הרצאה 5 הגדרה D5.1 בין 1 N . כלומר, t N

Transcript

1 ROBABILITY A STATISTIS הסתברות וסטטיסטיקה יוג'ין מאת קנציפר ugee Kazieer All rights reserved 005/06 כל הזכויות שמורות 005/06 הרצאה 5 התפלגויות בדידות מיוחדות התפלגות אחידה ניסוי והתפלגות ברנולי התפלגות בינומית ומשפט הפרוק התפלגות גיאומטרית התפלגות בינומית שלילית התפלגות היפרגיאומטרית התפלגות היפרגיאוטרית שלילית זרם אירועים פואסוני והתפלגות פואסון נוסחת סטירלינג קירוב בינומי להתפלגות היפרגיאומטרי קירוב בינומי שלילי להתפלגות היפרגיאומטרית שלילית קירוב פואסון להתפלגות בינומית בהרצאה זו נלמד התפלגויות בדידות חשובות המופיעות בתיאור תופעות שונות בטבע התפלגות אחידה פונקצית הסתברות 5 5 ל [uifor distributio] הגדרה 5 משתנה מקרי בדיד מקבל כל אחד מהערכים בעל נקרא התפלגות אחידה בין אם הוא כלומר,,,, בהסתברות x ) ) ~ U, ) אנחנו נסמן משתנה כזה כ,,, d עבור {מספר נקודות על הפאה} הוא משתנה מקרי בדיד דוגמא 5 בניסוי "הטלת קובייה מאוזנת", משתנה מקרי ~ U d,6) בעל התפלגות אחידה בין ל : 6 5 פונקצית התפלגות מצטברת ~ U, ) d טענה פונקצית התפלגות מצטברת של משתנה מקרי 0, t F t),, t < t < t כאן, t מסמן את הפונקציה "חלק שלם של מספר" L-6 F t ) הוכחה מדיאגרמת מקלות עבור פונקצית הסתברות נובע כי ) ),,, כמו כן, כאן, Ters of Use: veryoe is allowed to use these course aterials for free rovided the author's coyright otice is et ugee Kazieer All rights reserved, 005/06) o art of the lecture otes ad other accoayig aterials ay be reroduced or stored i a retrieval syste other tha at htt://wwwhitacil/staff/azieer, coied or trasitted i ay for or by ay eas without the rior erissio of the author

2 F t < + ) שתי הנוסחאות האחרונות מוכחות את הטענה סוף הוכחה 5 תוחלת ושונות ~ U, ) טענה תוחלת של משתנה מקרי d [ ] [ ] + [ ] x x) x + ) אזי, + + ) הוכחה על פי הגדרת התוחלת, ניקח בחשבון כי כנדרש סוף הוכחה var ~ U, ) טענה שונות של משתנה מקרי d var var[ ] [ ] [ ] [ ] ) [ ] x x) x, אנחנו מקבלים: הוכחה על פי הגדרת השונות, חישוב: + ) ) + [ ] ) ) ) + ) [ ] [ ] [ ] ) + ) + ) + ) 6 4 מכיוון ש אזי, כנדרש סוף הוכחה של משתנה מקרי בדיד {מספר נקודות על הפאה} בניבוי שאלה L5 חשב/י תוחלת, שונות וסטיית תקן "הטלת קובייה מאוזנת" כך ש 6 ~ U d פתרון,6) ו L-7 Ters of Use: veryoe is allowed to use these course aterials for free rovided the author's coyright otice is et ugee Kazieer All rights reserved, 005/06) o art of the lecture otes ad other accoayig aterials ay be reroduced or stored i a retrieval syste other tha at htt://wwwhitacil/staff/azieer, coied or trasitted i ay for or by ay eas without the rior erissio of the author

3 6 + [ ] 6 var[ ] σ var[ ] 7 ; 5 5 9; 7 שאלה L5 סיפרה נבחרת באופן מקרי חשב/י תוחלת, שונות וסטיית תקן של משתנה מקרי פתרון אי אפשר להשתמש ישירות בנוסחאות עבור משתנה מקרי אחיד מפני שכעת ערכים בין 0 ל 9 נגדיר את המשתנה החדש + Y הוא מתפלג אחיד בין ל 0 אזי, מקבל 0 + [ ] [ Y ] [ Y ] 0 var[ ] var[ Y ] var[ Y ] σ באותה דרך, סטיית התקן התפלגות distributio] [Beroulli ברנולי 5 5 ניסוי ופרמטר ברנולי הגדרה 5 ניסוי ברנולי הוא ניסוי בו יתכנו רק שתי תוצאות אפשריות הצלחה success] S] - וכישלון failure] F] - F) S) נהוג לסמן את ההסתברות להצלחה דרך ש הפרמטר ואת ההסתברות לכישלון דרך נקרא פרמטר של ניסוי ברנולי כך S) + F) דוגמא 5 א הטלת מטבע עם שתי תוצאות אפשריות "עץ" ו"פלי" מטבע מזויף, הסתברות להצלחה "עץ") יכול לקבל כל ערך עבור מטבע מאוזן, עבור 0 6 ב הטלת קובייה מאוזנת עם ההצלחה המוגדרת כ {פאה עם 6 נקודות} במקרה זה, ג לידת בן או בת, 5 משתנה והתפלגות ברנולי הגדרה 5 L-8 Ters of Use: veryoe is allowed to use these course aterials for free rovided the author's coyright otice is et ugee Kazieer All rights reserved, 005/06) o art of the lecture otes ad other accoayig aterials ay be reroduced or stored i a retrieval syste other tha at htt://wwwhitacil/staff/azieer, coied or trasitted i ay for or by ay eas without the rior erissio of the author

4 משתנה ברנולי ) ~ Ber בעל פרמטר "הצלחה" ואת הערך 0 במקרה ההפוך של כישלון: הוא משתנה בדיד אשר מקבל את הערך במקרה של, 0, ' 'הצלחה ' ' ' 'כשלון ' ' הערה R5 שמות אחרים של המשתנה: משתנה מצביע, משתנה מציין משתנה ברנולי מונה את ה''הצלחות'' ~ Ber ) הגדרה 54 התפלגות ברנולי של משתנה ברנולי נתונה על ידי פונקצית הסתברות ), 0) 5 פונקצית התפלגות מצטברת עבור משתנה ברנולי פונקצית התפלגות מצטברת היא טענה יהיה ) ~ Ber F ) t 0,,, t < 0, 0 t <, t הוכחה יש להשתמש בהגדרה של פונקצית התפלגות מצטברת 54 תוחלת ושונות טענה תוחלת של משתנה מקרי ~ Ber [ ] הוכחה [ ] x x 0 + x ) ) סוף הוכחה ~ Ber ) var[ ] ) טענה שונות של משתנה מקרי הוכחה var[ ] [ ] [ ] x { x x) 0 ) + ) סוף הוכחה Ters of Use: veryoe is allowed to use these course aterials for free rovided the author's coyright otice is et ugee Kazieer All rights reserved, 005/06) o art of the lecture otes ad other accoayig aterials ay be reroduced or stored i a retrieval syste other tha at htt://wwwhitacil/staff/azieer, coied or trasitted i ay for or by ay eas without the rior erissio of the author L-9

5 התפלגות בינומית distributio] [Bioial משתנה בינומי < < ו ~ Bi, ) 0,,, הגדרה 54 משתנה בינומי הערכים בהסתברויות בעל פרמטרים הוא משתנה בדיד אשר מקבל את x ) ) ) שנבחרה מקרית מבחינת מן הילדים, מרחב המדגם הוא נגדיר משתנה מקרי Ω, על פי גישה קלאסית להסתברות דוגמא 5 חלק ראשון נתבונן במשפחה בת שלושה ילדים { MMM, MMF, MFM, MFF, FMM, FMF, FFM, FFF} {מספר בנות במשפחה} הערכים האפשריים של הם, 0, ערכים אלה מופיעים בהסתברויות: מאורע x) 0 MMM 8 MMF, MFM, FMM 8 MFF, FMF, FFM 8 FFF 8 ו ניתן לזהות את ההתפלגות שבטבלה כהתפלגות בינומית בעלת פרמטרים חישוב פשוט מראה כי כך ש 0) 0 ) 0, 8, 8 ) 0 ) ~ Bi,, 8 8 הסבר לעובדה זו מגיע ממשפט הפרוק 5 משפט הפרוק,,, משפט T5 ניסוח סכום של משתני ברנולי פרמטרים ו- כלומר, בלתי תלויים בעלי פרמטר מתפלג בינומית עם ) ~ Bi, L-40 Ters of Use: veryoe is allowed to use these course aterials for free rovided the author's coyright otice is et ugee Kazieer All rights reserved, 005/06) o art of the lecture otes ad other accoayig aterials ay be reroduced or stored i a retrieval syste other tha at htt://wwwhitacil/staff/azieer, coied or trasitted i ay for or by ay eas without the rior erissio of the author

6 דוגמא 5 חלק שני משפט הפרוק עוזר לנו להבין הופעה של התפלגות בינומית עבור משתנה מקרי {מספר בנות במשפחה אקראית בת ילדים} כדי למנות את מספר הבנות במשפחה, נגדיר שלושה משתני ברנולי בלתי תלויים בעלי פרמטר /,,,, 0, בת בן כיוון ש + + קל להבין כי מספר בנות במשפחה אקראית נתון על ידי הסכום ), על פי משפט הפרוק המשתנה מתפלג בינומית עם פרמטרים,, ) ~ Bi, ~ Ber ) ו / כלומר, ~ Ber ) 0,,, :,,, הוכחה משפט T5 נתבונן בסדרה של עבור משתני ברנולי בלתי תלוים בעלי פרמטר, 0, -? ברור כי הערכים האפשריים של בהסתברות בהסתברות :,, מהי ההסתברות למצוא על מנת לחשב את ההסתברות נתבונן ב תאים, התא ה הם שמור לערך של המשתנה בדיוק אשר 0 או כדי להגיע לסכום אפסים:, יש להבטיח כי ב תאים ישנם ) אחדים ו אפסיםם 44 אחדים ) הסתברות זו מתייחסת לסדרה על פי עקרון הכפל, הסתברות של מאורע זה היא מסוימת של אחדים ו אפסים כיוון שישנם סדרות אחרות נוספות שמורכבות מ ) ) אחדים ו ) לסדר אחדים ו אפסים מסיבה זו יש להכפיל את ההסתברות אפסים בשורה: במספר אופציות!, ),! ) ) 0,,, סוף הוכחה כתוצאה, עבור Ters of Use: veryoe is allowed to use these course aterials for free rovided the author's coyright otice is et ugee Kazieer All rights reserved, 005/06) o art of the lecture otes ad other accoayig aterials ay be reroduced or stored i a retrieval syste other tha at htt://wwwhitacil/staff/azieer, coied or trasitted i ay for or by ay eas without the rior erissio of the author L-4

7 5 תוחלת ושונות ~ Bi, ) [ ] טענה תוחלת של משתנה מקרי ~ Bi, ) ) ~ Ber כאן הוכחה על פי משפט הפרוק, מותר לפרק את המשתנה תלויים בעלי פרמטר לסכום של משתני ברנולי בלתי ) אזי,,, [ ] [ ] :,,, סוף הוכחה ~ Bi, ) var[ ] ) טענה שונות של משתנה מקרי הוכחה ~ Bi, ),, כאן ~ Ber ) על פי משפט הפרוק, מותר לפרק את המשתנה תלויים בעלי פרמטר לסכום של משתני ברנולי בלתי var ) אזי, :,,, [ ] var var[ ] ) ) ) סוף הוכחה שאלה L5 בתהליך ייצור נורות, קיימת הסתברות של % לייצור נורה פגומה א ב מהי ההסתברות שבמשלוח של 50 נורות ימצאו בדיוק 4 נורות פגומות? מהי ההסתברות שבמשלוח יהיו פחות מ 4 נורות פגומות? פתרון ייצור נורה בודדת הוא ניסוי ברנולי בעל הסתברות ל''הצלחה'' {ייצור נורה פגומה} 00 נגדיר את המשתנה המקרי,,50 ) עבור הנורה ה, 0, 50 פגומה תקינה אזי, מספר כולל של נורות פגומות במשלוח של נורות הוא אם נניח שאין תלות בין ייצור נורות שונות, מותר להתייחס לסדרה של 50 משתני ברנולי כלסדרה של משתנים בלתי 50 ~ Bi תלויים על פי משפט הפירוק, 00) 50, א ב כתוצאה מכך, ) 50 00) 00) 0045 < 4) 0) + ) + ) + ) 098 שאלה L54 מכשיר מכיל 5 יחידות זהות בלתי תלויות ולכל אחת הסתברות 80% להימצא במצב תקין המכשיר כולו פועל רק כשיש בו לפחות יחידות תקינות מהי ההסתברות שהמכשיר יפעל ברגע מסוים? L-4 Ters of Use: veryoe is allowed to use these course aterials for free rovided the author's coyright otice is et ugee Kazieer All rights reserved, 005/06) o art of the lecture otes ad other accoayig aterials ay be reroduced or stored i a retrieval syste other tha at htt://wwwhitacil/staff/azieer, coied or trasitted i ay for or by ay eas without the rior erissio of the author

8 מדובר על סדרה של 5 5 פתרון בדיקת מצבה של יחידה אחת היא ניסוי ברנולי בעל פרמטר 08 ניסויי ברנולי אם לכן, הוא מספר היחידות התקינות מתוך בהתאם למשפט הפירוק כתוצאה, ההסתברות הדרושה היא הרי ) + 4) + 5) 0 94 ) ~ Bi 5, 08) שאלה L55 מהי ההסתברות שלפחות שני סטודנטים מכיתה המונה 0 איש נולדו באותו תאריך מסוים נתון? 65 פתרון אם נתון תאריך מסוים, מספר כולל של סטודנטים בינומית בהסתברות סטודנט שנבחר מקרית נולד באותו תאריך שנולדו באותו תאריך מתוך 0 שבכיתה) הוא מספר מקרי המפולג כך שההסתברות למצוא בדיוק 0 0 סטודנטים ) ) 65) 0 ~ Bi 0, 65 כאלה היא 0,, עבור, 0 אזי, ההסתברות המבוקשת היא ) 4 0) ) 0 54 התפלגות גיאומטרית distributio] [Geoetric 54 סדרת ניסוי ברנולי עד ההצלחה הראשונה נניח שאנחנו מבצעים סדרה של ניסוי ברנולי יכולה להיות סדרה אינסופית) בוודאי שלא ידוע לנו מתי נגיע להצלחה הראשונה נסמן ב בפעם ראשונה מהי ההסתברות לקבלת אם ההצלחה הראשונה התרחשה בניסוי ה את מספר הניסוי ברנולי שידרשו כדי להגיע להצלחה? כאן,,,, הניסויים הקודמים הסתיימו בכישלון: כשלון כשלון כשלון התא ה ההצלחה ה כשלון תאים עם כישלונות,, ) על פי עקרון הכפל, ההסתברות המתאימה היא עבור 0 < < ~ G ) הגדרה 55 משתנה גיאומטרי בהסתברויות בעל פרמטר הוא משתנה בדיד אשר מקבל את הערכים,, x ) ) ) L-4 Ters of Use: veryoe is allowed to use these course aterials for free rovided the author's coyright otice is et ugee Kazieer All rights reserved, 005/06) o art of the lecture otes ad other accoayig aterials ay be reroduced or stored i a retrieval syste other tha at htt://wwwhitacil/staff/azieer, coied or trasitted i ay for or by ay eas without the rior erissio of the author

9 54 פונקצית התפלגות מצטברת עבור משתנה גיאומטרי F פונקצית התפלגות מצטברת היא 0, ) ) t t, t < t טענה יהיה ) ~ G הוכחה יש להשתמש בהגדרה של פונקצית התפלגות מצטברת כדי לחשב אותה עבור נקודות : t F t ) ) ) ) ) ),, השתמשנו בטור גיאומטרי סופי) כיוון ש ~ )G לנוסחא הדרושה סוף הוכחה הוא משתנה מקרי בדיד, מיד מגיעים > ) ) ) הערה R5 הטענה מביאה לנוסחא חשובה: עבור כל,, חיובי שלם ~ G ) 54 תוחלת ושונות טענה תוחלת של משתנה מקרי [ ] [ ] x x) ) x הוכחה על פי הגדרת התוחלת, יש לחשב q הגענו לטור מסוג )S עם < q חישובו מתבצע בעזרת גזירה של טור גיאומטרי: q) S q) d q q dq d dq q q q) סוף הוכחה [ ] S ) S ) q הצבת מביאה כך שהתוחלת var[ ] ~ G ) var[ ] טענה שונות של משתנה מקרי [ ] {[ ] [ ] / הוכחה על פי הגדרה, יש לחשב את התוחלת L-44 Ters of Use: veryoe is allowed to use these course aterials for free rovided the author's coyright otice is et ugee Kazieer All rights reserved, 005/06) o art of the lecture otes ad other accoayig aterials ay be reroduced or stored i a retrieval syste other tha at htt://wwwhitacil/staff/azieer, coied or trasitted i ay for or by ay eas without the rior erissio of the author

10 [ ] x x) x ) נתבונן בטור T q) q עבור < q קל לראות כי d dq q q d q dq q q א ב T q) d dq T q d d q) q dq dq d dq q q d dq q q q) + q q) [ ] ) T ) var[ ] [ ] שילוב הנוסחאות מראה כי ביצוע טור גיאומטרי מביא: כתוצאה, כך שהשונות היא סוף הוכחה {מספר לידות עד לידת הבת הראשונה} הסתברות להצלחה ממוצע מספר הלידות עד ה"הצלחה" הראשונה הוא שאלה L56 כמה לידות בממוצע יובילו ל''הצלחה'' לידת הבת? פתרון יהיה משתנה מקרי ~ G / כך ש [ ] שאלה L57 בתהליך ייצור של פריט מסוים, הסתברות של פריט פגום היא % א ב מהי ההסתברות שבבדיקת איכות של פריטים מוגמרים בזה אחר זה יימצאו 6 תקינים והשביעי פגום? מהי ההסתברות שביקורת שגרתית בה נבדקים 5 פריטים בזה אחר זה, לא תגלה אף פריט אחד פגום? פתרון נתייחס לגילוי של פריט פגום כל''הצלחה'' הרי לפנינו סדרה של ניסוי ברנולי בעלי פרמטר אם הוא מספרו של הפריט הפגום הראשון בו אנחנו נתקלים, אזי 00 ~ )G 00 7) ) > 5) 00) א ב הסתברות המבוקשת היא הסתברות המבוקשת היא דרך התפלגות בינומית!) ניתן להגיע לאותה תשובה Ters of Use: veryoe is allowed to use these course aterials for free rovided the author's coyright otice is et ugee Kazieer All rights reserved, 005/06) o art of the lecture otes ad other accoayig aterials ay be reroduced or stored i a retrieval syste other tha at htt://wwwhitacil/staff/azieer, coied or trasitted i ay for or by ay eas without the rior erissio of the author L-45

11 ש ) 55 התפלגות בינומית שלילית distributio] [egative bioial 55 סדרת ניסוי ברנולי עד ההצלחה ה נניח שאנחנו מבצעים סדרה של ניסוי ברנולי נסמן ב את מספר הניסויים עד שנגיע להצלחה ה מהי ההסתברות לקבלת? במילים אחרות, מהי ההסתברות שנצטרך לבצע ניסוי ברנולי עד שנגיע להצלחה ה-? ניתן לראות מהציור התא ה ההצלחה ה כשלון כשלון תאים עם הצלחה שנייה כשלון הצלחה ראשונה כישלונות כשלון ) הצלחות ו אבל ישנן סדרות נוספות בניסוי ה " מספר כולל של ) כי הסתברות של סדרת ההצלחות וכישלונות שבציור היא עם אותו מספר הצלחות וכישלונות המתאימות להגדרה "הצלחה ה סדרות כאלו הוא,, ) אזי, ההסתברות להגיע להצלחה ה בניסוי ה היא ) ) עבור +,, ו 0 < < ~ egbi, ), +, הגדרה 56 משתנה בינומי שלילי משתנה בדיד אשר מקבל את הערכים בעל פרמטרים בהסתברויות לם חיובי) הוא x ) ) ) ~ egbi, ) [ ] 55 תוחלת ושונות טענה תוחלת של משתנה מקרי הוכחה תינתן בהרצאה מס' 6 ~ egbi, ) ) var[ ] טענה שונות של משתנה מקרי הוכחה תינתן בהרצאה מס' 6 L-46 Ters of Use: veryoe is allowed to use these course aterials for free rovided the author's coyright otice is et ugee Kazieer All rights reserved, 005/06) o art of the lecture otes ad other accoayig aterials ay be reroduced or stored i a retrieval syste other tha at htt://wwwhitacil/staff/azieer, coied or trasitted i ay for or by ay eas without the rior erissio of the author

12 שאלה L58 מהי ההסתברות שהילד השלישי במשפחה יהיה בן שני?, פתרון נגדיר את המשתנה {מספר הלידות ההסתברות הדרושה היא עד ילידת הבן השני} כיוון ש ) 4 ~ egbi, / ) התפלגות היפרגיאומטרית distributio] [Hyergeoetric משתנה היפרגיאומטרי ו <, ~ Hy,, ) 0,,, הגדרה 57 משתנה היפרגיאומטרי משתנה בדיד אשר מקבל את הערכים בעל פרמטרים בהסתברויות הוא x ) ) 56 מתי התפלגות היפרגיאומטרית מופיעה? נתבונן באוסף של פרטים כדורים) בה ''מיוחדים'', לצורך הדוגמא כדורים אדומים) ושאר שחורים) שבין נוציא מהאוסף פריטים שהוצאו ישנם בדיוק באופן מקרי מדגם של פרטים בעלי תכונה מסוימת פריטים הפרטים הם ''רגילים'' למשל, כדורים פרטים ללא החזרה מהי ההסתברות < < 0 פריטים מיוחדים? במילים אחרות, אם משתנה מקרי ההסתברות מוגדר כ"מספר פרטים מיוחדים במדגם של פריטים", מהי ) למצוא? 44 מיוחדים רגילים כדי לענות על השאלה, נתייחס להוצאת כדורים ללא החזרה מהאוסף כלמילוי של באמצעות פריטים משני סוגים מיוחדים ורגילים תאים בשלב הראשון, נחשב את ההסתברות ש על פי עקרון הכפל, הסתברות זו ) תאים משמאל ממולאים על ידי פריטים מיוחדים בלבד L היא כפל בין ההסתברויות הבאות: הסתברות שהפריט הראשון שהוצא מהאוסף הוא פריט מיוחד על פי גישה קלאסית להסתברות, L-47 Ters of Use: veryoe is allowed to use these course aterials for free rovided the author's coyright otice is et ugee Kazieer All rights reserved, 005/06) o art of the lecture otes ad other accoayig aterials ay be reroduced or stored i a retrieval syste other tha at htt://wwwhitacil/staff/azieer, coied or trasitted i ay for or by ay eas without the rior erissio of the author

13 הסתברות שהפריט השני שהוצא מהאוסף הוא פריט מיוחד מכיוון שמדובר על הוצאת פריטים ללא החזרה, בהחלט, לפני הוצאת הפריט השני, האוסף מכיל מיוחדים) פריטים, ביניהם פריטים הסתברות שהפריט ה שהוצא מהאוסף הוא פריט מיוחד: ) ) S כתוצאה, ההסתברות ש תאים משמאל ממולאים על ידי פריטים מיוחדים היא L ) + ) ) + ) קל לראות כי ) + ) ) ) ) + ) ) )! כך ש! ) + ) ו!!! L!!! בשלב השני, נחשב את ההסתברות ש על פי עקרון הכפל, הסתברות זו ) תאים מימין ממולאים על ידי פריטים רגילים בלבד R היא כפל בין ההסתברויות הבאות: שהוצא מהאוסף הוא פריט רגיל על פי גישה קלאסית + שהפריט ה +) הסתברות + להסתברות,, +) בהחלט, פריטים רגילים) לפני הוצאת הפריט ה האוסף מכיל פריטים, ביניהם שהוצא מהאוסף הוא פריט מיוחד מכיוון שמדובר + הסתברות + שהפריט ה ) + על הוצאת פריטים ללא החזרה, L-48 Ters of Use: veryoe is allowed to use these course aterials for free rovided the author's coyright otice is et ugee Kazieer All rights reserved, 005/06) o art of the lecture otes ad other accoayig aterials ay be reroduced or stored i a retrieval syste other tha at htt://wwwhitacil/staff/azieer, coied or trasitted i ay for or by ay eas without the rior erissio of the author

14 Ters of Use: veryoe is allowed to use these course aterials for free rovided the author's coyright otice is et ugee Kazieer All rights reserved, 005/06) o art of the lecture otes ad other accoayig aterials ay be reroduced or stored i a retrieval syste other tha at htt://wwwhitacil/staff/azieer, coied or trasitted i ay for or by ay eas without the rior erissio of the author L-49 תורבתסה ה טירפהש טירפ אוה ףסואהמ אצוהש :ליגר ) ) ) + +,האצותכ תורבתסהה R ש ) םיטירפ ידי לע םיאלוממ ןימימ םיאת איה םיליגר R ) ) ) ) ) ) ) יכ תוארל לק) ) )) )) )) )) ) ) ) ) ) ) ) ) + + ו ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) + + ש ךכ R +!!!!!!!!!) )!!!!!) ) ),ינוניב םוכיסכ ש תורבתסהה יכ ונאצמ םיטירפ ידי לע םיאלוממ לאמשמ םיאת איה םידחוימ L ש תורבתסההו ) איה םיליגר םיטירפ ידי לע םיאלוממ ןימימ םיאת R +,יזא ש תורבתסהה ש םגו םידחוימ םיטירפ ידי לע םיאלוממ לאמשמ םיאת ) איה םיליגר םיטירפ ידי לע םיאלוממ ןימימ םיאת

15 L R + 0 L R האם זו ההסתברות ) התשובה היא לא כי הסתברות שבין פריטים שהוצאו ישנם בדיוק מתייחסת לסדר מסוים של פריטים שהוצאו פריטים מיוחדים? כדי לקחת בחשבון את כל הסדרים האפשריים, יש להכפיל את התוצאה במספר אופציות לסדר פריטים מיוחדים ו ) פריטים רגילים בשורה מספר זה ניתן על ידי הנוסחא!, )! זהו השלב השלישי סך הכל, ), ) L R ~ Hy,, נוסחא שקיבלנו היא פונקצית הסתברות של משתנה היפרגיאומטרי בהתאם להגדרה 57 ) הערה R5 ניתן לפרש את הנוסחא עבור פריטים מתוך פריטים שבאוסף כלומר, באופן הבא המספר גודל של מרחב המדגם) הוא מספר האופציות להוציא הכפל הוא מספר ) פריטים רגילים האופציות להוציא פריטים מיוחדים מתוך מיוחדים שבאוסף וגם רגילים שבאוסף שימוש בגישה קלאסית להסתברות מביא את הנוסחא עבור מתוך ) ) שאלה L59 כד מכיל כדורים לבנים ו כדורים שחורים איך מפולגים משתנים מקריים הבאים: {מספר הכדורים השחורים במדגם של כדורים שנבחרו מקרית עם החזרה} {מספר הכדורים השחורים במדגם של כדורים שנבחרו מקרית בלי החזרה} {מספר הכדורים שנבחרים אחד אחד עם החזרה עד אשר יתקבל הכדור השחור הראשון} א ב ג פתרון א ב משתנה מקרי הוא מספר ההצלחות כאו, הצלחה היא הוצאת כדור שחור) בסדרה של ~ Bi, 5 ~ Hy 5,, שלושה ניסוי ברנולי בלתי תלויים כתוצאה, ) בהתאם לפיתוח בסעיף 56, ג משתנה מקרי הוא מספר ניסוי ברנולי עד ההצלחה הראשונה כתוצאה, ~ G 5 L-50 Ters of Use: veryoe is allowed to use these course aterials for free rovided the author's coyright otice is et ugee Kazieer All rights reserved, 005/06) o art of the lecture otes ad other accoayig aterials ay be reroduced or stored i a retrieval syste other tha at htt://wwwhitacil/staff/azieer, coied or trasitted i ay for or by ay eas without the rior erissio of the author

16 ~ Hy,, ) [ ] 56 תוחלת ושונות טענה תוחלת של משתנה מקרי הוכחה תינתן בהרצאה מס' 6 ~ Hy,, טענה שונות של משתנה מקרי var[ ] הוכחה תינתן בהרצאה מס' 6 התפלגות היפרגיאומטרית שלילית [egative Hyergeoetric distributio] משתנה היפרגיאומטרי שלילי 57 57,,, +,, - + ~ eghy ;, ) הגדרה 58 משתנה היפרגיאומטרי שלילי הוא משתנה בדיד אשר מקבל את הערכים בעל פרמטרים < בהסתברויות x ) ) 57 מתי התפלגות היפרגיאומטרית שלילית מופיעה? < נתבונן באוסף של פרטים כדורים) בה פרטים בעלי תכונה מסוימת פריטים ''מיוחדים'', לצורך הדוגמא כדורים אדומים) ושאר הפרטים הם ''רגילים'' למשל, כדורים שחורים) אנחנו מוציאים פריטים אחד אחד וללא החזרה עד אשר יתקבל הפריט המיוחד ה כאן, ) מהי ההסתברות להגיע לפריט המיוחד ה בהוצאה ה? {מספר הוצאות הפריטים עד הוצאת הפריט המיוחד ה { ונחשב את נגדיר משתנה מקרי פונקצית ההסתברות שלו,, הערך המינימלי ) מתאים הערכים האפשריים של הם + למצב בו כל הפריטים הראשונים שהוצאו הם פריטים מיוחדים הערך המירבי ) מתאים למצב בו אנחנו מוציאים כל הפריטים הרגילים + ) במספר) ורק לאחר מכן מוציאים פריטים מיוחדים ) א ב פונקצית ההסתברות אפשר להסתכל על המאורע היא הסתברות להגיע לפריט המיוחד ה בהוצאה ה כעל מילוי של תאים באמצעות פרטי האוסף ) { } כך שהתא ה על ידי ציור) יהיה שמור לפריט המיוחד ה, כאשר פריטים מיוחדים ו התאים הקודמים תפוסים פריטים רגילים ראה/י Ters of Use: veryoe is allowed to use these course aterials for free rovided the author's coyright otice is et ugee Kazieer All rights reserved, 005/06) o art of the lecture otes ad other accoayig aterials ay be reroduced or stored i a retrieval syste other tha at htt://wwwhitacil/staff/azieer, coied or trasitted i ay for or by ay eas without the rior erissio of the author L-5

17 התא ה פריט מיוחד ה פריט רגיל פריט רגיל תאים עם פריט מיוחד שני פריט רגיל פריט מיוחד ראשון פריט רגיל פריטים מיוחדים ו ) פריטים רגילים נתייחס למילוי של הראשונים באמצעות תאים כמו לניסוי דו שלבי ) פריטים מיוחדים ו הראשון ניתנת על ידי התפלגות היפרגיואמטרית: בשלב הראשון, אנחנו ממלאים התאים פריטים רגילים הסתברות לביצוע השלב בשלב השני, אנחנו ממלאים את התא האחרון ה להסתברות מביאה את הסתברות השלב השני: באמצעות הפריט המיוחד גישה קלאסית ) ) על פי עיקרון הכפל, ) ) ) ניתן לפשט את התשובה עד הנוסחא הבאה: ),, כאן, + נוסחא שקיבלנו היא פונקצית הסתברות של משתנה היפרגיאומטרי שלילי בהתאם להגדרה 58 ~ eghy ;, ) הערה R54 ניתן לראות כי פונקציות הסתברות עבור משתנה מקרי בינומי שלילי והיפרגיאומטרי שלילי מכילות אותו מקדם 57 תוחלת ושונות ~ eghy ;, טענה תוחלת של משתנה מקרי [ ] + + הוכחה תינתן בהרצאה מס' 6 L-5 Ters of Use: veryoe is allowed to use these course aterials for free rovided the author's coyright otice is et ugee Kazieer All rights reserved, 005/06) o art of the lecture otes ad other accoayig aterials ay be reroduced or stored i a retrieval syste other tha at htt://wwwhitacil/staff/azieer, coied or trasitted i ay for or by ay eas without the rior erissio of the author

18 טענה שונות של משתנה מקרי var[ ~ eghy ;, ) + ] הוכחה תינתן בהרצאה מס' 6 התפלגות פואסון distributio] [oisso פונקצית הסתברות > 0 ~ ) הגדרה 59 משתנה פואסון בהסתברויות בעל פרמטר הוא משתנה בדיד אשר מקבל את הערכים x ) ) e! 0,, האירועים בפרק זמן נתון מסוים הערה R55 התפלגות פואסון מתאר מספר התרחשויות בזרם אירועים פואסוני בזרם מתרחשים ללא תלות ובאחידות בזמן דוגמאות קלאסיות של תופעות אקראיות המתאורות על ידי זרם אירועים פואסוני הן: א ב מספר פניות למוקד טלפוני בפרק זמן מסוים מספר התפרקויות הגרעינים של חומר רדיואקטיבי בפרק זמן נתון [ ] ~ ) 58 תוחלת ושונות טענה תוחלת של משתנה מקרי הוכחה הגדרת תוחלת מביאה: [ ] x x) x e e 0! )! באמצעות החלפת אינדקס הסכום סוף הוכחה מגיעים ל 0! [ ] e e בהתפלגות פואסון ) ~ הפרמטר הוא "ממוצע" הערה R56 מהחישוב נובעת משמעות הפרמטר התרחשויות בפרק זמן נתון טענה שונות של משתנה מקרי ~ ) var[ ] L-5 Ters of Use: veryoe is allowed to use these course aterials for free rovided the author's coyright otice is et ugee Kazieer All rights reserved, 005/06) o art of the lecture otes ad other accoayig aterials ay be reroduced or stored i a retrieval syste other tha at htt://wwwhitacil/staff/azieer, coied or trasitted i ay for or by ay eas without the rior erissio of the author

19 var[ ] [ ] {[ ] [ ] [ ] x x) e x 0! הוכחה על פי הגדרת שונות, יש לחשב את התוחלת S ) 0! נתבונן בטור קל לראות כי d d 0! 0! d d 0! 0! א ב d d d d S ) e d d 0! d d e d d [ ] e S ) + ) var[ ] [ ] שילוב הנוסחאות מראה כי e ) + ) e כתוצאה, כך ש סוף הוכחה טלפון מתפלג פואסונית עם ממוצע של 5 פניות שאלה L50 אם ידוע שמספר פניות בדקה למודיעין של שירותי בדקה אחת, מהי ההסתברות א ב ג ד שבין השעה 0:00 ל 0:0 לא תתקבל אף פנייה? שבדקה הזאת יתקבלו לכל היותר פניות? שבמשך דקות לא תכנס אף שיחה? שבשעה הראשונה יכנסו שיחות? ~ 5) א ב פתרון יהיה משתנה מקרי {מספר פניות בדקה אחת} על פי נתוני השאלה, ) e e! 0 5 0) e 0! 5 0) e! ) e! 5 ) ) ג יהיה משתנה מקרי {מספר פניות במשך שתי דקות} על פי נתוני השאלה, ~ 0) L-54 Ters of Use: veryoe is allowed to use these course aterials for free rovided the author's coyright otice is et ugee Kazieer All rights reserved, 005/06) o art of the lecture otes ad other accoayig aterials ay be reroduced or stored i a retrieval syste other tha at htt://wwwhitacil/staff/azieer, coied or trasitted i ay for or by ay eas without the rior erissio of the author

20 0 0 0) e 0! {מספר פניות במשך שעה אחת} ד יהיה משתנה מקרי על פי נתוני השאלה, 00 4)! 00 e ~ 00) 50 נוסחאות הסתברותיות מקורבות >>, מתקיים: Γ + ) π נוסחת סטירלינג forula] [Stirlig 50 טענה נוסחת סטירלינג) עבור חיובי גדול מאוד, + e + O )) כל הקירובים בהמשך מתבססים על נוסחא זו ~ Hy,, ) 50 קירוב בינומי להתפלגות היפרגיאומטרית טענה יהיה הסתברויות מדויקת) משתנה מקרי היפרגיאומטרי המתואר על ידי פונקצית x ) ) כאלה ש ) >> ו >> ו עבור כל סופי ופרמטרים ערך קבוע, מתקיימת נוסחא מקורבת: גדולים מאוד מקבל x ) ) כאן, << < )!! הוכחה באמצעות נוסחת סטירלינג, ניתן לוודא כי! )!!! )!! ו עבור << עבור מתקיים: << מתקיים: עבור << < קבוע מתקיים: שילוב של שלוש נוסחאות מקורבות אלו מביא: כתוצאה, Ters of Use: veryoe is allowed to use these course aterials for free rovided the author's coyright otice is et ugee Kazieer All rights reserved, 005/06) o art of the lecture otes ad other accoayig aterials ay be reroduced or stored i a retrieval syste other tha at htt://wwwhitacil/staff/azieer, coied or trasitted i ay for or by ay eas without the rior erissio of the author L-55

21 x ) ) סוף הוכחה הערה R57 ו גדולים מאוד, הוצאה ללא החזרה של מספר סופי משמעות הקירוב ברורה לחלוטין: עבור אין כתוצאה, של פריטים מהאוסף כמאת לא משפיעה על פרופורצית הפריטים המיוחדים באוסף הבדל משמעותי בין הוצאה ללא ועם החזרה במילים אחרות, בתנאי הטענה מתקיים: Hy,, ) Bi, 50 קירוב בינומי שלילי להתפלגות היפרגיאומטרית שלילית ~ eghy ;, טענה יהיה משתנה מקרי היפרגיאומטרי שלילי, הסתברות בעל פונקצית x ) ) ו גדולים מאוד ) >> ו >> עבור כל סופי ופרמטרים מקבל ערך קבוע, מתקיימת נוסחא מקורבת: כאלה ש x ) ) כאן, << < הוכחה: באמצעות נוסחת סטירלינג הערה R58 משמעות הקירוב ברורה גם כן: עבור ו גדולים מאוד, הוצאה ללא החזרה של מספר סופי של פריטים מהאוסף כמאת לא משפיעה על פרופורצית הפריטים המיוחדים באוסף כתוצאה, אין הבדל משמעותי בין הוצאה ללא ועם החזרה במילים אחרות, בתנאי הטענה מתקיים: eghy ;, ) egbi, 504 קירוב פואסון להתפלגות בינומית ~ Bi, ) טענה יהיה משתנה מקרי בינומי, בעל פונקצית הסתברות x ) ) ) << ) >> ) עבור הפרמטר גדול מאוד מקבל ערך קבוע, מתקיימת נוסחא מקורבת: והפרמטר קטן מאוד כאלה שהכפל x ) e! כאן, << L-56 Ters of Use: veryoe is allowed to use these course aterials for free rovided the author's coyright otice is et ugee Kazieer All rights reserved, 005/06) o art of the lecture otes ad other accoayig aterials ay be reroduced or stored i a retrieval syste other tha at htt://wwwhitacil/staff/azieer, coied or trasitted i ay for or by ay eas without the rior erissio of the author

22 כאלה שהכפל << ) << הוכחה באמצעות נוסחת סטירלינג, ניתן לוודא כי עבור מתקיים:!! ) >> ופרמטר )!! כמו כן, עבור פרמטר גדול מאוד מקבל ערך קבוע, מתקיים: קטן מאוד ) e ) e! שילוב של שתי נוסחאות מקורבות אלו מביא: x ) e! e! כתוצאה, סוף הוכחה ) Bi, ) הערה R59 במילים אחרות, בתנאי הטענה מתקיים: המדויקת והמקורבת של קירוב פואסון להתפלגות שאלה L5 בצע/י השוואה כמותית של שתי נוסחאות בינומית עבור, 00 ו 00 exact 97 ) 00) 098) פתרון נוסחא מדויקת מביאה arox בנוסחא מקורבת פרמטר כך ש! ) e 0 80 אפשר לכמת דיוק הקירוב באחוזים) על ידי הפרמטר α exact exact arox % Ters of Use: veryoe is allowed to use these course aterials for free rovided the author's coyright otice is et ugee Kazieer All rights reserved, 005/06) o art of the lecture otes ad other accoayig aterials ay be reroduced or stored i a retrieval syste other tha at htt://wwwhitacil/staff/azieer, coied or trasitted i ay for or by ay eas without the rior erissio of the author L-57