Θλιβόµενος οπλισµός Πραγµατικότητα ή µύθος;

Transcript

1 Θλιβόµενος οπλισµός Πραγµατικότητα ή µύθος; Πρόδροµος. Ζαράρης Καθηγητής Σιδηροπαγούς Σκυροδέµατος, Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών Α.Π.Θ. Γεώργιος Κ. Κωνσταντινίδης ιπλ. Πολιτικός Μηχανικός Α.Π.Θ., Υποψήφιος ιδάκτωρ Ιωάννης.Π. Ζαράρης ιπλ. Πολιτικός Μηχανικός Α.Π.Θ., Υποψήφιος ιδάκτωρ Λέξεις κλειδιά: Θλιβόµενος οπλισµός, ιατµητική αντοχή δοκών, Υψίκορµες δοκοί, Λειτουργία τόξου µε ελκυστήρα. ΠΕΡΙΛΗΨΗ: Ο θλιβόµενος οπλισµός δεν λειτουργεί θετικά στην αύξηση της διατµητικής αντοχής των δοκών οπλισµένου σκυροδέµατος. Θεωρητικά και πειραµατικά δεδοµένα επιβεβαιώνουν αυτό το φαινόµενο. Φαίνεται όµως ότι υπό ορισµένες προϋποθέσεις κάτι ανάλογο ισχύει ακόµη και για την καµπτική αντοχή των δοκών οπλισµένου σκυροδέµατος. Ο σχηµατισµός λοξών ρηγµάτων εξουδετερώνει τη δύναµη των ράβδων στη θλιβόµενη ζώνη. Η ύπαρξη συνδετήρων βελτιώνει ως ένα βαθµό τη σοβαρή αυτή κατάσταση. Στην εργασία αυτή εξηγούνται οι λόγοι γι αυτή την παράξενη συµπεριφορά και δίνεται αναλυτική έκφραση για τον υπολογισµό της πραγµατικής έντασης του θλιβόµενου οπλισµού. Η ανάλυση συνοδεύεται από παραδείγµατα µε πειραµατική επαλήθευση του φαινοµένου. 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Από παλιά είχε παρατηρηθεί στα πειράµατα της διάτµησης των δοκών οπλισµένου σκυροδέµατος ότι ο θλιβόµενος οπλισµός δεν συµβάλλει σε αύξηση της διατµητικής αντοχής και είχε γίνει ειδική συζήτηση για το θέµα (Discussion 1994). Το φαινόµενο αυτό για τις κανονικές δοκούς είχε µία λογική, δεδοµένου ότι η διατµητική αστοχία σ αυτές τις (λεπτές) δοκούς προκαλείται από διαγώνιο εφελκυσµό (diagonal tension failure), όµως το ίδιο παρατηρείται και στις υψίκορµες (κοντές) δοκούς, όπου η διατµητική αστοχία οφείλεται σε σύνθλιψη του σκυροδέµατος της θλιβόµενης ζώνης που αποµένει πάνω από την κορυφή του κρίσιµου διαγώνιου ρήγµατος (shear compression failure), δηλαδή ακριβώς εκεί που βρίσκεται ο θλιβόµενος οπλισµός. Σήµερα, µε τις γνώσεις των πραγµατικών µηχανισµών της διατµητικής αστοχίας, η παράξενη αυτή ατελέσφορος λειτουργία του θλιβόµενου οπλισµού µπορεί να ερµηνευτεί όσον αφορά τη διάτµηση. Γεννιόνται όµως υποψίες κατά πόσον η εξουδετέρωση (µερική ή ολική) του θλιβόµενου οπλισµού, επηρεάζει και την καµπτική αντοχή. Στην εργασία αυτή, όπου γίνεται µια γενική ανάλυση αυτού του θέµατος, δείχνεται ότι κάτι τέτοιο µπορεί να υπάρξει. ΙΑΤΜΗΤΙΚΗ ΑΝΤΟΧΗ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΟΚΩΝ Όσον αφορά την αστοχία από διάτµηση οι δοκοί σε γενικές γραµµές διαχωρίζονται σε κανονικές (ή λεπτές) και σε υψίκορµες (ή κοντές). Στις κανονικές δοκούς ο λόγος α/d (= M/Vd) >.5 [βλ. Σχ. 1(a)], ενώ στις υψίκορµες είναι α/d (= M/Vd) <.5. Από την ανάλυση της διατµητικής αστοχίας αυτών των δοκών (Zararis and Papadakis 001, Zararis 003a) έχει αποδειχθεί ότι η διατµητική αντοχή των κανονικών δοκών χωρίς συνδετήρες είναι

2 Σχήµα 1. Κανονική (λεπτή) δοκός. (a) Ακραίο τµήµα πειραµατικής δοκού, (b) Γεωµετρική αναπαράσταση του κρίσιµου διαγώνιου ρήγµατος Vcr α x cr = = d fct bd d d υ (1) όπου: x = ύψος θλιβόµενης ζώνης [βλ. Σχ. 1(b)], και f ct = εφελκυστική αντοχή διάρρηξης σκυροδέµατος. Ο συντελεστής [ ( α / d) d] καθορίζει την επιρροή του µεγέθους και πρέπει να είναι Η διατµητική αντοχή των κανονικών δοκών µε συνδετήρες είναι α Vu = Vcr d ρwf ywbd () d / s b = ποσοστό συνδετήρων, όπου ρ w = ( ) A sw f yw = όριο διαρροής συνδετήρων, και V cr = τέµνουσα αντοχής των δοκών χωρίς συνδετήρες που δίνεται από την Εξ. (1). Στις εξισώσεις (1) και () το σχετικό ύψος x/d της θλιβόµενης ζώνης αποτελεί καθοριστικό παράγοντα της αντοχής. Το ύψος αυτό λαµβάνεται από την επίλυση της εξίσωσης ( ρ + ρ ) x x ρ + (d / d) ρ = 0 (3) d fc d fc όπου ρ = A s /( b d) = ποσοστό εφελκυόµενου διαµήκους οπλισµού, ρ = A s /( b d) = ποσοστό θλιβόµενου οπλισµού, d = ενεργός επικάλυψη θλιβόµενου οπλισµού, f c = θλιπτική αντοχή σκυροδέµατος σε ΜPa. Είναι γνωστό, αλλά και φανερό από την Εξ. (3), ότι η ύπαρξη θλιβόµενου οπλισµού µειώνει το ύψος της θλιβόµενης ζώνης, και όπως δείχνουν οι Εξισώσεις (1) και () µειώνει και τη διατµητική αντοχή είτε η δοκός είναι χωρίς είτε µε συνδετήρες. Στο Σχήµα φαίνονται οι εικόνες τελικής ρηγµάτωσης τριών πειραµατικών δοκών (Καρανίκα και Κίτσου 1990) µαζί µε τα χαρακτηριστικά εκάστης και την τελική διατµητική τους δύναµη. Βλέπουµε ότι η δοκός Β µε Α s = 0.5A s και η δοκός Β3 µε Α s = A s παρουσίασαν µικρότερη διατµητική αντοχή από τη δοκό Β1 που είχε Α s = 0, παρόλο που η θλιπτική αντοχή f c της Β3 είναι αρκετά µεγαλύτερη από εκείνη της Β1. Επί πλέον, πρέπει να παρατηρήσουµε τη χαρακτηριστική µετατόπιση του κρίσιµου διαγώνιου ρήγµατος προς το συγκεντρωµένο φορτίο, κάτι που πράγµατι οφείλεται στη µείωση της θλιβόµενης ζώνης, όπως εξηγείται από το Σχήµα.

3 Σχήµα. Τελική ρηγµάτωση κανονικών πειραµατικών δοκών (Καρανίκα & Κίτσου 1990) 3 ΙΑΤΜΗΤΙΚΗ ΑΝΤΟΧΗ ΥΨΙΚΟΡΜΩΝ ΟΚΩΝ Στις υψίκορµες (κοντές) δοκούς, δηλαδή όταν είναι α/d (= M/Vd) <.5, η διατµητική αστοχία προκαλείται πάντοτε από σύνθλιψη του σκυροδέµατος σε µια περιορισµένου ύψους θλιβόµενη ζώνη στην κορυφή του κρίσιµου διαγώνιου ρήγµατος (βλ. Σχ. 3). Από την ανάλυση (Zararis 003b) προκύπτει ότι το ανηγµένο ύψος x s /d αυτής της θλιβόµενης ζώνης δίνεται από την εξίσωση Σχήµα 3. Υψίκορµη (κοντή) δοκός. (a) Ακραίο τµήµα πειραµατικής δοκού, (b) υνάµεις στο άνω τµήµα της δοκού κατά την αστοχία

4 xs d R ( α / d) x = (4) 1 + R ( α / d) d όπου R = 1 ( ρ / ρ) ( α / d) + w (5) δηλαδή το µέγεθος x s αυτής της ζώνης είναι ένα ποσοστό του ύψους x της θλιβόµενης ζώνης πάνω από τα καµπτικά ρήγµατα (βλ. Σχ. 3), το οποίο δίνεται από την επίλυση της Εξ. (3). Κατά την αστοχία οι δυνάµεις που δρουν στο άνω τµήµα της κοντής δοκού φαίνονται στο Σχήµα 3(b). Από την ισορροπία των ροπών των δυνάµεων προκύπτει η διατµητική αντοχή V bd x s x α s x + ρ s u = fc 0.5 wf yw 1 α / d d d d d (6) Η διατµητική αντοχή των κοντών δοκών σύµφωνα µε την Εξ. (6) έχει επαληθευθεί δια συγκρίσεως µε εκτεταµένες σειρές πειραµατικών αποτελεσµάτων (συνολικά 145 δοκίµια) από τη διεθνή βιβλιογραφία (Zararis 003b). Θεωρητικά και πειραµατικά αποτελέσµατα έδειξαν εξαιρετική συµφωνία. Η Εξ. (6) προέκυψε χωρίς να ληφθεί υπόψη θλιβόµενος οπλισµός [βλ. Σχ. 3(b)], παρόλα αυτά επαλήθευσε µε εξαιρετική ακρίβεια τις 145 κοντές δοκούς, πολλές από τις οποίες έφεραν θλιβόµενο οπλισµό (σε λογικά ποσοστά). Το παράξενο είναι ότι η ύπαρξη θλιβόµενου οπλισµού µέσα στη θλιβόµενη (και συνθλιβόµενη τελικά) ζώνη ύψους x s θα έπρεπε να αυξάνει άρδην την αντοχή, δεδοµένου ότι η τάση του θλιβόµενου οπλισµού κατά την αστοχία (σύνθλιψη σκυροδέµατος) θα ήταν λογικά εκείνη του ορίου διαρροής. Κάτι τέτοιο όµως δεν συµβαίνει. Η δύναµη του θλιβόµενου οπλισµού δεν υπάρχει. 3.1 Εξουδετέρωση θλιβόµενου οπλισµού Στο Σχήµα 4 φαίνονται οι εικόνες τελικής ρηγµάτωσης τριών κοντών πειραµατικών δοκών (Καρανίκα και Κίτσου 1990) µαζί µε τα χαρακτηριστικά εκάστης και την τελική διατµητική τους δύναµη. Βλέπουµε ότι η τοποθέτηση θλιβόµενου οπλισµού στη δοκό Α (Α s = 0.5A s ) και στη δοκό Α3 (Α s = A s ) όχι µόνο διατήρησε την αντοχή της Α1 (Α s = 0) αλλά και τη µείωσε. Ως γνωστό, στις υψίκορµες (κοντές) δοκούς είναι έντονη η λειτουργία τόξου µε ελκυστήρα. Αυτό σηµαίνει ότι θλιπτικές τάσεις στην επάνω παρειά της δοκού όσο πλησιάζουµε την αντίδραση παύουν να υπάρχουν, δεδοµένου ότι η θλιπτική δύναµη κατευθύνεται προς το σηµείο στήριξης. Επί πλέον όµως, η δύναµη του οπλισµού (ελκυστήρα) εφόσον αυτός είναι καλά αγκυρωµένος προκαλεί θλιπτική ένταση στο σκυρόδεµα στην περιοχή της στήριξης, και όπως προκύπτει από την ανάλυση του Σχ. 5 προκαλούνται εφελκυστικές τάσεις στην επάνω παρειά της δοκού. Η ύπαρξη αυτής της εφελκυστικής έντασης στο επάνω τµήµα των κοντών δοκών είναι φανερή, όπως συµπεραίνει κανείς από τις εικόνες ρηγµάτωσης. Στην εικόνα ρηγµάτωσης της δοκού Α1 στο Σχήµα 4 φαίνεται καθαρά η έντονη κατακόρυφη ρηγµάτωση της επάνω περιοχής της δοκού ακριβώς πάνω από τα στηρίγµατα. Όταν υπάρχει οπλισµός στην επάνω παρειά της δοκού (θλιβόµενος οπλισµός!), αυτός αναλαµβάνει την αναπτυσσόµενη εφελκυστική ένταση της περιοχής, οπότε ο οπλισµός αυτός από θλιβόµενος καθίσταται εφελκυόµενος. Αποτέλεσµα της ανάληψης εφελκυστικής δύναµης από τον οπλισµό της επάνω παρειάς είναι η σηµαντική µείωση του εύρους των κατακόρυφων ρηγµάτων πάνω από τα στηρίγµατα, όπως φαίνεται στις δοκούς Α και Α3 του Σχήµατος 4. Βέβαια, όσο προχωρούµε από το στήριγµα προς τη φόρτιση η εφελκυστική τάση των ράβδων του οπλισµού της επάνω παρειάς µειώνεται και στη θέση της φόρτισης, όπου γίνεται η σύνθλιψη του σκυροδέµατος, αυτή η τάση καθίσταται µηδενική ή τουλάχιστον αµελητέα, δεδοµένου ότι η απόσταση µέσα στην οποία συντελείται η αλλαγή της τάσης των ράβδων του οπλισµού από εφελκυστική ίσως σε θλιπτική είναι τόσο µικρή (κοντές δοκοί), που δεν υπάρχει καθόλου ένα µήκος αγκύρωσης.

5 Σχήµα 4. Εικόνες τελικής ρηγµάτωσης κοντών πειραµατικών δοκών (Καρανίκα & Κίτσου 1990) Σχήµα 5. Λειτουργία τόξου µε ελκυστήρα. (a) υνάµεις στο άνω τµήµα κοντής δοκού, (b) υνάµεις σκυροδέµατος, (c) Ισοδύναµη ένταση και διάγραµµα ορθών τάσεων σκυροδέµατος

6 3. Υπολογισµός συµµετοχής θλιβόµενου οπλισµού Όταν η δοκός επιπονείται, επί πλέον της κάµψης και διάτµησης, και µε αξονικό θλιπτικό φορτίο, µείωση της τάσης του θλιβόµενου οπλισµού δεν παρατηρείται (Mattock and Wang 1984). Αυτό σηµαίνει ότι, εφόσον οι ράβδοι του οπλισµού της επάνω παρειάς αναλαµβάνουν θλιπτικές τάσεις ήδη από την περιοχή της στήριξης, τότε µέσα στη ζώνη σύνθλιψης του σκυροδέµατος στην περιοχή της φόρτισης δρα και θλιπτική δύναµη του οπλισµού της επάνω παρειάς της δοκού. Κάτι ανάλογο συµβαίνει στις δοκούς µε συνδετήρες. Όπως φαίνεται στο Σχήµα 6 η συνισταµένη θλιπτική δράση των δυνάµεων V u, F s και V s ανέρχεται στο µέτωπο της στήριξης, και η προηγουµένως εφελκυόµενη άνω περιοχή της δοκού αρχίζει να θλίβεται µε την αύξηση της δύναµης των συνδετήρων V s. Η τάση του θλιβόµενου οπλισµού δεν είναι οπωσδήποτε µεγάλη, αλλά για µεγάλα ποσοστά θλιβόµενου οπλισµού, π.χ. για Α s = A s, το ποσοστό συµµετοχής του Α s στην ισορροπία είναι σηµαντικό και δεν πρέπει να παραβλέπεται. Μια απλή και λογική εκτίµηση της δύναµης F s του θλιβόµενου οπλισµού γίνεται θεωρώντας ότι ο θλιβόµενος οπλισµός συµµετέχει µε ένα ποσοστό κ του ολικού δυναµικού του, δηλαδή θεωρείται ότι είναι F s = Α s σ s = k Α s f y. Προσεγγιστικά, µπορεί να εκτιµηθεί ότι είναι k = e/d. Όταν e = 0 τότε F s = 0, και όταν e = d τότε F s = Α s f y. Από την ισορροπία των ροπών των δυνάµεων ως προς το σηµείο της εκκεντρότητας e (βλ. Σχ. 6) θεωρώντας ότι η δύναµη V s των συνδετήρων απέχει περίπου 0.5α, προκύπτει k = e/d = 0.5(α/d) (V s / F s ). Όµως F s = F c + k Α s f y. Αντικαθιστώντας, παίρνουµε µια δευτεροβάθµια εξίσωση ως προς k. Αντικαθιστώντας σ αυτήν τα F c = bd (x s /d) f c, V s = A sw f yw (d-x s ) tanφ/s = ρ w f yw bd (1-x s /d) (α/d) και Α s = ρ bd έχουµε ( x / d) f f ( 1 x / d)( / d) k + ρw yw s α s c k 0.5 = 0 ρ f y ρ f y (7) από την οποία εκτιµούµε το ποσοστό συµµετοχής k, όταν γνωρίζουµε το ύψος x s /d που δίνεται από την Εξ. (4). Μετά την εκτίµηση του k, η ισορροπία των ροπών δίνει τη διατµητική αντοχή V bd x s x α s d x s u = fc + kρ f y ρ wf w α / d d d d d d (8) Παράδειγµα εφαρµογής της Εξ. (8) Χαρακτηριστική περίπτωση είναι η πειραµατική δοκός C05-50 των Mattock and Wang (1984). εδοµένα: α/d =.0, b d = cm, d = 3.5cm, f c = 1.53MPa, ρ = ρ = , f y =360 MPa, ρ w = , f yw = 360 MPa, ρ w f yw = MPa Σχήµα 6. υνάµεις στο άνω τµήµα υψίκορµης (κοντής) δοκού µε συνδετήρες

7 Υπολογισµός: Από Εξ. (3) ( x / d) ( x / d) = 0 x / d = 0.49 Από Εξ. (4) και (5) R = = x s = = d Από Εξ. (7) k k = 0 k = Από Εξ. (8) V u = 3.65[0.1646( ) ( ).0 ] = 3.65( ) = 15. KN Το πείραµα (Mattock and Wang 1984) έδωσε V u = 15.1 KN, δηλαδή V u,expt / V u,th = 1.00 Στη δοκό αυτού του παραδείγµατος παρόλο που ο θλιβόµενος οπλισµός ήταν εξαιρετικά µεγάλος (Α s = A s ), αυτός συµµετείχε στην αντοχή µόνο µε το 1/4 περίπου του δυναµικού του. 4 ΚΑΜΠΤΙΚΗ ΑΝΤΟΧΗ ΟΚΩΝ Είδαµε ότι ο θλιβόµενος οπλισµός δεν συνεισφέρει σχεδόν τίποτε στη διατµητική αντοχή των δοκών. Μήπως συµβαίνει το ίδιο και για την καµπτική αντοχή; Όσον αφορά την κάµψη, θλιβόµενος οπλισµός τοποθετείται συχνά στις θέσεις των µεγάλων ροπών για την ενίσχυση της θλιβόµενης περιοχής. Οι θέσεις αυτές είναι τα στηρίγµατα των δοκών. Οι θέσεις αυτές όµως, είναι αυτές που επιπονούνται και από µεγάλες τέµνουσες δυνάµεις. Στο Σχήµα 7(a) φαίνεται αµφίπακτη δοκός φορτισµένη µε συγκεντρωµένο φορτίο στη µέση. Η περιοχή της πάκτωσης, από το σηµείο µηδενισµού της ροπής µέχρι τη στήριξη επιπονείται συγχρόνως σε κάµψη και διάτµηση, ακριβώς όπως είδαµε προηγουµένως στις πειραµατικές δοκούς. Σ αυτή την περιοχή είναι Μ /(Vd) = 0.5 l/d, που σηµαίνει ότι εφόσον το ύψος της δοκού είναι d > 0.10 l, θα είναι Μ /(Vd) <.5, δηλαδή η διατµητική λειτουργία στη θέση αυτή θα είναι Σχήµα 7. Αµφίπακτη δοκός υπό συγκεντρωµένο φορτίο. (a) ιαγράµµατα Μ και V, (b) υνάµεις στο ακραίο τµήµα της δοκού και λειτουργία τόξου µε ελκυστήρα

8 εκείνης της κοντής (υψίκορµης) δοκού µε ισχυρή λειτουργία του τόξου µε ελκυστήρα. Η περίπτωση (d > 0.10 l) είναι πολύ συνηθισµένη για µεγάλα φορτία, δηλαδή για περίπτωση που θα τοποθετηθεί θλιβόµενος οπλισµός στις στηρίξεις. Μάλιστα, εάν το φορτίο Ρ µετατοπιστεί προς το ένα στήριγµα, το απαιτούµενο ύψος d για τη λειτουργία τόξου µε ελκυστήρα είναι ακόµη µικρότερο. Στο Σχήµα 7(b) φαίνονται οι δυνάµεις που δρουν στην ακραία περιοχή (το ακραίο τέταρτο του µήκους) της προηγούµενης δοκού, όπου σχηµατίζονται τα καµπτικά και διατµητικά ρήγµατα. Στην άκρη αυτής της περιοχής (θέση µηδενισµού ροπής), η αγκύρωση του ελκυστήρα (επάνω εφελκυόµενος οπλισµός) προκαλεί θλιπτικές τάσεις. Η ισορροπία απαιτεί την ανάπτυξη εφελκυστικών τάσεων στην κάτω παρειά, οι οποίες καλούνται να αναληφθούν από τον οπλισµό της κάτω παρειάς (θλιβόµενος οπλισµός). Αν ισχύουν και εδώ εκείνα που είδαµε προηγουµένως για τη διάτµηση, τότε ο θλιβόµενος οπλισµός καθίσταται εφελκυόµενος, ή τουλάχιστον η δράση του υφίσταται µερική εξουδετέρωση. Βέβαια, ο σχεδιασµός µιας δοκού γίνεται µε προοπτική να αστοχήσει σε κάµψη (πρώτα) και όχι σε διάτµηση, και µπορεί να ισχυρισθεί κάποιος ότι εφόσον η διατµητική αντοχή είναι µεγαλύτερη δεν θα έχουµε επιπτώσεις στη δράση του θλιβόµενου οπλισµού. Είναι όµως πολύ γνωστό από τα πειράµατα ότι στις κοντές δοκούς το κρίσιµο διαγώνιο ρήγµα σχηµατίζεται πολύ νωρίς (συνήθως γύρω στα µισά της τελικής φόρτισης). Εποµένως, η δράση του τόξου µε ελκυστήρα που είναι η αιτία της εξουδετέρωσης του θλιβόµενου οπλισµού, αρχίζει φυσιολογικά αρκετά πριν και από την καµπτική αστοχία. 5 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Πειράµατα και θεωρία αποδεικνύουν τη µηδενική έως ακόµη και αρνητική συνεισφορά του θλιβόµενου οπλισµού στη διατµητική αντοχή των δοκών. Η ύπαρξη συνδετήρων προκαλεί µία µικρή σχετικά συνεισφορά του θλιβόµενου οπλισµού στη διατµητική αντοχή των δοκών, η οποία δίνεται από αναλυτική έκφραση. Από τη θεωρητική ανάλυση του φαινοµένου φαίνεται ότι αυτή η εξουδετέρωση της δράσης του θλιβόµενου οπλισµού ισχύει και για την καµπτική αντοχή. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Discussion on the paper of Regan, P.E Research on shear: a benefit to humanity or a waste of time? The Structural Engineer, V. 7, No 18/0, Ζαράρης, Π ιατµητική αστοχία δοκών οπλισµένου σκυροδέµατος. Γενική επισκόπηση- Μέθοδος σχεδιασµού. Θεσσαλονίκη, 80σελ. Ζαράρης, Π Μέθοδοι Υπολογισµού Σιδηροπαγούς Σκυροδέµατος. Θεσσαλονίκη, Εκδ. Κυριακίδη Α.Ε., 39σελ. Καρανίκα, Ε. & Κίτσου, Ε Επιρροή θλιβόµενου οπλισµού στη διατµητική αντοχή δοκών χωρίς οπλισµό διάτµησης. ιπλωµατική εργασία, Εργαστήριο Σιδηροπαγούς Σκυροδέµατος Α.Π.Θ., 50 σελ. Mattock, A.H. & Wang, Z Shear strength of reinforced concrete members subject to high axial compression stress. ACI Journal, V. 81, No 3, Zararis, P.D. & Papadakis, G.Ch Diagonal shear failure and size effect in RC beams without web reinforcement. J. Struct. Engrg., ASCE, 17(7), Zararis, P.D. 003a. Shear strength and minimum shear reinforcement of reinforced concrete slender beams. ACI Struct. J., 100(), Zararis, P.D. 003b. Shear compression failure in reinforced concrete deep beams. J. Struct. Engrg., ASCE, 19(4),