ویسکواالستیسیته و پلیمرها Viscoelasticity and Polymers

Transcript

1 یسکاالستیسیته پلرها Viscoelasticity and Polymers رضا ا. تهیننده: نسیلی تشک ی ل دهنده فص ل چهم: معادالت دیفر ا Chapter 4: Differential Constitutive Equations فهرست مطالب: رش های بسط معادالت دیفرانسیلی مدل های مکانی مدل ماکسل کلین تعم یافته اصل تناظر آلفری خاص دینامی بررسی مدل انباشت اتالف نسبت استهالک

2 2 همدقم رطنامه میناد دماج تسلاا یطخ کت هرحم ای شرب صلاخ نیناق که یریپ :دنک ییاج σ ای( )τ یلامعا ε ای( )γ لصاح هدش E )G ای( لدم تسلاا دش یرایسب دام تحت طیش صاخ یطیحم کچک لباق لامعا.دش اهرمیلپ تست شچیپ شیامزآ باختنا دش یز راتفر هتسبا نامز )تسلااکسی( اهرمیلپ رط هدمع یشان هفلم یفحنا شرب( ای رییغت )بلاق هسیاقم هفلم یعاستا رییغت( )مجح.دش رگا تسلاا یطخ دش خرن بسانتم خرن تسا یرط لدم لقتسم نامز.تسا انعم ریغ ترص رگا لدم هتسبا نامز دش رت قتشم ینامز لدم یتسی هفاضا.دش نانع لاثم ش پ ی میتفگ هلداعم یلیسنفید لدم هیاپ لسکام ترص ریز :تسا نآ مه خرن مه خرن رادیدپ.ددرگ لدم هیاپ تلاداعم یلیسنفید هطبرم نانع یرازبا ک ی هناسانشرادیدپ شزخ شیاسآ تست خرن تباث شیپ ثحب.دیدرگ لامع چیه یا اقیقد لدم هداس یریپ ن.دنک هجیتن شر یلک یرتشیب ین تسا ات حیحص رط راتفر هتسبا نامز اهرمیلپ لدم.دمن لصف هعست یشر جختسا تلاداعم یلیسنفید مکاح لدم یلک یناکم هتخادرپ.دش تلاداعم یلیسنفید تسد ندرآ عبات رن لدم تحت طیش ش یتاتسا یکانید درم هدافتسا رق.دنریگ لصف یدعب زین شر هلداعم یلگتنا هئا.دش

3 رشهایبسطمعادالتدیفرانسیل مدلهاکانی 3 Methods for the Development of Differential Equations for Mechanical Models المانهای ماکسل کلین علیرغم آن که به طر معمل قادر به نشان دادن رفت ماد یسکاالستیک اقعی به تنهایی نمیباشد با این حال میتانند به عنان عناصر پایهی مدلهای عممیتری استفاده شد. هر مدل مکانی را میتان با منتاژ مدل های منتاژ نمد. ایجاد مازی یا سری به صرت آد دامپرهای فنر ها با یعنی هم به کلین از مکانی المانهای ماکسل چند /یا کلین باعث مدلسازی بهتر رفت ماد یسکاالستیک با در اختی داشتن زمانهای آسایش/ تاخیر چندگانه خاهد بد. ماکسل المان به یاد داشته باش که زمان تاخیر/آسایش المان های ماکسل یا کلین به صرت نسبت μ E تعریف می شد لذا برای المان های زمان یک کلین ماکسل تشل شده اند دای طیفی از هر است از یک با از تجه استخراج مدل های به معادله معادالت مکانی تاخیر/آسایش را تشل دیفرانسیل سایر اما دا. جد احد زمان های تاخیر/آسایش می باشند. پاسخ می تان مدل تسط م بگذی خزش یا آسایش ساده نرمی خزشی معادله به نظر دیفرانسیلی هر ای مدل تصیف که هایی ک. در معادله تصیف ادامه دیفرانسیل می حاکم گند بر هر منتاژ از مدل چندین مکانی المان ممکن دهنده برای هر عنصر همچنین معادالت تعادل مجمعه قید سینماتی بدست آه شد. پس بگذی creep compliance حل از خاص مدل آسایش معادله دیفرانسیل مربطه relaxation modulus را پاسخ میآید. بدست برای مدل داده شده فراهم خاهد نمد. در این بخش از طریق یک مثال کلی رشی برای به دست آن معادله دیفرانسیل حاکم برای هر مدل مکانی بیان میگد.

4 رشهایبسطمعادالتدیفرانسیل مدلهاکانی به عنان الین مثال مدل جامد سه پامتری )که به عنان مدل یت-کلین Voigt-Kelvin نیز شناخته میشد( در شکل زیر نشان داده شده است در نظر گرفته میشد. این مدل به صرت ترب یک فنر مدل کلین به حالت سری میباشد. سه مجمعه از معادالت خاه داشت که در آنها اندیس 0 یا s مقد آن کمیت در فنر آد اندیس 1 یا k مقد آن کمیت در المان کلین σ ε مقد تنش کرنش را نشان میدهد )تنش کرنش کل تحملشده تسط جامد سه پامتری(. 4 Methods for the Development of Differential Equations for Mechanical Models حال معادله تشلدهنده )معادلهی دیفرانسیل( مدل سهپامتری استخراج میگد. معادله سینماتی (1) صرت زیر میباشد از معادلهی تعادل د که تنش در فنر آد σ s تنش در المان کلین σ k برر است که معادل همان پیدا کن معادله دیفرانسیل مناسبتر آن است که معادله تشلدهندهی کلین نشته شد برای مقد جامد تنش σ سهپامتری می باشد. به برای (2) D 3 D 2 در جایی که نشان میدهد. عملگر دیفرانسیلی زمان به نسبت را سم دم مرتبه ی مشتقات که باشید داشته تجه است. D = d dt

5 رشهایبسطمعادالتدیفرانسیل مدلهاکانی از آنجایی که اپراترهای دیفرانسیل از قانین اصلی جبری پیری مینمایند می تان از آنها مانند عبتهای جبری تسط فاکترگیری ضرب غیره در ساده سازی چندجملهایها استفاده گد. اکنن رطهی )2( را میتان برای کرنش المان کلین حل نمد: 5 Methods for the Development of Differential Equations for Mechanical Models (3) )1( )3( با دانستن آن که σ k = σ s = σ جایگزینی انجام ساده رطه ی فنر در رطه رطه ی نشت: می تان سازی (4) که جایی در (5) معادالت دیفرانسیل برای ماد یسکاالستیک اغلب به فرم استاندا داده شده ی رطهی )4( نشته می شد. الین ترم تنش دای مشتق نمی باشد ضریب آن برر یک تنظ شده است. معادله دیفرانسیل حاکم بر رط بین تنش کرنش برای مدل مکانی دادهشده بسی اهمیت دا اما به منظر تعیین پاسخ مدل بایستی تحت شرایط بگذی خاص حل شد. خاص اساسی یسکاالستیک مانند نرمی خزشی یا مدل آسایش را میتان با حل معادله دیفرانسیل به دست آ. برای مثال نرمی خزشی را با استفاده از شرایط تست خزش با تنش ثت مطق شکل صفحه بعد میتان تعیین نمد. از آنجا که تنش ردی در آزمن خزش ثت است نرخ تنش صفر = 0 σ معادله دیفرانسیل برای جامد سه پامتری از رطهی )4( به صرت زیر میشد

6 رشهایبسطمعادالتدیفرانسیل مدلهاکانی 6 Methods for the Development of Differential Equations for Mechanical Models )5( در جایی که H(t) تع هیساید یا همان تع پله یژهی داده شده به صرت زیر می باشد: رطه است. احد معادله ای همگن حل های از مجمعه ای آن حل که است ناهمگن (6) τ = آن در که μ 1 E 1 تاخیر المان زمان است. کلین بنراین نرمی جامد سه خزشی بدین پامتری ترتیب خاهد بد: (7) با تجه به پاسخ خزش ماد کلینی کامال اضح است که پاسخ مدل خزش فنر خزش جامد کلین به دست میآید. حل معادله دیفرانسیل ضعیتها را میتان به شیهای مشه که در باال آمد بهدست آ. سه پامتری برای حالت خزش به سادگی برای ضعیتهای آسایش نرخ کرنش یا از برهمنهی پاسخ تنش ثت سایر

7 7 با رشهایبسطمعادالتدیفرانسیل مدلهاکانی رش از استفاده صرت زیر نشان داد معادله پامتری سه جامد برای ائه شده به می تان را زیر( )شکل پامتری چه سیال مدل برای حاکم دیفرانسیل Methods for the Development of Differential Equations for Mechanical Models بایستی تجه داشت که مدل سیال چه پامتری از یک المان کلینی )زیرنیس )1 یک المان ماکسلی )زیرنیس تشل شده 0( است. بنراین بایستی از رط تشلدهندهی )معادالت دیفرانسیل( المانهای کلین ماکسل رط تعادل سینماتی سیستم در استخراج معادالت دیفرانسیل حاکم استفاده شد. پاسخ رطهی باال برای سیال چه پامتری در حالت خزش را میتان بدین صرت نشان داد سیال االستیک تاخیری آ ین االستیک

8 رشهایبسطمعادالتدیفرانسیل مدلهاکانی 8 Methods for the Development of Differential Equations for Mechanical Models رفت خزش بازیافت خزش یک سیال چه پامتری در شکل زیر نشان داده شده است. رفت پلرهای ترمپالستیک )گرمانرم( این نمد می تان تشخیص داد. سه مرحلهی االستیسیتهی آنی االستیسیتهی تاخیری جی شدن )سیال( عممیترین نع ممکن برای ماد خطی یسکاالستیک را نمایش می دهد. را در رفت شدن Flow جی یا سیال عبت از متن بعضی در تجه: های ملفه از ی عنان به یسکاالستیک ترجیح نمی شد استفاده آن جای میدهند به رفت یسکاالستیک سیال عبت یا آد دمپر بدن های مدل فقط با را تعریف نمایند. با حذف عناصر مختلف در مدل چه پامتری پاسخ سیال ماکسلی جامد کلینی جامد سه پامتری را میتان به دست آ این مدل میتان برای نمایش پاسخ ماد ترمپالستیک /یا ترمست استفاده ک. از

9 9 قا شیاسآ شزخ تست نمیپ یا هتکن یع A Note on Realistic Creep and Relaxation Testing ماجنا تست رب یر اهرمیلپ دنمین مهف یصاخ تعیبط تسلااکسی اهرمیلپ.دش نانع لاثم تست شزخ ین میراد ات یششک یراشف ای یشچیپ یتباث هل ترص هر یناهگان لامعا.مینک لادتم نیرت فیصت تست شزخ یششک کت هرحم لکش a ناشن هدش هداد.تسا لاح شسرپ یفلتخم دنات نهذ رطخ دنک ی اهنآ :تسا خساپ لاس تسا قباطم لکش b ر ترص بیش ramp ترص یدر لامعا.ددرگ حضا تسا تلاح تست شزخ یحیحص.تسین لاح فلاتخا هدش داجیا قچ گرزب تسا خساپ هلداعم لیسنفید شیامن هدنهد ی یدر بیش لکش b دش نات تسد درآ نات ناشن داد رگا نامز یراذگر t 0 هسیاقم نامز یگدناما τ کچک دش فلاتخا یجرخ لباق مشچ یشپ.تسا رطچ ر یتسی یناهگان لامعا دمن ندب نآ رثا یکانید داجیا ددرگ

10 10 قا شیاسآ شزخ تست نمیپ یا هتکن یع A Note on Realistic Creep and Relaxation Testing رط اشم نه لکشم تست شیاسآ زین خر.دهد لکش c تست شیاسآ هدیا لآ نآ یدر هر لامعا هدش شیامن هداد هدش.تسا اددجم یریگلج رثا یکانید یدر بیش قباطم d لکش هدافتسا هدش تسا نات هدهاشم درک رگا نامز بیش t 0 هسیاقم نامز شیاسآ τ کچک دش فلاتخا اطخ لباق مشچ یشپ.دش هلاسم رگید ینامز قافتا دتفا رایسب مرن تست شزخ راک.در تلاح حطس عطقم شزخ رییغت دبای هجیتن ن نات تست نانع تست یتس رظن.تفرگ لکشم ر یتسی نامز رییغت دنک ات تباث هگن.دراد هدافتسا هاگتسد تست -رس لیه هقلح هتسب نات یناسآ رییغت حطس عطقم لرتنک ر رتیپماک دصر هدرک تباث هگن.تشاد

11 11 Generalized Maxwell Model مدلماکسلتعمیافته مدلهای ماکسل کلین ساده کب محددی در نمایش اقعی پاسخ ماکسل به صرت مازی میتان مدل ریاضی اقعیتری را برای این ماد کنید کرنش-تنش ائه نمد. به اکثر ماد پلری د المان ماکسل دا. با ترب المانهای مازی در شکل زیر تجه معادالت به صرت تعادل سینماتی زیر میباشند: (1) ماکسل المان هر بر حاکم معادالت می باشند: زیر به صرت (2) در جاییکه D = d dt عملگر دیفرانسیل اینکه کرنش در هر المان مشه هم می باشد (3) میباشد. با حل رطههای )2( برای تنش سپس مرتبسازی رطهی دیفرانسیلی بین جایگزینی در رطهی )1( همچنین دانستن تنش کرنش اعمالشده خاه داشت:

12 12 Generalized Maxwell Model مدلماکسلتعمیافته که شکل استاندا آن به صرت رطه )4( میباشد: (4) ε t داده شده باشد هم با حل جفت معادالت خطی از آنجا که المانهای ماکسل به صرت مازی به هم متصل شدهاند اگر کرنش σ t یافت. به عنان یک مثال در حالت آسایش مرتبهی ال )2( هم با حل معادلهی مرتبهی دم )4( میتان پاسخی برای ε t = ε 0 H t جد دا با تجه به قید سینماتی هر المان ماکسل تحت تأثیر کرنش تنش که کرنش ثتی به صرت σ 2 t از رطهی )2( به صرت زیر به دست میآید: σ 1 t مشهی قر گرفته پاسخ (5) در نظر با داشتن شرط از سیستم در تنش کل پاسخ تعادل بر هم نهی ساده ی می آید: دست به المان ها از یک در هر تنش (6) معادلهی دیفرانسیل مرتبهی دم )4( را نیز میتان برای به دست آن پاسخی مشه رطه )6( حل نمد. سه المان ماکسل مازی با هم رطهای دیفرانسیلی بین تنش کرنش میدهد که شامل مشتقات مرتبهی میباشد: (7) زیر مطق سم دم ال به ضح دیده میشد که هر چه تعداد المانها دیفرانسیلی سه المان ماکسل امکان تسعه یک آنچه در صفحه 5 گفته شد( برای هر تعداد از المان افیش میید مرتبهی باالترین مشتق نیز افیش میید. رطه بازگشتی برای استخراج ضرایب مقتضی ( رب حسب ترم های در نظر گرفته شده جد خاهد داشت. پس از یافتن معادله μ i های مانند E i

13 در 13 Generalized Maxwell Model مدلماکسلتعمیافته (8) (9) معمال رفت ماد را تحت شرایط آسایش نمیتان تنها با یک یا د المان ماکسل مازی هم نمایش داد بلکه به تعدادی بین 5 تا 15 یا بیشتر از این المانها ز میباشد. به مدلی که با تعداد زیادی از این المانها ایجاد می گد مدل ماکسل تعمیافته گفته میشد که در شکل زیر نشان داده شده است. معادلهی دیفرانسیل برای مدل ماکسل تعمیافته به صرت زیر بیان میشد: D جاییکه n ماکسل فنرها از مازی دمپرها در این p 0 مدل های المان های به صرت خاص ماکسل احد می باشد. کلین شده گرفته مدل های به را شکل n n تعداد مکانی کلی سیلهی معادلهای دیفرانسیلی به شکلی استاندا مطق زیر نمایش داد: المان های ساخته شده به می تان در جاییکه در مدل ماکسل تعمیافته n = m = 0 0 q میباشد. به طری که متعاقبا اشه خاهد شد مرتبه مشتق در تنش کرنش برای مدلی که از المان های متالی کلین ساخته شده مشه نخاهد بد لذا در رطه )9( از اندیس های متفات n m استفاده شده است. در برخی ما از استفاده E i μ i ها اجتن می گد به جای آن مدلی تعم یافته بر اساس pها qها تسعه داده شد. با این حال همانطر که در بخش بعدی م بحث قر خاهد گرفت pها qها در یک معادله دیفرانسیلی با مرتبه ای خاص را نمی تان دلخاهانه انتخ نمد این ضرایب همچنان نشان دهنده رفت فیزی معنی دی هستند.

14 14 Generalized Maxwell Model مدلماکسلتعمیافته ماکسل مدل پاسخ المان د شامل مثال با مطق کرنش برای تعم یافته سیله ی به می تان را شده داده برهم نهی پاسخ های ε t i در جاییکه (10) از 1 تا n تغییر میکند. شرط سینماتی ایج می کند که کرنش در هر المان برر همان کرنش کلی سیستم باشد ε. i t = ε t شرط تعادل نیز ایج می کند که تنش کل به صرت ساده حاصل جمع تنش اعمالی در هر یک از المانها باشد:.σ t = σ 1 t + σ 2 t + + σ n t n معادلهی دیفرانسیلی مرتبهی ال یا با حل تک معادلهی دیفرانسیلی مرتبهی n ما به دست آ. همگی به صرت معادلهی )2( میباشند n معادلهی دیفرانسیلی مرتبهی ال ε t = ε 0 H t تنش آسایش حالت برای معادالت این پاسخ دیفرانسیلی خطی به سادگی آید. می به دست آث از جمع (11) نتیجه مدل در ماکسل مدل آسایش تعمیافته بدین بد: خاهد شکل (12) Prony series پرنی سری عنان به اقات گاهی نمایش از نحه این تصیف برای غالبا نمایی بسط قبیل این می شد به نام ماد آسایش مدل یسکاالستیک خاص مکانی مدل به اشه بدن استفاده میگد.

15 15 Wiechert Model مدلیچرت مدل تعمیافته اشهشده در باال تنها برای نمایش یک مادهی ترمپالستیک استفاده میشد به شرطی که همهی مقادیر μ i غیر صفر باشد. گاهی اقات برای نمایش یک مادهی ترمست از مدلی که شامل مدل یچرت معرف می باشد استفاده میگد. فنری آد مازی ماکسل تعم یافته است به آسایش مدل تنش آسایش پاسخ بد. خاهد زیر به صرت (13) (14) Equilibrium modulus در جایی که E تعادلی مدل می باشد.

16 16 Generalized Kelvin & Voigt-Kelvin Models مدلهایکلینیت-کلینتعمیافته یک جامد کلینی از تعمیافته المان چندین متالی صرت به کلینی شده تشل که شکل در نشان زیر شده داده است. تجه با میشد از ندا جد آنی االستیسیتهی مدل این در آنکه به میشد. گفته یت-کلین مدل آن به اقات گاهی یک فنر آد صرت به متالی با مدل جامد کلینی یافته تعم استفاده که رشی همان مانند کلینی المانهای از بخش هر برای دیفرانسیلی معادلهی میباشند. زیر صرت به حاکم رط سینماتی معادالت تعادل معادالت میآید. برای مدل ماکسل یافته تعم گفته شد به دست (15) (16) (17)

17 17 Generalized Kelvin & Voigt-Kelvin Models مدلهایکلینیت-کلینتعمیافته با ترب مناسبی از این معادالت ی معادله به ی شده استاندا مطق دیفرانسیلی زیر دست یافت: خاه (18) n = m 1 جاییکه در مرتبه دیفرانسیلی معادله تک.p 0 = 1 تان می هم اعمالی بگذی تیخچه به سته n n یا 17( تا 15 )معادالت یک مرتبه معادله کلین مدل پاسخ σ t = σ 0 H t ساده خزش حالت برای نمد. حل پاسخ برای را 18( )معادله میآید: دست به ال مرتبه معادلهی n پاسخهای برهمنهی با راحتی به تعمیافته (19) در نرمی جاییکه خزشی صرت به زیر تعریف گد: می (20) پاسخ برای را تعمیافته کلین مدل که هرچند نمد. استفاده جانبی ملکلی اتصال با ماد رفت نمایش برای میتان را معادالت این حالت برای مازی صرت به ماکسل المانهای از حل سادگی معادالت دیفرانسیلی شکل علت به نمد حل تان می آسایش حالت میگی. قر استفاده م خزش رفت برای متالی صرت به کلین المانهای همچنین میگد استفاده آسایش

18 18 Generalized Kelvin & Voigt-Kelvin Models مدلهایکلینیت-کلینتعمیافته گی. قر استفاده م زیر شکل مطق کلین المان چندین با متالی صرت به میتاند آد فنری مانند آد دمپری همچنین پس نرمی خزشی صرت به زیر شد: خاهد (21) رطهای از استفاده به یسکاالستیک مسالههای تحلیل در غالبا گی. قر استفاده م میتاند ترمپالستیک ماد نمایش برای مدل از استفاده مناسب رش میباشد. ز لگیتمی زمان از زیادی درههای طل در ماده یک رفت منحنی دادههای تصیف برای مدل چندین اگر میباشد. ماده آن آسایش زمانی طیفهای بهتر پشش برای کافی المانهای تعداد با تعمیافته کلین ماکسل بهطر آسایش زمانهای سختی مدلهای تعمیافته( ماکسل مدل )مانند شد استفاده پلر پاسخ برای مازی بهصرت ماکسل افیش نظر م المانهای تعداد هرچه که شد تجه میگد. پهنتر بعد صفحه شکل مانند گذ ناحیهی شند انتخ مناسب از ماده گی قر مازی بهصرت مدل آن با آد فنری که هنگامی میشد. داده نمایش یکناختتری شکل به گذ رفت میید میشد. تبدیل بلندمدت در یسکاالستیک جامد به یسکاالستیک سیال شکل

19 19 تاثیرالمانهاختلفمدلماکسلتعمیافترمدلآسایش

20 20 یسکپا یا هنمن شزخ یلاثم لکشرییغت یشزخ ی هل تحت ششک هدش هتخاس یسکپا تحت امد فلتخم لکش ریز ناشن هداد هدش.تسا هتکن لباق هجت تسا خساپ شزخ یامد 155 ی هج دگیتناس سپ تشذگ نیدنچ تعاس زنه یاد بیش تبثم.دش ندب نتسناد عن نکمم تسا راظتنا لایس تسلااکسی هتشاد.میش حضا تسا خساپ شزخ یامد ی هج دگیتناس دح یصاخ ل دنک تیصاخ ی تسمرت.دراد هجت تعیبط خساپ یسکپا امد ی هج دگیتناس نیرت لکش نات لدم لایس تسلااکسی لثم( لدم لایس )یرتماپراهچ فیصت.دمن یفرط رگید یسکپا یامد یلا 160 هج لدم دماج تسلااکسی دننام دماج هس یرتماپ نات فیصت.درک فیصت دام ی هددحم عیس ییامد ینامز دنمین لدم هتفای معت دادعت یدایز ناملا.میش یامد هشیش یا لهجم دش یل لاامتحا یلا 155 هج.دش ضرف 155 هج هیحان هشیش یا رق هتشاد یلاح یا یامد یلا 170 هج هیحان یتسلا رق.دراد عقا رگا ر ترص ینآ ندب تثا یسر لامعا ددرگ تسلاا ییادتبا ره تلااح دزن یرادقم اشم.دش تافت یلصا نامز ندیسر یدح.دش 155 هج نامز ندیسر ی لداعم رادقم یدح تلاح یتسلا رایسب ینلاط دیاش اهزر هتفه اه ای یتح هام اه.دش اما یامد 170 هج دح یتسلا قیاقد یددحم قافتا.دتفا

21 21 نکتهایدربهمعادالتدیفرانسیلیتعمیافته که دیفرانسیلی معادله مرتبه از متاثر چگنه یژه مرزی مقد مساله یک که هست آن فهم به عالقمند عددی مطالعات در اقات گاهی کلی معادله مثال عنان به است. دهد می نمایش را کرنش تنش بین رطه یا ای معادله تا باشد شده کتاه باالتر یا دم ال مرتبه های مشتق از پس است ممکن عنان به نمد. احتیاط شده تلید اختیی حاکم دیفرانسیلی معادله م در بایستی حالت بگیرید: نظر در ال مرتبه این در باشد. بررسی قل که دهد دست به را مشتق از بعد را زیر ی شده کتاه معادله مثال این معادله در اقع معادله شبیه سه جامد است پامتری صرت به زیر قل بیان است: نامسای بایستی نمد انتخ دلخاه به تان نمی را دیفرانسیلی معادله ضرایب حالت این در که است مشهد نمد. ضا فیزی تعبیری مذکر را برای ایجاد بگیرید: نظر در زیر صرت به را q 1 q 0 p 1 ضرایب بین ای رطه حال 1E0 2 q1 E0 E1 E1E0 E0 q0 0: Positive quantity p 1 1 E0 E1 E0 E1 E E 0 1

22 جدل مقایسه معادله دیفرانسیلی نرمی خزشی مدل آسایش چند مدل ساده 22

23 اصلتناظرآلفری با استفاده از رش های تبدیل میتان مسایل یسکاالستیک را به مسایل االستیسیته در حزهی تبدیلیافته تبدیل نمد لذا از تانایی حل االستیسیته میتان در حل مسایل مقد مرزی یسکاالستیک استفاده نمد. هر چند در کب این رش برای اناع خاصی از شرایط مرزی )که در فصل بعدی اشه خاهد شد( محددیتهایی جد دا اما این رش به طر کلی قدرتمند میباشد. در صرتی که معادلهی دیفرانسیل مدل کلین یا ماکسل تعمیافته را به خاطر آر 23 Alfrey s Correspondence Principle (1) Q به صرت که فشهتر به سیلهی عملگر های دیفرانسیلیP می تان دبه نیسی نمد: (2) با تجه به تبدیل الپالس: st f t f s f t e dt (3) 0 که از آن برای تبدیل معادالت دیفرانسیلی به معادالت جبری میتان استفاده نمد. با تبدیل الپالس رطهی )1( معادلهی به عبتی جبری بر اساس پامتر تبدیل s تغییر میکند. تبدیل الپالس رطهی )1( را به صرت زیر میتان بیان نمد. دیفرانسیلی (4) (5) یا

24 24 Alfrey s Correspondence Principle اصلتناظرآلفری حین الیه شرایط که بد مراقب بایستی کلی حالت در باشد. صفر الیه شرایط تمامی که است حالتی معرف یا رطه نکته: )5( )4( تبدیل الپالس در صرت باشد. شده لحاظ درستی به جد شرایط الیه رطه اضافه به مقادیر ثتی خاهد شد. بدین ترتیب عبات کرنش تنش تبدیل یافته را میتان به صرت نمد: بازنیسی زیر (6) مدل عنان به می تان را عملگرها کسر االستیک در فضای تبدیلیافته در به صرت را عبات باال گرفت نظر زیر نشت: (7) رطه حاصل رطه ای مشه قانن برای ماد االستیک خطی تحت بگذی تکمحری بده به عنان اصل تناظر آلفری نامیده میشد. کمیت (s) E در فضای تبدیل شبیه مدل یانگ معمل برای ماد االستیک خطی میباشد. لذا در این حالت رطهی دیفرانسیلی خطی بین تنش کرنش برای یک مادهی یسکاالستیک به یک رطهی االستیک خطی بین تنش کرنش در فضای تبدیلشده تبدیل میگد. در فصل بعدی مشاهده خاهید نمد که نتیجه مشهی از رطه انتگرالی یسکاالستیسیته بدن تجه به مدل مکانی خاص به دست خاهد آمد. بنراین رطه تناظر آلفری محدد به مدل مکانی خاصی نبده نتیجه ای کلی می باشد. بنراین یک تبدیل ساده تانایی تحلیل بسیی از مسائل مقد مرزی یسکاالستیک را با استفاده از نتایج رش های پیشرفته االستیسیته همچن مسائل د سه بعدی رق ها پسته ها غیره را به ما می دهد.

25 25 یکانید صاخ Dynamic Properties صاخ تسلااکسی لاغ کمک تاناسن رادیاپ ای تست یشزرل هل تحت ششک )راشف( کچک هناتسا رادج کن ای ران تخت تحت شچیپ ریت تحت شمخ هریغ جختسا.ددرگ شر راک هتفر لا معم رب یانبم تست لیلحت یناکم یکانید )DMA( ای یخرب عقام لیلحت ییامرگ یناکم یکانید )DMTA(.دش لیبق تست اه نانع هنمن تست یسنیس یششک کت هرحم هل درم هدافتسا رق.دریگ هنمن کچک کت هرحم یا ضرف دینک تحت یدر ریز رق هتفرگ :دش (8) (9) لمع اهنت شخب قیقح ای( )هم یجم یسنیسک ای( )یسنیس نانع یدر لامعا دهاخ دش اما تایلمع یربج رب یر عبات ییامن ناسآ رت دش اذل جختسا یلک طب درم هدافتسا رق.دریگ هجت هتشاد دیش ثحب رضاح اهنت خساپ یکانید تلاح رادیاپ رظن هتفرگ.دش مرت یذگ یشان عرش یراذگر یناسن زین مرت یسر هدیدان هتفرگ.دنش یا هلداعم یلیسنفید هطب )2( لدم یناکم یلک یا تسلااکسی یدر ییامن هطب )8( رجنم یجرخ لکش ییامن :ددرگ (10) ییاج ω سناکرف σ یتک طلتخم.دش σ نات ترص ریز فیرعت :دمن یرط ترص ریز هتشن :دش اج E (iω) نانع لدم طلتخم فیرعت دش نات نآ د شخب یقیقح هم کفت.دمن (11)

26 26 یکانید صاخ Dynamic Properties شخب یقیقح نانع لدم )یتخس( تشنا Storage Modulus E (ω) شخب هم نانع لدم )یتخس( Loss Modulus E (ω) فیرعت.دش ادعب ناشن میهاخ داد د تک طبرم یژرنا هریخذ هدش نیب هتفر لس یراذگر.دش (12) (13) هجت هتشاد دیش بیکرت د هطب )8( )11( لدم طلتخم رط میقتسم طبترم تبسن هتسبا نامز هتسبا نامز تلاح یراذگر یناسن.دش (14) رگا یدر یجرخ طب )8( )11( هلداعم یلیسنفید لدم یناکم یلک یراذگیاج دش هلداعم )1( سپ هداس یس یترع رایسب اشم هطب )6( هجیتن دش دهاخ لدم طلتخم قیرط ریز تسد :دیآ رط اشم رظن نتفرگ تلاح یناسن نانع یدر رظانتم یجرخ طلتخم دش رن طلتخم ترص ریز جختسا :ددرگ (15)

27 27 Dynamic Properties خاصدینامی که به شکل زیر قل تفک می باشد: در جایی که بخش حقیقی به عنان نرمی انباشت D (ω) Storage Compliance بخش مهمی به عنان نرمی اتالف D (ω) Compliance تعریف می شد. همانطر که قبال گفته شد رطه تنش-کرنش با نرمی مختلط به صرت زیر می باشد: Loss (16) (17) نرمی پیداست آن از که مختلط به سادگی آید. می به دست مختلط سختی معکس از برای درک بیشتر نظر بگیرید: پلر یک پاسخ یسکاالستیک بگذی تحت معادله همراه به را ساده کلین المان یک نسانی در آن دیفرانسیلی (18) برای تان می رطه از )14( یافتن مدل نمد: استفاده مختلط (19) زیر اتالف انباشت مدل با (20)

28 28 Dynamic Properties خاصدینامی با استفاده از مزدج مختلط برای معکس کن رطه )19( نرمی مختلط به شکل زیر حاصل می شد: (21) اتالف انباشت های نرمی که زیر را شامل می شد: (22) این نتایج را همچنین می تان از حل معادله دیفرانسیلی مدل کلین با استفاده از شرایط ردی معادالت دیفرانسیلی مرتبه باالتر استفاده از معادله )14( )15( به شکل مشهدی مفیدتر است. ε 0 cos ωt به دست آ. گرچه برای برای دستیی به درک فیزی پاسخ بگذی نسانی مدل مختلط انباشت اتالف پلرها مجددا تنش های ردی خرجی را در نظر گرفته تنها بخش حقیقی هر کمیت را به ک ببرید (23) (24)

29 29 یکانید صاخ Dynamic Properties طیش ناشن ی هدنهد تسلااکسی تحت یدر یناسن )یسنیسک(.تسا یجرخ زین یناسن تسا اما یدر مه ف in-phase.تسین ک رت جیاتن یدر یجرخ ناشن هداد هدش لکش ربر سناکرف دحا هدهاشم.دینک یدر یجرخ یلک نینچمه مهس یجرخ مه ف جراخ ف out of phase هدش میسرت.تسا رگا هداد رمیلپ یعقا تحت یدر یسنیسک تسد میرآ لیلحت جیاتن لصاح اشم لکش ربر تسا ناکما دج دیآ ات لدم طلتخم لدم تشنا لدم نییعت.دمن هسیاقم هنماد یجرخ مه ف جراخ ف هنماد یدر لدم تشنا E (ω) E (ω) هجیتن دش لدم طلتخم E (iω) زین هطب )12( لصاح.دش هجت دش هچرگ یزیچ لیلحت رادمن لباقم لصاح دش رادقم لدم سناکرف دحا تسا یبایتسد لدم نانع یعبات سناکرف یتسی یرس اهرادمن لیلحت.ددرگ راک تست DMA هددحم یا سناکرف اه هدافتسا.دش

30 30 Dynamic Properties خاصدینامی تاخیر فاز نشان داده شده در دیاگرام قبلی را می تان با اندازه یه فاز در صفحه مختلط مطق شکل زیر نشان داد. (25) که جایی در ε t = ε 0 cos ωt ای به تنش خرجی کرنش ردی به صرت تان می را همچنین نمد: زیر بیان (26) δ ω ماده از پامتری با ردی کرنش به نسبت تنش که طری به یه قبیل از مختلفی های نام با پامتر این که داشته تاخیر اتالف loss angle ضریب اتالف loss coefficient یا نسبت استهالک damping ratio نام به می شد.

31 31 Dynamic Mechanical Analysis (DMA) دستگاهتستمکانیدینامی

32 32 یکانید صاخ Dynamic Properties شر یرگید تست یدق نییعت ریخات ف راک در شیامن یدر یجرخ پکسلیسا یبایتسد هقلح سیزیرتسیه ای دنامسپ.دش ناز یژرنا فلت هدش ره لس ربب تحاسم رصحم هقلح - تسا Dissipation هدان.دش قباطم لکش ریز اگنه هلق یدر ε A عرش شهاک دنک یجرخ زنه هلق یجرخ رتمک.تسا نایب رگید ریخات ینامز نیب یدر یجرخ رجنم هقلح دنامسپ.تسا تسلااکسی هج ی ریخات ف یانهپ هقلح دنامسپ تدش سناکرف زین ییامد شیامزآ نآ ماجنا هدش تسا یگتسبا.دراد نانع لاثم ییامد/سناکرف راتفر هشیش یا دراد راتفر تسلاا دننام هدب ریخات ف دنامسپ ای یژرنا یدح کچک تسا ییگ دج.درادن رطنامه هتفگ دش تحاسم لخاد هقلح دنامسپ رگشیامن ای یژرنا تسد هتفر للاخ لکشرییغت یلس.تسا هدافتسا هطب راک یژرنا نات ناشن داد یشخب لدم.دش هطب راک رب دحا مجح تحت دای :دیرایب (27)

33 33 یکانید صاخ Dynamic Properties رگا یا ترص لاماک تسلاا راتفر دنک یژرنا لکشرییغت راک هتفر رب یر للاخ یراذگر هریخذ هدش سپس رط لماک یرادربر تفایب دش نانب یژرنا ن.دش سپ لس لماک یراذگر یناسن ره یا تسلاا( ای )ریغ ات ینامز یراذگر یرادربر نراقتم دش یژرنا صلاخ هریخذ هدش رفص ربب.تسا رادقم یژرنا فلت هدش لس ره یراذگر یناسن هلیس ساحم لگتنا هطب )27( لط لس لماک تسد :دیآ ی ساحم یژرنا لط لس هطب )29( نات هطب )28( نیزگیاج.دمن هدافتسا یسنیس نات ناشن داد : تسلاا لماک نناق که یریپ دنک.σ = Eε هلاسم تللاد رفص رب ندب یانهپ ی هقلح دنامسپ دراد لگتنا هطب )27( اقیقد رفص ربب.ددرگ تسلااکسی مینات ترص یعبات کمک لدم طلتخم هطب( ))13( میسینب سپس رب بسح لدم تشنا بترم.مینک (28) (29) (30) نانب مینیب یژرنا فلت هدش عقا لدم بسانتم.تسا قطانم هشیش یا ای یتسلا نآ لدم تنیب کچک تسا لقادح.دش e e

34 34 کلاهتسا تبسن تشنا لدم یسررب یترص لدم تشنا تبسن کلاهتسا لدم لسکام میبایب جیاتن هیبش د رادمن لا دهاخ.دش جیاتن ترص یربج جختسا سپس میسرت هدیدرگ.تسا راتفر رمیلپ یعقا یخرب تاقا هیبش جیاتن لایس یلسکام.تسا نانع یلاثم تلاح جیاتن طبرم یلپ تانبرک لکش ربر هدرآ هدش.تسا لکش دننام-S لدم تشنا سقان دننام bell shape لدم هداد یبرجت هجت.دینک یتسی هجت دمن لدم لسکام بیش tanδ رمیلپ دماج یعقا قباطت درادن یز یاد چیه هلق یا ن.دش

35 35 کلاهتسا تبسن تشنا لدم یسررب رق نداد یرنف دازآ بیش سقان دننام هیبش هداد یبرجت.دش جیاتن لدم ترچی د یناملا یدماج( نآ د ناملا لسکام ناملا رنف ترص یم لصتم هدش )تسا لکش ریز ناشن هداد هدش تسا یرط هلق بیش رط یحضا هدید.دش یهاگن هیحان راذگ نات تفای لزن لدم تشنا ناملا لسکام اتبسن عیرس هدب ددحم یرقت ههد یسناکرف تسا لح سکعم اهنت نامز شیاسآ τ دش هحفص رادمن(.)لبق یریگراک یلدم د ناملا لسکام هیحان راذگ لدم تشنا ضیرع هدش رتشیب هیبش رمیلپ یعقا ددرگ یرط لح هرتسگ یا نا د نامز شیاسآ لدم دش لکش(.)ربر هجت دینک امت اهرمیلپ یراد نینچ لکش -هداس یا عبات لدم.دنش

36 36 کلاهتسا تبسن تشنا لدم یسررب اددجم هحفص لکش 34 لکش( )ربر هجت.دینک جیاتن بسحرب سکعم سناکرف تسد هدمآ یرقت قباطم سایقم ینامز.تسا لدم E t زین هسیاقم رادمن ناشن هداد هدش تسا یرط ریداقم نامز رحم یقفا ینحنم اشم سکعم ریداقم سناکرف.تسا لدم هشیش یا E 0 نامز هاتک E t سناکرف یلا E ω رق.دراد هجت دینک لدم هتسبا نامز لاماک ظاحل لکش هیبش رادمن لدم تشنا بسحرب سکعم سناکرف.دش هلاع رب صاخ یناکم هتسبا سناکرف شیپ هراشا دش DMTA تست زین نات یسناکرف تباث نییعت صاخ هتسبا امد هدافتسا.دمن شر نات یسررب یامد راذگ هشیش یا T g یبایزرا تییغت راتخاس یلکلم تلع تخپ یفاضا رب رثا ترح رثا رلبت رب صاخ هریغ.تخادرپ تییغت لدم تشنا tanδ امد یلپ تانبرک لکش ربر هدرآ هدش.تسا یامد راذگ هشیش یا نانع ییامد نآ ی هلق tanδ قافتا دتفا فیصت.دش تهش تییغت صاخ امد لکش لباقم تییغت سناکرف هحفص لکش 34 هجت.دینک

37 37 کلاهتسا تبسن تشنا لدم یسررب یزیچ لکش ربر ناشن هداد هدش تسا یریصت tanδ تییغت رمیلپ لط ی هددحم یعیس امد تسا هن اهنت راذگ α T g نآ ناشن هداد هدش لب یحان راذگ یرگید نچمه α β δ زین شیامن هداد هدش.تسا یتسی هجت دش راذگ δ tanδ هتشا هتفرگ.دشن

38 38 Homework No تمامی پامترهای الزم منحنی رفت تطق برای نتایج بیید. را پامتری سه جامد مدل با زیر شکل در شده داده سانتیگراد درجه حاصل را با منحنی تجربی در یک دیاگرام مقایسه کنید. راهنمایی: می تانید از الگریتم های بهینه سازی برای این منظر استفاده کنید.

39 39 Homework No. 5 E (ω) E (ω) برای عباتی (iω) E از تعی به صرت را نتایج بیید مازی شاخه د با یافته تعم ماکسل مدل برای 1 ω ترس کنید.