אלקטרומגנטיות אנליטית תירגול #13 יחסות פרטית

Transcript

1 אלקטרומגנטיות אנליטית תירגול #13 יחסות פרטית הקונבנציה המקובלת הינה שמסמנים אינדקסים לורנצים (4 מימדיים) באמצעות אותיות יווניות, כלומר µ, ν = 0, 1, 2, 3 ואילו אינדקסים אוקלידים באמצעות אותיות אנגליות i, j = 1, 2, 3 1 טרנספורמציית לורנץ ו 4 וקטורים טרנספורמציות לורנץ הן הטרנספורמציות המשמרות את האינטרוול ds 2 = c 2 dt 2 dr 2 לדוגמא, אם מערכת S נעה במהירות v = βcẑ ביחס למערכת S, אזי טרנספורמציית לורנץ המעבירה אותנו ממערכת S למערכת S הינה ct γ βγ ct x y = 1 x 1 y (1) z βγ γ z γ = 1 1 β 2 כאשר הפקטור היחסותי γ x µ = (ct, x, y, z) 4 וקטור המיקום מוגדר באופן הבא באמצעות שימוש באינדקסים לורנצים ניתן לכתוב את חוק הטרנספורמציה (1) בצורה קומפקטית x µ = Λ µ νx ν כאשר Λ µ ν הינה טרנספורמציית לורנץ בכתיב טנזורי. 1

2 באופן כללי יותר, חוק הטרנספורמציה של וקטור קונטרה ואריאנטי הינו A µ = Λ µ νa ν A µ = (Λ 1 ) ν µa ν = Λ µ ν A ν וחוק הטרנספורמציה של וקטור קו ואריאנטי כעת, ניתן לכתוב את האינטרוול באמצעות המטריקה המינקובסקית ds 2 = g µν dx µ dx ν כאשר dz) dx µ = (c dt, dx, dy, הוא 4 וקטור קונטרה ואריאנטי ומטריקת מינקובסקי הינה 1 g µν = אפשר להראות כי טרנספורמציות לורנץ מקיימות g µν Λ µ ρλ ν σ = g ρσ 4 וקטור המהירות u µ = dxµ dτ = (γc, γv) מקיים γv) u µ u µ = c 2 4 וקטור התנע p µ = mu µ כאשר m הינה מסת הגוף. לכן מתקיים p µ p µ = m 2 c 2 כלומר המסה היא סקלר לורנץ. באופן כללי, רכיב 0 של p µ הוא האנרגיה והרכיבים המרחביים מהווים את התנע המרחבי p 0 = E c p i = p i p µ = ( ) E c, p כלומר 2

3 retsemes llaf msitengamortcele lacitylana האנרגיה והתנע אינם אינווריאנטים, כלומר הם תלויים במערכת הייחוס. גודל אינווריאנטי הוא למשל p µ p µ = E2 c 2 p2 ולכן מתקיים הקשר הבא בין מסה, אנרגיה ותנע E 2 c 2 p 2 = m 2 c 4 2 טנזור השדות האלקטרומגנטיים ואפסילון נגדיר את טנזור השדות האלקטרומגנטיים: F µν = µ A ν ν A µ (2) רכיבי הטנזור הם השדות החשמלי והמגנטי: F 0i = 0 A i i A 0 = t A i + i Φ = E i E. = Φ A שימו לב שניתן להעלות ולהוריד את האינדקס הזמני בצורה חופשית t כי ואילו עבור האינדקסים האוקלידים ( i ) ניתן לשנות את הגובה שלהם ע"י הוספת סימן מינוס. הנוטציות הן מעט מבלבלות האינדקסים על השדות,E B אינם אינדקסים לורנצים, אלא רק מבטאים את הרכיבים הוקטורים שלהם, כלומר ) 2.E = (E 1, E 2, E באופן דומה נמצא את שאר רכיבי הטנזור F i0 = F 0i = E i (3) F i0 = F i0 (4) F ij = i A j j A i = i A j + j A i B i = 1 2 ɛ 0ijkF jk = ( A) i (5) F ij = ɛ 0ijk B k (6) איברי האלכסון של F µν מתאפסים כמובן (מכיוון שזהו טנזור אנטי סימטרי). הטנסור האנטיסימטרי של לורנץ, ɛ µνρσ הוא אנטיסימטרי תחת החלפה של כל שני אינדקסים, ושווה לאפס אם שני אינדקסים או יותר שווים. מגדירים ɛ = 1 = ɛ 0123 הקשר בינו לבין האנלוג התלת מימדי האוקלידי שלו הוא: ɛ ijk = ɛ 0ijk כמו כן, ɛ ijk = ɛ 0ijk ɛ µνρσ = ɛ µνρσ 3

4 3 משוואות מקסוול נוכיח עתה את הקשר בין הצורה הקווריאנטית של משוואות מקסוול לבין הצורה ה"רגילה" שלהן. נראה כי שתי המשוואות ההומוגניות נובעות מזהות מתמטית גיאומטרית הנקראת זהות Bianchi ושתי המשוואות האי הומוגניות הן משוואות דינמיות. ɛ αβρσ α F ρσ = ɛ αβρσ α ( ρ A σ σ A ρ ) 3.1 המשוואות ההומוגניות מההגדרה (2) יוצא מיד כי = ɛ αβρσ α ρ A σ ɛ αβρσ α σ A ρ (7) ɛ αβρσ α ρ A σ = ɛ αρβσ α ρ A σ = ɛ ραβσ α ρ A σ = ɛ αρβσ ρ α A σ = ɛ αρβσ α ρ A σ ɛ αρβσ α ρ A σ = ɛ αρβσ α ρ A σ ɛ αρβσ α ρ A σ = 0 עכשיו, באופן דומה המחובר השני ב (7) מתאפס. לכן, ɛ αβρσ α F ρσ = 0 ɛ βαρσ α F ρσ = 0 (8) זו נקראת זהות ביאנקי identity).(bianchi יש כאן 4 משוואות, אחת לכל ערך של β. עבור = 0,β רק איברים עם αβγ = ijk יתרמו, ɛ 0ijk i F jk = 0 i ( 2B i ) = 0 i B i = 0 B = 0 ɛ iαρσ α F ρσ = ɛ i0ρσ 0 F ρσ + ɛ ijρσ j F ρσ לפי (5) עבור,β = i במחובר הראשון רק ρσ = jk יתרמו ואילו בשני.ρσ = 0k, k0 ɛ i0jk 0 F jk + ɛ ij0k j F 0k + ɛ ijk0 j F k0 = ɛ 0ijk 0 F jk + ɛ ijk0 j F k0 + ɛ ijk0 j F k0 = 2ɛ 0ijk j F k0 ɛ 0ijk 0 F jk 4

5 retsemes llaf msitengamortcele lacitylana עכשיו נשתמש בנוסחאות (3) ו ( 5 ), 2ɛ 0ijk j E k ɛ 0ijk 0 F jk = 2ɛ 0ijk j E k B i = 0 ɛ 0ijk j E k + 0 B i = 0 E + B t = 0 דהיינו משוואה (8), זהות,Bianchi מהווה את שתי משוואות מקסוול ההומוגניות, והן מתקיימות אוטומטית עבור שדות שנגזרים מפוטנציאל דרך (2). 4 וקטור 3.2 של הזרם שימור מטען חשמלי מבוטא ע"י משוואת הרציפות ρ + J = 0 (9) t אם נשים את ארבעת המספרים,ρ J בצורה כזו J µ = (ρ, J) µ J µ = 0 אזי משוואה (9) הופכת ל ה J µ הוא וקטור (לא נוכיח זאת כאן), ומאחר ש µ הוא וקטור יוצא ששימור המטען הוא אינווריאנטי. 3.3 המשוואות האי הומוגניות נוכיח עתה כי המישוואות האי הומוגניות של מקסוול נתונות בביטוי µ F µν = 4πJ ν שימו לב כי זו משוואה בין טנזורים ולכן נכונה בכל מערכות היחוס. הוכחה: עבור = 0 ν µ F µ0 = 4πJ 0 k E k = 4πρ E = 4πρ µ F µi = 0 F 0i + j F ji = 0 F i0 j F ij = 4πJ i 0 F i0 j F ij = 0 E i j ɛ 0ijk B k = 0 E i + ɛ 0ijk j B k = 4πJ i B E t = 4πJ אבל F 00 = 0, F k0 = E k ולכן עבור ν = i עכשיו בעזרת נוסחאות (3) ו ( 6 ), 5

6 4 דוגמאות 4.1 בעיה דוגמא לשימוש בתכונות טרנספורמציה תחת לורנץ בדוגמא זו נמצא את חוק חיבור המהירויות היחסותי. נניח שחלקיק נע במהירות v במערכת המעבדה S. רוצים למצוא את המהירות שלו v במערכת S שנעה במהירות V = βc בכיוון ẑ ביחס למערכת המעבדה. פיתרון 4 וקטור המהירות של החלקיק במערכת המעבדה הינו u µ = (γ (v) c, γ (v) v) 1 γ (v) = 1 v2 c 2 u µ = (γ (v ) c, γ (v ) v ) כאשר הפקטור היחסותי הינו במערכת S הוא יהיה מהצורה מצד שני, מכיוון ש 4 וקטור המהירות הינו 4 וקטור לורנצי הקשר בין u µ ל u µ הינו u µ = Λ µ νu µ (10) כאשר Λ µ ν הינה טרנספורמציית לורנץ שמקשרת בין מערכת המעבדה S למערכת S γ(v ) 0 0 γ(v )β Λ µ ν = γ(v )β 0 0 γ(v ) u 0 = γ(v )(u 0 βu 3 ) u 3 = γ(v )(u 3 βu 0 ) γ(v )c = γ(v )(γ(v)c βγ(v)v 3 ) γ(v )v 3 = γ(v )(γ(v)v 3 βγ(v)c) נרשום את (10) ברכיבים נציב את הרכיבים של 4 הוקטורים ומכאן ניתן למצוא את מהירות החלקיק במערכת S v 3 = c v3 βc c βv 3 = v3 V 1 V v 3 /c 2 6

7 ניתן לכתוב את התוצאה הזו בצורה יותר כללית: כאשר כל המהירויות הן באותו כיוון מתקיים זהו "חוק חיבור המהירויות". כמו כן קיבלנו "בונוס": או v = v V 1 vv/c 2 γ(v ) = γ(v )γ(v) (1 V ) v3 γ 12 = γ 1 γ 2 (1 β 1 β 2 ) c 2 כאשר כל המהירויות באותו כיוון. כמו כן, בכיוונים 1,2: ובאופן דומה עבור רכיב 2: u 1 = u 1 γ(v )v 1 = γ(v)v 1 v 1 = γ(v) γ(v ) v1 = v 2 = v 2 γ(v )(1 V v 3 /c 2 ) v 1 γ(v ) ( 1 V v3 c 2 ) בעזרת תכונות הטרנספורמציה של u µ הצלחנו לקבל את חוק חיבור המהירויות עבור = V dx וכולי. dt V, ẑ בצורה קלה בהרבה מלהשתמש בהגדרות 4.2 בעיה שימור תנע: אנטי פרוטון בעל אנרגיה ɛ ומסה M מתנגש בפרוטון אשר נמצא במנוחה. 1. מצאו חסם עליון על המסה של של חלקיק שנוצר מחיסול הפרוטון והאנטי פרוטון. 2. האם יכול להווצר פוטון בודד? פיתרון 1. ובכן, נחשוב על הניסוי במערכת מרכז המסה. מערכת מרכז המסה מוגדרת בתור המערכת בה התנע הכולל מתאפס. לכן החלקיק הכי כבד האפשרי יווצר במנוחה לאחר ההתנגשות במערכת זו. לפיכך ה 4 תנע לאחר יצירת החלקיק החדש הוא פשוט: P (CM) = (mc, 0) 7

8 retsemes llaf msitengamortcele lacitylana כאשר m היא מסת החלקיק. מצד שני, במערכת המעבדה לאנטי פרוטון יש תנע p, כך שה 4 תנע הכולל במערכת זו הוא P (Lab) = ( ɛ, p) + (Mc, 0) c = ( ɛ + Mc, p) c אבל P µ P µ הוא סקלר (לא תלוי במערכת הייחוס) ולכן P µ (CM) P (CM)µ = P µ (Lab) P (Lab)µ m 2 c 2 = ( ɛ c + Mc)2 p 2 = 1 c 2 ɛ2 + 2ɛM + M 2 c 2 p 2 = 2(ɛM + M 2 c 2 ) m = 1 2(ɛM + M 2 c c 2 ) m = 2M 1 + ɛ Mc 2 2. פוטון הוא חלקיק חסר מסה, לכן עבור פוטון בודד לא קיימת מערכת מרכז מסה. לעומת זאת, עבור הפרוטון והאנטי פרוטון ניתן למצוא מערכת מרכז מסה. לפיכך התהליך של יצירת פוטון בודד מהתנגשות של שני חלקיקים מסיביים אינו אפשרי. 8