.(radiation אלקטרומגנטית. רתרפורד).

Transcript

1 מודל בור של אטום המימן מודל הקודם: מודל רתרפורד. גרעין מזערי בגודלו המכיל נויטרונים ופרוטונים. אלקטרונים מסתובבים במעגלים סביב הגרעין.orbits האטום מקיים חוקי הפיסיקה הקלאסיים. כישלונות הפיסיקה הקלאסית: 1. פליטת קרינה מגופים שחורים ) Black-body.(radiation 2. התופעה הפוטואלקטרית 3. ספקטרום הבליעה (ופליטה) של קרינה אלקטרומגנטית. הדמיון בין כל התופעות אינטראקציה בין חומר (אטומים) לבין קרינה אלקטרומגנטית. מקור הבעיה מהות האלקטרון מודל בור המודל מבוסס על הנחות: 1. האלקטרון שוהה במסלולים בדידים בעלי אנרגיות ספציפיות (ולא רציפות כמו אצל רתרפורד). 2. אלקטרון יכול לעבור בין מסלול אחד לאחר ע"י קליטה (מעבר לרמה נמוכה לרמה גבוהה) או פליטה (מעבר מרמה גבוהה לנמוכה) של פוטון. האנרגיה של הפוטון מתאים להפרש האנרגיה בין הרמות ומסביר את ספקטרום אטום המימן. חימום וחשמל הם סוגים נוספים של אנרגיה אלקטרומגנטית, וכך ניתן להסביר גם את פליטת הקרינה מגוף שחור.

2 3. קליטה של פוטון עם אנרגית סף מסוימת תגרום לפליטת אלקטרון. זהו אנרגית היוניזציה, ומסביר את התופעה הפוטואלקטרית. 4. האנרגיה של אלקטרון ברמה מסוימת נקבע על פי שווי משקל בין הכוח הצנטריפטלי (המתקבל מתנועתו המעגלית) לבין כוח המשיכה קולומבית בין מטען האלקטרון למטען הגרעין. 5. האלקטרון איננו מאבד אנרגיה כתוצאה מהשינוי בתנע הזוויתי שלו ועל כן אינו פולט פוטונים באופן רציף ואיננו קורס אל תוך הגרעין. חישובים: א. האנרגיה של אלקטרון ברמה מסוימת היא: E n = -k(1/n 2 ) ב. כאשר האלקטרון באין-סוף (לא קשור לאטום) האנרגיה היא אפס, ולכן ברמות האטומיות, האנרגיה היא שלילית. ג. שינוי ברמה מלווה בשינוי באנרגיה: ΔE = k(1/n i 2 1/n f 2 ) ד. הכוח הקולומבי: F = -(Ze)e/r 2 ;מטען האלקטרון e ;מטען הגרעין (Ze) הרדיוס של המסלול r ה. הכוח הצנטרפיטלי: F = -m e v 2 /r מהירות האלקטרון v ;מסת האלקטרון = e m

3 רדיוס מסלול האלקטרון לפי בור -m e v 2 /r = -(Ze)e/r 2 v 2 = e 2 / m e r כוחות אלו שווים ולכן: על פי הנחות בור התנע קבוע: m e vr = n(h/2π) :v 2 נחלץ את n ונציב את ערכו של n 2 = 4π 2 m e 2 v 2 r 2 e 2 /h 2 = (Z)4π 2 m e re 2 /h 2 r = n 2 (h 2 / 4π 2 m e e 2 ) = a 0 n 2 כלומר המסלולים האפשריים לאלקטרון הם בדידים (n) מקוונטטים. כאשר = 1,n הרדיוס הוא.a 0 = 0.529Å זהו רדיוס בור של אלקטרון באטום מימן. הפרמטר n, נקרא המספר הקוונטי הראשי.

4 אנרגית האלקטרון על פי בור האנרגיה של האטום במסלול בעל רדיוס r: E = 1/2m e v 2 Ze 2 /r אך על פי הנחות בור: -m e v 2 /r = -(Ze)e/r 2-1/2m e v 2 /r = -1/2(Ze)e/r 2 E = 1/2Ze 2 /r-ze 2 /r = -1/2Ze 2 /r :(1=Z (עבור r E = -1/2e 2 / n 2 h 2 / 4π 2 m e e 2 = נציב את -2π 2 m e e 4 /n 2 h 2 = -k/n 2 עבור אלקטרון באטום מימן, הפרש האנרגיה בין שתי רמות: ΔE = E 1 E 2 = -k(1/n 1 2 1/n 2 2 ) ΔE = hν = hcν ν = k/hc (1/n 1 2 1/n 2 2 ) = R H (1/n 1 2-1/n 2 2 ) = 13.6eV 1eV = 1.6x10-19 J = cm -1 R H = 2.176x10-18 J = cm -1 שזהו הערך הניסיוני שקיבל רידברג מספקטרום הבליעה של מימן

5 גלים וחלקיקים קשר :de Broglie 2πr = nλ לפי בור קיים: נשתמש בשתי המשוואות: m e vr = n(h/2π) תנע p λ =h/m e v = h/p ; כלומר קיים קשר בין המסה של חלקיק לבין אורך הגל שלו. (והתנע שלו) עקרון האי-וודאות של :Heisenberg ΔxΔmv h/4π תנע החלקיק mv ;מיקום החלקיק x משוואת Schrödinger שרדינגר התייחס לאלקטרון כחלקיק (המכיל תכונות של מסה ותנע) בעל תכונות של גל. הגל מתואר כפונקציה מורכבת אשר סימלו האות פסי - ψ.

6 אפשר לרשום את סך האנרגיה של החלקיק בממד אחד: Eψ (x) = (h/4πm)(d 2 ψ (x) /dx 2 ) + V (x) ψ (x) זהו משוואה דיפרנציאלית מסדר שני, את המשוואה לשלושת הממדים. ושרדינגר הרחיב אינטרפרטצית Born ל- ψ: בתורת הגלים הקלאסית, ריבוע האמפליטודה ) 2 A) זהו עוצמת הקרן I, שאפשר לזהות אותו עם מספר הפוטונים ליחידת זמן. בתורת הקוונטים, הגל של חלקיק מתואר כפונקציה,ψ ונגזרת ריבועו dx-, ψ (x) ψ (x) פרופורציוני לסיכוי למצוא את החלקיק במקום מסוים בין x ל-.x+dx האלקטרון בעולם הקוונטי: אלקטרון איננו מסתובב סביב הגרעין. הוא מהווה גל עומד, מורכב, עם אנרגיה ספציפית. אי אפשר לקבוע את מיקומו המדויק בכל עת, אך אפשר לתאר את הסיכוי למצוא אותו מנקודה מסוימת (או ביחידת נפח בשלושה ממדים). אינטרפרטציה בורן מגביל את תכונות פונקציות הגל. אם ψ (x) ψ (x) dx מסמל את ההסתברות למציאת האלקטרון בנפח,dx אזי באינטגרציה של כל הנפח: ψ (x) ψ (x) dx = 1 פונקציות כאלו נקראות פונקציות מנורמלות.

7 פתרון משוואת שרדינגר לחלקיק בתיבה נניח חלקיק בתיבה חד-ממדית, בין 0=x ל- x. = L האנרגיה הפוטנציאלית מחוץ ל- 0=x ל- x=l הוא אין-סופי, כלומר החלקיק תחום בין שתי נקודות אלו (זה נקרא תנאי שפה). האנרגיה הפוטנציאלית בין שתי הנקודות הוא 0, כלומר קיים רק אנרגיה קינטית: Eψ (x) = (h/4πm)(d 2 ψ (x) /dx 2 ) פתרון אפשרי הוא: ψ (x) = A sin(kx) + B cos(kx) ; k = (2mE) 1/2 /(h/2π) כאשר 0=x, בנקודה זו). פונקצית הגל מתאפסת זה קורה כי: (החלקיק אינו קיים A sin(kx) = 0; sin(0) = 0; B cos(kx) = 0; cos(0)= 1; B=0 ψ (x) = A sin(kx) כלומר: כאשר,x=L פונקציית הגל גם מתאפסת (החלקיק אינו קיים בנקודה זו). A 0 אז אם: אם =A 0 הפתרון טריויאלי, כי אין גל. אם ψ (x) = A sin(kl) = 0 kl = nπ; n = 1,2,3,..

8 בגלל שיש קשר בין k ל- E, אזי גם האנרגיה מקוונטת: E = n 2 h 2 /8mL 2 ; n = 1,2,3,. צריך למצוא את A. הסיכוי למציאת החלקיק בתחום בין x=0 ל- x=l הוא :1 1 = ψ (x) ψ (x) dx = A 2 sin 2 kxdx להזכירכם כי: sin 2 kxdx = (1/4k)(2kx-sin2kx) + C כלומר: sin 2 kxdx = (1/4k)((2kL-sin2kL) (2k0-sin2k0)) 1 = A 2 sin 2 kxdx = A 2 L/2 ואז: A = (2/L) 1/2 ומכאן: ψ n(x) = (2/L) 1/2 sin(nπx/l); n = 1,2,3,

9 נניח אלקטרון בתיבה שאורכו 1 nm (בערך האורך שבין 5 אטומים קשורים). האנרגיה המינימלית (1=n) E 1 = h 2 /8m e L 2 = (6.626x10-34 Js -1 ) 2 /8(9.1x10-31 kg)(1x10-9 m) 2 = 6.024x10-20 J האנרגיה ברמה השניה יהיה פי 4 גדול יותר, ואז הפרש האנרגיה יהיה בערך 1.8x J אם אלקטרון ברמה השניה ירד לראשונה יפלט פוטון: E = hc/λ λ = x10-34 x 3x10 8 / 1.8x10-19 = 1.1x10-6 m = 1100nm מה הסיכוי למצוא את האלקטרון ב- x? = 0.5±0.01nm

10 בקירוב טוב 0.5±0.01nm = 0.5nm אז: ψ 2 = ((2/1x10-9 m) 1/2 ) 2 (sin 2 (0.5π/1x10-9 m) = 2x10 9 m -1 (2x10 9 m -1 )(0.02x10-9 m) = 0.04 = 4% אז הסיכוי הוא: הסיכוי למצוא את האלקטרון בין = 0 x ל- x = 0.2nm המתקבל מהאינטגרל המלא, יהיה רק כלומר יש יותר סיכוי למצוא את האלקטרון במרכז מאשר בקצוות. הפרמטר n, נקרא המספר הקוונטי הראשי. פתרון משוואת שרדינגר המלא נותן עוד פרמטרים מקוונטטים.