ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΙΝΗΣΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΕΥΣΤΑΘΟΥΣ ΤΕΤΡΑΠΟΔΟΥ ΡΟΜΠΟΤ ΣΕ ΚΕΚΛΙΜΕΝΟ ΕΔΑΦΟΣ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΙΝΗΣΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΕΥΣΤΑΘΟΥΣ ΤΕΤΡΑΠΟΔΟΥ ΡΟΜΠΟΤ ΣΕ ΚΕΚΛΙΜΕΝΟ ΕΔΑΦΟΣ Ιωάννης Κοντολάτης και Ευάγγελος Παπαδόπουλος Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΜΠ, Εργαστήριο Αυτομάτου Ελέγχου email: egpapado@central.ntua.gr, ikontol@central.ntua.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η εργασία παρουσιάζει την κίνηση με δυναμική ευστάθεια ενός τετράποδου ρομπότ σε κεκλιμένο έδαφος. Το κάθε πόδι του τετράποδου ρομπότ διαθέτει 2 βαθμούς ελευθερίας και έναν επενεργητή. Ο αλγόριθμος ελέγχου επιτυγχάνει και διατηρεί τις επιθυμητές τιμές της πρόσθιας ταχύτητας και του μέγιστου ύψους αναπήδησης. Παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της επίδρασης, κατά πρώτον της κλίσης του εδάφους και κατά δεύτερον του μήκους των ποδιών και της σκληρότητας των ελατηρίων τους κατά τη διέλευση του ρομπότ από κεκλιμένο έδαφος, στην κίνηση του ρομπότ και στην απαίτηση ροπής από τους επενεργητές. Λέξεις κλειδιά: τετράποδο, υποεπενεργούμενο, δυναμική ευστάθεια, κεκλιμένο. 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η ενσωμάτωση ποδιών σε ρομποτικά συστήματα, όπως αυτό του Σχήματος 1, έχει στόχο να δώσει νέες δυνατότητες στα ρομπότ, αλλά και να βοηθήσει στην κατανόηση του μηχανισμού κίνησης ανθρώπων και ζώων. Οι απαιτήσεις για τη διάσχιση ανώμαλου εδάφους και την κίνηση με σημειακή και μη συνεχή στήριξη του σώματος είναι δυνατόν να ικανοποιηθούν από τα ρομποτικά συστήματα με πόδια. Ωστόσο τα ρομπότ με πόδια εμφανίζουν πολυπλοκότητες στον έλεγχο της κίνησής τους και περιορισμούς ισορροπίας, καθιστώντας απαιτητικό ακόμη και τον έλεγχο της πρόσθιας ταχύτητας. y m l,i l k,b x 2d g x l b m,i g y m l,i l k,b l f Σχήμα 1. Το τετράποδο ρομπότ του ΕΜΠ. Φυσικό πρωτότυπο και παράμετροι του μοντέλου. Μέχρι σήμερα έχουν μελετηθεί ή/ και κατασκευαστεί ρομπότ με ένα έως πολλά πόδια. Σημαντικό ενδιαφέρον παρουσιάζουν τα ρομπότ με τέσσερα πόδια λόγω του υψηλού λόγου απόδοσης προς πολυπλοκότητα που διαθέτουν. Τα τετράποδα ρομπότ που έχουν αναπτυχθεί για την κίνηση σε επικλινείς επιφάνειες και έχουν πραγματοποιήσει πειράματα σε αναπεπταμένο πεδίο κινούνται με διατήρηση στατικής

ευστάθειας, όπως τα BigDog (Raibert et al, 2008), ΤΙΤΑΝ XI (Doi et al, 2005), MRWALLSPECT (Kim H. et al, 2005), SpinyBot (Kim S. et al, 2005) και StikyBot (Santos et al, 2008). Από αυτά, τα BigDog και TITAN XI κινούνται σε ανομοιογενή εδάφη χρησιμοποιώντας τρεις επενεργητές σε κάθε πόδι, ενώ τα MRWALLSPECT, SpinyBot και StickyBot αναρριχώνται σε επιφάνειες με διαφορετική τραχύτητα και υψηλή κλίση, ακόμη και 90 ο, βασιζόμενα στο σχεδιασμό του πέλματος των ποδιών. Στην εργασία αυτή παρουσιάζεται συνοπτικά το τετράποδο ρομπότ που έχει κατασκευαστεί στο Εργαστήριο Αυτομάτου Ελέγχου του ΕΜΠ (Σχήμα 1α). Το ρομπότ κινείται με δυναμική ευστάθεια διαθέτοντας μόνο έναν επενεργητή σε κάθε πόδι. Περιγράφεται η κίνηση των έμβιων όντων σε έδαφος με κλίση και αναλύεται η κίνηση του ρομπότ σε παρόμοιο έδαφος. Παρουσιάζονται τα αποτελέσματα προσομοιώσεων και προσδιορίζεται η επίδραση της κλίσης του εδάφους, και του μήκους των ποδιών και της σκληρότητας των ελατηρίων τους στη κίνηση του ρομπότ και τις απαιτήσεις σε ροπή από τους επενεργητές. Παρουσιάζονται στιγμιότυπα της κίνησης του ρομπότ σε επίπεδο έδαφος. 2 ΤΕΤΡΑΠΟΔΟ ΡΟΜΠΟΤ: ΔΥΝΑΜΙΚΗ, ΕΛΕΓΧΟΣ, ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ Το ρομπότ αποτελείται από τέσσερα πόδια μάζας m l και αδράνειας I l με ενδοτικότητα και ένα κυρίως σώμα m, I αντίστοιχα. Κάθε πόδι έχει δύο βαθμούς ελευθερίας, έναν επενεργούμενο στροφικό και έναν πρισματικό χωρίς επενέργηση. Στον πρισματικό βαθμό ελευθερίας χρησιμοποιείται γραμμικό ελατήριο σκληρότητας k και ιξώδους τριβής b για την αποθήκευση ενέργειας. Η στροφική άρθρωση του ισχίου, η οποία απέχει απόσταση d από το κέντρο μάζας (κ.μ.) του ρομπότ, επιτρέπει την τοποθέτηση των ποδιών σε γωνία γ b / γ f στο επίπεδο της πρόσθιας κίνησης, ενώ η πρισματική τη μεταβολή του μήκους των ποδιών l b / l f και τη σύζευξη της κατακόρυφης με την εμπρόσθια κίνηση. Η κίνηση του τετράποδου ρομπότ σε έδαφος με γνωστή κλίση α εξετάζεται στο οβελιαίο επίπεδο και στο Σχήμα 1β παρουσιάζονται οι κύριες παράμετροί του. Η μελέτη της δυναμικής σε δύο διαστάσεις είναι ακριβής για τρόπους κίνησης που εμφανίζουν συμμετρία ως προς αυτό το επίπεδο. Κατά τη κίνησή του, το ρομπότ περνάει διαδοχικά από δύο κύριες φάσεις: τη φάση πτήσης και τη φάση εδάφους. Κατά τη φάση πτήσης, όταν και τα τέσσερα πόδια δεν είναι σε επαφή με το έδαφος, το κ.μ. του ρομπότ με Καρτεσιανές συντεταγμένες x c, y c διαγράφει βαλλιστική τροχιά υπό την επίδραση της βαρύτητας και η στροφορμή H 0 του συστήματος σώμα-πόδια διατηρείται σταθερή ως προς το κ.μ.. x g (1) c x yc g y (2) 2 2 2 2 H0 ( I2 d ml) ( Ilm ll mm l ( m2 ml))( b f )/ m (3) Κατά τη φάση εδάφους, όταν και τα τέσσερα πόδια του ρομπότ ακουμπούν στο έδαφος, η δυναμική του ρομπότ προκύπτει με προσέγγιση κατά Lagrange με χρήση των Καρτεσιανών συντεταγμένων x c, y c του κ.μ. και της γωνίας πρόνευσης θ του σώματος ως γενικευμένες μεταβλητές. mx cmgxk( Llb)sinbbl bsinbbcos b/ lbk ( Ll f )sin f bl fsin f fcos f / l f (4) my mg k( Ll )cos blcos sin / l k( Ll )cos bl cos sin / l (5) c y b b b b b b b f f f f f f f

I kd ( L lb )cos( b ) bdl b cos( b ) (d sin( b ) lb ) b /lb kd ( L l f )cos( f ) bdl f cos( f ) (d sin( f ) l f ) f /l f (6) όπου L το ελεύθερο μήκος του ποδιού, gx=gsinα και gy=gcosα οι συνιστώσες της βαρυτικής επιτάχυνσης. Οι εξισώσεις δυναμικής για τις φάσεις εδάφους κατά τις οποίες μόνο τα εμπρός ή τα πίσω πόδια ακουμπούν στο έδαφος προκύπτουν από τις εξ. (4) (6) αφαιρώντας τους αντίστοιχους όρους. Ο αλγόριθμος ελέγχου επιτρέπει την διατήρηση της επιθυμητής εμπρόσθιας ταχύτητας x des και του επιθυμητού μέγιστου ύψους αναπήδησης hdes, ενώ περιορίζει στο ελάχιστο τη γωνία πρόνευσης του σώματος του ρομπότ χρησιμοποιώντας μόνο έναν επενεργητή σε κάθε πόδι (Cherouvim et al, 2008). Το κυριότερο πλεονέκτημα του ελεγκτή αυτού είναι ότι ο υπολογισμός των κερδών δεν πραγματοποιείται εμπειρικά αλλά βασίζεται στη δυναμική του μοντέλου, η οποία εμπεριέχει και τα παθητικά στοιχεία. Χρησιμοποιώντας τις εξ. (4) (6), τις υποθέσεις ότι η διαφορά των απόλυτων γωνιών των ποδιών και η γωνία πρόνευσης του σώματος έχουν μικρές τιμές, και τριγωνομετρία, οι μεταβλητές ελέγχου εκφράζονται ως: sum,td b,td f,td f1 m, k, L, d, I, b, g, (7) Παράμετροι Βηματισμού Παράμετρος Ελέγχου (8) f2 m, k, L, d, I, b, g, Παράμετροι Ρομπότ Παράμετροι Ρομπότ x des, hdes, dif,td b,td f,td f3 m, k, L, d, I, b, g, Παράμετροι Βηματισμού x des, hdes Παράμετροι Ρομπότ sum,td x des, hdes, sum,td, Παράμετροι Βηματισμού Παράμετροι Ελέγχου (9) όπου τ η απαιτούμενη ροπή από τον επενεργητή. Ο δείκτης td (touchdown) στις γωνίες γb και γf προσδιορίζει τη στιγμή της πρόσπτωσης των ποδιών στο έδαφος. Η κατασκευή του τετράποδου ρομποτικού συστήματος βασίστηκε σε μία συστηματική μεθοδολογία σχεδιασμού με στόχο τον προσδιορισμό των φυσικών παραμέτρων του ρομπότ που ελαχιστοποιούν την απαιτούμενη ροπή από τους επενεργητές για τη διατήρηση της επιθυμητής κίνησης και μεγιστοποιούν τη δυνατότητα του ρομπότ για φέρον φορτίο δεδομένης της μάζας του (Chatzakos et al, 2009). Στο Σχήμα 2 παρουσιάζονται λεπτομέρειες του μηχανοτρονικού συστήματος. (γ) Σχήμα 2. Λεπτομέρειες της στροφικής άρθρωσης, του μηχανισμού μέτρησης του μήκους του ποδιού και (γ) των ηλεκτρονικών υποσυστημάτων υλοποίησης του αλγόριθμου ελέγχου.

3 ΚΙΝΗΣΗ ΣΕ ΑΝΩΦΕΡΕΙΑ Ή ΚΑΤΩΦΕΡΕΙΑ Τα έμβια όντα με πόδια αξιοποιούν τη λειτουργία του μυϊκού συστήματος και τις ελαστικές ιδιότητες των τενόντων ώστε να κινηθούν βέλτιστα ως προς την καταναλισκόμενη ενέργεια και τις επιδόσεις (Alexander, 2002). Κατά την κίνησή του σε κατωφέρεια, ο άνθρωπος για να διατηρήσει την ισορροπία και την ταχύτητά του χρησιμοποιεί τον τετρακέφαλο μηριαίο μυ ως σύστημα πέδης ενάντια στη συνιστώσα της βαρύτητας που δρα στη διεύθυνση της κίνησης (Σχήμα 3α). Ο μυς συστέλλεται έκκεντρα (αύξηση μήκους) για να μειώσει την ένταση της κρούσης και την απόσταση τοποθέτησης του ποδιού που έπεται. Στην αντίθετη περίπτωση, της κίνησης σε ανωφέρεια, ο μηριαίος μυς συστέλλεται ομόκεντρα (μείωση μήκους) εκτείνοντας απότομα το πόδι για να αυξηθεί η απόσταση που θα τοποθετηθεί το πόδι που προηγείται και να διατηρηθεί η ταχύτητα (Σχήμα 3β). Ανάλογη συμπεριφορά εκδηλώνουν και τετράποδα ζώα κατά την κίνηση σε κατωφέρεια (Σχήμα 3γ) ή ανωφέρεια (Σχήμα 3δ). (γ) (δ) Σχήμα 3. Κίνηση ανθρώπων και ζώων σε ανωφέρεια ή κατωφέρεια. Η κίνηση του τετράποδου ρομπότ σε έδαφος με γνωστή κλίση α βασίζεται στις ίδιες αρχές και παρουσιάζεται στο Σχήμα 4 για την περίπτωση ανωφέρειας. Ξεκινώντας από τη φάση πτήσης, το ρομπότ καθώς διαγράφει βαλλιστική τροχιά τοποθετεί τα πόδια του στις κατάλληλες γωνίες για την προσγείωση. Κατάλληλες θεωρούνται οι γωνίες πρόσπτωσης οι οποίες θα του επιτρέψουν να επιτύχει αρχικά και στη συνέχεια να διατηρήσει τις επιθυμητές τιμές των παραμέτρων κίνησης. Καθώς τα πόδια του ρομπότ ακουμπούν στο έδαφος ξεκινά η φάση εδάφους. Τα ελατήρια συμπιέζονται μέχρι ενός ορίου ανάλογα με τη γωνία πρόσπτωσης και έπειτα εκτείνονται, ενώ συγχρόνως οι επενεργητές ασκούν κατάλληλη ροπή στα πόδια καθ όλη τη διάρκεια της φάσης αυτής. Το σώμα του ρομπότ εκτελεί τη συνδυασμένη κίνηση που του επιβάλλουν η επίδραση των ελατηρίων και η ροπή των επενεργητών μέσω των ποδιών και του εδάφους. Η κίνηση αυτή περιγράφεται από το μοντέλο του ανάστροφου εκκρεμούς φορτισμένου ελατηρίου. Λόγω της κλίσης του εδάφους και της κίνησης πρόνευσης του σώματος του ρομπότ δύναται να παρουσιαστούν και οι δύο ενδιάμεσες φάσεις κατά τις οποίες σε επαφή με το έδαφος βρίσκονται μόνο τα εμπρός ή μόνο τα πίσω πόδια. Σχήμα 4. Διαδοχικές φάσεις της κίνησης του τετράποδου ρομπότ σε ανωφέρεια.

4 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΩΝ Αρχικά εκτελέστηκαν προσομοιώσεις με τις σχεδιαστικές παραμέτρους του ρομπότ να έχουν σταθερές τιμές και την κλίση του εδάφους να είναι ανηφορική και να κυμαίνεται από 0 ο έως 10 ο. Το ρομπότ αφήνεται από αρχικό ύψος 0,35m και με αρχική πρόσθια ταχύτητα 0,4 m/s. Η επιθυμητή πρόσθια ταχύτητα είναι 1,1 m/s, ενώ το επιθυμητό μέγιστο ύψος αναπήδησης είναι 0,325m. Στο Σχήμα 5α παρουσιάζεται ενδεικτικά η απαιτούμενη ροπή για τα πρώτα 15 s της κίνησης σε εδάφη με κλίση 0 ο, 5 ο και 10 ο, ενώ στο Σχήμα 5β η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της κατά τη μεταβατική και τη μόνιμη κατάσταση για κλίση 0 ο έως 10 ο. Παρατηρείται ότι καθώς η κλίση του εδάφους αυξάνει, η απαίτηση σε ροπή από τους κινητήρες αυξάνει επίσης και επιπλέον εμφανίζονται μεγαλύτερες διακυμάνσεις της μέχρις ότου σταθεροποιηθεί η κίνηση. Σχήμα 5. Η απαιτούμενη ροπή συναρτήσει του χρόνου και μέγιστες/ ελάχιστες τιμές της. Στο Σχήμα 6 παρουσιάζεται η απαιτούμενη ροπή στη μεταβατική κατάσταση για τιμές του ελεύθερου μήκους των ποδιών L από 0,26 έως 0,31 m και της σκληρότητας των ελατηρίων k από 1500 έως 4500 N/ m, κατά τη διέλευση εδάφους με κλίση 0 ο, 5 ο, 8 ο και 10 ο. Το ρομπότ με ελεύθερο μήκος ποδιού μεταξύ 0,29 και 0,30 m και σκληρότητα ελατηρίων 2000 έως 2500 N/ m επιτυγχάνει τη διέλευση εδάφους με κλίση και 10 ο, διατηρώντας εμπρόσθια ταχύτητα 1,1 m/s και αναπηδώντας 0,035 έως 0,025 m με την ελάχιστη απαιτούμενη ροπή. Σχήμα 6. Μέγιστη/ Ελάχιστη απαιτούμενη ροπή για διαφορετική τιμές L και k. Στο σημείο αυτό πρέπει να αναφερθεί ότι στην παρούσα ανάλυση δεν έχει ληφθεί υπόψη το όριο τριβής ανάμεσα στο πέλμα των ποδιών και το έδαφος. Συνεπώς ακόμα και αν οι κινητήρες απέχουν από το όριο κορεσμού τους, είναι δυνατόν τελικώς να μην επιτευχθεί η διέλευση του κεκλιμένου εδάφους αν η συνιστώσα της τριβής στη διεύθυνση της κίνησης δεν αποτρέπει την ολίσθηση του πέλματος.

5 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Τα αποτελέσματα των προσομοιώσεων οδηγούν στο συμπέρασμα ότι ο σχεδιασμός του ποδιού πρέπει να ενσωματώνει έναν μηχανισμό δυναμικής μεταβολής της ενδοτικότητάς του, δηλ. της σκληρότητας των ελαστικών στοιχείων του, και του μήκους του ανάλογα με την κλίση του εδάφους που διασχίζει το τετράποδο ρομπότ. Για την επαλήθευση των αποτελεσμάτων της προσομοίωσης και την αξιολόγηση του αλγόριθμου ελέγχου χρησιμοποιούνται κάμερα υψηλής ταχύτητας και οπτικό σύστημα ανάλυσης της κίνησης. Στο Σχήμα 7 παρουσιάζονται διαδοχικά στιγμιότυπα κατά τη εκτέλεση αρχικών πειραμάτων σε επίπεδο έδαφος. Σχήμα 7. Διαδοχικά στιγμιότυπα από την κίνηση του τετράποδου ρομπότ σε επίπεδο έδαφος. 6 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Alexander, R., M. (2002), "Tendon elasticity and muscle function", Elsevier Comparative Biochemistry and Physiology, part A, vol. 133, no. 4, pp. 1001-1011. Chatzakos, P., and Papadopoulos, E. (2009), "Dynamically Running Quadrupeds Self-Stable Region Expansion by Mechanical Design", IEEE International Conference on Robotics and Automation, Kobe, Japan, pp. 2749-2754. Cherouvim, N., and Papadopoulos, E. (2008), "Speed and Height Control for a Special Class of Running Quadruped Robots", IEEE International Conference on Robotics and Automation, Pasadena, California, USA, pp. 825-830. Doi, T., Hodoshima, R., Fukuda, Y., Hirose, S., Okamoto, T., and Mori, J. (2005), "Development of a Quadruped Walking Robot to Work on Steep Slopes, TITAN XI (Walking motion with compensation for compliance)", IEEE International Conference on Intelligent Robots and Systems, Edmonton, Alberta, Canada, pp.3413-3418. Kim, H., Kang, T., Loc, V.G., and Choi, H.R. (2005), "Gait Planning of Quadruped Walking and Climbing Robot for Locomotion in 3D Environment", IEEE International Conference on Robotics and Automation, Spain, pp. 2744-2749. Kim, S., Asbeck, A., Provancher, W., and Cutkosky, M.R. (2005), "SpinybotII: Climbing Hard Walls with Compliant Microspines", IEEE International Conference on Advanced Robotics, Seattle, WA, USA, pp. 601-606. Raibert, M., Blankespoor, K., Nelson, G., and Playter, R. (2008), "BigDog, the Rough-Terrain Quadruped Robot", 17th World Congress, The International Federation of Automatic Control, Seoul, Korea, pp. 10822-10825. Santos, D., Heyneman, B., Kim, S., Esparza, N., and Cutkosky, M.R. (2008), "Gecko-Inspired Climbing Behaviors on Vertical and Overhanging Surfaces", IEEE International Conference on Robotics and Automation, Pasadena, California, USA, pp. 1125-1131.