Προαπαιτούμενες γνώσεις Ημιαγωγοί Θεωρία ζωνών Ενδογενής αγωγιμότητα Ζώνη σθένους Ζώνη αγωγιμότητας Προτεινόμενη βιβλιογραφία 1) Π.Βαρώτσος Κ.Αλεξόπουλος «Φυσική Στερεάς Κατάστασης» 2) C.Kittl, «Εισαγωγή στην Φυσική Στερεάς Κατάστασης» 1976. 3) Η.Ε. Hall «Solid Stat Physics» (J. Wily & Sons ), 1974. 4) S.M. Sz «Physics of Smiconductor Dvics» (J. Wily & Sons ), 1969. Περιεχόμενο της άσκησης Σ' έναν απόλυτα καθαρό ημιαγωγό οι συγκεντρώσεις των ηλεκτρονίων και των οπών είναι ίσες αφού η διαδικασία παραγωγής ενός ηλεκτρονίου στη ζώνη αγωγιμότητας δημιουργεί μια οπή στην ζώνη σθένους. Η αντίστοιχη αγωγιμότητα καλείται ενδογενής. Η ενδογενής αγωγιμότητα ενός κρυστάλλου ημιαγωγού μεταβάλλεται με τη θερμοκρασία. Σκοπός της άσκησης αυτής είναι ο υπολογισμός του ενεργειακού χάσματος του G από μετρήσεις ενδογενούς αγωγιμότητας σε διάφορες θερμοκρασίες. Κατόπιν, σύμφωνα με τα προβλεπόμενα από τη θεωρία, υπολογίζεται το ενεργειακό χάσμα Εg (0) του G. 5) Ν.W.Ashcroft, N.D.Mrmin, Solid Sytat Physics, (1976).
1. Εισαγωγή Μία από τις πιο σημαντικές ιδιότητες των στερεών είναι η ηλεκτρική τους αγωγιμότητα δηλαδή η απόκριση των ηλεκτρονίων τους σ' ένα εξωτερικά εφαρμοζόμενο ηλεκτρικό πεδίο. Σ' ένα κρυσταλλικό στερεό τα εξωτερικά ηλεκτρόνια των ατόμων {ηλεκτρόνια σθένους) είναι αυτά που παίζουν το σημαντικότερο ρόλο στον καθορισμό των ηλεκτρικών ιδιοτήτων του. Ας θεωρήσουμε για παράδειγμα ένα υλικό που κάθε άτομο έχει 4 ηλεκτρόνια σθένους που κάθε ένα το μοιράζεται με ένα από τα 4 αμέσως γειτονικά άτομα. Σε χαμηλές θερμοκρασίες τα ηλεκτρόνια αυτά είναι δέσμια και κατά συνέπεια δεν μπορούν να συνεισφέρουν στην αγωγιμότητα. Σε υψηλότερες θερμοκρασίες η θερμική ενέργεια που αποκτούν τα ηλεκτρόνια τα βοηθά να σπάσουν τους δεσμούς και έτσι να συμβάλλουν στην αγωγιμότητα. Όταν ένα ηλεκτρόνιο σθένους ελευθερώνεται τότε ένα κενό (οπή) δημιουργείται στην αντίστοιχη θέση (σχήμα 1). Αυτό το κενό μπορεί να πληρωθεί από ένα γειτονικό ηλεκτρόνιο σθένους με αποτέλεσμα η θέση του να μετατοπίζεται. Η οπή συμπεριφέρεται σαν "σωματίδιο " με αντίθετο φορτίο από εκείνο του ηλεκτρονίου. Υπό την επίδραση εξωτερικού πεδίου κινείται κατά φορά αντίθετη από εκείνη του ηλεκτρονίου και συνεισφέρει έτσι στην αγωγιμότητα. Σχήμα 1. Δισδιάστατη σχηματική αναπαράσταση ενός κρυστάλλου με τέσσερα ηλεκτρόνια (π.χ. G). Κάθε ηλεκτρόνιο σθένους το μοιράζονται δύο άτομα. Το σπάσιμο των δεσμών δημιουργεί ελεύθερα ηλεκτρόνια και οπές. Σ' αυτό το σημείο πρέπει να τονισθεί ένα σημαντικό συμπέρασμα της κβαντομηχανικής θεωρίας. Η ενέργεια ηλεκτρονίου κινουμένου σε περιοδικό δυναμικό όπως π.χ. στην περίπτωση ενός κρυσταλλικού στερεού δεν μπορεί να πάρει οποιεσδήποτε τιμές όπως συμβαίνει για τα ελεύθερα ηλεκτρόνια. Οι επιτρεπόμενες ενεργειακές στάθμες σχηματίζουν ζώνες οι οποίες χωρίζονται μεταξύ τους από περιοχές ενεργειακά απαγορευμένες. Ανάλογα με το ποσοστό κατάληψης των επιτρεπομένων ενεργειακών ζωνών (κυρίως των δύο υψηλότερης ενέργειας) και το εύρος των ενεργειακά απαγορευμένων περιοχών διακρίνουμε
εν γένει τα υλικά σε μονωτές, μέταλλα και ημιαγωγούς. Στην περίπτωση των ημιαγωγών τα ηλεκτρόνια σθένους σχηματίζουν μια ζώνη επιτρεπομένων ενεργειακών σταθμών, τη ζώνη σθένους. Η αμέσως επόμενη επιτρεπόμενη ζώνη καλείται ζώνη αγωγιμότητας και χωρίζεται από την προηγούμενη από μία ενεργειακά απαγορευμένη περιοχή εύρους Eσ καλούμενη 0 ενεργειακό χάσμα. ΟΙ δύο αυτές ζώνες σε θερμοκρασίες διάφορες του T 0 K δεν είναι κατειλημμένες πλήρως, και έτσι επιτρέπονται μεταβάσεις ηλεκτρονίων από την μία στην άλλη. Σ' έναν απόλυτα καθαρό ημιαγωγό οι συγκεντρώσεις των ηλεκτρονίων και των οπών είναι ίσες αφού η διαδικασία παραγωγής ενός ηλεκτρονίου στη ζώνη αγωγιμότητας δημιουργεί μια οπή στην ζώνη σθένους..η αντίστοιχη αγωγιμότητα καλείται ενδογενής. Η ενδογενής αγωγιμότητα ενός κρυστάλλου ημιαγωγού μεταβάλλεται με τη θερμοκρασία. Στην πράξη ένας ημιαγωγός δεν είναι τελείως καθαρός αλλά λόγω κυρίως του τρόπου παρασκευής του περιέχει διάφορες προσμίξεις ή άλλου είδους πλεγματικές ατέλειες. Το αποτέλεσμα είναι να διαταράσσεται η αυστηρή περιοδικότητα του κρυσταλλικού πλέγματος με συνέπεια να δημιουργούνται συνήθως επιπρόσθετες επιτρεπόμενες ενεργειακές στάθμες μέσα στο χάσμα. Τα ηλεκτρόνια σ' αυτήν την περίπτωση μπορούν να μεταπηδούν από τη ζώνη σθένους σε στάθμες μέσα στο χάσμα ή από τις στάθμες αυτές στη ζώνη αγωγιμότητας. Ο τύπος αυτός της αγωγιμότητας καλείται εξωγενής. 2. Υπολογισμός της ενδογενούς αγωγιμότητας σε ένα κρύσταλλο Η ένταση του ρεύματος των ηλεκτρόνιων που θα κυκλοφορήσει σε έναν κρύσταλλο, όταν εφαρμοστεί ένα ηλεκτρικό πεδίο E, δίνεται γενικά από τη σχέση : J nυ (1) όπου n η πυκνότητα, το φορτίο του ηλεκτρονίου και υ η μέση ταχύτητά τους κατά την κίνηση μέσα στον κρύσταλλο. Δεδομένου ότι στους ημιαγωγούς συνεισφέρουν στην αγωγιμότητα και οι οπές, ο τύπος γενικότερα γράφεται: J nυ p υ n (2) όπου p η πυκνότητα των οπών. Εάν τα ηλεκτρόνια ( και οι οπές) κινούμενα στο εσωτερικό του κρυστάλλου δεν αντιμετώπιζαν συγκρούσεις με τα ταλαντούμενα άτομα θα ίσχυε η εξίσωση m dυ E dt (3)
όπου E το εφαρμοζόμενο ηλεκτρικό πεδίο. Στην πραγματικότητα, λόγω συγκρούσεων, η μέση ταχύτητα που αποκτούν τα ηλεκτρόνια στο μέσο χρόνο τ που κινούνται μεταξύ δύο διαδοχικών συγκρούσεων βρίσκεται ότι είναι : υ τ m * Ε μ E (4) όπου m* είναι η ενεργός μάζα του ηλεκτρονίου. Το μέγεθος μ = τ/ m* καλείται ευκινησία του ηλεκτρονίου. Είναι ένα μέτρο της ικανότητας κίνησης των φορέων μέσα στον κρύσταλλο. Αντίστοιχα για τις οπές ισχύει υ h = μ h E. Λαμβάνοντας τώρα υπόψη τον νόμο του Ohm J = σ Ε καταλήγουμε ότι : σ nμ p μ h (5) Για να προσδιορίσουμε την αγωγιμότητα ενός ημιαγωγού είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε την πυκνότητα των ηλεκτρονίων (n) και των οπών (p) που υπάρχουν σ' αυτόν. Παρακάτω θα προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε την πυκνότητα των ηλεκτρονίων στη ζώνη αγωγιμότητας. Ανάλογα θα βρεθεί και η πυκνότητα των οπών στη ζώνη σθένους. Το πλήθος των ηλεκτρονίων dn στη μονάδα του όγκου που έχουν ενέργεια μεταξύ E και E+dE είναι ανάλογο της πυκνότητας των ηλεκτρονίων στην περιοχή αυτή. Αυτή ισούται με το γινόμενο της πυκνότητας N( των δυνατών ενεργειακών καταστάσεων στην περιοχή της ενέργειας E επί την πιθανότητα f 0 ( για την κατάληψη των καταστάσεων αυτών από ηλεκτρόνια. Αρα : dn f0( N( de (6) α) Η πυκνότητα καταστάσεων N ( Η πυκνότητα N( σαν συνάρτηση της ενέργειας E-E c, όπου E c είναι ο πυθμένας της ζώνης αγωγιμότητας, δίνεται από τον τύπο. 4 N( (2m ) 3/ 2 Ec 3 h (7) E 1/ 2 Αντίστοιχα η πυκνότητα των επιτρεπομένων καταστάσεων στην ζώνη σθένους είναι : 4π N( (2m ) 3/ 2 E 3 h v h E 1/ 2 (8)
όπου Ε ν η κορυφή της ζώνης σθένους. β) Συνάρτηση κατανομής Η πιθανότητα μία ενεργειακή στάθμη E να είναι κατειλημμένη από ένα ηλεκτρόνιο δίνεται από την συνάρτηση κατανομής Frmi-Dirac f 0( ( E E ) / KT 1 1 F (9) όπου ο δείκτης αναφέρεται σε κατάσταση ισορροπίας, k είναι η σταθερά του Boltzmann και E μία πολύ σημαντική παράμετρος καλούμενη ενέργεια στάθμης Frmi. Το σχ. 2 δείχνει την συνάρτηση κατανομής Frmi-Dirac για διάφορες θερμοκρασίες. Παρατηρούμε ότι για Τ=0 0 Κ η f( είναι 1 για όλες τις ενέργειες E<E F. Σχήμα 2. Η συνάρτηση κατανομής Frmi-Dirac -για διάφορες θερμοκρασίες. H πιθανότητα μία στάθμη να μην είναι κατειλημμένη από ένα ηλεκτρόνιο θα είναι : 1 (10) F 1 1 f 0 ( ( EE ) / KT Επειδή τώρα μια μη κατειλημμένη στάθμη από ηλεκτρόνιο στη ζώνη σθένους σημαίνει ότι η στάθμη είναι κατειλημμένη από μία οπή η παραπάνω σχέση είναι χρήσιμη για την εύρεση της πυκνότητας των οπών στη ζώνη σθένους. Σημειώστε ότι για στάθμες ευρισκόμενες περισσότερο από 3kT πάνω από τη στάθμη Frmi, η f 0 ( δίνεται κατά προσέγγιση από την σχέση :
f0 ( ( E EF ) / kt (11) που δεν είναι τίποτα άλλο από τη συνάρτηση κατανομής Maxwll-Boltzmann για κλασσικό αέριο σωματιδίων. γ) Πυκνότητα φορέων Βάσει της (6) η πυκνότητα φορέων στην ζώνη αγωγιμότητας θα είναι : n f0( N( de Λαμβάνοντας υπόψη τις σχέσεις (7) και (9) καταλήγουμε ότι : n ( EcEF ) / kt N c (12) όπου N c 2πmkT 2 2 h 3/ 2 Το Nc καλείται ενεργός πυκνότητα καταστάσεων στην ζώνη αγωγιμότητας. Ομοίως, για την πυκνότητα p των οπών σθένους βρίσκουμε : (13) Ev 1 f0( p N( de = N ( EF Ev ) / kt v (14) όπου N v 2πm hkt 2 2 h 3/ 2 (15) Το N ν καλείται αντίστοιχα ενεργός πυκνότητα καταστάσεων στην ζώνη σθένους. Παρατηρούμε ότι το γινόμενο np είναι : np N c N v ( E E ) / kt C v ~ T 3 Eg/ kt όπου E g =E c -E v το ενεργειακό χάσμα του ημιαγωγού. Σε ένα καθαρό ημιαγωγό ισχύει n=p οπότε n ~ T 3/ 2 Eg/ 2kT (16) Τα ενεργειακά χάσματα στους ημιαγωγούς ελαττώνονται καθώς αυξάνεται η θερμοκρασία. Αυτό είναι συνέπεια των πλεγματικών ταλαντώσεων οι οποίες προφανώς επηρεάζονται από την θερμοκρασία T 0.
Η στατιστική μηχανική μας βοηθά στην μελέτη αυτής της μεταβολής. Αποδεικνύεται ότι : E ( T ) E (0) βτ g g (17) Σε υψηλές θερμοκρασίες β 410 4 Vk -1. δ) Ενδογενής αγωγιμότης Η συμπεριφορά των ηλεκτρονίων (ή οπών) παρουσία εξωτερικών πεδίων μπορεί να μελετηθεί αναλυτικά με την βοήθεια της εξίσωσης Boltzmann. Εάν f( r, υ) συνάρτηση κατανομής, προκύπτει, ότι : f t υ grad r f a grad υ f f t c (18) όπου a η επιτάχυνση που προκαλεί το πεδίο Ε. Κάτω από ορισμένες συνθήκες είναι δυνατό να ορίσει κανείς ένα χρόνο αποκατάστασης, τ, τέτοιο ώστε f t c f - τ f 0 (19) όπου f t c, είναι ο όρος της μεταβολής της συνάρτησης κατανομής που οφείλεται στην αλληλεπίδραση των φορέων με φωνόνια, προσμίξεις κ.λπ. και f 0 η συνάρτηση κατανομής στην ισορροπία. Η εκάστοτε φυσική του προβλήματος περιέχεται στον τ, ο υπολογισμός του οποίου για διαφόρων ειδών αλληλεπιδράσεις, αποτελεί ένα από τα κύρια σημεία διερεύνησης της θεωρίας των φαινομένων μεταφοράς. Χρησιμοποιώντας την εξίσωση του Boltzmann μπορεί να υπολογιστεί η ευκινησία μ. Αποδεικνύεται ότι η θερμοκρασιακή εξάρτηση της ευκινησίας μ δίνεται από τη σχέση. μ 3 / 2 ~ Τ (20) Για την περίπτωση ενδογενούς αγωγιμότητας λαμβάνοντας υπόψη στις σχέσεις (5) και (16) έχουμε : σ ~ ( μ μn) T 3/ 2 Eg/ 2kT (21) Με δεδομένη τώρα την σχέση (20) τελικά μπορούμε να γράψουμε :
-Eg/2kT σ σ 0 (22) όπου σ 0 είναι μια σταθερά ανεξάρτητη της θερμοκρασίας. Προς χάρη της πληρότητας στο σχήμα 3 δίνεται η μεταβολή της αγωγιμότητας συναρτήσει της θερμοκρασίας σ' ένα πραγματικό ημιαγωγό με προσμίξεις. Σε χαμηλές θερμοκρασίες κυριαρχεί η εξωγενής αγωγιμότητας όπου οι δημιουργούμενοι φορείς οφείλονται στις προσμίξεις. Η κλίση της περιοχής αυτής είναι περίπου ε d /k, όπου d η απόσταση της στάθμης που υπεισάγει η πρόσμιξη μέσα στο χάσμα από την πλησιέστερη ενεργειακή ζώνη. Μεταξύ της ενδογενούς και της εξωγενούς περιοχής υπάρχει μία ενδιάμεση περιοχή θερμοκρασιών όπου η αγωγιμότητα είναι σταθερή με τη θερμοκρασία (περιοχή κορεσμού). Η αύξηση της θερμοκρασίας στην περιοχή αυτή δεν συνοδεύεται από αντίστοιχη αύξηση της αγωγιμότητας διότι δεν δημιουργούνται επί πλέον φορείς από τις προσμίξεις. Σχήμα 3. Μεταβολή της αγωγιμότητας συναρτήσει της θερμοκρασίας σ' ένα πραγματικό ημιαγωγό με προσμίξεις Εκτέλεση της άσκησης 1. Αναγνωρίστε τα διάφορα όργανα και πραγματοποιήστε το κύκλωμα της άσκησης (σχήμα 4). Οι διαστάσεις του κρυστάλλου G είναι 20x10x1 mm. 2. Χωρίς να ανοίξετε το κύκλωμα ρυθμίστε ώστε στο τροφοδοτικό μεγίστη δυνατή τάση θέρμανσης να είναι V fl max = 8V {βραχυκυκλωτήρας στα 8V). Η ρύθμιση αυτή δεν θα αλλάξει μέχρι το τέλος της άσκησης. Μετακινήστε το δρομέα της ρυθμιστικής αντίστασης με σκοπό την επίτευξη μικρής τάσης θέρμανσης, μεταξύ 1.5 και 2V. Περιμένετε μέχρι να σταθεροποιηθεί η θερμοκρασία του κρυστάλλου. Στη συνέχεια μεταβάλλοντας την τάση τροφοδοσίας καταγράψτε τις αντίστοιχες τιμές της έντασης του ρεύματος. (ΠΡΟΣΟΧΗ: Η τιμή του ρεύματος να μη υπερβεί τα 30 ma. Κίνδυνος καταστροφής του κρυστάλλου). Χαράξτε την καμπύλη Ι = I(U) και προσδιορίζουμε την αντίσταση του κρυστάλλου. 3. Επαναλάβατε το ερώτημα (2} για άλλες 4 τουλάχιστον τιμές της V θ (Η θερμοκρασία του κρυστάλλου δεν πρέπει να υπερβεί τους 160 C. Για τις σχετικά μεγάλες τάσεις
θέρμανσης οι μετρήσεις να γίνονται σχετικά γρήγορα προς αποφυγή υπερθέρμανσης του κρυστάλλου. 4. Κάντε την γραφική παράσταση της R=R(T). Εξηγείστε ποιοτικά την μεταβολή της με την θερμοκρασία. Σχολιάστε, προς αντιδιαστολή, τις αντίστοιχες καμπύλες R=R(T) για τα μέταλλα εξηγώντας εν συντομία τους λόγους της αντίθετης επιδεικνυόμενης συμπεριφοράς. 5. Κάντε την γραφική παράσταση της lnσ συναρτήσει του 1/Τ και υπολογίστε το ενεργειακό χάσμα του ημιαγωγού. Η τιμή που βρίσκετε αντιπροσωπεύει το Eg(0). Εξηγήστε
Πίνακας τιμών φυσικών σταθερών και ορισμένων παραμέτρων του (G). σταθερά Boltzmann (k) φορτίο ηλεκτρονίου () σταθερά του Planck (h) μάζα ελεύθερων ηλεκτρονίων (m) ενεργός μάζα ηλεκτρονίου G (m ) 8.62x10-5 V/K 1.6x10-19 Cb 6.625x1O -34 J.s 9.1x10-31 kgr 0.22 m ενεργός μάζα οπής στο G (m h ) 0.31m σταθερά πλέγματος G (a) 5.658 A 0 Ενεργός πυκνότητα καταστάσεων G στη ζώνη αγωγιμότητας στα 300 Κ (N c ) 1.04x10 19 cm -3 Ενεργός πυκνότητα καταστάσεων G στη ζώνη σθένους στα 300 Κ (Nv) 6.1x10 18 cm -3 Ενεργειακό χάσμα G (E g ) 0.68V Ενεργειακό χάσμα G για Τ= 0Κ (E 0 ) Ενδογενής ευκινησία ηλεκτρονίων στο G (μ ) 0.75V 3900 cm 2 /V.s Ενδογενής ευκινησία οπών στο G (μ 0 ) Ηλεκτρονιοβόλτ (V) 1900 cm 2 /V s 1900 1.6x10cm -192 J /V.s