Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εισαγωγή στη βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων

Transcript

1 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εισαγωγή στη βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων Δημήτρης Κουτσογιάννης Σχολή Πολιτικών Μηχανικών

2 Άδεια χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς.

3 Η βελτιστοποίηση για απλή πραγματική στοχική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής f ( ) Κυρτή (c o nve ) συνάρτη ση f ( ) Κο ίλη (c o nc ave ) συνάρτη ση f ( ) Τοπικό Π ο λυκό ρυφ η (m ul ti m o dal ) συνάρτη ση Σημείο ελαχίστο υ Σημείο μεγίστο υ ελάχιστο Ολικό ελάχιστο f' ( ) Σημείο μηδενισμο ύ α' παραγώγο υ f' ( ) Σημείο μηδενισμο ύ α' παραγώγο υ f' ( ) Σημεία μηδενισμο ύ α' παραγώγο υ f ( ) f ( ) f ( ) β παράγωγο ς θετική αρνητική Θετική β παράγωγο ς Αρνητική β παράγωγο ς Δ. Κουτσογιάννης, Εισαγωγή στη βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων 3

4 Η βελτιστοποίηση για απλή πραγματική στοχική συνάρτηση διανυσματικής μεταβλητής f( 1, 2 ) Μεταβλητές ελέγχου: 1, 2, (χώρος δύο διαστάσεων) συμπυκνώνονται σε μία διανυσματική μεταβλητή: = [ 1, 2 ] T Στοχική συνάρτηση (πραγματική): f() = ( 1 0.5) ( 2 0.5) 2 0.5( 1 0.5)( 2 0.5) Το γράφημα της συνάρτησης στο πεδίο (0 1 1, 0 2 1) φαίνεται στα διπλανά σχήματα (πάνω τριδιάστατη προοπτική απεικόνιση, κάτω διδιάστατη απεικόνιση με μορφή ισοτιμικών καμπυλών). Κλίση: T grad(f) = f = df d = f f, = 1 2 [2( 1 0.5) 0.5 ( 2 0.5), ( 2 0.5) 0.5 ( 1 0.5)] Τ Παραδείγματα τιμών κλίσης: Δ. Κουτσογιάννης, Εισαγωγή στη βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων 4 T Για = [0.6, 0.3] T, grad(f) = [0.3, 0.25] Τ Για = [0.65, 0.75] T, grad(f) = [0.175, 0.175] Τ Συνθήκη ακροτάτου: grad(f) = 0

5 Εντοπισμός ελαχίστου με τη μέθοδο της πιο απότομης κατάβασης 2 * 1 - g 1 - g 0 0 Εικόνα 1. Εντοπισμός ελαχίστου με τη μέθοδο της πιο απότομης κατάβασης Δ. Κουτσογιάννης, Εισαγωγή στη βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων 5 1

6 Κυρτές και μη κυρτές διανυσματικές συναρτήσεις Κυρτή Μη κυρτή Τοπικό ελάχιστο Σημείο σέλας Μοναδικό ελάχιστο Ολικό ελάχιστο Δ. Κουτσογιάννης, Εισαγωγή στη βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων 6

7 Παραδείγματα έντονα μη κυρτών (πολυκόρυφων) διανυσματικών συναρτήσεων Συνάρτηση Michalewicz f( 1, 2 ) = sin(4π 1 ) + 2 sin(20π 2 ) Συνάρτηση Griewank (για n = 2) f( 1, 2,, n ) = ( n2 )/400 cos( 1 /1) cos( 2 /2) cos( n /n) + 1 Δ. Κουτσογιάννης, Εισαγωγή στη βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων 7

8 Η έννοια των περιορισμών και της εφικτής περιοχής Ελαχιστοποίηση χωρίς περιορισμούς: το ολικό ελάχιστο είναι εδώ Εισαγωγή περιορισμού με εφικτή περιοχή τη μη γραμμοσκιασμένη: το ολικό ελάχιστο μετατίθεται εδώ Δ. Κουτσογιάννης, Εισαγωγή στη βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων 8

9 Εντοπισμός ολικού ακροτάτου σε πολυκόρυφες διανυσματικές συναρτήσεις Δεν υπάρχει εγγυημένη μεθοδολογία εντοπισμού του ολικού ακροτάτου Μέθοδοι κλασικών μαθηματικών (π.χ. της πιο απότομης κατάβασης) εγκλωβισμός σε τοπικά ακρότατα Μέθοδοι διακριτοποίησης και απαριθμητικής αναζήτησης «κατάρα» της διαστατικότητας Μέθοδοι τυχαίας αναζήτησης αργή & μη αντικειμενική διαδικασία Μέθοδοι συνδυασμού κλασικών μαθηματικών και τυχαίας αναζήτησης η πιο πρόσφορη μέθοδος αλλά δεν εγγυάται τον εντοπισμό της βέλτιστης λύσης Παράδειγμα: Προσομοιωμένη ανόπτηση προσδιορίζουμε την κατεύθυνση κατάβασης αλλά επιτρέπουμε να κινηθούμε και ανάποδα (με δεδομένη πιθανότητα) για να αποφύγουμε τον εγκλωβισμό Δ. Κουτσογιάννης, Εισαγωγή στη βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων 9

10 Παρατηρήσεις για προβλήματα βελτιστοποίησης υδατικών πόρων Τα προβλήματα περιλαμβάνουν πολλές μεταβλητές ελέγχου Η στοχική συνάρτηση δεν είναι δεδομένη. Συχνά υπάρχουν πολλές που συνδέονται με την οικονομικότητα, την αξιοπιστία, την ποιότητα του νερού, κ.ά. Περιορισμοί υπάρχουν πάντα Τόσο η στοχική συνάρτηση, όσο και οι περιορισμοί δεν έχουν απλές μαθηματικές εκφράσεις. Συνήθως μπορούν να προσδιοριστούν τιμές τους για δεδομένες τιμές των μεταβλητών ελέγχου μέσα από αριθμητικές διαδικασίες (π.χ. προσομοίωση) Τα προβλήματα είναι συνήθως μη κυρτά και οι στοχικές συναρτήσεις πολυκόρυφες. Εξαίρεση: γραμμικά προβλήματα Το ουσιαστικότερο (και ξεχωριστό για κάθε πρόβλημα) μέρος είναι η κατάστρωση του προβλήματος. Για το αλγοριθμικό μέρος προσφέρονται σήμερα πολλές επιλογές Δ. Κουτσογιάννης, Εισαγωγή στη βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων 10

11 Ταμιευτήρας Μεσοχώρας Ταμιευτήρας Πύλης Ταμιευτήρας Μουζακίου Ταμιευτήρας Συκιάς Ταμιευτήρας Πλαστήρα Τελικό παράδειγμα: Μελέτη του υδροσυστήματος Αχελώου-Θεσσαλίας Ταμιευτήρας Καστρακίου Ταμιευτήρας Στράτου Ταμιευτήρας Κρεμαστών 5 ταμιευτήρες στον Αχελώο (+Πλαστήρα) Σενάριο εκτροπής στη Θεσσαλία με 2 επιπλέον ταμιευτήρες 7 υδροηλεκτρικοί σταθμοί (κατά μέγιστο) Σύστημα αγωγών εκτροπής Κύρια χρήση: Υδροηλεκτρική ενέργεια Δευτερεύουσα χρήση: άρδευση Περιβαλλοντικές δεσμεύσεις km Εικόνα 2. Μελέτη υδροσυστήματος Αχελώου- Θεσσαλίας Δ. Κουτσογιάννης, Εισαγωγή στη βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων 11

12 ΗΥΣ Πευκοφύτου Σήραγγα εκτροπής Αχελώου ΗΥΣ Μουζακίου ΗΥΣ Μαυροματίου Μεσοχώρα m ΗΥΣ Γλύστρας Συκιά m ΗΥΣ Συκιάς Κρεμαστά m ΗΥΣ Κρεμαστών Καστράκι m Σήραγγα Γλύστρας 160 MW Έξοδος Γλύ - στρας (550 m) 120 MW Έξοδος Συκιάς (396 m) 436 MW Πύλη m Συνδετήρια σήραγγα Πύλης- Μουζακίου Μουζάκι m 260 MW 270 MW Έξοδος Μουζακίου (156 m) (ανάχωμα Μαυροματίου ) Πορταϊκός Πάμισος Έξοδος Μαυροματίου (132 m ) Σχηματοποίηση του υδροσυστήματος Αχελώου - Θεσσαλίας ΗΥΣ Καστρακίου Στράτος m ΗΥΣ Στράτου 320 MW 156 MW Έξοδος Στράτου Η σχηματοποίηση βοηθά: Στην κατανόηση της λειτουργίας του συστήματος Στην οργάνωση των πληροφοριών Στην αναγνώριση των ουσιωδών στοιχείων Στην κατασκευή του μαθηματικού μοντέλου Αχελώος Σχήμα 1. Σχηματοποίηση του υδροσυστήματος Αχελώου - Θεσσαλίας Δ. Κουτσογιάννης, Εισαγωγή στη βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων 12

13 Υδρολογικές είσοδοι Ύψη απορροής λεκανών Ύψη καθαρής βροχής ταμιευτήρων Συνιστώσα προσομοίωσης Δυναμική συστήματος Χαρακτηριστικά συνιστωσών Εσωτερικοί (φυσικοί και λειτουργικοί) περιορισμοί Μη παραμετρικοί κανόνες λειτουργίας Παραμετρικοί κανόνες λειτουργίας Προσομοιωμένες χρονοσειρές Όγκοι εισροών στους ταμιευτήρες Μεταβλητές κατάστασης ταμιευτήρων Όγκοι εκροών και αντλήσεων Ποσότητες ενέργειας Συνιστώσα αξιολόγησης - βελτιστοποίησης Κανόνες αξιολόγησης Τιμές μονάδας Αλγόριθμος βελτιστοποίησης Δείκτης επίδοσης Οικονομικό όφελος ενέργειας Οικονομικό όφελος αρδεύσεων Μικτό οικονομικό όφελος Επιλογή τελικής λύσης Οικονομικά κριτήρια Άλλα κριτήρια Διάταξη έργων Ταμιευτήρες υδροσυστήματος και χωρητικότητές τους Αγωγοί διασύνδεσης και παροχετευτικότητές τους Σταθμοί παραγωγής και χαρακτηριστικά τους Παράμετροι συστήματος Στόχοι παραγωγής πρωτεύουσας ενέργειας Στόχοι μεταφοράς νερού στους αγωγούς διασύνδεσης Εξωτερικοί περιορισμοί Ανεκτά επίπεδα αξιοπιστίας Μέσες διακινούμενες ποσότητες Μέσες αρδευτικές απολήψεις Διάρθρωση του συνολικού μαθηματικού μοντέλου του υδροσυστήματος Αχελώου-Θεσσαλίας Στόχος του μοντέλου: Επαναθεώρηση της Γενικής Διάταξης των Έργων Εκτροπής του Αχελώου προς τη Θεσσαλία (Ρυθμιστικοί όγκοι, υδροηλεκτρικοί σταθμοί) με στόχο τη μεγιστοποίηση του οικονομικού οφέλους από παραγωγή ενέργειας και γεωργική αξιοποίηση Δ. Κουτσογιάννης, Εισαγωγή στη βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων 13

14 Παράρτημα Σχήμα 1. Σχηματοποίηση του υδροσυστήματος Αχελώου Θεσσαλίας, Κουτσογιάννης, Δ., Μελέτη λειτουργίας ταμιευτήρων, Γενική διάταξη έργων εκτροπής Αχελώου προς Θεσσαλία, Ανάδοχος: Ειδική Υπηρεσία Δημοσίων Έργων Αχελώου - Γενική Γραμματεία Δημοσίων Έργων - Υπουργείο Περιβάλλοντος, Χωροταξίας και Δημόσιων Έργων, Συνεργαζόμενοι: Γ. Καλαούζης, ELECTROWATT, Π. Μαρίνος, Δ. Κουτσογιάννης, 420 σελίδες, 1996, CC: BY-NC-SA Δ. Κουτσογιάννης, Εισαγωγή στη βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων 14

15 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Ε.Μ.Π.» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.