אלגברה לינארית 2 משפטים וטענות
|
|
- Νανα Σκλαβούνος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 אלגברה לינארית 2 משפטים וטענות סוכם ע"פ הרצאות פרופ' מ.קריבלביץ' 1.2 אידאלים של פולינומים הגדרה 1.13 יהי F שדה. קבוצת פולינומים [x] I F נקראת אידיאל ב [ x ] F אם מתקיים:.0 I.1.2 לכל f 1, f 2 I מתקיים.f 1 + f 2 I.3 לכל f I ולכל [x] g(x) F מתקיים:.fg I 1 פולינומים, n הגדרה 1.1 (פולינום) יהי F שדה, פולינום הינו ביטוי מהצורה 0=i α ix i כאשר α i F ו x הינו משתנה. הגדרה 1.2 (מעלת הפולינום) נניח כי קיים i n 0 כך ש 0 i α, במקרה זה נסמן את מעלת הפולינום 0} i.deg(p) = max{0 i n α אחרת, אם = 0 p(x) נסמן =.deg(p) טענה 1.14 יהיו [x] f 1,..., f k F אזי הקבוצה המוגדרת על ידי: I הקבוצה.F הינה אידיאל ב [ x ] I = { k g if i 1 i k g i F [x]} כנ"ל נקראת האידיאל שנוצר על ידי f 1,..., f k ומסומנת > k.i =< f 1,..., f הגדרה 1.3 יהי p(x) פולינום ממעלה 0 k, המקדם α k נקרא המקדם המוביל של.p(x) פולינום אשר המקדם המוביל שלו הינו 1 נקרא פולינום מתוקן. משפט 1.4 נסמן ב [x] F) n ([x] F את אוסף הפולינומים במשתנה x (ממעלה לכל היותר n) עם מקדמים בשדה F. אזי [x] F יחד עם פעולות החיבור והכפל בסקלר הוא מרחב וקטורי ממימד אינסופי (מימד n). משפט 1.15 (כל אידיאל בחוג הפולינומים הוא ראשי) יהי [x] I F אידיאל. אזי קיים פולינום [x] f(x) F כך ש > f.i =< הערה: נניח כי [x] I F אידיאל ו > 2.I =< f 1 >=< f אז f 1, f 2 הם כפולות אחד של השני, כלומר קיים λ F 0 כך ש.f 1 = λf מחלקים משותפים הגדרה [x] 1.16 f 1, f 2 F פולינומים, פולינום [x] g(x) F נקרא מחלק משותף מירבי של f 1, f 2 אם מתקיים: ואת.f 2 מחלק את f 1 g.1 טענה 1.5 לכל שני פולינומים [x] p(x), q(x) F מתקיים כי:.deg(pq) = deg(p) + deg(q) משפט 1.6 יהיו [x] f, g F פולינומים כאשר 0.g(x) אזי קיימים פולינומים יחידים [x] q(x), r(x) F כך שמתקיים: f(x) = q(x)g(x) + r(x) & deg(r) < deg(q).2 אם [x] h F מחלק את f 1, f 2 אזי h מחלק את.g סימון: קבוצת כל המחלקים המשותפים של [x] f,1 f 2 F מסומנת ב gcd(f 1, f 2 ) F [x] משפט 1.17 יהיו [x] f 1, f 2 F אזי [x] g F מקיים > 2 < g >=< f 1, f אם ורק אם ) 2.g gcd(f 1, f כלומר: >} 2.gcd(f 1, f 2 ) = {g :< g >=< f 1, f הגדרה [x] 1.18 g F הוא מחלק משותף מקסימלי של [x] f 1,.., f n F אם מתקיים: הגדרה 1.7 אם [x] f, g F פולינומים כך שקיים [x] q(x) F עבורו,f = qg נאמר כי f מתחלק ב g ו g מחלק את f. 1.1 שורשים של פולינומים טענה λ F 1.8 הוא שורש של פולינום [x] p(x) F אם ורק אם p(x) מתחלק ב ( λ x)..f 1,..., f n מחלק את g.1.2 אם [x] h F מחלק את f 1,..., f n אזי h מחלק את.g משפט 1.19 לכל [x] f 1,..., f n F קיים:.gcd(f 1,..., f n ) = {g F [x] :< g >=< f 1,..., f n >} 1.4 פולינומים אי פריקים ופירוק לפולינומים אי פריקים הגדרה 1.20 פולינום [x] p F נקרא אי פריק אם: הגדרה 1.9 (ריבוי של שורש) יהי [x] p(x) F 0 פולינום ונניח כי λ F הינו שורש של.p(x) המספר השלם 1 s הגדול ביותר עבורו p(x) מתחלק ב x) (λ s נקרא הריבוי של λ כשורש של.p(x) משפט 1.10 יהי [x] p(x) F פולינום ממעלה 1 n ו λ 1,..., λ k F שורשים שונים של.p(x) אזי p(x) מתחלק ב (.(x λ 1 )...(x λ k מסקנה 1.11 לכל פולינום p(x) ממעלה 1 n יש לכל היותר n שורשים..deg(p) אם קיימים פולינומים [x] f, g F כך ש fg p = אזי g או f הוא קבוע 0 (כלומר = 0 deg(g) או = 0.(deg(p) טענה 1.12 (תרגיל) אם r Q שורש של פולינום 0 f(x) = a n x n a r = p q כאשר p, q Z ו = 1 q) gcd(p, אזי מתקיים כי q מחלק Z[x] ונסמן את a n ו p מחלק את a. 0 1
2 2.1 הפולינום האופייני של העתקה ליניארית/מטריצה טענה 2.10 תהי ) (F A M n מטריצה, אזי λ F הוא ע"ע של A אם ורק אם = 0 A).det(λI הגדרה 2.11 תהי ) (F A M n מטריצה אזי המטריצה t)b = ti A משתנה) נקראת המטריצה האופיינית של A. הפונקציה (A det(ti נקראת הפולינום האופייני של A ומסומנת ב ( t ) P. A טענה 2.12 תהי ) (F A M n מטריצה אז הביטוי (t) P A הינו פולינום מתוקן ממעלה n במשתנה t. מסקנה מההגדרה: תהי ) (F A M n מטריצה אזי λ F הוא ע"ע של A אם ורק אם λ הוא שורש של הפולינום האופייני (t) P. A משפט 2.13 למטריצות דומות יש את אותו הפולינום האופייני. הגדרה 2.14 תהי T : V V העתקה ליניארית. הפולינום האופייני של T המסומן ב (t) P T הוא הפולינום האופייני של מטריצת הייצוג של T על פי בסיס כלשהו של V. 2.2 פולינום אופייני וליכסון משפט 2.15 (תנאי הכרחי לליכסון) אם העתקה ליניארית T : V V לכסינה, אז הפולינום האופייני (t) P T מתפרק לגורמים ליניאריים. הגדרה 2.16 תהי T : V V העתקה לינארית של מ"ו V מעל שדה F. יהי.T ערך עצמי של λ F 1. הריבוי האלגברי של λ הוא הריבוי של λ כשורש של הפולינום האופייני.P T (t) 2. הריבוי הגיאומטרי של λ הוא המימד של המרחב העצמי V. λ משפט 2.17 תהי T : V V העתקה ליניארית ו λ F ערך עצמי של,T אזי הריבוי הגיאומטרי של λ אינו עולה על ריבויו האלגברי. משפט 2.18 (תנאי מספיק והכרחי לליכסון) תהי T : V V העתקה ליניארית, אזי T לכסינה אם ורק אם: 1. הפולינום האופייני (t) P T מתפרק לגורמים ליניאריים. 2. לכל ע"ע λ F של T הריבוי הגיאומטרי של λ שווה לריבוי האלגברי. 2.3 אלגוריתם הליכסון נתונה: T : V V העתקה ליניארית. המטרה: להכריע האם T לכסינה, ובמידה וכן למצוא בסיס מלכסן. השיטה: משפט 1.21 (קיום ויחידות פירוק לגורמים אי פריקים) יהי [x] p(x) F פולינום כך ש 1,deg(p) אזי קיימים פולינומים אי פריקים.p = p 1 p 2...p n כך ש p 1,..., p n F [x] יתרה מזאת אם p = p 1 p 2...p n וכן p = q 1 q 2...q m כאשר [x] p 1,..., p n, q 1,..., q m F אזי m = n וקיימת תמורה σ S n וקבועים. 1 i n : p i = λ i q σ(i) כך ש λ 1,..., λ n F מסקנה: יהי [x] f F פולינום ממעלה 1 לפחות. אזי קיים ייצוג יחיד.λ F אי פריקים ומתוקנים ו p 1,..., p n F [x] כאשר f = λp 1...p n משפט 1.22 יהי [x] p(x) F פולינום ממעלה n 1 ונניח כי λ 1,..., λ k F הם שורשים שונים של p(x) עם ריבויים s 1,,... s k בהתאמה. אזי p(x) מתחלק.(x λ 1 ) s1...(x λ k ) s k בפולינום משפט 1.23 (המשפט היסודי של האלגברה) יהי C[x] p(x) פולינום ממעלה 1 לפחות. אזי ל p קיים שורש λ. C מסקנה: הפולינומים האי פריקים ב [ C[x הם בדיוק הפולינומים הליניאריים. טענה 1.24 הפולינומים האי פריקים ב [ R[x הם בדיוק פולינומים ליניאריים ופולינומים ריבועיים ללא שורשים (ממשיים). 2 ערכים עצמיים וליכסון הגדרה 2.1 יהיה V מרחב וקטורי n מימדי (1 n) מעל שדה F. העתקה ליניארית T : V V נקראת לכסינה אם קיים בסיס B של V בו מטריצת הייצוג T] ] B היא מטריצה אלכסונית. הגדרה 2.2 (מקבילה למטריצות) מטריצה ) F) A M n נקראת ניתנת ללכסון או לכסינה אם A דומה למטריצה אלכסונית. כלומר אם קיימת מטריצה הפיכה.D = P 1 AP כך שמתקיים D ומטריצה אלכסונית P M n (F ) משפט 2.3 יהי V מרחב וקטורי ממימד 1 n ותהי T : V V העתקה ליניארית. T לכסינה אם ורק אם קיים בסיס סדור } n B = {v 1,..., v וקבועים. 1 i n : T v i = λ i v i כך שמתקיים: λ 1,..., λ n F הגדרה 2.4 נניח כי T (v) = λv עבור λ F ו v V.0 אזי λ F נקרא ערך עצמי של T ו v V נקרא וקטור עצמי של T השייך לערך עצמי λ. טענה 2.5 תהי T : V V ה"ל, כאשר V מ"ו מעל שדה,F ויהי λ F ערך עצמי של,T אזי הקבוצה λv} V λ = {v V : T v = הינה תת מרחב של.V קבוצה זאת נקראת תת המרחב העצמי של T השייך לערך עצמי λ. משפט 2.6 (ו"ע השייכים לע"ע שונים) תהי T : V V ה"ל ) V מ"ו n מימדי מעל.(F נניח כי λ 1,..., λ k F הם ע"ע שונים של T ו v 1,..., v k הם ו"ע השייכים לערכים העצמיים הנ"ל בהתאמה, אזי הקבוצה } k x = {v 1,..., v בת"ל ב V. מסקנה: אם dim V = n ולהעתקה ליניארית T : V V יש n ע"ע שונים, אזי T לכסינה. (זהו תנאי מספיק אך לא הכרחי). 1. מצא את הפולינום האופיינו (t) P. T 2. אם (t) P T לא מתפרק לגורמים ליניאריים, עצרי! T אינה לכסינה :( λעבור i λ j ) P T (t) = (t λ 1 ) s 1,(i j עבור...(t λ k ) s k 3. נניח כי.B i ובסיסו V λi מצא את המימד של המרחב העצמי 1 i k.4 אם קיים i k 1 עבורו,dim V λi < s i עצרי! T אינה לכסינה ):,B = k זהו הבסיס המלכסן (:.5 אחרת ) λi (s i = dim V הגדירו B k טענה 2.7 תהי T : V V העתקה לינארית, B בסיס של V ו B A = [T ] ) F) M n מטריצת הייצוג של T לפי בסיס B. אזי ל T ול A יש את אותם ערכים עצמיים ויתרה מזאת v V הוא ו"ע של T השייך לע"ע λ אם ורק אם הווקטור [v] B F n הוא ו"ע של A השייך לע"ע.λ 2 מסקנה 2.8 למטריצות דומות אותם ערכים עצמיים. משפט T : V V 2.9 ו ( A = [T ] B M n (F מטריצת הייצוג של T על פי בסיס B. אזי T לכסינה אם ורק אם A לכסינה.
3 .1 תהיינה ) (F A, B M n מטריצות דומות, אזי (t).m A (t) = M B.2 נניח כי מטריצה ) (F A M n לכסינה אזי ) k.m A (t) = (t λ 1 )...(t λ כאשר λ 1,..., λ k כל הע"ע השונים של.A.3 נניח כי למטריצה ) (F A M n יש n ע"ע שונים.λ 1,.., λ n F אזי.M A (t) = P A (t) = (t λ 1 )...(t λ k ) 2.4 שילוש של העתקות מרוכבות תזכורת: מטריצה ) F) A M n נקראת משולשית עליונה אם מתקיים. 1 i, j n : j < i a ij = 0 טענה 2.19 אם ) (F A M n משולשית עליונה עם הערכים λ 1,..., λ n באלכסון אזי הפולינום האופייני של A הינו ) n.p A (t) = (t λ 1 )...(t λ מציאת הפולינום המינימלי משפט 3.13 תהי ) (F A M n מטריצה ויהי λ F ע"ע של A אזי t λ מחלק את הפולינום המינימלי (t) M. A מסקנה: לפולינום האופייני (t) P A ולפולינום המינימלי (t) M A של מטריצה A אותם גורמים לינאריים. למעשה נכונה טענה כללית יותר: ל ( t ) P A ול ( t ) M A אותם גורמים אי פריקים הפולינום המינימלי של העתקה ליניארית סימון: T : V V ה"ל של מ"ו V מעל שדה,F נסמן : [t] I T = {p(t) F.p(T ) = 0} טענה 3.14 באופן דומה למקרה המטריצי, לכל T ה"ל, הקבוצה I T הינה אידיאל ב [ t ] F. הגדרה 3.15 בהינתן T : V V ה"ל, הפולינום המתוקן היחיד שיוצר את האידיאל I T נקרא הפולינום המינימלי של T ומסומן ב ( t ) M. T טענה 3.16 תהי T : V V העתקה ליניארית ו B בסיס של V. תהי A = [T ] B מטריצת הייצוג של T לפי בסיס.B אזי I A = I T (ולכן גם למטריצת הייצוג ולההעתקה המיוצגת אותו פולינום מינימלי). מסקנות: כמו במקרה המטריצי פולינום מינימלי וליכסון משפט 3.17 תהי T : V V העתקה ליניארית של מ"ו V מעל שדה F. אזי T לכסינה אם ורק אם הפולינום המינימלי (t) M T מתפרק לגורמים ליניאריים λ i עבור כל λ j שונים, כלומר ) k M T (t) = (t λ 1 )...(t λ כאשר.1 i j k 0 1 = n J, בלוק ז'ורדן נילפוטנטי צורת ז'ורדן הגדרה 4.1 יהי F שדה, נסמן מסדר n. טענה 4.2 לכל 1 k שלם מתקיים: I היא אידיאל. טענה 3.8 לכל ) (F A M n הקבוצה [t] A F k {}}{ M A מטריצה. הפולינום המתוקן היחיד שיוצר את הגדרה 3.9 תהי ) (F n (J n ) k....m האידיאל I A נקרא הפולינום המינימלי של A ומסומן ב ( t ) A = 1 A M מטריצה. נניח כי קיים שלם חיובי k כך ש טענה 3.10 תהי ) (F n.a n אז = 0 A k = 0 0 מסקנה: אם A = J n אז P A (t) = M A (t) = t n הגדרה T : V V 2.20 העתקה ליניארית, בסיס B של V נקרא בסיס משלש אם מטריצת הייצוג T] ] B הינה משולשית עליונה. טענה 2.21 בסיס B של מ"ו V משלש את ההעתקה T : V V אם ורק אם.1 i n Tלכל v i sp{v 1,..., v i } משפט 2.22 יהי V מרחב וקטורי n מימדי (1 n) מעל שדה המרוכבים C ו T העתקה לינארית. אזי ל T קיים בסיס משלש. 3 הצבה של מטריצה/העתקה ליניארית לתוך פולינום הגדרה 3.1 תהי ) (F A M n מטריצה ) V T : V ה"ל) ויהי p(t) = m פולינום. i=0 α it i F [t] ההצבה (A) (P (T )) P מוגדרת על ידי:.(P (T ) = m i=0 αi T i ) P (A) = m i=0 αi A i כאשר (T 0 = Id) A 0 = I n ו.(T i = T... T ) A i = A...A הגדרה 3.2 מטריצה A (העתקה (T מאפסת פולינום p(t) אם = 0 (A) P.(P (T ) = 0) טענה 3.3 אם [t] p 1, p 2 F ו ) (F A M n אזי מתקיים = (A) p 1 (A)p 2.p 2 (A)p 1 (A) טענה T : V V 3.4 העתקה ליניארית במרחב וקטורי מעל שדה B,F בסיס של.V אם [t] p(t) F פולינום אזי: ) B.[p(T )] B = p([t ] טענה 3.5 תהי ) (F D = diag(λ 1,..., λ n ) M n מטריצה אלכסונית ו.p(D) = diag(p(λ 1 ),..., p(λ n )) פולינום. אזי: p(t) F [t] טענה 3.6 נניח כי ) (F A M n מטריצה לכסינה, כלומר קיימת = D ) n diag(λ 1,..., λ ו Q הפיכה כך ש AQ.D = Q 1 יהי p(t) פולינום, אזי:.p(A) = Qp(D)Q 1 משפט 3.7 (קיילי המילטון, למטריצות) תהי ) (F A M n מטריצה, ויהי [t] P A (t) F הפולינום האופייני של A אזי מתקיים = 0 (A).P A (באופן דומה גם להעתקות). 3.1 הפולינום המינימלי סימון: בהינתן מטריצה ) (F A M n נסמן 0} = p(a).i A = {p(t) F [t] : טענה 3.11 תהי ) (F D = diag(λ 1,..., λ n ) M n אזי (t M A (t) =.λ 1,..., λ n הם כל הערכים השונים מבין λ i1,..., λ ik כאשר λ i1 )...(t λ ik ) הגדרה 4.3 מטריצה ) (F A M n נקראת נילפוטנטית מאינדקס s אם = 0 s A אבל 0 k A לכל.k < s 3 טענה 3.12 אם מטריצות ) (F A, B M n דומות אזי.I A = I B מסקנות מהטענה:
4 משפט 4.12 (צורת ז'ורדן למטריצות) (C) A M n מטריצה אז A דומה למטריצת ז'ורדן G. כלומר קיימת מטריצת ז'ורדן G ומטריצה הפיכה P כך ש A. = P 1 GP יתרה מזאת צורת ז'ורדן של A נקבעת ביחידות ע"י A עד כדי שינוי סדר הבלוקים. הערות: 1. הכרחי לקיום צורת ז'ורדן (t) P T מתפרק לגורמים ליניאריים. ניתן לטעון קיום ויחידות של צורת ז'ורדן מעל כל שדה F בו כל פולינום (ממעלה 1 ( מתפרק לגורמים ליניאריים. 2. R אינו שדה סגור אלגברית, לכן לא תמיד קיימת צורת ז'ורדן מעל R. יחד עם זאת אם T : V V ה"ל כך ש ( t ) P T מתפרק לגורמים ליניאריים, אזי ל T קיימת צורת ז'ורדן וצורה זו יחידה עד כדי סדר הבלוקים שימושים של משפט ז'ורדן משפט 4.13 תהי (C) A M n מטריצה אזי A דומה ל.A t 4.3 מציאת בסיס ז'ורדן של מטריצה בהינתן (C) A M n נרצה למצוא בסיס ז'ורדן עבור A..1 מוצאים (t) P A ו ( t ),M A וערכים עצמיים של.A 2. באמצעות הריבוי האלגברי והגיאומטרי וכן הריבוי של λ כשורש של הפולינום המינימלי, מוצאים את צורת ז'ורדן של A. 3. עתה מספיק למצוא בסיס ז'ורדן עבור כל ע"ע בנפרד ולבסוף לאחד את הבסיסים. λ 1 = (λ) J n נקראת בלוק λ הגדרה 4.4 יהי λ F המטריצה 1 λ ז'ורדן מסדר n השייך ל λ. נשים לב שנוכל לכתוב:.J n (λ) = λi n + J n טענה 4.5 יהי ) (F A = J n (λ) M n בלוק ז'ורדן מסדר n השייך ל λ F אזי.P A (t) = M A (t) = (t λ) n.a k = k i=0 ( k i) טענה 4.6 אם ) (F A = J n (λ) M n אזי λ k i (J n ) i הערה: אם בטענה הנ"ל k n אז כיוון ש = 0 k Jn מקבלים = k A. n 1 ) i=0 λ k i (J n ) i הגדרה 4.7 מטריצת ז'ורדן הינה מטריצת בלוקים אלכסונית בה כל בלוק באלכסון הוא בלוק ז'ורדן: J n1 (λ 1 ) 0 J n2 (λ 2 ) G =... 0 J nk (λ k ) ( k i 4.1 תכונות של מטריצת ז'ורדן תהי )) k G = diag(j n1 (λ 1 ),..., J nk (λ מטריצת ז'ורדן, אזי: מציאת בסיס ז'ורדן עבור ערך עצמי λ נניח כי למטריצה (C) A M n ערך עצמי λ, והבלוקים השייכים ל λ הינם.J n1 (λ),..., J nk (λ) נרצה למצוא בסיס ז'ורדן B λ המתאים לע"ע הנ"ל..1 נגדיר.B = A λi 2. נמצא עתה את n 1 הוקטורים הראשונים בבסיס B. λ.3 נשים לב כי הוקטורים v 1, v 2,..., v n1 B λ צריכים לקיים את הקשר: ( ) Bv 2 = v 1 Bv 3 = v 2 Bv n1. = v n G משולשית עליונה..P G (t) = (t λ 1 ) n1...(t λ k ) n k 2. הפולינום האופייני של G:.3 הפולינום המינימלי של :G באופן כללי אם ) k A = diag(b 1,..., B מטריצת בלוקים אלכסונית, אזי (t)).m A (t) = lcm(m B1 (t),..., M Bk זה נכון גם עבור G..4 הערכים העצמיים של G הינם.λ 1,..., λ k 5. הריבוי האלגברי של הערך העצמי λ i הינו סכום סדרי הבלוקים השייכים ל.λ i טענה 4.8 (תרגול) תהי (C) A M n 1. הריבוי של λ כשורש של הפולינום המינימלי הינו גודל הבלוק הגדול ביותר השייך ל λ בצורת ז'ורדן של A. ( ) v n1 v 2 ker B 2 \ ker B v 3 ker B 3 \ ker B 2. ker B n 1 \ ker B n 1 1 וגם:.4 נבחר וקטור.v n1 ker B n1 \ ker B n עתה באמצעות ( ) ניתן למצוא את שאר הוקטורים. 6. נחזור על התהליך עבור שאר הבלוקים, כאשר נוודא שאנו בוחרים וקטורים שאינם תלויים ליניארית בוקטורים שכבר בחרנו עבור הבלוקים הקודמים. 2. מספר הבלוקים עם ערך λ בגודל לפחות k בצורת ז'ורדן של A הינו.rk(A λi) k 1 rk(a λi) k טענה 4.9 תהי G מטריצת ז'ורדן, אזי הריבוי הגיאומטרי של ערך עצמי λ i של λ. i הינו מספר הבלוקים השייכים ל G, 4.2 בסיס ז'ורדן וצורת ז'ורדן של העתקות ומטריצות הגדרה T : V V 4.10 העתקה ליניארית של מ"ו n מימדי V מעל שדה.F בסיס B של V הוא בסיס ז'ורדן עבור T אם מטריצת הייצוג G = T] ] B היא מטריצת ז'ורדן. משפט 4.11 (ז'ורדן) תהי T : V V העתקה ליניארית של מרחב וקטורי n מימדי (n 1) V מעל.C אזי ל T קיים בסיס ז'ורדן. יתרה מזאת, כל שתי צורות ז'ורדן של T זהות זו לזו עד כדי שינוי סדר בלוקי ז'ורדן באלכסון. 4
5 A t = A.1 n מס' ממשי אי שלילי n.2 לכל α 1,..., α n R קיים j=1 α iα j a ij וכן הביטוי הנ"ל מתאפס אם ורק אם = 0 n α 1 =... = α הגדרה 5.11 (נורמה) מוגדרת באותו אופן כמו במקרה הממשי. תכונות של נורמה: יהי V ממ"פ, ו נורמה על V.1 ליניאריות: לכל v V ולכל סקלר λ מתקיים v. λv = λ.2 חיוביות: 0 v והשוויון מתקיים אם ורק אם = 0.v.3 אי שוויון משולש: v. u + v u אורתוגונליות הגדרה 5.12 יהי V ממ"פ. וקטורים,u v V נקראים אורתוגונליים זה לזה אם >= 0 v.< u, הגדרה 5.13 (משלים אורתוגנלי) יהי V ממ"פ, תהיה U V קבוצת וקטורים. המשלים האורתוגונלי של U המסומן ב U היא קבוצת וקטורים ב V המוגדרת על ידי: 0} >= v.u = {v V : u U < u, משפט 5.14 (תכונות של המשלים האורתוגונלי) יהי V ממ"פ ו U V תת קבוצה. אזי: V. הוא תת מרחב של U 1. 5 מרחבי מכפלה פנימית 5.1 מכפלה פנימית ממשית הגדרה 5.1 (מעל (R יהי V מ"ו מעל שדה,R פונקציה f : V V R (נסמן > v (f(u, v) =< u, נקראת מכפלה פנימית על V אם:.1 סימטריות: לכל u, v V קיים > u.< u, v >=< v,.2 ליניאריות: לכל u, v, w V קיים < + > w < u + v, w >=< u,.v, w >.3 הומוגניות: לכל u, v V ולכל λ R קיים > v.< λu, v >= λ < u,.4 חיוביות: לכל v V קיים > 0 v < v, ויתרה מזאת >= v < v,.0 v = 0 משפט 5.2 (אי שוויון קושי שוורץ) יהי V מ"ו ממשי עם מכפלה פנימית >,>, אזי לכל a, b V קיים: < a, b > 2 < a, a >< b, b > או בניסוח שקול דרך נורמה v.< u, v > u הגדרה 5.3 הנורמה של, v V המסומנת ב v, מוגדרת על ידי = v. < v, v >.2 אם U u U אזי = 0.u 3. ) U) U (אם Vממימד סופי ו U תת מרחב אזי קיים שוויון). הגדרה 5.15 יהי V ממ"פ, קבוצת וקטורים K V נקראת הגדרה 5.16 קבוצה אורתוגונלית אם: 0 / K.1.2 לכל u v K קיים >= 0 v.< u, קבוצה אורתונורמלית אם K קבוצה אורתוגונלית וכן = 1 v לכל v. K משפט 5.17 יהי V ממ"פ ותהי K V קבוצה אורתוגונלית, אזי K היא קבוצה בלתי תלויה ליניארית. הגדרה 5.18 בסיס B של ממ"פ V נקרא בסיס אורתוגונלי (אורתונורמלי) אם B קבוצה אורתוגונלית (אורתונורמלית). משפט 5.19 יהי V ממ"פ. קבוצה אורתוגונלית סופית K היא בסיס אורתוגונלי אם ורק אם K קבוצה אורתוגונלית מקסימלית לפי הכלה (כלומר לכל וקטור v V \ K הקבוצה {v} K אינה אורתוגונלית). משפט 5.20 יהי V ממ"פ n מימדי ויהי } n B = {v 1,..., v בסיס אורתונורמלי של V..u = n.1 לכל u V מתקיים < u, v i > v i.< u, w >= n.2 לכל u, w V מתקיים > i < u, v i >< w, v. u = n.3 לכל u V מתקיים 2 > i < u, v משפט 5.21 (היטל אורתוגונלי) יהי V ממ"פ ויהי U V תת מרחב לא טריוויאלי של.V נניח כי.v V \ U.1 קיים u 0 U כך ש (v u 0 ) u 5.2 מכפלה פנימית מרוכבת 2. וקטור u 0 כנ"ל הוא יחיד. u 0 נקרא ההיטל האורתוגנלי של v על U. הגדרה V 5.4 מ"ו מעל שדה C ו C f : V V (נסמן > v,(f(u, v) =< u, f נקראת מכפלה פנימית על V אם:.1 הרמיטיות: לכל u, v V מתקיים כי > u.< u, v >=< v,.2 ליניאריות: לכל u, v, w V מתקיים < + > w < u + v, w >=< u,.v, w >.3 הומוגניות: לכל u, v V ו C λ מתקיים > v < λu, v >= λ < u, (וכן > v.(< u, λv >= λ < u,.4 חיוביות: לכל v V קיים > 0 v < v, ויתרה מזאת >= v < v,.0 v = 0 משפט 5.5 (אי שוויון קושי שוורץ) כמו במקרה הממשי. הגדרה 5.6 (מטריצה של מכפלה פנימית) יהי V מ"ו n מימדי עם מכפלה פנימית > <, ו { B = {v 1,..., v n בסיס סדור של.V נגדיר את המטריצה של המכפלה הפנימית (C) A M n באופן הבא: >= ij (A).v i, v j > טענה 5.7 אם (C) A M n מטריצת מכפלה פנימית, אזי.A = A טענה 5.8 אם (C) A M n מטריצת מכפלה פנימית המתאימה לבסיס B, אזי.< u, v >= [u] t B A[v] B הגדרה 5.9 מטריצה (C) [a ij ] = A M n נקראת חיובית לחלוטין (מוגדרת חיובית) אם: A = A.1 n מס' ממשי אי שלילי n.2 לכל α 1,..., α n C קיים j=1 α iα j a ij וכן הביטוי הנ"ל מתאפס אם ורק אם = 0 n α 1 =... = α הגדרה 5.10 מטריצה (R) [a ij ] = A M n נקראת חיובית לחלוטין (מוגדרת חיובית) אם: 5
6 6.1 ההעתקה הצמודה משפט 6.1 יהי V מרחב מכפלה פנימית. תהי T : V V העתקה לינארית אזי: V u, v T המקיימת :< : V V.1 קיימת ויחידה העתקה T u, v >=< u, T v > 2. ההעתקה T היא ליניארית. הגדרה 6.2 בהינתן העתקה ליניארית T, : V V ההעתקה הליניארית היחידה T : V V המקיימת : > v u, v V : < T u, v >=< u, T תקרא ההעתקה הצמודה ל T. משפט 6.3 (תכונות של העתקות צמודות) יהי V ממ"פ ו,S T : V V ה"ל. (T ) = T.1 (S + T ) = S + T.2.3 לכל סקלר (αt ) = αt : α.i = I,0 = 0.4 (ST ) = T S.5.6 אם T הפיכה אז 1 ) (T (T 1 ) =.3 לכל וקטור u 0 u U מתקיים כי 0. v u > v u טענה 5.22 יהי V ממ"פ..1 נניח עבור w, v V מתקיים לכל,< u, v >=< u, w > : u V אזי.w = v.2 תהיינה S, T : V V העתקות (לאו דווקא ליניאריות) אם לכל.S = T אזי < u, Sv >=< u, T v > קיים: u, v V.3 אם >= 0 v < Su, לכל u, v V אז = 0.S מטריצת Gram הגדרה 5.23 יהי V ממ"פ ויהיו v 1,.., v k V וקטורים. מטריצת גראם של.(G) ij =< v i, v j > המוגדרת באופן הבא: G היא מטריצה v 1,.., v k הערה: במקרה המרוכב G G (הרמיטית), = במקרה הממשי = G G (סימטרית). t הגדרה 5.24 דטרימננטת גראם של קבוצת וקטורים היא הדטרמיננטה של מטריצת גראם המתאימה לקבוצה. משפט 5.25 תהי } k {v 1,..., v וקטורים בממ"פ.V אזי } k {v 1,..., v היא קבוצה תלויה ליניארית אם ורק אם דטרמיננטת גראם של } k v} 1,,... v היא משפט הפירוק האורתוגונלי משפט 5.26 יהי V מרחב מכפלה פנימית ממימד 1 n ונניח כי U V הוא תת מרחב של V..V = U U.1.(U ) = U.2 משפט 6.4 תהי T : V V העתקה לינארית. V אזי קיים כי B בסיס אורתונורמלי של.1 אם } n = {w 1,..., w.[t ] B = ([T ] B ) 2. אם עבור העתקה ליניארית S : V V ועבור בסיס אורתונורמלי B כלשהו של V מתקיים ) B [S] B = ([T ] אזי T.S = העתקות צמודות לעצמן משפט 6.5 יהי V ממ"פ, העתקה ליניארית T : V V נקראת צמודה לעצמה אם T.T = משפט 6.6 העתקה לינארית T : V V היא צמודה לעצמה אם ורק אם בבסיס אורתונורמלי B של V מתקיים: ) B [T ] B = ([T ] הטלה אורתוגונלית אם V ממ"פ ו U תת מרחב, אזי לפי משפט 5.26 כל v V ניתן להציג כ u v = u + כאשר U.u U & u הגדרה 5.27 יהי U תת מרחב של ממ"פ V, אזי ההטלה האורתוגונלית של V על U היא העתקה ליניארית P U : V U המוגדרת על ידי: P U (v) = u כאשר u v = u + כאמור לעיל. P U (v) = k טענה 5.28 אם } k {u 1,.., u בסיס אורתונורמלי של U אזי <.v, u i > u i תהליך גראם שמידט משפט 5.29 יהי V ממ"פ ממימד 1 n ונניח כי } n B = {v 1,..., v בסיס סדור של.V אז קיים בסיס סדור אורתונורמלי } vk B = {v1,..., של V כך שלכל.sp{v 1,,., v k } = sp{v1,..., vk } קיים 1 k n אלגוריתם למציאת בסיס אורתונורמלי בסיס אורתונורמלי } n u }(המקיים 1,,.. u את תנאי המשפט) למרחב וקטורי V בהינתן בסיס } n v} 1,,... v כלשהוא, מוגדר באינדוקציה על ידי: למה 6.7 יהי V ממ"פ ו T : V V העתקה צמודה לעצמה, אם.T אזי = 0 v V לכל < T v, v >= 0 משפט 6.8 יהי V ממ"פ מרוכב, ו T : V V העתקה ליניארית. אם.T אז = 0 v V לכל < T v, v >= 0 i = 1 : u 1 = v1 v 1 2 i n : w i = v i i 1 j=1 < v i, u j > u j u i = w i w i 6 העתקות לינאריות במרחבי מכפלה פנימית כל המרחבים הוקטוריים בחלק זה הינם ממימד סופי, 1 n. כמו כן F = C משפט 6.9 יהי V ממ"פ מרוכב, ותהי T : V V העתקה ליניארית. אזי T צמודה לעצמה אם ורק אם לכל u V מתקיים כי > u < T,u מספר ממשי. או.F = R 6
7 6.2 העתקות אוניטריות 2. הפולינום האופייני של T מתפרק לגורמים ליניאריים. מסקנות מהמשפט: 1. אם V ממ"פ מרוכב אז T לכסינה אוניטרית אם ורק אם T נורמלית. 2. אם T צמודה לעצמה אז T לכסינה אוניטרית. משפט 6.24 (מקביל למטריצות) תהי ) F) A M n מטריצה נורמלית, נניח כי הפולינום האופייני של A מתפרק לגורמים ליניאריים אזי A לכסינה אוניטרית. הגדרה 6.10 העתקה ליניארית T : V V נקראת אוניטרית אם מתקיים.T T = T T = I (במקרה הממשי העתקה אוניטרית נקראת העתקה אורתוגונלית) משפט 6.11 יהי V מרחב מכפלה פנימית ו T : V V העתקה ליניארית, אז התנאים הבאים שקולים:.1 T אוניטרית מסקנה 6.25 (מטריצה סימטרית לכסינה אורתוגונלית) תהי (R) A M n מטריצה סימטרית, אזי A לכסינה אורתוגונלית. כלומר קיימת מטריצה אורתוגונלית (R) Q M n ומטריצה אלכסונית (R) D M n כך ש.D = Q 1 AQ = Q t AQ מציאת בסיס אורתונורמלי מלכסן משפט 6.26 תהי T : V V העתקה נורמלית של ממ"פ.V נניח כי λ 1 λ 2 ע"ע של T ו v 1, v 2 V ו"ע השייכים לערכים λ 1, λ 2 בהתאמה. אזי v 1, v 2 ניצבים זה לזה, >= 0 2.< v 1, v אלגוריתם לכסון אוניטרי נתון: T : V V העתקה נורמלית. 1. נמצא את הפולינום האופייני (t) P. T 2. נבדוק האם (t) P T מתפרק לגורמים ליניאריים, אם לא T אינה לכסינה. P T (t) = (t λ 1 ) s 1 כאשר λ i λ j עבור...(t λ k ) s k 3. נניח כי.s s k = n = dim V ו,1 i j k.4 לכל i k 1 נמצא בסיס א"נ B i של מרחב עצמי.V λi B, = k זהו הבסיס האורתונורמלי המבוקש..5 נגדיר B k משפט V 6.27 ממ"פ ו T : V V העתקה ליניארית. אם T נורמלית והפולינום האופייני (t) P T מתפרק לגורמים ליניאריים: (t P T (t) =.λ 1 ) s1...(t λ k ) s k אז:.V = V λ1... V λk כאשר V λi המרחב העצמי השייך לע"ע,λ i ו.1 j i k עבור V λi V λj המשפט הספקטרלי משפט V 6.28 ממ"פ ו T : V V העתקה ליניארית. נניח כי:.T T = T T נורמלית, כלומר T (1 (t P T (t) = (2 הפולינום האופייני של T מתפרק לגורמים ליניאריים:.λ 1 ) s 1...(t λ k ) s k כמו כן נסמן V λi את המרחב העצמי של ע"ע λ. i עבור i k 1 נסמן V, λi אז: ב P i : V V את ההטלה האורתוגונלית על תת מרחב T = λ 1 P 1 + λ 2 P λ k P k.1.p P k = I.2.3 לכל i j k 1 מתקיים = 0 j.p i P שימושים למשפט הספקטרלי.P T (t) = (t λ 1 ) s1...(t λ k ) s k נניח כי T : V V נורמלית וכן T 2 = T T = ( k λ ip i )( k λ ip i ) = k k j=1 λ iλ j P i P j = = k λ2 i P 2 i = k λ2 i P i.t n = k ובאופן יותר כללי: λn i P i.1.2 לכל u, v V קיים: > v.< T u, T v >=< u,.3 לכל u V קיים: u. T u = משפט 6.12 תהי T : V V העתקה ליניארית, אזי T אוניטרית אם ורק אם T מעבירה בסיס אורתונורמלי לבסיס אורתונורמלי. הגדרה 6.13 מטריצה ) (F A M n (כאשר F = C או (F = R נקראת אוניטרית אם.AA = A A = I טענה 6.14 תהי ) F) A M n מטריצה אוניטרית. אז השורות (העמודות) של F. n הן בסיס אורתונורמלי של A משפט 6.15 א) אם T : V V העתקה אוניטרית ו B בסיס אורתונורמלי של V, אז מטריצת הייצוג T] ] B מטריצה אוניטרית. ב) אם T : V V העתקה ליניארית ובבסיס אורתונורמלי B של V מקבלים כי T] ] B מטריצה אוניטרית אז T אוניטרית. 6.3 ערכים עצמיים של העתקות ליניאריות במרחבי מכפלה פנימית טענה T : V V 6.16 העתקה לינארית של ממ"פ.V לעצמה ויהי λ ע"ע של T, אז λ הוא מספר ממשי. נניח כי T צמודה משפט 6.17 תהי T : V V העתקה ליניארית של מרחב מכפלה פנימית V. נניח כי T צמודה לעצמה. אז הפולינום האופייני (t) P T מתפרק לגורמים ליניאריים:(.P T (t) = (t λ 1 )...(t λ k כאשר n = dim V ו R.λ 1,..., λ n משפט 6.18 תהי T : V V העתקה אוניטרית של מרחב מכפלה פנימית V. יהי λ ע"ע של,T אזי = 1. λ 6.4 ליכסון אוניטרי הגדרה 6.19 יהי V ממ"פ ותהי T : V V העתקה ליניארית. T נקראת לכסינה אוניטרית אם קיים בסיס אורתונורמלי B של V בו מטריצת הייצוג [T ] B היא אלכסונית. הגדרה מקבילה למטריצות תהי ) F) A M n מטריצה, A לכסינה אוניטרית אם קיימת מטריצה אוניטרית ) (F Q M n כך שהמטריצה D = Q 1 AQ אלכסונית. משפט 6.20 תהי T : V V ה"ל של ממ"פ V. יהי B בסיס אורתונורמלי של V ותהי A = T] ] B מטריצת הייצוג של T לפי B. אזי T לכסינה אוניטרית אם ורק אם A לכסינה אוניטרית. 7 משפט 6.21 (תנאי הכרחי לליכסון אוניטרי) יהי V ממ"פ ו T : V V ה"ל. נניח כי T לכסינה אוניטרית, אזי:.T T = T T הגדרה 6.22 תהי T : V V ה"ל של ממ"פ.V אם קיים T T = T T אזי T נקראת נורמלית. משפט 6.23 (תנאי מספיק והכרחי) יהי V ממ"פ, ו T, : V V אזי T לכסינה אוניטרית אם ורק אם מתקיים:.1 T נורמלית
8 משפט 7.5 תהי f : V V F תבנית בילינארית על מרחב וקטורי.V יהי B בסיס סדור של V. אזי f סימטרית אם ורק אם מטריצת התבנית [f] B היא סימטרית. הגדרה 7.6 תהי f : V V F תבנית ביליניארית. הפונקציה q : V F המוגדרת על ידי (v q(v) = f(v, נקראת התבנית הריבועית הקשורה ל f. (נשים לב כי לאותה תבנית ריבועית q מתאימה יותר מתבנית בילינארית אחת). k k k T = ( λ i P i ) = λ i Pi = λ i P i (א) בפרט אם הערכים העצמיים של T ממשיים λ i = λ i אזי T.T =.2 טענה 7.7 תהי q : V F תבנית ריבועית אזי קיימת תבנית ביליניארית סימטרית יחידה כך ש q הינה התבנית הריבועית המתאימה ל f..f(u, v) = 1 2 בהינתן q התבנית הסימטרית הינה: q(v)] [q(u + v) q(u) הגדרה 7.8 תהי q : V F תבנית ריבועית ו B בסיס סדור של V. אז המטריצה [q] B מוגדרת על ידי [q] B = [f] B כאשר f הינה התבנית הביליניארית הסימטרית היחידה המתאימה ל q. V, אזי: q : V תבנית ריבועית, B בסיס סדור של טענה 7.9 תהי F.q(v) = [v] t B [q] B[v] B מטריצת המעבר מבסיס B ל B היא מטריצה M שעמודותיה תזכורת: v: V B בקואורדינטות על פי בסיס B ומקיימת לכל הם וקטורי.[v] B = M[v] B משפט 7.10 (החלפת בסיס) תהי f : V V F תבנית ביליניארית המוגדרת על מרחב וקטורי n מימדי מעל שדה F. יהיו B,B בסיסים סדורים של V, ותהי ) (F M M n מטריצת המעבר מ B ל.B אזי:.[f] B = M t [f] B M משפט זהה קיים גם לתבניות ריבועיות. k k T T = ( λ i P i )( λ i P i ) =.3 אם = 1 i λ לכל i k 1 אזי: k λ i 2 P i = I T אוניטרית 6.5 העתקות אורתוגנליות הגדרה 6.29 תהי T : V V העתקה אורתוגונלית. תת מרחב U של V נקרא.u U לכל T u U כלומר.T (U) U אם T שמור משפט 6.30 יהי V ממ"פ ממשי. תהי T : V V העתקה אורתוגונלית, אזי קיים פירוק V = V 1... V r כאשר V i תת מרחב T שמור של,V.i j לכל V i V j ו dim V i {1, 2} מסקנה 6.31 תהי T : V V העתקה אורתוגונלית של ממ"פ ממשי V. אז קיים בסיס אורתונורמלי B של V בו הגדרה 7.11 מטריצות ) (F A, B M n נקראות חופפות אם קיימת מטריצה הפיכה ) (F M M n כך ש.B = M t AM טענה 7.12 יחס החפיפה הוא יחס שקילות על הקבוצה ) F) M. n טענה 7.13 למטריצות חופפות אותה דרגה. משפט 7.14 מטריצות ) F),A B M n חופפות אם ורק אם הן מייצגות אותה תבנית ריבועית. הגדרה 7.15 תהי f : V V F תבנית בילינארית, הדרגה של f המסומנת ב ( ρ(f הינה הדרגה של מטריצת הייצוג של f לפי בסיס B כלשהו של V. 7.1 ליכסון תבניות ביליניאריות וריבועיות משפט 7.16 (תנאי מספיק והכרחי לליכסון) תהי f : V V F תבנית בילינארית אזי קיים בסיס B של V בו מטריצת הייצוג [f] B היא אלכסונית אם ורק אם f תבנית סימטרית. משפט 7.17 תהי q : V F תבנית ריבועית, אז קיים בסיס B של V בו מטריצת הייצוג [q] B היא אלכסונית. ניסוח שקול: תהי q : V F תבנית ריבועית, אז קיים בסיס B של V שבו.q(v) = q(t 1,..., t n ) = β 1 t β n t 2 n כאשר β i F ו.[v] B = (t 1,.., t n ) [M 1 ] 0 [M 2 ] [T ] B =... 0 [M r ] כאשר M i היא מטריצה ממשית אורתוגנלית מסדר 1 1 או 2 2. ובמקרה ש (R) M i M 1 אזי [1] = i M או [ 1] = i.m 7 תבניות בילינאריות וריבועיות הערה: בכל הדיון על תבניות ריבועיות אנו מניחים כי 2.charF משפט 7.1 יהי מרחב וקטורי מעל שדה.F פונקציה f : V V F נקראת תבנית בילינארית אם היא ליניארית בכל אחד מהמשתנים, כלומר:.1 לכל v U מתקיים: = v) u 1, u 2 V : f(α 1 u 1 + α 2 u 2,.α 1, α 2 F כאשר α 1 f(u 1, v) + α 2 f(u 2, v) 2. באופן דומה עבור המשתנה השני. הגדרה 7.2 תהי f : V V F תבנית ביליניארית ויהי } n B = {v 1,..., v בסיס סדור של V. המטריצה של התבנית הבילינארית לפי בסיס B, המסומנת ב [f] B הינה מטריצה ) (F A M n המוגדרת על ידי ) j.(a) ij = f(v i, v מסקנה 7.18 תהי ) (F A M n מטריצה סימטרית. אז A חופפת למטריצה אלכסונית, כלומר קיימת מטריצה הפיכה (f) M M n כך ש D = M t AM אלכסונית. אלגוריתם ליכסון תבנית ריבועית האלגוריתם הכללי ביותר בהוכחת משפט הליכסון, דוגמא לרעיון עבור תבנית.q(x, y, z) : R 3 R משפט 7.3 תהי f : V V F תבנית בילניארית המוגדרת על מרחב וקטורי V. יהי B בסיס סדור של V. אז לכל,u v V מתקיים: f(u, v) = [u] t B[f] B [v] B 1. מקבצים את האיברים בהם משתתף משתנה x ומשלימים את הביטוי שמקבלים לריבוע שלם, נקבל תבנית מהצורה + x q(x, y, z) = (α 1.β 1 y + γ 1 z) 2 + λ 1 y 2 + λ 2 z 2 + λ 3 yz הגדרה 7.4 תבנית בילינארית,f : V V F נקראת סימטרית אם:. u, v V : f(u, v) = f(v, u). u, v V : f(u, v) = f(v, u) נקראת אנטי סימטרית אם: f 8
9 מסקנה 7.25 א) כל מטריצה ממשית סימטרית (R) A M n חופפת למטריצה יחידה מהצורה: 0)..., 0, 1,..., 1, 1,.., diag(1,.d = ב) תהיינה (R) A, B M n מטריצות ממשיות סימטריות. אזי A, B חופפות אם ורק אם ρ(b) ρ(a) = והסימניות של A ו B שוות הסימן של תבנית ריבועית ממשית הגדרה 7.26 יהי V מרחב וקטורי ממשי ותהי q : V R תבנית ריבועית. אזי q נקראת: חיובית לחלוטין אם > 0 q(v) לכל v V 0. חיובית למחצה אם 0 q(v) לכל.v V שלילית לחלוטין אם < 0 q(v) לכל v V.0 שלילית למחצה אם 0 q(v) לכל.v V טענה 7.27 יהי V מרחב וקטורי ממשי nמימדי ותהי q : V R תבנית ריבועית עם פרמטרים ρ ו π. π. = n חיובית לחלוטין אם ורק אם q 1. π. = ρ חיובית למחצה אם ורק אם q 2..ρ = ו n π שלילית לחלוטין אם ורק אם = 0 q.3 π. שלילית למחצה אם ורק אם = 0 q 4. משפט 7.28 יהי V מ"ו ממשי סוף מימדי ותהי q : V R תבנית ריבועית. נניח כי B הוא בסיס סדור של V. אז q חיובית לחלוטין אם ורק אם כל הערכים העצמיים של [q] B הם חיוביים שיטת הלכסון של יעקובי משפט 7.29 יהי V מרחב וקטורי ממימד 1 n מעל שדה F ותהי : f V V F תבנית ביליניארית סימטרית. יהי B בסיס סדור של V ותהי i,j=1 A = (α ij ) n מטריצת הייצוגת של f לפי בסיס B. α α 1i.1 i n לכל i =..... נניח כי 0 α i1... α ii אזי קיים בסיס סדור B של V בו למטריצת הייצוג B [f] הצורה הבאה 2. מבצעים את אותה פעולה עבור המשתנה y, קיבלנו תבנית מהצורה:.q(x, y, z) = (α 1 x + β 1 y + γ 1 z) 2 + µ 1 (β 2 y + γ 2 z) 2 + µ 2 z 2 x = y = z = 3. נגדיר בסיס חדש B אשר מוגדר על ידי: α 1 x + β 1 y + γ 1 z β 2 y + γ 2 z z.4 בבסיס B נקבל כי אכן ) 2 (z.q(x, y, z ) = (x ) 2 + µ 1 (y ) 2 + µ 2.[v] B = α 1 β 1 γ 1 β 2 γ 2 x.5 נרשום ) z [v] B = (x, y, ואז y 1 z 6. נסמן את המטריצה הנ"ל A, אזי זוהי מטריצת המעבר מ Bאל E. 3 לכן המטריצה שאנו מחפשים הינה 1 A M = שהינה מטריצת המעבר מ E 3 אל.B.7 ומתקיים כי D = M t [q] E3 M הינה מטריצה אלכסונית. משפט 7.19 יהי V מרחב וקטורי מרוכב n מימדי ו C f : V V תבנית בילינארית סימטרית. אזי קיים בסיס B של V שבו: f(u, v) = f(x 1,..., x n, y 1,.., y n ) = x 1 y x ρ y ρ כאשר ) n [v] B = (y 1,.., y n ),[u] B = (x 1,.., x ו ρ היא הדרגה של.f מסקנה 7.20 תהי (C) A M n מטריצה סימטרית, אז A חופפת למטריצה.D = diag(1,..., 1, 0,..., 0) }{{} ρ(a) משפט 7.21 יהי V מ"ו מעל R ממימד סופי. תהי f : V V R תבנית ביליניארית סימטרית. אז קיים בסיס סדור B של V בו מטריצת הייצוג הינה מהצורה: [f] B = diag(1,..., 1, 1,..., 1, 0,..., 0) }{{}}{{} π ρ π כאשר ρ הינה הדרגה של f. משפט זהה לתבניות ריבועיות. [f] B = diag( 1, 1,..., n 1 ) משפט 7.22 (משפט ההתמדה של סילבסטר) יהי Vמרחב וקטורי סוף מימד ממשי. תהי q : V R תבנית ריבועית. נניח B B, בסיסים סדורים של n V 2 1 בהם מטריצות הייצוג [q] B ו [q] B הינן אלכסוניות. אזי מספרי האיברים החיוביים והשליליים בשתי מטריצות הייצוג הנ"ל שווים משפט מקביל קיים גם לתבניות ריבועיות. אלה לאלה, בהתאמה. מסקנה 7.30 (קריטריון סילבסטר) יהי V מרחב וקטורי n מימדי (1 n) מעל.R תהי q : V R תבנית ריבועית המוגדרת על.V נניח כי בבסיס סדור,B מטריצת הייצוג [q] B היא מהצורה.([q] B ) ij = α ij α α 1i = i לכל..... אזי q היא חיובית לחלוטין אם ורק אם > 0 α i1... α ii.1 i n מסקנה 7.23 לכל תבנית ריבועית q : V R על מ"ו ממשי סוף מימדי, אז בכל צורה אלכסונית של q, מס' האיברים החיוביים באלכסון π ומס' האיברים השליליים באלכסון ρ π לא תלויים בבחירת הבסיס. על כן הם השמורות (אינווריאנטיות) של q. הגדרה 7.24 ההפרש בין מספר האיברים החיוביים למספר האיברים השליליים בצורה אלכסונית של תבנית ריבועית π, (ρ π) q, נקרא הסימנית (סיגנטורה) של q. 9
רשימת משפטים וטענות נכתב על ידי יהונתן רגב רשימת משפטים וטענות
λ = 0 A. F n n ערך עצמי של A אם ורק אם A לא הפיכה..det(λ I ערך עצמי של λ F.A F n n n A) = 0 אם ורק אם: A v וקטור עצמי של Tהמתאים יהי T: V V אופרטור לינארי. אם λ F ערך עצמי של,T לערך העצמי λ, אזי λ הוא
שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם
תזכורת: פולינום ממעלה או מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה p f ( m i ) = p m1 m5 תרגיל: נתון עבור x] f ( x) Z[ ראשוני שקיימים 5 מספרים שלמים שונים שעבורם p x f ( x ) f ( ) = נניח בשלילה ש הוא
פתרון תרגיל 8. מרחבים וקטורים פרישה, תלות \ אי-תלות לינארית, בסיס ומימד ... ( ) ( ) ( ) = L. uuruuruur. { v,v,v ( ) ( ) ( ) ( )
פתרון תרגיל 8. מרחבים וקטורים פרישה, תלות \ אי-תלות לינארית, בסיס ומימד a d U c M ( יהי b (R) a b e ל (R M ( (אין צורך להוכיח). מצאו קבוצה פורשת ל. U בדקו ש - U מהווה תת מרחב ש a d U M (R) Sp,,, c a e
פתרון תרגיל מרחבים וקטורים. x = s t ולכן. ur uur נסמן, ur uur לכן U הוא. ur uur. ur uur
פתרון תרגיל --- 5 מרחבים וקטורים דוגמאות למרחבים וקטורים שונים מושגים בסיסיים: תת מרחב צירוף לינארי x+ y+ z = : R ) בכל סעיף בדקו האם הוא תת מרחב של א } = z = {( x y z) R x+ y+ הוא אוסף הפתרונות של המערכת
אלגוריתמים ללכסון מטריצות ואופרטורים
אלגוריתמים ללכסון מטריצות ואופרטורים לכסון מטריצות יהי F שדה ו N n נאמר שמטריצה (F) A M n היא לכסינה אם היא דומה למטריצה אלכסונית כלומר, אם קיימת מטריצה הפיכה (F) P M n כך ש D P AP = כאשר λ λ 2 D = λ n
גירסה liran Home Page:
גירסה 1.00 26.10.03 סיכום באלגברה א מסמך זה הורד מהאתר.hp://uderwar.liveds.co.il אין להפיץ מסמך זה במדיה כלשהי, ללא אישור מפורש מאת המחבר. מחבר המסמך איננו אחראי לכל נזק, ישיר או עקיף, שיגרם עקב השימוש
אלגברה לינארית 1. המערכת הלא הומוגנית גם כן. יתרה מזאת כל פתרון של (A b) הוא מהצורה c + v כאשר v פתרון כלשהו של המערכת ההומוגנית
אלגברה לינארית 1 Uטענה U: אם c פתרון של המערכת (A b) ו v פתרון של המערכת (0 A) אזי c + v פתרון של המערכת הלא הומוגנית גם כן. יתרה מזאת כל פתרון של (A b) הוא מהצורה c + v כאשר v פתרון כלשהו של המערכת ההומוגנית
c ארזים 26 בינואר משפט ברנסייד פתירה. Cl (z) = G / Cent (z) = q b r 2 הצגות ממשיות V = V 0 R C אזי מקבלים הצגה מרוכבת G GL R (V 0 ) GL C (V )
הצגות של חבורות סופיות c ארזים 6 בינואר 017 1 משפט ברנסייד משפט 1.1 ברנסייד) יהיו p, q ראשוניים. תהי G חבורה מסדר.a, b 0,p a q b אזי G פתירה. הוכחה: באינדוקציה על G. אפשר להניח כי > 1 G. נבחר תת חבורה
co ארזים 3 במרץ 2016
אלגברה לינארית 2 א co ארזים 3 במרץ 2016 ניזכר שהגדרנו ווקטורים וערכים עצמיים של מטריצות, והראינו כי זהו מקרה פרטי של ההגדרות עבור טרנספורמציות. לכן כל המשפטים והמסקנות שהוכחנו לגבי טרנספורמציות תקפים גם
gcd 24,15 = 3 3 =
מחלק משותף מקסימאלי משפט אם gcd a, b = g Z אז קיימים x, y שלמים כך ש.g = xa + yb במלים אחרות, אם ה כך ש.gcd a, b = xa + yb gcd,a b של שני משתנים הוא מספר שלם, אז קיימים שני מקדמים שלמים כאלה gcd 4,15 =
דף סיכום אלגברה לינארית
דף סיכום אלגברה לינארית מרחבי עמודות, שורות, אפס: = = c + c + + c k k כל פתרון של המערכת : A=b נתונה מטריצה :m = מרחב השורות של המטריצה spa = spa מרחב העמודות של המטריצה { r, r, rm { c, c, c מרחב הפתרונות
טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של. נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח.
1 תשע'א תירגול 8 אלגברה לינארית 1 טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של וקטור אם הוכחה: חד חד ערכית ויהי כך ש מכיוון שגם נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח
1 סכום ישר של תת מרחבים
אלמה רופיסה :הצירטמ לש ןדרו'ג תרוצ O O O O O O ןאבצ זעוב סכום ישר של תת מרחבים פרק זה כולל טענות אלמנטריות, שהוכחתן מושארת לקורא כתרגיל הגדרה: יהיו V מרחב וקטורי, U,, U k V תת מרחבים הסכום W U + U 2 +
ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך
מרובע שכל זוג צלעות נגדיות בו שוות זו לזו נקרא h באיור שלעיל, הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים, וכן הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים. תכונות ה כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו. 1. כל שתי צלעות נגדיות
אלגברה לינארית 2 יובל קפלן סיכום הרצאות מר שמואל ברגר בקורס "אלגברה לינארית 2" (80135) באוניברסיטה העברית,
אלגברה לינארית 2 יובל קפלן סיכום הרצאות מר שמואל ברגר בקורס "אלגברה לינארית 2" (80135 באוניברסיטה העברית, 7 2006 תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו סודר באמצעות
פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד
פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד 1. לכל אחת מן הפונקציות הבאות, קבעו אם היא חח"ע ואם היא על (הקבוצה המתאימה) (א) 3} {1, 2, 3} {1, 2, : f כאשר 1 } 1, 3, 3, 3, { 2, = f לא חח"ע: לדוגמה
אלגברה לינארית מטריצות מטריצות הפיכות
מטריצות + [( αij+ β ij ] m λ [ λα ij ] m λ [ αijλ ] m + + ( + +C + ( + C i C m q m q ( + C C + C C( + C + C λ( ( λ λ( ( λ (C (C ( ( λ ( + + ( λi ( ( ( k k i חיבור מכפלה בסקלר מכפלה בסקלר קומוטטיב אסוציאטיב
נושאים: 4. בסיס 5. מימד ליניארית - אסוציאטיביות (קיבוץ) וקומטטיביות (חילוף) החיבור בין אברי V (הוקטורים) לאיברי F (סקלרים) התנאים:
תרגול 1 אלגברה ליניארית נושאים: מרחב ליניארי 1. תת מרחב ליניארי 2. Span.3 תלות ליניארית 4. בסיס 5. מימד 6. טרנספורמציות דמות, גרעין, (שניהם תתי מרחב), משפט המימדים 7. מרחב העמודות, דרגה של מטריצה, מרחב
רשימת משפטים והגדרות
רשימת משפטים והגדרות חשבון אינפיניטיסימאלי ב' מרצה : למברג דן 1 פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסויים הגדרה 1.1. (פונקציה קדומה) יהי f :,] [b R פונקציה. פונקציה F נקראת פונקציה קדומה של f אם.[, b] גזירה ב F
שדות הגדרת השדה: חשבון מודולו n: הגדרה: שדה F הוא קבוצה שיש בין אבריה שתי פעולות משפט: יהא F שדה. משפט: יהא F שדה ו- (mod )
שדות הגדרת השדה: הגדרה: שדה F הוא קבוצה שיש בין אבריה שתי פעולות אחת נקראת חיבור ותסומן ב + האחרת נקראת כפל ותסומן ב * כך שתתקיימנה הדרישות הבאות: a, b F a b. סגירות לחיבור: F a F a 0 0 a a a, b, c F a
צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים
מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים קבוצות של מספרים ממשיים צעד ראשון להצטיינות קבוצה היא אוסף של עצמים הנקראים האיברים של הקבוצה אנו נתמקד בקבוצות של מספרים ממשיים בדרך כלל מסמנים את הקבוצה באות גדולה
לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור
הרצאה מס' 1. תורת הקבוצות. מושגי יסוד בתורת הקבוצות.. 1.1 הקבוצה ואיברי הקבוצות. המושג קבוצה הוא מושג בסיסי במתמטיקה. אין מושגים בסיסים יותר, אשר באמצעותם הגדרתו מתאפשרת. הניסיון והאינטואיציה עוזרים להבין
חורף תש''ע פתרון בחינה סופית מועד א'
מד''ח 4 - חורף תש''ע פתרון בחינה סופית מועד א' ( u) u u u < < שאלה : נתונה המד''ח הבאה: א) ב) ג) לכל אחד מן התנאים המצורפים בדקו האם קיים פתרון יחיד אינסוף פתרונות או אף פתרון אם קיים פתרון אחד או יותר
אלגברה מודרנית פתרון שיעורי בית 6
אלגברה מודרנית פתרון שיעורי בית 6 15 בינואר 016 1. יהי F שדה ויהיו q(x) p(x), שני פולינומים מעל F. מצאו פולינומים R(x) S(x), כך שמתקיים R(x),p(x) = S(x)q(x) + כאשר deg(q),deg(r) < עבור המקרים הבאים: (תזכורת:
אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6
אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 התרגיל להגשה עד יום חמישי (12.12.14) בשעה 16:00 בתא המתאים בבניין מתמטיקה. נא לא לשכוח פתקית סימון. 1. עבור כל אחד מתת המרחבים הבאים, מצאו בסיס ואת המימד: (א) 3)} (0, 6, 3,,
לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשע"ו ( ) ... חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה נפריד למקרים:
לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשע"ו ( 2016 2015 )............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה.1
תורת המספרים 1 פירוק לגורמים ראשוניים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב הגדרות 1.2 טענות
תורת המספרים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב 017 1 פירוק לגורמים ראשוניים 1.1 הגדרות חוג A C נקראת חוג אם: היא מכילה את 0 ואת 1 סגורה תחת חיבור, חיסור, וכפל הפיך A חוג. a A נקרא הפיך אם 0,a.a 1 A קבוצת
תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות
Mthemtics, Summer 20 / Exercise 3 Notes תרגיל 3 משפטי רול ולגראנז הערות. האם קיים פתרון למשוואה + x e x = בקרן )?(0, (רמז: ביחרו x,f (x) = e x הניחו שיש פתרון בקרן, השתמשו במשפט רול והגיעו לסתירה!) פתרון
סיכום לינארית 1 28 בינואר 2010 מרצה: יבגני סטרחוב מתרגלת: גילי שול אין המרצה או המתרגלת קשורים לסיכום זה בשום דרך.
סיכום לינארית 28 בינואר 2 מרצה: יבגני סטרחוב מתרגלת: גילי שול אין המרצה או המתרגלת קשורים לסיכום זה בשום דרך הערות יתקבלו בברכה nogarotman@gmailcom תוכן עניינים 3 מבוא והגדרות בסיסיות 6 שדות 7 המציין של
I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx
דפי נוסחאות I גבולות נאמר כי כך שלכל δ קיים > ε לכל > lim ( ) L המקיים ( ) מתקיים L < ε הגדרת הגבול : < < δ lim ( ) lim ורק ( ) משפט הכריך (סנדוויץ') : תהיינה ( ( ( )g ( )h פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה
אלגברה לינארית 1 יובל קפלן
אלגברה לינארית 1 יובל קפלן מחברת סיכום הרצאות ד"ר אלי בגנו בקורס "אלגברה לינארית 1" (80134) באוניברסיטה העברית, 7 2006 תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו סודר
1 תוחלת מותנה. c ארזים 3 במאי G מדיד לפי Y.1 E (X1 A ) = E (Y 1 A )
הסתברות למתמטיקאים c ארזים 3 במאי 2017 1 תוחלת מותנה הגדרה 1.1 לכל משתנה מקרי X אינטגרבילית ותת סיגמא אלגברה G F קיים משתנה מקרי G) Y := E (X המקיים: E (X1 A ) = E (Y 1 A ).G מדיד לפי Y.1.E Y
פולינומים אורתוגונליים
פולינומים אורתוגונליים מרצה: פרופ' זינובי גרינשפון סיכום: אלון צ'רני הקורס ניתן בסמסטר אביב 03, בר אילן פולינומים אורתוגונאליים תוכן עניינים תאריך 3.3.3 הרצאה מרחב מכפלה פנימית (הגדרה, תכונות, דוגמאות)
סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות
סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות 25 בדצמבר 2016 תזכורת: תהי ) n f ( 1, 2,..., פונקציה המוגדרת בסביבה של f. 0 גזירה חלקית לפי משתנה ) ( = 0, אם קיים הגבול : 1 0, 2 0,..., בנקודה n 0 i f(,..,n,).lim
לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר
לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר תורת הקבוצות: סימונים.N + = N \ {0} קבוצת המספרים הטבעיים; N Z קבוצת המספרים השלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצת המספרים הממשיים. הרכבת
x a x n D f (iii) x n a ,Cauchy
גבולות ורציפות גבול של פונקציה בנקודה הגדרה: קבוצה אשר מכילה קטע פתוח שמכיל את a תקרא סביבה של a. קבוצה אשר מכילה קטע פתוח שמכיל את a אך לא מכילה את a עצמו תקרא סביבה מנוקבת של a. יהו a R ו f פונקציה מוגדרת
Logic and Set Theory for Comp. Sci.
234293 - Logic and Set Theory for Comp. Sci. Spring 2008 Moed A Final [partial] solution Slava Koyfman, 2009. 1 שאלה 1 לא נכון. דוגמא נגדית מפורשת: יהיו } 2,(p 1 p 2 ) (p 2 p 1 ).Σ 2 = {p 2 p 1 },Σ 1 =
( )( ) ( ) f : B C היא פונקציה חח"ע ועל מכיוון שהיא מוגדרת ע"י. מכיוון ש f היא פונקציהאז )) 2 ( ( = ) ( ( )) היא פונקציה חח"ע אז ועל פי הגדרת
הרצאה 7 יהיו :, : C פונקציות, אז : C חח"ע ו חח"ע,אז א אם על ו על,אז ב אם ( על פי הגדרת ההרכבה )( x ) = ( )( x x, כךש ) x א יהיו = ( x ) x חח"ע נקבל ש מכיוון ש חח"ע נקבל ש מכיוון ש ( b) = c כך ש b ( ) (
אלגברה לינארית (1) - פתרון תרגיל 11
אלגברה לינארית ( - פתרון תרגיל דרגו את המטריצות הבאות לפי אלגוריתם הדירוג של גאוס (א R R4 R R4 R=R+R R 3=R 3+R R=R+R R 3=R 3+R 9 4 3 7 (ב 9 4 3 7 7 4 3 9 4 3 4 R 3 R R3=R3 R R 4=R 4 R 7 4 3 9 7 4 3 8 6
לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)
לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה 1. עבור
מבנים אלגבריים II 27 במרץ 2012
מבנים אלגבריים 80446 II אור דגמי, or@digmi.org 27 במרץ 2012 אתר אינטרנט: http://digmi.org סיכום הרצאות של פרופ אלכס לובוצקי בשנת לימודים 2012 1 תוכן עניינים 1 שדות 3 1.1 תזכורת מהעבר....................................................
אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11
אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11.1 K α : F איזומורפיזם של שדות. א. טענה 1 :.α(0 F ) = 0 K עלינו להוכיח כי לכל,b K מתקיים.b + α(0 F ) = α(0 F ) + b = b עבור b K (כיוון ש α חח"ע ועל), קיים ויחיד x F כך ש.α(x)
דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות
יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות 1. מצאו צורה דיסיונקטיבית נורמלית קנונית לפסוקים הבאים: (ג)
לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ד (2014) דפי עזר
לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ד (2014) דפי עזר תורת הקבוצות: סימונים.N + = N \ {0} קבוצת המספרים הטבעיים; N Z קבוצת המספרים השלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצת המספרים הממשיים. הרכבת
גבול ורציפות של פונקציה סקלרית שאלות נוספות
08 005 שאלה גבול ורציפות של פונקציה סקלרית שאלות נוספות f ( ) f ( ) g( ) f ( ) ו- lim f ( ) ו- ( ) (00) lim ( ) (00) f ( בסביבת הנקודה (00) ) נתון: מצאו ) lim g( ( ) (00) ננסה להיעזר בכלל הסנדביץ לשם כך
אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 7
אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 7 2 1 1 1 0 1 1 0 1 0 2 1 1 0 1 0 2 1 2 1 1 0 2 1 0 1 1 3 1 2 3 1 2 0 1 5 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 4 0 0 0.1 עבור :A לכן = 3.rkA עבור B: נבצע פעולות עמודה אלמנטריות
חדוו"א 2 סיכום טענות ומשפטים
חדוו"א 2 סיכום טענות ומשפטים 3 ביוני 2 n S(f, T ) := (t k+ t k ) inf k= סכום דרבו תחתון מוגדר על ידי [t k,t k+ ] f אינטגרל רימן חלוקות של קטע חלוקה של קטע [,] הינה אוסף סדור סופי של נקודות מהצורה: טענה.2
מתרגלת: שירה גילת סמסטר א 2017 תשע"ז
חוברת תרגולים בקורס "תורת גלואה" 88 311 21 בפברואר 2017 מתרגלת: שירה גילת סמסטר א 2017 תשע"ז ערך: איתי רוזנבאום 1 תורת גלואה תרגול ראשון חזרה מחוגים F שדה F. חוג הפולינומים עם מקדמים ב F [λ] זהו חוג אוקלידי,
תרגול מס' 6 פתרון מערכת משוואות ליניארית
אנליזה נומרית 0211 סתיו - תרגול מס' 6 פתרון מערכת משוואות ליניארית נרצה לפתור את מערכת המשוואות יהי פתרון מקורב של נגדיר את השארית: ואת השגיאה: שאלה 1: נתונה מערכת המשוואות הבאה: הערך את השגיאה היחסית
פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה.
פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. 16 במאי 2010 נסמן את מחלקת הצמידות של איבר בחבורה G על ידי } g.[] { y : g G, y g כעת נניח כי [y] [] עבור שני איברים, y G ונוכיח כי [y].[] מאחר והחיתוך
תרגול 1 חזרה טורי פורייה והתמרות אינטגרליות חורף תשע"ב זהויות טריגונומטריות
תרגול חזרה זהויות טריגונומטריות si π α) si α π α) α si π π ), Z si α π α) t α cot π α) t α si α cot α α α si α si α + α siα ± β) si α β ± α si β α ± β) α β si α si β si α si α α α α si α si α α α + α si
משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ
משוואות רקורסיביות הגדרה: רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים למשל: T = Θ 1 if = 1 T + Θ if > 1 יונתן יניב, דוד וייץ 1 דוגמא נסתכל על האלגוריתם הבא למציאת
קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים.
א{ www.sikumuna.co.il מהי קבוצה? קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. קבוצה היא מושג יסודי במתמטיקה.התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף של עצמים כלשהם. העצמים הנמצאים בקבוצה הם איברי הקבוצה.
סיכום מד"ר מרצה: מיכאל ז'יטומירסיקי נכתב ע"י: אדריאן קיריש נערך ע"י: תומר שטח 28 ביוני 2011
סיכום מד"ר מרצה: מיכאל ז'יטומירסיקי נכתב ע"י: אדריאן קיריש נערך ע"י: תומר שטח 28 ביוני 2011 1 תוכן עניינים 3 משפט קיום ויחידות............................. 1 3............................ משוואות אוטונומיות
הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב פרופ' יעקב ורשבסקי
הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב 2011 2010 פרופ' יעקב ורשבסקי אסף כץ 15//11 1 סמל לזנדר יהי מספר שלם קבוע, ו K שדה גלובלי המכיל את חבורת שורשי היחידה מסדר µ. תהי S קבוצת הראשוניים הארכימדיים
מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5
מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5 נושאי התרגול: פונקציות 1 פונקציות הגדרה 1.1 פונקציה f מ A (התחום) ל B (הטווח) היא קבוצה חלקית של A B המקיימת שלכל a A קיים b B יחיד כך ש. a, b f a A.f (a) = ιb B. a, b f או, בסימון
יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012)
יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 6 נושא: תחשיב הפסוקים: הפונקציה,val גרירה לוגית, שקילות לוגית 1. כיתבו טבלאות אמת לפסוקים הבאים: (ג) r)).((p q) r) ((p r) (q p q r (p
{ : Halts on every input}
אוטומטים - תרגול 13: רדוקציות, משפט רייס וחזרה למבחן E תכונה תכונה הינה אוסף השפות מעל.(property המקיימות תנאים מסוימים (תכונה במובן של Σ תכונה לא טריביאלית: תכונה היא תכונה לא טריוויאלית אם היא מקיימת:.
פתרונות מלאים אלגברה 1 מ בחן אמצע חורף תשס"ג מטריצה הפיכה ב- הפיכה סקלרית, לכן A = αi
פתרונות מלאים אלגברה מ - 4 - בחן אמצע חורף תשס"ג -.. משך הבחינה :.5 שעות. שאלה מס' היא שאלת תרגילי בית. אין להשתמש בחומר עזר או מחשבונים. יש לענות על כל שאלה בדף נפרד ולנמק את התשובות. נא לרשום את השם
מבוא לאלגברה ליניארית
BEN GURION UNIVERSITY BE ER SHEVA, ISRAEL אוניברסיטת בן גוריון בנגב באר שבע מבוא לאלגברה ליניארית אמנון יקותיאלי המחלקה למתמטיקה אוניברסיטת בן גוריון amyekut@mathbguacil חוברת זו מיועדת לקורסים באלגברה
תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012
תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012 1 מערכת המספרים השלמים בשיעור הקרוב אנו נעסוק בקבוצת המספרים השלמים Z עם הפעולות (+) ו ( ), ויחס סדר (>) או ( ). כל התכונות הרגילות והידועות של השלמים מתקיימות: חוק הקיבוץ (אסוציאטיביות),
i שאלות 8,9 בתרגיל 2 ( A, F) אלגברת יצירה Α היא זוג כאשר i F = { f קבוצה של פונקציות {I קבוצה לא ריקה ו A A n i n i מקומית מ ל. A נרשה גם פונקציות 0 f i היא פונקציה n i טבעי כך ש כך שלכל i קיים B נוצר
אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 8
אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 8.1 נניח כי (R) A M n מקיימת = 0 t.aa הוכיחו כי = 0.A הוכחה: נביט באיברי האלכסון של.AA t.(aa t ) ii = n k=1 (A) ik(a t ) ki = n k=1 a ika ik = n k=1 a2 ik = 0 מדובר במספרים ממשיים,
אינפי - 1 תרגול בינואר 2012
אינפי - תרגול 4 3 בינואר 0 רציפות במידה שווה הגדרה. נאמר שפונקציה f : D R היא רציפה במידה שווה אם לכל > 0 ε קיים. f(x) f(y) < ε אז x y < δ אם,x, y D כך שלכל δ > 0 נביט במקרה בו D הוא קטע (חסום או לא חסום,
הגדרה 0.1 טיעון הוא תקף אם בכל פעם שההנחות נכונות גם המסקנה נכונה.
1 לוגיקה סיכום הגדרות משפטים ודברים חשובים אחרים תודה רבה לניצן פומרנץ על הסיכום הכולל של החומר הקדמה הגדרה 0.1 טיעון הוא תקף אם בכל פעם שההנחות נכונות גם המסקנה נכונה. הערה 0.2 נשים לב שלכל שפה יש רובד
מתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1
1 טורים כלליים 1. 1 התכנסות בהחלט מתכנס. מתכנס בהחלט אם n a הגדרה.1 אומרים שהטור a n משפט 1. טור מתכנס בהחלט הוא מתכנס. הוכחה. נוכיח עם קריטריון קושי. יהי אפסילון גדול מ- 0, אז אנחנו יודעים ש- n N n>m>n
c ארזים 15 במרץ 2017
הסתברות למתמטיקאים c ארזים 15 במרץ 2017 הקורס הוא המשך של מבוא להסתברות שם דיברנו על מרחבים לכל היותר בני מניה. למשל, סדרת הטלות מטבע בלתי תלויות היא דבר שאי אפשר לממש במרחב בן מניה נסמן את התוצאה של ההטלה
תרגול 1: מד"ר 1 הפרדת משתנים משוואות,, 0 הומוגניות משוואות מציבים לינאריות כאשר 0 המשוואה הומוגנית של כפונקציה של בלבד. משוואות ברנולי מסמנים או:
אריאל סטולרמן 1 סיכומי תרגולים: סיכומים במד"ר 1 סמסטר קיץ 2009 (פרופ' ודים אוסטפנקו) תרגול 1: סוגים של מד"ר ודרכי פתרון: חשוב: לשים לב לקבוע c המצורף כתוצאה מאינטגרציה דרך פתרון שיטה צורה הפרדת משתנים
חשבון אינפיניטסימלי 1
חשבון אינפיניטסימלי 1 יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ צליל סלע בקורס "חשבון אינפיניטסימלי 1" (80131) באוניברסיטה העברית, 7 2006. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו.
= 2. + sin(240 ) = = 3 ( tan(α) = 5 2 = sin(α) = sin(α) = 5. os(α) = + c ot(α) = π)) sin( 60 ) sin( 60 ) sin(
א. s in(0 c os(0 s in(60 c os(0 s in(0 c os(0 s in(0 c os(0 s in(0 0 s in(70 מתאים לזהות של cos(θsin(φ : s in(θ φ s in(θcos(φ sin ( π cot ( π cos ( 4πtan ( 4π sin ( π cos ( π sin ( π cos ( 4π sin ( 4π
מבוא לתורת השדות עוזי וישנה
מבוא לתורת השדות עוזי וישנה מבוא לתורת השדות מהדורה 1.38 הקדמה. שדות הם החוגים המוצלחים ביותר: הם קומוטטיביים, וכל האברים שלהם הפיכים. המרכז של כל חוג פשוט הוא שדה, ולכן אין זה פלא ששדות תופסים מקום מרכזי
logn) = nlog. log(2n
תכנוןוניתוחאלגוריתמים סיכוםהתרגולים n log O( g( n)) = Ω( g( n)) = θ ( g( n)) = תרגול.3.04 סיבוכיות { f ( n) c> 0, n0 > 0 n> n0 0 f ( n) c g( n) } { f ( n) c> 0, n0 > 0 n> n0 0 c g( n) f ( n) } { f ( n)
סיכום אינפי 2 19 ביוני 2010 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין
סיכום אינפי 2 9 ביוני 200 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין אין המרצה או המתרגלים קשורים לסיכום זה בשום דרך. סוכם ע"י נגה רוטמן בשעות לא הגיוניות בעליל,
חשבון אינפיניטסימלי מתקדם II 21 ביוני 2012
חשבון אינפיניטסימלי מתקדם 836 II אור דגמי, or@digmi.org ביוני אתר אינטרנט: http://digmi.org סיכום הרצאות של פרופ ארז לפיד בשנת לימודים נושאים לקורס. המרחב.C(K). קירוב ע י פולינומים, משפט Stone-Weirstrss
brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק
יום א 14 : 00 15 : 00 בניין 605 חדר 103 http://u.cs.biu.ac.il/ brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק 29/11/2017 1 הגדרת קבוצת הנוסחאות הבנויות היטב באינדוקציה הגדרה : קבוצת הנוסחאות הבנויות
אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 5
אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 5 1 במאי 1 1. נוכיח כי מרחב הפולינומים R[t] אינו נפרש סופית: נניח שהוא כן נפרש סופית. אם כך, ניקח קבוצה סופית פורשת שלו:.R[t] קבוצה סופית של פולינומים, שפורשת את כל המרחב p}
מבוא לתבניות ריבועיות עוזי וישנה
מבוא לתבניות ריבועיות עוזי וישנה 16 בנובמבר 2014 מבוא לתבניות ריבועיות מהדורה 1.57 הקדמה. לתורה של תבניות ריבועיות יש היבטים אלגבריים, אריתמטיים וגאומטריים. נציג כמה מהמשפטים היפים של התאוריה הזו על קצה
מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13
מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13 נושאי התרגול: תורת הגרפים. 1 מושגים בסיסיים נדון בגרפים מכוונים. הגדרה 1.1 גרף מכוון הוא זוג סדור E G =,V כך ש V ו E. V הגרף נקרא פשוט אם E יחס אי רפלקסיבי. כלומר, גם ללא לולאות.
אלגברה לינארית גיא סלומון. α β χ δ ε φ ϕ γ η ι κ λ µ ν ο π. σ ς τ υ ω ξ ψ ζ. לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- כתב ופתר גיא סלומון
0 אלגברה לינארית α β χ δ ε φ ϕ γ η ι κ λ µ ν ο π ϖ θ ϑ ρ σ ς τ υ ω ξ ψ ζ גיא סלומון לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil סטודנטים יקרים ספר תרגילים זה הינו פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהוראת
[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m
Observabiliy, Conrollabiliy תרגול 6 אובזרווביליות אם בכל רגע ניתן לשחזר את ( (ומכאן גם את המצב לאורך זמן, מתוך ידיעת הכניסה והיציאה עד לרגע, וזה עבור כל צמד כניסה יציאה, אז המערכת אובזרוובילית. קונטרולביליות
( k) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) A Ω P( B) P A B P A P B תכונות: A ו- B ב"ת, אזי: A, B ב "ת. בינומי: (ההסתברות לk הצלחות מתוך n ניסויים) n.
Ω קבוצת התוצאות האפשריות של הניסוי A קבוצת התוצאות המבוקשות של הניסוי A A מספר האיברים של P( A A Ω מבוא להסתברות ח' 434 ( P A B הסתברות מותנית: P( A B P( B > ( P A B P A B P A B P( B PB נוסחאת ההסתברות
פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה.
בחינת סיווג במתמטיקה.9.017 פתרונות.1 סדרת מספרים ממשיים } n {a נקראת מונוטונית עולה אם לכל n 1 מתקיים n+1.a n a האם הסדרה {n a} n = n היא מונוטונית עולה? הוכיחו תשובתכם. הסדרה } n a} היא אכן מונוטונית
תרגול משפט הדיברגנץ. D תחום חסום וסגור בעל שפה חלקה למדי D, ותהי F פו' וקטורית :F, R n R n אזי: נוסחת גרין I: הוכחה: F = u v כאשר u פו' סקלרית:
משפט הדיברגנץ תחום חסום וסגור בעל שפה חלקה למדי, ותהי F פו' וקטורית :F, R n R n אזי: div(f ) dxdy = F, n dr נוסחת גרין I: uδv dxdy = u v n dr u, v dxdy הוכחה: F = (u v v, u x y ) F = u v כאשר u פו' סקלרית:
לוגיקה ותורת הקבוצות אביבתשס ז מבחןסופי מועדב בהצלחה!
הטכניון מכון טכנולוגי לישראל הפקולטה למדעי המחשב 24/10/2007 מרצה: פרופ אורנה גרימברג מתרגלים: גבי סקלוסוב,קרן צנזור,רותם אושמן,אורלי יהלום לוגיקה ותורת הקבוצות 234293 אביבתשס ז מבחןסופי מועדב הנחיות: משךהבחינה:
חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה.
חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה. מרצה: למברג דן תוכן העניינים 3 מספרים ממשיים 1 3.................................. סימונים 1. 1 3..................................
הגדרה: מצבים k -בני-הפרדה
פרק 12: שקילות מצבים וצמצום מכונות לעי תים קרובות, תכנון המכונה מתוך סיפור המעשה מביא להגדרת מצבים יתי רים states) :(redundant הפונקציה שהם ממלאים ניתנת להשגה באמצעו ת מצבים א חרים. כיוון שמספר רכיבי הזיכרון
סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 005 שנכתב על-ידי מאיר בכור
סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 5 שנכתב על-ידי מאיר בכור. חקירת משוואה מהמעלה הראשונה עם נעלם אחד = הצורה הנורמלית של המשוואה, אליה יש להגיע, היא: b
מתמטיקה בדידה תרגול מס' 12
מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 נושאי התרגול: נוסחאות נסיגה נוסחאות נסיגה באמצעות פונקציות יוצרות נוסחאות נסיגה באמצעות פולינום אופייני נוסחאות נסיגה לעתים מפורש לבעיה קומבינטורית אינו ידוע, אך יחסית קל להגיע
סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יח"ל
סדרות - הכנה לבגרות 5 יח"ל 5 יח"ל סדרות - הכנה לבגרות איברים ראשונים בסדרה) ) S מסמן סכום תרגיל S0 S 5, S6 בסדרה הנדסית נתון: 89 מצא את האיבר הראשון של הסדרה תרגיל גוף ראשון, בשנייה הראשונה לתנועתו עבר
אוטומט סופי דטרמיניסטי מוגדר ע"י החמישייה:
2 תרגול אוטומט סופי דטרמיניסטי אוטומטים ושפות פורמליות בר אילן תשעז 2017 עקיבא קליינרמן הגדרה אוטומט סופי דטרמיניסטי מוגדר ע"י החמישייה: (,, 0,, ) כאשר: א= "ב שפת הקלט = קבוצה סופית לא ריקה של מצבים מצב
{ } { } { A חוקי דה-מורגן: הגדרה הסתברות מותנית P P P. נוסחת בייס ) :(Bayes P P נוסחת ההסתברות הכוללת:
A A A = = A = = = = { A B} P{ A B} P P{ B} P { } { } { A P A B = P B A } P{ B} P P P B=Ω { A} = { A B} { B} = = 434 מבוא להסתברות ח', דפי נוסחאות, עמוד מתוך 6 חוקי דה-מורגן: הגדרה הסתברות מותנית נוסחת
תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס "תורת הקבוצות" (80200) באוניברסיטה העברית,
תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס "תורת הקבוצות" (80200) באוניברסיטה העברית, 7 2006. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו. סודר באמצעות L
תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן
תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, 635865 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1. סדרה חשבונית שיש בה n איברים...2 3. האיבר
אלגברה א' - פתרונות לשיעורי הבית סמסטר חורף תשס"ט
467 אלגברה א', סמסטר חורף תשס"ט, פתרונות לשיעורי הבית, עמוד מתוך 6 467 אלגברה א' - פתרונות לשיעורי הבית סמסטר חורף תשס"ט תוכן עניינים : גליון שדות... גליון מרוכבים 7... גליון מטריצות... גליון 4 דירוג,
תרגול פעולות מומצאות 3
תרגול פעולות מומצאות. ^ = ^ הפעולה החשבונית סמן את הביטוי הגדול ביותר:. ^ ^ ^ π ^ הפעולה החשבונית c) #(,, מחשבת את ממוצע המספרים בסוגריים.. מהי תוצאת הפעולה (.7,.0,.)#....0 הפעולה החשבונית משמשת חנות גדולה
תורת הקבוצות ניר אדר ניר אדר.
גירסה 101 2432010 גירסה 100 6122003 תורת הקבוצות מסמך זה הורד מהאתר http://wwwunderwarcoil אין להפיץ מסמך זה במדיה כלשהי, ללא אישור מפורש מאת המחבר מחבר המסמך איננו אחראי לכל נזק, ישיר או עקיף, שיגרם עקב
מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2
מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 נושאי התרגול: כמתים והצרנות. משתנים קשורים וחופשיים. 1 כמתים והצרנות בתרגול הקודם עסקנו בתחשיב הפסוקים, שבו הנוסחאות שלנו היו מורכבות מפסוקים יסודיים (אשר קיבלו ערך T או F) וקשרים.
תרגיל 7 פונקציות טריגונומטריות הערות
תרגיל 7 פונקציות טריגונומטריות הערות. פתרו את המשוואות הבאות. לא מספיק למצוא פתרון אחד יש למצוא את כולם! sin ( π (א) = x sin (ב) = x cos (ג) = x tan (ד) = x) (ה) = tan x (ו) = 0 x sin (x) + sin (ז) 3 =
מודלים חישוביים תרגולמס 5
מודלים חישוביים תרגולמס 5 30 במרץ 2016 נושאי התרגול: דקדוקים חסרי הקשר. למת הניפוח לשפות חסרות הקשר. פעולות סגור לשפות חסרות הקשר. 1 דקדוקים חסרי הקשר נזכיר כי דקדוק חסר הקשר הוא רביעיה =(V,Σ,R,S) G, כך
שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R
תרגילים בתורת החשמל כתה יג שאלה א. חשב את המתח AB לפי משפט מילמן. חשב את הזרם בכל נגד לפי המתח שקיבלת בסעיף א. A 60 0 8 0 0.A B 8 60 0 0. AB 5. v 60 AB 0 0 ( 5.) 0.55A 60 א. פתרון 0 AB 0 ( 5.) 0 0.776A