7η Διάλεξη Οπτικές ίνες Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 1 Περιεχόμενα διάλεξης Διασπορά Πόλωσης Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. Page 1
Πόλωση Γενική θεωρία Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 3 Μηχανικό ανάλογο Εγκάρσια κύματα Πολωτής Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 4 Page
Πόλωση ΗΜ κυμάτων Οι πρωτοπόροι... ugustin Jean Fresnel (1788-187) Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 5 Πόλωση από ανάκλαση Ι Το φως του ήλιου δεν είναι πολωμένο δηλ. η κατάσταση πόλωσης μεταβάλλεται κατά τη διάρκεια του χρόνου. Είναι δυνατόν να δημιουργήσουμε πολωμένο φως από το φως του ήλιου μέσω ανακλάσεως στην επιφάνεια ενός διηλεκτρικού. Όταν το φως προσπίπτει στην επιφάνεια ενός διηλεκτρικού υπό γωνία ως προς την κατακόρυφο, ηκάθετη(ως προς την επιφάνεια του διηλεκτρικού) συνιστώσα του ΗΠ του ανακλώμενου κύματος είναι εξασθενημένη ως προς την οριζόντια συνιστώσα του ΗΠ του ανακλώμενου κύματος. Τοποθετώντας έναν πολωτή κάθετα ως προς την επιφάνεια του διηλεκτρικού μπορούμε να απαλείψουμε την οριζόντια συνιστώσα του ΗΠ του ανακλώμενου κύματος και να μειώσουμε κατά πολύ την ένταση του ανακλώμενου φωτός. Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 6 Page 3
Πόλωση από ανάκλαση Ι Θεωρία Πειραματική επαλήθευση Αυτό φαίνεται στις φωτογραφίες στο δεξί μέρος της διαφάνειας. Η αριστερή φωτογραφία έχει ληφθεί χωρίς πολωτή ενώ η δεύτερη με πολωτή κάθετο ως προς την επιφάνεια του νερού. Στη δεύτερη, η ανάκλαση του ουρανού στην επιφάνεια της λίμνης έχει μειωθεί και φαίνονται τα βότσαλα στο βυθό. Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 7 Ορισμός Πόλωσης Ας ορίσουμε τώρα επακριβώς την έννοια της πόλωσης; Θεωρούμε ένα επίπεδο ΗΜ κύμα με διεύθυνση διαδόσεως τον άξονα z κάθετο στο επίπεδο του χαρτιού. Θεωρούμε την κίνηση του ΗΠ σε ένα σημείο z, π.χ. στο επίπεδο του χαρτιού, σε διάφορες χρονικές στιγμές. Πόλωση ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που διαγράφει το άκρο του διανύσματος του ΗΠ στο κάθετο στον άξονα διαδόσεως επίπεδο στο σημείο z σε διάφορες χρονικές στιγμές. Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 8 Page 4
Χρονική εξέλιξη ΗΠ Απόλωτο κύμα Ολικά πολωμένο κύμα Ι. Η καμπύλη που διαγράφει το άκρο του διανύσματος του ΗΠ είναι τελείως ακανόνιστη και το ΗΜ κύμα ονομάζεται απόλωτο (ή τυχαία πολωμένο). ΙΙ. καμπύλη που διαγράφει το άκρο του διανύσματος του ΗΠ είναι (α) ευθεία γραμμή οπότε η πόλωση ονομάζεται γραμμική (β) κύκλος οπότε η πόλωση ονομάζεται κυκλική (γ) έλλειψη οπότε η πόλωση ονομάζεται ελλειπτική Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 9 Μαθηματική περιγραφή ΗΠ στην είσοδο της οπτικής ίνας r Et (,0) = cos t + cos t ˆ (1) ( ω ) ˆ ( ω ) ΗΠ μετά από διάδοση σε απόσταση z στην οπτική ίνα r Etz (, ) = cos t z + cos t z ˆ () ( ω β ) ˆ ( ω β ) Επειδή οι ίνες παρουσιάζουν διπλοθλαστικότητα, δηλ. η σταθερά διάδοσης εξαρτάται από τη διεύθυνση του ΗΠ, μετά από απόσταση z οι συνιστώσες Ε και E παρουσιάζουν μια διαφορά φάσης φ=(β-β)z. Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 10 Page 5
E Μαθηματική περιγραφή (συνέχεια) Συνιστώσες ΗΠ E = cos t (3) [ ω ] [ ω φ] E = cos t+ (4) Ησυνιστώσα γράφεται: E cosφ = cos[ ωt] cos φ (5) Ησυνιστώσα γράφεται: [ t ] [ t] [ t] = cos ω + φ = cos ω cosφ sin ω sin φ (6) Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 11 Μαθηματική περιγραφή (συνέχεια) Με αφαίρεση κατά μέλη: E E cosφ = sin[ ωt] sin φ (7) Από την αρχική έκφραση (3) της συνιστώσας : E E = cos[ ωt] sin[ ωt] = 1 cos[ ωt] = 1 (8) Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 1 Page 6
Μαθηματική περιγραφή (συνέχεια) Υψώνοντας την (7) στο τετράγωνο κι αντικαθιστώντας την (8): E E E cosφ = sin [ ωt] sin φ = 1 sin φ (9) Φέρνοντας τις συνιστώσες του ΗΠ στο αριστερό μέλος: E E E + cosφ = sin φ (10) E Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 13 Εξίσωση έλλειψης E E E + cosφ = sin φ (10) E Ο μεγάλος ημιάξονας της έλλειψης σχηματίζει γωνία α με τον άξονα cosφ tan( α ) = (11) Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 14 Page 7
Γραμμική πόλωση I (10) E E E E φ = kπ + = 0 E E = 0 E = E (11) Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 15 π.. γραμμικής πόλωσης φ = kπ Για z=ct Για t=ct Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 16 Page 8
Γραμμική πόλωση IΙ (10) E E E E φ = ( k + 1) π + + = 0 E E + = 0 E = E (1) Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 17 Κυκλική πόλωση (10) π E E φ =± ( k+ 1 ), = = 1 + = E + E = (13) Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 18 Page 9
π φ = ( k + 1) π.χ. κυκλικής πόλωσης Για z=ct Για t=ct π φ = ( k + 1) Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 19 Παράμετροι έλλειψης Ι Λόγος πλατών ΗΠ tan( χ ) = (14) Διαφορά φάσης φ Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 0 Page 10
Παράμετροι έλλειψης ΙΙ Αζιμούθιο cosφ tan( α ) = (11) Ελλειπτικότητα OB tan( ε ) = (15) O E Β Ο ε Α α E Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 1 Αναπαραστάσεις E Εγκάρσιο ΗΜ κύμα z Κατάσταση πόλωσης E Σφαίρα Poincaré Sz L E ε α E Q H α V ε P S S Reference: S. Huard, Polarization of light, Wile, 1997. R Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. Page 11
Οπτικές ίνες Διασπορά τρόπων πόλωσης Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 3 Μηχανισμοί διπλοθλαστικότητας Ενδογενείς Εξωγενείς Αναφορά: C. D. Poole and J. Nagel, in Optical Fiber Telecommunications III, I. P. Kaminow and T. L. Koch, eds., Ch. 6 Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 4 Page 1
Διάδοσησεισότροπηοπτικήίνα Μια οπτική ίνα με ιδανική κυκλική συμμετρία είναι ένα ολοπερατό φίλτρο που μεταβάλει τη φάση των κυμάτων κατά μία σταθερά β(ω)z. Μπορούμε να αναπτύξουμε σε σειρά Talor τη σταθερά διάδοσης β(ω) γύρω από την τιμή της στη φέρουσα συχνότητα ω 0. Γιαμαθηματικάευκολία θεωρήσαμε ω 0 =0. Αν κρατήσουμε μόνο τους δύο πρώτους όρους του αναπτύγματος, η μιγαδική περιβάλλουσα Ĕ του παλμού δεν παραμορφώνεται, μόνο καθυστερεί κατά τ g, ενώ η φέρουσα αποκτά μια καθυστέρηση φάσης φ. Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 5 Διάδοσησεισότροπηοπτικήίνα Συνάρτηση μεταφοράς ίνας ( 0 ) (1) i[ β (0) + ωβ (0)] z T ( ω, z) e Ανάπτυγμα β(ω) πρώτης τάξης Μηδενική εξασθένιση Είσοδος ~ E ( t ) Έξοδος ~ E( t τ ) e g iφ φ = β (0) (0) z (1) τ = β (0) z g Καθυστέρηση φάσης Καθυστέρηση ομάδας n ( n) d β β (0) = dω n ω= 0 Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 6 Page 13
Διάδοση σε διπλοθλαστική οπτική ίνα μικρού μήκους Μια ρεαλιστική οπτική ίνα μικρού μήκους με διπλοθλαστικότητα είναι ένα ολοπερατό φίλτρο που μεταβάλει τη φάση των κυμάτων με ΗΠ κατά τη διεύθυνση κατά μία σταθερά β (ω)z και των κυμάτων με ΗΠ κατά τη διεύθυνση κατά μία σταθερά β (ω)z. Επομένως, η συνάρτηση μεταφοράς της ίνας είναι ένας πίνακας Τ(ω,z). Μπορούμε να αναπτύξουμε σε σειρά Talor τιςσταθερέςδιάδοσηςβ (ω), β (ω) γύρω από την τιμή τους στη φέρουσα συχνότητα ω 0. Για μαθηματική ευκολία θεωρήσαμε ω 0 =0. Αν κρατήσουμε μόνο τους δύο πρώτους όρους του αναπτύγματος, η μιγαδική περιβάλλουσα Ĕ του παλμού τώρα πλέον παραμορφώνεται, διότι η συνιστώσα καθυστερεί κατά τ g, ενώ η συνιστώσα καθυστερεί κατά τ g. Ταυτόχρονα, η φέρουσα αποκτά διαφορετική καθυστέρηση φάσης φ και φ σε κάθε διεύθυνση, αντίστοιχα. Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 7 Διάδοση σε διπλοθλαστική οπτική ίνα μικρού μήκους e Συνάρτηση μεταφοράς ίνας (1) + ωβ (0)] z Ανάπτυγμα β(ω) πρώτης τάξης 0 Μηδενική εξασθένιση ( 0 ) (1) i[ β (0) (0 z 0 e Εξοδος iφ iφ E% ( t τ ) e ˆ+ E% ( t τ ) e ˆ ( 0 ) i[ β T (0) ( ω, z) + ωβ )] E% () tˆ+ E% () tˆ Είσοδος g g φ = β τ j gj (0) j (1) j (0) z = β (0) z Καθυστέρηση φάσης Καθυστέρηση ομάδας n d β ( n) j β j (0) = n dω ω= 0 Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 8 Page 14
Διασπορά πόλωσης (Πεδίο χρόνου) Προσέγγιση πρώτης τάξης Δτ = Διαφορική καθυστέρηση ομάδας Differential group dela (DGD) Η διασπορά πόλωσης είναι μια μορφή τροπικής διασποράς που επηρεάζει τη μετάδοση του σήματος σε μεγάλες αποστάσεις και υψηλούς ρυθμούς σηματοδοσίας. Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 9 Διασπορά πόλωσης (Πεδίο συχνοτήτων) () tˆ+ () tˆ Είσοδος Έξοδος iωτ iφ iωτ iφ g g e ˆ + e ˆ Κάθε φασματική συνιστώσα αποκτά διαφορετική πολωτική κατάσταση στην έξοδο. Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 30 Page 15
Διάδοση σε διπλοθλαστική οπτική ίνα μεγάλου μήκους Μοντέλο ίνας Διασύνδεση πλακιδίων καθυστέρησης με αυθαίρετο προσανατολισμό των οπτικών αξόνων Αναπαράσταση στη σφαίρα Poincaré Έξοδος Είσοδος f 1,,3 f 1 f f 3 Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 31 Επίδραση στην απόδοση Φασματική Πυκνότητα Ισχύος Διάγραμμα Οφθαλμού Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 3 Page 16