α. Αμείωτη αρμονική ταλάντωση. β. Φθίνουσα μηχανική ταλάντωση. γ. Κρίσιμη απεριοδική κίνηση. δ. Ισχυρά απεριοδική κίνηση.

Transcript

1 Εξέταση προσομοίωσης στο μάθημα: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Χρόνος εξέτασης: 4.5 ώρες Σύνολο σελίδων: 8 (πέντε) ΘΕΜΑ 1ο Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο φύλλο απαντήσεών σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1. Σώμα μάζας m είναι δεμένο στο ελεύθερο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθερής επαναφοράς k και εκτελεί γραμμική κίνηση δεχόμενο πέρα από την ελαστική δύναμη επαναφοράς και δύναμη αντίστασης της μορφής f = bυ, όπου b= 100 km η σταθερή απόσβεσης και υ η ταχύτητα του σώματος. Τι είδους κίνηση εκτελεί το σώμα; α. Αμείωτη αρμονική ταλάντωση. β. Φθίνουσα μηχανική ταλάντωση. γ. Κρίσιμη απεριοδική κίνηση. δ. Ισχυρά απεριοδική κίνηση. 2. Ένα κύκλωμα πηνίου-πυκνωτή-αντίστασης σε σειρά αποτελείται από πυκνωτή μεταβλητής χωρητικότητας. Ο συντελεστής αυτεπαγωγής του πηνίου είναι L, ενώ αρχικά η χωρητικότητα του πυκνωτή ρυθμίζεται στην τιμή C. Αν η χωρητικότητα του πυκνωτή μειωθεί κατά 25% η συχνότητα συντονισμού είναι ίση προς Hz. Ποια είναι η συχνότητα συντονισμού αν η χωρητικότητα του πυκνωτή αυξηθεί κατά 25% (ως προς την αρχικά ρυθμιζόμενη τιμή); α Hz β Hz γ. 200 Hz δ Hz 3. Σώμα εκτελεί γραμμική αρμονική ταλάντωση κατά μήκος της οριζόντιας διεύθυνσης x Ox. Τριβές δεν υπάρχουν. Τι μορφή έχει το διάγραμμα x p(x), όπου x η απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας του, και p(x) η ορμή του εκπεφρασμένη ως συνάρτηση της απομάκρυνσης (από την θέση ισορροπίας); Θεωρήστε ότι η θέση ισορροπίας συμπίπτει με την αρχή των αξόνων Ο. α. Έχει τη μορφή ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. β. Έχει τη μορφή υπερβολής της οποίας οι ασύμπτωτες τέμνονται στην αρχή των αξόνων. γ. Έχει τη μορφή έλλειψης με κέντρο την αρχή των αξόνων. δ. Έχει τη μορφή κύκλου με κέντρο την αρχή των αξόνων. Copyright: Pant. Lapas

2 4. Σε ποια από τις παρακάτω περιπτώσεις ένας παρατηρητής δεν αντιλαμβάνεται ηχητικό φαινόμενο Doppler καθόλη τη διάρκεια της κίνησής του; Θεωρήστε ότι ο παρατηρητής και η ηχητική πηγή περιβάλλονται από αέρα που ηρεμεί. α. Όταν βρίσκεται ακίνητος σε ανοιχτό χώρο και ένα ευθύγραμμα κινούμενο παλλόμενο διαπασών διέρχεται από κοντά του σε σχετικά μικρή απόσταση. β. Όταν κινείται γρήγορα προς λείο κατακόρυφο τοίχο, κρατώντας στο χέρι του παλλόμενο διαπασών. γ. Όταν κινείται σε ανοιχτό χώρο κρατώντας στο χέρι του παλλόμενο διαπασών, και συγχρόνως προσεγγίζει ακίνητο όμοιο παλλόμενο διαπασών. δ. Όταν κινείται κατά μήκος της περιφέρειας κύκλου στο κέντρο του οποίου βρίσκεται ακίνητο παλλόμενο διαπασών. 5. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα καθεμιάς από τις προτάσεις που ακολουθούν και ακριβώς δίπλα του την ένδειξη Σ αν η πρόταση που παρατίθεται είναι σωστή ή Λ αν είναι λανθασμένη. α. Για τη διάδοση των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων δεν είναι απαραίτητη η ύπαρξη κάποιου μέσου διάδοσης. β. Ο όρος «στιγμιότυπο» ενός μηχανικού αρμονικού κύματος αναφέρεται στην κίνηση ενός συγκεκριμένου σημείου του μέσου διάδοσης συναρτήσει του χρόνου. γ. Στην κινητική θεωρία του ιδανικού αερίου, η σύγκρουση ενός μορίου του αερίου με τα τοιχώματα του δοχείου οδηγεί σε αντιστροφή της συνιστώσας της ορμής που είναι κάθετη στην επιφάνεια του τοιχώματος στη θέση του σημείου σύγκρουσης. δ. Η ταχύτητα διάδοσης ενός αρμονικού κύματος σε κάποιο μέσον διάδοσης είναι ανεξάρτητη από τα χαρακτηριστικά του μέσου διάδοσης. ε. Η ηλεκτρική και η μαγνητική συνιστώσα ενός αρμονικού ηλεκτρομαγνητικού κύματος που διαδίδεται στον κενό χώρο είναι συμφασικές μεταξύ τους. Copyright: Pant. Lapas

3 ΘΕΜΑ 2ο 1. Στη διάταξη του διπλανού σχήματος, σώμα μάζας m είναι δεμένο στο ελεύθερο άκρο οριζοντίου ιδανικού ελατηρίου σταθερής επαναφοράς k. Δεύτερο σώμα μάζας m κρέμεται στο κάτω άκρο αβαρούς και μη εκτατού νήματος το πάνω άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο σε οροφή. Όταν το σύστημα ισορροπεί το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος και το νήμα είναι τεντωμένο και κατακόρυφο, με τα δύο σώματα να εφάπτονται μεταξύ τους (όπως δείχνεται στην εικόνα). Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ του σώματος που είναι δεμένο στο άκρο του ελατηρίου και του οριζοντίου δαπέδου είναι μ. Στη διάταξη ισορροπίας τα κέντρα μάζας των δύο σωμάτων βρίσκονται πάνω στην ίδια οριζόντια ευθεία η οποία ορίζει και τη στάθμη αναφοράς της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας (το σώμα όμως που είναι δεμένο στο νήμα δεν έρχεται ποτέ σε επαφή με το οριζόντιο δάπεδο). Η επιτάχυνση της βαρύτητας g θεωρείται γνωστή. Αρχικώς το όλο σύστημα ισορροπεί. 1.Α Διατηρώντας διαρκώς τεντωμένο το νήμα ανυψώνουμε το σώμα που είναι δεμένο στο κάτω άκρο του σε ύψος h πάνω από τη στάθμη αναφοράς της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας και στη συνέχεια το αφήνουμε ελεύθερο. Όταν το νήμα γίνει κατακόρυφο τα δύο σώματα συγκρούουνται τελείως ελαστικά μεταξύ τους. Να βρείτε ποια συνθήκη πρέπει να ικανοποιεί το ύψος h ώστε να έχουμε τουλάχιστον δύο κρούσεις. Μονάδες 6 1.Β Αντικαθιστούμε το εκκρεμές της προηγούμενης διάταξης με μακριά, ομογενή και ισοπαχή ράβδο μάζας M και μήκους L, αφήνοντας το υπόλοιπο σύστημα ως έχει. Στη διάταξη ισορροπίας το κέντρο μάζας του σώματος μάζας m και το κατώτερο άκρο της ράβδου βρίσκονται στην ίδια οριζόντια ευθεία, η οποία ορίζει και πάλι τη στάθμη αναφοράς της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας, το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος και η ράβδος είναι σε κατακόρυφη θέση. Αρχικώς το νέο σύστημα ισορροπεί. Στη συνέχεια ανυψώνουμε το κατώτερο άκρο της ράβδου σε ύψος h πάνω από τη στάθμη αναφοράς της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας και κατόπιν αφήνουμε τη ράβδο ελεύθερη. Όταν η ράβδος έρθει σε κατακόρυφη θέση συγκρούεται με το σώμα μάζας m και ακινητοποιείται αμέσως μετά την κρούση (παραμένοντας σε κατακόρυφη θέση). Να βρείτε και πάλι ποια συνθήκη πρέπει να ικανοποιεί το ύψος h ώστε να έχουμε τουλάχιστον δύο κρούσεις. Κατά τη μελέτη της κρούσης θεωρήστε προσεγγιστικά το σώμα μάζας m αμελητέων διαστάσεων. Μονάδες 8 Σε κάθε περίπτωση θεωρήστε τη διάρκεια της κρούσης αμελητέα. Copyright: Pant. Lapas

4 2. Θεωρήστε ένα τεντωμένο νήμα (σχοινί) μικρής μάζας το οποίο εκτείνεται κατά μήκος του θετικού ημιάξονα Οx. Τοποθετούμε την αρχή των αξόνων Ο στο αριστερό άκρο του νήματος, ο- πότε το δεξιό άκρο του βρίσκεται στη θέση xl = + 2 m. Στις θέσεις των δύο άκρων βρίσκονται πηγές κυμάτων Ο 1 και Ο 2, με την πηγή Ο 1 στη θέση του αριστερού άκρου (δηλ. στην αρχή των αξόνων Ο) και την πηγή Ο 2 στη θέση του δεξιού άκρου του νήματος. Η πηγή Ο 1 ταλαντώνεται εγκάρσια στη διεύθυνση του άξονα Οx σύμφωνα με τη σχέση y 1(t) = 0,1 ημ(πt) (S.I.) t 0. Η πηγή Ο 2 ταλαντώνεται κι αυτή εγκάρσια στη διεύθυνση του άξονα Οx με πλάτος και συχνότητα ίδια με εκείνα της πηγής Ο 1, τίθεται όμως σε ταλάντωση 0,5 sec αργότερα από την πηγή Ο 1. Η ταχύτητα διάδοσης των επιμέρους κυμάνσεων κατά μήκος του νήματος είναι υ = 0,4 m/s. Θεωρήστε ως χρονική στιγμή t = 0 τη στιγμή κατά την οποία τίθεται σε ταλάντωση η πηγή Ο1. 2.Α Σε ποιο σημείο του νήματος, μετρημένο ως προς την αρχή των αξόνων Ο, και σε ποια χρονική στιγμή ξεκινάει η συμβολή των δύο κυμάτων; Μονάδες 3 2.Β Σε πόσο χρόνο, μετρημένο από τη χρονική στιγμή t = 0, παρουσιάζεται ο πρώτος δεσμός και σε πόσο χρόνο ο δεύτερος; Σε ποιες θέσεις, μετρημένες ως προς την αρχή των αξόνων Ο, εμφανίζονται οι δύο προαναφερθέντες δεσμοί 1 ; Μονάδες 4 3. Δύο διαπασών Α και Β παράγουν ήχους συχνοτήτων f Α = 440 Hz και f B = 442 Hz αντίστοιχα και με το ίδιο πλάτος. Στην ερώτηση που ακολουθεί, να γράψετε στο φύλλο απαντήσεών σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Ο αριθμός των ελαχίστων ήχου που ακούει ακίνητος παρατηρητής σε ένα χρονικό διάστημα 4 sec είναι: α. 8 β. 2 γ. 16 Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Μονάδες 2 Μονάδες 2 1 Εδώ χρησιμοποιούμε τον όρο δεσμός ή σημείο αναιρετικής συμβολής αδιακρίτως μέχρις ότου αναδυθεί το στάσιμο κύμα πάνω σε όλο το μήκος του νήματος. Copyright: Pant. Lapas

5 ΘΕΜΑ 3ο Η διάταξη του παρακάτω σχήματος αποτελείται από ένα λέιζερ τιτανίου-ζαφειρίου το οποίο λειτουργεί με διαμήκη μεμονωμένο τρόπο δόνησης (single longitudinal mode). Στον διαμήκη τρόπο δόνησης το φως σκεδάζεται μεταξύ των επαργυρωμένων κατόπτρων της κοιλότητας του λέιζερ έ- τσι ώστε το ηλεκτρικό πεδίο να παρουσιάζει δεσμούς στις θέσεις των κατόπτρων λόγω της μεγάλης ανακλαστικότητας των τελευταίων. Η μεταβολή του ηλεκτρικού πεδίου κατά μήκος του ά- ξονα της κοιλότητας του λέιζερ (που στην εικόνα συμπίπτει με τον άξονα της εξερχόμενης δέσμης φωτός) έχει επομένως τη δομή στασίμου κύματος. Στον διαμήκη μεμονωμένο τρόπο δόνησης διεγείρεται διάμηκες στάσιμο κύμα μίας συγκεκριμένης συχνότητας μόνο. Η εξερχόμενη από το λέιζερ δέσμη φωτός διέρχεται διαδοχικά (α) από εστιαστή ο οποίος μικραίνει αισθητά τη διατομή της δέσμης (χωρίς να επηρεάζει την πορεία της), (β) κατόπιν προσπίπτει σε πρίσμα ολικής ανάκλασης με δείκτη διάθλασης n π και με γεωμετρικά χαρακτηριστικά που δείχνονται στην εικόνα, (γ) στη συνέχεια εξέρχεται από το πρίσμα αφού προηγηθεί ολική εσωτερική ανάκλαση στην υποτείνουσά του, (δ) μετά συναντά τον επίπεδο ανακλαστήρα Α, (ε) κατόπιν τον επίπεδο ανακλαστήρα Β και (στ) τελικά προσπίπτει υπό γωνία θ π στην πάνω έδρα γυάλινου διαφανούς κύβου με δείκτη διαθλασης n 1. Ο γυάλινος κύβος εδράζεται πάνω σε δεύτερο διαφανές υλικό με δείκτη διάθλασης n 2. Δίνονται τα εξής: το αξονικό μήκος (δηλ. η απόσταση μεταξύ των δύο κατόπτρων) της κοιλότητας του λέιζερ είναι σταθερό και ίσο προς L = 2m, ο μέσος δείκτης διάθλασης στο εσωτερικό της κοιλότητας του λέιζερ μπορεί να θεωρηθεί προσεγγιστικά ίσος με τη μονάδα, το κεντρικό μήκος κύματος της παραγόμενης από το λέιζερ δέσμης φωτός λ0 = 800 nm, και η γωνία πρόσπτωσης στην πάνω έδρα του γυάλινου κύβου θπ = 30 ο. Copyright: Pant. Lapas

6 Αξιοποιώντας τις γνώσεις σας πάνω στη θεωρία των στασίμων κυμάτων όπου χρειάζεται, υποθέτοντας ότι η όλη διάταξη (λέιζερ πρίσμα κύβος υλικό στο κάτω μέρος του κύβου) περιβάλλεται από αέρα, και αγνοώντας τυχόν διασκεδασμό στο εσωτερικό των διαφόρων διάφανων συνιστωσών της διάταξης, να απαντήσετε στα ακόλουθα ερωτήματα. Α. Αν η παραγόμενη από το λέιζερ ακτινοβολία δεν είναι αμιγώς μονοχρωματική αλλά εμπεριέχει ένα πολύ μικρό εύρος μηκών κύματος Δλ περί το κεντρικό μήκος λ 0, να κάνετε μια εκτίμηση για τη μέγιστη δυνατή τιμή του εύρους Δλ. Β. Τι δυνατές τιμές μπορεί να έχει ο δείκτης διάθλασης του πρίσματος ολικής ανάκλασης; Μονάδες 4 Γ. Να υπολογίσετε την γωνία μεταξύ των δύο ανακλαστήρων. Μονάδες 4 Δ. Αν είναι γνωστό ότι μόλις η δέσμη εισέλθει στον γυάλινο κύβο με δείκτη διάθλασης n1 συναντά αντίστοιχη κατακόρυφη έδρα του κύβου όπου και υφίσταται ολική εσωτερική ανάκλαση υπό γωνία η οποία είναι 30 ο μεγαλύτερη από την κρίσιμη γωνία πρόσπτωσης στην αυτή έδρα: Δ.1 να υπολογίσετε την τιμή του δείκτη διάθλασης n 1, Μονάδες 7 Δ.2 να αποδείξετε ότι δεν μπορεί να συμβεί ολική εσωτερική ανάκλαση στη διαχωριστική επιφάνεια του γυάλινου κύβου και του υλικού με δείκτη διάθλασης n2, και να βρείτε ένα άνω όριο για τις επιτρεπτές τιμές που μπορεί να πάρει η γωνία διάθλασης στην προαναφερθείσα διαχωριστική επιφάνεια. Copyright: Pant. Lapas

7 ΘΕΜΑ 4ο Στη διάταξη του παρακάτω σχήματος ένας ομογενής κύβος κι ένας ομογενής κύλινδρος ίδιας μάζας m τοποθετούνται πάνω σε οριζόντια επιφάνεια έτσι ώστε ο κύλινδρος να βρίσκεται σε επαφή με την αριστερή κατακόρυφη έδρα του κύβου κατά μήκος μιας γεννέτειράς του. Το αξονικό μήκος του κυλίνδρου είναι ίσο με την ακμή του κύβου. Αρχικώς το σύστημα (κύβου-κυλίνδρου) συγκρατείται ακίνητο, με την δεξιά κατακόρυφη έδρα του κύβου να βρίσκεται σε επαφή με το αριστερό άκρο συμπιεσμένου ιδανικού ελατηρίου το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο σε κατακόρυφο τοίχο. Ο συντελεστής στατικής τριβής και τριβής ολίσθησης, μεταξύ κυλίνδρου-δαπέδου, κύβου-δαπέδου και κυλίνδρου-κύβου, είναι μσ και μο αντιστοίχως, όπου μσ > μο. Στο αριστερό άκρο του ελατηρίου υπάρχει αβαρές εμπόδιο που εφαρμόζει σχεδόν ακριβώς (χωρίς να βρίσκεται σε επαφή με το δάπεδο) στη δεξιά κατακόρυφη έδρα του κύβου, ο μόνος ρόλος του οποίου είναι η μεταβίβαση της δύναμης του ελατηρίου προς το σύστημα κύβου-κυλίνδρου. Δεν υπάρχουν τριβές μεταξύ του εμποδίου στο άκρο του ελατηρίου και της αντίστοιχης έδρας του κύβου. Ο άξονας του ελατηρίου βρίσκεται στην προέκταση της ευθείας που συνδέει τα κέντρα μάζας κυλίνδρου και κύβου. Θεωρήστε ως χρονική στιγμή t = 0 τη στιγμή κατά την οποία το σύστημα κυλίνδρου-κύβου απελευθερώνεται. Δίνονται τα εξής: ο συντελεστής στατικής τριβής μ σ = 0,6, η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m/s 2, η σταθερή επαναφοράς του ελατηρίου k = 40 N/m, η μάζα του κάθε σώματος m = 10 kg, η ακτίνα του κυλίνδρου R = 0,5 m, και η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου περί τον άξονα συμμετρίας του ΙCM = (1/2)mR 2. Να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις συναρτήσει των δεδομένων μεγεθών της άσκησης και μόνον. για την οποίαν το σύστη- Α. Να υπολογίσετε την ελάχιστη δυνατή συμπίεση του ελατηρίου s min ελ μα τίθεται σε κίνηση προς τα αριστερά όταν αφεθεί ελεύθερο. Μονάδες 4 Β. Υποθέστε ότι η αρχική συμπίεση του ελατηρίου είναι απειροστά μεγαλύτερη από την τιμή του προηγούμενου ερωτήματος, προκειμένου να τεθεί σε κίνηση το σύστημα. Όταν το s min ελ σύστημα αρχίζει την κίνησή του δεν παρατηρείται σχετική ολίσθηση μεταξύ κυλίνδρου και κύβου επί της οριζόντιας ευθείας κατά μήκος της οποίας εφάπτονται. Β.1 Με βάση τα παραπάνω δεδομένα να βρείτε ένα άνω όριο για την τιμή του συντελεστή τριβής ολίσθησης μ ο. Μονάδες 9 Copyright: Pant. Lapas

8 Αν για τον συντελεστή τριβής ολίσθησης είναι γνωστό ότι μο = 0,2, Β.2 να υπολογίσετε τη συμπίεση του ελατηρίου τη στιγμή που εμφανίζεται σχετική ολίσθηση μεταξύ κυλίνδρου και κύβου, Μονάδες 6 Β.3 να υπολογίσετε την ενέργεια που χάθηκε κατά τη διάρκεια της σχετικής ολίσθησης μεταξύ κυλίνδρου και κύβου, καθώς και την ολική απώλεια ενέργειας λόγω τριβών από τη στιγμή t = 0 ως τη στιγμή που το σύστημα κυλίνδρου-κύβου σταματάει να κινείται πάνω στο οριζόντιο δάπεδο. Μονάδες 6 ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ! Copyright: Pant. Lapas