Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου. Θεωρούμε δύο σημεία Α και Β στον κύκλο (Κ, r). Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ είναι η χορδή που ορίζουν τα δύο σημεία. Τα σημεία ορίζουν δύο τόξα στον κύκλο, το ΑΓΒ και το ΑΔΒ. Μία χορδή που περνάει από το κέντρο του κύκλου είναι μία διάμετρος. Τα τόξα που ορίζονται από μία χορδή που δεν είναι διάμετρος διακρίνονται στο έλασσον και το μείζον. Μία γωνία ΑΚΒ με κορυφή στο κέντρο Κ είναι επίκεντρη γωνία του κύκλου (Κ, r). Η κυρτή επίκεντρη γωνία βαίνει στο έλασσον τόξο, ενώ η μή κυρτή επίκεντρη 50

Κεφάλαιο 9 Κύκλος 51 γωνία βαίνει στο μείζον τόξο. Κάθε σημείο του τόξου ΑΒ διαφορετικό από τα Α, Β ονομάζεται εσωτερικό σημείο του τόξου. Μέσο του τόξου ΑΒ είναι το εσωτερικό σημείο Μ με την ιδιότητα ΑΜ = ΜΒ. Κάθε τόξο έχει μόνον ένα μέσο, και η ΚΜ διχοτομεί την επίκεντρη γωνία ΑΚΒ. Μία γωνία ΑΔΒ με κορυφή στον κύκλο, που τέμνει τον κύκλο σε δύο άλλα σημεία είναι εγγεγραμμένη στον κύκλο (Κ, r). Μία ευθεία ε που τέμνει τον κύκλο σε ένα μόνο σημεία είναι εφαπτομένη στον κύκλο. Θεώρημα 9.1 Σε δοθέντα κύκλο ίσες επίκεντρες γωνίες βαίνουν σε ίσα τόξα, και αντίστροφα, σε ίσα τόξα βαίνουν ίσες επίκεντρες γωνίες. Σχήμα 9.2: Ισες επίκεντρες γωνίες. Απόδειξη. Θεωρούμε κύκλο (Κ, r), επίκεντρες γωνίες ΑΚΒ και ΓΚΔ, και τα αντίστοιχα τόξα ΑΒ ΓΔ. Μετατοπίζουμε τη γωνία ΓΚΔ στην Γ ΚΔ έτσι ώστε το Κ να παραμείνει σταθερό, το Γ να συμπέσει με το Α και η ημιευθεία ΚΔ να βρίσκεται στο ίδιο ημιεπίπεδο με την ΚΒ. Αφού οι γωνίες ΑΚΒ και ΓΚΔ είναι ίσες, η ημιευθεία ΚΔ θα συμπέσει με την ΚΒ, και αφού ΚΔ = ΚΒ = r, Δ = Β. Απομένει να δείξουμε οτι κάθε σημείο Ε του τόξου ΓΔ μετακινείται σε σημείο Ε το οποίο βρίσκεται στο τόξο ΑΒ. Εάν Ε δεν βρίσκεται στον κύκλο (Κ, r), τότε ΚΕ r, άτοπο. Άρα το Ε βρίσκεται στο τόξο ΑΒ. Θεώρημα 9.2 Σε δοθέντα κύκλο ίσες επίκεντρες γωνίες βαίνουν σε ίσες χορδές, και αντίστροφα, σε ίσες χορδές βαίνουν ίσες επίκεντρες γωνίες. Απόδειξη. Θεωρούμε κύκλο (Κ, r), επίκεντρες γωνίες ΑΚΒ και ΓΚΔ, και τις αντίστοιχες χορδές ΑΒ ΓΔ. Τα ισοσκελή τρίγωνα ΚΑΒ και ΚΓΔ έχουν ΚΑ = ΚΓ, ΚΒ = ΚΔ και ΑΚΒ = ΓΚΔ. Άρα είναι ίσα, και ΑΒ = ΓΔ.

52 Γεωμετρία Αντίστροφα, αν ΑΒ = ΓΔ, τα τρίγωνα ΚΑΒ και ΚΓΔ έχουν τρεις πλευρές ίσες, άρα είναι ίσα, και ΑΚΒ = ΓΚΔ. Θεώρημα 9.3 Η επίκεντρη γωνία είναι διπλάσια κάθε εγγεγραμμένης γωνίας που βαίνει στο ίδιο τόξο. Απόδειξη. Θεωρούμε κύκλο (Κ, r) και κυρτή επίκεντρη γωνία ΑΚΒ. Εστω Γ το αντιδιαμετρικό σημείο του Β. Φέρουμε τις ΚΓ και ΑΓ. Η γωνία ΑΚΒ είναι εξωτερική γωνία του τριγώνου ΚΓΑ, άρα είναι ίση με το άθροισμα των δύο εσωτερικών, ΑΓΚ + ΓΑΚ. Αλλά το τρίγωνο ΚΓΑ είναι ισοσκελές, άρα ΑΓΚ = ΓΑΚ, και ΑΚΒ = 2 ΑΓΒ. Σχήμα 9.3: Εγγεγραμμένη και επίκεντρη γωνία. Εάν τώρα Γ είναι οποιοδήποτε εσωτερικό σημείο του μείζονος τόξου ΑΒ, φέρουμε τη διάμετρο ΓΔ και εφαρμόζουμε το προηγούμενο στις κυρτές γωνίες ΑΚΔ και ΔΚΒ. Εάν το Δ είναι εσωτερικό σημείο του ελάσσονος τόξου ΑΒ τότε ΑΚΒ = ΑΚΔ + ΔΚΒ = 2 ΑΓΔ + 2 ΔΓΒ = 2 ΑΓΒ. Εάν το Δ είναι εσωτερικό σημείο του μείζονος τόξου ΑΒ τότε ΑΚΒ = ΑΚΔ ΔΚΒ = 2 ΑΓΔ 2 ΔΓΒ = 2 ΑΓΒ. Παρόμοια, για το μείζον τόξο ΑΒ, η μη κυρτή επίκεντρη γωνία είναι διπλάσια της αντίστοιχης εγγεγραμμένης. Τέλος, η εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή

Κεφάλαιο 9 Κύκλος 53 Σχήμα 9.4: Αμβλεία ή ορθή εγγεγραμμένη γωνία. Πόρισμα 9.4 Ολες οι εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο, ή σε ίσα τόξα δοθέντος κύκλου, ή σε ίσα τόξα ίσων κύκλων, είναι ίσες μεταξύ τους. Πρόταση 9.5 Θεωρούμε δύο σημεία Α και Β. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Ki με την ιδιότητα οτι η γωνία ΑΧΒ είναι ορθή, είναι τα σημεία του κύκλου με διάμετρο ΑΒ, εκτός από τα Α και Β. Απόδειξη. Θεωρούμε τον κύκλο με κέντρο Κ το μέσο του ΑΒ και ακτίνα ΚΑ. Η επίκεντρη γωνία ΑΚΒ είναι ίση με δύο ορθές, και συνεπώς εάν Χ είναι εσωτερικό σημείο ενός από τα δύο ημικύκλια ΑΒ, η εγγεγραμμένη γωνία ΑΧΒ είναι ίση με μία ορθή. Σχήμα 9.5: Ορθή εγγεγραμμένη γωνία.

54 Γεωμετρία Εάν Ψ βρίσκεται έξω από τον κύκλο (Κ, ΚΑ), τουλάχιστον ένα από τα διαστήματα ΨΑ και ΨΒ, έστω το ΨΑ τέμνει τον κύκλο σε άλλο ένα σημείο, Γ. Τότε η γωνία ΑΓΒ είναι ορθή, και ως εξωτερική γωνία του τριγώνου ΓΨΒ είναι μεγαλύτερη από την ΑΨΒ. Παρόμοια δείχνουμε οτι εάν Ψ βρίσκεται μέσα στον κύκλο (Κ, ΚΑ), η γωνία ΑΨΒ είναι μεγαλύτερη από ορθή. Συμπεραίνουμε οτι ο ζητούμενος τόπος είναι ακριβώς τα σημεία του κύκλου (Κ, ΚΑ), εκτός από τα Α και Β. Θεώρημα 9.6 Μία ευθεία ε είναι εφαπτομένη του κύκλου (Κ, r) στο σημείο Α εάν και μόνον εάν η ΚΑ είναι κάθετη στην ε. Σχήμα 9.6: Η εφαπτομένη είναι κάθετη στην ακτίνα. Απόδειξη. Θα δείξουμε οτι εάν η ΚΑ δεν είναι κάθετος στην ευθεία ε τότε η ε δεν είναι εφαπτομένη του κύκλου. Εστω οτι ΚΒ είναι κάθετη στην ε, για κάποιο σημείο Β στην ε διαφορετικό από το Α. Στην προέκταση του ΑΒ λαμβάνουμε σημείο Α τέτοιο ώστε ΑΒ = ΒΑ. Τότε ΚΒ είναι μεσοκάθετος του ΑΑ, και συνεπώς ΚΑ = ΚΑ = r. Αλλά τότε Α ανήκει στον κύκλο, και η ε έχει δύο κοινά σημεία με τον (Κ, r). Αντίστροφα, εάν η ευθεία ε τέμνει τον κύκλο (Κ, r) στο σημείο Α και η ΚΑ είναι κάθετη στην ε, θα δείξουμε οτι δεν υπάρχει άλλο σημείο του κύκλου στην ευθεία. Εάν Α βρίσκεται στην ευθεία ε τότε ΚΑΑ είναι ορθή. Εάν όμως Α βρίσκεται και στον κύκλο, τότε ΚΑ = ΚΑ και το τρίγωνο ΚΑΑ είναι ισοσκελές με δύο ορθές γωνίες άτοπο. Θεώρημα 9.7 Η γωνία που σχηματίζει χορδή κύκλου με την εφαπτομένη στο ένα άκρο της χορδής είναι ίση με κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει στο αντίστοιχο τόξο της χορδής.

Κεφάλαιο 9 Κύκλος 55 Σχήμα 9.7: Γωνία μετξύ χορδής και εφαπτομένης. Απόδειξη. σημείο Α του κύκλου. Θεωρούμε κύκλο (Κ, r), χορδή ΑΒ του κύκλου και εφαπτομένη ε στο Εστω ΒΑΕ η οξεία γωνία μεταξύ της χορδής και της εφαπτομένης. Τότε ΚΑΒ+ ΒΑΕ = 1 ορθή. Από το ισοσκελές τρίγωνο ΚΑΒ έχουμε ΚΑΒ = ΚΒΑ και συνεπώς ΑΚΒ + 2 ΚΑΒ = 2 ορθές = 2 ΚΑΒ + 2 ΒΑΕ. Άρα 1 ΑΚΒ = ΒΑΕ. 2 Αλλά κάθε εγγεγραμμένη στο έλασσον τόξο ΑΒ είναι επίσης ίση με 1 ΑΚΒ και 2 συνεπώς ίση με την ΒΑΕ. Για την αμβλεία γωνία ΒΑΔ έχουμε 2 ΒΑΔ = 4 ορθές 2 ΒΑΕ = 4 ορθές ΑΚΒ = η μη κυρτή γωνία ΑΚΒ. Άσκηση 9.1 Άσκηση 9.2 Εάν δύο κύκλοι τέμνονται στα σημεία Α και Β, και Γ, Δ είναι τα αντιδιαμετρικά σημεία του Α στους δύο κύκλους, να δείξετε οτι η ευθεία ΓΔ περνάει από το σημείο Β. Άσκηση 9.3 Δίδονται τέσσερα σημεία Α, Β, Γ και Δ ενός κύκλου. Τα σημεία Ε, Ζ, Η και Θ είναι τα μέσα των τόξων ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ και ΔΑ αντίστοιχα. Δείξτε οτι ΕΗ ΖΘ. Άσκηση 9.4 Δύο κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά ή εσωτερικά στο σημείο Α. Από το Α φέρουμε δύο ευθείες που τέμνουν τον ένα κύκλο στα Β, Γ και τον άλλο στα Δ, Ε. Δείξτε οτι ΒΓ ΔΕ. Άσκηση 9.5 Σε κύκλο με διάμετρο ΑΒ φέρουμε δύο παράλληλες χορδές ΑΓ και ΒΔ. Δείξτε οτι ΑΓ = ΒΔ και οτι η ΓΔ είναι διάμετρος.

56 Γεωμετρία Άσκηση 9.6 Δείξτε οτι δύο χορδές κύκλου που δεν είναι διάμετροι δεν διχοτομούνται. Άσκηση 9.7 Δύο κύκλοι τέμνονται στα σημεία Α και Β. Δύο ευθείες που περνούν από τα Α, Β τέμνουν τον ένα κύκλο στα σημεία Γ, Δ και τον άλλο στα Ε, Ζ. Δείξτε οτι ΓΔ ΕΖ. Σε ποιά περίπτωση ισχύει και ΓΔ = ΕΖ; Εγγεγραμμένα πολύγωνα Ενα πολύγωνο λέγεται εγγράψιμο εάν υπάρχει κύκλος στον οποίο να ανήκουν όλες οι κορυφές του πολυγώνου. Θεώρημα 9.8 Κάθε τρίγωνο εγγράφεται σε κύκλο με κέντρο το σημείο τομής των μεσοκαθέτων των πλευρών του τριγώνου. Απόδειξη. Εχουμε δείξει οτι οι μεσοκάθετοι των πλευρών ενός τριγώνου ΑΒΓ περνάνε από το ίδιο σημείο Κ, το οποίο έχει την ιδιότητα οτι απέχει εξ ίσου από τις τρεις κορυφές. Άρα ο κύκλος με κέντρο Κ και ακτίνα r = ΚΑ είναι περιγεγραμμένος στο τρίγωνο ΑΒΓ. Πόρισμα 9.9 Από τρία σημεία που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία περνάει ένας και μοναδικός κύκλος. Θεώρημα 9.10 Ενα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο εάν και μόνον εάν οι απέναντι γωνίες του είναι παραπληρωματικές. Απόδειξη. Εάν το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο, τότε οι γωνίες Β και Δ βαίνουν στα τόξα της χορδής ΑΓ, η μία στο έλασσον και η άλλη στο μείζον. Άρα το άθροισμα των γωνιών είναι 2 ορθές. Αντίστροφα, υποθέτουμε οτι έχουμε τετράπλευρο ΑΒΓΔ, και Β + Δ = 2 ορθές. Τότε επίσης Α + Γ = 2 ορθές. Θεωρούμε τον κύκλο (Κ, r) που είναι περιγεγραμμένος στο τρίγωνο ΑΒΔ, και υποθέτουμε οτι το σημείο Γ δεν ανήκει σε αυτόν τον κύκλο. Θεωρούμε το σημείο Ε στο οποίο ο κύκλος (Κ, r) τέμνει την ΔΓ. Τότε το τετράπλευρο ΑΒΕΔ είναι εγγεγραμμένο, και συνεπώς Α + Ε = 2 ορθές. Αλλά από υπόθεση, Α + Γ = 2 ορθές επίσης. Συμπεραίνουμε οτι Ε = Γ. Αυτό όμως είναι άτοπο, αφού η μία γωνία είναι εσωτερική του τριγώνου ΒΓΕ ενώ η άλλη εξωτερική. Άσκηση 9.8 Δείξτε οτι ένα παραλληλόγραμμο είναι εγγράψιμο εάν και μόνον εάν είναι ορθογώνιο.

Κεφάλαιο 9 Κύκλος 57 Άσκηση 9.9 Δείξτε οτι ένα τραπέζιο είναι εγγράψιμο εάν και μόνον εάν είναι ισοσκελές. Άσκηση 9.10