Hypothesis Testing Exercises

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Hypothesis Testing Exercises"

Μένθη Φωτόπουλος
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Hypothesis Testing Exercises Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü January 28, 2011

2 1. Óôá ðëáßóéá åíüò ðñïãñüììáôïò ãéá ôïí Ýëåã ï ôçò öõìáôßùóçò, ó åäéüóôçêå ï øåêáóìüò êáé ôùí óðéôéþí ìéáò áãñïôéêþò ðåñéï Þò ìå åíôïìïêôüíï. ¹ôáí áðáññáßôçôï íá ãíùñßæïõìå ôçí ðïóüôçôá ðïõ èá ñåéáæüôáí, êáé ìéáò êáé äåí çôáí åöéêôü íá ìåôñþóïõìå êáé ôá óðßôéá Ýíá äåßãìá 100 óðéôéþí åðéëý èçêå êáé ìåôñþèçêå ç åðéöüíåéá ãéá øåêáóìü. Ç ìýóç ôéìþ Þôáí 23:3m 2 ìå ôõðéêþ áðüêëéóç 5:9m. Ìéáò êáé åßíáé áðßèáíï ï äåéãìáôéêüò ìýóïò íá éóïýôáé áêñéâþò ìå ôï óõíïëéêü ìýóï ôùí óðéôéþí, âñåßôáé 95% äéüóôçìá åìðéóôïóýíçò ãéá ôçí åðéöüíåéá øåêáóìïý. 2. Èåùñåßóôáé ôá áêüëïõèá áðïôåëýóìáôá áðü åìâïëéáóìü ãéá ôç ãñßðç êáôü ôç äéüñêåéá åðéäçìßáò ãñßðçò. 20 áðü ôïõò 240 ðïõ Ýëáâáí ðñáãìáôéêü åìâüëéï êþëõóáí ìå ôïí éü, åíþ 80 áðü 220 ðïõ Ýëáâáí placebo êùëõóáí ôïí éü. Åßíáé áõôü ôï áðïôýëåóìá áñêåôá ðéóôçêü üôé ôï åìâüëéï åßíáé áðïôåëåóìáôéêü; 3. ÕðÜñ åé ç õðüèåóç üôé Üíèñùðïé ðïõ ðåèáßíïõí ìðïñïýí íá êáèõóôåñßóïõí ôïí èáíáôü ôïõò ãéá ìåôü ôçí ðñáãìáôïðïßçóç åíüò óçìáíôéêïý ãåãïíüôïò. Ãéá ðáñüäåéãìá, óå ìåëýôç 1919 áíèñþðùí ìå Åâñáúêü üíïìá âñýèçêå üôé 922 ðåèáíáí ðñßí ôçí åâäïìüäá ôïõ Passover êáé 997 ôçí åâäïìüäá ìåôü. ÕðÜñ åé áñêåôþ ðëçñïöïñßá íá áðïññßøïõìå ôçí õðüèåóç üôé åéíáé ôï ßäéï ðéèáíü êüðïéïò íá ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 1

3 ðåèüíåé ôçí åâäïìüäá ðñéí ôï Passover ìå ôçí åâäïìüäá áêñéâþò ìåôü; 4. óôù 1 ; 2 ; : : : ; n ôõ áßï äåßãìá áðü ðëçèõóìü ìå åêèåôéêþ êáôáíïìþ: f(x; è) = èe èx ; 0 < x < ; 0 < è < : (a) Íá âñåèåß ç åêôéìþôñéá ìåãßóôçò ðéèáíïöüíåéáò ôçò ðáñáìýôñïõ è. (b) ÐñáãìáôïðïéÞóôå ôïí Ýëåã ï H 0 : è = è 0 Ýíáíôé Ç 1 : è = è 1 ìå åðßðåäï óçìáíôéêüôçôáò á, üðïõ è 0 < è 1. (c) Ôé èá ìðïñïýóáìå íá ðïýìå ãéá ôïí ðéï ðüíù Ýëåã ï Üí è 0 > è óôù 1 ; 2 ; : : : ; n ôõ áßï äåßãìá áðü N(ì; ó 2 ), ìå ó 2 ãíùóôü. ÐñáãìáôïðïéÞóôå Ýíáí 2 Ýëåã ï ãéá ôçí õðüèåóç Ç 0 : ì = ì 0 Ýíáíôé ôçò Ç 1 : ì ì óôù 1 ; 2 ; : : : ; n ôõ áßï äåßãìá áðü P oisson(è 0 ) êáé ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 2

4 Õ 1 ; Õ 2 ; : : : ; Õ k ôõ áßï äåßãìá áðü P oisson(è 1 ). ÅëÝãîôå ôçí õðüèåóç Ç 0 : è 0 = è 1 Ýíáíôé ôçò Ç 1 : è 0 è Ãéá Ýíá ôõ áßï äåßãìá x 1 ; x 2 ; :::; x n áðü Bernoulli(p) èýëïõìå íá êüíïõìå ôïí Ýëåã ï Ç 0 : p = 0:49 H 1 : p = 0:51: Èåùñþíôáò üôé ôï n åßíáé ìåãüëï õðïëïãßóôå, êáôü ðñïóýããéóç, ôï ìýãåèïò ôïõ äåßãìáôïò n Ýôóé þóôå ïé äýï ðéèáíüôçôåò óöüëìáôïò íá åßíáé ðåñßðïõ ßóåò ìå íá ìç Üíçìá åßíáé ñõèìéóìýíï íá âãüæåé çìü óå ðïôþñé ßóï ìå ì cl. óôù óå Ýíá äåßãìá 100 ðïôçñéþí ç ìýóç ðïóüôçôá õìïý Þôáí 48 cl. í õðïèýóïõìå üôé ó = 5 cl, ôüôå Õðïëïãßóôå ôá 90% êáé 95% Ä.Å. ãéá ôï ì. Ôé ìýãåèïò äåßãìáôïò áðáéôåßôáé Ýôóé þóôå ôï ì íá âñßóêåôå åíôïò 0:5cl óôï 95% Ä.Å. (±0:5); Íá åëýã èåß ç õðüèåóç üôé ç ìýóç ðïóüôçôá õìïý ðïõ âãáßíåé áðü ôï ìç Üíçìá åßíáé ßóç ìå 49cl óå 5% å.ó. ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 3

5 Ìðïñïýìå íá áðïñßøïõìå ôçí õðüèåóç üôé ç ìýóç ðïóüôçôá õìïý åßíáé ßóç Þ ìéêñüôåñç ôùí 47cl; 9. Óå Ýíáí Ýëåã ï ðïõ Ýãéíå óå Ýíá êáôüóôçìá ãéá ôï êáôü ðüóï ïé ðåëüôåò Ýìåéíáí éêáíïðïéçìýíïé áðü ôéò õðçñåóßåò ñùôþèçêáí 80 ðåëüôåò êáé âñýèçîáí 60 íá åßíáé éêáíïðïéçìýíïé. Õðïëïãßóôå ôï 95% Ä.Å. ãéá ôï ðïóïóôü ôùí ðåëáôþí ðïõ Ýìåéíáí éêáíïðïéçìýíïé. 10. íá ôõ áßï äåßãìá áðü 10 ìáèçôýò êáé Ýíá ôõ áßï äåßãìá áðü 10 ìáèþôñéåò Ýäùóáí ìýóï ýøïò áíôßóôïé á 152 êáé 149 åêáôïóôü. (a) Íá åêôéìçèåß ç äéáöïñü ôùí ìýóùí ôéìþí ôùí ðëçèõóìþí ôùí ìáèçôþí êáé ìáèçôñéþí. (b) Íá êáôáóêåõáóôåß ôï 95% äéüóôçìá åìðéóôïóýíçò ôçò äéáöïñüò ôùí ìýóùí ôéìþí ôùí ðëçèõóìþí áõôþí. ÕðïèÝóôå üôé: (i) Ôï ýøïò ôïõ ðëçèõóìïý ôùí ìáèçôþí áêïëïõèåß êáíïíéêþ êáôáíïìþ ìå äéáóðïñü 25 åíþ ôï ýøïò ôùí ìáèçôñéþí êáíïíéêþ êáôáíïìþ ìå äéáóðïñü 49. (ii) Ôá ýøç ôùí ìáèçôþí êáé ìáèçôñéþí ðñïýñ ïíôáé áðü êáíïíéêýò êáôáíïìýò ìå Üãíùóôåò áëëü ßóåò äéáóðïñýò, åíþ ïé ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 4

6 äåéãìáôéêýò äéáóðïñýò ôùí õøþí ôùí 10 ìá-èçôþí êáé ìáèçôñéþí åßíáé áíôßóôïé á 20 êáé Ðüóïõò öïéôçôýò ôïõ Âéïëïãéêïý ÔìÞìáôïò ðñýðåé íá ñùôþóïõìå ãéá ôï âáèìü ôïõò óôá ÂéïìáèçìáôéêÜ þóôå íá êáôáóêåõüóïõìå Ýíá ä.å. óõíôåëåóôïý åìðéóôïóýíçò 99% ãéá ôï ìýóï âáèìü ôïõò ìå áðüëõôï óöüëìá åêôßìçóçò ôï ðïëý 1/2, üôáí ç ôõðéêþ áðüêëéóç åßíáé 3; 12. Ç ðïóüôçôá ïéíïðíåýìáôïò óôï áßìá (mg/lt) óå 120 ôõ áßá åðéëåãìýíùí ïäçãþí ìéáò ðüëçò êáé 80 ôõ áßá åðéëåãìýíùí ïäçãþí ìéáò ðüëçò Õ âñýèçêå: X 1 ; X 2 ; :::; X 1 20 êáé Y 1 ; Y 2 ; :::; Y 8 0. ÌåôÜ áðü åðåîåñãáóßá ôùí äåäïìýíùí ðñïýêõøå üôé 120 i=1 x i = 120; 120 i=1 x 2 i = 300 êáé ïìïßùò, 80 j=1 y j = 100; 80 j=1 y 2 j = 600: ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 5

7 (a) Íá õðïëïãéóôïýí ïé äåéãìáôéêïß ìýóïé X, Ȳ êáèþò êáé ïé äåéãìáôéêýò ôõðéêýò áðïêëßóåéò S 1, S 2 ôùí äýï äåéãìüôùí. (b) óôù ì 1 êáé ì 2 ïé èåùñçôéêïß ìýóïé óôéò äýï ðüëåéò. (i) ÅëÝãîôå ôçí õðüèåóç Ç 0 : ì 1 ì 2 Ç 1 : ì 1 < ì 2 ; (ii) óå á = 0:05. Íá êáôáóêåõáóôåß Ýíá 95% ä.å. ãéá ôï ì 1, ãéá ôï ì 2 êáé ãéá ôç äéáöïñü ì 1 ì 2. ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 6

Σχετικά έγγραφα

Estimation Theory Exercises*

Estimation Theory Exercises* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@math.uoa.gr December 22, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô. ÐáðáúùÜííïõ, ôéò óçìåéþóåéò