و شبیه سازی فرآیندهای تصادفی با رویکردی کاربردی در ریاضیات مالی

Transcript

1 کنفرانس ریاضیات مالی و کاربردها و بهمن ماه 3 دانشگاه سمنان سمنان حرکت براونی و شبیه سازی فرآیندهای تصادفی با رویکردی کاربردی در ریاضیات مالی * علی حسین استادزاد مکاتبه کننده: aoaza@yahoo.com سارا مهرآلیان.mehralan@yahoo.com( * دانشجوی دکترا اقتصاد دانشگاه شیراز دانشجوی کارشناسی ارشد اقتصاد دانشگاه شیراز چکیده کمیت های مرتبط با ریاضیات مالی مانند قیمت سهام اغلب فرآیندهای تصادفی می باشند. بنابراین داشتن ابزارهایی برای شبیه سازی مسیر چنین فرآیندهایی مهم و اساسی می باشد. در این مطالعه در ابتدا به تعریف دقیق فرآیند و مسیر تصادفی پرداخته شده است. یکی از فرآیندهای تصادفی بسیار مهم در چارچوب کاربرهای ریاضیات مالی فرآیند تصادفی حرکت بروانی می باشد که در مطالعات بسیاری کمیت های تصادفی با استفاده از این فرآیند تولید می شوند. در این مطالعه انواع حرکت براونی از جمله حرکت براونی استاندارد حرکت براونی یک بعدی با گام تصادفی حرکت براونی یک بعدی با پل براونی حرکت براونی با ابعاد باالتر و حرکت براونی هندسی مورد بررسی قرار گرفته است. همچنین در این تحقیق انواع حرکت براونی مقایسه و تفاوت ها و کاربردهای هر یک تجزیه و تحلیل خواهد شد. واژههای کلیدی: حرکت براونی ریاضیات مالی فرآیند تصادفی پل براونی گام تصادفی

2 کنفرانس ریاضیات مالی و کاربردها و بهمن ماه 3 دانشگاه سمنان سمنان. مقدمه حرکت براونی نامی است که به حرکت نامنظم گرده گیاهان که در آن معلق هستند داده شده است. نخستین مدل ریاضی حرکت براونی به سال 3 بر می گردد که در یک مدل اقتصادی مطرح شد. حرکت براونی یک فرآیند تصادفی است که مسیرهای پیوسته داشته و مشتق آن در هیچ نقطه ای وجود ندارد. امروزه حرکت براونی از مطالعه ذرات معلق میکروسکوپی بسیار فراتر رفته و شامل مدل سازی قیمت های سهام و اختالالت تصادفی در انواع دیگری از سیستم های فیزیکی زیستی اقتصادی و مدیریت شده است. بسیاری از مهمترین فرایندهای تصادفی که در ریاضیات مالی بسیار زیاد به کار گرفته می شود به حرکت براونی نسبت داده می شود. با توجه به اهمیت به کارگیری این فرآیند تصادفی در این مطالعه در ابتدا به بررسی انواع حرکت براونی و کاربردهای هر یک پرداخته شده است. در ادامه این بخش 4 کاربرد عمده حرکت براونی بررسی شده است. پس از آن در ادامه مقاله و در بخش های بعدی انواع حرکت براونی بررسی شده است... کاربرد حرکت براونی در تحلیل بازار مالی برای اولین بار لوئیس باچلیر 3( نشان داد که بازارهای مالی از فرآیندهای گام تصادفی تبعیت می کنند. بنابراین می توان برای الگوسازی بازارهای مالی از حساب احتماالت استاندارد استفاده کرد. فرآیندهای گام تصادفی اساسا یک حرکت براونی می باشند که تغییرات گذشته مستقل از تغییرات مقدار متغیر در آینده و گذشته می باشد. حرکت براونی دارای ویژگی های خوش رفتار ریاضی است به گونه ای که در آن می توان یک الگو را با دقت باال برآورد و همچنین احتماالت را محاسبه کرد. از این رو تحلیلگران اغلب وقتی با تجزیه و تحلیل یک فرایند چند بعدی با منشا ناشناخته مانند بازار سهام( مواجه هستند به روندهای مستقل مانند حرکت براونی روی می آورند. تئوری حرکت براونی و الگوهای گام تصادفی به طور گسترده در مدل سازی بازارهای مالی مورد استفاده قرار گرفته است. در بینشی که حدس و گمان ها مدل سازی می شود می توان از احتماالت بسط داده شده از باچلیر استفاده کرد که تا به امروز کاربردهای این الگو ادامه داشته است... کاربرد حرکت براونی در بازار سهام از دیگر کاربردهای حرکت براونی در بازار سهام می باشد. کارهای انجام شده توسط آزبورن نشان داده است که لگاریتم 4 طبیعی قیمت سهام و ارزش پول می تواند تحت تاثیر یک گروه از تصمیمات در تعادل آماری قرار گیرد. و این گروه از لگاریتم قیمت ها که در طول زمان به وجود آمده است( شباهت بسیار زیادی با حرکت تعداد زیادی از مولکول های یک ماده دارد. با استفاده از تابع توزیع احتمال و قیمت سهام به صورت تصادفی انتخاب شده در یک زمان تصادفی تابع توزیع احتمال در یک حالت پایدار قابل محاسبه است که دقیقا توزیع احتمال برای یک ذره مولکول( در حرکت براونی است. یک توزیع Lou Bacheler ranom wal 3 Oborne 4 Soc prce Probably rbuon funcon

3 کنفرانس ریاضیات مالی و کاربردها و بهمن ماه 3 دانشگاه سمنان سمنان مشابه برای ارزش پول می توان در نظر گرفت به شکلی که این توزیع تقریبی با استفاده از شاخص های بازار سهام اندازه گیری شده است. این شرط الزم است نه شرط کافی. شرط کافی برای بدست آوردن این توزیع کمی با توجه به شرایط معامله و قانون وبر- فرنچر مشخص می شود. قانون وبر- فرنچر بیان می دارد که نسبت های برابر از محرک های فیزیکی قابل 4 محاسبه است. برای مثال فرکانس های صوتی در واحد ارتعاشات به زمان مربوط به فواصل مساوی از احساس ذهنی مانند زیر و بمی صدا است. ارزش احساس ذهنی مطلق در درجه مانند فضای فیزیکی قابل اندازه گیری نیست. اما تغییرات یا تفاوت های موجود در احساس قابل محاسبه است. بنابراین با انجام آزمایش های مختلف آنها می توانند برابر دانسته و تکرار شوند. در نتیجه معیارهای اندازه گیری برآورده خواهد شد. یکی از نتیجه های تابع توزیع افزایش ارزش انتظاری قیمت با افزایش فواصل زمانی ( با نرخ تا درصد در سال با افزایش نوسانات یا پراکندگی قیمت می باشد. این افزایش در تورم های بلندمدت برقرار نمی باشد. یا رشد دارایی در اقتصاد سرمایه داری از قیمت های متقابل انتظاری یا سهم های قابل خرید در آینده بر دالر با زمان به صورت یکسان افزایش می یابد. بنابراین در مقاله آزبورن این موضوع نشان داده شده است که قیمت ها در یک بازار مانند حرکت براونی مولکول های یک ماده می باشد. در مقاالتی دیگر نشان داده شده است که شواهد قطعی دوره ای در ساختار زمانی از قیمت ها در حرکت براونی( مربوط به فواصل یک روز هفته سه ماهه و یا ساالنه وجود دارد. با ترکیب شواهد و پذیرش گسترده این موضوع که حرکت براونی در ساختار بازار وجود دارد تعداد بسیاری از تحقیقات و مطالعات از آن زمان در زمینه این نظریه صورت گرفته 6 است. برای مثال یک تحلیل آماری که توسط منتگنا صورت گرفته 8 7 است در بازار مبادله سهام نیویورک از شاخص ترکیبی نشان داده است که فرآیندهای لوی در این بازار وجود دارد. همچنین در این مطالعه نشان داده شده است که نوسانات روزانه از شاخص های قیمت در یک توزیع احتمال پایدار لوی توزیع شده است و این تابع چگالی طیفی از شاخص قیمت نزدیک به یک مقدار انتظاری برای یک حرکت براونی است. معامالت دینامیکی بهینه با محدودیت های اهرمی.. از دیگر کاربردهای حرکت براونی محاسبه مقدار بهینه معامالت دینامیکی با محدودیت اهرمی می باشد. تعدادی از مطالعات به دنبال محدودیت های اهرمی پیدا کردن یک جواب برای استراتژی مبادله دینامیکی بهینه برای یک سرمایه گذار است که با روبرو است. در این مطالعه ها فرض شده است که ارزش دارایی ریسکی از یک حرکت براونی هندسی تبعیت می کند. همچنین این فرض اجازه تجزیه و تحلیل کمی را به ما می دهد. بنابراین با استفاده از حرکت Soc mare nce Weber-Fechner 3 Phycal mulu 4 Vbraon/ec Phycal pace 6 Manegna 7 New Yor Soc Exchange 8 Levy Procee Leverage Conran به عنوان مثال محدودیت در توانایی برای وام گرفتن به منظور سرمایه گذاری در یک دارایی ریسکی محدودیت های اهرمی می باشد. Geomerc Brownan moon Quanave analy

4 کنفرانس ریاضیات مالی و کاربردها و بهمن ماه 3 دانشگاه سمنان سمنان بروانی هندسی می توان به راه حلی صریح و روشن برای مسئله پرتفوی بهینه با محدودیت های اهرمی و محدودیت حداقل بازگشت پرتفوی رسید. در بخش 6 حرکت براونی هندسی مورد بررسی قرار گرفته است... سرمایه گذاری عدم اطمینان و طرح های ثبات قیمت از دیگر کاربردهای حرکت براونی در مطالعه انجام شده توسط اسمیت قابل مشاهده است. در این مطالعه از روش حرکت 4 براونی کنترل شده به منظور تجزیه و تحلیل تاثیر ثبات قیمت بر سرمایه گذاری در تقاضای نامطمئن استفاده شده است. در مقاله اسمیت رفتار سرمایه گذاری وقتی قیمت تصادفی ولی با سقف معین برونزا و با کمک ریاضیات حرکت براونی کنترل شده مورد بررسی قرار گرفته است. نتایج این مطالعه نشان می دهد که با کنترل قیمت پاسخ سرمایه گذاری با تغییر در قیمت کاهش می یابد. نتایج این مطالعه به هر موقعیت اقتصادی با هزینه های هموار از سهام تعدیل شده وقتی قیمت ها نامطمئن ولی با کنترل دولتی قابل بسط می باشد به عنوان مثال: کنترل اجاره تصمیم برای اخراج و استخدام با وجود حداقل 6 دستمزد (. با توجه به کاربردهای مطرح شده چگونگی تولید متغیرها در فرآیندهای تصادفی با استفاده از حرکت براونی امری ضروری است. در ادامه این مطالعه ابتدا به تعریف مفاهیم اولیه حرکت براونی پرداخته شده است و پس از آن انواع حرکت براونی مورد بررسی قرار خواهد گرفت... چند تعریف و مفهوم اولیه در این بخش به تعریف های مورد نیاز به منظور بررسی انواع حرکت براونی پرداخته شده است. تعریف : فرض می کنیم یک حرکت براونی N یک فضای احتمال باشد و (,,A (P 7 بعدی نامیده می شود اگر و فقط اگر سه شرط زیر برقرار باشد:. در فرایند تصادفی ( W, W: R برای تمام. پیوسته باشد. W ( مسیر. هر گروه از بازه با فرض ( W, W - W,..., W - W 8 های برای هر. واریانس ثابت تفاضل W W دارد. بنابراین می توان گفت توزیع نرمال با میانگین صفر و ماتریس واریانس- مستقل باشند. کوواریانس ( W W N, I ( 3 همچنین حرکت براونی حرکت براونی استاندارد است اگر و فقط اگر رابطه ( به طور قطعی برقرار باشد. واحد با Uncerany Prce Sablzaon Scheme 3 Wllam Smh 4 Regulae Brownan moon Exogenou celng 6 Mnmum wage 7 W نشان داده می شود. برخی مواقع به فرایند واینر proce( Wener نیز نسبت داده می شود که هر دو فرآیند با عالمت 8 Incremen Sanar Brownan moon 4

5 کنفرانس ریاضیات مالی و کاربردها و بهمن ماه 3 دانشگاه سمنان سمنان W (W اگر R و یک ماتریس شبه معین مثبت متقارن از اعداد حقیقی باشد سپس فرایند تصادفی حرکت براونی با انحراف α و ماتریس کواریانس نامیده می شود اگر شریط زیر تامین شود., T W ( پیوسته باشد. برای تمام هر گروه از بازه های مسیر مستقل باشند. ( W, W با فرض - W,..., W - W برای هر بازه دارد. بنابراین خواهیم داشت: و ماتریس واریانس کوواریانس توزیع نرمال با میانگین W W ( W W N (, ( بازه, T که T (... حرکت بروانی روی 4 محدود شده است. قضیه : است یک حرکت بروانی روی R می باشد که به بازه زمانی X که در رابطه 4( نشان داده شده است یک حرکت بروانی بعدی با انحراف α و ماتریس کواریانس می باشد اگر شرایط زیر برقرار باشد. اگر P (, A, اگر یک فضای احتمال در نظر گرفته شود وN باشد. یک حرکت براونی بعدی باشد که شرایط تعریف ( را تامین کند. یک ماتریس شبه معین مثبت متقارن می باشد که می توان آن را بر اساس ضرب یک X AW R AA (W R و ماتریس مربع در ترانهاده آن ماتریس نوشت یعنی 4( فرایند تصادفی مفروض در رابطه 4( حل یک معادله دیفرانسیل تصادفی SDE( به صورت رابطه ( بوده است. X AW ( این مفهوم به منظور تعمیم حرکت براونی برای حالت انحراف وابسته به زمان ( مورد استفاده قرار می گیرد. حرکت براونی با انحراف ( ماتریس و ( و کواریانس ماتریس وابسته به زمان ( A( A( جوابی برای X ( A( W معادله دیفرانسیل تصادفی رابطه 6( می باشد. کواریانس حل معادله دیفرانسیل 6( مسیری پیوسته و همچنین بازه های مستقل بر اساس تعریف ( قسمت دوم را نشان می X X 6( دهد. از طرفی دیگر برای هر توزیع برای هر به صورت رابطه 7( می باشد. X X N( ( u u, ( u u 7( Symmerc pove emene Brownan moon wh rf 3 Incremen 4 Rerce Sochac fferenal equaon

6 کنفرانس ریاضیات مالی و کاربردها و بهمن ماه 3 دانشگاه سمنان سمنان X برای (X هر قضیه : اگر یک حرکت براونی استاندارد دارای توزیع نشان داده شده در رابطه 8( می باشد. بعدی با انحراف α و ماتریس کواریانس باشد. بنابراین X N(, و N R و : فضای احتمال P (, A, 8( قضیه معین مثبت باشد. یک بردار تصادفی مفروض است. اگر یک ماتریس حقیقی شبه دارای توزیع نرمال با میانگین و ماتریس واریانس کوواریانس Z N(,. A : R R بردار تصادفی X به صورت باشد ( Z : R و A بک ماتریس حقیقی R, N باشد رابطه 3((. 3( در صورتی که رابطه زیر قابل تعریف می باشد. X : R, X AZ ( X N( A, A A که در رابطه باال بردار X دارای توزیع نرمال به صورت رابطه زیر می باشد. X حرکت براونی استاندارد یک بعدی با انحراف ( گرفتن قضیه 4: اگر به دنبال توزیع مشترک و R واریانس فرض شود. در ادامه با در نظر X می باشیم. X,X X, X X می باشد. بنابراین می توان X X X X X X X X X X X,..., یک تبدیل خطی از (... بردار از آنجایی که ( X را به صورت زیر نوشت. با توجه به قضیه توزیع مشترک نرمال چند متغیره قابل محاسبه است. بردار امید انتظاری برابر با,..., ( می باشد. عالوه بر این اگر باشد بنابراین خواهیم داشت: Cov( X, X E( X X E( X E( X E(( X X X X E(( X X X ( E( X Cov( X X, X Cov( X, X Cov X X (, mn(, ( (+ ( بنابرین ماتریس 4 کواریانس توزیع مشترک را می توان به صورت رابطه زیر نوشت: ( j, mn, (, j,..., j j 4( -menonal anar Brownan moon 3 Jon rbuon 4 Jon rbuon X مشخص فرض شده است. که مقدار 6

7 کنفرانس ریاضیات مالی و کاربردها و بهمن ماه 3 دانشگاه سمنان سمنان تجزیه چولسکی به صورت AA می باشد که در این رابطه A ( Aj ( یا به عبارتی for j Aj j j for j j 6( در ادامه به بررسی انواع فرآینده های تصادفی براونی و چگونگی تولید داده در این فرآیندها با توجه به مفاهیم اولیه مطرح شده پرداخته شده است.. حرکت براونی یک بعدی توسط گام تصادفی اولین هدف در بخش حاضر شبیه سازی یک حرکت براونی یک بعدی می باشد. با فرض دهنده مقدار (W با مقدار اولیه مشخصR W گام تصادفی با شروع از ساخته می شود و گام تصادفی از تا W و همین طور تا رسیدن به نتایج دقیقا در بر گیرنده تعریف شماره باشد. نشان دهنده مقدار W نشان است. این گام تصادفی باید طوری ساخته شود که در حالی که شبیه سازی یک فرایند پیچیده ممکن است مشکل و یا غیر ممکن باشد با بکارگیری حرکت براونی به آسانی یک شبیه سازی دقیق با استفاده از ویژگی های بازه ای به دست می آید. در ادامه به بررسی چگونگی شبیه سازی پرداخته شده است. دنباله (..., z, z را از مقادیر مستقل یکسان توزیع شده متغیر تصادفی توزیع (,N در نظر می گیریم. پس از آن,..., ( را از رابطه 7( به صورت بازگشتی تعریف می کنیم. در این رابطه مقدار مقادیر ( است. یک مقدار اولیه معین z,,..., 7( ساختاری مشابه با رابطه 7( برای یک حرکت براونی می شود. بنابراین رابطه بازگشتی حرکت براونی به صورت زیر گرفته می شود. (X با انحراف و واریانس به صورت رابطه 8( نوشته نوشته می شود. که در این رابطه مقدار اولیه x مفروض در نظر Choley ecompoon Ranom wal 3 Inepenen encally rbue 7

8 کنفرانس ریاضیات مالی و کاربردها و بهمن ماه 3 دانشگاه سمنان سمنان x x x ( z,,..., 8( و برای انحراف و واریانس وابسته به زمان به صورت رابطه 3( نوشته می شود. x x x u u z u u ( (,,..., 3( در ادامه اگر Z متغیر های تصادفی یکسان مستقل با توزیع (,N باشند بنابراین داریم, Z,... X x X X u u Z u u ( (,,..., X ( که در رابطه ( به طور مشخص طور مشخص یک گام تصادفی است. با توجه به وابستگی به زمان و X دارای توزیع نرمال u N( ( u u, ( u می باشد که به انتگرال رابطه 3( ممکن است به آسانی قابل محاسبه نباشد. می توان با, آنهارا جایگزین کرد در ساده ترین حالت و به صورت ( و ( روی بازه σ α فرمول های مربع سازی تقریب زده می شوند. در این صورت معادله 3( را به صورت زیر جایگزین می کنیم. x x ( ( z (,..., ( در شکل شماره ( مقادیر متغیر تصادفی بر اساس گام تصادفی رسم شده است. شکل (: مثالی از 8 گام تصادفی یک بعدی با شروع از صفر 8

9 کنفرانس ریاضیات مالی و کاربردها و بهمن ماه 3 دانشگاه سمنان سمنان حرکت براونی یک بعدی به وسیله نرمال های چند متغیره. اساس شبیه سازی حرکت براونی یک بعدی در قضیه 4 را درنظر بگیرید و همچنین در بخش های قبلی اساس ساختار گام تصادفی مورد بررسی قرار گرفت. به هر حال هنوز چگونگی کار این شبیه سازی مفید است. همانطور که قبال داشتیم ثابت در نظر می گیریم. از قضیه 4 می دانیم که توزیع را در نظر می گیریم. مشترک برای سادگی مانند قضیه 4 یک حرکت براونی استاندارد با و به صورت N (, با امید ریاضی (,, و ماتریس واریانس کوواریانس و ( X,, X عامل چولسکی A که در روابط 4 و داده شده می باشد در اینجا به جای شروع از با بنابراین قبل بخش مانند از شبیه سازی بردار تصادفی شروع می کنیم.( N, I توزیع می باشد. (,, z z x z x z z, z, بنابراین رابطه را خواهیم داشت. ( شبیه سازی بردار تصادفی توزیع رابطه ( رابطه ( را خواهیم داشت., N به عنوان مثال شبیه سازی دقیق توزیع مشترک مطلوب است. با توجه به x x ( z,,..., ( می بینیم که روابط ( و 8( معادلند. به هر حال محاسبه,, ( به وسیله ماتریس ضرایب کاربردی و عملی x x نمی باشد و رابطه بازگشتی کارا تر و کاربردی تر است.. حرکت براونی یک بعدی به وسیله پل بروانی ( W به صورت عمومی با انحراف R و واریانس با ( W در این بخش به حرکت بروانی استاندارد پرداخته خواهد شد. فرض همچنان را در نظر می گیریم. از ساختار گام تصادفی بخش از چپ به راست استفاده شده است از تا ( W,., W و شبیه سازی,, برای بدست آوردن به ترتیب افزایش(. به هر {,..., } حال به دست آوردن با استفاده از یک ترتیب اختیار ی از امکان پذیر است. Mulvarae normal Choley facor 3 Dere jon rbuon 4 Brownan Brge به جز برای فرمول بندی خاصیت مارکوف قضیه 6( این روش می تواند بدون مشکالت اضافی برای حرکت براونی بعدی برای هر دو حالت استاندارد و غیر استاندارد برقرار باشد. 3

10 کنفرانس ریاضیات مالی و کاربردها و بهمن ماه 3 دانشگاه سمنان سمنان u W W u شبیه سازی متغیر تصادفی از یک حرکت براونی شرطی روی توزیع با وW به پل براونی اشاره می کند. این نوع از نمونه گیری به طور واضح نیازمند به دست آوردن,, برای یک ترتیب غیر افزایشی روی است که به این دلیل یک ساختار پل براونی نامیده می شود. نمونه گیری شرطی برای حرکت براونی به دلیل (, AP, {,..., } قضیه زیر با توزیع نرمال شرطی عملی است. قضیه و فرمول شرطی برای نرمال های چند متغیری(: با فرض فضای احتمال. فرض کنید که بردار تصادفی Z : R به صورت همچنین در نظر و, N توزیع شده باشد که Z (Z[],Z[] مثبت نیمه معین نامتقارن حقیقی است. افراز نسبت به طرح [] R و یک ماتریس با [],, Z و یک طرح مقدار دهی Z Z گرفتن (, N R R مقداردهی همین صورت داریم : به صورت Z Z (Z,, را داریم. به [] [] [], [] [] [] R و R R 4( یعنی به طور مشخص یک ماتریس ( و یک ماتریس یک ماتریس یک ماتریس ( می باشد. بنابراین برای هر x توزیع [] [] [] [] [] [] [] [] x} Z به صورت زیر است: تحت شرایط {[] N( ( x, ( در ادامه به خاصیت های بیشتری از حرکت بروانی به نام ویژگی های مارکوف در حرکت براونی پرداخته شده است N و یک ماتریس قضیه 6 ویژگی های مارکوف از حرکت براونی(: با فرض R و نیمه معین مثبت N ( X Z [] متقارن. را حرکت بروانی با انحراف ماتریس و کواریانس در نظر بگیرید و. آنگاه برای هر,, برای ( x,..., x R برابری توزیع شرطی زیر وجود دارد:, و K ( X X,..., X x ( X X, X x 6( X X به عبارت دیگر شرطی شدن قبل و بعد از است.,, برابر با شرطی شدن روی همه زمان های در n امین مرحله از ساختار پل براونی ما برای به دست آوردن به نیاز داریم. اگر فقط روی زمان های درست از همه های قبلی j j j j بزرگتر باشد با توجه به ساختار گام تصادفی از بخش آنگاه سوی دیگر اگر بین از از قبل در نظر گرفته شده قرار گیرد متعلق به بزرگترین آنگاه طبق های قبلی به دست می آید. از رابطه 6 و ما فقط به تعیین M قبال ساخته شده M بزرگترین اندیس است به طوری که M نیاز داریم که ( W W, W j N و j N j j M M N N است در حالی که N کوچکترین اندیس است به طوری که اگر قبال ساخته شده است. u M را در نظر بگیریم گزاره زیر که از قضیه به دست می آید را به کار می بریم. j N ranom vecor

11 کنفرانس ریاضیات مالی و کاربردها و بهمن ماه 3 دانشگاه سمنان سمنان R ( W اگر گزاره 7: و یک حرکت براونی یک بعدی استاندارد باشد با انحراف عرض از مبدا( و واریانس توزیع شرطی y ( W W x, W مستقل از انحراف است و u ( x ( u y ( u( N (, u u ( Wu, W, W x, y R u آنگاه برای هر به صورت رابطه 7( می باشد. 7( اثبات رابطه 7: براساس قضیه 4 توزیع غیر شرطی( از به صورت زیر می باشد. u u u u u N, u ( W, Wu, W 8( با پذیرفتن قضیه ترتیب حروف را تغییر می دهیم. توزیع به صورت زیر می باشد. u u N u, u u u u [], [], [], [] ( u, u [], u u [] u u u [] ( u u u u ( u 3( با توجه به نشانه گذاری 4 داریم: u ( ( و برای معکوس پذیر است که u معکوس ناپذیر است و معکوس کلی به صورت زیر می باشد. ( برای و ( بنابراین براساس قضیه مقدار امید توزیع شرطی برای u به صورت رابطه 4( می باشد. x u ( u, x u y a[] z[] z[] y a u x u y x uy x u y ( x ( u y u u به همان صورت که در رابطه 4( داشتیم و برای u با داشتن x برای محاسبه حرکت براونی استاندارد رابطه (, y y a[] z[] z [] y a u y 4( ( را خواهیم داشت. (

12 کنفرانس ریاضیات مالی و کاربردها و بهمن ماه 3 دانشگاه سمنان سمنان همچنین با توجه به رابطه 4( و بر اساس قضیه را خواهیم داشت. واریانس توزیع شرطی که بر تقسیم شده برای uرابطه زیر ( u, u u u u [] [] [] [] u u u ( u( u 6( و برای (, ( [] [] [] [] u 7( به این ترتیب اثبات کامل می شود. در شکل شماره ( متغیری تصادفی بر اساس حرکت براونی با استفاده از روابط پل برونی رسم شده است. شکل (: نمونه ای از حرکت براونی به وسیله پل براونی. شبیه سازی حرکت براونی چند بعدی تکنیک های گام تصادفی و پل براونی برای شبیه سازی حرکت براونی یک بعدی به کار گرفته می شود و همینطور می تواند برای حرکت براونی بعدی نیز به کار گرفته شود. اگر حرکت براونی بعدی ماتریس کواریانس را داشته باشد آنگاه یک تجزیه AA الزم است. در ساده ترین حالت یعنی نبود انحراف( و I ساختار گام تصادفی روابط 7( و 8( مستقیما به حالت بعدی تبدیل می شود. با متغیرهای تصادفی توزیع z w و که بردارهای R بعدی می باشد. هر z با ارقام تصادفی ساخته می شود که.. N, را نشان می دهد( این با استقالل شبیه سازی هر جزء از حرکت براونی بعدی با -Dmenonal Brownan Moon

13 کنفرانس ریاضیات مالی و کاربردها و بهمن ماه 3 دانشگاه سمنان سمنان استفاده از یک بعدی با رابطه 8( معادل است. تعمیم رابطه 8( برای حالت بعدی با بردار اولیه مفروض می باشد. x به صورت زیر x x x ( Az,,..., 8( با توجه به اینکه R x, z می باشد محاسبه ماتریس ضرایب در هر مرحله از نظر محاسباتی مشکل است. اگر یا به خصوص به زمان( وابسته باشند هزینه های محاسباتی بیشتر می شود. در اینجا رابطه 3( را تعمیم می دهیم. با توجه به بردار اولیه مفروض x رابطه 3( را خواهیم داشت X x x x ( u u A(, Z,,..., 3( که در این رابطه A(, A(, ( u u 4( به عبارت دیگر ماتریس ضرایب به محاسبه دارد. برای یک حرکت براونی A( در رابطه 3( به عنوان ماتریس فاکتورگیری براساس رابطه 4( در هر مرحله نیاز بعدی استاندارد W ( با فرض عدم وجود انحراف و I ساختار پل براونی می تواند به آسانی برای هر جزء به طور مستقل به کار گرفته شود به همان صورت که برای ساختار گام تصادفی در باال توضیح داده شد(. همچنین برای حرکت براونی بعدی ساختار W ( اعمال می شود و ( X X به وسیله با انحراف و ماتریس کواریانس با توجه به ساختار پل براونی هنوز X AW با فرض AA به دست می آید. 6. شبیه سازی حرکت براونی هندسی یکی از انواع فرآیندهای تصادفی مهم که در مدل های ریاضی مالی مشاهده می شود حرکت براونی هندسی می باشد. در بخش. کاربردی از این فرآیند تصادفی بررسی شده است. بر اساس تعریف ارزش فرآیند تصادفی براونی هندسی یک بعدی با انحراف دیفرانسیل تصادفی زیر می باشد. که S ( یک حرکت R و واریانس ( می باشد اگر و فقط اگر S ( جوابی برای معادله S S W 4( W ( یک حرکت براونی استاندارد یک بعدی با و می باشد. یک نمونه از حرکت براونی هندسی در شکل شماره ( بررسی شده است. همان گونه که در این نمودار مشاهده می شود این فرآیند روند خاصی در طول زمان دارد. بنابراین یکی از روش های تشخیص حرکت براونی هندسی حرکت تصادفی حول یک روند مشخص است. Smulang Geomerc Brownan Moon

14 کنفرانس ریاضیات مالی و کاربردها و بهمن ماه 3 دانشگاه سمنان سمنان شکل (: نمونه ای از حرکت براونی هندسی 7. نتایج کمیت ها و متغیرهای مرتبط با ریاضیات مالی مانند قیمت سهام اغلب فرآیندهای تصادفی می باشند. در این مطالعه در ابتدا به 4 کاربرد عمده حرکت براونی تحلیل بازارهای مالی بررسی قیمت سهام در بازار سهام معامالت دینامیکی بهینه با محدودیت های اهرمی و سرمایه گذاری عدم اطمینان و طرح های ثبات قیمت( پرداخته شده است. با بررسی کاربردهای فوق این نتیجه حاصل شد که داشتن ابزارهایی برای شبیه سازی مسیر چنین فرآیندهایی که از حرکت براونی تبعیت می کنند مهم و اساسی می باشد. یکی از فرآیندهای تصادفی بسیار مهم در چارچوب کاربرهای ریاضیات مالی فرآیند تصادفی حرکت بروانی می باشد که در مطالعات بسیاری کمیت های تصادفی با استفاده از این فرآیند تولید می شوند. با توجه به اهمیت موضوع در این مطالعه انواع حرکت براونی از جمله حرکت براونی استاندارد حرکت براونی یک بعدی با گام تصادفی حرکت براونی یک بعدی با پل براونی حرکت براونی با ابعاد باالتر و حرکت براونی هندسی مورد بررسی قرار گرفته است. همچنین در این تحقیق انواع حرکت براونی مقایسه و تفاوت ها و کاربردهای هر یک تجزیه و تحلیل خواهد شد. در انتهای بررسی هر حرکت با توجه به روابط ریاضی با رسم نمودار و مثال های خاصی چگونگی تشخیص انواع حرکت براونی از روی نمودار بررسی شده است. مراجع [] A.L.Romanow, "A Brownan Moon Moel for Decon Mang, "Journal of Mahemacal Socology,, -8, 84. [] B.B.Manelbro, The Fracal Geomery of Naure, San Francco, CA: Freeman, 8. [3] G.E.P. Box an M.E. Muller. A Noe on he Generaon of Ranom Normal Devae. Annal of Mahemacal Sac, 6-6, 8. [4] Ioann Karaza an Seven E. Shreve. Brownan Moon an Sochac Calculu, n e. Grauae Tex n Mahemac, 3, Sprnger Scence + Bune Mea, New Yor, 8. 4

15 کنفرانس ریاضیات مالی و کاربردها و بهمن ماه 3 دانشگاه سمنان سمنان [] M.F.M Oborne, "Ranom Naure of Soc Mare Prce", Journal of Economc an Bune, 6, -33, 7. [6] Paul Glaerman. Mone Carlo Meho n Fnancal Engneerng. Applcaon of Mahemac, 3, Sprnger Scence + Bune Mea, New Yor, 4. [7] K.A.Bree, B.Oenal, "Opmal Swchng n an Economc Acvy Uner Uncerany,"Sam Journal of Conrol an Opmzaon, 3, 4, -36, 4. [8] L.Graon an C.P.Yu, "Dffuonal Parrcle Depoon n he Human Noe an Mouh," Aerool Scence an Technology,, 3, 3-, 8. [] L.M.Wen, "Brownan Newor Wh Dcreonary Roung," Operaon Reearch, 3,, 3-34,. []S.J.Groman, J.L.Vla, "Opmal Dynamc Trang wh Leverage Conran,"Journal of Fnancal an Quanave Analy, 7, -6,. [] W.T.Smh, "Invemen, Uncerany an Prce Sablzaon Scheme,"Journal of Economc Dynamc an Conrol, 8, 6-7, 4.