. Μητρόπουλος Ταλαντώσεις Σ 1 Σ 2 V

Transcript

1 Ταλάντωση πάνω σε βαγονέτο Π Σ 1 Π Σ 2 V Το εικονιζόµενο βαγονέτο Σ 2 έχει πάνω του κατάλληλα στηριγµένο οριζόντιο ιδανικό ελατήριο, σταθεράς k = 1N/m. Στο άλλο άκρο του ελατηρίου είναι δεµένο σώµα Σ 1 µάζας m = 1kg, που µπορεί να κινείται στο δάπεδο του βαγονέτου χωρίς τριβή. Η µάζα του βαγονέτου είναι πολύ µεγαλύτερη από αυτή του σώµατος. Το σύστηµα ισορροπεί, ώσπου µια απότοµη σύγκρουση άλλου βαγονιού αναγκάζει το βαγονέτο να αρχίσει να κινείται στις οριζόντιες σιδηροτροχιές προς τα δεξιά µε σταθερή ταχύτητα µέτρου V = 2m/s (θετική φορά θεωρείται η προς τα δεξιά). 1. Να περιγράψετε την κίνηση του σώµατος Σ 1, όπως την αντιλαµβάνεται ο κινούµενος µαζί µε το βαγονέτο επιβάτης Π, και να βρείτε πως µεταβάλλεται η δύναµη που ασκεί το ελατήριο στο Σ 1 µε το χρόνο, θεωρώντας σαν χρονική στιγµή µηδέν τη στιγµή αµέσως µετά τη σύγκρουση. 2. Να προσδιορίσετε τη χρονική συνάρτηση της ταχύτητας υ του Σ 1, καθώς και της τάσης του ελατηρίου πάνω του, όπως τις αντιλαµβάνεται ο ακίνητος παρατηρητής Π. 3. Να απεικονίσετε γραφικά την ταχύτητα που αντιλαµβάνεται ο κάθε παρατηρητής για το Σ 1, σε συνάρτηση µε το χρόνο (µε τη βοήθεια του graph), για δύο περιόδους της κίνησής του. 4. Να κάνετε το ίδιο για την ισχύ της δύναµης που δέχεται το Σ 1 από το ελατήριο. 5. Αν θεωρήσουµε για τον παρατηρητή Π ως αρχή x = την αρχική θέση του σώµατος Σ 1 (για t = ), ισχύει και για αυτόν ανάλογη συνθήκη για την τάση του ελατηρίου, δηλαδή = k x; Αντιλαµβάνεται ο Π την κίνηση του Σ 1 ως ΑΑΤ; 6. Τη στιγµή t 1 που ο Π αντιλαµβάνεται το Σ 1 να κινείται προς αυτόν για 3 η φορά µε µέγιστη ταχύτητα, το βαγονέτο συγκρούεται µε ακλόνητο εµπόδιο και ακινητοποιείται ακαριαία (µαζί µε τον Π που παθαίνει νέο σοκ από το τράνταγµα). Τι είδους κίνηση αντιλαµβάνονται στη συνέχεια οι παρατηρητές Π και Π για το Σ 1 ; Σελίδα 1 από 5

2 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ: 1. Ο παρατηρητής Π, πριν από τη σύγκρουση βλέπει το σώµα Σ 1 ακίνητο στη θέση όπου το ελατήριο έχει το φυσικό του µήκος (ΦΜ). Αµέσως µετά τη σύγκρουση o Π αποκτά, µαζί µε όλο το υπόλοιπο σύστηµα, εξαιρουµένου όµως του Σ 1, σταθερή ταχύτητα V (και φυσικά παθαίνει και σοκ από το απότοµο ξεκίνηµα!) Το Σ 1 διατηρεί προς στιγµήν την µηδενική του ταχύτητα, αφού το ελατήριο έχει ακόµα το φυσικό του µήκος και δεν του ασκεί καµία δύναµη. Ο παρατηρητής Π αντιλαµβάνεται έτσι το Σ 1 να κινείται προς αυτόν µε ταχύτητα µέτρου V προκαλώντας συσπείρωση στο ελατήριο. εδοµένου ότι κινείται µε σταθερή ταχύτητα ως προς το έδαφος, είναι αδρανειακός παρατηρητής και η µόνη δύναµη που βλέπει να ασκείται στο Σ 1 είναι η τάση του ελατηρίου. Θεωρώντας ως x = την αρχική θέση του Σ 1, αντιλαµβάνεται ότι το Σ 1 εκτελεί ΑΑΤ γύρω από αυτή, µε δύναµη επαναφοράς την = k x (1) Η γωνιακή συχνότητα είναι ω = k m = 1r/s, και η αρχική φάση π αφού η ταλάντωση ξεκινά µε υ = υ max = V = 2m/s. Το πλάτος της ταλάντωσης είναι A = υ max /ω =,2m και τελικά η εξίσωση της ΑΑΤ που αντιλαµβάνεται ο Π είναι: =,2 ηµ ( 1t π) ή x =,2 ηµ ( 1t) x + Ακόµη, από την (1) µε αντικατάσταση έχουµε: (S.I.) (2) = 2 ηµ ( 1t π) ή 2 ηµ ( 1t) + = (S.I.) (3) 2. Ο κινούµενος παρατηρητής Π βλέπει όπως είπαµε το Σ 1 να εκτελεί ΑΑΤ, µε υ = Α ω συνωt+ π υ = 2 συν 1t (S.I.) (4) ταχύτητα: ( ) ( ) Επειδή τώρα το αδρανειακό σύστηµα του Π κινείται ως προς τον ακίνητο Π µε ταχύτητα V, η ταχύτητα που αντιλαµβάνεται ο παρατηρητής Π για το Σ 1 είναι: υ = V + υ υ 2 2 συν( 1t) = (S.I.) (5) Η χρονική µεταβολή της τάσης του ελατηρίου είναι ίδια και για τον ακίνητο παρατηρητή: = 2 ηµ 1t (S.I.) (3) ( ) 3. Η ταχύτητα για κάθε παρατηρητή δίνεται από τις σχέσεις (4) και (5) αντίστοιχα και οι γραφικές τους παραστάσεις φαίνονται στην επόµενη σελίδα. Σελίδα 2 από 5

3 Για τον κινούµενο παρατηρητή Π : υ (m/s) = 2π/1 s Για τον ακίνητο παρατηρητή Π: υ 4 (m/s) = 2π/1 s Η τάση του ελατηρίου τώρα σαν συνάρτηση του χρόνου (σχέση (3)) είναι ίδια και για τους δύο παρατηρητές. Η ζητούµενη ισχύς για τον καθένα τους είναι: Κινούµενος, Π : P = υ P = 2 ηµ ( 1t) 2 συν( 1t) ( 2t) P = 2 ηµ (S.I.) (7) P (Watt) 2 = 2π/1 s 2-2 (Παρατηρούµε ότι η κυκλική συχνότητα της P (t) είναι 2ω) Σελίδα 3 από 5

4 Ακίνητος, Π: P = υ P 2 ηµ ( 1t) ( 2 2 συν( 1t) ) = P= 4 ηµ(1t) 2 ηµ(2t) (S.I.) (8) P (Watt) 6 = 2π/1 s Παρατηρούµε ότι η P(t) είναι περιοδική αλλά όχι αρµονική, και οι αρµονικοί όροι της έχουν συχνότητες ω (θεµελιώδης) και 2ω. Όπως φαίνεται επίσης από τα µέγιστα, για τον ακίνητο παρατηρητή Π το ελατήριο καταβάλλει περισσότερο «κόπο» για να κινεί το σώµα. Έχει όµως ένα «χέρι βοήθειας» στην προσπάθειά του αυτή από τη δύναµη F βάσης που δέχεται στο άλλο του άκρο από τη βάση στήριξης: P βάσης = F βάσης V = V = 2 ηµ ( 1t) 2 4 ηµ ( 1t) P βάσης Φαίνεται δηλαδή από τις (7), (8) και (9) ότι: P( t) Pβάσης ( t) + P ( t) = (S.I.) (9) =!! 5. Η σχέση που συνδέει τις θέσεις x και x στα δύο συστήµατα αναφοράς, είναι: x = V t + x ή x = x V t Εποµένως, η σχέση (1) πιο πάνω γίνεται: = k x = k (x V t) (S.I.) (7) Για τον ακίνητο παρατηρητή είναι δηλαδή k x και εποµένως δεν µπορεί να χαρακτηρίσει την κίνηση του Σ 1 ως αρµονική ταλάντωση. 6. Η στιγµή t 1, όπως φαίνεται και από το διάγραµµα υ (t), είναι η στιγµή 2Τ, όπου ο κινούµενος παρατηρητής Π το βλέπει να διέρχεται από τη ΘΙ. Το ελατήριο τότε έχει το φυσικό µήκος του. Σελίδα 4 από 5

5 Την ίδια στιγµή ο ακίνητος παρατηρητής Π το βλέπει ακίνητο. Ακριβώς τότε ακινητοποιείται το βαγονέτο, οπότε το ελατήριο παραµένει χαλαρό και το σώµα Σ 1 µένει πλέον ακίνητο για τον Π. Επειδή όµως είναι πλέον και οι δύο παρατηρητές ακίνητοι, βλέπουν και οι δύο το Σ 1 να ηρεµεί. ιονύσης Μητρόπουλος Σελίδα 5 από 5