Θέματα εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου παλαιοτέρων ετών 9ο Κεφάλαιο

Transcript

1 Θέματα εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου παλαιοτέρων ετών 9ο Κεφάλαιο Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με β, α και Γˆ 0 α) Να αποδείξετε ότι γ 7 β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι αμβλυγώνιο γ) Να υπολογίσετε την προβολή της πλευράς ΑΒ στην πλευρά ΒΓ Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με α 7, β και γ 6 α) Να χαρακτηρίσετε το τρίγωνο ΑΒΓ ως προς τις γωνίες του β) Να αποδείξετε ότι ˆΑ 60 γ) Να υπολογίσετε την προβολή της πλευράς ΑΓ στην πλευρά ΑΒ 0ο κεφάλαιο Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ Στις πλευρές του ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ παίρνουμε αντίστοιχα τα σημεία Κ, Λ και ΒΚ ΓΛ 8 ΑΜ Μ έτσι ώστε, και Να δείξετε ότι ΚΛΜ ΑΒΓ ΒΓ ΓΑ 9 ΑΒ wwwaskisopolisgr Στις προεκτάσεις των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ τριγώνου ΑΒΓ παίρνουμε σημεία Δ, Ε, Ζ αντίστοιχα με ΒΔ ΑΒ, ΓΕ ΒΓ, ΑΖ ΓΑ α) Υπολογίστε τα εμβαδά των τριγώνων ΒΔΕ, ΓΕΖ, ΑΖΔ συναρτήσει του εμβαδού του τριγώνου ΑΒΓ 7 β) Δείξτε ότι ΔΕΖ ΑΒΓ 5 5 Δίνεται αμβλυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ˆΑ 90 και ΑΒ 5, ΑΓ, ΑΒΓ α) Να υπολογίσετε την γωνία ˆΑ β) Να βρείτε το εμβαδόν του περιγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο ΑΒΓ 6 Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ// ΓΔ και ΑΒ<ΓΔ Αν Ε, Ζ τα μέσα των ΑΔ, ΒΓ αντίστοιχα και η ΕΖ τέμνει τις ΒΔ και ΑΓ στα Θ και Η αντίστοιχα, τότε να αποδείξετε ότι : ΑΘΔ ΑΗΒ ΑΘΔ ΒΗΓ ΑΒΓ ΓΔΕΖ ΑΒΖΕ ΑΓΘ α) β) γ) 7 Στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ τριγώνου ΑΒΓ παίρνουμε τμήματα ΔΕ τέμνει τη διάμεσο ΑΜ στο Κ, να δείξετε ότι: ΑΔΕ ΒΔΕΓ ΑΔΚ ΚΜΓΕ α) β) ΑΔ ΑΒ και ΑΕ ΑΓ αντίστοιχα Αν η 8 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με α =, β = 0, γ = 6 α) Δείξτε ότι το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο β) Δείξτε ότι το εμβαδό του ισούται με 5 9 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με β =, γ και ˆΑ 60 α) Να υπολογίσετε το εμβαδό του τριγώνου ΑΒΓ β) Αν Μ το μέσο της ΒΓ και Δ σημείο της ΑΓ τέτοιο ώστε ΓΔ ΜΔΓ ΑΒΓ 6 ΑΓ, να αποδείξετε ότι

2 γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΜΔ wwwaskisopolisgr 0Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και τα μέσα Μ, Ν των πλευρών ΒΓ, ΓΔ αντίστοιχα Να δείξετε ότι: α) ΑΜΓ ΑΝΓ ΑΒΓΔ β) ΓΜΝ ΑΒΓΔ 8 γ) ΑΜΝ ΑΒΓΔ 8 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με β = γ Αν ΑΔ είναι διχοτόμος, Μ μέσο της ΑΓ και ισχύει α) ΑΒΔ ΑΔΜ β) ΒΜΔ ΔΜΓ γ) ΜΔΓ ΑΒΓ δ) ΑΒΔΜ ΑΒΓ ΒΔ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα, τέτοια ώστε: ΑΔ ΑΒ και ΓΕ ΑΓ Οι προεκτάσεις των ΔΕ και ΒΓ τέμνονται στο Ζ α) Να βρείτε το λόγο: ΒΓΕΔ ΑΒΓ β) Να αποδείξετε ότι: ΓΕΖ γ) Να αποδείξετε ότι ΓΖ ΒΔΖ ΒΖ και ΑΒΓ ΒΓ ΑΒΓ ΒΓ ΓΖ ΒΓ 5 Δίνεται το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ˆΑ 90, με ΑΒ = 6 και ΑΓ = 8 καθώς επίσης ο εγγεγραμμένος σ' αυτό κύκλος (Ο, ρ), ο οποίος εφάπτεται στις πλευρές ΑΒ, ΒΓ στα σημεία Δ, Ε αντίστοιχα Να βρείτε: α) Την ακτίνα ρ του εγγεγραμμένου κύκλου β) Το εμβαδόν του τριγώνου ΟΔΕ Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς α και ο εγγεγραμμένος σ' αυτό κύκλος (Ο, ρ) που έχει εμβαδόν 9π τμ α) Να βρείτε την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου στο ΑΒΓ β) Να αποδείξετε ότι α 6 γ) Να βρείτε την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου στο ΑΒΓ δ) Να βρείτε το εμβαδόν του ΑΒΓ

3 ο Κεφάλαιο wwwaskisopolisgr 5Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) Αν (Κ, ρ) ο εγγεγραμμένος στο τρίγωνο ΑΒΓ κύκλος και (Ο, R) ο περιγεγραμμένος στο τρίγωνο ΑΒΓ κύκλος, να βρείτε: α) την ακτίνα R του περιγεγραμμένου κύκλου συναρτήσει της ακτίνας ρ του εγγεγραμμένου β) το εμβαδό του μικτόγραμμου τριγώνου με κορυφή το σημείο Α, που σχηματίζεται από τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ και το ελάσσων τόξο του κύκλου (Κ, ρ), συναρτήσει της ακτίνας ρ του εγγεγραμμένου κύκλου 6Τρεις κύκλοι Κ,R, Λ,R, Μ,R εφάπτονται εξωτερικά στα σημεία Α, Β, Γ και είναι R R, R α) Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ορθογώνιο β) Να βρείτε την περίμετρο του καμπυλόγραμμου τριγώνου ΑΒΓ γ) Να βρείτε το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου τριγώνου ΑΒΓ 7 Δίνεται τεταρτοκύκλιο ΟΑΒ το οποίο ορίζεται από τις κάθετες ακτίνες ΟΑ, ΟΒ κύκλου (Ο, ρ) Με διαμέτρους τις ΟΑ και ΟΒ γράφουμε στο εσωτερικό του τεταρτοκύκλιου δύο ημικύκλια τα οποία τέμνονται στο σημείο Γ α) Να δείξετε ότι το κοινό μέρος των δύο ημικυκλίων έχει το ίδιο εμβαδό με το μέρος του τεταρτοκύκλιου που δεν ανήκει στα ημικύκλια β) Να βρεθεί το εμβαδό αυτό 8Δίνεται κύκλος (Ο,R) και εξωτερικό του σημείο Μ, από το οποίο φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΜΑ ΜΑΒ ΟΑΒ, τότε: και ΜΒ Αν α) να δείξετε ότι ΜΟ = R και ΑΒ R β) να υπολογίσετε ως συνάρτηση της ακτίνας R, την περίμετρο και το εμβαδόν του μικτόγραμμου τριγώνου που ορίζεται από τα εφαπτόμενα τμήματα ΜΑ, ΜΒ και το κυρτογώνιο τόξο ΑΒ 9Δίνονται ομόκεντροι κύκλοι (Ο, R) και (Ο, ρ) με ρ < R και τέτοιοι ώστε ο μικρός δίσκος και ο σχηματιζόμενος δακτύλιος να είναι ισοδύναμοι R α) Δείξτε ότι ρ β) Αν μία χορδή του μεγάλου κύκλου εφάπτεται στον μικρό, δείξτε ότι θα ισούται με την πλευρά λ του εγγεγραμμένου τετραγώνου στον κύκλο (Ο, R) γ) Αν ΑΒ και ΓΔ δύο παράλληλες χορδές του μεγάλου κύκλου που εφάπτονται στον μικρό, δείξτε ότι το εμβαδό του μέρους του δακτυλίου που περιέχεται μεταξύ των χορδών αυτών ισούται με R 0Δύο κύκλοι με κέντρα Κ και Λ έχουν κοινή χορδή ΑΒ = α και τα κέντρα τους βρίσκονται εκατέρωθεν της ευθείας ΑΒ Αν στον κύκλο Κ η ΑΒ είναι πλευρά τετραγώνου και στον κύκλο Λ η ΑΒ είναι πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου, υπολογίστε (συναρτήσει του α): α) τις ακτίνες των κύκλων β) τη διάκεντρο ΚΛ γ) το εμβαδό του κοινού μέρους των δύο κύκλων Δίνεται κύκλος (O, R) και σημεία του Α, Β με ΑΟΒ ˆ 60 Από το Β φέρουμε την εφαπτομένη Βx του κύκλου και από το Α την Αy Bx που τέμνει την Βx στο Γ Αν AΔ OB, να υπολογίσετε: α) τις πλευρές του τριγώνου ΑΟΔ β) την περίμετρο του μεικτόγραμμου τριγώνου ΑΒΓ συναρτήσει του R γ) το εμβαδόν του μεικτόγραμμου τριγώνου ΑΒΓ συναρτήσει του R

4 Στο παρακάτω σχήμα η χορδή ΑΒ του κύκλου (Ο,R) έχει μήκος R και ΑΓ, ΓΒ είναι τα εφαπτόμενα τμήματα από το σημείο Γ α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο β) Να βρείτε την περίμετρο του μικτόγραμμου τριγώνου ΑΓΒ γ) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του μικτόγραμμου π τριγώνου ΑΓΒ είναι R wwwaskisopolisgr Κανονικό εξάγωνο ΑΒΓΔΕΖ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο O,R Με κέντρο την κορυφή Α και ακτίνα R γράφουμε τόξο ΒΟΖ μέσα στο εξάγωνο Να υπολογίσετε: α) την γωνία BAZ ˆ β) το εμβαδόν του εξαγώνου γ) το εμβαδόν του μικτόγραμμου πενταγώνου ΒΓΔΕΖΟΒ Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρά α και ο περιγεγραμμένος του κύκλος Από το Α φέρνουμε κάθετη α στη ΒΓ που τέμνει τη ΒΓ στο Δ και τον κύκλο στο Ε με ΔΕ 6 α) Να υπολογίσετε ως συνάρτηση του α την περίμετρο και το εμβαδόν του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ β) Να υπολογίσετε ως συνάρτηση του α την περίμετρο και το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΑΒΕΓ γ) Με κέντρα Α και Ε και ακτίνες αντίστοιχα ΑΒ και ΕΒ γράφουμε τόξα χορδής ΒΓ Να υπολογίσετε ως συνάρτηση του α το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου 5Σε κύκλο ( Ο, R ) είναι εγγεγραμμένο ορθογώνιο ΑΒΓΔ με πλευρά ΒΓ = R Αν το σημείο Μ είναι το μέσο της ΑΒ και η ΔΜ τέμνει το τόξο ΑΒ στο σημείο Ν, να υπολογίσετε: α) το μήκος του τμήματος ΔΜ β) το εμβαδόν του κυκλικού τμήματος που ορίζει η χορδή ΑΒ με το μικρό τόξο ΑΒ 6Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ του διπλανού σχήματος είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο Οι διαγώνιοι ΑΓ και ΒΔ τέμνονται στο Μ, όπου Μ μέσο της ΒΔ με AM ΒΔ ΑΓ 5 Να δείξετε ότι: ΑΜΔ ΜΓΔ α) β) αν επιπλέον γνωρίζετε ότι ΓΜΔ ˆ 0 τότε: ΑΜ i ΜΔΓ τμ 9ΑΜ ii ΑΒΜΓΔΑ τμ

5 7Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, R) του οποίου η πλευρά ΑΓ είναι ίση με την πλευρά του εγγεγραμμένου τετραγώνου και η ΑΒ είναι ίση με την πλευρά του εγγεγραμμένου ισοπλεύρου τριγώνου στον κύκλο αυτό Έστω ΑΗ το ύψος του ΑΒΓ α) Να δείξετε ˆΑ 75 R 6 β) Να δείξετε ότι ΑΗ γ) Να υπολογίσετε την πλευρά ΒΓ συναρτήσει του R δ) Να βρείτε το εμβαδόν του μικτόγραμμου χωρίου που βρίσκεται μεταξύ των ΑΗ, ΗΓ και τόξου ΑΓ στο οποίο βαίνει η γωνία Β, συναρτήσει του R 8Δίνονται τα δύο ημικύκλια του σχήματος Το μεγαλύτερο έχει κέντρο Ο και διάμετρο ΑΒ=8, ενώ το μικρότερο έχει κέντρο Κ και διάμετρο 8 ΟΣ α) Να βρείτε το ύψος ΚΔ του τριγώνου ΟΡΚ β) Να δείξετε ότι ΟΚΡ ˆ 0 γ) Να δείξετε ότι το εμβαδόν Ε του μικτόγραμμου τριγώνου ΡΚΒ είναι ίσο με π δ) Να βρείτε το εμβαδόν Ε του μικτόγραμμου τριγώνου ΡΒΣ wwwaskisopolisgr 5

6 wwwaskisopolisgr Λύσεις 6

7 9ο Κεφάλαιο wwwaskisopolisgr Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με β, α και Γˆ 0 α) Να αποδείξετε ότι γ 7 β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι αμβλυγώνιο γ) Να υπολογίσετε την προβολή της πλευράς ΑΒ στην πλευρά ΒΓ α) Από το νόμο των συνημιτόνων έχουμε: γ α β αβσυνγ 7 γ 7 β) Είναι β και α γ 8, δηλαδή β α γ άρα ˆΒ 90 και το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο γ) Έστω ΒΔ η προβολή της πλευράς ΑΒ στην πλευρά ΒΓ Επειδή ˆΒ 90 είναι β α γ α ΒΔ 8 ΒΔ ΒΔ Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με α 7, β και γ 6 α) Να χαρακτηρίσετε το τρίγωνο ΑΒΓ ως προς τις γωνίες του β) Να αποδείξετε ότι ˆΑ 60 γ) Να υπολογίσετε την προβολή της πλευράς ΑΓ στην πλευρά ΑΒ α) Είναι α β γ άρα ˆΓ 90 και το τρίγωνο είναι οξυγώνιο β) Από το νόμο των συνημιτόνων έχουμε: α β γ βγσυνα συνΑ 8συνΑ συνα Αˆ 60 γ) Έστω ΑΔ η προβολή της πλευράς ΑΓ στην πλευρά ΑΒ Από το θεώρημα οξείας γωνίας για την ˆΑ έχουμε: ΒΓ ΑΓ ΑΒ ΑΒ ΑΔ ΑΔ ΑΔ 0ο κεφάλαιο Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ Στις πλευρές του ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ παίρνουμε αντίστοιχα τα σημεία Κ, Λ και ΒΚ ΓΛ 8 ΑΜ Μ έτσι ώστε, και Να δείξετε ότι ΚΛΜ ΑΒΓ ΒΓ ΓΑ 9 ΑΒ Τα τρίγωνα ΑΜΛ και ΑΒΓ έχουν ˆΑ κοινή οπότε: ΑΜΛ ΑΜ ΑΛ ΑΜ ΑΛ ΑΜΛ ΑΒΓ ΑΒ ΑΓ ΑΒ ΑΓ ΑΒΓ Τα τρίγωνα ΒΜΚ και ΑΒΓ έχουν ˆΒ κοινή οπότε: ΒΜΚ ΒΜ ΒΚ ΒΜ ΒΚ ΒΜΚ ΑΒΓ ΒΑ ΒΓ ΑΒ ΒΓ 9 9 Τα τρίγωνα ΓΚΛ και ΑΒΓ έχουν ˆΓ κοινή, άρα: ΑΒΓ () 7

8 ΓΚΛ ΓΚ ΓΛ ΓΚ ΓΛ ΑΒΓ ΓΑ ΓΒ ΒΓ ΓΑ ΓΚΛ ΑΒΓ wwwaskisopolisgr Είναι,, ΚΛΜ ΑΒΓ ΑΜΛ ΒΜΚ ΓΚΛ ΑΒΓ ΑΒΓ ΑΒΓ ΑΒΓ ΑΒΓ Στις προεκτάσεις των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ τριγώνου ΑΒΓ παίρνουμε σημεία Δ, Ε, Ζ αντίστοιχα με ΒΔ ΑΒ, ΓΕ ΒΓ, ΑΖ ΓΑ α) Υπολογίστε τα εμβαδά των τριγώνων ΒΔΕ, ΓΕΖ, ΑΖΔ συναρτήσει του εμβαδού του τριγώνου ΑΒΓ 7 β) Δείξτε ότι ΔΕΖ ΑΒΓ α) Τα τρίγωνα ΒΔΕ και ΑΒΓ έχουν ΔΒΕ ˆ Βˆ 80 οπότε: ΒΔΕ ΑΒ ΒΓ ΒΔ ΒΕ ΒΔΕ ΑΒΓ ΑΒΓ ΒΑ ΒΓ ΒΑ ΒΓ 9 9 Τα τρίγωνα ΓΕΖ και ΑΒΓ έχουν ΕΓΖ ˆ Γˆ 80 οπότε: ΓΕΖ ΒΓ ΑΓ ΓΕ ΓΖ ΓΕΖ ΑΒΓ ΑΒΓ ΒΓ ΓΑ ΒΓ ΓΑ 9 9 Τα τρίγωνα ΑΖΔ και ΑΒΓ έχουν ΖΑΔ ˆ Αˆ 80 οπότε: ΑΖΔ ΑΒ ΑΓ ΑΔ ΑΖ ΑΒΓ ΑΒ ΑΓ ΑΒ ΑΓ 9 9 ΑΖΔ ΑΒΓ β) ΔΕΖ ΑΒΓ ΒΔΕ ΓΕΖ ΑΖΔ ΑΒΓ 8 7 ΑΒΓ ΑΒΓ Δίνεται αμβλυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ˆΑ 90 και ΑΒ 5, ΑΓ, ΑΒΓ α) Να υπολογίσετε την γωνία ˆΑ β) Να βρείτε το εμβαδόν του περιγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο ΑΒΓ 5 ΑΒΓ ΑΒ ΑΓ ημα 5ημΑ ημα ημ60 και επειδή ˆΑ 90, είναι ˆΑ α) β) Από το νόμο των συνημιτόνων έχουμε: α β γ βγσυνα 5 9 0συν0 0 9 α 7 αβγ 7 5 ΑΒΓ R ABΓ αβγ R R 5 Είναι 7 9π Το εμβαδόν Ε του περιγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι: Ε πr π 7

9 wwwaskisopolisgr 6 Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ// ΓΔ και ΑΒ<ΓΔ Αν Ε, Ζ τα μέσα των ΑΔ, ΒΓ αντίστοιχα και η ΕΖ τέμνει τις ΒΔ και ΑΓ στα Θ και Η αντίστοιχα, τότε να αποδείξετε ότι : ΑΘΔ ΑΗΒ ΑΘΔ ΒΗΓ ΑΒΓ ΓΔΕΖ ΑΒΖΕ ΑΓΘ α) β) γ) ΑΒ ΓΔ α) Είναι ΕΖ διάμεσος του τραπεζίου οπότε ΕΖ//ΑΒ//ΓΔ και ΕΖ Είναι ΑΘΔ ΑΘΒ ΑΔΒ () αφού τα τρίγωνα ΑΘΔ και ΑΘΒ έχουν ίσες βάσεις και ύψος το ύψος του τριγώνου ΑΒΔ Είναι ΑΗΒ ΒΗΓ ΑΒΓ () αφού τα τρίγωνα ΑΒΗ και ΒΗΓ έχουν ίσες βάσεις και ύψος το ύψος του τριγώνου ΑΒΓ ΑΒΔ ΑΒΓ () αφού τα δύο τρίγωνα έχουν την ίδια βάση και ύψη ίσα με την απόσταση των Όμως παραλλήλων ΑΒ και ΕΖ, άρα από τις (),(), () προκύπτει ότι ΑΗΒ ΑΘΔ β) Είναι ΑΘΔ ΒΗΓ ΑΒΔ ΑΒΓ ΑΒΓ ΑΒΓ ΑΒΓ γ) Έστω ΑΜ το ύψος του τραπεζίου Είναι: ΓΔ ΕΖKΜ ΑΒ ΕΖΑK ΓΔΕΖ ΑΒΖΕ ΓΔ ΕΖAΜ ΑΒ ΕΖΑK ΓΔ ΕΖ ΑΒ ΕΖ ΑΜ ΓΔ ΑΒΑΜ () Είναι ΑΘΓ ΑΘΗ ΘΗΓ ΘΗ ΑΚ ΘΗ ΓΛ ΘΗ ΑΚ ΘΗ ΚΜ ΘΗ ΑΚ ΚΜ ΘΗ ΑΜ ΓΔ ΑΒ Όμως το τμήμα ΘΗ ενώνει τα μέσα των διαγωνίων του τραπεζίου οπότε ΘΗ ΓΔ ΑΒ ΓΔ ΑΒΑΜ ΑΘΓ ΑΜ ΑΘΓ (5) ΓΔΕΖ ΑΒΖΕ ΑΘΓ Από τις (),(5) είναι και 7 Στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ τριγώνου ΑΒΓ παίρνουμε τμήματα ΔΕ τέμνει τη διάμεσο ΑΜ στο Κ, να δείξετε ότι: ΑΔΕ ΒΔΕΓ ΑΔΚ ΚΜΓΕ α) β) ΑΔ ΑΒ και ΑΕ ΑΓ αντίστοιχα Αν η α) Τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΑΒΓ έχουν την γωνία Α κοινή, οπότε: ΑΒ ΑΓ AΔΕ ΑΔ ΑΕ AΔΕ ΑΒΓ, οπότε και ΑΒΓ ΑΒ ΑΓ ΑΒ ΑΓ 9

10 wwwaskisopolisgr ΒΔΕΓ ΑΒΓ, άρα ΑΔΕ ΒΔΕΓ β) Τα τρίγωνα ΑΜΓ και ΑΒΓ έχουν την γωνία Γ κοινή οπότε: ΑΜΓ ΜΓ ΓΑ ΑΜΓ ΑΒΓ ΑΔΕ ΑΒΓ ΓΒ ΓΑ, οπότε ΑΜΓ Τότε: ΑΔΕ ΑΜΓ ΑΔΚ ΑΚΕ ΚΜΓΕ ΑΚΕ ΑΔΚ ΚΜΓΕ 8 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με α =, β = 0, γ = 6 α) Δείξτε ότι το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο β) Δείξτε ότι το εμβαδό του ισούται με 5 α) α β γ 6 Αˆ 90 β) α β γ τ 5 ΑΒΓ ττ ατ βτ γ Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με β =, γ και ˆΑ 60 α) Να υπολογίσετε το εμβαδό του τριγώνου ΑΒΓ β) Αν Μ το μέσο της ΒΓ και Δ σημείο της ΑΓ τέτοιο ώστε γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΜΔ ΓΔ ΜΔΓ ΑΒΓ 6 ΑΓ, να αποδείξετε ότι ΑΒΓ β γ ημα 6 τμ α) β) Τα τρίγωνα ΜΔΓ και ΑΒΓ έχουν τη γωνία Γ κοινή, άρα: ΜΔΓ ΒΓ ΑΓ ΓΜ ΓΔ ΑΒΓ ΒΓ ΑΓ ΒΓ ΑΓ 6 γ) Τα τρίγωνα ΑΜΓ και ΑΜΓ έχουν ίσες βάσεις και το ίδιο ύψος άρα ΑΜΓ ΑΜΒ ΑΒΓ Τα τρίγωνα ΑΜΓ και ΑΜΔ έχουν τη γωνία ΑΜΔ ΑΓ ΑΜΓ ΑΔ ΑΜ ΑΓ ΑΜ ˆ ΜΑΔ κοινή οπότε: ΑΜΔ ΑΜΓ ΑΒΓ 6 τμ ΒΓ ος τρόπος ΜΔΓ ΜΔΓ ΜΔΓ ΑΒΓ ΑΒΓ AΜΔ ΑΜΓ ΜΔΓ ΜΔΓ 0

11 wwwaskisopolisgr 0Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και τα μέσα Μ, Ν των πλευρών ΒΓ, ΓΔ αντίστοιχα Να δείξετε ότι: α) ΑΜΓ ΑΝΓ ΑΒΓΔ β) ΓΜΝ ΑΒΓΔ 8 γ) ΑΜΝ ΑΒΓΔ 8 α) Επειδή η ΑΜ είναι διάμεσος στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΜΓ ΑΜΒ ΑΒΓ ΑΒΓΔ ΑΒΓΔ Επειδή η ΑΝ είναι διάμεσος στο τρίγωνο ΑΔΓ είναι ΑΝΓ ΑΝΔ ΑΔΓ ΑΒΓΔ ΑΒΓΔ β) Τα τρίγωνα ΓΜΝ και ΓΒΔ έχουν τη γωνία Γ κοινή άρα: ΓΜΝ ΓΔ ΓΒ ΓΝ ΓΜ ΓΜΝ ΓΒΔ ΑΒΓΔ ΑΒΓΔ ΓΒΔ ΓΔ ΓΒ ΓΔ ΓΒ 8 γ) ΑΜΝ ΑΜΓΝ ΓΜΝ ΑΝΓ ΑΜΓ ΓΜΝ 8 8 ΑΜΝ ΑΒΓΔ ΑΒΓΔ ΑΒΓΔ ΑΒΓΔ Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με β = γ Αν ΑΔ είναι διχοτόμος, Μ μέσο της ΑΓ και ισχύει ΒΔ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: ΑΒΔ ΑΔΜ α) β) ΒΜΔ ΔΜΓ γ) ΜΔΓ ΑΒΓ δ) ΑΒΔΜ ΑΒΓ α) Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΜ έχουν ΒΑΔ ˆ ΔΑΜ ˆ οπότε: ΑΒΔ ΑΒ ΑΔ γ γ ΑΒΔ ΑΔΜ ΑΔΜ ΑΜ ΑΔ β γ β) Τα τρίγωνα ΒΔΜ και ΜΔΓ έχουν ΒΔΜ ˆ ΜΔΓ ˆ 80 οπότε: ΒΓ ΒΜΔ ΒΔ ΔΜ ΔΜΓ ΔΓ ΔΜ ΒΓ

12 wwwaskisopolisgr γ) Τα τρίγωνα AΔΓ και ΑΒΓ έχουν τη γωνία Γ κοινή, οπότε: ΑΔΓ α ΑΒΓ ΔΓ ΓΑ ΒΓ ΓΑ ΜΔΓ ΑΒΓ ΑΔΓ ΑΒΓ ΜΔΓ ΑΒΓ α δ) ΑΒΔΜ ΑΒΓ ΜΔΓ ΑΒΓ ΑΒΓ ΑΒΓ Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα, τέτοια ώστε: ΑΔ ΑΒ και ΓΕ ΑΓ Οι προεκτάσεις των ΔΕ και ΒΓ τέμνονται στο Ζ α) Να βρείτε το λόγο: ΒΓΕΔ ΑΒΓ β) Να αποδείξετε ότι: ΓΕΖ γ) Να αποδείξετε ότι ΓΖ ΒΔΖ ΒΖ και ΑΒΓ ΒΓ ΑΒΓ ΒΓ ΓΖ ΒΓ 5 α) Τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΑΒΓ έχουν τη γωνία Α κοινή, οπότε: ΑΔΕ ΑΒ ΑΓ ΑΔ ΑΕ ΑΔΕ ΑΒΓ ΑΒΓ ΑΒ ΑΓ ΑΒ ΑΓ ΒΓΕΔ ΑΒΓ ΑΔΕ ΑΔΕ ΑΒΓ ΑΒΓ ΑΒΓ β) Τα τρίγωνα ΓΕΖ και ΑΒΓ έχουν ΒΓΑ ˆ ΕΓΖ ˆ 80 οπότε: ΓΕΖ ΑΓ ΓΖ ΓΕ ΓΖ ΓΖ ΑΒΓ ΑΓ ΒΓ ΑΓ ΒΓ ΒΓ Τα τρίγωνα ΒΔΖ και ΑΒΓ έχουν τη γωνία Β κοινή, οπότε: ΒΔΖ ΑΒ ΒΖ ΒΔ ΒΖ ΒΖ ΑΒΓ ΑΒ ΒΓ ΑΒ ΒΓ ΒΓ γ) ΒΓΕΔ ΒΔΖ ΓΕΖ ΒΔΖ ΓΕΖ ΒΖ ΓΖ ΑΒΓ ΑΒΓ ΑΒΓ ΑΒΓ ΒΓ ΒΓ 8ΒΖ ΓΖ 9ΒΓ 8 ΒΓ ΓΖ ΓΖ 9ΒΓ 8ΒΓ 8ΓΖ ΓΖ 9ΒΓ 5ΓΖ ΒΓ ΓΖ ΒΓ 5

13 wwwaskisopolisgr Δίνεται το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ˆΑ 90, με ΑΒ = 6 και ΑΓ = 8 καθώς επίσης ο εγγεγραμμένος σ' αυτό κύκλος (Ο, ρ), ο οποίος εφάπτεται στις πλευρές ΑΒ, ΒΓ στα σημεία Δ, Ε αντίστοιχα Να βρείτε: α) Την ακτίνα ρ του εγγεγραμμένου κύκλου β) Το εμβαδόν του τριγώνου ΟΔΕ α) Από το πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε ότι: ΒΓ ΒΓ 0 ΑΒ ΒΓ ΓΑ Είναι τ και ΑΒΓ ΑΒ ΑΓ Όμως ΑΒΓ τρ ρ ρ β) Επειδή ΟΔ ΑΒ, ΟΕ ΑΓ και το τετράπλευρο ΑΔΟΕ ΟΔΕ ΟΔ ΟΕ ρ τμ είναι τετράγωνο Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς α και ο εγγεγραμμένος σ' αυτό κύκλος (Ο, ρ) που έχει εμβαδόν 9π τμ α) Να βρείτε την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου στο ΑΒΓ β) Να αποδείξετε ότι α 6 γ) Να βρείτε την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου στο ΑΒΓ δ) Να βρείτε το εμβαδόν του ΑΒΓ α) Είναι πρ 9π ρ 9 ρ β) Επειδή το Ο είναι σημείο τομής των διχοτόμων του τριγώνου, θα είναι και σημείο τομής των μεσοκαθέτων του, οπότε το Ο είναι βαρύκεντρο του τριγώνου Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΔ έχουμε: α α α ΑΔ α ΑΔ α 6ρ Είναι ρ ΟΔ ΑΔ α ρ 6 ος τρόπος 8 () 6 α 6 γ) Η ακτίνα R του περιγεγραμμένου κύκλου είναι: R ΟΑ ΟΒ ΟΓ ΑΔ 6 ος τρόπος 6 () R 6 R R δ) Ε τρ α 96 5

14 ο κεφάλαιο wwwaskisopolisgr 5Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) Αν (Κ, ρ) ο εγγεγραμμένος στο τρίγωνο ΑΒΓ κύκλος και (Ο, R) ο περιγεγραμμένος στο τρίγωνο ΑΒΓ κύκλος, να βρείτε: α) την ακτίνα R του περιγεγραμμένου κύκλου συναρτήσει της ακτίνας ρ του εγγεγραμμένου β) το εμβαδό του μικτόγραμμου τριγώνου με κορυφή το σημείο Α, που σχηματίζεται από τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ και το ελάσσων τόξο του κύκλου (Κ, ρ), συναρτήσει της ακτίνας ρ του εγγεγραμμένου κύκλου α) Επειδή ΑΒ=ΑΓ, είναι β γ α β γ β α β Γνωρίζουμε ότι ΑΒΓ και από το πυθαγόρειο θεώρημα ισχύει ότι αβγ β β β β R R R ΑΒΓ τρ β β βρ β ρ άρα β β R β ρ Rρ β R ρ και Επειδή όμως ΑΒ ΑΓ 90 οι χορδές ΑΒ και ΑΓ είναι πλευρές τετραγώνου, άρα β λ R, οπότε R R ρ ρ ρ R R ρ ος τρόπος Επειδή ΑΒ=ΑΓ, είναι β γ και από το πυθαγόρειο θεώρημα ισχύει ότι α β γ β α β Η διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ίση με το μήκος της ΒΓ Άρα R R Επίσης R β) Επειδή OK AB, OΛ ΑΓ και Αˆ 90 το τετράπλευρο ΑΚΟΛ είναι ορθογώνιο Επειδή ΟΚ ΟΛ ρ το ΑΚΟΛ είναι τετράγωνο Ε ΑΚΟΛ Ο, ΚΛ ρ Είναι πρ π ρ ρ R ρ 6Τρεις κύκλοι Κ,R, Λ,R, Μ,R εφάπτονται εξωτερικά στα σημεία Α, Β, Γ και είναι R R, R α) Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ορθογώνιο β) Να βρείτε την περίμετρο του καμπυλόγραμμου τριγώνου ΑΒΓ γ) Να βρείτε το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου τριγώνου ΑΒΓ

15 wwwaskisopolisgr α) Είναι ΚΛ, ΚΜ και ΛΜ Το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ορθογώνιο αν και μόνο αν: ΚΛ ΚΜ ΛΜ 8 που ισχύει β) Επειδή ˆΜ 90 και ΚΜ ΚΛ, το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, οπότε ˆΚ Λˆ 5 π 5 π π 5 π π 90 π ΑΒ, ΑΓ, 80 ΒΓ Η περίμετρος του καμπυλόγραμμου τριγώνου ΑΒΓ είναι: π π π Π ΑΒ ΑΓ ΒΓ γ) Είναι π π π 5 ΚΛΜ ΚΜ ΛΜ, π π 5 π ΚΑΒ, ΛΑΓ π π 90 π π 6 π π ΜΒΓ 60 Αν Ε είναι το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου τριγώνου ΑΒΓ, τότε: π π Ε ΚΛΜ ΚΑΒ ΛΑΓ ΜΒΓ π και 7 Δίνεται τεταρτοκύκλιο ΟΑΒ το οποίο ορίζεται από τις κάθετες ακτίνες ΟΑ, ΟΒ κύκλου (Ο, ρ) Με διαμέτρους τις ΟΑ και ΟΒ γράφουμε στο εσωτερικό του τεταρτοκύκλιου δύο ημικύκλια τα οποία τέμνονται στο σημείο Γ α) Να δείξετε ότι το κοινό μέρος των δύο ημικυκλίων έχει το ίδιο εμβαδό με το μέρος του τεταρτοκύκλιου που δεν ανήκει στα ημικύκλια β) Να βρεθεί το εμβαδό αυτό α) Έστω Ε το εμβαδόν του κοινού μέρους των δύο ημικυκλίων και Ε εμβαδό του μέρους του τεταρτοκύκλιου που δεν ανήκει στα ημικύκλια Το ημικύκλιο διαμέτρου ΟΑ έχει εμβαδόν: Ε ρ π πρ 8 ρ π πρ Το ημικύκλιο διαμέτρου ΟΒ έχει εμβαδόν: Ε 8 Στο σχήμα παρατηρούμε ότι Ε ΟΑΒ Ε Ε Ε, άρα πρ πρ Ε Ε Ε 8 β) Το κοινό μέρος των δύο ημικυκλίων αποτελείται από τα κυκλικά τμήματα που έχουν εμβαδά ε και ε όπως φαίνεται στο σχήμα Είναι 5

16 wwwaskisopolisgr ρ π 90 ε ΛΟΓ ΛΟΓ ρ ρ πρ ρ ρ π και ρ π ρ π ρ π ε ΚΟΓ ΚΟΓ, οπότε Ε Δίνεται κύκλος (Ο,R) και εξωτερικό του σημείο Μ, από το οποίο φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΜΑ ΜΑΒ ΟΑΒ, τότε: και ΜΒ Αν α) να δείξετε ότι ΜΟ = R και ΑΒ R β) να υπολογίσετε ως συνάρτηση της ακτίνας R, την περίμετρο και το εμβαδόν του μικτόγραμμου τριγώνου που ορίζεται από τα εφαπτόμενα τμήματα ΜΑ, ΜΒ και το κυρτογώνιο τόξο ΑΒ α) Επειδή ΜΑ ΜΒ, ΟΑ ΟΒ, η ΜΟ είναι μεσοκάθετος του ΑΒ Είναι ΜΑΒ ΟΑΒ Α Β ΜΚ ΑΒ ΟΚ ΜΚ ΟΚ Επειδή ΜΑ εφαπτόμενη του κύκλου είναι ΜΑ ΟΑ Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΑΜ ισχύει ότι ΑΚ ΟΚ ΜΚ ΟΚ Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΑΚ έχουμε: R R ΑΚ ΟΚ ΟΑ ΟΚ OΚ R ΟΚ R ΟΚ Όμως α, άρα R ΑΒ λ R Είναι MO OK R β) Αν Ε είναι το ζητούμενο εμβαδό και τ το κυκλικό τμήμα του κυρτού τόξου ΑΒ, τότε: E MAB τ ΑΒ ΜΚ ΟΑΒ ΟΑΒ R πr 0 R πr R E R R R ημ0 60 πr π E R R 9Δίνονται ομόκεντροι κύκλοι (Ο, R) και (Ο, ρ) με ρ < R και τέτοιοι ώστε ο μικρός δίσκος και ο σχηματιζόμενος δακτύλιος να είναι ισοδύναμοι R α) Δείξτε ότι ρ β) Αν μία χορδή του μεγάλου κύκλου εφάπτεται στον μικρό, δείξτε ότι θα ισούται με την πλευρά λ του εγγεγραμμένου τετραγώνου στον κύκλο (Ο, R) γ) Αν ΑΒ και ΓΔ δύο παράλληλες χορδές του μεγάλου κύκλου που εφάπτονται στον μικρό, δείξτε ότι το εμβαδό του μέρους του δακτυλίου που περιέχεται μεταξύ των χορδών αυτών ισούται με R 6

17 wwwaskisopolisgr α) Το εμβαδόν του μεγάλου κυκλικού δίσκου είναι Ε πρ Είναι Ε Ε Ε πρ π R R β) Επειδή OM ρ α, είναι ΑΒ λ Ε πr και του μικρού R πρ ρ R ρ R ρ E πr τ τ πρ γ) Αν Ε το ζητούμενο εμβαδό, τότε R E πr OAB OAB OΓΔ ΟΓΔ π πr E πr OAB OAB OΓΔ ΟΓΔ πr πr 90 E R R R 60 0Δύο κύκλοι με κέντρα Κ και Λ έχουν κοινή χορδή ΑΒ = α και τα κέντρα τους βρίσκονται εκατέρωθεν της ευθείας ΑΒ Αν στον κύκλο Κ η ΑΒ είναι πλευρά τετραγώνου και στον κύκλο Λ η ΑΒ είναι πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου, υπολογίστε (συναρτήσει του α): α) τις ακτίνες των κύκλων β) τη διάκεντρο ΚΛ γ) το εμβαδό του κοινού μέρους των δύο κύκλων α) Έστω (Κ,R) και (Λ, ρ) οι δύο κύκλοι Επειδή στον κύκλο Κ η ΑΒ είναι πλευρά τετραγώνου ισχύει ότι α α ΑΒ α R R Επειδή στον κύκλο Λ η ΑΒ είναι πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου, ισχύει α α ότι ΑΒ α ρ ρ α α R α β) Είναι ΚM α ρ α και ΛM α άρα 6 α α α ΚΛ 6 6 γ) Αν Ε το ζητούμενο εμβαδό, τότε πr 90 Ε ΚΑΒ ΚΑΒ ΛΑΒ ΛΑΒ 60 πρ 0 R πr πρ π π Ε R ρ R ρ π α π α π α π α Ε ρ ημ0 7

18 wwwaskisopolisgr Δίνεται κύκλος (O, R) και σημεία του Α, Β με ΑΟΒ ˆ 60 Από το Β φέρουμε την εφαπτομένη Βx του κύκλου και από το Α την Αy Bx που τέμνει την Βx στο Γ Αν AΔ OB, να υπολογίσετε: α) τις πλευρές του τριγώνου ΑΟΔ β) την περίμετρο του μεικτόγραμμου τριγώνου ΑΒΓ συναρτήσει του R γ) το εμβαδόν του μεικτόγραμμου τριγώνου ΑΒΓ συναρτήσει του R α) Επειδή OA OB R και ΑΟΒ ˆ 60, το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισόπλευρο πλευράς R Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΑΔ είναι ΑΟΒ ˆ 60 άρα Â 0 ΟΑ R οπότε OΔ Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΑΔ R R R έχουμε: AΔ ΟΑ ΟΔ R AΔ πr 60 πr β) Το μήκος του κυρτογώνιου τόξου ΑΒ είναι AB 80 ΑΟΒ ˆ Είναι ˆB 0 ως υπό χορδής και εφαπτομένης στο τόξο ΑΒ, άρα R Επειδή τα τρίγωνα ΟΑΔ και ΑΒΓ είναι ίσα, έχουν και BΓ ΑΔ Η περίμετρος του μικτόγραμμου τριγώνου ΑΒΓ είναι: πr R R R π Π AB ΑΓ ΒΓ 6 ος τρόπος πr 60 Το μήκος του κυρτογώνιου τόξου ΑΒ είναι AB 80 Επειδή Βx εφαπτόμενη του κύκλου είναι ΟΒ ΒΓ πr Το τετράπλευρο ΑΓΔΒ έχει τρείς ορθές γωνίες άρα είναι ορθογώνιο οπότε R ( ΑΔ ύψος και διάμεσος του ισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ) Η περίμετρος του μικτόγραμμου τριγώνου ΑΒΓ είναι: πr R R R π Π AB ΑΓ ΒΓ 6 AB R AΓ R και γ) Έστω Ε το ζητούμενο εμβαδό Τότε: R R πr 60 Ε ΑΒΓ τ ΑΓ ΒΓ ΟΑΒ ΟΑΒ ΟΑ ΟΒ ημ R 9 π R πr R Ε 8 6 8

19 Στο παρακάτω σχήμα η χορδή ΑΒ του κύκλου (Ο,R) έχει μήκος R και ΑΓ, ΓΒ είναι τα εφαπτόμενα τμήματα από το σημείο Γ α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο β) Να βρείτε την περίμετρο του μικτόγραμμου τριγώνου ΑΓΒ γ) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του μικτόγραμμου π τριγώνου ΑΓΒ είναι R wwwaskisopolisgr α) Επειδή τα τμήματα ΓΒ και ΓΑ είναι εφαπτόμενα προς τον κύκλο από το Γ είναι ίσα Επειδή ΑΒ R λ είναι ΑΒ 0, οπότε ΓΑΒ ˆ ΓΒΑ ˆ 60 ως υπό χορδής και εφαπτομένης στο τόξο ΑΒ και κατά συνέπεια το τρίγωνο ΓΑΒ είναι ισόπλευρο πr 0 β) Είναι AB 80 πr πr R 6 π Π ΓΒ ΓΑ AB R, οπότε η ζητούμενη περίμετρος είναι: γ) Έστω Ε το ζητούμενο εμβαδό, τότε: πr 0 Ε R R 60 Ε ΑΒΓ τ ΑΓ ΒΓημ60 ΟΑΒ ΟΑΒ R πr R R π ΟΑ ΟΒ ημ0 Κανονικό εξάγωνο ΑΒΓΔΕΖ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο O,R Με κέντρο την κορυφή Α και ακτίνα R γράφουμε τόξο ΒΟΖ μέσα στο εξάγωνο Να υπολογίσετε: α) την γωνία BAZ ˆ β) το εμβαδόν του εξαγώνου γ) το εμβαδόν του μικτόγραμμου πενταγώνου ΒΓΔΕΖΟΒ α) Η γωνία ΒΑΖ είναι γωνία κανονικού εξαγώνου, άρα ˆ 60 ΒΑΖ φ β) R R 6 6 Ε Ρ α 6λ α R γ) Έστω Ε το ζητούμενο εμβαδό, τότε: R πr 0 Ε E6 ABΓ 60 9 πr 6 9

20 Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρά α και ο περιγεγραμμένος του κύκλος Από το Α φέρνουμε κάθετη α στη ΒΓ που τέμνει τη ΒΓ στο Δ και τον κύκλο στο Ε με ΔΕ 6 α) Να υπολογίσετε ως συνάρτηση του α την περίμετρο και το εμβαδόν του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ β) Να υπολογίσετε ως συνάρτηση του α την περίμετρο και το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΑΒΕΓ γ) Με κέντρα Α και Ε και ακτίνες αντίστοιχα ΑΒ και ΕΒ γράφουμε τόξα χορδής ΒΓ Να υπολογίσετε ως συνάρτηση του α το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου wwwaskisopolisgr α) Επειδή το ΑΔ είναι ύψος του ισόπλευρου τριγώνου, θα διέρχεται από το κέντρο Ο του κύκλου R R R Τότε OΔ α και AΔ R α R Όμως ΔE R AΔ άρα R α R α 6 α Η περίμετρος του τριγώνου είναι P λ R α Tο εμβαδόν του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ είναι E R Ο β) Είναι ΑΓΕ ˆ 90 ως εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο και ΔΑΓ ˆ 0 άρα ΑΕ α ΓΕ R και επειδή α ΓΕ ΒΕ είναι και ΒΕ Η περίμετρος του τετραπλεύρου ΑΒΕΓ είναι α α α α Π ΑΒ ΑΓ ΓΕ ΒΕ λ ΓΕ R α α ABEΓ ΑΓΕ ΑΓ ΓΕ R R R γ) Το ζητούμενο εμβαδόν είναι Ε τ τ Ε ΕΓΒ ΕΓΒ ΑΒΓ ΑΒΓ π ΓΕ 0 π ΑΓ 60 λ Ε ΓΕ ΒΕ ημ α π α πr R Ε 6 α π R π πα α πr R E 9 6 α π α π α 0π E 6 6 0

21 5Σε κύκλο ( Ο, R ) είναι εγγεγραμμένο ορθογώνιο ΑΒΓΔ με πλευρά ΒΓ = R Αν το σημείο Μ είναι το μέσο της ΑΒ και η ΔΜ τέμνει το τόξο ΑΒ στο σημείο Ν, να υπολογίσετε: α) το μήκος του τμήματος ΔΜ β) το εμβαδόν του κυκλικού τμήματος που ορίζει η χορδή ΑΒ με το μικρό τόξο ΑΒ wwwaskisopolisgr α) Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ότι: AB ΑΓ ΒΓ R R R ΑΒ R Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΔΑΜ ισχύει ότι: R R 7R R 7 ΔΜ ΑΔ ΑΜ R R ΔΜ β) Επειδή ΑΒ R είναι ΑΒ λ άρα ΑΒ 0 Το ζητούμενο εμβαδόν είναι πr 0 Ε ΟΑΒ ΟΑΒ 60 πr R π ΟΑ ΟΒ ημ0 R 6Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ του διπλανού σχήματος είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο Οι διαγώνιοι ΑΓ και ΒΔ τέμνονται στο Μ, όπου Μ μέσο της ΒΔ με AM ΒΔ ΑΓ 5 Να δείξετε ότι: ΑΜΔ ΜΓΔ α) β) αν επιπλέον γνωρίζετε ότι ΓΜΔ ˆ 0 τότε: ΑΜ i ΜΔΓ τμ 9ΑΜ ii ΑΒΜΓΔΑ τμ α) Τα τρίγωνα ΑΜΔ και ΜΓΔ έχουν ΑΜΔ ˆ ΔΜΓ ˆ 80 άρα: ΑΓ ΑΜΔ ΑΜ ΜΔ 5 ΑΜΔ ΜΓΔ ΜΓΔ ΜΓ ΜΔ β) i 5 ΑΓ ΒΔ 5 ΑΜ ΜΔΓ ΜΓ ΜΔ ημ0 ΑΓ ΒΔ ΒΔ τμ ii Επειδή ΑΜ διάμεσος του τριγώνου ΑΒΔ είναι ΑΒΜ ΑΜΔ άρα ΑΒΜΓΔΑ ΑΒΜ ΑΜΔ ΜΓΔ ΑΜΔ ΜΓΔ 8ΜΓΔ ΜΓΔ 9ΑΜ 9ΜΓΔ τμ

22 7Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, R) του οποίου η πλευρά ΑΓ είναι ίση με την πλευρά του εγγεγραμμένου τετραγώνου και η ΑΒ είναι ίση με την πλευρά του εγγεγραμμένου ισοπλεύρου τριγώνου στον κύκλο αυτό Έστω ΑΗ το ύψος του ΑΒΓ α) Να δείξετε ˆΑ 75 R 6 β) Να δείξετε ότι ΑΗ γ) Να υπολογίσετε την πλευρά ΒΓ συναρτήσει του R δ) Να βρείτε το εμβαδόν του μικτόγραμμου χωρίου που βρίσκεται μεταξύ των ΑΗ, ΗΓ και τόξου ΑΓ στο οποίο βαίνει η γωνία Β, συναρτήσει του R wwwaskisopolisgr α) ΑΒ λ είναι ΑΒ 0 Επειδή ΑΓ λ άρα ΑΓ 90 Τότε ΒΓ 60 ΑΒ ΑΓ 50 και επειδή η γωνία Α είναι εγγεγραμμένη στο τόξο ΒΓ, ισχύει ότι ˆΑ 75 β) Επειδή ΑΒ 0, είναι ˆΓ 60 και στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΗΓ είναι ΗΑΓ ˆ 0 άρα ΑΓ R ΗΓ Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΗΓ έχουμε: R R R R 6 AH AΓ ΗΓ R R ΑΗ γ) Επειδή ΑΓ 90 είναι ˆB 5 οπότε το τρίγωνο ΑΗΒ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, και R 6 BH ΑΗ R 6 R R ΒΓ ΒΗ ΗΓ δ) Έστω τ το περιγραφόμενο κυκλικό τμήμα Τότε: πr 90 R π τ ΟΑΓ ΟΑΓ R 60 Έστω Ε το ζητούμενο εμβαδόν,τότε : R 6 R R R R R 8 8 R 8Δίνονται τα δύο ημικύκλια του σχήματος Το μεγαλύτερο έχει κέντρο Ο και διάμετρο ΑΒ=8, ενώ 8 το μικρότερο έχει κέντρο Κ και διάμετρο ΟΣ α) Να βρείτε το ύψος ΚΔ του τριγώνου ΟΡΚ β) Να δείξετε ότι ΟΚΡ ˆ 0 γ) Να δείξετε ότι το εμβαδόν Ε του μικτόγραμμου τριγώνου ΡΚΒ είναι ίσο με π δ) Να βρείτε το εμβαδόν Ε του μικτόγραμμου τριγώνου ΡΒΣ

23 α) Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΚΟΔ έχουμε: ΚΔ ΟΚ ΟΔ ΚΔ wwwaskisopolisgr β) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΚΟΔ είναι ΚΔ ΟΚ άρα ΚΟΔ ˆ 0 Επειδή το τρίγωνο ΚΟΡ είναι ισοσκελές, είναι ΟΡΚ ˆ ΚΟΔ ˆ 0, οπότε ΟΚΡ ˆ γ) π 0 Ε ΟΡΒ ΟΚΡ 60 π ΟΚ ΟΡ ημ0 π π 60 δ) Ε ΚΡΣ Ε π 6 π 60 9