ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 1 ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ

Transcript

1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 1 ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΝΟΜΟΙ ΝΕΥΤΩΝΑ ΘΕΜΑ 1 Σε μια κατασκευαστική εργασία χρησιμοποιείτε ένα μικρό γερανό ο οποίος έχει τις εξής προδιαγραφές: Όριο θραύσης συρματόσχοινου: T max = 5250 Ν. Ο κινητήρας προσδίδει στο φορτίο μέγιστη επιτάχυνση α max =5,0 m/s 2 όταν αυτός ξεκινά να ανεβάζει το φορτίο του. Να υπολογίσετε τη μάζα του μέγιστου φορτίου την οποία μπορεί να ανυψώσει κατακόρυφα ο συγκεκριμένος γερανός χωρίς να σπάσει το συρματόσχοινο. (g = 9,80 m/s 2 ). ΘΕΜΑ 2 Έχετε φορτώσει στην καρότσα ενός φορτηγού ένα μαρμάρινο όγκο που έχει μάζα m = 2350 kg. Να υπολογίσετε τη μέγιστη γωνία ανατροπής της καρότσας του φορτηγού ώστε ο μαρμάρινος όγκος να μην ολισθήσει. Ο συντελεστής στατικής τριβής ολίσθησης μεταξύ μαρμάρινου όγκου και καρότσας φορτηγού είναι μ s =0,85. (g = 9,80 m/s 2 ). ΘΕΜΑ 3 Ως συνεργάτης μηχανικός σε ένα έργο έχετε αναλάβει την ευθύνη για την ασφαλή μεταφορά μαρμάρινων όγκων με φορτηγά. Γνωρίζετε από την τεχνική μελέτη του έργου ότι κάθε μαρμάρινος όγκος έχει μάζα m = 2350 kg. Γνωρίζετε επίσης ότι, από μελέτες που έχουν γίνει, τα περισσότερα τροχαία ατυχήματα καταλήγουν σε ανθρώπινα θύματα και σε καταστροφή οχημάτων όταν ο οδηγός δεν αντιδράσει γρήγορα και το όχημα ακινητοποιηθεί σε χρονικό διάστημα Δt c > 2,0 s. Ως υπεύθυνος μηχανικός πρέπει να υποδείξετε στους οδηγούς των φορτηγών την μέγιστη ταχύτητα υ max με την οποία πρέπει να κινούνται τα φορτηγά για την ασφαλή μεταφορά του φορτίου τους. Να υπολογίσετε τη μέγιστη αυτή ταχύτητα. Ο συντελεστής στατικής τριβής ολίσθησης μεταξύ μαρμάρινου όγκου και καρότσας φορτηγού είναι μ s = 0,85. ΘΕΜΑ 4 Τα φορτηγά με τα φορτία που αναφέρονται στην άσκηση 3 πρέπει να ανέβουν ένα ανηφορικό δρόμο ο οποίος σχηματίζει γωνία θ = 35 0 με το οριζόντιο επίπεδο. Στις περισσότερες περιπτώσεις, όταν τα φορτηγά αναβαίνουν ανηφόρες, οι στροφές την μηχανής πέφτουν και οι οδηγοί είναι αναγκασμένοι να ανεβάσουν τις στροφές για να μη σβήσει η μηχανή. Αυτό σημαίνει ότι ο οδηγός πατάει περισσότερο το γκαζ και το αυτοκίνητο επιταχύνεται μέχρι να φθάσει την επιθυμητή ταχύτητα. Ως υπεύθυνος μηχανικός πρέπει να υποδείξετε στους οδηγούς των φορτηγών να προσέξουν να μην υπερβούν μια μέγιστη επιτάχυνση α max γιατί θα υπάρξει κίνδυνος να ολισθήσουν οι μαρμάρινοι όγκοι προς το πίσω μέρος της καρότσα. Να υπολογίσετε τη μέγιστη αυτή επιτάχυνση.

2 ΘΕΜΑ 5 Θέλετε να κρεμάσετε μια ατσάλινη δοκός που έχει μάζα m = 1000 kg σε δυο σκοινιά με τον τρόπο που δείχνει το παρακάτω σχήμα. Το σχοινί ή τα σχοινιά που θα χρησιμοποιήσετε για το κρέμασμα της δοκού σε ποιες δυνάμεις πρέπει να αντέχουν για να μη σπάσουν; ΘΕΜΑ 6 Στα παρακάτω 3 συστήματα τροχαλιών είναι αναρτημένη η ίδια μάζα m = 125 kg. Στην κατάσταση ισορροπίας, να αποδείξετε με τι ισούται η κάθε μια από τις δυνάμεις F 1, F 2 και F 3 και να υπολογίσετε τις τιμές των δυνάμεων αυτών. Τι συμπέρασμα βγάζετε από τα αποτελέσματα αυτά. F 1 F 2 F m m m ΘΕΜΑ 7 Η μέγιστη δύναμη με την οποία ένας κινητήρας ωθεί σε κίνηση ένα sport αυτοκίνητο σε οριζόντιο δρόμο είναι F=3500 N. Διατηρώντας τη δύναμη αυτή σταθερή, να υπολογίσετε τη μέγιστη ταχύτητα υ max την οποία θα μπορούσε να αποκτήσει το αυτοκίνητο αυτό όταν είναι γνωστά: η μάζα του αυτοκινήτου m = 1000 kg, ο συντελεστής τριβής κύλισης μ r = 0,02 των τροχών του αυτοκινήτου πάνω στο οδόστρωμα, ο συντελεστής οπισθέλκουσας δύναμης (αεροδυναμικός συντελεστής) του αυτοκινήτου C D = 0,25 και η ενεργός διατομή του αυτοκινήτου A = (1,5x1,0) m 2 =1,5 m 2. Δίνονται επίσης, η πυκνότητα του αέρα ρ α =1,23 kg/m 3 και η επιτάχυνση της βαρύτητας g=9,80 m/s 2. ΘΕΜΑ 8 Και λίγα μαθηματικά!! Ένα αυτοκίνητο με μάζα m=1500 kg και με εγκάρσια διατομή Α=2,20 m2 εκτοξεύεται οριζόντια πάνω σε πάγο χωρίς τριβή. Τη χρονική στιγμή t=0 s, η αρχική

3 ταχύτητα του αυτοκινήτου είναι υ0=25 m/s Να δείξετε ότι η ταχύτητα υ(t) συναρτήσει του χρόνου t δίνεται από τη σχέση: υ 0 υ t = 1 + ΑC Dρυ 0 t 2m όπου C D = 0,31 είναι ο αεροδυναμικό συντελεστής του αυτοκινήτου στον αέρα. Σε πόσο χρόνο το αυτοκίνητο θα έχει ταχύτητα υ = 5,0 m/s; ΘΕΜΑ 9 Στο πάτωμα ενός ανελκυστήρα βρίσκεται ένας ζυγός. Αν πάνω στο ζυγό τοποθετηθεί ένα αντικείμενο το οποίο έχει μάζα m = 85,0 kg και ο ανελκυστήρας κινείται με σταθερή επιτάχυνση της οποίας το μέτρο είναι α = 2,50 m/s 2, να υπολογίσετε την ένδειξη του ζυγού στις περιπτώσεις που ο ανελκυστήρας: (α) ανέρχεται επιταχυνόμενος, (β) κατέρχεται επιταχυνόμενος, (γ) ανέρχεται επιβραδυνόμενος, και (δ) κατέρχεται επιβραδυνόμενος. Δίνεται g = 9,80 m/s 2 ΘΕΜΑ 10 Ένα τρένο έχει μηχανή με μάζα m 1 = 1125 kg και δυο βαγόνια με μάζες m 2 = 3m 1 και m 3 = 2m 1. Όταν το τρένο αρχίζει να κινείται, η μηχανή ασκεί πάνω σε αυτό μια δύναμη F =33750 N. Η τριβή κύλισης είναι αμελητέα και ως εκ τούτου δεν λαμβάνεται υπόψη. Να υπολογίσετε τις δυνάμεις που καταπονούν τους συνδέσμους που συνδέουν το βαγόνι 1 με το βαγόνι 2 καθώς και το βαγόνι 2 με το βαγόνι F ΘΕΜΑ 11 Στο παρακάτω σχήμα, οι μάζες που αναρτώνται στα άκρα των σκοινιών είναι m = 15,0 kg. Σε κάθε μια από τις δυο περιπτώσεις να υπολογίσετε τη δύναμη που θα μετρήσουν τα δυναμόμετρα δυο δυναμόμετρα. F =??? F =??? m m m

4 ΘΕΜΑ 12 Ένα κιβώτιο που έχει μάζα m έλκεται με ένα σκοινί έτσι ώστε αυτό να κινείται με σταθερή ταχύτητα πάνω σε μια οριζόντια επιφάνεια με συντελεστή κινητικής τριβής ολίσθησης μ κ =0,65. Να υπολογίσετε την γωνία θ που πρέπει να σχηματίζει το σκοινί με το οριζόντιο επίπεδο ώστε η δύναμη F που έλκει το κιβώτιο να είναι η ελάχιστη. Στην περίπτωση αυτή να υπολογίσετε τη δύναμη F. ΘΕΜΑ 13 ΟΡΜΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΟΡΜΗΣ ΩΘΗΣΗ ΔΥΝΑΜΗΣ ΕΡΓΟ - ΕΝΕΡΓΕΙΑ Τη χρονική στιγμή t 0 =0, ένα ελικόπτερο που έχει μάζα Μ=9300 kg αρχίζει να απογειώνεται κατακόρυφα. Ο πιλότος δίνει ισχύ στη μηχανή του ελικοπτέρου έτσι ώστε πάνω σε αυτό να ασκείται κατακόρυφη δύναμη F th η οποία αυξάνεται με το χρόνο σύμφωνα με την σχέση F th =α+βt 2, όπου α=1,0x10 5 N και β=2,0x10 3 N/s2. Α) Να υπολογίσετε την ώθηση που οφείλεται σε όλες τις δυνάμεις που δρουν πάνω στο ελικόπτερο. Β) Να εφαρμόσετε το θεώρημα Ώθησης Ορμής για να υπολογίσετε την ταχύτητα ανόδου του ελικοπτέρου τη χρονική στιγμή t 1 =3,0 s. ΘΕΜΑ 14 Ένα ταχύπλοο σκάφος μαζί με τους επιβάτες του έχει μάζα m=420 kg. Τη χρονική στιγμή t 0 =0 σβήνει η μηχανή του ενώ αυτό είχε ταχύτητα υ 0 = 14,0 m/s. Η οπισθέλκουσα δύναμη (δύναμη εσωτερικής τριβής) που ασκεί το θαλασσινό νερό πάνω στο σκάφος εξαρτάται από το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση D(t) = α β t, όπου α=830 Ν και β=41,5 Ν/s. Να υπολογίσετε το χρονικό διάστημα Δτ = t f t 0 = t f που απαιτείται ώστε η ταχύτητα του σκάφους γίνει ίση με υ 1 = 5,0 m/s. ΘΕΜΑ 15 Πάνω σε ένα αντικείμενο που έχει μάζα m = 2,00 kg ασκείται δύναμη η οποία εξαρτάται από το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση: F = (at 2 )i (β γt)j όπου α = 15,0 Ν/s 2, β = 12,0 N και γ = 20,0 Ν/s. Η δύναμη αυτή ασκείται επί του αντικειμένου για χρονικό διάστημα Δτ = 0,500 s. Αν το αντικείμενο ήταν αρχικά ακίνητο (υ i = 0 και p i = 0), να υπολογίσετε το διάνυσμα της ταχύτητας υ f μετά το πέρας του χρονικού διαστήματος των 0,500 s. ΘΕΜΑ 16 Η ιπποδύναμη (ισχύς) ενός μικρού αυτοκινήτου είναι Ρ max =120 hp (1 hp = 735,5 Watt). Η μάζα του αυτοκινήτου είναι m=1.00x10 3 kg. Υποθέστε ότι η συνολική δύναμη που αντιστέκεται στην κίνηση του αυτοκινήτου είναι ανάλογη με την ταχύτητα υ του αυτοκινήτου. Συγκεκριμένα: f = α υ όπου α=1,00x10 2 Νs/m. Να υπολογίσετε τη μέγιστη ταχύτητα υ max με την οποία μπορεί να κινηθεί το συγκεκριμένο αυτοκίνητο σε ένα οριζόντιο δρόμο.

5 ΘΕΜΑ 17 Ένα ομογενές και εύκαμπτο σκοινί, το οποίο έχει μήκος L=12,0 m και μάζα m = 2,50 kg, κρέμεται με το ένα άκρο στηριγμένο στην οροφή μιας αίθουσας και το άλλο άκρο να ακουμπά στο δάπεδο. Το πάνω άκρο του σκοινιού ελευθερώνεται και το σκοινί πέφτει στο έδαφος. Να υπολογίσετε τη μεταβολή της δυναμικής ενέργειας του σκοινιού, στην περίπτωση που το σκοινί καταλήξει σε ευθύγραμμη επικάθιση στο πάτωμα. ΘΕΜΑ 18 Σε ένα αντικείμενο ασκούνται πολλές δυνάμεις. Μια από αυτές τις δυνάμεις κατευθύνεται προς την κατεύθυνση y και έχει μέτρο F = αxy 2, όπου α = 3,00 Ν/m 3. Να θεωρήσετε ότι το αντικείμενο μετατοπίζεται από το σημείο (0 m, 0 m) στο σημείο (x, y) = (2,00m, 2,00m). (α) Να υπολογίσετε το έργο που παράγεται από τη δύναμη F αν η παραπάνω μετατόπιση γίνει κατά μήκος της ευθείας y = x που συνδέει τα δυο σημεία. (β) Να υπολογίσετε το έργο που παράγεται από τη δύναμη F αν η μετατόπιση από το πρώτο σημείο στο δεύτερο σημείο πραγματοποιηθεί ως εξής: Αρχικά το αντικείμενο κινείται από το σημείο (0 m, 0 m) στο σημείο (x, y) = (2,00 m, 0 m) και στη συνέχεια κινείται από το σημείο (2,00 m, 0 m) στο σημείο (x, y) = (2,00 m, 2,00 m). (γ) Να συγκρίνετε το έργο της δύναμης F κατά μήκος των δυο διαδρομών. Μπορείτε να συμπεράνετε αν η δύναμη F είναι συντηρητική ή μη συντηρητική; ΘΕΜΑ 19 Διαπιστώνετε ότι ένα ελατήριο δεν ακολουθεί το νόμο του Hook αλλά το νόμο που δίνεται από τη σχέση: F(x) = ax βx 2 όπου α = 70,0 Ν/m και β = 12,0 N/m2. (α) Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση της δυναμικής ενέργειας U(x) για το ελατήριο αυτό στην περίπτωση που U = 0 όταν x = 0. (β) Ένα αντικείμενο με μάζα m = 2,00 kg προσαρμόζεται στο άκρο του ελατηρίου, έλκεται κατά διάστημα x 0 = 1,00 m προς τα δεξιά πάνω σε οριζόντια ατριβή επιφάνεια και στη συνέχεια αφήνεται ελεύθερο. Να υπολογίσετε την ταχύτητα του αντικειμένου όταν αυτό βρίσκεται σε απόσταση x = 0,50 m δεξιά από τη θέση ισορροπίας του ελατηρίου. ΘΕΜΑ 20 Ένα σώμα κινείται σε περιφέρεια κύκλου ακτίνας r = 3,00 m υπό την επίδραση της δύναμης F = (2x y)i + (x + y)j. Ο κύκλος βρίσκεται πάνω στο xy-επίπεδο και το κέντρο του κύκλου είναι στην αρχή του συστήματος συντεταγμένων. Να υπολογίσετε το έργο που παράγει η συγκεκριμένη δύναμης όταν το σώμα διανύσει την περιφέρεια του κύκλου. ΘΕΜΑ 21 Ο ιδιοκτήτης ενός Luna Park ενός αναθέτει να μελετήσετε την παρακάτω τροχιά ενός βαγονιού.

6 Η τροχιά έχει τα εξής χαρακτηριστικά: Μέγιστο ύψος αφετηρίας βαγονιού: H=20,0 m Το Τμήμα ΑΒ είναι ευθύγραμμο, ενώ τα τμήματα (ΒΓΔ), (ΔΕΖ) και (ΖΗ) είναι κυκλικά τόξα με ακτίνα R. Από την μελέτη πρέπει να προκύπτει η ελάχιστη ακτίνα Rmin του κυκλικού τόξου (ΔΕΖ) για να μη εκτροχιαστεί το βαγόνι όταν αυτό περνά από το σημείο Ε. ΘΕΜΑ 22 Με την ιδιότητα του πολιτικού μηχανικού και για λογαριασμό μιας εταιρείας σήμανσης οδών αναλάβατε να προσδιορίσετε το όριο ταχύτητας αυτοκινήτων στις στροφές μιας εθνικής οδού. Από την αυτοψία που κάνατε και χρησιμοποιώντας τον κατάλληλο τοπογραφικό εξοπλισμό βρήκατε ότι σε δυο στροφές, των οποίων η ακτίνα καμπυλότητας ήταν R 1 = 49,0 m, το οδόστρωμα της μιας στροφή ήταν οριζόντιο ενώ το οδόστρωμα της άλλης στροφής ήταν υπερυψωμένο προς την εξωτερική περιφέρειά της κατά γωνία θ =15 0 (βλέπε παρακάτω σχήματα). Από πίνακες βρήκατε ότι ο μέσος συντελεστής στατικής τριβής μεταξύ των ελαστικών ενός αυτοκινήτου και του οδοστρώματος είναι μ s = 0,75. Κάτω από τις συνθήκες αυτές: (α) Να υπολογίσετε τη μέγιστη ταχύτητα που πρέπει να έχουν τα αυτοκίνητα για να κινηθούν με ασφάλεια στις συγκεκριμένες δυο στροφές. (β) Ποια τιμή ταχύτητας θα πρέπει να αναγράφει η σχετική προειδοποιητική πινακίδα σήμανσης σε κάθε μια από τις δυο στροφές; υ υ R θ R ΘΕΜΑ 23 Ένα φορτίο μάζας m=1000 kg ρυμουλκείται με γερανό για να τοποθετηθεί στην ταράτσα μιας οικοδομής. Για κάποιο λόγο το σκοινί σπάει όταν το φορτίο βρίσκεται σε ύψος y 0 =50 m από το έδαφος. Το φορτίο προσκρούει στο έδαφος και ακινητοποιείται σε χρονικό διάστημα Δt=5,0 ms. Στο χρονικό αυτό διάστημα, η δύναμη F(t) που ασκεί το έδαφος πάνω στο φορτίο δίνεται από τη σχέση: F y (t) = F max sin 2 (πt/δt). Να υπολογίσετε τη μέγιστη δύναμη F max καθώς και τη μέση δύναμη F avg που ασκεί το φορτίο πάνω στο έδαφος.

7 ΘΕΜΑ 24 (Πραγματικό γεγονός). Οδηγός Ι.Χ. που κινείτο σε κεντρικό επαρχιακό δρόμο παραβίασε το STOP σε κάθετη διασταύρωση με Εθνική Οδό. Το Ι.Χ. εισήλθε κινούμενο στην Εθνική Οδό με αποτέλεσμα πάνω σε αυτό να πέσει ένα πούλμαν και ο οδηγός να τραυματισθεί θανάσιμα. Είναι βέβαιο ότι υπεύθυνος για το τροχαίο αυτό δυστύχημα ήταν ο οδηγός του Ι.Χ. Παρόλα αυτά, ο δικηγόρος της οικογενείας του θύματος έχοντας ως δεδομένο ότι η μέγιστη επιτρεπόμενη ταχύτητα των αυτοκινήτων επί της Εθνικής Οδού στη συγκεκριμένη διασταύρωση είναι Vmax=60 km/h, πρότεινε να αναθέσουν σε μηχανικό πραγματογνώμονα να ζητήσει από την Τροχαία πληροφορίες για το δυστύχημα και με βάση τα δεδομένα που θα πάρει να προσπαθήσει να υπολογίσει την ταχύτητα που είχε το πούλμαν πριν την σύγκρουση. Το σκεπτικό του δικηγόρου ήταν απλό. Αν το πούλμαν δεν έτρεχε με ταχύτητα πολύ μεγαλύτερη από την Vmax=60 km/h, τότε υπήρχε περίπτωση να μην είχε τραυματισθεί θανάσιμα ο οδηγός του Ι.Χ. Κατά συνέπεια η παράβαση αυτή ήταν υπεύθυνη για το θάνατο του οδηγού του Ι.Χ. ο οποίος θα μπορούσε να είχε αποφευχθεί αν το πούλμαν έτρεχε με μικρότερη ή ίση ταχύτητα από την Vmax. Με άλλα λόγια, η οικογένεια του θύματος θα μπορούσε να ζητήσει οικονομική αποζημίωση από τον οδηγό του πούλμαν με το σκεπτικό ότι για το θάνατο του οδηγού του y Ι.Χ. είχε ευθύνη και αυτός. Τα δεδομένα που πήρε ο μηχανικός πραγματογνώμονας από την Τροχαία αποτυπώνονται στο παρακάτω σχεδιάγραμμα: Μήκος φρεναρίσματος Μήκος ολίσθηση των δυο αυτοκινήτων s f =35,5 m V px υ ΙΧy υ px V pix θ=5 0 Τα επί πλέον στοιχεία που χρησιμοποίησε ο μηχανικός πραγματογνώμονας ήταν ο συντελεστής κινητικής τριβής ολίσθησης μ k =0,72 μεταξύ των τροχών των αυτοκινήτων και του οδοστρώματος, ή μάζα Μ=8270 kg του πούλμαν και η μάζα m=1170 kg του Ι.Χ. αυτοκινήτου. Το ζητούμενο στο πρόβλημα αυτό είναι: Δικαιούται η οικογένεια του θύματος να διεκδικήσει την αποζημίωση από τον οδηγό του πούλμαν; ΘΕΜΑ 25 Σε ένα αυτοματοποιημένο νταμάρι που παράγει χαλίκι, η καταπακτή από την οποία εξέρχεται το χαλίκι για να γεμίσει η καρότσα ενός φορτηγού έχει πλάτος ίσο με το πλάτος της καρότσας του φορτηγού και μήκος d=50,0 cm. Μετρήσεις έδειξαν ότι, όταν η καταπακτή είναι ανοιχτή το χαλίκι εξέρχεται με ρυθμός R=225 kg/s. Η καταπακτή ανοίγει και κλείνει αυτόματα όταν το εμπρός και το πίσω μέρος της καρότσας, αντίστοιχα βρεθούν κάτω από αυτήν. Πλησιάζοντας τα φορτηγά την εγκατάσταση που σπάει το μάρμαρο και παράγει το χαλίκι, οι οδηγοί ελευθερώνουν το συμπλέκτη και σβήνουν τη μηχανή του. Τα φορτηγά που έχουν

8 μάζα Μ=6,80x10 3 kg και καρότσα με μήκος L=8,00 m εισέρχονται στην εγκατάσταση παραγωγής χαλικιού χωρίς τριβές και με ταχύτητα υ 0 =0,500 m/s. Να υπολογίσετε: Α) Το χρονικό διάστημα t f που διαρκεί η φόρτωση της καρότσας του φορτηγού. Β) Την ταχύτητα με την οποία θα εξέλθει το φορτηγό από την εγκατάσταση φόρτωσης. Γ) Τη μάζα του χαλικιού που θα φορτωθεί στην καρότσα του φορτηγού στο χρονικό διάστημα t f. Δ) Την ελάχιστη αρχική ταχύτητα υ min την οποία πρέπει να έχει το φορτηγό ώστε αυτό να εξέρχεται από την εγκατάσταση φόρτωσης με το μέγιστο φορτίο m max =8,00x10 3 kg. υ 0 υ(t) υ f Χρονική στιγμή t=0 Χρονική στιγμή t t=t f ΘΕΜΑ 26 Για να διατηρείται το ίδιο ύψος φορτίου σε κάθε σημείο τη καρότσας προτείνονται δυο εναλλακτικέ λύσεις. Η πρώτη λύση είναι να μειώνεται κατάλληλα η παροχή χαλικιού κατά τη διάρκεια της κίνησης και φόρτωσης του φορτηγού. Η δεύτερη λύση είναι να είναι σε λειτουργία η μηχανή του φορτηγού και ο οδηγός να διατηρεί την ταχύτητα του φορτηγού σταθερή και ίση με υ 0. Ο μηχανικός του εργοταξίου επιλέγει τη δεύτερη λύση ως πιο συμφέρουσα δεδομένου ότι αυτή είναι άμεσα εφαρμόσιμη. Στην περίπτωση λοιπόν αυτή, να υπολογίσετε τη συνολική σταθερή δύναμη F net (= κινητήρια δύναμη μηχανής φορτηγού μείον τριβές) που πρέπει να ασκείται πάνω στο φορτηγό ώστε αυτό να κινείται με σταθερή ταχύτητα υ 0 =0,300m/s καθώς και τη συνολική μάζα m χαλίκι του χαλικιού που θα φορτωθεί στην καρότσα του φορτηγού. Προδιαγραφές φορτηγού: Μάζα φορτηγού Μ=6,80x10 3 kg, μήκος καρότσας: L=8,00m Προδιαγραφές παροχής χαλικιού: Πλάτος καταπακτής ίσο με πλάτος καρότσας, μήκος καταπακτής d=50,0 cm. Τα χαλίκια εξέρχονται με ρυθμό R=225 kg/s. υ 0 υ 0 υ 0 F net F net F net Χρονική στιγμή t=0 Χρονική στιγμή t t=t f

9 ΘΕΜΑ 27 Μια μπάλα του τένις η οποία έχει μάζα m = 0,0560 kg κινείται με σταθερή ταχύτητας υ 0 = (22,0 m ) i (4,00 m ) j, πριν αυτή κτυπηθεί από τη ρακέτα. Η ρακέτα ασκεί δύναμη s s ίση με F = (415N)i + (125N)j η οποία υποθέτουμε ότι παραμένει σταθερή για χρονικό διάστημα Δτ = 4,15x10-3 s κατά το οποίο η ρακέτα και η μπάλα είναι σε επαφή. Να υπολογίσετε (α) τις συνιστώσες x και y της ώθησης δύναμης πάνω στη μπάλα του τένις και (β) τις συνιστώσες x και y της τελικής ταχύτητας υ της μπάλας του τένις. ΘΕΜΑ 28 ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΑΚΑΜΠΤΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΚΥΛΙΣΗ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ Κατά μήκος μιας οριζόντιας δοκού ασκούνται κατακόρυφες κάθετες δυνάμεις όπως δείχνει το παραπάνω σχήμα. Αν το μήκος της δοκού είναι L=2.0 m και η δύναμη ανά μονάδα μήκους που ασκείται πάνω στη δοκό αυξάνεται σύμφωνα με τη σχέση λ=αx 2 όπου α=100 N/m 3, να υπολογίσετε: α) Τη συνισταμένη δύναμη F net που ασκείται πάνω στη δοκό. β) Την απόσταση του σημείου εφαρμογής της F net από το αριστερό άκρο της δοκού. ΘΕΜΑ 29 Το κέντρο μάζας του μικρού φορτηγού του παρακάτω σχήματος βρίσκεται σε οριζόντια απόσταση L 1 = 1,125 m και L 2 = 1,.675 m από τους άξονες των εμπρός και των πίσω τροχών του φορτηγού, αντίστοιχα. Αν στην καρότσα του φορτηγού τοποθετήσετε ένα φορτίο του οποίο το κέντρο μάζας να είναι σε απόσταση L 3 = m πιο πίσω από τους πίσω τροχούς, να υπολογίσετε την τιμή της μάζας m L του φορτίου για το οποίο οι κάθετες δυνάμεις που ασκεί το οδόστρωμα στους εμπρός και πίσω τροχούς είναι ίσες. ΘΕΜΑ 30 Ο γερανός του παρακάτω σχήματος έχει μάζα Μ = 1000 kg και χρησιμοποιείται για να ανυψώνει αντικείμενα μάζας m = 2400 kg. Ο γερανός αυτός είναι στερεωμένος σε κατακόρυφο τοίχο στα σημεία Α και Β έτσι ώστε το σημείο Α να συγκρατείται σε ένα σταθερό άξονα ενώ το σημείο Β είναι σε ελεύθερη επαφή με τον κατακόρυφο τοίχο. Η

10 απόσταση (ΑΒ) = h = 1,50 m. Το κέντρο μάζας του βραχίονα του γερανού είναι στo σημείο G και απέχει από την ευθεία ΑΒ απόσταση L 1 =2,00 m και από την κατακόρυφη που διέρχεται από το κέντρο μάζας του αντικειμένου απόσταση L 2 = 4.00 m. Να υπολογίσετε τη δύναμη που καταπονεί τον άξονα στήριξης του γερανού στο σημείο Α. ΘΕΜΑ 31 Σας αναθέτουν να κάνετε την κατασκευή που δείχνει το παρακκάτω σχήμα. Αυτή αποτελείται από ένα κατακόρυφό δοκό μήκους h 1 =6,00 m στηριγμένο σταθερά στο έδαφος (στο σημείο Α) ο οποίος έχει μια τροχαλία στο επάνω μέρος. Σε ύψος h 2 =3,75 m πάνω στον κατακόρυφο δοκό έχει κολληθεί ένας οριζόντιος δοκός του οποίου το μήκος και η μάζα είναι L 1 = 7,20 m και m = 8160 kg, αντίστοιχα, και του οποίου το βάρος κατανέμεται ομοιόμορφα σε όλο το μήκος του. Για να γίνει πιο ασφαλής η κατασκευή, ένα συρματόσκοινο που είναι δεμένο σταθερά στο έδαφος σε απόσταση L 2 = 4,50 m από το σημείο Α συγκρατεί τον οριζόντιο δοκό στο σημείο Β το οποίο απέχει από το αριστερό άκρο του απόσταση L 3 = 1,80m. Αν η δύναμη της τάσης του σκοινιού στο πάνω μέρος του κατακόρυφου δοκού είναι T = 150 kn, να υπολογίσετε τη δύναμη F που καταπονεί τη βάση του κατακόρυφου δοκού (στο σημείο Α). ΘΕΜΑ 32 Τρεις μεταλλικές ράβδοι με μήκη L 1 = 40,0 cm, L 2 = 30,0 cm και L 3 = 50,0 cm και με διατομή σχετικά πολύ μικρή, είναι ομογενείς και έχουν γραμμική πυκνότητα μάζας λ = 1,56 kg/m και είναι συναρμολογημένοι σε σχήμα ορθογωνίου τριγώνου. Να επιλέξετε το σύστημα συντεταγμένων που σας βολεύει καλύτερα για να υπολογίσετε: α) Τη συνολική μάζα της μεταλλικής κατασκευής. β) Τις συνιστώσες (x cm, y cm ) της θέσης του κέντρου μάζας της συγκεκριμένης μεταλλικής κατασκευής.

11 ΘΕΜΑ 33 Τρεις ομογενείς μεταλλικοί ράβδοι με μήκη L 1 = 1,0m, L 2 = 0,50 m και L 3 = 0,75 m και με διατομή σχετικά πολύ μικρή, έχουν γραμμική πυκνότητα μάζας λ = 1,56 kg/m και είναι συναρμολογημένοι όπως το παρακάτω σχήμα: Να επιλέξετε το σύστημα συντεταγμένων που σας βολεύει καλύτερα για να υπολογίσετε: α) Τη συνολική μάζα της μεταλλικής κατασκευής. β) Τις συνιστώσες (x cm, y cm ) της θέσης του κέντρου μάζας της παραπάνω μεταλλικής κατασκευής. ΘΕΜΑ 34 Μια μεταλλική κατασκευή έχει σχήμα ημιπεριφέρειας κύκλου ακτίνας R = 0,500 m. Για την κατασκευή αυτή χρησιμοποιήθηκε μεταλλική ράβδος με σχετικά μικρή διατομή και με γραμμική πυκνότητα μάζας λ = 1.56 kg/m. Να επιλέξετε το σύστημα συντεταγμένων που σας βολεύει καλύτερα για να υπολογίσετε: α) Τη συνολική μάζα της μεταλλικής κατασκευής. β) Τις συνιστώσες (x cm, y cm ) της θέσης του κέντρου μάζας της συγκεκριμένης μεταλλικής κατασκευής. ΘΕΜΑ 35 Δυο ορθογώνιες παραλληλόγραμμες αλουμινένιες πλάκες έχουν διαστάσεις L 1 = 2,000 m, L 2 = 0,400 m το ένα και L 3 = 1,000 m, L 4 = 0,500 m το άλλο. Οι αλουμινένιες αυτές πλάκες είναι ομογενείς, έχουν επιφανειακή πυκνότητα σ = 8,10 kg/m 2 και είναι συναρμολογημένα έτσι ώστε αυτά να σχηματίζουν ορθή γωνία, όπως δείχνει το παρακάτω Σχήμα.

12 Να επιλέξετε το σύστημα συντεταγμένων που σας βολεύει καλύτερα για να υπολογίσετε: α) Τη συνολική μάζα της μεταλλικής κατασκευής. β) Τις συνιστώσες (x cm, y cm ) της θέσης του κέντρου μάζας της συγκεκριμένης μεταλλικής κατασκευής. ΘΕΜΑ 36 Μια τετράγωνη και επίπεδη μεταλλική κατασκευή που έχει πλευρά α = 1,000 m έχει μια κυκλική οπή ακτίνας R = 20,0 cm της οποίας το κέντρο βρίσκεται πάνω σε μια διαγώνιο και σε απόσταση L = 30,0 cm από το γεωμετρικό κέντρο της πλάκας. Η επιφανειακή πυκνότητα της μεταλλικής πλάκας που χρησιμοποιήθηκε είναι σ = 31,20 kg/m2. Να επιλέξετε το σύστημα συντεταγμένων που σας βολεύει καλύτερα για να υπολογίσετε: α) Τη συνολική μάζα της μεταλλικής κατασκευής. β) Τις συνιστώσες (x cm, y cm ) της θέσης του κέντρου μάζας της συγκεκριμένης μεταλλικής κατασκευής. ΘΕΜΑ 37 Να υπολογίσετε τη μάζα, καθώς και τη θέση του κέντρου μάζας και τη ροπή αδράνειας ως προς τον κάθετο άξονα που διέρχεται από το αριστερό άκρο μιας κυλινδρικής ράβδου σταθερής διατομής που έχει μήκος L = 1,00 m και γραμμική πυκνότητα μάζας η οποία μεταβάλλεται σύμφωνα με τη σχέση μ(x) = dm dx = γx, όπου γ=5,20 g/cm 2. ΘΕΜΑ 38 Δίνεται επίπεδη και ομογενής μεταλλική κατασκευή που έχει σχήμα ορθογώνιου τριγώνου με κάθετες πλευρές που έχουν μήκη α = 1,500 m και β = 2,000 m. Να επιλέξετε ένα βολικό σύστημα συντεταγμένων (x, y) και να υπολογίσετε τις συντεταγμένες (x cm, y cm ) της θέσης του κέντρου μάζας της μεταλλικής κατασκευής. Η επιφανειακή πυκνότητα του υλικού της μεταλλικής κατασκευής είναι σ = 31,20 kg/m 2. ΘΕΜΑ 39 Ένα ημικυκλικό μπαλκόνι έχει ακτίνα R = 1,850 m, πάχος h = 15,0 cm και είναι κατασκευασμένο από οπλισμένο σκυρόδεμα που έχει πυκνότητα ρ=2,500 g/cm 3. Να επιλέξετε το σύστημα συντεταγμένων που σας βολεύει καλύτερα για να υπολογίσετε: α) Τη συνολική μάζα το μπαλκονιού. β) Τις συνιστώσες (x cm, y cm ) της θέσης του κέντρου μάζας του συγκεκριμένου μπαλκονιού.

13 ΘΕΜΑ 40 Μια μεταλλική κατασκευή έχει δημιουργηθεί από μια αλουμινένια πλάκα που έχει επιφανειακή πυκνότητα σ = 8,10 kg/m 2 και έχει τη μορφή που δείχνει το παρακάτω σχήμα: Στο σύστημα συντεταγμένων (x, y) που έχει προκαθοριστεί, το καμπύλο τμήμα της κατασκευής είναι παραβολή και αντιστοιχεί στην εξίσωση y = cx 2 όπου c = 0,375 m 1. Το μήκος και το ύψος της κατασκευής είναι αντίστοιχα α=2,000 m και β=1,500 m, αντίστοιχα. Να υπολογίσετε: α) Τη μάζα της κατασκευής. β) Τις συντεταγμένες της θέσης του κέντρου μάζας της κατασκευής στο προκαθορισμένο σύστημα συντεταμένων (x, y). γ) Τις ροπές αδράνειας της κατασκευής I y και I x, όταν αυτή περιστρέφεται γύρω από τους άξονες y και x, αντίστοιχα. ΑΣΚΗΣΗ 41 Ένα αβαρές και εύκαμπτο σκοινί είναι τυλιγμένο πολλές φορές γύρω από ένα συμπαγή κύλινδρο ο οποίος έχει μάζα Μ = 4,00 kg και ακτίνα R = 0,250 m. Ο κύλινδρος περιστρέφεται γύρω από τον άξονά του χωρίς τριβές. α) Το ελεύθερο άκρο του σκοινιού έλκεται με σταθερή δύναμη F = 125 Ν κατά ένα διάστημα h = 5,00 m. Να υπολογίσετε τη γωνιακή ταχύτητα του κυλίνδρου όταν το άκρο του σκοινιού στο τέλος του διαστήματος h. β) Στο ελεύθερο άκρο του σκοινιού αναρτάται ένα σώμα το οποίο έχει βάρος F G = 125 Ν. Το σύστημα κύλινδρος σώμα αφήνεται ελεύθερο να πέσει στο πάτωμα από ένα ύψος h = 5,00 m. Να υπολογίσετε την ταχύτητα του σώματος καθώς και τη γωνιακή ταχύτητα του κυλίνδρου τη στιγμή που το σώμα προσκρούει στο πάτωμα. ΘΕΜΑ 42 Ένας τροχός ακονίσματος ειδικών προδιαγραφών έχει ακτίνα R = 0,300 m και μάζα m = 25,0 kg. O τροχός αυτό περιστρέφεται με συχνότητα f = 900 rev/min και τροχίζει ένα αντικείμενο το οποίο ασκεί στην περιφέρειά του κάθετη δύναμη Ν = 160 N. Ο συντελεστής κινητικής τριβής μεταξύ τροχού και αντικειμένου είναι μ k = 0,22. Τη χρονική στιγμή t = 0 s γίνεται διακοπή του ηλεκτρικού ρεύματος. α) Να υπολογίσετε το χρονικό διάστημα που απαιτείται μέχρι ο τροχό να ακινητοποιηθεί. β) Πόσες στροφές θα κάνει ο τροχός μέχρι αυτός να σταματήσει;

14 ΘΕΜΑ 43 (Πραγματικό γεγονός) Σε μια διασταύρωση δυο δρόμων ο ένας από τους δρόμους αυτούς έχει STOP. Ένα αυτοκίνητο ΙΧ κινείται στο δρόμο με το STOP, και καθώς αυτό περνούσε τη διασταύρωση, μια μηχανή που κινούταν στον άλλο δρόμο της διασταύρωσης προσέκρουσε κάθετα στο μπροστινό τροχό του αυτοκινήτου. Στο σημείο της σύγκρουσης κατέφθασε η τροχαία για να καταγράψει το γεγονός και να συντάξει σχετική έκθεση. Από την έκθεση αυτή προκύπτουν τα εξής στοιχεία: Δεν βρέθηκαν σημάδια ολίσθησης πάνω στην άσφαλτο, τόσο της μηχανής όσο και του αυτοκινήτου. Το αυτοκίνητο είχε στραφεί σε γωνία φ = 66 0 ως προς την αρχική κατεύθυνση του δρόμου που κινούνταν. Οι δυο οδηγοί κατέθεσαν στον τροχονόμο τα εξής: Οδηγός ΙΧ: Σταμάτησα στο STOP, έλεγξα τη διασταύρωση και προσπάθησα να περάσω τη διασταύρωση με την ελάχιστη ταχύτητα. Η μηχανή κινούνταν με μεγάλη ταχύτητα, δεν πρόλαβα να αντιδράσω με αποτέλεσμα να γίνει η σύγκρουση. Οδηγός Μηχανής: Πήγαινα με ταχύτητα 40 km/h όταν ξαφνικά μπροστά μου βρέθηκε το ΙΧ αυτοκίνητο το οποίο παραβίασε το STOP χωρίς να σταματήσει. Δεν πρόλαβα να πατήσω φρένο με αποτέλεσμα να γίνει η σύγκρουση. Αν ο οδηγός του ΙΧ έχει δίκιο τότε ο οδηγός της μηχανής είναι συνυπαίτιος για το ατύχημα με ότι αυτό συνεπάγεται για τις ασφαλιστικές εταιρείες. Αν ο οδηγός της μηχανής έχει δίκιο τότε ο οδηγός του ΙΧ είναι αποκλειστικά υπεύθυνος για το ατύχημα. Εσείς, ως πραγματογνώμονας μηχανικός, κληθήκατε να διαλευκάνετε τις συνθήκες του ατυχήματος. Για το σκοπό αυτό ζητήσατε και πήρατε τις εξής πληροφορίες: Μάζα αυτοκινήτου μαζί με τον οδηγό: M = 1280 kg με το 60% του βάρους του αυτοκινήτου να ασκείται στους μπροστινούς τροχούς. Απόσταση τροχών (εμπρός με πίσω): L = 2,00 m. Μάζα μηχανής μαζί με το οδηγό: m = 200 kg. Συντελεστής κινητικής τριβής: μ k = 0,72 Με βάση τα στοιχεία που έχετε στη διάθεσή σας, ποια θα είναι η γνωμάτευση σας; ΘΕΜΑ 44 ΣΤΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΙΔΑΝΙΚΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ Σε ένα σωλήνα σχήματος U τοποθετείται ένα άγνωστο υγρό που είναι αδιάλυτο στο νερό και το οποίο έχει πυκνότητα ρ f. Στο αριστερό σκέλος του σωλήνα προστίθεται νερό μέχρις ένα ύψος H=30,0 cm. Αν η ελεύθερη άνω στάθμη του νερού βρίσκεται σε ύψος L=20,0 cm πάνω από τη δεξιά ελεύθερη στάθμη του άγνωστου υγρού. Να υπολογίσετε την πυκνότητα ρ f του άγνωστου υγρού. Η πυκνότητα του νερού είναι ρ w =1,00 g/cm 3 και η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g=9,80 m/s 2. ΘΕΜΑ 45 Μέσα σε μια δεξαμενή υπάρχουν δυο υγρά τα οποία είναι αδιάλυτα μεταξύ τους και τα οποία έχουν πυκνότητες ρ 1 =0,85 g/cm 3 και ρ 2 =1,00 g/cm 3. Ένας κύβος που είναι κατασκευασμένος από υλικό που έχει πυκνότητα ρ c =0,90 g/cm 3 και η ακμή του έχει μήκος α=10,0 cm

15 τοποθετείται μέσα στη δεξαμενή. Να προσδιορίσετε αριθμητικά τη θέση που θα ισορροπήσει ο κύβος σε σχέση με τη διαχωριστική επιφάνεια των δυο υγρών. ΘΕΜΑ 46 Δίνεται ένα σύστημα τριών συγκοινωνούντων δοχείων τα οποία περιέχουν νερό και τα οποία καταλήγουν σε κατακόρυφους κυλινδρικούς σωλήνες που έχουν ακτίνες r 1 =11,0 cm, r 2 =8,00 cm και r 3 =9,80 cm. Τα αντίστοιχα έμβολα που φράσουν τους σωλήνες αυτούς έχουν μάζες m 1 =110 kg, m 2 =61,0 kg και m 3 =105 kg. Τα τρία έμβολα αφήνονται ελεύθερα στην ελεύθερη επιφάνεια του νερού στον αντίστοιχο σωλήνα. Τα έμβολα θα ισορροπήσουν σε διαφορετικά οριζόντια επίπεδα. Να υπολογίσετε την υψομετρική διαφορά μεταξύ των τριών εμβόλων. Πυκνότητα νερού ρ w = 1000 g/cm 3 και g = 9,80 m/s 2. p 0 m 1 p 0 m 2 m p 0 ΘΕΜΑ 47 Ένα κυλινδρικό δοχείο επιπλέει στο νερό το οποίο βρίσκεται μέσα σε ένα άλλο μεγαλύτερο κυλινδρικό δοχείο του οποίου το εμβαδό της βάσης του είναι Α=314 cm 2. Στο κυλινδρικό δοχείο που επιπλέει τοποθετείται μια μάζα m = 0,500 kg και η στάθμη του νερού ανέρχεται κατά διάστημα ΔΗ. Να υπολογίσετε το διάστημα ΔΗ. Η πυκνότητα του υγρού είναι ρ υ =1,24 g/cm 3 και η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g = 9,80 m/s 2. ΔH A 1 H 1 H 2 m A ΘΕΜΑ 48 Ο πυθμένας ενός σκάφους (μιας ρυμουλκούμενης φορτηγίδας) που είναι κατασκευασμένο από ατσάλινη λαμαρίνα έχει μήκος l = 5,00 m, πλάτος d = 2,00 m και πάχος w 1 = 0,020 m. Τα πλευρικά τοιχώματα του πλοίου είναι κατασκευασμένα και αυτά από ατσάλινη λαμαρίνα έχουν ύψος h =1,50 m και πάχος w 2 = 0,50 cm. Να υπολογίσετε (α) Το βύθισμα του σκάφους στη θάλασσα όταν αυτό είναι άδειο (β) Το μέγιστο φορτίο που μπορεί να μεταφέρει το συγκεκριμένο σκάφος χωρίς αυτό να βυθιστεί. Πυκνότητα ατσάλινης λαμαρίνας ρ λ = 8,00 g/cm 3. Πυκνότητα θαλασσινού νερού ρ θ = 1,020 g/cm 3. Επιτάχυνση βαρύτητας g = 9,80 m/s 2.

16 ΘΕΜΑ 49 Για να δημιουργηθεί μια τεχνητή λίμνη, το φράγμα που κατασκευάστηκε έχει μήκος D=135 m και ύψος H=55,0 m. Όταν η τεχνητή λίμνη είναι γεμάτη με νερό, να υπολογίσετε: (α) Τη συνισταμένη δύναμη που ασκεί ο υδάτινος όγκος πάνω στο φράγμα. (β) Τη θέση του σημείου εφαρμογής της συνισταμένης δύναμης. D Η 1 ΘΕΜΑ 50 Η μέτρηση της ταχύτητας ροής ενός ρευστού μέσα σε ένα σωλήνα γίνεται με τη συσκευή Prandtl (σωλήνας Pitot) (βλέπε Σχήμα). Η συσκευή αυτή υ αποτελείται από δυο πολύ λεπτούς σωλήνες, από τους οποίους, το άνοιγμα του ενός είναι κάθετο υ 0 d D στη ροή του ρευστού, ενώ το άνοιγμα το άλλου σωλήνα είναι παράλληλο με τη ροή του ρευστού. ρ υ Στην περιοχή όπου τοποθετείται η συσκευή Prantdl, ο πρώτο σωλήνα μπορεί να μετρήσει την Δp ολική πίεση p total του ρευστού, ενώ ο δεύτερο σωλήνας μπορεί να μετρήσει την αντίστοιχη στατική πίεση p static. Και οι δυο σωλήνες μαζί μετρούν τη δυναμική πίεση του ρευστού Δp=p dynamic =p total p static. Να προσδιορίσετε τη σχέση με την οποία μπορείτε να υπολογίσετε την ταχύτητα υ 0 του ρευστού μέσα στο σωλήνα συναρτήσει της διαφοράς πίεσης Δp, της πυκνότητας ρ του υγρού, της διαμέτρου D του σωλήνα και της διαμέτρου d του σωλήνα Prandtl. ΘΕΜΑ 51 Στον πυθμένα μιας πολύ μεγάλης δεξαμενής υπάρχει οπή που έχει διάμετρο D=10,0 cm. Η δεξαμενή περιέχει νερό μέχρι το ύψος H=1,00 m. Δεδομένου ότι η πυκνότητα του νερού είναι ίση με ρ=1,00 g/cm 3 να υπολογίσετε τη διάμετρο d της στήλης νερού που εκρέει από τη οπή σε απόσταση h=2,50 m από το σημείο εκροής. Η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g=9,80 m/s 2. ΘΕΜΑ 52 Μια κυλινδρική δεξαμενή με διάμετρο βάσης D=2,00 m περιέχει νερό μέχρι σε ύψος H=2,00 m. Στον πυθμένα της δεξαμενής υπάρχει ελεγχόμενη κυκλική οπή εκροής του νερού η οποία έχει διάμετρο d=5,0 cm. Ανοίγετε την οπή εκροής και το νερό εξέρχεται ελεύθερα. Να υπολογίσετε το χρονικό διάστημα που απαιτείται για να αδειάσει η δεξαμενή. (δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας, g=9,80 m/s 2 ).

17 ΘΕΜΑ 53 Ένας οριζόντιος σωλήνας που έχει διατομή A 1 =0,200 m 2 διακλαδίζεται σε δυο άλλους οριζόντιους σωλήνες από τους οποίους ο ένας έχει διατομή A 2 =0,030 m 2 και ο άλλος A 3 =0,070 m 2. Το νερό ρέει από τον αρχικό σωλήνα και εκρέει ελεύθερα στον αέρα από τα άκρα των σωλήνων της διακλάδωσης. Για την μέτρηση της πίεσης p 1 στον κεντρικό σωλήνα, στο σωλήνα αυτό έχει προσαρμοστεί ένας σωλήνας σε σχήμα U μέσα στον οποίο υπάρχει υδράργυρος. Το άνοιγμα του αριστερού άκρου του σωλήνα U είναι σε άμεση επικοινωνία με το υγρό που ρέει στον κεντρικό σωλήνα, οπότε η αριστερή ελεύθερη επιφάνεια του υδραργύρου να υφίσταται την πίεση p 1 του ρευστού. Το δεξιό ανοιχτό άκρο του σωλήνα είναι σε άμεση επικοινωνία με τον ατμοσφαιρικό αέρα και ως εκ τούτου η δεξιά ελεύθερη επιφάνεια του υδραργύρου να υφίσταται την ατμοσφαιρική πίεση p 0. Επειδή η πίεση p 1 μέσα στον κεντρικό σωλήνα είναι μεγαλύτερη από την ατμοσφαιρική πίεση p 0, ο υδράργυρος μέσα στο σωλήνα U ισορροπεί έτσι ώστε η δεξιά ελεύθερη στάθμη να είναι πιο ψηλά από την αντίστοιχη αριστερή στάθμη κατά ένα διάστημα h = 7,50 cm. Να υπολογίσετε τις ταχύτητες υ 1, υ 2 και υ 3 του ρευστού στον κεντρικό σωλήνα και στους σωλήνες που διακλαδίζονται, αντίστοιχα. Η ατμοσφαιρική πίεση είναι p 0 =1,013x10 5 Pa, η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g=9,80 m/s 2 και η πυκνότητα του υδραργύρου είναι ρ Hg = 13,6 g/cm 3 = kg/m 3. (3) A 3 =0,070 m 2 p 3 =p 0 z 3 =0 m A 1 =0,200 m 2 p 1 =????? z 1 =0 m p 1 (1) p 0 h=7,5 cm (2) A 2 =0,030 m 2 p 2 =p 0 z 2 =0 m ΘΕΜΑ 54 Ένας οριζόντιος σωλήνας με ακτίνα R 1 =17,8 cm διακλαδίζεται σε δυο σωλήνες από τους οποίους, ο ένας έχει ακτίνα R 2 =9,80 cm και βρίσκεται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο με τον αρχικό σωλήνα ενώ ο δεύτερος σωλήνας έχει ακτίνα R 3 =10,5 cm και βρίσκεται σε οριζόντιο επίπεδο που απέχει από το οριζόντιο επίπεδο του αρχικού σωλήνα απόσταση z 3 =10,0 m (βλέπε παρακάτω σχήμα). Θεωρούμε ότι το νερό που ρέει μέσα στους σωλήνες συμπεριφέρεται ως ιδανικό ρευστό. Έχοντας ως δεδομένα ότι η παροχή νερού και η υδροστατική πίεση στον αρχικό σωλήνα (με ακτίνα R 1 ) είναι Q 1 =1,00 m 3 /s και p 1 =300 kpa, αντίστοιχα και επί πλέον ότι η ταχύτητα ροής του νερού στο σωλήνα με ακτίνα R 2 είναι υ 2 =14,0 m/s, να υπολογίσετε τις υδροστατικές πιέσεις p 2 και p 3 στους αντίστοιχους σωλήνες. (g =9,80 m/s 2 ). (3) R 3 =10,5 cm υ 3 =??? p 3 =??? z 3 =10,0 m Q 1 =1,00 m 3 /s R 1 =17,8 cm p 1 =300 kpa z 1 =0 m (1) (2) R 2 =9,80 cm υ 2 =14,0 m/s p 2 =??? z 2 =0 m

18 ΘΕΜΑ 55 Μια οικία αποτελείται από ένα ισόγειο που συμβολίζουμε με (1), ένα πρώτο όροφο που συμβολίζουμε με (3) και ένα υπόγειο που συμβολίζουμε με (2). Και οι τρεις αυτοί όροφοι της οικίας έχουν ύψος h=4,00 m. Το δίκτυο ύδρευσης που τροφοδοτεί τη συγκεκριμένη οικία βρίσκεται σε βάθος h 1 =1,00 m μέσα στη γη και διακλαδίζεται σε κάθε όροφο όπως δείχνει το διπλανό σχήμα. Η βρύση σε κάθε όροφο έχει άνοιγμα εκροής με διάμετρο d = 1,50 cm και απέχει απόσταση h 2 =1,10 m από το αντίστοιχο πάτωμα. Να υπολογίσετε την παροχή Q με την οποία εταιρεία ύδρευσης πρέπει να τροφοδοτήσει την οικία, στην περίπτωση που, όταν και οι τρεις βρύσες είναι ανοιχτές, η παροχή της βρύσης του ορόφου (3) είναι ίση με Q 3 = 7,95x10 4 m 3 /s. Δίνονται: H επιτάχυνση βαρύτητας g = 9,80 m/s 2 και η πυκνότητα του νερού ρ=1000 kg/m 3. Το νερό μέσα στους σωλήνες ύδρευσης να θεωρηθεί ως ιδανικό. (3) (1) (2)