ii øma A. KYBENTI H ñ ÂÓÓ ıëîâ ÙÔ 947 ÛÙÔ N Ô ÂÙÚ ÙÛÈ ÙÔ N. ÂÚÚÒÓ. ñ TÔ 965 appleôêô ÙËÛ applefi ÙÔ ÂÍ Ù ÍÈÔ ÌÓ ÛÈÔ È ËÚÔÎ ÛÙÚÔ ÙÔ N. ÂÚÚÒÓ Î È ÂÁÁÚ ÊËΠÛÙÔ TÌ Ì M ıëì ÙÈÎÒÓ ÙÔ ÓÂappleÈÛÙËÌ Ô ÂÛÛ ÏÔÓ ÎË. ñ Ú ÙÔ Ù Ô ÙˆÓ M ıëì ÙÈÎÒÓ ÙÔ 969. ñ AÓ ÁÔÚ ÙËÎÂ È ÎÙÔÚ ÛÙÔ TÌ Ì M ıëì ÙÈÎÒÓ ÙÔ ÓÂappleÈÛÙËÌ Ô ÂÛÛ ÏÔÓ ÎË ÙÔ 979 Î È applefi ÙÔ 97 Ì ÚÈ Û ÌÂÚ ÂÚÁ ÂÙ È Û Ùfi. ISBN 960-4-45-  ÙÂÚË Î ÔÛË 998 AÓ Ù appleˆûë ÈÔÚıˆÌ ÓË 00, 006 Copyright 99, 998, øma A. KYBENTI H (Aπαγορε εται η ολική ή µερική ανατ πωση, µε οποιοδήποτε µέσο, χωρίς την έγγραφη άδεια του συγγραφέα.)
iii «Aπ τ τε που υπάρχει ο άνθρωπος ψάχνει να βρεί ποια ακριβώς είναι η θέση του στο Σ µπαν. Πο είµαστε, ποιοί είµαστε; Aνακαλ πτουµε τι ζο µε σε ένα ασήµαντο πλανήτη, χαµένο στα κράσπεδα εν ς γαλαξία ο οποίος είναι µέλος µιας αραιοσπαρµένης στοιβάδας γαλαξιών, και καταλαµβάνουµε ένα κάποιο χώρο σε µια ξεχασµένη γωνία εν ς Σ µπαντος που οι γαλαξίες είναι πολυαριθµ τεροι απ τους ανθρώπους. Aπ την εποχή του Aρίσταρχου το κάθε βήµα µας αποµακρ νει συνεχώς περισσ τερο απ τον ρ λο του κεντρικο πρωταγωνιστή στις συµπαντικές υποθέσεις, και µας εµπλέκει συνεχώς βαθ τερα στο κοσµικ δράµα. Yπάρχουν µερικοί που ενδ µυχα συνεχώς αποδοκιµάζουν τις µεγάλες αυτές ανακαλ ψεις, που θεωρο ν το κάθε βήµα προ δου σαν υποβάθµιση, που λαχταρο ν ακ µη ένα Σ - µπαν του οποίου κέντρο και υποµ χλιο είναι η Γη. Aλλά αν πρ κειται να συνάψουµε σχέσεις µε τον κοσµικ χώρο, πρέπει πρώτα να τον κατανοήσουµε. ντως, αν πραγ- µατικά επιθυµο µε να είναι ο πλανήτης µας σηµαντικ ς, τ τε κάτι µπορο µε να κάνουµε γι αυτ, ο κ σµος µας αποκτά βαρ τητα και σπουδαι τητα µ νο απ το θάρρος των ερωτη- µάτων µας για τη φ ση του και απ το βάθος των απαντήσεων που κατορθώσαµε να δώσουµε σ αυτά.» Carl SAGAN (94-996) Kαθηγητής Aστροφυσικ ς Συνεργάτης της NASA
iv Aυτ το βιβλίο αφιερώνεται στα παιδιά µου Tάσο και Nίκο
v PO O O Στις φυσικές και στις κοινωνικές επιστήµες πολλά προβλήµατα εκφράζονται µε διαφορικές εξισώσεις. Έτσι η χρησιµοποίηση µαθηµατικών µεθ δων για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων αποκτά αυξη- µένο ενδιαφέρον και για µη µαθηµατικο ς. Bασικ ς στ χος του βιβλίου είναι να διδάξει µαθηµατικές µεθ δους επίλυσης διαφορικών εξισώσεων χωρίς ο αναγνώστης να επιβαρυνθεί µε θεωρητικές αποδείξεις, αλλ αυτ βέβαια δεν γίνεται σε βάρος της µαθηµατικής αυστηρ τητας. Tο βιβλίο αυτ περιέχει βασικά θέµατα των διαφορικών εξισώσεων, και σκοπ ς του είναι να παρουσιάσει σ ντοµα µεθ δους επίλυσής τους. Σε κάθε θέµα περιέχεται περιληπτική θεωρία και λυµένα προβλή- µατα έτσι ώστε ο αναγνώστης να κατανοήσει τις διαδικασίες επίλυσης των διαφορικών εξισώσεων. Aποφε γουµε µως να παραθέτου- µε πληθώρα λυµένων προβληµάτων σε κάθε θέµα παρά µ νον σα λυµένα προβλήµατα είναι απαραίτητα για την καταν ηση της µεθ δου επίλυσης. Oι προτειν µενες ασκήσεις συνοδε ονται µε τις απαντήσεις τους. Aκ µη, στο βιβλίο αυτ περιέχονται διάφορες χαρακτηριστικές και ενδιαφέρουσες εφαρµογές των διαφορικών εξισώσεων. Σηµειώνουµε, τέλος, τι ο απαιτητικ ς αναγνώστης θα χρειαστεί οπωσδήποτε ν ανατρέξει στο σ γγραµµά µου των διαφορικών εξισώσεων που αποτελείται απ τρεις αυτοτελείς τ µους, που θα βρει τις απαραίτητες αναλ σεις και αποδείξεις για τα θέµατα αυτο του βιβλίου, καθώς επίσης και πολλά άλλα επιπλέον θέµατα των διαφορικών εξισώσεων. ÂÛÛ ÏÔÓ ÎË, 997. KYBENTI H
vii EPIEXOMENA KEºA AIO IAºOPIKE E I ø EI PøTH TA H. È ÊÔÚÈÎ ÂÍÈÛÒÛÂÈ ˆÚÈ ÔÌ ÓˆÓ ÌÂÙ ÏËÙÒÓ.... OÌÔÁÂÓÂ È ÊÔÚÈÎ ÂÍÈÛÒÛÂÈ... 6. Ú ÌÌÈÎ È ÊÔÚÈÎ ÂÍÈÛÒÛÂÈ - È ÊÔÚÈÎ ÂÍÈÛÒÛÂÈ ÙÔ Bernoulli Î È ÙÔ Riccati... 4. Ï ÚÂÈ È ÊÔÚÈÎ ÂÍÈÛÒÛÂÈ - OÏÔÎÏËÚˆÙÈÎÔ apple Ú ÁÔÓÙÂ...7 5. IÛÔÁÒÓÈ ÙÚÔ È...6 6. È ÊÔÚÈÎ ÂÍÈÛÒÛÂÈ ÙÔ Clairaut Î È ÙÔ Lagrange... 7. EÈ ÈÎ ÌÔÚÊ...5 8. M ıô Ô ÙˆÓ È Ô ÈÎÒÓ appleúôûâáá ÛÂˆÓ (M ıô Ô ÙÔ Picard)...4 9. AÛÎ ÛÂÈ...47 KEºA AIO IAºOPIKE E I ø EI ANøTEPH TA H. Ú ÌÌÈÎ È ÊÔÚÈÎ ÂÍÈÛÒÛÂÈ Ù ÍË n...55. Ú ÌÌÈÎ È ÊÔÚÈÎ ÂÍÈÛÒÛÂÈ ÙÔ Euler...78. YappleÔ È ÛÌfi ÙË Ù ÍË È ÊÔÚÈÎ ÂÍ ÛˆÛË...8 4. ÓÔÚÈ Î appleúô Ï Ì Ù...88 5. ÂÈÚ ˆ Ï ÛÂÈ È ÊÔÚÈÎÒÓ ÂÍÈÛÒÛˆÓ...9 6. EÈ ÈÎ ÌÔÚÊ...0 7. AÛÎ ÛÂÈ...8 KEºA AIO Y THMATA IAºOPIKøN E I ø EøN. ÚÒÙ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ Ù...6. M ıô Ô ÙË apple ÏÔÈÊ...40. M ıô Ô ÙˆÓ appleèó ΈÓ...5.. Ú ÌÌÈÎ Û ÛÙ Ì Ù È ÊÔÚÈÎÒÓ ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ Â ÙÂÚË Ù ÍË...8 4. M ıô Ô ÙÔ Putzer...90 5. E ÛÙ ıâè ÙˆÓ ÁÚ ÌÌÈÎÒÓ Û ÛÙËÌ ÙˆÓ È ÊÔÚÈÎÒÓ ÂÍÈÛÒÛˆÓ...00 6. E ÛÙ ıâè Û appleúòùë ÁÚ ÌÌÈÎ appleúôû ÁÁÈÛË...8 7. AÛÎ ÛÂÈ...9 KEºA AIO 4 META XHMATI MOI LAPLACE. OÚÈÛÌÔ - B ÛÈÎ È ÈfiÙËÙÂ...5
viii. AÓÙ ÛÙÚÔÊÔ ÌÂÙ Û ËÌ ÙÈÛÌfi...4. EÊ ÚÌÔÁ ÛÙÈ È ÊÔÚÈÎ ÂÍÈÛÒÛÂÈ Î È Ù Û ÛÙ Ì Ù È ÊÔÚÈÎÒÓ ÂÍÈÛÒÛˆÓ...5 4. AÛÎ ÛÂÈ...66 KEºA AIO 5 IAºOPIKE E I ø EI ME MEPIKE APA ø OY PøTH TA H. Ú ÌÌÈÎ È ÊÔÚÈÎ ÂÍÈÛÒÛÂÈ Ì ÌÂÚÈÎ apple Ú ÁÒÁÔ appleúòùë Ù ÍË...74. TÔ appleúfi ÏËÌ ÙÔ Cauchy...87. EÍÈÛÒÛÂÈ ÔÏÈÎÒÓ È ÊÔÚÈÎÒÓ...95 4. MË ÁÚ ÌÌÈÎ È ÊÔÚÈÎ ÂÍÈÛÒÛÂÈ Ì ÌÂÚÈÎ apple Ú ÁÒÁÔ appleúòùë Ù ÍË 4. M ıô Ô ÙÔ Charpit...04 4. M ıô Ô ÙÔ Jacobi...4 5. AÛÎ ÛÂÈ...9 KEºA AIO 6 IAºOPIKE E I ø EI ME MEPIKE APA ø OY EYTEPH TA H. EÈ ÈÎ ÌÔÚÊ...6. OÌÔÁÂÓ ÁÚ ÌÌÈÎ È ÊÔÚÈÎ ÂÍÈÛÒÛÂÈ Ì ÌÂÚÈÎ apple Ú ÁÒÁÔ Â ÙÂÚË Ù ÍË - AÓ ÁˆÁ ÛÙËÓ Î ÓÔÓÈÎ ÌÔÚÊ...5. MË ÔÌÔÁÂÓ ÁÚ ÌÌÈÎ È ÊÔÚÈÎ ÂÍÈÛÒÛÂÈ Ì ÌÂÚÈÎ apple Ú ÁÒÁÔ Â ÙÂÚË Ù ÍË - AÓ ÁˆÁ ÛÙËÓ Î ÓÔÓÈÎ ÌÔÚÊ...65 4. TÔ appleúfi ÏËÌ ÙË Ú ÈÎ ÙÈÌ...8 5. AÛÎ ÛÂÈ...400 KEºA AIO 7 Y THMATA IAºOPIKøN E I ø EøN ME MEPIKE APA ø OY. T ÍÈÓfiÌËÛË ÙˆÓ ÁÚ ÌÌÈÎÒÓ Û ÛÙËÌ ÙˆÓ...405. OÏÈÎ appleâú ÔÏÈÎ ÁÚ ÌÌÈÎ Û ÛÙ Ì Ù...40. AÛÎ ÛÂÈ...49 KEºA AIO 8 EºAPMO E TøN IAºOPIKøN E I ø EøN. Ìapple ÎÓˆÛË Ê ÚÌ ÎÔ ÛÙÔ Ì...4. NfiÌÔ ÙÔ Torricelli - TÔ appleúfi ÏËÌ ÙË ÎÏ Ú...4. ÚÔÛ ÊÈÛË ÛÙË ÛÂÏ ÓË...45 4. ÈÔÏ ÛıËÛË Ê ÛÌ ÙÔ...47 5. NfiÌÔ ÙË appleúôûêôú Î È ÙË ÙËÛË...49 6. ˆÌÂÙÚÈÎ ÂÊ ÚÌÔÁ...44 7. ÈÔÏ ÛıËÛË Ï Û...444 8. P Ë appleúô Ù Óˆ ÛÒÌ ÙÔ...445 9. EÏ ıâúë appleùòûë ÛÒÌ ÙÔ...446 0. T ÙËÙ È Ê Á applefi ÙË Ë...448. K Ù ÓÔÌ ıâúìôîú Û ÛÂ Ú Ô...449
ix. AÓ ÚÙ ÛÂÈ ÙÔÎÈÓ ÙÔ...450. MÔÓÙ ÏÔ ÂappleÂÓ ÛÂˆÓ ÙÔ Samuelson...45 4. MÔÓÙ ÏÔ ÛÙ ıâúôappleô ËÛË ÎÏÂÈÛÙ ÔÈÎÔÓÔÌ...454 5. ÌappleÂÚÈÊÔÚ ÎÙÈÚ Ô Û ÛÂÈÛÌfi...458 6. ÂÚÌÈ fiìâùúô...464 7. ÔÛÔÏÔÁ Ê ÚÌ ÎÔ...466 8. MfiÏ ÓÛË ÙˆÓ ÏÈÌÓÒÓ...469 9. MÔÓÙ ÏÔ appleôïâìèîòó Ì ÒÓ ÙÔ Lanchester...47 0. AappleÔÛ ÂÛÙÈÎ ÌË ÁÚ ÌÌÈÎ Ù Ï ÓÙÒÛÂÈ...480. EÍ ÛˆÛË È ÛË...484. MÈÎÚ ÂÁÎ ÚÛÈÂ Ù Ï ÓÙÒÛÂÈ...487. MfiÏ ÓÛË ÙˆÓ appleôù ÌÒÓ...489 4. A ÙÔÎÈÓËÙfi ÚÔÌÔÈ Ù Â Î ÎÏÔÊÔÚ...497 APAPTHMA EIPE FOURIER.. ÂÈÚ Fourier Î È Û ÓÙÂÏÂÛÙ Fourier ÛÙÔ È ÛÙËÌ [ π, π] [0, π]...59.. ÂÈÚ Fourier Î È Û ÓÙÂÏÂÛÙ Fourier ÛÂ Ù Ô È ÛÙËÌ [ p, p] [0, p]...5. ÂÈÚ Û ÓËÌÈÙfiÓˆÓ Î È ÛÂÈÚ ËÌÈÙfiÓˆÓ...56. ÁÎÏÈÛË ÙË ÛÂÈÚ Fourier...59 4. ÕÚÙÈÂ Î È appleâúèùù ÂappleÂÎÙ ÛÂÈ Û Ó ÚÙ ÛˆÓ...54 5. Ú ÁÒÁÈÛË Î È ÔÏÔÎÏ ÚˆÛË ÛÂÈÚ Fourier...59 6. AÛÎ ÛÂÈ...54 BIB IO PAºIA...545 EYPETHPIO OPøN...546
x Bιβλία του συγγραφέα Θ. KYBENTI H. IAΦOPIKEΣ EΞIΣΩΣEIΣ, T µος Πρώτος, (ÛÂÏ. 480, 987). α. IAΦOPIKEΣ EΞIΣΩΣEIΣ, (ÛÂÏ. 46, 004).. IAΦOPIKEΣ EΞIΣΩΣEIΣ ME MEPIKEΣ ΠAPAΓΩΓOYΣ, T µος ε τερος, (ÛÂÏ. 400, 988).. IAΦOPIKEΣ EΞIΣΩΣEIΣ, T µος Tρίτος, (ÛÂÏ. 478, 99). 4. IAΦOPIKEΣ EΞIΣΩΣEIΣ (Aσκήσεις), (ÛÂÏ. 560, 998). 5. YNAMIKH TΩN ΠΛHΘYΣMΩN (Συνεχή Mοντέλα), (ÛÂÏ. 8, 99). 6. YNAMIKH TΩN ΠΛHΘYΣMΩN ( ιακριτά Mοντέλα), (ÛÂÏ. 64, 00). 7. EΞIΣΩΣEIΣ IAΦOPΩN KAI IAKPITA ΣYΣTHMATA, (ÛÂÏ. 58, 00). 8. ΛOΓIΣMOΣ METABOΛΩN, (ÛÂÏ. 0, 994). 9. TOΠOΛOΓIA (Aσκήσεις), (ÛÂÏ. 400, 977). 0. IAΦOPIKOΣ ΛOΓIΣMOΣ Συναρτήσεων Mιας Πραγµατικής Mεταβλητής, ( Ô TÂ Ë, A, ÛÂÏ. 640, 00 B, ÛÂÏ., 00).. OΛOKΛHPΩTIKOΣ ΛOΓIΣMOΣ Συναρτήσεων Mιας Πραγµατικής Mεταβλητής, (ÛÂÏ. 64, 005).. ANΩTEPA MAΘHMATIKA (TfiÌÔ ÚÒÙÔ, ÛÂÏ. 64, TfiÌÔ Â ÙÂÚÔ, ÛÂÏ. 66, TfiÌÔ TÚ ÙÔ, ÛÂÏ. 504, 006).
xi BA IKA YMBO A " ÁÈ Î ıâ œ ÂÓ Ó ÎÂÈ = ÛÔÓ fi Û ÓÂapple ÁÂÙ È π È ÊÔÚÔ lim fiúèô Ù ÙfiÙËÙ Re appleú ÁÌ ÙÈÎfi Ì ÚÔ Ã appleâúè ÂÙ È Im Ê ÓÙ ÛÙÈÎfi Ì ÚÔ Œ Ó ÎÂÈ i `` A Ô ÓÙ ÛÙÚÔÊÔ apple Ó Î ó appleú ÁÌ ÙÈÎÔ ÚÈıÌÔ Û Ó ÚÙËÛË ÎÏ ÛË C k Û Ó ÚÙËÛË ÌÂ Û Ó  apple Ú ÁÒÁÔ Ì ÚÈ Ù ÍË k (k=0 Û Ó ).Â..Â. Ì Ì.apple. È ÊÔÚÈÎ ÂÍ ÛˆÛË È ÊÔÚÈÎ ÂÍ ÛˆÛË Ì ÌÂÚÈÎ apple Ú ÁÒÁÔ xi ΠINAKAΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Eιδικές Ειδικές τιµές τιμές των τριγωνοµετρικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων applefi word 00 0 0 45 60 90 θ 80 50 5 0 70 ημθ 0 συνθ ± εφθ 0 ± σφθ ± ± ± ± ± ± 0 ± ± ± ± ± 0 Το άνω πρόσημο αντιστοιχεί στην πρώτη γραμμή των τιμών της γωνίας θ και το κάτω πρόσημο στη δεύτερη γραμμή των τιμών της γωνίας θ. Η αντιστοιχία των μοιρών της γωνίας θ σε ακτίνια είναι: ο 0 0 ο π ο π ο π 0 45 60 6 4 και ο 80 π ο 5π ο π ο π 50 5 0 6 4 90 70 ο ο π π
xi θ ΠΙΝΑΚΑΣ Ειδικές τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων 0 80 ημθ 0 συνθ ± εφθ 0 0 50 ± 45 5 σφθ ± ± ± ± 60 0 90 70 ± ± 0 ± ± ± ± ± 0 Το άνω πρόσημο αντιστοιχεί στην πρώτη γραμμή των τιμών της γωνίας θ και το κάτω πρόσημο στη δεύτερη γραμμή των τιμών της γωνίας θ. Η αντιστοιχία των μοιρών της γωνίας θ σε ακτίνια είναι: ο 0 0 ο π ο π ο π ο π 0 45 60 90 6 4 και ο 80 π ο 5π ο π ο π ο π 50 5 0 70 6 4
xii Τυπολόγιο τριγωνομετρικών σχέσεων ημ( θ + θ ) = ημθσυνθ + συνθημθ, ημ( θ - θ ) = ημθσυνθ - συνθημθ συν( θ + θ ) = συνθσυνθ - ημθημθ, συν( θ - θ ) = συνθσυνθ + ημθημθ ημθ = ημθ συνθ, συνθ = συν θ - ημ θ = συν θ - = - ημ θ θ + θ θ -θ συνθ συνθ συν συν + =, θ + θ θ -θ συνθ - συνθ = - ημ ημ θ + θ θ -θ ημθ ημθ ημ συν + =, θ - θ θ + θ ημθ - ημθ = ημ συν εφ( θ θ ) εφθ + εφθ εφθ - εφθ + =, εφ( θ - θ ) = - εφθεφθ + εφθεφθ συνθσυνθ = [ συν( θ + θ ) + συν( θ - θ )] ημθημθ = [ συν( θ -θ ) - συν( θ + θ )] ημθσυνθ = [ ημ( θ + θ ) + ημ( θ - θ )] ημθ = ημθ - 4ημ θ, συνθ = 4συν θ - συνθ