( )U 1 ( θ )U 3 ( ) = U 3. ( ) όπου U j περιγράφει περιστροφή ως προς! e j. Γωνίες Euler. ω i. ω = ϕ ( ) = ei = U ij ej j

Transcript

1 Γωνίες Euler ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 1 q Όλοι σχεδόν οι υπολογισµοί που έχουµε κάνει για την κίνηση ενός στερεού στο σύστηµα συντεταγµένων του στερεού σώµατος Ø Για παράδειγµα η γωνιακή ταχύτητα είναι: ω = i ω i ei q Ωστόσο θα θέλαµε να καταλάβουµε/περιγράψουµε την κίνηση του στερεού ως προς αδρανειακό σύστηµα συντεταγµένων: q Η σύνδεση µεταξύ του περιστρεφόµενου και αδρανειακού συστήµατος γίνεται µέσω: ei = U ij ej j Ø Εποµένως είναι ιδιαίτερα χρήσιµο να υπάρχει ένας ακριβής τρόπος για να παραµετροποιήσουµε τους πίνακες περιστροφής: q Ισχυρισµός: Ένας τυχαίος 3 3 ορθογώνιος πίνακας περιστροφής U ij µπορεί να γραφεί σαν το αποτέλεσµα 3 διαδοχικών περιστροφών,ψ, θ, φ γύρω από 3 διαφορετικούς άξονες συντεταγµένων ( ) = U 3 ψ U ψ,θ,ϕ Ø π.χ U 3 ( ϕ) ( )U 1 ( θ )U 3 ϕ ( ) όπου U j περιγράφει περιστροφή ως προς e j περιγράφει περιστροφή γύρω από τον z-άξονα κατά γωνία φ U 3 ϕ ( ) = cosϕ sinϕ 0 sinϕ cosϕ

2 Γωνίες Euler ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 q Ανάλογα, ο πίνακας περιστροφής U 1 (θ) θα περιγράφει περιστροφή κατά γωνία θ, ως προς τον x-άξονα U 1 ( θ ) = cosθ sinθ 0 sinθ cosθ e j Ø Προσοχή: άξονας ως προς τον οποίο γίνεται η περιστροφή, είναι αυτός όπως έχει προκύψει µετά από κάποια προηγούµενη περιστροφή Ø Γράφοντας αναλυτικά τις περιστροφές: ² ² ² ( ) : U 3 ϕ U 1 ( θ ) : ei e j = ei e j = U 3 ( ψ ) : e i e j = i i i U 3 ϕ ( ) ei ji U 1 ( θ ) ei ji U 3 ( ψ ) ei ji περιστροφή γύρω από τον z-άξονα των αδρανειακών συντεταγµένων περιστροφή γύρω από τον x-άξονα των συντεταγµένων (δηλαδή ex ) περιστροφή γύρω από τον z-άξονα των συντεταγµένων (δηλαδή ez ) Ø Η διαδικασία αυτή επιτρέπει την γραφή της γωνιακής ταχύτητας στο αδρανειακό σύστηµα αναφοράς: e i

3 Γωνίες Euler - Γραφικά ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 3 q Θα µπορούσαµε να δείξουµε τις περιστροφές για τις γωνίες Euler ως εξής: D = = cosϕ sinϕ 0 sinϕ cosϕ C = cosθ sinθ 0 sinθ cosθ B = cosψ sinψ 0 sinψ cosψ cosψ cosϕ cosθ sinϕ sinψ cosψ sinϕ + cosθ cosϕ sinψ sinψ sinθ sinψ cosϕ cosθ sinϕ cosψ sinψ sinϕ + cosθ cosϕ cosψ cosψ sinθ sinθ sinϕ sinθ cosϕ cosθ

4 Γωνίες Euler Γωνιακή ταχύτητα ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 4 q Οι συνιστώσες της γωνιακής ταχύτητας ωστόσο δεν αποτελούν ορθογώνιο σύστηµα. Συγκεκριµένα: ϕ θ ψ z είναι στην κατεύθυνση του αρχικού z - άξονα είναι στην κατεύθυνση του ξ - άξονα είναι στην κατεύθυνση του - άξονα - κλόνηση - spin - µετάπτωση ˆη z z ω ˆη z y ω ξ - κοµβική γραµµή Μπορούµε να γράψουµε την γωνιακή ταχύτητα: ω = ˆη z "ϕ + ˆη ξ "θ + ˆη z ψ" = ˆη x ω 1 + ˆη y ω + ˆη z x ω 1 Παίρνουµε τις συνιστώσες των γωνιακών ταχυτήτων ως προς το τελικό σύστηµα συντεταγµένων x y z ˆη ξ

5 Γωνίες Euler Γωνιακή ταχύτητα ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 5 q Χρησιµοποιώντας τις γωνίες Euler, και τον µετασχηµατισµό περιστροφής µεταξύ των δυο συστηµάτων, w loc = A wgl,η γωνιακή ταχύτητα µπορεί να γραφεί: ω 1 = ϕ ˆη x ˆη z + θ ˆη x ˆη ξ + ψ ˆη x ˆη z ω = ϕ ˆη y ˆη z + θ ˆη y ˆη ξ + ψ ˆη y ˆη z = ϕ ˆη z ˆη z + θ ˆη z ˆη ξ + ψ ˆη z ˆη z = ϕ sinθ sinψ + θ cosψ = ϕ sinθ cosψ θ sinψ = ϕ cosθ + ψ Ø Τα παραπάνω εσωτερικά γινόµενα υπολογίζονται εύκολα παρατηρώντας ότι: H γωνία µεταξύ ẑ ξ είναι 90 ο - ψ ẑ = cos 90 ο ψ H γωνία µεταξύ ẑ z είναι θ Το µοναδιαίο διάνυσµα επί της κοµβικής γραµµής, ˆη ξ ˆη ξ = cosψ ˆη x sinψ ˆη y ( )sinθ ˆη sin( 90 ο ψ )sinθ ˆη cosθ ˆη z q Εποµένως η γωνιακή ταχύτητα συναρτήσει των γωνιών Euler θα γραφεί ως εξής: ω = ˆη z "ϕ + ˆη ξ "θ + ˆη z ψ" = ϕ sinψ sinθ + θ cosψ ϕ cosψ sinθ θ sinψ ϕ cosθ + ψ Ø Στο σύστηµα αναφοράς του περιστρεφόµενου σώµατος x + y +

6 Γωνίες Euler Γωνιακή ταχύτητα q Μπορούµε να εκφράσουµε την Lagrangian µε την µορφή: ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 6 T = 1 M RCM " Ø Θεωρώντας ότι το CM είναι η αρχή του περιστρεφόµενου συστήµατος αναφοράς ( ) + T ( ϕ, θ, ψ ) T = 1 M x + y + z q Αρκετές φορές µπορούµε να ξεχωρίσουµε και την δυναµική ενέργεια: ( ) U = U 1 ( x, y,z) +U ϕ,θ,ψ U 1 = g r Ø U 1 βαρυτικό πεδίο: Ø U µαγνητικό πεδίο, Β, και διπολική ροπή M: U = M B q H Lagrangian µπορεί να γραφεί σαν άθροισµα δυο τµηµάτων: L = L γραµ. ( x, y,z,ϕ,θ,ψ ) + L περ. x, y, z, ϕ, θ, ψ ( ) + i 1 m ir " i

7 Περιστροφή κάτω από εξωτερική ροπή ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 7 q Συζητήσαµε περιπτώσεις στερεών στα οποία δεν υπήρχε εξωτερική ροπή. Ø Εισάγωντας εξωτερικές ροπές, η κατάσταση γίνεται πολύπλοκη Ø Εξισώσεις κίνησης γίνονται: ( ) = τ 1 ( ) = τ ( ) = τ 3 I 1 ω 1 ω I I 3 I ω ω 1 I 3 I 1 I 3 ω 1 ω I 1 I q Θεωρήστε µια περιστρεφόµενη σβούρα: q Ορίζουµε τις γωνίες Euler: Ø Έστω: I 1 = I I 3 Ø H κινητική ενέργεια είναι: T = 1 I 1 ω 1 + ω Ø Αλλά η γωνιακή ταχύτητα γράφεται: ω = ( ) + 1 I 3 "ϕ sinψ sinθ + "θ cosψ "ϕ cosψ sinθ " θ sinψ "ϕ cosθ + " ψ Ø Εποµένως η κινητική ενέργεια είναι: T = I 1 ( θ + ϕ sin θ ) + I 3 ( ) ϕ cosθ + ψ

8 Βαριά Σβούρα ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 8 q Η δυναµική ενέργεια προέρχεται από το ύψος του CM: V = Mgl cosθ Ø και η τελική µορφή της Lagrangian είναι: ( ) + I 3 L = I 1 θ + ϕ sin θ ϕ cosθ + ψ q Οι γωνίες φ και ψ είναι κυκλικές: ( ) Mgl cosθ Ø Υπάρχουν συζυγείς ορµές οι οποίες διατηρούνται: p ϕ q Διατήρηση των δυο ορµών δίνει: p ψ = L ψ = I 3 ϕ cosθ + ψ p ϕ = L ϕ = I 1 ϕ sin θ + I 3 cosθ ϕ cosθ + ψ q Λύνουµε για: ϕ και ψ ϕ = b acosθ sin θ και ( ) p ψ = I 3 = σταθ. I 1 a και ψ = I a 1 I 3 p ψ ( ) p θ = I 1 ω 1 = σταθ. I 1 b cosθ b acosθ sin θ q Χρειάζεται να βρούµε την συνάρτηση θ ( t) για να προσδιοριστούν ϕ ( t) και ψ ( t)

9 Βαριά Σβούρα q Η µηχανική ενέργεια όµως διατηρείται, οπότε µπορούµε να γράψουµε: E = I 1 ( θ + ϕ sin θ ) + I 3 ϕ cosθ + ψ q Ο ος όρος όµως δίνει: 1 I 3 ( ) + Mgl cosθ ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 9 q Και µπορούµε να γράψουµε την ενέργεια µε την µορφή: E = E I 3 E = I 1 θ + I 1 ( b acosθ ) + Mgl cosθ sin θ q Καταλήξαµε σε εξίσωση κίνησης σε 1-διάσταση: Ø Σώµα µε µάζα Ι 1 σε δυναµικό της µορφής: V eff = I 1 b acosθ sinθ q Απλουστεύουµε την εξίσωση κίνησης, ορίζοντας: α E I 3 α = θ + b acosθ Ø Η εξίσωση κίνησης γίνεται: sinθ Ø Αλλάζουµε µεταβλητές: θ u = cosθ Ø Η εξίσωση κίνησης γίνεται: u = 1 u ( ) α βu I 1 + β cosθ ( ) ( b au) και + Mgl cosθ β Mgl I 1

10 ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 10 Βαριά Σβούρα Εξίσωση κίνησης Ποιοτική μελέτη q Βρίσκουµε σαν εξίσωση κίνησης: u = ( 1 u )( α βu) ( b au) q Ολοκλήρωση θα δώσει: t = u( t) ( ) u 0 du ( 1 u ) α βu ( ) ( b au) Ελλειπτικό ολοκλήρωµα q Μπορούµε να µελετήσουµε την κίνηση ποιοτικά (κίνηση σε κεντρικό δυναµικό) [ ] Ø Υπάρχουν όρια στις τιµές του u: u = cosθ u 1,1 ( ) α βu ( ) = 1 u ( ) ( b au) u = f u = βu 3 ( α + a )u + ( ab β )u + ( α b ) 0 Ø H f(u) είναι κυβική συνάρτηση του u µε β Mgl > 0 I 1 Ø Οι δυο οριακές τιµές: f ( ±1) = ( b au) 0 q Οι συνθήκες αυτές περιορίζουν την µορφή της συνάρτησης f(u) q Πολυώνυµο 3 ου βαθµού, οπότε περιµένουµε 3 ρίζες

11 ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 11 Βαριά Σβούρα Ποιοτική Μελέτη Λύσεων - Κλόνηση q Τρεις ρίζες Ø H λύση για 1 u 1 u 1 u 3 u = f u ( ) είναι φραγµένη u 1 u u q H θ ταλαντώνεται µεταξύ των τιµών cos -1 (u 1 ) και cos -1 (u ) q Οι γωνίες φ και ψ προσδιορίζονται από τις: ϕ = b acosθ sin θ και ψ = I 1a I 3 cosθ b acosθ sin θ q Μελετώντας το πρόσηµο της : ϕ = b acosθ = b au sin θ 1 u Ø H ϕ αλλάζει πρόσηµο στο b au = 0 u = u = b a ² u < u 1 ή u > u φ µονότονη ² u 1 < u < u φ αλλάζει κατεύθυνση

12 Βαριά Σβούρα Αρχικές συνθήκες ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 1 q Υποθέστε ότι αρχικά ο άξονας είναι ακίνητος q Θέτουµε την σβούρα σε περιστροφή και την αφήνουµε ελεύθερη q Οι αρχικές συνθήκες είναι: θ t=0 = 0 f ( u t=0 ) = 0 u t=0 = u 1 ή u ϕ t=0 = 0 b au t=0 = 0 u t=0 = u Ø Αρχικά ο άξονας πέφτει Ø Αρχίζει κατόπιν να µεταπίπτει ως προς φ Ø Η διεύθυνση της µετάπτωσης? q Προέλευση της µετάπτωσης? Ø Από διατήρηση της στροφορµής p ψ = L ψ = I 3 και p ϕ = L ϕ = I 1 ϕ sin θ + I 3 cosθ Ø είναι σταθερή Ø Καθώς ο άξονας περιστροφής «πέφτει», ελαττώνεται στην p φ Ø φ πρέπει να αρχίσει να µεταπίπτει για να εξισορροπήσει την απώλεια q Η διεύθυνση της µετάπτωσης είναι ίδια µε αυτή της περιστροφής της σβούρας

13 Βαριά Σβούρα Ομοιόμορφη μετάπτωση ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 13 q Μπορούµε να κάνουµε την σβούρα να µεταπίπτει χωρίς κλόνηση θ = 0 και ϕ = b au 1 u = σταθ. q Χρειάζεται να υπάρχει διπλή ρίζα για f(u)=0 ( ) = 1 u 0 ( ) ( b au 0 ) = 0 ( ) = u 0 ( α βu 0 ) β 1 u 0 ( ) = 0 f u 0 f u 0 ( ) α βu 0 ( ) + α b au 0 I 1 a I 3 β Mgl Mgl = ϕ ( I 3 I 1 ϕ cosθ 0 ) I 1 β = a ϕ ϕ u 0 q Για οποιαδήποτε δεδοµένη τιµή του και γωνία του άξονα περιστροφής. cosθ 0, πρέπει να δοθεί ακριβώς η σωστή ώθηση σε φ ώστε να µην υπάρχει κλόνηση q Εξίσωση ου βαθµού και εποµένως λύσεις Η ίδια σβούρα µπορεί να κάνει είτε γρήγορη είτε αργή µετάπτωση q Για να υπάρχει λύση θα πρέπει I 3 > 4MglI 1 cosθ 0 > I 3 MglI 1 cosθ 0 q Οµοιόµορφη µετάπτωση επιτυγχάνεται από µια γρήγορα περιστρεφόµενη σβούρα

14 Μαγνητική διπολική ροπή ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 14 q Θεωρήστε ένα στερεό σώµα το οποίο αποτελείται από φορτισµένα σωµατίδια Ø Εποµένως θα έχουµε: µάζα m i, φορτίο q i, θέση r i και ταχύτητα υ ι q Υποθέτουµε ότι υπάρχει οµοιόµοργο µαγνητικό πεδίο B Ø Σε κάθε φορτισµένο σωµατίδιο ασκείται µια δύναµη: F i = q i ui B Ø Αν το ΚΜ είναι ακίνητο και q i /m i = σταθ., τότε: F = q i ui B = q m m iu i B = 0 q Η ροπή θα είναι: τ = r i F i = q i ri u i B q Χρησιµοποιώντας τ = q m m i ( ) τ = q m m i u i = ω r i ω r i ( ) ( ) r i B q Χρησιµοποιώντας πολικές συντεταγµένες ( ω r i ) r i B ( ) = ωr i Bsinθ q Υποθέτοντας γρήγορη περιστροφή παίρνουµε µέση τιµή ως προς χρόνο ( ) r i u i B sinϕ cosϕ 0 τ = q m m i ω ( sinθ cosϕ sinθ + cosθ cosθ) ( r i sinθ ) ω B = q m L B r i

15 Μαγνητική διπολική ροπή q H ροπή είναι: τ = q L B m q Μαγνητικό δίπολο M σε πεδίο B αισθάνεται ροπή: τ = M B ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 15 q Ένα γρήγορα περιστρεφόµενο φορτισµένο σώµα έχει µαγνητική ροπή: M = γ L γ = q m Ø όπου: γυροµαγνητικός λόγος q H εξίσωση της κίνησης θα γίνει: d L dt = γ L B q Κάνει το διάνυσµα της στροφορµής να µεταπίπτει γύρω από το Β q Γωνιακή ταχύτητα µετάπτωσης είναι: ω µεταπτ. = γ B = q m B συχνότητα Larmor

16 ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 16 Μαγνητική διπολική ροπή στοιχειωδών σωματιδίων q Σωµατίδια όπως το ηλεκτρόνιο και το πρωτόνιο έχουν Ø σπιν, s Ø µαγνητική ροπή, µ q H εξίσωση του Dirac για σωµατίδια µε σπιν ½ προβλέπει ότι: µ = q m s Ø Διαφέρει από το κλασικό φορτισµένο στερεό σώµα κατά ένα παράγοντα Ø Συνηθίζεται να λέµε µ = gq m s όπου g = 1 κλασικό στερεό σωµατίδιο Dirac q g= για τα ηλεκτρόνια, µιόνια Dirac σωµατίδια q g=.8 για τα πρωτόνια, -1.9 για τα νετρόνια Δεν είναι στοιχειώδη σωµατίδια q µ για τα ηλεκτρόνια και µιόνια είναι γνωστή µε µεγάλη ακρίβεια g ηλεκ. = ± g µιονιου = ± q Όχι ακριβώς Dirac σωµατίδια εξαιτίας ενός νέφους δυνητικών σωµατιδίων που τα περιβάλει εξαιτίας κβαντικών διαταραχών q Η πειραµατική µέτρηση στηρίζεται σε πολύ καλή γνώση του µαγνητικού πεδίου

17 Πείραμα μέτρησης g- του μιονίου ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 q Η πειραµατική µέτρηση στηρίζεται σε πολύ καλή γνώση του µαγνητικού πεδίου q Χρησιµοποιεί µετάπτωση του σπιν των σωµατιδίων q Αποθηκεύει σωµατίδια µε γνωστό προσανατολισµό spin σε µαγνητικό πεδίο gq B q Μέτρηση του προσανατολισµού του spin µετά από χρόνο t: ω µεταπτ. = m 17