Chi-Square Goodness-of-Fit Test*

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Chi-Square Goodness-of-Fit Test*"

Αιθήρ Καλαμογδάρτης
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Chi-Square Goodness-of-Fit Test* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü February 6, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô ÐáðáúùÜííïõ êáé ôá âéâëßá "Mathematical Statistics" ôïõ John E Freund êáé "Statistical Inference" ôùí George Casella êáé Roger L Berger

2 ëåã ïò ÓõãêåêñéìÝíçò ÐïëõùíõìéêÞò ÊáôáíïìÞò Ôï ðéï ãíùóôï ôýóô êáëþò ðñïóáñìïãþò åßíáé ôï 2 áðü ôïí K Pearson ôï 1900 Ï Ýëåã ïò áîéïëïãåß êáôü ðüóï ðïëõïíõìéêýò ðéèáíüôçôåò åßíáé ßóåò ìå êüðïéåò õðïèåôéêýò ôéìýò [È]: óôù ç Ç 0 üôé k ðáñüìåôñïé {ð 1 ; ð 2 ; :::; ð k } ìéáò ÐÊ Ý ïõí ôéìýò ßóåò ìå êüðïéåò óõãêåêñéìýíåò ôéìýò {ð 1 ; ð 2 ; :::; ð k }, üðïõ k ð i = k ð i = 1 ¼ôáí Ç 0 áëçèþò, ïé áíáìåíüìåíåò ôéìýò ôùí êáôçãïñéþí åßíáé ôçò ÐÊ åßíáé m i e i = nð i, üðïõ i = 1; :::; k Ìå âüóç ôéò óõ íüôçôåò ôïõ äåßãìáôïò {n 1 ; n 2 ; :::; n k }, ï Pearson ðñüôåéíå þò ÓÓÔ ôçí ðïóüôçôá X 2 = (ni m i ) 2 m i = (ni nð i ) 2 nð i (o i e i ) 2 e i ; ç ïðïßá áêïëïõèåß áóõìðôùôéêü ôçí 2 k 1 Óõíåðþò X 2 = (ni nð i ) 2 nð i (o i e i ) 2 e i 2 k 1 : ëåã ïé ÊáëÞò ÐñïóáñìïãÞò 1

3 Ó üëéá: Éó ýåé: n i = m i = n Eðßóçò: X 2 = (ni nð i ) 2 nð i = 2 ni m i n To p-value äßíåôå áðü ôç ó Ýóç P ( 2 k 1 X 2 observed): [Ð 1]: ÆÜñé ôï ñß íïõìå 60 öïñýò êáé ðáßñíïõìå ôá áðïôåëýóìáôá áðïôýëåóìá óõ íüôçôá ïõìå: Ç 0 : ð i = 1 6, üðïõ i = 1; 2; 3; 4; 5; 6 Õðïëïãßæïõìå: e i = n ð i = = 10, Üñá áðïôýëåóìá óõ íüôçôá áíáìåíüìåíç ôéìþ Ç ëåã ïé ÊáëÞò ÐñïóáñìïãÞò 2

4 Óõíåðþò X 2 = (13 10)2 (19 10)2 (11 10) (8 10)2 (5 10)2 (4 10) = 15:5; êáé 2 k 1;á = 2 5;0:05 = 11:1: Ïðüôå, áöïý X 2 = 15:6 > 11:1 = 2 5;0:05, áðïññßðôïõìå ôçí Ç 0 üôé ôï æüñé åéíáé áìåñüëçðôï [Ð 2]: (Èåùñßá Mendel): Ï Mendel äéáóôáýñùóå pea plants of pure yellow strain ìå öõôü of pure green strain êáé Ýêáíå ôçí ðñüâëåøç üôé ôï 25% ôùí óðüñùí õâñéäéêþí óðüñùí 2çò ãåíéüò èá åßáíé ðñüóéíïé êáé 75% êßôñéíïé, ìéáò êáé êßôñéíï åßíáé ôï êõñßáñ ï åßäïò (strain) Óå ðåßñáìá ìå n = 8023 óðüñïõò Ýëáâå n 1 = 6022 êßôñéíïõò êáé n 2 = 2001 ðñüóéíïõò í ç õðüèåóç ôïõ Þôáí ïñèþ ôüôå ïé áíáìåíüìåíåò óõ íüôçôåò èá Þôáí m 1 = nð 1 = 6017:25 êáé m 2 = nð 2 = 2005:75 Óõíåðþò X 2 = ( :75)2 2005:75 + ( :25)2 6017:25 = 0:015; ëåã ïé ÊáëÞò ÐñïóáñìïãÞò 3

5 ôï ïðïßï äßíåé p-value=088, ôï ïðïßï åðéâåâáéþíåé ôçí áñ éêþ èåùñßá ëåã ïé ÊáëÞò ÐñïóáñìïãÞò 4

6 ëåã ïò ÐïëõùíõìéêÞò ÊáôáíïìÞò ìå ãíùóôåò ÐáñáìÝôñïõò ¼ôáí ïé ðáñüìåôñïé ð 1 ; ð 2 ; :::; ð k åßíáé Üãíùóôïé, èá ðñýðåé íá åêôéìçèïýí áðü ôá äåäïìýíá êáé ìåôü íá ñçóéìïðïéçèåß ï ôýðïò ôïõ 2 ìå ôç äéáöïñü üôé e i = nˆð i, üðïõ ˆð i ïé ÅÌÐ ôùí áãíþóôùí ðáñáìýôñùí êáé ç êáôáíïìþ èá åßíáé 2 k 1 s, üðïõ s ï áñéèìüò ôùí åêôéìþìåíùí ðáñáìýôñùí [È]: í ïé ðáñüìåôñïé ð 1 ; ð 2 ; :::; ð k ôçò ÐÊ åîáñôþíôáé áðü Üëëåò Üãíùóôåò ðáñáìýôñïõò, è,äçë ð i = ð i (è), ôüôå X 2 = [n i nð i (ˆè)] 2 nð i (ˆè) 2 k 1 s : [Ð ]: Óå ðñüâëçìá ãåíåôéêþò ìéá ïìüäá âéïëüãùí ðñïôåßíåé ìïíôýëï ôñéùíõìéêþò êáôáíïìþò ìå ð 1 = è 2, ð 2 = 2è(1 è) êáé ð 3 = (1 è) 2 üðïõ 0 < è < 1 ÅÜí n = 50 ìå óõ íüôçôåò n 1 = 15, n 2 = 10 êáé n 3 = 25, íá åëåã èåé Üí ôá äåäïìýíá áêïëïõèïýí ôçí ôñéùíõìéêþ êáôáíïìþ ìå ôéò ðéï ðüíù ðéèáíüôçôåò ëåã ïé ÊáëÞò ÐñïóáñìïãÞò 5

7 [Ëýóç]: ÅëÝã ïõìå Ç 0 : ð i = ð i Ýíáíôé ôçò Ç 1 : ð i ð, üðïõ i ð i ïé ðéèáíüôçôåò ðïõ äßíïíôáé ùò óõíüñôçóç ôùí è Ðáßñíïõìå ôçí ðéèáíïöüíåéá L(è n) = n! n 1!n 2!n 3! ðn 1 1 ðn 2 2 ðn 3 3 = cè2n 1 [2è(1 è)] n 2 [1 è] 2n 3 Þ log L(è n) = log c+2n 1 log è+n 2 log 2è+n 2 log(1 è)+2n 3 log(1 è) êáé log L(è = 2n 1 è + n 2 è n 2 1 è 2n 3 1 è ˆè = 2n 1 + n 2 2n Ìå ôá äåäïìýíá ðïõ Ý ïõìå ðáßñíïõìå : ˆè = = 0:4: Ïðüôå ðáßñíïõìå ˆð 1 = ˆè2 = 0:16, ˆð 2 = 2ˆè(1 ˆè) = 0:48 êáé ˆð 3 = (1 ˆè) 2 = 0:36 êáé e 1 = nˆð 1 = 8, e 2 = nˆð 2 = 24 êáé ëåã ïé ÊáëÞò ÐñïóáñìïãÞò 6

8 e 3 = nˆð 3 = 18 ÂÜóç ôùí ðéï ðüíù ðáßñíïõìå 2 = (15 8)2 8 + (10 24) (25 18)2 18 = 17 êáé 2 k 1 s;á = ;á = 1;0:025 2 = 5:024: ñá 2 > 1;0:025 2 êáé óõíåðþò áðïññßðôïõìå ôçí Ç 0 [Ð ] (ðáñ 724 óåë 285) ëåã ïé ÊáëÞò ÐñïóáñìïãÞò 7

9 ëåã ïò Ìç ÐïëõùíõìéêÞò ÊáôáíïìÞò ¼ôáí ïé ðáñáôçñþóåéò Ýñ ïíôáé áðü ìþ ÐÊ ôüôå ùñßæïõìå ôïí Üîïíá ôùí ðáñáôçñþóåùí óå k îýíá ìåôáîý ôïõò äéáóôþìáôá Å 1 ; Å 2 ; :::; Å k êáé õðïüãßæïõìå P (Å 1 ); P (Å 2 ); :::; P (Å k ) ìå ôç âïþèåéá ôçò èåùñçôéêþò êáôáíïìþò ÌåôÜ óõíå ßæïõìå üðùò ðñéí [Ð ] (725, óåë 289) ëåã ïé ÊáëÞò ÐñïóáñìïãÞò 8

10 Ãéíüìåíï Ðïëõùíõìéêþí Êáôáíïìþí ëåã ïé ÊáëÞò ÐñïóáñìïãÞò 9

11 Ðßíáêåò ÓõíÜöåéáò (Ýëåã ïò áíåîáñôçóßáò) óôù ï Ðßíáêáò Xáñáê Â áñáê Á B 1 B 2 : : : B j : : : B c Á 1 n 11 n 12 : : : n 1j : : : n 1c n 1: Á 2 n 21 n 22 : : : n 2j : : : n 2c n 2: Á i n i1 n i2 : : : n ij : : : n ic n i: Á r n r1 n r2 : : : n rj : : : n rc n r: n :1 n :2 : : : n :j : : : n :c n ÅÜí ç ðéèáíüôçôá ð ij ìéá ðáñáôþñçóç íá áíþêåé óôï êåëß ôçò ãñáììþò i êáé ôçò óôþëçò j, ôüôå ð i: = j ð ij åßíáé ç ðéèáíüôçôá ç ðáñáôþñçóç íá áíþêåé óôçí ãñáììþ i êáé ð :j = i ð ij ëåã ïé ÊáëÞò ÐñïóáñìïãÞò 10

12 ç áíôßóôïé ç ðéèáíüôçôá ç ðáñáôþñçóç íá áíþêåé óôçí óôþëç j ôóé åëýã ïõìå H 0 : ð ij = ð i: ð :j Ýíáíôé ôçò H 1 : ð ij ð i: ð :j H áðü êïéíïý êáôáíïìþ ôùí ôì n ij åßíáé ç ÐÊ êáé üðùò ìý ñé ôùñá, õðïëïãßæïõìå X 2 = i j (n ij e ij ) 2 e ij ìå áóõìðôùôéêþ êáôáíïìþ 2 ìå rc 1 BE ëüãù ôçò ó Ýóçò p ij = 1 í ëïéðüí ôá ð i: êáé ð :j ãíùóôü ôüôå ëåéôïõñãïýìå üðùò êáé ðñßí ìå êð 2 2 rc 1;á : ¼ôáí üìùò ôá ð i: êáé ð :j Üãíùóôá, ôüôå õðïëïãßæïõìå ôïõò ÅÌÐ ðïõ åßíáé (üôáí éó ýåé ç Ç 0 ) ˆð i: = n i: n êáé ˆð :j = n :j n : ëåã ïé ÊáëÞò ÐñïóáñìïãÞò 11

13 ôóé ç óó (n ij e ij ) 2 X 2 = i õðïëïãßæåôáé ìå êáé êð e ij j e ij = nˆð ij = n i:n :j n 2 2 (r 1)(c 1);á ; áöïý ïé ÂÅ åßíáé rc 1 [(r 1) + (c 1)] [Ð ]: (741 - óåë 300) ëåã ïé ÊáëÞò ÐñïóáñìïãÞò 12

Σχετικά έγγραφα

Estimation Theory Exercises*

Estimation Theory Exercises* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@math.uoa.gr December 22, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô. ÐáðáúùÜííïõ, ôéò óçìåéþóåéò