Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. έμβολο Ε 1 ασκούνται επιπρόσθετα οι εξής

Transcript

1 Ερώτηση. Στον υδραυλικό ανυψωτήρα του σχήματος τα αβαρή έμβολα E, E βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο σε ισορροπία και μπορούν να μετακινούνται στους κατακόρυφους σωλήνες χωρίς τριβές. Τοποθετούμε ταυτόχρονα πάνω στα έμβολα δύο σώματα ίδιου βάρους. α. Τα έμβολα δεν θα κινηθούν. β. Το έμβολο E θα κινηθεί προς τα κάτω και το E προς τα πάνω. γ. Το έμβολο E θα κινηθεί προς τα πάνω και το E προς τα κάτω. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (β) Αρχικά στο έμβολο Ε ασκούνται οι δυνάμεις: - F α, από την ατμόσφαιρα, F α=p ατμα - F β, από το υγρό, F β=p υγρ Α Επειδή το έμβολο ισορροπεί οι δύο δυνάμεις έχουν ίδια μέτρα. Μετά την τοποθέτηση των βαρών στο δυνάμεις: έμβολο Ε ασκούνται επιπρόσθετα οι εξής -Το βάρος w -η δύναμη F από το υγρό μέτρου F = Δp A, όπου Δp είναι η μεταβολή της πίεσης που δημιουργήθηκε στο υγρό λόγω του βάρους w που τοποθετήσαμε στο Ε. p w A Παίρνοντας θετικά προς τα κάτω, για το έμβολο Ε έχουμε F w F w p A w F w A A F w A A Επειδή A F 0 A Ε ανέρχεται.. Άρα, το Ε κατέρχεται και επειδή τα υγρά είναι ασυμπίεστα το

2 Ερώτηση 4. Το κλειστό δοχείο του σχήματος περιέχει υγρό πυκνότητας ρ και πάνω από την ελεύθερη επιφάνειά του υπάρχει αέρας. Η στάθμη του υγρού στο κλειστό δοχείο βρίσκεται σε ύψος h από τον πυθμένα του. Ο πυθμένας του δοχείου συγκοινωνεί με πλάγιο σωλήνα ανοικτό στην ατμόσφαιρα. Η στάθμη του νερού στον πλάγιο σωλήνα βρίσκεται σε ύψος h πάνω από τον πυθμένα του δοχείου. Η πίεση p αερ που επικρατεί στον αέρα του δοχείου είναι α. p αερ =ρgh β. p αερ = p ατμ +ρgh γ. p αερ= p ατμ +ρg(h - h ) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (γ) Η πίεση στον πυθμένα του δοχείου (σημείο ) ισούται με: p p gh () Η ελεύθερη επιφάνεια του υγρού μέσω του σωλήνα έρχεται σε επαφή με την ατμόσφαιρα, επομένως η πίεση στον πυθμένα του δοχείου (σημείο ) ισούται με p p gh Από τις σχέσεις () και () προκύπτει: p gh p gh p p g h h 4

3 Ερώτηση 6. Στον υδραυλικό ανυψωτήρα του σχήματος τα έμβολα E, E έχουν λόγο εμβαδών A A 0 και μπορούν να μετακινούνται στους κατακόρυφους σωλήνες χωρίς τριβές. Ασκούμε στο έμβολο Ε κατακόρυφη δύναμη μέτρου F μετατοπίζοντας το σημείο εφαρμογής της κατά y οπότε το έμβολο Ε ασκείται από το υγρό δύναμη μέτρου F που μετατοπίζει το σημείο εφαρμογής της κατά y. To έργο W της δύναμης F και το έργο W της δύναμης F συνδέονται με τη σχέση W W α. W 0W β. W W. 0 γ. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (α) Το έργο της δύναμης F είναι ίσο με W F y () Το έργο της δύναμης F είναι ίσο με W F y () F H δύναμη F προκαλεί στο υγρό πρόσθετη πίεση p p, () A η οποία σύμφωνα με την αρχή του Pacal μεταφέρεται αναλλοίωτη και στο μεγάλο έμβολο Ε, οπότε ασκείται σε αυτό πρόσθετη δύναμη με φορά προς τα πάνω μέτρου F F για την οποία ισχύει p p, (4) A 6

4 Ο συνδυασμός των () και (4) δίνει F F A F F A A A Επειδή το υγρό θεωρείται ασυμπίεστο, ο όγκος του υγρού που εκδιώχθηκε από το έμβολο Ε, ΔV, είναι ίσος με τον όγκο του υγρού, ΔV, που ανυψώθηκε μαζί με το έμβολο E. A V V A y A y y y A Με αντικατάσταση των F, y στη σχέση () παίρνουμε: A A W F y F y W F y W A A 7

5 Ερώτηση 7. Σε σωλήνα σχήματος U ισορροπούν δύο διαφορετικά υγρά και που δεν αναμιγνύονται, με πυκνότητες ρ και ρ που ικανοποιούν τη σχέση ρ =ρ. Το σχήμα που δείχνει τη σωστή διάταξη των υγρών στο σωλήνα είναι το α. (i) β. (ii) γ. (iii). Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (β) Σύμφωνα με την αρχή των συγκοινωνούντων δοχείων, δύο σημεία ενός υγρού σε ισορροπία που βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο έχουν την ίδια ολική πίεση. Φέρνουμε μια οριζόντια γραμμή που να περνά από τις διαχωριστικές επιφάνειες των δύο υγρών. Σωστή διάταξη θα είναι εκείνη που δίνει για τις πιέσεις των σημείων Α, Β, p A= p B. Διάταξη (I) pa p gh pb p gh Επειδή ρ >ρ και h>h προκύπτει p A>P B. 8

6 Διάταξη (II) pa p gh pb p gh Επειδή ρ =ρ προκύπτει p A=p B. Διάταξη (III) p p gh pb p gh A Επειδή ρ =ρ, προκύπτει p A>p B. Άρα, σωστή διάταξη μπορεί να είναι μόνο η (ΙΙ) 9

7 Ερώτηση 8. Το κλειστό κυλινδρικό δοχείο του σχήματος περιέχει δύο υγρά που δεν αναμιγνύονται. Το νερό που έχει πυκνότητα ρ και τo λάδι που επιπλέει έχει πυκνότητα ρ =0,8 ρ. Στο πάνω μέρος του δοχείου δεν υπάρχει παγιδευμένος αέρας. Tα ύψη των υγρών στο δοχείο για το λάδι και το νερό είναι d και d αντίστοιχα. Το σημείο αντιστοιχεί σε σημείο της διαχωριστικής επιφάνειας μεταξύ των υγρών και το σημείο είναι σημείο του πυθμένα του δοχείου. Αν p, p είναι οι πιέσεις στα σημεία, αντίστοιχα, ισχύει α. p p β. p p γ. p p,5 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (γ) Η πίεση p στη διαχωριστική επιφάνεια μεταξύ των δύο υγρών (σημείο ) είναι p gd, () Η πίεση p στoν πυθμένα είναι p p gd, () Διαιρώντας κατά μέλη έχουμε p g d g d p 0,8 7 p,5 p g d p 0,8 p 0

8 Ερώτηση 9. Ο οριζόντιος σωλήνας του διπλανού σχήματος εμβαδού διατομής Α διακλαδίζεται σε δύο οριζόντιους σωλήνες με ίσα εμβαδά διατομής Α =Α =Α /4. Οι δύο σωλήνες μικρής διατομής έχουν την ίδια παροχή. Το ιδανικό ρευστό ρέει στην περιοχή του σωλήνα μεγάλης διατομής με ταχύτητα μέτρου υ =5/. Στην περιοχή των σωλήνων μικρής διατομής το μέτρο της ταχύτητας του ρευστού είναι α. υ = υ =,5 /. β. υ = υ = 5 /. γ. υ = υ = 0 /. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (γ). To ιδανικό ρευστό είναι ασυμπίεστο, επομένως η συνολικός όγκος ρευστού που διέρχεται σε χρόνο Δt από το σωλήνα διατομής Α θα ισούται με αυτόν που διέρχεται από τους σωλήνες διατομών Α και Α. A Π =Π +Π ή Α υ =Α υ +Α υ A ή A 4, () 4 4 Οι σωλήνες μικρής διατομής έχουν ίδια παροχή, A Π =Π A ή 4 4, () Από (), () παίρνουμε 4υ =υ =υ ή υ =υ =0/.

9 Ερώτηση. Οι δυο βρύσες Α και Β σταθερής παροχής χρησιμοποιούνται για να γεμίσουν το άδειο δοχείο με νερό. Όταν η βρύση Α είναι ανοικτή και η βρύση Β κλειστή, το δοχείο γεμίζει σε,5 in. Όταν η βρύση Α είναι κλειστή και η βρύση Β ανοικτή, το δοχείο γεμίζει σε in. Όταν είναι ανοικτές και οι δύο βρύσες, το δοχείο γεμίζει σε χρόνο α. 0,5 in. β. in. γ.,in. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (β). Όταν η βρύση Α είναι ανοικτή και η βρύση Β κλειστή, το δοχείο όγκου V γεμίζει σε χρόνο t, άρα η παροχή της βρύσης Α, Π Α, είναι V A, () t Όταν η βρύση Β είναι ανοικτή και η βρύση Α κλειστή, το δοχείο όγκου V γεμίζει σε χρόνο t, άρα η παροχή της βρύσης Β, Π Β είναι V, () t Όταν είναι και οι δύο βρύσες ανοικτές, τότε η συνολική παροχή είναι και το δοχείο όγκου V γεμίζει σε χρονικό διάστημα t για το οποίο ισχύει: V (),() V V V t t t t t t t t t,5inin t t,5inin t t in 5

10 Ερώτηση 8. O οριζόντιος αγωγός του σχήματος με διατομή επιφάνειας Α σχηματίζει στένωση με διατομή επιφάνειας Α. Οι κατακόρυφοι λεπτοί σωλήνες Α και Β συνδέονται στον κύριο αγωγό και στο στένωμα και είναι ανοικτοί στο πάνω μέρος τους. Το νερό ρέει στον αγωγό από τα αριστερά προς τα δεξιά. Για τα ύψη h και h του νερού στους κατακόρυφους σωλήνες ισχύει α. h = h. β. h > h. γ. h < h. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (β). O σωλήνας είναι οριζόντιος, οπότε η εξίσωση του Bernoulli παίρνει τη μορφή p. όπου φαίνεται ότι στις περιοχές που πυκνώνουν οι ρευματικές γραμμές, στη στένωση του σωλήνα, η ταχύτητα ροής αυξάνεται και η πίεση ελαττώνεται, δηλαδή p >p. Από την υδροστατική για τις πιέσεις στα σημεία, αντίστοιχα, ισχύει: p =p at+ρgh και p =p at+ρgh Επειδή p >p έχουμε h >h. 0

11 Ερώτηση 9. Στον οριζόντιο σωλήνα του σχήματος, ρέει προς τα δεξιά ιδανικό υγρό πυκνότητας ρ. Το εμβαδόν διατομής Α είναι διπλάσιο του εμβαδού διατομής Α και το υγρό διέρχεται από την διατομή Α με ταχύτητα υ. Για τη διαφορά της πίεσης, p -p, μεταξύ των σημείων και, ισχύει α. β. γ. p p. p p,5. p p. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (β). Εφαρμόζοντας το νόμο του Bernoulli για τα σημεία και που ανήκουν στην ίδια ρευματική γραμμή έχουμε p p, () Από την εξίσωση της συνέχειας για το σωλήνα έχουμε A A A A Αντικαθιστώντας στην () παίρνουμε p p 4 p p p p,5

12 Ερώτηση. Το κυλινδρικό δοχείο του σχήματος έχει μεγάλο εμβαδόν βάσης και περιέχει ιδανικό υγρό. Στο πλευρικό τοίχωμα και σε βάθος h υπάρχει οπή εμβαδού διατομής Α από την οποία εξέρχεται το υγρό με ταχύτητα μέτρου υ. Σε ένα ίδιο δοχείο υπάρχει το ίδιο υγρό και σε βάθος h/ υπάρχει οπή εμβαδού διατομής Α από την οποία εξέρχεται το υγρό με ταχύτητα μέτρου υ. Αν οι παροχές των οπών είναι ίσες, ο λόγος των εμβαδών A A είναι α. β... γ.. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (α). Τα δοχεία έχουν μεγάλο εμβαδόν βάσης, έτσι θεωρούμε ότι κατά την εκροή του υγρού από την οπή, η ελεύθερη επιφάνειά του διατηρείται σε σταθερό ύψος και ισχύει το θεώρημα του Torricelli ( gh ). Έχουμε ίσες παροχές από τις οπές των δοχείων, επομένως h A A A gh A g A h g A A gh A 4

13 Ερώτηση. Στο δοχείο του σχήματος που έχει μεγάλο εμβαδόν διατομής, πέφτει νερό από μια βρύση η οποία έχει σταθερή παροχή, Π. Στο πλευρικό τοίχωμα του δοχείου και κοντά στον πυθμένα υπάρχει μικρή οπή εμβαδού Α από την οποία εξέρχεται το νερό, με αποτέλεσμα η στάθμη του νερού στο δοχείο να σταθεροποιηθεί σε ύψος h. Αν το εμβαδόν της οπής διπλασιαστεί, η στάθμη του νερού θα σταθεροποιηθεί σε ύψος h για το οποίο ισχύει α. h h. β. γ. h h h h 4.. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (γ). Kατά την εκροή του υγρού από την οπή, η ελεύθερη επιφάνειά του διατηρείται σε σταθερό ύψος. Με εφαρμογή του θεωρήματος Torricelli προκύπτει: gh Η παροχή της βρύσης είναι σταθερή, Π. Αφού η στάθμη του υγρού διατηρείται σταθερή, οι παροχές της βρύσης και των οπών είναι ίσες. Στην η περίπτωση ισχύει: gh Στην η περίπτωση ισχύει: gh Από το συνδυασμό των δύο σχέσεων προκύπτει: h A gh A gh h 4h h 4 5

14 Ερώτηση 4. Το δοχείο του σχήματος με εμβαδόν βάσης Α περιέχει νερό ύψους h. Στο πλευρικό τοίχωμα και κοντά στον πυθμένα υπάρχει βρύση με οπή εμβαδού διατομής Α. Η σχέση ανάμεσα στα εμβαδά των διατομών είναι Α =5Α και η επιτάχυνση της βαρύτητας στην περιοχή είναι g. Τη χρονική στιγμή t=0 που ανοίγουμε τη βρύση, το νερό εξέρχεται από αυτήν με ταχύτητα υ της οποίας το μέτρο είναι α. gh. 5 β. gh. γ., 4gh. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (β). Όταν ανοίξουμε τη βρύση, το νερό εκροής θα έχει ταχύτητα υ και η ελεύθερη επιφάνεια του υγρού θα κατέρχεται με ταχύτητα μέτρου υ. Από την εξίσωση της συνέχειας μεταξύ της ελεύθερης επιφάνειας και του σωλήνα εκροής έχουμε: 5 A A 5A A, () Εφαρμόζουμε την εξίσωση του Bernoulli για τα σημεία και της ίδιας ρευματικής γραμμής. p gh p gh, () Συνδυάζοντας τις (), () παίρνουμε gh 5 gh 5 6

15 Ερώτηση 7. Σε ένα πείραμα μέτρησης του ιξώδους, χρησιμοποιούμε δύο οριζόντιες γυάλινες πλάκες εμβαδού Α όπου ανάμεσά τους είναι τοποθετημένο ένα νευτώνειο υγρό,, πάχους με συντελεστή ιξώδους n. Η κάτω πλάκα είναι ακλόνητη ενώ στην επάνω πλάκα ασκούμε οριζόντια δύναμη F μέσω μιας διάταξης με τροχαλία και δίσκο όπου τοποθετούμε σταθμά (βλέπε σχήμα). Επαναλαμβάνουμε το πείραμα αντικαθιστώντας το υγρό,, με δεύτερο υγρό,, ίδιου πάχους που έχει συντελεστή ιξώδους n =0n. Στην περίπτωση του πρώτου υγρού, η μάζα των σταθμών που κρεμάσαμε για να κινείται η πάνω πλάκα με σταθερή ταχύτητα υ είναι. Στην δεύτερη περίπτωση για να κινηθεί η πάνω πλάκα με σταθερή ταχύτητα υ/, η μάζα των σταθμών πρέπει να είναι α.. β. 0. γ. 5. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (γ). Όταν η πάνω πλάκα κινείται με σταθερή ταχύτητα, το ιξώδες (δυνάμεις εσωτερικής τριβής) και n δύναμη F έχουν το ίδιο μέτρο που υπολογίζονται από τη σχέση na TF Επίσης ισχύει na F g g Για το υγρό () έχουμε: na g, () Για το υγρό () έχουμε: 0nA g, () Από τις σχέσεις (), () παίρνουμε 5 9

16 Άσκηση 6. Ένας κυλινδρικός σωλήνας νερού βρίσκεται στο οριζόντιο επίπεδο και αποτελείται από τρία τμήματα μεταβλητής διατομής, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Το τμήμα Α έχει εμβαδό διατομής A = 4 c, το τμήμα Β, A = c και το τμήμα Γ, A. Στο τμήμα Α του σωλήνα επικρατεί πίεση p = 0 5 Ν/. Στο τμήμα Β το νερό έχει ταχύτητα υ =0 /. Το νερό εξέρχεται στον αέρα από την έξοδο Δ του σωλήνα. Να υπολογίσετε: Α) την ταχύτητα υ του νερού στο τμήμα Α του σωλήνα. Β) την πίεση p στο τμήμα Β του σωλήνα. Γ) τη διατομή του σωλήνα A στο τμήμα Γ του σωλήνα. Δ) τη μάζα του νερού που εξέρχεται από το σωλήνα σε χρόνο t = 5 in. Να θεωρήσετε το νερό ιδανικό ρευστό. Δίνονται: η πυκνότητα του νερού ρ =0 kg/ και η ατμοσφαιρική πίεση p at = 0 5 N/. Α) Η παροχή του σωλήνα και στα τρία τμήματα παραμένει σταθερή. Από την εξίσωση της συνέχειας θα υπολογίσουμε την ταχύτητα υ του νερού στο τμήμα Α του σωλήνα = Α Α Α c 0 / Α 4c 5. Β) Για να υπολογίσουμε την πίεση p στο τμήμα Β του σωλήνα, εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια οριζόντια ρευματική γραμμή που διέρχεται από τα σημεία και p p p p 5 N kg p N p,650 4

17 Γ) Από την εξίσωση της συνέχειας για τα σημεία και 4 του σωλήνα, που η διατομή είναι σταθερή, έχουμε = Α Α () Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια οριζόντια ρευματική γραμμή που διέρχεται από τα σημεία και 4. Η πίεση p 4, στο σημείο 4 είναι ίση με την ατμοσφαιρική, αφού το νερό από το σημείο 4 του σωλήνα εξέρχεται στον αέρα, άρα p p N 5 N kg 0 p p Από τη σχέση () έχουμε 4 5 και από την εξίσωση της συνέχειας για τα τμήματα Β και Γ του σωλήνα, υπολογίζουμε τη διατομή του σωλήνα A στο τρίτο κομμάτι του σωλήνα Α c 0 / 4 B = Α Α Α Α c. 5 / Δ) Τη μάζα του νερού, που εξέρχεται από το σωλήνα, σε χρόνο t = 5 in θα τη βρούμε αφού πρώτα υπολογίσουμε την παροχή του σωλήνα 4 B = Α c Από τη σχέση της παροχής του σωλήνα θα βρούμε τον όγκο του νερού που εξέρχεται από το σωλήνα, σε χρόνο t = 5 in V = V t 0 00 V 0, 6. t Η μάζα του νερού που εξέρχεται από το σωλήνα, σε χρόνο t = 5 in, προκύπτει από τη σχέση της πυκνότητας V kg ρ ρv 000 0, kg. 44

18 Άσκηση 7. Ένας κυλινδρικός σωλήνας νερού βρίσκεται στο κατακόρυφο επίπεδο και αποτελείται από τρία τμήματα μεταβλητής διατομής, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Το τμήμα Α έχει εμβαδό διατομής A = 5 c, το τμήμα Β, A = c και το τμήμα Γ, A. Στο τμήμα Β το νερό έχει ταχύτητα υ =5 /. Στο τμήμα Γ του σωλήνα η κινητική ενέργεια του νερού ανά μονάδα όγκου είναι V J/. Στο τμήμα Γ (σημεία και 4, βλέπε σχήμα) η διατομή είναι ίδια και το νερό από το άκρο Δ του σωλήνα εξέρχεται στον αέρα. Η υψομετρική διαφορά μεταξύ των σημείων και είναι h = 50 c και μεταξύ των σημείων και είναι h =0 c. Να υπολογίσετε: Α) την ταχύτητα υ 4 του νερού στην έξοδο Δ. Β) το εμβαδό διατομής A στο τμήμα Γ. Γ) τις πιέσεις στα σημεία,, και 4 του σωλήνα. Δ) το έργο που παρέχεται από το περιβάλλον ρευστό σε όγκο νερού ΔV = L, κατά την μετακίνησή του από το σημείο στο σημείο. Να θεωρήσετε το νερό ιδανικό ρευστό. Δίνονται: η επιτάχυνση της βαρύτητας g =0 /, η πυκνότητα του νερού ρ =0 kg/ και η ατμοσφαιρική πίεση p at = 0 5 N/. Α) Στο τρίτο κομμάτι του σωλήνα, στο τμήμα Γ, η κινητική ενέργεια του νερού ανά μονάδα όγκου είναι J/, άρα V 4 J 50 K K / V 0. V V kg 0 45

19 Β) Η παροχή του σωλήνα και στα τρία τμήματα παραμένει σταθερή. Από την εξίσωση της συνέχειας θα υπολογίσουμε το εμβαδό διατομής A στο τμήμα Γ του σωλήνα. = Α Α Α c 5 / Α c. 0 / Γ) Η πίεση p 4, στην έξοδο Δ είναι ίση με την ατμοσφαιρική, αφού το νερό εξέρχεται στον αέρα. 5 N p4 p p4 0. Από την εξίσωση της συνέχειας για τα τμήματα Γ και Δ του σωλήνα, που η διατομή είναι σταθερή, έχουμε: = Α Α Για να υπολογίσουμε την πίεση p στο τρίτο κομμάτι του σωλήνα, στο σημείο, εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια οριζόντια ρευματική γραμμή που διέρχεται από τα σημεία και 4 5 N p p4 4 p p4 p 0. Για να υπολογίσουμε την πίεση p στο κομμάτι Β του σωλήνα εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια ρευματική γραμμή που διέρχεται από τα σημεία και, θεωρώντας σαν επίπεδο αναφοράς για τη δυναμική ενέργεια του ρευστού το οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από το σημείο. p g h p p p g h 5 N kg kg p , 5 N p,450 Από την εξίσωση της συνέχειας για τα τμήματα Α και Β του σωλήνα, έχουμε Α c 5 / Α 5c = Α Α. Τέλος εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια ρευματική γραμμή που διέρχεται από τα σημεία και. 46

20 p gh h p p p gh h 5 N kg kg p ,8 5 N p,4 0 Δ) Α τρόπος Το έργο που παρέχεται σε όγκο νερού ΔV = L κατά την μετακίνησή του από το σημείο στο από το περιβάλλον ρευστό ισούται με το άθροισμα δύο έργων, του W = F Δx = p A Δx και του W = -F Δx = -p A Δx. Όμως, A Δx = A Δx = ΔV, οπότε το έργο του περιβάλλοντος ρευστού είναι: 5 N 5 N W p pv, W 4,5J. Β τρόπος Το έργο που παρέχεται από το περιβάλλον ρευστό σε όγκο νερού ΔV = L κατά την μετακίνησή του από το σημείο στο μετατρέπεται σε αύξηση της μηχανικής ενέργειας του ρευστού. Άρα, αρκεί να υπολογίσουμε τη μεταβολή της μηχανικής ενέργειας του ρευστού μεταξύ των δύο θέσεων. Θεωρούμε ότι η δυναμική ενέργεια είναι μηδέν στο οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από το σημείο W K U K U g h g h W V Vg (0 h ) kg kg W , W 4,5 J. 47

21 Άσκηση. Το ροόμετρο Venturi, που φαίνεται στο διπλανό σχήμα, αποτελείται από έναν οριζόντιο κυλινδρικό σωλήνα μεταβλητής διατομής που διαρρέεται από νερό. Στα δύο μέρη του έχει διαφορετικές διατομές A = 4 c και A = c, αντίστοιχα. Οι δύο λεπτοί κατακόρυφοι σωλήνες είναι ανοικτοί. Όταν στο σημείο η ταχύτητα του νερού είναι υ = /, το νερό στον πρώτο κατακόρυφο σωλήνα βρίσκεται σε ύψος h =,5. Να υπολογίσετε: Α) την ταχύτητα υ του νερού στο δεύτερο κομμάτι του οριζόντιου σωλήνα (σημείο ). Β) την μεταβολή στην πίεση του νερού, καθώς αυτό μεταβαίνει από το πρώτο στο δεύτερο μέρος του οριζόντιου σωλήνα. Γ) το ύψος h του νερού στον δεύτερο κατακόρυφο σωλήνα. Δ) το ποσοστό μεταβολής στην αρχική παροχή του σωλήνα, προκειμένου να μηδενιστεί το ύψος του νερού στο δεύτερο κατακόρυφο σωλήνα, ενώ στον πρώτο να παραμείνει σε ύψος h =,5. Να θεωρήσετε το νερό ιδανικό ρευστό. Δίνονται: η επιτάχυνση της βαρύτητας g =0 /, η πυκνότητα του νερού ρ ν =0 kg/ και η ατμοσφαιρική πίεση p at = 0 5 N/. Α) Η παροχή του σωλήνα παραμένει σταθερή. Από την εξίσωση της συνέχειας θα υπολογίσουμε την ταχύτητα υ του νερού στο δεύτερο κομμάτι του οριζόντιου σωλήνα (σημείο ). Α 4c / Α c = Α Α 4 /. Β) Αν η πίεση στο τμήμα Α είναι p και στο τμήμα Β είναι p, το θεώρημα Bernoulli για μια οριζόντια ρευματική γραμμή που διέρχεται από τα σημεία και, δίνει την μεταβολή στην πίεση του νερού, καθώς αυτό μεταβαίνει από το πρώτο στο δεύτερο μέρος του οριζόντιου σωλήνα. 55

22 p p p p kg N p 0 4 p 6 0. ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Άρα, καθώς το νερό περνάει στον στενότερο σωλήνα, όπου η ταχύτητα μεγαλώνει, η πίεση μειώνεται. Γ) Σύμφωνα με την υδροστατική, η πίεση p, στο τμήμα Β, ισούται με την πίεση στη βάση της στήλης νερού του λεπτού κατακόρυφου σωλήνα. p p gh. Ομοίως για την πίεση p, στο σημείο. p p gh. Άρα, για το ύψος h του νερού στον δεύτερο κατακόρυφο σωλήνα έχουμε p p p p gh p g h p g h g h N 60 h h h,5 h 0, 75. p gh p g g kg 0 0 Δ) Αλλάζουμε την παροχή του νερού, ώστε να μηδενιστεί το ύψος του νερού στο δεύτερο κατακόρυφο σωλήνα και η πίεση p να γίνει ίση με την ατμοσφαιρική. 5 N p p 0. Έστω Π η καινούρια παροχή του νερού και υ και υ, οι νέες ταχύτητες του νερού στα δύο τμήματα του σωλήνα. Η εξίσωση συνέχειας δίνει Α Α 4c c () Από το θεώρημα Bernoulli για μια οριζόντια ρευματική γραμμή που διέρχεται από τα σημεία και, έχουμε gh p p p p g h g h 0,5 g h. Αρχικά η παροχή Π του νερού ήταν 56

23 4 Α 4c 8 0. Η καινούρια παροχή Π του νερού είναι 4 Α 4c 0. Τελικά το ποσοστό μεταβολής της παροχής του νερού, προκειμένου να μηδενιστεί το ύψος του νερού στο δεύτερο κατακόρυφο σωλήνα, ενώ στον πρώτο να παραμείνει σε ύψος h =,5 είναι: % 00% 50%

24 Άσκηση. Στον οριζόντιο σωλήνα Venturi, μεταβλητής διατομής, ρέει φυσικό αέριο. Τα δύο μέρη του σωλήνα έχουν διατομές A και A, αντίστοιχα, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Κάτω από τον οριζόντιο σωλήνα υπάρχει δεύτερος υοειδής λεπτός σωλήνας που περιέχει νερό. Μέσα από τον οριζόντιο σωλήνα μεταφέρονται 0,6 kg αερίου το λεπτό. Όταν στο σημείο η κινητική ενέργεια ανά μονάδα όγκου του αερίου είναι 4 J/, η υψομετρική διαφορά του νερού στους δύο κατακόρυφους σωλήνες είναι Δh=0, c. Να υπολογίσετε: Α) την ταχύτητα υ του φυσικού αερίου στο πρώτο κομμάτι του οριζόντιου σωλήνα (σημείο ). Β) την μεταβολή στην πίεση του αερίου, καθώς αυτό μεταβαίνει από το πρώτο στο δεύτερο μέρος του οριζόντιου σωλήνα. Γ) την ταχύτητα υ του φυσικού αερίου στο δεύτερο κομμάτι του οριζόντιου σωλήνα (σημείο ). Δ) τις διατομές A και A στα δύο μέρη του οριζόντιου σωλήνα. Να θεωρήσετε το φυσικό αέριο ιδανικό ρευστό. Δίνονται: η επιτάχυνση της βαρύτητας g =0 /, η πυκνότητα του νερού ρ ν =0 kg/, η πυκνότητα του φυσικού αερίου ρ α =0,5kg/ και η ατμοσφαιρική πίεση p at=0 5 N/. Α) Στο πρώτο κομμάτι του σωλήνα, στο σημείο, η κινητική ενέργεια του φυσικού J αερίου ανά μονάδα όγκου είναι 4, άρα V J 4 K K / V 4. V V kg 0,5 Β) Έστω ότι η πίεση στο τμήμα Α είναι p και στο τμήμα Β είναι p. Τα σημεία Δ και Ε βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο ενός υγρού (του νερού) που ισορροπεί, άρα έχουν ίδιες συνολικές πιέσεις. Στο σημείο Δ η πίεση ισούται με την πίεση του αερίου p, ενώ στο σημείο Ε η πίεση ισούται με το άθροισμα της πίεσης του αερίου p και της υδροστατικής πίεσης από την υπερκείμενη 58

25 ποσότητα του νερού. p p p p p p = +ρ g h - ρ g h kg N p ρ g h 0 0 0, 0 p. ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Έτσι η μεταβολή στην πίεση του αερίου, καθώς αυτό μεταβαίνει από το πρώτο στο δεύτερο μέρος του οριζόντιου σωλήνα είναι αρνητική. Γ) Το θεώρημα Bernoulli για μια οριζόντια ρευματική γραμμή που διέρχεται από τα σημεία και, δίνει την ταχύτητα υ του φυσικού αερίου στο δεύτερο κομμάτι του οριζόντιου σωλήνα p p p p p 0 N kg kg 0,5 4 0,5. Δ) Μέσα από το σωλήνα μεταφέρονται 0,6 kg αερίου το λεπτό. Ο όγκος του αερίου προκύπτει από τη σχέση της πυκνότητας 0,6kg ρ V V V,. V ρ kg 0,5 Η παροχή του αερίου στο σωλήνα είναι V, = 0, 0. t 60 Η παροχή του αερίου είναι σταθερή και στο πρώτο τμήμα του σωλήνα είναι 0,0 = Α Α Α = 50 Α 50c. 4 Η παροχή του αερίου στο δεύτερο τμήμα του σωλήνα είναι 0,0 = Α Α Α = 0 Α 0c. 0 59

26 Πρόβλημα 6. Ένας κατακόρυφος σωλήνας σταθερής διατομής Α =0c, τροφοδοτεί με νερό δύο οριζόντιους σωλήνες διατομής Α =c και Α =4c, οι οποίοι εκτοξεύουν νερό προς το έδαφος. Οι οριζόντιοι σωλήνες βρίσκονται σε ύψη h και h αντίστοιχα. Το νερό αρχίζει να ανέρχεται στον κατακόρυφο σωλήνα με ταχύτητα υ =/ και εξέρχεται από τους δύο οριζόντιους σωλήνες με ταχύτητες υ =6/ και υ, αντίστοιχα. Οι χρόνοι που βρίσκεται το νερό στο αέρα μέχρι να κτυπήσει στο έδαφος είναι t και t =t, αντίστοιχα. Να υπολογίσετε: Α) την ταχύτητα υ με την οποία το νερό εξέρχεται από τον ψηλότερο οριζόντιο σωλήνα. Β) τα ύψη h και h στα οποία βρίσκονται οι δύο οριζόντιοι σωλήνες. Γ) την πίεση του νερού p στη βάση του κατακόρυφου σωλήνα (σημείο ). Δ) ποιο ποσοστό % της συνολικής ποσότητας νερού που τροφοδοτεί ο κατακόρυφος σωλήνας φτάνει στον ψηλότερο οριζόντιο σωλήνα. Να θεωρήσετε το νερό ιδανικό ρευστό. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=0/, η πυκνότητα του νερού ρ=000kg/ και η ατμοσφαιρική πίεση p at =0 5 N/. Α) Από την εξίσωση της συνέχειας θα υπολογίσουμε την ταχύτητα υ με την οποία το νερό εξέρχεται από τον ψηλότερο οριζόντιο σωλήνα Α Π = Α + Α Α 0c / c 6 / 4c. Β) Οι δύο δέσμες του νερού κάνουν οριζόντια βολή. Η χρονική διάρκεια της πτώσης του νερού, μέχρι να φθάσει στο έδαφος, εξαρτάται από το ύψος που εκτοξεύεται. Άρα, από τη σχέση των χρόνων πτώσης του νερού στο έδαφος, t =t, θα υπολογίσουμε τη σχέση των υψών h και h. 80

27 h g t h g t h gt h 4 g t h 4h () ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια ρευματική γραμμή που διέρχεται από τα σημεία και, θεωρώντας σαν επίπεδο αναφοράς για τη δυναμική ενέργεια του ρευστού το οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από το σημείο. p p gh () Ομοίως εφαρμόζουμε το θεώρημα Bernoulli για μια ρευματική γραμμή που διέρχεται από τα σημεία και p p gh () Οι πιέσεις p και p, στα σημεία και είναι ίσες με την ατμοσφαιρική, αφού το νερό από τους δύο σωλήνες εξέρχεται στον αέρα. 5 N p p p 0. Στις σχέσεις () και () τα πρώτα μέλη είναι ίσα, άρα θα είναι και τα δεύτερα. Χρησιμοποιώντας και τη σχέση () υπολογίζουμε τα ύψη h και h που βρίσκονται οι δύο οριζόντιοι σωλήνες p g h p g h g h g h 6 gh g4h h h 0, 45. 6g 60 Από τη σχέση () προκύπτει h =4h =,8. Γ) Από τη σχέση () βρίσκουμε την πίεση του νερού p στη βάση του κατακόρυφου σωλήνα (σημείο ). p p gh p p gh p , , N kg kg 5 N p Δ) Το ποσοστό % της συνολικής ποσότητας νερού που καταλήγει στον ψηλότερο οριζόντιο σωλήνα είναι: 8

28 V V t 00% 00% 00% 00% 00% V V t Α 4c / 00% 00% 00% 00% 40%. Α 0c / 8

29 Πρόβλημα 9. H δεξαμενή, που φαίνεται στο διπλανό σχήμα, είναι ανοικτή και γεμάτη με νερό σε ύψος h =5c. Στα σημεία Β και Γ του πλευρικού τοιχώματος και του πυθμένα, αντίστοιχα, υπάρχουν μικρά ανοίγματα με επιφάνειες διατομών A =c και A =c, αντίστοιχα. Τα δύο ανοίγματα βρίσκονται σε ύψος h =0c από το έδαφος και είναι κλεισμένα με πώματα. Οι διατομές A και A είναι πολύ μικρότερες από την επιφάνεια A της δεξαμενής. Τη χρονική στιγμή t=0, αφαιρούμε ταυτόχρονα τα δύο πώματα. Το νερό εξέρχεται στον αέρα από τα δύο ανοίγματα με ταχύτητες υ και υ αντίστοιχα. Η ταχύτητα υ είναι οριζόντια. Να υπολογίσετε: Α) τις ταχύτητες υ και υ με τις οποίες εξέρχεται το νερό στον αέρα από τα ανοίγματα Β και Γ. Β) το μέτρο των ταχυτήτων υ προσκρούει στο έδαφος. και υ, με τις οποίες το νερό των δύο φλεβών Γ) τις χρονικές στιγμές t και t, που το νερό των δύο φλεβών προσκρούει στο έδαφος. Δ) τις επιφάνειες των διατομών A και A που έχουν οι φλέβες νερού όταν φτάνουν στο έδαφος. Να θεωρήσετε το νερό ιδανικό ρευστό. Δίνονται: η επιτάχυνση της βαρύτητας g =0/, η πυκνότητα του νερού ρ=0 kg/ και η ατμοσφαιρική πίεση p at =0 5 N/. Α) Η πίεση p, στο σημείο Α είναι ίση με την ατμοσφαιρική, αφού το δοχείο είναι ανοικτό, όπως και η πίεση p, στα σημεία Β και Γ, αφού το νερό εξέρχεται στον αέρα, άρα 5 N p p p 0. 9

30 Οι διατομές A και A είναι πολύ μικρότερες από την επιφάνεια του δοχείου A και θεωρούμε ότι η ταχύτητα υ με την οποία κατεβαίνει η ελεύθερη επιφάνεια του νερού είναι μηδενική, υ =0. Η ταχύτητα υ με την οποία εξέρχεται το νερό στον αέρα από το άνοιγμα Β προκύπτει από το θεώρημα Bernoulli για μια ρευματική γραμμή που διέρχεται από τα σημεία Α και Β. p g h p g h g h 0,5 5. Ομοίως προκύπτει η ταχύτητα υ, αν εφαρμόσουμε το θεώρημα Bernoulli για μια φλέβα νερού που διέρχεται από τα σημεία Α και Γ. p g h p g h g h 0,5 5. Β) Τα μέτρα των ταχυτήτων υ και υ, αντίστοιχα, με τις οποίες το νερό των δύο φλεβών προσκρούει στο έδαφος, θα τα υπολογίσουμε με το θεώρημα Bernoulli. Η πίεση p, στο σημείο Γ, είναι ίση με την ατμοσφαιρική, όπως και η πίεση στα σημεία που το νερό φτάνει στο έδαφος. Πρώτα για μια ρευματική γραμμή της κατακόρυφης φλέβας. p gh p g h 5 0, 7. Και για μια ρευματική γραμμή της φλέβας νερού που κάνει οριζόντια βολή, το θεώρημα Bernoulli δίνει το ίδιο αποτέλεσμα 9

31 p gh p gh 5 0, 7. ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ) Η δέσμη του νερού που εξέρχεται από το πλευρικό άνοιγμα κάνει οριζόντια βολή. Σύμφωνα με την αρχή ανεξαρτησίας των κινήσεων η χρονική διάρκεια της πτώσης του νερού, μέχρι να φθάσει στο έδαφος, εξαρτάται από το ύψος που εκτοξεύεται h, h g t t t 0,4 ή t 0, 6. g 0 / Η δέσμη του νερού που κινείται κατακόρυφα κάνει ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση με αρχική ταχύτητα υ. Η ταχύτητα υ που θα αποκτήσει τη χρονική στιγμή t, είναι 7 5 g t t t 0,. g 0 Δ) Τις επιφάνειες διατομών A και A, που έχουν οι φλέβες νερού όταν φτάνουν στο έδαφος θα τις υπολογίσουμε από την εξίσωση της συνέχειας για την κάθε φλέβα νερού, από την έξοδό της από τη δεξαμενή μέχρι και ελάχιστα πριν την πρόσκρουσή της στο έδαφος. Α c 5 / 5 = Α Α Α Α c. 7 / 7 Α c 5 / 0 = Α Α Α Α c. 7 / 7 9

32 Πρόβλημα 0. Η δεξαμενή μεγάλης επιφάνειας A, που φαίνεται στο διπλανό σχήμα, είναι ανοικτή και περιέχει νερό σε σταθερό ύψος h=50c, ενώ από πάνω από το νερό υπάρχει στρώμα λαδιού ίδιου ύψους h. Σε δύο σημεία των πλευρικών τοιχωμάτων, υπάρχουν μικρά ανοίγματα Β και Γ με διατομές A =c και A = 5 c, αντίστοιχα. Οι διατομές A και A είναι πολύ μικρότερες από την επιφάνεια A της δεξαμενής. Τα δύο ανοίγματα βρίσκονται σε ύψος h =80c, h =0c από τον πυθμένα του δοχείου, αντίστοιχα, και είναι κλεισμένα με πώματα. Τη χρονική στιγμή t=0, ανοίγουμε ταυτόχρονα τα δύο ανοίγματα, οπότε το λάδι και το νερό εξέρχονται στον αέρα με οριζόντιες ταχύτητες υ και υ, αντίστοιχα. Οι σχηματιζόμενες φλέβες νερού και λαδιού, αφού κάνουν οριζόντιες βολές, καταλήγουν μέσα σε μικρό άδειο δοχείο, όγκου V=0 L, που βρίσκεται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο με τον πυθμένα της δεξαμενής. Να υπολογίσετε: Α) τις ταχύτητες υ και υ, με τις οποίες το λάδι και το νερό εξέρχονται στον αέρα από τα ανοίγματα Β και Γ, αντίστοιχα, τη χρονική στιγμή t=0. Β) τις χρονικές στιγμές t και t που οι δύο φλέβες από το λάδι και το νερό, αντίστοιχα, προσπίπτουν στο δοχείο. Γ) τη χρονική στιγμή t που θα γεμίσει το δοχείο. Δ) το ποσοστό του συνολικού υγρού στο μικρό δοχείο που καταλαμβάνει το λάδι, κατά τη χρονική στιγμή t, που το δοχείο γεμίζει. Να θεωρήσετε το νερό και το λάδι ιδανικά ρευστά. Δίνονται: η επιτάχυνση της βαρύτητας g =0 /, η πυκνότητα του νερού ρ ν =0 kg/, η πυκνότητα του λαδιού ρ λ =0,9. 0 kg/ και η ατμοσφαιρική πίεση p at =0 5 N/. Α) Η πίεση p, στο σημείο είναι ίση με την ατμοσφαιρική, αφού η δεξαμενή είναι ανοικτή, όπως και οι πιέσεις p, p, στα σημεία Β και Γ, αφού το λάδι και το νερό, αντίστοιχα, εξέρχονται στον αέρα, άρα 5 N p p p p 0. 94

33 Επειδή οι διατομές A και A είναι πολύ μικρότερες από την επιφάνεια της δεξαμενής A, θεωρούμε ότι η ταχύτητα υ με την οποία κατεβαίνει η ελεύθερη επιφάνεια του νερού και του λαδιού είναι μηδενική, υ =0. Η ταχύτητα υ με την οποία εξέρχεται το λάδι στον αέρα από το άνοιγμα Β προκύπτει άμεσα από το θεώρημα Torricelli gh h 0 0,5 0,8. Για την ταχύτητα υ με την οποία εξέρχεται το νερό στον αέρα από το άνοιγμα Γ θα εφαρμόσουμε το θεώρημα Bernoulli για μια ρευματική γραμμή που διέρχεται από το σημείο 4, στη διαχωριστική επιφάνεια λαδιού νερού και του σημείου, στην έξοδο του νερού από τη δεξαμενή. p p () 4 g h h Η πίεση p 4, στο σημείο 4, είναι το άθροισμα της ατμοσφαιρικής πίεσης και της υδροστατικής πίεσης από την υπερκείμενη ποσότητα του λαδιού. p p 4 = +ρ gh Έτσι, η σχέση () γίνεται: p + ρgh gh h p ρgh g h h kg 0,9 0 0,5 ρh g h h 0 0, 5. kg 0 Β) Οι δέσμες του νερού και του λαδιού που εξέρχονται από τα πλευρικά ανοίγματα κάνουν οριζόντιες βολές. Σύμφωνα με την αρχή ανεξαρτησίας των κινήσεων η χρονική διάρκεια της πτώσης εξαρτάται από το ύψος εκτόξευσης. Το λάδι θα φτάσει στο δοχείο τη χρονική στιγμή t. h 0,8 h gt t t 0, 4 g 0 / και το νερό τη χρονική στιγμή t. h 0, h gt t t 0,. g 0 / Γ) Η παροχή του νερού είναι = Α Η παροχή του λαδιού είναι 4 4 = Α

34 Τη χρονική στιγμή t που θα γεμίσει το δοχείο έχει εισέλθει σε αυτό συνολικός όγκος 0L από τα δύο υγρά. Ο όγκος αυτός θα υπολογιστεί από την παροχή του νερού για χρονικό διάστημα Δt=t t και από την παροχή του λαδιού για χρονικό διάστημα Δt=t t V V V t t t t 4 4 0L 40 t 0,4 50 t 0, t 0,4 50 t 0, 9t 0, 6 t, 4. Δ) Το ποσοστό του συνολικού υγρού στο μικρό δοχείο που καταλαμβάνει το λάδι, κατά τη χρονική στιγμή t, που το δοχείο γεμίζει είναι : V V V 0L V V 4 t t 40,4 0,4 00% 00% 00% % 00% 44%. 0 Ημερομηνία τροποποίησης: 7/0/07 Επιμέλεια: Παναγιώτης Μπετσάκος, Ηλίας Ποντικός Επιστημονικός έλεγχος: Αντώνιος Παλόγος 96