משוואה חום משוואת דיפוזיה בעיית התחלה Cahy למשוואת דיפוזיה עבור נדון במשוואת חום נקראת גם משוואת דיפוזיה עם תנאי התחלה על כל הציר -<< > לפני שנעבור לפתרון של בעיית ההתחלה הזאת נציין כמה תכונות של הפתרון שאפשר להסיק מבלי לפתור אותה. א' תכונה ייחודית של משוואת חום היא שהקווים ons הם אופיינים שלה ולכן בעיית ההתחלה במובן הרגיל של המונח הזה כלומר כזאת המורכבת משני נתונים עבור הזמן ההתחלתי לא פתירה עבורה. לעומת זאת הבעיה עם תנאי התחלה יחיד פתירה וכפי שנראה בהמשך בתנאים שבדרך כלל מתקיימים בבעיות פיסיקליות הפתרון הוא יחיד. נשתמש בעובדה ב' הבאה שנקבל כאשר נפתור את בעיית התחלה: עבור הפתרון מתנהג כמו הפונקציה ההתחלתית. נניח בנוסף ש- < כך שכאשר מתקיים מצב כזה שכיח בבעיות מעשיות. נגדיר מושג מומנט מסדר n של פונקציה : M יורדת מספיק מהר עם גידול ב- ליתר דיוק נניח שעבור כל <α קיים קבוע < α n n ניתן למשוואה מובן של משוואה המתארת דיפוזיה אז המשמעות הפיסיקלית של היא צפיפות המסה. בפירוש הזה עבור n למומנטים יש משמעות פיסיקלית ברורה: כלומר M שווה למסה כוללת של החומר. M כלומר M M/ שווה למרכז הכובד. M M על כן המומנט השני מתאר דיספרסיה התפלגות של החומר על פני הציר או מומנט של מסה. נגזור מומנטים לפי הזמן
M האינטגרל שווה ל- בזכות ההנחה על הפונקציה ההתחלתית ובגלל העובדה שצייננו לעיל ש- מתנהגת בקצוות בדומה ל-. מכאן.M ons כלומר המסה נשמרת. כפי שזכור את משוואת דיפוזיה קיבלנו בהנחה על כך שמסה נשמרת על כן התוצאה הזאת לא מפתיעה במיוחד אלא משמשת יותר לבדיקה שבתהליך הפישוט שבאמצעותו M לא נשמרת הגענו למשוואת דיפוזיה לא הפסדנו את התכונה הזאת כלומר לו הייתה מתקבלת תוצאה ש- היינו חייבים לבדוק את תהליך קבלת המשוואה מחדש. נדון בהתנהגות של M. M מכאן שמיקום של מרכז הכובד של המסה נשמר בתהליך דיפוזיה. זאת תוצאה מעניינת שלא ניתן היה לנחש M n n n n n 3 n אותה מהמשוואה עצמה. באופן כללי n n + n n 3 n n n M n M M M M M + M כך שעבור המומנט השני מתקיים כלומר מידת הפיזור של החומר עולה עם הזמן: הענן ההתחלתי של החומר מתפזר כך שתהליך הדיפוזיה בלתי הפיך: אם נתחיל מהתפלגות החומר בזמן כלשהו ונעקוב אחרי התהליך אחורה בזמן נקבל בשלב מסוים * שכל המסה מתרכזת בנקודה אחת * M; אחרי הזמן הזה לערך אין משמעות כי הרי צפיפות לא יכולה להיות שלילית. ג' נניח שבתחילת התהליך ל- היה ערך אקסטרמאלי מינימום או מקסימום מקומי בנקודה ; נדון במקרה של. '' < המקסימום. כידוע בנקודת מקסימום מתקיים נניח שהנגזרת ממש קטנה מ- מסתבר שההנחה הזאת לא משנה את הכלליות של המסקנה שנגיע אליה. אם נציב את הנתון הזה למשוואת דיפוזיה נקבל ' ' < כלומר הערך של יורד עם הזמן. בדרך דומה אפשר לראות שבנקודת המינימום הערך עולה עם הזמן. כל נקודת זמן בתהליך אפשר לבחור כנקודה התחלתית ולקבל מסקנה דומה. אקסטרמום "נבלעות". כלומר תהליך דיפוזיה מאופיין בזה שנקודות
נעבור לדיון בפתרון של בעיית ההתחלה. כאשר דננו בפתרון של משוואת גלים אי-הומוגנית הדגמנו הצגות שונות של השפעה חיצונית באמצעות פירוק של הגורם המייצג את ההשפעה הזאת לאלמנטים בסיסיים. ראינו שבדרך הזאת את הגורמים המייצגים השפעות חיצוניות אפשר להכניס לתוך המשוואה בשתי דרכים שונות: בתור גורם אי-הומוגני או כתנאי שפה. בהקשר של משוואת דיפוזיה גם פתרון של המשוואה הומוגנית על כל הציר כלומר ללא תנאי שפה נוח להציג באמצעות פתרונות בסיסיים אשר כל אחד מהם אפשר לפרש כמקור רגעי של חומר או של ח םו כלומר פיזור של חומר בריכוז כלשהו ברגע התחלתי של התהליך. כדי להגיע לפתרונות האלה נתחיל את הדיון בבעיה פיסיקלית הבאה: נתונים שני כלים צרים שאורכם אינסופי לכיוון אחד כל אחד לכיוון אחר ומחוברים ביניהם בקצוות הסופיים בנקודה.. בתחילת התהליך בכלי הימני נמצא חומר כלשהו בריכוז אחיד < C ואילו הכלי השמאלי ריק מהחומר הזה. הכלים מופרדים על-ידי מחיצה אשר נפתחת ברגע. יש למצוא את האופן שבו החומר מתפזר עם הזמן. < C > X הערה. בהקשר של חום אפשר לדבר על שני מוטות הבנויים מאותו חומר מעביר חום. שני המוטות אינסופיים לכיוון אחד כל אחד לכיוון אחר ומחוברים ביניהם בקצוות הסופיים בנקודה.. בתחילת התהליך המוט הימני נמצא בטמפרטורה אחידה < C ואילו המוט השמאלה בטמפרטורה. מבחינה מתמטית הבעיה הזאת מתורגמת לבעיית התחלה הבאה C DC > - < < < C C > הפתרון מבוסס על השיקול של מימד יסיקלי של הגורמים המופיעים במשוואה. שימוש במימדים פיסיקליים למציאת צורת הפתרון של משוואות מתמטיות הוא כלי חשוב בניתוח של מד"חים! משתנה חסר מימד יכול להיות תלוי במשתנים ממדיים רק כקומבינציות חסרות ממדים כי ערך חסר מימד הוא פשוט מספר ואילו ערכים ממדיים תלויים בקנה מידה שנבחר. ניתן ל- C פירוש של ריכוז חומר כלשהו ליחידת אורך. נדון במימד של הגורמים המופיעים במשוואה שלנו. נסמן ב- M יחידות מסה ב- L יחידות אורך וב- T יחידות זמן. נקבל [C]M/L; []L; []T [C ]M/LT; [C ]M/L 3 [D][C ]/[C ]L /T נעבור לניסוח הבעיה ללא ממדים. נגדיר C/C עבור נקבל משוואה
המשתנה הוא < D > פונקציה חסרת ממדים של משתנים בעלי ממדים לכן צריכה להיות קומבינציה חסרת ממדים של המשתנים האלה כך ש- היא פונקציה של הקומבינציה הזאת. הייחודיות של תנאי התחלה שבחרנו היא שאין בו שום פרמטר מאפיין את הבעיה אשר יש לו מימד של אורך. לכן הפתרון יכול להיות תלוי רק ב- D ובמשתנים ו- המרכבים ביחד קומבינציה חסרת ממדים. תכונות ספציפיות של תנאי התחלה שבחרנו לא יכולות לבוא לידי ביטוי בקומבינצית המשתנים שאנו מחפשים. הערה. השיקול הזה מבוסס על הנחה שבעיה עצמה לא טומנת בחובה קנה מידה של מרחב או זמן אשר לא בא לידי ביטוי באופן מפורש בניסוח הבעיה. היא חדש D כפי שראינו המימד של D הוא L T/ הקומבינציה חסרת ממדים היחידה שכוללת את D ו- שאפשר לקבל. על כן משיקולים ממדיים אנו רואים ש- היא פונקציה כלשהי של הקומבינציה הזאת. נגדיר משתנה z D ונחפש.Uz היתרון של הצורה הזאת היא שהפתרון מתואר באמצעות פונקציה של משתנה יחיד z ולא של שני משתנים וכך במקום מד"ח נקבל מד"ר. הערה. המקדם שמופיע במכנה נבחר משיקולי נוחות הפיתוח בהמשך. מתקיים z U z U ' U ' D 3 ; z U z U ' U ' ; D U z z U ' D z U '' D z U '' D U ' D 3 נציב את הביטויים האלה במשוואה: U '' D D U ' U '' U'' zu ' D נתייחס לתנאי התחלה. עבור כל < כאשר נקבל z. לכן > limu z z עבור כל > כאשר נקבל - z. לכן < lim U z z ובכן נפתור את המד"ר שקיבלנו עם תנאי שפה האלה. נסמן VU' ונקבל מד"ר
V'-zV שפתרונו V z A z ומכאן מקבלים z U z A z lim U מקבלים z s s + B מהתנאי z lim U מקבלים.B מהתנאי z A s s כדי למצוא את A נחשב את האינטגרל שמופיע באגף שמאל של השוויון הזה I y y + y I y y y נעבור לקואורדינאטות קוטביות: ρ +y ϕargy/ yρρϕ כך שנקבל I + ρ y ρ y ϕ ρρ ϕ ϕ לכן -/.A s s על כן ובכן U z z s s - עד דרך אחרת לרשום את הנוסחה הזאת היא לפרק את האינטגרל לאינטגרל מ- ולאינטגרל שהגבול התחתון שלו הוא. משיקולי סימטריה של הפונקציה מתחת לאינטגרל מקבלים s s s s על כן U z U z z s s + z s s האינטגרל באגף ימין היא הפונקציה חשובה בתחומים שונים של מתמתיקה אשר נקראת פונקצית השגיה fnion.rror לפונקציה הזאת יש סימון מיוחד
s rf z s z נחזור למשתנים המקוריים ו- הערה. לפי הנוסחה הזאת עבור כל < מתקיים ונקבל Uz + rf D././ התחלה בנקודה בודדת. כדי להתאים את הפתרון הזה לתנאי התחלה נקבע אנו יכולים להרשות לעצמנו לעשות כן כי מבחינה פיסיקלית אין משמעות להגדרה של תנאי נתבונן על התנהגות של הפונקציה כאשר גדל. המדרגה "נמרחת" יותר ויותר ראה איור. >>3 / 3> > > עבור הפונקציה לא רציפה ואילו עבור כל < הפונקציה לא רק רציפה אלא אנליטית כלומר גזירה אינסוף פעמים. נבין את העובדה הזאת מתורת האופיינים. כפי שלמדנו אי-רציפויות יכולות להיכנס לתחום הפתרון רק באמצעות האופיינים. למשוואה פארבולות יש משפחה אחת של אופיינים. האופיינים הם מהצורה תחום הפתרון שלנו ניצב לאופיינים ולכן אי-רציפויות לא יכולות להיכנס לתחום הפתרון..ons נשים לב שאם פותר משוואת חום אז גם w מקיים את אותה משוואה: w -Dw -D -D ובפרט אם הוא פתרון של הבעיה שפתרנו זה עתה אז גם D D פותר את משוואה. מפאת חשיבותה לפונקציה הזאת יש סימון מיוחד: D E D
lim E E lim E E D מתקיים ואילו עבור לכן > כלומר הפונקציה E מקיימת תנאי התחלה > E או.Eδ בנוסף עבור כל < מתקיים E ולכן lim E אם נגדיר E נקבל ש- E היא פונקצית דלטא שפגשנו בקורס מד"רים בהקשר של הצגה של אימפולסים רגעיים Eτδ עבור D δ והשפעתם על מערכות פיסיקליות. ובכן מצאנו פתרון לבעיית התחלה הבאה נמשיך את הדיון בהקשר של משוואה מנורמלת כך ש- D את זה עושים על-ידי נירמול המשתנים. נגדיר τ G τ E τ τ כלומר הפונקציה G פותרת בעיית התחלה כאשר תנאי התחלה הוא נתון בצורת δ -פונקציה נקודות וזמני התחלה τ שונים. הפתרון של בעיית התחלה כללית על כל הציר ניתן להציג כסכום אינטגרל של הפתרונות עבור מקורות רגעיים בהמשך נראה שבתנאים שבדרך כלל מתקיימים בבעיות פיסיקליות הפתרון הזה הוא יחיד.
המשמעות האינטואיטיבית של הפתרון הזה בהקשר של דיפוזיה: בזמן כל נקודה במרחב משמשת כמקור לחומר כלומר בה משתחרר החומר אשר עוצמתו היחסית בנקודה נתון על-ידי תנאי ההתחלה. הפתרון מתאר שינויים של פיזור החומר במרחב עם הזמן והוא מתקבל כסופרפוזיציה של הפתרונות האלמטנריים האלה. כדי להוכיח נכונות הפתרון יש להציב אותו במשוואה ולראות שהפתרון מקיימת את תנאי ההתחלה: אכן מקיים את המשוואה. נוודא ש- lim δ הפתרון הזה נקראה פתרון באמצעות אינטגרל.Poisson קיימים שני הבדלים עקרוניים בין משוואת חום ומשוואת גלים בהקשר של התפשטות המידע ההתחלתי: א' בניגוד לפתרון של משוואת גלים שבה הפתרון מתפשט במהירות סופית כאן יש שינויים מיידיים לאורך כל המרחב כלומר המידע מתפשט במהירות אינסופית. התכונה הזאת נובעת מהתנאי שהתבססנו בו כדי לקבל את משוואת חום ממשוואת המברקן: התנאי היה שהזנחנו את הגורם שמבטא את האינרציה של המערכת. הרי אינרציה היא זו שמונעת מהירויות אינסופיות. ב' כפי שראינו בניגוד לפתרון של משוואת גלים הפתרון של משוואת חום הוא בלתי הפיך: אם ניקח את הפתרון החלק שמתקבל עבור > כמצב התחלתי וננסה לפתור אותה "חזרה" אז עבור הזמן מדרגה או פונקצית דלטא. לא נוכל להמשיך את הפתרון אחורה מעבר לזמן דלטא הן סינגולריות ולכן היא לא מהווה פתרון למשוואת חום. כי נקבל פונקצית פונקציות מדרגה ופונקציית הערה. את הפתרון לעיל מצאנו בהנחה של מקדם דיפוזיה או העברת חום D המופיע במשוואה פארבולית הוא קבוע. אין חשיבות עקרונית בהנחה הזאת: אם D תלוי בזמן אפשר לבטל את התלות הזאת על-ידי שינוי משתנה: D נגדיר משתנה חדש :τ τ D s s כיוון שבכל מקרה כך ש- היא פונקציה חד-ערכית של τ D> נקבל τ D τ τ τ בעיית שפה\התחלה על חצי ציר
מבחינה פיסיקלית המשמעות של דיון בבעיה על חצי ציר היא שמחפשים פתרון לדוגמה התפלגות טמפרטורה במוט ליד אחד מהקצוות ובטווחים של זמן שהשפעתו של הקצה השני זניחה. כמו במקרה של משוואת גלים נדון בשני סוגים של בעיות שפה: :Dirihl א' סוג ראשון - ב' סוג שני - בעיית בעיית f כלומר בקצה יש שליטה בטמפרטורה או בצפיפות. f :Nmann כלומר בקצה יש שליטה בשטף של טמפרטורה או של חומר. א' בעיית.Dirihl נתחיל במשוואה הומוגנית עם תנאי שפה הומוגני << בדומה למה שעשינו בפתרון של משוואת גלים על חצי ציר נפתור את הבעיה הזאת על-ידי השלמת תנאי התחלה אל הציר כולו תוך צמצום של הבעיה הנתונה לבעיית התחלה שכבר פתרנו. כדי למצוא את האופן המתאים שבו יש להשלים את תנאי התחלה נחזור לנוסחה הפותרת את בעיית ההתחלה ונרשום אותה באופן + + +. -- שונה במקצת עבור נקבל התנאי הזה מתקיים אם עבור כל >> מתקיים באופן אי-זוגי: על כן את השלמת תנאי התחלה יש לעשות --. w w -<< ww ובכן קיבלנו בעיית התחלה הבאה: w < הנה פתרון של הבעיה הזאת w w + + + נגדיר
+ G תארקנ תאזה היצקנופה תיצקנופ.ןושאר גוסמ הפש יאנתל Grn םושרל רשפא ןורתפה תא םישדחה םיחנומב ךכ G אוה יתלחתהה ןמזה רשאכ יללכה הרקמב τ -כ תרדגומ ןירג תיצקנופ τ τ τ + τ G אוה ןורתפהו τ G.המגוד חיננ העובק תיבויח איה תיתלחתהה היצקנופהש >.העובק הרוטרפמטב אצמנ טומה ונא יאנתה םייקתמ טומה לש הצקבש ללגבש םיפצמ ךרע לש תדמתמ הדירי היהת -ל הווש הרוטרפמט היצקנופה הרוטרפמטה.טומה ךרואל.דרוי היצקנופה ךרע ובש ןפואה תא ראתמ ונאצמש ןורתפה + + םישדח םינתשמ סינכנ היצרגטניא ךרוצל y z ; + לבקנ + y y z y y y z y וא rr 'ב תייעב.Nmann.ריצה לכל תיגוז המלשה םיעצבמ הזה הרקמב
< w w לש תרזגנ הז יאנתבש חיכוהל קיפסמ הז תא תוארל ידכ הדוקנב תספאתמ ןורתפה תיצקנופ. ןכבו 3 w w תיגוז-יא איה לרגטניאל תחתמ היצקנופה יכ -ש ללגב.תיגוז איה w אוה ןורתפה םג הזה הרקמב היצקנופ.תיגוז + + רובע ןותנ הלחתה יאנת םא.τ תא םירידגמ אבה ןפואב ןירג תיצקנופ + + τ τ τ τ G אוה ןורתפהו τ G עטק לע הלחתה\הפש תייעב ןודנ םיינגומוה הפש יאנת םע עטקב תרדגומה תינגומוה םוח תאוושמב << > לש ןורתפב ןודנ.םינתשמ תדרפה לש הטישב תאזה היעבה לש ןורתפב ןודנ הרוצב ןורתפ שפחנ XT XT -ב קלחנו האוושמה ךותל תאזה הרוצה תא ביצנ לבקנ T'/TX''/X לש היצקנופ אוה לאמש ףגא דבלב לש היצקנופ אוה ןימי ףגא דבלב.עובקל םיווש םיפגאה ינש ןכל T'/T X''/X תואוושמ לבקנ T'+T; X''+X רובע האוושמה תא.ילוברפיהה הרקמב םינתשמ תדרפה לש הטישב וננד רשאכ ונרתפ X אוה -ש וניאר םש הרוצהמ k
כך ש- X sin k k... אך הפתרון עבור T ייראה אחרת: Tp-k k k k ak sin k והפתרון הכללי כאשר הביטוי עבור a k זהה לזה שהיה במקרה ההיפרבולי: a k sin k הערה. כדי להשלים את הוכחה של נכונות של פתרון צריך להראות שנגזרות של הטור המופיע באגף ימין של המתאימות ל- ו- מתכנסות במידה שווה. נקבל את העובדה הזאת ללא הוכחה. נראה איך אפשר להציג פתרון באמצעות סכום של השפעות של מקורות רגעיים כפי שהפתרון הוצג במקרים של בעיית התחלה על ציר אינסופי ושל בעיית שפה\התחלה על חצי ציר. לשם כך נכניס את הביטויים המפורשים של המקדמים a k לתוך נוסחה ונחליף סדר בין אינטגרציה וסכום: k k ak sin k k sin k k sin k k k sin k sin k הערה. להצדקת ההחלפה של סדר בין אינטגרציה וסכום יש להוכיח שהטור בסוגריים מרוביים מתכנס במידה k שווה עבור כל <. נסמן נקבל את העובדה הזאת ללא הוכחה. k τ G τ sink sink הפונקציה הזאת נקראת פונקצית גרין. במונחים של פונקצית גרין את הפתרון אפשר לרשום כך G נדון במשמעות הפיסיקלית של פונקצית גרין. נניח שהפונקציה ההתחלתית היא פונקצית דלטא δ נציב את הפונקציה הזאת לנוסחה נקבל
G δ G כלומר פונקצית גרין מתארת השפעה של מקור רגעי של חום או חומר הנמצא ברגע ההתחלתי בנקודה על הנקודה בזמן תוך שמירה על תנאי שפה כלומר שהטמפרטורה או צפיפות החומר בקצוות היא לאורך כל התהליך. דרך אחרת להגיד את אותו הדבר: המשמעות של G זה התפלגות הטמפרטורה או חמר בקטע >> אם בתחילת התהליך כל הקטע היה בטמפרטורה או ללא החומר הנדון ובנקודה פעל מקור חום או חומר רגעי כאשר לפי תנאי שפה הטמפרטורה בקצוות היא לאורך כל התהליך. נשווה בין הפתרון הזה לפתרון של משוואת גלים שקיבלנו באותה שיטה. ההבדל בין פתרון למשוואה חום ומשוואת גלים הוא שעבור משוואת גלים אמפליטודה של הגל העומד מבצעת תנודות ואילו במקרה של משוואת חום היא דועכת עם הזמן. כזכור שתי המשוואות הן מקרים פרטיים של משוואת מברקן אשר מזניחים בה אחד מהגורמים. על כן את המעבר בין שני המקרים אפשר להבין על-ידי פתרון של משוואת מברקן משוואת גלים עם חיכוך תוך הגדלה של חיכוך ביחס למקדם אינרציה מסה. כלומר נדון במשוואה ρ +β w << > כאשר β נקבל משוואת גלים כאשר ρ נקבל משוואת חום. המשוואה עבור T המתקבלת ממשוואת המברקן היא * ρt''+ βt'+ k T הערה. שימו לב שהמשוואה הזאת מתארת התנהגות של מתנד ליניארי עם חיכוך שדננו בה כאשר פיתחנו את המד"ח המתאר התנהגות של תנודות אורכיות בטווח אלסטי. r r אשר פתרונה הוא צירוף ליניארי של שני פתרונות בסיסיים כאשר r ו- r הם פתרונות של המשוואה האופיינית של * ρr β ± k + βr + k r β ρ ρ בהתאם לערכים של הפרמטרים השורשים עשויים להיות מספרים מרוכבים צמודים עם חלק משי שלילי או ממשיים שליליים. ו- β ρ א' נדון בשני מקרים קיצוניים כאשר אחד משני הפרמטרים המופיעים במשוואה השני. קטן בהרבה מהפרמטר נניח ρ>>β בהנחה הזאת קיבלנו את משוואת גלים r β ± β ρk ρ β ± ρk ρ β ± ρki ρ ± ki ρ אם ρ נקבל
T a sin k + b osk k... k נסמן >>ρ/β k כפי שאכן קיבלנו בפתרון של משוואת גלים. ב' המקרה של משוואת חום מתקבל אם β>>ρ נקבל [ ± ] β ± β ρk β ± β k r k ρ ρ r התנהגות של פתרון תלויה ב יחס בין k ל- : << k ואז [ ± k ] ± [ ] k עבור ערכי k קטנים נקבל כך ש- r k ; r + k r לפי ההנחה << לכן שואף ל- מהר עם גידול של ולכן הפתרון הזה זניח על כן נשאר הפתרון.k >> האחר שמצאנו ישירות בפתרון של משוואת חום לעיל. נראה התנהגות של הפתרון עבור k -ים גדולים אשר עבורם במקרה הזה נקבל r ik [ ± k ] ± כלומר עבור תדירויות k -ים גדולים הפתרון דועך בקצב אחיד ושואף ל- מהר עם גידול של תוך תנודות עם.k/ התופעה הזאת כמובן נעלמת כאשר מניחים מראש ρ על כן לא גילינו אותה בפתרון של משוואת חום. בעיית שפה\התחלה אי-הומוגנית עם תנאי שפה לא הומוגניים בקטע השיטה לפתרון דומה לזו עבור משוואת גלים: עיקרון דואמל. נדגים את הפתרון עבור קטע אך השיטה הזאת מתאימה גם עבור ציר כולו וחצי ציר. +f << f f > נדון בעיית Dirihl נפתור תחילה בעיית עזר שהיא פתרון משוואה אי-הומוגנית עם תנאי שפה ותנאי התחלה הומוגניים v v +f << vv > v ρ τ τ פתרון בעיית עזר. נחפש את הפתרון בצורה כאשר ρ הוא פתרון של הבעיה
ρ ρ << ρτρτ ρττfτ >τ הוכחה של נכונות הפתרון הזה לבעיית העזר היא על-ידי הצבה ישירה. הערה. עבור הבעיה בקטע אפשר למצוא פתרון גם באמצעות פיתוח של הפונקציה f לטור פורייה אך השיטה הזאת לא תתאים עבור תחום אינסופי כגון ציר או חצי ציר ואילו הפתרון שהצגנו עובד בכל מקרה. נחזור לבעיה עם תנאי שפה והתחלה אי-הומוגניים. -f +f +w נחפש את הפתרון בצורה המטרה של שני הגורמים הראשונים באגף ימין היא להתאים את הפתרון לתנאי שפה כך ש- w הוא פתרון של הבעיה עם תנאי שפה הומוגניים: נסמן w w +f - -f ' - f ' ww w f - -f - f f*f - -f ' - f '; w f - -f - f במונחים האלה הבעיה עבור w היא כדלקמן w w +f* ww ww את הפתרון של הבעיה הזאת נחפש כסכום של של פתרון של שתי בעיות ww +w כאשר w הוא פתרון של משוואה הומוגנית עם תנאי התחלה אי-הומוגני w w w w w w ו- w הוא פתרון של משוואה אי-הומוגנית עם תנאי התחלה הומוגני. w w +f* w w w אנו יודעים לפתור את שתי הבעיות האלה. על כן פתרנו את הבעיה הכללית. דוגמה. נתונה בעיית שפה\התחלה על חצי ציר D << > נמצא זמן שעבורו ערך הפתרון בנקודה שווה ל- פתרון. קודם כל נבצע נרמול של הזמן כדי להיפתר מהמקדם: נקבל נגדיר./ τd τ << τ> v+ עבור v מתקיים v τ v v- << τ> v
לבעיה הזאת יש לנו פתרון v + את האינטגרל באגף ימין מחלקים לשני אינטגרלים ומחשבים כל אחד מהם על-ידי הצבות: s ; s + נקבל s s s v s s s + s s כדי לענות על השאלה יש לפתור משוואה s s + + s s s s s s כאשר הנעלם הוא. את המשוואה הזאת פותרים בשיטה נומרית. עיקרון המקסימום << > f f.f f נדון בבעיה בקטע כאשר מתקיים מטרתנו להראות שפונקציה הפותרת את הבעיה הזאת מקבלת את הערך המקסימאלי או על השפה או כערך התחלתי כלומר לא בתוך תחום הפתרון אלא אם כן הפתרון הוא קבוע על כל התחום. הטענה הזאת נקראת עיקרון המקסימום עבור משוואת חום. אותה טענה נכונה גם לגבי הערך המינימאלי. ' Ω Ω נבחר זמן כלשהו ' נקרא למלבן התוחם את הקטע [] בין הזמן ל- ' Ω. נקראה לשפה של התחום מורכבת משלוש צלעות של המלבן לא כולל את הצלע האופקי העליון Ω. נסמן M ma Ω נוכיח את עיקרון המקסימום בדרך השלילה. נניח בשלילה לטענה שקיימת נקודה Ω שבה הפונקציה מקבלת ערך מקסימאלי: M+ε כאשר M זה הערך המקסימאלי של הפונקציה על השפה. במקרה כזה לגבי הנגזרות לפי מתקיים
< אז > ' ואם אז <' > ואילו לגבי נגזרת לפי אם בגלל המשוואה ש- מקיימת האפשרות היחידה שיכולה להתקיים בנקודה כלומר בכל מקרה היא vy+k - k> v M+ε v Ω Ω + k -; k - <k' v Ω Ω + k -<M+ε/ גדול מהמקסימום על השפה: נגדיר פונקצית עזר לפי הגדרה של הפונקציה הזאת מתקיים נבחר.kε/' אז על כן עבור הפונקציה v מתקיים גם כן שהערך שלה בנקודה v M+ε> M+ε/ מכיוון ש- v פונקציה רציפה היא מקבלת ערך מקסימאלי בנקודה כלשהי בתוך התחום Ω או על השפה שלו. את האפשרות השנייה שללנו על כן קיימת נקודה Ω כך שבה אז בנקודה הזאת מתקיים בה הפונקציה v מקבלת ערך מקסימאלי. v v < v > באותה נקודה עבור מתקיים v < v -ε/'> כי >ε/'> AND < כלומר בנקודה הזאת לא מקיימת את המשוואה הגענו למסקנה שבנקודה משוואת חום לא מתקיימת בתחום Ω. הערות. א' באותה הדרך אפשר להוכיח שבתוך Ω לא קיים מינימום של בסתירה להנחה ש- היא פתרון של משוואת חום. ב' הוכחנו עיקרון המקסימום החלש אשר קובע שמקסימום מבודד לא יכול להתקיים בתוך התחום. עדיין קיימת אפשרות שמקסימום מתקבל בתת-תחום שלם בתוך Ω. המקסימום החזק. לא נוכיח את העיקרון הזה. השלילה של האפשרות הזאת נקראת עיקרון שימושים בעיקרון מקסימום א' נשתמש בעיקרון מקסימום כדי להוכיח יחידות פתרון של בעיית.Dirihl v פותרת.v -. ו- הוכחה היא בדרך השלילה. נניח קיימים שני פתרונות שונים נגדיר הפונקציה משוואת חום עם תנאי שפה והתחלה הומוגניים:
v v vv v לפי הנתון ערך של v על השפה הוא ובפרט הערך המקסימאלי שלה הוא לכן לפי עיקרון המקסימום בכל תחום Ω. הערה. ההוכחה הזאת שרירה גם עבור הפותרת משוואת חום לא הומוגנית. v ב' משפט השוואה נדון בשתי בעיות שפה\התחלה שונות מאותו סוג במקביל כך שעל Ω << > f f << > f f < כלומר מתקיים אז בכל התחום Ω מתקיים אי-שוויון חזק הוכחה. נדון ב- < < < <.v - v הפונקציה לא יכולה לקבל ערך חיובי על השפה כלומר המקסימום שלה על השפה ו- מוגבל מלמעלה על-ידי ולא שווה ל- באופן זהותי כי הרי לפי הנתון פותרות בעיות שפה\התחלה שונות. לפי עיקרון המקסימום בתוך התחום הפונקציה v לא יכולה לקבל ערך מקסימאלי ולכן היא שלילית בתוך התחום הזה. ג' משפט היציבות. אם על Ω מתקיים אז האי-שוויון הזה מתקיים בכל התחום Ω. - <ε הוכחה. נדון בשלוש בעיות שפה\התחלה שהפתרונות שלהן הטענה מתקבלת באופן מיידי לפי משפט השוואה. v - ; v ε; v 3 -ε ד' יחידות של פתרון בעיית התחלה על ציר אינסופי. טענה. אם היא פונקציה חסומה אז לבעיית התחלה עבור משוואה חום חד-ממדית קיים פתרון יחיד. הוכחה. יהיו ו- שני פתרונות של אותה בעיית התחלה. נניח שהפתרונות חסומים כלומר קיים שעבור כל >>- וכל מתקיים M. הפתרונות חסומים מלמעלה על-יד < נגדיר <M כך v - v v - < - <M
בניגוד למקרה של קטע כאן אי-אפשר להשתמש ישירות בעיקרון המקסימום כי התחום לא חסום והפונקציה ומספר שרירותי ε> עשויה להשתנות בלי להגיע לערך מקסימאלי. נראה שבהינתן נקודה שרירותית מתקיים. v <ε נחלק את ההוכחה לשני חלקים v <ε; v >-ε.. <L ונדון בתחום <L כך ש- L> נבחר ערך נשים לב שהפונקציה M V + L בנוסף.V±L>M פותרת את משוואת החום אפשר להיווכח בזה על-ידי הצבתה בתוך המשוואה. ובכן נתקיים V>v; V±L>M>v±L לכן לפי עיקרון המקסימום בתחום <L מתקיים v M L + נבחר בהינתן <ε ונקודה L M + ε > נקבל.v <ε מש"ל הוכחה זהה במקום עיקרון המקסימום יש להשתמש בעיקרון המינימום. הערות. א' התוצאה הזאת נובעת מהתכונה הבאה של פרבולה: y <ε ראה אם נתייחס למשפחה של פרבולות ya ונקבע את עבור כל אז <ε אפשר למצוא a כך ש- איור.
y ya ya a<a ya3 a3<a ב' שימו לב שבהוכחה לא היינו זקוקים להשתמש בצורת הפתרון שמצאנו קודם. ג' למעשה הדרישה ש- היא פונקציה חסומה היא דרישה חמורה מדי. נביא ללא הוכחה משפט מקל יותר על התנהגות של. לבעיית התחלה עבור משוואת חום חד-ממדית קיים פתרון יחיד אם קיימים קבועים ו- <α. < α כך שכאשר מתקיים אי-שוויונים ריבועיים נפתח סדרה של אי-שוויונים שימושיים התקפים עבור בעיית שפה\התחלה מסוג כלשהו על קטע. נכפיל את משוואת חום ב- ונבצע אינטגרציה מ- עד : ; באגף שמאל אפשר להחליף סדר של גזירה ואינטגרציה כי הגזירה היא לפי ואינטגרציה לפי את האינטגרציה של אגף ימין נבצע לפי חלקים נקבל קיבלנו פונקציה אי-שלילית של זמן כפונקציה של. שלא יכולה לגדול. הפונקציה הזאת קטנה כל עוד איננו קבוע זהותי נכפיל את משוואת חום ב- ונבצע אינטגרציה מ- עד : נבצע אינטגרציה של אגף שמאל לפי חלקים נקבל - -
אם בקצה מתקיים תנאי Nmann אז באותו קצה ; על כן בכל מקרה הגורם הראשון באגף ימין מתאפס. ובכן קיבלנו אם בקצה מתקיים תנאי Dirihl אז באותו קצה איננו קיבלנו פונקציה אי-שלילית של זמן שלא יכולה לגדול. הפונקציה הזאת קטנה כל עוד פונקציה ליניארית של..Nmann n n 3 בדרך דומה אפשר לקבל שעבור כל n מתקיים נשתמש באי-שוויון הראשון כדי להוכיח יחידות הפתרון של בעיית בין שני פתרונות v מקיימת במקרה הזה פונקצית ההפרש v v v << > v v מהאי-שוויון הריבועי הראשון נקבל שהנגזרת של v לא עולה לכן היא שווה לאפס באופן זהותי. על כן v v v אסימפטוטיקה של פתרונות של משוואת חום לזמנים ארוכים א' בעיית התחלה נחזור להנחה שהנחנו בדיון על מומנטים: עבור כל <α כאשר קיים קבוע < כך ש- < α ונשאל איך מתנהג הפתרון כאשר. הרי ראינו שהמסה מתפזרת על כל הציר לכן בכל נקודה עם הזמן הפתרון שואף לאפס. נראה את ההתנהגות הזאת בצורה מדויקת יותר כלומר באיזה אופן הפתרון שואף לאפס. $ + +... או באינטגרל מצד ימין של $ יופיעו מומנטים של תנאי התחלה מכל הסדרים. M + M M + O
אם נשאיר רק את האיבר הראשון בסכום באגף ימין נקבל פתרון לבעיית התחלה כאשר כל החומר מסה M בהתחלה מרוכז בנקודה אחת. האיברים הנוספים בסכום הזה נותנים תיקונים לפתרון הזה הנובעים מהפיזור ההתחלתי של המסה. כפי שרואים מהמשוואה שקיבלנו התיקונים האלה דועכים עם הזמן הרי בכולם מופיע במכנה. ובכן אם מדובר בכמות סופית של החומר אז עבור זמן גדול מספיק ההתפלגות ההתחלתית של החומר לא חשובה והפתרון דומה לזה שואף שהיה מתקבל כאשר כל החומר בהתחלה מרוכז בנקודה אחת המזוהה עם מרכז הכובד של המסה במשך כל התהליך..Nmann ובעיית Dirihl ב' בעיית שפה\התחלה בקטע יש הבדל מהותי בתכונות הפתרון האסימפטוטי בין בעיית +f << f f > א' בעיית Dirihl מסתבר שאם קיימים הגבולות lim f F ; lim f F ; lim f F אז lim U U +F UF UF כאשר הפונקציה U היא פתרון של המד"ר שימו לב : הפתרון האסימפטוטי לא תלוי בתנאי ההתחלה. +f << f f > ב' בעיית Nmann מסתבר שבמקרה הזה הפתרון האסימפטוטי תלוי בתנאי התחלה ובמאזן כולל של מסה אם זה פירוש של בכל הזמנים. ליתר פירוט נדרוש בנוסף לקיום הגבולות lim f F ; lim f F ; lim f F גם f f + f M < הערה. התנאי הנוסף אומר שהפרש של השטפים דרך השפה שווה לכמות המסה שנכנסת למערכת. כי הרי כדי שיתקיים פתרון שלא משתנה בזמן דרוש המאזן הזה: אין מקורות חיוביים או שליליים של המסה בתוך תחום הפתרון. בתנאים האלה מתקיים lim U
כאשר הפונקציה U היא פתרון של המד"ר * U +F U F U F כי הרי בהצגה של הפונקציה U מופיע קבוע אינטגרציה A התלוי בפונקצית התחלה M וקבוע z ** U ' F s s U zf s s + F + A נחשב את הקבוע A. נגדיר M המשמעות של M היא המסה הכוללת בזמן. נבצע אינטגרציה על משוואת חום ובמונחים של M נקבל M ' f f + f M M + f s f s + f s s כאשר שואף לאינסוף מקבלים M M + f f + f U מכאן ומ- ** נקבל את A: U A + F z z F s s M + f s f s + f s s