7.5MM 21CM 21CM 27.5CM.

Transcript

1 7.5MM 1CM 1CM 7.5CM

2 الري سي ت ا ستوى ال س د س ا س ر العلمي النظ م الف سلي للتعليم الث نوي قررت وزارة التعليم ب لمملكة العربية ال سعودية تدري س هذا الكت ب وطبع على نفقته يوز ن وال يب طبعة ه م

3 rigial Title: Precalculus 011 & Algebra 010 B: Joh A. Carter, Ph. D Prof. Gilbert J. Cuevas Roger Da, Ph. D Carol E. Mallo, Ph. D Luajea Bra Berchie Hollida, Ed. D Prof. Vike Hovsepia Ruth M.Case CNSULTANTS Mathematical Cotet Prof. Vike Hovsepia Grat A. Fraser, Ph.D Arthur K. Wama, Ph.D Gifted ad taleted Shelbi K. Cole Mathematical Fluec Robert M. Capraro Readig ad Writig Releah Cossett Let L T. Haves Graphig Calculator Ruth M. Case Jerr J. Cummis الرياضيات المسار العلمي النظام الفصلي للتعليم الثانوي اأعد الن سخة العربية: سركة العبيك ن للتعليم التحرير والمراجعة والمواءمة التعريب والتحرير اللغوي الم سرف على لج ن المراجعة المراجعة واالعتم د النه ئي Test Preperatio Christopher F. Black Sciece/Phsics Jae Bra Nelso Jim Nelso Eglish Editio Copright 010 the McGraw Hill Compaies Ic All rights reserved Arabic Editio is published b beika uder agreemet with The McGraw Hill Compaies Ic 008 جقج فتس إت ج ا ت ز ت يفالمت ي نم ا ا يفالمت يفم ب ت جم ات يفمل قن في سةث قر جقج جا يس إت ةدق اق لا ق س بق اقاة ي سهير ي يف ةق يج نا لا يج يس يج ي سات س يض يجإقنت ي ف ة ن ت يج ج قن ت ب ق لا ذف يفة س بقفن سخ ل إ با يج يفة سم يج يفةخز ن جن يفنقيس اا ي ذن ا ن ي سة جق

4

5

6 ي ه يف سية يف سي ا نل نق ه ا ي ف ل س يج م بمه مه جقاة يف ق س قم جن يف يا يفهري س ت ي ج سق س ت يفةا د ف اقف ل س يإة سق ج سة قم ا ق جن يف اق قم يفةم ت ج ق ة ف ن ت هر ا يفةا يف تس يم سقاه ا يفةمقج جا ج ي يف قة ل ت جةا لق دق جن جنا ي ة ق يف ف جت قا يف ج ن يفتس ا ن بةن ت يف يرا يفلتس ت ا ق بقج ت ا ر ق لا ا يفةن ت يفتسقج ت إقن ج زيرة يفةم ن ا يف نق يفهري س ت لا جاهجةدق جنق يف ق س قم بهض ي جن يف ت ي بةهي ت سم ق فير اقض ب خ جقم يفةم فه يفاي يف س ل بد ي ف ج سقف يج يند لا يفه ل يف ةاهجت مم يفةا يفةتس يفم دق انق س ل ة يل ه ثت يف قاة بقج سقف ةنق ل بقجندق يف ة ز ة يفاقف ال ا م دق ةاقا جمدق جن يل جق اهج جن هر لقم يجنتسات جةن ات إ ق إه يف ة ا ج ين جد ت لا م يف ق س قم م دق ة ث ل ق قج ا يفة يب يف ب ن ج ة يف ق س قم ب ن يف ي يف تس يم يف ق ت جتس ت ج يبت ب س رة ة يف ا س ي ن ي ب يز ا ر يف ةم لا ا قم يفةم يفةم ي ة ق بقف دقريم يف ق س ت يفةا م ا يب يف ة يف ق سا مم جن إي جة قجي جن ب ندق جدقريم يفة ي س يف ق سا جدقريم يف س يف ق سا جدقريم ج ا يفل قنقم ن دق ق يفم يفةا جدقريم ق ا س ي ة ق بةنا ا يم يج س يف تس يم ي سة ي م ق يف خة ات لا إ ا ت يفةا لا يف تس يم يف ق س ت يف ق ت دق ي ة ق بة يفةان ت لا يف ي يف ق س ت يف خة ات ي ة ق بة يج سقف جةن ات لا ا يفاي ب ق ةنق س جا يفا ا يفا ا ت ب ند م ف ل س ف يفمه هة يف ة ا رة يف يف نق لق ن يف مقل يفمقف ت لا ي يفةا ريم يإلت ف جم ات جة قج ت جن يف يا يفةم ت يف ةن ات يفةا ياا يفا ا يفا ا ت ب ن يفاي بق سقلت ي ف يفل جم قم يف ي ا يفةم ت يفةا ل ف اقف ل ست يفةان قم يف ه ثت يفة ي س يف لنا ا يف قر ست ج ق إه ا ر لا ا ت يفةم يفةم مم جةا لق د لا قجد ي ة ا يجن ذ فنقج يفاي جازي نق يف ة ناه ي ذ ن ن لق هة جةمت قاة يجإث يف فد د م يفة ل فا ي

7 المتجه ت التهيئة للف سل االأول مقدمة في المتجه ت المتجه ت في الم ستوى االإحداثي ال سرب الداخلي اختب ر منت سف الف سل المتجه ت في الف س ء الثالثي االأبع د 1-5 ال سرب الداخلي وال سرب االتج هي للمتجه ت في الف س ء 9 دليل الدرا سة والمراجعة اختب ر الف سل االإحداثي ت القطبية واالأعداد المركبة التهيئة للف سل الث ني 51-1 االإحداثي ت القطبية 5 - ال سورة القطبية وال سورة الديك رتية للمع دالت 59 - االأعداد المركبة ونظرية ديموافر 8 دليل الدرا سة والمراجعة اختب ر الف سل

8 االحتم ل واالإح س ء التهيئة للف سل الث لث 85 الدرا س ت الم سحية والتجريبية والق ئمة على المالحظة 8-1 معمل الح سبة البي نية: تقويم البي ن ت المن سورة 91 تو سع -1 التحليل االإح س ئي 9 - االحتم ل الم سرو 97 - اختب ر منت سف الف سل االحتم ل والتوزيع ت االحتم لية 10 - التوزيع الطبيعي معمل الجبر: الق نون التجريبي والمئين ت 11 تو سع -5 التوزيع ت ات الحدين 11 - دليل الدرا سة والمراجعة اختب ر الف سل النه ي ت واال ستق ق التهيئة للف سل الرابع 17-1 تقدير النه ي ت بي ني 18 - ح س ب النه ي ت جبري 17 ا ستك س ف - معمل الح سبة البي نية: ميل المنحنى 17 - المم س وال سرعة المتجهة 19 اختب ر منت سف الف سل الم ستق ت 15-5 الم س حة تح المنحنى والتك مل 1 - النظرية االأ س سية في التف سل والتك مل 17 دليل الدرا سة والمراجعة اختب ر الف سل ال سي والرموز

9 المتجه ت Vectors ار ست ي سةم قل سق يف ث ثقم ف يف ث يج ج يفم قم ا يف ةمدقم ت ي هي ت لا ي جن ث دق يج يفثنق ت يفثي ت ي جبمقا يج ه ج سا جةم ا جةم ي يجإة جةمد ق بق سةم قل جةمد ا يف هة يج ه يف س يفهي ا يفزي ت ب ن جةمد ن لا ي جن ت ي هي ت يفثنق ت يفثي ت ي جبمقا يج ه يف س ي مق ا ف ةمد ن لا يفا سقض يج سةم يف س يفا ق سا يفثي ا مقا م جة يز قم يف سا ري سة: سةم يف ةمدقم فن جت ج ي ق ت ل ثي ن ي سةم قفدق فة ه ه ج س ت رجق رج إت ي مق س ات ا ي ذي رإ س ي ف ي ج ق ب س ات رج m/s يف ج ب س ات بزي ت 0m/s جاهير ق 0 جا ي جلاا قراءة س بقة: ي يج انق ن يفهر س يف ا ايم ي ج سق س ت لا ي يفا س ي سةم دق ف ةنل ب ق يفا س لا ي سةةم 8 الف سل 1 يف ةمدقم

10 التهيئة للف سل 1 ت سخي س اال ستعداد: نق به ين ف ةقجإه جن يف ةا لقم يف سقبات 1 يج ان يج س ت ي ةلقر يف س ا ي ا أوجد المسافة بين كل زوج من النقاط اآلتية ثم أوجد إحداثي ي نقطة منتصف القطعة المستقيمة الواصلة بينهما. (1, ), (-, ) (-5, ), (-5, 8) (, -9), (-, -7) (-, -1), (-, -8) أوجد قيمة في كل مما يأتي مقر با ا الناتج إلى أقرب ع شر )1 ) ) ) )5 ) )7 )8 )9 ب لون: أ طلق بالون يحتوي على هواء ساخن في الفضاء. إذا كان البالون مربوطا ا بحبلين مشدودين يمسك بكل منهما شخص يقف على سطح األرض والمسافة بين الشخصين 5 ft بحيث كان قياس الزاوية بين كل من الحبلين واألرض 0 فأوجد طول كل من الحبلين إلى أقرب جزء من عشرة. يج س ت د ت ي سقل ت ا يف ا مراجعة المفردات سيغة الم س فة في الم ستوى االإحداثي (Distace Formula i The Coordiate Plae) يف سقلت ب ن يفنااة ن ) ا A( 1, 1 ), B(, AB = ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ ( - 1 ) + ( - 1 ) سيغة اإحداثي ي منت سف قطعة م ستقيمة في الم ستوى االإحداثي Plae) (Midpoit Formula i The Coordiate ي ذي إقن ) 1 B(, ) A( 1, لق ن ي هي ا ناات جنة س AB: M ( 1 +, 1 + ) الن سبة المثلثية Ratio) (Trigoometric ن سلت اقرن ب ن ف ا س م ن لا يف ث يفاق يفزي ت الزاوية المر سومة في الو سع القي سي (Agle i Stadard Positio) ن يفزي ت يف س جت لا يف سة ي هي ا لا يف سا يفا ق سا ي ذي إقن ريج سدق ناات ي ج س يج ه س م دق جنال ا يفمزض يف ج جن يف ر الدوال المثلثية للزواي (Trigoometric Fuctios of Agels) فة ن θ زي ت ج س جت لا يف سا يفا ق سا اا يفناات ) )P, ا س ا ينةدق دق بق سةم قل ن ت ل ثق ر س ن ي مقا r )يف سقلت جن يفناات P ي ف ناات ي ج س ( بق سةم قل يف س غت ن r = ÇÇÇÇ + يفه يل يف ث ث ت يف ست ف زي ت θ جم لت إ ق قج ا P(, ) r θ si θ = r cos θ = r ta θ =, 0 csc θ = r, 0 sec θ = r, 0 cot θ =, 0 الف سل 1 يفةد ت ف ا س 9

11 في المتجه ت مقدمة Itroductio to Vectors المحاولة الناجحة لتسجيل هدف في كرة القدم تعتمد على عدة عوامل منها سرعة الكرة بعد ضربها واتجاه حركتها. ويمكنك وصف كل من هذين العاملين باستعمال كمية واحدة ت سمى متجها ا. الكمي ت القي سية والكمي ت المتجهة يمكن وصف الكثير من الكميات الفيزيائية مثل الكتلة بقيمة عددية واحدة وعندئذ ت سمى كم ية قياسية (عددية) ويدل هذا العدد على مقدار الكمية أو قياسها. أما الكمية ال مت جهة فهي كمية لها مقدار واتجاه فمثلا سرعة الكرة المتجهة نحو المرمى جنوبا ا تمثل كل من: مقدار سرعة الكرة واتجاه حركتها. 1 حد د الكميات المتجهة والكميات القياسية (العددية) في كل مما يأتي: a( يسير قارب بسرعة 15 mi / h في اتجاه الجنوب الغربي. بما أن لهذه الكمية اتجاها ا إذن هي كمي ة متجه ة. b( يسير شخص على قدميه بسرعة 75 m / mi جهة الغرب. بما أن لسرعة الشخص قيمة هي 75 m/mi واتجاها ا للغرب لذا فهي كمية متجهة.. 0 km قطعت سيارة مسافة قدرها c( بما أن لهذه الكمية قيمة وهي 0 km وليس لها اتجاه إذن هذه المسافة كمية قياسية. تحق من فهم حد د الكميات المتجهة والكميات القياسية (العددية) في كل مما يأتي: 1A( تسير سيارة بسرعة 0 mi / h وبزاوية 15 جهة الجنوب الشرقي mi / h هبوط مظل ي رأسي ا إلى أسفل بسرعة 1B(. 5 cm طول قطعة مستقيمة )1C ار ست ي سةم قل سق يف ث ثقم لا يف ث ) جدقرة سقبات ( يج يفم قم ا يف ةمدقم بق سةم قل جا ق س يف س يج ث دق نه س ق يج يف ةم ي ف ج إلة يف ةمقجه ن يج ج سق ال ا ت ا يف ةمدقم إ ت ق س ت )اها ت( solar quatit يف ت يف ةم دت vector quatit جةم vector ناات يفلهي ت iitial poit ناات يفندق ت termial poit امت ج سةا ت جةمدت directed lie segmet يف سا يفا ق سا stadard positio ي مق يف ةم directio ل يف ةم )يف اهير( magitude ي مق يف بما quadrat bearig ي مق يف ا اا true bearig يف ةمدقم يف ة يز ت parallel vectors يف ةمدقم يف ة سق ت equal vectors جم س يف ةم opposite vector يف س ت resultat يف ث قاهة triagle method ي ج سي جة يز قاهة parallelogram method يف ةم يف سا zero vector يف إلقم compoets يف إلقم يف ةمقجهة rectagular compoets تحديد الكمي ت المتجهة المتجه ت: يمكن تمثيل الكمية المتج هة بسهم ي ظهر كل من المقدار واالتجاه ويسمى هذا التمثيل متجها ا. ويمث ل الشكل المجاور المتجه الذي له نقطة البداية A ونقطة النهاية B. ويرمز لهذا المتجه بالرمز AB ÆÆÆ أو a أوa. أما ط ول المتجه فهو مقدار المتجه ويمثله طول القطعة المستقيمة ويتناسب مع مقدار الكمية المتج هة ففي الشكل المجاور إذا كان مقياس الرسم هو 1 cm = 5 ft/s فإن طول المتجه a وي رمز له بالرمز a يساوي 5. أو. 1 ft/s يكون المتجه في الوض ع القياسي. إذا كانت نقطة بداية المتجه هي نقطة األصل ويعب ر عن ات جاه المتجه بالزاوية التي يصنعها مع االتجاه األفقي )االتجاه الموجب للمحور (. فمثلا : اتجاه المتجه a هو 5. A a A a 5 1 cm = 5 ft/sec B B 10 الف سل 1 يف ةمدقم

12 ويمكن التعبير عن اتجاه المتجه أيضا ا باستعمال زاوية االت جاه الربعي φ وت قرأ فاي وهي زاوية قياسها بين 0 و 90 شرق أو غرب الخط الرأسي )خط شمال جنوب(. فمثلا زاوية االتجاه الربعي للمتجه v في الشكل المجاور هي 5 جنوب شرق وت كتب. S 5 E كما يمكن استعمال زاوية االتج اه الحقيقي حيث ت قاس الزاوية مع عقارب الساعة بدءا ا من الشمال. وي قاس االتجاه الحقيقي بثلثة أرقام فمثلا ي كتب االتجاه الذي يحد د زاوية قياسها 5 من الشمال مع عقارب الساعة باستعمال االتجاه الحقيقي على الصورة 05. استعمل مسطرةا ومنقلةا لرسم متجه لكل من الكميات اآلتية واكتب مقياس الرسم في كل حالة: W N φ S 15 v E a = 0 ft /s )a باتجاه 00. استعمل مقياس الرسم 1 cm = 10 ft/s وارسم سهما ا طوله 10 0 أو cm بزاوية قياسها 0 من الشمال وفي اتجاه عقارب الساعة. زاوية االتج الحقيقي ي ذي يج ااا ق س زي ت بثي ت يجر ق ف م يج ج إلقم ي مق ت ي سقل ت لق ندق زي ت ي مق ا اا ل ثي زي ت ي مق يف ا اا ف ةم v لا يفتس يف مق ر ا 15 تمثيل المتج هند سي W N 0 S a 1 cm = 10 ft/s E النيوتن هة فا ق س يفا ة جز ف بقف ف N القرة ان يفا ة يفةا لا ج س إة ة 1 kg فة سل سقرا ق جاهير 1 m/ s v 1 cm = 5 N 10 v = 75 N )b بزاوية قياسها 10 مع االتجاه األفقي. استعمل مقياس الرسم 1 cm = 5 N وارسم سهما ا طوله 5 75 أو cm في الوضع القياسي وبزاوية قياسها 10 مع االتجاه الموجب للمحور. W. S 0 W باتجاه z = 0 mi / h )c استعمل مقياس الرسم 1 i = 0 mi / h وارسم سهما ا طوله = 1.5 i 0 0 بزاوية قياسها 0 في اتجاه جنوب غرب. تحق من فهم استعمل مسطرة ومنقلة لرسم متجه لكل من الكميات اآلتية واكتب مقياس الرسم في كل حالة: z 1 i = 0 mi/h 0 N S E t = 0 ft/s )A باتجاه 05.. S 5 E باتجاه u = 15 mi/h )B m = 0 N )C بزاوية قياسها 80 مع االتجاه األفقي. الطول يف ةم ل ث يجن ن ج سقلت يج س ات يج ة س ات ةم يف جث ي ذي لق ن ف ث يف سقلت يف اا ات a b عند إجرائك العمليات على المتجهات فإنك تحتاج إلى األنواع الشائعة اآلتية من المتجهات: المتجه ات المتوازية لها االتجاه نفسه أو اتجاهان متعاكسان وليس بالضرورة أن يكون لها الطول نفسه. فمثلا في الشكل المجاور. a ǁ b ǁ c ǁ e ǁ f المتج هات المتساوية لها االتجاه نفسه والطول نفسه. ففي الشكل المجاور,a c لهما الطول واالتجاه نفساهما لذا هما متساويان ويعب ر عنه بالرموز: a. = c الحظ أن a b ألن b a و a d ألن لهما اتجاهين مختلفين. c e f d معكوس المتجه هو متجه له طول المتجه a ولكنه في اتجاه معاكس له ويكتب على الصورة a- ففي الشكل المجاور. e = -a الدر س جاهجت لا يف ةمدقم 11

13 عند جمع متجهين أو أكثر يكون الناتج متجها ا و يسمى المح ص لة. ويكون لمتجه المحص لة التأثير نفسه الناتج عن تأثير المتجهين األصليين عند تطبيقهما واحدا ا تلو اآلخر. ويمكن إيجاد المحص لة هندسي ا باستعمال قاع دة المثلث أو قاعدة متو ازي األضالع. اإيج د المح سلة ق عدة المثلث ق عدة متوازي االأ سال a b a, b يف ةمد ن ت ج س مقا ي لا يفخا ن ي ة ن a, b يف ةمد ن ت ج س مقا ت ي يفخا يم ي لا a b b الخطوة 1 يج ين س قب ق ف ةم b ب ةاا ناات بهي ة جا ناات ندق ت يف ةم a الخطوة 1 يج ين س قب ق ف ةم b ب ةاا ناات بهي ة جا ناات بهي ت يف ةم. a a b a b a a + b الخطوة ج س ت يف ةمد ن a, b ا يف ةم يف س جن ناات بهي ت a ي ف ناات ندق ت b الخطوة يجإ ر س جة يز ي ج سي يف. a, b س مق الخطوة ج س ت يف ةمد ن ا يف ةم يف ث ا جة يز ي ج سي a a + b b اإيج د مح سلة متجهين ري سة الم سي: قطع عبد الل ه في سباق للمشي مسافة 10 m باتجاه N 50 E ثم مسافة 80 m في اتجاه الشرق. كم يبع د عبد الله عن نقطة البداية وما هي زاوية االتجاه الربعي افترض أن المتجه p يمث ل المشي 10 m في االتجاه N 50 E وأن المتجه q يمث ل المشي 80 m باتجاه الشرق. ارسم شكلا يمث ل p, q باستعمال مقياس الرسم. 1cm = 50 m استعمل مسطرة ومنقلة لرسم سهم طوله =. cm ويصنع زاوية قياسها 50 شمال شرق لي مث ل المتجه p وارسم سهما ا آخر طوله = 1. cm في اتجاه الشرق لي مث ل المتجه q. N p 50. cm E 1 cm = 50 m N q 1. cm E المح سلة مقا ج س ت يجإث جن جةمد ن بق سةم قل قاهة جة يز ي ج سي ز ي اقاة يف س يجإث جن ج ة ف ي جن ي ج سد لا يف قفت ي سةم قل ات جتسقبدت فاقاهة يف ث ذف ب سا ناات بهي ت جةم انه ناات ندق ت يف ةم يف سلا ي قاعدة المثلث الطريقة قاعدة متوازي األضلع الطريقة 1 v 1 v v اعمل انسحابا ا للمتجه q بحيث تلتقي نقطة بدايته مع نقطة نهاية المتجه p ثم ارسم متجه المحصلة p + q كما في الشكل أدناه. p p + q q اعمل انسحابا ا للمتجه q بحيث تلتقي نقطة بدايته مع نقطة بداية p ثم أكمل متوازي األضلع وارسم قطره الذي يمث ل المحصلة p + q كما في الشكل أدناه. p q p + q نحصل في كلتا الطريقتين على متجه المحصلة p + q نفسه. ق س طول p + q باستعمال المسطرة ثم ق س الزاوية التي يصنعها هذا المتجه مع الخط الرأسي كما في الشكل المجاور. تجد أن طول المتجه يساوي.7 cm تقريبا ا وي مث ل = 185 m وعليه يكون عبد الله على ب عد 185 m من نقطة البداية باتجاه. N E N p + q.7 cm 1 cm = 50 ft E v 1 + v + v ان سح ب المتج انهجق م ين س ق ف ةم جق لق ن ر س جةم ي ف يفا ل ي مق نا سق ق ف ي لد ق جة سق قن 1 الف سل 1 يف ةمدقم

14 تحق من فهم أوجد محصلة كل زوج من المتجهات اآلتية مستعمالا قاعدة المثلث أو متوازي األضالع. ثم حد د اتجاهها بالنسبة لألفقي. a b )B )A v w C( لعبة اأطف ل: رمى طفل كرةا صغيرةا في لعبة مخصصة لألطفال بسرعة 7 i/s باتجاه 10 فارتدت باتجاه 055 وبسرعة. i/s أوجد مقدار محصلة حركة الكرة واالتجاه الحقيقي لها. )قرب طول المحصلة إلى أقرب بوصة واالتجاه إلى أقرب درجة( عند جمع متجهين متعاكسين لهما الطول نفسه فإن المحصلة هي المتج ه الصفري.ويرمز له بالرمز 0 أو 0 وطوله صفر وليس له اتجاه. وعملية طرح المتجهات تشبه عملية طرح األعداد. إليجاد p - q اجمع معكوس q إلى p أي أن:( q -). p - q = p + و كذلك يمكن ضرب المتجه في عدد حقيقي. a -a a + (-a) = 0 ي ذي س يف ةم v لا اها ا اا نة k يف ةم k v يف يز يف ةم ن v ل يف ةم k v k بق يسقرة ا ي مق ه ة k v ي ذي إقنت > 0 k لق ن ي مق k v ي مق v نا س ي ذي إقنت < 0 k لق ن ي مق k v ا س ي مق. v المتجه ت المتوازية في االتج نف س ج س ت جةمد ن يج يجإث فدق ي مق نا س جةم ف يج يل جم سق يف ةمدقم ي مق ي مق يف ةمدقم ي ج س ت نا س سرب المتج في عدد حقيقي a m/sec a + b 5 m/sec b m/sec kا يج يفا ت يف ا ات ف مها يف ا اا k v يف ةم ل ث v - ارسم المتجه - حيث, متجهان كما في الشكل المجاور. ثم مث ل المتجه + أعد كتابة المتجه - على صورة حاصل جمع متجهين ) (- برسم متجه طوله أمثال المتجه وباالتجاه نفسه كما في الشكل ارسم متجها ا طوله طول وفي اتجاه معاكس التجاه كما في ولتمثيل المتجه الشكل 1.1. ثم استعمل قاعدة المثلث لرسم متجه المحصلة كما في الشكل تحق من فهم ال سكل ال سكل 1.1. ال سكل ارسم المتجه الذي ي مث ل كال مما يأتي : m - 1 p )B a - c + b )A p العملي ت على المتجه ت المتجه ن المتوازي ن المتع ك س ن ج س ت جةمد ن جة يز ن جةمقإ س ن جةم ف سق يفا ت يف ا ات ف ا ا ب ن فا يف ةمد ن ةم يف ي مق ي مق ي جإل a 7d b d a + b d m a b c الدر س جاهجت لا يف ةمدقم 1

15 تطبيق ت المتجه ت: ي سمى المتجهان الل ذان ناتج جمعهما المتجه r مركب تي. r ومع أن مركبتي المتجه يمكن أن تكونا في أي اتجاه إال أنه من المفيد غالبا ا تحليل المتجه إلى مركب تين متعامدتين واحدة أفقية واألخرى رأسية. ففي الشكل المجاور يمكن اعتبار القوة r المبذولة لسحب العربة بصفتها مجموع مركبتين هما أفقية تحرك العربة إلى األمام ورأسية تسحب العربة إلى أعلى. ق س الع سب: يدفع علي عربة قص العشب بقوة مقدارها 50 N وبزاوية قياسها 5 مع األفقي (سطح األرض). a( ارسم شكالا يوض ح تحليل القوة التي يبذلها علي إلى مركبتين متعامدتين. يمكن تحليل قوة الدفع إلى مركبتين أفقية إلى األمام ورأسية إلى أسفل كما في الشكل أدناه. 50 N 5 b( أوجد مقدار كل من المركبتين األفقية والرأسية للقوة. r 5 تحليل القوة اإلى مركبتين متع مدتين 50 N 5 يف د بقض جاةق ا يف سغ ةا N جاهير ق ة يف س ض يسمقل يفا ة يفةا بدق يفمقذب ت ي جر س ت لا يفتسخ س مقال ق ل ا 00 N يفا ة يف ل فت جن ا رلا يج اقل ا ل ق 000 N سق يف سهر Cotemporar College Phsics تكو ن كل من القوة ومركبتاها األفقية والرأسية مثلثا ا قائم الزاوية. استعمل تعريف الجيب أو جيب التمام إليجاد مقدار كل قوة منهما. si 5 = 50 = 50 si 5 7 يفة ق ج يفم م ي ف بقفن سلت ي سةم ي فت يف ق سلت cos 5 = 50 = 50 cos 5 5 مقدار المركبة األفقية 5 N تقريبا ا ومقدار المركبة الرأسية 7 N تقريبا ا. تحق من فهم 5( كرة قدم: يركل الع ب كرة قدم من سطح األرض بسرعة مقدارها ft/s وبزاوية قياسها مع سطح األرض كما في الشكل أدناه. ft/sec A( ارسم شكلا يوض ح تحليل هذه السرعة إلى مركبتين متعامدتين. B( أوجد مقدار كل من المركبتين األفقية والرأسية للسرعة. 1 الف سل 1 يف ةمدقم

16 حد د الكميات المتجهة والكميات القياسية في كل مما يأتي: )مثال 1( ركوب الزوارق: غادر زورق أحد المواني باتجاه N 0 W فقطع مسافة 1 ميلا بحري ا ثم غي ر قائد الزورق اتجاه حركته إلى N 5 E فقطع مسافة 15 ميلا بحري ا. أوجد ب عد الزورق واتجاه حركته في موقعه الحالي بالنسبة إلى الميناء. )مثال ) حد د مقدار المحصلة الناتجة عن جمع المتجهين واتجاهها في كل مما يأتي: )مثال ) 18 N لألمام ثم 0 N للخلف. )17 )18 )1 طول محمد. 15 cm ) مساحة مربع.0 m ( يركض غزال بسرعة 15 m/s باتجاه الغرب. ( المسافة التي قطعتها كرة قدم. 5 m 100 m للشمال ثم 50 m للجنوب. )19 5( إطار سيارة وزنه 7 kg معلق بحبل. 17 mi شرقا ا ثم 1 mi جنوبا ا. )0 ( رمي حجر رأسي ا إلى أعلى بسرعة. 50 ft/s 15 m/ s باتجاه زاوية قياسها 0 مع األفقي ثم 9.8 m/ s إلى األسفل. )1 استعمل المسطرة والمنقلة لرسم متجه لكل من الكميات اآلتية ثم اكتب مقياس الرسم في كل حالة. )مثال ( استعمل المتجهات اآلتية لرسم متجه يمث ل كل عبارة مما يأتي: )مثال ) h = 1 i/s باتجاه 05 N 70 W باتجاه g = km/h )7 )8 m p j = 5 ft/s وبزاوية قياسها 00 مع األفقي. )9 d = 8 km وبزاوية قياسها 5 مع األفقي. )10 m - ) S 55 E باتجاه R = 0 m ) p ) = m/s باتجاه 00 )1 p + - m m p ) )5 أوجد محصلة كل زوج من المتجهات اآلتية باستعمال قاعدة المثلث أو قاعدة متوازي األضالع قر ب المحصلة إلى أقرب جزء من عشرة من السنتمتر ثم حد د اتجاهها بالنسبة لألفقي مستعمالا المسطرة والمنقلة: )مثال ) ارسم شكالا يوض ح تحليل كل متجه مما يأتي إلى مركبت يه المتعامدتين ثم أوجد مقدار كل منهما. )مثال 5( d ) 1 ) 1 a 1 باتجاه 10 مع األفقي. 8 i/s ) c b.n 9 E باتجاه 1.5 cm )7 باتجاه 55. i/mi )8 m ) 1 ) 15 h k الدر س تاهجتملا يف ةمدقم 15

17 تنظيف: يدفع حسن عصا مكنسة التنظيف بقوة مقدارها 190 N وبزاوية قياسها مع سطح األرض كما في الشكل المجاور. )جثقل 5( أوجد طول واتجاه المتجه الموازن للمتجهين: a = 15 mi/h باتجاه 15 b = 1 mi/h باتجاه 05 ) 190 N )9 a( ارسم شكلا يوض ح تحليل هذه القوة إلى مركبتيها المتعامدتين. b( أوجد مقدار كل من المركبة األفقية والمركبة الرأسية. لعب اأطف ل: يدفع محمد عربة أخته بقوة مقدارها 100 N وباتجاه 1 مع األفقي أوجد مقدار المركبة الرأسية للقوة إلى أقرب عدد صحيح. تمثيالت متعددة: في هذه المسألة ستستقصي ضرب متجه في عدد حقيقي. كرة حديدية: ع ل قت كرة حديدية بحبلين متساويين في الطول كما في الشكل أدناه ) T 1 + أعد رسم الشكل باستعمال قاعدة المثلث لتجد T a( )0 )1 a( بي ني : ارسم المتجه a على المستوى اإلحداثي بحيث تكون نقطة بدايته عند نقطة األصل. واختر قيمة عددية ل k ثم ارسم متجها ا ناتجا ا عن ضرب k في المتجه األصلي على المستوى اإلحداثي نفسه. وكر ر العملية مع أربعة متجهات أخرى,d,b,c e واستعمل قيمة k نفسها في كل مرة. b( جدولي : انسخ الجدول أدناه في دفترك ثم اكتب البيانات المناسبة داخله لكل متجه رسمته في الفرع a. b( استعمل الشكل في الفقرة a وحقيقة أن محصلة T 1 + T هي المتجه الموازن لوزن الكرة لحساب مقدار كل من T 1, T أوجد طول كل متجه واتجاهه مما يأتي بمعلومية مركبت يه األفقية والرأسية والمدى الممكن لزاوية كل منها: ) األفقية 0. i الرأسية < θ < i 90. )5 األفقية.1 ft الرأسية < θ < 90. ft 0. نقطة النه ية للمتج م سروب في العدد k نقطة النه ية للمتج المتج a ) األفقية. cm الرأسية < θ < cm 70. b c d e c( تحليلي : إذا كانت ) b (,a نقطة النهاية للمتجه a فما إحداثيات نقطة النهاية للمتجه k a ارسم ثالثة متجهات,a,b c لتوضح صحة كل خاصية من الخصائص اآلتية هندسي ا: الخاصية اإلبدالية a + b = b + a الخاصية التجميعية c) (a + b) + c = a + (b + )7 )8 المتج الموازن هو متجه يساوي متجه المحصلة في المقدار ويعاكسه في االتجاه بحيث إن ناتج جمع متجه المحصلة مع المتجه الموازن يساوي المتجه الصفري والمتجه الموازن للمتجه a + b هو -(a + b) b )9 الخاصية التوزيعية k(a + b) = k a + k b حيث - 0.5, =, k a -(a + b) 1 الف سل 1 يف ةمدقم

18 م س ألة مفتوحة: لديك متجه مقداره 5 وحدات باالتجاه الموجب لمحور حل ل المتجه إلى مركبتين متعامدتين على أال تكون أي منهما أفقية أو رأسية. تبرير: حد د ما إذا كانت العبارة اآلتية صحيحة أحيانا ا أو صحيحة دائما ا أو ليست صحيحة أبدا ا وبر ر إجابتك. من الممكن إيجاد مجموع متجهين متوازيين باستعمال طريقة متوازي األضلع. تبرير: بفرض أن: b a + b a + a( عب ر عن هذه العبارة بالكلمات. b( هل هذه العبارة صحيحة أم خاطئة بر ر إجابتك. اكت شف الخط أ: حاول كل من حسين ومصطفى إيجاد محصلة المتجهين. a, b أيهما كانت إجابته صحيحة بر ر إجابتك. ح ل المثلث اآلتي مقر با ا الناتج إلى أقرب ع شر إذا لزم ذلك. )مهارة سابقة( A 1 B 110 ح ل المعادلة: 0 = si - cos لجميع قيم. )مهارة سابقة( b a 8 C )9 )50 )51 )5 نزهة: قام حسان بنزهة خارج مخيمه الكشفي فقطع مسافة.75 km في اتجاه الشرق من المخيم حتى وصل أحد المساجد ثم سار شماالا قاصدا ا حديقةا عامةا فقطع مسافة 5. km حد د موقع الحديقة بالنسبة للمخيم طارت طائرة لعبة تسير باستعمال جهاز التحكم عن ب عد بزاوية قياسها مع األفقي وبسرعة 8 ft/s كما في الشكل أدناه. أي مما يأتي ي مث ل مقدار المركبتين األفقية والرأسية لسرعة الطائرة على الترتيب a b a )0 )1 ) ) a + b b a + b 8 ft/sec تبرير: هل من الممكن أن يكون ناتج جمع متجهين مساويا ا ألحدهما بر ر إجابتك. ) 5. ft/s, 0.7 ft/s A اكتب: قارن بين قاعدت ي متوازي األضلع والمثلث في إيجاد محصلة متجهين. )5 0.7 ft/s, 5. ft/s B 5. ft/s, 90. ft/s C 90. ft/s, 5. ft/s D 0 10 أوجد قيمة في كل مما يأتي مقر با ا الناتج إلى أقرب ع شر إذا لزم ذلك. )مهارة سابقة( ) ) 8 ) الدر س تاهجتملا يف ةمدقم 17

19 في الم ستوى االإحداثي المتجه ت Vectors i the Coordiate Plae تؤث ر الرياح في سرعة الطائرة واتجاه حركتها لذا يستعمل قائد الطائرة مقاييس مدر جة لتحديد السرعة واالتجاه الذي يجب على الطائرة السير فيه لمعادلة أثر الرياح وعادة ما يتم إجراء هذه الحسابات باستعمال المتجهات في المستوى اإلحداثي. المتجه ت في الم ستوى االإحداثي في الدرس 1-1 تعلمت إيجاد طول )مقدار( المحص لة واتجاهها لمتجهين أو أكثر هندسي ا باستعمال مقياس رسم. وبسبب عدم دقة الرسم فإننا نحتاج إلى طريقة جبرية باستعمال نظام اإلحداثيات المتعامدة للمواقف التي تحتاج إلى دقة أكثر أو التي تكون فيها المتجهات أكثر تعقيدا ا. ويمكن التعبير عن P ÆÆÆ في الوضع القياسي في المستوى اإلحداثي كما في الشكل 1..1 بصورة وحيدة وذلك بإحداثي ي نقطة نهايته (. P(, وهذه الصورة هي, حيث إن, هما المركبتان المتعامدتان ل P ÆÆÆ لذا ت سمى, الص ورة اإلحداثية للمتجه. t p v w ال سكل 1.. P ال سكل 1..1 P(, ) وحيث إن المتجهات التي لها الطول واالتجاه نفساهما متساوية فإنه بإمكاننا التعبير عن كثير من المتجهات باإلحداثيات نفسها فمثلا المتجهات,p,t,v w في الشكل 1.. متساوية إذ يمكن التعبير عن أي منها بالصورة, وإليجاد الصورة اإلحداثية لمتجه مرسوم في وضع غير قياسي استعمل إحداثيي نقطت ي بدايته ونهايته. يف س رة ي هي ت ف AB ÆÆÆ يف ناات بهي ة ناات A( 1, 1 ) ندق ة ا B(, ) - 1, - 1 ار ست يفم قم ا يف ةمدقم بق سةم قل جا ق س يف س ) يفهر س -1 (1 يج ج يفم قم ا يف ةمدقم لا يف سة ي هي ا يج ث دق ب قن ق يجإة يف ةم بق سةم قل جةمد ا يف هة يف س رة ي هي ت compoet form جةم يف هة uit vector جةمدق يف هة يفا ق س قن ال سورة االإحداثية لمتج A( 1, 1 ) - 1 B(, ) - 1 stadard uit vectors يل اا liear combiatio أوجد الصورة اإلحداثية ل ÆÆÆ AB الذي نقطة بدايته ( -)A, ونقطة نهايته (5-,)B. AB ÆÆÆ = - 1, - 1 = - (-), -5 - تحق من فهم يف س رة ي هي ت ( 1, 1 ) = (-, ), (, ) = (, -5) -7 7, = ب س 1 التعبير عن المتج ب ل سورة االإحداثية أوجد الصورة اإلحداثية ل ÆÆÆ AB الم عطاة نقطتا بدايته ونهايته في كل مم ا يأتي: A(0, 8), B(-9, -) )1B A(-, -7), B(, 1) )1A 18 الف سل 1 يف ةمدقم

20 يمكن إيجاد طول المتجه في المستوى اإلحداثي باستعمال قانون المسافة بين نقطتين. ( 1, 1 ) v - 1 (, ) - 1 ي ذي إقن v جةمد ق ناات بهي ة ناات ( 1, 1 ) ندق ة (, ) لق ن ل ما v بقف س غت v = ÇÇÇÇÇÇÇÇÇ ( - 1 ) + ( - 1 ) لق ن v ةم ف ت ي هي يف س رة ا,a b إقنت ي ذي المعي ر س جاهير يف ةم يج قن ق جم قر يف ةم طول المتج في الم ستوى االإحداثي v = ÇÇÇ a + b طول متج اإيج د أوجد طول ÆÆÆ AB الذي نقطة بدايته (,-)A ونقطة نهايته (5-,)B. قن ن يف سقلت ب ن نااة ن ( 1, 1 ) = (-, ), (, ) = (, -5) ب س AB ÆÆÆ = ÇÇÇÇÇÇÇÇÇ ( - 1 ) + ( - 1 ) = ÇÇÇÇÇÇÇÇÇ [ - (-)[ + (-5 - ) = Ç التحق علمت من المثال 1 أن: -7 7, = ÆÆÆ AB وعليه فإن: AB ÆÆÆ = ÇÇÇÇÇ 7 + (-7) = Ç 98 تحق من فهم أوجد طول ÆÆÆ AB المعطاة نقطتا بدايته ونهايته في كل مم ا يأتي: A(0, 8), B(-9, -) )B A(-, -7), B(, 1) )A تشبه عمليات الضرب في عدد حقيقي والجمع والطرح على المتجهات العمليات نفسها على المصفوفات. العملي ت على المتجه ت ي ذي إقن a = a 1, a, b = b 1, b جةمد ن k اها ي ا ا ق لق ن a + b = a 1 + b 1, a + b جمع متجهين a - b = a 1 - b 1, a - b طرح متجهين k a = k a 1, k a حقيقي عدد في متج سرب أوجد كال مما يأتي للمتجهات 1 -, = c : a =, 5, b = -, 0, c + a )a ا س يج ا يف ةمد ن يجاه إةقبت يفا إم ت ج ا ا س ي س جةمد ق لا اها ا اا يج ا جةمد ن c + a = -, 1 +, 5 = - +, = -, b - a )b b - a = b + (-)a = -, 0 + (-), 5 = -, 0 + -, -10 = -7, -10 تحق من فهم العملي ت على المتجه ت أوجد كال مما يأتي للمتجهات: 1 -, = c : a =, 5, b = -, 0, c + a - b )C -c )B c + b )A التحق بي ني ن يفة ا ب قن ق جن ي جقبت جثقل يفا a ي سةم قل جة يز قاهة ات ي ج سي إ ق لا يفتس يجانق (-, 1) (-, ) (, 5) الدر س - 1 يف ةمدقم لا يف سة ي هي ا 19

21 يس مى المتجه الذي طوله 1 متجه الوحدة ويرمز له بالرمز u ولا يجاد متجه الوحدة u الذي له نفس اتجاه المتجه v اقسم المتجه v على طوله v. u = v v = 1 v v وبذلك يكون v. u = v ونكون قد ع برنا عن المتجه غير الصفر ي v في صورة حاصل ضرب متجه وحدة بنفس اتجاه v في عد د حقيق ي. ا وجد متجه الوحدة u الذي له نفس اتجاه,- = v. v u = 1 v v a, b = a + b = 1 -, -, 1 = (-) -, + = 1 -, 1 = = -, 1 1-1, ( ) بما ا ن u تمثل حاصل ضرب v في عدد موجب فا ن له اتجاه v نفسه. تح قق من ا ن طول u هو. 1 u = ( - 1 ) + ( 1 ) = = 1 = 1 ا وجد متجه الوحدة الذي له نفس اتجاه المتجه ال معطى في ك ل م ما يا تي: = -, -8 (B w =, - (A يرمز لمتجهي الوحدة بالاتجاه الموجب لمحور والاتجاه الموجب لمحور بالرمزين 1 0, = j i = 1, 0, على الترتيب كما في الشكل. 1.. كما يس مى المتجهان i, j مت ج هي الوحدة القياسيين. bj ai v = a, b ويمكن استعمال هذين المتجهين للتعبير عن ا ي متجه b v =,a على الصورة v = a i + b j كما في الشكل 1.. وذلك لا ن: v = a, b = a, 0 + 0, b = a 1, 0 + b 0, 1 1 j i 1 1, 0 = i, 0, 1 = j = a i + b j i i i i i 1 0

22 تسمى الصورة a i + b j تواف قا ا خطي ا للمتجهين. i, j وي قصد بها كتابة المتجه بداللة متجه ي الوحدة i, j إذا كانت نقطة بداية المتجه ÆÆÆ DE هي ) D(-, ونقطة نهايته 5) E(, فاكتب ÆÆÆ DE على صورة توافق خطي لمتجه ي الوحدة. i, j أوالا أوجد الصورة اإلحداثية ل. DE ÆÆÆ 5 كت بة متج على سورة تواف خطي لمتجه ي الوحدة 1 DE ÆÆÆ = - 1, - يف س رة ي هي ت ( 1, 1 ) = (-, ), (, ) = (, 5) ب س = - (-), 5 - =, ثم أعد كتابة المتجه على صورة توافق خطي لمتجه ي الوحدة. يف س رة ي هي ت a, b = ai + bj DE ÆÆÆ =, = i + j تحق من فهم اكتب المتجه DE ÆÆÆ الم عطى نقطتا بدايته ونهايته على صورة توافق خطي لمتجه ي الوحدة i, j في كل مم ا يأتي : D(-, -8), E(7, 1) )5B D(-, 0), E(, 5) )5A (a, b) v v si θ θ v cos θ ال سكل 1..5 ويمكن كتابة المتجه b v =,a باستعمال زاوية االتجاه التي يصنعها v مع االتجاه الموجب لمحور. فمن الشكل 1..5 يمكن كتابة v على الصورة اإلحداثية أو على صورة توافق خطي لمتجه ي الوحدة,i j كما يأتي: يف س رة ي هي ت ا س,i j جن اا يل v = a, b = v cos θ, v si θ = v (cos θ) i + v (si θ) j أوجد الصورة اإلحداثية للمتجه v الذي طوله 10 وزاوية اتجاهه 10 مع األفقي. يف س رة ي هي ت ف ةم v به فت, v θ cos 10 = - 1 v = 10, θ = 10 Ç, si 10 = ب س v = v cos θ, v si θ = 10 cos 10, 10 si 10 = 10 (- 1 ) = -5, 5 Ç ), 10 ( Ç متج الوحدة سةنة جن يف س رة v = v cos θ, v si θ يجن جةم يف هة يف ف نا س ي مق قج v يف س رة اإيج د ال سورة االإحداثية u = 1 cos θ, 1 si θ = cos θ, si θ (-5, 8.7) v 10 التحق مث ل بياني ا: 8.7-5, v = -5, 5 Ç تجد أن قياس الزاوية التي يصنعها v مع االتجاه الموجب لمحور هي 10 كما في الشكل المجاور v = ÇÇÇÇÇÇ (-5) + (5 Ç ) = 10 تحق من فهم أوجد الصورة اإلحداثية للمتجه v الم عطى طوله وزاوية اتجاهه مع األفقي في كل مم ا يأتي : v =, θ = 10 )B v = 8, θ = 5 )A الدر س - 1 يف ةمدقم لا يف سة ي هي ا 1

23 من الشكل (1..5) تستنتج أنه يمكن إيجاد زاوية اتجاه المتجه b v =,a مع االتجاه األفقي )الموجب لمحور (. ta θ = b a v si θ = θ ta أو بح ل المعادلة المثلثية: v cos θ 7 زواي االتج للمتجه ت (, 7) ال سكل 1.. ال سكل 1..7 (, -5) أوجد زاوية اتجاه كل من المتجهات اآلتية مع االتجاه الموجب لمحور. p = i + 7 j )a ي مق جمقافت زي ت ta θ = a b = 7 a =, b = 7 ta θ -1 = ta 7 θ ي ف بقفن سلت θ من خلل الصورة اإلحداثية للمتجه = = 7 فإن المتجه يقع في الربع األول إذن:.8 θ ي سةم ي فت يف ق سلت أي أن زاوية اتجاه المتجه p هي.8 تقريبا ا كما في الشكل. 1.. r =, -5 )b ي مق جمقافت زي ت ta θ = a b a =, b = -5 ta θ = -5 θ ي ف بقفن سلت θ = ta -1 (- 5 من خلل الصورة اإلحداثية للمتجه < 0-5 = = > 0 فإن المتجه يقع في الربع الرابع وبالتالي زاويته -51. θ ي سةم ي فت يف ق سلت بما أن r يقع في الربع الرابع كما في الشكل 1..7 فإن: 08.7 = θ ) ف ت ف جه ta θ زي ةقن جخة اةقن بنق ض ا يفمي ت ta θ = ta(θ + 180) لق ذي إقنت ت ta θ ج جلت لق ن θ زي ت اا لا يف با ي ج ل يج يف با يفثقف ي ذي إقنت ت سقفلت ta θ لق ن θ زي ت اا لا يف با يفثقنا يج يف يبا ن يفمي ت ب ن يفزي ة ن ا يجن ق س ي هي ق القرة ان ق س ي ج ف جم ا ق فدق 180 تحق من فهم أوجد زاوية اتجاه كل من المتجهين اآلتيين مع االتجاه الموجب لمحور. -, -8 )7B -i + j )7A 8 تطبي العملي ت على المتجه ت 5 m/s 0 5 m/s كرة قدم: يركض حارس مرمى في لعبة كرة القدم لألمام بسرعة 5 m/s ليرمي الكرة بسرعة 5 m/s بزاوية 0 مع األفقي. أوجد محصلة السرعة واتجاه حركة الكرة. بما أن اللعب يتحرك لألمام بشكل مستقيم فإن الصورة اإلحداثية لمتجه سرعة اللعب v 1 هي 0,5 وتكون الصورة اإلحداثية لمتجه سرعة الكرة v هي: يف س رة ي هي ت ف ةم v v = 5, θ = 0 ب س v = v cos θ, v si θ = 5 cos 0, 5 si 0 19., 1.1 الف سل 1 يف ةمدقم

24 θ v 1 r v اجمع المتجهين v v 1 جبري ا لتجد متجه محصلة السرعة. r جةم يف س ت r = v 1 + v ا س , + 0 5, = يج ا 1.1., = θ وتكون زاوية اتجاه المحصلة مع األفقي هي. r = ÇÇÇÇÇ طول متجه المحصلة هو حيث: a, b =., 1.1 ta θ = b a θ ي ف بقفن سلت ta θ = 1.1. θ = ta.. أي أن محصلة سرعة الكرة هي 9.1 m/s تقريبا ا وتصنع زاوية قياسها. مع األفقي تقريبا ا. تحق من فهم 8( كرة قدم: أوجد محصلة السرعة واتجاه حركة الكرة إذا تحرك اللعب إلى األمام بسرعة 7 m/s أوجد الصورة اإلحداثية وطول ÆÆÆ AB الم عطاة نقطتا بدايته ونهايته في كل مم ا يأتي: )يف ثق ن,1( أوجد متجه وحدة له اتجاه المتجه v نفسه في كل مم ا يأتي: )جثقل ( v = -, 7 )1 v = 9, - )1 A(-, 1), B(, 5) )1 v = -8, -5 )15 A(, -7), B(-, 9) ) v =, )1 A(10, -), B(, -5) ) v = -1, -5 )17 A(-, ), B(1, 10) ) v = 1, 7 )18 A(.5, -), B(-, 1.5) )5 اكتب ÆÆÆ DE الم عطاة نقطتا بدايته ونهايته في كل مم ا يأتي على صورة توافق خط ي لمتجه ي الوحدة : i, j )جثقل ) 5 D(, -1), E(5, -7) D(9, -), E(-7, ) D(, 11), E(-, -8) D(9.5, 1), E(0, -7.) D(-, -), E(9, 5) D ( 1 8, ), E (-, 7) )19 )0 )1 ) ) ) A ( 1, -9 ), B (, 5 ) إذا كان: -, = h f = 8, 0, g = -, -5, فأوجد كال مما يأتي: )جثقل ) h - g f + h f + g - h f - g - h h - f + 5g g - f + h ) )7 )8 )9 )10 )11 )1 الدر س - 1 يف ةمدقم لا يف سة ي هي ا

25 )5 أوجد الصورة اإلحداثية للمتجه v الم عطى طوله وزاوية اتجاهه مع االتجاه الموجب لمحور في كل مم ا يأتي: )جثقل ) مالحة جوية: تطير طائرة بسرعة مقدارها 80 mi/h باالتجاه N 8 E وبسبب الرياح فإن محصلة سرعة الطائرة بالنسبة لسطح األرض أصبحت 518 mi/h باتجاه. N 79 E ارسم شكلا ي مث ل هذا الموقف. v = 1, θ = 0 )5 بي ن ما إذا كان ÆÆÆ AB ÆÆÆ, CD الم عطاة نقطتا البداية والنهاية لكل منهما فيما يأتي متكافئين أو ال وإذا كانا متكافئين فأثبت أن ÆÆÆ AB ÆÆÆ = CD وإذا كانا غير ذلك فاذكر السبب. A(, 5), B(, 9), C(-, -), D(-, 0) ) v = 1, θ = 0 v =, θ = 15 v = 15, θ = 15 ) )7 )8 A(1, -), B(0, -10), C(11, 8), D(10, 1) أوجد زاوية اتجاه كل من المتجهات اآلتية مع االتجاه الموجب لمحور : (مثال )7 i + j -i + 5j -i - j -5, 9 مالحة جوية: تطير طائرة جهة الشرق بسرعة مقدارها 00 mi/h وتهب الرياح بسرعة مقدارها 85 mi/h باتجاه. S 59 E )جثقل ) 8 ان سح ب: يمكنك سحب شكل هندسي باستعمال المتجه b,a وذلك بإضافة a إلى اإلحداثي وإضافة b إلى اإلحداثي. a( حد د المتجه الذي ي ستعمل لسحب FGH إلى F G H في الشكل المجاور. F G F' G' H H' )b إذا استعمل المتجه - -, لسحب F G H فمث ل بياني ا كل من F'G'H' وصورته. F G H. F G H إلى FGH حد د المتجه الذي ي ستعمل لسحب c( )7 )8 )9 )0 )1 ) ) أوجد نقطة نهاية ممكنة لكل متجه مما يأتي إذا عل مت طوله ونقطة بدايته: N 00 mi/h Ç 7, (-1, ) ) mi/h 10, (-, -7) )0 a( أوجد محص لة سرعة الطائرة. b( أوجد زاوية اتجاه مسار الطائرة. تجديف: يجدف شخص بقاربه في نهر باتجاه عمودي على الشاطي بسرعة 5 mi/h ويؤث ر فيه تيار مائي باتجاه مجرى النهر سرعته. mi/h a( أوجد السرعة التي يتحرك بها القارب إلى أقرب جزء من عشرة. b( أوجد زاوية اتجاه حركة القارب بالنسبة للشاطي إلى أقرب درجة. اآلة ت سوير: ع ل قت آلة تصوير معدة لمتابعة حدث رياضي بثلثة حبال كما في الشكل المجاور إذا كان الشد في كل حبل يمث ل متجها ا فأجب عما يأتي: a( أوجد الصورة اإلحداثية لكل متجه ألقرب عدد صحيح. b( أوجد الصورة اإلحداثية لمتجه المحصلة المؤثر على آلة التصوير. c( أوجد مقدار واتجاه محصلة القوى. 100 N N 700 N 9 )1 ) الف سل 1 يف ةمدقم

26 قوة: تؤث ر قوة الجاذبية g وقوة االحتكاك على صندوق في وضع السكون موضوع على سطح مائل ويبي ن الشكل أدناه المركبتين المتعامدتين للجاذبية األرضية )الموازية للسطح والعمودية عليه(. ما الوصف الصحيح لقوة االحتكاك ليكون هذا الوضع ممكنا ا استعمل مجموعة المتجهات اآلتية لرسم متجه يمث ل كال مما يأتي: )الدر س - 1 )1 m 1 p + ) 51 - m ) 50 p g θ ) p + - m ) 5 m - ) 5 تبرير: إذا أ عطيت طول متجه ونقطة بدايته فصف المحل الهندسي للنقاط التي يمكن أن ت مث ل نقطة نهايته. )إرشاد: المحل الهندسي هو مجموعة من النقاط تحقق شرطا ا معي نا ا(. ما طول المتجه الذي نقطة بدايته (5,) ونقطة نهايته (-,-) Ç A Ç B Ç 8 C ÇÇ 10 D )5 تحد : إذا كانت زاوية اتجاه, هي () فأوجد قيمة بداللة. ) ) برهان: إذا كان: a = 1, 1, b =,, c =, فأثبت الخصائص اآلتية: ما الصورة اإلحداثية للمتجه v الذي طوله وزاوية اتجاهه 0 مع األفقي <, > A <, Ç > B )55 a + b = b + a (a + b) + c = a + (b + c) k (a + b) = ka + kb حيث k عدد حقيقي. a ka = k حيث k عدد حقيقي. )5 ) )7 )8 < Ç, > C < Ç, Ç > D د مى اأطفال: يقوم محمد بسحب دميته بقوة مقدارها 1.5 N بواسطة نابض مثب ت بها. )الدر س 1-1 ) )9 a( إذا كان النابض يصنع زاوية 5 مع سطح األرض فأوجد مقدار كل من المركبتين الرأسية واألفقية للقوة. b( إذا رفع محمد النابض وأصبح يصنع زاوية قياسها 78 مع سطح األرض فأوجد مقدار كل من المركبتين األفقية والرأسية للقوة. الدر س - 1 يف ةمدقم لا يف سة ي هي ا 5

27 الداخلي ال سرب Dot Product B(b 1, b ) b a BA A(a 1, a ) تحمل كلمة الشغل معان متعددة في الحياة اليومية إال أن لها معنى محددا ا في الفيزياء وهو مقدار القوة المؤثرة في جسم مضروبة في المسافة التي يتحركها الجسم في اتجاه القوة. ومثال ذلك: الشغل المبذول لدفع سيارة مسافة محددة. ويمكن حساب هذا الشغل باستعمال عملية على المتجهات تسمى الضرب الداخلي. ال سرب الداخلي تعلمت في الدرس - 1 عمليتي الجمع والضرب في عدد حقيقي على المتجهات. وفي هذا الدرس سوف تتعلم عملية ثالثة على المتجهات. إذا كان لديك المتجهان المتعامدان a, b في الوضع القياسي وكان ÆÆÆ BA المتجه الواصل بين نقطتي نهاية المتجهين كما في الشكل المجاور. فإنك تعلم من نظرية فيثاغورس أن b BA ÆÆÆ = a +. جةم ل م رب ا يفا ل ن ل ي ج ي س ج ا يف ه ا يف بمت a = ÇÇÇÇ a 1 + a, a = a 1 + a, b = ÇÇÇÇ b 1 + b, b = b 1 + b BA ÆÆÆ BA ÆÆÆ BA ÆÆÆ BA ÆÆÆ BA ÆÆÆ وباستعمال مفهوم طول المتجه يمكنك إيجاد ÆÆÆ BA. = ÇÇÇÇÇÇÇÇÇ ( a 1 - b 1 ) + ( a - b ) = ( a 1 - b 1 ) + ( a - b ) = a 1 - a 1 b 1 + b 1 + a - a b + b = ( a 1 + a ) + ( b 1 + b ) - ( a 1 b 1 + a b ) = a + b - ( a 1 b 1 + a b ) الحظ أن العبارتين b a + b - ( a 1 b 1 + a b ) a + متكافئتان إذا وفقط إذا كان = 0. a 1 b 1 + a b وت سم ى العبارة a 1 b 1 + a b الض رب الداخلي للمتجهين a, b وي رمز له بالرمز a b وي قرأ الضرب الداخلي للمتجهين a, b أو ي قرأ اختصارا ا. a dot b إق ا a = a 1, a, b = b 1, b ن ةمد ف يفهي ا يف س م ف ار ست ا ةا يفم ا يف س لا اها ا اا ا يف ةمدقم نه س ق جل ق ) يفهر س - (1 يج ه يف س يفهي ا ف ةمد ن يج سةم لا ي مقا يفزي ت ب ند ق يف س يفهي ا dot product يف ةمدقن يف ةمقجهين orthogoal vectors يفزي ت ب ن جةمد ن agle betwee two vectors يفتسغ work ال سرب القي سي س يف س يفهي ا لا بم س ي ج قن بقف س يفا ق سا ال سرب الداخلي لمتجهين في الم ستوى االإحداثي a b = a 1 b 1 + a b الحظ أنه خلفا ا لعمليتي الجمع والضرب في عدد حقيقي على المتجهات فإن حاصل الضرب الداخلي لمتجهين يكون عددا ا وليس متجها ا. ويتعامد متجهان غير صفريين إذا وفقط إذا كان حاصل ضربهما الداخلي صفرا ا. ويقال للمتجهين الل ذين حاصل ضربهما الداخلي صفر: مت جهان متعامدان. المتجه ن المتع مدان a b إقن = 0 ي ذي لا ي ذي جةمقجه ن a, b ن يف سا يف ةمدقن ن على الرغم من أن حاصل الضرب الداخلي للمتجه الصفري في أي متجه آخر يساوي الصفر أي أن : = 0 a 1, a = 0 a a 0 0, إال أن المتجه الصفري ال يعامد أي متجه آخر ألنه ليس له طول أو اتجاه. الف سل 1 يف ةمدقم

28 1 ا ستعم ل ال سرب الداخلي في التحق من تع مد متجهين u أوجد الضرب الداخلي للمتجهين u, v ثم تحقق مما إذا كانا متعامدين. u =, 5, v = 8, )b u =,, v = -, )a v u v = (8) + 5() = بما أن 0 v u فإن u, v غير متعامدين كما هو موض ح في الشكل. 1.. u v = (-) + () = 0 بما أن = 0 v u فإن u, v متعامدان كما هو موض ح في الشكل تحق من فهم أوجد الضرب الداخلي للمتجهين u, v ثم تحقق مما إذا كانا متعامدين. ال سكل 1..1 u v u = -, -, v = 9, - )1B u =, -, v = -5, 1 )1A يحقق الضرب الداخلي الخصائص اآلتية : خ س ئ س ال سرب الداخلي ي ذي إقنت u, v, w جةمدقم إقن k اها ي ا ا ق لق ن يفخ سق س ي ت س ت ال سكل 1.. u v = v u u (v + w) = u v + u w k(u v) = k u v = u k v 0 u = 0 u u = u يفخق س ت ي بهيف ت ق س ت يفة ز ا ق س ت يف س لا اها ا اا يف سا لا يف ةم يفهي ا ت يف س ق س يفمي ت ب ن يف س يفهي ا ل يف ةم ي لقم يجن u u = u يلة س يجن u = u 1, u يف س يفهي ا ( u 1 + u يإة ا س رة ج با ج ر ) u u = u 1 + u = ( ÇÇÇÇ + u ) u 1 ÇÇÇ u 1 + u = u = u سةل ن يفخ سق س يفثي ي ج ف لا ي ج س ت 7 5 طول متج الداخلي الإيج د ال سرب ا ستعم ل استعمل الضرب الداخلي إليجاد طول 1-5, = a. بما أن: a = a a فإن: a = ÇÇ a a. a = -5, 1-5, 1 = ÇÇÇÇÇÇÇÇ -5, 1-5, 1 ب س = ÇÇÇÇÇ (-5) + 1 = 1 تحق من فهم استعمل الضرب الداخلي إليجاد طول كل من المتجهات اآلتية : c = -1, -7 )B b = 1, 1 )A b θ a الزاوية θ بين أي متجهين غير صفريين a, b هي الزاوية بين هذين المتجهين عندما يكونان في وضع قياسي كما في الشكل المجاور حيث: θ π 0 أو 180 θ 0 ويمكن استعمال الضرب الداخلي إليجاد قياس الزاوية بين متجهين غير صفريين. الدر س - 1 يف س يفهي ا 7

29 b b - a θ ي ذي إقنت ا θ يفزي ت ب ن جةمد ن سا ن a, b لق ن cos θ = a b a b ي ذي إقن a,,b b - a يج سي جث إ ق لا يفتس يجاي لق ن يفة ق ج قن ن u = u u ق س ت يفة ز ا ف س يفهي ا u u = u با a + b جن يفا ل ن با س ت يفا ل ن ا a - b a الزاوية بين متجهين a + b - a b cos θ = b - a a + b - a b cos θ = ( b - a) ( b - a) a + b - a b cos θ = b b - b a - a b + a a a + b - a b cos θ = b - a b + a - a b cos θ = - a b cos θ = a b a b المتجه ت المتع مدة والمتجه ت المتوازية اقل ف ةمد ن ي ند ق جةمقجهين ي ذي إقنت يفزي ت ب ند ق 90 اقل ف ةمد ن يجند ق جة يز قن ي ذي إقنت يفزي ت ب ند ق 0 يج 180 اإيج د قي س الزاوية بين متجهين أوجد قياس الزاوية θ بين المتجهين u, v في كل مما يأتي: u =,, v = -, )a -, v 15, u يفزي ت ب ن جةمد ن u =,, v = -, يف س يفهي ا ف ةمد ن ل يف ةم ب س جم س ج يفة ق cos θ = u v u v cos θ =, -,, -, cos θ = - + Ç 0 Ç 5-18 cos θ = 10 Ç 10 θ = cos Ç 15 أي أن قياس الزاوية بين u, v هو 15 تقريبا ا كما في الشكل أعله. u =, 1, v =, - )b cos θ يفزي ت ب ن جةمد ن = u v u v u =, 1, v =, - cos θ =, 1, -, 1, - u v, 1, - يف س يفهي ا ف ةمد ن ل يف ةم ب س جم س ج يفة ق cos θ = 9 + (-) 10 Ç Ç 18 cos θ = 1 Ç 5 θ = cos -1 1 Ç 5 أي أن قياس الزاوية بين u, v هو تقريبا ا كما في الشكل المجاور. 8 الف سل 1 يف ةمدقم

30 تحق من فهم أوجد قياس الزاوية θ بين المتجهين u, v في كل مما يأتي: u = 9, 5, v = -, 7 )B u = -5, -, v =, )A من التطبيقات على الضرب الداخلي للمتجهات حساب الشغل الناتج عن قوة فإذا كانت F قوةا ثابتة مؤثرةا في جسم لتحريكه من النقطة A إلى B كما في الشكل أدناه وكانت F موازيةا ل ÆÆÆ AB فإن الشغل W الناتج عن F يساوي مقدار القوة F مضروبا ا في المسافة من A إلى B أو ÆÆÆ. W = F AB F A B ولحساب الشغل الناتج من قوة ثابتة F بأي اتجاه لتحريك جسم من النقطة A إلى B كما في الشكل المجاور يمكنك استعمال الصيغة: Fsi θ F θ Fcos θ A B W= F AB ÆÆÆ أي أنه يمكن حساب هذا الشغل بإيجاد الضرب الداخلي بين القوة الثابتة F والمسافة المتجهة AB ÆÆÆ بعد كتابتهما في الصورة اإلحداثية. ح س ب ال سغل -5 5 F AB F w 1 سي رة: يدفع شخص سيارةا بقوة ثابتة مقدارها 10 N بزاوية 5 كما في الشكل المجاور أوجد الشغل المبذول بالجول لتحريك السيارة 10 m (بإهمال قوة االحتكاك). استعمل قاعدة الضرب الداخلي للشغل. وحدات ال سغل هة ق س يفتسغ لا يفن ق ي نم ز ا يفن ق لا ر ه يف ة ن ن جة يج ج ل الصورة اإلحداثية للقوة المتجهة F بداللة مقدار القوة وزاوية االتجاه هي : 5 ) (- si 10 cos (- 5 ), 10 والصورة اإلحداثية لمتجه المسافة هي 0 10,. ف تسغ يفهي ا يف س قاهة ا س يف س يفهي ا W = F AB ÆÆÆ = 10 cos (-5 ), 10 si (-5 ) 10, 0 = [10 cos (-5 )[(10) 88.5 أي أن الشخص يبذل 88.5 J تقريبا ا من الشغل لدفع السيارة. تحق من فهم 0 5 N ( تنظيف: يدفع إبراهيم مكنسةا كهربائيةا بقوة مقدارها 5 N إذا كان قياس الزاوية بين ذراع المكنسة وسطح األرض 0 فأوجد الشغل بالجول الذي بذله إبراهيم عند تحريك المكنسة مسافة m الدر س - 1 يف س يفهي ا 9

31 أوجد حاصل الضرب الداخلي للمتجهين v, u ثم تحقق مم ا إذا كانا متعامدين أم ال. )جثقل ) 1 u =, -5, v =, u = 9, -, v = 1, u =, -, v = 7, 5 u = 11i + 7j, v = -7i + 11j u = -,, v = -5, - زي الزيتون: يمث ل المتجه 97,0 = u أعداد علبتين مختلفتين من زيت الزيتون في متجر ويمث ل المتجه 15,7.5 = v سعر العلبة من كل النوعين على الترتيب )جثقل ) 1 أوجد متجها ا يعامد المتجه المعطى في كل مما يأتي: -, -8, 5 7, - -1, عجلة دو ارة: يعامد متجه الموقع r في العجلة الدوارة متجه السرعة المماسية v عند أي نقطة من نقاط الدائرة. r v )17 )18 )19 )0 )1. u v أوجد )a )1 ) ) ) )5 ) b( فس ر النتيجة التي حصلت عليها في الفرع a في سياق المسألة. استعمل الضرب الداخلي إليجاد طول المتجه المعطى. )جثقل ) r = -9, - ) 8 m = -, 11 ) 7 t =, -1 ) 10 v = 1, -18 ) 9 أوجد قياس الزاوية θ بين المتجهين u, v في كل مما يأتي وقر ب الناتج. )جثقل ) إلى أقرب جزء من عشرة a( إذا كان طول نصف قطر العجلة 0 ft وسرعتها ثابتة ومقدارها 0 ft/s فاكتب الصورة اإلحداثية للمتجه r إذا كان يصنع زاويةا قياسها 5 مع األفقي ثم اكتب الصورة اإلحداثية لمتجه جزء السرعة المماسية في هذه الحالة قر ب الناتج إلى أقرب من مئة. b( كيف يمكن إثبات تعامد المتجه r ومتجه السرعة باستعمال الصورتين اإلحداثيتين اللتين أوجدتهما في الفرع a وأثبت أن المتجهين متعامدان. u = 0, -5, v = 1, - )11 u = 7, 10, v =, - u = -,, v =, -10 )1 )1 u = -i + j, v = -i - j مخيم ك سفي: غادر يوسف ويحيى مخي م هما الكشفي للبحث عن حطب. إذا كان المتجه 5-, = u ي مث ل الطريق الذي سلكه يوسف والمتجه,7- = v ي مث ل الطريق الذي سلكه يحيى فأوجد قياس الزاوية بين المتجهين. )جثقل ) بقوة فيزي ء: يدفع طارق برميلا على أرض مستوية مسافة 1.5 m مقدارها 5 N بزاوية 5 كما في الشكل أدناه أوجد مقدار عدد الشغل بالجول الذي يبذله طارق وقر ب الناتج إلى أقرب صحيح. )جثقل ) إذا علمت كال من v, u v فأوجد قيمةا ممكنةا للمتجه u في كل مما يأتي: 100 N θ v =, -, u v = v =,, u v = 8 مدر سة: يسحب طالب حقيبته المدرسية بقوة مقدارها 100 N إذا بذل الطالب شغلا مقداره 177 J لسحب حقيبته مسافة 1 m فما قياس الزاوية بين قوة السحب واألفقي )بإهمال قوة االحتكاك( ) ) ) 5 N )1 )15 )1 0 الف سل 1 يف ةمدقم

32 إذا علمت: أن -9, = c a = 10, 1, b = -5,.8, فأوجد اختبر كل زوج من المتجهات في كل مما يأتي من حيث كونها متعامدة أو متوازية أو غير ذلك. كال مما يأتي: )الدر س - 1( u = -,, v = 9, 8 u = -1, -, v =, )5 ) b - a + c c - a + b a - b + c )9 )0 )1 أوجد قياس الزاوية بين كل متجهين في كل مما يأتي قر ب الناتج إلى أقرب ع شر. u = i + 5j, v = -i + j u = i + j, v = -5i - j )7 )8 النقاط: 1) (8, 7), (, ), (, ت مث ل رؤوس مثلث أوجد قياسات زواياه باستعمال المتجهات. إذا علمت كال من v,u والزاوية θ بين المتجهين,u v فأوجد قيمةا. ممكنةا للمتجه v قر ب الناتج إلى أقرب جزء من مئة u =, -, v = 10, θ = 5 u =,, v = Ç 9, θ = 11 تبرير: اختبر صحة أو خطأ العبارة اآلتية: إذا كانت f, d, e ت مث ل ثلثية فيثاغورس وكانت الزاويتان بين d, e وبين e, f حادتين فإن الزاوية بين d, f يجب أن تكون قائمة. فس ر تبريرك. اكت شف الخط أ: يدرس كل من فهد وفيصل خصائص الضرب الداخلي للمتجهات فقال فهد: إن الضرب الداخلي للمتجهات عملية تجميعية ألنها إبدالية أي أن: w) (u v) w = u (v ولكن فيصل عارضه فأيهما كان على صواب وض ح إجابتك. أوجد زاوية اتجاه كل من المتجهات اآلتية مع االتجاه الموجب لمحور : )الدر س - )1 -i - j -9, 5-7, 7 ما قياس الزاوية بين المتجهين -1-1,, 0-9, 90 C 0 A 15 D 5 B إذا كان: -, = t s =, -, فأي مما يأتي يمث ل r حيث r = t - s -1, 8 C 1, 8 A -1, -8 D 1, B ) ) ) )5 ) )9 )0 )1 ) ) ( اكتب: وض ح كيف تجد الضرب الداخلي لمتجهين غير صفريين. برهان: إذا كان: u = u 1, u, v = v 1, v, w = w 1, w فأثبت خصائص الضرب الداخلي اآلتية: u v = v u u (v + w) = u v + u w k(u v) = ku v = u k v برهان: إذا كان قياس الزاوية بين المتجهين u, v يساوي 90 فأثبت أن = 0 v u باستعمال قاعدة الزاوية بين متجهين غير صفريين. )5 ) )7 )8 الدر س - 1 يف س يفهي ا 1

33 اختب ر منت سف الف سل الدرو س من -1 1 اإلى - 1 أوجد محصلة كل زوج من المتجهات اآلتية مستعمالا قاعدة المثلث أو متوازي األضالع وقر ب المحصلة إلى أقرب جزء من عشرة من السنتمتر ثم حد د اتجاهها بالنسبة لألفقي مستعمالا المسطرة والمنقلة. )يفهر س -1 1 ) a b ) f ) 1 التزل ج: يسحب شخص مزلجةا على الجليد بقوة مقدارها 50 N بزاوية 5 مع األفقي أوجد مقدار كل من المركبة األفقية والعمودية للقوة وقر ب إلى أقرب جزء من مئة. )يفهر س 1-1 ) 1 )يفهر س -1 )1 ارسم شكلا ي مث ل المتجه c - d c اكتب ÆÆÆ BC الم عطاة نقطتا بدايته ونهايته في كل مم ا يأتي بداللة متجه ي الوحدة. i, j )يفهر س - 1 ) B(10,-), C(-8,) B(, -10 ), C ( 1, 10) d ) B(,-1), C(,-7) ) 5 ) 8 B(1,1), C(-,-9) ) 7 اختي ر من متعدد: أي مما يأتي ي مث ل الصورة اإلحداثية ل AB ÆÆÆ حيث ) (- 5, A نقطة بدايته و 1) -, B( نقطة نهايته )يفهر س - 1 ) -, 7 C, -1 A -, D 7, - B كرة سلة: ركض راشد في اتجاه السلة في أثناء مباراة بسرعة.5 m/s ومن منتصف الملعب صو ب كرةا بسرعة 8 m/s بزاوية قياسها مع األفقي. )يفهر س - 1 ) 8 m/s.5 m/s a( اكتب الصورة اإلحداثية للمتجهين الل ذين ي مث لن سرعة راشد وسرعة الكرة قر ب الناتج إلى أقرب جزء من عشرة. b( ما السرعة المحصلة واتجاه حركة الكرة قر ب المحصلة إلى أقرب جزء من عشرة وقياس الزاوية إلى أقرب درجة. أوجد الصورة اإلحداثية وطول المتجه الم عطاة نقطتا بدايته ونهايته على الترتيب في كل مما يأتي قر ب الناتج إلى أقرب جزء من عشرة. )يفهر س - 1 ) Q(1, -5),R(-7, 8) ) 1 A(-, ),B(,) ) 11 أوجد قياس الزاوية θ بين المتجهين,u v وقر ب الناتج إلى أقرب درجة: )يفهر س - 1 ) u= 9,-, v= -1, - u= 8,, v= -, u=, -, v=, 8 اختي ر من متعدد: إذا كان : -5, 8 = w u =,, v = - 1,, فما ناتج ) v ( u v ) + ( w )يفهر س - 1 ) 15 C - A 8 D -18 B أوجد الضرب الداخلي للمتجهين في كل مما يأتي ثم تحق ق مما إذا كانا متعامدين أم ال: )يفهر س - 1 ), - 7, ) 18, -5, ) 17, - 10, 5 ) 0 1, - 5, 8 ) 19 عربة: يسحب أحمد عربةا بقوة مقدارها 5 N وبزاوية 0 مع األفقي كما في الشكل أدناه. )يفهر س - 1 ) 5 N 150 m ما مقدار الشغل الذي يبذله أحمد عندما يسحب العربة a( قر ب الناتج إلى أقرب جزء من عشرة. b( إذا كانت الزاوية بين ذراع العربة واألفقي 0 وسحب أحمد العربة المسافة نفسها وبالقوة نفسها فهل يبذل شغلا أكبر أم أقل فس ر إجابتك. 0 )1 )1 )15 )1 )1 g ) ) )9 )10 الف سل 1 يف ةمدقم

34 في الف س ء الثالثي االأبع د المتجه ت Vectors i Three-Dimesioal Space إلطلق صاروخ في الفضاء يلزم تحديد اتجاهه وزاويته في الفضاء. وبما أن مفاهيم المسافة والسرعة والقوة المتجهة غير مقيدة في المستوى فل بد من توسيع مفهوم المتجه إلى الفضاء الثلثي األبعاد. االإحداثي ت في الف س ء الثالثي االأبع د المستوى اإلحداثي: هو نظام إحداثي ثنائي األبعاد يتشكل بواسطة خط ي أعداد متعامدين هما المحور والمحور اللذان يتقاطعان في نقطة تسمى نقطة األصل. ويسمح لك هذا النظام بتحديد وتعيين نقاط في المستوى وتحتاج إلى نظام اإلح داثيات الثالثي األبعاد لتعيين نقطة في الفضاء فنبدأ بالمستوى ونضعه بصورة ت ظهر عمقا ا للشكل كما في الشكل 1..1 ثم نضيف محورا ا ثالثا ا ي سم ى الم حور z يمر بنقطة األصل ويعامد كل من المحورين كما في الشكل 1... فيكون لدينا ثلثة مستويات هي, z, z وتقسم هذه المستويات الفضاء إلى ثماني مناطق ي سم ى كل منها الث م ن ويمكن تمثيل الث م ن األول بجزء الحجرة في الشكل 1... z z z ال سكل z + ال سكل ال سكل 1..1 ت مث ل النقطة في الفضاء بثالث يات مرتبة من األعداد الحقيقية (z,), ولتعيين مثل هذه النقطة عي ن أوالا النقطة. z بحسب المسافة المتجهة التي ي مث لها z ثم تحرك ألعلى أو إلى أسفل موازيا ا للمحور في المستوى,) ( عي ن كال من النقطتين اآلتيتين في نظام اإلحداثيات الثالثي األبعاد: (,, ) )a عي ن ( ), في المستوى بوضع إشارة مناسبة ثم ضع نقطةا على ب عد وحدتين أعلى اإلشارة التي وضعتها وبموازاة المحور z كما في الشكل أدناه. (-,, -5) )b z عي ن ( -), في المستوى بوضع إشارة مناسبة ثم ضع نقطةا على ب عد 5 وحدات أسفل اإلشارة التي وضعتها وبموازاة المحور z كما في الشكل أدناه. z 1 ار ست يف ةمدقم لا يفن ق يفثنق ا ي جبمقا نه س ق جل ق يفهر س (1-1) يجا ن ناق ق جةمدقم لا يفن ق ي هي ا يفثي ا ي جبمقا يجال ان يف ةمدقم جل ق يج ج يفم قم ا دق لا يفا سقض يفثي ا ي جبمقا ن ق ي هي قم يفثي ا ي جبمقا three - dimesioal coordiate sstem يف ر z z-ais يفث ن تعي ين نقطة في الف س ء octat يفثي ا يف ordered triple تدريج المح ور إ يجن يفةهر لا يف ق ر يفثي ت لا ن ق ي هي قم يفثي ا ي جبمقا جة سق - (,, ) تحق من فهم (-,, -5) عي ن كال من النقاط اآلتية في نظام اإلحداثيات الثالثي األبعاد: (5, -, -1) )1C (,, -) )1B (-, -, ) )1A الدر س - 1 يف ةمدقم لا يفا سقض يفثي ا ي جبمقا

35 عملية إيجاد المسافة بين نقطتين وإيجاد نقطة منتصف قطعة مستقيمة في الفضاء تشبهان عملية إيجاد المسافة ونقطة منتصف قطعة مستقيمة في المستوى اإلحداثي. z M A( 1, 1, z 1 ) A( 1, 1, z 1 ), B(,, z ) ب ن يفنااة ن سقلت يف ما بقف س غت AB = ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ ( - 1 ) + ( - 1 ) + ( z - z 1 ) غت بقف س AB ف M يف نة س ناات ما سيغت الم س فة ونقطة المنت سف في الف س ء B(,, z ) M ( 1 +, 1 +, z 1 + z ) رحلة: تتحرك العربة في الشكل المجاور على سلسلة مشدودة تربط بين منص تين تسمح للمتنزهين بالمرور فوق مناظر طبيعية خالبة. إذا م ثلت المنصتان بالنقطتين: 50) (10, 1,, 0) (70, 9, وكانت اإلحداثيات معطاة باألقدام فأجب عما يأتي: a( أوجد طول السلسلة الالزمة للربط بين المنص ت ين إلى أقرب قدم. استعمل صيغة المسافة بين نقطتين. الم س فة بين نقطتين ونقطة منت سف قطعة م ستقيمة في الف س ء 0 50 ft 0 ft يفتسق ات يفلنق قم ةا س قن سة قإن يف امت ق لا ي ج س س ب تسق هة يج زيض جن يف ه نت إقفم س ر ي فخ يف هي ر يف إت س غت يف سقلت (,, z ) = (70, 9, 0), ( 1, 1, z 1 ) = (10, 1, 50) ب س AB = ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ ( - 1 ) + ( - 1 ) + ( z - z 1 ) = ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ (70-10) + (9-1) + (0-50) أي أننا نحتاج إلى حبل طوله 10 ft تقريبا ا للربط بين المنص تين. الف سل 1 يف ةمدقم b( أوجد إحداثيات منتصف المسافة بين المنص تين. غت يف نة س س (,, z ) = (70, 9, 0), ( 1, 1, z 1 ) = (10, 1, 50) استعمل صيغة نقطة المنتصف في الفضاء. = ( 1 +, 1 +, z 1 + z M ) = (, 1 + 9, ) = (0, 5, 0) أي أن إحداثيات منتصف المسافة بين المنصتين هي (0,0),5 تحق من فهم ( ط ئرات: تفرض أنظمة السلمة أال تقل المسافة بين الطائرات عن 0.5 mi في أثناء طيرانها إذا علمت أن ع ي الطائرتين: طائرتين تطيران فوق إحدى المناطق وفي لحظة معينة كانت إحداثيات موق (8000,50-,50), (0000,00),150 مع العلم بأن اإلحداثيات معطاة باألقدام فأجب عما يأتي: A( هل تخالف الطائرتان أنظمة السلمة B( إذا أطلقت ألعا ب ناري ة وانفجرت في منتصف المسافة بين الطائرتين فما إحداثيات نقطة االنفجار إرشا د: الميل = 580 قدما ا

36 المتجه ت في الف س ء إذا كان v متجها ا في الفضاء في وضع قياسي وكانت ) ( v 1, v, v نقطة نهايته فإننا نعب ر عنه بالصورة اإلحداثية v 1, v, v كما ي عب ر عن المتجه الصفري بالصورة اإلحداثية 0 0, 0, = 0 وعن متجهات الوحدة القياسية بالصورة اإلحداثية 1 0, 0, = k i = 1, 0, 0, j = 0, 1, 0, كما في الشكل 1.. ويمكن التعبير عن الصورة اإلحداثية للمتجه v على صورة توافق خطي لمتجهات الوحدة,i,j k كما يأتي: v 1, v, v = v 1 i + v j + v k. z تعيين متج في الف س ء مث ل بياني ا كال من المتجهين اآلتيين في نظام اإلحداثيات الثالثي األبعاد: v =,, - )a عي ن النقطة (-,,) ثم مث ل المتجه v بياني ا بحيث تكون النقطة (-,,) نقطة نهايته. v z (v 1, v, v ) (0, 0, 1) v k v (1, 0, 0) i j (0, 1, 0) v 1 ال سكل 1.. v (,, - ) z p = i + j + k )b عي ن النقطة (1,), ثم مث ل المتجه p بياني ا بحيث تكون النقطة (1,), نقطة نهايته. p (,, 1 ) تحق من فهم مث ل بياني ا كال من المتجهين اآلتيين في نظام اإلحداثيات الثالثي األبعاد: u = -,, - )A w = -i - j + k )B إذا ك تبت المتجهات في الفضاء على الصورة اإلحداثية فإنه يمكن أن ت جرى عليها عمليات الجمع والطرح والضرب في عدد حقيقي كما هي الحال في المتجهات في المستوى اإلحداثي. العملي ت على المتجه ت في الف س ء ي ذي إقن b = b 1, b, b a = a 1, a, a جةمد ن لا يفا سقض إقن k اها ي ا ا ق لق ن a + b = a 1 + b 1, a + b, a + b جمع متجهين a - b = a + (-b) = a 1 - b 1, a - b, a - b طرح متجهين k a = k a 1, k a, k a حقيقي عدد في متج سرب الدر س - 1 يف ةمدقم لا يفا سقض يفثي ا ي جبمقا 5

37 أوجد كال مما يأتي للمتجهات: -, 0, 5 = z : =, -,, w = -1,, -, + z )a ا س 5 -, 0, + -,, = z + ي س جةمد ق لا اها ا اا = 1, -, 8 + -, 0, 10 يج ا يف ةمد ن = 8, -, 18 w - z + )b ا س -,, + 5 -, 0, - -, -1, = w - z + ي س جةم لا اها ا اا = -, 8, -8 +, 0, , -18, يج ا يف ةمدقم = 9, -10, -7 تحق من فهم العملي ت على المتجه ت في الف س ء أوجد كال مما يأتي للمتجهات: -, 0, 5 = z : =, -,, w = -1,, -, + z - w )B w - 8 z )A العملي ت على المتجه ت قم ا يفم سق س يف ةمدقم لا يفا سقض ا يفخ سق س نا سدق لا يف سة ي هي ا A( 1, 1, z 1 ) z B(,, z ) وكما في المتجهات ذات الب عدين نجد الصورة اإلحداثية للمتجهÆÆÆ AB الذي نقطة بدايته ) 1 A( 1, 1, z ونقطة نهايته ) B(,, z وذلك بطرح إحداثيات نقطة البداية من إحداثيات نقطة النهاية. AB ÆÆÆ = - 1, - 1, z - z 1 AB ÆÆÆ = ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ وعندها يكون: ) 1 ( - 1 ) + ( - 1 ) + ( z - z AB ÆÆÆ = ÇÇÇÇÇ + a + a a 1 وهذا يعني أنه إذا كان: AB ÆÆÆ = a 1, a, a فإن: ويكون متجه الوحدة u باتجاه AB ÆÆÆ هو u = AB ÆÆÆ AB ÆÆÆ أوجد الصورة اإلحداثية وطول ÆÆÆ AB الذي نقطة بدايته ) 1 -,, - ( A ونقطة نهايته ) -, (, B ثم أوجد متجه الوحدة باتجاه ÆÆÆ. AB يف س رة ي هي ت ف ةم ( 1, 1, z 1 ) = (-, -, 1), (,, z ) = (,, -) AB ÆÆÆ = - 1, - 1, z - z 1 = -(-), -(-), --1 = 7, 8, -7 وباستعمال الصورة اإلحداثية فإن طول ÆÆÆ AB هو : AB ÆÆÆ = 7, 8, -7 AB ÆÆÆ = ÇÇÇÇÇÇ (-7) = 9 Ç ويستعمل هذا الطول والصورة اإلحداثية إليجاد متجه وحدة u باتجاه AB ÆÆÆ كما يأتي: جةم هة بق مق ÆÆÆ AB AB ÆÆÆ = 7, 8, -7, AB ÆÆÆ = 9 Ç u = AB ÆÆÆ AB ÆÆÆ = 7, 8, -7 = 9 Ç 7 Ç 18, Ç 9, -7 Ç 18 تحق من فهم جبري في الف س ء التعبير عن المتجه ت 5 أوجد الصورة اإلحداثية وطول ÆÆÆ AB الم عطاة نقطتا بدايته ونهايته ثم أوجد متجه الوحدة باتجاه ÆÆÆ AB في كل مما يأتي: A (-1,, ), B (,, 8 ) )5B A (-, -5, -5 ), B( -1,, - ) )5A الف سل 1 يف ةمدقم

38 أوجد كال مما يأتي للمتجهات :. a = -5, -,, b =, -, -7, c = -,, )مثال ) a - 7b + 8c 7a - 5b a + 5b - 9c b + c - a )0 )1 ) ) عي ن كل نقطة مما يأتي في نظام اإلحداثيات الثالثي األبعاد: )مثال ) 1 (1, -, -) )1 (,, 1) ) (-5, -, -) ) (-, -5, ) ) (, -, ) )5 (-1, 1, -1) ) 8a - 5b - c -a + b + 7c ) )5 أوجد طول القطعة المستقيمة المعطاة نقطتا نهايتها وبدايتها ثم أوجد إحداثيات نقطة منتصفها في كل مما يأتي: )مثال ) أوجد كال مما يأتي للمتجهات :. = -9i + j + k, = i - j - 7k, z = -i + j + k 7 + )مثال ) ) (-, 10, ), (1, 0, 9) (-,, ), (-9, -, -) (8,, ), (-, -7, 5) )7 )8 )9-5 + z )7 (-7,, -5), (-, -5, -8) ) z z - - 9z z )8 )9 )0 )1 طي ارون: في لحظة ما أثناء تدريب عسكري كانت إحداثيات موقع طائرة (1900,11-,75) وإحداثيات موقع طائرة أخرى (1100,89-),715 علما ا بأن اإلحداثيات معطاة باألقدام. )مثال ) a( أوجد المسافة بين الطائرتين مقر بة إلى أقرب قدم. )11 b( عي ن إحداثيات النقطة التي تقع في منتصف المسافة بين الطائرتين في تلك اللحظة. أوجد الصورة اإلحداثية وطول AB ÆÆÆ الم عطاة نقطتا بدايته ونهايته في كل مما يأتي ثم أوجد متجه الوحدة في اتجاه AB. ÆÆÆ )مثال ) 5 A(-5, -5, -9), B(11, -, -1) A(-, 0, -), B(-, -8, 9) A(, 5, 1), B(0, 0, -9) A(-, -7, -1), B(-7, 1, 8) ) ) ) )5 مث ل بياني ا كال من المتجهات اآلتية في نظام اإلحداثيات الثالثي األبعاد: )مثال ) a = 0, -, b = -, -, - c = -1,, - )1 )1 )1 A(, -5, ), B(1,, -) ) d =, -, - )15 A(8, 1, 7), B(, -, 11) )7 v = i + 8j -k w = -10i + 5k )1 )17 A(, 1, -5), B(7, -1, 0) )8 m = 7i -j + k )18 A(1, -18, -1), B(1, 1, 9) )9 = i -j -8k )19 الدر س - 1 داعبألا يثالثلا ءاضفلا يف تاهجتملا 7

39 إذا كانت N منتصف MP فأوجد إحداثيات النقطة P في كل مم ا يأتي: M(,, 5), N ( 7, 1, ) M(-1, -, -9), N(-, 1, -5) M(7, 1, 5), N (5, - 1, ) M (, -5, 9 ), N (-, - 1, 11 ) تطو : ت ط و ع هاشم لحمل بالون كدليل في استعراض رياضي. إذا كان البالون يرتفع 5 ft عن سطح األرض ويمسك هاشم بالحبل الذي ثبت به البالون على ارتفاع ft عن سطح األرض كما في الشكل أدناه فأوجد طول الحبل إلى أقرب قدم. تحد : إذا كانت M هي نقطة منتصف القطعة المستقيمة الواصلة بين النقطتين:( 1-8, (, M 1 (-1,, -5), M فأوجد إحداثيات منتصف القطعة المستقيمة. M 1 M اكتب: اذكر موقفا ا يكون فيه استعمال النظام اإلحداثي الثنائي األبعاد أكثر منطقية وآخر يكون فيه استعمال النظام اإلحداثي الثلثي األبعاد أكثر منطقية. )5 )5 أوجد الصورة اإلحداثية وطول ÆÆÆ AB الم عطاة نقطتا بدايته ونهايته في كل مم ا يأتي: )يفهر س - 1 ) )0 )1 ) ) ) A(, -), B(-7, -7) A(-, -8), B(1, ) )55 )5 z A(-5, -1), B(1, ) 5 ft 10 ft ft ft حد د نوع المثلث الذي رؤوسه هي النقاط الثالث في كل مما يأتي (قائم الزاوية أو متطابق الضلعين أو مختلف األضالع): A(, 1, ), B(5, -1, 1), C(1,, 1) A(,, ), B(,, ), C(,, ) A(-1,, ), B(, 5, 1), C(0, -, ) كرات: استعمل قانون المسافة بين نقطتين في الفضاء لكتابة صيغة عامة لمعادلة كرة مركزها (l,h),k وطول نصف قطرها. r "إرشاد: الكرة هي مجموعة نقاط في الفضاء تبعد بعدا ا ثابتا ا )نصف القطر( عن نقطة ثابتة )المركز(". استعمل الصيغة العامة لمعادلة الكرة التي وجدتها في السؤال 8 إليجاد معادلة الكرة المعطى مركزها وطول نصف قطرها في كل مما يأتي: اكتب ÆÆÆ DE المعطاة نقطتا بدايته ونهايته على صورة توافق خط ي لمتجه ي الوحدة i, j في كل مم ا يأتي: )يفهر س - 1 ) D (-5,, E ) (- 5, 0 ) D (- 1,, E 7) (-, 5 7) D(9.7, -.), E(-.1, -8.5) ما نوع المثلث الذي رؤوسه هي النقاط 5) -, C(0, A(0,, 5), B(1, 0, ), A قائم الزاوية B متطابق الضلعين C متطابق األضلع D مختلف األضلع )57 )58 )59 )0 )1 مركزها ) -, (-, طول نصف قطرها )5 ) )7 )8 )9 1 )50 مركزها -1) 0, (, طول نصف قطرها )51 مركزها ) -, (5, طول نصف قطرها Ç )5 مركزها -1) 7, (0, طول نصف قطرها 1 8 الف سل 1 يف ةمدقم

40 الداخلي وال سرب االتج هي للمتجه ت في الف س ء ال سرب Dot ad Cross Products of Vectors i Space يستعمل طارق المتجهات ليتحقق مم ا إذا كان خط ا سير طائرتين متوازيين أم ال وذلك بمعرفة إحداثيات نقط ت ي اإلقلع ونقطتين تصلن إليهما بعد فترة زمنية معينة. ال سرب الداخلي في الف س ء إيجاد الضرب الداخلي لمتجهين في الفضاء يشبه إيجاده لمتجهين في المستوى وكما هي الحال مع المتجهات في المستوى يتعامد متجهان غير صفريين في الفضاء إذا وفقط إذا كان حاصل ضربهما الداخلي صفرا ا. إق ا لا يفا سقض a = a 1, a, a, b = b 1, b, b ن ةمد ف يفهي ا يف س م ف ن a b = a 1 b 1 + a b + a b يف ةمدقن يف سا ن a, b جةمقجه ن ي ذي لا ي ذي إقن a b = 0 أوجد حاصل الضرب الداخلي للمتجهين u, v في كل مما يأتي ثم حد د ما إذا كانا متعامدين: u =, -,, v =, 7, )b u v = () + (-)(7) + () = 1 + (-1) + 9 = 0 وبما أن = 0 v u فإن u, v متعامدان. u = -7,, -, v = 5, 17, 5 )a u v = -7(5) + (17) + (-)(5) = (-15) = 1 وبما أن 0 v u فإن u, v غير متعامدين. ار ست يف س يفهي ا ف ةمد ن لا يف سة يفهر س (1-) يج ه يف س يفهي ا ف ةمد ن يفزي ت ب ند ق لا يفا سقض يج ه يف س ي مق ا ف ةمدقم يج سةم لا ي مقا يف سق قم يف م يف س ي مق ا تحق من فهم أوجد حاصل الضرب الداخلي للمتجهين u, v في كل مما يأتي ثم حد د ما إذا كانا متعامدين أم ال: cross product جة يز يف سا parallelepiped يف س يفا ق سا يفثي ا ال سرب الداخلي والمتجه ت المتع مدة في الف س ء اإيج د ال سرب الداخلي لتحديد المتجه ت المتع مدة 1 triple scalar product u =, -, -, v = 1,, - )1B u =, -5,, v = 5, 7, 5 )1A وكما هو في المتجهات في المستوى إذا كانت θ هي الزاوية بين متجهين غير صفريين a, b في الفضاء فإن b. cos θ = a a b. أوجد قياس الزاوية θ بين u, v إذا كان: -, -, = v u =,, -1, إلى أقرب جزء من عشرة z u v يفزي ت ب ن جةمد ن u =,, -1, v = -,, - يج جه يف س يفهي ا ل إ جن يف ةمد ن ب س بقفن سلت ي ف θ الدر س يف س يفهي ا يف س ي مق ا ف ةمدقم لا يفا سقض 9 cos θ = u v u v,, -1 -,, - cos θ =,, -1 -,, - - cos θ = 1 Ç Ç 9 θ = cos -1 - ÇÇ أي أن قياس الزاوية بين u, v هو تقريبا ا. تحق من فهم الزاوية بين متجهين في الف س ء. ) أوجد قياس الزاوية بين المتجهين: k u = -i + j + k, v = i + إلى أقرب منزلة عشرية

41 a a b b ال سرب االتج هي هو نوع آخر من الضرب بين المتجهات في الفضاء وبخلف الضرب الداخلي فإن الض رب االتجاهي لمتجهين a, b هو متجه وليس عددا ا وي رمز له بالرمز a b وي قرأ a cross b ويكون المتجه a b عمودي ا على المستوى الذي يحوي المتجهين. a, b ي ذي إقن a = a 1 i + a j + a k, b = b 1 i + b j + b k لق ن يف س ي مق ا ف ةمد ن a, b a b = ( a b - a b )i - ( a 1 b - a b 1 )j + ( a 1 b - a b 1 )k يف ةم ا ا ا ق يف سةا ن ج سة ي ذي إقن ا ا ق ا إ ج سةا اا لا ي يف سة ةاق ا جم ال سرب االتج هي للمتجه ت في الف س ء إذا طب قنا قاعدة حساب قيمة محد دة من الدرجة الثالثة على المحد دة أدناه والتي تتضمن متجهات الوحدة,i,j k وإحداثيات كل من a, b فإننا نتوصل إلى القاعدة نفسها للمتجه. a b a b = a b i a 1 b 1 j a b a b i- a 1 b 1 k a b a b j+ a 1 b 1 ب سا جةمدقم يف هة i, j, k لا يف س 1 ب سا ي هي قم a لا يف س ب سا ي هي قم b لا يف س a b k a b = ( a b - a b ) i - ( a 1 b - a b 1 ) j + ( a 1 b - a b 1 ) k أوجد الضرب االتجاهي u v حيث: 1 -,, = v u =, -, 1, ثم بي ن أن u v يعامد كال من.u, v u v u u = i - j + k, v = -i + j + k قاهة ي مقا ت ج ه اة يفهرجت يفثقفثت z يج جه ت ج ه اة يفهرجت يفثقن ت v ب س يف س رة ي هي ت u v = i - = - j - k i j k = (- - )i - [ - (-)[j + (9 - )k = -5i - j + k = -5, -, وإلثبات أن u v يعامد كل من u, v جبري ا أوجد الضرب الداخلي ل u v مع كل من. u, v (u v) v (u v) u = -5, -, -,, 1 = -5, -,, -, 1 = -5(-) + (-)() + (1) = -5() + (-)(-) + (1) = 15 + (-18) + = 0 = = 0 بما أن حاصل الضرب الداخلي في الحالتين يساوي صفرا ا فإن u v عمودي على كل من. v, u تحق من فهم أوجد الضرب االتجاهي للمتجهين u, v في كل ممايأتي ثم بي ن أن u v يعامد كال من : u, v ي ج اقر قاهة ن ي سةم قل قاهة ي ج اقر مقا ج هاة يف سا لت جن يف لت يفةا ار سةدق سقبا ق ل يفخا يم ي ت ا ة 1: يجاه إةقبت يفم ا ي ج ل يفثقنا ان ن يف ه اة س ق : يج جه ا ة س انق س يفاا يف س ا قم يفمنق س ي يف يز قم يف ل نت يج ا a d g b e h c f i a d g b e h س ق : يج جه ا ة ي يفاا انق س س ا قم يفمنق س ي يف يز قم يف ل نت يج ا a d g b e h c f i a d g b e h ا ة : مقا ت يف ه اة نا نق يفخا ة جن نق يفخا ة اإيج د ال سرب االتج هي لمتجهين ال سرب االتج هي - ال يف س ي مق ا ا يف ةمدقم لا ن ق ي هي قم يفثي ا ي جبمقا لا ال ا يف ةمدقم لا يف سة ي هي ا - يف س ي مق ا ف س ي بهيف a)ق (a b b u = -, -1, -, v = 5, 1, )B u =,, -1, v = 5, 1, )A 0 الف سل 1 يف ةمدقم

42 للضرب الاتجاهي تطبيقات هندسية عديدة فمث لا مقدار المتجه u v ا و المقدار v u يع بر عن مساحة متوازي الا ضلاع الذي فيه u, v ضلعان متجاوران كما في الشكل ا وجد مساحة متوازي الا ضلاع الذي فيه: u = i + j - k, v = i - 5j + k ضلعان متجاوران. u v ا وجد 1 i j k u = i + j - k, v = i - 5j + k u v = = k i - 1 = -i - 9j - 1k - j + 1 u v ا وجد طول u v = (-) + (-9) + (-1) = ا ي ا ن مساحة متوازي الا ضلاع في الشكل تساوي 1.91 وحد ة مربع ة تقري با. ( ا وجد مساحة متوازي الا ضلاع الذي فيه: u = -i -j + k, v = i +j + k ضلعان متجاوران. ا ذا التقت ثلاثة متجهات في مستويات مختلفة في نقطة البداية فا نها تك ون ا حر فا متجاورة ل مت وازي سطوح وهو عبارة عن مجس م له ستة ا وج ه كل وج ه منها على شكل متوازي ا ضلاع كما في الشكل 1.5. ا دناه ا ن القيمة المطلقة للض رب القياسي الثلاثي لهذه المتجهات هو عدد يم ثل حجم متوازي السطوح. t = t 1 i + t j + t k, u = u 1 i + u j + u k, v = v 1 i + v j + v k z v u t (u v) = t 1 u 1 v 1 t u v t u v t, u, v 5 ا وجد حجم متوازي السطوح الذي فيه: t = i - j - k, u = i + j - k, v = i - 5j + k ا حرف متجاورة. t = i - j - k - - u = i + j - k t (u v) = - v = i - 5j + k 1-5 = - -5 () (-) (-) = = ا ي ا ن حجم متوازي السطوح في الشكل 1.5. هو (v t u) ويساوي وحد ة مكعب ة. (5 ا وجد حجم متوازي السطوح الذي فيه: t = j - 5k, u = -i - j + k, v = i + j + k ا حرف متجاورة. z v u t

43 أوجد الضرب الداخلي للمتجهين u, v في كل مما يأتي ثم حد د ما إذا كانا متعامدين أم ال: )مثال ) 1 أوجد حجم متوازي السطوح الذي فيه t, u, v أحرف متجاورة في كل مما يأتي: )مثال ) 5 t = -1, -9,, u =, -7, -5, v =, -, t =, -, -1, u =, -,, v = -9, 5, - t = i + j - k, u = -i + j + 7k, v = i - j + 8k t = 5i - j + k, u = i - 5j + 7k, v = 8i - j + k )0 )1 ) ) u =, -9,, v = -8,, 7 u = 5, 0, -, v =, -1, u = -7, -, 1, v = -, 5, -1 u = 11,, -, v = -1,, 8 u = i - j - 5k, v = i - j + k )1 ) ) ) )5 أوجد متجه ا غير صفري يعامد المتجه الم عطى في كل مم ا يأتي: u = 9i - 9j + k, v = i + j - k ), -8, -1, -, 5, - 1, - 7, 0, 8 كيمياء: تقع إحدى ذرت ي الهيدروجين في ج زيء الماء عند , 55.5, واألخرى عند , -55.5, وذلك في الوقت الذي تقع فيه ذرة األكسجين في نقطة األصل. أوجد الزاوية بين المتجهين الل ذين يكو نان رابطة األكسجين الهيدروجين مقر بة إلى أقرب جزء من عشرة. )مثال ) أوجد قياس الزاوية θ بين المتجهين u, v في كل مما يأتي وقر ب الناتج : )مثال ) إلى أقرب جزء من عشرة u =, -5, 1, v = -8, -9, 5 u = -8, 1, 1, v = -,, u = 10, 0, -8, v =, -1, -1 u = -i + j + 9k, v = i + j - 10k أوجد الضرب االتجاهي للمتجهين u, v في كل مما يأتي ثم بي ن أن u v عمودي على كل من : u, v )مثال ) u = -1,, 5, v =, -, - u =, 7, -, v = -5, 9, 1 u =, -,, v = 1, 5, -8 u = -i - j + 5k, v = 7i + j - k أوجد مساحة متوازي األضالع الذي فيه u, v ضلعان متجاوران في كل مما يأتي: )مثال ) إذا ع لم كل من v, u v فأوجد حالةا ممكنةا للمتجه u في كل مما يأتي: v =, -, -, u v = - v = 1, 0,, u v = 1 v = -, -, -5, u v = 5 )9 حد د ما إذا كانت النقاط المعطاة واقعةا على استقامة واحدة أم ال: (-1, 7, 7), (-, 9, 11), (-5, 11, 1) (11, 8, -1), (17, 5, -7), (8, 11, 5) حد د ما إذا كان كل متجهين مما يأتي متوازيين أم ال: m =, -10,, =, -15, 9 a =,, -7, b = -, -, اكتب الصورة اإلحداثية للمتجه u الذي يقع في المستوى z وطوله 8 ويصنع زاويةا قياسها 0 فوق االتجاه الموجب للمحور. حد د ما إذا كان الشكل الرباعي ABCD الم عطاة إحداثيات رؤوسه متوازي أضالع أم ال وإذا كان كذلك فأوجد مساحته وحد د ما إذا كان مستطيالا أم ال: A(, 0, -), B(0,, -1), C(0,, 5), D(,, ) ) )5 ) )7 )8 )0 )1 ) ) ) )5 ) A(7, 5, 5), B(,, ), C(,, ), D(7, 7, ) )7 u = -9, 1,, v =, -5, u =,, -1, v = 7,, - u = i - j + 5k, v = 5i - j - 8k u = i + j - 8k, v = -i + j - 7k )7 )8 )9 )10 )11 )1 )1 )1 )15 )1 )17 )18 )19 الف صل 1 تاهجتملا

44 عر ض جوي: أقلعت طائرتان معا ا في عرض جوي فأقلعت األولى من موقع إحداثياته (0,-,0) وبعد ثوان وصلت موقعا ا إحداثياته (15,10-,) في حين أقلعت الثانية من موقع إحداثياته 0) (0,, وبعد ثوان وصلت موقعا ا إحداثياته 15).(, 10, هل يتوازى خط ا سير الطائرتين وض ح إجابتك. أوجد طول كل قطعة مستقيمة مما يأتي والمعطاة نقطتا طرفيها ثم أوجد إحداثيات نقطة منتصفها: )الدر س - 1 ) (1, 10, 1), (-,, -) ) )8 (1, -1, -1), (1, 19, -) إذا كان: 5 -,, = v u =,, -, فأوجد كال مما يأتي إن أمكن: )7 (-,, -9), (10, 10, ) )8 أوجد الضرب الداخلي للمتجهين u, v في كل مم ا يأتي ثم حد د ما إذا كانا متعامدين أم ال: )الدر س - 1 ) u (u v) v (u v) )9 )0-8, -7 1, -, - 7, 5, - -, 5 إذا كانت,v,w u ت مث ل ثالثة أحرف متجاورة لمتوازي السطوح فما قيمة c وحدات مكعبة )1 في الشكل المجاور وكان حجمه 7 أوجد محصلة كل زوج من المتجهات اآلتية م ستعمالا قاعدة المثلث أو متوازي األضالع ثم حد د اتجاهها بالنسبة لألفقي. )الدر س 1-1 ) a b )9 )50 )51 )5 u c, -, 1 z v -, -1, w 1, 0, - d )5 c تبرير: حد د ما إذا كانت العبارة اآلتية صحيحة أحيانا ا أو صحيحة دائما ا أو غير صحيحة أبدا ا بر ر إجابتك.»ألي متجهين غير صفريين وغير متوازيين يوجد متجه عمودي على هذين المتجهين«. تحد : إذا كان: 5 -, -, = v u =,, c, فأوجد قيمة c التي تجعل:. u v = i - j + 10k تبرير: فس ر لماذا ال يمكن تعريف الضرب االتجاهي في المستوى. اكتب: بي ن طرق الكشف عن توازي متجه ين أو تعامدهما. أي مما يأتي متجهان متعامدان 1, 0, 0, 1,, A 1, -,,, -, B,,,,, C, -5,,,, - D ما حاصل الضرب االتجاهي للمتجهين: -,, = v u =, 8, 0, 8i - 18j + 8k A )5 )55 ) ) ) )5 8i - j + 8k B i - j + 8k C i - 18j + 8k D الدر س يف س يفهي ا يف س ي مق ا ف ةمدقم لا يفا سقض

45 دليل الدرا سة والمراجعة مف هيم اأ س سية مقدمة في المتجه ت الدر س 1-1( مل ان ي مق يف ةم بقفزي ت ب ن يف ةم ي جلاا جاهير يف ةم ف نق ج ا جةمد ن جةم س يف س ت ن ي مقا بق سةم قل قاهة يف ث يج قاهة جة يز ي ج سي المفردات إ ت ق س ت اها ت س 10 إ ت جةمدت س 10 يف ةم س 10 ناات يفلهي ت س 10 ناات يفندق ت س 10 امت ج سةا ت جةمدت س 10 ل يف ةم س 10 يف سا يفا ق سا س 10 ي مق يف ةم س 10 ي مق يف بما س 11 ي مق يف ا اا س 11 يف ةمدقم يف ة يز ت س 11 يف ةمدقم يف ة سق ت س 11 جم س يف ةم س 11 يف س ت س 1 قاهة يف ث س 1 قاهة جة يز ي ج سي س 1 يف ةم يف سا س 1 اختبر مفردات يف إلقم س 1 يف إلقم يف ةمقجهة س 1 يف س رة ي هي ت س 18 جةم يف هة س 0 جةمدق يف هة يفا ق س قن س 0 يل ا ا س 1 يف س يفهي ا س يف ةمدقن يف ةمقجهين س يفزي ت ب ن جةمد ن س 7 يفتسغ س 9 ن ق ي هي قم يفثي ا ي جبمقا س يف ر س z يفث ن س يفثي ا يف س يف س ي مق ا س 0 جة يز يف سا س 1 يف س يفا ق سا يفثي ا س 1 حد د ما إذا كانت العبارات اآلتية صحيحة أم خاطئة وإذا كانت خاطئة فاستبدل ما تحته خط لتصبح العبارة صحيحة: ) 1 نقطة نهاية المتجه هي الموقع الذي يبدأ منه. ) إذا كان:, = b a = -, 1, فإن الضرب الداخلي للمتجهين هو () + -(1). ) نقطة منتصف AB عندما تكون ) A( 1, 1, z 1 ), B(,, z. ( 1 +, 1 +, z 1 + z هي ) ) طول المتجه r الذي نقطة بدايته ) A(-1, ونقطة نهايته -) B(, هو -,. ) 5 يتساو ى متجهان إذا وفقط إذا كان لهما الطول نفسه واالتجاه نفسه. ) إذا تعامد متجهان غير صفريين فإن قياس الزاوية بينهما 180. ) 7 لتجد متجها ا يعامد أي متجهين على األقل في الفضاء أوجد الضرب االتجاهي للمتجهين األصليين. ) 8 طرح متجه يكافي إضافة معكوس المتجه.. v = u ) 9 إذا كان v متجه وحدة باتجاه u فإن u a b a + b a a + b b المتجه ت في الم ستوى االإحداثي الدر س - 1( يف س رة ي هي ت ف ةم لا يف سا يفا ق سا ا, يف س رة ي هي ت ف ةم لا يف سا يفا ق سا يف ناات بهي ة ناات A( 1, 1 ) ندق ة ا B(, ) - 1, - 1 ما ل يف ةم v = v 1, v بقف س غت v = ÇÇÇÇÇÇ ( v 1 ) + ( v ) ي ذي إقن a = a 1, a, b = b 1, b جةمد ن إقن k اها ي ا ا ق لق ن a + b = a 1 + b 1, a + b a - b = a 1 - b 1, a - b k a = k a 1, k a ان يف ةم ف ةمل j i يف هة قل جةمد ا ي سةم ن ai + bj يف س رة ا v = a, b ال سرب الداخلي الدر س - 1 ) a = a 1, a ن ةمد ف يفهي ا يف س م ف a b = a 1 b 1 + a b غت بقف س b = b 1, b ي ذي إقنت θ زي ت ب ن جةمد ن سا ن a, b لق ن cos θ = a b a b المتجه ت في الف س ء الثالثي االأبع د الدر س - 1 ) A( 1, 1, z 1 ) ب ن يفنااة ن سقلت يف ما غت بقف س B (,, z ) AB = ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ ( - 1 ) + ( - 1 ) + ( z - z 1 ) غت بقف س AB جنة س ناات ما M ( 1 +, 1 +, z 1 + z ) ال سرب الداخلي وال سرب االتج هي لمتجهين في الف س ء الدر س ) a = a 1, a, a ن ةمد ف يفهي ا يف س م ف a b = a 1 b 1 + a b + a غت b بقف س b = b 1, b, b ي ذي إقن a = a 1 i + a j + a k, b = b 1 i + b j + b k لق ن يف س ي مق ا ف ةمد ن سق a b a, b ( a b - a b )i - ( a 1 b - a b 1 )j + ( a 1 b - a b 1 )k الف سل 1 يف ةمدقم

46 مراجعة الدرو س 1 حد د الكميات المتجهة والكميات القياسية في كل مما يأتي: ) 10 تسير سيارة بسرعة 50 mi/h باتجاه الشرق. أوجد محصلة المتجهين,s r مستعمالا قاعدة المثلث أو قاعدة متوازي األضالع. قر ب المحص لة إلى أقرب جزء من عشرة من السنتمتر ثم حد د اتجاهها بالنسبة لألفقي مستعمالا المسطرة والمنقلة. 1-1 ) 11 شجرة طولها.0 ft مقدمة في المتجه ت ال سفح ت r s أوجد محصلة كل زوج من المتجهات اآلتية باستعمال قاعدة المثلث أو قاعدة متوازي األضالع. قر ب المحصلة إلى أقرب جزء من عشرة من السنتمتر ثم حد د اتجاهها بالنسبة لألفقي مستعمالا المسطرة والمنقلة. s ق عدة المثلث اسحب r بحيث تلتقي نقطة نهاية r مع نقطة بداية d c ) 1 r + s فتكون المحصلة هي المتجه الذي يبدأ من نقطة s r بداية r وينتهي عند نقطة نهاية s. h ) 1 j r + s ق عدة متوازي االأ سال اسحب s بحيث تلتقي نقطة بدايته مع نقطة b ) 1 بداية r ثم أكمل متوازي األضلع الذي فيه,r s ضلعان متجاوران فتكون المحصلة هي المتجه a r s الذي يكو ن قطر متوازي األضلع. فيكون طول المحصلة. cm وقياس زاويتها w ) مع األفقي. v أوجد طول المحص لة لناتج جمع المتجهين واتجاهها في كل مما يأتي: ) 1 m 70 جهة الغرب ثم 150 m جهة الشرق. ) 17 N 8 للخلف ثم 1 N للخلف. الف سل 1 اف يفهري ست يف الدر س - 1 يجمت 5

47 دليل الدرا سة والمراجعة أوجد الصورة اإلحداثية وطول ÆÆÆ AB الذي نقطة بدايته. B(, -1) ونقطة نهايته A(, -) أوجد الصورة اإلحداثية وطول ÆÆÆ AB المعطاة نقطتا بدايته ونهايته في كل مما يأتي: يف س رة ي هي ت ا س ي AB ÆÆÆ = - 1, - 1 = -, -1 - (-) = 1, 1 أوجد طول المتجه ÆÆÆ. AB 1- المتجه ت في الم ستوى االإحداثي ال سفح ت A(-1, ), B(5, ) ) 18 A(7, -), B(-9, ) ) 19 A(-8, -), B(, 1) ) 0 A(, -10), B(, -5) ) 1 قن ن يف سقلت ا س ب س AB ÆÆÆ = ÇÇÇ a + b = ÇÇÇ = Ç 1. إذا كان: -, = t p =, 0, q = -, -, فأوجد كال مم ا يأتي: q - p ) p + t ) t - p + q ) p + t - q ) 5 أوجد متجه وحدة u باتجاه v في كل مما يأتي: v =, - ) 7 v = -7, ) v = 9, ) 9 v = -5, -8 ) 8 أوجد الضرب الداخلي للمتجهين: 7 -, = =, -5, ثم تحقق مما إذا كانا متعامدين أم ال. أوجد الضرب الداخلي للمتجهين u, v في كل مم ا يأتي ثم تحق ق مم ا إذا كانا متعامدين أم ال: يف س يفهي ا ا س ب س = = (-) + (-5)(7) = -8 + (-5) = - بما أن 0 فإن المتجهين غير متعامدين. 1- ال سرب الداخلي ال سفح ت - 1 u = -, 5, v =, 1 ) 0 u =,, v = 5, 7 ) 1 u = -1,, v = 8, ) u = -,, v = 1, ) أوجد الزاوية θ بين المتجهين u, v في كل مم ا يأتي: u = 5, -1, v = -, ) u = -1, 8, v =, ) 5 الف سل 1 يف ةمدقم

48 1- المتجه ت في الف س ء الثالثي االأبع د ال سفح ت 8 - عي ن كل نقطة من النقاط اآلتية في الفضاء الثالثي األبعاد: عي ن النقطة (-,,-) في الفضاء الثالثي األبعاد. حد د موقع النقطة (,-) في المستوى بوضع إشارة ثم عي ن نقطةا تبعد وحدات أسفل هذه النقطة وباتجاه مواز للمحور. z z (1,, -) ) (, 5, ) ) 7 (5, -, -) ) 8 (-, -, -) ) 9 - أوجد طول القطعة المستقيمة الم عطاة نقطتا طرف يها في كل مما يأتي ثم أوجد إحداثيات نقطة منتصفها. (-, 10, ), (, 0, 8) ) 0 (-,, -) (-5,, ), (-9, -, -) ) 1 (,, 0), (-9, -10, ) ) (8,, ), (-, -, ) ) مث ل بياني ا كال من المتجهات اآلتية في الفضاء: a = 0, -, ) b = -i + j + k ) 5 c = -i - j + 5k ) d = -, -5, - ) 7 u v أوجد الضرب االتجاهي للمتجهين: -, -, = u. u, v يعامد كال من u v ثم بي ن أن v = 7, 11, = 11 - i j k = 7, -1, -58 (u v) u = 7, -1, -58 -,, - = = 0 (u v) v = 7, -1, -58 7, 11, = = 0 بما أن حاصل الضرب الداخلي في الحالتين يساوي صفرا ا فإن u v عمودي على كل من u, v ال سرب الداخلي وال سرب االتج هي للمتجه ت في الف س ء ال سفح ت أوجد الضرب الداخلي للمتجهين u, v في كل مما يأتي ثم حد د ما إذا كانا متعامدين أم ال. u =, 5,, v = 8,, -1 ) 8 u = 5, 0, -, v = -, 1, ) 9 أوجد الضرب االتجاهي للمتجهين u, v في كل مما يأتي ثم بي ن أن : u, v يعامد كال من u v u = 1, -, -, v =,, - ) 50 u =, 1, -, v = 5, -, -1 ) 51 الف سل 1 اف يفهري ست يف الدر س - 1 يجمت 7

49 دليل الدرا سة والمراجعة ) 5 كرة قدم: تلق ى العب كرة قدم الكرة برأسه فارتد ت بسرعة ابتدائية مقدارها 55 ft/s وبزاويةا قياسها 5 فوق األفقي كما في الشكل أدناه. أوجد مقدار كل من المركبتين األفقية والرأسية للسرعة. )يفهر س -1 1 ) تطبيق ت وم س ئل ) 55 اأقم ر ا سطن عية: إذا م ث لت النقطتان: (8-,1,85) ع ي قمرين اصطناعيين وم ث ل ت 015) -918, (-11, موق النقطة (0,0),0 مركز األرض وعلمت أن اإلحداثيات معطاة بالميل وأن طول نصف قطر األرض يساوي 9 mi تقريبا ا فأجب عم ا يأتي: )يفهر س - 1 ) a( أوجد المسافة بين القمرين. 55 ft/s 5 b( إذا وضع قمر ثالث في منتصف المسافة بين القمرين فما إحداثيات موقعه ) 5 طيران: تهبط طائرة بسرعة مقدارها 110 mi/h وبزاوية قياسها 10 تحت األفقي أوجد الصورة اإلحداثية للمتجه الذي ي مث ل سرعة الطائرة. )يفهر س - 1 ) c( اشرح إمكانية وضع قمر ثالث في اإلحداثيات التي أوجدتها في الفرع. b ) 5 استعمل الضرب القياسي الثلثي لحساب حجم غرفة أبعادها m, m, 5 m إرشاد: اعتبر متوازي المستطيالت حالةا خاصةا من متوازي السطوح". )يفهر س -5 1 ) 110 mi/h ) 5 سن دي : يدفع عامل صندوقا ا بقوة ثابتة مقدارها 90 N بزاوية 5 في الشكل أدناه. أوجد الشغل المبذول بالجول لتحريك الصندوق 8 m )مع إهمال قوة االحتكاك(. )يفهر س - 1 ) -5 F 5 8 الف سل 1 يف ةمدقم

50 اختب ر الف سل محصلة كل زوج من المتجهات اآلتية باستعمال قاعدة المثلث أوجد قرب المحصلة إلى أقرب جزء من عشرة من أو قاعدة متوازي األضالع ا السنتمتر ثم حد د اتجاهها بالنسبة لألفقي مستعمال المسطرة والمنقلة. )1 ) p c إذا كان a =,, -, b = -5, -7, 1, c = 8, 5, -9 : فأوجد كال مما يأتي : a + 5b - c )1 d q b - a + c )1 AB المعطاة نقطتا بدايته ونهايته في كل أوجد الصورة اإلحداثية وطول مما يأتي : 1 A,, B(-1, 7) ) A(1, -), B(-5, 1) ) ) ( )5 كرة قدم : ركض العب بسرعة m/s للتصدي لكرة قادمة من االتجاه المعاكس لحركته فضربها برأسه بسرعة 0 m/s وبزاوية قياسها 5 مع األفقي فما محصلة سرعة الكرة واتجاه حركتها )1 ب لون ت الهواء ال س خن : أطلق 1 بالونا ا تحوي هوا ا ء ساخنا ا في أحد المهرجانات وبعد عدة دقائق من اإلطلق كانت إحداثيات البالونين األول والثاني هي (0, 5, 0), (-9, 15, 10) : كما في علما بأن اإلحداثيات معطاة باألقدام. الشكل أدناه ا z ) (-9, 15, 10 5 m/sec أوجد متجه وحدة باتجاه u في كل مما يأتي : u =, - )7 u = -1, ) أوجد الضرب الداخلي للمتجهين u, v في كل مما يأتي ثم ب ين ما إذا كانا متعامدين أم ال : u =, -5, v = -, )8 u =, -, v =, 8 )9 u = 10i - j, v = i + 8j )10 )11 اختي ر من متعدد : إذا علمت أن u = 1,, v = -, : فأي مما يأتي يم ثل ناتج جمع متجهين متعامدين أحدهما مسقط u على v ) (0, 5, m/sec )a أوجد المسافة بين البالونين األول والثاني في تلك اللحظة. )b إذا كان البالون الثالث عند نقطة منتصف المسافة بين البالونين األول والثاني فأوجد إحداثياته. أوجد الزاوية θ بين المتجهين u, v في مما يأتي : كل u = -,,, v =, 7, 1 )15 u = -9i + 5j + 11k, v = -5i - 7j - k )1 أوجد الضرب االتجاهي للمتجهين u, v في كل مما يأتي ثم ب ين أن u v يعامد كال من : u, v A = u, - +, 18 B = u, +, 1 u = 1, 7,, v = 9,, 11 )17 C 9 u = -, +, 1 u = -i + j - k, v = 5i - j - k )18 D 7,1 +, 1 u = الف سل 1 يفا س الدر س 1 - ي ةلقر 9

51 االإحداثي ت القطبية واالأعداد المركبة Polar Coordiates ad Comple Numbers ار ست يفاا يف خ ت ق ب قن ث دق جمقا دق يج جث ي هي قم يفاال ت ب قن ق يج ل ب ن ي هي قم يف مقا م يفه قر ت ت يفاال يجإة ي جاهيا يف إلت ا يف س رة يفاال ت يف س رة يفه قر ت يج ل ب ند ق ت س ميم هند سية: قل يف سة ي سةم ن يفاالا لا ا سقج سدق ف ت ت ل ثي نه س د ا دق يف ي ا ب سادق يجاهيا ي ج إلت ا يف س رة يفاال ت قراءة س بقة: ي يج انق ن يفهر س يف ا ايم ي ج سق س ت لا ي يفا س فة سقاه ا يفةنل بق جل قر يفةا يفا س لا ي دق سةةم 50 الف سل ي هي قم يفاال ت ي جاهيا يف إلت

52 للف سل التهيئة اال ستعداد: نق به ين ف ةقجإه جن يف ةا لقم ت سخي س يف سقبات 1 ان يج س ت ي ةلقر يف س ا ي ا يج مراجعة المفردات (Iitial Side of a Agle) االبتداء للزاوية سلع يف س ا يف نال ا يف ر انهجق ن يفزي ت لا يف سا يفا ق سا (Termial Side of a Agle) للزاوية االنته ء سلع يف س ا يف ه ر ل ناات ي ج س انهجق ن يفزي ت لا يف سا يفا ق سا قي س الزاوية Agle) (Measure of a ااقر ي مق ا س ي نةدقض اير س ا ي ذي ج جل ق يفزي ت ق س ن يف سقات ن سقفل ق ي ذي اير س ا ي نةدقض لا ي مق ااقر يف سقات متط بق ت المجمو والفرق (Sum ad Differece Idetities) si (A + B ) = si A cos B + cos A si B cos ( A + B ) = cos A cos B - si A si B si (A - B) = si A cos B - cos A si B cos (A - B) = cos A cos B + si A si B ارسم كال من الزاويتين المعطى قياسهما فيما يأتي في الوضع القياسي: 00 ) 1-5 ) أوجد زاوية بقياس موجب وأخرى بقياس سالب مشتركتين في ضلع االنتهاء مع كل من الزوايا اآلتية ومث لهما في الوضع القياسي: 15 ) -10 ) π - π ) 5 ) حو ل قياس الزاوية المكتوبة بالدرجات إلى الراديان والمكتوبة بالراديان إلى درجات في كل مما يأتي: π ) 8-0 ) 7 ) 9 أوجد القيمة الدقيقة ل si 15 باستعمال متطابقة الفرق بين زاويتين. ) 10 أوجد طول الضلع AC في المثلث المرسوم أدناه )قر ب إلى أقرب جزء من عشرة(. C m 0 B m A أسئلة تهيئة إضافية على الموقع يج س ت د ت ي سقل ت ا يف ا الف سل يفةد ت ف ا س 51

53 القطبية االإحداثي ت Polar Coordiates ي ستعمل مراقبو الحركة الجوية أنظمة رادار حديثة لتوجيه مسار الطائرات والحصول على مسارات ورحلت جوية آمنة. وهذا يضمن بقاء الطائرة على مسافة آمنة من الطائرات األخرى والتضاريس األرضية. ويستعمل الرادار قياسات الزوايا والمسافات المتجهة لتمثيل موقع الطائرة. ويقوم المراقبون بتبادل هذه المعلومات مع الطيارين. تمثيل االإحداثي ت القطبي ة لقد تعلمت التمثيل البياني لمعادالت معطاة في نظام اإلحداثيات الديكارتي ة )المستوى اإلحداثي(. وعندما يحدد مراقبو الحركة الجوية موقع الطائرة باستعمال المسافات والزوايا فإنهم يستعملون نظام اإلحد اثيات القطبية )المستوى القطبي(. في نظام اإلحداثيات الديكارتية المحوران, هما المحوران األفقي والرأسي على الترتيب وت سم ى نقطة تقاطعهما نقطة األصل ويرمز لها بالحرف. وي عي ن موقع النقطة P باإلحداثيات الديكارتية من خلل زوج مرتب (,) حيث, المسافتان المت جهتان األفقية والرأسية على الترتيب من المحورين إلى النقطة. فمثلا تقع النقطة ) Ç,1) على ب عد وحدة وحدة إلى يمين المحور وعلى ب عد Ç وحدة إلى أعلى المحور. في نظام اإلحداثيات القطبية نقطة األصل نقطة ثابتة ت سمى القطب. والمحور القطبي هو نصف مستقيم يمتد أفقي ا من القطب إلى اليمين. يمكن تعيين موقع نقطة P في نظام اإلحداثيات القطبية باستعمال اإلحداثيات (θ,r) حيث r المسافة المت جهة )أي تتضمن قيمةا واتجاها ا فمن الممكن أن تكون r سالبة( من القطب إلى النقطة P و θ الزاوية المت جهة )أي تتضمن قيمةا واتجاها ا( من المحور القطبي إلىÈÈ. P P(, ) r θ P(r, θ) ار س ت يفز ي ق يف جل ت يف سقفل ت ر س ةد ق ل ا يف س ا يفا ق س ا م ت يفة ث يفل قن ا ف مقا م لا يف سة ي هي ا ) جدقرة سقبات ( يج جث ناق ق بق هي قم يفاال ت يج جث ب قن ق جمقا م ال ت ب س ات ن ق ي هي قم يفاال ت القياس الموجب للزاوية θ يعني دورانا ا بعكس اتجاه عقارب الساعة بدءا ا من المحور القطبي في حين يعني القياس السالب دورانا ا باتجاه عقارب الساعة ولتمثيل النقطة P باإلحداثيات القطبي ة فإن P تقع على ضلع االنتهاء للزاوية θ إذا كانت r موجبة. أما إذا كانت سالبة فإن P تقع على نصف المستقيم المقابل )االمتداد( لضلع االنتهاء للزاوية. θ polar coordiate sstem يفاا pole يف ر يفاالا polar ais ي هي قم يفاال ت polar coordiates يف مقافت يفاال ت polar equatio يفة ث يفاالا polar graph π 5 A(, 5 ) π B (-1.5, ) 1 مث ل كل نقطة من النقاط اآلتية في المستوى القطبي: A(, 5 ) )a بما أن 5 = θ فارسم ضلع االنتهاء للزاوية 5 بحيث يكون المحور القطبي هو ضلع االبتداء لها وألن = r لذا عي ن نقطةا A تبع د وحدتين عن القطب على ضلع االنتهاء للزاوية 5 كما في الشكل المجاور. B (-1.5, π ) )b بحيث يكون المحور π بما أن θ = π لذا ارسم ضلع االنتهاء للزاوية القطبي هو ضلع االبتداء لها وألن r سالبة لذا م د ضلع االنتهاء في االتجاه المقابل وعي ن نقطةا B تبع د 1.5 وحدة عن القطب على امتداد ضلع االنتهاء كما في الشكل المجاور. تمثيل االإحداثي ت القطبية 5 الف سل ي هي قم يفاال ت ي جاهيا يف إلت

54 C(, -0 ) )c -0 C(, -0 ) بما أن 0 - = θ لذا ارسم ضلع االنتهاء للزاوية 0 - بحيث يكون المحور القطبي هو ضلع االبتداء لها وألن = r لذا عي ن نقطةا C تبع د وحدات عن القطب على ضلع االنتهاء للزاوية كما في الشكل المجاور. تحق من فهم مث ل كل نقطة من النقاط اآلتية: F (, - 5π ) )1C E(.5, 0 ) )1B D ( -1, π ) )1A وللتسهيل يمكنك استعمال شبكة دائرية )قطبية( لتمثيل النقاط في المستوى القطبي كما سبق أن استعملت شبكة المربعات لتمثيل النقاط في المستوى اإلحداثي. مث ل كال من النقاط اآلتية في المستوى القطبي: P (, π ) )a بحيث يكون المحور π بما أن θ = π لذا ارسم ضلع االنتهاء للزاوية القطبيهو ضلع االبتداء لها وألن = r لذا عي ن نقطةا P تبع د وحدات عن القطب على ضلع االنتهاء للزاوية كما في الشكل المجاور. Q(-.5, 150 ) )b بما أن 150 = θ لذا ارسم ضلع االنتهاء للزاوية 150 بحيث يكون المحور القطبي ضلع االبتداء لها وألن r سالبة لذا م د ضلع االنتهاء للزاوية في االتجاه المقابل وعي ن نقطةا Q تبعد.5 وحدات عن القطب على امتداد ضلع االنتهاء للزاوية كما في الشكل المجاور. تحق من فهم تمثيل النق في الم ستوى القطبي 5π π 7π π π 10 0 π π π 1 5 π P(, ) 90 5π 0 π 0 11π 1 5 Q(-.5, 150 ) مث ل كال من النقاط اآلتية في المستوى القطبي: S(-, -15 ) )B R (1.5, - 7π ) )A في نظام اإلحداثيات الديكارتية كل نقطة ي عب ر عنها بزوج وحيد من اإلحداثيات (,). إال أن هذا ال ينطبق على نظام اإلحداثيات القطبية وذلك ألن قياس كل زاوية ي كتب بعدد النهائي من الطرائق وعليه فإن للنقطة (θ,r) اإلحداثيات 0 ) (r, θ ± أو π) (r, θ ± أيضا ا كما هو مبي ن أدناه. (θ + 0) r θ P(r, θ) P(r, θ + 0 ) (θ - 0) r θ P(r, θ) P(r, θ - 0 ) القطب ن ث يفاا بقفناات زي ت يج θ (0, θ ) الدر س - 1 ي هي قم يفاال ت 5

55 (θ + 180) r θ (θ - 180) P(r, θ) or P(-r, θ ± 180 ) وكذلك ألن r مسافة متجهة فإن ) θ,r) و 180 ) ± θ (-r, أو π) (-r, θ ± تمث ل النقطة نفسها كما في الشكل المجاور. وبصورة عامة إذا كان عددا ا صحيحا ا فإنه يمكن تمثيل النقطة (θ,r) باإلحداثيات (0,r) θ + أو (180 (1 + )+,r-). θ وبالمثل إذا كانت θ مقيسة بالراديان وكان عددا ا صحيحا ا فإنه يمكن تمثيل النقطة. (-r, θ + ( + 1)π) أو (r, θ + π) باإلحداثيات (r, θ) إذا كانت 0 θ 0 - فأوجد أربعة أزواج مختلفة كل منها يمث ل إحداثيين قطبيين للنقطة T في الشكل المجاور T تمثيالت قطبية متعددة أحد األزواج القطبية التي تمث ل النقطة T هو (15,). وفيما يأتي األزواج الثلثة األخرى: 0 ) - 15 (, = 15 ) (, ي 0 جن θ = (, -5 ) θ ي ف 180 يج س r جن به - r سا (, 15 ) = (-, ) = (-, 15 ) θ جن 180 ي r جن به -r سا (, 15 ) = (-, ) = (-, -5 ) تحق من فهم أوجد ثالثة أزواج مختلفة كل منها يمث ل إحداثيين قطبيين للنقطة المعطاة علما ا بأن:. -π θ π أو -0 θ 0 ( -, π ) )B (5, 0 ) )A التمثيل البي ني للمع دالت القطبية ت سمى المعادلة المعطاة بداللة اإلحداثيات القطبية معا دلةا قطبيةا. فمثلا : r = si θ هي معادلة قطبية. التم ثيل القطبي هو مجموعة كل النقاط (θ,r) التي تحقق إحداثياتها المعادلة القطبية. لقد تعلمت سابقا ا كيفية تمثيل المعادالت في نظام اإلحداثيات الديكارتية )في المستوى اإلحداثي(. وي عد تمثيل المعادالت مثل = a و = b )حيث,a b عددان حقيقيان( أساسي ا في نظام اإلحداثيات الديكارتية. وبالمثل فإن التمثيل البياني لمعادالت قطبية مثل r = k و θ = h حيث,k h عددان حقيقيان ي ع د أساسي ا في نظام اإلحداثيات القطبية. π 5π (, π) π 7π π π r = π (, ) π π π (, ) 1 5 5π π 0 11π م ث ل كل معادلة من المعادالت القطبية اآلتية بياني ا: r = )a تتكون حلول المعادلة = r من جميع النقاط على الصورة ) θ, ( حيث θ أي عدد حقيقي فمثلا تعد النقاط ) π π ), (, π), (, (, حلوالا لها. تمثيل المع دالت القطبية فة ث يف مقافت يفاال ت = r ا يف ق سلت يفل قن ت ي سغ TI - spire يتكون التمثيل البياني من جميع النقاط التي تبع د وحدة عن القطب. وعليه فإن المنحنى هو دائرة مركزها نقطة األصل )القطب( وطول نصف قطرها كما في الشكل المجاور. 5 الف سل ي هي قم يفاال ت ي جاهيا يف إلت ا يج التمثيل البي ني للمع دالت القطبية ي ف يف س سا يجن يف ةغ يفةقبا غ جن f() ي ف يف r ةغ يف سةا جن r = جث θ ي ف

56 π 5π 7π π θ π = π 150 P (r, θ ) 10 π π π π (1, ) π (, ) π (-.5, ) 10 0 π π π P 1 (r 1, θ 1 ) 0 0 θ = π )b تتكو ن حلول المعادلة θ = π من جميع النقاط ) ( r, π حيث r أي عدد حقيقي مثل النقاط ) π π ), (, π ), (-.5, (1, وعليه فإن التمثيل البياني عبارة عن جميع النقاط الواقعة على المستقيم الذي θ = π يصنع زاوية π مع المحور القطبي. تحق من فهم م ث ل كل معادلة من المعادالت القطبية اآلتية بياني ا: )B r = )A يمكن إيجاد المسافة بين نقطتين في المستوى القطبي باستعمال الصيغة اآلتية. الم س فة ب ل سيغة القطبية P 1 نقطتان في المستوى القطبي ( r 1 افترض أن ), θ 1 ), P ( r, θ P 1 بالصيغة: ت عطى المسافة P P 1 P = ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ r 1 + r - r 1 r cos ( θ - θ 1 ) تهيئة الح سبة البي ني ة انه ي سةم قل س غت يف سقلت يفاال ت قجإه جن سل يف ق سلت يفل قن ت ا سم ت يفهرجقم يج يف يا قن ب س يف ماقة يفز ي ق ق سقم س ف ل ن يف س غت لا يف س يل 5 5 حركة جوية: يتابع مراقب الحركة الجوية طائرتين تطيران على االرتفاع نفسه حيث إحداثيات موقعي الطائرتين هما (5,)B,5)A (10, وتقاس المسافة المتجهة باألميال. دالة جيب التم م يجن إ اإيج د الم س فة ب ستعم ل ال سيغة القطبية cos ( θ - θ 1 ) = cos ( θ 1 - θ ) B(, 5 ) 10 A(5, 10 ) a( مث ل هذا الموقف في المستوى القطبي. تقع الطائرة A على ب عد 5 mi من القطب وعلى ضلع االنتهاء لزاوية قياسها 10 في حين تقع الطائرة B على ب عد mi من القطب وعلى ضلع االنتهاء لزاوية قياسها 5 كما في الشكل المجاور. b( إذا كانت تعليمات الطيران تتطلب أن تكون المسافة بين الطائرتين أكثر من mi فهل تخالف هاتان الطائرتان هذه التعليمات و ض ح إجابتك. باستعمال الصيغة القطبية للمسافة فإن. يف سقلت بقف س غت يفاال ت ( r 1, θ 1 ) = (5, 10 ), ( r, θ ) = (, 5 ) AB = = r ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ 1 + r - r 1 r cos ( θ - θ 1 ) ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ (5)() cos (5-10 ). فاه رم يجف قن ق جدقز رياير اق سةا 19 ا ر سه يفاق يم س ن اي ة ن س ا ق 80 mi الم سدر: A Histor of the World Semicoductor Idustr أي أن المسافة بين الطائرتين. mi تقريبا ا وعليه فإنهما ال تخالفان تعليمات الطيران. تحق من فهم 5( قوارب: يرص د رادار بحري حركة قاربين إذا كانت إحداثيات موقعي القاربين (5 ),, (150 8), حيث r باألميال. 5A( فمث ل هذا الموقف في المستوى القطبي. 5B( ما المسافة بين القاربين الدر س - 1 ي هي قم يفاال ت 55

57 0 m 10 m مث ل كل نقطة مما يأتي في المستوى القطبي. )المثق ن 1(, T(-.5, 0 ) ) R(1, 10 ) ) 1 A (, π ) ) F (-, π ) ) D (-1, - 5π ) ) B(5, -0 ) ) 5 C(-, π) ) 8 G (.5, - 11π ) ) 7 W(-1.5, 150 ) ) 10 M(0.5, 70 ) ) 9 ) 11 رماية: يتكون هدف في منافسة للرماية من 10 دوائر متحدة المركز. ويتدرج عدد النقاط المكتسبة من 1 إلى 10 من الحلقة الدائرية الخارجية إلى الدائرة الداخلية على الترتيب. افترض أن راميا ا يستعمل هدفا ا نصف قطره 10 cm وأنه قد أطلق ثلثة أسهم فأصابت الهدف عند النقاط 0 ) (0,, 15 ) (8,, 5 ).(11, إذا كان لجميع الحلقات الدائرية السمك نفسه ويساوي طول نصف قطر الدائرة الداخلية. )المثق ن 1(, cm a( فمث ل النقاط التي أصابها الر امي في المستوى القطبي. b( ما مجموع النقاط التي حصل عليها الر امي إذا كانت 0 θ 0 - فأوجد ثالثة أزواج مختلفة كل منها يمث ل إحداثيين قطبيين للنقطة في كل مما يأتي: )مثال ( (-, 00 ) ) 1 (1, 150 ) ) 1 (-, π ) ) 15 (, - 7π ) ) 1 (-5, - π ) ) 17 (5, 11π ) ) 1 (-1, -0 ) ) 19 (, -0 ) ) 18 م ث ل كل معادلة من المعادالت القطبية اآلتية بياني ا: )مثال ( ) القفز بالمظالت: في مسابقة لتحديد دقة موقع الهبوط يحاول مظلي الوصول إلى»مركز الهدف المحدد«ومركز الهدف عبارة عن دائرة حمراء طول قطرها. m كما يشمل الهدف دائرتين طوال نصفي قطريهما 10 m و. 0 m )مثال ) a( اكتب معادالت قطبية تمث ل حدود المناطق الثلث للهدف. b( م ث ل هذه المعادالت في المستوى القطبي. أوجد المسافة بين كل زوج من النقاط فيما يأتي. )مثال 5( (, π ), (8, π ) ) (, 0 ), (5, 10 ) ) 5 ( 7, - π ), (1, π ) ) 8 (, 5 ), (-, 00 ) ) 7 (, -15 ), (1, 0 ) ) 0 (- 5, 7π ), (, π ) ) 9 (-, 11π ), (-, 5π ) ) (-, -0 ), (8, 10 ) ) 1 (7, - 90 ), (-, - 0 ) ) ( 1, - π ), (- 5, 7π ) ) (- 5, 15 ), (-1, 0 ) ) (8, - π ), (, - π ) ) 5 ) 7 م س احون: أراد مس اح تحديد حدود قطعة أرض فحد د أثرا ا يبع د 18 ft بزاوية 5 إلى يسار المركز وأثرا ا آخر على ب عد ft بزاوية 7 إلى يمين المركز كما في الشكل أدناه أوجد المسافة بين األثرين. )مثال 5( ft ft ) 8 مراقبة: تراقب آلة تصوير مثبتة منطقة جبلية تمث ل جزءا ا من دائرة وت حد د بالمتباينتين 0 r θ 150, 0-0 حيث r باألمتار. a( مث ل في المستوى القطبي المنطقة التي يمكن آللة التصوير مراقبتها. b( أوجد مساحة المنطقة )مساحة القطاع الدائري تساوي: مساحة الدائرة(. قياس زاوية القطاع بالدرجات 0 θ = 5 ) 1 r = 1.5 ) 0 r = -.5 ) θ = - 7π ) 5 الف صل ةبكرملا دادعألاو ةيبطقلا تايثادحإلا

58 إذا كانت 180 θ 0 فأوجد زوجا ا آخر من اإلحداثيات القطبي ة لكل نقطة مما يأتي: (5, 90 ) ) 9 (-.5, 15π ) ) 0 (, π 1 ) ) 1 (1.5,-90 ) ) (-1, - 1π 8 ) ) (-, -10 ) ) ) 5 م سرح: يلقي شاعر قصيدة في مسرح. ويمكن وصف المسرح بمستوى قطبي بحيث يقف الشاعر في القطب باتجاه المحور القطبي. افترض أن الجمهور يجلس في المنطقة المحددة بالمتباينتين 0 r π θ π, 0 - حيث r باألقدام. a( مث ل المنطقة التي يجلس بها الجمهور في المستوى القطبي. b( إذا كان كل شخص بحاجة إلى 5 ft فكم مقعدا ا يتسع المسرح ) اأمن: يضيء مصباح مراقبة مثبت على سطح أحد المنازل منطقة على شكل جزء من قطاع دائري محد د بالمتباينتين 5π π θ 0 r حيث r باألقدام. إذا كانت مساحة المنطقة. كما هو مبين في الشكل أدناه فأوجد قيمة 1.1 ft 5π π 7π π π π 1.1 ft π π 5π 0 π 0 11π أوجد اإلحداثي المجهول الذي يحق ق الشروط المعطاة في كل مما يأتي: ) 51 تمثيالت متعددة: في هذه المسألة سوف تستقصي العلقة بين اإلحداثيات القطبية واإلحداثيات الديكارتية. π A (, في المستوى القطبي وارسم نظام )a بياني ا: عي ن ) اإلحداثيات الديكارتية فوق المستوى القطبي بحيث تنطبق نقطة األصل على القطب والجزء الموجب من المحور على المحور القطبي. وبالتالي سينطبق المحور على المستقيم π θ. = ارسم مثلثا ا قائما ا بوصل A مع نقطة األصل وارسم منها عمودا ا على المحور. b( عددي ا: احسب طولي ضلعي الزاوية القائمة باستعمال طول الوتر والمتطابقات المثلثية. 5π B (, على المستوى القطبي نفسه وارسم )c بياني ا: عي ن ) مثلثا ا قائما ا بوصل B مع نقطة األصل وارسم منها عمودا ا على المحور واحسب طولي ضلعي الزاوية القائمة. d( تحليلي ا: كيف ترتبط أطوال أضلع المثلث باإلحداثيات الديكارتية لكل نقطة r), (θ تحليلي ا: اشرح العلقة بين اإلحداثيات القطبية e( واإلحداثيات الديكارتية ) (,. اكتب المعادلة لكل تمثيل قطبي مما يأتي: π 180 5π 7π π π 10 π π π 5π π π ) 5 ) 5 P 1 = (, 5 ), P = (r, 75 ), P 1 P =.17 ) 7 P 1 = (5, 15 ), P = (, θ), P 1 P =, 0 θ 180 ) P 1 = (, θ), P = (, 7π 9 ), P 1 P = 5, 0 θ π ) 9 P 1 = (r, 10 ), P = (, 10 ), P 1 P =.97 ) 50 الدر س - 1 ةيبطقلا تايثادحإلا 57

59 ) 5 تبرير: وض ح لماذا ال يكون ترتيب النقاط في معادلة المسافة القطبية مهم ا أو بعبارة أخرى لماذا يمكنك اختيار أي نقطة لتكون P 1 والنقطة األخرى لتكون P ) 55 تحد : أوجد زوجا ا م ر ت با ا من اإلحداثيات القطبية لتمثيل النقطة التي إحداثياتها الديكارتية (-,-). ) 5 بره ن: أثبت أن المسافة بين النقطتين ) P 1 ( r 1, θ 1 ), P ( r, θ. P 1 P = ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ هي ) 1 r 1 + r - r 1 r cos ( θ - θ )ي ريسقا استعمل قانون جيوب التمام(. ) 57 تبرير: وض ح ماذا يحدث لمعادلة المسافة المعطاة بالصيغة القطبية عندما يكون. θ - θ 1 = π فس ر هذا التغي ر. ) 58 اكت سف الخط أ: قام كل من سعيد وعلي بتمثيل النقطة (5,5) في المستوى القطبي كما هو مبي ن أدناه. أيهما كانت إجابته صحيحة ب ر ر إجابتك. أوجد الزاوية θ بين المتجهين u, v لكل مما يأتي: )يفهر س 5-1( u =, -, 5, v =,, -8 ) 5 u = i - j + 7 k, v = 5 i + j - 11 k ) u = -1, 1, 5, v = 7, -, 9 ) 7 أوجد إحداثيات مركز وطول نصف قطر كل من الدوائر اآلتية: )جدقرة سقبات( + ( - 1 ) = 9 ) 8 ( + 1 ) + = 1 ) 9 + = 1 ) 70 ) 71 أي المتجهات اآلتية يمث لÆÆ RS حيث إن نقطة البداية ( 5-)R, ونقطة النهاية (7-, S( -7, 10 C 7, -10 A -, -10 D -, 10 B ) 59 اكتب: خم ن سبب عدم كفاية اإلحداثيات القطبية لتحديد موقع طائرة بشكل دقيق. ) 7 يستطيع رشاش ماء رش منطقة على شكل قطاع دائري يمكن تحديدها بالمتباينتين 0 r θ 10, 0-0 حيث r باألقدام. ما المساحة التقريبية لهذه المنطقة ft C 81 ft A 8 ft D 88 ft B أوجد حاصل الضرب الداخلي للمتجهين u, v في كل مما يأتي ثم حد د ما إذا كان u, v متعامدين أوال : )يفهر س - 5 )1 u =, 10, 1, v = -5, 1, 7 ) 0 u = -5,,, v = -, -9, 8 ) 1 u = -8, -, 1, v =, -, 0 ) إذا كان 5 -,, = c. a = -,, -, b =, 5, 1, فأوجد كال مما يأتي: )يفهر س - 1( a + b + 8c ) -a + b - 5c ) 58 الف سل ي هي قم يفاال ت ي جاهيا يف إلت

60 القطبية وال سورة الديك رتية للمع دالت ال سورة Polar ad Rectagular Forms of Equatios π P(, ) P(cos θ, si θ) r = 1 θ يبعث م ج س م ثبت إلى رجل آلي أمواجا ا فوق صوتية على شكل دوائر كاملة وعندما تصطدم األمواج بجسم فإن المجس يستقبل إشارة ويقوم بحساب ب عد الجسم عن مقدمة الرجل اآللي بداللة المسافة المتجهة r والزاوية المتجهة. θ ويوصل المجس هذه اإلحداثيات القطبية إلى الر جل اآللي ال ذي يحولها إلى اإلحداثيات الديكارتية ليتمكن من تعيينها على خريطة داخلية. االإحداثي ت القطبية والديك رتية يمكن كتابة إحداثيات النقطة ( P(, الواقعة على دائرة الوحدة وعلى ضلع االنتهاء لزاوية θ على الصورة θ) P(cos θ, si ألن cos θ =, si θ = فإذا كان طول نصف قطر دائرة عددا ا حقيقي ا r بدالا من 1 فإنه يمكننا كتابة النقطة ) P(, بداللة r, θ على النحو اآلتي: cos θ =, si θ = r r ي س لا r cos θ =, r si θ = r وإذا نظرنا للمستوى الديكارتي على أنه مستوى قطبي بحيث ينطبق المحور القطبي على الجزء الموجب من المحور والقطب على نقطة األصل فإنه يصبح لدينا وسيلة لتحويل اإلحداثي ات القطبية إلى اإلحداثي ات الديكارتي ة. ي ذي إقن ف ناات P ي هي قم يفاال ت ) θ (,r لق ن ي هي قم يفه قر ت ) (, ف ناات ا P = r cos θ, = r si θ يج يجن ) θ (, ) = ( r cos θ, r si ار ست ث يفناقا لا ن ق ي هي قم يفاال ت بم س يف مقا م يفاال ت ) يفهر س -1 ( يج ل ب ن ي هي قم يفاال ت يفه قر ت يج ل يف مقا م جن يف س رة يفاال ت ي ف يف س رة يفه قر ت يفم س تحويل االإحداثي ت القطبية اإلى االإحداثي ت الديك رتية θ r P(, ) P(r, θ) 1 تحويل االإحداثي ت القطبية اإلى االإحداثي ت الديك رتية π π P 0 حو ل اإلحداثيات القطبية إلى إحداثيات ديكارتية لكل نقطة مما يأتي: P (, π ) )a. r =, θ = π ( = θ) (r, فإن, π بما أن إحداثيات النقطة ) = r si θ = si π = ( 1 ) يفة س r =, θ = π ب س = r cos θ = cos π = ( Ç ) = = Ç أي أن اإلحداثيات الديكارتية للنقطة P هي ( Ç, ) أو (,.) تقريبا ا كما في الشكل أعله. الدر س - يف س رة يفاال ت يف س رة يفه قر ت ف مقا م 59

61 Q(-, 15 ) )b π بما أن إحداثيات النقطة 15 ) (-, = θ) (r, فإن 15 = θ. r = -, 15 Q 0 = r si θ = - si 15 = -( Ç ) = - Ç يفة س r = -, θ = 15 ب س = r cos θ = - cos 15 = - (- Ç ) = Ç أي أن اإلحداثيات الديكارتية للنقطة Q هي ) Ç Ç, - ( أو -1.1) (1.1, تقريبا ا كما في الشكل أعله. V(, -10 ) )c بما أن إحداثيات النقطة -10 ), ( = θ) (r, فإن -10 = θ r =, = r si θ = si (-10 ) = (- Ç ) = - Ç يفة س r =, θ = -10 ب س = r cos θ = cos (-10 ) = (- 1 = - ) أو (.-,1.5-) تقريبا ا كما في الشكل أعله. (-, - Ç أي أن اإلحداثيات الديكارتية للنقطة V هي ) π R π T (-, 5 ) )1C S ( 5, π ) تحق من فهم حو ل اإلحداثيات القطبية إلى إحداثيات ديكارتية لكل نقطة مما يأتي: )1B R(-, -10 ) )1A ولكتابة زوج اإلحداثيات الديكارتية بالصيغة القطبية فإنك بحاجة إلى إيجاد المسافة المتجهة r من نقطة األصل أو القطب إلى النقطة (,) و قياس الزاوية المتجهة التي يصنعها P مع الجزء الموجب من المحور أو المحور القطبي. π استعمل نظرية فيثاغورس إليجاد المسافة r من النقطة (,) إلى نقطة األصل. π -10 r θ P(, ) 0 0 ن ت ل ثق ر س يفم ر يفة ب ما يف ج ف ا ل ن r = + r = ÇÇÇ + ترتبط الزاوية θ بكل من, من خلل دالة الظل وإليجاد الزاوية θ: يف م ta θ = Ta يف ايفت جم س θ = -1 تذك ر أن الدالة العكسي ة للظل معر فة فقط على الفترة ) π, π -) أو (90,90 -) في نظام اإلحداثيات الديكارتية. وت عطى قيم θ الواقعة في الربع األول أو الرابع أي عندما تكون > 0 كما في الشكل...1 وإذا كانت < 0 فإن الزاوية تقع في الربع الثاني أو الثالث لذا عليك إضافة π أو 180 )طول الدورة للدالة ) = ta إلى قياس الزاوية المعطاة بالدالة العكسي ة للظل كما في الشكل... π π P(, ) تحويل االإحداثي ت ي ن يفم ت يف ةلمت فة ي هي قم يفه قر ت ي ف ي هي قم يفاال ت ا ذي دق يفم ت يف ةلمت لا ي مقا ل يف ةم ي مق π θ + π θ 0 π θ 0 P(, ) π عندما < 0 θ = Ta -1 أو θ = Ta -1 + π ال سكل.. π عندما > 0 θ = Ta -1 ال سكل..1 0 الف سل ي هي قم يفاال ت ي جاهيا يف إلت

62 تحويل االإحداثي ت الديك رتية اإلى االإحداثي ت القطبية π ي ذي إقن ف ناات P ي هي قم يفه قر ت ( (, لق ن ي هي قم يفاال ت ف ناات ا P θ) ( r, انهجق > 0 θ = Ta -1 + الدر س - يف س رة يفاال ت يف س رة يفه قر ت ف مقا م 1 لق ن < 0 انهجق θ = Ta -1 + π θ = Ta -1 يج إقنت > 0 ي ذي r = θ = π لق ن = 0 انهجق يج r = θ = - π ي ذي إقنت < 0 r = ÇÇÇÇ تذك ر أن هناك عددا ا النهائي ا من أزواج اإلحداثيات القطبية للنقطة والتحويل من اإلحداثيات الديكارتية إلى اإلحداثيات القطبية يعطي أحدها. أوجد زوجين مختلفين كل منهما يمث ل إحداثيين قطبيين لكل نقطة معطاة باإلحداثي ات الديكارتي ة في كل مما يأتي: 5π T.71 π θ π 97 r θ = = P(r, θ ) P(, ) Ta S (1, - Ç ) )a بما أن إحداثيات النقطة ) (, ) = (1, - Ç فإن. = 1, = - Ç. θ إليجاد الزاوية θ = Ta -1 وألن > 0 لذا استعمل الصيغة θ = Ta Ç = Ta 1 = - π Ta -1 (- ) يفة س = 1, = - Ç ب س r = = = ÇÇÇ + 1 ÇÇÇÇÇ + (- Ç ) Ç =.S ( زوج من اإلحداثيات القطبية للنقطة, - π أي أن ) تحويل االإحداثي ت الديك رتية اإلى االإحداثي ت القطبي ة π - S 0 ويمكن إيجاد زوج آخر باستعمال قيمة موجبة ل θ وذلك بإضافة. π 5π (, كما في الشكل المجاور. π -, ( أو ) فيكون ) π + T (-, ) )b بما أن إحداثيات النقطة ) (-, = ) (, فإن =. = -, وألن < 0 لذا استعمل الصيغة θ = Ta -1 إليجاد الزاوية θ يفة س =, = - r = = ÇÇÇ + ÇÇÇÇÇ (-) + = Ta -1 (-) ب س = Ç 5.71 أي أن (117,.71) تقريبا ا هو زوج من اإلحداثيات القطبية للنقطة T ويمكن إيجاد زوج آخر باستعمال قيمة سالبة ل r فنحصل على 180 ) (-.71, أو 97 ) (-.71, كما في الشكل المجاور. تحق من فهم أوجد زوجين مختلفين كل منهما يمث ل إحداثيين قطبيين لكل نقطة معطاة باإلحداثي ات الديكارتي ة في كل مما يأتي: W(-9, -) )B V(8, 10) )A

63 في بعض ظواهر الحياة الطبيعية قد يكون من المفيد أن تحو ل بين اإلحداثيات القطبية واإلحداثيات الديكارتية. التحويل بين االإحداثي ت رجل اآلي: بالرجوع إلى فقرة «لماذا» افترض أن الر جل اآللي متجه إلى الشرق وأن ال مج س قد ر ص د جسما ا عند النقطة 95 ) (5,. a( ما اإلحداثيات الديكارتية التي يحتاج الرجل اآللي إلى حسابها = r si θ = 5 si 95 يفة س r = 5, θ = 95 = r cos θ = 5 cos ب س.11 أي أن اإلحداثيات الديكارتية لموقع الجسم هي (.5 -,.11) تقريبا ا. r = b( إذا كان موقع جسم ر صد سابقا ا عند النقطة التي إحداثياتها (7 ), فما المسافة وقياس الزاوية بين الجسم والرجل اآللي ÇÇÇ + يفة س θ = Ta -1 = Ta =, = 7 ب س = ÇÇÇ زن ق ي ف رجي نق سق ت إقفت س 00 بق نه ف ل 1 ft ذريا جايض 11 ft بم س يف دق لا يفا سقض يفخقرجا الم سدر: The New York Times اإلحداثيات القطبية لموقع الجسم هي (.8,7.) تقريبا ا أي أن المسافة بين الجسم والرجل اآللي 7. وقياس الزاوية بينهما.8 تحق من فهم ( سيد االأ سم ك: ي ستعمل جهاز رصد مثبت في قارب صيد لتحديد موقع وجود األسماك تحت الماء. افترض أن قاربا ا يتجه إلى الشرق وأن جهاز الرصد قد رصد سربا ا من األسماك عند النقطة (15 )., A( ما اإلحداثيات الديكارتية لموقع سرب األسماك B( إذا كان موقع سرب األسماك قد ر صد سابقا ا عند النقطة التي إحداثياتها الديكارتية ( -), فما اإلحداثيات القطبية لموقع السرب المع دالت القطبية والديك رتية قد تحتاج في دراستك المستقبلية إلى تحويل المعادلة من الصورة الديكارتية إلى الصورة القطبية والعكس وذلك لتسهيل بعض الحسابات. فبعض المعادالت الديكارتية المعق دة صورتها القطبية أسهل كثيرا ا. الحظ معادلة الدائرة على الصورة الديكارتية والقطبية كما في الشكل أدناه. يف مقافت ا يف س رة يفه قر ت يف مقافت ا يف س رة يفاال ت r = π π 0 + = 9 π وبشكل مماثل فإن بعض المعادالت القطبية المعق دة صورتها الديكارتية أسهل كثيرا ا فالمعادلة القطبية = r صورتها الديكارتية هي = - cos θ - si θ الف سل ي هي قم يفاال ت ي جاهيا يف إلت

64 إن عملية تحويل المعادلة من الصورة الديكارتية إلى الصورة القطبية عملية مباشرة إذ نعوض عن ب r cos θ وعن ب r si θ ثم نبس ط المعادلة الناتجة باستعمال الطرق الجبرية والمتطابقات المثلثية. تحويل المع دالت الديك رتية اإلى المع دالت القطبية اكتب كل معادلة مما يأتي على الصورة القطبية: ( - ) + = 1 )a إليجاد الصورة القطبي ة للمعادلة عوض عن ب r cos θ وعن ب. r si θ ثم ب س ط المعادلة. يف مقافت ي ج س ت = r cos θ, = r si θ ي س ي 1 جن يفا ل ن سا يف ه ا يف بمت لا ف ي ه جةاقبات ل ثق ر س ي س يفا ل ن ا r 0 r ( - ) + = 1 (r cos θ - ) + (r si θ ) = 1 r co s θ - 8r cos θ r si θ = 1 r co s θ - 8r cos θ + r si θ = 0 r co s θ + r si θ = 8r cos θ r (co s θ + si θ) = 8r cos θ r (1) = 8r cos θ r = 8 cos θ يف مقافت ي ج س ت = r cos θ, = r si θ ي س ي س يفا ل ن ا r co s θ 1 si θ co s θ = si θ cos θ. cos θ يف ةاقباقم يفن سل ت جةاقباقم يف ا = = )b r si θ = (r cos θ ) r si θ = r co s θ si θ co s θ si θ cos θ 1 cos θ = r = r ta θ sec θ = r المتط بق ت المثلثية جن يف ا ه يجن يجا يف ةاقباقم يف ث ث ت يفةا سقاه ف ةدق سقبا ق م ا ل س يف س رة يفاال ت ف مقا م يفه قر ت تحق من فهم اكتب كل معادلة مما يأتي على الصورة القطبية: - = 1 )B + ( - ) = 9 )A عملية تحويل المعادلة القطبية إلى معادلة ديكارتية ليست مباشرة مثل عملية التحويل من المعادلة الديكارتية إلى المعادلة القطبية ففي التحويل الثاني تلزمنا جميع العلقات اآلتية:. r = +, ta θ =, = r cos θ, = r si θ الدر س - يف س رة يفاال ت يف س رة يفه قر ت ف مقا م

65 5 تحويل المع دالت القطبية اإلى المع دالت الديك رتية اكتب كل معادلة قطبي ة مما يأتي على الصورة الديكارتية. يف مقافت ي ج س ت ta يفا ل ن ta θ = ي س يفا ل ن لا θ θ = π )a = π ta θ = Ç = Ç = Ç طريقة بديلة (, π ) (, π يفنااةقن ) θ = π سةا يف ا امقن ي هي قم يفه قر ت فد ق ( Ç, ) ( Ç, 1) لة ن جمقافت يف سةا يف قر بدق ن يفنااة ن ا = Ç r = 7 )b يف مقافت ي ج س ت رب ا يفا ل ن r = + r = 7 r = 9 + = 9 r = -5 si θ )c يف مقافت ي ج س ت ي س يفا ل ن لا r r = +, = r si θ يج س 5 ي ف يفا ل ن r = -5 si θ r = -5r si θ + = = 0 تحق من فهم اكتب كل معادلة قطبي ة مما يأتي على الصورة الديكارتية: r = cos θ )5C θ = π )5B r = - )5A الف سل ي هي قم يفاال ت ي جاهيا يف إلت

66 حو ل اإلحداثيات القطبية إلى إحداثيات ديكارتية لكل نقطة مما يأتي: )مثال 1( ( 1, π ) ) (, π ) ) 1 (.5, 50 ) ) ( 5, 0 ) ) (-1, -70 ) ) (-, π ) ) 5 (-, 70 ) ) 8 ( 1, π ) ) 7 ( -1, - π ) ) 10 (, 10 ) ) 9 أوجد زوجين مختلفين كل منهما يمث ل إحداثيين قطبيين لكل نقطة معطاة باإلحداثي ات الديكارتي ة في كل مما يأتي: )مثال ( اكتب كل معادلة قطبي ة مما يأتي على الصورة الديكارتية: )مثال 5( θ = - π ) r = si θ ) r = cos θ ) 5 r = 10 ) r = 8 csc θ ) 7 ta θ = ) cot θ = -7 ) 9 r = - ) 8 r = sec θ ) 1 θ = π ) 0 ) زالزل: ت نمذ ج حركة أمواج الزالزل بالمعادلة r = 1. si θ حيث r مقاسه باألميال. اكتب معادلة أمواج الزالزل على الصورة الديكارتية. )مثال 5( (-1, ) ) 1 ( 7, 10) ) 11 (, -1) ) 1 (-, -1) ) 1 (0, -17) ) 1 (, -) ) 15 (-1, 1) ) 18 ( 1, ) ) 17 (, - ) ) 0 (5, -1) ) 19 (, Ç ) ) (1, -1) ) 1 ) م سافات: إذا كانت مدرسة نواف تبع د 1.5 mi عن منزله وتصنع زاوية مقدارها 5 شمال الشرق كما في الشكل أدناه فأجب عن الفرعين.a, b )مثال ) 0.5 mi mi 1.5 mi 7 a( إذا سلك نواف طريقا ا للشرق ثم للشمال كي يصل إلى المدرسة فكم ميلا يتحرك في كل اتجاه b( إذا كان الملعب على ب عد mi غربا ا و 0.5 mi جنوبا ا ومنزل نواف يمث ل القطب فما إحداثيات موقع الملعب على الصورة القطبية اكتب كل معادلة مما يأتي على الصورة القطبية: )مثال ( اكتب كل معادلة قطبي ة مما يأتي على الصورة الديكارتية: 1 r = cos θ + si θ ) r = 10 csc (θ + 7π ) ) r = csc ( θ - π ) ) 5 r = - sec (θ - 11π ) ) r = sec (θ - π ) ) 7 5 cos θ + 5 si θ r = co s θ - si θ ) 8 r = si ( θ + π ) ) 9 r = cos ( θ + π ) ) 50 اكتب كل معادلة مما يأتي على الصورة القطبية: - = ) = 1 ) 5 (- ) +( - 8 ) = 100 ) 5 ( + ) + ( - ) = 1 ) 5 ( + 5 ) + = 5 ) 5 = - ) = 5 ) 7 = - ) + ( + ) = 9 ) 9 ( - ) + = ) 8 + ( + 1 ) = 1 ) 1 = Ç ) 0 الدر س - يف س رة يفاال ت يف س رة يفه قر ت ف مقا م 5

67 ) 55 جولف: في أحد ملعب الجولف يحيط بثقب الهدف منطقة خضراء محاطة بمنطقة رملية كما في الشكل أدناه. أوجد مساحة المنطقة الرملية على فرض أن الثقب يمث ل القطب لكلتا المعادلتين وأن المسافات ت قاس بوحدة الياردة. ) 58 اكت سف الخط أ: يحاول كل من باسل وتوفيق كتابة المعادلة القطبية r = si θ على الصورة الديكارتية فيعتقد توفيق أن الحل هو 1 - ) + في حين يعتقد باسل أن الحل هو ) = 1. = si أيهما كانت إجابته صحيحة بر ر إجابتك. r = cos θ + si θ ) 59 تحد : اكتب معادلة الدائرة r = a cos θ بالصورة الديكارتية = 9 ) 5 عجلة دو ارة: إذا كانت إحداثيات أدنى نقطة في عجلة دو ارة 0) (0, وأعلى نقطة فيها 0).(0, a( فاكتب معادلة العجلة الدو ارة الموضحة بالشكل المجاور على الصورة الديكارتية. a اكتب المعادلة في الفرع b( بالصيغة القطبية. ) 57 تمثيالت متعددة: في هذه المسألة سوف تكتشف العلقة بين األعداد المركبة واإلحداثيات القطبية. a( بي ني : يمكن تمثيل العدد المركب a + bi في المستوى الديكارتي بالنقطة (b,a). م ث ل العدد المركب + 8i في المستوى الديكارتي. b( عددي : أوجد اإلحداثيات القطبية للعدد المركب باستعمال اإلحداثيات الديكارتية التي أوجدتها في الفرع. a c( بي ني : عز ز إجابتك في الفرع b بتمثيل اإلحداثيات القطبية في المستوى القطبي. d( بي ني : م ث ل بياني ا العدد المركب - + i في المستوى الديكارتي. e( بي ني : أوجد اإلحداثيات القطبية للعدد المركب باستعمال اإلحداثيات الديكارتية التي أوجدتها في الفرع d. وم ث ل اإلحداثيات القطبية في المستوى القطبي. f( تحليلي : أوجد العبارات الجبرية التي تبي ن كيفية كتابة العدد المركب a + bi باإلحداثيات القطبية. وأوجد مركزها وطول نصف قطرها. ) 0 اكتب: اكتب تخمينا ا يبي ن متى يكون تمثيل المعادلة على الصورة القطبي ة أسهل من تمثيلها على الصورة الديكارتية ومتى يكون العكس صحيحا ا. ) 1 بره ن: استعمل = r cos θ, = r si θ إلثبات أن.si θ 0, cos θ حيث 0 r = sec θ, r = csc θ ) تحد : اكتب المعادلة: r ( co s θ + si θ) + r (-8a cos θ + b si θ) = 1 - a - b على الصورة الديكارتية. )ي ريسقا فك األقواس قبل تعويض قيم r. r تمث ل المعادلة الديكارتية قطعا ا مخروطي ا(. م ث ل كل نقطة مما يأتي في المستوى القطبي. )يفهر س 1- ( A (-, 5 ) ) D (1, 15 ) ) C (-1.5, - π ) ) 5 أوجد الزاوية بين المت جهين u, v في كل مما يأتي: )يفهر س - 1( u =, -, v = -5, -7 ) u =,, v = -9, ) 7 (0, 0) (0, 0) الف سل ي هي قم يفاال ت ي جاهيا يف إلت

68 7π, (- في المستوى ) 75 أي من النقاط اآلتية يعد تمثيلا آخر للنقطة ) القطبي (, π ) A ( -, π ) B (, -π 11 ) C ( -, 11π ) D ) 7 إذا كان -7, = m = 5, -, فأي مما يأتي يمث ل k حيث k = - m -17, 11 A -17, -5 B 17, -11 C -17, 5 D ) 77 ما الصورة القطبية للمعادلة = ) - ( + r = si θ A r = si θ B r = si θ C r = 8 si θ D ) 78 ما حاصل الضرب االتجاهي u v للمتجهين: -,, 1 - = v u =, - 1, -, - 10, 10, 5 A - 10, - 10, 5 B ) 8 طائرات: تتكون مروحة طائرة من 5 ريش المسافة بين أطرافها المتتالية متساوية. ويبلغ طول كل ريشة منها ft )الدر س 1- ( C D d a( إذا كانت الزاوية التي تصنعها الريشة A مع المحور القطبي فاكتب زوجا ا يمث ل اإلحداثيات القطبية لطرف كل ريشة بفرض أن مركز المروحة ينطبق على القطب. B E b( ما المسافة d بين رأسي ريشتين متتاليتين حل كال من المعادالت اآلتية باستعمال القانون العام. )مهارة سابقة( A - 7 = -15 ) = 0 ) = 0 ) 71 أوجد طول القطعة المستقيمة التي تصل بين النقطتين في كل مما يأتي وأوجد إحداثيات نقطة منتصفها: )الدر س - 1( (, -15, 1), (1, -11, 15) ) 7 (-,, 8), (9,, 0) ) 7 (7, 1, 5), (-, -5, -11) ) 7-10, - 10, - 5 C - 10, 10, - 5 D الدر س - يف س رة يفاال ت يف س رة يفه قر ت ف مقا م 7

69 المركبة ونظرية ديموافر االأعداد Comple Numbers ad De Moivre s Theorem يستعمل مهندسو الكهرباء األعداد المركبة لوصف بعض العلقات في الكهرباء. فالكميات: فرق الجهد V والمعاوقة Z وشدة التيار I ترتبط بالعلقة V = I Z التي تستعمل لوصف تيار متردد. ويمكن كتابة كل متغير على صورة عدد مركب على الصورة a + bj حيث j العدد التخيلي )ويستعمل المهندسون j حتى ال يختلط الرمز مع رمز شدة التيار I(. )اإر س د: استعملت كلمة المعاوقة بدالا من كلمة المقاومة ألن مجموعة األعداد المستخدمة هنا هي مجموعة األعداد المركبة حيث تستعمل كلمة المقاومة في مجموعة األعداد الحقيقية(. ال سورة القطبية لالأعداد المركبة الجزء الحقيقي للعدد المركب الم عطى على الصورة a + bi )التي تسمى الصورة الديكارتية للعدد المركب( هو a والجزء التخيلي. b ويمكنك تمثيل العدد المركب على المس توى المركب بالنقطة (b,a) كما هو الحال في المستوى اإلحداثي فإننا نحتاج إلى محورين لتمثيل العدد المركب وي عي ن الجزء الحقيقي على محور أفقي ي سم ى المح ور الحقيقي ويرمز له بالرمز R في حين ي عي ن الجزء التخيلي على محور رأسي ي سم ى المح ور التخيلي ويرمز له بالرمز. i (i) (R) في العدد المركب a + 0i )الحظ أن = 0 b (. يكون الناتج عددا ا حقيقي ا يمكن تمثيله على خط األعداد أو على المحور الحقيقي. وعندما 0 b فإننا سنحتاج إلى المحور التخيلي لتمثيل الجزء التخيلي. (i) a a + bi (a, b) b (R) (i) a + 0i (R) ار ست ي ج يض يفم قم يف سقب ت ا ي جاهيا يف إلت )جدقرة سقبات( يج ل ي جاهيا يف إلت جن يف س رة يفه قر ت ي ف يف س رة يفاال ت يفم س يج جه س ق س ي جاهيا يف إلت س ةدق يج ه ج ر ق ي ق لا يف س رة يفاال ت يف سة يف إ comple plae يف ر يف ا اا real ais يف ر يفةخ ا imagiar ais يفا ت يف ا ات فمها ج إ absolute value of a comple umber يف س رة يفاال ت polar form يف س رة يف ث ث ت trigoometric form يف ا ق س تذك ر أن القيمة المطلقة لعدد حقيقي هي المسافة بين ذلك العدد والصفر على خط األعداد وبالمثل فإن القيمة المط لقة لعدد مركب هي المسافة بين العدد والصفر في المستوى المركب. وعند تمثيل العدد a + bi في المستوى المركب. فإنه باإلمكان حساب ب عده عن الصفر باستعمال نظرية فيثاغورس. modulus يف سمت argumet يفم ر يفن ن ت ف مها ي ه th roots of uit i z (a, b) b يفا ت يف ا ات ف مها يف إ ا z = a + bi z = a + bi = a ÇÇÇ + b القيمة المطلقة لعدد مركب a R 8 الف سل ي هي قم يفاال ت ي جاهيا يف إلت

70 1 تمثيل االأعداد المركبة واإيج د قيمه المطلقة م ث ل كل عدد مما يأتي في المستوى المرك ب وأوجد قيمته المطلقة: z = - - i )b z = + i )a (a, b) = (-, -1) (a, b) = (, ) i i (, ) (, 1) R R م z = ÇÇÇ a + b يفا ت يف ا ات a = -, b = -1 ب س = (- ÇÇÇÇÇÇ ) + (-1) = Ç 5. م يفا ت يف ا ات القيمة المطلقة للعدد - i - تساوي. تقريبا ا. a =, b = ب س z = ÇÇÇ a + b = ÇÇÇ + = Ç 5 = 5 القيمة المطلقة للعدد + i تساوي 5. تحق من فهم م ث ل كل عدد مما يأتي في المستوى المركب وأوجد قيمته المطلقة: - + i )1B 5 + i )1A i r θ كما ك تبت اإلحداثيات الديكارتية (,) على صورة إحداثيات قطبية فإنه يمكن كتابة اإلحداثيات الديكارتية (b,a) التي تمث ل عددا ا مركبا ا في المستوى المركب على الصورة القطبية. وت طبق الدوال المثلثية نفسها التي است عملت في إيجاد قيم, إليجاد قيم a., b si θ = b, cos θ = r a r r لا ف إ ي س r si θ = b r cos θ = a وبتعويض التمثيلت القطبية لكل من b a يمكننا إيجاد الص ورة القطبية أو الصو رة المثلثية لعدد مركب. يفمها يف إ ي ج س ا b = r si θ a = r cos θ تسة يف يفمقج z = a + bi = r cos θ + (r si θ)i = r(cos θ + i si θ) في حالة العدد المركب فإن r تمث ل القيمة المطلقة أو المقياس للعدد المركب ويمكن إيجادها باستعمال اإلجراء نفسه الذي استعملته إليجاد القيمة المطلقة r. = z = ÇÇÇ a + b ت سم ى الزاوية θ سعة العدد المركب. وبالمثل إليجاد θ من اإلحداثيات الديكارتية ) (, فإنه عند استعمال األعداد المركبة يكون. a عندما < 0 θ = Ta -1 b a + π أو a عندما > 0 θ = Ta -1 b a a i (a, b) r θ b a R (a, b) b R يف س رة يفاال ت يج يف ث ث ت ف مها يف إ ا z = a + bi θ) z = r (cos θ + i si حيث b = r si θ a = r cos θ r = z = ÇÇÇ a + b انهجق a < 0 θ = Ta -1 a b + π انهجق a > 0 θ = Ta -1 a b يج ق ي ذي إقنت 0= a فإن b إذا كانت < 0 θ = - π إذا كانت b > 0 θ = π ال سورة القطبية: م اه يفخ ب ن يف س رة يفاال ت ف مها يف إ ي هي قم يفاال ت ف مها يف إ لقف س رة يفاال ت فمها ج إ ا ات يج ف ةقبت يفمها يف إ س ف ننق تس ي هي قم يفاال ت ف مها يف إ ا ق لا ي يفهر س ال سعة: إ ق لا ي هي قم يفاال ت لق ن θ ف ست هة جا يجندق ما اقاة لا يفاة ة -π < θ < π ال سورة القطبية لعدد مركب الدر س - ي جاهيا يف إلت ن ت ا يل 9

71 θ = = Ta -1 b a + π Ta -1 (- 8 )+ π.1 a < 0 يفة س a = -, b = 8 عب ر عن كل عدد مركب مما يأتي بالصورة القطبية: r = = - + 8i )a أوجد المقياس r والسعة θ. االأعداد المركبة ب ل سورة القطبية a ÇÇÇ + b ÇÇÇÇÇ (- ) + 8 = 10 لذا فإن الصورة القطبية للعدد - + 8i هي.1) 10(cos.1 + i si تقريبا ا. θ = = Ta -1 b a Ta -1 Ç 0.1 a > 0 يفة س a =, b = Ç ب س r = = = a ÇÇÇ + b ÇÇÇÇÇ + ( Ç ) Ç Ç i )b لذا فإن الصورة القطبية للعدد Ç i + هي 0.1).(cos i si تقريبا ا. تحق من فهم عب ر عن كل عدد مركب مما يأتي بالصورة القطبية: - - i )B 9 + 7i )A ويمكنك استعمال الصورة القطبية لعدد مركب لتمثيله في المستوى القطبي باستعمال (θ r), كإحداثيات قطبية للعدد المركب. كما يمكنك تحويل عدد مركب مكتوب على الصورة القطبية إلى الصورة الديكارتية وذلك باستعمال قيم r وقيم الدوال المثلثية للزاوية θ المعطاة. π 5π 7π π z = ( cos في المستوى القطبي ثم عب ر عنه بالصورة الديكارتية. مث ل العدد π + i si. z = Ç ). الحظ أن قيمة r هي وقيمة θ هي π. (, π ع ي ن اإلحداثيات القطبية ) ولكتابة العدد على الصورة الديكارتية أوجد القيم المثلثية ثم ب س ط. يف س رة يفاال ت بق مقا يفم ج يفة ق ق س ت يفة ز ا ( cos π + i si π ) Ç = + i ( 1 ) = Ç + i فتكون الصورة الديكارتية للعدد ) z = ( cos π + i si π هي i + تحق من فهم تمثيل ال سورة القطبية لعدد مركب وتحويله اإلى ال سورة الديك رتية π π π π (, π ) π 5π π π م ث ل كل عدد مركب مما يأتي في المستوى القطبي ثم عب ر عنه بالصورة الديكارتية: (cos 5π + i si 5π ) )B 5 (cos π + i si π ) )A تحويلاالأعدادالمركبة: اها ج إ ن جن يف س رة يفاال ت ي ف يف س رة يفه قر ت بق سةم قل يف ق سلت يفل قن ت جن ال يف ق سلت باة سا ت ال يف ق سلت ي ا قل يفملقرة ا يف س رة يفاال ت ي ة قر. جا ج ياقة ي اهيايم ي فت يف ق سلت ب ماا يفا ت يفه ات ف س رة يفاال ت ا بقف سغ ذف جندق ة ي الا 70 الف سل ي هي قم يفاال ت ي جاهيا يف إلت

72 سرب االأعداد المركبة وق سمته واإيج د قواه وجذوره ت عد الصورة القطبية للعدد المركب وصيغ المجموع والفرق لكل من دالتي الجيب وجيب التمام مفيدةا للغاية في ضرب األعداد المركبة وقسمتها. ويمكن اشتقاق صيغة ضرب عددين مركبين على الصورة القطبية على النحو اآلتي: يف س رة يفاال ت ف مها ن يف إل ن z z 1 ل ي ج ي س z 1 z = r 1 (cos θ 1 + i si θ 1 ) r (cos θ + i si θ ) = r 1 r (cos θ 1 cos θ + i cos θ 1 si θ + i si θ 1 cos θ + i si θ 1 si θ ) -1 ب i ي سةلهل ا ت ت يف ا يفةخ ا يف ه ا ج = r 1 r [(cos θ 1 cos θ - si θ 1 si θ ) + (i cos θ 1 si θ + i si θ 1 cos θ )[ )[ = r 1 r [(cos θ 1 cos θ - si θ 1 si θ ) + i (cos θ 1 si θ + si θ 1 cos θ يج i اقجي جتسة إ ق جةاقباةق ج يف م ج ق يف م الدر س - ي جاهيا يف إلت ن ت ا يل 71 = r 1 r [cos( θ 1 + θ ) + i si( θ 1 + θ )[ ف مها ن يف إل ن ) 1 z = r (cos θ + i si θ ) z 1 = r 1 (cos θ 1 + i si θ لق ن r 0 z 0 z 1 z 1 z = r 1 r [cos( θ 1 + θ ) + i si( θ 1 + θ )] z = r 1 r [cos( θ 1 - θ ) + i si( θ 1 - θ )] سيغة ال سرب سيغة الق سمة س ف ل ن س غت يفا س ت لا يفة ن 5 الحظ أنه عند ضرب عددين مركبين فإنك تضرب المقياسين وتجمع السعتين وعند القسمة فإنك تقسم المقياسين وتطرح السعتين. 5π (cos على الصورة القطبية ثم عب ر عنه + i si 5π يفملقرة يف ماقة غت يف س س ب س ) ( cos π + i si π أوجد ناتج ) بالصورة الديكارتية. (cos 5π + i si 5π ) ( cos π + i si π ) = = () cos ( 5π + π ) + i si ( 5π + π ) 8 (cos 11π ق س ت يفة ز ا 8 والصورة الديكارتية Ç - i. (cos 11π 11π + i si 11π + i si ) واآلن أوجد الصورة الديكارتية للناتج. يف س رة يفاال ت 8 (cos 11π 11π + i si ) يج جه يفم ج يفة ق ( 8 = Ç - i 1 = Ç - i ) فتكون الصورة القطبية للناتج ) تحق من فهم القطبية وق سمته االأعداد المركبة على ال سورة سرب سرب االأعداد المركبة على ال سورة القطبية أوجد الناتج على الصورة القطبية ثم عب ر عنه بالصورة الديكارتية لكل مما يأتي: ( cos π + i si π ) 5 ( cos π + i si π ) )A (cos π + i si π ) (cos π + i si π ) )B كما تقدم في فقرة "لماذا " فإنه يمكن استعمال قسمة األعداد المركبة للتعبير عن العلقات في الكهرباء.

73 كهرب ء: إذا كان فرق الجهد V في دائرة كهربائية يساوي 150 V وكانت معاوقتها Z تساوي Ç 5 [cos(-0.) + j si (-0.)[) Ω ( فأوجد شدة التيار I في الدائرة على الصورة القطبية باستعمال المعادلة.V = I Z r = ÇÇÇÇ = 150, θ = Ta = 0 اكتب العدد 150 على الصورة القطبية. 5 ق سمة االأعداد المركبة على ال سورة القطبية 150 = 150 (cos 0 + j si 0) يف مقافت ي ج س ت ي س إ ف ا Z V = 150 (cos 0 + j si 0), Z = Ç 5 [cos (-0.) + j si (-0.)] س غت يفا س ت ب س I Z = V I = V Z 150 (cos 0 + j si 0) I = Ç 5 [cos(-0.) + j si(-0.)] ح ل I Z = V بالنسبة ل. I I = 150 {cos [0 - (-0.)[ + j si [0 - (-0.)[} Ç 5 I = 10 Ç 5 (cos 0. + j si 0.) مهند سو الكهرب ء ا ر جدنه س يف د بقض ن ف ج ق جه هة ف سنقات ن ق ه ه يف ي ا يف م يفم ي ت يفةا تسغ جهن ق إقج ت ج إقم يفاق يم يجن ت يف ياير ا ن م ق يجند إ ي ت يف يفد ي جنةمقم جةمهاة جث ا يف فت يف س قريم يف ج ي فا أي أن شدة التيار تساوي 0.) Ç 5 (cos 0. + j si (10 أمبير تقريبا ا. تحق من فهم 5( كهرب ء: إذا كان فرق جهد دائرة كهربائية 10 V وكانت شدة التيار ) j 8) + أمبير فاكتب كل من فرق الجهد وشدة التيار بالصورة القطبية ثم أوجد المعاوقة واكتبها على الصورة الديكارتية. يعود الفضل في حساب قوى األعداد المركبة وجذورها للعالم الفرنسي ديموافر وقبل حساب قوى األعداد المركبة وجذورها فإن من المفيد كتابة العدد المركب على الصورة القطبية. بإمكاننا استعمال صيغة ضرب األعداد المركبة لتوضيح النمط الذي اكتشفه ديموافر. أوالا : أوجد z من خلل الضرب. z z ي س غت يف س س ب س z z = r (cos θ + i si θ) r (cos θ + i si θ) z = r [cos (θ + θ) + i si (θ + θ)[ z = r (cos θ + i si θ) واآلن أوجد z بحساب. z z ي س غت يف س س ب س z z = r (cos θ + i si θ) r(cos θ + i si θ) z = r [cos (θ + θ) + i si (θ + θ)[ z = r (cos θ + i si θ) الحظ أنه عند حساب القوة النونية للعدد المركب فإنك تجد القو ة النونية لمقياس العدد وتضرب السعة في. 7 الف سل ي هي قم يفاال ت ي جاهيا يف إلت

74 ويمكن تلخيص ذلك على النحو اآلتي: نظرية ديموافر ي ذي إقن ) θ z = r (cos θ + i si اها ي ج إل ق ا يف س رة يفاال ت إقن اها ي س ق ج جل ق لق ن. z = [ r (cos θ + i si θ) ] = r ( cos θ + i si θ ) θ = = = = π Ta -1 b a Ta -1 Ç Ta -1 Ç أوجد (i Ç ) + بالصورة القطبية ثم عب ر عنه بالصورة الديكارتية. يفة س a =, b = Ç ب س ب س أوالا : اكتب Ç i + على الصورة القطبية. r = = = = 8 ÇÇÇ a + b ÇÇÇÇÇ + ( Ç ) ÇÇÇ فتكون الصورة القطبية للعدد Ç i + هي ) ( cos π + i si π 8. واآلن استعمل نظرية ديموافر إليجاد القوة السادسة. يف س رة يفاال ت ن ت ا يل ب س يج جه ةا يفم ج يفة ق ب س ( + Ç i ) = = 8 ( cos π + i si π ) 8 cos ( π ) + i si ( π ) = 1 (cos π + i si π) = 1(1 + 0i ) = 1 اإبراه م ديموافر م 175 م 17 ر ق سا ل ن سا ا ف بقفن ت يف س قة بق س إةقب ان ي ة ق م م Doctrie of Chaces ه ا يل جن يف ق س ن يف يا لا يفدنه ست يفة ت ي ة ق م نظرية ديموافر أي أن = 1 ) i Ç.( + تحق من فهم أوجد الناتج في كل مما يأتي وعب ر عنه بالصورة الديكارتية : ( Ç - i ) 8 )B (1 + Ç i ) )A يوجد للمعادلة = 5 حلن في مجموعة األعداد الحقيقية هما -,. وي ظهر التمثيل البياني المجاور للمعادلة - 5 = وجود صفرين حقيقيين عند -, = بينما في مجموعة األعداد المركبة فإن لهذه المعادلة حلين حقيقيين 10 (, 0) (, 0) (0, 5) النظرية االأ س سية في الجبر إ جمقافت إث ة ه ا ارجةدق يجإل جن سا فدق ج ر ي ه ا ي ج نة ا ي ف جم ات ي جاهيا يف إلت وحلين مركبين. درست سابقا ا نتيجة النظرية األساسية في الجبر والتي تنص على وجود صفرا ا لمعادلة كثيرة الحدود من الدرجة في مجموعة األعداد المركبة لذا يكون للمعادلة., -, i, - i أربعة حلول أو جذور مختلفة وهي - 5 التي تكتب على الصورة = 0 = 5 ومن جهة أخرى فإنه يوجد جذر نوني مختل ف ألي عدد مركب ال يساوي الصفر حيث بمعنى أنه ألي عدد مركب جذران تربيعيان وثلثة جذور تكعيبية وأربعة جذور رباعية وهكذا. الدر س - ي جاهيا يف إلت ن ت ا يل 7

75 وإليجاد جميع جذور عدد مركب يمكن استعمال الصيغة اآلتية التي استنتجها العلماء من نظرية ديموافر: ج اها س لق ن ف مها يف إ r (cos θ + i si θ) جن يفم ر يفن ن ت يف خة ات ن ي مقا ق بق سةم قل يف س غت r 1 (cos θ + kπ + i si θ + kπ ) k = 0, 1,,, - 1 ويمكننا استعمال هذه الصيغة لجميع قيم k الممكنة إال أنه يمكننا التوقف عندما - 1 k = وعندما يساوي k العدد أو يزيد عليه تبدأ الجذور بالتكرار كما يظهر في المعادلة: r = ÇÇÇÇÇÇ (-) + (- ) = Ç, θ = Ta θ = 5π 1, =, r k = 0 انهجق يفةا نة جاقبات ف زي ت ا θ + π = θ + π π = 5π 1 = ( Ç ) ب س ( Ç ) 1 (cos أوجد الجذور الرباعية للعدد المركب -. - i يفم ر ي ج ل يفم ر يفثقنا يفم ر يفثقف يفم ر يف يبا k = 0 k = 1 k = k = = = = = أوالا : اكتب - - i على الصورة القطبية. - - i = Ç (cos 5π + i si 5π ) واآلن اكتب الصيغة للجذور الرباعية. = 8 Ç cos ( 5π 5π + kπ 5π + i si + kπ ) 1 + kπ ) + i si ( 5π 1 + kπ ) ثانيا ا: إليجاد الجذور الرباعية عو ض = 0, 1,, k. 8 Ç cos ( 5π 1 + (0)π ) + i si ( 5π 1 + (0)π ) 8 Ç (cos 5π 1 + i si 5π 1 ) i 8 Ç cos ( 5π 8 Ç (cos 1π 1 8 Ç cos ( 5π 8 Ç (cos 1π 1 + (1)π ) + i si ( 5π 1 + (1)π ) 1π + i si 1 ) i 1 + ()π 1 8 Ç cos ( 5π 8 Ç (cos 9π 1 ) + i si ( 5π 1 + ()π ) 1π + i si 1 ) i 1 + ()π ) + i si ( 5π 1 + ()π ) 9π + i si 1 ) i الجذور الرباعية للعدد - - i هي i, i, i, i تحق من فهم الجذور المختلفة جذور العدد المركب 7 7A( أوجد الجذور التكعيبية للعدد 7B( + i أوجد الجذور التكعيبية للعدد 8 7 الف سل ي هي قم يفاال ت ي جاهيا يف إلت

76 i ( 1.8, 0.8) (0.8, 1.8) R 1 ( 0.8, -1.8) (1.8, 0.8) الحظ أن الجذور األربعة التي أوجدناها في المثال 7 تقع على دائرة. فإذا نظرنا إلى الصورة القطبية لكل جذر نجد أن لكل منها مقياسا ا قيمته ) 1.5 Ç ) ويمثل نصف قطر الدائرة. كما أن المسافات بين الجذور على الدائرة متساوية وذلك نتيجة. للفرق الثابت بين قيم السعة إذ يساوي π تحدث إحدى الحاالت الخاصة عند إيجاد الجذور النونية للعدد 1 فعند كتابة 1 على الصورة القطبية فإن قيمة r التي نحصل عليها هي = 1 r. وكما ذكرنا في الفقرة السابقة فإن مقياس الجذور هو طول نصف قطر الدائرة الناتجة عن تمثيل الجذور في المستوى المركب لذا فإن الجذ ور النونية للعدد واحد تقع على دائرة الوحدة. أوجد الجذور الث ماني ة للعدد واحد. أوالا : اكتب 1 على الصورة القطبية. r = ÇÇÇ = 1, θ = Ta 0 1 = 1 (cos 0 + i si 0) 1 = 0 1 θ = 0, = 8, r = 1 8 = 1 1 ب س واآلن اكتب الصيغة للجذور الثماني ة. الجذور النونية للعدد واحد 1 (cos 0 + kπ i si 0 + kπ 8 ) = cos kπ + i si kπ الجذور النونية لعدد مركب نا س يف ا ق س ف م ر ن 1 سمت r يفم ر ي ج ل ا ي ج ف م ر زايا يفة يفا بق سقلت θ π ثانيا ا: افترض أن = 0 k إليجاد الجذر األول للعدد. 1 k = 0 cos (0)π + i si (0)π يفم ر ي ج ل = cos 0 + i si 0 = 1 ) (-, 1 الحظ أن مقياس كل جذر هو 1 ويمكن إيجاد سعة الجذر الحالية بإضافة π إلى سعة الجذر السابق. 1 (-, - ) i (, 1 ) 1 R (,- ) يفم ر يفثقنا يفم ر يفثقف يفم ر يف يبا يفم ر يفخقج س يفم ر يف سقا س يفم ر يف سقبا يفم ر يفثقجن cos π + i si π cos π + i si π cos π + i si π = Ç + Ç i = i cos π + i si π = -1 cos 5π + i si 5π cos π + i si π cos 7π + i si 7π = - Ç + Ç i = - Ç - Ç i = -i = Ç - Ç i 1, Ç + Ç i, i, - Ç + Ç i, -1, - Ç - Ç i, -i, Ç - Ç الجذور الث ماني ة للعدد 1 هي i كما هو موضح في الشكل أعله. تحق من فهم 8A( أوجد الجذور التكعيبية للعدد واحد. 8B( أوجد الجذور السداسية للعدد واحد. الدر س - ي جاهيا يف إلت ن ت ا يل 75

77 م ث ل كل عدد مما يأتي في المستوى المركب وأوجد قيمته المطلقة: )مثال 1( z = + i ) 1 z = - + i ) z = - - i ) z = - 5i ) z = i ) 5 z = 8 - i ) ) 7 متجهات: ت عطى القوة المؤثرة على جسم بالعلقة z = i حيث ت قاس كل مركبة للقوة بالنيوتن ) N (. )مثال 1( a( م ث ل z كمتجه في المستوى المركب. b( أوجد طول المتجه واتجاهه. عب ر عن كل عدد مركب مما يأتي بالصورة القطبية: )مثال ( + i ) i ) 9 - Ç i ) 10 - i ) i ) Ç i ) 1 م ث ل كل عدد مركب مما يأتي في المستوى القطبي ثم عب ر عنه بالصورة الديكارتية: )مثال ( أوجد الناتج في كل مما يأتي على الصورة القطبية ثم عب ر عنه بالصورة الديكارتية: )المثق ن ), 5 ( cos π + i si π ) ( cos π + i si π ) ) 18 5 (cos 15 + i si 15 ) (cos 5 + i si 5 ) ) 19 (cos π + i si π ) 1 (cos π + i si π) 0 ) (cos 90 + i si 90 ) (cos 70 + i si 70 ) ) 1 ( cos π + i si π ) (cos π + i si π ) ) (cos 9π + i si 9π ) (cos π + i si π ) ) 1 (cos 0 + i si 0 ) (cos i si 150 ) ) (cos π + i si π ) ( cos π + i si π ) ) 5 5 (cos i si 180 ) (cos 15 + i si 15 ) ) 1 ( cos π + i si π ) ( cos π + i si π ) ) 7 أوجد الناتج لكل مما يأتي بالصورة القطبية ثم عب ر عنه بالصورة الديكارتية: )مثال ( ( + Ç i ) ) 8 ( cos π + i si π ) ) 9 ( + i ) - ) 0 ( cos π + i si π ) ) 1 أوجد جميع الجذور المطلوبة للعدد المركب في كل مما يأتي: )المثق ن )7, 8 ) الجذور السداسية للعدد i ) الجذور الرباعية للعدد Ç - i ) الجذور التربيعية للعدد - - i ( cos π + i si π ) ) 1 (cos 11π + i si 11π ) ) 15 (cos π + i si π ) ) 1 (cos 0 + i si 0 ) 17 ) 7 الف صل ةبكرملا دادعألاو ةيبطقلا تايثادحإلا

78 ) 5 ت سميم: يعمل سالم في وكالة لإلعلنات. ويرغب في تصميم لوحة مكونة من أشكال سداسية منتظمة كما هو مبي ن أدناه. ويستطيع تعيين رؤوس أحد هذه األشكال السداسية بتمثيل حلول المعادلة = في المستوى المركب. أوجد رؤوس أحد هذه األشكال السداسية. ) اكت سف الخط أ: ي حسب كل من أحمد وباسم قيمة. فيستعمل أحمد نظرية ديموافر ويحصل على (- Ç ) i. cos 5π ويقول باسم بأن أحمد قد أنجز جزءا ا + i si 5π اإلجابة من المسألة فقط. أيهما إجابته صحيحة ب ر ر إجابتك. ) كهرب ء: ت عط ى معاوقة أحد أجزاء دائرة كهربائية موصولة على التوالي بالعبارة 5(cos j si 0.9)Ω وت عط ى في الجزء اآلخر من الدائرة بالعبارة 8(cos 0. + j si 0.)Ω. a( ح و ل كل من العبارتين السابقتين إلى الصورة الديكارتية. b( اجمع الناتجين في الفرع a إليجاد المعاوقة الكلية في الدائرة. c( ح و ل المعاوقة الكلية إلى الصورة القطبية. تحد : أوجد الجذور المحد دة على كل من المنحنيين أدناه على الصورة القطبية ثم عي ن العدد المركب الذي له هذه الجذور. 5π π i π R ) ) 7 اأنم : إذا كانت f (z) = z وكانت. z 0 = i π 5π i π 7π R ) z 1 = f( z 0 ) حيث z 1, z, z, z, z 5, احسب z )a ) 1 z = f( z وهكذا. b( م ث ل كل عدد في المستوى المركب. z 100 في المستوى المركب ووض ح إجابتك. c( تنبأ بموقع ) 5 بره ن: إذا كان ) 1 z 1 = r 1 (cos θ 1 + i si θ ) z = r (cos θ + i si θ حيث 0 r فأثبت أن. z 1 z = r 1 r [cos ( θ 1 - θ ) + i si ( θ 1 - θ )[ ) 8 أوجد العدد المركب z إذا علمت أن ) i-1-) هو أحد جذوره الرباعية ثم أوجد جذوره الرباعية األخرى. ح ل كال من المعادالت اآلتية باستعمال صيغة الجذور المختلفة: ) تحد : اكتب cos θ بداللة cos θ مستعملا نظرية ديموافر. إرشاد: أوجد قيمة (θ )cos θ + i si مرة باستعمال نظرية ديموافر ومرة باستعمال مفكوك نظرية ذات الحدين. = i ) 9 = 81i ) = i ) 1 ) 7 اكتب: وض ح خطوات إيجاد الجذور النونية للعدد المركب θ) z = r(cos θ + i si حيث عدد صحيح موجب. الدر س - ي جاهيا يف إلت ن ت ا يل 77

79 ) 5 أي مما يأتي يمث ل AB ÆÆÆ وطوله إذا كان 1) B(-5,, A(,, -), - 8, -,, Ç 77 A 8, -,, Ç 77 B - 8, -,, ÇÇ 109 C 8, -,, ÇÇ 109 D (-, 5π ) 57 ما المسافة بين النقطة ( π, ( والنقطة ).97 A.97 B 5.97 C.97 D مث ل كل نقطة مما يأتي في المستوى القطبي: )الدر س 1- ( Q (, - 5π ) ) 8 P(.5, -10 ) ) 9 اكتب كل معادلة مما يأتي على الصورة القطبية: )الدر س - ( ( - ) + = 9 ) 50 + = ) 51 أوجد المسافة بين كل زوج من النقاط مما يأتي: )الدر س 1- ( (, π ), (5, π ) ) 5 (1, -5 ), (-5, 10 ) ) 5 حو ل اإلحداثيات القطبي ة لكل نقطة مما يأتي إلى إحداثيات ديكارتية: )الدر س - ) ) 58 أي مما يأتي يمث ل تقريبا ا الصورة القطبية للعدد المركب 0-1i 9 (cos i si 5.7) A 9 (cos i si 5.5) B (cos i si 5.7) C ( 5, π ) ) 5 (, 10 ) ) 55 (cos i si 5.5) D 78 الف صل ةبكرملا دادعألاو ةيبطقلا تايثادحإلا

80 دليل الدرا سة والمراجعة مف هيم اأ س سية االإحداثي ت القطبية الدر س - 1 ( م ن ج ا يفناات (θ,r) لا ن ق ي هي قم يفاال ت بق سةم قل يف سقلت يف ةمدت يفزي ت r يف ةمدت. θ المفردات ن ق ي هي قم يفاال ت س 5 يفاا س 5 يف ر يفاالا س 5 ي هي قم يفاال ت س 5 يف مقافت يفاال ت س 5 يفة ث يفاالا س 5 يف سة يف إ س 8 يف ر يف ا اا س 8 يف ر يفةخ ا س 8 يفا ت يف ا ات فمها ج إ س 8 يف س رة يفاال ت س 9 يف س رة يف ث ث ت س 9 يف ا ق س س 9 يف سمت س 9 يفم ر يفن ن ت ف مها ي ه س 75 يف سقلت ب ن يفنااة ن ) P 1 ( r 1, θ 1 ), P ( r, θ لا يف سة يفاالا ا + r - r 1 r cos ( θ - θ 1 ) P 1 P = ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ r P (r, θ ) اختبر مفردات اختر المفردة المناسبة من القائمة أعاله إلكمال كل جملة مما يأتي: ) 1 هو مجموعة كل النقاط (θ,r) التي تحقق معادلة قطبية معطاة. ) المستوى الذي يحوي محور ا يمث ل الجزء الحقيقي وآخر يمثل الجزء التخيلي هو. ) ي حد د موقع نقطة في باستعمال المسافة المتجه من نقطة ثابتة إلى النقطة نفسها وزاوية متجهة من محور ثابت. ) هي الزاوية θ لعدد مركب مكتوب على الصورة:. r (cos θ + i si θ ) ) 5 ت سم ى نقطة األصل في نظام اإلحداثيات القطبية ب. ) ت سم ى القيمة المطلقة لعدد مركب ب. ) 7 هو اسم آخر للمستوى المركب. ) 8 هو نصف مستقيم ممتد من القطب ويكون أفقي ا باتجاه اليمين. P 1 (r 1, θ 1 ) ال سورة القطبية وال سورة الديك رتية للمع دالت الدر س - ) ي هي قم يفه قر ت ف ناات θ) ا P(r, θ) (r cos θ, r si فة ي هي قم ناات ( P(, جن ي هي قم يفه قر ت ي ف ي هي قم يفاال ت ي سةم يف مقا م r = ÇÇÇÇ + θ = Ta -1 + π يج انهجق > 0 θ = Ta -1 انهجق < 0 االأعداد المركبة ونظرية ديموافر الدر س -( يف س رة يفاال ت يج يف ث ث ت ف مها يف إ a + bi r (cos θ + i si θ ) ا ا z ن z 1 ج إل فمها ن غت يف س س z 1 z = r 1 r [cos ( θ 1 + θ ) + i si ( θ 1 + θ )] ا z ن z 1 ج إل ت فمها ن غت يفا س س z 1 z = r 1 r [cos ( θ 1 - θ ) + i si ( θ 1 - θ )], r 0 z = r (cos θ + i si θ) إقنت ي ذي يجن ا يل ا ن ت ن س لق ن يفاال ت فمها ج إ يف س رة ا z = r (cos θ + i si θ ) ج ج س اها الجذور المختلفة: r (cos θ + i si θ) إ يف ف مها لق ن س اها ج غت قل يف س بق سةم ي مقا ق ن ت يف خة ات يفن ن جن يفم ر r 1 (cos θ + kπ + i si θ + kπ ) k = 0, 1,,, - 1 الف سل اف يفهري ست يف الدر س - يجمت 79

81 دليل الدرا سة والمراجعة مراجعة الدرو س م ث ل كل نقطة مما يأتي في المستوى القطبي: X (1.5, 7π ) ) 10 W(-0.5, -10 ) ) 9 Z (-, 5π ) ) 1 Y(, -10 ) ) 11 م ث ل كل معادلة من المعادالت القطبية اآلتية بياني ا: r = 9 θ = 11π ) 1 θ = -0 ) 1 ) 1 r = 7 ) 15 أوجد المسافة بين كل زوج من النقاط مما يأتي: م ث ل المعادلة = 5 r بياني ا في المستوى القطبي. حلول المعادلة = 5 r هي األزواج المرتبة (θ,5) حيث θ أي عدد حقيقي. ويتكون التمثيل من جميع النقاط التي تبعد 5 وحدات عن القطب لذا فإن التمثيل هو دائرة مركزها القطب وطول نصف قطرها. 5 π 5π 7π π 5π (5, ) π π π (5, π ) 5π π 1 5 r = 5 (5, π) 0 11π 1-1 االإحداثي ت القطبية ال سفح ت (-, 0 ), (, 0 ) ) 18 ( 5, π ), (, - 7π ) ) 17 (7, 5π ), (, π ) ) 0 (-1, -5 ), (, 70 ) ) 19 أوجد زوجين مختلفين كل منهما يمث ل إحداثيين قطبيين لكل نقطة معطاة باإلحداثي ات الديكارتي ة في كل مما يأتي حيث - π θ π (-1, 5) ) 1 (, 7) ) ( 1, ) ) اكتب كل معادلة على الصورة الديكارتية وحد د نوع تمثيلها البياني: اكتب المعادلة r = cos θ على الصورة الديكارتية ثم حد د نوع تمثيلها البياني. π 5π 7π π π يف مقافت ي ج س ت ي س يفا ل ن لا r = r cos θ, r = + π ي جن يفا ل ن π r = cosθ π 5π π 11π 0 r = cos θ r = r cos θ + = + - = 0 أي أن الصورة القياسية للمعادلة هي: = 1 ( - 1 ) + وهي معادلة دائرة مركزها (0,1) وطول نصف قطرها 1. - ال سورة القطبية وال سورة الديك رتية للمع دالت ال سفح ت r = 5 ) r = - si θ ) 5 r = sec θ ) r = 1 csc θ 7 ) 80 الف سل ي هي قم يفاال ت ي جاهيا يف إلت

82 م ث ل كل عدد مما يأتي في المستوى المركب وأوجد قيمته المطلقة: م ث ل - i في المستوى المركب ثم عب ر عنه بالصورة القطبية. i 8 - االأعداد المركبة ونظرية ديموافر ال سفح ت z = i ) 9 z = - i ) 8 z = - i ) 1 z = - + i ) 0 ( cos π 8 8 8R r = (, ) ÇÇÇ a + b عب ر عن كل عدد مركب مما يأتي بالصورة القطبية: i ) + Ç i ) Ç + Ç i ) Ç i ) م ث ل كل عدد مركب مما يأتي في المستوى القطبي ثم عب ر عنه بالصورة الديكارتية: z = ( cos π + i si π ) ) z = 5 ( cos π + i si π ) ) 7 z = ( cos π + i si π ) ) 8 z = (cos 5π + i si 5π ) ) 9 أوجد الناتج في كل مما يأتي على الصورة القطبية ثم عب ر عنه بالصورة الديكارتية: أوجد المقياس. غت يفة س a =, b = - غت يفة س a =, b = - ب س = θ = = ÇÇÇÇÇ + (-) = Ç 1 أوجد السعة. Ta -1 a b Ta -1 (- ) فتكون الصورة القطبية للعدد - i هي: 0.98)[ si(- Ç 1 [(cos(- 0.98) + i تقريبا ا. + i si π ) 5 (cos 7π + i si 7π أوجد ناتج ) على الصورة القطبية ثم حو له إلى الصورة الديكارتية. يفملقرة يف ماقة غت يف س س ب س ( cos π + i si π ) 5 (cos 7π + i si 7π ) = ( 5) cos ( π + 7π ) + i si ( π + 7π ) = 15 cos ( 17π 1 ) 1 ) + i si ( 17π واآلن أوجد الصورة الديكارتية لناتج الضرب. يف س رة يفاال ت يج جه ةا يفم ج يفة ق ق س ت يفة ز ا 15 cos ( 17π 1 ) 1 ) + i si ( 17π = 15 [-0. + i(-0.9) = i فتكون الصورة الديكارتية لناتج الضرب i تقريبا ا. ( cos 5π + i si 5π ) ( cos π + i si π ) ) 0 8 ( cos 5 + i si 5 ) 1 (cos 10 + i si 10 ) 1 ) 5 ( cos π + i si π ) 1 ( cos π + i si π ) ) ( cos 10 + i si 10 ) ( cos i si 150 ) ) ) أوجد قيمة ) i Ç + ( بالصور القطبية ثم اكتبه على الصورة الديكارتية. ) 5 أوجد الجذور الرباعية للعدد المركب + i 1. الف سل اف يفهري ست يف الدر س - يجمت 81

83 دليل الدرا سة والمراجعة تطبيق ت وم س ئل 0 ) األع ب: ق س مت لوحة السهام إلى مناطق كما هو موض ح في الشكل أدناه بحيث يحصل اللعب على 100 نقطة عند إصابته المنطقة القريبة من القطب وعلى 50 نقطة عند إصابته المنطقة المتوسطة و 0 نقطة عند إصابته المنطقة البعيدة. )يفهر س - 1 ( a( إذا أصاب اللعب النقطة (15,.5) فما عدد النقاط التي يحصل عليها b( حد د موقعين بحيث يحصل اللعب على 50 نقطة عند إصابة أي منهما ) 7 حدائ : تستعمل شركة عناية بالحدائق رشاشا ا قابلا للتعديل ويستطيع الدوران 0 ويروي منطقة دائرية طول نصف قطرها. 0 ft )يفهر س - 1 ) a( مث ل المنطقة التي يستطيع الرشاش ر ي ها في المستوى القطبي. b( أوجد مساحة المنطقة التي يستطيع الرشاش ري ها إذا ض بط ليدور في الفترة 10 θ -0. ) 9 كهرب ء: ت صم م معظم الدوائر الكهربائية لتتحمل فرق جهد قدره.0V للفرعين a, b استعمل المعادلة V = I Z حيث فرق الجهد V بالفولت والمعاوقة Z باألوم وشدة التيار I باألمبير )قرب إلى أقرب جزء من عشرة(. )يفهر س - ( a( إذا كانت شدة التيار المار بالدائرة ) 5j ) + أمبير فاكتب كل من فرق الجهد وشدة التيار بالصورة القطبية ثم أوجد المعاوقة. b( إذا كانت معاوقة الدائرة 1) - j Ω( فاكتبها بالصورة القطبية ثم أوجد شدة التيار. ) 50 تحويل جوكو سكي :)Jowkoski) ي عي ن تحويل جوكوسكي لكل عدد مركب θ) z = r (cos θ + i si عددا ا مركبا ا w ي عطى بالصيغة 1 + z. w = أوجد صورة العدد المركب ) z = (cos π + i si π z وفق هذا التحويل. )يفهر س - ( ) 8 عجلة دو ارة: يمكن تمثيل مسار العجلة الدو ارة في الشكل أدناه بالمعادلة r = 50 si θ حيث r بالقدم. )يفهر س - ) 5π π π π π π 7π r = 50si θ π π 0 0 5π 0 11π θ = ما اإلحداثيان القطبيان لموقع راكب إذا علمت أنه يقع عند a( π. )قرب إلى أقرب جزء من عشرة إذا لزم األمر(. 1 b( ما اإلحداثيان الديكارتيان لموقع الراكب مقربا ا إلى أقرب جزء من عشرة إذا لزم األمر. c( إذا وقع القطب على سطح األرض فما ارتفاع ذلك الراكب مقر با ا إلى أقرب قدم 8 الف سل ي هي قم يفاال ت ي جاهيا يف إلت

84 اختب ر الف سل أوجد ثالثة أزواج مختلفة يمث ل كل منها إحداثيات قطبية للنقطة P في كل ) 8 عب ر عن المعادلة = 9 ) - 7 ) + بالصورة القطبية. من التمثيلين 1, حيث -π θ π. ) 9 كهرب ء: إذا كان فرق الجهد V في دائرة كهربائية 15V وكانت شدة التيار المار بها I هو ) j ( - أمبير فاكتب كل من فرق الجهد وشدة التيار بالصورة القطبية ثم أوجد معاوقة الدائرة z مستعملا المعادلة V = I Z واكتبها بالصورة الديكارتية. 5π π π P π π ) 1 π ) م ث ل بياني ا في المستوى القطبي كال من المعادالت اآلتية: r = 1 ) θ = 0 ) θ = 5π ) r =.5 ) 5 ) 7 رادار: يقوم مراقب الحركة الجوية بتتبع مسار طائرة موقعها الحالي عند النقطة (115,) حيث r باألميال. ) 10 اختي ر من متعدد: أي مما يأتي يبين تمثيل العدد المركب الذي إحداثياته الديكارتية -1), Ç (- في المستوى القطبي 5π π 7π 5π π 7π π π π π P P π π π 5π π 1 5 π π π 5π C A 0 11π π 1 5 5π π 7π π π P π π π 5π π π D B 0 11π 5π π 7π π π π π π 5π π P 11π 7π 5π π 7π π π π π π π 5π π 5π 11π π 1 5 P 0 11π أوجد كل قوة مما يأتي على الصورة الديكارتية وقر ب إلى أقرب عدد صحيح إذا لزم األمر: (-1 + i ) ) 11 ( + i ) ) 1 a( عي ن اإلحداثيين الديكارتيين للطائرة. مقر با ا الناتج إلى أقرب ميل. b( إذا و جدت طائرة عند نقطة إحداثياتها الديكارتية (75-,50) فعي ن اإلحداثيين القطبيين لها مقر با ا المسافة إلى أقرب ميل والزاوية إلى أقرب جزء من عشرة إذا لزم األمر. c( ما المسافة بين الطائرتين قر ب الناتج إلى أقرب ميل. الف سل ي ةلقر الدر س - يفا س 8

85 االحتم ل واالإح س ء Probabilit ad Statistics ار ست ي سق قم يفم نت جمقف يف مة ا ي ة ق م يف يا يف إلت يج ز يف س قم يفةمقر يفهري سقم يجإ ن يفة ز مقم ي ة قف ت ث ي دق يفل قن ت يج سةم دق لا ي مقا ي ة قل يج سةم يفاقن ن يفةم لا ق م ي ة مقا يج ج ز ب ن يفم نت ي سق ت يف مة ا ي سق ا التربية: سةم ي ة قل ي سقض لا اري ست يفا س قم يفة ب ت سةم ي ةلقر ق يف س قم م يفةمقر فة ه ه يفا ي يفةم ت يفةا ا ي ف م يجل س سةم ي سقض لا ث يفهرجقم انه ه ه ارجقم يفا س ل ب قن ق يج انهجق ه يف م ن ا ارجقم يفاي قراءة س بقة: إ ن ق ت بق جيس قض يفةا م لدق ان ي ة قل ي سقض نلقج ب ق سةةم لا ي يفا س 8 الف سل ي ة قل ي سقض

86 للف سل التهيئة اال ستعداد: نق به ين ف ةقجإه جن يف ةا لقم ت سخي س يف سقبات 1 ان يج س ت ي ةلقر يف س ا ي ا يج يج س ت د ت ي سقل ت ا يف ا مراجعة المفردات التب ديل :(Permutatios) ق ل دق جد يفة ن جن يفمنق س ف م ات ن ا التوافي :(Combiatios) ا ن ف م ات جن يفمنق س ن يفة ل دق جد الح دثت ن الم ستقلت ن Evets) :(Idepedet A ه قل إقن ي ة ي ذي ن ن ج سةا ة قا ة B A ن لا ي ة قل ه B الح دثت ن غير الم ستقلتين Evets) :(Depedet A ه قل إقن ي ة ي ذي ن ج سةا ة ن قا ة B A ن B ه قل جق ي ة با ات غ الح دثت ن المتن فيت ن Evets) :(Mutuall Eclusive ن قا ة B A ن جةنقل ة ن ي ذي ف ن اد ق ج ن ق لا يف ت نا س نظرية ات الحدين Theorem) :(Biomial ي ذي إقن اها ي ل م ق لق ن (a + b) = C 0 a b 0 + C 1 a - 1 b 1 + C a - b + + C a 0 b ف س ء العينة Space) :(Sample جق فةم بت نت يف يفن ي جم ات = k = 0! k!( - k)! a - k b k حد د ما إذا كانت الحوادث اآلتية مستقلة أو غير مستقلة. ) 1 اختيار قصة وكتاب آخر ال يمث ل قصة من مكتبة. ) اختيار رئيس ونائب رئيس وسكرتير ومحاسب في ناد على افتراض أن الشخص الواحد ال يشغل سوى منصب واحد. ) اختيار طالب ومعلم ومشرف اجتماعي للمشاركة في تنظيم الرحلت المدرسية. حد د ما إذا كانت كل حالة من الحاالت اآلتية تتطلب تطبيق التباديل أو التوافيق في حل ها: ) اصطفاف سبعة أشخاص في صف واحد عند المحاسب في أحد المتاجر. ) 5 ترتيب أحرف كلمة»مدرسة«. ) اختيار نكهتين مختلفتين لفطيرة من بين نكهات. اكتب مفكوك كل من العبارات اآلتية: االحتم ل :(Probabilit) نت جم قا ت ل ست س يفةا ا يفن سلت ( a - ) ) 7 ( a + b ) ) 8 ( - ) 5 ) 9 ( a + ) 5 ) 10 أسئلة تهيئة إضافية على الموقع الف سل يفةد ت ف ا س 85

87 والق ئمة الم سحية والتجريبية الدرا س ت المالحظة على Surves, Eperimets, ad bservatioal Studies يرغب الطلب في تشكيل فريق لكرة السلة في مدرستهم وكي يجدوا دعما ا لمشروعهم فقد نف ذوا دراسة مسحية شملت الطلب وأولياء األمور لمعرفة الموافقين منهم والمعارضين. الدرا س ت الم سحية في الدرا سات المسحية تؤخد البيانات من استجابات األفراد حول موضوع معين مثل تعرف اتجاهات طلب مدرسة نحو مدرستهم ثم تحليلها وتفسيرها وإذا شملت عملية جمع البيانات جميع الطلب في المدرسة نقول: إن الدراسة شملت الم جتمع وفي هذه الحالة ت سم ى هذه العملية تعد ادا ا عام ا. أم ا إذا تم اختيار عدد محدود من طلب المدرسة مثل 100 طالب فتكون الدراسة المسحية قد اعتمدت على ال عينة. وتكون العينة متح يزة عندما يتم تفضيل بعض أقسام المجتمع على باقي األقسام فمثلا : إذا شملت الدراسة المسحية الواردة في فقرة لماذا رأي العبي كرة السلة وأولياء أمورهم فقط تكون العينة متحيزة. وتكون العينة غير مت حيزة إذا تم اختيارها عشوائي ا أي إذا كان لكل شخص في المجتمع الفرصة نفسها ألن يكون ضمن عينة الدراسة فإذا أ رسلت استبانة في دراسة مسحية ل 100 طالب تم اختيارهم عشوائي ا عندها تكون العينة غير متحيزة. 1 ار ست سن يج سقف ج ا يفل قنقم ) جدقرة سقبات ( يج ز يفهري سقم يف س ت ا ت يفاق يفهري سقم يف ي ت يفهري سقم يفةم ل ت يج ز ب ن ي ر لقا ت يف سلل يفهري ست يف س ت surve يف مة ا populatio يفةمهيا يفمق cesus يفم نت sample يف ة زة درا س ت م سحية: حد د ما إذا كانت كل دراسة مسحية فيما يأتي تتبنى عينة متحيزة أو غير متحيزة وفس ر إجابتك: a( سؤال كل عاشر شخص يخرج من قاعة الندوات عن عدد مرات حضوره ندوات ثقافية لتحديد مدى دعم سكان المدينة للندوات الثقافية. متحيزة ألن األشخاص الذين تم سؤالهم قد يختلفون عن سكان المدينة حيث إنهم ممن يحضرون الندوات الثقافية. b( استطالع آراء أفراد في سوق الماشية لمعرفة ما إذا كان سكان المدينة يحبون تربية الماشية أو ال. متحيزة ألن المجموعة التي تم مسح رأيها ال ت مث ل بالضرورة رأي أهل المدينة ألنهم غالبا ا ممن يحبون تربية الماشية. c( يحتوي صندوق على أسماء طالب المدرسة جميعهم س حب من الصندوق 100 اسم عشوائي ا وس ئل أصحابها عن رأيهم في مقصف المدرسة. غير متحيزة ألن لكل شخص في مجتمع الدراسة الفرصة نفسها ألن يكون ضمن عينة الدراسة الذين است طل عت آراؤهم. تحق من فهم حد د ما إذا كانت كل دراسة مسحية فيما يأتي تتبنى عينة متحيزة أو غير متحيزة وفس ر إجابتك: 1A( سؤال كل العب في فريق كرة السلة عن الرياضة التي يحب مشاهدتها على التلفاز. 1B( الذهاب إلى ملعب كرة القدم وسؤال 100 شخص اختيروا عشوائي ا عن رياضتهم المفضلة. biased يف ة زة ubiased يفهري ست يفةم ل ت eperimet stud يفهري ست يفاق ت ا يف ي ت observatioal stud يف م ات يفةم ل ت treatmet group يف م ات يف سقبات cotrol group ي ر لقا correlatio يف سلل ت العين ت المتحيزة وغير المتحيزة causatio لتجن ب التحي ز في الدراسات المسحية المعتمدة على العينات ال بد من تحق ق أمرين هما: أن تكون العينة العشوائية مناسبة وذلك بأن تكون غير متحيزة وحجمها كبير نسبي ا وأال تكون األسئلة المطروحة متحيزة. 8 الف سل ي ة قل ي سقض

88 درا س ت م سحية في المدر سة: يريد خالد أن ي حد د أفضل األماكن للرحلة المدرسية. ما األسئلة التي تعطيه اإلجابة التي يبحث عنها دون تحي ز a( هل تحب الذهاب إلى مركز الملك عبدالعزيز التاريخي هذا سؤال متحيز لصالح مكان محدد. b( هل تحب الذهاب إلى حديقة الحيوان أم إلى متنز ه سالم هذا سؤال متحيز ألنه يحدد بديلين باالسم. c( أين تفضل أن تذهب في الرحلة هذا سؤال غير متحيز ألنه يعطي اإلجابة التي يبحث عنها دون تحي ز. تحق من فهم أي مما يأتي ي حد د أفضل مادة بالنسبة إلى الطالب دون تحي ز A( هل تفضل المادة التي خرجت من حصتها اآلن B( أيهما تفضل أكثر: العلوم أو الرياضيات C( ما مادتك المفضلة الدرا س ت التجريبية والق ئمة على المالحظة: في الدراسة التجريبية يتم إجراء معالجة خاصة على األشخاص أو الحيوانات أو األشياء قيد الدراسة وتجرى ملحظة استجاباتهم وفي الدراسة القائمة على المالحظة تتم ملحظة األفراد دون أي محاولة للتأثير في النتائج. درا سة ق ئمة على المالحظة تسجل البيانات بعد مالحظة أو مشاهدة العينة. اجمع البيانات وحل لها وفس رها. درا سة تجريبية من 100 شخص اختر من بينهم 50 شخصا ا عشوائي ا وأخضعهم للمعالجة المقصودة بالتجريب بينما ال تخضع اآلخرين ألي معالجة أو أخضعهم لمعالجة شكلية. اجمع البيانات وحل لها وفس رها. في الدراسة التجريبية ي سم ى األشخاص أو الحيوانات أو األشياء التي تخضع للمعالجة المجموعة التجريبية. أم ا األشخاص أو الحيوانات أو األشياء الذين ال يخضعون للمعالجة أو يخضعون لمعالجة شكلية فيسمون المجموعة الضابطة. وتعطى المعالجة الشكلية لكي ال يعرف أفراد المجموعات ألي المجموعتين ينتمون وتصبح الدراسة التجريبية عندها غير متحيزة. حد د ما إذا كان كل موقف مم ا يأتي يمث ل دراسة تجريبية أو دراسة قائمة على المالحظة. وفي حالة الدراسة التجريبية اذكر كال من المجموعة الضابطة والمجموعة التجريبية ثم بي ن ما إذا كانت الدراسة التجريبية متحيزة أم ال. a( اختر 00 طالب نصفهم خضع ألنشطة إضافية في مادة معينة وقارن بين درجاتهم في تلك المادة. هذه دراسة قائمة على الملحظة. ت سميم الدرا س ت الم سحية b( اختر 00 طالب واقسمهم عشوائي ا إلى نصفين وأخضع إحدى المجموعتين إلى برنامج تدريبي معي ن أم ا األخرى فال تخضعها ألي برنامج تدريبي. هذه دراسة تجريبية ألنه تم تقسيم المجموعتين عشوائي ا وإحداهما خضعت للبرنامج التدريبي وهي المجموعة التجريبية واألخرى لم تخضع ألي برنامج تدريبي وهي المجموعة الضابطة وهي دراسة متحيزة ألن كل طالب يعرف المجموعة التي ينتمي إليها. تحق من فهم حد د ما إذا كان الموقف اآلتي يمث ل دراسة تجريبية أو دراسة قائمة على المالحظة وفي حالة الدراسة التجريبية اذكر كال من المجموعة الضابطة والمجموعة التجريبية ثم بي ن ما إذا كانت الدراسة التجريبية متحيزةا أم ال. ( اختر 80 طالبا ا جامعي ا نصفهم درس اإلحصاء في المدرسة الثانوية وقارن نتائج المجموعتين في مساق لإلحصاء تم تدريسه في الجامعة. العينة المتحيزة لا ي ذي زة نت جة يفم مه ي ذي إقنت اتس ي ت المع لجة ال سكلية يف مقفمت يفتس ت ا يف مقفمت يفةا خ سا فدق يجل يا يف م ات يف سقبات قج فدق يج ف س يفةا لا نةق يفهري ست يفدهف ي ج سق سا جندق يفةقجإه جن اه جم لت ي جل يا ج يف م اة ن يفةم ل ت يج يف سقبات نة ن ف سل ج ق فت قج بم سد لا نةق يفهري ست ذف بل ل يف ز ه جن يفمده جثي يج يفم س الدرا س ت التجريبية والدرا س ت الق ئمة على المالحظة الدر س - 1 يفهري سقم يف س ت يفةم ل ت يفاق ت ا يف ي ت 87

89 كيف تعرف متى ت ستعمل الدراسات المسحية أو الدراسات التجريبية أو الدراسات القائمة على الملحظة تستعمل الدراسات المسحية عند الرغبة في جمع بيانات أو آراء أفراد المجتمع حول موضوع معين بينما ت ستعمل الدراسات القائمة على الملحظة عند الرغبة في دراسة أثر معالجة سابقة تعرض لها أفراد من المجتمع دون أي تأثير عليهم من الباحث وتستعمل الدراسات التجريبية عند الرغبة في اختبار طريقة جديدة أو في دراسة نتائج معالجة مقصودة يؤثر الباحث بها في مجموعة من األفراد يتم تعيينهم عشوائي ا. الدرا س ت الم سحية والتجريبية والق ئمة على المالحظة حد د ما إذا كانت كل من الحاالت اآلتية تتطلب دراسة مسحية أو دراسة قائمة على المالحظة أو دراسة تجريبية وفس ر إجابتك: a( تريد أن تختبر طريقة معالجة لمرض ما. يستدعي ذلك إجراء دراسة تجريبي ة يكون المستهدفون فيها مرضى يشك لون المجموعة التجريبية وتخضع هذه المجموعة للعلج بينما يخضع أفراد المجموعة الضابطة اآلخرون وهم مرضى كذلك لعلج شكلي. b( تريد أن تجمع آراءا حول القواعد المعتم دة في انتخاب رئيس الصف. يستدعي هذا دراسة مسحية للا راء حيث من األفضل أن تختار أشخاصا ا من الصف بصورة عشوائية لتحصل على عينة غير متحيزة. c( تريد أن تعرف ما إذا كان التدخين لمدة 10 سنوات يؤث ر في سعة الرئة أو ال. يستدعي هذا إجراء دراسة قائمة على الملحظة تقارن فيها سعة رئة المدخنين لمدة 10 سنوات مع سعة الرئة لعدد مساو لهم من غير المدخنين. تحق من فهم حد د ما إذا كانت الحالة اآلتية تتطلب دراسة مسحية أو دراسة قائمة على المالحظة أو دراسة تجريبية فس ر إجابتك. ( تريد استطلع آراء طلب مدرسة ثانوية حول وسيلة المواصلت المدرسية باستعمال مقياس متدرج من 1 )ال أوافق مطلقا ا( إلى 5 )أوافق بشدة(. التمييز بين االرتب وال سببية إن أي علقة تظهر بين نتائج التجربة والمعالجة ال تعني بالضرورة أن المعالجة هي السبب في النتيجة. فعندما يوجد ارتب اط بين ظاهرتين فإن كل من الظاهرتين تؤثر في األخرى ومعرفتك بقيم الظاهرة األولى يمك نك من التنبؤ بقيم الظاهرة الثانية والعكس صحيح فمثلا : هناك ارتباط بين كتل األشخاص وأطوالهم فكلما زاد طول الشخص زادت كتلته بشكل عام فإذا عرفت طول شخص يمكنك التنبؤ بكتلته. وعندما يوجد س ببية فإن وقوع ظاهرة معينة يكون سببا ا مباشرا ا في وقوع الظاهرة األخرى لذا فإن السببية تتضمن الترتيب الزمني فوقوع الظاهرة األولى أوالا يكون سببا ا في وقوع الظاهرة الثانية الحقا ا كنتيجة لذلك فمثلا : دوران األرض حول محورها هو السبب الوحيد في تعاقب الليل والنهار. وبينما يكون من السهل ملحظة االرتباط بين ظاهرتين فإنه من الصعب البرهنة على وجود سببية بين الظاهرتين. 5 االرتب وال سببية بي ن ما إذا كانت العبارات اآلتية ت ظهر ارتباطا ا أو سببية ثم فس ر إجابتك: a( أظهرت الدراسات أن الطالب يكونون أقل نشاطا ا بعد تناول الغداء. العبارة تظهر ارتباطا ا فقط وال تظهر سببية ألن تناول الغداء ليس سببا ا مباشرا ا وال كافي ا وحده لقلة النشاط لدى الطلب فهناك عوامل أخرى تشترك معه مثل نوعية وكمية الغداء. b( إذا ر فعت أثقاالا أستطيع االلتحاق بفريق كرة القدم. العبارة تظهر ارتباطا ا ألن رفع االثقال وحده ليس سببا ا مباشرا ا لللتحاق بفريق كرة القدم فقد تكون هناك متطلبات أخرى تشترك معه مثل: المهارة واللياقة وغيرها. c( عندما ترى الشمس يكون النهار قد طلع. العبارة الواردة تظهر سببية ألنه ليس هناك عوامل أخرى مع الشمس يلزم وجودها لتسبب طلوع النهار. تحق من فهم بي ن ما إذا كانت العبارة اآلتية ت ظهر ارتباطا ا أو سببية ثم فس ر إجابتك. 5( عندما أدرس أحصل على تقدير ممتاز. ال سببية د يف سلل ت انهجق ن ي ه يف ق ن ه ق سلل ق إقل ق ف يف ق ة ي ج 88 الف سل ي ة قل ي سقض

90 حد د ما إذا كانت كل دراسة مسحية فيما يأتي تتبن ى عينة متحيزة أو غير متحيزة وفس ر إجابتك: )مثال 1( وجد عادل 100 شخص نصفهم متطوعون في مأوى للمحرومين الفقراء وقارن بين متوسطي الدخل السنوي ألفراد المجموعتين. )9 )10 )11 استطلع رأي كل شخص ثالث يخرج من مطعم للمشويات لمعرفة الوجبة المفضلة للناس. االستفسار من طلب صف معين من المتميزين في مادة العلوم عن أفضل المواد لديهم. اختر 00 شخص واقس مهم عشوائي ا إلى مجموعتين: إحداهما تقرأ القرآن لمدة ساعة قبل النوم واألخرى ال تفعل شيئا ا ثم قارن بين كيفية نوم كل من المجموعتين. اختر 50 شخصا ا نصفهم في الف رق الرياضية وقارن بين كمية الوقت الذي يمضونه في حل الواجبات. )1 ) االستفسار من الطالب الذي ترتيبه 0 من كل 0 طالبا ا يخرجون من مدرستك عن الطالب الذي سيصوتون له في انتخابات المجلس الطلبي. اختر 100 طالب نصفهم في نادي اللغة اإلنجليزية وقارن بين درجاتهم في اللغة اإلنجليزية. )1 ) استطلع آراء طلب في كلية الطب لمعرفة المهنة المستقبلية المفضلة لدى الشباب. حد د ما إذا كانت كل من الحاالت اآلتية تتطلب دراسة مسحية أو دراسة قائمة على المالحظة أو دراسة تجريبية وفس ر إجابتك: )مثال ( ) حد د سؤال الدراسة المسحية الذي تحصل منه على اإلجابة المطلوبة بشكل أفضل. )مثال ( يريد زاهر أن يحدد فريق كرة القدم األكثر شعبية في المملكة. a( ما اسم فريق كرة القدم الذي تفضله في مدينة الرياض b( ما اسم فريق كرة القدم الذي تفضله في المملكة تريد اختبار علج لمعالجة الصلع عند الرجال. تريد استطلع آراء أشخاص حول سياسة جديدة لشركة. تريد معرفة ما إذا كان عدد سنوات الركض يؤث ر في حركة الركبة أو ال. تريد معرفة ما إذا كانت المشروبات الغازية تؤث ر في جدار المعدة أو ال. )1 )1 )15 )1 )5 )17 ما مدى تقديرك لفرق كرة القدم في المملكة c( يريد سليمان أن يحدد الرغبة في تكوين أول ناد للشطرنج في المدرسة. في أي يوم ترغب في أن تتأخر في المدرسة a( هل تحب الشطرنج b( هل تحب أن تنضم إلى نادي الشطرنج في المدرسة c( تريد اختبار معالجة معي نة تبعد الحيوانات عن البساتين التي تحوي غزالنا ا. بي ن ما إذا كانت كل من العبارات اآلتية تظهر ارتباطا ا أو سببية وفس ر إجابتك: )مثال 5( )18 عندما أمارس الرياضة أكون في وضع نفسي أفضل. ) يريد هاني أن يتعرف إلى الطالب المثالي في المدرسة. 19( عندما يكون الجو باردا ا وممطرا ا بغزارة ال نذهب إلى المدرسة. )7 a( من ترى أنه الطالب المثالي في المدرسة 0( عندما يكون الطقس حار ا في فصل الصيف يكثر بيع المشروبات الباردة. b( هل ت فض ل الطالب الذي ال يبادر بالمساعدة أم الذي يبادر بها 1( كثرة القراءة تجعلك أكثر ذكاءا. ) ) ) c( إذا ط ل ب إليك إبداء الرأي فهل تفعل حد د ما إذا كان كل موقف من المواقف اآلتية يمث ل دراسة تجريبية أو دراسة قائمة على المالحظة وفي حالة الدراسة التجريبية اذكر كال من المجموعة الضابطة والمجموعة التجريبية ثم بي ن ما إذا كانت الدراسة التجريبية متحيزة أم ال: )مثال ( قبل االختبار قام المعلم باختيار شعبتين من الصف نفسه بشكل عشوائي وقام بمراجعة المادة لطلب إحداهما بينما لم يراجع المادة لطلب الشعبة األخرى. ثم قام بمقارنة نتائج االختبار لهما. دل ت األبحاث على أن من يتقن أكثر من لغة يكون أقل إمكانية لإلصابة بالمرض. النوم بحذائك يؤدي إلى شعورك بالصداع. ا ستبانات: توز ع شركة استبانات على العاملين الذين تركوا العمل في الشركة وكان أحد أسئلة االستبانة هو كيف يرى العامل خبرته التي اكتسبها في الشركة هل هذه دراسة مسحية متحيزة فس ر السبب. )8 الدر س - 1 يفهري سقم يف س ت يفةم ل ت يفاق ت ا يف ي ت 89

91 ا ذا كان -, = u v = 1,, فا وجد ك لا مما يا تي: 1- u v + u u - v طلب ا لى كل من سامي وهشام ا ن يصمم دراسة تجريبية غير متحيزة. هل و فق ا ي منهما في ذلك ف سر ا جابتك. ا وجد الصورة الا حداثية وطول AB المعطاة نقطتا بدايته ونهايته في ك ل مما يا تي: - A(,, 7 ), B( 1,, - ) A(, 5, 10), B(7, 1, 8) ح ول الا حداثيات القطبية ا لى ا حداثيات ديكارتية لك ل نقطة مما يا تي: - (, 90 ) ( 5 (, 10 ) ( ( 1, π ) (0 (1 ( ( ( ( (5 كيف تظهر الدراسة المسحية عبر الهاتف تح ي زا للعينة ع بر عن كل عدد مركب مما يا تي بالصورة القطبية: i ( 8 ( -1 - i ( 9 (0 (1 قارن من خلال ذكر ا وجه الشبه وا وجه الاختلاف بين العينة العشواي ية في اختيار الا فراد من المجتمع وب ين الاختيار العشواي ي لا فراد المجموعة الضابطة في الدراسة التجريبية. اذكر مثا لا من واقع الحياة لكل دراسة م ما يا تي وح دد عدد ا فراد العينة وكيفية اختيارها. a) مسحية b) قاي مة على االملاحظة c) تجريبية كيف يحدث التح يز في الدراسة التجريبية وكيف يو ثر في النتيجة ا ع ط مثا لا على ذلك. ح دد ما ا ذا كانت كل حالة من الحالات الا تية تم ثل دراسة تجريبية ا و دراسة قاي مة على الملاحظة وا ذا كانت دراسة تجريبية فح دد المجموعة التجريبية والمجموعة الضابطة ثم ب ين ما ا ذا كانت متحيزة ا و لا. ( اختر 0 شخ صا عشواي يا وقسمهم عشواي يا ا لى مجموعتين. ا حداهما تقوم بالتدريبات الرياضية مدة ساع ة واحدة يوم يا والا خر لا تقوم بهذه التدريبات ثم قارن بين كتلة الجسم لكل من المجموعتين. اختر 00 طالب نصفهم يمارس كرة القدم وقارن فترة النوم بين المجموعتين. اختر 100 طالب جامعي نصفهم لديه وظيفة بدوام جزي ي وقارن معدلاتهم التراكمية. (7 (8 (9 90

92 معمل الح سبة البي نية: تقويم البي ن ت المن سورة Evaluatig Published Data يمكنك استعمال الحاسبة البيانية TI - spire مع تطبيق القوائم وجداول البيانات لتقويم البيانات التي يمكن الحصول عليها في الواقع. يبين الجدول أدناه عدد السيارات التي باعها معرض للسيارات خلل الفترة وقد قام المعرض بتمثيل هذه البيانات باألعمدة البيانية كما في الشكل المجاور وعرضها في إحدى الصحف وذلك لدعم المقولة بأن مبيعات المعرض تزداد بشكل كبير جد ا. هل هذا صحيح ال سنوات عدد ال سي رات المبيعة تقويم التمثيل البياني للبيانات. الخطوة 1 أدخل البيانات في صفحة من تطبيق القوائم وجداول البيانات. اضغط ومنها اختر. اكتب عنوان البيانات (ears) في أعلى العمود (A) و (cars) في أعلى العمود (B). إلدخال فئات السنوات في كل خلية بالضغط على ثم اختيار " فمثلا A 1 اكتب 89" "85- ثم اضغط إلدخال الفئة األولى من السنوات في الخلية وكر ر ذلك لبقية فئات السنوات. B 1 ثم أدخل البيانات لكل فئة من السنوات. استعمل األسهم إلظهار الخلية الخطوة مث ل البيانات التي تم إدخالها باألعمدة. اضغط ثم اختر ومنها اختر ears في و cars في و صفحة جديدة من إلظهار التمثيل البياني على صفحة جديدة ثم اضغط. لمشاهدة المعلومات عن أي عمود في التمثيل البياني قم باإلشارة إلى ذلك العمود فتظهر معلوماته كما هو موضح في الشكل المجاور. حل ل النت ئج قارن تمثيلك البياني بتمثيل الصحيفة. هل يعرض التمثيلن البيانات نفسها 1( أي التمثيلين ي ظه ر أن مبيعات المعرض تزداد بشكل أكبر ولماذا ( لماذا اختار المعرض أن يعرض بياناته بهذه الطريقة هل هي مقبولة ولماذا ( الدر س - 1 تو سع - 1 يفهري سقم جميف س ت يف ق سلت يفل قن يفةم لت ت ا يفاق ت يفلا قنقميف يف نتس رة ي ت 91

93 االإح س ئي التحليل Statistical Aalsis شارك أمجد في 18 سباقا ا جبلي ا للدراجات خلل العام الماضي وي مث ل الجدول المجاور الزمن بالدقائق والثواني الذي استغرقه للوصول إلى خط النهاية في كل منها. أي من مقاييس النزعة المركزية يفضل أن يستعمله أمجد لوصف هذه األزمنة إن إيجاد أحد مقاييس النزعة المركزية لوصف البيانات وتلخيصها والوصول إلى االستنتاجات المتعلقة بالدراسة ي س مى التحليل اإلحصائي لها. التحليل االإح س ئي البيانات الموجودة في الجدول أعله تشتمل على متغير لذا ت سمى بيانات في متغير واحد ويمكن وصف مثل هذه البيانات باستعمال مقاييس النزعة المركزية وهي مقاييس عددية تحد د نقطة )مركز( تجمع البيانات إذ إن البيانات في أي ظاهرة تنزع )تميل( في الغالب إلى التجمع أو التمركز حول قيمة معنية. وأبرز هذه المقاييس هو المتوسط الحسابي والوسيط والمنوال. وعند اختيار مقياس لوصف البيانات يمكن استعمال الجدول أدناه: يف ا ق س يف ة س يف سقبا يف س ار ست جاق س يفنزات يف إز ت جاق س يفةتسةت ي ة قر جا ق س يفنزات يف إز ت ي جن س فة ث يفل قنقم يج ه قجتس اقج يف مق نت يج سةم يج سةم جاق س يفةتسةت ف اقرنت جم اقم جن يفل قنقم يفة ي سق ا يف ن يل يفةم جم يفا جا س ج ق ا اها ق يفمها يف تسغ ج ا يف نة س انه يفا نقزف ق يج سقاه ق لا جم ات ب قنقم اها ق ل ا يج يف ة س ف مها ن يف ج ا ن لا يف نة س لا جم ات ب قنقم اها ق ز جا ج لت ل ق سقاه ق يج نقزف ق يفا ت ي جإث ير ي يج يس ا ق ب ن يفا يجإث لق هة انهجق جةا لت لا يفل قنقم جه جةا لت لا يفل قنقم جه جه لم يم إل ة لا جنة س يفل قنقم جن يفا يفل قنقم يفمه ه يف ة سق ت a( زمن ال سب ق: إشارة إلى البيانات في سباق الدراجات أعاله أي مقاييس النزعة المركزية يصف البيانات بصورة أفضل ولماذا بما أن البيانات تنتشر وال يظهر فيها قيم متطرفة يكون المتوسط هو األفضل. b( أي من مقاييس النزعة المركزية يناسب البيانات في الجدول المجاور ولماذا بما أنه توجد قيم متطرفة وال يوجد فجوات كبيرة في منتصف البيانات فإن الوسيط أفضل من غيره لتمثيل البيانات. تحق من فهم 1( تمنح مؤسسة جائزة كبرى قيمتها 0000 ريال و 0 جائزة أخرى قيمة كل منها 500 ريال أي مقاييس النزعة المركزية يلئم البيانات بصورة أفضل ولماذا 7:0 :8 :5 :59 :5 7:07 7:9 :50 :5 :9 7:01 :5 7:0 :9 7:09 :51 :57 7:0 1 statistical aalsis يف ةغ variable ب قنقم لا جةغ ي ه uivariate data جاق س يفنزات يف إز ت measure of cetral tedec يف م ت parameter ي سق ا Statistic قجتس اقج يف مق نت margi of samplig error جا ق س يفةتسةت measure of variatio يفةلق ن variace ي ن يف يف م قر مق يي س النزعة المركزية مق يي س النزعة المركزية stadard deviatio يوجد نوعان من المقاييس يمكن استعمالهما لمجموعة من البيانات هما الم عل مة وهو مقياس يصف خاصية في المجتمع. واإلحصائي وهو مقياس يصف خاصية في العينة. فمتوسط دخل الفرد في المملكة هو مثال على الم ع ل مة أما متوسط دخل الفرد في مدينتك التي تسكنها فهو مثال على اإلحصائي. ويتم تحديد مجتمع الدراسة في ضوء الهدف من الدراسة فإذا أراد باحث مثلا تعرف مدى رضا معل م ي الرياضيات عن المناهج الجديدة في المملكة القيمة المتطرفة ا ي هة جن يفل قنقم يجإل يج معل م ي الرياضيات الذين ي در سون المناهج الجديدة في المملكة ولصعوبة إجراء فإن مجتمع الدراسة يكون جميع يج سغ إث ي جن با ت يفل قنقم الدراسة على جميع المعلمين فإنه يتم اختيار مجموعة صغيرة والتي تمثل عينة الدراسة. 9 الف سل ي ة قل ي سقض

94 وعند سحب عينة من مجتمع فهنالك خطورة من وجود خطأ في المعاينة ناتج عن إجراء الدراسة على عينة من المجتمع وليس على المجتمع بأكمله. وكلما زاد حجم العينة قل هامش خطأ المعاينة وي ح د د هامش خطأ المعاينة الفترة التي تدل على مدى اختلف استجابة العينة عن المجتمع وبذلك يمكن تحديد الفترة التي تتضمن نسبة أفراد المجتمع الذين أفادوا بموافقتهم على موضوع الدراسة. انه س ا نت م دق جن جمة ا إ ا لق ن ن ا قجتس اقج يف مق نت بقفا ت ± 1 Ç ه م س خط أ المع ينة ه م س خط أ المع ينة في دراسة مسحية عشوائية شملت 18 شخصا ا أفاد 58% منهم أن كرة القدم هي لعبتهم المفض لة. a( ما هامش خطأ المعاينة 1 ± هامش خطأ المعاينة Ç ± 1 ÇÇ 18 قن ن قجتس اقج يف مق نت = 18 بقفةل س ±0.01 كت بة ه م س خط أ المع ينة ن ة قجتس اقج يف مق نت اقاة ا س رة ن سلت ج ت إذن هامش الخطأ للمعاينة ±.1% تقريبا ا. b( ما الفترة الممكنة التي تتضم ن نسبة المجتمع الذين أفادوا أن كرة القدم هي لعبتهم المفضلة 58% -.1% = 58% +.1% = = 55.8% = 0.1% نسبة المجتمع الذين أفادوا بأن كرة القدم هي لعبتهم المفضلة تقع بين 55.8% و 0.1% أي الفترة.(55.8%, 0.1%) تحق من فهم في دراسة مسحية عشوائية شملت 7 شخصا ا قال 1% منهم: إنهم مرتاحون للنهضة العلمية. A( ما هامش خطأ المعاينة B( ما الفترة الممكنة التي تتضمن نسبة أفراد المجتمع المرتاحين للنهضة العلمية مق يي س الت ست تصف مقاييس التشتت مقدار تباعد البيانات أو تقاربها ومن أشهر مقاييس التشتت التباين واالنحراف المعياري. ويصف هذان المقياسان مدى بعد مجموعة البيانات عن المتوسط أو قربها منه. ي مث ل الرمز المتوسط للعينة وي قرأ» بار«ويمث ل الرمز µ المتوسط للمجتمع وي قرأ»ميو«. ويحسب كل من المتوسط للعينة والمتوسط للمجتمع بالطريقة ذاتها أم ا طريقة حساب االنحراف المعياري لكل من بيانات العينة وبيانات المجتمع فتختلف وفيما يأتي توضيح لطريقة حساب كل من االنحراف المعياري للعينة وي رمز له بالحرف s واالنحراف المعياري للمجتمع )ويرمز له بالرمز σ ويقرأ»سيجما«(. ق نون االنحراف المعي ري العينة s = ÇÇÇÇÇ ( k - ) k = 1-1 المجتمع σ = ÇÇÇÇÇ ( k - µ ) k = 1 يف ة س ' يفم نت اها يف سقبا ف م نت k يفم نت يف ة س يف مة ا اها يف سقبا ف مة ا k يف مة ا مق يي س الت ست ار ست سقبا ق جاق س يفةتسةت )يف ه يف ب مقم يف ه يف ب ما ي ن يف يف ة س يفةلق ن )ج با ي ن يف يف م قر )) الدر س - يفة ي سق ا 9

95 االنحراف المعي ري درج ت اختب ر: حصل طالب المعلم صالح في اختبارين متتاليين على المتوسط نفسه في اختبار الرياضيات وهو 75. إذا علمت أن درجات االختبارين كما يأتي: ي ةلقر B 100, 100, 90, 10, 100, 95, 10, 95, 100, 100, 85, 15, 95, 0, 95, 90, 100, 100, 90, 10, 100, 100, 5 ي ةلقر A 85, 80, 75, 75, 70, 75, 75, 5, 75, 75, 75, 80, 75, 75, 70, 80, 70, 75, 75, 75, 75, 75, 75 A. بي ن ما إذا كانت هذه البيانات تمثل عينة أم مجتمعا ا ثم أوجد االنحراف المعياري لدرجات االختبار a( الخطوة 1 بما أن االختبار ط ب ق على جميع طلب الفصل ولم تكن درجات هؤالء الطلب عينة من درجات مجموعة كبيرة من الطلب ط ب ق عليها االختبار فإن المتوسط 75 يمثل متوسط المجتمع. ومن هنا فإن: = 75 µ. الخطوة أوجد االنحراف المعياري. ÇÇÇÇÇ ( k - µ) k = 1 σ = = ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ (85-75) + (80-75) + + (75-75) + (75-75).9 يف ة س ن يف م سةم يف سقبا ي ن يف يف م قر فة نةق يبد المتوسط لدرجات االختبار A يساوي 75 واالنحراف المعياري يساوي تقريبا ا.9 يف م قر ي ن يف قن ن االنحراف المعي ري إ ق زيام ت ي ن يف يف م قر زيا لقاه يفل قنقم ان بم سدق ان يف ة س يف سقبا B. استعمل الحاسبة البيانية إليجاد االنحراف المعياري لالختبار b( اضغط ثم وأدخل القيم )الدرجات( في العمود A. ولمشاهدة اإلحصائيات اضغط ثم اختر ومنها ثم اضغط ثم المتوسط لدرجات االختبار B يساوي 75 واالنحراف المعياري يساوي تقريبا ا c( قارن االنحراف المعياري في كال االختبارين: وماذا تستنتج. االنحراف المعياري للختبار B أكبر كثيرا ا من االنحراف المعياري للختبار A لذا فدرجات الطلب في االختبار A أكثر تجانسا ا أي أن درجات بعضهم قريبة من بعض مقارنة باالختبار B الذي بين درجات عالية جد ا ودرجات اآلخرين دون المتوسط كثيرا ا. تحق من فهم A( احسب المتوسط واالنحراف المعياري للمجتمع للبيانات المحد دة في الجدول المجاور. B( ضع 70 مكان 0: ماذا تتوقع أن يحدث لكل من المتوسط واالنحراف المعياري أعد الحسابات للتحق ق. C( اختير (5) طلب عشوائي ا من فصل دراسي وقيست أطوالهم فكانت: 175 سم 170 سم 18 سم 17 سم 170 سم. احسب االنحراف المعياري ألطوالهم الف سل ي ة قل ي سقض

96 )9 أي مقاييس النزعة المركزية يصف بصورة أفضل البيانات اآلتية ولماذا )مثال 1( تمارين ريا ضية: في دراسة مسحية شملت 1 شخص ا اختيروا بطريقة عشوائية أفاد 78% منهم أنهم يمارسون الرياضة لمدة ساعة أسبوعي ا على األقل. 8, 79, 781, 77, 758 )1 a( ما هامش خطأ المعاينة 7.,.8, 0., 19. ) , 70, 17, 0, 55, 5,, 58, 0, 9 5, 1,, 59, 1, 55, 9 تغذية: ي وضح الجدول أدناه عدد السعرات لكل طبق خضار. الخ ضار زهرة بندورة حبوب كو سا ال سعرات 10 الخ ضار بركلي ملفوف جزر سبانخ ال سعرات 5 الخ ضار باذنجان فا صوليا فلفل خ س ال سعرات طق س: يبي ن الجدول أدناه درجات الحرارة في أثناء النهار ولمدة أسبوع بالدرجات الفهرنهايتية: اليوم ال سبت الأحد الإثنين الثالثاء ا ألربعاء الخمي س الجمعة درجة الحرارة F 7 F 9 F 70 F 71 F 75 F 7 F األعاب اأولمبية: في دراسة مسحية عشوائية شملت 58 شخص ا أفاد 9% منهم أنهم سيشاهدون األلعاب األولمبية على التلفاز. )مثال ( a( ما هامش خطأ المعاينة b( ما الفترة الممكنة التي تتضمن نسبة المجتمع الذين سوف يشاهدون األلعاب األولمبية على التلفاز ريا ضة: في دراسة مسحية عشوائية شارك فيها 59 شخص ا وجد أن 1% منهم يشاهدون مباراة واحدة على األقل في كرة القدم شهري ا. a( ما هامش خطأ المعاينة b( ما الفترة الممكنة التي تتضمن نسبة المجتمع الذين يشاهدون مباراة واحدة على األقل في كرة القدم شهري ا b( ما الفترة الممكنة التي تحتوي على نسبة المجتمع الذين يمارسون الرياضة ساعة واحدة على األقل أسبوعي ا قيادة: ت حد د عادة السرعات القصوى على الطرقات تفادي ا للحوادث. a( وفيما يأتي السرعات القصوى (mi/h) للطرقات جميعها في إحدى الدول بين مدنها وقراها. أوجد االنحراف المعياري للسرعات في الجدول أدناه. )مثال ( ال سرعات الق صوى للطرقات جميعها (mi/h) (mi/h) إذا كان االنحراف المعياري للسرعات القصوى b( للطرقات جميعها في دولة أخرى (). قارن االنحراف المعياري للسرعات في كال الدولتين. وماذا تستنتج تدريب: في أثناء التمرين سج ل سلطان األزمنة التي ركض فيها مسافة 0. m أوجد االنحراف المعياري للبيانات في الجدول أدناه. اأزمنة قطع الم سافة 0 m رك ض ا بالثواني اختبارات: فيما يأتي درجات صف مكو ن من 50 طالب ا في اختبار من 5 درجة درجات 50 طالب ا في اختبار من 5 درجة )10 )11 )1 a( قارن بين المتوسط والوسيط للدرجات. b( أوجد االنحراف المعياري للبيانات وقر به إلى أقرب جزء من مئة. c( على افتراض أن الدرجة 0.0 كانت خطأ وتم تعديلها إلى.5 كيف يتأث ر كل من المتوسط والوسيط بهذا التغيير ) ) )5 ) )7 )8 الدر س - 95

97 مدار س: يوض ح الجدول أدناه عدد الطلب لكل معلم في مدارس إحدى المناطق التعليمية: أوجد الضرب الداخلي للمتجهين u, v في كل مما يأتي ثم حد د ما إذا كانا متعامدين أو ال. )الدر س 5-1( )1 u = 1,, 5, v = -8, 1, 1 )1 عدد الطالب لكل معلم u = -,,, v =,, ) u =,, 5, v = -1, -, -5 ) u = 8i - 8j + k, v = i + j + k ) a( ما مقياس النزعة المركزية األنسب لهذه البيانات ولماذا b( أوجد االنحراف المعياري للبيانات وقر به إلى أقرب جزء من مئة. م س ألة مفتوحة: اجمع بيانات في متغي ر واحد ثم حد د أي مقاييس النزعة المركزية ومقاييس التشتت هي األنسب لوصف هذه البيانات. تحد : إذا أي د 7% من المستهدفين موضوع دراسة مسحية وكانت الفترة الممكنة التي تتضمن نسبة أفراد المجتمع المؤيدة هي - 9.%.8% فكم شخصا ا تناولت الدراسة المسحية رأيهم تبرير: حذفت قيمة متطرفة كبيرة من مجموعة بيانات كيف يؤث ر ذلك في المتوسط واالنحراف المعياري لمجموعة البيانات وض ح ذلك. أوجد زوجين مختلفين كل منهما يمث ل إحداثيين قطبيين لكل نقطة معطاة باإلحداثي ات الديكارتي ة في كل مما يأتي: )الدر س - ( (, 11) ) 5 ( -9, ) ) (, 1) ) 7 اإح صاء: في دراسة مسحية شملت شخص أفاد % 0 منهم أن كرة السلة هي لعبتهم المفضلة. ما هامش خطأ المعاينة 0.00 B 0. A 0.01 D C )8 )1 )15 )1 تبرير: إذا زيدت كل قيمة في مجموعة بيانات بمقدار 10 فكيف 9( يؤث ر ذلك في المتوسط والوسيط واالنحراف المعياري فس ر إجابتك. درجات اختبار: كانت درجات 5 طلب اختيروا عشوائي ا في فصل دراسي كما يلي,70.,50,0,5 55 احسب االنحراف المعياري لدرجاتهم إلى أقرب عدد صحيح. ) B 1 A 1 D 15 C )18 اكتب: قارن بذكر أوجه الشبه وأوجه االختلف بين المتوسط والوسيط لمجموعة بيانات في متغي ر واحد. )19 حد د إذا كانت كل دراسة مسحية مما يأتي تتبنى عينة متحيزة أو غير متحيزة وفس ر إجابتك. )الدر س 1- ( قام باحث بإرسال استبانة إلى كل شخص تنتهي بطاقة األحوال الخاصة به برقم معي ن. )0 إيجاد أطوال أعضاء فريق كرة السلة لتحديد المتوسط الحسابي ألطوال طلب المدرسة. 9 الف صل ءاصحإلاو لامتحالا

98 الم سرو االحتم ل Coditioal Probabilit يختبر هيثم دواءا يقي من بعض األمراض. وتوجد مجموعتان من األشخاص إحداهما تجريبية تم إعطاء الدواء الحقيقي ألفرادها بينما تم إعطاء دواء شكلي )غير فع ال( للمجموعة األخرى )المجموعة الضابطة(. وبعد الحصول على النتائج يريد هيثم أن يجد احتمال بقاء المستهدفين أصحاء نتيجة الدواء. وهذا المثال ي فس ر مفهوم االحتمال المشروط. االحتم ل الم سرو ي سم ى احتمال وقوع الحادثة B بشرط وقوع الحادثة A احت ماالا مشروطا ا. ويرمز له بالرمز. A بشرط وقوع الحادثة B ويقرأ احتمال وقوع الحادثة P(B A) ي ذي إقنت قا ة A, B ن ج سةا ة ن لق ن ي ة قل يف تس ا ف يف قا ت B ي ذي ا يجن يف قا ت A يفن ا م ف مت ه P(A B) P(B A) =, P(A) 0 P(A) ار ست جاد ي ة قل إ ا ت سقب ) جدقرة سقبات ( يج ه ي ة قل قا ت ي ذي ا يجن قا ت يج ه مت يج سةم يفمهي ل يفة يلا ت جتس ت ق م ي ة مقا ي ة قل يف تس ا االحتم ل الم سرو coditioal probabilit يفمه ل يفة يلاا cotigec table يفة ير يفن سلا relative frequec ألقت عبير مكعب أرقام مرةا واحدةا. ما احتمال ظهور العدد علما ا بأن العدد الظاهر فردي توجد نواتج ممكنة من إلقاء مكعب األرقام مرةا واحدةا. لتكن A الحادثة التي يكون فيها العدد الظاهر عددا ا فردي ا. ولتكن B الحادثة التي يظهر فيها العدد. P(A) = = 1 P(A B) = 1 P(B A) = P(A B) P(A) = 1 1 = 1 ن ي ذيم اها ل ا جن ب ن ن ي ي ه جن يفن ي يف سةت ل ا ث يفمها ي ة قل يف قا ت B ا ق بقجن يف قا ت ه A مت 1 P(A) =, P(A B) = احتمال ظهور العدد علما ا بأن العدد الظاهر فردي هو تحق من فهم االحتم ل الم سرو 1( يحتوي كيس على 5 بطاقة مقسمة إلى أربع مجموعات لكل منها لون من األلوان اآلتية: األحمر واألخضر واألزرق واألصفر ورق مت بطاقات كل لون باألعداد من 1 إلى 1. إذا سحبت نوال بطاقة فما احتمال أن تحمل هذه البطاقة العدد 1 علما ا بأن ما سحبته كان العدد 11 أو 1 أو 1 الدر س - ي ة قل يف تس ا 97

99 الجداول التوافقية الجد اول التوافقية هي جداول تكرارية ذات بعدين يتم فيها تسجيل بيانات ضمن خليا حيث إن كل خلية من خليا الجدول ت مث ل تكرارا ا يسمى تك رارا ا نسبي ا إذ يكون منسوبا ا إلى مجموع التكرارات في الجدول أو منسوبا ا إلى مجموع التكرارات في الصف الذي تقع فيه الخلية أو منسوبا ا إلى مجموع التكرارات في العمود الذي تقع فيه الخلية ويمكن استعمال الجداول التوافقية في إيجاد االحتمال المشروط. م سي: أوجد احتمال أن يكون شخص اختير عشوائيا ا معافى علما ا بأنه يمارس المشي. عدد األشخاص الكلي في الدراسة ويساوي 000 شخص ويراد إيجاد احتمال H علما ا بأن W قد وقع. P(H W) = P(H و W) P(W) = = = 1 قن ن ي ة قل يف تس ا P(H W) = , P(W) = ب س الجداول التوافقية الح لة ج س( S ) جمقلH) ) يم ر س الم سي (w) عدد االأ سخ س. 1 احتمال أن يكون الشخص معافى علما ا بأنه يمارس المشي هو تحق من فهم ( أوجد احتمال أن يكون شخص اختير عشوائيا ا معافى علما ا بأنه ال يمارس المشي. ال يم ر س الم سي (Nw) حل مخت سر ن ي ة سقر يف لا يف ثقل بق سةم قل يفمهي ل يفة يلا ت ل سقض يفم نت يف خة س ا يفن ي ا ي ة قل يجن ن يفتسخ س جمقل بتس ا يجن قر س يف تسا P ( H W) = = 1 يمكن استعمال الجداول التوافقية لتمثيل أي عدد من الحاالت الممكنة. يوض ح الجدول أدناه عدد الطالب الجامعيين الذين يمارسون الرياضة بشكل منتظم إذا اختير طالب عشوائي ا فأوجد احتمال أن يكون الطالب ممن هم ضمن المنتخب الوطني علما ا بأنه في السنة الثالثة. 11.5% A تقريبا ا 1.% تقريبا ا B 1% تقريبا ا C 19.8% تقريبا ا D الري سيون الج معيون يف نا( B ) ن يف نةخ س ف س س ن يف نةخ يف نا( A ) سنة اأولى 7 سنة ث نية سنةث لثة سنةرابعة كت بة االحتم ل ان قل مل يجن ي ة إ ب س ياة قا يج ب س اتس يج بن سلت ج ت اقراأ فقرة االختب ر تريد معرفة احتمال أن يكون الطالب ممن هم ضمن المنتخب الوطني (B) علما ا بأنه في السنة الثالثة ) T ). مجموع الطلب هو 1180 طالبا ا. ح ل فقرة االختب ر الجواب الصحيح A. تحق من فهم P(B T ) = P( B T ) P(T ) = قن ن ي ة قل يف تس ا P(B T ) =, P(T ) = % 11.5% ( أوجد احتمال أن يكون الطالب ممن هم ضمن المنتخب الوطني علما ا بأنه في السنة األولى..% A تقريبا ا.5% B تقريبا ا 8.% C تقريبا ا 7.7% D تقريبا ا 98 الف سل ي ة قل ي سقض

100 يحتوي كيس على 8 كرات زرقاء و كرات حمراء و 10 كرات صفراء و كرات بيضاء و 5 كرات خضراء. إذا س حبت كرة واحدة عشوائي ا فأوجد االحتمال في كل حالة مما يأتي: )مثال 1( أن تكون الكرة خضراء إذا ع لم أنها ليست زرقاء. أن تكون حمراء إذا ع لم أنها ليست خضراء. اختيار من متعدد: ي بي ن الجدول أدناه أعداد الطلب الذين حضروا مباراة كرة قدم والذين تغي بوا عنها من السنوات الجامعية األولى والثانية والثالثة والرابعة. إذا اختير أحد الطلب عشوائي ا فأوجد احتمال أن يكون قد حضر المباراة علما ا بأنه من السنة الثالثة. )مثال ( )9 )1 ) أن تكون صفراء إذا ع لم أنها ليست حمراء وليست زرقاء. رابعة ثالثة ثانية اأولى ) أن تكون خضراء أو بيضاء إذا ع لم أنها ليست حمراء. الح ضور ) أن تكون زرقاء إذا ع لم أنها بيضاء. الغياب )5 8.% A تقريبا ا 77.% B تقريبا ا قطاعات دائرية: رقم ت قطاعات دائرية متطابقة في قرص من 1 إلى 8 إذا أ دير مؤشر القرص فما احتمال أن يستقر المؤشر عند العدد 8 إذا ع ل م أنه استقر عند عدد زوجي ) 8.% C تقريبا ا 91.% D تقريبا ا فح ص القيادة: يوض ح الجدول أدناه أداء مجموعة من األشخاص في فحص القيادة علما ا بأن بعضهم أخذ حصصا ا تدريبية تحضيرا ا للفحص والبعض اآلخر لم يأخذ. إذا اختير أحد األشخاص عشوائي ا فأوجد احتمال كل مما يأتي: )مثال ( ناجح را سب أاخذ ح ص ص ا لم ي أخذ ح ص ص ا 8 18 a( الشخص ناجح علما ا بأنه أخذ حصصا ا. b( الشخص راسب علما ا بأنه لم يأخذ حصصا ا. c( لم يأخذ حصصا ا علما ا بأنه ناجح. اختيار من متعدد: يقارن عادل وإبراهيم وسعود مجموعة أمثال شعبية جمعوها. وتم تمثيل ذلك وفق الجدول المجاور. إذا اختير مثل مما جمعوه عشوائي ا فأوجد احتمال أن يكون المثل اجتماعي ا علما ا بأنه ليس مما جمعه عادل. عادل اإبراهيم سعود فكاهي اجتماعي خليط % A تقريبا ا )10 )7.8% B تقريبا ا 17.% C تقريبا ا 15% D تقريبا ا درو س التقوية: سج لت مدرسة أعداد طلب الصفين الثاني المتوسط والثالث المتوسط المشتركين وغير المشتركين في دروس التقوية. إذا اختير أحد الطلب عشوائي ا فأوجد احتمال كل مم ا يأتي: الثاني المتو سط الثالث المتو سط م شارك 15 غير م شارك a( الطالب مشارك في التقوية علما ا بأنه في الصف الثاني المتوسط. b( الطالب غير مشارك في التقوية علما ا بأنه في الصف الثالث المتوسط. c( الطالب في الصف الثاني المتوسط علما ا بأنه غير مشارك. إذا ألقيت أربع قطع نقد متمايزة مرةا واحدة فأجب عم ا يأتي : )11 )1 )1 )1 ما احتمال ظهور شعارين علما ا بوجود كتابة على قطعة واحدة على األقل ما احتمال ظهور كتابات علما ا بوجود شعار واحد على األقل ما احتمال عدم ظهور أي شعار علما ا بأنه توجد كتابة واحدة على األقل ما احتمال عدم ظهور أي كتابة علما ا بأنه يوجد شعارات على األقل )8 الدر س - طورشملا لامتحالا 99

101 ) ) بط ق ت: يحتوي صندوق على 5 بطاقة مقس مة إلى أربع مجموعات لكل منها لون من األلوان اآلتية: األحمر واألسود واألخضر واألزرق ور ق مت بطاقات كل لون من 1 إلى 1. إذا س حبت بطاقة واحدة عشوائي ا فما احتمال أن تحمل البطاقة الرقم 9 علما ا بأنها حمراء اللون يبين الجدول أدناه أعداد األلعاب اإللكترونية الموجودة لدى شخص. إذا اختيرت لعبة عشوائي ا فأوجد كل من االحتمالين اآلتيين: استعمل مسطرة ومنقلة لرسم متجه يمث ل v = 0 km/h باتجاه 0 مع األفقي. )يفهر س 1-1( ثق فة م لية: يوض ح الجدول أدناه دخل 1 شركة في األسبوع األول من شهر محرم عام 1 ه بالريال. )يفهر س -( )15 ) اللعبة العدد إ ة ه 5 إ ة س ت ج سقرات سلقا س قريم يج a( أن تكون من ألعاب المصارعة علما ا بأنها ليست من ألعاب كرة القدم. b( أن تكون من ألعاب سباق السيارات علما ا بأنها ليست من ألعاب كرة السلة وليست من ألعاب المصارعة. تحد : ألقي مكعب مرقم من 1 إلى خمس مرات متتالية. ما احتمال ظهور الرقم في الرميات الخمس علما ا بأن الرقم ظهر في الرميات الثلث األولى اكتب: فس ر االختلف بين االحتمال المشروط لحوادث غير مستقلة واالحتمال المشروط لحوادث مستقلة. أعط مثاالا لكل نوع. a( أوجد كل من المتوسط الحسابي والوسيط. b( بي ن ما إذا كانت هذه البيانات تمثل عينة أم مجتمعا ا ثم أوجد االنحراف المعياري للبيانات وقر به إلى أقرب جزء من مئة. c( لنفترض أن تقريرا ا عن الشركات المذكورة ذكر أن القيمة 81 رياالا كانت خطأا وهي في الحقيقة 81. فكيف يتأث ر كل من المتوسط والوسيط بهذا التعديل حد د ما إذا كانت كل دراسة مسحية مما يأتي تتبنى عينة متحيزة أو غير متحيزة. وفس ر إجابتك. )يفهر س -1( دراسة مسحية تتناول موظفي مطعم لتقرر أكثر األطباق شعبية. دراسة مسحية تتناول رأي مرتادي مكاتب البريد لمعرفة أكثر ألوان السيارات شيوعا ا. ) )5 )17 )18 إذا كانت A, B حادثتين في فضاء العينة لتجربة عشوائية ما بحيث كان = 0. B) P(A) = 0., P(B) = 0.5, P(A فما قيمة B) P (A ) تبرير: إذا م ث ل احتمال حادثة مركبة من حادثتين بالرسم الشجري )شجرة االحتمال( فأي فروع الرسم الشجري يمث ل االحتمال المشروط. أعط مثاالا لموقف يمكن تمثيله بشجرة احتمال ثم مث له. )19 0. A 0.7 B 0.8 C 0.9 D )7 تبرير: إذا ر ميت قطعة نقد بشكل حر 1 مرة متتالية فما احتمال أن تظهر الصورة في الرمية 1 إذا علمت أن الصورة ظهرت في الرميات العشرين األولى وض ح تبريرك. م س ألة مفتوحة: كو ن جدوالا توافقي ا واحسب احتماالا مشروطا ا يرتبط بالجدول. سحبت كرة بشكل عشوائي من كيس يحتوي على كرتين حمراوين و زرقاء دون إرجاع وكانت زرقاء. ما احتمال سحب كرة زرقاء ثانية )0 )1 100 الف سل ي ة قل ي سقض

102 اختب ر منت سف الف سل الدرو س من -1 اإلى - حدد ما إذا كانت كل دراسة مسحية فيما يأتي تتبنى عينة متحيزة أو غير متحيزة وفس ر إجابتك. )يفهر س -1( يتم اختيار كل ثاني شخص يخرج من مجمع تجاري يبيع بالجملة لمعرفة عدد األطفال في األ س ر في تلك المدينة. يتم اختيار كل عاشر موظف يخرج من شركة لمعرفة رأي الموظفين في عملهم. سؤال كل خامس طالب يدخل المدرسة عن مواصفات المعلم المثالي. اختي ر من متعدد: حد د أي ا من العبارات اآلتية توضح السببية: )يفهر س -1( يحاول باحث أن يحدد أثر إضاءة نوع جديد من المصابيح الكهربائية على أزهار للزينة المنزلية حيث قام بتعريض مجموعة من األزهار إلضاءة المصابيح الجديدة ومجموعة أخرى إلضاءة المصابيح العادية. ويبي ن الجدول أدناه أعداد األزهار التي عاشت أو ماتت في المجموعتين. ع س م ت اإ س ءة جديدة اإ س ءة ع دية 17 1 )8 إذا اختيرت زهرة منها عشوائي ا فما احتمال: )يفهر س -( )1 ) ) ) )9 A إذا تدر بت كل يوم فستصبح العبا ا محترفا ا في كرة السلة. B إذا قرأت كتابك المقرر فستنجح في االختبار. C إذا تقد مت لعشر وظائف مختلفة فستتلقى عرضا ا من واحدة على األقل. D إذا وقفت بالخارج تحت المطر من دون مظلة فستبتل. حدد ما إذا كانت كل من الحالتين اآلتيتين تمث ل دراسة تجريبية أو دراسة قائمة على المالحظة. وإذا كانت دراسة تجريبية فحدد المجموعة التجريبية والمجموعة الضابطة. )يفهر س -1( اختر 50 طالبا ا في المرحلة المتوسطة نصفهم من المدارس األهلية وقارن بين عاداتهم الدراسية. خ ص ص لنصف الموظفين الذين اختيروا بطريقة عشوائية ساعة لتناول الغداء وقارن اتجاهاتهم نحو العمل مع بقية زملئهم. a( أن تكون من األزهار التي تعرضت إلضاءة المصابيح الجديدة علما ا بأنها عاشت b( أن تكون من األزهار التي عاشت علما ا بأنها تعرضت إلضاءة المصابيح العادية إذا ألقي مكعب مرق م من 1 إلى مرة واحدة فما احتمال كل مما يأتي: )يفهر س -( )10 )11 ظهور عدد فردي علما ا بأن العدد الظاهر أكبر من. ظهور العدد علما ا بأن العدد الظاهر كان زوجي ا. اختي ر من متعدد: في القرص ذي المؤشر الدوار المقسم إلى (1) قطاعا ا متطابقا ا ومرقمة باألعداد 1-1 ما احتمال استقرار المؤشر على عدد فردي إذا علم أنه استقر على عدد أكبر من )يفهر س -( )5 ) 1 1 A 8 1 B 8 1 C 1 D 1 أي مقاييس النزعة المركزية تصف بصورة أفضل البيانات اآلتية ولماذا )يفهر س -( عدد سنوات الخبرة )7 الف سل ي ةلقر جنة س الدر س - يفا س 101

103 والتوزيع ت االحتم لية االحتم ل Probabilit ad Probabilit Distributios ار ست ي مقا ي ة ق م بق سةم قل يفة يل يفةلقا ) يفهر س - ( يج ه ي ة قل بق سةم قل جاد جا يفنمق يفاتس يج ه ي ة ق م بق سةم قل يف ةغ يم يفمتس ي ت يج ث ب قن ق يفة ز مقم ي ة قف ت يج سةم دق يفنمق 10 الف سل ي ة قل ي سقض افترض أن شركة لديها شواغر وتشترط لتعيين الموظفين لديها اجتيازهم لمقابلة شخصية. إذا تقدم للشركة 8 أشخاص من المنطقة A و 10 أشخاص من المنطقة B وتمت مقابلة المتقدمين واختير منهم بشكل عشوائي فما احتمال أن يفوز بالوظائف أشخاص من المنطقة A وشخص واحد من المنطقة B االحتم ل تسمى النسبة التي تقيس فرصة وقوع حادثة معي نة احتماالا. ووقوع الشيء المرغوب فيه ي سم ى نج احا ا وعدم وقوعه ي سم ى فش الا. ومجموعة النواتج الممكنة ت سم ى فضاء العينة. وكلما اقترب احتمال وقوع حادثة من 1 كانت فرصة أو إمكانية وقوعها أكبر. ي ذي إقن اها ج يم نمق يف قا ت ) ادق( s جن يف يم اها ج يم لتس يف قا ت نا سدق )اه ادق( f جن يف يم لق ن ي ة قل يفنمق ة ا يفن P(S) إ ق ة ي ة قل يفاتس ا يفن ما P(F ) إ جن ي ة قل يفنمق ي ة قل يفاتس بقف س غة ن ي ة ن P(S) = s s + f, P(F ) = f s + f عدد النواتج في الحادثة ال تختلف في مضمونها عن الصيغة: = )الحادثة( P P(S) = الحظ أن الصيغة: s عدد النواتج الممكنة s + f رش حت مدرسة 1 طالبا ا من الصف الثاني الثانوي و 1 طالبا ا من الصف األول الثانوي للتنافس على جوائز نظرا ا لتفوقهم الدراسي. إذا تمت مقابلة المرشحين في اليوم األول واختير منهم بشكل عشوائي فما احتمال أن يفوز بالجوائز طالب من الصف األول الثانوي و طالب من الصف الثاني الثانوي الخطوة 1 حد د عدد مرات النجاح s اها ا ي ة قر ي جن يف س يفثقنا اها ا ي ة قر ي جن يف س ي ج ل 1 C 1 C استعمل التوافيق ومبدأ العد األساسي إليجاد عدد النجاحات. s 1 C 1 C = 1! 9!! 1! 1!! = 100 الخطوة حد د عدد النواتج الممكنة )عدد عناصر فضاء العينة( s + f وهو عدد طرق اختيار طلب من بين 8 طالبا ا. s + f = 8 C = 8!!! = 770 الخطوة أوجد االحتمال = (فوز من األول و من الثاني) P s s + f = ي ة قل يفنمق s = 100, s + f = 770 ي سةم ي فت يف ق سلت success يفاتس failure يف ةغ يفمتس ي ا radom variable يف ةغ يفمتس ي ا يف نا س discrete radom variable يفة ز ا ي ة قفا probabilit distributio يفة ز ا ي ة قفا يف نا س discrete probabilit distributio ي ة قل يفن theoretical probabilit ي ة قل يفةم لا eperimetal probabilit يفا ت يف ة مت 1 epected value احتم ل النج ح والف سل s يف سغ يجن يف ف يفنمق ج يم اها ا هل لا قا ت ب ن ق يف ف يف ل هل S ا قا ت يفنمق ف إ ي ج بقفن سلت ف ل ن F f احتم ل النج ح والف سل االحتم ل ب ستعم ل التوافي احتمال فوز طلب من الصف األول و من الصف الثاني هو تقريبا ا 0. أو %.

104 تحق من فهم 1( في المثال 1 إذا كان عدد الذين ر ش حوا من الصف الثاني الثانوي ومن الصف األول الثانوي 11 وكان عدد الجوائز واختير طلب من الذين ر ش حوا بطريقة عشوائية فما احتمال أن يفوز طالبان من الصف الثاني وطالبان من الصف األول لدى صالح أصدقاء تبدأ أسماؤهم باألحرف A, B, C, D, E, F ويتوقع من كل منهم اتصاالا هاتفي ا لالتفاق على موعد رحلة ينوون القيام بها. ما احتمال أن يتصل A أوالا ثم B ثانيا ا ويتصل كل من,D E, F أخيرا ا. الخطوة 1 حد د عدد مرات النجاح s. P اها ا ي سقل A يج قن B ق 1 اها ا ي سقل إ جن D, E, F لا ي ج استعمل التباديل ومبدأ العد األساسي إليجاد. s s = 1 P = 1! = االحتم ل ب ستعم ل التب ديل التب ديل والتوافي انه ي ة قر جم ات جن ي جيسخق س يج ي جيس قض بة جم ن لق ن ي ة قر س ندة انهجق له ي بم ت ي جيسخق س يج ي جيس قض لق ن ي ة قر س ا ق ل الخطوة أوجد عدد النواتج الممكنة )عدد عناصر فضاء العينة(. s + f = f s + وتمثل عدد الترتيبات الممكنة التصاالت األصدقاء الستة. P =! = 70 الخطوة أوجد االحتمال. s P(S) = s + f = 70 ي ة قل يفنمق s =, s + f = تحق من فهم ي سةم ي فت يف ق سلت االحتمال المطلوب هو تقريبا ا أو 0.8% تقريبا ا. ( سب ق: اشترك صلح وعبد الل ه وسليم في سباق 00 m مع خمسة رياضيين آخرين. ما احتمال أن ينهي هؤالء الثلثة السباق في المراكز الثلثة األولى المتغير الع سوائي والتوزيع االحتم لي ي سمى المتغير الذي يأخذ مجموعة قيم لها احتماالت معلومة متغيرا ا ع شوائيا ا. والمتغير العشوائي الذي له عدد محدود من القيم ي سمى متغ يرا ا عشوائيا ا منفصالا. التوزيع االح تمالي هو دالة تربط بين كل قيمة من قيم المتغير العشوائي مع احتمال وقوعها ويعبر عنه بجدول أو معادلة أو تمثيل بياني. ويجب أن يحقق التوزيع االحتمالي الشرطين اآلتيين: احتمال كل قيمة من قيم X أكبر من أو يساوي 0 وأصغر من أو يساوي 1 أي أن 1 (X) 0 P مجموع كل احتماالت قيم X يساوي 1 أي أن = 1 ) X P( والتوزيع االحت مالي المنفصل هو توزيع احتمالي متغيره العشوائي منفصل. فعند رمي قطعتي نقد متمايزتين مر ةا واحدة فإن فضاء العينة هو {L { T T, T L, L T, L حيث ي مث ل L الوجه الذي يحمل الشعار و T الوجه الذي يحمل الكتابة إذا كان X متغيرا ا عشوائي ا يدل على عدد مرات ظهور الشعار فإن X يأخذ القيم.,0,1 ويمكنك حساب االحتمال النظري لعدم الحصول على شعار أو الحصول على شعار واحد أو الحصول على شعارين ثم تكوين جدول يمث ل التوزيع االحتمالي كما يمكنك تمثيله بياني ا كما يأتي: البي ن ت المنف سلة والبي ن ت المت سلة ن يفل قنقم جنا س ت ي ذي يج ن اه يفل قنقم جث اها ي جرين لا جزرات ن يفل قنقم جة س ت ي ذي إقنت قج يج ت لا لة ة جن ي جاهيا يف ا ا ت ل ثي يج يل ج ا يجل يا يفم نت ث ب قنقم جة س ت الدر س - ي ة قل يفة ز مقم ي ة قف ت 10

105 P(0) = 1, P(1) = 1, P() = 1 ي بي ن الجدول أدناه والتمث يل باألعمدة المجاور التوزيع االحتمالي للمتغير. X عدد ال سع رات X االحتم ل ) X P( يوض ح القرص ذو المؤشر الدو ار توزيعا ا احتمالي ا حيث يمكن أن يتوق ف المؤشر على أي من القطاعات الملونة وقد كتب على كل قطاع احتمال ظهوره (الحظ أن مجموع االحتماالت يساوي 1). a( مث ل باألعمدة هذا التوزيع االحتمالي: b( استعمل التمثيل باألعمدة لتحد د اللون األكبر إمكانية لوقوف المؤشر عنده ثم أوجد احتماله. أكثر األلوان إمكانية لوقوف المؤشر عنده هو اللون البنفسجي واحتماله يساوي 1.. P أوجد (أخضر أو أزرق) c( احتمال التوق ف عند اللون األزرق أو األخضر هو 1 = تحق من فهم يوضح الجدول أدناه توزيعا ا احتمالي ا حيث ألقي مكعبان متمايزان مرقمان من 1 إلى مرة واحدة وس ج ل مجموع العددين الظاهرين على الوجهين العلويين واحتمال كل منها. P(X) X احتم الت المتغيرات الع سوائية ا يج يف جز (1) P ي ة قل يجن X يفمتس ي ا يف ةغ ن ج سق ق ف 1 البي ن ت الو سفية ننق يجن نةمقج جا يفل قنقم يف سا ت ب سادق جةغ يم اتس ي ت جنا س ت. التوزيع االحتم لي المنف سل تدريج المحور الراأ سي عند تدريج المحور الراأ سي يمكن االإف دة من اأكبر مق م موجود ففي المث ل a اأكبر مق م هو 1 لذا تم تدريج المحور الراأ سي ب ل سكل: 0, 1 1, 1 = 1, 1 = 1, 1 = 1 احتم ل الحواد المتن فية B A إقنت ي ذي يجن إ قا ة ن جةنقل ة ن لق ن P(A يج B) = P(A) + P(B) المجمو االحتم ل 10 الف سل ي ة قل ي سقض A( مث ل باألعمدة هذا التوزيع االحتمالي. B( استعمل التمثيل باألعمدة لتحدد الناتج األكثر إمكانية للوقوع. P أوجد 11) أو (5 )C إن االحتماالت التي تمت دراستها هنا هي احت ماالت نظرية ألنها مبنية على افتراضات يتوق ع الحصول عليها بينما االحتماال ت التجريبية يتم تقديرها من عدد من التجارب. والقي مة المتوقعة أو التوقع E(X) هي المتوسط الموزون للقيم في التوزيع االحتمالي المنفصل أي أن القيمة المتوقعة E() هي مجموع حواصل ضرب قيم المتغير i = العشوائي X في احتمال كل منها P(X) ويمكن إيجادها باستعمال القانون Xi.P(Xi) E(X)= وتنتج هذه القيمة i = 1 من خلل اعتماد االحتمال النظري كوزن للمتغير العشوائي. ويخبرك بما يمكن حدوثه على المدى البعيد وذلك بعد محاوالت كثيرة.

106 أوجد القيمة المتوق عة عند رمي مكعب مرقم من 1 إلى مرة واحدة. القيمة المتوقعة E(X) هي مجموع حواصل ضرب قيم المتغير العشوائي X في احتمال كل منها P(X). E(X) = 1 ( 1 + ) ( 1 + ) ( 1 + ) ( ) ( 1 + ) ( 1 = = 1 =.5 ) القيمة المتوق عة ا س لا قن ن يف ة س يف ز ن ي س يج ا ق نون االأعدادالكبيرة ن س قن ن ي جاهيا يف ل ة ا يجن إ ق يزايا اها ج يم ي ج يض يفةم بت ي ة بت ت جمهل يفا يفنق مت جن يفا ت يف ة مت. تحق من فهم ( أوجد القيمة المتوق عة عند رمي مكعبين متمايزين مرقمين مرة واحدة وتسجيل مجموع العددين الظاهرين على الوجهين العلويين )يمكنك اإلفادة من الجدول الوارد في فقرة "تحقق من فهمك" في الصفة 10). صندوق فيه 10 كرات منها حمراء إذا سحبت منه كرتان معا ا عشوائيا ا فما احتمال أن تكون الكرتان حمراوين )جثقل 1( فن: اختار مسؤول متحف للفنون لوحات بشكل عشوائي من بين 0 لوحة لعرضها في أحد المعارض. ما احتمال أن تكون منها لفنان واحد يشارك ب 8 لوحات في المتحف )جثقل 1( اأخب ر: أجرى موقع إلكتروني مسحا ا للمصادر التي يحصل منها الناس على األخبار بشكل رئيس. والجدول المجاور يبي ن نتائج هذا المسح. )جثقل ( a( بي ن أن هذه البيانات تمث ل توزيعا ا احتمالي ا. الم سدر يفة اقز يف ق االحتم ل ي ج سه قض يف س ي نة نت ج سقار يج ) دخل 8 العبين A, B, C, D, E, F, G, H في مباراة إذا اختيرت أسماء اللعبين عشوائي ا فما احتمال أن يكون أول العبين مختارين هم A, C, E, G على الترتيب )جثقل ) )1 ) ) )7 )8 مختبر: دخلت طالبات صف وعددهن إلى مختبر المدرسة. إذا اختارت المعلمة أسماء الطالبات عشوائي ا لتشكل مجموعات للعمل فما احتمال أن تكون أول ثلث طالبات ذ كرت أسماؤهن جميلة وآمنة وخديجة على الترتيب )جثقل ( أ لقي مكعبان مرقمان من 1 إلى وسجل العدد األكبر بين العددين الظاهرين على الوجهين العلويين إذا اختلفا وأحدهما إذا تساويا. )جثقل ( a( مث ل باألعمدة هذا التوزيع االحتمالي. b( ما الناتج األقل إمكانية للوقوع وما احتماله b( إذا اختير أحد الذين شملهم هذا المسح عشوائي ا فما احتمال أن يكون مصدر أخباره الرئيس الصحف أو اإلنترنت c( مث ل البيانات باألعمدة. أوجد القيمة المتوقعة عند سحب قصاصة ورق عشوائي ا من بين 5 قصاصات كتب على كل منها أحد األرقام 1-5 دون تكرار. جوائز: باع أحد النوادي 500 تذكرة دخول لحضور إحدى مبارياته ثمن الواحدة 10 رياالت وأ جري سحب عشوائي على أرقام التذاكر خ صصت فيه ثلث جوائز لألرقام الرابحة بحيث تربح تذكرة واحدة الجائزة األولى وقيمتها 1000 ريال وتربح تذكرتان الجائزة الثانية وقيمتها 100 ريال وتربح 5 تذاكر الجائزة الثالثة وقيمتها 50 رياالا. إذا اشترى شخص تذكرة فما القيمة المتوقعة للربح في هذا الموقف )جثقل ( )c أوجد ) أو (1 P ) )5 الدر س - ي ة قل يفة ز مقم ي ة قف ت 105

107 اأزه ر: يوض ح التمثيل البياني أدناه التوزيع االحتمالي لعدد األزهار 1( الحمراء عند زراعة بذور. درج ت: أ جري اختبار في الرياضيات لطلب الصف الثالث الثانوي والجدول أدناه ي بين نتائج هذا االختبار )9 نت ئج اختب ر الري سي ت التقدير االحتم ل 0.9 A 0. B 0.17 C 0.11 D 0 F a( بي ن أن هذه البيانات تمث ل توزيعا ا احتمالي ا.. P( 0) أوجد )a b( ما احتمال أن تكون زهرتان على األقل حمراوين تبر ع ت: قام طلب الصف الثالث المتوسط في مدرسة بجمع بعض األطعمة في طرود للتبرع بها لألسر الفقيرة. ولقد أحصى الطلب أنواع المواد المقدمة كما في الجدول أدناه. التبر ب الأطعمة عدد الطرود النو مق جلقم يجرز 1 س 5 a( أوجد احتمال أن يحتوي طرد اختير عشوائي ا على القمح. b( إذا اختير طالب عشوائي ا فما احتمال أال يقل تقديره عن B c( مث ل البيانات باألعمدة. كرات زج جية: لدى زيد 5 كرة زجاجية 8 منها سوداء و 1 حمراء و 9 خضراء والبقية بيضاء. فإذا سحب كرتين معا ا عشوائي ا. a( مث ل باألعمدة هذا التوزيع االحتمالي b( ما الناتج ذو اإلمكانية األقل للوقوع. P أوجد )إحداهما سوداء واألخرى خضراء( c( م س بق ت: ي بي ن التمثيل باألعمدة احتمال أن يربح كل طالب جائزة. )1 )15 ) b( أوجد احتمال أن يحتوي طرد اختير عشوائي ا على وجبة طعام أو أرز جوائز: تنافس 50 متسابقا ا منهم جاسم وجلل وعلي في سحب عشوائي على أربع جوائز. ما احتمال أن يربح اثنان من األسماء الثلثة األع ب ري سية: اختار معلم التربية الرياضية 5 طلب عشوائي ا من بين الطلب البالغ عددهم 1 طالبا ا ليساعدوه على تطبيق بعض األلعاب. ما احتمال أن يختار واحدا ا على األقل من بين عشرة أقارب له يجلسون مع الطلب a( بي ن أن هذه البيات تمث ل توزيعا ا احتمالي ا )11 )1. P أوجد )ربح محمد أو بلل( b( 10 الف سل ي ة قل ي سقض

108 w )1 اأمط ر: التوزيع االحتمالي أدناه يوض ح عدد األيام الممطرة في السنة في إحدى الدول. أوجد القيمة المتوق عة لعدد األيام الممطرة. عدد االأي م االحتم ل 1 0 عدد االأي م الممطرة في ال سنة أوجد محصلة المتجهين أدناه مستعملا قاعدة المثلث أو متوازي األضلع. ثم حد د اتجاهه بالنسبة لألفقي. )يفهر س 1-1( )1 v اكتب المعادلة r = 1 cos θ على الصورة الديكارتية. )يفهر س - ) بط ق ت: ر ق مت مجموعة بطاقات على النحو اآلتي: بطاقات تم ترقيم كل منها بالرقم 8 وبطاقتان تم ترقيم كل منهما بالعدد 10 و بطاقات تم ترقيم كل منها بالرقم و بطاقات تم ترقيم كل منها بالرقم 5 وبطاقتان تم ترقيم كل منها بالرقم وبطاقة تم ترقيمها بالرقم. إذا س حبت من هذه البطاقات واحدة عشوائي ا فما القيمة المتوقعة لهذه البطاقة اكت سف الخط أ: كو نت كل من فاطمة وزينب توزيعا ا احتمالي ا باستعمال التمثيل باألعمدة لمجموع العددين الناتجين عن دوران مؤشر القرص المجاور مرتين. أيهما يعد تمثيلها صحيحا ا فسر إجابتك. يحتوي صندوق على كرات بيضاء و كرات حمراء. س حبت كرتان على التوالي دون إرجاع. ما احتمال أن تكون الثانية بيضاء إذا كانت األولى حمراء )يفهر س - ( ) ) ) يحتوي صندوق على كرات حمراء و كرات صفراء و كرات خضراء وكرتين زرقاوين. س حبت كرات معا ا عشوائي ا. إذا كان X متغيرا ا عشوائي ا يدل على عدد الكرات الزرقاء المسحوبة فما هي جميع القيم الممكنة ل X 5 )17 )18 1, A 0, 1, B 1,, C 0, 1,, D 5( ما القيمة المتوق عة للتوزيع االحتمالي المبي ن في الجدول أدناه p() 0.1 A )19 تبرير: حد د ما إذا كانت العبارة اآلتية صحيحة دائما ا أو صحيحة أحيانا ا أو غير صحيحة أبدا ا:»ي بنى االحتمال النظري على نتائج التجارب«. بر ر إجابتك. 0.1 B 0.5 C D م س ألة مفتوحة: كو ن توزيعا ا احتمالي ا منفصلا فيه 5 نواتج مع تحديد احتمال كل منها. )0 الدر س - ي ة قل يفة ز مقم ي ة قف ت 107

109 0 5 الطبيعي التوزيع The Normal Distributio 0 مث ل المعلم عبدالعزيز درجات طلب مدرسته في مادة الرياضيات بياني ا كما هو مبي ن في الشكل المجاور. الحظ أن هناك تجمعا ا لدرجات الطلب في المنتصف كما أن شكل التمثيل البياني لتوزيع الدرجات يشبه الجرس تقريبا ا. إن مثل هذا التوزيع يسمى توزيعا ا طبيعي ا. التوزيع ت الطبيعية والملتوية في التوزيع االح تمالي المتصل والذي هو توزيع احتمالي متغيره العشوائي متصل ويمكن للمتغير العشوائي المتصل أن يأخذ أي قيمة في فترة من األعداد الحقيقية ومثال ذلك أطوال أشخاص وكتلهم ومستوى الدهنيات عند األشخاص البالغين. وأفضل مثال على التوزيعات االحتمالية المتصلة هو التو زيع الطبيعي. يفة ث يفل قنا ف جن ن تسل يفم س جة ق ل يف سةا يف يج سا يف قر بقف ة س ن يل يف يف س يف ة س ل ة سق يف ن ن جة س س ن ف يف ر جن ن ن يف اة ويمكن للتوزيعات أن تظهر بأشكال أخرى ت سم ى توزيعات ملتوية. التواء س لب التواء موجب الي س ر اإلى ملتو اليمين اإلى ملتو ار ست يفة ز مقم ي ة قف ت ) يفهر س - ) يج ه ا جق ي ذي إقنت جم ات ب قنقم له ج ز ات ل م ق يج ج ة ت يج سةم يفاقن ن يفةم لا ق م ه ي ة ج يفة ز ا ي ة قفا يف ة س cotiuous probabilit distributio يف ةغ يفمتس ي ا radom variable يفة ز ا يفال ما خ س ئ س التوزيع الطبيعي المتوسط=الوسيط=المنوال ormal distributio يفة ز ا يف ة skewed distributio معظم البيانات تتركز في اليسار وقليل منها في اليمين. معظم البيانات تتركز في اليمين وقليل منها في اليسار. على الرغم من أن التوزيع الطبيعي متصل فإن التوزيعات المنفصلة أيضا ا يمكن أن يكون لها شكل التوزيع الطبيعي. حد د ما إذا كانت البيانات في الجدول التكراري أدناه تظهر التواءا موجبا ا أو التواءا سالبا ا أو موز عة توزيعا ا طبيعي ا: يفل قنقم يفة ير )a ت سنيف بي ن ت التوزيع استعمل الجدول التكراري أعله لتمثيل البيانات باألعمدة. وبما أن التمثيل عال في الوسط ويبدو كأنه إلى حد ما متماثل حول المتوسط فإن البيانات ت عتبر موز عة توزيعا ا طبيعي ا. 108 الف سل ي ة قل ي سقض

110 حد د ما إذا كانت البيانات في الجدول التكراري أدناه تظهر التواءا موجبا ا أو التواءا سالبا ا أو موز عة توزيعا ا طبيعي ا: يفل قنقم يفة ير )b استعمل الجدول التكراري أعله لتمثيل البيانات باألعمدة. وبما أن التمثيل عال في جهة اليسار ومنخفض في كل من الوسط وعلى اليمين فإن التوزيع يبدو كأنه ملتو إلى اليمين )التواء موجب(. تحق من فهم 1( حد د ما إذا كانت البيانات في الجدول المجاور ت ظهر التواءا موجبا ا أو التواءا سالبا ا أو موز عة توزيعا ا طبيعي ا مت سل مق بل منف سل قج يفة ز ا ي ة قفا يف نا س اها ي ج ه ا ي جن يفا قفل ق جق ن يجاهيا ي س ت يج ق يفة ز ا ي ة قفا يف ة س ل قج اها ي ج ها جن يفا جة س ت لة ة ا ي ف نة لا قفت يفة ز ا ي ة قفا يف ة س ن ي ة قل يجن قج يف ةغ يفمتس ي ا ت ي هة لا ج سق ق ف سا قي س الحذاء التكرار الق نون التجريبي إن المساحة بين قيمتين من البيانات تمث ل نسبة البيانات التي تقع بين هاتين القيمتين. ويمكن أن يستعمل القانون التجريبي لوصف المساحات تحت المنحنى الطبيعي والتي تقع ضمن انحراف أو انحرافين أو ثلثة انحرافات معيارية من المتوسط. الق نون التجريبي µ جة سا يفال ما يف يفة ز ا س ة ت ي بقفخ سق س σ م قر يف ين يل اا 8% ا ل ق جن يفل قنقم س ن يفاة ة. (µ - σ, µ + σ) ي منا يجن 8% جن يفل قنقم ةمق ز بمه ق ان يف ة س ت ي ن يف يف م قر اا 95% ا ل ق جن يفل قنقم س ن يفاة ة. (µ - σ, µ + σ) ±1σ ±σ ±σ 0.5% % 1.5% % % 1.5% % 0.5% يف م قر ت ي ن يف سم ان يف ة س بمه ق ةمق ز (95%) جن يفل قنقم يجن يفغقفل ت يفم منا ي اا 99% ا ل ق جن يفل قنقم س ن يفاة ة. (µ - σ, µ + σ) يف م قر يج ثقل ي ن يف ي ت ان يف ة س بمه ق ةمق ز (99%) يجن ج ا يفل قنقم ا ل ق منا ي المتوسط لتوزيع طبيعي وانحرافه المعياري 5. أوجد احتمال أن تزيد قيمة ل X ثم اختيارها عشوائي ا في هذا التوزيع عن (أي أوجد.(P(X > ) µ =, σ = 5 التوزيع الطبيعي الخطوة 1 أوجد القيم µ ± σ, µ ± σ, µ ± σ )وهي المتوسط مضافا ا إليه أو مطروحا ا منه المضاعفات الثلثة األولى للنحراف المعياري(. µ ± σ = ± 5 = 9, 9 µ ± σ = ± 10 =, µ ± σ = ± 15 = 19, 9 التوزيع الطبيعي لا يف ق م ج مدق م يجن ن اها يفل قنقم إل ي ف ن يفة ز ا ل م ق ق ل ا الدر س - 5 يفة ز ا يفال ما 109

111 0.5% % 1.5% % % 1.5% % % الخطوة ارسم منحنى التوزيع الطبيعي وحد د عليه المتوسط = µ والقيم السابقة والنسب % %, 1.5 %, %, 0.5. الخطوة ظلل المنطقة التي تمثل االحتمال المطلوب. الخطوة احسب االحتمال المطلوب: P(X > ) = ( )% = 97.5% تحق من فهم إذن: 97.5% ) > P(X ( أوجد احتمال أن تكون قيمة تم اختيارها عشوائي ا في التوزيع الوارد في المثال أقل من 9. ت م ث ل العينة التي يكون توزيعها توزيعا ا طبيعي ا بمنحنى طبيعي وكأنها مجتمعا ا. طبيعي عينة موز عة توزيع اأطوال: توز ع أطوال 1800 يافع توزيعا ا طبيعي ا بمتوسط i وانحراف معياري يساوي. i a( ما العدد التقريبي لليافعين الذين تتراوح أطوالهم بين i و 70 i ارسم منحنى التوزيع الطبيعي. تبعد كل من, 70 عن المتوسط الحسابي انحرافين معياريين لذا فإن 95% من البيانات واقعة بين الطولين., 70 وألن = % 1800 لذا يوجد 1710 يافعين تقريبا ا تقع أطوالهم بين i و 70. i 0.5% % 1.5% % % 1.5% % % b( ما احتمال أن يتم اختيار أحد اليافعين عشوائي ا بحيث يزيد طوله على 8 i من الشكل المجاور االحتمال المطلوب: ( )% = 1% لذا فاحتمال اختيار يافع يكون طوله أكبرمن 8 i هو 1 % تقريبا ا. تحق من فهم درج ت: إذا علمت أن كتل 100 موظف في شركة تتوز ع توزيعا ا طبيعي ا بمتوسط حسابي مقداره 70 كيلوجراما ا وانحراف معياري 10 كيلوجرامات فاعتمد على ذلك في اإلجابة عن السؤالين اآلتيين : A( ما العدد التقريبي للموظفين الذين تقع كتلهم بين,0 80 كيلوجراما ا B( ما احتمال أن يتم اختيار موظف بصورة عشوائية وتكون كتلته أقل من 90 كيلوجراما ا 0.5% % 1.5% % % 1.5% % % 110 الف سل ي ة قل ي سقض

112 )9 درجات: يوض ح الجدول أدناه نتائج أحد االختبارات )النهاية العظمى للختبار 0(. حد د ما إذا كانت البيانات تظهر التواءا موجبا ا أو التواءا سالبا ا أو موز عة توزيعا ا طبيعي ا. )مثال 1( فئات الدرجات 1 15 عدد الطالب بطاريات ال سيارة: إذا ح د د عم ر بطارية السيارة بالمسافة التي تقطعها باستعمال هذه البطارية وعلمت أن عمر أحد أنواع بطاريات السيارات يتوز ع توزيعا ا طبيعي ا بمتوسط حسابي km وانحراف معياري km وتنتج إحدى الشركات 0000 بطارية في الشهر فأجب عما يأتي: a( ما العدد التقريبي للبطاريات التي يتراوح عمرها بين km km b( ما العدد التقريبي للبطاريات التي يزيد عمرها على km )1 c( ما العدد التقريبي للبطاريات التي يقل عمرها عن km حدد ما إذا كانت البيانات في الجدول أدناه ت ظهر التواءا موجبا ا أو التواءا سالبا ا أو موزعة توزيعا ا طبيعي ا: عدد الزوار ب الآالف عدد زوار المتنزهات عدد المتنزهات d( ما احتمال أن تشتري بطارية عشوائي ا ويتراوح عمرها بين km km صحة: يتوز ع مستوى الدهنيات )الكولسترول( في فئة الشباب الذكور في إحدى الدول توزيعا ا طبيعي ا بمتوسط حسابي 158. وانحراف معياري. a( ما احتمال أن تقل نسبة الكولسترول عند الشباب الذكور عن b( كم شخصا ا تقريبا ا من بين 900 شخص شملتهم الدراسة يتراوح مستوى الكولسترول عندهم بين ) ) ) لقجإثر تتوز ع مجموعة بيانات توزيعا ا طبيعي ا بمتوسط حسابي 11 وانحراف معياري 1 أوجد احتمال أن يتم اختيار قيمة ل X عشوائي ا من هذا التوزيع بحيث تكون أقل من 19 أي أوجد (19 < X). P )مثال ( طعام: تتوز ع مدة صلحية نوع معين من البطاطس توزيعا ا طبيعي ا بمتوسط حسابي 180 يوما ا وانحراف معياري 0 يوما ا. a( ما احتمال أن تقع مدة صلحية المنتج بين 150 يوما ا 10 أيام b( ما احتمال أن تقع مدة صلحية المنتج بين 180 يوما ا 10 أيام c( ما احتمال أن تقل مدة صلحية المنتج عن 90 يوما ا ) الدر س - 5 يعيبطلا عيزوتلا 111 )1 )1 إذا توز عت البيانات في األسئلة - 7 توزيعا ا طبيعي ا وكان المتوسط الحسابي واالنحراف المعياري لكل منها كما هو موض ح فأوجد االحتمال المطلوب. µ = 7, σ =, P(X > 8) µ = 1, σ = 0., P(X < 1.) µ =, σ =, P(59 < X < 71) µ = 91, σ =, P(7 < X < 10) مدار س: أعطى عمران اختبارا ا قصيرا ا لطلبته البالغ عددهم (50) طالبا ا وكانت الدرجات موز عة توزيعا ا طبيعي ا بمتوسط حسابي 1 وانحراف معياري. )مثال ( a( ما العدد التقريبي للطلب الذين تقع درجاتهم بين 19, b( ما احتمال أن تقع درجة أحد الطلب بين 17 و 5 d( ما احتمال أن تزيد مدة صلحية المنتج على 10 أيام طول: تتوز ع أطوال 880 طالبا ا في إحدى الجامعات توزيعا ا طبيعي ا بمتوسط حسابي مقداره 7 i وانحراف معياري مقداره.5 i a( كم طالبا ا تقريبا ا يزيد طوله على 7 i b( ما احتمال أن تقع أطوال الطلب بين 59.5 i و 9.5 i صناعة: ت ستعمل آلة لتعبئة عبوات بالمياه المعدنية وتختلف كمية الماء اختلفا ا ضئيلا بين العبوات. إذا كان حجم الماء في 10 عبوة يتبع توزيعا ا طبيعي ا بمتوسط حسابي 1.1 L وانحراف معياري 0.0 L فأجب عما يأتي: a( كم عبوة تقريبا ا يكون حجم الماء فيها أقل من 1.0 L 1.08 L ما احتمال أن يكون حجم الماء في العبوات بين b( و 1.1 L ) )5 ) )7 )8

113 تتو زع ا طوال ا قطار نوع من الا شجار توزي عا طبيع يا بمتوسط مقداره 11.5 cm وانحراف معياري مقداره.5 cm ومد من. cm ا لى 19.8 cm وقد حاولت كل من مريم وا مينة ا يجاد مد 8% من البيانات التي تقع في وسط التوزيع. ا يهما كانت ا جابتها صحيحة ف سر ا جابتك. يب ين الجدول ا دناه ا عداد الطلاب الذين شاركوا في المسابقات الثقافية والذين لم يشاركوا من الصفوف: الا ول والثاني والثالث الثالث الثانوي في مدرسة ما. ا ذا اختير ا حد الطلاب عشواي يا فا وجد احتمال ا ن يكون قد شارك في المسابقات الثقافية عل ما با نه من الصف الثالث الثانوي جسر لعبور المشاة فوق مسطح ماي ي على شكل قطع مكافي فتحته ا لى ا سفل ا وجد معادلة الجسر مفتر ضا ا ن نقطة الا صل على سطح الماء تحت را س القطع. 5 ft 175 ft (1 ( 8% µ σ µ + σ 8% = 9 cm = 1 cm 1.cm 8% 11cm 11.5cm 8% = cm = 17 cm (1 في مستودع للا دوات الكهرباي ية عدد من المسجلات التي تعمل على البطارية. ا ذا كانت ا عمار البطاريات تتو زع توزي عا طبيع يا بمتوسط حسابي 8.0 h وانحراف معياري 0.7 h فما العدد التقريبي للمسجلات في المستودع ا ذا علمت ا ن هناك 8 مس جلات يزيد عمر بطارياتها على 10.1 h اشرح الفرق بين التوزيعات الموجبة الالتواء والتوزيعات السالبة الالتواء والتوزيعات الطبيعية لمجموعة بيانات. ا ع ط مثا لا على كل منها. بحسب القانون التجريبي فا ن معظم البيانات في التوزيع الطبيعي تقع ضمن الفترة ) σ ( µ - σ, µ +. هل هذا صحيح ا م خاطي ب رر ا جابتك. ا وجد بيانات واقعية تبدو كا نها تتو زع توزي عا ط خصاي ص هذا التوزيع فيما يتعلق بالمتوسط الحسابي (18 طبيع يا ا ع والانحراف المعياري. وم ثل البيانات بيان يا. 19) ا ع ط مثا لا على توزيع احتمالي منفصل وا خر متصل. وصف الفرق بينهما. ر شح طلاب من الصف الا ول الثانوي و 11 طال با من الصف الثاني الثانوي لتوزيع بعض الطرود على الفقراء. ا ذا اختير من بينهم طلاب عشواي يا فما احتمال ا ن تتض من العينة طالبين من الصف الا ول الثانوي وطالبين من الصف الثاني الثانوي - يتو زع عمر مصباح كهرباي ي توزي عا طبيع يا بمتوسط حسابي 00 يوم وانحراف معياري 0 يو ما. كم مصبا حا يقع عمره بين 0 يو ما 0 يو ما 5000 C 500 A 800 D 00 B ( ( (5 ما الوصف الا فضل للتوزيع الاحتمالي المم ثل ا دناه A توزيع سالب الالتواء C توزيع طبيعي B توزيع متماثل D توزيع موجب الالتواء تتو زع قياسات ا قطار مجموعة من الا قراص المدمجة التي تصنعها ا حد الشركات توزي عا طبيع يا بانحراف معياري مقداره 10 mm. وبمتوسط حسابي 1 mm a) ما احتمال ا ن يزيد طول قطر قرص اختير عشواي يا على 10 mm b) ا ذا كانت الشركة تصنع 1000 قرص في الساعة فما العدد التقريبي للا قراص المصنوعة في الساعة الواحدة والتي يتراوح قطر كل منها بين 119 mm, 1 mm (15 (1 (17 (0 11

114 معمل الجبر: الق نون التجريبي والمئين ت The Empirical Rule ad Percetiles عند معرفة المتوسط واالنحراف المعياري لتوزيع طبيعي تستنتج أن 8%, 95%, 99% من البيانات ستكون ضمن انحراف معياري واحد أو انحرافين معياريين أو ثلثة انحرافات معيارية عن المتوسط على الترتيب وهذا ما ي سم ى القانون التجريبي. ويمكنك استعمال القانون التجريبي لتجد المئينات. والمئين يقابل القيمة التي يقل عنها أو يساويها % من قيم البيانات. في اختبار للرياضيات لطالب الصف الثالث الثانوي و جد أن درجات الطالب تتوز ع توزيعا ا طبيعي ا بمتوسط 0 وانحراف معياري 5 الخطوة 1 ارسم منحنى التوزيع الطبيعي لدرجات الطلب المشابه للشكل المجاور و عي ن عليه المتوسط وأيضا ا المتوسط مضافا ا إليه أو مطروحا ا منه مضاعفات االنحراف المعياري كما هو موضح في الشكل. 0.5% % 1.5% % % 1.5% % % الخطوة الدرجة 0 هي المتوسط وبالرجوع إلى الشكل يمكن أن ترى أن 50% من الدرجات أقل من الدرجة 0 أو تساويها لذا يمكنك القول: إن الدرجة 0 تقابل المئين. 50 ما المئين الذي يقابل الدرجة 5 الخطوة ما المئين الذي يقابل الدرجة 0 الخطوة ما الدرجة التي تقابل المئين 99.5 تم رين: في كل من السؤالين التاليين ارسم منحنى التوزيع الطبيعي ثم أجب عن المطلوب. 1( إذا كانت درجات الطلب في اختبار مادة الفيزياء موز عة توزيعا ا طبيعي ا بمتوسط 15 وانحراف معياري فأوجد المئينات التي تقابل الدرجات. 1, 15, 1 ( إذا كانت درجات الطلب في اختبار مادة الكيمياء موز عة توزيعا ا طبيعي ا بمتوسط 0 وانحراف معياري فأوجد الدرجات التي تقابل المئينات. 8, 50, 99.5 التو سع - 5 جم يفمل الدر س يفاقن ن 5 - يفةم لا يفة ز ا يف يفالنقما 11

115 ات الحدين التوزيع ت Biomial Distributios في لعبة الكرة الطائرة تبين أن اللعب سلمان ينجح في لعب اإلرسال الساحق الذي ال يصده الخصم في % من محاوالته وبذلك يحصل فريقه على نقطة في كل مرة ينجح فيها. التوزيع و الحدين كثير من التجارب االحتمالية يكون لها نتيجتان فقط نجاح أو فشل أو يمكن جعلها كذلك. فمثلا في مسائل االختيار من متعدد التي لها 5 إجابات يمكن تصنيف نتائج اإلجابة عن كل فقرة إلى صح أو خطأ ويمكن تصنيف نتائج دواء طبي على أنه فع ال أو غير فع ال. ار ست ي سةم قل ن ت ذيم يف ه ن ) جدقرة سقبات ( يج ز م بت ذيم يف ه ن يج ه ي ة ق م بق سةم قل يفة ز ا ذ يف ه ن جا إ م بت ذيم يف ه ن biomial eperimet يفة ز ا ذ يف ه ن biomial distributio تجربة ات الحدين ت ي يفتس ا ا قف ت ي ة م بت ا بت ذيم يف ه ن م )يف يم( يف سةا ت يف ق م جن فمها ج ها( ) يفةم بت ي ج يض مقا إ ج ق فت فدق لا نة مةقن جة مةقن نمق S يج لتس F ي ة قل يفنمق " جز P(S) ف بقف ف p" نا س لا إ ج ق فت ي ة قل يفاتس " جز P(F ) ف بقف ف q" نا س لا إ ج ق فت سق 1 - p م ق جن يف لا يفنمق اها ج يم X يفمتس ي ا ةغ يف ث 11 الف سل ي ة قل ي سقض 1 حد د ما إذا كانت كل تجربة مما يأتي ذات حدين أو يمكن جعلها كذلك. وإذا كانت تجربة ذات حدين فاكتب قيم,,p q وقيم المتغير العشوائي الممكنة وإذا لم تكن كذلك فبي ن السبب. a( ت بي ن نتيجة لمسح إحصائي داخل إحدى المدارس أن 8% من الطالب يمتلكون حاسبة بيانية. إذا تم اختيار طالب عشوائي ا وسؤالهم عم ا إذا كانوا يمتلكون هذه اآللة وكان المتغير العشوائي X ي مث ل عدد الطالب الذين يملكون الحاسبة البيانية فإن: هذه التجربة تحقق شروط تجربة ذات الحدين وهي: كل طالب تم اختياره ي مث ل محاولة وعملية اختيار الطلب الستة تتكون من محاوالت مستقلة. للتجربة نتيجتان متوقعتان: الطالب يملك الحاسبة البيانية S أو ال يملكها. F احتمال النجاح نفسه لكل طالب تم اختياره = 0.8 P(S). وفي هذه التجربة = 0.8 P(S). =, p = احتمال الفشل q = 1 - p أي أن: = = 1 - q. وي مث ل X عدد الطلب الذين يملكون حاسبة بيانية من ال ذين تم اختيارهم أي أن: X = 0, 1,,,, 5, تمييز التجربة ات الحدين b( يحتوي صندوق على 5 بطاقة وخ ص ص لكل 1 بطاقة أحد األلوان اآلتية: األحمر األسود األخضر األبيض. سحبت منه 5 بطاقات الواحدة تلو األخرى دون إرجاع. وكان المتغير العشوائي X يدل على عدد البطاقات المسحوبة ذات اللون األخضر. في هذه التجربة كل بطاقة يتم سحبها ت مث ل محاولة وبما أنه يتم االحتفاظ بالبطاقة التي تم اختيارها )السحب دون إرجاع( فإن المحاوالت غير مستقلة واحتمال النجاح في كل محاولة يختلف عن األخرى لذا فإن هذه التجربة ليست ذات حدين.

116 تحق من فهم حد د ما إذا كانت كل تجربة مما يأتي ذات حدين أو يمكن جعلها كذلك. وإذا كانت تجربة ذات حدين فاكتب قيم,,p q وقيم المتغير العشوائي الممكنة وإذا لم تكن كذلك فبي ن السبب. 1A( أظهرت نتيجة لمسح إحصائي في إحدى المدارس ذات الزي الموح د أن 1% يحبون الزي الجديد وأن % ال يحبونه. إذا تم اختيار 0 طالبا ا بشكل عشوائي وسؤالهم عم ا إذا كانوا يحبون الزي الجديد. وكان المتغير العشوائي X يدل على عدد الطلب الذين يحبون الزي الجديد. 1B( أجاب خالد عن اختبار مكو ن من 0 فقرة من نوع»االختيار من متعدد«لكل فقرة منها أربع إجابات واحدة فقط صحيحة )دون معرفة علمية بموضوع االختبار(. وكان المتغير العشوائي X يدل على عدد اإلجابات الصحيحة. ي سمى توزيع النتائج المتوق عة لتجربة ذات حدين واالحتماالت المرتبطة بها توزيع ذات الحدين. ويمكن حساب. (p + q ) التي تمثل حد ا في مفكوك C X االحتماالت في هذا التوزيع باستعمال الصيغة p X q X ي ة قل يفنمق لا X ج ة جن جن يف ق م يف سةا ت لا م بت ذيم يف ه ن P(X) = C X p X q - X! = سيغة احتم ل ات الحدين ( - X)! X! p X q - X يف ي هة يف ق فت لا قل يفاتس ي ة q قل يفنمق ي ة p اختب ر: في اختبار نهائي أكد 5% من الطالب أنهم أجابوا بشكل اعتيادي. إذا اختير 5 طالب عشوائي ا وتم سؤالهم عما إذا أدوا االختبار بشكل اعتيادي. وكان المتغير العشوائي X يدل على عدد الطالب الذين أجابوا بنعم عن السؤال فكو ن جدوالا للتوزيع ذي الحدين ومث له باألعمدة ثم أوجد احتمال أن يجيب طالب على األقل عن السؤال بنعم. هذه تجربة ذات حدين فيها: 0.5 = = q. = 5, p = 0.5, استعمل الحاسبة لحساب احتمال كل قيمة ممكنة من قيم X مستعملا صيغة احتمال ذات الحدين. الدر س - يفة ز مقم ذيم يف ه ن 115 P(0) = 5 C P(1) = 5 C P() = 5 C P() = 5 C P() = 5 C P(5) = 5 C وفيما يأتي جدول التوزيع ذي الحدين للمتغير X وتمثيله باألعمدة. P(X) X X P( X ) التوزيع و الحدين ح س ب احتم ل ات الحدين مقا إ ي ة قل ف يم يف ه ن ا يف ق سلت يفل قن ت يإة ) biompdf(, p, لا يف ق سلت ت ال ق Eter ي سغ جثقل مقا (1) p يإة biompdf (5, 0.5, 1) Eter ي سغ لة س ا 0.18 إ ق ن ي مقا ق بق سةم قل ي فت يف ق سلت يفم ت إ ق قج ا ي سغ ا يف اق ي ت جن يف سقر ي ف يف ن 5 SHIFT ( ) ( 5-1 ) = لة د يفتسقيست

117 إليجاد احتمال أن طلب على األقل أجابوا بنعم أوجد (5)P. ()P + ()P + P(X ) = P() + P() + P(5) = تحق من فهم ي ة قل ي ا ي ج P() = 0.181, P() = 0.09, P(5) = ب س = 0.5 =.5% ( كلي ت: يدرس في إحدى الكليات 8% من الطلب لغة عالمية خلل سنة التخرج. إذا اختير 7 خريجين عشوائي ا وتم سؤالهم عم ا إذا درسوا لغة عالمية في سنتهم األخيرة. وكان المتغير العشوائي X يدل على عدد الطلب الذين أجابوا بنعم فكو ن التوزيع ذا الحدين ومث له باألعمدة ثم أوجد احتمال أن يجيب أقل من طلب بنعم. اختي ر االحتم الت يج قن ق ن جن ي ج سد يجن ا قل يفاتس ي ة مه يفنة مت جن 1 فةمه ي ة قل يفنمق جن قا ت يفاتس قا ت يفنمق إ جند ق جة ت فيج تستعمل الصيغ اآلتية إليجاد المتوسط والتباين واالنحراف المعياري للتوزيع ذي الحدين. ت ي بقف س يف ه ن ذ لا يفة ز ا X اتس ي ا ةغ ف يف م قر ي ن يف يفةلق ن يف ة س س المتو سط µ = p التب ين σ = pq االنحراف المعي ري σ = Ç σ = ÇÇ pq المتو سط والتب ين واالنحراف المعي ري للتوزيع ي الحدين المتو سط والتب ين واالنحراف المعي ري للتوزيع ي الحدين اختب ر: بالرجوع إلى تجربة ذات الحدين في المثال. أوجد المتوسط والتباين واالنحراف المعياري للمتغير العشوائي X ث م فس ر معنى المتوسط في سياق الموقف. σ σ استعمل صيغ المتوسط والتباين واالنحراف المعياري للتوزيع ذي الحدين. في هذه التجربة ذات الحدين. = 5, p = 0.5, q = 0.5 µ = p = 5 (0.5) = 1.75 = pq = 5 (0.5)(0.5) = = Ç σ = ÇÇÇ متوسط التوزيع يساوي 1.8 تقريبا ا ويعني أن خريج ين تقريبا ا من أصل 5 أجابوا بنعم. كل من التباين واالنحراف المعياري يساوي 1.1 تقريبا ا. تحق من فهم ( كلي ت: أوجد المتوسط والتباين واالنحراف المعياري للمتغير العشوائي X في تحقق من فهمك وفس ر معنى المتوسط في سياق الموقف. 11 الف سل ي ة قل ي سقض

118 عندما يزداد عدد المحاوالت في تجربة ذات الحدين يمكن استعمال التوزيع الطبيعي لتقريب التوزيع ذي الحدين. تقريب التوزيع ي الحدين اإلى التوزيع الطبيعي لا يفة ز ا ذ يف ه ن انهجق ث اها يف ق م ي ة قل يفنمق ي ة p قل يفاتس ن q µ = p ما ب ة س ل ز ا ي ف يف ه ن ذ يفة ز ا ا ن p 5, q 5. σ = ÇÇ p q جم قر ين يف تقريب التوزيع ي الحدين اإلى توزيع طبيعي أشارت دراسة سابقة إلى أن % من الخريجين يرون أن سنوات الجامعة كانت ممتعة. وقد نف ذ بالل دراسة مسحية على 00 من هؤالء الخريجين اختارهم عشوائي ا. ما احتمال أن يوافق 00 خريج منهم على األقل على ما جاء في الدراسة اإلحصائية السابقة في الدراسة المسحية التي نف ذها بلل عدد الخريجين الذين يرون أن سنوات الجامعة كانت ممتعة يتبع التوزيع ذا الحدين حيث: التقريب اإلى التوزيع الطبيعي سةم يفةا ي ف يفة ز ا يفال ما جن جا ز قاة ذ قل يفة ز ا ي سةم سل يف ه ن مقا ي ة قل ا ت جما هة سملت = 00, p = 0., q = 0. وحيث إن: p = 00 (0.) = 19 > 5 q = 00 (0.) = 108 > 5 يمكنك استعمال التوزيع الطبيعي لتقريب االحتمال على النحو اآلتي: 1.5% µ = p يف ة س ف ة ز ا يفال ما % 0.5% = 00, p = 0. = 00(0.) = σ σ = ÇÇ p q ي ن يف يف م قر ف ة ز ا يفال ما = 00, p = 0., q = 0. = 00(0.)(0.) ÇÇÇÇÇÇ 8.1 ي سةم ي فت يف ق سلت العدد 00 أكبر من المتوسط بمقدار انحراف معياري واحد تقريبا ا كما هو مبين في الرسم أعله لذا يكون احتمال أن يوافق 00 خريج منهم على األقل يساوي 1% تقريبا ا. تحق من فهم ( أشارت دراسة سابقة إلى أن % من أولياء األمور المستطلعة آراؤهم يرون أنه يجب تقليل عدد أيام اإلجازة الصيفية للطلب في نهاية العام الدراسي. غير أن آية ترى أن النسبة أقل من ذلك ولذلك قامت بإجراء دراسة مسحية شملت 50 من أولياء األمور اختارتهم بطريقة عشوائية ممن استهدفتهم الدراسة السابقة. ما احتمال أال يرى أكثر من 5 من أولياء األمور وجوب تقليل عدد أيام اإلجازة الصيفية الدر س - يفة ز مقم ذيم يف ه ن 117

119 )9 )10 )11 )1 )1 )1 حد د ما إذا كانت كل تجربة مما يأتي ذات حدين أو يمكن جعلها ذات حدين. وإن كانت كذلك فاكتب قيم,,p q ثم اكتب كل قيم المتغير العشوائي الممكنة. وإذا لم تكن تجربة ذات حدين فبي ن السبب. )مثال ) 1 تم ترقيم أوجه مكعب باألرقام من 1 إلى ثم أ لقي المكعب 10 مرات والمتغير العشوائي X يدل على عدد مرات ظهور الرقم. 5 أ لقيت قطعة نقد 0 مرة والمتغير العشوائي X يدل على عدد مرات ظهور الكتابة. سألت 15 شخصا ا عن أعمارهم والمتغير العشوائي X يدل على أعمار هؤالء األشخاص. صندوق به 5 كرة منها 1 كرة حمراء و 1 كرة زرقاء و 1 كرة بيضاء و 1 كرة صفراء. سحبت 10 كرات على التوالي دون إرجاع. والمتغير العشوائي X يدل على عدد الكرات البيضاء المسحوبة. كو ن التوزيع ذا الحدين لكل متغير عشوائي مما يأتي ومث له باألعمدة ثم أوجد المتوسط وفس ر معناه في سياق الموقف ثم أوجد التباين واالنحراف المعياري. )المثق ن ), إذا كان % 89 من طلب المرحلة الثانوية في إحدى المدارس يتابعون مباريات منتخبهم الوطني وتم اختيار 5 طلب عشوائي ا من هذه المدرسة وسؤالهم عما إذا كانوا يتابعون مباريات منتخبهم الوطني. بي نت دراسة أن % من موظفي إحدى الشركات يستعملون اإلنترنت في عملهم. إذا تم اختيار 10 موظفين من هذه الشركة عشوائي ا وسؤالهم عما إذا كانوا يستعملون اإلنترنت في عملهم. أفادت دراسة إحصائية أن % 5 من طلب الجامعات الذين يمتلكون سيارات يستعملون أحزمة األمان في أثناء قيادة سياراتهم. إذا تم اختيار 8 طلب عشوائي ا ممن يمتلكون سيارات وسؤالهم إن كانوا يستعملون أحزمة أمان في أثناء قيادة سياراتهم. اأعمال صيفية: تبي ن في دراسة سابقة أن 90% من طلب الصفوف العليا في مدرسة ثانوية يحصلون على أعمال صيفية لكن منذرا ا قد ر أن النسبة أقل من ذلك لذا قام بدراسة مسحية شملت 00 طالب من الصفوف العليا تم اختيارهم عشوائي ا. ما احتمال أال يكون أكثر من 8 من الطلب المستهدفين حصلوا على عمل صيفي )مثال ( رخ صة قيادة: اعتمادا ا على إحدى الدراسات المسحية السابقة إذا علمت أن 85% من طلب إحدى الجامعات لديهم رخص قيادة سيارة فما احتمال أن يكون طلب على األقل من بين 10 تم اختيارهم عشوائي ا لديهم رخص قيادة سيارة كرة قدم: كسب فريق لكرة القدم 75.7% من مبارياته. أوجد احتمال أن يكسب 7 مباريات على األقل من بين مبارياته العشر القادمة. ريا ضيون: وفق بعض الدراسات الحديثة إذا علمت أن 80% من طلب المدارس الثانوية يمارسون رياضة واحدة على األقل في مدرستهم إذا اختير طلب عشوائي ا وكان المتغير العشوائي X يدل على عدد الذين يمارسون رياضة على األقل. a( فأوجد االحتماالت المرتبطة بعدد الطلب الذي يمارسون رياضة واحدة على األقل. b( ما احتمال أال يزيد عدد الذين يمارسون الرياضة عن طالبين غ سيل سيارات: يقوم بعض األشخاص بغسيل السيارات لزبائن بعض المجمعات التجارية مقابل أجر معين. وقد أفادت دراسة مسحية أن 5% من الزبائن يدفعون أكثر من الحد األدنى ألجرة غسيل سياراتهم. ما احتمال أن يدفع أربعة على األقل من خمسة زبائن مبلغا ا أكثر من الحد األدنى لألجر. حوافز دعائية: تضع شركة للعصائر حوافز بحيث إن 0% من علب العصير تربح علبة مجانية وقد اشترت سعاد 10 علب. مث ل باألعمدة البيانية التوزيع االحتمالي للتوزيع ذي الحدين إذا كان المتغير العشوائي يدل على عدد علب العصير الرابحة. برامج دينية: بناءا على دراسة مسحية سابقة إذا علمت أن 70% من األشخاص تحت سن العشرين يتابعون برنامجا ا ديني ا على األقل في التلفاز. إذا استطلع خليل رأي 00 شخص تحت سن 0 سنة فما احتمال أن 1 شخصا ا منهم على األقل يتابعون برنامجا ا ديني ا على األقل إذا علمت أن نسبة النجاح في توزيع ذي حدين 0% ويوجد 18 محاولة فأجب. )15 ما احتمال أال توجد أي محاولة ناجحة 1( ما احتمال أن توجد 1 محاولة فاشلة )1 ) ) ) )5 ) )7 )8 118 الف صل ءاصحإلاو لامتحالا

120 تن س طاولة: كسب العب 85% من مبارياته التي لعبها خلل مسيرته الرياضية. أوجد االحتماالت اآلتية: a( أن يكسب مباريات من بين 5 مباريات قادمة. b( أن يكسب مبارتين على األقل من بين المباريات الخمس القادمة. c( أن يخسر مباراة واحدة على األقل في مبارياته الخمس القادمة. لكل من التوزيعات ذات الحدين اآلتية يدل الرمز على عدد المحاوالت ويدل الرمز p على احتمال نجاح كل محاولة. أوجد احتمال الحصول على X من النجاحات. = 8, p = 0., X = 10, p = 0., X > =, p = 0., X = 9, p = 0.5, X 5 = 10, p = 0.75, X 8 = 1, p = 0.1, X < تحد : في تقريب التوزيع ذي الحدين إلى التوزيع الطبيعي إذا علمت أن احتمال وجود - 0 نجاحا ا يساوي % وكان = 0 واحتمال النجاح % فكم كان عدد المحاوالت حد د ما إذا كانت المعادلة في كل ممايأتي تمث ل دائرة أو قطعا ا مكافئا ا أو قطعا ا ناقصا ا أو قطعا ا زائدا ا دون كتابتها على الصورة القياسية. وبر ر إجابتك: )مهارة سابقة( + = = = 0 سرعة: وضع نظام لمراقبة سرعة السيارات وتسجيلها في شارع قريب من إحدى المدارس إذا توز عت هذه السرعات توزيعا ا طبيعي ا بمتوسط 7 mi/h وانحراف معياري mi/h فكم سيارة كانت تسير بسرعة تقل عن mi/h في عينة حجمها 5 سيارة )الدر س -5( درا سة جامعي ة: أوضح استطلع في إحدى المدارس الثانوية أن 88% من الطلب يريدون إكمال دراستهم الجامعية. وقد قام نواف باستطلع آراء 150 طالبا ا تم اختيارهم عشوائي ا. ما احتمال أن يكون في العينة 1 طالبا ا على األقل يرغبون في استكمال دراستهم الجامعية )الدر س -5( )8 )9 )0 )1 ) ) اختبار: تقد مت سمر الختبار من عشرة أسئلة من نوع االختيار من متعدد لكل منها أربعة بدائل لكنها أجابت عن األسئلة من خلل التخمين )دون معرفة علمية بالموضوع( ما احتمال أن تحصل على: a( 7 أسئلة صحيحة اإلجابة )17 )18 )19 )0 )1 ) ) ) تبرير: حد د ما إذا كانت العبارة اآلتية صحيحة دائما ا أو صحيحة أحيانا ا أو غير صحيحة أبدا ا. وبر ر إجابتك. «من األفضل أن تجد احتمال الفشل وتطرحه من 1 لتجد احتمال النجاح «. م س ألة مفتوحة: صف حالة من أنشطة المدرسة أو المجتمع ينطبق عليها التوزيع ذو الحدين وحد د عدد المحاوالت المستقلة () وكل من: احتمال النجاح واحتمال الفشل في المحاولة الواحدة. اكتب: فس ر العلقة بين التجربة ذات الحدين والتوزيع ذي الحدين. b( 9 أسئلة صحيحة اإلجابة c( 0 سؤال صحيح اإلجابة d( أسئلة صحيحة اإلجابة إذا كان احتمال نجاح عملية جراحية 90% فما احتمال نجاع عملية واحدة على األقل إذا أ جريت العملية ثلث مرات )A 0.1 )B ) )5 ) )7 0.9 )C )D الدر س - نيدحلا تاذ تاعيزوتلا 119

121 دليل الدرا سة والمراجعة مف هيم اأ س سية العينة والمجتمع الدر س ن -,-1( نت جم ن ي ت ف سقف س ي ذي زة يفم نت جة ن ت إقنت اتس ي ي ذي زة جة يفم نت ن االرتب وال سببية انهجق جه ير لقا ب ن ق ن لق ن إي جند ق لا ي ج انهجق جه سلل ت لق ن ق ة جم نت ن ي ج يف ق ة لا جلقيس ي سلل ق ه م س خط أ المع ينة انه س ا نت م دق جن جمة ا لق ن ن ا ± بقفا ت يف مق نت اقج قجتس المجتمع 1 Ç االنحراف المعي ري العينة ÇÇÇÇÇ ( k - ) k = 1-1 ÇÇÇÇÇ ( k - µ ) k = 1 االحتم ل الم سرو الدر س -( ي ة قل يف تس ا ي ة قل قا ت جم نت ي ذي ا يج قا ت يفمهي ل يفة يلا ت ا جهي ل ير ت ذيم بمه ن ة ل دق سم ب قنقم س ن ق ي ي ن إ ت جن ي ق يفمه ل ث ير ي س ير ي ن سل ق ي ذ ن جن س ب ق ي ف جم يفة يريم لا يفمه ل يج جن س ب ق ي ف جم يفة يريم لا يف س يف اا ل يفخ ت يج جن س ب ق ي ف جم يفة يريم لا يفم ا يف اا ل يفخ ت ن ي سةم قل يفمهي ل يفة يلا ت لا ي مقا ي ة قل يف تس ا التوزيع ت االحتم لية الدرو س -,-5,-( المفهوم جنا س جة س ل ما ج ة م بت ذيم يف ه ن الو سف اها ج ه ا جن يفن ي يف نت اها ج ه ا جن يفن ي يف نت جن ن قم جة ق ت جن ن قم جة ق ت فدق نة مةقن لا قف ت ن ي ة م بت المفردات يفهري ست يف س ت س 8 يف مة ا س 8 مهيا اق س 8 يفم نت س 8 يف ة زة س 8 يف ة زة س 8 يفهري ست يفةم ل ت س 87 يفهري ست يفاق ت ا يف ي ت س 87 يف م ات يفةم ل ت س 87 يف م ات يف سقبات س 87 ي ر لقا س 88 يف سلل ت س 88 يفة ي سق ا س 97 يف ةغ س 9 ب قنقم لا جةغ ي ه س 9 جا ق س يفنزات يف إز ت س 9 يف م ت س 9 ي سق ا س 9 قجتس اقج يف مق نت س 9 جاق س يفةتسةت س 9 يفةلق ن س 9 اختبر مفردات )1 ) ) ) ي ن يف يف م قر س 9 ي ة قل يف تس ا س 97 يفمه ل يفة يلاا س 98 يفة ير يفن سلا س 98 يفنمق س 10 يفاتس س 10 يف ةغ يفمتس ي ا س 10 يف ةغ يفمتس ي ا يف نا س س 10 يفة ز ا ي ة قفا س 10 يفة ز ا ي ة قفا يف نا س س 10 ي ة قل يفن س 10 ي ة قل يفةم لا س 10 يفا ت يف ة مت س 10 يفة ز ا ي ة قفا يف ة س س 108 يفة ز ا يفال ما س 108 يفة ز ا يف ة س 108 م بت ذيم ه ن س 11 يفة ز ا ذ يف ه ن س 115 اختر المفردة المناسبة لكل عبارة مما يأتي من القائمة أعاله: )5 لمتغير عشوائي معين هو دالة تربط فضاء العينة باحتماالت نواتج فضاء العينة. عندما توجد علقة بين حادثتين فإنه يوجد بينهما. الدراسة المسحية تكون نواتج معينة. إذا ص م مت لصالح إذا أ عطيت مجموعة معالجة شكلية ال أثر لها في النتيجة فإن هذه المجموعة ت سم ى. ي حد د بين العينة والمجتمع. الفترة التي تبين الفرق في االستجابة 10 الف سل ي ة قل ي سقض

122 دليل الدرا سة والمراجعة حد د ما إذا كانت كل دراسة مسحية فيما يأتي تتبني عينة متحيزة أو غير متحيزة ثم فس ر إجابتك: يتم اختيار كل عاشر متسو ق يخرج من مجمع تجاري لمعرفة إن كان مرتاحا ا أو مطمئنا ا لشرائه من المجمع. يتم اختيار كل عاشر طالب يخرج من المدرسة لمعرفة أحب المواد الدراسية إليه في المدرسة. يطلب أحد مطاعم الوجبات السريعة إلى زبائنه أن يكملوا استبانة حول أفضل مطعم للوجبات السريعة. حد د ما إذا كانت كل حالة تحتاج إلى دراسة مسحية أو دراسة قائمة على المالحظة أو دراسة تجريبية. اختر 100 طالب نصفهم يعمل جزئي ا بعد الدراسة وقارن بين األوساط لدرجاتهم. اختر 100 شخص وقس مهم إلى نصفين عشوائي ا ودع إحدى المجموعتين تتناول وجبات قليلة الدسم بينما تتناول األخرى وجبات اعتيادية. وقارن النتائج لمعرفة أثر الوجبات القليلة الدسم على صحة الجسم. 1-1 الدرا س ت الم سحية والتجريبية والق ئمة على المالحظة ال سفح ت اختار صاحب وكالة للسيارات 100 زبون عشوائي ا قاموا بإجراء الصيانة الدورية لسياراتهم في الوكالة حديثا ا وطرح سؤاالا عليهم حول نوعية الخدمة التي ت قد مها الوكالة. هل ي مث ل الزبائن الذين تم اختيارهم عينة متحيزة أم غير متحيزة فس ر إجابتك. غير متحيزة ألن لكل شخص من زبائن الوكالة الفرصة نفسها ألن يكون من بين العينة. ) )7 )8 )9 )10 وز ع معلم الرياضيات طالبه مجموعتين عشوائي ا وطب ق عليهم اختبارا ا حيث طلب من المجموعة األولى أداء تمارين رياضية قبل االختبار بينما أعطى المجموعة الثانية االختبار دون أن يطلب منهم تأدية أي تمارين رياضية وقارن نتائجهم في االختبار. هل هذه الدراسة دراسة مسحية أم دراسة قائمة على المالحظة أم دراسة تجريبية وإذا كانت تجريبية فاذكر كال من المجموعتين الضابطة والتجريبية ثم بي ن ما إذا كانت الدراسة متحيزة أم ال. دراسة تجريبية: المجموعة التجريبية هي األولى والضابطة هي الثانية والدراسة التجريبية متحيزة ألن كل طالب يعرف المجموعة التي ينتمي اليها. ف سول ال سنة: في دراسة مسحية عشوائية شملت شخصا ا ذكر % منهم أن الربيع هو أفضل فصول السنة لديهم. ما هامش الخطأ في المعاينة سب حة: في أثناء تمرين السباحة قاس خالد األزمنة التي استغرقها في كل مرة لقطع مسافة 00 m وسجل النتائج الممثلة في الجدول أدناه. بي ن ما إذا كانت هذه البيانات تمثل عينة أم مجتمعا ا ثم أوجد االنحراف المعياري لألزمنة التي حققها الزمن ب لثواني قال 1% من عينة حجمها 5 شخصا ا: إن كرة القدم هي األكثر تفضيالا لديهم. ما هامش خطأ المعاينة ± قن ن قجتس اقج يف مق نت = 5 ± 1 Ç 1 ÇÇ 5 ± ب س هامش خطأ المعاينة ±1.9% تقريبا ا. التحليل االإح س ئي ال سفح ت )11 )1 الف سل اف يفهري ست يف الدر س - يجمت 11

123 دليل الدرا سة والمراجعة كرة ط ئرة: يحصل طارق على نقطة في 5% من مرات قيامه بضربة اإلرسال ما احتمال أال يحصل على نقطة في ضربة اإلرسال الثانية علما ا بأنه حصل على نقطة في ضربة اإلرسال األولى في الجدول أدناه إذا اختير طالب عشوائي ا فأجب عما يأتي: االأول الث نوي الث ني الث نوي يلب س نظ رات ال يلب س نظ رات 15 5 a( ما احتمال أن يكون الطالب من األول الثانوي علما ا بأنه يلبس نظارات b( ما احتمال أن يكون من الذين ال يلبسون النظارات علما ا بأنه من الثاني الثانوي درا سة: أوجد احتمال أن يأخذ طالب اختير عشوائي ا حصة إضافية علما ا بأنه طالب جديد. ط لب جديد (N) ط لب قديم () ي أخذ ح س س اإ س فية (E) 1 ال ي أخذ ح س س اإ س فية (X) P(E N) P(E N) = P(N) = قن ن ي ة قل يف تس ا P(E N) = 1 80, P(N) = ب س = 1 10 = 5 - االحتم ل الم سرو ال سفح ت )1 )1 قرعة االألع ب: خلط يوسف بطاقات األلعاب جميعها في صندوق حيث تشك لت البطاقات من 1 بطاقة لكرة القدم 8 بطاقات لكرة الطائرة 5 بطاقات لكرة السلة وجميعها متماثلة. إذا تم اختيار بطاقات بصورة عشوائية فأوجد احتمال كل من: ( بطاقات للكرة الطائرة( P ) بطاقات لكرة القدم( P )بطاقة لكرة السلة وبطاقتان للكرة الطائرة( P )بطاقتان لكرة السلة وبطاقة لكرة القدم( P بط ق ت: مجموعة بطاقات مرق مة مكو نة من بطاقات عليها الرقم 9 عليها العدد 5 10 عليها الرقم عليها الرقم 5 وبطاقتين على كل منهما الرقم وبطاقة عليها الرقم. إذا سحبت بطاقة عشوائي ا من مجموعة البطاقات فما القيمة المتوق عة لهذه البطاقة 1 الف سل ي ة قل ي سقض لدى حمزة 5 كتب في حقيبته هي الرياضيات والكيمياء واللغة اإلنجليزية واللغة العربية والتاريخ. إذا قام بترتيبها على رف في صف واحد عشوائي ا فما احتمال أن تأتي كتب اللغة اإلنجليزية واللغة العربية والرياضيات في أقصى اليسار الخطوة 1 حد د عدد النجاحات. P P اها ا يف ة يفثي ت ي ف يف سقر اها ا يف ةقب ن ي ن استعمل التباديل ومبدأ العد األساسي إليجاد. s s = P P =!! = 1 الخطوة أوجد عدد عناصر فضاء العينة s. + f s + f = 10 5 P 5 = 5! = 10 وتمثل عدد الترتيبات الممكنة للكتب الخمسة على الرف. الخطوة أوجد االحتمال. P (S) = s s + f = 1 10 = )15 )1 )17 )18 )19 االحتم ل والتوزيع ت االحتم لية ال سفح ت ي ة قل يفنمق احتمال وضع كتب اللغة اإلنجليزية واللغة العربية والرياضيات في أقصى اليسار يساوي 0.1 أو 10%.

124 دليل الدرا سة والمراجعة 8 في كل من السؤالين اآلتيين توزيع طبيعي بمتوسط وانحراف معياري. أوجد االحتمال المطلوب في كل منهما. µ = 11, σ = 9, P(X > 10) µ = 181, σ = 1, P(X > 19) زمن الرك س: أزمنة الركض لمسافة 0 m لفريق كرة القدم المدرسي تتوز ع توزيعا ا طبيعي ا بمتوسط.7 s وانحراف معياري s ما نسبة اللعبين الذين يقل زمن قطعهم المسافة عن. s تتوز ع مجموعة من البيانات توزيعا ا طبيعي ا بمتوسط 78 وانحراف معياري. 5 أوجد احتمال أن تزيد قيمة ل X اختيرت عشوائي ا عن σ σ 1.5% % 88 9 σ 0.5% بما أن = = σ µ + لذا فإن االحتمال المطلوب يكون مساويا ا 1% = 0.5% + % + 1.5% -5 التوزيع الطبيعي ال سفح ت )0 )1 ) ) اأ سخ س م سهورون: في إحدى الدراسات ت بي ن أن % من الشباب يفضلون أداء أحد الرياضيين المشهورين. إذا اختير 5 من الشباب عشوائي ا وتم سؤالهم عما إذا كانوا يفضلون أداء هذا الرياضي أو ال. a( إذا مث ل المتغير العشوائي X عدد الشباب الذين يفض لون أداء هذا الرياضي فكو ن جدول التوزيع االحتمالي لذات الحدين للمتغير X ومث له باألعمدة. b( أوجد احتمال أن يكون أكثر من من الشباب يفض لون أداء هذا الرياضي. س ع ت: أشارت دراسة مسحية للبالغين أن ما نسبته 7% من البالغين يلبسون ساعة يد.وقد قام بكر باستطلع رأي 00 شخص من البالغين عشوائي ا. ما احتمال أن يكون 10 شخصا ا على األقل ممن شملهم االستطلع يلبسون ساعة يد ر سم هند سي: أ جريت دراسة في إحدى المدارس ف تبي ن أن 5% من الطالب يستطيعون رسم مخروط. إذا تم اختيار 5 منهم بشكل عشوائي ومث ل المتغير العشوائي X عدد الطالب الذين لديهم مقدرة على رسم مخروط فأجب عم ا يأتي: a( كو ن جدول التوزيع االحتمالي لذات الحدين للمتغير X ومث له باألعمدة. في هذه المسألة = = q. = 5, p = 0.5, X P( X ) P(X) ) التوزيع ت ات الحدين ال سفح ت X b( أوجد المتوسط واالنحراف المعياري والتباين للتوزيع. µ = p = 5 (0.5) =.5 σ σ = pq = 5 (0.5)(0.55) = 1.75 = Ç σ = ÇÇÇ الف سل اف يفهري ست يف الدر س - يجمت 1

125 دليل الدرا سة والمراجعة تطبيق ت وم س ئل حد د ما إذا كان كل موقف مما يأتي يمث ل دراسة تجريبي ة أو دراسة 8( قائمة على الملحظة وفي حالة الدراسة التجريبية اذكر كل من المجموعة الضابطة والمجموعة التجريبي ة ثم بي ن إن وجد تحيز أو ال: )يفهر س 1- ) a( اختر 100 طالب نصفهم يأتي إلى المدرسة مبكرا ا وقارن بين تحصيلهم في مادة معينة. b( اختر 100 موظف واقسمهم نصفين وأخضع إحدى المجموعتين إلى دورة في اللغة اإلنجليزية أما األخرى فل تخضعها ألي دورة تدريبية. اختير 10 طلب بصورة عشوائية من الصف الثالث الثانوي وقيست أطوالهم بالسنتمترات فكانت كما يلي: ر ميت قطع نقد مرة واحدة. إذا كان المتغير العشوائي X يدل على عدد مرات ظهور الشعار فاكتب جدول التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي X ثم مث له باألعمدة. )يفهر س - ) ) 9 سكةحديد: إذا كانت الفترات الزمنية للنتظار التي يقضيها 1000 مسافر في إحدى محطات سكك الحديد موز عة توزيعا ا طبيعي ا بمتوسط 7 mi وانحراف معياري 15 mi فأوجد نسبة المسافرين ال ذين ينتظرون أكثر من. mi )يفهر س 5- ) )0 اإج زات: في دراسة مسحية سابقة وجد أن ما نسبته 70% من العاملين يأخذون إجازاتهم السنوية في الصيف لكن محسنا ا يعتقد أن هذا الرقم مبالغ فيه فقام باستطلع رأي 50 عاملا عشوائي ا. ما احتمال أال يأخذ أكثر من 0 عاملا إجازاتهم في الصيف )يفهر س - ) )5 ) 170, 15, 155, 18, 177, 180, 18, 17, 10, 11 بي ن ما إذا كانت هذه البيانات تمث ل عينة أم مجتمعا ا ثم أوجد االنحراف المعياري لهذه األطوال. )يفهر س - ) سج لت أعداد الطلب ذوي العيون الزرقاء أو غير الزرقاء في أحد المعاهد والجدول التالي يبين ذلك. )7 عيون زرق ء سنة اأولى سنة ث نية عيون لي س زرق ء 95 إذا اختير أحد الطلب عشوائي ا فأوجد احتمال أن تكون عيونه زرقاء علما ا بأنه في السنة الثانية. )يفهر س - ) 1 الف سل ي ة قل ي سقض

126 اختب ر الف سل حد د ما إذا كانت العبارات اآلتية تصف ارتباطا ا أو سببية ثم فس ر إجابتك: 11( 1( عندما يرى محمود البرق فإنه يسمع الرعد بعد ذلك. ( عندما يركض نايف عند مدخل المدرسة فإنه يكون متأخرا ا عن المدرسة. اختب رات: أعطى المعلم أيمن طلبه الفرصة إلعادة أحد االختبارات كما عقد درس مراجعة اختياري يوم الخميس قبل إعادة االختبار لمن يرغب. بعض الطلب تحس ن أداؤهم والبعض اآلخر لم يتحسن والجدول أدناه يبين ذلك. إذا اختير طالب عشوائي ا فأوجد: حد د ما إذا كانت كل دراسة مسحية فيما يأتي تتبنى عينة متحيزة أو غير متحيزة ثم فس ر إجابتك: استطلع صاحب مخزن يبيع من خلل الشبكة العنكبوتية زبائنه عن أهمية وجود اإلنترنت في المنزل. تح سن لم يتح سن 1 ح سر المراجعة لم يح سر المراجعة ) يختار معلم 5 أسماء لطلب يدرسهم إللقاء كلمة الصباح بعد أن يقوم بوضع األسماء جميعها في سلة ويخلطها. أي مقاييس النزعة المركزية يصف كال من البيانات اآلتية بصورة أفضل ولماذا درج ت اختب ر a( احتمال أن يكون قد تحس ن علما ا بأنه حضر المراجعة. b( احتمال أنه لم يحضر المراجعة علما ا بأنه لم يتحس ن. اختي ر من متعدد: شارك 10 طلب من الصف األول الثانوي و 1 طالبا ا من الصف الثاني الثانوي في السحب على 5 جوائز. إذا كان السحب عشوائي ا فما احتمال أن يكون الرابحون من الصف األول الثانوي وطالبين من الصف الثاني الثانوي )1 5 5 ) )5 0.% A تقريبا ا 0.5% B تقريبا ا 5 70% C تقريبا ا ( الطول ب لبو سة 0% D تقريبا ا )1 ) فيما يأتي المتوسط واالنحراف المعياري لمجموعة من البيانات تتوز ع توزيعا ا طبيعي ا أوجد االحتمال المطلوب في كل منها: س حبت كرتان معا ا من صندوق يحتوي على كرات زرقاء وكرتين حمراوين. إذا كان المتغير العشوائي X يدل على عدد الكرات الزرقاء المسحوبة فكو ن جدول التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي. X طق س: أخبر الراصد الجوي أن احتمال سقوط المطر في كل يوم من األيام السبعة القادمة 0%. أوجد احتمال أن يسقط المطر في يومين من هذه األيام على األقل. µ = 5, σ = 5, P(X > ) µ = 5, σ =., P(X < 7.) )7 )8 )15 يحتوي كيس على 10 كرات زجاجية زرقاء و 8 كرات حمراء و 1 خضراء وجميعها متماثلة سحبت كرتان واحدة تلو األخرى أوجد االحتمال لكل من: الكرة الثانية حمراء علما ا بأن الكرة األولى زرقاء دون إرجاع. حديقة: يخطط يعقوب لزرع شجرة أزهار إذا علمت أن البذور التي أحضرها ألزهار من اللونين األبيض واألزرق وأنها لم تزهر بعد ولكنه يعلم أن احتمال الحصول على زهرة زرقاء 75% فما احتمال حصوله على 0 زهرة زرقاء على األقل )9 10( الكرة الثانية زرقاء علما ا بأن الكرة األولى خضراء مع اإلرجاع. الف سل ي ةلقر الدر س - يفا س 15

127 النه ي ت واال ستق ق Limits ad Differetiatio ار ست يفندق قم ج مه م يفةغ. يج س ندق قم ا يل إث يم يف ه ا يفه يل يفن سل ت يج جه ج مه م يفةغ يف ت يج جه جتسةاقم ا يل إث يم يف ه ا يج س دق يج ه يف سق ت ت جن ن ايفت بق سةم قل يفة قج يف ها يج ه يفهيفت ي ج س ت يج سةم يفن ت ي ج سق س ت لا يفةاق س يفة قج ي مقا لا يفة قج يف ها االأفعوانية: مه ي يسةاقا س ت لقا ت جد ت انه اري ست ج مه م يفةغ يفثقبةت لق ذي رإلت ي جلم ين ت سقرا س اة لق ن ق ج ةغ ين بق سة ير جا يفزجن بق اة قا ا ج م يفا س لا ي سةهر س ج سق ة ج ي جتسقبدت قراءة س بقة: ي سةم يج س ت ي ةلقر جنة س يفا س فة سقاه ا ا ج ة يفن س ي ج ل جن يفا س 1 الف سل يفندق قم ي يسةاقا

128 للف سل التهيئة اال ستعداد: نق به ين ف ةقجإه جن يف ةا لقم ت سخي س يف سقبات 1 ان يج س ت ي ةلقر يف س ا ي ا يج مراجعة المفردات النه ية (limit) ي ة ي جن ت ا ن يف س ل ي ف دق بقف س رة خطو التق رب (asmptotes) س يجن ا ن يفهيفت جن ن جن اة f() = 1 استعمل التمثيل البياني لوصف سلوك طرفي التمثيل البياني لكل دالة مما يأتي: m() = ) q() = - )1 الدالة المت سلة fuctio) (cotiuous يج ينااق يفل قنا يج ث دق لا ن ف ي ذي يفهيفت جة س ت ن ازة = f() ( سن عة: يمكن تقدير معدل التكلفة بالريال إلنتاج قطعة من 1700 = A(). صف سلوك منتج ما باستعمال الدالة الدالة باستعمال التمثيل البياني للحاسبة البيانية عندما تقترب من موجب ماالنهاية.. f() عدم االت س ل الق بل لالإزالة discotiuit) (removable ن ف هيفت ناات ي سقل قب ت في زيفت انه = c ي ذي إقنت ندق ت يفهيفت انهجق اة جن c ج ج اة سق ت يفهيفت انه = c متو سط معدل التغير chage) (average rate of جة س جمهل يفةغ ب ن نااة ن ا جن ن يفهيفت () f ج يف سةا يف قر بدق ن يفنااة ن ( 1, f( 1 )) ) أوجد متوسط م عد ل تغي ر الدالة + f() = على الفترة ]1-,-] أوجد معادالت خطوط التقارب الرأسية واألفقية (إن وجدت) لكل دالة مما يأتي: h() = - 8 ) f() = ) g() = - 1 )8 f() = ( - 1)( + 5) ( - )( + ) ( + )( - ) )7 أوجد الحدود األربعة التالية في كل متتابعة مما يأتي: 5, -1, -7, -1, )10 8,, -, -7, )9-8, -1, -1, -7, )1 5, -10, 0, -0, )11 (, f( )) = f() 1 أسئلة تهيئة إضافية على الموقع يج س ت د ت ي سقل ت ا يف ا الف سل يفةد ت ف ا س 17

129 Estimatig Limits Graphicall هل هناك نهايات للا رقام المس جلة في المسابقات الرياضية لا يمكن تجاوزها لقد كان الرقم القياسي المس جل في دورة الا لعاب المقامة في بكين عام 008 م لمسابقة الوثب بالزانة m ويمكن استعمال الدالة: 5. = () f لتقدير الرقم القياسي الذي تم تسجيله في (.7) هذه الرياضة للا عوام بين 199 م و 008 م حيث عدد السنوات منذ عام 1900 م يمكنك استعمال نهاية هذه الدالة عندما تقترب من المالانهاية للتنبو با كبر رقم يمكن تسجيله. يتمحور عل م التفاض ل والتكام ل حول مسا لتين ا ساسيتين: ا يجاد معادلة مماس منحنى دالة عند نقطة واقعة عليه. ا يجاد مساحة المنطقة الواقعة بين التمثيل البياني لدالة والمحور. و تع د مفاهيم النهايات ا ساسية لحل هاتين المسا لتين. تعلمت ساب قا ا نه ا ذا اقتربت قيم f() من قيمة وحيدة L كلما اقتربت قيم من العدد c من كلا الجهتين فا ن نهاية f() عندما تقترب من c هي L وتكتب على الصورة. lim f() = L c يمكنك تطبيق مفهوم النهاية لتقدير نهاية f() عندما تقترب من العدد c ا ي f() lim وذلك من خلال تمثيل الدالة بيان يا ا و ا نشاء c جدو ل لقيم f(). ق در (1 + -) lim باستعمال التمثيل البياني ثم ع زز ا جابتك عدد يا. م ثل الدالة الخطية +1 - = بيان يا باستعمال النقطتين (-,1),(1,0). يب ين التمثيل البياني للدالة f() = ا نه كلما اقتربت من العدد فا ن قيم f() المقابلة تقترب من العدد - 5 لذا فا ن با مكاننا تقدير ا ن :. lim (- + 1) = -5 ك ون جدو لا لقيم () f وذلك باختيار قيم القريبة من العدد من كلا الجهتين f() يب ين نمط قيم f() ا نه كلما اقتربت من العدد من اليمين ا و من اليسار فا ن قيم f() تقترب من العدد 5- وذلك يع زز تحليلنا البياني. ق در كل نهاية مما يا تي باستعمال التمثيل البياني ثم ع زز ا جابتك عدد يا. f( 1 ) f( ) L f( ) f( ) 1 c 5 = f () f () = + 1 lim f () = L c 1 lim ( - 1) (1B lim (1-5) (1A 1 - oe - sided limit two - sided limit ) 18

130 في المثال 1 الحظ أن (1 + -) lim هي نفسها ()f إال أن نهاية الدالة ال تساوي دائما ا قيمة الدالة. f() = lim باستعمال التمثيل البياني ثم عز ز إجابتك عددي ا. - 9 قد ر - التحليل بي ني : مجال الدالة {}-R - 9 = ( - )( + ) بما أن + = - - لذا فالتمثيل البياني للدالة f() هو نفسه التمثيل البياني للمستقيم + = مع وجود دائرة صغيرة غير مظللة ( ) عند = f() = - 9 المجاور أنه كلما اقتربت من ي بي ن التمثيل البياني للدالة - العدد فإن قيمة () f المقابلة لها تقترب من العدد لذا فإن بإمكاننا تقدير أن: lim = التعزيز عددي : تقدير النه ية النه ية ال ت س وي قيمة الدالة كو ن جدوالا لقيم f() وذلك باختيار قيم القريبة من العدد من كل الجهتين. جداول نتسقض جه ل بق سةم قل يف ق سلت يفل قن ت TI - spire يجا يفهيفت ي ف يف ق سلت بق سةم قل ق ت ي ة قر يفمه ل بقف سغ ا يإة في ة ي جن ت ج هاة اة جن اة جن f() ي بي ن نمط قيم () f أنه كلما اقتربت قيم من العدد فإن قيم () f تقترب من العدد وذلك يعز ز تحليلنا البياني. تحق من فهم قد ر كل نهاية مما يأتي باستعمال التمثيل البياني ثم عز ز إجابتك عددي ا. lim )B lim )A في المثال الحظ أن قيم f() تقترب من العدد عند اقتراب قيم من العدد على الرغم من أن () f. - 9 غير معر فة عندما =. وهذه الملحظة توض ح مفهوما ا مهم ا في النهايات. فالعبارة - التعبير اللفظي: مة ه ندق ت () f انهجق اة جن يفمها c ا ت يفهيفت انه c = h() = g() = f() االأمثلة: عدم اعتم د النه ية على قيمة الدالة عند نقطة L c L c L c lim h() = L lim g() = L lim f() = L c c c h(c) = L g(c) = جم لت f(c) إن النهاية عند عدد ال تعني قيمة الدالة عند ذلك العدد وإنما قيمة الدالة عندما تقترب من ذلك العدد. الدر س - 1 اه يفندق قم ب قن ق 19

131 الحظ أننا عندما نقد ر النهاية باستعمال التمثيل البياني أو جدول القيم فإننا نبحث عن قيمة f() عندما تقترب من c من كل الجهتين. ويمكننا إيجاز وصف سلوك التمثيل البياني عن يمين عدد أو عن يساره بمفردة النه اية من جهة واحدة. النه ي ت من جهة واحدة النه ية من الي س ر النه ية من اليمين ي ذي ي ة بت f () جن ت هة L 1 انه ي ذي ي ة بت f () جن ت هة L انه ي ة ي جن يفمها c جن يف سقر لق ن ي ة ي جن يفمها c جن يف ن لق ن ا يج lim f() = L c - ا يج lim f() = L c + 1 ندق ت f() انهجق اة جن c جن يف ن ا L 1 ندق ت f() انهجق اة جن c جن يف سقر ا L يمكننا باستعمال هذين التعريفين إيجاز ما تعنيه مفردة النه اية من جهتين وما يعنيه كونها موجودة. ن ندق ت () f ج ج اة انهجق اة جن c ي ذي لا ي ذي إقنت يفندق ةقن جن يف ج ج ا ن جة سق ة ن يج يجن ن يف سقر lim f() = lim f() = L c - c + lim c ي ذي لا ي ذي إقن f() = L النه ية من اليمين والنه ية من الي س ر للدالة ف نق تست يفندق ت جن يف ن فهيفت انه م c يجن ن س ن يجن يفهيفت جم لت ا ن c ا لة ة.( b,c) ف نق تست يفندق ت جن يف سقر فهيفت انه م c يجن ن س ن يجن يفهيفت جم لت ا سقر c ا لة ة (c,a). النه ية عند نقطة = g() f () = g() =, - -, = - قد ر - إن أمكن - كال من النهايات اآلتية باستعمال التمثيل البياني للدالة: lim 0 -, lim 0 +, lim 0 ي بي ن التمثيل البياني للدالة f () = أن: lim = -, lim = وبما أن النهايتين من اليسار واليمين غير متساويتين فإن lim غير موجودة. 0 lim g(), lim g(), lim g() )b حيث ي بي ن التمثيل البياني للدالة g() أن: موجودة lim g() =, lim g() = وبما أن النهايتين من اليسار ومن اليمين متساويتان فإن g() lim - وتساوي. )a تحق من فهم تقدير النه ية من جهة واحدة ومن جهتين و سف النه ية اإ ا ك ن النه يت ن من الي س ر ومن اليمين غير مت س ويتين ف إنن نقول: اإن النه ية غير موجودة التمثيل البي ني للدوال يمكن ا ستعم ل االآلة الح سبة البي نية لتمثيل الدوال بي ني في جميع االأمثلة lim g(), lim حيث: g(), lim قد ر -إن أمكن- كال من النهايات اآلتية باستعمال التمثيل البياني للدالة: - g() = , < - -, - g() )B حيث: lim f(), lim f(), lim f() )A f() = +, < 1 + 1, 1 10 الف سل يفندق قم ي يسةاقا

132 إن عدم مقدرتنا على إيجاد قيمة نهاية للدالة f كعدد حقيقي عند االقتراب من نقطة ثابتة ليس ناتجا ا بالضرورة عن عدم تساوي النهايتين من اليسار واليمين إذ من الممكن أن تزداد قيم f() بشكل غير محدود عند اقتراب قيم من c وفي هذه الحالة نشير إلى النهاية بالرمز أما إذا تناقصت قيم f() بشكل غير محدود عند اقتراب قيم من c فإننا نشير إلى النهاية بالرمز -. قد ر -إن أمكن- كل نهاية مما يأتي باستعمال التمثيل البياني: lim 1 ( - ) )a ال سلوك غير المحدود f() نا سقن يج ز قاة منا ب س رة ج ه اة انهجق c يجن بق ة قر ت ف لت جن c بقفاهر يف ن ه لق ن ننق يف س ل ا ت إل ة ف ( f( بقفاهر يف ن ه c جن لت ق إقنت إ إقنت f() يجإل النه ي ت وال سلوك غير المحدود 1 التحليل بي ني : ي بي ن التمثيل البياني للدالة ( - ) المجاور أن : f() = f () = 1 ( - ) lim - 1 ( - ) =, lim + 1 ( - ) = فكلما اقتربت قيم من العدد ازدادت قيم f() بشكل غير محدود وبما أن كل من النهايتين من اليسار ومن اليمين. لذا 1 ( - ) lim ال تساوي عددا ا حقيقي ا إال أنه وبسبب كون فإن كلتا النهايتين فإننا نصف سلوك () f عند العدد بكتابة. lim 1 ( - ) = f () = 1 lim 1 0 )b 1 = f() المجاور التحليل بي ني : ي بي ن التمثيل البياني للدالة أن: lim 1 = -, lim = فكلما اقتربت قيم من العدد 0 من اليسار قل ت قيم f() بشكل غير محدود في حين تزداد قيم f() كلما اقتربت قيم من العدد 0 من اليمين. lim وبسبب سلوك الدالة المختلف عن يمين ويسار العدد 0. لذا فإن 1 0 غير موجودة لذلك ال يمكننا وصف سلوك الدالة عندما = 0 بعبارة واحدة بمعنى أنه ال يمكن أن نكتب = 1 الدالة غير المحدود من اليمين واليسار. lim وذلك بسبب سلوك 0 النه ي ت غير المحدودة جن يف س ر يجن ناد يجن يفملقر ن lim f() = -, - 0 lim f() = 0 + ق لا س ف قفت يفةا ب سللدق f() lim 0 ث ي ذ ج ج اة يف جزين - اها ن ا ن ا تحق من فهم قد ر -إن أمكن- كل نهاية مما يأتي باستعمال التمثيل البياني: lim 0 ( - ) )B lim - - )A الدر س - 1 اه يفندق قم ب قن ق 11

133 ال تكون النهاية موجودة أيضا ا عندما تتذبذب قيم f() بين قيمتين مختلفتين باقتراب قيم من العدد c. 1 f () = cos قد ر -إن أمكن- cos 1 lim باستعمال التمثيل البياني للدالة. 0 1 f() = cos المجاور أن قيم f() تتذبذب ي بي ن التمثيل البياني للدالة بشكل مستمر بين العددين كلما اقتربت قيم من العدد 0 مما يعني أنه ألي قيمة 1 قريبة من الصفر بحيث = 1 ) 1 f ( يمكنك إيجاد قيمة قريبة جد ا من الصفر مثل بحيث 1- = ) f ( وبالمثل ألي قيمة قريبة من الصفر بحيث -1 = ) f ( يمكنك إيجاد قيمة مثل قريبة جد ا من الصفر بحيث = 1 ).f ( lim غير موجودة. 0 5 cos 1 أي أن تحق من فهم النه ي ت وال سلوك التذبذبي قد ر -إن أمكن- كل نهاية مما يأتي باستعمال التمثيل البياني للدالة: lim ( si ) )5B lim si )5A نلخ ص فيما يأتي أهم ثلثة أسباب تجعل نهاية الدالة عند نقطة غير موجودة. اأ سب ب عدم وجود نه ية عند نقطة ت ي لا يف ق م ج ج اة lim f() ن c انهجق اة f() جن ة ن جخة اة ن انه ي ة ي جن يفمها c جن يف سقر جن يف ن انهجق زايا f() بتس ج ه ا انه ي ة ي جن يفمها c جن يف سقر ةنق س دق بتس ج ه ا انه ي ة ي جن يفمها c جن يف ن يج يفم س انهجق ب ة f() ب ن ة ن جخة اة ن انه ي ة ي جن يفمها. c تقدير النه ية عند الم النه ية: درست فيما سبق استعمال النهايات لوصف سلوك f() عندما تقترب قيم من عدد ثابت c و تستعمل النهايات أيضا ا لوصف سلوك طرفي التمثيل البياني للدالة. وهو سلوك الدالة عند ازدياد أو نقصان قيم بشكل غير محدود. وفيما يأتي ملخ ص لرموز هذه النهايات. النه ي ت عند الم النه ية 1 الف سل يفندق قم ي يسةاقا ي ذي ي ة بت f() جن اها ه L 1 انه يزا قا بتس ج ه ا لق ن» L 1 ا جق ندق ت جن ج ج انهجق اة f() «ندق ت ا يج lim f() = L 1 ي ذي ي ة بت f() جن اها ه L انه نا سقن بتس ج ه ا لق ن» L ا جق ندق ت جن سقف انهجق اة f() «ندق ت ا يج lim - f() = L درست سابقا ا أنه إذا اقتربت قيم الدالة من أو - عند اقتراب قيم من عدد ثابت c فإن ذلك يعني وجود خط تقارب رأسي للدالة كما درست أن خط التقارب األفقي يحدث عندما تقترب قيم الدالة من عدد حقيقي كلما اقتربت قيم من أو - بمعنى: المستقيم = c هو خط تقارب رأسي للدالة f إذا كانت ± = f() lim أو ± = f() lim أو كليهما. + - c c lim f() = c أو lim المستقيم = c هو خط تقارب أفقي للدالة f إذا كانت f() = c -

134 تقدير النه ية عند الم النه ية قد ر -إن أمكن- كل نهاية مما يأتي باستعمال التمثيل البياني للدالة: f() = 1 = 0 1 lim )a 1 = f() المجاور أن التحليل بي ني : ي بي ن التمثيل البياني للدالة lim فكلما زادت قيم اقتربت قيم f() من العدد 0. 1 = 0 خطو التق رب a لا يف ثقل يفندق ت تس ي ف ج ا اقر يجلاا = 0 تس يفندق ت لا جثقل b ي ف ج ا. = يجلاا اقر lim - ( - + ) )b = - = f() المجاور أن التحليل بي ني : ي بي ن التمثيل البياني للدالة + lim فكلما قل ت قيم اقتربت قيم f() من العدد. - ( - + ) = f() = - + f() = (.7) si π lim - (.7) si π, lim (.7) si π )c التحليل بي ني : ي بي ن التمثيل البياني للدالة f() = (.7 ) si π المجاور أن: فكلما قل ت قيم lim - (.7) si π = 0 تذبذبت قيم f() مقتربة من العدد. 0 lim غير موجودة فكلما ازدادت قيم تذبذبت قيم في حين يبي ن التمثيل البياني أن (.7) si π f() متباعدةا. ال سلوك المتذبذب ي ن يفة ب يفيندق ا ف هيفت اه بقف س رة منا انهجق اة يفندق ت ج ا جن يج - لق ذي إقن يفة ب ب ن ة ن جخة اة ن لقفندق ت ج ج اة يج ق ي ذي إقن يفة ب جةاقرب ق ن اها جم ن لقفندق ت ج ج اة تحق من فهم قد ر -إن أمكن- كل نهاية مما يأتي باستعمال التمثيل البياني للدالة: lim si )C lim 5 )B lim - ( 1 - ) )A الدر س - 1 اه يفندق قم ب قن ق 1

135 يمكنك استعمال التمثيل البياني أو جدول قيم لتقدير النهايات عند الماالنهاية في كثير من المواقف الحياتية. 7 تقدير النه ية عند الم النه ية θ a( هيدرولي : تستعمل نوابض إلغالق األبواب الثقيلة وآلية هيدروليكية للتحكم في سرعة حركتها إذا ف تح باب بزاوية π ثم ت رك لتغلقه النوابض π θ(t) = تمث ل زاوية فتحته θ بعد t ثانية. فإن الدالة (1 + t)(.7) -t قد ر θ(t) lim وفس ر معناها إذا كانت موجودة. t قد ر النهاية: م ث ل الدالة θ(t) = π (1 + t) (.7)-t بياني ا باستعمال الحاسبة البيانية. الحظ أنه كلما زادت قيم t فإن قيم الدالة (t) θ تقترب من العدد 0. أي أن = 0 θ(t).lim t فس ر النتيجة: إن قيمة النهاية 0 في هذه المسألة تعني أن الزاوية التي يصنعها الباب مع وضع اإلغلق مع مرور الزمن هي 0 درجة بالراديان. بمعنى أنه بعد مرور زمن أطول فإن الباب سيقترب من وضع اإلغلق التام. b( دواء: ي عطى تركيز دواء في دم مريض بوحدة ملجرام لكل مللتر بالعالقة C(t) = t 0.18t- حيث t الزمن بالساعات بعد حقن المريض. lim وفس ر معناها إذا كانت موجودة. قد ر C(t) t قد ر النهاية: م ث ل الدالة C(t) = t 0.18t- بياني ا باستعمال الحاسبة البيانية. يتضح من التمثيل البياني أنه كلما زادت قيمة t فإن منحنى الدالة يقترب من 0 أي أن = 0 C(t). lim t فس ر النتيجة: إن قيمة النهاية هي 0 وتعني في هذه المسألة أنه مع مرور الزمن فإن تركيز الد واء سيصبح قريبا ا من الصفر في دم المريض. تحق من فهم [-1, ] scl: 0.5 b [-0.1, 0.9] scl: 0.1 [-1, 50] scl: b [-0.5,.5] scl: 0.5 ي جن ت يفد هر ف ت ا يج ه يجن ت نا يفاهرة يفةا سةم ق ت يف س ي فا قاة يج ي ج زيض يف ة إت لا يفن ق يفد هر ف ا سةم لا يفمه ه جن يف مق م جندق ل يج يف س قريم ي جب ي يفثا ت ق t حيث V(t) = 15 si 10πt يزو د مقبس في منطقة ما بفرق جهد كهربائي ي عطى بالعلقة كهرب ء: 7A( الزمن بالثواني. قد ر V(t) lim إذا كانت موجودة وفس ر معناها. t t عند وضع عدد من ذبابات الفاكهة في وعاء يحوي حليبا ا وفاكهةا وخميرةا فإن عدد الذبابات بعد اأحي ء: 7B( 0 = P(t) قد ر P(t) lim إذا كانت موجودة وفس ر معناها. يوم ي عطى بالعلقة t (.7) -0.7t ا ستعمل االآلة الح سبة ف س ل ي ف يس جنق س ف ة ث يفل قنا ف هيفت لا ي فت يف ق سلت ن ي سةم قل بم س ج زيم ي فت بهض ي جن جاةق ن ي سةم قل ق س ت ي ة قر فة ه ه جه يفا ل لة ة يفةهر ف جن, إ ف ن ي ة قر فة سغ ل يفة ث يفل قنا ة ن يف س ل ا ا يس جنق س ف هيفت إ ق ن ي سةم قل ق س ت فةةلا يفهيفت ج ق سقاه ا يفة س فةاه ت يفندق ت 1 الف سل يفندق قم ي يسةاقا

136 قد ر كل نهاية مما يأتي باستعمال التمثيل البياني ثم عز ز إجابتك عددي ا. إرشاد:" يمكنك استعمال اآللة البيانية للتمثيل البياني". )يف ثق ن,1( lim ( ) lim lim - Ç lim ) lim 5 ( - 10) ) 1 ) lim ( ) ) - ) lim [5 (co s - cos )[ ) 5 0 ) 8 lim ( + si ) ) 7 قد ر -إن أمكن- كل نهاية مما يأتي باستعمال التمثيل البياني: )جثقل ( lim 0 - lim lim lim lim ) 10 lim si ) 1 lim ) 1 lim ) 9 ) 11 ) 1 ) 1 lim ( 0 ÇÇ - - 7) ) 15 - ) 18 lim 0 lim f(), f() = - 5, < , 0 lim f(), f() = - +, < 0 0, 0 ) 17 ) 19 ) 0 استعمل التمثيل البياني لتقدير كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة: )ي ج ث ت -1( ) 5 دواء: تم توزيع لقاح للحد من عدوى مرض ما. وي بي ن التمثيل البياني أدناه عدد الحاالت المصابة بالمرض بعد w أسبوع من توزيع اللقاح. )جثقل 7( f (w) lim f(w) lim f(w) استعمل التمثيل البياني لتقدير )a w w 1 b( استعمل التمثيل البياني لتقدير f(w) lim إذا كانت موجودة w وفس ر النتيجة. ) برامج تلفزيونية: ي قد ر عدد مشاهدي أحد البرامج التلفزيونية اليومية بالدالة - 1 d f(d) = 1(1.501 ) حيث d رقم اليوم منذ أول يوم للبرنامج. )جثقل 7( a( م ث ل الدالة f(d) بياني ا باستعمال اآللة الحاسبة البيانية في الفترة. 0 d 0 b( ما عدد مشاهدي البرنامج في اليوم: الخامس العاشر العشرين الستين c( قد ر f(d) lim إذا كانت موجودة وفس ر النتيجة. d ) 7 كيمي ء: تتسر ب مادة سامة من أنبوب غاز تحت األرض كما في الشكل أدناه. ويعب ر عن المسافة األفقية باألمتار التي تقطعها المادة المتسر بة بالدالة 1 t d(t) = 000(0.7 ) t - 1, حيث t عدد السنوات منذ بدء التسر ب. )جثقل 7( w 8 g() f() m 100 m 980 m الدر س - 1 اه يفندق قم ب قن ق lim g() ) lim f() ) 1 - lim g() - ) lim f() ) قد ر -إن أمكن- كل نهاية مما يأتي باستعمال التمثيل البياني: 1. t م ث ل باستعمال اآللة البيانية الدالة بياني ا في الفترة 15 a( b( استعمل التمثيل البياني وخاصية تتبع المسار في الحاسبة البيانية إليجاد قيم d عندما = 5, 10, 15.t. lim d(t) استعمل التمثيل البياني لتقدير c( t d( هل من الممكن أن تصل المادة المتسر بة لمستشفى يقع على ب عد 7000 m من موقع التسريب تذك ر أن مجموع المتسلسلة الهندسية غير المنتهية هو. a r lim lim - 5 ( - ) + - lim - 1 lim lim cos 1 0 ) lim ) 8 lim 5 )ي ج ث ت ) ) 5 ) 7 ) 0 lim ( ) ) 9 - ) lim cos ) 1 ) lim si 0 )

137 للدالة الممث لة بياني ا أدناه قد ر كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة: lim 0 f() ) 8 - lim 0 f() ) 9 + lim 0 f() ) 0 lim f() ) 1 - lim f() ) + 1 lim f() ) حا سبة بيانية: حد د ما إذا كانت النهاية موجودة أو غير موجودة في كل مما يأتي. وإذا لم تكن موجودة فصف التمثيل البياني للدالة عند نقطة النهاية: lim ) 5 lim ) + 5 lim ) 7 lim cos π 0 ) ) 8 اكت شف الخط أ: قال علي: إن نهاية الدالة الممث لة بياني ا في الشكل أدناه عندما تقترب من - هي -. في حين قال محمد: إنها. هل أي منهما إجابته صحيحة بر ر إجابتك. f() م س ألة مفتوحة: أعط lim 0 مثاالا على f() بحيث تكون f() ) موجودة و (0)f غير معرفة ومثاالا على دالة أخرى g() بحيث lim غير موجودة. 0 تكون (0)g معرفة ولكن g(). f() = + 1 فقد ر كل من - 1, g() = ). lim وإذا كانت j() h(), كثيرتي حدود بحيث: 1 f(), lim g() j() lim a فماذا يمكنك القول عن h(a) = 0, j(a) 0 h() 50 تحد : إذا كان بر ر إجابتك. ) 51 تبرير: ح د د ما إذا كانت العبارة اآلتية صحيحة دائما ا أو صحيحة أحيانا ا أو غير صحيحة أبدا ا. بر ر إجابتك. إذا كان f(c) = L فإن. lim f() = L c ) 5 م س ألة مفتوحة: م ث ل بياني ا دالة تحقق كل مما يأتي: lim غير موجودة. f() و lim f() = -, f(0) =, f() = الف صل قاقتشالاو تاياهنلا ) 5 تحد : قد ر كل من النهايات اآلتية للدالة f إذا كانت موجودة: +, < -1-1, -1 0 f() =, 1 < -, > lim f() )c lim f() )b lim f() )a ) 5 اكتب: من خلل ما الحظته في حل التمارين اذكر طريقة لتقدير نهاية دالة متصلة. ) 55 أثبت صحة المتطابقة. )مهارة سابقة( 1 si θ ( si θ - cos θ cot θ ) = cos θ ) 5 حد د ما إذا كانت الدالة اآلتية متصلة عند قيم المعطاة. بر ر إجابتك باستعمال اختبار االتصال وإذا كانت الدالة غير متصلة فحد د نوع h() = عدم االتصال: ال نهائي قفزي قابل لإلزالة )مهارة سابقة( ) 57 أوجد متوسط م عد ل تغير - f() = ÇÇÇ في الفترة ]1,8]. )مهارة سابقة( أوجد قياس الزاوية θ بين المتجهين,u v في كل مما يأتي: )الدر س 1-5( u =, 9, -, v = -, 7, ) 58 m = i - 5j + k, = -7i + 8j + 9k ) 59 ) 0 باستعمال التمثيل البياني للدالة f() = أدناه lim )إن وجدت( 0 ما قيمة f() f() C 0 A D 1 B النهاية غير موجودة ) 1 إذا كانت 1 = g() وكانت العبارات: I للدالة نقطة عدم اتصال ال نهائي. II للدالة نقطة عدم اتصال قفزي. III للدالة نقطة عدم اتصال قابل لإلزالة. فأي مما يأتي يصف التمثيل البياني لمنحنى الدالة ( g( I A فقط II C فقط I, III B فقط I D و II فقط f() 1 1

138 النه ي ت جبري ح س ب Evaluatig Limits Algebraicall ار ست إ ا ت اه يفندق قم ب قن ق اها ق )يفهر س -1( يج ه ندق قم ا يل إث يم يف ه ا يفه يل يفن سل ت انه ج هاة يج ه ندق قم ا يل إث يم يف ه ا يفه يل يفن سل ت انه يف ق ندق ت = ( d( إذا أ عطيت اتساع البؤبؤ بالملمترات لعين حيوان بالعلقة حيث االستضاءة الساقطة على البؤبؤ مقيسة بوحدة اللوكس (lu) فإنه يمكنك استعمال النهاية عندما تقترب من 0 أو إليجاد اتساع البؤبؤ عندما تكون االستضاءة في حد ها األدنى أو األعلى. ح س ب النه ية عند نقطة: تعلمت في الدرس 1- تقدير النهايات بياني ا وباستعمال جداول قيم. وستكتشف في هذا الدرس طرائق جبرية لحساب النهايات. k f () = k c نه ي ت الدوال الث بتة التعبير اللفظي: ندق ت يفهيفت يفثقبةت انه يج ناات ا c يفا ت يفثقبةت ف هيفت الرموز: lim k = k c يفةم س يف لقيس نه ي ت الدوال direct substitutio يف س غت يف هاة idetermiate form نه ي ت الدالة المح يدة c f () = التعبير اللفظي: ندق ت يفهيفت يف ق هة انه يفناات ا c c الرموز: lim = c c c تظهر أهمية نهايات الدوال الثابتة والدالة المحايدة واضحة في خصائص النهايات. ن ج ج ا lim g (), lim f () يفندق ةقن إقنت ق c c ي ذي إقن k, c اها ن ا ا ن اها ي س ق ج جل لق ن إي جن يفخ سق س ي ت س ت lim c lim c lim c lim c [ f() + g()] = lim c [ f() - g()] = lim c lim c [ f() g()] = lim c f () + lim g() c خ سية المجمو : g() خ سية الفرق: f () - lim c [ k f()] = k lim c g() 0 lim f () c اها ز جا lim f() إقن > 0 ي ذي lim c c lim c ÇÇ f () = ÇÇÇÇ lim f () lim c g() = lim f() c lim g() c lim [ f ()] = c lim f () c ÇÇ f () = ÇÇÇ lim c خ سية ال سرب في ث ب : f () خ سية ال سرب: g() خ سية الق سمة: خ سية القوة: خ سية الجذر النوني: () f c f () لق ن ق ل ا اها ي إقن ي ذي Lim c Lim ÇÇ c ي ذي إقنت 0 f() اها ي ز ج ق لق ن f() ج ج اة خ س ئ س النه ي ت الدر س - سق يفندق قم جل ق 17

139 lim ( - + ) استعمل خصائص النهايات لحساب كل نهاية مما يأتي: ق س ةق يف م يفا ا = lim - lim lim ( - + ) )a + lim ق س = ( lim ) - lim + lim ةق يفا ة يف س لا قبت ندق ةق يفهيفت يفثقبةت يفهيفت يف ق هة = - + ب س = - 5 يعز ز التمثيل البياني للدالة + f () = - هذه النتيجة. تحق 1 ا ستعم ل خ س ئ س النه ي ت خ س ئ س النه ي ت لا سق س يفندق قم س ت لا قل إ ن يفندق قم جن جدت ي هة لا قل إ ندق انه يف ق ندق ت يس ات ج ا يفندق قم 5 f() = - + ( Lim ( - 5) 0 - ق س ت يفا س ت ) ق س ةق يف م يفا ا ق س ةق يفا ة يف س لا قبت ندق ةق يفهيفت يفثقبةت يفهيفت يف ق هة اة جن - ب س lim - lim lim ( + 1) - lim + 1 = - 5 ( - 5) - lim + lim = lim - lim ( lim - ) + lim 1 - = lim - lim = (- ) تحق كو ن جدوالا لقيم التي تقترب من - من الجهتين. اة جن f() )b من الواضح أنه كلما اقترب من العدد - فإن () f تقترب من العدد. lim ÇÇÇ 8 - )c ت يفا ا ق س lim (8 - ) = lim 8 - lim ندق ةدق يفهيفت يفثقبةت يفهيفت يف ق هة = 8 - ب س = 5 > 0 = ق س lim ÇÇÇ 8 - ت يفم ر يفن نا ÇÇÇÇÇ lim (8 - ) ق س ت يفا ا = ÇÇÇÇÇÇ lim 8 - lim ندق ةق يفهيفت يفثقبةت يفهيفت يف ق هة = ÇÇÇ 8 - ب س = Ç 5 lim ÇÇÇ + )1C lim تحق من فهم استعمل خصائص النهايات لحساب كل نهاية مما يأتي: )1B lim (- + ) )1A ق س ت يفم ر يفن نا يفز جا سةخه لا ي ذي إقن Lim c f ()>0 الحظ أن نهاية كل دالة في المثال أعله عندما تقترب من c تساوي قيمة (c). f ومع أن هذه الملحظة ليست صحيحة في جميع الدوال إال أنها صحيحة في دوال كثيرات الحدود والدوال النسبية التي مقاماتها ال تساوي صفرا ا عندما. = c كما هو موضح فيما يأتي: 18 الف سل يفندق قم ي يسةاقا

140 . lim c p(c) r() = r(c) = نه ي ت الدوال نه ي ت دوال كثيرات الحدود lim p() = p(c) لق ن ق c ي ذي إقنت p() ايفت إث ة ه ا إقن c اها ي ا ا نه ي ت الدوال الن سبية ي ذي إقنت p() r() = ايفت ن سل ت إقن c اها ي ا ا ق q(c) q(c) 0 لق ن q() وبشكل مختصر فإنه يمكن حساب نهايات دوال كثيرات الحدود والدوال النسبية من خلل التع ويض المباشر شريطة أال يساوي مقام الدالة النسبية صفرا ا عند النقطة التي ت حسب عندها النهاية. احسب كل نهاية مما يأتي باستعمال التعويض المباشر إذا كان ممكنا ا وإال فاذكر السبب: الدوال الجيدة ال سلوك جث يف ة س ت يفه يل مه ا يل إث يم يف ه ا ايفةا يفم ج يفة ق ا يل ج هة يف س ي ذ ن سق ندق ق دق جن يل يفةم س يف لقيس ن ي مقا ندق ت يفه يل جن يل يفةم س يف لقيس ة ي ن ف ن يفهيفت ج هة يف س ا جمقفدق بتس ا يجن ن جة س ت انه يفناات يفةا يفندق ت انه ق س ا ستعم ل التعوي س المب سر لح س ب النه ي ت lim ( ) )a -1 بما أن هذه نهاية دالة كثيرة حدود فيمكننا حسابها باستعمال التعويض المباشر. lim ( ) -1 = - (-1 ) + 5(-1 ) - (-1 ) + (-1) + = = - 7 يعز ز التمثيل البياني باآللة البيانية للدالة f () = هذه النتيجة. تحق [-, ] scl: 0. b [-8, 8] scl: 1 الدر س - سق يفندق قم جل ق 19 lim - )b - بما أن هذه نهاية دالة نسبية مقام ها ليس صفرا ا عندما = فيمكننا حسابها باستعمال التعويض المباشر. lim - - = ( ) - - () = 8 - = - 8 lim )c بما أن هذه نهاية دالة نسبية مقامها صفر عندما = 1 فل يمكننا حسابها باستعمال التعويض المباشر. lim فل يمكننا حساب +5 lim ÇÇ بالتعويض المباشر. - - lim - ÇÇÇ + 5 )d بما أن < 0-1 = = (+5) تحق من فهم احسب كل نهاية مما يأتي باستعمال التعويض المباشر إذا كان ممكنا ا وإال فاذكر السبب: + 1 lim -5 + )B lim ( ) )A lim ÇÇÇ + )D lim )C lim بشكل خاطي كما يلي: - 1 لنفترض أنك استعملت خاصية القسمة أو التعويض المباشر لحساب النهاية سق يف اق ندق ت جن ق س ف س ي lim lim ( - 1) - 1 = 1 lim ( - 1) = = 0 0 1

141 f() = ي سمى ناتج التعويض في النهايات على الصورة 0 الصيغة غير المحددة ألنه ال 0 يمكنك تحديد نهاية الدالة مع وجود صفر في المقام ومثل هذه النهايات قد تكون موجودة ولها قيمة حقيقية أو غير موجودة وي بي ن التمثيل البياني lim موجودة وتساوي. - 1 أن - 1 f () = للدالة 1 على الرغم من أن الصيغة غير المحددة تظهر من خلل تطبيق خاطي لخصائص النهايات إال أن الحصول على هذه الصيغة قد يرشدنا إلى الطريقة األنسب إليجاد النهاية. إذا قمت بحساب نهاية دالة نسبية ووصلت إلى الصيغة غير المحددة 0 فبس ط العبارة جبري ا من خلل تحليل كل من 0 البسط والمقام واختصار العوامل المشتركة. احسب كل نهاية مما يأتي : lim لذا فإن علينا تحليل المقدار جبري ا واختصار أي (-) - (-) - 0 ينتج عن التعويض المباشر 0 = 0 يفل س - + عوامل مشتركة بين البسط والمقام. ي ة س يفمقج يف تسة ب س ا س س ب ا ستعم ل التحليل لح س ب النه ي ت ( - 5)( + ) lim = lim ( - 5)( + ) = lim - + = lim ( - 5) - = (-) - 5 = -9 )a تحق يعز ز التمثيل البياني للدالة = f() هذه النتيجة f() = lim )b -. ي نتج عن التعويض المباشر 0 = 1 + 7() - ) ( lim - = lim ( - )+(-7+1) 10 الف سل يفندق قم ي يسةاقا يجاه م ا يف اق يج يفمقج يف تسة جن يف ه ا يف م مت لا يف اق يج يفمقج يف تسة لا يف اق ي ة س ب س ا س س ب = lim - (-)-7(-) = lim - ( -7)(-) = lim - ( - 7)( - ) = lim 1-7 = 1 () - 7 = 1 تحق من فهم احسب كل نهاية مما يأتي: lim )B lim )A التحليل انه ي ة سقر يفل س بقجإ لق ن سل ف 1 س 0

142 ينتج عن اختصار العامل المشترك بين بسط ومقام الدالة النسبية دالة جديدة ففي المثال a ينتج عن االختصار بين بسط ومقام الدالة f دالة جديدة g حيث: f () = - - 0, g() = إن قيم هاتين الدالتين متساوية لجميع قيم إال عندما - = فإذا تساوت قيم دالتين إال عند قيمة وحيدة c فإن نهايتيهما عندما تقترب من c متساويتان ألن قيمة النهاية ال تعتمد على قيمة الدالة عند النقطة التي ت حسب النهاية. lim عندها لذا فإن 5) - ( = lim - والطريقة األخرى إليجاد نهايات ناتج التعويض فيها صيغة غير محددة هي إنطاق البسط أو المقام أوالا ثم اختصار العوامل المشتركة. ا ستعم ل اإنط ق الب سط اأو المق م لح س ب النه ي ت Ç -. lim احسب Ç 9 لذا أنطق البسط ومن ثم اختصر العوامل المشتركة. ي نتج عن التعويض المباشر 0 = = lim Ç Ç + lim Ç - ي س إي جن يفل س يف اق لا + يف Ç ث ج يل Ç Ç ب س = lim 9 ( - 9)( Ç + ) ي ة س يفمقج يف تسة ب س ا س ب س = lim ( - 9)( Ç + ) = lim 9 1 Ç + = 1 Ç 9 + = 1 [-0.1, 0] scl: 1 b [-0.05, 0.] scl: ÇÇÇ + lim 0 تحق f () = Ç - يعز ز التمثيل البياني باآللة البيانية للدالة - 9 في الشكل المجاور هذه النتيجة. تحق من فهم احسب كل نهاية مما يأتي: - 5 )B lim 5 Ç - 5 )A ح س ب النه ي ت عند الم النه ية: درست سابقا ا أن لجميع الدوال الزوجية سلوك طرفي التمثيل البياني نفسه وكذلك الدوال الفردية لها جميعا ا سلوك طرفي التمثيل البياني نفسه. نه ي ت دوال القوى عند الم النه ية نمو f() = f() = ج ج س اها ج lim = ق ز ج اها ي إقن ي ذي lim = - ل ا ق اها ي إقن ي ذي lim = - - إن سلوك طرفي التمثيل البياني لدالة كثيرة الحدود هو ذاته سلوك طرفي التمثيل البياني لدالة القوة الناتجة عن الحد الرئيس في كثيرة الحدود وهو الحد ذو القوة الكبرى ويمكننا وصف ذلك أيضا ا باستعمال النهايات. الدر س - سق يفندق قم جل ق 11

143 ي ذي إقنت 0 p() = a + + a 1 + a ايفت إث ة ه ا لق ن lim p() = lim a, lim - p() = lim a - يمكنك استعمال هاتين الخاصيتين لحساب نهايات دوال كثيرات حدود عند الماالنهاية. تذك ر أن كون نهاية الدالة أو - ال يعني أنها موجودة ولكنه وصف لسلوك منحناها فإما أن يكون متزايدا ا بلحدود أو متناقصا ا بل حدود. lim ( ) - احسب كل نهاية مما يأتي: ندق ت ايفت إث ة يف ه ا انه يف ق ندق ت ندق ت ايفت يفا ة انه يف ق ندق ت ندق ت ايفت إث ة يف ه ا انه يف ق ندق ت ق س ت يف س لا قبت ندق ت ايفت يفا ة انه يف ق ندق ت ندق ت ايفت إث ة يف ه ا انه يف ق ندق ت ق س ت يف س لا قبت ندق ت ايفت يفا ة انه يف ق ندق ت lim ( ) )a - lim ( + - ) lim (5 - ) - = lim - = - lim ( + - ) )b = lim - = - lim = - lim (5 - ) )c - = lim 5 - = 5 lim - = 5 = تحق من فهم احسب كل نهاية مما يأتي: نه ي ت دوال كثيرات الحدود عند الم النه ية ال سرب في الم النه ية lim c f() = منا يجن يفهيفت قج ق ج جلت جةزي هة بتس ج ه ا إ ق ي ة بت جن يفمها c ف ي لق ن س لا اها ج ج يفا غ ي يف س يج ق س بدق لا اها سقف لق ن م س ي يسقري دق ف ب اة يفندق ت جن - يج يجن ي ذي إقن > 0 a لق ن a ( )=, -a ( )= - 5 نه ي ت دوال كثيرات الحدود عند الم النه ية lim ( ) )5C lim ( ) )5B lim ( ) )5A - - ولحساب نهاية دالة نسبية عند الماالنهاية نحتاج إلى خصائص أخرى للنهايات. نه ي ت دالة المقلوب عند الم النه ية ي ن ندق ت ايفت يف ا انه ج ج يج سقف جق ندق ت ا سا lim 1 = lim 1 مث ل: = 0 - دالة المقلوب إ يجن ايفت يف ا ا 1 = () a() f ايفت a().a() 0 ت ا f() = 1 f() = 1 lim 1 ± نتيجة: ج اها س ج ج لق ن = 0 ويمكننا استعمال هذه الخاصية لحساب نهايات الدوال النسبية عند الماالنهاية وذلك بقسمة كل حد في بسط ومقام الدالة النسبية على أعلى قوة لمتغير الدالة. 1 الف سل يفندق قم ي يسةاقا

144 احسب كل نهاية مما يأتي إن أمكن: نه ي ت الدوال الن سبية عند الم النه ية ي س إ ه ا يجا ة ا ب س سق س يفا س ت يف م يفا ا يف س لا قبت ندق ةق يفهيفت يفثقبةت ايفت يف ا انه يف ق ندق ت lim )a = lim + 5 lim = lim = lim + 5 lim 1 lim 8 - lim 1 = = 1 ي س إ ه ا يجا ة ا ب س سق س يفا س ت يف م يفا ا يف س لا قبت ندق ةق يفهيفت يفثقبةت ايفت يف ا انه يف ق ندق ت ي س إ ه ا يجا ة ا سق س يفا س ت يف م يف س لا قبت ندق ةق يفهيفت يفثقبةت ايفت يف ا انه يف ق ندق ت lim - lim lim )b - - = lim = lim lim lim 1 - = lim + lim = 0-0 = = lim lim )c lim = 5 9 lim 1 + lim 1 = = 5 0 وحيث إن نهاية المقام صفر فإننا نكون قد طبقنا خطأا خاصية القسمة إال أننا نعلم أنه عند قسمة العدد 5 على قيم صغيرة موجبة تقترب من الصفر فإن الناتج سيكون كبيرا ا بشكل غير محدود أي أن النهاية هي. lim )C lim تحق من فهم احسب كل نهاية مما يأتي: )B lim )A نه ية الدوال الن سبية جه ي ق م انه سق ندق قم يفه يل يفن سل ت انهجق اة جن يف ق ندق ت 1) ي ذي إقنت ارجت يفل س يجإل جن ارجت يف اق لق ن يفندق ت ي جق يج - ب س ي يسقرة يف ه يف س لا إ جن يفل س يف اق ( ي ذي إقنت ارجت يفل س ج سق ت فهرجت يف اق لق ن يفندق ت ج سق ت فنق س ت جمقج ا يف ه ن يف س ن لا يفل س يف اق ( ي ذي إقنت ارجت يفل س يج جن ارجت يف اق لق ن يفندق ت سا الدر س - سق يفندق قم جل ق 1

145 درست سابقا ا أن المتتابعة هي دالة مجالها مجموعة من األعداد الطبيعية ومداها مجموعة من األعداد الحقيقية لذا فإن نهاية المتتابعة غير المنتهية هي نهاية دالة عندما. إذا كانت النهاية موجودة فإن قيمة هذه النهاية هي العدد 1 = () f حيث عدد ب a = 1, 1, 1, 1 الذي تقترب منه المتتابعة. فمثلا يمكن وصف المتتابعة, 1 صحيح موجب. وبما أن = 0 احسب نهاية كل متتابعة مما يأتي إن وجدت: lim فإن المتتابعة تقترب من الصفر. ي س إ ه ا يجا ة ا a = + 1 )a + 5 lim + 1 لحساب نهاية المتتابعة أوجد lim + 1 = lim lim = + lim 1 سق س يفا س ت يف م يف س لا قبت lim lim ندق ةق يفهيفت يفثقبةت ايفت يف ا انه يف ق ندق ت = = أي أن نهاية المتتابعة هي بمعنى أن حدود المتتابعة تقترب من. تحق كو ن جدوالا واختر قيما ا متعددة ل a نلحظ أن حدود المتتابعة تقترب من العدد كلما كبرت. رب ا نق ت يف ه ي س ي س إ ه ا يجا ة ا ي سةم سق س يفا س ت يف م يف س لا قبت ندق ةق يفهيفت يفثقبةت ايفت يف ا انه يف ق ندق ت lim 5 ( + 1 ) )b لحساب نهاية المتتابعة أوجد: b = 5 = lim 5 ( + + 1) ( + 1 ) = lim lim lim lim 1 = lim = 5 = 1.5 أي أن نهاية المتتابعة هي 1.5 بمعنى أن حدود المتتابعة تقترب من 1.5. تحق نه ي ت المتت بع ت كو ن جدول قيم واختر قيما ا كبيرة ل. قيم ( b في الجدول أدناه مقربة إلى أقرب جزء من مئة( اة جن b الف سل يفندق قم ي يسةاقا تحق من فهم احسب نهاية كل متتابعة مما يأتي إن وجدت: c = 9 ( + 1)( + 1) )7C b = + 8 )7B a = + 1 )7A

146 استعمل خصائص النهايات لحساب كل نهاية مما يأتي: )جثقل ) 1 lim ) lim (5-10) ) 1 - lim [ ( + 1) + [ ) lim ( Ç ) ) lim - - ) lim ÇÇÇ + احسب كل نهاية مما يأتي باستعمال التعويض المباشر إذا كان ممكنا ا وإال فاذكر السبب: )جثقل ) lim Ç - ) 5 ) 7 lim ( ) ) 8 lim ) 9 lim ÇÇÇ - ) 10 lim ( ) ) 11 9 lim (- + + Ç ) ) 1 10 ) 1 فيزي ء: بحسب نظرية آينشتاين النسبية فإن كتلة جسم يتحرك بسرعة v ت عطى بالعلقة = m حيث c سرعة الضوء m 0 ÇÇÇ 1 - v m 0 كتلة الجسم االبتدائية أو كتلته عند السكون. lim ووض ح العلقة بين هذه النهاية و. m 0 )جثقل ) أوجد v 0 m c احسب كل نهاية مما يأتي: )يف ثق ن ), ) اإ سفنج: تحتوي مادة هلمية على حيوان اإلسفنج وعند وضع المادة الهلمية في الماء فإن حيوان اإلسفنج يبدأ بامتصاص الماء l(t) = 105 t والتضخم. ويمكن تمثيل ذلك بالدالة t حيث l طول حيوان اإلسفنج بالملمترات بعد t ثانية من وضعه في الماء. )جثقل ) l l l t = 0 t = t 1 t = t a( ما طول حيوان اإلسفنج قبل وضعه في الماء b( ما نهاية الدالة عندما t c( وض ح العلقة بين نهاية الدالة l وطول حيوان اإلسفنج. احسب نهاية كل متتابعة مما يأتي إذا كانت موجودة: )جثقل ) 7 a = a = a = a = ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 a = 1 ( + 1 ) ) 1 lim 0 ÇÇÇ ) 15 lim ) 1 a = 1 ( + 1)( + 1) ) lim 0 - ÇÇÇ + 9 ÇÇÇ + - lim - lim lim lim ) 17 lim ) 19 lim ) 1 ) 18 احسب كل نهاية مما يأتي: )يف ثق ن ) 5, احسب كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة مستخدما ا التعويض المباشر لحساب النهايتين من اليمين واليسار: lim lim , -, > - ), 0, > 0 ) ( - ) +1, lim -, > ) 5 ) 1 lim ( ) ) 0 ) lim ( ) ) ) 5 lim ) الدر س - سق يفندق قم جل ق 15

147 f() احسب كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة: lim ( cos ) ) 7 lim 0 π 1 - lim Ç ) 9 lim lim لكل دالة مما يأتي: استعمل التمثيل البياني للدالة () f أدناه إليجاد كل مما يأتي: f (-) lim - f (0) lim 0 f () lim )يفهر س -1 ) f () ) 5 f () ) 5 f () ) 5 h 0 π si ) ta f ( + h) - f () h ) 8 أوجد f() = 7-9 ) 1 f () = - 1 ) 0 ) لكل زوج من f g أوجد g)() )() (f.g)() (f - g)() (f + الدوال اآلتية ثم حد د مجال الدالة الناتجة: )جدقرة سقبات ) f() = ÇÇÇ + 1 ) f() = Ç ) f() = ) 5 f () = ) f() = + 1 ) 5 f() = - ) 55 g() = - 1 g() = + 9 h lim - h + 5h ) 57 ما قيمة h h 0 5 C A D B غيرموجودة + π = g() عندما cos ( + π) ) فيزي ء: يمتلك الجسم المتحرك طاقةا ت سمى الطاقة الحركية ألن بإمكانه بذل شغل عند تأثيره على جسم آخر. وت عطى الطاقة الحركية 1 = k(t) حيث v(t) سرعة لجسم متحرك بالعلقة (v(t)) m الجسم عند الزمن t و m كتلته بالكيلوجرام. إذا كانت سرعة جسم = v(t) لكل 0 t وكتلته 1 kg فما الطاقة الحركية التي t يمتلكها عندما يقترب الزمن من 100 s ) 7 بره ن: استعمل خصائص النهايات إلثبات أنه ألي كثيرة حدود p() = a + a a + a 1 + a 0 وألي عدد حقيقي c فإن p(c) lim p() = c ) 8 بره ن: استعمل االستقراء الرياضي إلثبات أنه إذا كان فإنه ألي عدد صحيح lim f () = L c. lim c [ f() [ = [ lim c f () [ = L ) 9 تحد : احسب النهاية اآلتية إذا كانت 0 m : a 0, b lim a + a a + a 1 + a 0 b m m + b m - 1 m b + b 1 + b 0 ( إرشاد: افترض كل من الحاالت (m <, m =, m > 50 تبرير: إذا كانت r() دالة نسبية فهل العلقة (c) lim r() = r c ) صحيحة أحيانا ا أو صحيحة دائما ا أو غير صحيحة أبدا ا بر ر إجابتك. ) 58 ما القيمة التي تقترب منها تقترب من 0-1 π C -π A 0 D - B ) 59 باستعمال التمثيل البياني للدالة f أدناه ما قيمة () lim f + 1 f() 1 1 B 0 A D 5 C غير موجودة ) 51 اكتب: استعمل جدوالا لتنظيم خصائص النهايات وضم نه مثاالا على كل خاصية. 1 الف سل يفندق قم ي يسةاقا

148 معمل الح سبة البي نية: ميل المنحنى The Slope of a Curve يعتبر ميل المستقيم بوصفه معدالا ثابتا ا للتغير مفهوما ا واضحا ا إال أن الميل ليس واضحا ا بالنسبة للمنحنيات بصورة عامة إذ يتغير ميل المنحنى عند كل نقطة عليه. وبشكل عام فإن التمثيلت البيانية لمعظم الدوال تبدو خطيةا عند تفح صها على فترة قصيرة جد ا. اله دف ي سةم قل يف ق سلت يفل قن ت ج فةاه TI - spire جن ن وبالنظر إلى القواطع المتتالية يكون من الممكن تطبيق فكرة الميل على المنحنيات. 1 خطو الق طع قد ر ميل منحنى الدالة + 1 ) - ( = عند النقطة ).(, خطوة 1 أدخل + 1 ) - ( = في f1 ثم احسب ميل القاطع المار بمنحنى: 1 + ) - ( = عندما =. =, كما يلي: مث ل الدالة بالضغط على ثم اكتب الدالة واضغط. حد د نقطتين على منحنى الدالة بالضغط على مفتاح واختيار ثم ثم الضغط على المنحنى مرتين واختيار وستظهر نقطتان. ظل ل إحداثي ي لكل النقطتين واستبدلها باإلحداثيين =. =, واختيار ارسم القاطع المار بالنقطتين بالضغط على ثم اختيار ثم. واضغط على النقطتين ثم اضغط أوجد ميل القاطع بالضغط على واختيار [-1, 5] scl: 0. b [-10, 10] scl: 1 ثم ثم اضغط على القاطع وسيظهر أن ميله يساوي. ا ستك س ف - جم يف ق سلت يفل قن ت ج يف الدر س - ن ن 17

149 خطوة احسب ميل القاطع المار بمنحنى: 1 + ) - ( = عندما =.5. =.5, ظل ل إحداثي ي لكل النقطتين واستبدلهما باإلحداثيين =.5 =.5, فيكون ميل القاطع يساوي.5 [-1, 5] scl: 0. b [-10, 10] scl: 1 خطوة احسب ميل القاطع المار بمنحنى: 1 + ) - ( = عندما =.. =.8, ظل ل إحداثي ي لكل النقطتين واستبدلهما باإلحداثيين =.8 =.8, فيكون ميل القاطع يساوي.0 [-1, 5] scl: 0. b [-10, 10] scl: 1 خطوة أوجد ميل قواطع أخرى في فترات متناقصة حول النقطة (,). كل ما نقص طول الفترة حول النقطة (,) فإن ميل القاطع يقترب أكثر من العدد لذا فإن ميل منحنى ) ( = عند النقطة ) (, هو تقريبا ا. تم رين : قد ر ميل منحنى كل دالة مما يأتي عند النقطة المعطاة: = ( + 1 ), (-, 9) )1 = - 5, (, ) ) = -, (0.5, 0) ) = Ç, (1, 1) ) حل ل النت ئج 5( حل ل: صف ما يحدث لقاطع منحنى دالة عندما تقترب نقاط التقاطع من نقطة معطاة (b,a) على المنحنى. ( خم ن: ص ف كيف يمكنك إيجاد القيمة الفعلية لميل منحنى عند نقطة معطاة عليه. 18 الف سل يفندق قم ي يسةاقا

150 Taget Lie ad Velocit عندما يقفز المظلي من ارتفاع ft فا ن سرعته في اتجاه الا رض تزداد مع مرور الزمن بسبب تسارع الجاذبية الا رضية وتستمر سرعته في الازدياد حتى يفتح مظلته عند ارتفاع 500 ft ا و عندما يصل ا لى السرعة المتجهة الحدية وهي السرعة المتجهة التي ينعدم عندها تسارع المظلي ويحدث هذا عندما تصبح محصلة القو عليه صف را. تعلمت ساب قا ا ن مع دل تغ ير منحنى دالة غير خطية يتغير من نقطة ا لى ا خر عليه ويمكن حساب متوسط مع دل تغ ير الدالة غير الخطية على فترة باستعمال ميل القاطع. ففي التمثيلات البيانية ا دناه للدالة = والقاطع الذي يقطعه ما را بالنقطة 1) (1, وبنقطة ا خر مثل 9) (, ا و (,) ا و (1.1,1.1) تجد ا ن القاطع يتخذ ا وضا عا مختلفة يتغير خلالها ميله. m =.1 (1.1, 1.1) (1, 1) (, ) (1, 1) m = (1, 1) (, 9) m = 1 لاحظ ا نه كلما ق صر طو ل الفترة بين نقطتي التقاطع زادت د ق ة تقريب ميل القاطع لميل المنحنى في هذه الفترة. ا ذا واصلنا تقصير الفترة ا لى درجة تكون فيها نقطة التقاطع الا خر قريبة ج دا من النقطة (1,1) كما في الشكل () ا علاه وتستمر حتى ح د الانطابق فا ننا نحصل على مم اس للمنحنى وهو مستقيم يتقاطع مع المنحنى ولكنه لا يعبره عند نقطة التماس. ويم ثل ميل هذا المستقيم ميل المنحنى عند نقطة التماس. ولتعريف ميل المماس لمنحنى عند النقطة f()),) فا نه يمكننا الرجوع ا لى صيغة ميل القاطع المار بالنقطتين ()) (, f و h)) ( + h, f ( + كما في الشكل المجاور ومنه يمكن كتابة ميل القاطع بالصيغة: f ( + h) - f () m = = f ( + h) - f () ( + h) - h و ت س مى هذه الصيغة قسمة الفرق. فكلما اقتربت النقطة (+h)) (+h, f من النقطة f()),) ا ي كلما اقتربت قيمة h من الصفر فا ن القاطع يقترب من مماس المنحنى عند النقطة ((),) f لذا يمكننا حساب ميل المماس وهو معدل الت غ ير اللحظي للدالة عند تلك النقطة على ا نه نهاية ميل القاطع عندما 0 h. = f() ( + h, f( + h)) (, f()) + h (, f ()) m (, f()) f f ( + h) - f () m = lim h 0 h taget lie istataeous rate of chage differece quotiet istataeous velocit

151 (1, 1) يمكنك استعمال صيغة معدل التغي ر اللحظي إليجاد ميل مماس منحنى عند نقطة عليه. أوجد ميل مماس منحنى الدالة = الممث لة بالشكل أدناه عند النقطة( 1,1). س غت ج مه ل يفةغ يف ا = 1 f(1 + h) = (1 + h ), f(1) = 1 ل يف اهير (h+1) ب س f( + h) - f() m = lim h 0 h f(1 + h) - f(1) = lim h h 0 = lim (1 + h ) - 1 h 0 h = lim 1 + h + h - 1 h 0 h h( + h) = lim h h 0 h ا ي س = lim ( + h) h 0 = =+0 ا س س ب أي أن ميل منحنى = عند النقطة (1,1) هو. تحق : من خلل التمثيل البياني للمنحنى ومماسه عند النقطة (1,1) نلحظ أن ميل المستقيم الذي يمث ل المماس يساوي. تحق من فهم أوجد ميل مماس كل منحنى مما يأتي عند النقطة المعطاة: م ع دل التغي ر اللحظي انه سق ندق ت ج يف سةا يفاق ا انهجق 0 h لق ن يف ه ا يفلق ت بمه ي ج يض ي ة سقريم يفةا ة يف ةغ سة سل h يج ساقر ي عند نقطة علي ل لمنحنى ميل المم س 1 = +, (-, 8) )1B =, (, 9) )1A m = كما يمكنك استعمال صيغة م عدل التغي ر اللحظي إليجاد معادلة ميل المنحنى عند أي نقطة f()) ), عليه. m = - 8 (-, -1) 8 (1, ) (8, 0.5) 8 = عند أي نقطة عليه. أوجد معادلة ميل منحنى f( + h) - f() lim س m = غت ج مهل يفةغ يف ا h 0 h + h - f( + h) =, f() = m = lim + h h 0 h - h ( + h) ب س لا يفل س يف س ن ي m = lim h 0 h -h ب س m = lim h 0 h( + h) - ي س h ا ي س m = lim h 0 + h - = m ا س + (0) ب س m = - أي أن ميل المماس للمنحنى عند أي نقطة f()),) عليه هو - = m والشكل المجاور يبين ميل المنحنى عند ثلث نقط مختلفة. تحق من فهم ميل المنحنى عند اأي نقطة علي أوجد معادلة ميل منحنى كل دالة مما يأتي عند أي نقطة عليه: m = - 1 = )B = - + )A 150 الف سل يفندق قم ي يسةاقا

152 ال سرعة المتجهة اللحظية: تعلمت في الدرس - 1 طريقة حساب السرعة المتوسطة لجسم يقطع مسافة f(t) في زمن مقداره t من خلل قسمة المسافة المقطوعة على الزمن الذي استغرفه الجسم لقطع تلك المسافة. والسرعة المتجهة هي سرعة لها اتجاه. ويمكنك إيجاد السرعة المتوسطة المتجهة بالطريقة نفسها التي أوجدت بها السرعة المتوسطة مع توضيح اتجاهها باستعمال اإلشارة في الناتج فاإلشارة الموجبة للناتج تعني اتجاه األمام أو األعلى أما اإلشارة السالبة فتعني اتجاه الخلف أو األسفل. v avg ي ذي يج ااا ج ا ج س جة ب سا ايفت لا يفزجن f(t) لق ن يف س ات يف ة سات يف ةمدت ف م س لا يفاة ة يفزجن ت جن a ي ف ما b بقف س غت = f(b) - f(a) يفةغ لا يف سقلت v avg = لا يفزجن يفةغ b - a ال سرعة المتو سطة المتجهة ال سرعة المتو سطة المتجهة جري: تمث ل المعادلة f(t) 1.- = t + 1t المسافة باألميال والتي قطعها عد اء بعد t ساعة باتجاه خط النهاية. ما سرعته المتوسطة المتجهة بين الساعتين الثانية والثالثة من زمن السباق أوجد أوالا المسافة الكلية التي قطعها العد اء عند الزمن = b. a =, موقع الج سم ج ا يفم س اقاة ما بقفمي ت f() ذف = فة ه ه يف ا لا يف سة به فت ي هي ن, يج ق ي ذي يج ااا ب سا ايفت لا يفزجن t لد ي منا ي زي ت )ج س ت يف إلت يفم س ف ا ( إلت يف انه يف ت ي ذي t إقنت يف إت ا ج سةا لق ن ايفت يف ا ن نا سدق ايفت يف سقلت جا يج ي مق بم ن ي اةلقر f(t) =-1. t + 1t ت يف مقافت ي ج س f(t) = -1. t + 1t f() = -1.( ) + 1() a =, b = f() = -1.( ) + 1() f()= 18.8 ب س f()=. استعمل اآلن صيغة السرعة المتوسطة المتجهة. f(b) - f(a) = avg س v غت يف س ات يف ة سات يف ةمدت f(b) =., f(a) = 18.8, b =, a = ب س b - a = - = 5.5 أي أن السرعة المتوسطة المتجهة للعد اء بين الساعتين الثانية والثالثة هي 5.5 mi/h إلى األمام. تحق من فهم ( ب لون: تمث ل h(t) = 5 + 5t - 1 t االرتفاع باألقدام بعد t ثانية لبالون يصعد رأسي ا ما السرعة المتوسطة المتجهة للبالون بين t = s t = 1 s إذا أمعن ا النظر في إجابة المثال نجد أنهتم حساب السرعة المتوسطة المتجهة من خلل إيجاد ميل القاطع الذي يمر بالنقطتين (18.8,) (.,) كما في الشكل المجاور. والسرعة المتجهة التيتمحسابهاهي السرعة المتوسطة المتجهةخللفترة زمنية وليست السرعةالمتجهةاللحظية والتيتساويسرعةالجسمالمتجهةعندلحظة زمنيةمحددة. وإليجاد سرعة العد اء المتجهة عند لحظة زمنية محددة t فإننا نجد م عد ل التغي ر اللحظي لمنحنى (t) f عند تلك اللحظة. ي ذي يج ااا ج ا ج س جة ب سا ايفت لا يفزجن (t) f لق ن يف س ات يف ةمدت يف ت v(t) ف ف يفم س انه يفزجن ما t بقف س غت بتس ا يجن ن يفندق ت ج ج اة f(t) (,.) 1 (, 18.8) t f(t + h) - f(t) v (t) = lim h h 0 يج ز يفمه يض يف سم ا ج ه يسق ن ذ ل ت سلقا 1500 m لا ا رة يجفمق ي س ق يف اقجت لا يف س ن اق 010 لا يف ة س لاه اا ج سقلت إ جة يل :: ا ات ق ل ا ال سرعة المتجهة اللحظية سل يجن ا لت انه اري ست ي هي قم يفاال ت يجن ي مق ف ا فت ق ست لا يف سقلت يف ةمدت يفزي ت يف ةمدت إ ف لق ن ي مق لا يف س ات يف ةمدت ف ا فت ق ست الدر س - يف ق س يف س ات يف ةمدت 151

153 ال سرعة المتجهة اللحظية عند لحظة زمنية معينة سقطت كرة من قمة بناية ارتفاعها 000 ft وتمث ل الدالة f(t) = t ارتفاع الكرة عن سطح األرض باألقدام بعد t ثانية من سقوطها. أوجد السرعة المتجهة اللحظية v(t) للكرة بعد 5. s إليجاد السرعة المتجهة اللحظية افترض أن = 5 t وطبق صيغة السرعة المتجهة اللحظية. س غت يف س ات يف ةمدت يف ت f(5 + h) = 000-1(5 + h ), f(5) = 000-1(5 ) ل يف اهير (5 h) س ي س ب f(t + h) - f(t) v (t) = lim h h (5 + h ) = lim - [000-1(5 ) ] v (5) h h 0 = lim -10h - 1 h h 0 h h(-10-1h) = lim h h 0 h ا ي س = lim (-10-1h) h 0-10 = 1(0) =-10 - ا س س ب التعوي س إ يجن ز ي يسقرة يف سقفلت ي ف سقر f(t) ا إ ه ل دق أي أن سرعة الكرة بعد 5 s هي 10 ft/s أما اإلشارة السالبة فتعني أن الكرة تهبط ألسفل. تحق من فهم ( سقطت علبة مادة التنظيف من يد عامل في أثناء قيامه بتنظيف نافذة بناية على ارتفاع 100 ft عن سطح األرض وتمثل الدالة f(t) = t ارتفاع العلبة باألقدام بعد t ثانية من سقوطها. أوجد السرعة المتجهة اللحظية للعلبة v(t) بعد. 7 s يمكن إيجاد معادلة للسرعة المتجهة الل حظية عند أي زمن. ت عطى المسافة التي يقطعها جسم بالسنتمترات بعد t ثانية بالدالة - 1. s(t) = 18t - t أوجد معادلة السرعة المتجهة اللحظية v(t) للجسم عند أي زمن. v (t) s(t + h) - s(t) = lim h h 0 طب ق صيغة السرعة المتجهة اللحظية. س غت يف س ات يف ةمدت يف ت s(t + h) = 18(t + h) - (t + h ) - 1 s(t) = 18t - t - 1 ل يف اهير (t+h) س ي س ب ال سرعة المتجهة اللحظية عند اأي لحظة زمنية ي س ا h ا س ب س 18(t + h) - (t + h ) = lim [18t - t - 1] h h 0 18h - 9 t = lim h - 9t h - h h h 0 = lim h(18-9 t - 9th - h ) h 0 h = lim h 0 (18-9 t - 9th - h ) = 18-9 t - 9t(0) - (0 ) = 18-9 t 5 أي أن معادلة سرعة الجسم المتجهة اللحظية عند أي زمن هي v. (t) = 18-9 t تحق من فهم 5( تمث ل الدالة s(t) = 90t - 1 t ارتفاع صاروخ بعد t ثانية من إطلقه رأسي ا من مستوى سطح البحر حيث االرتفاع باألقدام. أوجد معادلة السرعة المتجهة اللحظية (t) v للصاروخ عند أي زمن. 15 الف سل يفندق قم ي يسةاقا

154 أوجد ميل مماس منحنى كل دالة مما يأتي عند النقاط المعطاة: )جثقل 1( = - 5, (1, -), (5, 0) ) 1 = -, (-, 1), (, -1) ) =, (1, ), (, 1) ) = + 8, (-, 0), (1, 9) ) أوجد معادلة ميل منحنى كل دالة مما يأتي عند أي نقطة عليه: )جثقل ( تمث ل( t ) f في كل مما يأتي ب عد جسم متحرك عن نقطة ثابتة باألقدام بعد t ثانية. أوجد السرعة المتجهة الل حظية لهذا الجسم عند الزمن الم عطى: )جثقل ( f (t) = t, t = ) 17 f (t) = 8t - 1 t, t = 0.8 ) 18 f (t) = -1 t - 00t , t =.5 ) 19 f (t) = t, t =.8 ) 0 f (t) = 7t - 1 t, t =.1 ) 1 f (t) = -1 t , t = 1.8 ) تمث ل s(t) في كل مما يأتي المسافة التي يقطعها جسم متحرك. أوجد معادلة السرعة المتجهة اللحظية v(t) للجسم عند أي زمن : )جثقل 5( s(t) = t - t ) s(t) = 1 t - 7 ) s(t) = 18 - t + t ) s(t) = 5t + 8 ) 5 s(t) = t t ) 8 s(t) = 1 t - t ) 7 = - + ) = - ) 5 = 1 ) 8 = 8 - ) 7 = - ) 10 = 1 Ç ) 11 تزلج: تمث ل الدالة p(t) = 0.0 t t موقع متزلج على سفح جليدي بعد t ثانية من انطلقه. )جثقل ( p(t) ) 9 h ) 9 قفز مظلي: يمكن وصف ارتفاع مظلي باألقدام عن سطح األرض بعد t ثانية من قفزه بالدالة. f(t) = t )ي ج ث ت ),, 5 t a( أوجد معادلة ميل السفح الجليدي عند أي زمن..t = s, 5 s, 7 s أوجد الميل عندما )b تمث ل s(t) في كل مما يأتي ب عد جسم متحرك عن نقطة ثابتة باألميال بعد t دقيقة. أوجد السرعة المتوسطة المتجهة للجسم بالميل لكل ساعة في الفترة الزمنية المعطاة. (تذكر بأن تحو ل الدقائق إلى ساعات) :)جثقل ( a( أوجد السرعة المتوسطة المتجهة للمظلي بين الثانيتين الثانية والخامسة من القفز. b( كم بلغت السرعة المتجهة اللحظية للمظ ل ي عند الثانية الثانية وعند الثانية الخامسة c( أوجد معادلة سرعة المظلي المتجهة اللحظية عند أي زمن. ) 0 غو س: ي بي ن الجدول أدناه ارتفاع غواص d مقربا ا ألقرب جزء من عشرة باألمتار عن سطح الماء بعد t ثانية من قفزه من مكان مرتفع نحو الماء. t d a( احسب السرعة المتوسطة المتجهة للغواص في الفترة الزمنية.0.5 t 1.0 b( إذا كانت معادلة المنحنى لنقاط الجدول هي -0.0t+5.0 d(t) = -.91 t فأوجد معادلة سرعة الغواص المتجهة اللحظية v(t) بعد t ثانية ثم استعمل v(t) لحساب سرعته بعد. s s(t) = 0. t t, t 5 ) 1 s(t) = 1.08t - 0, t 8 ) 1 s(t) = 0.01 t t, t 7 ) 1 s(t) = -0.5(t - 5 ) +, t.5 ) 15 ) 1 تمث ل المعادلة + 1 t f (t) = -1 t + 5 االرتفاع باألقدام بعد t ثانية لكرة قذفت إلى أعلى ما السرعة المتوسطة المتجهة للكرة بين. t = 15, t )جثقل ) الدر س - يف ق س يف س ات يف ةمدت 15

155 ) 1 كرة القدم: ركل سلمان كرة بسرعة رأسية قدرها 75. ft/s افترض أن ارتفاع الكرة باألقدام بعد t ثانية م عطى بالدالة. f(t) = -1 t + 75t +.5 h t. v(t) أوجد معادلة سرعة الكرة المتجهة اللحظية a( b( ما سرعة الكرة المتجهة بعد 0.5 s من ركلها c( إذا علمت أن السرعة المتجهة اللحظية للكرة لحظة وصولها إلى أقصى ارتفاع هي صفر فمتى تصل إلى أقصى ارتفاع d( ما أقصى ارتفاع تصل إليه الكرة ) فيزي ء: تعطى المسافة التي يقطعها جسم يتحرك على مسار مستقيم بالمعادلة + +8t d(t) = t حيث t الزمن بالثواني و d المسافة باألمتار. a( أوجد معادلة السرعة المتجهة اللحظية للجسم v(t) عند أي زمن. b( استعمل v(t) لحساب سرعة الجسم المتجهة عندما t = s, s, s ) اكت سف الخط أ: س ئل علي وجميل أن يصفا معادلة ميل مماس منحنى الدالة الممث لة بياني ا في الشكل المجاور عند أي نقطة على منحناها. فقال علي: إن معادلة الميل ستكون متصلة ألن الدالة األصلية متصلة في حين قال جميل: إن معادلة الميل لن تكون متصلة. أيهما كانت إجابته صحيحة فس ر إجابتك. احسب كل نهاية مما يأتي (إن وجدت) :)يفهر س -( lim ( + - ) ) 8 lim ( ) ) 9-1 lim ( + si ) ) 0 0 احسب كل نهاية مما يأتي (إن وجدت): )يفهر س -( lim lim ) 1 ) ) ما معادلة ميل منحنى = عند أي نقطة عليه m = C m = A m = - D m = B ) سقطت كرة بشكل رأسي فكانت المسافة التي تقطعها باألقدام lim d(+h)-d() بعد t ثانية تعطى بالدالة.d(t) = 1 t إذا كانت h 0 h تمث ل السرعة المتجهة للكرة بعد s فكم تساوي هذه السرعة ft/s C ft/s A 7 ft/s D 58 ft/s B ) 5 ماميل مماس منحنى + 7 = عند النقطة ), ) 7 C -9 A D 9 B f() = ) تحد : أوجد معادلة ميل مماس منحنى f() = + - عند أي نقطة عليه. ) 5 تبرير: هل العبارة اآلتية صحيحة أو خاطئة " يقطع المماس منحنى الدالة عند نقطة التماس فقط" بر ر إجابتك. ) تبرير: صح أم خطأ: إذا أ عطيت المسافة التي يقطعها جسم بعد t ثانية ب s(t) = at + b فإن السرعة المتجهة اللحظية للجسم تساوي a دائما ا. بر ر إجابتك. ) 7 اكتب بي ن لماذا تكون السرعة المتجهة اللحظية لجسم متحرك صفرا ا عند نقطة القيمة العظمى والصغرى لدالة المسافة. 15 الف سل يفندق قم ي يسةاقا

156 اختب ر منت سف الف سل الدرو س من - 1 اإلى - قد ر -إن أمكن- كل نهاية مما يأتي باستعمال التمثيل البياني للدالة: )يفهر س -1( lim ) lim ) lim cos lim ÇÇÇ + 1 lim - Ç si 0 + ) lim - 18 ) - - ) lim ) ÇÇÇ + 0 ) 8 lim ) 7-9( تزداد قيمة تحفة فنية فريدة سنوي ا بحيث ت عطى قيمتها با الف الرياالت بعد t سنة بالعلقة + 00t. v(t) = )يفهر س )-1 t t بياني ا في الفترة 10 v(t) مث ل الدالة )a b( استعمل التمثيل البياني لتقدير قيمة التحفة الفنية عندما.t =, 5, 10 استعمل التمثيل البياني لتقدير v(t). lim t )c وض ح العلقة بين النهاية وسعر التحفة الفنية. d( احسب كل نهاية مما يأتي بالتعويض المباشر إذا كان ممكنا ا وإال فاذكر السبب. )يفهر س -( Ç lim - ( + - 8) حي ة بري ة: يمكن تقدير عدد الغزالن بالمئات في محمية بالعلقة = P(t) وذلك بعد t سنة حيث.t ما أكبر 10 t - 0t + t + 1t + 1 عدد للغزالن يمكن أن يوجد في هذه المحمية )يفهر س -( احسب كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة: )يفهر س -( أوجد ميل مماس منحنى كل دالة مما يأتي عند النقاط المعطاة: )يفهر س -( = -, (, -), (-1, ) = - 5, (-, 1), (, -1) = -, (1, -), (, -9) األع ب ن رية: انطلقت قذيفة ألعاب نارية رأسي ا إلى أعلى بسرعة 90 ft/s وتمث ل الدالة +. 90t h(t) = -1 t + االرتفاع الذي تبلغه القذيفة بعد t ثانية من إطلقها. )يفهر س -( a( أوجد معادلة السرعة المتجهة اللحظية v(t) للقذيفة. b( ما السرعة المتجهة للقذيفة بعد 0.5 s من اإلطلق c( ما أقصى ارتفاع تبلغه القذيفة اختي ر من متعدد: أي مما يأتي يمث ل معادلة ميل منحنى = 7 - عند أي نقطة عليه )يفهر س )- m = 7 - C m = 7 A m = 1 - D m = 1 B ت عطى المسافة التي يقطعها جسم متحرك باألميال بعد t دقيقة بالدالة (t). s أوجد السرعة المتوسطة المتجهة للجسم في كل مما يأتي بالميل لكل ساعة على الفترة الزمنية المعطاة. تذك ر أن تحول الدقائق إلى ساعات. )يفهر س -( s(t) = t, t 5 s(t) =.05t - 11, 1 t 7 s(t) = 0.9t - 5, t s(t) = 0.5 t - t, t 8 أوجد معادلة السرعة المتجهة اللحظية v(t) لجسم ي عطى موقعه عند أي زمن بالعالقة h(t) في كل مما يأتي: )يفهر س -( h(t) = t - 9t h(t) = t - 1 t h(t) = t - 5 t )18 )19 )0 )1 ) ) ) )5 ) )7 )8 )9 lim - - ) 1 lim + 5 ( ) ) 1 lim ( ) lim + 1 ) )11 )1 lim ) 1 ) h(t) = t - t )0 lim (.7) 1 1 اختي ر من متعدد : قد ر )يفهر س -1( B غير موجودة A - D C )17 الف سل ي ةلقر جنة س الدر س - يفا س 155

157 الم ستق ت Derivatives ركل أحمد كرةا رأسي ا إلى أعلى من ارتفاع ft فانطلقت بسرعة. 5 ft/s يمكنك استعمال معادالت الحركة بتسارع ثابت التي درستها في الفيزياء لكتابة دالة تصف ارتفاع الكرة بعد t ثانية ومن ثم تحديد ما إذا كانت الكرة ستبلغ ارتفاع 8 ft أم ال. قواعد اأ س سية لال ستق ق: استعملت النهايات في الدرس - لتحديد ميل مماس منحنى الدالة () f عند أي نقطة عليه وت سمى هذه النهاية م شتقة الدالة ويرمز لها بالرمز () f وت عطى بالصيغة: f ( + h) - f () f () = lim h h 0 بشرط وجود هذه النهاية وت سم ى عملية إيجاد المشتقة االش تقاق وت سم ى النتيجة معا دلة تفاضلية. أوجد مشتقة f () = - باستعمال النهايات ثم احسب قيمة المشتقة عندما = 1, 5. س غت يف تسةات f ( + h) = ( + h ) - 5( + h) + 8, f () = ب س ي س ا h f( + h) - f() f () = lim h h 0 = lim ( + h ) - 5( + h) ( ) h 0 h 8h + h = lim - 5h h h 0 h(8 + h - 5) = lim h h 0 = lim (8 + h - 5) h 0 ار ست سق ج يف ق سقم يفةغ ل مه ج مقا يف ا )يفهر س -( يج ه ج جن ن ايفت ا ت بق سةم قل يف تسةاقم يج سةم ياه ي يسةاقا يف تسةاقم مقا يف تسةات derivative ي يسةاقا differetiatio يف مقافت يفةاق س ت 1 م ستقة دالة عند اأي نقطة differetial equatio يف يفةاق س ا differetial operator الم ستق ت f جتسةات f () يف جز ا يج بقفن سلت ف ةغ يج f prime of س ب = ا س [8 + (0) - 5] = 8-5 أي أن مشتقة () f هي f () = احسب () f عندما =1, 5. f () = 8-5 f (1) = 8(1) - 5 f (1) = يف مقافت ي ج س ت = 1, =5 ب س f () = 8-5 f (5) = 8(5) - 5 f (5) = 5 تحق من فهم أوجد مشتقة () f باستعمال النهايات ثم احسب قيمة المشتقة عند قيم المعطاة: f () = , = 1, )1B f () = + 7, =, 5 )1A فإن ذلك يعني إيجاد d d df, وإذا سبق الدالة المؤثر التفاضلي ي رمز لمشتقة () = f أيضا ا بالرموز d, d d مشتقة الدالة. سرف الدين الطو سي يفمقف يف س يس ف يفه ن يفا سا )يف ة ل اق ) 10 جن يل اري سة يف مقا م يفةا ارجةدق ي سةم لا يف مقا م يفا ت يفم ف ملقريم يفمل ت يج " يف تسة ي ج ل "فد يفملقريم جن ا ن يجن سةم ي س )يف تسة ي ج ل( ب ن ا يجن ج ر يف مقافت يفةا س ا دق ي ذي جق ا س ب لا يفملقرة يفمل ت يجاا يفا ت يفم ف ملقرة 15 الف سل يفندق قم ي يسةاقا

158 حتى هذه اللحظة استعملت النهاية إليجاد كل من المشتقة وميل المماس والسرعة المتجهة اللحظية. وت عد قاعدة مشتقة القوة من أكثر القواعد فعالية إليجاد المشتقات من دون اللجوء إلى استعمال النهايات مما يجعل عملية إيجاد المشتقات أكثر سهولةا ودقة. التعبير اللفظي: لا جتسةات ايفت يفا ة ن ة يج ب ي ه جن ة لا يفهيفت ي ج س ت جمقج لا يف تسةات سق ة لا يفهيفت ي ج س ت الرموز: ي ذي إقن f () = اها ا اا لق ن f ( ) = - 1 أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي: ق عدة م ستقة دالة القوة ق عدة م ستقة دالة القوة يفهيفت يف ماقة قاهة جتسةات يفا ة ب س f () = 9 f () = = 9 8 f () = 9 )a يفهيفت يف ماقة يجاه إةقبت يفهيفت إا ة ن سل ت قاهة جتسةات يفا ة ب س يفهيفت يف ماقة g() g() g () h() = 5 Ç 7 = = = = 7 5 = 1 8 g() = 5 Ç 7 )b 5 Ç h() = 1 8 )c m() = 1 5 يجاه إةقبت يفهيفت إا ة سقفلت قاهة جتسةات يفا ة ب س h() = -8 h () = = = تحق من فهم أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي: )C k() = Ç )B j() = )A هناك العديد من قواعد االشتقاق األخرى المهمة التي تفيد في إيجاد مشتقات الدوال التي تحوي أكثر من حد. قواعد اأخرى لال ستق ق م ستقة الث ب : جتسةات يفهيفت يفثقبةت سق سا ي يج يجن ي ذي إقنت c f () = c اها قبت لق ن = 0 () f ي ذي إقنت قبت c f () = c اها ا اا لق ن f () = c - 1 م ستقةم س عف تالقو ة: ي ذي إقنتh() f () = g() ± لق ن) ) f () = g () ± h م ستقة المجمو اأو الفرق: م ستق ت القوى ال س لبة جتسةات - f () = ف ست إ f () = - - بقجننق م يجن نا ي ه ي جن ي ج س فن س ا = - + (-1)=-5 ف ي لق ن -5 f () = - الدر س - يف تسةاقم 157

159 5-1 = f() = 5 + f () = = 15 g() = 5 ( + ) g() = ا وجد مشتقة كل دالة مما يا تي: f () = 5 + (a g() = 5 ( + ) (b g () = = h() = (c = h() 5 h() h() h () = = = = = f () = f () = 1 f () = c. f ( ) = c ا وجد مشتقة كل دالة مما يا تي: h() = (C g() = ( + ) (B f() = (A الا ن وبعد ا ن درست القواعد الا ساسية للاشتقاق يمكنك حل المساي ل التي تتطلب حساب ميل مماس المنحنى ا و ا يجاد السرعة المتجهة اللحظية بخطوات ا قل ففي مثال 5 من الدرس - ا وجدنا معادلة السرعة المتجهة اللحظية لجس م متحر ك وستلاحظ الا ن سهولة حل المسا لة نفسها بتطبيق قواعد الاشتقاق. تعطى المسافة التي يقطعها جسم بالسنتمترات بعد t ثانية بالدالة: - 1 s(t) = 18t - t ا وجد معادلة السرعة المتجهة اللحظية v(t) للجسم. السرعة المتجهة اللحظية للجسم هي s (t). f() = c s(t) = 18t - t - 1 s (t) = 18 - t = 18-9 t ا ي ا ن سرعة الجسم المتجهة اللحظية هي: v(t) = 18-9 t لاحظ ا ن هذه الا جابة مكافي ة لتلك التي حصلت عليها في المثال 5 من الدرس -. ) الدالة: h(t) = 55t - 1 t تم ثل الارتفاع بالا قدام بعد t ثانية لكرة ق ذفت را س يا ا لى ا على. ا وجد معادلة السرعة المتجهة اللحظية للكرة عند ا ي زمن. 158

160 النقطة التي تكون عندها مشتقة الدالة صفرا ا أو غير موجودة ت سم ى نقطةا حرجةا للدالة والنقطة الحرجة قد تشير إلى وجود نقطة قيمة عظمى أو صغرى للدالة وتحدث عندما يكون ميل مماس منحنى الدالة صفرا ا أو غير موجود. ي ذي إقنت () f جة س ت ا يفاة ة يف غ ات [b,a] لق ن فدق ت ا سغ ا يفاة ة [b,a] ي ه انه يج يفاة ة ل ا انه يج ه ي جق ذف يفناقا يف جت h(t) h (t) لتعيين نقاط القيم العظمى والصغرى للدالة على فترة مغلقة ال بد من حساب قيم الدالة عند أطراف الفترة وعند النقاط الحرجة في تلك الفترة. 1 تمث ل ارتفاع إبراهيم باألقدام في أثناء ركوبه أفعوانية حيث t 11 h (t) = - اأفعوانية: الدالة: + t + t الزمن بالثواني في الفترة الزمنية [1,1] أوجد أقصى وأدنى ارتفاع يبلغه إبراهيم. أوجد مشتقة h(t). = - 1 t + t + 11 = - 1 t t = - t + 8t أوجد النقاط الحرجة بحل المعادلة = 0 h (t). يفهيفت يف ماقة ياه ييسةاقا يفثقبت ج سقااقم يفا يف م يفا ا ب س h (t) = 0 - t + 8t = 0 يإة يف مقافت h (t) = - t + 8t -t(t - 8) = 0 إذن: = 8 t أو = 0 t وحيث إن = 0 t ال تقع في الفترة ]1,1] فإن للدالة نقطة حرجة واحدة عند = 8 t لذا نحسب قيم h(t) عندما = 1, 8, 1 t. ت ا h(1) h(8) h(1) = - 1 (1 ) + (1 ) = - 1 (8 ) + (8 ) + 11 = 89 = - 1 (1 ) + (1 ) نظرية القيمة الق سوى ت سغ = f() a b a = f() b Lim f() 0 5 أي أن أقصى ارتفاع يبلغه إبراهيم هو 89 ft وذلك بعد 8 s في حين أن أدنى ارتفاع هو.7 ft تقريبا ا بعد 1. s 1 - = h(t) المجاور على التحق من الحل التمثيل البياني للدالة: 11 + t + t الفترة [1,1] باستعمال اآللة البيانية يعز ز هذه النتيجة حيث يبي ن التمثيل البياني أن أعلى ارتفاع يساوي 89 ft ويكون عندما t. = 8 s وأدنى ارتفاع يساوي.7 ويكون عندما t = 1 s يزايام س ات ي جلم ين قم ه ث ق فة س ي ف ف إ 10 mi/h يزايام ير اقاق دق فةل 50. ft القيمت ن العظمى وال سغرى لدالة دالة كثيرة الحدود جمقل م ايفت إث ة يف ه ا جم ات ي جاهيا يف ا ا ت ف ف ي ذي إقنت يف تسةات ايفت إث ة ا ه لق ن يفناقا يف جت جه لا انهجق ن يف تسةات سا ي يفا انه ي مقا ف ف يفم يف سغ فهيفت إث ة ه ا f() ا لة ة b] [a, نمه يفهيفت انه ت يج انه يفاة ة ل ا ف ن انه ق f ()=0. تحق من فهم 5( ري سة القفز: الدالة: t h(t) = 0 t - تمث ل ارتفاع سعد باألقدام في أثناء مشاركته في قفزة البنجي )القفز من أماكن مرتفعة بحيث تكون القدمان موثقتين بحبل مطاطي ( حيث t الزمن بالثواني في الفترة ],0]. أوجد أقصى وأدنى ارتفاع يبلغه سعد في هذه الفترة الزمنية. الدر س - يف تسةاقم 159

161 ق عدت م ستق ت ي ال سرب والق سمة: تعل مت في هذا الدرس أن مشتقة مجموع دال تين تساوي مجموع مشتق ت ي الدال تين فهل تكون مشتقة ناتج ضرب دالتين مساويةا لناتج ضرب مشتقت ي الدالتين افترض أن:. f () =, g() = م ستقة ال سرب d d [ f() g()[ = d d [ [ = d d ( ) = 1 سرب الم ستق ت d d f() d d g() = d d () d d ( ) = 1 9 = 9 يتضح من هذا المثال أن مشتقة ناتج ضرب دال تين ال تساوي بالضرورة ناتج ضرب مشتقت ي الدالتين ويمكننا استعمال القاعدة اآلتية إليجاد مشتقة ناتج ضرب دال تين. d ي ذي إقنت جتسةات إ جن يفهيفة ن g f ج ج اة انه لق ن d [ f () g()] = f () g() + f () g () أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي: سةل ن قاهة جتسةات يف س لا يفة ن 8 h() = ( - + 7)( - 5) )a افترض أن: - 5 f () = - + 7, g() = أي أن: f()g(). h() = جن يفا س ياه جتسةاقم يفا ة ج سقااقم يفا يفثقبت يف م يفا ا جن يفا س ياه جتسةاقم ج سقااقم يفا يفثقبت يفا ا جتسةات يف س قاهة ا س ق س ت يفة ز ا ب س f () = f () = - g() = - 5 g () = استعمل g () f (), f (), g(), إليجاد مشتقة h(). h () = f () g() + f() g () = ( - )( - 5) + ( - + 7)() = = h() = ( )( - - ) )b افترض أن: -. f () = , g() = - جن يفا س ياه جتسةاقم يفا ة ج سقااقم يفا يفثقبت يف م يفا ا جن يفا س ياه جتسةاقم ج سقااقم يفا يفا ة يفثقبت يفا ا جتسةات يف س قاهة h () = f () g() + f() g () f () = f () = g() = - - g () = 1-1 استعمل g () f (), f (), g(), إليجاد مشتقة h(). = ( )( - - ) + ( )(1-1) تحق من فهم أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي: ق عدة م ستقة ال سرب ق عدة م ستقة ال سرب ا س ق عدة م ستقة ال سرب مه ل س نق جتسةات يف س جد ق لا إث جن يفة قر ن h() = ( + + )(8 + ) )B h() = ( )( ) )A 10 الف سل يفندق قم ي يسةاقا

162 بطريقة التبرير نفسها في مشتقة الضرب يمكنك ملحظة أن مشتقة ناتج قسمة دالتين ال تساوي ناتج قسمة مشتقت ي الدالتين ويمكن استعمال القاعدة اآلتية لحساب مشتقة قسمة دالتين. ي ذي إقنت جتسةات إ جن يفهيفة ن f, g ج ج اة انه إقن 0 g() لق ن d f() d g() f () g () - f () g () = [ g() ] أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي: ق عدة م ستقة الق سمة سةل ن قاهة جتسةات يفا س ت لا يفة ن 50 ق عدة م ستقة الق سمة h() = 5 - )a -. h() = f() افترض أن: - f () = 5 -, g() = أي أن: g() جن يفا س ياه جتسةاقم ج سقااقم يفا يفثقبت يفا ا جن يفا س f () = 5 - f () = 10 g() = - ياه g () = جتسةاقم يفا ة يفثقبت يفا ا استعمل () f (), f (), g(), g إليجاد مشتقة h(). قاهة جتسةات يفا س ت f () g () - f() g () h () = [ g() [ 7 k() = ا س ق س ت يفة ز ا ب س = 10( - ) - (5 - )() ( - ) = ( - ) - 5 = ( - ) h() = )b افترض أن: -. f () = + 8, g() = جن يفا س م يف يفثقبت جتسةاقم يفا ة ياه جن يفا س ياه جتسةاقم يفا ة يفثقبت يفا ا f () = + 8 f () = g() = - g () = استعمل g () f (), f (), g(), إليجاد مشتقة h(). قاهة جتسةات يفا س ت ا س ل ي ج ي س ب س + f () g() - f () g () h () = [ g() [ = ( - ) - ( + 8) ( - ) = ( - ) تحق من فهم أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي: 7-10 )7B j() = )7A ق عدة م ستقة الق سمة مه ل س نق جتسةات يفا س ت جد ق لا إث جن يفة قر ن ي يجن ف س جن يف س ر ل يج ي س يف اق جق ف نة ان ذف ل س يجإث الدر س - يف تسةاقم 11

163 أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي باستعمال النهايات ثم احسب قيمة المشتقة عند النقاط المعطاة: )جثقل ) 1 f() = -, =, -1 ) 1 g(t) = - t + t + 11, t = 5, ) m( j) = 1j - 1, j = -7, - ) v() = , = 7, ) r(b) = b - 10b, b = -, - ) 5 أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي : )يف ثق ن ), z() = + 7 ) 7 ( f ) = -11 f ) b(m) = m - m ) 9 g(h) = h h - h ) 8 f () = ) 11 (t) = 1 t + t + t + ) 10 p(k) = k k.8 + k ) 1 q(c) = c 9 - c c - c ) 1 ) 1 درج ت حرارة: ت عطى درجة حرارة إحدى المدن بالفهرنهايت في أحد األيام بالدالة : f (h) = h h +.0 h + 5 حيث h عدد الساعات التي انقضت من ذلك اليوم. )جثقل ) a( أوجد معادلة تمثل م عد ل التغي ر الل حظي لدرجة الحرارة. b( أوجد م عد ل التغي ر اللحظي لدرجة الحرارة عندما:. h =, 1, 0 0 h أوجد درجة الحرارة العظمى في الفترة: c( استعمل االشتقاق إليجاد النقاط الحرجة ثم أوجد نقاط القيم العظمى والصغرى لكل دالة مما يأتي على الفترة المعطاة. )جثقل ) 5 f() = + 8, [-5, 0[ ) 15 r(t) = t + t -, [ 1, [ ) 1 t(u) = u + 15 u + 75u + 115, [-, -[ ) 17 f() = -5-90, [-11, -8[ ) 18 z(k) = k - k + k, [0, [ ) 19 c() = , [-5, 5[ ) 0 ) 1 ري سة: ع د إلى فقرة لماذا في بداية الدرس. الدالة: h(t) = 5t - 1 t + تمثل ارتفاع الكرة h باألقدام بعد t ثانية عندما t 0. )جثقل ) 5. h (t) أوجد )a b( أوجد نقاط القيم العظمى والصغرى للدالة h(t) في الفترة ],0]. c( هل يمكن ألحمد ركل الكرة لتصل إلى ارتفاع 8 ft أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي: )جثقل ) f () = ( + )( + 9) ) g() = ( + )(5 - ) ) s(t) = ( t Ç + )( t 11 - t) ) g() = ( + ) (0.5 - ) ) 5 c(t) = ( t + t - t 7 )( t + t - t) ) q(a) = ( a a - 1 )( a 5-1a) ) 7 f () = ( )( ) ) 8 استعمل قاعدة مشتقة القسمة إليجاد مشتقة كل دالة مم ا يأتي: )جثقل ) 7 r(t) = t + - t f () = Ç ) 0 f (m) = - m + m ) 9 ) m(q) = q + q + q - ) 1 t(w) = w + w ) q(r) = 1.5 r r ) Ç w r ) 5 قام بائع ملبس بإيجاد العلقة بين سعر قميص وعدد القطع المبيعة منه يومي ا فوجد أنه عندما يكون سعر القميص d رياالا فإن عدد القطع المبيعة يومي ا يساوي d a( أوجد (d) r التي تمثل إجمالي المبيعات اليومية عندما يكون سعر القميص d رياالا.. r (d) أوجد )b c( أوجد السعر d الذي تكون عنده قيمة المبيعات اليومية أكبر ما يمكن. أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي ثم م ث ل الدالة والمشتقة بياني ا على المستوى اإلحداثي نفسه. )إرشاد: يمكنك استعمال الحاسبة البيانية في التمثيل البياني( f () = ) g() = Ç + ) 7 f () = ) 8 g() = 1 ) 9 ) 0 الم ستق ت العلي : لتكن () f مشتقة () f إذا كانت مشتقة () f موجودة فإنها تسمى المشتقة الثانية للدالة f وي رمز لها بالرمز () f أو الرمز () f () وكذلك إذا كانت مشتقة () f موجودة فإنها تسمى المشتقة الثالثة للدالة f ويرمز لها بالرمز () f أو () f () وتسمى المشتقات على هذا النحو المشتقات العليا للدالة. f أوجد كل مما يأتي: f () = المشتقة الثانية للدالة: )a g() = المشتقة الثالثة للدالة: 10 )b h() = المشتقة الرابعة للدالة: )c 1 الف سل يفندق قم ي يسةاقا

164 م ث ل منحنى دالة لها الخصائص المعطاة في كل مما يأتي: ) 1 المشتقة تساوي 0 عندما -1, 1 =. ) المشتقة غير معر فة عندما =. ) المشتقة تساوي - عندما -1, 0, =. ) المشتقة تساوي 0 عندما -1,, =. ) 5 تمثيالت متعددة: في هذا التمرين ستستكشف علقة المشتقات ببعض الخصائص الهندسية للدوال. a( تحليلي : أوجد مشتقة صيغة مساحة الدائرة بالنسبة لنصف القطر r. a. ح العلقة بين المعادلة األصلية ومشتقتها في الفرع وض لفظي : b(. a ومكعبا ا طول ضلعه a مربعا ا طول ضلعه ارسم بي ني : c( d( تحليلي : اكتب صيغةا تمث ل مساحة المربع وأخرى تمث ل حجم المكعب بداللة a ثم أوجد مشتقت ي الصيغتين. d. ض ح العلقة بين المعادلة األصلية ومشتقتها في الفرع و لفظي : e( ) اكت سف الخط أ: قام كل من أحمد وعبدالله بإيجاد ]() [ f للدالة f () = + حيث كانت إجابة عبد الله: في حين كانت إجابة أحمد: فأيهما كانت إجابته صحيحة بر ر إجابتك. ) 7 تحد : أوجد ( f ) علما ا بأن: f ( ) = z z 7 ) 8 بره ن: برهن صحة قاعدة مشتقة الضرب بإثبات أن: f ()g() + f()g () = lim f ( + h)g( + h) - f()g() h 0 h )إرشاد: ابدأ بالطرف األيمن وأضف (h f ()g( + إلى البسط واطرحه منه(. ) 9 تبرير: بي ن ما إذا كانت العبارة اآلتية صحيحة أو خاطئة وبر ر إجابتك. "إذا كانت: + 5 f () = فإن + " f () = (5 + ) 5 ) 50 بره ن: برهن صحة قاعدة مشتقة القسمة وذلك بإثبات أن: f () g() - f() g () f ( + h) g( + h) - f () g() = lim [ g() [ h 0 h )إرشاد: ابدأ بالطرف األيمن ووح د المقامات في البسط ثم أضف g() f () إلى البسط واطرحه منه(. ) 51 اكتب: هل من الممكن أن يكون لدال تين مختلفتين المشتقة نفسها عز ز إجابتك بأمثلة. أوجد ميل مماس منحنى كل دالة مما يأتي عند النقاط المعطاة: )يفهر س - ) = -, (0, 0), (, 0) ) 5 = -, (-, 8), (, -8) ) 5 = + 9, (, 18), (, 5) ) 5 احسب كل نهاية مم ا يأتي: )يفهر س - ) lim lim lim ) 55 ) 5 ) 57 قد ر كل نهاية مم ا يأتي: )يفهر س -1 ) lim ) 58 lim ( Ç + + ) ) ) 0 ما مشتقة: (-) h () = (-7 + ) h () = -1 A h () = 1 B h () = C h () = D ) 1 ما ميل مماس منحنى = عند النقطة ), 1 ) C 1 A 8 D B ) ما مشتقة: f () = 5 Ç 8 f () = 5 5 C f () = 0 5 A f () = 5 8 D f () = 0 8 B الدر س - يف تسةاقم 1

165 تح المنحنى والتك مل الم س حة Area Uder the Curve ad Itegratio التكلفة الحدية )الهامشية( هي التكلفة اإلضافية المترتبة على إنتاج وحدة إضافية واحدة من منتج ما ويمكن إيجاد معادلة التكلفة الحدية باشتقاق معادلة التكلفة الحقيقية للمنتج. ت مثل الدالة f () = التكلفة الحدية لطباعة نسخة من كتاب ما بالريال. الم س حة تح منحنى سبق أن درست في الهندسة طريقة حساب مساحات األشكال األساسية كالمثلث والمستطيل وشبه المنحرف كما درست حساب مساحات بعض األشكال المركبة التي تتكون من أشكال أساسية إال أن العديد من األشكال المركبة ال تتكون من أشكال أساسية مما يستدعي الحاجة إلى طريقة عامة لحساب مساحة أي شكل ثنائي األبعاد. يمكننا تقريب مساحة شكل غير منتظم من خلل استعمال شكل أساسي معلوم المساحة كالمستطيل. فمثلا يمكننا تقريب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى f () = والمحور على الفترة 1] [0, باستعمال مستطيلت متساوية العرض. 1 ار ست سق يفندق قم جل ق بق سةم قل سق سدق )يفهر س -( يج يف سق ت ت جن ن ايفت بق سةم قل ج سةا يم يج ه يف سق ت ت جن ن ايفت بق سةم قل يفة قج يف ها يفةمز ض يف نة regular partitio يفة قج يف ها قر ب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى f () - = + 1 والمحور على الفترة [1,0] باستعمال 1 مستطيالا على الترتيب. استعمل الطرف األيمن لقاعدة كل مستطيل لتحديد ارتفاعه. مث ل الدالة والمستطيلت كما في األشكال التالية باتباع الخطوات التالية: defiite itegral يف ه ي جان lower limit يف ه ي جا upper limit جم ر قن ي ج ن الم س حة تح منحنى ب ستعم ل م ستطيالت right Riema sum يفة قج itegratio أوجد طول الفترة ]1,0] بطرح بدايتها من نهايتها. 1( أوجد عرض كل مستطيل بقسمة طول الفترة على عدد المستطيلت فمثلا إذا كان عدد المستطيلت ( نقسم: = 1 قس م الفترة ]1,0] إلى فترات )ألربعة مستطيلت( طول كل منها يساوي ( ث ب بن قرة 1) ) 88 - جن يج ي جن سا ن ية ا يفة قج جن يل ن ة " ي ذي ا س اها يج سي يف س ا يف نة يف س ب ن ج ا ن يج ج سق ة ن ي ف جق ندق ت سغ يفا ا هر م ق ب ن ي ج سي إ ق ي ة جن يف إز ان ". ة جن يف سا ة ي ( ارسم على كل فترة جزئية مستطيلا أحد بعديه يساوي طول هذه الفترة والبعد اآلخر يساوي قيمة الدالة عند الطرف األيمن للفترة. فمثلا ارتفاعات المستطيلت في الشكل (1) هي (1) f. f (), f (), f (9), ويمكننا استعمال ارتفاعات المستطيلت وأطوال قواعدها لتقريب المساحة المطلوبة. 1 الف سل يفندق قم ي يسةاقا

166 ال سكل المساحة باستعمال 1 مستطيلا R 1 = 1 f (1) = 11 R = 1 f () = 0 R = 1 f () = 7 R = 1 f () = R 5 = 1 f (5) = 5 R = 1 f () = R 7 = 1 f (7) = 5 R 8 = 1 f (8) = R 9 = 1 f (9) = 7 R 10 = 1 f (10) = 0 R 11 = 1 f (11) = 11 R 1 = 1 f (1) = 0 المساحة الكلية 8 وحدة مربعة. 8 1 ال سكل المساحة باستعمال مستطيلت R 1 = f () = 0 R = f () = R = f () = 7 R = f (8) = R 5 = f (10) = 0 R = f (1) = 0 المساحة الكلية 80 وحدة مربعة. 8 1 ال سكل 1 المساحة باستعمال مستطيلت R 1 = f () = 81 R = f () = 108 R = f (9) = 81 R = f (1) = 0 المساحة الكلية 70 وحدة مربعة. أي أن المساحة التقريبية باستعمال 1 مستطيلا هي بالترتيب: 70 وحدة مربعة 80 وحدة مربعة 8 وحدة مربعة. تحق من فهم )1 قر ب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى f () = - + والمحور على الفترة [ [0, باستعمال 1 8 مستطيلا على الترتيب. استعمل الطرف األيمن لقاعدة كل مستطيل لتحديد ارتفاعه. الحظ أن المستطيلت األقل عرضا ا تمث ل المساحة المطلوبة بصورة أفضل وتعطي تقريبا ا أدق للمساحة الكلية. وكما استعملنا األطراف اليمنى لقاعدة كل مستطيل لتحديد ارتفاعاتها فإنه يمكننا أيضا ا استعمال أطرافها اليسرى لتحديد ارتفاعاتها وهذا قد ينتج عنه تقريب مختلف للمساحة. إن استعمال األطراف اليمنى أو اليسرى لقواعد المستطيلت لتحديد ارتفاعاتها قد يؤدي إلى إضافة أجزاء ال تقع بين المنحنى والمحور أو حذف أجزاء تقع بين المنحنى والمحور. ومن الممكن الحصول على تقريب أفضل للمساحة في بعض األحيان باستعمال كل من األطراف اليمنى واليسرى لقواعد المستطيلت ثم أخذ الوسط للتقريبين. الم س حة تح المنحنى ب ستعم ل االأطراف اليمنى والي سرى للم ستطيالت جداول: ف س ل ا ير اقاقم جةمهاة ف سةا يم f() بم س ث يفةا بق سةم قل ي فت يف ق سلت يفل قن ت جث يفهيفت بق سةم قل ال يف س يفل قن ت ذف بقف سغ ا إةقبت يفهيفت س ن f() = ير اقاقم يف سةا يم f() بق سةم قل جه ل ذف بقف سغ ا جندق ي ة قر قر ب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى f() = والمحور في الفترة [,0] باستعمال مستطيالت عرض كل واحد منها وحدة واحدة. استعمل األطراف اليمنى ثم اليسرى لقواعد المستطيالت لتحديد ارتفاعاتها ثم احسب الوسط للتقريبين. إن استعمال مستطيلت عرض كل منها وحدة واحدة ينتج عنه مستطيلت سواء أكانت األطراف اليمنى أو اليسرى للمستطيلت هي التي تحدد ارتفاعاتها. ويوضح الشكل (1) أدناه المستطيلت باستعمال األطراف اليمنى في حين يوضح الشكل () أدناه المستطيلت باستعمال األطراف اليسرى. [-, ] scl: 0.5 b [-, 1] scl: 1 لة يم مه ن بقف سغ لا يفمه ل ا جندق ها بهي ت يفمه ل هر يج يفخا ة الدر س - 5 يف سق ت ت يف ن ن يفة قج 15

167 ال سكل المساحة باستعمال األطراف اليسرى R 1 = 1 f (0) = 0 R = 1 f (1) = 1 R = 1 f () = R = 1 f () = 9 المساحة الكلية 1 وحدة مربعة 1 ال سكل 1 المساحة باستعمال األطراف اليمنى R 1 = 1 f (1) = 1 R = 1 f () = R = 1 f () = 9 R = 1 f () = 1 المساحة الكلية 0 وحدة مربعة أي أن المساحة الناتجة عن استعمال األطراف اليمنى هي 0 وحدة مربعة بينما المساحة الناتجة عن استعمال األطراف اليسرى هي 1 وحدة مربعة وهذان تقديران تقع المساحة بينهما وبحساب الوسط للقيمتين نحصل على تقريب أفضل للمساحة وهو وحدة مربعة. تحق من فهم 1 = () f والمحور في الفترة 5[ [1, باستعمال مستطيلت ( قر ب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى عرض كل واحد منها وحدة واحدة. استعمل األطراف اليمنى ثم اليسرى لقواعد المستطيلت لتحديد ارتفاعاتها ثم احسب الوسط للتقريبين. عند تقريب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى دالة والمحور فإنه يمكننا استعمال أي نقطة على قاعدة المستطيل لتحديد ارتفاعه إال أن النقاط األكثر شيوعا ا هي نقطتا الطرفين األيمن واأليسر ونقطة المنتصف. التك مل الحظت في مثال 1 أنه كلما قل عرض المستطيلت فإن مساحتها الكلية تقترب من المساحة الفعلية تحت المنحنى ومن ذلك نستنتج أن المساحة المطلوبة هي نهاية مجموع مساحات المستطيلت عندما يقترب عرض كل مستطيل من الصفر. f( 1 ) f() a... b= 1-1 في الشكل المجاور ق س مت الفترة من a إلى b إلى من الفترات الجزئية المتساوية الطول وت سم ى هذه التجزئة التجزيء المنتظم. إن طول الفترة الكلية من a إلى b هو b - a وبذلك يكون طول كل فترة جزئية )عرض كل مستطيل وي رمز له بالرمز. وبما أن b - من المستطيلت التي عددها ( هو a ارتفاع كل مستطيل يساوي قيمة الدالة عند الطرف األيمن لقاعدة المستطيل فإن ارتفاع المستطيل األول هو ) 1 f ( وارتفاع المستطيل الثاني هو ) f ( وهكذا يكون ارتفاع المستطيل األخير ). f ( يمكن اآلن حساب مساحة كل مستطيل من خلل ضرب في ارتفاع ذلك المستطيل أي أن مساحة المستطيل األول هي f ( 1 ) ومساحة المستطيل الثاني هي f ( ) وهكذا. وت عطى المساحة الكلية A للمستطيلت بمجموع مساحاتها ويمكن كتابتها باستعمال رمز المجموع. رمز المجمو ت قرأ العبارة f ( i ) i =1 كاآلتي مجموع حواصل ضرب ) i f ( في من.i = إلى i = 1 يج ا يف سق قم يج يفمقج يف تسة ي سةم رجز يف م رجز يف م ي س A = f ( 1 ) + f ( ) + + f ( ) A = [ f( 1 ) + f( ) + + f ( )[ A = f ( i ) i =1 A = f ( i ) i =1 1 الف سل يفندق قم ي يسةاقا

168 فبما أن عرض أي من المستطيلت هو. i ولتسهيل الحسابات مستقبلا فإنه يمكننا اشتقاق صيغة إليجاد أي. i وبالنظر إلى خط األعداد أدناه: ويساوي الفرق بين أي قيمتين متتاليتين من قيم 1 i a a + a + a + a + i a +. i ولهذه العلقة أهميتها عند إيجاد المساحة تحت منحنى أي دالة الحقا ا. يمكننا ملحظة أن = a + i الحظ أنه كلما اقترب عرض المستطيل من الصفر فإن عدد المستطيلت يقترب من الماالنهاية وت سم ى هذه النهاية التكام ل المحدد ويعب ر عنها برمز خاص. i =1 غت بقف س,a] [b لا يفاة ة f() ف هيفت ها يف يفة قج ما b f ()d = lim f ( a i ), = b - a, i = a + i ن ي ج قن ر غت جم يف س س ف ة قج ي جا يف ه b ف ة قج ي جان يف ه a,a] [b لا يفاة ة ر يف f() يفهيفت ب ن جن ن يف ناات يف س رة ج سق ت ان يفة قج ي مل س مي مجموع ريمان بهذا االسم نسبةا للعالم األلماني بيرنارد ريمان (18 18). والذي ي عزى إليه إيجاد صيغة لتقريب المساحة المحصورة باستعمال النهايات. ويمكننا تعديل الصيغة باستعمال األطراف الي سرى أو نقاط المنتصف لتحديد ارتفاعات المستطيلت. وتسمى عملية حساب التكامل تكا مالا وست سه ل صيغ المجاميع اآلتية حساب التكامل المحدد. c = c, عدد ثابت c i =1 ( + 1) i = i =1 i i =1 ( + 1)( + 1) = i i =1 i i =1 i 5 i =1 = ( + 1 ) = = ت ستعمل خاصيتا المجموع اآلتيتان لحساب بعض التكاملت: ( a i ± b i ) = a i ± b i, ci = c i, عدد ثابت c i =1 i =1 i =1 i =1 i =1 رمز التك مل المحدد التك مل المحدد b يقرأ الرمز f ()d a التكامل من a إلى b للدالة i =1 d () f () المجمو ي ن جم اها قبت c 5 = 5 ل ثي c الم س حة تح منحنى ب ستعم ل التك مل = 1 استعمل النهايات إليجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى. d في الفترة ] [0, أي والمحور = 0. i ابدأ بإيجاد غت س الدر س - 5 يف سق ت ت يف ن ن يفة قج 17 b =, a = 0 i س غت a = 0, = = b - a = - 0 = i = a + i = 0 + i = i احسب التكامل المحدد الذي ي عطي المساحة المطلوبة.

169 i=1 م يفة قج يف ها f( i ) = i i = i, = يف م سق س ز يفا ة يف م سق س i ( + 1)( + 1) = ي س ز ي س ي س ي س ا سق س يفندق قم d 0 i =1 = lim i =1 = lim = lim i =1 f ( i ) ( i ) ( i = lim i=1 = lim i=1 = lim ( 1 ) ( ) ( i) 1 i i ) i =1 = lim ( 1 ( + 1)( + 1) ) = lim ( 1 ( + + 1) ) = lim ( + + 1) = lim ( + + 1) = lim ( + + 1) = lim ( ) = ( lim ) lim + ( lim = )( lim [ + (0) + 0[= 1. 1 ) + lim 1 أي أن مساحة المنطقة المطلوبة هي 1. وحدة مربعة تقريبا ا. النه ي ت ب جم إ ة س ن يفملقريم يفلق ت ي جق يجاهيا ي قبةت يج i لا غت يف م س ل يف نق سلت تحق من فهم استعمل النهايات إليجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة والمحور والمعطاة بالتكامل المحدد في كل مما يأتي: 1 d )B d )A 0 0 يمكننا أيضا ا حساب مساحات المناطق باستعمال النهايات حال كون نقطة األصل ليست حد ا أدنى لها. 18 الف سل يفندق قم ي يسةاقا

170 i = 1 + i d 1 f( i ) = ( i ) = 1, = استعمل النهايات إليجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى. d في الفترة ] [1, أي والمحور = 1. i ابدأ بإيجاد = غت س b - a = - 1 = b =, a = 1 i س غت i = a + i a = 1, = = 1 + i = 1 + i احسب التكامل المحدد والذي ي عطي المساحة المطلوبة. م يفة قج يف ها يف م سق س (1 + i) جا ب س يف م سق س يف م سق س يف م س س ي ز ب س = lim f ( i ) i =1 = lim ( i ) i =1 = lim (1 + i ) ( ) i =1 = lim 8 (1 + i) i =1 = lim ( i i =1 = lim 8 ( 1 + i i =1 + 1 i = lim 8 ( 1 + i i =1 i =1 ) + ( i) + ( i + i =1 + 8 i ) 1 i ) + i=1 8 i = lim 8 ( 1 + i + 1 i + 8 i i =1 i =1 i =1 ) i =1 = lim 8 ( + ( + 1) + 1 ( + 1)( + 1) + 8 ( + 1 ) ) = lim ( 8 + 8( +1) + 9( + + 1) + ( + + 1) ) ( + 1) = lim ( ( + + 1) + 1( + + 1) ) = lim الم س حة تح منحنى ب ستعم ل التك مل ي س سق س يفندق قم 8 + ( ) + 1 ( ) ) + 1 ( 1 + ) + 1 = lim 8 + lim ( 1 + ) lim ( ) + 1 lim ( ) النه ي ت انه ا ج سق ت يف ناات ت يف ن ن بق سةم قل يف مقج ا يج جه جمقج ا يج يج ز ا ل i يج يبت = 80 0) 1( ) 1( ) (1 + = 8 + ب س أي أن مساحة المنطقة المطلوبة هي 80 وحدة مربعة. تحق من فهم استعمل النهايات إليجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة والمحور والمعطاة بالتكامل المحدد في كل مما يأتي: d )B d )A 1 الدر س - 5 يف سق ت ت يف ن ن يفة قج 19

171 10 f()= الم س حة تح منحنى بال : يكل ف تبليط القدم المربعة الواحدة من فناء منزل بالجرانيت. رياالا. إذا تم تبليط ممرين متطابقين في فناء المنزل بالجرانيت وكانت المساحة بالقدم المربعة ألي من الممرين ت عطى بالتكامل ( ) d 0 10 ( فما تكلفة تبليط الممرين ) d 0. i ابدأ بإيجاد غت س = b - a a = 0, b = 10 = 10-0 = 10 i س i غت = a + i 10 a = 0, = = 0 + i 10 = 10 i احسب التكامل المحدد والذي ي عطي المساحة المطلوبة. م يفة قج يف ها f( i ) = i i = 10i 10, = ي سةم سق س يف م س ب يف م سق س يف م سق س يف م س ق س ت يفة ز ا ي س ا ي س ا سق س يفندق قم ب س i =1 i =1 i =1 = lim = lim = lim f ( i ) ( i ) 10 i ( ) = lim 10 i 10 -) i =1 ( = lim 10 ( i = i =1 10 i ) 10 = lim ( i =1 i =1 i ) = lim 10 ( ( + 1)( + 1) ) = lim ( ( + + 1) ) = lim ( ( + + 1) ) = lim ( ) = lim ( lim ) = ( ) =.7 أي أن مساحة أي من الممرين تساوي.7 ft تقريبا ا لذا فإن تكلفة تبليط الممرين هي ) (.7. ريال أو 98.8 رياالا تقريبا ا. الجراني يفم ين ت سخ نقر ة ز بن س تسن سل ج د ي ل ه ي ف ف ي جإ سهة فم يج جاق قم ي جر س ل لا سةم 170 الف سل يفندق قم ي يسةاقا تحق من فهم طالء: لدى عبد الله كمية من الطلء تكفي لطلء 0 ft هل تكفي هذه الكمية لطلء جزأين من جدار 5 (5-0. بر ر إجابتك. مساحة كل منهما بالقدم المربعة ت عط ى بالتكامل )d 0 )5

172 = ) 9 العرض 0.5 ) 8 العرض = قر ب مساحة المنطقة المظللة تحت منحنى الدالة مستعمالا الطرف المعطى لتحديد ارتفاعات المستطيالت المعطى عددها في كل من األشكال أدناه: )جثقل 1( ) مستطيلت ) 1 5 مستطيلت الطرف األيمن الطرف األيسر = = ) 5 مستطيلت ) 8 مستطيلت الطرف األيمن الطرف األيمن = = 10 اأر سي ت: يرغب أحمد في تبليط جزء من فناء منزله على شكل نصف دائرة تمثله ) f() = (- + )جثقل )1 a( قر ب مساحة المنطقة نصف الدائرية باستعمال األطراف اليسرى لمستطيلت عرض كل منها وحدة واحدة. b( إذا قر ر أحمد تقريب المساحة باستعمال األطراف اليمنى واليسرى معا ا كما في الشكل أدناه فكم تكون المساحة f() = ( + 10) c( أوجد مساحة المنطقة باستعمال صيغة مساحة نصف الدائرة. أي التقريبين أقرب إلى المساحة الحقيقية فس ر إجابتك. قر ب مساحة المنطقة المظل لة تحت منحنى الدالة في كل من األشكال اآلتية مستعمالا األطراف اليمنى ثم اليسرى لتحديد ارتفاعات المستطيالت المعطى عرض كل منها ثم أوجد الوسط للتقريبين: )جثقل ) استعمل النهايات لتقريب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة والمحور والمعطى بالتكامل المحدد في كل مما يأتي: )يف ثق ن (, 0 d ) 11 d ) ( - ) d ( ) 1 + ) d ) 1 (- + 15) d (- ) 15 + ) d ) d ( ) ) d ) طب عة: ارجع إلى فقرة "لماذا " في بداية الدرس. إذا زاد عدد الكتب المطبوعة يومي ا من 1000 كتاب إلى 1500 كتاب فأوجد قيمة تكلفة الزيادة والمعطاة بالتكامل = ( ) d )جثقل ) يمكن حساب التكاملت المحددة عندما يكون أحد حدي التكامل موجبا ا واآلخر سالبا ا. a( أوجد طول قاعدة وارتفاع المثلث ثم مساحته باستعمال قانون مساحة المثلث. b( أوجد مساحة المثلث بحساب التكامل. ( + ) d - استعمل النهايات لتقريب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة والمحور والمعطى بالتكامل المحدد في كل مما يأتي: -1-1 = 0 1 ( + ) d ) 1 d ) d (- ) - ) d ) ( - ) d ) 5 ( + ) d ) - )18 )19 ) 7 العرض 0.5 ) العرض 0.5 = + 5 = - 1 )5 الدر س - 5 يف سق ت ت يف ن ن يفة قج 171

173 استعمل النهايات لتقريب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة والمحور والم عطى بالتكامل المحدد في كل مما يأتي: 0-1 (- ) d (- ) 7-7) d ) - -1 (- 1 + ) d ) 9 d ) تمثيالت متعددة: سوف تستقصي في هذه المسألة عملية إيجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين. )a بي ني : م ث ل منحنيي f () = - +, g() = في المستوى اإلحداثي نفسه وظل ل المساحتين اللتين يمث لهما 0 1 (- + ) d, التكاملن d 1 1. (- + ) d, d احسب تحليلي : b( 0 0 c( لفظي : وض ح لماذا تكون مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنيين مساويةا ل ) ثم احسب هذه القيمة + ) d - d 0 0 باستعمال القيم التي أوجدتها في الفرع. b 1 [ f() -g()[ d ثم احسب f () - g() أوجد تحليلي : )d 0 e( لفظي : خم ن طريقة إيجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين. اكت سف الخط أ: س ئل ماجد وخالد عن دقة تقريب المساحة تحت منحنى باستعمال أطراف المستطيلت فأجاب ماجد: إنه عند تقريب المساحة تحت منحنى باستعمال أطراف المستطيلت اليمنى فإن المساحة الناتجة تكون أكبر دائما ا من المساحة الحقيقية تحت المنحنى. في حين أجاب خالد: إن المساحة المحسوبة باستعمال أطراف المستطيلت اليسرى تكون أكبر دائما ا من المساحة الحقيقية تحت المنحنى. أيهما كانت إجابته صحيحة بر ر إجابتك. تبرير: افترض أن المقطع الرأسي العرضي لنفق ي عطى بالدالة. f d اشرح كيف يمكن حساب حجم النفق باستعمال f () d حيث 0 d عرض النفق إذا كان طوله معلوما ا. بر ر إجابتك اكتب: اكتب ملخصا ا للخطوات المتبعة لتقريب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى دالة والمحور على فترة معطاة. t. ( تحد : أوجد ) d + 0 اكتب: وض ح إمكانية استعمال المثلثات أو الدوائر في تقريب المساحة تحت المنحنيات. أي الشكلين يعطي تقريبا ا أفضل برأيك أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي: )يفهر س -( j() = ( + 11)( 8-1 ) f(k) = ( k 15 + k + k)(k - 7 k ) s(t) = ( t Ç - 7)( t 8-5t) أوجد ميل مماس منحنى كل دالة مما يأتي عندما = 1 : )يفهر س -( = = = ( + 1)( - ) أوجد كل نهاية مما يأتي (إن وجدت): )يفهر س -( ما مساحة المنطقة المحصورة بين + = - - والمحور في الفترة ],] 9. A وحدة مربعة تقريبا ا 90 B وحدة مربعة تقريبا ا 8.7 C وحدة مربعة تقريبا ا 5 D وحدة مربعة تقريبا ا = ( (a a - 5 a + أي مما يأتي يمث ل مشتقة a + a (a) = 8a - 5a + a A (a) = a - 5a + a + B (a) = - a + 5 a - a + C 5 (a) = - a + 10 a - 1 a + D 5 lim ما قيمة C 1 15 A 15 D 15 B ) )7 )8 )9 )0 )1 lim + ) 0 lim - + ) 1-1 lim - 9 ) - 7 )5 ) )7 )0 )1 ) ) ) )5 17 الف سل يفندق قم ي يسةاقا

174 االأ س سية في التف سل والتك مل النظرية The Fudametal Theorem of Calculus سقط قلم من جيب علي في أثناء ركوبه منطادا ا فهوى نحو األرض. إذا كانت سرعة سقوط القلم المتجهة بالقدم لكل ثانية ت عطى ب v(t) = - t فمن الممكن إيجاد االرتفاع الذي سقط منه القلم. الدوال االأ سلية والتك مل غير المحدد تعلمت في الدرسين - و - أن ه إذا أ عطي ت موقع جسم ب f () = + فإن العبارة التي تمث ل سرعة الجسم هي مشتقة () f أو + f () = لكن إذا أ عطيت عبارة تمث ل السرعة وط ل ب إليك إيجاد صيغة المسافة التي تم إيجاد السرعة منها فل بد من وجود طريقة للعمل عكسي ا والعودة إلى الدالة األصلية وإلغاء االشتقاق. وبمعنى آخر فإننا نبحث عن F() بحيث إن (). F () = f وت سم ى F() دالة أص لية للدالة. f 1 أوجد دالة أصلية لكل دالة مما يأتي: f() = )a لنبحث عن دالة مشتقتها. تذكر أن قوة في مشتقة دالة القوة أقل بواحد من قوة في الدالة. وعليه فإن قوة المتغير في F() ستكون وبما أن معامل في مشتقة الدالة يساوي قوة في الدالة فإن F() = تحقق المطلوب. حيث إن مشتقة هي - 1 أو. إن ليست الدالة الوحيدة التي تحقق المطلوب فمثلا + 10 G() = تحقق المطلوب أيضا ا ألن G () = = وكذلك - 7 H() = تحقق المطلوب. f () = )b أعد كتابة () f بقوى سالبة لتحصل على 9- f () = - 8 وبما أن قوة في مشتقة الدالة أقل بواحد من قوة في الدالة فإن قوة في F() ستكون 8- وعليه تكون 8- F =() دالة أصلية للدالة f فمشتقة -8 هي = -8. الحظ أن كل من + -8 H() = -8-1 G() = تمث ل دالة أصلية للدالة. f ار ست ي سةم قل يفندق قم فةا يف سق ت ت جن ن ايفت )يفهر س -5( يج ه ا يل يج س ت يج سةم يفن ت ي ج سق س ت لا يفةاق س يفة قج ها يف ه يفة قج ج يفهيفت ي ج س ت تحق من فهم اإيج د الدوال االأ سلية أوجد دال تين أصليتين مختلفتين لكل دالة مما يأتي: atiderivative يفة قج يف ها idefiite itegral يفن ت ي ج سق س ت لا يفةاق س يفة قج Fudametal Theorem of Calculus )1B )1A في المثال 1 الحظ أن إضافة أو طرح ثابت لدال ة أصلية ينتج عنه دالة أصلية أخرى وبشكل عام فإن إضافة أو طرح ثابت C لدالة أصلية ي نتج دالة أصلية أخرى ألن مشتقة الثابت صفر. وعليه فإن هناك عددا ا النهائي ا من الدوال األصلية ألي دالة. والشكل العام للدالة األصلية هو الشكل الذي يحوي الثابت. C الدر س - يفن ت ي ج سق س ت لا يفةاق س يفة قج 17

175 كما في المشتقات فإن هناك قواعد إليجاد الدالة األصلية. F() = + 1 ي ذي إقن f () = اها ن سلا سق -1 لق ن C ق عدة القوة ي ذي إقن f () = k اها ن سلا سق k -1 اها ي قبة ق لق ن F() = k C ي ذي إقن ف g() f() ايفةقن يج س ةقن ق F() G() ا يفة لق ن F () ± G () ايفت يج س ت ف. f() ± g() ق عدة سرب دالة القوة في عدد ث ب ق عدة المجمو والفرق قواعد الدالة االأ سلية أوجد جميع الدوال األصلية لكل دالة مما يأتي: يفهيفت يف ماقة قاهة س ايفت يفا ة لا اها قبت ب س يفهيفت يف ماقة يجاه إةقبت يفهيفت با ة سقفلت قاهة س ايفت يفا ة لا اها قبت ب س قواعد الدوال االأ سلية يفهيفت يف ماقة يجاه إةقبت يفهيفت به فت f () = 7 F() f () F() = C = C = = - f () = 7 )a f() = = C =- - + C = - + C f () = = )b f() = )c الدوال االأ سلية ا F () k= ايفت يج س ت ف f () k= ل ثي ي ذي إقن = () f لق ن F () = التك مل غير المحدد ت يفة قج س سل يف ها بد ي ي س يجن ب ايفت ج هاة ان مل ان اها ندق ا جن يفه يل ي ج س ت ياه يفهيفت ي ج س ت ب س F() = C = C تحق من فهم أوجد جميع الدوال األصلية لكل دالة مما يأتي: f() = )C f() = 10 )B f() = )A ي عطى الشكل العام للد الة األصلية باسم ورمز خاص ين. التك مل غير المحدد f () ف ت ايفت يج س F() f () d = F() + C غت بقف س f ف هيفت يف ها قج يفة ما قبت C 17 الف سل يفندق قم ي يسةاقا

176 فيزي ء: أجرى طالب الصف الثالث الثانوي في إحدى المدارس الثانوية تجربة فيزيائية تتضمن إسقاط كرة من نافذة الفصل التي ترتفع عن سطح األرض ب 0 ft وتمث ل v(t) = t- سرعة الكرة المتجهة اللحظية باألقدام بعد t ثانية من سقوطها. a( أوجد دال ة موقع الكرة s(t) بعد t ثانية من سقوطها. إليجاد دالة الموقع أوجد الدالة األصلية ل v(t). s(t) = v(t) dt التك مل غير المحدد يفمي ت ب ن يف ا يف س ات يف ةمدت v(t) = -t = -t dt = - t C = -1 t + C قاهة س ايفت يفا ة لا اها قبت ب س أوجد C بتعويض 0 ft للرتفاع االبتدائي s 0 للزمن االبتدائي. s(t) = -1 t + C 0 =-1(0 ) + C يفهيفت ي ج س ت ف v(t) s(t) = 0, t = 0 ب س 0 =C أي أن دالة موقع الكرة هي + 0. s(t) = -1 t b( أوجد الزمن الذي تستغرقه الكرة حتى تصل إلى سطح األرض. ح ل المعادلة = 0 s(t). s(t) = -1 t = -1 t + 0 ايفت ج ا يف ة s(t) = 0-0 = -1 t t 1.9 t ال سقو الحر ل يجربم ق ت اق ق ل ا ي سةنة جقف جقف ا يجن فم ا ي ج سق يفةا سا سا ق قج قل بق نا س يفة سقر ي يفد يض يجن ي يفة سقر ةقج بقج جن جقاة يفم س يف سق يج زن يج ي ر اق يف سا جن ي 0 جن إي يفا ل ن ي س إي يفا ل ن ا 1- يفم ر يفة ب ما يف ج ف ي يفا ل ن أي أن الكرة ستستغرق 1.9 s تقريبا ا حتى تصل إلى سطح األرض. تحق من فهم ( سقو ح ر: عند قيام فن ي بإصلح نافذة برج على ارتفاع 10 ft سقطت محفظت ه نحو األرض وتمث ل v(t) = - t سرعة المحفظة المتجهة اللحظية باألقدام بعد t ثانية من سقوطها. A( أوجد دالة موقع المحفظة s(t) بعد t ثانية من سقوطها. B( أوجد الزمن الذي تستغرق ه المحفظة حتى تصل إلى سطح األرض. النظرية االأ س سية في التف سل والتك مل الحظ أن الرمز الم ستعمل للتكامل غير المحدد يبدو شبيها ا بالرمز الذي است عمل للتكامل المحدد في الدرس -5 إذ إن الفرق الوحيد هو عدم ظهور حد ي التكامل األعلى واألدنى في رمز التكامل غير المحدد. إن إيجاد الدالة األصلية لدالة ما: هو طريقة مختصرة لحساب التكامل المحدد للدالة نفسها باستعمال مجموع ريمان. وهذه العلقة بين التكاملت المحددة والدوال األصلية ذات أهمية كبيرة وت سمى النظرية األساسية ف ي التفاضل والتكامل. ي ذي إقنت F() ايفت يج س ت ف هيفت يف ة س ت () f لق ن b f () d = F (b) - F (a) a F() b a النظرية االأ س سية في التف سل والتك مل ن يفةمل ان يفا ف ي ج ن جن يفملقرة بقف جز الدر س - يفن ت ي ج سق س ت لا يفةاق س يفة قج 175

177 من نتائج النظرية األساسية في التفاضل والتكامل أنها ربطت بين التكاملت والمشتقات فالتكامل هو عملية إيجاد دوال أصلية في حين أن االشتقاق هو عملية إيجاد مشتقات. لذا فإن عمليتي التكامل واالشتقاق هما عمليتان عكسيتان ويمكننا استعمال النظرية األساسية في التفاضل والتكامل لحساب التكاملت المحددة دون الحاجة إلى استعمال النهايات. الم س حة تح منحنى استعمل النظرية األساسية في التفاضل والتكامل لحساب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى كل دالة مما يأتي والمحور على الفترة المعطاة: = 1 قاهة س ايفت يفا ة لا اها قبت ب س. d على الفترة ], 1 ] أي = )a 1 أوالا : أوجد الدالة األصلية. d = C = + C اآلن: احسب قيمة الدالة األصلية عند الحدين األعلى واألدنى للتكامل ثم أوجد الفرق. = + C d 1 1 a = 1, b = = (() + C) - ((1) + C) يفن ت ي ج سق س ت لا يفةاق س يفة قج ب س = 81-1 = 80 م ري اأجن سن ( ) اقف ت ي اقف ت ب ات لا يف غقم مه قم يف ق س يفا سات إةقبدق Aaltical Istitutios يج ل إةق نق تس سقبا يفةاق س جم ق يفة قج أي أن مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى = والمحور على الفترة ],1] هي 80 وحدة مربعة. 8 = (- + + ) d على الفترة ], 0 ] أي = )b 0 أوالا : أوجد الدالة األصلية. (- + + ) d = C = C 17 الف سل يفندق قم ي يسةاقا ياه يفهيفت ي ج س ت ب س اآلن: احسب قيمة الدالة األصلية عند الحدين األعلى واألدنى للتكامل ثم أوجد الفرق. يفن ت ي ج سق س ت لا يفةاق س يفة قج a = 0, b = ب س (- + + ) d 0 = C 0 = (- () + ( ) + () + C) - (- (0) + (0 ) + (0) + C) أي أن مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى + = - + والمحور على الفترة ] [0, هي.7 وحدة مربعة تقريبا ا. تحق من فهم احسب كل تكامل محدد مما يأتي: (1-5 ) d )B d )A 1 الحظ أنه عند حساب قيمة الدالة األصلية عند الحدين األعلى واألدنى للتكامل وحساب الفرق بين القيمتين فإن C لن تظهر في الناتج وذلك ألن C موجودة في كلتا الدالتين األصليتين فإن الفرق بين قيمتي C يساوي صفرا ا. لذا فإنه لحساب تكامل محدد باستعمال النظرية األساسية في التفاضل والتكامل يمكنك إهمال الثابت C وعدم كتابته في الدالة األصلية.

178 قبل حساب التكامل حد د ما إذا كان محددا ا أو غير محدد. احسب كل تكامل مما يأتي: (9 - ) d )a هذا تكامل غير محدد. استعمل قواعد الدالة األصلية لحسابه. ياه يفهيفت ي ج س ت ب س (9 - = ) d C = C (9 - ) d )b هذا تكامل محدد. احسب قيمة التكامل باستعمال قيمة الدالة األصلية عند الحدين األعلى واألدنى. يفن ت ي ج سق س ت لا يفةاق س يفة قج a =, b = ب س التك مالت المحددة وغير المحددة = ( 9 - ) (9 - ) d = ( 9 () - () ) - 9 () - () = =.5 5 التك مالت مق ن يجن س يفثقبت C انه سق يفة قج يف ها ي يجن م يج بم ن ي اةلقر انه سق يفة قج يف ها جن جزض جن يفهيفت ي ج س ت تحق من فهم احسب كل تكامل مما يأتي: ( ) d )5B ( ) d )5A 1 الحظ أن التكامل غير المحدد ي عطي الدال ة األصلية في حين ال ي عطي التكامل المحدد الدالة األصلية بصورة صريحة بل هو الفرق بين قيمتي الدالة األصلية عند الحدين األعلى واألدنى. أي أن التكامل غير المحدد يعطي دالة وهي الدالة األصلية ويمكن استعمالها إليجاد مساحة المنطقة تحت منحنى الدالة بين أي حدين أعلى وأدنى ليصبح التكامل عندها محددا ا. 0.5 ي عطى الشغل الالزم لشد نابض ما مسافة 0.5 m من موضعه الطبيعي بالتكامل. 0 d 0 ما قيمة الشغل الالزم لشد النابض مقيسا ا بوحدة الجول d 0 احسب قيمة التكامل المحدد. يفة قج ت لا يفةاق س ي ج سق س يفن ت لا اها قبت ايفت يفا ة س قاهة a = 0, b = 0.5 ب س = = 180(0.5 ) - 180(0 ) = 5-0 = 5 أي أن الشغل اللزم هو. 5 J تحق من فهم التك مالت المحددة أوجد الشغل الالزم لشد نابض مسافة ما والمعطى بالتكامل في كل مما يأتي: d )B 7 d )A 0 0 الدر س - يفن ت ي ج سق س ت لا يفةاق س يفة قج 177

179 أوجد جميع الدوال األصلية لكل دال ة مما يأتي: )يف ثق ن ) 1, f() = 5 f(z) = z Ç q(r) = r r 1 + r 1 w(u) = u u - 5 u u(d) = 1 d d - d +.5 m(t) = 1 t - 1 t + 0 t - 11 سقو حر: ارجع إلى فقرة "لماذا " في بداية الدرس. افترض أن القلم قد استغرق s حتى الوصول إلى سطح األرض. )جثقل ). s(t) = -t dt أوجد دالة الموقع )a. s(t) =0 t = s عندما C احسب قيمة )b c( ما ارتفاع القلم عن سطح األرض بعد 1.5 s من سقوطه احسب كل تكامل مما يأتي: )يف ثق ن ), 5 احسب كل تكامل مما يأتي: (- + 10) d ) 17 d ) 1 ( ) d ) ) d ) ( 5 - ( ) d - مقذوف ت: ت عطى سرعة مقذوف ب + 10 t v(t) = - حيث v(t) السرعة المتجهة باألقدام لكل ثانية بعد t ثانية ويبلغ ارتفاعه. s بعد 8 ft a( أوجد أقصى ارتفاع يصله المقذوف. b( أوجد سرعة المقذوف عندما يصل إلى سطح األرض. احسب كل تكامل مما يأتي: (10 t - 1 t + 5) dt ( t ) + 8t) dt ) - (-9 t + t) dt ( t ) t + ) dt ) + ( t + t + 1) dt (1 t ) 7-15 t + 7) dt ) حجم الكرة: يمكن إيجاد حجم كرة طول نصف قطرها R بقصها إلى حلقات دائرية من خلل مستويات رأسية متوازية ثم إجراء تكامل لحساب مساحات الحلقات الدائرية. R R - )0 )1 )8 5 1 ( a - a + ) da ( 1 h + h h ) dh 1 (. t - 1. t +. t ) dt )1 ) ) ) )5 ) )7 (m + 1 m ) dm )8 d )9 )10 )11 )1 (1. w w w. + ) dw )1 ح سرات: ت عطى سرعة قفز حشرة ب + t v(t) = - حيث t الزمن بالثواني و v(t) السرعة المتجهة باألقدام لكل ثانية. )جثقل ) C للحشرة ثم احسب قيمة الثابت s(t) أوجد دالة الموقع a( بفرض أنه عندما = 0 t فإن = 0 s(t). b( أوجد الزمن من لحظة قفز الحشرة حتى هبوطها على سطح األرض هند سة: صم م مهندس مدخل بناية على شكل قوس يمكن وصفه - = حيث باألقدام. احسب مساحة المنطقة ب تحت القوس. )جثقل ) يبلغ طول نصف قطر كل حلقة ÇÇÇ R - أي أن مساحة كل حلقة هي ). π ( ÇÇÇ R - R (π R لحساب حجم الكرة. أوجد - π ) d -R م س ح ت: احسب مساحة المنطقة المظل لة في الرسم والمحصورة بين منحنيي f() g() والمحور في الفترة 1. 9 f() = + 1 g() = )9 )1 ) الف سل يفندق قم ي يسةاقا

180 تمثيالت متعددة: ستستكشف في هذه المسألة العلقة بين قيمة تكامل دالة على فترة ومساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة والمحور وتأثير موقع الدالة بالنسبة لمحور على إشارة التكامل. )a هند سي : م ث ل الدالة f() = بياني ا وظل ل المنطقة المحصورة بين f() والمحور في الفترة 0. b( تحليلي : احسب كل من: ( - + 8) d, ( - + 8) d 0 c( لفظي : أعط تخمينا ا حول مساحة المنطقة الواقعة فوق أو تحت المحور. d( تحليلي أوجد التكامل على الفترة كاملة من خلل حساب ( ثم أوجد المساحة الكلية من خلل - + 8) d 0 حساب ( - + 8) d + 0 ( - + 8) d e( لفظي : أعط تخمينا ا حول الفرق بين قيمة التكامل على الفترة كاملة والمساحة الكلية. استعمل النهايات لتقريب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة والمحور والمعطاة بالتكامل في كل مما يأتي: )يفهر س -5 ) ( + ) d 1 ) 9 d ) استعمل قاعدة القسمة إليجاد مشتقة كل دالة مما يأتي: )يفهر س -( k j(k) = 8-7k )0 k + 11 k g() = lim فأوجد قيمة.a )يفهر س - ) إذا كان = 8 ) 1 ( + a أوجد معادلة ميل منحنى كل دالة مما يأتي عند أي نقطة عليه: )يفهر س -( = + = إذا كان = d k فما قيمة k 0 1 A B C D )1 ) ) ) )5 r )1 تحد : احسب قيمة ÇÇÇ r - d حيث r عدد ثابت. -r تبرير: ح د د ما إذا كانت كل عبارة مما يأتي صحيحة دائما ا أو صحيحة أحيانا ا أو غير صحيحة أبدا ا. بر ر إجابتك: b a f() d = f() d a b b -a f() d = f() d a -b b a f() d = f() d a b )0 ) ) ) بره ن: أثبت أنه ألي عددين ثابتين m فإن b b b. ( + m) d = d + m d a a a b تبرير: صف قيم f (), f( i ), f() d عندما يقع i=1 a التمثيل البياني للدالة f تحت المحور في الفترة. a b اكتب: بي ن لماذا يمكننا إهمال الحد الثابت C في الدالة األصلية عند حساب التكامل المحدد. )5 ) )7 الدر س - يفن ت ي ج سق س ت لا يفةاق س يفة قج 179

181 دليل الدرا سة والمراجعة مف هيم اأ س سية تقدير النه ي ت بي ني )يفهر س 1- ) ن ندق ت () f انهجق اة جن c ج ج اة ي ذي لا ي ذي إقنت يفندق ةقن جن يف ن يف سقر ج ج ا ن جة سق ة ن f () ي ة بت ج ج اةي ذي جنc انهجق اة f () نندق ت جن ة نجخة اة نانهي ة ي جنيفمهاc جنيف سقر جن يف ن يج انهجق زايا f () يج ةنق سبتس ج ه اانه ي ة ي جن يفمها c جن يف سقر يج يف ن يج إ د ق يج انهجق. جنc نانهي ة ي نجخة اة ة ب ن f () ب ة ح س ب النه ي ت جبري )يفهر س -( ن ي مقا ندق قم إث يم يف ه ا يفه يل يفن سل ت اقاة جن يف لقيس يفةم س يل انه سق ندق ت ايفت ي ذي س ت ي ف يف س غت يف هاة 0 0 ن سل ت لل س يفملقرة جل ق جن يل إ جن يفل س يفم يج ي ة سقر اق يف يج يفل س ي ناقا يج اق يف يف تسة إت المم س وال سرعة المتجهة )يفهر س -( ج مه ل يفةغ يف ا ف هيفت f انه يفناات ((),) f ج يف ق س m انه يفناات (() ما,) f بقف س غت = f() ( + h, f( + h)) (, f()) h m = lim h 0 f( h) + f() + h f ( + h) - f () h الم ستقة )يفهر س - ) جز ف تسةات f () = بقف جز () ما f بقف س غت اا اها ا f () = - 1 الم س حة تح المنحنى والتك مل )يفهر س -5( f () يفهيفت ب ن جن ن يف ناات يف س رة ج سق ت ما يف ر بقف س غت b a b f () d = lim f ( ق a i ) i=1 يف هين ي جا ي جان ف ة قج = b - a, i = a + i النظرية االأ س سية في التف سل والتك مل )يفهر س -( يفهيفت ي ج س ت ف ا f () = F() ما بقف س غت + 1 C F() = اها قبت C ي ذي إقنت F() ايفت يج س ت ف هيفت يف ة س ت () f لق ن المفردات يفندق ت جن جدت ي هة س 10 يفندق ت جن جدة ن س 10 يفةم س يف لقيس س 19 يف س غت يف هاة س 10 يف ق س س 19 ج مهل يفةغ يف ا س 19 س ت يفا ا س 19 يف س ات يف ةمدت يف ت س 151 يف تسةات س 15 ي يسةاقا س 15 يف مقافت يفةاق س ت س 15 اختبر مفردات اختر المفردة المناسبة لكل عبارة مما يأتي: يف يفةاق س ا س 15 يفةمز ض يف نة س 1 يفة قج يف ها س 17 يف ه ي جان س 17 يف ه ي جا س 17 جم ر قن ي ج ن س 17 يفة قج س 17 يفهيفت ي ج س ت س 17 يفة قج يف ها س 17 يفن ت ي ج سق س ت لا يفةاق س يفة قج س 175 والذي ميل المنحنى غير الخطي عند نقطة عليه هو 1( يمكن تمثيله بميل مماس منحنى الدالة عند تلك النقطة. ( يمكن إيجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى دالة والمحور باستعمال. ( يمكن إيجاد نهايات دوال كثيرات الحدود والدوال النسبية باستعمال وذلك إذا كان مقام الدالة النسبية ال يساوي صفرا ا عند النقطة التي ت حسب عندها النهاية. ) إذا كان () F () = f فإن F() ت سمى ل (). f 0 5( ي سمى ناتج التعويض في النهايات على الصورة 0 ب. ( ت سمى عملية إيجاد المشتقة ب. 7( إذا س بقت دالة ب الدالة. d فإن ذلك يعني إيجاد مشتقة d 8( يطلق على السرعة المتجهة عند لحظة زمنية محددة. a b f () d = F(b) - F(a) 180 الف سل يفندق قم ي يسةاقا

182 الدرو س مراجعة قد ر كل نهاية مما يأتي باستعمال التمثيل البياني ثم عز ز إجابتك باستعمال جدول قيم: lim ( - 7 ) )9 lim ( ) )10 1 قد ر كل نهاية مما يأتي: lim باستعمال التمثيل البياني ثم عز ز إجابتك باستعمال 1 - قد ر - جدول قيم. f () = - أدناه أنه التحليل بي ني : ي بي ن التمثيل البياني للدالة - كلما اقتربت قيم من العدد فإن قيم () f المقابلة تقترب من lim بالعدد. - لذا فإن بإمكاننا تقدير - -1 تقدير النه ي ت بي ني ال سفح ت f() = lim )11 التعزيز عددي : كو ن جدول قيم باختيار قيم القريبة من العدد من كل الجهتين. اة جن اة جن f () lim )1 - lim )1 lim )1 - يبي ن نمط قيم () f أنه كلما اقتربت قيم من العدد من اليسار ومن اليمين فإن قيم () fتقترب من العدد. استعمل خصائص النهايات لحساب كل نهاية مما يأتي: lim )15 5 lim -1 ( ) )1 احسب كل نهاية مما يأتي باستعمال التعويض المباشر إذا كان ممكنا ا وإال فاذكر السبب. احسب كل نهاية مما يأتي باستعمال التعويض المباشر إذا كان ذلك ممكنا ا وإال فاذكر السبب. lim ( ) )a بما أن هذه نهاية كثيرة حدود لذا يمكننا حسابها باستعمال التعويض المباشر. lim ( ) = ( ) - + () + 1 = = 1-7 lim - - بما أن هذه نهاية دالة نسبية مقامها ليس صفرا ا عندما - = لذا يمكننا حسابها باستعمال التعويض المباشر. - 7 lim - - = (-) (-) = = 15 1 )b ح س ب النه ي ت جبري )يف سا قم 1 17 ) - lim Ç - 5 )17 lim ( ) )18 احسب كل نهاية مما يأتي: lim )19 lim ( - + ) )0 الف سل اف يفهري ست يف الدر س - يجمت 181

183 دليل الدرا سة والمراجعة أوجد ميل مماس منحنى = عند النقطة ) (,. f ( + h) - f () m = lim h 0 h = lim f ( + h) - f () h 0 h = lim ( + h ) - h 0 h = lim + h + h - h 0 h = lim h( + h) h 0 h = lim ( + h) h 0 أوجد ميل مماس منحنى كل دالة مما يأتي عند النقاط المعطاة : = -, (-1, 7), (, ) )1 = +, (0, ), (-1, ) ) أوجد معادلة ميل منحنى كل دالة مما يأتي عند أي نقطة عليه: = - + ) = + ) تمث ل s(t) في كل مما يأتي موقع جسم باألقدام بعد t ثانية. أوجد سرعة الجسم المتجهة اللحظية عند الزمن المعطى: s(t) = 15t - 1 t, t = 0.5 )5 s(t) = -1 t - 5t + 00, t =.5 ) تمث ل h(t) في كل مما يأتي مسار جسم متحرك. أوجد السرعة المتجهة اللحظية v(t) للجسم عند أي زمن: س غت ج مه ل يفةغ يف ا = f ( + h) = ( + h ), f () = ل ي ج ي س ب س ي س ا h = 0 = + ا س أي أن ميل مماس منحنى = عند النقطة (,) هو. - المم س وال سرعة المتجهة )يف سا قم ) h(t) = 8 - t + t )8 h(t) = 1 t - 5 )7 أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي باستعمال النهايات ثم احسب قيمة المشتقة عند النقاط المعطاة. g(t) = - t + 5t + 11, t = -, 1 )9 m( j) = 10j -, j = 5, - )0 أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي: z() = + 9 ) p(v) = -9 v + 1 )1 g(h) = h - 8 h ) t() = - 5 Ç ) استعمل قاعدة مشتقة القسمة إليجاد مشتقة كل دالة مما يأتي:. h() = - 5 أوجد مشتقة + افترض أن +. f () = - 5, g () = لذا f (), g() أوجد مشتقة كل من. h() = f ()/g() جن يفا س ياه جتسةاقم يفا ة يفهيفت يفثقبةت جن يفا س ياه جتسةاقم يفا ة يفهيفت يفثقبةت f () = - 5 f () = g() = + g () = استعمل () f (), f (), g(), g إليجاد مشتقة h(). قاهة جتسةات يفا س ت ا س ب س h () = f ()g () - f() g () [ g() [ = ( + ) - ( - 5) ( + ) = ( + ) m(q) = q - q + 9 q الم ستق ت )يف سا قم 1 15 ) ) f(m) = 5 - m 5 + m )5 18 الف سل يفندق قم ي يسةاقا

184 i = i قر ب مساحة المنطقة المظللة تحت منحنى كل دالة مما يأتي باستعمال األطراف اليمنى و 5 مستطيالت: f() = )8 )7 f() = 8 استعمل النهايات لتقريب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة والمحور والمعطى بالتكامل المحدد في كل مما يأتي: استعمل النهايات إليجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى. d في الفترة ] [0, أو والمحور = 0. i ابدأ بإيجاد, = ب س يف م س ب س يج اقجي جتسة إ ق ا ي س سق س يفندق قم غت س = b - a = - 0 = b =, a = 0 = 0 + i a = 0, = i=1 d = lim 0 = lim ( i=1 i ( i) ( ) i ) = i = lim ( ( + 1)( + 1) ) = lim ( 8( + + 1) ) = lim 8 ( ) = 1 5. d )9 1 ( - 1) d )0 0 ( + ) d )1 0 ( - ) d ) 1 أوجد جميع الدوال األصلية لكل دالة مما يأتي: g() = 5 - ) r(q) = - q + 9q - ) m(t) = t - 1 t + t - 11 )5 p(h) = 7 h + h 5-1 h - ) 1 احسب كل تكامل مما يأتي: أوجد جميع الدوال األصلية لكل دالة مما يأتي: يجاه إةقبت يفهيفت يف ماقة با ة سقفلت قاهة س ايفت يفا ة لا اها قبت ب س يفهيفت يف ماقة يجاه إةقبت يفهيفت به فت ياه يفهيفت ي ج س ت ب س f ()= -5 F() = C f () = 5 = C = C f ()= - 7 = )a f () = - 7 )b F() = C = C 5 الم س حة تح المنحنى والتك مل )يف سا قم 17 1 ) النظرية االأ س سية في التف سل والتك مل )يف سا قم ( -5-8 d )7 ( - ) d )8 5 ( ) d )9 ( ) d )50 الف سل اف يفهري ست يف الدر س - يجمت 18

185 دليل الدرا سة والمراجعة 51( حيوان ت: ي عطى عدد الحيوانات P في محمي ة طبيعية بالمئات بعد. t حيث 5 P(t) = 0 t + 8t t سنة بالدالة 5 t - 70t - 95 )يفهر س -1( a( أوجد العدد التقريبي للحيوانات في المحمي ة بعد 5 سنوات. b( أوجد( P(t lim t 5( تحف فنية: لدى سلمان تحفة فنية يزداد سعرها كل سنة. 800t افترض أن الدالة = v(t) تمث ل سعر التحفة بعد t سنة t + 19 بمئات الرياالت. )يفهر س 1- ( تطبيق ت وم س ئل 55( رم ية: أطلق محمد سهما ا بسرعة 5 ft/s باتجاه هدف. افترض أن ارتفاع السهم h باألقدام بعد t ثانية من إطلقه م عطى بالدالة t. h(t) = -1 t + )يفهر س - ). 0 t استعمل اآللة البيانية لتمثيل الدالة في الفترة 10 a( b( استعمل التمثيل البياني في الفرع a لتقريب سعر التحفة عندما. t =,, 10 استعمل التمثيل البياني في الفرع a لحساب v(t). lim t )c وض ح العلقة بين نهاية الدالة وسعر التحفة. d( e( بعد 10 سنوات قد م أحد المعارض الفنية عرضا ا لشراء التحفة من سلمان بسعر 0000 ريال هل من األفضل بيعها بهذا السعر بر ر إجابتك. 50 5( مبيع ت: افترض أن الدالة = v(t) تمث ل سعر سلعة t 5 + 5(0. ) ما بالرياالت بعد t سنة. )يفهر س -( a( أكمل الجدول أدناه: ال سنة ال سعر t استعمل اآللة البيانية لتمثيل الدالة في الفترة 10 b( يل البياني لتقدير v(t) lim إذا كانت موجودة. استعمل التمث t )c وض ح العلقة بين نهاية الدالة وسعر السلعة. d( 5( سواري : أ طلق صاروخ رأسي ا إلى أعلى بسرعة 150. ft/s افترض أن ارتفاع الصاروخ h(t) باألقدام بعد t ثانية ي عطى بالدالة t. h(t) = -1 t + )يفهر س )- a( أوجد السرعة المتجهة اللحظية v(t) للصاروخ. b( ما سرعة الصاروخ بعد 1.5 s من إطلقه c( متى يصل الصاروخ إلى أقصى ارتفاع d( ما أقصى ارتفاع يصل إليه الصاروخ a( اكتب معادلة السرعة المتجهة اللحظية( v(t للسهم. b( ما سرعة السهم بعد s/0.5 من إطلقه c( متى يصل السهم إلى أقصى ارتفاع d( ما أقصى ارتفاع يصل إليه السهم 5( ت سميم: يقوم مصمم ألبسة رياضية بعمل شعار جديد يشبه المنطقة المظللة تحت المنحنى أدناه حيث سيقوم بخياطة هذا الشعار على قمصان العبي فريق رياضي ما مقدار القماش الذي يحتاج إليه لعمل 50 شعارا ا إذا كانت بالبوصات )يفهر س -( 8 = ( سف د : تمث ل الدالة + t- v(t) = سرعة قفز ضفدع باألقدام لكل ثانية حيث t الزمن بالثواني. )يفهر س -(.t عندما = 0 s(t) على فرض أن = 0 s(t) أوجد موقع الضفدع )a b( ما الزمن الذي يستغرقه الضفدع في الهواء عند قفزه 58( طيور: سقطت حبة قمح من منقار حمامة تطير على ارتفاع 0 ft وت عطى سرعة سقوط الحبة بالدالة v(t) = t- حيث t الزمن بالثواني v(t) باألقدام لكل ثانية. )يفهر س -( a( أوجد موقع الحبة s(t) عند أي زمن. b( أوجد الزمن الذي تستغرقه الحبة حتى تصل إلى سطح األرض. 18 الف سل يفندق قم ي يسةاقا

186 اختب ر الف سل b ( ) 1 (1 lim lim قد ر كل نهاية مما يأتي: ) lim ÇÇÇ ) ) lim ) اإلكتروني ت: ي عطى متوسط تكلفة إنتاج جهاز إلكتروني بالريال C() = عند إنتاج جهاز بالدالة a( احسب نهاية الدالة عندما تقترب من الماالنهاية. a. ف س ر الناتج في الفرع b( احسب كل نهاية مما يأتي باستعمال التعويض المباشر إذا كان ممكنا ا وإال فاذكر السبب: lim ( ) 9 ) 7 lim ) 5 ÇÇÇ - - S(t) = 000 t + عدد المشتركين في ن د ري سي: ت مث ل الدالة t ناد رياضي بعد t يوم من افتتاحه. lim ( - 8-5) ÇÇÇ lim a( ما عدد المشتركين في البداية b( ما أكبر عدد ممكن لمشتركي النادي احسب كل نهاية مما يأتي (إن وجدت): ) 10 lim ) ) 9 ) 1 lim ) lim C A D 0 B غير موجودة اختي ر من متعدد: ما قيمة أوجد ميل مماس منحنى كل دالة مما يأتي عند النقاط المعطاة: ) = ( + 1 ), (-, 5), (0, 1) أوجد السرعة المتجهة اللحظية v(t) لجسم ي عطى موقعه عند أي زمن بالدالة h(t) في كل مما يأتي: أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي: f() = )0 b(c) = c 1-8 c + 5 c 5 )1 w() = + 1 ) g() = ( - )( - 5) h(t) = t + t + t t سن عة: ت عطى التكلفة الحد ية c بالريال إلنتاج كرة قدم يومي ا بالدالة. c() = a( أوجد دالة تمث ل التكلفة الحقيقية. b( أوجد تكلفة زيادة اإلنتاج اليومي من 1500 كرة إلى 000 كرة. استعمل النهايات لتقريب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة والمحور والمعطاة بالتكامل المحدد في كل مما يأتي: ( - + ) d ) d 5 ( ) d أوجد جميع الدوال األصلية لكل دال ة مما يأتي: d(a) = a + 9 a - a + 8 )9 w(z) = z + 1 z - )0 5 احسب كل تكامل مما يأتي: ( ) d ( + - ) d م س ح ت: ما مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيي f() g() في الفترة في الشكل أدناه 0 g() 0 = وحدة مساحة 1 f() = 5 17 وحدة مساحة C 1 A 1 17 وحدة مساحة 1 D وحدة مساحة B ) ) )5 )7 )8 )1 ) ) h(t) = 9t + t h(t) = 10 t - 7 t h(t) = t - + t )5 )8 )1 = + - 8, (-5, 7), (-, -8) )1 = +, (-1, -), (, 5 )15 )1 )17 )18 )19 الف سل ي ةلقر الدر س - يفا س 185

187 ال سي المتجه ت a + b = a 1 + b 1, a + b, a + b جمع متجهين في الم ستوى a + b = a 1 + b 1, a + b جمع متجهين في الف س ء a - b = a + (-b) = a 1 - b 1, a - b, a - b طرح متجهين في الم ستوى a - b = a 1 - b 1, a - b طرح متجهين في الف س ء ka = k a 1, k a, k a k a = k a 1, k a سرب متج في عدد حقيقي في الم ستوى سرب متج في عدد حقيقي في الف س ء a b = a 1 b 1 + a b + a b t (u v) = t 1 u 1 v 1 t u v t u v a b = a 1 b 1 + a b ال سرب الداخلي لمتجهين في الم ستوى الزاوية بين متجهين ال سرب الداخلي لمتجهين في الف س ء ال سرب القي سي الثالثي cos θ = a b a b v = ÇÇÇÇÇÇÇÇÇ ( - 1 ) + ( - 1 ) طول متج a b = ( a b - a b ) i - ( a 1 b - a b 1 ) j + ( a 1 b - a b 1 ) k ال سرب االتج هي لمتجهين في الف س ء االإحداثي ت القطبية z 1 z = r 1 r [cos ( θ 1 + θ ) + i si ( θ 1 + θ )[ z 1 z = r 1 r [cos ( θ 1 - θ ) + i si ( θ 1 - θ )[ الق سمة سيغة سيغة ال سرب z = [r (cos θ + i si θ) [ = r (cos θ + i si θ) ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ r 1 + r - r 1 r cos ( θ - θ 1 ) الم س فة ب ل سيغة القطبية نظرية ديموافر r 1 (cos θ + kπ + i si θ + kπ ) الجذور المختلفة االحتم ل واالإح س ء P(X) = C p q -! = ( - )!! p q - z = X - µ σ سيغة الدرجة المعي رية قيمة z سيغة احتم ل ات حدين النه ي ت c lim [ f () - g()[ = lim f () - lim c c g() lim [ f () + g()[ = lim f () + lim خ سية الجمع g() c c c خ سية الفرق c lim [ f () g()[ = lim f () lim c c g() lim [ kf ()[ = k lim c c f () خ سية ال سرب في عدد حقيقي خ سية ال سرب c lim [ f ()[ = [ lim c f ()[ lim f () c g() = c lim f (), lim lim g() c g() 0 c خ سية الق سمة خ سية القوة lim ÇÇ c f () = ÇÇÇ lim f(), lim خ سية الجذر > 0 f() c c النوني ال سرعة المتجهة ال سرعة ال سرعة المتو سطة المتجهة المتجهة اللحظية f (b) - f (a) v avg = b - a f (t + h) - f (t) v (t) = lim h h 0 18 ال سي والرموز

188 ال سي الم ستق ت إذا كان h() f() = g() ± فإن (). f () = g () ± h ق عدة م ستقة القوة ق عدة م ستقة المجمو اأو الفرق إذا كان f() = حيث عدد حقيقي فإن -1. f () = d d f () g() = f () g() - f () g () [ g() [ ق عدة م ستقة ال سرب ق عدة م ستقة الق سمة d [ f() g()[ = f () g() + f () g () d التك مالت b f() d = F(b) - F(a) a التك مل غير المحدد النظرية االأ س سية في التف سل والتك مل f() d = F() + C الرموز f -1 اق ا جم س يفهيفت f b فيج سق س ف قر ة lo g b ي قا log يف م ات يفخقف ت يف قر ة يفمتس a, b ج س يفمها يف س يف ج يف ةم AB! a لقا جقج ذة r لا إ ج ة يف ةم a P r a يل جقج ذة r لا إ ج ة جاهير يف ةم a C r يف م جن = 1 ي ف k يف س فم نت k =1 جم ات ي جاهيا يفن سل ت جم ات ي جاهيا يفن سل ت Q I µ جم ات ي جاهيا يف س ت يف س ف مة ا Z S جم ات ي جاهيا يف ت ي ن يف يف م قر فم نت W σ جم ات ي جاهيا يفال م ت ي ن يف يف م قر ف مة ا N f () جق ندق ت جتسةات يفهيفت f() سقف جق ندق ت يفة قج يف ها - b a يفندق ت انهجق اة جن c ايفت يفا ت يف ا ات يفة قج يف ها f() ف هيفت ت يفهيفت ي ج س F() lim c f() = A يفهيفت جةمهاة يفةم يف ه يف ة f() = { P(A) ايفت يجإل اها س ي ة قل يف ه A f() = P(B A) يف هة يفةخ ت ي ة قل B بتس ا A i ال سي والرموز 187