εύτερη διάλεξη. Η στα αναλυτικά προγράµµατα. Η Ευκλείδεια αποτελούσε για χιλιάδες χρόνια µέρος της πνευµατικής καλλιέργειας των µορφωµένων ατόµων στο δυτικό κόσµο. Από τις αρχές του 20 ου αιώνα, καθώς η εκπαίδευση θεσµικοποιήθηκε και συνδέθηκε µε τις παραγωγικές ανάγκες των αντίστοιχων κοινωνιών, η Ευκλείδεια σταδιακά εκτοπίστηκε ή αντικαταστάθηκε από άλλους κλάδους των µαθηµατικών, όπως η Αναλυτική και ο ιανυσµατικός Λογισµός. Αυτή η τάση παγιώθηκε στις βιοµηχανικές χώρες της δύσης την περίοδο της µεγάλης µεταρρύθµισης στη διδασκαλία των Μαθηµατικών, µετά το 1960. Στην Ελλάδα αυτή η τάση ήρθε µε καθυστέρηση, τελικά όµως επικράτησε. Το µάθηµα της Ευκλείδειας ς διδάσκεται πολύ λιγότερο απ ότι πριν από 30 χρόνια. Επι πλέον έχει υποβαθµιστεί θεσµικά, αφού δεν περιέχεται στην εξεταστέα ύλη των πανελλαδικών εξετάσεων. Τα τελευταία 20 χρόνια σε αρκετές χώρες έχει αρχίσει µία επανεκτίµηση της σηµασίας της ς για την αφοµοίωση του εποπτικού χώρου και την ανάπτυξη της ικανότητας συλλογισµού και λογικής επιχειρηµατολογίας. Οι στόχοι της διδασκαλίας της ς στην πρωτοβάθµια εκπαίδευση είναι οι ακόλουθοι: 1. Ανάπτυξη ψυχικών ικανοτήτων σχετικών µε το χώρο. 2. Γνωριµία βασικών γεωµετρικών εννοιών. 3. Αφοµοίωση του εποπτικού χώρου. 4. Γνωριµία και αξιοποίηση ενός οπλοστασίου ενεργηµάτων. 5. Ανάπτυξη ικανοτήτων επίλυσης προβληµάτων. Ειδικός στόχος του µαθήµατος της ς στην πρωτοβάθµια εκπαίδευση είναι να καταστήσει τους µαθητές ικανούς να αντιλαµβάνονται, να αναπαριστάνουν και να αφοµοιώνουν εννοιολογικά το χώρο. Οι έννοιες και οι γνώσεις που αποκτούν τα απιδιά οφείλουν να τα βοηθούν να αντιλαµβάνονται συνειδητά τον οικείο χώρο και να λύνουν προβλήµατα που σχετίζονται µε αυτόν. Αυτές οι ικανότητες δεν µπορούν να αποκτηθούν χωρίς ειδική εξάσκηση ή µέσα από άλλα µαθήµατα. Στην υποβάθµιση της ς στα αναλυτικά προγράµµατα οφείλονται πολλές δυσκολίες που αντιµετωπίζουν οι µαθητές σε επόµενα στάδια των σπουδών τους ή στη µελλοντική τους απασχόληση. Ας δούµε τη θέση της ς στα αναλυτικά προγράµµατα του Π.Ι. του 2003 στην Ελλάδα, σε σύγκριση µε τα Principles and Standards for School Mathematics, 2000, του NCTM.
Τάξη Άξονες 1 η 2 α 3 η Γενικοί στόχοι Να εξασκούνται στον προσανατολισµό στο χώρο, στη σχεδίαση, αναπαραγωγή, αναγνώριση, ονοµασία και ταξινόµηση σχηµάτων. Να διακρίνουν τα στερεά: τον κύβο, το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, τον κύλινδρο και τη σφαίρα. Να παρατηρούν εικόνες και σχήµατα συµµετρικά ως προς άξονα. Να έχουν µια πρώτη επαφή µε τις έννοιες: µήκος, χρόνος, χρήµα, µάζα. Να αναγνωρίζουν, να περιγράφουν και να επεκτείνουν αριθµητικά και γεωµετρικά µοτίβα. Να εξασκούνται στη σχεδίαση, αναπαραγωγή σχηµάτων και να αναγνωρίζουν τα χαρακτηριστικά των σχηµάτων αυτών. Να καθορίζουν σηµεία και να σχεδιάζουν ευθύγραµµα τµήµατα και ευθείες. Να αναγνωρίζουν εµπειρικά τις παράλληλες και κάθετες ευθείες. Να διακρίνουν τα στερεά: τον κύβο, το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, τον κύλινδρο και τη σφαίρα. Να παρατηρούν αν ένα σχήµα έχει άξονα συµµετρίας και να συµπληρώνουν το συµµετρικό ενός σχήµατος. Να εφαρµόζουν τη διαδικασία µέτρησης µήκους και επιφανειών µε συµβατικές και αυθαίρετες µονάδες µέτρησης. Να εξασκούνται στη µέτρηση χρόνου, χρήµατος και µάζας. Να αναγνωρίζουν, να περιγράφουν και να επεκτείνουν αριθµητικά και γεωµετρικά µοτίβα. Να εξασκούνται στην περιγραφή, αναπαραγωγή και σχεδιασµό γεωµετρικών σχηµάτων και στερεών σωµάτων καθώς και στην εφαρµογή τεχνικών σχεδίασης κάθετων ευθειών µε τη βοήθεια των γεωµετρικών οργάνων. Να γνωρίσουν τις έννοιες, κορυφή, ακµή, ορθή γωνία και έδρα. Να εξασκηθούν στην κατασκευή συµµετρικών σχηµάτων ως προς άξονα. Να γνωρίζουν και να χρησιµοποιούν τις µονάδες µέτρησης µήκους, χρόνου και µάζας. Να αναγνωρίζουν ένα µοτίβο και να διαπιστώνουν ότι η διαδικασία επανάληψης συνεχίζεται επ. άπειρον. Ώρες % χρόνου 8 6,5% 22 18% 12 10% 21 17,5% 9 7,5% 13 10% 2
Τάξη Άξονες 4 η 5 η 6 η Γενικοί στόχοι Να εξασκούνται µε τη βοήθεια οργάνων στην χάραξη παράλληλων και κάθετων ευθειών και στο σχεδιασµό γεωµετρικών σχηµάτων. Επίσης στον υπολογισµό περιµέτρου απλών σχηµάτων. Να κατανοήσουν διαισθητικά την έννοια του εµβαδού. Να εξασκηθούν στην κατασκευή συµµετρικών σχηµάτων ως προς άξονα σε τετραγωνισµένο χαρτί. Να εξασκούνται στη µέτρηση µήκους, επιφάνειας, χρόνου, χρήµατος, µάζας και διαισθητικά της χωρητικότητας. Να εξασκηθούν σε απλές µετατροπές µονάδων µέτρησης και να µπορούν να εκτελούν προσθέσεις και αφαιρέσεις µε συµµιγείς αριθµούς. Να διαπιστώνουν την ύπαρξη απλών αριθµητικών και γεωµετρικών µοτίβων. Να χαράζουν γεωµετρικά σχήµατα µε τη βοήθεια οργάνων. Να υπολογίζουν τις περιµέτρους και τα εµβαδά βασικών γεωµετρικών σχηµάτων, καθώς και το µήκος ενός κύκλου. Να γνωρίζουν την ονοµασία γωνιών και τριγώνων, να τα ταξινοµούν και να τα κατασκευάζουν. Να εξασκούνται στη κατασκευή αναπτυγµάτων απλών στερεών. Να σταθεροποιήσουν τις γνώσεις τους σχετικά µε τις συµβατικές µονάδες µήκους, µάζας, χρόνου, επιφάνειας και χωρητικότητας και να εξοικειωθούν µε τη χρήση των µετρήσεων στην καθηµερινή ζωή. Να διαπιστώνουν την ύπαρξη, να περιγράφουν και να επεκτείνουν απλά αριθµητικά και γεωµετρικά µοτίβα. Να εξασκούνται στον σχεδιασµό ευθύγραµµων σχηµάτων και κύκλων µε κανόνα (χάρακα) και διαβήτη. Να υπολογίζουν το µήκος κύκλου και εµβαδόν κυκλικού δίσκου, τα εµβαδά και τους όγκους βασικών στερεών σχηµάτων. Να αναπαράγουν, να κατασκευάζουν και να συγκρίνουν γωνίες. Να σχεδιάζουν το συµµετρικό ενός σχήµατος ως προς άξονα και να διενεργούν µεταφορές, µεγεθύνσεις και σµικρύνσεις. Να σταθεροποιούν τις γνώσεις τους σχετικά µε τις συµβατικές µονάδες µήκους, µάζας, χρόνου, επιφάνειας και χωρητικότητας και να εξοικειώνονται µε τις χρήσης των µετρήσεων στην καθηµερινή ζωή. Να διατυπώνουν έναν κανόνα για κάποιο απλό αριθµητικό ή το γεωµετρικό µοτίβο. Ώρες % χρόνου 10 8,5% 16 13,5% 8 6,5% 8 6,5% 16 13% 12 10% 3
Στα Principles and Standards του NCTM περιγράφεται ο ρόλος της ς σε ένα σύγχρονο αναλυτικό πρόγραµµα ως εξής: Η για πολλά χρόνια θεωρείτο το µάθηµα της δευτεροβάθµιας εκπαίδευσης όπου οι µαθητές µαθαίνουν να αποδεικνύουν γεωµετρικά θεωρήµατα. Τα Κριτήρια για τη εκφράζουν µία ευρύτερη άποψη των δυνατοτήτων της ς, καλώντας τους µαθητές και τις µαθήτριες να αναλύουν τα χαρακτηριστικά γεωµετρικών σχηµάτων και να αναπτύσσουν µαθηµατικά επιχειρήµατα για τις γεωµετρικές σχέσεις, καθώς και να χρησιµοποιούν τη νοερή αναπαράσταση, τη συλλογιστική του χώρου και τη γεωµετρική µοντελοποίηση για την επίλυση προβληµάτων. Η είναι η φυσιολογική περιοχή των µαθηµατικών για την ανάπτυξη της ικανότητας των µαθητών και των µαθητριών να συλλογίζονται και να επιχειρηµατολογούν. Εντύπωση προκαλεί η διαφορά στο χρόνο που αφιερώνεται στη στο ελληνικό αναλυτικό πρόγραµµα, σε σχέση µε τα P&S του NCTM. Σε αυτά η καταλαµβάνει το 23 28% του χρόνου στη διάρκεια της πρωτοβάθµιας εκπάιδευσης, ενώ άλλο 18% καταλαµβάνουν οι Μετρήσεις. Τα Κριτήρια περιεχοµένου και Προσδοκίες ανά τάξη (Math Standards and Expectations) είναι τα ακόλουθα: 4
ΚΡΙΤΗΡΙΟ Να αναλύουν τα χαρακτηριστικά και τις ιδιότητες δισδιάστατων και τρισδιάστατων γεωµετρικών σχηµάτων και να αναπτύσσουν µαθηµατικά επιχειρήµατα για τις γεωµετρικές σχέσεις Να προσδιορίζουν σηµεία µε ακρίβεια και να περιγ ραφουν σχέσεις στο χώρο µε τη γεωµετρία συτντεταγµένων και άλλα συστήµατα αναπαράστασης Να εφαρµόζουν µετασχηµατισµούς και να χρησιµοποιούν τη συµµετρία για να αναλύουν τις µαθηµατικές καταστάσεις Να χρησιµοπούν τη νοερή αναπαράσταση, τη συλλογιστική του χώρου και τη γεωµετρική µοντελοποίηση για την επίλυση προβληµάτων Προνήπια έως Β ηµοτικού Να αναγνωρίζουν, να ονοµάζουν, να κατασκευάζουν, να σχεδιάζουν και να κατηγοριοποιούν δισδιάστατα και τρισδιάστατα σχήµατα. Να περιγράφουν χαρακτηριστικά και µέρη δισδιάστατων και τρισδιάστατων σχηµάτων Να διερευνούν και να προβλέπουν τα αποτελέσµατα της συναρµολόγησης και της αποσυναρµολόγησης δισδιάστατων και τρισδιάστατων σχηµάτων Να περιγράφουν, να ονοµάζουν και να ερµηνεύουν τις σχετικές θέσεις στο χώρο και να εφαρµόζουν ιδέες αναφορικά µε τη σχετική θέση Να περιγράφουν, να ονοµάζουν και να ερµηνεύουν την κατεύθυνση και την απόσταση κατά την κίνησή τους στο χώρο και να εφαρµόζουν τις ιδέες αναφορικά µε την κατεύθυνση και την απόσταση Να βρίσκουν και να ονοµάζουν τις ακριβείς θέσεις µε απλές σχέσεις όπως το «κοντά σε» και σε συστήµατα συντεταγµένων όπως τους χάρτες Να αναγνωρίζουν και να εφαρµόζουν µεταφορές, ανακλάσεις και περιστροφές Να αναγνωρίζουν και να δηµιουργούν σχήµατα τα οποία έχουν συµµετρία Να δηµιουργούν νοερές εικόνες γεωµετρικών σχηµάτων χρησιµοποιώντας τη µνήµη του χώρου και τη νοερή αναπαράσταση του χώρου Να αναγνωρίζουν και να αναπαριστούν τα σχήµατα από διαφορετικές προοπτικές Να συνδέουν τις ιδέες στη γεωµετρία µε ιδέες για τους αριθµούς και τις µετρήσεις Να αναγνωρίζουν γεωµετρικά σχήµατα και δοµές στο περιβάλλον και να προσδιορίζουν την ακριβή τους θέση ΚΡΙΤΗΡΙΟ Να αναλύουν τα χαρακτηριστικά και τις ιδιότητες δισδιάστατων και τρισδιάστατων γεωµετρικών σχηµάτων και να αναπτύσσουν µαθηµατικά επιχειρήµατα για τις γεωµετρικές σχέσεις Γ Ε ηµοτικού Να αναγνωρίζουν, να συγκρίνουν και να αναλύουν τα χαρακτηριστικά δισδιάστατων και τρισδιάστατων σχηµάτων και να αναπτύξουν το κατάλληλο λεξιλόγιο για να περιγράψουν αυτά τα χαρακτηριστικά Να ταξινοµούν τα δισδιάστατα και τρισδιάστατα σχηµάτα σύµφωνα µε τις ιδιότητές τους και να αναπτύξουν τους ορισµούς κλάσεων σχηµάτων όπως τα τρίγωνα και οι πυραµίδες Να διερευνούν να περιγράφουν και να συζητούν µε λογικά επιχειρήµατα για τα αποτελέσµατα της 5
Να προσδιορίζουν σηµεία µε ακρίβεια και να περιγ ραφουν σχέσεις στο χώρο µε τη γεωµετρία συτντεταγµένων και άλλα συστήµατα αναπαράστασης Να εφαρµόζουν µετασχηµατισµούς και να χρησιµοποιούν τη συµµετρία για να αναλύουν τις µαθηµατικές καταστάσεις Να χρησιµοπούν τη νοερή αναπαράσταση, τη συλλογιστική του χώρου και τη γεωµετρική µοντελοποίηση για την επίλυση προβληµάτων υποδιαίρεσης, του συνδυασµού και του µετασχηµατισµού σχηµάτων Να διερευνούν την ισότητα και την οµοιότητα Να διατυπώνουν και να δοκιµάζουν υποθέσεις για τις γεωµετρικές ιδιότητες και σχέσεις και να αναπτύξουν λογικά επιχειρήµατα για την αιτιολόγηση των συµπερασµάτων τους Να περιγράφουν την ακριβή θέση και κίνηση χρησιµοποιώντας κοινή γλωσσα και τολεξιλόγιο της γεωµετρίας Να κατασκευάζουν και να χρησιµοποιούν συστήµατα συντεταγµένων για να προδιορίζουν την ακριβή θέση και να περιγράφουν διαδροµές Να βρίσκουν την απόσταση µεταξύ σηµείων κατά µήκος οριζόντιων και κάθετων γραµµών σε ένα σύστηµα συντεταγµένων Να προβλέπουν και περιγράφουν τα αποτελέσµατα της µεταφοράς, ανάκλασης και περιστροφής δισδιάστατων σχηµάτων Να περιγράφουν µία κίνηση ή µία σειρά κινήσεων που θα δείχνουν οτι δύο σχήµατα είναι ίσα Να αναγνωρίζουν και να περιγράφουν τη συµµετρία ως προς άξονα και ως προς κέντρο σε δισδιάστατα και τρισδιάστατα σχήµατα και σχέδια Να κατασκευάζουν και να σχεδιάζουν γεωµετρικά αντικείµενα Να δηµιουργούν και να περιγράφουν νοερές εικόνες αντικειµένων, προτύπων και διαδροµών Να αναγνωρίζουν και να κατασκευάζουν ένα τρισδιάστατο αντικείµενο από δισδιάστατες αναπαραστάσεις του συγκεκριµένου αντικειµένου Να αναγνωρίζουν και να κατασκευάζουν µία δισδιάστατη αναπαράσταση ενός τρισδιάστατου αντικειµένου Να χρησιµοποιούν γεωµετρικά µοντέλα για την επίλυση προβληµάτων σε άλλους τοµείς των µαθηµατικών, όπως οι αριθµοί και οι µετρήσεις Να αναγνωρίζουν τις γεωµετρικές ιδέες και σχέσεις και να τις εφαρµόζουν σε άλλους επιστηµονικούς τοµείς και προβλήµατα που παρουσιάζονται στην τάξη ή την καθηµερινή ζωή. Στη συνέχεια θα δούµε πως συγκρίνονται αυτά τα δύο αναλυτικά προγράµµατα µε τη θεωρία των επιπέδων γεωµετρικής σκέψης των Pierre van Hiele και Dina van Hiele- Geldof. 6