Κίνηση στερεών σωμάτων - περιστροφική

Transcript

1 Κίνηση στερεών σωμάτων - περιστροφική ΦΥΣ Διαλ.29 1 q Ενδιαφέρουσα κίνηση: Ø Αρκετά περίπλοκη Ø Δεν καταλήγει σε κίνηση ενός βαθµού ελευθερίας q Τι είναι το στερεό σώµα: Ø Συλλογή υλικών σηµείων των οποίων οι αποστάσεις παραµένουν σταθερές ² Διακριτή ή συνεχή κατανοµή των υλικών σηµείων Ø Ιδανικός ορισµός µια και δεν υπάρχουν τέτοια συστήµατα Ø Τα άτοµα που αποτελούν ένα στερεό κινούνται Μικροσκοπική κίνηση q Ενδιαφερόµαστε για την µακροσκοπική κίνηση στερεών σωµάτων Ø Θα αγνοήσουµε µακροσκοπικές παραµορφώσεις του στερεού - µέγεθος/σχήµα

2 Κίνηση στερεών σωμάτων - περιστροφική q Θεωρήστε ένα στερεό σώµα το οποίο κινείται ελεύθερα στο χώρο ΦΥΣ Διαλ.29 2 q Η δυναµική του σώµατος αυτού περιγράφεται από την Lgrngn: L = T Ø Κινείται ελεύθερα V = q Πρέπει εποµένως να µελετήσουµε την κινητική ενέργεια T q Έστω ότι έχουµε ένα υλικό σηµείο που υπόκειται σε περιστροφή Ø Το διάνυσµα θέσης του σώµατος έστω: r r = r e r = r e σταθερό σύστηµα σύστηµα συντεταγµένων περιστρεφόµενο σύστηµα σύστηµα συντεταγµένων q Για να υπολογίσουµε την ταχύτητα του υλικού σηµείου: Ø Θεωρούµε το σύστηµα συντεταγµένων τέτοιο ώστε: r = σταθ. r " = r "e r " r " = d r = r ( ω e ) r " e = ω r dt q H κινητική ενέργεια θα είναι: T = 1 2 m r " 2 T = 1 2 m ω r Ø Αλλά : ( ) ( ) = = 1 2 m ω 2 r 2 ( ω r ) 2

3 Κίνηση στερεών σωμάτων - περιστροφική ΦΥΣ Διαλ.29 q Θεωρήστε τώρα ένα στερεό αντί του υλικού σηµείου συλλογή υλικών σηµείων Ø Όλα τα σηµεία περιστρέφονται µαζί: Ø Η κινητική ενέργεια θα είναι: T = =1 1 2 m ω 2 2 r ( ω r ) 2 Ø Η κινητική ενέργεια είναι 2 ου βαθµού συνάρτηση της γωνιακής ταχύτητας ω q Μπορούµε να την γράψουµε σε πιο απλή µορφή: T = 1 2 Ø όπου: ω = =1 ω e Ø και: I j = m r 2 δ j r r j =1, j ω I j ω j οι συνιστώσες της ω στο περιστρεφόµενο σύστηµα ένα αντικείµενο µε 9 στοιχεία (,j = 1 ) που ορίζεται ως ο τανυστής της ροπής αδράνειας του στερεού σώµατος Ø Ουσιαστικά γράψαµε: ω 2 = ω ω ω 2 ω 2 = οπότε: m ω 2 r ω j δ j = m ω 2 2 r =1 ο 2 ος όρος δίνει:, j =1 m ω r r j, j ω j = m ω r, j ω δ j ω j o 1 ος όρος του τανυστή αδράνειας ω r = m ( ω r ) 2

4 Κίνηση στερεών σωμάτων - περιστροφική ΦΥΣ Διαλ.29 4 q H κινητική ενέργεια είναι 2ου βαθµού συναρτήσει της γωνιακής ταχύτητας Ø Ο ρόλος της µάζας στην γραµµική κίνηση ασκείται από τον τανυστή αδράνειας T = 1 ω I j ω j όπου: I j = m 2 r δ j r r j 2, j =1 Ø Ο τανυστής αδράνειας είναι µια συλλογή 9 παραµέτρων που µπορούν να προσδιοριστούν για οποιοδήποτε στερεό σώµα Ø Αποτελεί ιδιότητα του στερεού σώµατος ανεξάρτητα της κίνησής του q O τανυστής αδράνειας περιέχει 2 ξεχωριστές ιδιότητες: I j = I j ² δ j είναι συµµετρικό ² το γινόµενο r r j είναι συµµετρικό: Ø Συµµετρικός πίνακας: Ø Χρονικά ανεξάρτητος I j = σταθ. r r j = r j r q Ο τανυστής αδράνειας ορίζεται και για συνεχείς κατανοµές µάζας: Ø Έστω I j = ρ r d rρ r η πυκνότητα µάζας του σώµατος r 2 δ j r e r e j { } ικανοποιεί τις 2 ιδιότητες του τανυστή αδράνειας

5 Κατανόηση ιδιοτήτων του τανυστή αδράνειας ΦΥΣ Διαλ.29 5 q Θα πρέπει να κατανοήσουµε πως µοιάζει ο τανυστής της αδράνειας για διάφορα σώµατα και περιπτώσεις I j = m 2 r δ j r q Ο τανυστής µπορεί να γραφεί µε την µορφή: r j I = =1 m r 2,2 + r 2, m r,1 r,2 m r,1 r, m r,2 r,1 m r,1 + r, m r,2 r, m r, r,1 m r, r,2 m r 2 (,1 + r,2 ) q Τα διαγώνια στοιχεία ονοµάζονται ροπές αδράνειας q Τα µή διαγώνια στοιχεία ονοµάζονται γινόµενα αδράνειας q Αφού ο τανυστής είναι συµµετρικός υπάρχουν 6 ανεξάρτητα στοιχεία q Μπορεί να θεωρηθεί ότι αποτελεί το άθροισµα τανυστών αδράνειας διαφόρων τµηµάτων του σώµατος ² Αυτό εξηγεί την µορφή του τανυστή για µια συνεχή κατανοµή µάζας

6 ΦΥΣ Διαλ.29 6 Υπολογισμός του τανυστή αδράνειας ομογενούς κύβου q Θεωρούµε µια κορυφή του κύβου ως την αρχή του συστήµατος συντεταγµένων q Οι άξονες του συστήµατος είναι κατά µήκος των τριών ακµών του : ê 1 Ø Η πυκνότητα µάζας είναι ρ=σταθ.=m/v=m/ : ê O Ø Για συνεχή κατανοµή µάζας, ο τανυστής αδράνειας είναι: ê 2 I j = d rρ r r 2 δ j r e r e j { } dr 1 I 11 = ρ dr dr 2 r r = 2 ρ5 = 2 M2 I 12 = ρ r 1 dr 1 dr 2 r 2 dr = 1 4 ρ5 = 1 4 M2 I 11 = I 22 = I = 2 M2 και I 12 = I 1 = I 2 = 1 4 M2 Ø O τανυστής αδράνειας είναι: I = 2M 2 M 2 4 M 2 4 M 2 4 2M 2 M 2 4 M 2 4 M 2 4 2M 2

7 Διαγωνοποίηση του τανυστή αδράνειας ΦΥΣ Διαλ.29 7 q Ο τανυστής αδράνειας είναι πραγµατικός και συµµετρικός Ø Μπορεί να διαγωνοποιηθεί q Υπάρχει ένας ορθογώνιος πίνακας, Ο, τέτοιος ώστε: OIO Τ διαγώνιος ² Θυµηθείτε ότι ένας ορθογώνιος πίνακας αντιπροσωπεύει περιστροφή Ø Συγκεκριµένα: OIO Τ = I 1 I 2 Ø O ορθογώνιος πίνακας, Ο, αντιπροσωπεύει την απαραίτητη περιστροφή τέτοια ώστε ο πίνακας Ι να έρθει σε διαγώνια µορφή q Ορίσαµε τον τανυστή αδράνειας µέσω συστήµατος συντεταγµένων, που περιστρέφονταν µαζί µε το σώµα q Μπορούµε να ορίσουµε ένα νέο σύστηµα αναφοράς µε άξονες ως προς το οποίο ο τανυστής αδράνειας είναι διαγώνιος Ø Συγκεκριµένα: ê = O j ej και ο πίνακας Ο δεν εξαρτάται από τον χρόνο Ø Δηλαδή αν υπολόγιζα τον τανυστή αδράνειας απευθείας στο σύστηµα αναφοράς των ο τανυστής, I j, θα ήταν διαγώνιος Ø Οι άξονες ê ê I ονοµάζονται κύριοι άξονες του στερεού σώµατος ê e

8 Διαγωνοποίηση του τανυστή αδράνειας ΦΥΣ Διαλ.29 8 q Δεν υπάρχει τρόπος να ξέρουµε τους άξονες που διαγωνοποιούν τον I Ø Χρειάζεται να βρεθεί ο Ι ως προς κάποιο σύστηµα αναφοράς Ø Μετά διαγωνοποιείται σύµφωνα µε τους τρόπους διαγωνοποίησης Ø Οι τρεις στήλες ή γραµµές του ορθογώνιου πίνακα που διαγωνοποιεί τον Ι αποτελούν τους άξονες ως προς τους οποίους ο Ι είναι διαγώνιος q Ωστόσο οι κύριοι άξονες είναι οι άξονες συµµετρίας του στερεού σώµατος Ø Τα διαγώνια στοιχεία του διαγωνοποιηµένου τανυστή αδράνειας είναι οι ιδιοτιµές του τανυστή Ø Οι άξονες ως προς τους οποίους διαγωνοποιείται ο τανυστής είναι τα ιδιοδιανύσµατα του τανυστή Ø Οι ιδιοτιµές του τανυστή αδράνειας είναι πραγµατικές και θετικές σταθερές Ø Αυτό ισχύει γιατί: ² Έστω το µοναδιαίο διάνυσµα c : c 2 2 = c = 1 ( 2 ) ² τότε: I j c c j = m r 2 c 2 r c, j ² αλλά: r 2 c 2 r c 2 = r 2 ( r c ) 2 m ( ) I j c c j ² Εποµένως όλες οι κύριες τιµές της ροπής αδράνειας είναι θετικές j

9 ΦΥΣ Διαλ.29 9 Ιδιότητες του διαγωνοποιημένου τανυστή αδράνειας q Είδαµε ότι οι κύριες τιµές της ροπής αδράνειας είναι θετικές I j c c j = m r 2 c 2 ( r c ) 2 m ( ) I j c c j, j ² Θυµηθείτε επίσης ότι εφόσον τα είναι ιδιοδιανύσµατα του τανυστή αδράνειας (από γραµµική άλγεβρα) η σχέση δίνει την αντίστοιχη ιδιοτιµή m ê ê Τ I ê q Συνέπεια της σχέσης είναι ότι: όταν η σχέση στην παρένθεση είναι τότε µια κύρια τιµή της ροπής αδράνειας είναι µηδέν Ø Τότε όµως όλες οι µάζες ή κατανοµή µάζας είναι κατά µήκος ενός κύριου άξονα q Μπορείτε να αποδείξετε ότι δυο κύριες τιµές της ροπής αδράνειας είναι µηδέν αν το στερεό είναι υλικό σηµείο j

10 Παράδειγμα υπολογισμού τανυστή αδράνειας ΦΥΣ Διαλ.29 1 q Έστω σηµειακή µάζα σε θέση R από την αρχή του συστήµατος συντεταγµένων. Θέλουµε να υπολογίσουµε την ροπή αδράνειας ως προς την αρχή και την Τ y z O R = Rẑ x Ø O τανυστής αδράνειας θα είναι: I j = m R 2 δ j R R j I z = m( R 2 R z R z ) = η κύρια τιµή της ροπής αδράνειας απαλείφεται ως προς τον z-άξονα Ø Οι καρτεσιανές συντεταγµένες για την περίπτωση αυτή είναι οι κύριοι άξονες του τανυστή αδράνειας. = mr 2 = I y I x = m R 2 R x R x

11 Λεπτή ράβδος q Ράβδος µήκους L µε γραµµική πυκνότητα Ποια η ροπή αδράνειας ως προς το κέντρο της y z O x ρ = M L ΦΥΣ Διαλ κατά µήκος του z-άξονα. Ø Οι κύριοι άξονες θα είναι οι τρεις άξονες x,y και z: I z = L 2 ( 2 ) dz r 2 r L 2 ẑ = dz z 2 z 2 L 2 = L 2 Ø H Ι z της ροπής αδράνειας µηδενίζεται γιατί η κατανοµή της µάζας είναι συγγραµµική µε τον κύριο άξονα I x = M L L 2 L 2 dz( z 2 x 2 ) = M L L 2 L 2 z 2 dz = ML2 12 = I y