ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 3: Αριθμητικά Περιγραφικά Μέτρα Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

2 ΑΔΕΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

3 ΧΡΗΜΑΤΟΔΟΤΗΣΗ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 ΘΕΩΡΙΑ

5 ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ Παράμετροι είναι τα αριθμητικά περιγραφικά μέτρα που αναφέρονται στον πληθυσμό. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Στατιστικές συναρτήσεις είναι τα αριθμητικά περιγραφικά μέτρα που αναφέρονται στον δείγμα.

6 ΜΕΤΡΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΤΑΣΗΣ Για να έχουμε μια καλή, αλλά ταυτόχρονα και συνοπτική εικόνα των εικόνα για τις παρατηρήσεις μας, αναζητούμε μια τιμή, γύρω από την οποία έχουν την τάση να συσσωρεύονται. Αυτά ονομάζονται μέτρα κεντρικής τάσης.

7 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ Αναφερόμαστε σε αυτόν και με τις λέξεις μέση τιμή ή απλά μέσος. x Ο μέσος ενός δείγματος συμβολίζεται με ενώ η μέση τιμή του πληθυσμού συμβολίζεται με μ

8 ΤΥΠΟΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΥ ΜΕΣΟΥ (1) α. Αστάθμητος αριθμητικός μέσος δείγματος για n παρατηρήσεις: x n i 1 Για τον πληθυσμό πλήθους Ν στατικών μονάδων: n x Ν i1 µ Ν i x i

9 ΤΥΠΟΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΥ ΜΕΣΟΥ () α. Σταθμικός αριθμητικός μέσος δείγματος για n παρατηρήσεις: x Για τον πληθυσμό πλήθους Ν στατικών μονάδων: n i 1 Ν i1 µ x i n Ν v i x i v i

10 ΔΙΑΜΕΣΟΣ Διάμεσος είναι μία τιμή η οποία χωρίζει τις παρατηρήσεις του δείγματος σε δύο ισοπληθείς ομάδες, έτσι ώστε οι παρατηρήσεις της πρώτης ομάδας να είναι όλες μεγαλύτερες ή ίσες της διαμέσου και όλες οι παρατηρήσεις της άλλης ομάδας να είναι όλες μικρότερες ή ίσες αυτής. Συμβολίζουμε: δ

11 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΔΙΑΜΕΣΟΥ (1) 1. Αν οι παρατηρήσεις δίνονται αναλυτικά δηλ. δεν είναι ταξινομημένες σε πίνακα κατανομής συχνοτήτων. Τότε διακρίνουμε δύο περιπτώσεις αφού ταξινομήσουμε τις παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά μεγέθους:

12 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΔΙΑΜΕΣΟΥ () α. Το πλήθος των παρατηρήσεων είναι περιττό. Η θέση της διαμέσου εντοπίζεται από τον αριθμό n +1

13 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΔΙΑΜΕΣΟΥ (3) n +1 Άρα η παρατήρηση στην ταξινομημένη σειρά των παρατηρήσεων, δηλαδή η x n+ 1 ( ) είναι και η ζητούμενη διάμεσος π.χ. αν έχουμε τις παρατηρήσεις 5,8,,6,9 για να υπολογιστεί η διάμεσος πρέπει πρώτα να τις ταξινομήσουμε σε αύξουσα σειρά, άρα

14 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΔΙΑΜΕΣΟΥ (4) Το n5, άρα n Επομένως η 3 η παρατήρηση στην ταξινομημένη σειρά, 5, 6, 8, 9 θα είναι και η ζητούμενη διάμεσος. Άρα η διάμεσος είναι δ 6.

15 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΔΙΑΜΕΣΟΥ (5) α. Το πλήθος των παρατηρήσεων είναι άρτιο. Τότε είναι σαφές ότι δύο από τις ταξινομημένες παρατηρήσεις θα βρίσκονται στην κεντρική θέση. Οι θέσεις που μας ενδιαφέρουν είναι οι n +1 n και

16 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΔΙΑΜΕΣΟΥ (6) Επομένως οι δύο κεντρικές ταξινομημένες παρατηρήσεις είναι οι: ( n ) n ( + 1) x και x π.χ. Για τις παρατηρήσεις 5,8,,6,9,7, αφού πρώτα ταξινομηθούν σε αύξουσα σειρά, δηλ., 5, 6, 7, 8, 9, εν συνεχεία θα υπολογισθούν οι θέσεις n 6 3 και

17 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΔΙΑΜΕΣΟΥ (7) n Άρα η 3 η και η 4 η ταξινομημένη παρατήρηση είναι εκείνες που βρίσκονται στις κεντρικές θέσεις, άρα για τις ταξινομημένες παρατηρήσεις, 5, 6, 7, 8, 9, πρόκειται για το 6 και το 7.

18 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΔΙΑΜΕΣΟΥ (8) Στην περίπτωση αυτή, θεωρούμε ότι η διάμεσος θα είναι το ημιάθροισμα των δύο κεντρικών τιμών, δηλαδή: x ( n ) + x ( n + 1) δ 6,5

19 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΔΙΑΜΕΣΟΥ (9). Όταν οι παρατηρήσεις είναι ομαδοποιημένες σε πίνακα κατανομής συχνοτήτων με κλάσεις. Τότε εφόσον η ταξινόμησή τους έχει γίνει από την τοποθέτησή τους στον πίνακα κατανομής συχνοτήτων, θα πρέπει να εντοπιστεί η κλάση στην οποία θα ανήκει η διάμεσος.

20 ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΚΛΑΣΗΣ ΣΤΗΝ ΟΠΟΙΑ ΑΝΗΚΕΙ Η ΔΙΑΜΕΣΟΣ (1) Θα πρέπει να εντοπιστεί η κλάση στην οποία θα ανήκει η x ( n ) παρατήρηση. Στην άσκηση 1, θα πρέπει να υπολογιστεί το n

21 ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΚΛΑΣΗΣ ΣΤΗΝ ΟΠΟΙΑ ΑΝΗΚΕΙ Η ΔΙΑΜΕΣΟΣ () Δηλαδή η κλάση στην οποία ανήκει η 50 η παρατήρηση. Για τον εντοπισμό της κλάσης αυτής χρησιμοποιούμε την αθροιστική συχνότητα.

22 ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΚΛΑΣΗΣ ΣΤΗΝ ΟΠΟΙΑ ΑΝΗΚΕΙ Η ΔΙΑΜΕΣΟΣ (3) ΚΛΑΣΕΙΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ ν i ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ Ν i ΣΥΝΟΛΟ 500 -

23 ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΚΛΑΣΗΣ ΣΤΗΝ ΟΠΟΙΑ ΑΝΗΚΕΙ Η ΔΙΑΜΕΣΟΣ (4) Βάσει της αθροιστικής συχνότητας η 50 η παρατήρηση θα ανήκει στην κλάση Στη συνέχεια χρησιμοποιούμε τον τύπο: δ δ α 500 n i + ( i 1 ν i + c N ) 500 ( ) δ 896,64

24 ΑΣΚΗΣΕΙΣ

25 ΑΣΚΗΣΗ Να υπολογιστεί η μέση βαθμολογία για τους μισθούς 500 υπαλλήλων ενός ομίλου επιχειρήσεων. ΚΛΑΣΕΙΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ ν i ΣΥΝΟΛΟ 500

26 ΤΕΛΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ