תרגול #10 מרכז מסה, מומנט התמד ומומנט כח

Transcript

1 תרגול #0 מרכז מסה, מומנט התמד ומומנט כח בדצמבר 03 רקע תיאורטי מרכז מסה עד כה הסתכלנו על גוף כאילו היה נקודתי. אולם לעיתים נרצה לבחון גם מערכת המכילה n גופים שלכל אחד מהם יש מסה m i ומיקום r. i ניתן לבחון מערכת זו כאילו היתה "גוף אחד" ולתאר אותה באמצעות משוואת תנועה יחידה (במקום n משוואות תנועה). זאת אנו עושים כאשר אנו מגדירים מרכז מסה של המערכת, אשר קרוי גם מרכז כובד. זוהי נקודה במרחב שמסת המערכת כולה מתנהגת כאילו היא מרוכזת בה. לדוגמא: עבור שתי מסות m ו m שנמצאות במיקום r ו r בהתאמה, מיקום מרכז המסה הוא: R CM m r + m r m + m מרכז המסה של שתי מסות נמצא תמיד על הקו הישר המחבר ביניהן. עבור מס' רב יותר של מסות, נוסחת מיקום מרכז המסה היא: m i r i R CM m i r i M m i כאשר m i M היא המסה הכוללת של המערכת. אם על המערכת כולה שקול הכוחות הוא אפס, אזי מיקום מרכז המסה R CM ימשיך בתנועתו באותה מהירות ובקו ישר (חוק I של ניוטון חוק ההתמדה). מגדירים גם מושג של מהירות מרכז המסה, והיא מתקבלת על ידי גזירת מיקום מרכז המסה לפי הזמן: V CM d R CM dt m i v i M m i m i v i

2 P total M V CM אם על המערכת כולה שקול הכוחות אינו אפס קיימת גם תאוצת מרכז מסה: a CM d V CM dt F total d P total dt d RCM dt M a CM M m i a i M F F total M תנועת מרכז המסה היא כאילו המערכת היא גוף אחד בעלת מסה M, ופועל עליה כח F total שהוא שקול הכוחות. מומנט אינרציה I (מומנט התמד) מומנט ההתמד של גוף הוא מדד להתנגדות של גוף לשינוי במהירות הזוויתית שלו (בדומה F). m dv מומנט ההתמד אינו רק תלוי dt למסה m שהיא המדד לשינוי במהירות קווית במסה, אלא הוא תלוי גם במרחק המסה מהציר סביבו הגוף מסתובב (ציר סיבוב). עבור גוף יחיד ונקודתי המבצע סיבוב, האנרגיה הקינטית ניתנת על ידי: mv K. mr ω כאשר מדובר במספר גופים הנעים סביב ציר משותף באותה מהירות זויתית ω, האנרגיה הקינטית תהיה פשוט הסכום: ) K ( n i m i r i ω Iω I הוא מומנט האינרציה ועבור n גופים הוא מוגדר כ: I m i ri i כאשר r i הוא מרחק הגוף i מציר הסיבוב (האנך מהגוף לציר הסיבוב). משפט הציר המקביל (משפט שטיינר) מומנט ההתמד בהגדרתו תלוי במרחק מציר הסיבוב. עבור מיקום ציר סיבוב שונה נצפה לקבל ערך שונה עבור I. אם יודעים את מומנט ההתמד סביב מרכז מסה של גוף (או יודעים את מיקום מרכז המסה ומחשבים את מומנט ההתמד סביבו לפי הגדרה), ניתן לחשב בקלות מומנט התמד סביב כל ציר אחר: I I CM + ML כאשר:

3 I CM מומנט האינרציה סביב ציר העובר דרך מרכז המסה M מסת הגוף L מרחק ציר הסיבוב מהציר העובר דרך מרכז המסה מומנט כח τ נקרא גם מומנט סיבוב והוא למעשה יכולתו של כח לגרום לסיבובו של גוף עליו הוא פועל. יכולת זו תלויה בגודל הכח, כיוונו וגם במיקומה של נקודת האחיזה של הכח. מומנט הסיבוב הוא מכפלה וקטורית בין הזרוע r לבין הכח הפועל. τ r F rf sin θ F וקטור הכח הפועל בנקודה כלשהי על הזרוע. r וקטור היוצא מנק' ציר הסיבוב של הגוף לנקודת הפעלת הכח. θ הזוית בין הכח לבין הזרוע. למעשה, מכיוון שזו מכפלה וקטורית, רק רכיב הכח אשר מאונך לזרוע תורם לתנועה סיבובית. כיוונו של מומנט הכח מצביע לאורכו של ציר הסיבוב, סביבו ירצה לגרום לגוף להסתובב. כדי למצוא כיוון זה נשתמש בכלל הבורג/כלל יד ימין. שיווי משקל מכני על מנת שגוף יהיה בשיווי משקל מכני צריך להתקיים ששקול הכוחות בכל נקודה עליו יהא שווה לאפס: F 0 אולם כעת, בנוסף, צריך להתקיים ששקול המומנטים בכל נקודה על הגוף אף הוא יהא שווה לאפס: τ 0 שימו לב כי אם שקול הכוחות שווה אפס 0 F עדיין יתכן כי 0 τ ולהיפך. 3

4 שאלה 6 מומנט התמד של שלושה גופים נתונה מערכת קשיחה של שלוש מסות נקודתיות, ראו תרשים: נתון:.m m m 3 m מהו מומנט ההתמד I ביחס לציר העובר דרך: א. מסה m. ב. מסה m. 3 ג. ביחס למרכז המסה של המערכת. פתרון I, n כך שהציר הנבחר (אשר ניצב לדף) יהיה i m iri נציב בנוסחה עבור מומנט התמד בראשית ומרחקי המסות יחושבו ביחס אליו. א. מסה m m m, r 0 m m, r L m 3 m, r 3 L I 3 m i ri m 0 + m L + m L כעת נציב בנוסחה: ( ) + ml 5 ml ב. מסה m 3 4

5 m m, r L m m, r L m 3 m, r 3 0 I 3 כעת נציב בנוסחה: 3 m i ri m L + m ( L + m 0 + ) ml 3 ml ג. ביחס למרכז המסה של המערכת. עלינו קודם למצוא את מיקום מרכז המסה במערכת שלנו, על מנת שנוכל לחשב את מומנט R CM M. כיוון שזהו n ההתמד ביחס אליו. חישוב מרכז המסה נעשה על פי i m i r i וקטור, נוכל לפרקו לרכיבים בכיוון x ו y. נבחר שהראשית תהיה במיקום מסה m. זכרו כי בחירה זו היא שרירותית. R CM (X CM, Y CM ) M m + m + m 3 m X CM Y CM R CM m (m x + m x + m 3 x 3 ) ( m m L + m ) 0 + m 0 L 4 m (m y + m y + m 3 y 3 ) ( m m 0 + m ) 0 + m L L ( L 4, L ) 4 זהו מיקום מרכז המסה מהראשית שבחרנו. כעת, נוכל לחשב מפורשות על פי הגדרה את מומנט ההתמד ביחס לציר העובר דרך R CM, או לחילופין, להשתמש במשפט שטיינר: I I CM + Md כל שעלינו לעשות הוא לבחור אחד מבין מומנטי ההתמד הידועים לנו מסעיפים קודמים ולמצוא את מרחק מרכז המסה מאותו ציר. נבחר את I מסעיף א. מרחק מרכז המסה ממיקום m הוא: d ( RCM r ) (XCM x, Y CM y ) 5

6 (X CM x ) + (Y CM y ) ( ) ( ) L L 4 L + ( ) L 3 6 L נציב במשפט שטיינר כדי לקבל את מומנט ההתמד דרך מרכז המסה: I CM I Md 5 ml m 3 6 L 7 8 ml שאלה 630 סולם מחליק סולם שמסתו m ואורכו L נשען על קיר אנכי חסר חיכוך. מקדם החיכוך בין הסולם לרצפה הוא µ. מהי הזווית המינימלית α בה ניתן להעמיד את הסולם בשיווי משקל? פתרון כיוון שאנו דורשים שיווי משקל, אזי סכום הכוחות על הסולם צריך להתאפס על מנת שהגוף לא יאיץ קווית ובנוסף, סכום המומנטים אף הוא יתאפס על מנת שהגוף לא יאיץ סיבובית. נסמן: N הנורמל עם הקיר N הנורמל עם הרצפה f החיכוך אשר פועל בנקודת המגע עם הרצפה בכיוון ימינה Fx f N 0 נתחיל עם משוואת הכוחות: Fy N mg 0 6

7 נוסיף את משוואת מומנטי הכח. ניתן לבחור כל נקודה ונרצה לקחת כנקודת ציר את הפינה השמאלית של הסולם: τ mg L sin (90 α) N L sin α mgl cos α N L sin α 0 mg N tan α נשתמש ב mg N ממשוואת הכוחות על ציר y ובנוסף ב N f µn ממשוואת הכוחות על ציר x. נציב במשוואת המומנטים ונקבל: N µn µn tan α µ tan α α arctan µ וקיבלנו תנאי מינימלי לזווית α כך שהסולם לא יחליק. שאלה 60 אב בן וסירה אב ובנו נמצאים בקצהו השמאלי של סירה הנמצאת במנוחה. ברגע מסויים הבן צועד למרכז הסירה והאב לקצה הימני של הסירה. בכמה הסירה זזה? (ניתן להזניח כח גרר בין הסירה למים) מסת האב m f 00 kg מסת הבן m s 50 kg מסת הסירה m B 0 kg אורך הסירה L 4 kg פתרון נוכל להסתכל על האב, הבן והסירה כעל מערכת סגורה. שקול הכוחות על מערכת זו הוא אפס (כח הכובד מתקזז על ידי כח העילוי שמפעילים המים). כלומר, מתקיים שימור תנע בכל רגע. התנע הכולל נשמר והוא שווה לאפס ולכן מרכז המסה של המערכת כולה אינו זז. משוואת מרכז המסה (עבור בעיה חד מימדית): X CM m i x i M i נבחר את הראשית להיות בקצה השמאלי של הסירה והכיוון החיובי הוא ימינה, יחד עם האב והבן 0 s x. f x הסירה היא גוף גדול שמסתה מפולגת אחיד לכל אורכה, ולכן 7

8 .x B L מרכז ניתן להתייחס אליה כאל נקודתית כאשר כל המסה שלה מרוכזת במרכזה המסה ברגע התחלתי: X CM m f 0 + m s 0 + m B L m B L m f + m s + m B m f + m s + m B נרשום ביטוי עבור מרכז המסה לאחר תזוזת האב והבן, אולם עלינו לזכור שהסירה זזה אף היא והנתונים בשאלה הם עבור מיקומם היחסי לסירה לכן נסמן את וקטור התזוזה (movement) בתור x m (שימו לב כי מדובר בוקטור חד מימדי, כלומר הוא יכול להיות בעל סימן חיובי (תזוזה ימינה) או בעל סימן שלילי (תזוזה שמאלה): X CM m f (L + x m ) + (m s + m B ) ( L + x ) m m f + m s + m B הבן והסירה נמצאים באותו מיקום לאחר התזוזה. ומיקום מרכז המסה לא השתנה: כעת נשווה בין שני הביטויים, מאחר X CM X CM m B L m f (L + x m ) + (m s + m B ) L m s m f L x m (m f + m s + m B ) x m m s + m f L.35 m < 0 m f + m s + m B ( ) L + x m קיבלנו תזוזה שמאלה (שלילית) כמצופה. 8