Óõíå Þ êëüóìáôá & Áöáéñåôéêüò Åõêëåßäåéïò áëãüñéèìïò
|
|
|
- Ξάνθιππος Δημαράς
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Óõíå Þ êëüóìáôá & Áöáéñåôéêüò Åõêëåßäåéïò áëãüñéèìïò Áããåëßíá ÂéäÜëç åðéâëýðùí êáèçãçôþò: ÃéÜííçò Ìïó ïâüêçò Q 13 Éïõíßïõ, 2009
2 ÄïìÞ äéðëùìáôéêþò åñãáóßáò 1o êåö. ÅéóáãùãÞ óôá óõíå Þ êëüóìáôá 2ï êåö. Ëßãç Èåùñßá Áñéèìþí 3ï êåö. ÌÝóç ðïëõðëïêüôçôá Áöáéñåôéêïý Åõêëåéäåßïõ Áëãüñßèìïõ: Ðñüâëçìá: óôù n óôáèåñü. (Êáé üóï ñåéüæåôáé ìåãüëï) 1 m n S(n) =E(Ðüóåò áöáéñýóåéò êüíåé ï áëãüñéèìïò ãéá íá âñåé ôïí ì.ê.ä(n; m);) Èåþñçìá (Yao & Knuth 1979) S(n) = 6 2 (ln n)2 + O(log n(log log n) 2 )
3 Óõíå Þ êëüóìáôá Óõíå Þ êëüóìáôá êáé Q-ðïëõþíõìá ðåéñá óõíå Þ êëüóìáôá Óõíå Þ êëüóìáôá êáé Åõêëåßäåéïò Áëãüñéèìïò Áöáéñåôéêüò Åõêëåßäåéïò áëãüñéèìïò ÁíÜëõóç ìýóïõ áñéèìïý âçìüôùí Ç-áíáðáñáóôÜóåéò
4 ÐåðåñáóìÝíá óõíå Þ êëüóìáôá ðåðåñáóìýíï óõíå Ýò êëüóìá óôéò ìåôáâëçôýò x 1 ; x 2 ; : : : ; x n : x 0 + x 1 + óõìâïëéóìüò: =x 0 ; x 1 ; : : : ; x N = Ð x x N =x 0 ; x 1 = = x x 1 = x 0x =x 0 ; x 1 ; x 2 = = x x x 2 = x 1 x 0 x 1 x 2 + x 2 + x 0 x 2 x 1 :
5 Q-ðïëõþíõìá Ïñéóìüò Ãéá n 0: Q 0 = 1 Q 1 (x 1 ) = x 1 Q n (x 1 ; x 2 ; : : : ; x n ) = x 1 Q n 1 (x 2 ; : : : ; x n ) + Q n 2 (x 3 ; : : : ; x n )
6 Q-ðïëõþíõìá Ïñéóìüò Ãéá n 0: Q 0 = 1 Q 1 (x 1 ) = x 1 Q n (x 1 ; x 2 ; : : : ; x n ) = x 1 Q n 1 (x 2 ; : : : ; x n ) + Q n 2 (x 3 ; : : : ; x n ) Êáô' áõôüí ôïí ôñüðï ðáßñíïõìå: Q 1 (x 1 ) = x 1 Q 2 (x 1 ; x 2 ) = x 1 x Q 3 (x 1 ; x 2 ; x 3 ) = x 1 x 2 x 3 + x 1 + x 3 Q 4 (x 1 ; x 2 ; x 3 ; x 4 ) = x 1 x 2 x 3 x 4 + x 1 x 4 + x 3 x 4 + x 1 x 2 + 1:
7 Èåþñçìá (L. Euler) Ôï ðïëõþíõìï Q n (x 1 ; x 2 ; : : : ; x n ) åßíáé ôï Üèñïéóìá üëùí ôùí üñùí ðïõ ìðïñïýí íá êáôáóêåõáóôïýí îåêéíþíôáò áðü ôï ãéíüìåíï: 1 x 1 x 2 x n êáé ðáñáëåßðïíôáò 0 Þ ðåñéóóüôåñá ìç åðéêáëõðôüìåíá æåõãüñéá äéáäï éêþí ìåôáâëçôþí x j x j x 1 x 2 x 3 x 4 Q 4 (x 1 ; x 2 ; x 3 ; x 4 ) = x 1 x 2 x 3 x 4 + x 3 x 4 + x 1 x 4 + x 1 x 2 + 1:
8 Èåþñçìá (L. Euler) Ôï ðïëõþíõìï Q n (x 1 ; x 2 ; : : : ; x n ) åßíáé ôï Üèñïéóìá üëùí ôùí üñùí ðïõ ìðïñïýí íá êáôáóêåõáóôïýí îåêéíþíôáò áðü ôï ãéíüìåíï: 1 x 1 x 2 x n êáé ðáñáëåßðïíôáò 0 Þ ðåñéóóüôåñá ìç åðéêáëõðôüìåíá æåõãüñéá äéáäï éêþí ìåôáâëçôþí x j x j x 1 x 2 x 3 x 4 Q 4 (x 1 ; x 2 ; x 3 ; x 4 ) = x 1 x 2 x 3 x 4 + x 3 x 4 + x 1 x 4 + x 1 x 2 + 1:
9 Èåþñçìá (L. Euler) Ôï ðïëõþíõìï Q n (x 1 ; x 2 ; : : : ; x n ) åßíáé ôï Üèñïéóìá üëùí ôùí üñùí ðïõ ìðïñïýí íá êáôáóêåõáóôïýí îåêéíþíôáò áðü ôï ãéíüìåíï: 1 x 1 x 2 x n êáé ðáñáëåßðïíôáò 0 Þ ðåñéóóüôåñá ìç åðéêáëõðôüìåíá æåõãüñéá äéáäï éêþí ìåôáâëçôþí x j x j x 1 x 2 x 3 x 4 Q 4 (x 1 ; x 2 ; x 3 ; x 4 ) = x 1 x 2 x 3 x 4 + x 3 x 4 + x 1 x 4 + x 1 x 2 + 1:
10 Èåþñçìá (L. Euler) Ôï ðïëõþíõìï Q n (x 1 ; x 2 ; : : : ; x n ) åßíáé ôï Üèñïéóìá üëùí ôùí üñùí ðïõ ìðïñïýí íá êáôáóêåõáóôïýí îåêéíþíôáò áðü ôï ãéíüìåíï: 1 x 1 x 2 x n êáé ðáñáëåßðïíôáò 0 Þ ðåñéóóüôåñá ìç åðéêáëõðôüìåíá æåõãüñéá äéáäï éêþí ìåôáâëçôþí x j x j x 1 x 2 x 3 x 4 Q 4 (x 1 ; x 2 ; x 3 ; x 4 ) = x 1 x 2 x 3 x 4 + x 3 x 4 + x 1 x 4 + x 1 x 2 + 1:
11 Èåþñçìá (L. Euler) Ôï ðïëõþíõìï Q n (x 1 ; x 2 ; : : : ; x n ) åßíáé ôï Üèñïéóìá üëùí ôùí üñùí ðïõ ìðïñïýí íá êáôáóêåõáóôïýí îåêéíþíôáò áðü ôï ãéíüìåíï: 1 x 1 x 2 x n êáé ðáñáëåßðïíôáò 0 Þ ðåñéóóüôåñá ìç åðéêáëõðôüìåíá æåõãüñéá äéáäï éêþí ìåôáâëçôþí x j x j x 1 x 2 x 3 x 4 Q 4 (x 1 ; x 2 ; x 3 ; x 4 ) = x 1 x 2 x 3 x 4 + x 3 x 4 + x 1 x 4 + x 1 x 2 + 1:
12 Q-ðïëõþíõìá êáé óõíå Þ êëüóìáôá Èåþñçìá ïõìå åíþ åðéðëýïí =x 0 ; x 1 ; : : : ; x n = = Q n+1(x 0 ; x 1 ; : : : ; x n ) Q n (x 1 ; x 2 ; : : : ; x n ) ; ì:ê:ä(q n+1 (x 0 ; x 1 ; : : : ; x n ); Q n (x 1 ; x 2 ; : : : ; x n )) = 1:
13 ðåéñá óõíå Þ êëüóìáôá Ïñéóìüò To =a 0 ; a 1 ; : : : ; a n = åßíáé áðëü áí a 0 0; a 1 > 0; a 2 > 0; : : : a 0 ; a 1 ; a 2 ; : : : N Ïñéóìüò óôù a 0 ; a 1 ; a 2 ; : : : ìéá Üðåéñç áêïëïõèßá áêåñáßùí ìå a 0 0; a 1 > 0; a 2 > 0; : : :. ÈÝôïõìå x n = =a 0 ; a 1 ; : : : ; a n =. Áí lim n x n = x ôüôå ëýìå üôé ôï Üðåéñï áðëü óõíå Ýò êëüóìá =a 0 ; a 1 ; a 2 ; : : : = óõãêëßíåé óôçí ôéìþ x êáé ãñüöïõìå x = =a 0 ; a 1 ; a 2 ; : : : =: Èåþñçìá ¼ëá ôá Üðåéñá áðëü óõíå Þ êëüóìáôá óõãêëßíïõí.
14 Áëãüñéèìïò áíüðôõîçò óå óõíå Ýò êëüóìá Óå êüèå ðñáãìáôéêü áñéèìü x áíôéóôïé ïýìå äýï áêïëïõèßåò a 0 ; a 1 ; : : : N êáé 0 ; 1 ; : : : R ùò åîþò: 1. óôù a 0 = x ; 0 = x a Áí Ý ïõí ïñéóôåß ôá a 0 ; : : : ; a n ; 0 ; : : : ; n, êáé n 0, ôüôå èýóå a n+1 = 1 ; n+1 = 1 a n+1 n n 3. Áí n = 0 ôüôå ï áëãüñéèìïò ôåñìáôßæåé êáé åðéóôñýöåé ôá a 0 ; a 1 ; : : : ; a n êáé ôá 0 ; : : : ; n. Ýôóé x = a = a 0 + = =a 0 ; : : : ; a n + n =: 1 a = a a 1 + a = : : :
15 Èåþñçìá (Ïñèüôçôá Áëãüñéèìïõ áíüðôõîçò óå óõíå Ýò êëüóìá) (á) Áí x ñçôüò ôüôå ï áëãüñéèìïò ôåñìáôßæåé ìå N = 0 ãéá êüðïéï N 0 êáé åßíáé x = =a 0 ; : : : ; a N =. (â) Áí x Üññçôïò, ôüôå n 0 ãéá üëá ôá n, ïðüôå ï áëãüñéèìïò äåí ôåñìáôßæåé, êáé x = lim n =a 0; a 1 ; : : : ; a n =:
16 Èåþñçìá (Èåþñçìá ôçò Äéáßñåóçò ãéá öõóéêïýò áñéèìïýò) ÅÜí x y > 0 êáé x ; y N, ôüôå õðüñ ïõí ìïíáäéêïß áñéèìïß q N êáé N ôýôïéïé þóôå x = yq + êáé 0 < y:
17 Èåþñçìá (Èåþñçìá ôçò Äéáßñåóçò ãéá öõóéêïýò áñéèìïýò) ÅÜí x y > 0 êáé x ; y N, ôüôå õðüñ ïõí ìïíáäéêïß áñéèìïß q N êáé N ôýôïéïé þóôå x = yq + êáé 0 < y: Èåþñçìá (Èåþñçìá ôçò Äéáßñåóçò ãéá ðñáãìáôéêïýò, ìå q N) ÅÜí x y > 0 êáé x ; y R, ôüôå õðüñ ïõí ìïíáäéêïß áñéèìïß q N êáé R ôýôïéïé þóôå x = yq + êáé 0 < y: ÅðéðëÝïí, x q = y :
18 Åõêëåßäåéïò Áëãüñéèìïò Óå êüèå æåýãïò ðñáãìáôéêþí áñéèìþí {x ; y} ìå x y > 0 áíáèýôïõìå äýï ðåðåñáóìýíåò Þ Üðåéñåò áêïëïõèßåò a 1 ; a 2 ; a 3 ; : : : êáé 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; : : : ùò åîþò: 1. óôù 1 = x, 0 = y 2. Áí ôá 1 ; : : : ; i ; a 1 ; : : : ; a i Ý ïõí ïñéóèåß êáé i 0 ôüôå áðü ôï Èåþñçìá ôçò Äéáßñåóçò, ðüñå v i+1 ; a i+1 ôýôïéá þóôå i 1 = i a i+1 + i+1 0 i+1 < i : 3. Áí i = 0 ôüôå ï áëãüñéèìïò ôåñìáôßæåé êáé åðéóôñýöåé 1 ; 0 ; : : : ; i 1 êáé a 1 ; : : : ; a i.
19 Ï åõêëåßäåéïò áëãüñéèìïò äïõëåýåé ãéá ôï æåýãïò {x ; y} þò åîþò: x = ya < 1 < y y = 1 a < 2 < 1 1 = 2 a < 3 < 2.. n 3 = n 2 a n 1 + n 1 0 < n 1 < n 2 n 2 = n 1 a n n = 0:
20 Aíôéóôïé ßá Åõêëåéäåßïõ ìå áëã. áíüðôõîçò óå óõí. êëüóìá Èåþñçìá (a) Áí õëïðïéþóïõìå ôïí Åõêëåßäåéï Áëãüñéèìï, ãéá ôï æåýãïò {x ; 1} êáé a 0 ; : : : ; a n ; : : :: ôá ðçëßêá ðïõ åìöáíßæïíôáé ôüôå x = =a 1 ; : : : ; a n ; : : : =. (b) Áí x = h Q, h k, k ôüôå áí õëïðïéþóïõìå ôïí Åõêëåßäåéï Áëãüñéèìï ãéá ôï æåýãïò {h; k}. ðáßñíïíôáò ðüëé ôá ðçëßêá a 0 ; : : : ; a n ; : : : Ý ïõìå: x = =a 1 ; : : : ; a n ; : : : = h = a 1k + 1 k k = a k = a a = a a
21 Ôá óõíå Þ êëüóìáôá ùò ìïñöþ áíáðáñüóôáóçò áñéèìþí ÌåñéêÜ áíáðôýãìáôá ãíþñéìùí áñéèìþí: 423 = =1; 1; 2; 2; 1; 4=; 720 = =3; 7; 15; 1; 292; 1; 1; 1; 2; 1; 3; 1; 14; 2; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 1; 84; : : : =; e = =2; 1; 2; 1; 1; 4; 1; 1; 6; 1; 1; 8; 1; 1; 10; 1; 1; 12; 1; 1; 14; 1; 1; : : : =; = =1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; : : : =; üðïõ = Ôá óõíå Þ êëüóìáôá åßíáé ìéá ìïñöþ áíáðáñüóôáóçò ôùí ðñáãìáôéêþí áñéèìþí. ëëåò áíáðáñáóôüóåéò: äåêáäéêïß áñéèìïß äõáäéêïß áñéèìïß áíüëõóç óå ðñþôïõò ðáñüãïíôåò (ìüíï óôï N)
22 Óõíå Þ êëüóìáôá Óõíå Þ êëüóìáôá êáé Q-ðïëõþíõìá ðåéñá óõíå Þ êëüóìáôá Óõíå Þ êëüóìáôá êáé Åõêëåßäåéïò Áëãüñéèìïò Áöáéñåôéêüò Åõêëåßäåéïò áëãüñéèìïò ÁíÜëõóç ìýóïõ áñéèìïý âçìüôùí Ç-áíáðáñáóôÜóåéò
23 Áöáéñåôéêüò Åõêëåßäåéïò áëãüñéèìïò "áíèõöáéñïõìýíïõ áåß ôïõ åëüóóïíïò áðü ôïõ ìåßæïíïò" {18; 42} 1. Áí u = 1 Þ v = 1 ôüôå ì:ê:ä(u; v) = Áí u = v, ôüôå ì:ê:ä(u; v) = u. 3. Áí u > v èýóå u u v êáé ðþãáéíå óôï Áí u < v èýóå v v u êáé ðþãáéíå óôï 1.
24 Áöáéñåôéêüò Åõêëåßäåéïò áëãüñéèìïò "áíèõöáéñïõìýíïõ áåß ôïõ åëüóóïíïò áðü ôïõ ìåßæïíïò" {18; 42} {18; = 24} 1. Áí u = 1 Þ v = 1 ôüôå ì:ê:ä(u; v) = Áí u = v, ôüôå ì:ê:ä(u; v) = u. 3. Áí u > v èýóå u u v êáé ðþãáéíå óôï Áí u < v èýóå v v u êáé ðþãáéíå óôï 1.
25 Áöáéñåôéêüò Åõêëåßäåéïò áëãüñéèìïò "áíèõöáéñïõìýíïõ áåß ôïõ åëüóóïíïò áðü ôïõ ìåßæïíïò" {18; 42} {18; = 24} {18; = 6} 1. Áí u = 1 Þ v = 1 ôüôå ì:ê:ä(u; v) = Áí u = v, ôüôå ì:ê:ä(u; v) = u. 3. Áí u > v èýóå u u v êáé ðþãáéíå óôï Áí u < v èýóå v v u êáé ðþãáéíå óôï 1.
26 Áöáéñåôéêüò Åõêëåßäåéïò áëãüñéèìïò "áíèõöáéñïõìýíïõ áåß ôïõ åëüóóïíïò áðü ôïõ ìåßæïíïò" {18; 42} {18; = 24} {18; = 6} {18 6 = 12; 6} 1. Áí u = 1 Þ v = 1 ôüôå ì:ê:ä(u; v) = Áí u = v, ôüôå ì:ê:ä(u; v) = u. 3. Áí u > v èýóå u u v êáé ðþãáéíå óôï Áí u < v èýóå v v u êáé ðþãáéíå óôï 1.
27 Áöáéñåôéêüò Åõêëåßäåéïò áëãüñéèìïò "áíèõöáéñïõìýíïõ áåß ôïõ åëüóóïíïò áðü ôïõ ìåßæïíïò" {18; 42} {18; = 24} {18; = 6} {18 6 = 12; 6} {12 6 = 6; 6}: 1. Áí u = 1 Þ v = 1 ôüôå ì:ê:ä(u; v) = Áí u = v, ôüôå ì:ê:ä(u; v) = u. 3. Áí u > v èýóå u u v êáé ðþãáéíå óôï Áí u < v èýóå v v u êáé ðþãáéíå óôï 1.
28 Åõêëåßäéïò áëãüñéèìïò (ìå äéáßñåóç): áíüëõóç ôïõ = = óå óõíå Ýò êëüóìá: = = =0; 2; 3= ÕëïðïéÞóç äéáßñåóçò ìå äéáäï éêýò áöáéñýóåéò: Añéèìüò áöáéñåôéêþí âçìüôùí: 2+3=5.
29 Åõêëåßäéïò áëãüñéèìïò (ìå äéáßñåóç): áíüëõóç ôïõ = = óå óõíå Ýò êëüóìá: = = =0; 2; 3= ÕëïðïéÞóç äéáßñåóçò ìå äéáäï éêýò áöáéñýóåéò: Añéèìüò áöáéñåôéêþí âçìüôùí: 2+3=5. -Åßíáé ï Áöáéñåôéêüò Åõêëåßäéïò.
30 Áí 1 m n, ôüôå m n = =0; q 1; q 2 ; : : : ; q r ; 1=: Ãéá 1 i < r, ôá q i åßíáé ôá ðçëßêá ôùí äéáéñýóåùí ôïõ Åõêëåéäåßïõ Áëãïñßèìïõ: n = mq 1 + r 1 ; 0 < r 1 < m m = r 1 q 2 + r 3 ; 0 < r 2 < r 1 # âçìüôùí Áöáéñåôéêïý Åõêëåéäåßïõ= q 1 + q 2 + : : : + q r. : : :
31 ÌÝóïò áñéèìüò âçìüôùí Áöáéñåôéêïý Åõêëåéäåßïõ Ïñéóìüò S(n): ï ìýóïò áñéèìüò âçìüôùí ãéá íá õðïëïãßóïõìå ôïí ì:ê:ä(m; n) ìå ôïí Áöáéñåôéêü Åõêëåßäåéï Áëãüñéèìï, üôáí ôï m êáôáíýìåôáé ïìïéüìïñöá óôï äéüóôçìá 1 m n: Èåþñçìá (Yao & Knuth) S(n) = 6 2 (ln n)2 + O(log n(log log n) 2 )
32 ÌÝóïò áñéèìüò âçìüôùí: Åõêëåéäåßïõ (ìå äéáßñåóç) [Heilbronn 1969] 12 ln 2 2 ln n + O(n ) (worst case complexity: O(ln m) ãéá äéáäï éêïýò Fibonacci) Áöáéñåôéêïý Åõêëåéäåßïõ [Yao&Knuth 1979] 6 2 (ln n)2 + O(log n(log log n) 2 ) (worst case complexity: O(n) ãéá ôï æåýãïò {n; 1})
33 Ðùò åìöáíßæåôáé ç óôáèåñü 6 2 ; 1 (2) = 6 2 Óôï "ìýôñçìá" åìöáíßæåôáé ôï ãéíüìåíï: (1 1 ) p 2 p = = = 1 (2) ( n=1 1 n 2 ) 1
34 Ðùò åìöáíßæåôáé ç óôáèåñü 6 2 ; 1 (2) = 6 2 Óôï "ìýôñçìá" åìöáíßæåôáé ôï ãéíüìåíï: (1 1 ) p 2 p = = 1 (2) ( n=1 = 6 2 : 1 n 2 ) 1
35 óôù n óôáèåñü, èýëïõìå íá õðïëïãßóïõìå ôï Üèñïéóìá: S(n) = üðïõ n m=1 ( # âçìüôùí üôáí Ý ù ôï æåýãïò {m; n} ) m n n = n ( (m) m=1 q 1 + : : : + q (m) ) r(m) = =0; q(m) 1 ; q (m) 2 ; : : : ; q (m) r(m) ; 1=: n
36 óôù n óôáèåñü, èýëïõìå íá õðïëïãßóïõìå ôï Üèñïéóìá: S(n) = üðïõ n m=1 ( # âçìüôùí üôáí Ý ù ôï æåýãïò {m; n} ) m n n = n ( (m) m=1 q 1 + : : : + q (m) ) r(m) = =0; q(m) 1 ; q (m) 2 ; : : : ; q (m) r(m) ; 1=: n ÉäÝá: Èá êüíïõìå áíáãùãþ ôïõ ðñïâëþìáôïò óå Ýíá Üëëï: óôï ìýôñçìá ôùí áêåñáßùí ëýóåùí ìßáò åîßóùóçò ùò ðñïò n.
37 ÄïìÞ Üñèñïõ (ïìïéüôçôá ìå ôç äïìþ ôïõ Üñèñïõ ôïõ Heilbronn) 1ï ìýñïò ðáñáôþñçóç üôé S(n) = n m=1 (q (m) 1 + : : : + q (m) ) r(m) n 2o ìýñïò (Áñéèìïèåùñßá)
38 ÄïìÞ Üñèñïõ (ïìïéüôçôá ìå ôç äïìþ ôïõ Üñèñïõ ôïõ Heilbronn) 1ï ìýñïò ðáñáôþñçóç üôé S(n) = ÁíáãùãÞ: áñêåß íá ìåôñþóïõìå n m=1 (q (m) 1 + : : : + q (m) ) r(m) ôéò Ç-áíáðáñáóôÜóåéò {x ; x ; y ; y } ôïõ n, áöïý ns(n) = 2 n x + 1 (n mod 2) y 2o ìýñïò (Áñéèìïèåùñßá)
39 ÄïìÞ Üñèñïõ (ïìïéüôçôá ìå ôç äïìþ ôïõ Üñèñïõ ôïõ Heilbronn) 1ï ìýñïò ðáñáôþñçóç üôé S(n) = ÁíáãùãÞ: áñêåß íá ìåôñþóïõìå n m=1 (q (m) 1 + : : : + q (m) ) r(m) ôéò Ç-áíáðáñáóôÜóåéò {x ; x ; y ; y } ôïõ n, áöïý ns(n) = 2 n x + 1 (n mod 2) y ìýôñçìá ôùí Ç-áíáðáñáóôÜóåùí 2o ìýñïò (Áñéèìïèåùñßá)
40 ÄïìÞ Üñèñïõ (ïìïéüôçôá ìå ôç äïìþ ôïõ Üñèñïõ ôïõ Heilbronn) 1ï ìýñïò ðáñáôþñçóç üôé S(n) = ÁíáãùãÞ: áñêåß íá ìåôñþóïõìå n m=1 (q (m) 1 + : : : + q (m) ) r(m) ôéò Ç-áíáðáñáóôÜóåéò {x ; x ; y ; y } ôïõ n, áöïý ns(n) = 2 ìýôñçìá ôùí Ç-áíáðáñáóôÜóåùí x = y d n (y;n)=d 1 y< n 2 2o ìýñïò (Áñéèìïèåùñßá) n x + 1 (n mod 2) ( #H-áíáðáñ. (x ;y)=d y 1 x < n 2y x y ) + O(n log n)
41 ÄïìÞ Üñèñïõ (ïìïéüôçôá ìå ôç äïìþ ôïõ Üñèñïõ ôïõ Heilbronn) 1ï ìýñïò ðáñáôþñçóç üôé S(n) = ÁíáãùãÞ: áñêåß íá ìåôñþóïõìå n m=1 (q (m) 1 + : : : + q (m) ) r(m) ôéò Ç-áíáðáñáóôÜóåéò {x ; x ; y ; y } ôïõ n, áöïý ns(n) = 2 ìýôñçìá ôùí Ç-áíáðáñáóôÜóåùí x = y d n (y;n)=d 1 y< n 2 2o ìýñïò (Áñéèìïèåùñßá) Áóõìðôùôéêïß ôýðïé n x + 1 (n mod 2) ( #H-áíáðáñ. (x ;y)=d y 1 x < n 2y x y ) + O(n log n)
42 ÄïìÞ Üñèñïõ (ïìïéüôçôá ìå ôç äïìþ ôïõ Üñèñïõ ôïõ Heilbronn) 1ï ìýñïò ðáñáôþñçóç üôé S(n) = ÁíáãùãÞ: áñêåß íá ìåôñþóïõìå n m=1 (q (m) 1 + : : : + q (m) ) r(m) ôéò Ç-áíáðáñáóôÜóåéò {x ; x ; y ; y } ôïõ n, áöïý ns(n) = 2 ìýôñçìá ôùí Ç-áíáðáñáóôÜóåùí x = y d n (y;n)=d 1 y< n 2 2o ìýñïò (Áñéèìïèåùñßá) Áóõìðôùôéêïß ôýðïé n x + 1 (n mod 2) ( #H-áíáðáñ. (x ;y)=d y 1 x < n 2y x y ) + O(n log n) Óýíèåóç áóõìðôùôéêþí ôýðùí ãéá õðïëïãéóìü ôïõ x y
43 ÄïìÞ Üñèñïõ (ïìïéüôçôá ìå ôç äïìþ ôïõ Üñèñïõ ôïõ Heilbronn) 1ï ìýñïò ðáñáôþñçóç üôé S(n) = ÁíáãùãÞ: áñêåß íá ìåôñþóïõìå n m=1 (q (m) 1 + : : : + q (m) ) r(m) ôéò Ç-áíáðáñáóôÜóåéò {x ; x ; y ; y } ôïõ n, áöïý ns(n) = 2 ìýôñçìá ôùí Ç-áíáðáñáóôÜóåùí x = y d n (y;n)=d 1 y< n 2 2o ìýñïò (Áñéèìïèåùñßá) Áóõìðôùôéêïß ôýðïé n x + 1 (n mod 2) ( #H-áíáðáñ. (x ;y)=d y 1 x < n 2y x y ) + O(n log n) Óýíèåóç áóõìðôùôéêþí ôýðùí ãéá õðïëïãéóìü ôïõ x y S(n) = 6 2 (ln n)2 + O(log n(log log n) 2 )
44 Ç- áíáðáñüóôáóç Ïñéóìüò Ãéá n 1, ìéá ôåôñüäá {x ; x ; y; y } åßíáé ìéá H-áíáðáñÜóôáóç ôïõ n áí n = xx + yy ; (x ; y) = 1 x > y > 0; x y > 0:
45 1-1 áíôéóôïé ßá: {m ; j } Ç-áíáðáñÜóôáóç Áí m n = =0; q(m) 1 ; q (m) 2 ; : : : ; q (m) j ; q (m) j +1 ; : : : ; q(m) r ; 1=; ôüôå ç H-áíáðáñÜóôáóç {x j ; x j ; y j ; y j } ðïõ áíôéóôïé åß óôï q(m) j Ý åé ôçí éäéüôçôá y j x j = =0; q (m) j ; : : : ; q (m) 1 = y j x j = =0; q (m) j +1 ; : : : ; q(m) r ; 1=
46 1-1 áíôéóôïé ßá: {m ; j } Ç-áíáðáñÜóôáóç Áí m n = =0; q(m) 1 ; q (m) 2 ; : : : ; q (m) j ; q (m) j +1 ; : : : ; q(m) r ; 1=; ôüôå ç H-áíáðáñÜóôáóç {x j ; x j ; y j ; y j } ðïõ áíôéóôïé åß óôï q(m) j Ý åé ôçí éäéüôçôá y j x j = =0; q (m) j ; : : : ; q (m) 1 = y j x j = =0; q (m) j +1 ; : : : ; q(m) r ; 1= êáé x j y j = q (m) j : Áí m (0; n ) ôüôå ç áíôéóôïé ßá åßíáé
47 ËÞììá ns(n) = 2 x + 1 (n mod 2) y üðïõ ôï Üèñïéóìá åßíáé ãéá üëåò ôéò H-áíáðáñáóôÜóåéò ôïõ n. ÉäÝá áðüäåéîçò: Áðü ôçí 1-1 áíôéóôïé ßá Ý ïõìå: 1<m< n 2 ( (m) q 1 + : : : + q (m) ) x r(m) = y
48 ËÞììá ns(n) = 2 x + 1 (n mod 2) y üðïõ ôï Üèñïéóìá åßíáé ãéá üëåò ôéò H-áíáðáñáóôÜóåéò ôïõ n. ÉäÝá áðüäåéîçò: Áðü ôçí 1-1 áíôéóôïé ßá Ý ïõìå: 1<m< n 2 ( (m) q 1 + : : : + q (m) ) x r(m) = y Óõììåôñßá: áí m ( n 2 ; n) ôüôå n m ( 1; n ) êáé 2 #âçìüôùí ãéá input {m; n} = #âçìüôùí ãéá input {n m; n} ãéáôß ôï 1ï âþìá ôïõ áëãïñßèìïõ åßíáé: {m; n} {n m; m} : : : {n m; n} {n m; m} : : :
49 Ôï Üèñïéóìá ðïõ ðñýðåé íá õðïëïãßóïõìå ìåôü ôçí áíáãùãþ åßíáé: x = (d ( 1 1 ) x ) + O(n log n) y p y d n (y;n)=d p d (x 1 y< ;y)=d n 2... p y d 1 x < n 2y êáé ìåôü áðü ðïëëýò ðñüîåéò ðáßñíïõìå üôé S(n) = 6 2 (ln n)2 + O(log n(log log n) 2 ):
50 ÔÅËÏÓ
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôá Üñôéá óôïé åßá êáôáëáìâüíïõí ôéò ôåëåõôáßåò
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôï óôïé åßï âñßóêåôáé óå êüðïéá áðü ôéò
ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ)
44 ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ) Óå äéüöïñåò öõóéêýò åöáñìïãýò õðüñ ïõí ìåãýèç ôá ïðïßá ìðïñïýí íá áñáêôçñéóèïýí ìüíï ìå Ýíá áñéèìü. ÔÝôïéá ìåãýèç, üðùò ãéá ðáñüäåéãìá, ç èåñìïêñáóßá
( ) ξî τέτοιο, + Ý åé ìßá ôïõëü éóôïí ñßæá óôï äéüóôçìá ( ) h x =,να δείξετε ότι υπάρχει ( α,β) x ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ
. Äßíåôáé ç óõíüñôçóç : [, + ) R óõíå Þò óôï äéüóôçìá [,+ ) êáé ðáñáãùãßóéìç óôï äéüóôçìá (,+ ), ãéá ôçí ïðïßá éó ýåé ( ) = α. óôù üôé õðüñ åé κî R, þóôå íá éó ýåé ( ) κ ãéá êüèå Î (,+ ). Íá äåßîåôå üôé
ÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ. 5.1 ÅéóáãùãÞ. 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ
55 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ ÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ 5.1 ÅéóáãùãÞ Ïñéóìüò: íá óýíïëï V êáëåßôáé äéáíõóìáôéêüò þñïò Þ ãñáììéêüò þñïò ðüíù óôïí IR áí (á) ôï V åßíáé êëåéóôü ùò ðñïò ôç ðñüóèåóç,
ÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ. 3.1 ÅéóáãùãÞ
28 ÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ 3.1 ÅéóáãùãÞ Ãéá êüèå ôåôñáãùíéêü ðßíáêá A áíôéóôïé åß Ýíáò ðñáãìáôéêüò áñéèìüò ï ïðïßïò êáëåßôáé ïñßæïõóá êáé óõíþèùò óõìâïëßæåôáé ìå A Þ det(a). ÌåôáèÝóåéò: Ìéá áðåéêüíéóç ôïõ
å) Íá âñåßôå ôï äéüóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï êéíçôü êáôü ôï ñïíéêü äéüóôçìá áðü ôï ðñþôï Ýùò ôï Ýâäïìï äåõôåñüëåðôï ôçò êßíçóþò ôïõ.
ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÁ ÃÅÍÉÊÇÓ ÐÁÉÄÅÉÁÓ Ã ËÕÊÅÉÏÕ È Å Ì Á 1 ï 3 ï Ä É Á Ã Ù Í É Ó Ì Á á êéçôü êéåßôáé ðüù óôï Üîïá x~x. Ç èýóç ôïõ êüèå ñïéêþ óôéãìþ t äßåôáé áðü ôç 3 óõüñôçóç x(t) = t 1t + 60t + 1, üðïõ ôï t ìåôñéýôáé
Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí
Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí Çëßáò Ê. Óôáõñüðïõëïò Ïêôþâñéïò 006 1 Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß ÎåêéíÜìå äéáôõðþíïíôáò ôïõò ïñéóìïýò ôùí ðýíôå ãíùóôþí áóõìðôùôéêþí óõìâïëéóìþí: Ïñéóìüò
ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí
ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí ñþóôïò ÊïíáîÞò, A.M. 200416 ìðë 30-06-2005 óêçóç 1. óôù R N n ; n 1. ËÝìå üôé ç R åßíáé "áñéèìçôéêþ" áí õðüñ åé ôýðïò ö(x 1 ; : : : ; x n ) ôçò Ã1 èá ôýôïéïò ðïõ
16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò.
55 16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò. A ÌÝñïò 1. Íá êáôáóêåõüóåéò óôï Function Probe ôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò y=çìx. Óôïí ïñéæüíôéï Üîïíá íá ïñßóåéò êëßìáêá áðü ôï -4ð
3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x. (iv) f(x, y, z) = sin x 2 + y 2 + 3z Íá âñåèïýí ôá üñéá (áí õðüñ ïõí): lim
3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x (i) f(x, y) = sin 1 2 (x + y) (ii) f(x, y) = y 2 + 3 (iii) f(x, y, z) = 25 x 2 y 2 z 2 (iv) f(x, y, z) = z +ln(1 x 2 y 2 ) 3.2 (i) óôù f(x, y, z) =
ÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò
ÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò Áíôþíçò Ïéêïíüìïõ aeconom@math.uoa.gr ÌáÀïõ óêçóç (Ross, Exer. 4.8) Áí E[X] êáé V ar[x] 5 íá âñåßôå. E[( + X) ],. V ar[4 + X]. óêçóç (Ross, Exer. 4.64)
1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) 2. Íá âñåèåß ç ãåíéêþ ëýóç ôçò äéáöïñéêþò åîßóùóçò (15 ìïí.)
ÔÅÉ ËÜñéóáò, ÔìÞìá Ìç áíïëïãßáò ÌáèçìáôéêÜ ÉI, ÅîÝôáóç Ðåñéüäïõ Éïõíßïõ 24/6/21 ÄéäÜóêùí: Á éëëýáò Óõíåöáêüðïõëïò 1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) (3x 2 + 6xy 2 )dx + (6x 2 y + 4y 3 )dy = 2. Íá
Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò
50. Βήµα ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις ã) Ùò ðñïò ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí, áí êáé ìüíï áí Ý ïõí áíôßèåôåò óõíôåôáãìýíåò. ÄçëáäÞ: á = á êáé â = â ÂÞìá Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò ä) Ùò ðñïò ôç äé ïôüìï ôçò çò êáé
1. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï
5. ÐÑÏÏÄÏÉ 7 5. ÁñéèìçôéêÞ ðñüïäïò Á ÏìÜäá. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï á = 7 êáé äéáöïñü ù = 3. Óõíåðþò
Åîéóþóåéò 1ïõ âáèìïý
algevra-a-lykeiou-kef-07-08.qxd 9/8/00 9:00 Page 00 7 Åîéóþóåéò ïõ âáèìïý Ç åîßóùóç áx + â = 0 áx = â (ìå á 0) (ìå á = â = 0) â Ý åé áêñéâþò ìßá ëýóç, ôç x =. á áëçèåýåé ãéá êüèå ðñáãìáôéêü áñéèìü x (ôáõôüôçôá
3.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ
.1 Ç Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò 55.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò Åñþ ôçóç 1 Ôé ëýãåôáé óõíüñôçóç; ÁðÜíôçóç Ç ó Ýóç åêåßíç ðïõ êüèå ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò x, áíôéóôïé ßæåôáé óå ìéá ìüíï ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò y ëýãåôáé
ÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ
ÌÜèçìá 7 ÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèåß ç Ýííïéá ôïõ ïñßïõ ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìå ôñüðï ðñïóáñìïóìýíï óôéò áðáéôþóåéò ôùí äéáöüñùí åöáñìïãþí, ðïõ áðáéôïýíôáé óôçí åðéóôþìç ôïõ.
Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Μαθηματική Λογική. Αναδρομικές Συναρτήσεις.
Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματική Λογική Αναδρομικές Συναρτήσεις Γεώργιος Κολέτσος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
ÓÅÉÑÅÓ TAYLOR ÊÁÉ LAURENT
ÊåöÜëáéï 7 ÓÅÉÑÅÓ TAYLOR ÊÁÉ LAURENT 7. Áêïëïõèßåò ¼ðùò êáé ãéá ôïõò ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò, ìéá (Üðåéñç) áêïëïõèßá ìðïñåß íá èåùñçèåß ùò óõíüñôçóç ìå ðåäßï ïñéóìïý ôïõò èåôéêïýò áêýñáéïõò. ÄçëáäÞ, ìéá
ÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ. 8.1 ÃåíéêÝò Ýííïéåò êáé ïñéóìïß
ÌÜèçìá 8 ÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá ÏñéáêÞ ôéìþ óõíüñôçóçò, äßíïíôáé ðåñéëçðôéêü ïé âáóéêüôåñïé ïñéóìïß êáé èåùñþìáôá ðïõ áíáöýñïíôáé óôç óõíý åéá ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò, åíþ ï
ÓÅÉÑÅÓ. ÌÜèçìá Áêïëïõèßåò áñéèìþí Ïñéóìüò áêïëïõèßáò
ÌÜèçìá 2 ÓÅÉÑÅÓ 2. Áêïëïõèßåò áñéèìþí Êñßíåôáé óêüðéìï íá äïèåß ðåñéëçðôéêü ðñéí áðü ôç ìåëýôç ôùí óåéñþí ç Ýííïéá ôçò áêïëïõèßáò áñéèìþí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá
ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â
ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â 464 ÅÊÙÓ 000 - Ó ÏËÉÁ ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ Â.1 ÁÓÕÌÌÅÔÑÏ ÓÕÓÔÇÌÁ Η N / ( 0. + 0.1 η) 0.6 ν ν, η 3, η > 3...
Τυπικές Γλώσσες. Μεταγλωττιστές. (μέρος 1ο) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μεταγλωττιστές Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Τυπικές Γλώσσες (μέρος 1ο) Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Συντακτική ανάλυση. Μεταγλωττιστές. (μέρος 3ον) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μεταγλωττιστές Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Συντακτική ανάλυση (μέρος 3ον) Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Ramsey's Theory or something like that.
Ramsey's Theory or something like that. ÌÜñèá, ÄçìÞôñçò, ÓôÝöáíïò 30 Íïåìâñßïõ 2005 Complete disorder is impossible T.S.Motzikin 1 ÅéóáãùãÞ. To 1930 o Ramsey[10] äçìïóßåõóå Ýíá Üñèñï ðüíù óå Ýíá ðñüâëçìá
ÅÍÏÔÇÔÁ 6ç ÑÏÍÏÓ-ÄÉÁÄÏ Ç
Ενότητα 6 Μάθημα 45 Πρώτος-τελευταίος 1. Íá êáôáíïþóïõí ôéò Ýííïéåò ðñþôïò êáé ôåëåõôáßïò. 2. Ná ìüèïõí íá ñùôïýí êáé íá áðáíôïýí ó åôéêü ìå ôï ñüíï êáé ôç äéáäï Þ ãåãïíüôùí. 1. Íá áêïýóïõí ôï ðáñáìýèé
Union of Pure and Applied Chemistry).
.5 Ç ãëþóóá ôçò çìåßáò Ãñáö çìéêþí ôýðùí êáé åéóáãùã óôçí ïíïìáôïëïãßá ôùí áíüñãáíùí åíþóåùí..5.1 ÃåíéêÜ. Ç çìåßá Ý åé ôç äéê ôçò äéåèí ãëþóóá, ç ïðïßá êáèïñßæåôáé áðü êáíüíåò ðïõ Ý ïõí ðñïôáèåß êáé ðñïôåßíïíôáé
2.4 ñçóéìïðïéþíôáò ôïí êáíüíá áëõóßäáò íá âñåèåß ç dr
2.1 i) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = 2 + t)i + 1 2t)j + 3tk ôýìíåé ôï åðßðåäï xz. ii) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = ti + 1 + 2t)j 3tk ôýìíåé
1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç
1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç 7 1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç Åñþ ôçóç 1 Ðïéïé áñéèìïß ïíïìüæïíôáé öõóéêïß; Ðþò ôïõò óõìâïëßæïõìå êáé ðþò ùñßæïíôáé;
Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Μαθηματική Λογική. Αποδεικτικό Σύστημα.
Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματική Λογική Αποδεικτικό Σύστημα Γεώργιος Κολέτσος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
ΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ. Εικονογράφηση ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ Εικονογράφηση ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ Ï ðéï ìåãüëïò êáé ï ðéï óçìáíôéêüò ðáéäáãùãéêüò êáíüíáò äåí åßíáé ôï íá
ιαδικασία åãêáôüóôáóçò MS SQL Server, SingularLogic Accountant, SingularLogic Accountant Ìéóèïäïóßá
1.1 ÃåíéêÝò ðëçñïöïñßåò ãéá ôçí Express Ýêäïóç ôïõ SQL Server... 3 1.2 ÃåíéêÝò ðëçñïöïñßåò ãéá ôçí åãêáôüóôáóç... 3 2.1 ÅãêáôÜóôáóç Microsoft SQL Server 2008R2 Express Edition... 4 2.1 Åíåñãïðïßçóç ôïõ
Ó ÅÄÉÁÓÌÏÓ - ÊÁÔÁÓÊÅÕÇ ÓÔÏÌÉÙÍ & ÅÉÄÉÊÙÍ ÅÎÁÑÔÇÌÁÔÙÍ ÊËÉÌÁÔÉÓÌÏÕ V X
V X A B+24 AEROGRAMÌI Ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò Å öáßíïíôáé óôï ðáñáêüôù ó Þìá. Áíôßóôïé á, ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò ÂÔ öáßíïíôáé óôï Ó Þìá Å. Ãéá ôïí ðñïóäéïñéóìü ôçò ðáñáããåëßáò
4.5 ÁóêÞóåéò çìéêþò éóïññïðßáò ìå åðßäñáóç óôç èýóç éóïññïðßáò
4.5 ÁóêÞóåéò çìéêþò éóïññïðßáò ìå åðßäñáóç óôç èýóç éóïññïðßáò Óôéò áóêþóåéò ìå åðßäñáóç óôç èýóç ìéáò éóïññïðßáò ãßíåôáé áíáöïñü óå ðåñéóóüôåñåò áðü ìßá èýóåéò éóïññïðßáò. Ïé èýóåéò éóïññïðßáò åßíáé äéáäï
Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ
Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης 2o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ 1.1. ÓùóôÞ áðüíôçóç åßíáé ç Ä. ΘΕΜΑ 1ο 1.2. ñçóéìïðïéïýìå ôçí êáôáíïìþ ôùí çëåêôñïíßùí óå áôïìéêü ôñï éáêü óýìöùíá
Üóêçóç 15. ÕëéêÜ - åîáñôþìáôá äéêôýïõ ðåðéåóìýíïõ áýñá êáé ðíåõìáôéêýò óõóêåõýò
ÕëéêÜ - åîáñôþìáôá äéêôýïõ ðåðéåóìýíïõ áýñá êáé ðíåõìáôéêýò óõóêåõýò Óôü ïé ôçò Üóêçóçò äéüñêåéá Üóêçóçò: 6 äéäáêôéêýò þñåò Óôï ôýëïò ôçò Üóêçóçò ïé ìáèçôýò èá åßíáé éêáíïß: é íá áíáãíùñßæïõí ôá åîáñôþìáôá
ÌÅÑÏÓ 3 ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗΣ ΤΗΣ ΚΛΙΝΙΚΗΣ ΠΡΑΞΗΣ ÁÐÁÉÔÇÓÅÙÍ ÕÐÇÑÅÓÉÙÍ. Υπηρεσίες Ιατρικής Πληροφορικής και Τηλεϊατρικής 9 ÂÁÓÉÊÅÓ ÊÁÔÅÕÈÕÍÓÅÉÓ
138 Υπηρεσίες Ιατρικής Πληροφορικής και Τηλεϊατρικής ÌÅÑÏÓ 3 ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗΣ ΤΗΣ ΚΛΙΝΙΚΗΣ ΠΡΑΞΗΣ 9 ÂÁÓÉÊÅÓ ÊÁÔÅÕÈÕÍÓÅÉÓ 10 ÌÏÍÔÅËÏ ÁÐÏÔÉÌÇÓÇÓ ÔÙÍ ÁÐÁÉÔÇÓÅÙÍ 11 ÔÏÌÅÉÓ ÅÖÁÑÌÏÃÇÓ ÔÙÍ ÕÐÇÑÅÓÉÙÍ 139
B i o f l o n. Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí
B i o f l o n Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí Ç åôáéñåßá Aflex, ç ïðïßá éäñýèçêå ôï 1973, Þôáí ç ðñþôç ðïõ ó åäßáóå ôïí åýêáìðôï óùëþíá PTFE ãéá ôç ìåôáöïñü çìéêþí õãñþí ðñßí áðü 35 ñüíéá. Ï åëéêïåéäþò
ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ
66 ÊåöÜëáéï 3 ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ 3.1 ÅéóáãùãÞ óôù üôé S åßíáé Ýíá óýíïëï áðü óçìåßá óôïí n äéüóôáôï þñï. Ìéá óõíüñôçóç (ðïõ ïñßæåôáé óôï S) åßíáé ìéá ó Ýóç ç ïðïßá ó åôßæåé êüèå óôïé åßï ôïõ
Chi-Square Goodness-of-Fit Test*
Chi-Square Goodness-of-Fit Test* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@mathuoagr February 6, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô ÐáðáúùÜííïõ êáé ôá âéâëßá
Ç íýá Ýííïéá ôïõ ýðíïõ!
ΑΞΕΣΟΥΑΡ Ç íýá Ýííïéá ôïõ ýðíïõ! ÅããõÜôáé ôçí áóöüëåéá êáé õãåßá ôïõ ìùñïý êáôü ôç äéüñêåéá ôïõ ýðíïõ! AP 1270638 Õðüóôñùìá Aerosleep, : 61,00 AP 125060 ÊÜëõììá Aerosleep, : 15,30 ÁóöáëÞò, ðüíôá áñêåôüò
Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας
Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: ÔáéñéÜóìáôá
Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: ÔáéñéÜóìáôá ÄçìÞôñçò ÖùôÜêçò ÔìÞìá Ìç áíéêþí Ðëçñïöïñéáêþí êáé Åðéêïéíùíéáêþí ÓõóôçìÜôùí ÐáíåðéóôÞìéï Áéãáßïõ, 83200 Êáñëüâáóé, ÓÜìïò Email: fotakis@aegean.gr 1 Âáóéêïß Ïñéóìïß êáé Ïñïëïãßá
ÐÉÍÁÊÅÓ ÔÉÌÙÍ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÙÍ ÁÎÉÙÍ
ÕÐÏÕÑÃÅÉÏ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ÏÉÊÏÍÏÌÉÊÙÍ ÃÅÍÉÊÇ ÄÉÅÕÈÕÍÓÇ ÄÇÌÏÓÉÁÓ ÐÅÑÉÏÕÓÉÁÓ & ÅÈÍÉÊÙÍ ÊËÇÑÏÄÏÔÇÌÁÔÙÍ ÄÉÅÕÈÕÍÓÇ ÔÅ ÍÉÊÙÍ ÕÐÇÑÅÓÉÙÍ & ÓÔÅÃÁÓÇÓ ÔÌÇÌÁ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÏÕ ÐÑÏÓÄÉÏÑÉÓÌÏÕ ÖÏÑÏËÏÃÇÔÅÁÓ ÁÎÉÁÓ ÁÊÉÍÇÔÙÍ
SPLINES. ÌÜèçìá ÓõíÜñôçóç spline Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá
ÌÜèçìá 4 SPLINES 4.1 ÓõíÜñôçóç spline 4.1.1 Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôùí ðïëõùíýìùí ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ðïëõùíýìùí ðïõ óõíýðéðôáí
Estimation Theory Exercises*
Estimation Theory Exercises* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@math.uoa.gr December 22, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô. ÐáðáúùÜííïõ, ôéò óçìåéþóåéò
3524 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ)
F ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ 3523 ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ Áñ. Öýëëïõ 252 28 Öåâñïõáñßïõ 2002 ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Áñéè. 19306/Ã2 ÐñïãñÜììáôá Óðïõäþí Ôå íéêþí Åðáããåëìáôéêþí Åêðáéäåõôçñßùí (Ô.Å.Å.).
Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: Åðéêáëýðôïíôá ÄÝíôñá
Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: Åðéêáëýðôïíôá ÄÝíôñá ÄçìÞôñçò ÖùôÜêçò ÔìÞìá Ìç áíéêþí Ðëçñïöïñéáêþí êáé Åðéêïéíùíéáêþí ÓõóôçìÜôùí ÐáíåðéóôÞìéï Áéãáßïõ, 83200 Êáñëüâáóé, ÓÜìïò Email: fotakis@aegean.gr 1 Ïñéóìüò êáé
6936 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ)
F ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ 6935 ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ Áñ. Öýëëïõ 432 17 Áðñéëßïõ 2001 ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Áñéè. 91496 Áíþôáôá ¼ñéá ÕðïëåéììÜôùí, MRLs, Öõôïðñïóôáôåõôéêþí Ðñïúüíôùí åðß êáé åíôüò
Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας
ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÓÔÏÕÓ ÌÉÃÁÄÉÊÏÕÓ ÁÑÉÈÌÏÕÓ.
ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÓÔÏÕÓ ÌÉÃÁÄÉÊÏÕÓ ÁÑÉÈÌÏÕÓ. ÄçìÞôñçò Ðáíáãüðïõëïò ÂáóéêÝò éäéüôçôåò - óõíáñôþóåéò - ôïðïëïãßá. ÅéóáãùãÞ óôïõò ìéãáäéêïýò óêçóç.. Íá ãñáöïýí óôç ìïñöþ a + bi ìå a; b R ïé áñéèìïß: (3 + 3i) + (4
5Ô Ô ÚÓÔ. ðüóï 15 ðüóï 1/ ðüóï 2/ ðüóï 4/ ðüóï ðüóï ðüóï. 13 ðüóï 33 ðüóï ðüóï ðüóï. ðüóï 26 ðüóï 2XA ðüóï 3XA ¼ëïé ðüóï
5Ô Ô ÚÓÔ ª ıëùòó Bã ÎÏÔ ¼ëïé óôçí ðñþôç / K 2 Ìïßñáóå ï  3 Q 10 6 2 6 J 8 7 6 3 5 7 2 / 10 8 5 4 / A J 9 7 3 A 9 7 3 K J 5 6 Q 4 6 K 10 5 A Q 9 3 5 J 10 5 4 / Q 6 3 3 8 4 3 6 A 9 5 2 5 K 8 6 ðüóï 15 ðüóï
ÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò ÐáñÜãïõóá óõíüñôçóç
ÌÜèçìá 0 ÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ 0. ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé êõñéüôåñïé êáíüíåò ïëïêëþñùóçò, ðïõ êýñéá åìöáíßæïíôáé óôéò ôå íïëïãéêýò åöáñìïãýò. Äéåõêñéíßæåôáé üôé áêïëïõèþíôáò ìßá áõóôçñü
Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 12: Αόριστο Ολοκλήρωμα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα : Αόριστο Ολοκλήρωμα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Cel animation. ÅöáñìïãÝò ðïëõìýóùí
ÅöáñìïãÝò ðïëõìýóùí Cel animation Ç ôå íéêþ áõôþ óõíßóôáôáé óôçí êáôáóêåõþ ðïëëþí ó åäßùí ðïõ äéáöýñïõí ìåôáîý ôïõò óå óõãêåêñéìýíá óçìåßá. Ôá ó Ýäéá áõôü åíáëëüóóïíôáé ôï Ýíá ìåôü ôï Üëëï äßíïíôáò ôçí
Ενότητα 7: Διαδικασιακός Προγραμματισμός
Συμβολικές Γλώσσες Προγραμματισμού Ενότητα 7: Διαδικασιακός Προγραμματισμός Νικόλαος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών Άδειες Χρήσης è Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
ÓõíáñôÞóåéò ðïëëþí ìåôáâëçôþí
165 KåöÜëáéï 8 ÓõíáñôÞóåéò ðïëëþí ìåôáâëçôþí 1. Ïñéóìüò êáé óõíý åéá óõíáñôþóåùò ðåñéóóïôýñùí ìåôáâëçôþí * ÌåôñéêÝò óå ìåôñéêïýò þñïõò Åðß ôïõ Rïñßæïõìå ôçí ìåôñéêþ d(, = - 1 1 Åðß ôïõ R ïñßæïõìå ôéò åðüìåíåò
Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο
[ ] ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò 1. Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò B êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ A (Á.
![[ ] ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò 1. Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò B êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ A (Á.](/thumbs/61/46104077.jpg "[ ] ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò 1. Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò B êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ A (Á.")
ÐÁÑÁÑÔÇÌÁÔÁ 76 77 ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ f( (Á. üôáí ãéá êüèå êáíïíéêü ïñèïãþíéï ôáíõóôþ Q éó
ÅÍÏÔÇÔÁ 5ç ÔÁ Ó ÇÌÁÔÁ
Ενότητα 5 Μάθημα 38 Ο κύκλος 1. Ná êáôáíïþóïõí ôçí Ýííïéá ôïõ êýêëïõ. 2. Ná ìüèïõí íá ñùôïýí êáé íá áðáíôïýí ó åôéêü ìå ôïí êýêëï. 1. Íá ðáßîïõí êáé íá ôñáãïõäþóïõí ôï «Ãýñù-ãýñù üëïé» êáé «To ìáíôçëüêé».
Áíáìüñöùóç ôïõ ÐñïãñÜììáôïò Ðñïðôõ éáêþí Óðïõäþí ôïõ ÔìÞìáôïò Ìáèçìáôéêþí ôïõ
ÔÏ ÅÑÃÏ ÓÕà ÑÇÌÁÔÏÄÏÔÅÉÔÁÉ ÁÐÏ ÔÏ ÅÕÑÙÐÁÉÊÏ ÊÏÉÍÙÍÉÊÏ ÔÁÌÅÉÏ ÊÁÉ ÁÐÏ ÅÈÍÉÊÏÕÓ ÐÏÑÏÕÓ Áíáìüñöùóç ôïõ ÐñïãñÜììáôïò Ðñïðôõ éáêþí Óðïõäþí ôïõ ÔìÞìáôïò Ìáèçìáôéêþí ôïõ Ðáíåðéóôçìßïõ Áèçíþí ìå Ýìöáóç óôçí ÐëçñïöïñéêÞ,
Ðñïêýðôïõí ôá ðáñáêüôù äéáãñüììáôá.
ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ Ãéá Ýíá óþìá ðïõ åêôåëåß åõèýãñáììç ïìáëü ìåôáâáëëüìåíç êßíçóç éó ýïõí ïé ôýðïé: õ=õ ï +á. t x=õ. ï t+ át. ÅÜí ôï óþìá îåêéíüåé áðü ôçí çñåìßá, äçëáäþ ç áñ éêþ ôá ýôçôá åßíáé õ ï =0, ôüôå ïé
Τυπικές Γλώσσες. Μεταγλωττιστές. (μέρος 2ο) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μεταγλωττιστές Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Τυπικές Γλώσσες (μέρος 2ο) Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ
ÌÜèçìá 8 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ 8.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Åßíáé Þäç ãíùóôü óôïí áíáãíþóôç üôé ç åðßëõóç ôùí ðåñéóóüôåñùí ðñïâëçìüôùí ôùí èåôéêþí åðéóôçìþí ïäçãåß óôç ëýóç ìéáò äéáöïñéêþò
ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ. 27 Μαΐου (Εαρινό εξάμηνο 2002) ΚΑΝΟΝΕΣ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΣ
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΚΥΠΡΟΥ ΜΑΣ 121- ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 27 Μαΐου 2002 (Εαρινό εξάμηνο 2002) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΑΡ ΦΟΙΤΗΤΙΚΗΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΟΣ ΚΑΝΟΝΕΣ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΣ
6 s(s 1)(s 3) = A s + B. 3. Íá âñåèåß ï ìåô/ìüò Laplace ôùí ðáñáêüôù óõíáñôþóåùí
ÔÅÉ ËÜñéóáò, ÔìÞìá Çëåêôñïëïãßáò ÅöáñìïóìÝíá ÌáèçìáôéêÜ, ÅîÝôáóç Ðåñéüäïõ Éïõíßïõ 22/6/21 ÄéäÜóêùí: Á éëëýáò Óõíåöáêüðïõëïò 1. (i Õðïëïãßóôå ôçí óåéñü Fourier S f (x ôçò óõíáñôþóåùò (18 ìïí. { ; < x f(x
ΔΙΗΜΕΡΟ ΚΙΝΗΤΟΠΟΙΗΣΕΩΝ ΤΩΝ ΔΗΜΩΝ ΤΗΣ ΧΩΡΑΣ. Αναστολή λειτουργίας των δήμων στις 12 και 13 Σεπτεμβρίου 2012
ΔΙΗΜΕΡΟ ΚΙΝΗΤΟΠΟΙΗΣΕΩΝ ΤΩΝ ΔΗΜΩΝ ΤΗΣ ΧΩΡΑΣ Αναστολή λειτουργίας των δήμων στις 12 και 13 Σεπτεμβρίου 2012 Τετάρτη, 12 Σεπτεμβρίου, Πανελλαδική Συγκέντρωση στη Πλατεία Κλαυθμώνος, στις 11.00 π.μ. Πορεία
ΣΕΡΙΦΟΣ ΣΕΡΙΦΟΥ ΓΑΛΑΝΗΣ
ΔΗΜΟΣ: ΣΕΡΙΦΟΣ ΣΕΡΙΦΟΥ ΓΑΛΑΝΗΣ ΟΙΚΙΣΜΟΣ: ΠΑΡΑΔΟΣΙΑΚΟΣ ÏÉÊÉÓÌÏÓ ÐÑÏÓÏ Ç: ÄåäïìÝíïõ üôé ðñüêåéôáé ãéá ðáñáäïóéáêü ïéêéóìü, ãéá ôïí õðïëïãéóìü ôçò áîßáò ôùí áêéíþôùí äåí åöáñìüæïíôáé ïé óõíôåëåóôýò ðñüóïøçò:
Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: Óýíïëá Áíåîáñôçóßáò, Óýíïëá ÊÜëõøçò, êáé ñùìáôéêüò Áñéèìüò
Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: Óýíïëá Áíåîáñôçóßáò, Óýíïëá ÊÜëõøçò, êáé ñùìáôéêüò Áñéèìüò ÄçìÞôñçò ÖùôÜêçò ÔìÞìá Ìç áíéêþí Ðëçñïöïñéáêþí êáé Åðéêïéíùíéáêþí ÓõóôçìÜôùí ÐáíåðéóôÞìéï Áéãáßïõ, 83200 Êáñëüâáóé, ÓÜìïò Email:
Κίνδυνοι στο facebook WebQuest Description Grade Level Curriculum Keywords
Κίνδυνοι στο facebook WebQuest Description: Το Facebook είναι ένας ιστοχώρος
ÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ
ÌÜèçìá 9 ÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ 9. ÄéðëÜ ïëïêëçñþìáôá 9.. ÅéóáãùãÞ Ãéá ôçí êáëýôåñç êáôáíüçóç ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò ìéáò óõíüñôçóçò äýï ìåôáâëçôþí, äçëáäþ ôïõ äéðëïý ïëïêëçñþìáôïò, êñßíåôáé áðáñáßôçôï
ÏÌÏËÏÃÉÊÇ ÁËÃÅÂÑÁ: 4oò ÊÁÔÁËÏÃÏÓ ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÙÍ ÁÓÊÇÓÅÙÍ
ÏÌÏËÏÃÉÊÇ ÁËÃÅÑÁ: 4oò ÊÁÔÁËÏÃÏÓ ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÙÍ ÁÓÊÇÓÅÙÍ 1. ÅÜí ç M M M h åßíáé ìéá áêñéâþò áêïëïõèßá êáé ï θ : M N Ýíáò éóïìïñöéóìüò R-ìïäßùí, íá áðïäåé èåß üôé ç áêïëïõèßá M θ N θ 1 M h åßíáé áêñéâþò..
ÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
ÌÜèçìá 5 ÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 5.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé âáóéêüôåñåò Ýííïéåò ôùí ìéãáäéêþí óõíáñôþóåùí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá ôïõ ìáèþìáôïò
Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 6: Γραμμική Άλγεβρα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 6: Γραμμική Άλγεβρα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
ΜΑΘΗΜΑ 1. Βαρυτικές και Μαγνητικές Μέθοδοι Γεωφυσικής Διασκόπησης ΝΟΜΟΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ NEWTON ΓΗΙΝΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΜΕΤΡΟΥΜΕΝΑ ΜΕΓΕΘΗ -
ΜΑΘΗΜΑ 1 Βαρυτικές και Μαγνητικές Μέθοδοι Γεωφυσικής Διασκόπησης ΝΟΜΟΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ NEWTON ΓΗΙΝΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΕΣ ΠΕΤΡΩΜΑΤΩΝ- ΟΡΥΚΤΩΝ ΜΕΤΡΟΥΜΕΝΑ ΜΕΓΕΘΗ - ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΣΤΡΕΠΤΟΣ ΖΥΓΟΣ- ΕΚΚΡΕΜΕΣ
Íá èõìçèïýìå ôç èåùñßá...
ÇËÅÊÔÑÉÊÏ ÐÅÄÉÏ Íá èõìçèïýìå ôç èåùñßá....1 Ôé ïíïìüæïõìå çëåêôñéêü ðåäßï; Çëåêôñéêü ðåäßï ïíïìüæïõìå ôïí þñï ìýóá óôïí ïðïßï áí âñåèåß Ýíá çëåêôñéêü öïñôßï èá äå èåß äýíáìç. Ãéá íá åîåôüóïõìå áí óå êüðïéï
ÁñéÜäíç ÉÜóïíáò Ñßêé ÐÜïëï. Åêåß âëýðù ìéá óðçëéü. ÐÜìå íá ôçí åîåñåõíþóïõìå; Ñßêé, öýãáìå. Åóåßò, ðáéäéü, èá ìáò áêïëïõèþóåôå;
Αυτό το καλοκαίρι η παρέα των παιδιών βρέθηκε στην παραλία, αναζητώντας ξεχωριστές... μαγικές... περιπέτειες. ÁñéÜäíç ÉÜóïíáò Ñßêé ÐÜïëï Åêåß âëýðù ìéá óðçëéü. ÐÜìå íá ôçí åîåñåõíþóïõìå; Ñßêé, öýãáìå.
Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
J-Y(St)Y Ôçëåöùíéêü êáëþäéï åóùôåñéêïý þñïõ ìå èùñüêéóç êáôü VDE 0815
J-Y(St)Y Ôçëåöùíéêü êáëþäéï åóùôåñéêïý þñïõ ìå èùñüêéóç êáôü VDE 0815 ÅÖÁÑÌÏÃÇ ñçóéìïðïéïýíôáé óå ìüíéìåò åãêáôáóôüóåéò ãéá ôç ìåôüäïóç áíáëïãéêïý Þ øçöéáêïý óþìáôïò. Ôï ðåäßï åöáñìïãþí ôïõò ðåñéëáìâüíåé
F ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ 5551 ÔÅÕ ÏÓ ÔÅÔÁÑÔÏ Áñ. Öýëëïõ 647 7 Áõãïýóôïõ 2001 ÐÅÑÉÅ ÏÌÅÍÁ ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Ôñïðïðïßçóç åãêåêñéìýíïõ ó åäßïõ ðüëçò ÄÞìïõ Çñáêëåßïõ, óôçí ðïëåïäïìéêþ åíüôçôá
ÓÕÃ ÑÏÍÇ ÅËËÇÍÉÊÇ ÐÅÆÏÃÑÁÖÉÁ
ÓÕÃ ÑÏÍÇ ÅËËÇÍÉÊÇ ÐÅÆÏÃÑÁÖÉÁ 13 Íåïé ÓõããñáöåéΣ, Äéáãùíéóìüò ÄéçãÞìáôïò 12,48 13,28 Åëåõèåñïôõðßáò, 2001 2002, óåë. 140, ISBN: 960-211-645-5 Γιώργος ΑΛΕΞΑΝΔΡΙΝΟΣ Σενάριο για Μια χαμένη αγάπη 15,81 16,84
ΘΕΜΑ: Τροποποίηση κατηγοριών στα εγκεκριµένα ενιαία τιµολόγια εργασιών για έργα οδοποιϊας.
ΕΞ. ΕΠΕΙΓΟΝ ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ 5 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Αθήνα, 23 Φεβρουαρίου 2005 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΕ.ΧΩ..Ε. Αρ.Πρωτ. 17α/10/22/ΦΝ 437 ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜ. ΗΜΟΣΙΩΝ ΕΡΓΩΝ ΓΕΝ. /ΝΣΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΡΟΓ/ΤΟΣ /ΝΣΗ ΝΟΜΟΘΕΤΙΚΟΥ ΣΥΝΤ/ΣΜΟΥ &
245/Á/1977). 2469/1997 (ÖÅÊ 36/Á/1997). 1484/Â/ ).
ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ F 661 ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ Áñ. Öýëëïõ 72 28 Éáíïõáñßïõ 2002 ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Áñéè. Ä14/48529 ãêñéóç Ôéìïëïãßïõ Åñãáóôçñéáêþí êáé åðß Ôüðïõ Äïêéìþí ôïõ ÊÅÄÅ. OI ÕÐÏÕÑÃÏÉ
11. ΜΕΝΤΕΣΕΔΕΣ ΕΠΙΠΛΩΝ
. ΜΕΝΤΕΣΕΔΕΣ ΕΠΙΠΛΩΝ 1 . ΜΕΝΤΕΣΕΔΕΣ ÅÐÉÐËÙÍ Σύντομη αναδρομή στην ιστορία της. Η εταιρία Salice, πρωτοπόρος στον τομέα των χωνευτών μεντεσέδων επίπλων, παράγει μια πολύ μεγάλη γκάμα μεντεσέδων και μηχανισμών
Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ
ÌÜèçìá 1 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ 11 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò 111 Ïñéóìïß Êñßíåôáé áñ éêü áðáñáßôçôï íá ãßíåé óôïí áíáãíþóôç õðåíèýìéóç ôùí ðáñáêüôù âáóéêþí ìáèçìáôéêþí åííïéþí: Ïñéóìüò 111-1 (åîßóùóçò) ËÝãåôáé
11. ΜΕΝΤΕΣΕΔΕΣ ΕΠΙΠΛΩΝ
. ΜΕΝΤΕΣΕΔΕΣ ΕΠΙΠΛΩΝ 1 . ΜΕΝΤΕΣΕΔΕΣ ÅÐÉÐËÙÍ Σύντομη αναδρομή στην ιστορία της. Η εταιρία Salice, πρωτοπόρος στον τομέα των χωνευτών μεντεσέδων επίπλων, παράγει μια πολύ μεγάλη γκάμα μεντεσέδων και μηχανισμών
ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ
ÌÜèçìá 6 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ ÅéóáãùãÞ 1Ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ôçò åßíáé áäýíáôïò ï èåùñçôéêüò õðïëïãéóìüò
ÅÑÃÁÓÉÁ ÃÉÁ ÔÏ ÌÁÈÇÌÁ: ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ. ÅðéìïñöùôÞò: Â. Á. ÄÏÕÃÁËÇÓ
Åðéìïñöùôéêü Ðñüãñáììá Ãéá ôïõò Åêðáéäåõôéêïýò-Ìáèçìáôéêïýò óôï Ìáèçìáôéêü ôìþìá ôïõ Ðáíåðéóôçìßïõ Áèçíþí êáôü ôçí ðåñßïäï Äåêåìâñßïõ 2000-Éïõíßïõ 200 ìå Õðåýèõíï ôïí êáèçãçôþ Ð. ÓôñÜíôæáëï ÅÑÃÁÓÉÁ ÃÉÁ
Êáëþò Þëèáôå. Ïäçãüò ãñþãïñçò Ýíáñîçò. ÓõíäÝóôå. ÅãêáôáóôÞóôå. Áðïëáýóôå
Êáëþò Þëèáôå Ïäçãüò ãñþãïñçò Ýíáñîçò ÓõíäÝóôå ÅãêáôáóôÞóôå Áðïëáýóôå Ôé õðüñ åé óôç óõóêåõáóßá Áêïõóôéêü DECT 122 Óôáèìüò âüóçò DECT 122 ÌïíÜäá çëåêôñéêþò ôñïöïäïóßáò Ôçëåöùíéêü êáëþäéï Åðáíáöïñôéæüìåíåò
10.1 (ÕÐÏ)ÏÑÈÏÈÅÔÅÓ ÊÁÉ ÓÕÍÈÅÔÉÊÅÓ ÓÅÉÑÅÓ
10.1 (õðï)ïñèïèåôåò êáé óõíèåôéêåò óåéñåò 381 10.1 (ÕÐÏ)ÏÑÈÏÈÅÔÅÓ ÊÁÉ ÓÕÍÈÅÔÉÊÅÓ ÓÅÉÑÅÓ 10.1.1 Ïñéóìüò. óôù ( ) ìéá ïìüäá êáé Ýóôù v Áò õðïèýóïõìå üôé õößóôáôáé ìéá ðåðåñáóìýíç áêïëïõèßá õðïïìüäùí ( )
ÁÐÁÍÔÇÓÅÉÓ ÄÏÈÅÍÔÙÍ ÈÅÌÁÔÙÍ
ÐáíåðéóôÞìéï ÊñÞôçò, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêþí Èåùñßá Äáêôõëßùí êáé Modules (M ) ÅîÝôáóç Éïõíßïõ 010 ÅîåôáóôÞò: ÄçìÞôñéïò ÍôáÞò ÁÐÁÍÔÇÓÅÉÓ ÄÏÈÅÍÔÙÍ ÈÅÌÁÔÙÍ ÈÅÌÁ 1ï Âë. èåþñçìá.5.0 (óôéò óçìåéþóåéò). ÈÅÌÁ ï Âë.
ÄåóìåõìÝíç ðéèáíüôçôá êáé áíåîáñôçóßá ÁóêÞóåéò
ÄåóìåõìÝíç ðéèáíüôçôá êáé áíåîáñôçóßá ÁóêÞóåéò Áíôþíçò Ïéêïíüìïõ aeconom@math.uoa.gr 9 Ìáñôßïõ 010 óêçóç 1 (Ross, Exer. 3.9): Èåùñïýìå 3 êüëðåò. Ç êüëðç Á ðåñéý åé ëåõêü êáé 4 êüêêéíá óöáéñßäéá, ç êüëðç
Artwork Package GK Issue 2.0
,QWXLW\Œ/RGJLQJ Artwork Package 585-310-739GK Issue 2.0 &RPFRGH October 1997 Copyright 1997, Lucent Technologies All Rights Reserved Printed in U.S.A. v ± º Ÿ «¼± Ÿ³µ² ³ ² ³ «µ² ²µ º³²¼³ µ ž»²± ²ž± ¼³²
ÖÅÊ 816 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ) ÏÄÇÃÉÅÓ ÐÁ ÔÇ ÓÕÌÐËÇÑÙÓÇ ÔÇÓ ÁÉÔÇÓÇÓ ÅÃÊÅÊÑÉÌÅÍÏÕ ÁÐÏÈÇÊÅÕÔÇ Ï ÇÌÁÔÙÍ 1. ÇÌÅÑÏÌÇÍÉÁ: ÁíáãñÜöåô
11544 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ) ÖÅÊ 816 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ) 11545 ÏÄÇÃÉÅÓ ÐÁ ÔÇ ÓÕÌÐËÇÑÙÓÇ ÔÇÓ ÁÉÔÇÓÇÓ ÅÃÊÅÊÑÉÌÅÍÏÕ ÁÐÏÈÇÊÅÕÔÇ Ï ÇÌÁÔÙÍ 1. ÇÌÅÑÏÌÇÍÉÁ: ÁíáãñÜöåôáé
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 6: Προσέγγιση παραγώγων Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï
ÊåöÜëáéï 1 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï óôù ç ôñéüäá (a, b, c). Ôï óýíïëï ôùí ôñéüäùí êáëåßôáé 3-äéÜóôáôïò þñïò êáé óõìâïëßæåôáé ìå IR 3. Åéäéêüôåñá ç ôñéüäá (a, b, c) ïñßæåé