β. Το πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης είναι : Α = (Α 1 ² + Α 2 ² + 2 Α 1 Α 2 συν φ) (φ = π rad) Α = (Α 1 ² + Α 2 ² + 2 Α 1 Α 2 συν π) Α = [Α 1 ² + Α 2

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "β. Το πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης είναι : Α = (Α 1 ² + Α 2 ² + 2 Α 1 Α 2 συν φ) (φ = π rad) Α = (Α 1 ² + Α 2 ² + 2 Α 1 Α 2 συν π) Α = [Α 1 ² + Α 2"

Γαλήνη Καζαντζής
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 1) Ένα κινητό εκτελεί συγχρόνως δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις που γίνονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την θέση ισορροπίας με εξισώσεις : x 1 = 3 ημ [(2 π) t] και x 2 = 4 ημ [(2 π) t + φ], (S.I.). Να βρείτε την εξίσωση της απομάκρυνσης x (t) του σώματος και να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις x 1 t, x 2 t, x t όταν : α. φ = 0, β. φ = π rad, Να βρείτε την εξίσωση της απομάκρυνσης x (t) του σώματος : γ. φ = π / 3 rad. Λύση α. Οι δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις που γίνονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την θέση ισορροπίας, έχουν την ίδια κυκλική συχνότητα ω = 2 π rad / s. Η σχέση κυκλικής συχνότητας και περιόδου, είναι : ω = 2 π / Τ Τ = 2 π / ω Τ = 2 π / (2 π) Τ = 1 s. Α = (Α 1 ² + Α 2 ² + 2 Α 1 Α 2 συν φ) (φ = 0 ) Α = (Α 1 ² + Α 2 ² + 2 Α 1 Α 2 συν 0 ) Α = (Α 1 + Α 2 )² Α = Α 1 + Α 2 Α = Α = 7 m. H διαφορά φάσης θ της σύνθετης ταλάντωσης, είναι : εφ θ = (Α 2 ημ φ) / (Α 1 + Α 2 συν φ) εφ θ = (4 ημ 0 ) / (3 + 4 συν 0 ) εφ θ = 0 θ = 0. x = Α ημ (ω t + θ) x = 7 ημ [(2 π) t + 0] x = 7 ημ [(2 π) t], (S.I.). Tα ζητούμενα διαγράμματα :

2 β. Α = (Α 1 ² + Α 2 ² + 2 Α 1 Α 2 συν φ) (φ = π rad) Α = (Α 1 ² + Α 2 ² + 2 Α 1 Α 2 συν π) Α = [Α 1 ² + Α 2 ² + 2 Α 1 Α 2 (- 1)] Α = (Α 1 Α 2 )² Α = Α 1 Α 2 Α = 3 4 Α = 1 m. H διαφορά φάσης θ της σύνθετης ταλάντωσης, είναι : εφ θ = (Α 2 ημ φ) / (Α 1 + Α 2 συν φ) εφ θ = (4 ημ π) / (3 + 4 συν π) εφ θ = 0 αφού Α 1 < Α 2, τότε : θ = π rad. x = Α ημ (ω t + θ ) x = 1 ημ [(2 π) t + π], (S.I.). Tα ζητούμενα διαγράμματα :

3 γ. Α = (Α 1 ² + Α 2 ² + 2 Α 1 Α 2 συν φ) (φ = π / 3 rad) Α = [Α 1 ² + Α 2 ² + 2 Α 1 Α 2 συν (π / 3)] Α = [Α 1 ² + Α 2 ² + 2 Α 1 Α 2 (1 / 2)] Α = (Α 1 ² + Α 2 ²) Α = (3² + 4²) Α = (25) Α = 5 m. H διαφορά φάσης θ της σύνθετης ταλάντωσης, είναι : εφ θ = (Α 2 ημ φ) / (Α 1 + Α 2 συν φ) εφ θ = [4 ημ π / 3] / [3 + 4 συν (π / 3)] εφ θ = [4 (1 / 2)] / [3 + 4 (1 / 2)] εφ θ = (2 / 5). Δεν μπορούμε να ξέρουμε την θ. x = Α ημ (ω t + θ ) x = 5 ημ [(2 π) t + θ ], (S.I.). 2) Ένα κινητό μάζας m = 0,5 kg εκτελεί δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις που γίνονται γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας και πάνω στην ίδια διεύθυνση, με εξισώσεις : x 1 = 4 ημ [10 t + (π / 6)] και x 2 = 4 3 ημ [10 t + (2 π / 3)], (S.I.). Να υπολογίσετε την εξίσωση της απομάκρυνσης, της ταχύτητας, της επιτάχυνσης και της δύναμης επαναφοράς του σώματος.

4 Λύση Οι δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις που γίνονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την θέση ισορροπίας, έχουν την ίδια κυκλική συχνότητα ω = 10 rad / s. Η σχέση κυκλικής συχνότητας και περιόδου, είναι : ω = 2 π / Τ Τ = 2 π / ω Τ = 2 π / 10 Τ = π / 5 s. Η διαφορά φάσης μεταξύ των δύο ταλαντώσεων : Δφ = φ 0,2 φ 0,1 Δφ = [(2 π / 3) (π / 6)] Δφ = [(4 π / 6) (π / 6)] Δφ = 3 π / 6 Δφ = π / 2 rad. Α = (Α 1 ² + Α 2 ² + 2 Α 1 Α 2 συν φ) Α = [4² + (4 3)² συν (π / 2)] Α = [4² + (4 3)²] Α = [ ] Α = 64 Α = 8 m. H διαφορά φάσης θ της σύνθετης ταλάντωσης, είναι : εφ θ = (Α 2 ημ φ) / (Α 1 + Α 2 συν φ) εφ θ = [4 3 ημ (π / 2)] / [ συν (π / 2)] εφ θ = (4 3 1) / ( ) εφ θ = (4 3) / 4 εφ θ = 3 θ = π / 3 rad. x = Α ημ (ω t + φ 0,1 + θ) x = 8 ημ [10 t + (π / 6) + (π / 3)] x = 8 ημ [10 t + (π / 2)], (S.I.). Η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης του σώματος είναι : υ max = ω Α υ max = 10 8 υ max = 80 m / s. Άρα η εξίσωση της ταχύτητας της σύνθετης ταλάντωσης είναι : υ = υ max συν (ω t + θ) υ = 80 συν [10 t + (π / 2)], (S.I.). Η μέγιστη επιτάχυνση της ταλάντωσης του σώματος είναι : α max = ω² Α α max = 10² 8 α max = 800 m / s². Άρα η εξίσωση της επιτάχυνσης της σύνθετης ταλάντωσης είναι : α = α max ημ (ω t + θ) α = 800 ημ [10 t + (π / 2)], (S.I.). Η μέγιστη δύναμη επαναφοράς της ταλάντωσης του σώματος είναι : (2ος νόμος του Νεύτωνα) ΣF max = m α max ΣF max = m ω² Α ΣF max = 0,5 10² 8 ΣF max = 400 Ν. Άρα η εξίσωση της δύναμης επαναφοράς της σύνθετης ταλάντωσης είναι : ΣF = ΣF max ημ (ω t + θ) ΣF = 400 ημ [10 t + (π / 2)], (S.I.).

5 3) Ένα σώμα μάζας m = 0,4 kg, εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις (1) και (2) όπως φαίνονται στα διαγράμματα του παρακάτω σχήματος : Οι αρμονικές ταλαντώσεις (1) και (2) γίνονται γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας και στην ίδια διεύθυνση. Να βρεθεί : α. Η εξίσωση της απομάκρυνσης της συνισταμένης ταλάντωσης του σώματος σε συνάρτηση με τον χρόνο. β. H εξίσωση της δυναμικής ενέργειας του του σώματος σε συνάρτηση με τον χρόνο. Δίνεται π² 10. Λύση α. Από το διάγραμμα βλέπουμε : Τ = 2 s, A 1 = 0,2 m, A 2 = 0,4 m, η αρχική φάση της ταλάντωσης (1) είναι φ 0,1 = π / 2 rad και η αρχική φάση της ταλάντωσης (2) είναι φ 0,2 = 0. Η γωνιακή συχνότητα είναι : ω = 2 π / Τ ω = 2 π / 2 ω = π rad / s. H εξίσωση της απομάκρυνσης της (1), είναι : x 1 = A 1 ημ (ω t + φ 0,1 ) x 1 = 0,2 ημ [π t + (π / 2)]. H εξίσωση της απομάκρυνσης της (2), είναι : x 2 = A 2 ημ (ω t + φ 0,2 ) x 2 = 0,4 ημ (π t + 0). Όπου : φ = φ 0,2 φ 0,1 φ = 0 (π / 2) φ = (π / 2) rad. Α = (Α 1 ² + Α 2 ² + 2 Α 1 Α 2 συν φ) Α = {0,2² + 0,4² + 2 0,2 0,4 συν [- (π / 2)]} Α = (0,2² + 0,4² + 0) Α = (0,2) Α = (20 0,01) Α = (4 5 0,01) A = 0,2 5 m. H διαφορά φάσης θ της σύνθετης ταλάντωσης, είναι : εφ θ = (Α 2 ημ φ) / (Α 1 + Α 2 συν φ) εφ θ = {0,4 ημ [- (π / 2)]} / {[0,2 + 0,4 [ συν (π / 2)]} εφ θ = 0,4 / 0,2

6 εφ θ = 2. x = Α ημ (ω t + θ) αφού θ < 0, x = 0,2 5 ημ (π t + (π / 2) + θ), (S.I.). β. Η σταθερά επαναφοράς είναι : D = m ω² D = 0,4 π² D = 0,4 10 D = 4 Ν / m. H εξίσωση της δυναμικής ενέργειας του του σώματος σε συνάρτηση με τον χρόνο : U = ½ D x² U = ½ 4 {0,2 5 ημ [π t + (π / 2) + θ]}² U = 2 0,04 5 ημ² [π t + (π / 2) + θ] U = 0,4 ημ² [π t + (π / 2) + θ]. 4) Ένα μικρό σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις, ίδιας συχνότητας πάνω στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας με εξισώσεις : x 1 = 4 ημ (2 t) και x 2 = 4 ημ [2 t + (π / 3)], (S.I.). Να υπολογίσετε : α. Την εξίσωση της κίνησης του σώματος, β. Την ταχύτητα και την επιτάχυνση του σώματος τη χρονική στιγμή t = π / 4 s. Λύση α. Από τις εξισώσεις που δίνονται ω = 2 rad / s, A 1 = A 2 = 4 m και Δφ = π / 3 rad. Έχουμε σύνθεση ταλαντώσεων, με πλάτος : Α = [A 1 ² + A 2 ² + 2 A 1 A 2 συν (Δφ)] Α = [4² + 4² συν (π / 3)] Α = [4² + 4² (1 / 2)] Α = (3 4²) Α = 4 3 m. H διεύθυνση : εφ θ = (A 2 ημ Δφ) / (A 1 + A 2 συν Δφ) εφ θ = [4 ημ (π / 3)] / [4 + 4 συν (π / 3)] εφ θ = [4 ( 3 / 2)] / [4 + 4 (1 / 2)] εφ θ = [ 3 / 2] / [1 + (1 / 2)] εφ θ = 3 / 3 θ = π / 6 rad. H εξίσωση της απομάκρυνσης, της σύνθετης ταλάντωσης : x = A ημ (ω t + θ) x = 4 3 ημ [2 t + (π / 6)]. β. Η μέγιστη ταχύτητα της σύνθετης ταλάντωσης είναι : υ max = ω Α υ max = υ max = 8 3 m / s. H ταχύτητα της σύνθετης ταλάντωσης : υ = υ max συν (ω t + θ) υ = 8 3 συν [2 t + (π / 6)]. Για t = π / 4 s : υ = 8 3 συν [2 (π / 4) + (π / 6)] υ = 8 3 συν (2 π / 3) υ = 8 3 (- 1 / 2) υ = 4 3 m / s. Η μέγιστη επιτάχυνση της σύνθετης ταλάντωσης είναι : α max = ω² Α α max = 2² 4 3

7 α max = 16 3 m / s². H επιτάχυνση της σύνθετης ταλάντωσης : α = α max ημ (ω t + θ) α = 16 3 ημ [2 t + (π / 6)]. Για t = π / 4 s : α = ημ [2 (π / 4) + (π / 6)] α = 16 3 ημ (2 π / 3) α = 16 3 ( 3 / 2) α = 24 m / s².

Σχετικά έγγραφα

m αντίστοιχα, εκτελούν Α.Α.Τ. και έχουν την

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ.: ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Ερώτηση. ΘΕΜΑ Β Δύο σώματα με μάζες m m και m m αντίστοιχα, εκτελούν Α.Α.Τ.