παρατηρητής μπορεί να ακούσει διακροτήματα. s η 3.A Στο φαινόμενο της ολικής εσωτερικής ανάκλασης Β Σύμφωνα με την εκφώνηση η δέσμη πέφτει υπό γωνία θ ως προς τον άξονα συμμετρίας της οπτικής ίνας, προερχόμενη από τον αέρα. Όταν συναντά την κυκλική διατομή του γυάλινου κορμού διαθλάται, και για να διαδοθεί περαιτέρω στο εσωτερικό της ίνας πρέπει να πάθει ολική εσωτερική ανάκλαση στην παράπλευρη κυλινδρική διαχωριστική επιφάνεια κορμού-περιβλήματος. Για την αρχική διάθλαση εφαρμόζουμε τον νόμο του Snell και λαμβάνουμε sinθ = sinε n Για να χουμε ολική εσωτερική ανάκλαση στη διαχωριστική επιφάνεια κορμού-περιβλήματος θα πρέπει η πρόπτωση να γίνει υπό γωνία μεγαλύτερη ή ίση με την κρίσιμη γωνία ολικής α- νάκλασης, δηλαδή πρέπει π π ε θ sin ε sinθ cosε sinθ sin ε sinθ crit crit crit crit όπου η ζητούμενη κρίσιμη γωνία βρίσκεται από την συνθήκη n n sinθ = n sinθ =. crit crit n Αντικαθιστώντας τις δύο ανωτέρω ισότητες στην ανισοτική συνθήκη λαμβάνουμε θ n θ n n θ sin sin sin sin sin ε θcrit n n n n n n sin θ n n sin θ n n n n Περαιτέρω ισχύει ότι ( ) 0 sin θ n n sinθ n n θ arcsin n n συνεπώς arcsin( n n ) max θ = ό.έ.δ.. 4. (α) Ακτίνες γ, (β) Υπέρυθρη ακτινοβολία. Copyright: Pant. Lapas

12 ΘΕΜΑ 3ο Α. Να εκφράσετε τη δύναμη επαφής μεταξύ δοκού-δίσκου και δοκού-υποστηρίγματος συναρτήσει της μετατόπισης της δοκού από την αρχική της θέση (έστω x), και να βρείτε το μέτρο των δυνάμεων επαφής ακριβώς τη στιγμή που το ελατήριο αποκτά το φυσικό του μήκος. Απάντηση: Οι ασκούμενες δυνάμεις στη δοκό φαίνονται στην αριστερή εικόνα παραπάνω. Έστω s η αρχική συμπίεση του ελατηρίου και x η προς τα δεξιά μετατόπιση της δοκού σε μια τυχαία χρονική στιγμή t > 0 κατά την οποίαν υπάρχει όμως ακόμη επαφή με το ελατήριο στο άκρο Α. Οι μετατοπίσεις κατά x των άκρων της δοκού Α και Β, καθώς και του κέντρου μάζας της δείχνονται ρητά στην εικόνα. Η ράβδος δεν μετατοπίζεται κατακόρυφα συνεπώς ισχύει ότι N + N' = W = Mg κι επίσης δεν περιστρέφεται, οπότε μπορούμε να μηδενίσουμε τη συνισταμένη ροπή ως προς το κέντρο μάζας της δοκού (το γεωμετρικό της κέντρο), ήτοι N x N ( R x) = 0 N x ( Mg N) ( R x) = 0 Mg... Nx ( ) = ( R x) = k( R x) R Όταν το ελατήριο αποκτά το φυσικό του μήκος είναι x = s και τη στιγμή εκείνη για τη δύναμη επαφής δοκού-κυλίνδρου ισχύει ότι Mg Nx ( = s) = ( R s) = k( R s) R Εύκολα βρίσκεται και για τη δύναμη επαφής δοκού-υποστηρίγματος ότι Mgx N () x = = kx R οπότε τη στιγμή κατά την οποίαν είναι x = s βρίσκουμε ότι Mgs N ( x = s) = = ks R Β. Να βρείτε την ταχύτητα του κέντρου μάζας της δοκού καθώς και την γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του δίσκου ακριβώς τη στιγμή που χάνεται η επαφή μεταξύ του ελατηρίου και της δοκού. Απάντηση: Η δοκός κινείται οριζοντίως προς τα δεξιά υπό την επίδραση της δύναμης του ε- λατηρίου (για όσο υπάρχει επαφή με αυτό), της δύναμης στατικής τριβής λόγω της επαφής της με τον δίσκο, και της δύναμης τριβής ολίσθησης εκ του υποστηρίγματος. Η εξίσωση της οριζόντιας κίνησης είναι λοιπόν F T T = Ma ks ( x) T µ N = Ma ks ( x) T µ kx = Ma Copyright: Pant. Lapas

13 Οι δυνάμεις που ασκούνται στον δίσκο (βάσει και του 3 ου νόμου του Νεύτωνα) δείχνονται ρητώς στην δεξιά εικόνα παραπάνω. Ο δίσκος περιστρέφεται δεξιόστροφα υπό την επίδραση της τριβής Τ, οπότε ισχύει ότι T R = MRα T = MRα Εφόσον δεν υπάρχει σχετική ολίσθηση μεταξύ δοκού και δίσκου η ταχύτητα του ανώτερου σημείου του δίσκου συμπίπτει με την ταχύτητα του σημείου της δοκού που είναι σε επαφή με τον δίσκο για κάθε χρονική στιγμή, δηλ. δοκου δισκου δοκου δισκου dυ () t dυ () t E E δοκου δισκου υ () t = υ () t = a () t = a () t E E E E dt dt at () = α() t R όπου Ε ονομάσαμε το σημείο επαφής δοκού-δίσκου (ειδωμένο είτε ως σημείο της δοκού είτε ως ανώτερο σημείου του δίσκου). Χρησιμοποιώντας την παραπάνω σχέση επιταχύνσεων και τις εξισώσεις κίνησης δοκού και δίσκου μπορούμε να υπολογίσουμε τη δύναμη τριβής μεταξύ δοκού-δίσκου, ήτοι Tx () = ks ( + µ ) x 3 Εφαρμόζοντας το ΘΜΚΕ μεταξύ της κατάστασης της δοκού για t = 0 (δηλ. x = 0), και της κατάστασης κατά την οποίαν η επαφή ελατηρίου-δοκού είναι οριακή (δηλ. x = s) λαμβάνουμε MV 0 = W + W + W = CM F T T' s s s k k = xdx s ( µ ) xdx k xdx 3 + µ ks s ks = ks ( µ ) µ k = ( µ ) 6 3 ή τελικώς g V = s CM 3R ( µ ) Επειδή η δοκός εκτελεί μόνο μεταφορική κίνηση το σημείο επαφής Ε έχει ταχύτητα δοκου g υ = V = s E CM 3R ( µ ) Τέλος, χρησιμοποιώντας την προαναφερθείσα συσχέτιση ταχυτήτων, το σημείο επαφής, ειδω- δισκου g μένο ως ανώτερο σημείο του δίσκου έχει γραμμική ταχύτητα υ = s E 3R ( µ ), συνεπώς η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του δίσκου τη στιγμή που οριακά η δοκός αποχωρίζεται το ελατήριο είναι s g ω = R 3R ( µ ) Γ. Να υπολογίσετε πόσες περιστροφές έχει εκτελέσει ο δίσκος από τη χρονική στιγμή t = 0 ως τη στιγμή που το σύστημα δοκού-δίσκου τελικώς ακινητοποιείται. Απάντηση: Εφόσον δεν υπάρχει σχετική ολίσθηση μεταξύ δοκού και δίσκου ισχύει ο εξής συλλογισμός: στο χρονικό διάστημα από t = 0 ως τη στιγμή που η δοκός είναι οριακά σε επαφή με το ελατήριο, το κέντρο μάζας της δοκού μετατοπίστηκε κατά την απόσταση s, ο δε κύλινδρος στράφηκε δεξιόστροφα κατά μία επίκεντρη γωνία φ η οποία βαίνει σε τόξο ακτίνας R και μήκους s επίσης, δηλ. φ = s/ R. Copyright: Pant. Lapas

14 Από την στιγμή που η δοκός αποχωρίζεται από το ελατήριο και μετά η οριζόντια κίνηση της δοκού διεξάγεται μόνο υπό την επιδράσεων των δυνάμεων τριβής. Οι νέες εξισώσεις κίνησης του συστήματος δοκός-δίσκος είναι πλέον T T = Ma T µ N = Ma T µ kx = Ma για την δοκό, και T R = MRα T = MRα = Ma για τον δίσκο. Η στατική τριβή μεταξύ δοκού-δίσκου δίνεται πλέον από τη σχέση (το αρνητικό πρόσημο σημαίνει ότι η στατική τριβή μεταξύ δοκού-δίσκου έχει πλέον φορά προς τα δεξιά, δηλ. κατά τη διεύθυνση κίνησης της δοκού, και όχι προς τα αριστερά ό-πως υπετέθει αρχικώς) Tx ( ) = kx 3 µ Στη συνέχεια θα υπολογίσουμε τη μετατόπιση της δοκού εώς ότου το σύστημα δοκού-δίσκου ακινητοποιηθεί. Εφαρμόζοντας το Θ.Μ.Κ.Ε. μεταξύ της στιγμής που η δοκός αποχωρίζεται το ελατήριο και της στιγμής ακινητοποίησης λαμβάνουμε l l l µ k g µ k CM T T' 3 µ µ 3R 3 s s s µ k l s 0 MV = W + W = xdx k xdx Ms ( ) = xdx k s( µ ) = s( µ ) µ ( s ) s µ s µ µ s 3 3 = l = l s s = µ l l = µ όπου l είναι η απόσταση που καλύπτει το κέντρο μάζας της δοκού μέχρι να ακινητοποιηθεί από τη στιγμή που αποχωρίζεται το ελατήριο και κήθεν. Μιας και δεν υπάρχει σχετική ολίσθηση δοκού-δίσκου ισχύει ο προηγούμενος συλλογισμός βάσει του οποίου ο κύλινδρος στράφηκε δεξιόστροφα κατά μία επιπλέον επίκεντρη γωνία, έστω θ, η οποία βαίνει σε τόξο ακτίνας R και μήκους l επίσης, δηλ. θ =l / R. Συνεπώς, ο αριθμός των περιστροφών του δίσκου στο προαναφερθέν χρονικό διάστημα δίνεται από τη σχέση s l + φ + θ R R s + s/ µ s N = = = = + π π πr π R µ Σχόλια: Το αποτέλεσμα για το l μπορεί να βρεθεί και από την διαφορική εξίσωση κίνησης της δοκού, η οποία μπορεί να οδηγήσει σε μια συσχέτιση της στιγμιαίας ταχύτητας του κέντρου μάζας της δοκού συναρτήσει της παραμέτρου x... απλώς χρειάζεται να γίνει μια κατάλληλη ολοκλήρωση κατά μέλη στο τέλος. Δ. Να βρείτε την μέγιστη δυνατή τιμή που μπορεί να πάρει η αρχική συμπίεση s του ελατηρίου υπό την προϋπόθεση ότι δεν έχουμε ποτέ σχετική ολίσθηση μεταξύ δοκού και δίσκου. Απάντηση: Δεχόμενοι ότι ο συντελεστής τριβής μ είναι αρκούντως μεγάλος ώστε να μη λαμβάνει χώρα ποτέ σχετική ολίσθηση μεταξύ δοκού και δίσκου, αν το σύστημα δοκού-δίσκου τελικώς ακινητοποιείται χωρίς να χαθεί η επαφή μεταξύ τους τότε αυτό σημαίνει ότι θα ισχύει l R s, όπου η παράμετρος l ορίστηκε στο προηγούμενο ερώτημα. Χρησιμοποιώντας τη εν λόγω συνθήκη και το αποτέλεσμα του προηγούμενου ερωτήματος, είναι s R µ 0 l R s... R s s µ + µ Copyright: Pant. Lapas

15 ΘΕΜΑ 4ο Α. Αν η σύγκρουση μεταξύ της σημειακής μάζας και της στεφάνης είναι τελείως ελαστική, και είναι επίσης γνωστό ότι φ + θ = π/, δηλαδή η σημειακή μάζα σκεδάζεται σε διεύθυνση κάθετη προς την αρχική διεύθυνση κίνησής της, Α. να διατυπώσετε με σαφήνεια ποιες ποσότητες διατηρούνται κατά το παραπάνω φαινόμενο, Απάντηση: Διατηρούνται τα εξής μεγέθη: (α) η ορμή κατά μήκος του άξονα x και του άξονα y, (β) η κινητική ενέργεια διότι έχουμε ελαστική κρούση, και (γ) η στροφορμή ως προς το κέντρο μάζας Κ του συστήματος κατά τη στιγμή της επαφής/κρούσης μεταξύ της σημειακής μάζας και της στεφάνης (παραπομπή στην παραπάνω εικόνα). Α. να εκφράσετε την τελική ταχύτητα v της σημειακής μάζας συναρτήσει της γωνίας φ, Απάντηση: Από τη διατήρηση της ορμής κατά τη διεύθυνση του άξονα x είναι mu u mu + 0 = MV + 0 V = = () x x 3m 3 όπου u η ταχύτητα της σημειακής μάζας πριν την κρούση. Από τη διατήρηση της ορμής κατά τη διεύθυνση του άξονα y είναι mv v = MV + mv V = = () y y 3m 3 όπου v η ταχύτητα της σημειακής μάζας μετά την κρούση. Η διατήρηση της κινητικής ενέργειας οδηγεί στην κάτωθι σχέση mu + 0 = MV + I Ω + mv C (3)... u = 3V + 3R Ω + v όπου V = V + V η μεταφορική ταχύτητα του κέντρου μάζας C της στεφάνης αμέσως μετά την κρούση. Κατά την κρούση/επαφή η απόσταση μεταξύ του κέντρου μάζας της στεφά- x y νης και της σημειακής μάζας είναι η (BC), και ακριβώς τη στιγμή εκείνη το κέντρο μάζας του συστήματος είναι στη θέση του σημείου Κ. Εύκολα βρίσκεται ότι (ΒΚ) = 3R/4 και (ΚC) = R/4. Η διατήρηση της στροφορμής ως προς το Κ οδηγεί στο αποτέλεσμα Copyright: Pant. Lapas

16 3R R R 3R mu sinφ + 0 = MR Ω MV sinφ MV cosφ + mv cosφ x y usinφ = 4RΩ V sinφ V cosφ + vcosφ x y θεωρώντας ως θετική φορά περιστροφής περί το κέντρο μάζας Κ την ωρολογιακή. Θεωρήσαμε ότι μετά την κρούση η στεφάνη τείνει να περιστραφεί περί το κέντρο μάζας της C ωρολογιακά, ενώ η μεταφορική ταχύτητα του C έχει συνιστώσες κατά μήκος των αξόνων x και y (στην πραγματικότητα όμως στη διεύθυνση y το κέντρο μάζας C θα κινηθεί προς τα κάτω!). Εκ των () και () βρίσκουμε ότι V V V u v = + = x y ( + ) (5) 9 Εκ των (3) και (5) βρίσκουμε ότι u = 4v + 9R Ω u 4v = 9R Ω (6) Εκ των (), () και (4) βρίσκουμε ότι usinφ vcosφ = 3 RΩ... u sin φ + v cos φ uvsinφcosφ = 9R Ω (7) Εξισώνοντας τα δεξιά μέλη των (6) και (7) βρίσκουμε ότι (4 + cos φ) v (ucosφsin φ) v + ( u sin φ u ) = 0 (8) Λύνοντας το παραπάνω τριώνυμο ως προς v βρίσκουμε ότι sinφcosφ ± cosφ sin φ + 4 v( φ) = u 4 + cos φ (4) (9) Α.3 να βρείτε για ποια τιμή της γωνίας φ η απώλεια κινητικής ενέργειας της σημειακής μάζας κατά τη σύγκρουση είναι η ελάχιστη δυνατή συγκεκριμένα να βρείτε μια εξίσωση από την ο- ποίαν υπολογίζεται η προαναφερθείσα τιμή της γωνίας φ (δεν απαιτείται να την επιλύσετε!). Απάντηση: Αν η απώλεια κινητικής ενέργειας της σημειακής μάζας κατά τη σύγκρουση με τη στεφάνη είναι η ελάχιστη δυνατή... τότε η ταχύτητα της σημειακής μάζας μετά τη σκέδαση είναι η μέγιστη δυνατή (έτσι ώστε η κινητική ενέργεια της μάζας μετά τη σκέδαση να είναι η μέγιστη δυνατή). Δια τούτου πρέπει να βρούμε πότε μεγιστοποιείται η κάθε μία από τις ακόλουθες συναρτήσεις sinφcosφ + cosφ sin φ + 4 f( φ) = 4 + cos φ sinφcosφ cosφ sin φ + 4 h( φ) = 4 + cos φ και στο τέλος θα κρατήσουμε εκείνη τη συνάρτηση που έχει το «μεγαλύτερο» μέγιστο. Επειδή οι δύο λύσεις-συναρτήσεις διαφέρουν κατά το πρόσημο μιας θετικής ποσότητας... το «μεγαλύτερο» μέγιστο θα προκύψει από τη συνάρτηση f( φ ). Ο υπολογισμός της πρώτης παραγώγου της f( φ ) δίνει το αποτέλεσμα 6sin( φ) + 3sin(4 φ) + 8cos( φ) + df( φ) 7 + 3cos( φ) = dφ (9 + cos( φ))... οπότε η γωνία φ για την οποίαν η τελική ταχύτητα της σημειακής μάζας μεγιστοποιείται προκύπτει από την λύση της κάτωθι εξίσωσης Copyright: Pant. Lapas

17 6sin( φ) + 3sin(4 φ) + 8cos( φ) + = cos( φ) Β. Αν η σύγκρουση μεταξύ της σημειακής μάζας και της στεφάνης είναι τελείως πλαστική, δηλαδή η σημειακή μάζα ενσφηνωθεί στο σημείο Β της περιφέρειας της στεφάνης, να υπολογίσετε την ολική ενέργεια του συστήματος σημειακή μάζα στεφάνη μετά την κρούση. Απάντηση: Σε αυτή την περίπτωση διατηρούνται τα εξής μεγέθη: (α) η ορμή κατά μήκος του άξονα x και του άξονα y, και (β) η στροφορμή ως προς το κέντρο μάζας Κ του συστήματος. Από τη διατήρηση της ορμής κατά μήκος του άξονα x λαμβάνουμε x x mu u mu + 0 = ( M + mv ) V = = (0) K K 4m 4 ενώ από την Α.Δ.Ο. κατά τον άξονα y βρίσκουμε ότι V = 0, όπου u η ταχύτητα της σημειακής μάζας πριν την κρούση. Από τη διατήρηση της στροφορμής ως προς το κέντρο μάζας Κ του συστήματος σημειακή μάζα-στεφάνη (η θέση του κέντρου μάζας Κ είναι ίδια με εκείνη που υπολογίστηκε νωρίτερα) μπορούμε να υπολογίσουμε τη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του συστήματος αμέσως μετά την κρούση, ήτοι 3R 3R 9R R mu sinφ + 0 = I Ω mu sinφ = m MR M K + + Ω Steiner 3R 9R mu sinφ = m 3mR u sinφ R 4 + Ω = Ω () usinφ Ω = 5 R όπου δεχτήκαμε ότι το συσσωμάτωμα περιστρέφεται δεξιόστροφα αμέσως μετά την κρούση (περί το κέντρο μάζας του Κ). H ολική ενέργεια του συστήματος σημειακή μάζα στεφάνη μετά την κρούση είναι λοιπόν u 5 u sin φ mu 3 E = ( m + MV ) + I Ω = 4m + mr = + mu sin φ K K R 8 40 mu = (5 + 3sin φ) 40 Στην παραπάνω ανάλυση η διάρκεια των κρούσεων και της ενσφήνωσης θεωρήθηκε αμελητέα για λόγους απλοποίησης του φαινομένου. y K Copyright: Pant. Lapas