Καταστατικά προσοµοιώµατα Ω.Σ. για πεπερασµένα στοιχεία µε θεώρηση διανεµηµένης ρωγµής.

Transcript

1 Καταστατικά προσοµοιώµατα Ω.Σ. για πεπερασµένα στοιχεία µε θεώρηση διανεµηµένης ρωγµής. Κ. Β. Σπηλιόπουλος, Πολιτικός Μηχανικός ΕΜΠ, Επίκ. Καθηγητής ΕΜΠ Γ. Χ. Λυκίδης Πολ. Μηχ/κός ΕΜΠ, Υποψήφιος ιδάκτωρ Σχολής Πολιτικών Μηχανικών ΕΜΠ Λέξεις κλειδιά: πεπερασµένα στοιχεία, σκυρόδεµα, µέθοδος διανεµηµένης ρωγµής ΠΕΡΙΛΗΨΗ: Η δηµοφιλέστερη προσοµοίωση φορέων Ω.Σ. µε δισδιάστατα ή τρισδιάστατα πεπερασµένα στοιχεία είναι µε χρήση της µεθόδου της διανεµηµένης ρηγµάτωσης. Η συγκεκριµένη µέθοδος έχει χρησιµοποιηθεί µε διάφορους τρόπους από τους ερευνητές προκειµένου να δώσει ακριβή και αντικειµενικά αποτελέσµατα. Στην εργασία αυτή, αφού παρουσιάζεται βιβλιογραφική διερεύνηση των διαφόρων προσεγγίσεων, γίνεται µια απόπειρα σύγκρισης των προσοµοιωµάτων µέσα από δυο εφαρµογές ανάλυσης δοκών. 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η προσοµοίωση κατασκευών από ωπλισµένο σκυρόδεµα µε την µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων αποτελεί αντικείµενο έρευνας εδώ και αρκετές δεκαετίες. Κύριος στόχος των ερευνητών είναι η ακριβής προσοµοίωση της εντόνως µη γραµµικής συµπεριφοράς του σκυροδέµατος κατά την θραύση, προκειµένου να είναι δυνατή η πρόβλεψη των φορτίων κατάρρευσης κατασκευών στις οποίες αυτή έχει την µεγαλύτερη επιρροή στην οριακή κατάσταση αστοχίας. Οι πρώτες εφαρµογές περιορίζονταν σε δισδιάστατα προσοµοιώµατα και µονοτονικές φορτίσεις, σηµαντικά βήµατα όµως έχουν γίνει έκτοτε για τον προσδιορισµό της τριαξονικής συµπεριφοράς του σκυροδέµατος υπό οποιαδήποτε τυχούσα ιστορία φόρτισης. εδοµένου του µεγάλου αριθµού προσοµοιώσεων που προτείνεται στην βιβλιογραφία, δεν είναι ακόµα ξεκάθαρο ποια µέθοδος είναι ρεαλιστικότερη από τις υπόλοιπες. Η κάθε ερευνητική οµάδα επιδιώκει την επιβεβαίωση του προσοµοιώµατος που αυτή προτείνει και µόνο, παρουσιάζοντας ένα αριθµό επιτυχηµένων αναλύσεων που βρίσκονται κοντά στις πειραµατικές δοκιµές. Είναι έτσι σαφές ότι µια συγκριτική αποτίµηση των διαφόρων προσοµοιωµάτων δεν είναι εύκολο να διεξαχθεί. Εξάλλου, µια απόπειρα ενσωµάτωσης πολλών προσοµοιωµάτων στον ίδιο κώδικα πεπερασµένων στοιχείων είναι ιδιαίτερα δύσκολη δεδοµένου ότι οι διαδικασίες που προτείνονται για την προσοµοίωση της ρηγµάτωσης ξεφεύγουν κατά πολύ από τους κλασσικούς αλγόριθµους µη γραµµικής ανάλυσης µε πεπερασµένα στοιχεία κατά τους οποίους ένα µοντέλο υλικού εισάγεται απλά µέσω κάποιας καταστατικής σχέσης τάσεων - παραµορφώσεων. Η εργασία αυτή έχει ως στόχο, την διερεύνηση των διαφόρων προσεγγίσεων προκειµένου να διαµορφωθεί µια εικόνα σχετικά µε το τι δυνατότητες υπάρχουν µέσα από την µη γραµµική ανάλυση φορέων σκυροδέµατος µε δισδιάστατα ή τρισδιάστατα πεπερασµένα στοιχεία. Είναι σαφές ότι η επιδίωξη λεπτοµερούς αποτύπωσης της συµπεριφοράς και της καταλληλότητας του κάθε προσοµοιώµατος σε σχέση µε τα υπόλοιπα θα ήταν υπερβολικά αισιόδοξη. Κατά συνέπεια η παρούσα εργασία περιορίζεται σε µια ενδεικτική αναφορά των προσεγγίσεων που έχουν παρουσιαστεί στην βιβλιογραφία ακολουθούµενη από µια απόπειρα σύγκρισης του

2 προσοµοιώµατος που πιστεύεται από τους συγγραφείς ότι είναι πιο εύχρηστο σε σχέση µε τα υπόλοιπα. 2 ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΟΡΕΩΝ ΩΠΛΙΣΜΕΝΟΥ ΣΚΥΡΟ ΕΜΑΤΟΣ ΜΕ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ 2.1 Γενικά Τα πρώτα βήµατα ανάλυσης φορέων ΩΣ µε χρήση πεπερασµένων στοιχείων έγιναν από τους Ngo & Scordelis (1967), τον Nilson (1968) (θεώρηση διακριτής ρωγµής) και τον Rashid (1968) (θεώρηση διανεµηµένης ρωγµής). Με χρήση δισδιάστατων πεπερασµένων στοιχείων και µοντέλων προσοµοίωσης βασισµένα σε απλές καταστατικές σχέσεις τάσεων παραµορφώσεων, έγιναν οι πρώτες απόπειρες τέτοιου είδους αριθµητικών προσεγγίσεων. Το 1976, ο Bazant έδειξε ότι η ύπαρξη ρωγµών στο σκυρόδεµα δεν είναι συµβατή µε τις παραδοχές της κλασσικής µηχανικής συνεχούς µέσου και µε το επιχείρηµα αυτό δικαιολόγησε τα προβλήµατα που αντιµετώπιζαν την εποχή εκείνη στις αναλύσεις κατασκευών από σκυρόδεµα µε χρήση πεπερασµένων στοιχείων. Στην εργασία του, δέχεται την ύπαρξη φθιτού κλάδου στην σχέση τάσεων παραµορφώσεων του σκυροδέµατος και περιγράφει µια απλή δοκιµή σκυροδέµατος σε θλίψη εισάγοντας την έννοια της συγκέντρωσης της παραµόρφωσης (strain localization) δηλαδή το φαινόµενο κατά το οποίο η παραµόρφωση τείνει να συγκεντρωθεί σε µια µικρή περιοχή l 1 ενός δοκιµίου µήκους L. Σχ. 1: οκίµιο σκυροδέµατος σε θλίψη όπως παρουσιάστηκε από τον Bazant (1976) Σχ. 2: οκίµιο σκυροδέµατος σε εφελκυσµό όπως παρουσιάστηκε από τους Bazant & Cedolin (1991). Θεωρώντας ένα κυλινδρικό δοκίµιο σε θλίψη (Σχ. 1), παρατηρείται ότι η έναρξη της ρηγµάτωσης (στην κορυφή της σχέσης σ ε) δηµιουργεί µια ζώνη (µήκους 2l 1 ) συγκέντρωσης των παραµορφώσεων µε ταυτόχρονη αποφόρτιση του υπόλοιπου δοκιµίου µήκους l 2 προκειµένου να διατηρείται η ισορροπία. Από τον υπολογισµό του έργου που πρέπει να χορηγηθεί στο σύστηµα προκειµένου να εξελιχθεί η παραµορφωσιακή εικόνα του δοκιµίου προκύπτει µια συνθήκη αστάθειας η οποία στον ανερχόµενο κλάδο (E T > 0) δεν µπορεί να ικανοποιηθεί για οποιοδήποτε θετικό l 1 και συνεπώς υπάρχει ευστάθεια. Όταν η κεντρική περιοχή (εκεί όπου παρατηρείται η λεγόµενη συγκέντρωση της παραµόρφωσης) προχωρήσει στον φθιτό κλάδο, για αρκετά µικρό l 1 προκύπτει αστάθεια. Σε µια εφελκυστική δοκιµή ενός ψαθυρού υλικού (Σχ. 2) το φαινόµενο γίνεται ευκολότερα κατανοητό δεδοµένου ότι η συγκέντρωση της παραµόρφωσης τελικώς αποτελεί την περιοχή της διαίρεσής του δοκιµίου από µια και µοναδική ρωγµή (Bazant & Cedolin 1991). Η διαπίστωση αυτή οδηγεί στο συµπέρασµα πως σε συνεχές µέσο, ο φθιτός κλάδος είναι αδύνατος. Ο Bazant χρησιµοποιώντας την παραπάνω ανάλυση της συγκέντρωσης και µε βάση

3 τους φθιτούς κλάδους που παρουσιάζουν διάφορα ψαθυρά υλικά (όπως το σκυρόδεµα και ο βράχος) σε αντίστοιχες δοκιµές, καταλήγει στο συµπέρασµα ότι η προσοµοίωση των υλικών αυτών µε τις κλασικές παραδοχές του συνεχούς µέσου είναι λαθεµένη. Εφόσον η παραδοχή ενός συνεχούς µέσου δεν είναι συµβατή µε τον φθιτό κλάδο, είναι προτιµότερο να χρησιµοποιήσει κανείς την σχέση µεταξύ τάσεων µετατοπίσεων που να αντιστοιχεί σε κάποιο συγκεκριµένο χαρακτηριστικό πλάτος, παρά αυτή των τάσεων παραµορφώσεων για την περιγραφή του. Όταν η ζώνη συγκέντρωσης της ρηγµάτωσης γίνει πολύ µικρή, ουσιαστικά δηµιουργείται µια ασυνέχεια του µετατοπισιακού πεδίου ακριβώς όπως γίνεται κατά την ψαθυρή θραύση. Συνεπώς σε αρκετά µεγάλες κατασκευές η ρηγµάτωση προτείνεται να αντιµετωπίζεται µε βάση την θεωρία της Γραµµικώς Ελαστικής Μηχανικής Θραύσεως (ΓΕΜΘ, Linear Elastic Fracture Mechanics, LEFM) κατά την οποία χρησιµοποιούνται κάποιοι συντελεστές έντασης (intensity factors) προκειµένου να αντιµετωπιστούν οι απροσδιοριστίες (singularities) στα άκρα µιας ρωγµής. Για µικρότερες κατασκευές ωπλισµένου σκυροδέµατος, όπου η παραµόρφωση δεν µπορεί να συγκεντρωθεί σε απείρως µικρές περιοχές λόγω του πεπερασµένου µεγέθους του αδρανούς και των οπλισµών, οι παραδοχές των φθιτών κλάδων είναι, µε βάση τον Bazant, προτιµότερες. εδοµένου ότι η απώλεια ενέργειας ανά µονάδα όγκου είναι πεπερασµένη, η συγκέντρωση του βαθµού της βλάβης του υλικού σε µια ζώνη µηδενικού όγκου οδηγεί λαθεµένα σε αστοχία µε µηδενική απώλεια ενέργειας. Γι αυτό ακριβώς τον λόγο, οι συνήθεις προσεγγίσεις µε πεπερασµένα στοιχεία και θεωρήσεις κλασσικής µηχανικής συνεχούς µέσου παραβιάζουν την αρχή της αντικειµενικότητας (principle of objectivity) εφόσον όσο το µέγεθος του δικτύου µικραίνει, το φορτίο κατάρρευσης ελαττώνεται χωρίς να συγκλίνει σε µια τιµή (είτε θεωρηθεί απότοµος µηδενισµός της τάσης κάθετα στην ρωγµή, είτε σταδιακός µηδενισµός µε χρήση ενός φθιτού κλάδου). Για παράδειγµα σε ένα επίπεδο στοιχείο άοπλου σκυροδέµατος (Σχ. 3), η ρηγµάτωση συγκεντρώνεται σε µια ζώνη που έχει πάντα πλάτος όσο αυτό του πεπερασµένου στοιχείου που επιλέγεται, µε αποτέλεσµα όσο αυτό τείνει στο µηδέν (µε πύκνωση του δικτύου) το ίδιο να συµβαίνει και στην ζώνη της ρηγµάτωσης (Bazant & Cedolin 1980, 1979). Σχ. 3: Εξάρτηση φορτίου κατάρρευσης από το µέγεθος του πεπερασµένου στοιχείου (Bazant, 1976) Σχ. 4: Μορφές Ι, ΙΙ, ΙΙΙ επέκτασης ρηγµάτωσης. Οι αστάθειες της συγκέντρωσης της παραµόρφωσης οδήγησαν την ακαδηµαϊκή κοινότητα στην χρήση είτε µαθηµατικών διατυπώσεων της καταστατικής σχέσης για συγκεκριµένο όγκο συνεχούς µέσου από πειραµατικά αποτελέσµατα, είτε στην χρήση εννοιών της µηχανικής θραύσεως.

4 2.2 Η Γραµµικώς Ελαστική Μηχανική Θραύσεως Η Γραµµικώς Ελαστική Μηχανική Θραύσεως (ΓΕΜΘ) αποτέλεσε το πρώτο βήµα προσοµοίωσης των προβληµάτων που προέκυπταν από τις έντονες ασυνέχειες που προκαλεί η ρηγµάτωση. Σε µία εφελκυστική εντατική κατάσταση, η τάση στο άκρο µιας ρωγµής τείνει στο άπειρο εάν το υλικό θεωρηθεί ελαστικό. Οι αρχές της ΓΕΜΘ αναπτύχθηκαν προκειµένου να υπάρξουν τεχνικές για την πρόβλεψη της επέκτασης µιας ρωγµής. Ο Irwin (1956), βασισµένος στην θεώρηση του Griffith (1920) (Anderson 1995), πρότεινε την χρήση του µέτρου απελευθέρωσης ενέργειας G το οποίο είναι ίσο µε το µέτρο της ενέργειας που είναι διαθέσιµη για την επέκταση της ρωγµής και είναι συνάρτηση του φορτίου (ή της επιβαλλόµενης µετατόπισης), του µήκους της ρωγµής, της γεωµετρίας της κατασκευής καθώς και των συνοριακών συνθηκών στήριξης. Τo κριτήριο για έναρξη της θραύσεως ενός ιδεωδώς ψαθυρού σώµατος µπορεί να οριστεί ως G=G f (η επέκταση της ρωγµής θα συµβεί όταν το G φτάσει µια κρίσιµη τιµή η οποία αποτελεί και σταθερά του υλικού). Η παραπάνω σχέση µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως κριτήριο αστοχίας για γραµµικώς ελαστικά υλικά (οποιαδήποτε επέκταση µιας αρχικής ρωγµής οδηγεί σε καταστροφική αστοχία της κατασκευής όταν αυτή είναι κατασκευασµένη από τέτοιου είδους υλικό). Μια εναλλακτική προσέγγιση είναι µε χρήση των συντελεστών εντάσεως Κ Ι, Κ ΙΙ, Κ ΙΙΙ οι οποίοι δίνουν το πεδίο των τάσεων στην γειτονική περιοχή της ρωγµής ανάλογα µε την µορφή της (Σχ. 4). Θεωρώντας την άκρη µιας ρωγµής σε µια απείρου µήκους πλάκα ενός ισότροπου οµογενούς σώµατος, το πεδίο των τάσεων είναι συνάρτηση των συντελεστών έντασης Κ Ι, Κ ΙΙ και Κ ΙΙΙ για κάθε µορφή ρηγµάτωσης (Cotterell & Mai 1996 και Shah et al 1995). Εκφράσεις των συντελεστών έντασης για συγκεκριµένες µορφές προβληµάτων µπορούν να προκύψουν εύκολα (Anderson 1995). Το κριτήριο για την επέκταση της ρηγµάτωσης παίρνει πια την µορφή K I = K Ic, K II = K Iic και K III = K IIIc, δηλαδή µια ρωγµή επεκτείνεται όταν οι συντελεστές έντασης γίνουν ίσοι µε κάποιες κρίσιµες τιµές (παρόµοια µε το κριτήριο του µέτρου απελευθέρωσης της ενέργειας). Σε όλες τις µορφές υπάρχει κάποια απροσδιοριστία 1/r στην σχέση που δίνει τις τάσεις για την περιοχή γύρω από την άκρη της ρωγµής (µε r την απόσταση του σηµείου που εξετάζεται από το άκρο). Η απροσδιοριστία αυτή δείχνει ότι για γραµµικώς ελαστικά υλικά, η τάση στην αντίστοιχη περιοχή είναι άπειρη. Είναι φανερό ότι κάτι τέτοιο δεν µπορεί να συµβεί δεδοµένου ότι η αντοχή των υλικών έχει πάντα µια πεπερασµένη τιµή. Εποµένως η περιοχή της απροσδιοριστίας παρουσιάζει κάποια µη γραµµικότητα που εξαρτάται από την συµπεριφορά του υλικού. Αυτή η περιοχή, η οποία ονοµάστηκε Ζώνη Επέκτασης της Ρηγµάτωσης (ΖΕΡ, Fracture Process Zone FPZ), µεγαλώνει µε την αύξηση του φορτίου έως ότου η ρωγµή αρχίζει να επεκτείνεται. Το 1976 οι Hillerborg et al µελέτησαν την συµπεριφορά της ΖΕΡ σε σχετικά µεγάλων διαστάσεων κατασκευές όπου η ΓΕΜΘ µπορεί να εφαρµοστεί και στην συνέχεια ανέπτυξαν το Προσοµοίωµα Εικονικής Ρωγµής (Fictitious Crack model FCM) το οποίο αποτελεί και το απλούστερο µη γραµµικό προσοµοίωµα διακριτής θραύσης. Η ρωγµή προσοµοιώνεται από µια ζώνη παραµορφωσιακής χαλάρωσης (strain softening) µε συνεκτικές επικόµβιες δυνάµεις. 2.3 Η µέθοδος της διανεµηµένης ρωγµής Από τις σηµαντικότερες προσεγγίσεις για την προσοµοίωση της θραύσης του σκυροδέµατος αποτελεί το µοντέλο διανεµηµένης ρωγµής (Rashid 1968). Η προσέγγιση αυτή υιοθετήθηκε άµεσα από πολλούς ερευνητές (Darwin & Pecknold 1977, Bazant 1976, Meyer & Bathe 1982 και Balakrishnan & Murray 1988). Η προσοµοίωση της ρηγµάτωσης γίνεται µε αλλαγή των καταστατικών ιδιοτήτων των πεπερασµένων στοιχείων στα σηµεία ολοκλήρωσης Gauss έτσι ώστε µια ρωγµή σε ένα από αυτά

5 να είναι ισοδύναµη µε έναν άπειρο αριθµό µικρορηγµατώσεων διανεµηµένων σε όλο τον όγκο που αντιστοιχεί σε αυτό. Οι πρώτες αναλύσεις θεωρούσαν ότι η δυσκαµψία του υλικού µηδενίζεται κατά την κατεύθυνση της µέγιστης κύριας εφελκυστικής τάσης που ξεπερνάει την αντοχή του σκυροδέµατος σε εφελκυσµό. Από τότε, διαπιστώθηκαν διάφορα προβλήµατα στις εφαρµογές µε την συγκεκριµένη προσοµοίωση. Βασικότερα είναι αυτά που προκύπτουν από το φαινόµενο της συγκέντρωσης της παραµόρφωσης, το οποίο όπως περιγράφηκε παραπάνω µε βάση τον Bazant (1976) δεν είναι συµβατό µε τις παραδοχές του συνεχούς µέσου. Προκειµένου να ξεπερασθούν οι δυσκολίες, έχουν αναπτυχθεί διάφορες µέθοδοι περιορισµού της συγκέντρωσης (localization limiters). Οι µέθοδοι αυτές περιόρισαν τα προβλήµατα της εξάρτησης της λύσης από το µέγεθος του δικτύου των πεπερασµένων στοιχείων (spurious mesh sensitivity) περιορίζοντας το πρόβληµα της αντικειµενικότητας. Η επιρροή του φαινοµένου αυτού δεν είναι έντονη όταν η συµπεριφορά του φορέα εξαρτάται κυρίως από τον οπλισµό και όχι από την ρηγµάτωση του σκυροδέµατος (Dodds et al 1984). Για φορείς ωπλισµένου σκυροδέµατος, ο οπλισµός δεν παρουσιάζει παραµορφωσιακή χαλάρωση και συνεπώς το πρόβληµα της εξάρτησης από το µέγεθος του πεπερασµένου στοιχείου περιορίζεται. Λόγω της ύπαρξης του οπλισµού, η λύση αγνοώντας την αντοχή του σκυροδέµατος σε εφελκυσµό είναι σχεδόν ίδια µε αυτή που προκύπτει λαµβάνοντας υπόψη την παραµορφωσιακή χαλάρωση. 2.4 Μέθοδοι περιορισµού των προβληµάτων της συγκέντρωσης της παραµόρφωσης Προκειµένου να ξεπερασθεί η έλλειψη αντικειµενικότητας χρησιµοποιούνται οι παρακάτω µέθοδοι περιορισµού της συγκέντρωσης: Προσοµοίωµα ζώνης ρηγµάτωσης (Crack Band Model) Οι Bazant & Oh (1983), εµπνευσµένοι από την αντιµετώπιση των Hillerborg et al (1976) ανέπτυξαν τον απλούστερο τρόπο περιορισµού του φαινοµένου της συγκέντρωσης. Χρησιµοποίησαν µια σχέση µεταξύ του µεγέθους του πεπερασµένου στοιχείου και του καταστατικού προσοµοιώµατος τέτοια ώστε η συνολική ενέργεια που καταναλώνεται να είναι ίση µε αυτή που αντιστοιχεί στο υλικό που προσοµοιώνεται. Αυτό επιτεύχθηκε εξαρτώντας την κλίση του φθιτού κλάδου του διαγράµµατος τάσεων παραµορφώσεων ή αντιστοίχως την αύξηση του ε f µε την ενέργεια θραύσεως G f και το µέγεθος του πεπερασµένου στοιχείου. Η διαδικασία αυτή ορίζεται ως µοντέλο ζώνης ρηγµάτωσης (crack band model) και έχει εκτεταµένα και µε επιτυχία χρησιµοποιηθεί (Rots 1985). Σχ. 5: (a) Επέκταση της ρηγµάτωσης σε δίκτυο πεπερασµένων στοιχείων, (b) Καταστατικές σχέσεις χαλάρωσης, (c) ιόρθωση για διατήρηση της απώλειας ενέργειας G f (Bazant & Cedolin 1991).

6 Με βάση το µοντέλο αυτό, µπορούν να προκύψουν συνθετότερα µοντέλα βασισµένα στις θεωρίες της πλαστικότητας και της βλάβης (plasticity and damage models). Τα µοντέλα αυτά µπορούν να εφαρµοστούν υπό τον όρο ότι η τοπική ενέργεια θραύσης G f συµπεριλαµβάνεται στις παραµέτρους του προσοµοιώµατος (Pramono & Willam 1987) Μη τοπικό συνεχές µέσο (Nonlocal Continuum) Α. Φαινοµενολογική προσέγγιση. Μια γενική µέθοδος περιορισµού της συγκέντρωσης παρέχεται από το µη τοπικό συνεχές µέσο. (Bazant et al 1984, Bazant & Jirasek 2002). Μη τοπικό συνεχές µέσο, είναι το µέσο στο οποίο κάποιες µεταβλητές προσδιορίζονται από τον µέσο όρο των τιµών της µεταβλητής σε µια πεπερασµένη γειτονιά ενός σηµείου (Σχ. 6a). Για παράδειγµα η µη τοπική µέση παραµόρφωση µπορεί να εκφρασθεί ως εξής: στην οποία ε 1 ( x) = a x s s dv s a x s s dv s V ε = ε V V r r ( x) ( ) ( ) ( ) '(, ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) και ( ) = ( ) V V x a x s dv s a' x, s a x s /( V, x) Σχ. 6: Θεώρηση µη τοπικού συνεχούς µέσου (ACI report 446, 1997) ε(x) είναι η παραµόρφωση σε ένα σηµείο του χώρου που ορίζεται από το διάνυσµα συντεταγµένων x, V είναι ο όγκος της κατασκευής και V r ο αντιπροσωπευτικός όγκος του υλικού στον οποίο αυτό µπορεί να θεωρηθεί συνεχές µέσο (το µέγεθος V r εξαρτάται από ένα χαρακτηριστικό µήκος που εξαρτάται από το υλικό), α είναι µια συνάρτηση βάρους που µηδενίζεται όσο αποµακρυνόµαστε από το x, η παύλα πάνω από τα µεγέθη δείχνει ότι αναφερόµαστε σε µέσες τιµές, ενώ s είναι το χωρικό διάνυσµα συντεταγµένων που χρησιµοποιείται για την ολοκλήρωση. Η απλούστερη µορφή της συνάρτησης βάρους είναι α = 1 για κάποιο συγκεκριµένο όγκο και α = 0 για τα σηµεία έξω από αυτόν. Για καλύτερη σύγκλιση µπορεί να χρησιµοποιηθεί µια συνάρτηση κωδωνοειδούς µορφής όπως φαίνεται στο Σχ. 6(c). Για τα σηµεία, των οποίων η απόσταση από τα εξωτερικά όρια είναι µεγαλύτερη από την ακτίνα που αντιστοιχεί στον όγκο V r (x) (Σχ. 6(b)), ο όγκος είναι σταθερός, διαφορετικά ο υπολογισµός της µέσης τιµής βγαίνει έξω από το υλικό. Συνεπώς σε αυτή την περίπτωση το V r (x)

7 πρέπει να υπολογιστεί για κάθε σηµείο λαµβάνοντας υπόψη την µοναδικά ορισµένη περιοχή στην οποία γίνεται η κατανοµή. Η προσέγγιση αυτή δίνει την δυνατότητα πύκνωσης του δικτύου ανάλογα µε την ακρίβεια που απαιτείται. εδοµένου ότι ο αντιπροσωπευτικός όγκος στον οποίο γίνεται η ολοκλήρωση εξαρτάται από το υλικό, η σύγκλιση σε µια ακριβή συνεχή λύση έχει φυσική έννοια και συνεπώς οι κατανοµές των τάσεων και των παραµορφώσεων µέσα στην ΖΕΡ µπορούν να προσδιοριστούν. Το µη τοπικό συνεχές προσοµοίωµα για παραµορφωσιακή χαλάρωση όπως περιγράφηκε από τους Bazant et al (1984) περιλαµβάνει µία µη τοπική µέση παραµόρφωση ε ως την βασική κινηµατική µεταβλητή. Αυτό αντιστοιχεί σε ένα σύστηµα αλληλοεπικαλυπτόµενων (κατά ένα συνεπή και συνεχή τρόπο) πεπερασµένων στοιχείων. Παρόλο που το προσοµοίωµα αυτό περιορίζει την συγκέντρωση της παραµορφωσιακής χαλάρωσης και εγγυάται αντικειµενικότητα σε σχέση µε το δίκτυο, η ενσωµάτωσή του σε κώδικα πεπερασµένων στοιχείων είναι δύσκολη λόγω της πολυπλοκότητας της µορφής των διαφορικών εξισώσεων ισορροπίας και συνοριακών συνθηκών (οι ενεργειακές εκφράσεις περιλαµβάνουν την µη τοπική παραµόρφωση ε ). Με βάση τις παραπάνω δυσκολίες προέκυψε η ιδέα του µερικώς µη τοπικού συνεχούς µέσου στο οποίο η τάση εκφράζεται από µια µη τοπική παραµόρφωση, αλλά οι τοπικές παραµορφώσεις παραµένουν ως έχουν ( nonlocal continuum with local strain ) (Bazant et al 1987, Bazant & Lin 1988). Με αυτό τον τρόπο είναι ευκολότερη η ενσωµάτωση της µεθόδου σε ένα κώδικα πεπερασµένων στοιχείων. Η έκφραση των καταστατικών σχέσεων της παραµορφωσιακής χαλάρωσης µεταβάλλεται ούτως ώστε όλες οι µεταβλητές που την χαρακτηρίζουν να υπολογίζονται από τις µη τοπικές αντί για τις τοπικές παραµορφώσεις. Απαιτείται δηλαδή απλά µια υπορουτίνα που να δίνει (για κάθε σηµείο ολοκλήρωσης σε κάθε κατεύθυνση) την τιµή της παραµόρφωσης ε για χρήση στο καταστατικό προσοµοίωµα. B. Προσέγγιση µικροµηχανικής. Ένα ακόµα µη τοπικό µοντέλο στερεών µε αλληλεπιδρώσες µικρορωγµές, στο οποίο η µη τοπικότητα εισάγεται µε βάση τις αλληλεπιδράσεις των µικρορωγµών είναι αυτό που ανέπτυξαν οι Bazant & Jirasek (Bazant 1994, Jirasek & Bazant 1994) και το οποίο εφαρµόστηκε στην ανάλυση του φαινοµένου κλίµακας και της συγκέντρωσης της βλάβης της ρωγµής. Το προσοµοίωµα αναπαριστά ένα σύστηµα ρωγµών που αλληλεπιδρούν µε χρήση µιας εξίσωσης µε ολοκληρώµατα, η οποία αντίθετα µε την φαινοµενολογική προσέγγιση αναπαριστά την αλληλεπίδραση µε έννοιες της µηχανικής θραύσεως. Σε µεγάλες αποστάσεις η συνάρτηση βάρους µηδενίζεται αντιστρόφως ανάλογα µε το τετράγωνο της απόστασης. Το προσοµοίωµα σε συνδυασµό µε το µοντέλο µικροεπιπέδων (microplane model, (Bazant & Prat 1988) έδωσε πολύ καλά αποτελέσµατα σε αναλύσεις µε πεπερασµένα στοιχεία (Bazant & Ozbolt 1990). Η προσέγγιση των µικροεπιπέδων παρουσιάζει ιδιαίτερη απλότητα δεδοµένου ότι αντιµετωπίζει την συµπεριφορά σε επίπεδο µικροµηχανικής. Το υλικό χαρακτηρίζεται από µια σχέση µεταξύ των τασικών και των παραµορφωσιακών συνιστωσών πάνω σε µικροεπίπεδα διαφόρων προσανατολισµών. Παρόλο που οι εφαρµογές έδωσαν ιδιαίτερα καλά αποτελέσµατα ακόµα και σε ανακυκλιζόµενες φορτίσεις, το υπολογιστικό κόστος ήταν κατά πολύ αυξηµένο σε σχέση µε τα µακροσκοπικά µοντέλα. Πέραν αυτού, απαιτείται επίσης και ένας αρκετά µεγάλος αριθµός σταθερών του υλικού, τις οποίες οι συγγραφείς προσδιορίζουν µέσα από τις εφαρµογές τους ώστε να προσεγγίσουν καλύτερα τις πειραµατικές καµπύλες. Σε γενικές γραµµές πάντως η συγκεκριµένη προσέγγιση θεωρείται από την ακαδηµαϊκή κοινότητα η πιο ακριβής και πιο ρεαλιστική (CEB report 1996, ACI 446 report 1997). Γ. Gradient models. Ένας ακόµα γενικός τρόπος να περιοριστεί η συγκέντρωση είναι µέσω µιας καταστατικής σχέσης η οποία περιλαµβάνει την τάση ως συνάρτηση όχι µόνο της παραµόρφωσης αλλά επίσης της 1 ης και 2 ης χωρικής παραγώγου (ή βαθµίδας) της παραµόρφωσης Bazant et al (1984). Ο προγραµµατισµός όµως που απαιτείται για την εισαγωγή της µεθόδου σε λογισµικό είναι αρκετά πιο πολύπλοκος δεδοµένου ότι απαιτεί την ύπαρξη συνέχειας µεταξύ των στοιχείων όχι

8 µόνο για τις µετατοπίσεις αλλά και για τις παραµορφώσεις δηµιουργώντας έτσι ανάγκη για χρήση πεπερασµένων στοιχείων ανώτερου βαθµού Χρήση σταθερού όγκου συνεχούς µέσου Πρόκειται για προσοµοιώµατα των οποίων οι καταστατικές σχέσεις έχουν προκύψει από πειραµατικές δοκιµές τριαξονικής έντασης. εδοµένου ότι τα δοκίµια και τα µηκυνσιόµετρα που χρησιµοποιήθηκαν είχαν συγκεκριµένες πεπερασµένες διαστάσεις, θεωρήθηκε ότι οι καταστατικές σχέσεις που προκύπτουν µπορούν να χρησιµοποιηθούν για αντίστοιχο όγκο υλικού προκειµένου να δώσουν ρεαλιστικά αποτελέσµατα. Ένα παράδειγµα τέτοιου προσοµοιώµατος είναι αυτό των Kotsovos & Pavlovic (1995). Βασίζεται σε εµπειρικές καταστατικές σχέσεις για το σκυρόδεµα κατά την µικρορηγµάτωση και σε µηδενισµό της µέγιστης κύριας εφελκυστικής τάσης κατά την µάκρορηγµάτωση. Η επιφάνεια αστοχίας έχει δοκιµαστεί εκτεταµένα µε επιτυχία σε δισδιάστατα και τρισδιάστατα πεπερασµένα στοιχεία των οποίων η περιοχή ενός σηµείου ολοκλήρωσης κυµαίνεται από 3 έως 7 cm (3 5 φορές την διάσταση ενός αδρανούς µε διάµετρο 12 mm). Η προσοµοίωση δεν απαιτεί πυκνότερο δίκτυο στις περιοχές που η εντατική κατάσταση είναι ιδιαίτερα πολύπλοκη (π.χ. στις στηρίξεις) και η χρήση µιας σταθερής διαστάσεως πεπερασµένων στοιχείων σε όλο τον φορέα θεωρείται επαρκής. Από τις αναλύσεις που διεξήχθησαν προέκυψε πως για τις συγκεκριµένες διαστάσεις σηµείων ολοκλήρωσης τα αποτελέσµατα είναι αντικειµενικά. 2.5 Προσοµοιώµατα καταστατικής συµπεριφοράς σκυροδέµατος Σε γενικές γραµµές, τα προσοµοιώµατα χρησιµοποιούν διαφορετική αντιµετώπιση για την περιγραφή του σκυροδέµατος σε θλίψη και εφελκυσµό (CEB report 1996). Στην περίπτωση του προσοµοιώµατος των Kotsovos & Pavlovic (1995) χρησιµοποιείται µια ενιαία αντιµετώπιση για την συµπεριφορά του υλικού υπό οποιαδήποτε εντατική κατάσταση υπό µονοτονικές όµως φορτίσεις. Συγκεντρωτικές περιγραφές των προσοµοιωµάτων σκυροδέµατος καθώς και της εξέλιξής τους µπορούν να βρεθούν στα ACI και CEB reports. Σε γενικές γραµµές τα περισσότερα µοντέλα είναι µακροσκοπικής περιγραφής και χρησιµοποιούν θεωρίες ελαστικότητας, πλαστικότητας ή βλάβης. Εξαίρεση αποτελεί το προσοµοίωµα των µικροεπιπέδων (microplane model) που αναφέρθηκε παραπάνω. Η συµπεριφορά του σκυροδέµατος υπό τριαξονική ένταση έχει διερευνηθεί πειραµατικά από διάφορα εργαστήρια. Οι µετρήσεις που προέκυψαν από τον Πανεπιστήµιο του Κολοράντο και το Imperial College στο Λονδίνο θεωρούνται από τις πιο αντιπροσωπευτικές (CEB Report 1996). Οι δοκιµές αυτές έγιναν µε έλεγχο των τάσεων και συνεπώς δεν δίνουν πληροφορίες για φθιτούς κλάδους χαλάρωσης. Η ύπαρξη του σταδιακώς φθίνοντος κλάδου στις διάφορες εφελκυστικές ή θλιπτικές δοκιµές χαρακτηρίζεται από ορισµένους ερευνητές ως αποτέλεσµα του τρόπου µε τον οποίο αυτές διεξάγονται (Kotsovos & Pavlovic 1995). Οι δυνάµεις περίσφιγξης από την τριβή στις πλάκες φόρτισης ενός δοκιµίου υπό θλιπτική ένταση δηµιουργεί την χαλάρωση που παρατηρείται στα περισσότερα πειράµατα. Στην περίπτωση που χρησιµοποιηθεί µια όσο το δυνατόν πιο λεία επιφάνεια φόρτισης, ο φθιτός κλάδος είναι σχεδόν κατακόρυφος (Kotsovos & Pavlovic 1995, Zisopoulos et al 2000). Η εφελκυστική συµβολή του χάλυβα στην δυσκαµψία του σκυροδέµατος (tension stiffening), δηλαδή το φαινόµενο περιορισµού του ρυθµού κατά τον οποίο η τάση κάθετα σε µια διανεµηµένη

9 ρωγµή µειώνεται, προσοµοιώνεται και αυτή µε φθιτούς κλάδους χαλάρωσης. Στις περιπτώσεις αυτές η µέγιστη παραµόρφωση επιβάλλεται να είναι πολύ µεγαλύτερη από αυτή που αντιστοιχεί στην χαλάρωση του σκυροδέµατος και κατά συνέπεια οι φθιτοί κλάδοι της κλασσικής συγκέντρωσης της παραµόρφωσης έχουν πολύ µικρή επιρροή στην συµπεριφορά του φορέα. 3 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥ ΣΕ ΦΟΡΕΙΣ Ω.Σ. Έχουν παρουσιαστεί διάφορες εφαρµογές της µεθόδου σε φορείς από σκυρόδεµα. Μια αναλυτική βιβλιογραφική έρευνα αυτών µπορεί να βρεθεί στην έκθεση της επιτροπής 446 του ACI (1996). Οι εφαρµογές περιλαµβάνουν: (α) Φορείς άοπλου σκυροδέµατος µε αστοχίες είτε σε εφελκυσµό είτε σε θλίψη, δοκοί που παρουσιάζουν ψαθυρή διατµητική αστοχία καθώς και άοπλα δοκίµια καµπτόµενων δοκών τριών σηµείων. (β) Φορείς ωπλισµένου σκυροδέµατος. Στην κατηγορία αυτή έχει παρουσιαστεί µεγάλη δυσκολία στην περιγραφή της αλληλεπίδρασης µεταξύ χάλυβα και σκυροδέµατος. Η προσοµοίωση αυτής όµως δεν παρουσιάζει µεγάλη επιρροή στις αναλύσεις σύµφωνα µε το ACI report 446 (1997). Επίσης η εισαγωγή του οπλισµού σε κάποιον φορέα σκυροδέµατος τον κάνει λιγότερο ευαίσθητο στην θραύση. Αυτό είχε ως αποτέλεσµα πολλές από τις αρχικές προσοµοιώσεις της θραύσης φορέων ωπλισµένου σκυροδέµατος να είναι ρεαλιστικές παρόλο που οι παραδοχές που είχαν γίνει για την προσοµοίωσή τους ήταν ιδιαίτερα χονδροειδείς. Παρ όλα αυτά η σωστή προσοµοίωση της θραύσης είναι αναγκαία δεδοµένου ότι δεν µπορεί κανείς εκ των προτέρων να ξέρει τον τρόπο µε τον οποίο θα αστοχήσει µια κατασκευή (αν θα είναι λόγω αστοχίας του σκυροδέµατος ή διαρροής του οπλισµού). Από τα γνωστότερα πακέτα λογισµικού που δίνουν την δυνατότητα ανάλυσης φορέων ωπλισµένου σκυροδέµατος µε δισδιάστατα και τρισδιάστατα πεπερασµένα στοιχεία είναι το ABAQUS ( το DIANA ( και το ATENA ( Τα πακέτα αυτά χρησιµοποιούν είτε την µέθοδο της διακριτής είτε την µέθοδο της διανεµηµένης ρωγµής χρησιµοποιώντας διάφορα µοντέλα προοδευτικής βλάβης ή πλαστικότητας για την συµπεριφορά του σκυροδέµατος. Σε αυτά υπάρχει η δυνατότητα για την προσοµοίωση φθιτών κλάδων συγκέντρωσης παραµόρφωσης ή εφελκυστικής συµβολής στην ακαµψία καθώς και για την προσοµοίωση του δεσµού µεταξύ χάλυβα και σκυροδέµατος. Η προσοµοίωση γίνεται είτε ορίζοντας κάποιον σταθερό φθιτό κλάδο χαλάρωσης είτε µε την φιλοσοφία της δέσµης της ρηγµάτωσης (crack band model). Στο εργαστήριο Στατικής και Αντισεισµικών Ερευνών του ΕΜΠ αναπτύχθηκε κώδικας βασισµένος στο υπάρχον λογισµικό πεπερασµένων στοιχείων FE77 (Hitchings 2001). Χρησιµοποιώντας τα βασικά εργαλεία του προγράµµατος, προστέθηκε νέος κώδικας µέσα στον οποίο ενσωµατώθηκε η επαναληπτική µέθοδος Newton Raphson καθώς και το προσοµοίωµα σκυροδέµατος όπως αναπτύχθηκε από τους Kotsovos & Pavlovic (1995) µε την προσθήκη για το κλείσιµο ρωγµών από τους Kotsovos & Spiliopoulos (1998). Αφού επιβεβαιώθηκαν τα αποτελέσµατα του νέου αυτού λογισµικού, στο οποίο δόθηκε η ονοµασία asdapx, σε σχέση µε εφαρµογές που έχουν γίνει παλαιότερα (Λυκίδης 2002), διεξήχθησαν αναλύσεις φορέων οι οποίες είχαν επαναληφθεί παλαιότερα µε το λογισµικό ABAQUS 5.5. Το βασικότερο πλεονέκτηµα της συγκεκριµένης αντιµετώπισης των Kotsovos & Pavlovic είναι ότι µοναδική παράµετρος που εισάγεται πριν την ανάλυση, πέρα από την γεωµετρία, τις στηρίξεις και τις φορτίσεις είναι η µονοαξονική θλιπτική αντοχή του σκυροδέµατος f c. Τα περισσότερα προσοµοιώµατα πέραν αυτού απαιτούν την εισαγωγή περισσότερων σταθερών (π.χ. της ενέργειας θραύσεως G f, ή του φθιτού κλάδου της εφελκυστικής συµβολής στην ακαµψία) κάτι που τα καθιστά δύσχρηστα δεδοµένου ότι οι σταθερές αυτές δεν είναι τόσο εύκολο να προσδιοριστούν τουλάχιστον σε σχέση µε την ευκολία που απαιτείται για τον προσδιορισµό της µονοαξονικής θλιπτικής αντοχής του σκυροδέµατος (Rots 1985).

10 Οι εφαρµογές επιλέχθηκαν έτσι ώστε να δίνουν µια σαφή εικόνα για την συµπεριφορά των προσοµοιωµάτων. εδοµένου ότι ένα κακό προσοµοίωµα µπορεί να δώσει αρκετά ικανοποιητικές λύσεις σε φέροντα στοιχεία µε µεγάλο ποσοστό οπλισµού (οδηγούµενη σε πλάστιµη αστοχία µε διαρροή του χάλυβα) αλλά αδυνατεί να δώσει την αστοχία σε ελάχιστα οπλισµένους φορείς όπου η οριακή κατάσταση επέρχεται µε ψαθυρή θραύση του σκυροδέµατος (ACI 446 report 1997), επιλέχτηκε σε πρώτη φάση µια δοκός χωρίς καθόλου συνδετήρες (Σχ. 7(α)) η οποία κατά την πειραµατική δοκιµή εµφάνισε ψαθυρή αστοχία σε τέµνουσα µε λοξή διαγώνια ρηγµάτωση για φορτίο ίσο µε 334 KN (Καράπιττα 1997). Η µονοαξονική αντοχή του σκυροδέµατος σε θλίψη είναι 22.5 MPa και το όριο διαρροής του χάλυβα 555 MPa. Το µέτρο ελαστικότητας του χάλυβα θεωρήθηκε ίσο µε 200 GPa. Σχ. 7: (α) Λεπτοµέρεια αµφιέρειστης δοκού χωρίς οπλισµό διάτµησης (όλες οι διαστάσεις είναι σε mm), (β) ιαγράµµατα δύναµης κατακόρυφης µετατόπισης στην κάτω ίνα. Σχ. 8: (α) Λεπτοµέρεια µονοπροέχουσας δοκού µε οπλισµό διάτµησης (όλες οι διαστάσεις είναι σε mm), (β) ιαγράµµατα δύναµης κατακόρυφης µετατόπισης στην κάτω ίνα. Για την ανάλυση στο λογισµικό asdapx χρησιµοποιήθηκαν στοιχεία διαστάσεως m καθώς και m 27 κόµβων. Τα αποτελέσµατα της ανάλυσης έδωσαν οριακό φορτίο κατάρρευσης κοντά σε αυτό που µετρήθηκε πειραµατικά και για τις δύο πυκνότητες δικτύου. Αντίθετα, µε τις αναλύσεις του λογισµικού ABAQUS (Καράπιττα 1997) προέκυψαν διάφορα φορτία κατάρρευσης τα οποία εξαρτώνται κατά ένα µεγάλο βαθµό από τον τύπο του στοιχείου, το µέγεθος του δικτύου καθώς και την προσοµοίωση της εφελκυστικής συµβολής στην δυσκαµψία (Σχ. 7(β)). Στην συνέχεια, η µονοπροέχουσα δοκός του Σχ. 8(α), η οποία έχει επίσης αναλυθεί στο παρελθόν µε το λογισµικό ABAQUS (Λύτρας 1996) επιλέχθηκε για ανάλυση µε το λογισµικό

11 asdapχ µε στοιχεία διαστάσεων και m επίσης 27 κόµβων. Η δοκός αυτή παρουσιάζει καµπτική αστοχία µε διαρροή του εφελκυόµενου οπλισµού πριν την κατάρρευση για φορτίο P = 91KN κατά την πειραµατική δοκιµή. Η αντοχή του σκυροδέµατος σε µονοαξονική θλίψη είναι 30 MPa, ο χάλυβας των διαµήκων ράβδων είναι ποιότητας S400 και των συνδετήρων S220. Τα αποτελέσµατα της ανάλυσης είναι και σε αυτή την περίπτωση ρεαλιστικότερα από τις αναλύσεις που προέκυψαν µε το άλλο λογισµικό (Σχ. 8(β)). Είναι σαφές ότι οι προβλέψεις των µετακινήσεων δεν είναι ιδιαίτερα ακριβείς σε σχέση µε αυτές που παρατηρήθηκαν από τα αντίστοιχα πειράµατα. Η ύπαρξη των φαινοµένων που εξαρτώνται από τον χρόνο (ερπυσµός, συστολή ξήρανσης) έχει µεγάλη επιρροή στις µετατοπίσεις που παρατηρούνται κατά τις δοκιµές µε αποτέλεσµα η κάθε δοκιµή να εξαρτάται από τον συνολικό χρόνο κατά τον οποίο αυτή γίνεται. Για παράδειγµα εάν η δοκιµή περατωθεί σε 1 ώρα, οι µετατοπίσεις θα είναι κατά πολύ µικρότερες από αυτές που προκύπτουν για την ίδια δοκιµή σε χρονικό διάστηµα 3 ωρών. Το γεγονός αυτό δείχνει πως η πρόβλεψη των µετατοπίσεων είναι αδύνατη για τα προσοµοιώµατα που δεν λαµβάνουν υπόψη τους τα φαινόµενα της παραµόρφωσης που εξαρτώνται από τον χρόνο. 4 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Οι µέθοδοι που προτείνονται για αναλύσεις φορέων ΩΣ µε δισδιάστατα ή τρισδιάστατα πεπερασµένα στοιχεία παρουσιάζουν αρκετές διαφοροποιήσεις ως προς την φιλοσοφία τους. Στα εµπορικά πακέτα λογισµικού που αναφέρθηκαν, η θραύση προσοµοιώνεται κυρίως µε το µοντέλο ζώνης ρηγµάτωσης ή µε σταθερό φθιτό κλάδο εφελκυστικής συµβολής στης ακαµψία και όχι µε µη τοπικό ή σταθερού όγκου συνεχές µέσο. Μέσα από τις αναλύσεις της εργασίας αυτής προκύπτει ότι το τελευταίο µπορεί, για µονοτονικές φορτίσεις, να χρησιµοποιηθεί µε µεγαλύτερη ευχέρεια και ακρίβεια σε σχέση τουλάχιστον µε το πρώτο, δίνοντας αξιόπιστα αποτελέσµατα τα οποία εξαρτώνται απολύτως και µόνο από την µονοαξονική αντοχή του σκυροδέµατος σε θλίψη. ΕΥΧΑΡΙΣΤΕΙΕΣ Η εργασία αυτή έγινε στα πλαίσια της διδακτορικής διατριβής του υποψήφιου διδάκτορα Γεώργιου Λυκίδη υπότροφου του Ιδρύµατος Κρατικών Υποτροφιών, το οποίο και ευχαριστούµε θερµά για την συµβολή του. ΑΝΑΦΟΡΕΣ ACI Committee 446, 1997, Finite element analysis of fracture in concrete structures: State of the art report, ACI 446:3E-97, ACI, Detroit. Anderson, T. L., 1995, Fracture Mechanics. Fundamentals and Applications, CRC Press. Balakrishnan, S. and Murray, D. W., 1988, Concrete constitutive model for NLFE analysis of structures, ASCE, J. Struct. Engng., vol. 104(7), p Bazant, Z. P., 1976, Instability, ductility and size effect in strain softening concrete, ASCE J. Engng. Mech., vol. 102, p , vol. 103, p , vol. 104, p Bazant, Z. P., 1994, Nonlocal damage theory based on micromechanics of crack Interactions, ASCE, J. Engng Mech., vol. 120, p , vol. 120, p Bazant, Z. P., Belytschko, T. B. and Chang, T. P., 1984, Continuum theory for strain softening, ASCE, J. Engng. Mech., vol 110 (12), p Bazant, Z. P. and Cedolin, L., 1979, Blunt Crack Band Propagation in FEA, ASCE, J. of Engng. Mech., vol. 105, p Bazant, Z. P. and Cedolin, L., 1980, 1982, Fracture Mechanics of Reinforced Concrete, ASCE, J. of Engng. Mech., vol. 106, p , discussion by Darwin and Dodds, vol. 108, p , closure vol. 108, p

12 Bazant, Z. P. and Cedolin, L., 1991, Stability of Structures, Oxford University Press Bazant, Z. P. and Jirasek, M., 2002, Nonlocal Integral Formulations of Plasticity and Damage: Survey of Progress, ASCE, J. Engng Mech., vol. 128, p Bazant, Z. P. and Lin, F. B., 1988, Nonlocal smeared cracking model for concrete fracture, ASCE, J. Struct. Engng, vol. 114, p Bazant, ZP. and Oh, B., 1983, Crack band theory for fracture of concrete, RILEM Mat Struct. 1983, vol. 16, p Bazant, Z. P. and Ozbolt, J., 1990, Nonlocal Microplane model for fracture, damage and size effect in Structures, ASCE, J. Engng. Mech., vol. 116(11), p Bazant, Z. P., Pan, J. and Pijaudier - Cabot, G., 1987, Softening in RC Beams and Frames, ASCE, J. Struct. Engng, vol. 113, p Bazant, ZP, Prat, PC., 1988, Microplane model for brittle plastic material I. Theory, II Verification, ASCE, J. Engng Mech., vol. 114, p CEB, 1996, RC Elements under cyclic loading, Thomas Telford. Cotterel, B. and Mai, Y. W., Fracture mechanics of cementitious materials, 1996, Chapman & Hall, p. (ix). D. Hitchings, 2001, FE77 - User s and programmer s manual, London. Darwin, D. and Pecknold, D. A., 1977, Analysis of cyclic loading of plane R/C structures, Computers and Structures, vol. 7(1), p Dodds, R. H., Darwin, D. and Leibengood, L. D., 1984, Stress controlled smeared cracking in RC Beams, ASCE, J. Struct. Engng, vol. 110, p Hillerborg, A., Modeer, M. and Peterson P. E., 1976, Analysis of crack formation and growth in concrete by means of fracture mechanics and finite element, Cement Concrete Res., 6(6) p Jirasek, M. and Bazant, Z. P., 1994, Localization analysis of nonlocal model based on crack interactions, ASCE, J. Engng Mech. vol. 120, p Kotsovos, M. D. and Pavlovic, M. N., 1995, Structural concrete. Finite Element analysis for limit state design, Thomas Telford. Kotsovos, M. D. and Spiliopoulos, K. V., 1998, Modeling of crack closure for finite element analysis of structural concrete, Computers and Structures, vol. 69, p Meyer, C. and Bathe, K.-J., 1982, Nonlinear analysis of RC Structures in Practice, ASCE, J. Struct. Div., vol. 108, no ST7, July, p Ngo, D. and Scordelis, A. C., 1967, Finite Element Analysis of Reinforced Concrete Beams, ACI Journal Proceedings, vol. 64, no 3, Mar, pp Nilson, A. H., 1968, Nonlinear analysis of reinforced concrete by the finite element method, ACI Journal, Sept 1968, p Pramono, E. and William, K., 1987, Fracture Energy Based Plasticity formulation of plain concrete, ASCE, J. Engng Mech, vol. 115, p Rashid, Y. R., 1968, Analysis of prestressed concrete pressure vessels, Nuclear Engng Des. 7 (4), p Rots, J., Nauta, P., Kursters, G., Blaauwendraad, J., 1985, Smeared crack approach and fracture localization in concrete, Heron 30, p Shah, S. P., Swartz, S. E., Ouyang, C., 1995, Fracture mechanics of concrete. Applications of fracture mechanics to concrete, rock and other quasi-brittle materials, John Wiley & sons. Zisopoulos, P. M., Kotsovos, M. D. and Pavlovic, M.N, 2000, Deformational behaviour of concrete specimens in uniaxial compression under different boundary conditions, Cement and concrete Research, vol. 30, p Καράπιττα, Λ., 1997, ιπλωµατική Εργασία: «Μη γραµµική ανάλυση κατασκευών από ωπλισµένο σκυρόδεµα µε την µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων». Λυκίδης, Γ. Χ., 2002, Μεταπτυχιακή Εργασία: «Στατική ανελαστική ανάλυση φορέων Ω.Σ. µε πεπερασµένα στοιχεία». Λύτρας, Γ. Ι., 1996, ιπλωµατική Εργασία: «Μη γραµµική ανάλυση κατασκευών από ωπλισµένο σκυρόδεµα µε την µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων».