Οι µοντελοποιήσεις προβληµάτων πραγµατικού πλαισίου σε δυναµικό περιβάλλον µέσο αποκωδικοποίησης της εννοιολογικής γνώσης των µαθητών

Οι µοντελοποιήσεις προβληµάτων πραγµατικού πλαισίου σε δυναµικό περιβάλλον µέσο αποκωδικοποίησης της εννοιολογικής γνώσης των µαθητών Σταυρούλα Πατσιοµίτου spatsiomitou@sch.gr Περίληψη Στην παρούσα εργασία θα παρουσιαστούν προβλήµατα πραγµατικού κόσµου ή προσοµοιώσεις τους στο περιβάλλον του λογισµικού δυναµικής γεωµετρίας Geometer s Sketchpad. Επισηµαίνεται η σηµασία τους από την πλευρά της διδακτικής των Μαθηµατικών και επιχειρείται εστίαση στην ανάλυση τους µε βάση τις ικανότητες --οι οποίες αναλύθηκαν από τον Niss και τους συνεργάτες του-- που πρέπει οι µαθητές να έχουν αναπτύξει προκειµένου να τα λύσουν. Στόχος είναι η εργασία να προβάλλει παραδείγµατα που περιέχουν πλούσιο µαθηµατικό υλικό, έτσι ώστε η µαθηµατική µοντελοποίηση µε την οποία συντελείται η επίλυση των προβληµάτων να αποτελέσει το µέσο για την ενίσχυση της αποκωδικοποίησης της εννοιολογικής γνώσης και των µαθηµατικών ιδεών των µαθητών. Από την άλλη οι µαθητές προετοιµάζονται, µέσω των προβληµάτων αυτού του τύπου, ως πολίτες µε κριτική ικανότητα ανάλυσης των δεδοµένων του περιβάλλοντος, αλλά και εφαρµογών τους στην µαθηµατική εκπαίδευση. Εισαγωγή Ο τρόπος συλλογισµού των µαθητών κατά τη διάρκεια επίλυσης µαθηµατικών προβληµάτων γενικότερα και ειδικότερα γεωµετρικών προβληµάτων έχει απασχολήσει τους ερευνητές σε όλο τον κόσµο. Οι µαθητές αντιµετωπίζουν δυσκολία στην αποκωδικοποίηση της νοητικής τους εικόνας σε περιβάλλον χαρτιού µολυβιού ή σε δυναµικό περιβάλλον (Patsiomitou, 2011; Πατσιοµίτου, 2011), καθώς επίσης αντιµετωπίζουν δυσκολία να λειτουργήσουν δοµικά στο σχήµα, αναλύοντάς το. Ο τρόπος που κάθε µαθητής διατυπώνει τις σκέψεις του, αποκωδικοποιεί ένα πρόβληµα ή µια νοητική του εικόνα σε στατικό ή δυναµικό περιβάλλον (δηλαδή ως σχέδιο στο χαρτί ή στον πίνακα, ή στην οθόνη ενός υπολογιστή) - 107 -

είναι διαφορετικός και εξατοµικευµένος. Έχει αποδειχθεί ότι οι µαθητές συνήθως ολοκληρώνουν µια τάξη χωρίς να κατανοούν τους ορισµούς και τις αποδείξεις θεωρηµάτων που περιέχονται στο σχολικό εγχειρίδιο ή διατυπώνονται από το δάσκαλο. Εποµένως, δεν είναι σε θέση να κατασκευάσουν µια απόδειξη (Senk, 1989) εφαρµόζοντας συµπερασµατικό συλλογισµό. Το αποτέλεσµα αυτό είναι συνέπεια της αφαιρετικής ικανότητας που έχει αποκτήσει ο µαθητής ως αποτέλεσµα της γνωστικής ανάπτυξης του. Σε γενικές γραµµές µπορούµε να κατατάξουµε τις θεωρίες γνωστικής ανάπτυξης σε δύο κατηγορίες (Pegg & Tall, 2005): τις σφαιρικές θεωρίες µακροπρόθεσµης ανάπτυξης (global theories of long-term growth) του υποκειµένου, όπως είναι η θεωρία σταδίων του Piaget (Piaget & Garsia, 1983), η θεωρία των van Hiele (van Hiele, 1986; Hoffer, 1981), η θεωρία του Bruner (1966), τις τοπικές θεωρίες εννοιολογικής ανάπτυξης (local theories of conceptual growth), όπως είναι η θεωρία APOS του Dubinsky (Action-Process-Object- Schema) (Dubinsky & McDonald, 2001), η θεωρία SOLO Model (Structure of Observed Learning Outcomes) (Biggs & Collis, 1982, 1991; Pegg, 2003). (pp. 187-188) Το επίπεδο γεωµετρικής σκέψης των µαθητών γίνεται αντιληπτό σε συζητήσεις που αναπτύσσονται στην τάξη ή σε οµάδες που συµµετάσχει ο µαθητής, και ειδικότερα κατά τη διάρκεια επίλυσης προβληµάτων. Πολλές έρευνες έχουν διεξαχθεί για τη διερεύνηση του τρόπου συλλογισµού των µαθητών (π.χ. Hoffer, 1981; Usiskin, 1982; van Hiele, 1986; Burger & Shaughnessy, 1986). Η θεωρία των van Hiele, µια θεωρία µακροπρόθεσµης ανάπτυξης, υποστηρίζει ότι οι µαθητές έχουν πέντε διαφορετικά επίπεδα σκέψης. Κάθε επίπεδο διαφέρει ως προς τη συµπεριφορά και τα χαρακτηριστικά της γεωµετρικής σκέψης των µαθητών (Fuys et al., 1988). Η συνηθισµένη ερµηνεία και τα γενικά χαρακτηριστικά γνωρίσµατα των πρώτων τεσσάρων επιπέδων, που συναντώνται στους µαθητές της δευτεροβάθµιας εκπαίδευσης, µπορούν να περιγραφούν ως εξής (de Villiers, 2004; Gawlick, 2005): Επίπεδο 1 (αναγνώριση): οπτική αναγνώριση των σχηµάτων από την ολική εµφάνισή τους χωρίς να διαχωρίζουν τις ιδιότητες. Επίπεδο 2 (ανάλυση): αρχίζουν να αναγνωρίζουν τις ιδιότητες των σχηµάτων και µαθαίνουν την κατάλληλη ορολογία για την περιγραφή τους. Μπορούν να αναγνωρίσουν και να ονοµάσουν τις ιδιότητες των γεωµετρικών σχηµάτων, αλλά δεν κατανοούν τις σχέσεις µεταξύ αυτών των ιδιοτήτων. Επίπεδο 3 (διάταξη): διατάσσουν λογικά τις ιδιότητες των σχηµάτων και καταλαβαίνουν τις αλληλεξαρτήσεις µεταξύ των σχηµάτων. Το επίπεδο 3 (αφαίρεση) προσδιορίζεται ως επίπεδο που συνδέεται µε την χρήση και κατασκευή «εάν τότε» δηλώσεων, και συνεπώς µε την απόδειξη (Gawlick 2005). - 108 -

Επίπεδο 4 (αφαίρεση/παραγωγικός συλλογισµός): αρχίζουν να καταλαβαίνουν τη σηµασία της αφαιρετικής διαδικασίας, τον ρόλο των αξιωµάτων, των θεωρηµάτων και της απόδειξης. Έρευνες έχουν δείξει ότι οι δάσκαλοι που έχουν εφαρµόσει λογισµικά δυναµικής γεωµετρίας στην τάξη, έχουν επισηµάνει σηµαντική διαφορά στην διερεύνηση των γεωµετρικών εννοιών από τους µαθητές (π.χ. Dixon, 1996; Yousef, 1997; Almeqdadi, 2000). Σε µια συνοπτική επισκόπηση, πολλοί ερευνητές έχουν πραγµατοποιήσει µελέτες χρησιµοποιώντας τη θεωρία των van Hiele για την ανάλυση των δεδοµένων τους και έχουν καταλήξει στο συµπέρασµα ότι οι µαθητές που χρησιµοποίησαν το Sketchpad παρουσίασαν σηµαντικά υψηλότερα αποτελέσµατα σε τεστ που περιείχαν έννοιες µετασχηµατισµού [π.χ., Dixon (1996)], καθώς και σηµαντικά υψηλότερα αποτελέσµατα στα µετά -tests [π.χ., Yousef, 1997; Almeqdadi, 2000]. Επίλυση προβληµάτων πραγµατικού πλαισίου στα Μαθηµατικά Είναι γνωστό ότι η εφαρµογή των Μαθηµατικών για να λύσουµε καταστάσεις προβληµάτων του πραγµατικού κόσµου είναι σύνθετη διαδικασία που περικλείει έναν αριθµό φάσεων η οποία περιγράφεται από τους Corte, Verschaffel & Greer (2000): κατανόηση της κατάστασης που περιγράφεται, κατασκευή µαθηµατικού µοντέλου, εργασία στο µαθηµατικό µοντέλο, ερµηνεία των αποτελεσµάτων στο πραγµατικό περιβάλλον, αξιολόγηση του αποτελέσµατος (p.71). Η ιδέα επίλυσης προβληµάτων πραγµατικού πλαισίου έχει επισηµανθεί από τους ερευνητές (π.χ Burkhardt, 1981; Pierce & Stacey, 2009) ως σηµαντική για την ενίσχυση της κατανόησης και µάθησης των µαθηµατικών εννοιών. Η κατασκευή ενός µαθηµατικού µοντέλου, δηλαδή η µοντελοποίηση του πραγµατικού προβλήµατος είναι µια µετατροπή µιας µορφής αναπαράστασης σε µια άλλη µε στόχο την επίλυση του πραγµατικού προβλήµατος. Για παράδειγµα, η µετατροπή της διατύπωσης ενός πραγµατικού προβλήµατος σε µορφή συµβολικής εξίσωσης, ή η µετατροπή µιας εικόνας του πραγµατικού περιβάλλοντος σε µια αναπαράσταση στο χαρτί και στη συνέχεια η λύση του προβλήµατος, αποτελούν µορφές µοντελοποίησης. Ο Καντ στο έργο του «Κριτική του καθαρού λόγου» επισηµαίνει την εµπειρία που κάποιος αποκτά µέσω των αναπαραστάσεων που στοχεύουν στη συνεργασία αισθήσεων και λόγου, ως αφετηρία της γνωστικής διαδικασίας, αφού από τον τρόπο που εκλαµβάνουµε µια εικόνα από το φυσικό περιβάλλον µπορούµε να οδηγηθούµε σε διατυπώσεις που αφορούν - 109 -

τη σύνδεση των αντικειµένων που τη συνιστούν αλλά και των χαρακτηριστικών τους. «κάθε γνώση µας αρχίζει µε την εµπειρία, αυτό δεν επιδέχεται καµία αµφιβολία γιατί µε τι άλλο θα µπορούσε να αφυπνιστεί η γνωστική µας δύναµη για να ασκήσει το έργο της, αν όχι µε αντικείµενα που ερεθίζουν τις αισθήσεις µας και που πότε προκαλούν από µόνα τους τη γέννηση [ανα] παραστάσεων και πότε βάζουν τη νοητική µας ενέργεια σε κίνηση να τις συγκρίνει, να τις συνδέσει ή να τις χωρίσει και έτσι να κατεργαστεί το άµορφο υλικό των κατ αίσθηση εντυπώσεων για το σχηµατισµό µιας γνώσεως των αντικειµένων» Ιµ. Καντ, Κριτική του καθαρού λόγου, σελ.87 1 φαινόµενο υπό διερεύνηση κατανόηση µοντέλο για την κατάσταση µοντελοποίηση µαθηµατικό µοντέλο αξιολογηση µαθηµατική ανάλυση αναφορά επικοινωνία ερµηνευόµενα αποτελέσµατα ερµηνεία παράγωγα από το µοντέλο Εικόνα 1: Επίλυση προβληµάτων στον πραγµατικό κόσµο (Corte, Verschaffel and Greer, 2000, p.71) Αναπαραστάσεις παρέχονται στους µαθητές µε µορφή διαφορετικών ειδών (Γαγάτσης & Σπύρου, 2000) (π.χ µέσω των καταστάσεων πραγµατικού κόσµου, των διαχειρίσιµων υλικών διαγραµµάτων, των εικόνων ή διαγραµµάτων, προφορικών ή γραπτών συµβόλων). Οι περισσότεροι ερευνητές συµφωνούν µε τον Vergnaud (1987) ότι «οι αναπαραστάσεις είναι ένα σηµαντικό στοιχείο στη θεωρία της διδασκαλίας και µάθησης των Μαθηµατικών [αφού κυρίως] παίζουν σηµαντικό ρόλο στην κατανόηση του πραγµατικού κόσµου». Επιπλέον, οι [εξωτερικές] αναπαραστάσεις διευκολύνουν την παροχή πληροφοριών του προβλήµατος, καθώς και τη σύλληψη της δοµής του προβλήµατος, και υποστηρίζουν τον οπτικό συλλογισµό. Από την άλλη, οι εξωτερικές αναπαραστάσεις (π.χ λεκτικές διατυπώσεις ή σχήµατα) που κατασκευάζουν οι µαθητές χρησιµεύουν ως δείκτης των εσωτερικών τους αναπαραστάσεων (Kaput, 1987, 1999; Goldin, 2003), αποτελώντας ένδειξη του επίπεδου κατανόησής 1 Καντ Ιµ., Κριτική του καθαρού λόγου, µτφρ. Αναστάσιος Γιανναράς, εκδ. Παπαζήσης, Αθήνα 1977-110 -

τους αλλά και του επιπέδου ανάπτυξης της γεωµετρικής τους σκέψης (π.χ, van Hiele, 1986). Στη συνέχεια θα παρουσιαστούν ποιες ικανότητες είναι αναγκαίες να αναπτυχθούν κατά την επίλυση προβληµάτων, έννοιες που θα χρησιµοποιηθούν για τη ανάλυση των προβληµάτων που θα παρουσιαστούν στη συνέχεια. Ικανότητες στην επίλυση προβληµάτων και µαθηµατικοποίηση Τα περισσότερα προβλήµατα που παρουσιάζονται στη συνέχεια έχουν σχέση µε τον πραγµατικό κόσµο, ως απόρροια της ανάγκης για αξιολόγηση της ικανότητας των µαθητών να τα αντιµετωπίσουν και να τα επιλύσουν. Βασικός στόχος είναι να διερευνηθεί και να αξιολογηθεί η επίδοση των µαθητών στα Μαθηµατικά, καθώς και ο µαθηµατικός γραµµατισµός των µαθητών. Μέσω των προβληµάτων αυτών οι µαθητές θα αξιολογηθούν ως προς την ικανότητά τους αναφορικά µε τους δυο τύπους µαθηµατικοποίησης (mathematization) την οριζόντια και την κάθετη, δηλαδή: (α) την ικανότητα µοντελοποίησης του προβλήµατος από τον πραγµατικό κόσµο στο δισδιάστατο επίπεδο χαρτιού µολυβιού ή δυναµικής γεωµετρίας καθώς και (β) την ικανότητα να οδηγηθούν σε διαδικασίες που απαιτούν υψηλότερο επίπεδο αφαιρετικότητας. Επιπλέον θα διερευνηθεί η ικανότητα των µαθητών και η ευελιξία να συνδέσουν υποπεριοχές του προγράµµατος σπουδών στα Μαθηµατικά ή µεταξύ Μαθηµατικών και διαφορετικών επιστηµονικών πεδίων (π.χ Φυσική). Οι Μουσουλίδης, Κάττου, Πιττάλης & Χρίστου (2006) στην εργασία τους «Η ικανότητα µοντελοποίησης στην επίλυση µαθηµατικού προβλήµατος» αναφέρουν «οι απόφοιτοι των σχολείων δεν είναι ικανοί λύτες προβληµάτων και δεν µπορούν να χρησιµοποιούν µε άνεση µαθηµατικές εφαρµογές. Σύµφωνα µε τα αποτελέσµατα της PISA (2003), µόνο το 20% των 15χρονών µαθητών µπορεί να θεωρηθούν ως ικανοί λύτες προβληµάτων [ ] δηλαδή, να µπορούν να αναλύουν ένα πρόβληµα σε επιµέρους στοιχεία, να λαµβάνουν αποφάσεις, να αναπτύσσουν και να δοκιµάζουν µοντέλα στην προσπάθεια επίλυσης του προβλήµατος και να επικοινωνούν αποτελεσµατικά µε τους συµµαθητές τους». (http://pek.org.cy/proceedings_2006/1.kefalaio1themata mathimatikis Paideias/1.21.N.Mousoulides et al.pdf, σελ. 259) Επιγραµµατικά εποµένως οι µαθητές µέσω των προβληµάτων θα αξιολογηθούν ως προς την ανάπτυξη των παρακάτω ικανοτήτων (OECD, 2006) οι οποίες αναλύθηκαν από τον Niss (1999) και τους συνεργάτες του: - 111 -

Οπτικοχωρική ικανότητα αναγνώρισης των στοιχείων του διαγράµµατος και ικανότητα κατασκευής µοντέλου (µοντελοποίησης του προβλήµατος στο επίπεδο) Αναπαρασταστική ικανότητα, δηλαδή ικανότητα µετατροπής µεταξύ διαφορετικών συστηµάτων αναπαράστασης (από εικονικό σε συµβολικό ή λεκτικό και αντίστροφα). Ικανότητα µαθηµατικών συµβόλων (συµπεριλαµβανοµένης της ανάπτυξης επαναληπτικών διαδικασιών) και οργανωτική ικανότητα αποτελεσµάτων µέσω των σταδιακών υπολογισµών και των συµπερασµάτων για το πραγµατικό πρόβληµα Ικανότητα µαθηµατικής σκέψης και εποµένως εφαρµογής των τύπων και των θεωρηµάτων (π.χ υπολογισµούς των περιµέτρων και εµβαδών των σχηµάτων). Ικανότητα ανάπτυξης εικασιών, γενίκευσης και αποδεικτικών διαδικασιών ως αποτέλεσµα των λογικών ενεργειών. Ακόµα ως προς την Ικανότητα συνδέσεων διαφορετικών πεδίων των Μαθηµατικών (π.χ Γεωµετρίας και Άλγεβρας). Ικανότητα διασύνδεσης των Μαθηµατικών µε άλλα επιστηµονικά πεδία (π.χ Φυσική). Ο Hoffer (1981) οµοίως υποστηρίζει ότι πρέπει να αναπτυχθούν πέντε βασικές ικανότητες στην γεωµετρία: οπτικές, λεκτικές, σχεδίασης, λογικές, εφαρµογής. Για παράδειγµα οι οπτικές ικανότητες των µαθητών µπορεί να αναπτυχθούν και να βελτιωθούν µε δραστηριότητες που συνδυάζουν αναγνώριση σχηµάτων σε διαφορετικές µορφές αναπαράστασης ενώ οι λεκτικές, όταν οι µαθητές αποκτήσουν την ικανότητα να διατυπώσουν µε ακριβή και τυπικό τρόπο τις γεωµετρικές ιδιότητες ενός σχήµατος και οι ικανότητες εφαρµογής, όταν είναι σε θέση να εφαρµόσουν τις µαθηµατικές έννοιες επιλύοντας κάποιο µαθηµατικό µοντέλο ή αναπαριστώντας αφηρηµένες καταστάσεις. Η ανάπτυξη ικανοτήτων των µαθητών όπως επίσης έχει αποδειχθεί από διάφορες έρευνες διαφέρει καθώς η κατανόηση και µάθηση των µαθηµατικών εννοιών είναι µια σύνθετη διαδικασία, όντας ταυτόχρονα κονστρουκτιβιστική, καθώς εξαρτάται από την ενεργό κατασκευή της γνώσης του υποκειµένου διαµέσου της προσωπικής του εργασίας και της ατοµικής διαπραγµάτευσης των µαθηµατικών εννοιών (βλ. ενδεικτικά Jaworski, 2003). κοινωνικοπολιτισµική/ αλληλεπιδραστική, καθώς αποτελεί µέρος του πολιτισµού (Steffe & Gale, 1995) στο πλαίσιο του οποίου οι µαθητές κατασκευάζουν την γνώση µε «τη συµµετοχή τους στις κοινωνικές πρακτικές» (Cobb & Bauersfeld, 1995, p.4), --κοινωνικό περιβάλλον της - 112 -

τάξης-- µέσω της «συζήτησης, της διαπραγµάτευσης, της επιχειρηµατολογίας» (Jaworski, 2003, p. 3). Εικόνα 2: Ενδεικτικό γράφηµα συσχέτισης των ικανοτήτων που έχουν αναπτύξει οι µαθητές των τριών τάξεων Γυµνασίου. Για παράδειγµα, πρόσφατη µελέτη της ανάπτυξης δεξιοτήτων των µαθητών των τάξεων Γυµνασίου του ίδιου σχολείου έδωσε αποτελέσµατα αναφορικά µε την ικανότητα πράξεων µεταξύ ρητών, προτεραιότητας πράξεων, ικανότητας να κατασκευάσουν αλλά και να ορίσουν ένα µαθηµατικό αντικείµενο. Ειδικότερα στη γεωµετρία εξετάστηκε η ικανότητα αναγνώρισης και κατασκευής γεωµετρικών αντικειµένων (π.χ του ορθογωνίου παραλληλόγραµµου, τετραγώνου, ισοσκελούς τριγώνου και ορθογωνίου τριγώνου) καθώς επίσης και της διατύπωσης του ορισµού των. Ένα άλλο θέµα που εξετάστηκε ήταν η ικανότητα ιεράρχησης των σχηµάτων. Στην εικόνα 2 παρουσιάζεται το γράφηµα της ανάπτυξης ικανοτήτων των µαθητών σε δυο τµήµατα της Γ τάξης, σε ένα τµήµα της Β και ένα τµήµα της Α τάξης του ίδιου σχολείου. Για παράδειγµα, από την αξιολόγηση των γραπτών των 26 µαθητών τµήµατος της Β τάξης προέκυψε ότι: 20 µόνο µαθητές είχαν ικανότητα πρόσθεσης ρητών, 16 µόνο µαθητές είχαν ικανότητα αφαίρεσης ρητών, 6 µαθητές είχαν ικανότητα τυπικής επίλυσης απλής µορφής εξισώσεων, και 8 µόνο απλών κατασκευαστικών - 113 -

διαδικασιών. Ως προς τη διατύπωση ορισµών διαπιστώθηκε ότι µόνο 7 µαθητές είχαν αποκτήσει την ικανότητα να ορίζουν τυπικά ένα γεωµετρικό αντικείµενο και κανένας δεν είχε ικανότητα ιεράρχησης των τετραπλεύρων. Αυτά τα αποτελέσµατα είναι ενδείξεις της δυσκολίας που οι µαθητές αντιµετωπίζουν µε τις µαθηµατικές και ειδικότερα µε τις γεωµετρικές. Από την άλλη τα διαγράµµατα που θα κληθούν να ερµηνεύσουν οι µαθητές, αλλά και οι σχέσεις που απεικονίζονται σ αυτό θα παρέχουν τη διορατικότητα των δυνατοτήτων και αδυναµιών τους αναφορικά µε την µαθηµατική γνώση που έχουν οικοδοµήσει ως αποτέλεσµα της διδασκαλίας στην τάξη, αλλά και σε προηγούµενες τάξεις. Εποµένως, θα αξιολογηθεί η ικανότητα λεκτικών διατυπώσεων των µαθητών ως µετάφραση των διαγραµµατικών αναπαραστάσεων και η κατασκευή νοήµατος εκ µέρους των µαθητών στις µαθηµατικές καταστάσεις. Έτσι, η διαπίστωση των λαθών των µαθητών και οι δυσκολίες στην παραγωγή διαγραµµάτων θα οδηγήσουν στην ενίσχυση της διδασκαλίας των Μαθηµατικών µε χρήση προβληµάτων πραγµατικού πλαισίου στο µέλλον. Επιπλέον θα εξεταστούν οι δυσκολίες που συναντούν οι µαθητές όταν µεταφράζουν µεταξύ διαφορετικών αναπαραστατικών συστηµάτων καθώς και ως προς τη διαδικασία µοντελοποίησης και αξιοποίησης του µοντέλου που κατασκευάζουν. Τα Μαθηµατικά (αλλά και οι άλλες επιστήµες), µε την πάροδο του χρόνου, έχουν χρησιµοποιήσει διάφορα αναπαραστατικά συστήµατα για να εκφράσουν έννοιες και διαδικασίες. Το λογισµικό δυναµικής γεωµετρίας Geometer s Sketchpad (Jackiw, 1991) είναι ένα αναπαραστατικό σύστηµα το οποίο θα χρησιµεύσει ως διαµεσολαβητικό µέσο για τις επικολλήσεις πραγµατικών εικόνων, αλλά και τις προσοµοιώσεις των εικόνων. Όπως έχει αποδειχθεί ο σχεδιασµός των δυναµικών αναπαραστατικών συστηµάτων έχει αντίκτυπο στις νοητικές αναπαραστάσεις του µαθητή, δηλαδή, στους τρόπους µε τους οποίους οι µαθητές οικοδοµούν τις προσωπικές τους αναπαραστάσεις για τις µαθηµατικές έννοιες κατά τη διάρκεια των δραστηριοτήτων, είτε αυτές απευθύνονται στο µεµονωµένο µαθητή ή στο µαθητή σε περιβάλλον συνεργασίας µε άλλους (π.χ περιβάλλον τάξης) και συνεπώς συντελούν στην ανάπτυξη του επιπέδου γεωµετρικής σκέψης των µαθητών (π.χ, Patsiomitou, 2007, 2008, 2009, 2010, 2011, 2012). Η χρήση ενός υπολογιστικού περιβάλλοντος όπως της δυναµικής γεωµετρίας για την κατασκευή «του µοντέλου της έννοιας ή των εννοιών» (Thompson, 1987, p.85) βοηθά τους µαθητές να υπερνικήσουν τις δυσκολίες µετάφρασης µεταξύ των αναπαραστάσεων, µέσω της «δυναµικής σύνδεσης» των εννοιών (automatic translation or dyna-linking ) - 114 -

(Ainsworth, 1999, p. 133). Η µοντελοποίηση εποµένως ενός προβλήµατος στο δυναµικό περιβάλλον µπορεί να φέρει τα Μαθηµατικά στην τάξη µε δυο τρόπους: µέσω της χρήσης ψηφιακών εικόνων ή µέσω της χρήσης προσοµοιώσεων. Τα λογισµικά δυναµικής γεωµετρίας σύµφωνα µε τους Peirce & Stacey (2009) επιτρέπουν στους δασκάλους να ανεβάζουν την ποιότητα του µαθήµατος και το ενδιαφέρον των µαθητών, συνδέοντας το µάθηµα των Μαθηµατικών µε τον πραγµατικό κόσµο µέσω προβληµάτων πραγµατικού πλαισίου, ενώ τους παρέχεται υποστήριξη από τα εργαλεία του λογισµικού για να εξερευνήσουν τα Μαθηµατικά που κρύβει µια µαθηµατική αναπαράσταση. Ακόµα έχουν την δυνατότητα της ανάπτυξης συνδεόµενων οπτικών ενεργών αναπαραστάσεων (Patsiomitou, 2008, 2009, 2010, 2011, 2012) των µαθηµατικών αντικειµένων. Παρουσίαση και ανάλυση των προβληµάτων Α µορφή (προκατασκευασµένη): Το πρόβληµα παρουσιάζεται µοντελοποιηµένο από το δάσκαλο στο δυναµικό περιβάλλον. Στο µοντελοποιηµένο σχήµα δίνεται έµφαση στα χαρακτηριστικά τα οποία συνδέονται µε τα Μαθηµατικά (π.χ η µοντελοποίηση ενός χαρταετού µπορεί να γίνει µε την κατασκευή ενός ροµβοειδούς σχήµατος στο οποίο δίνεται έµφαση η καθετότητα των διαγωνίων του κ.λ.π), ενώ δεν δίνεται έµφαση σε άλλα χαρακτηριστικά (π.χ στο υλικό κατασκευής, στο χρώµα κ.λ.π). Ο µαθητής έχει δυνατότητα να πειραµατιστεί µε τα εργαλεία του λογισµικού πάνω στη ψηφιακή εικόνα και να οπτικοποιήσει τις ιδιότητες του σχήµατος τις οποίες ενδεχοµένως να µην αντιληφθεί στο στατικό περιβάλλον. Σε επόµενη φάση µπορεί να οδηγηθεί σε προσοµοίωση του προβλήµατος, αφήνοντας µόνο τα µαθηµατικά χαρακτηριστικά του προβλήµατος και διαγράφοντας την εικόνα. Οι υπολογισµοί µπορούν ακόµα να γίνουν µε τα πραγµατικά µεγέθη. Β µορφή (µη προκατασκευασµένη): Το πρόβληµα δεν παρουσιάζεται µοντελοποιηµένο από το δάσκαλο στο δυναµικό περιβάλλον, αλλά αφήνεται στο µαθητή η διαχείριση της εικόνας που εκλαµβάνει από το φυσικό περιβάλλον. Ο µαθητής πρέπει να κατασκευάσει µια προσοµοίωση του προβλήµατος σε στατικό, ψηφιακό ή άλλο υλικό µέσο, ως µοντέλο του φυσικού περιβάλλοντος και να διαχειριστεί την (ψηφιακή ή µη) εικόνα προκειµένου να αποκτήσει τη διαίσθηση για τις ιδιότητες του σχήµατος. Στην ουσία πρόκειται για µετατροπή της εικόνας του φυσικού περιβάλλοντος σε εικόνα στο δυναµικό περιβάλλον ή στο περιβάλλον - 115 -

χαρτί-µολύβι, η οποία όµως υφίσταται µια νοητική επεξεργασία και µετατροπή ενός νοητικού µοντέλου σε πραγµατικό, δηλαδή µιας νοητικής αναπαράστασης σε εξωτερική. Ο µαθητής πρέπει να διερευνήσει το σχήµα του φυσικού περιβάλλοντος (π.χ µέτρηση, κατανόηση των ειδών σχηµάτων από τα οποία αποτελείται το σχήµα, των ιδιοτήτων που έχουν τα σχήµατα, όπως τη συµµετρία κ.λ.π.) και στη συνέχεια να κατασκευάσει το µοντέλο υπό κλίµακα. Θα παρουσιαστούν παραδείγµατα στα οποία η ψηφιακή εικόνα παίζει ενισχυτικό ρόλο στην κατανόηση των ιδιοτήτων του σχήµατος, αλλά και παράδειγµα στο οποίο η ψηφιακή εικόνα µπορεί να φέρει στην επιφάνεια τα γνωστικά εµπόδια των µαθητών και κατά συνέπεια να οδηγήσει σε λάθη. Τα λάθη αυτά οφείλονται κυρίως στο επίπεδο van Hiele τους (δηλ. στο επίπεδο γεωµετρικής ανάπτυξης το οποίο από µαθητή σε µαθητή µπορεί να διαφέρει). Έτσι οι µαθητές µπορεί να έχουν ικανότητα ή όχι αναγνώρισης των ιδιοτήτων του σχήµατος, εφαρµογής των σχετικών κανόνων και γενικότερα ανάπτυξης της λύσης του προβλήµατος µε παραγωγικό συλλογισµό. Παραδείγµατα προκατασκευασµένων µοντελοποιήσεων σε δυναµικό µέσο Παράδειγµα Α. υο µηχανικοί σχεδιάζουν την κατασκευή ενός υπογείου σταθµού METRO στη συµβολή των οδών Συγγρού και Λαγουµιτζή. Α είναι η αρχή του συστήµατος συντεταγµένων, Β το σηµείο τοµής των ευθειών που αναπαριστούν τις δυο προαναφερόµενες οδούς, Κ, Λ τα σηµεία τοµής της οδού Λαγουµιτζή µε τους άξονες. Αν η ευθεία που αναπαριστά την οδό Συγγρού είναι η y= x, και η ευθεία που αναπαριστά την οδό Λαγουµιτζή είναι η y= -x+13 στο σύστηµα ορθογωνίων συντεταγµένων: (α) να εξετάσετε αν οι δυο οδοί είναι κάθετες µεταξύ τους (β) να βρείτε την συντεταγµένη του σηµείου τοµής των δυο οδών στον χάρτη (γ) να αιτιολογήσετε την άποψή σας για το είδος του οικοδοµικού τριγώνου ΑΒΚ που σχηµατίζεται (δ) να βρεθούν οι συντεταγµένες του σηµείου τοµής της οδού Λαγουµιτζή (ευθείας ΒΚ) µε τον άξονα yy. Αν το σηµείο τοµής της ΒΚ µε τον άξονα yy ονοµάζεται Λ, τότε τι οικοδοµικό τρίγωνο είναι το ΑΚΛ; Ποιο το εµβαδόν της περιοχής του οικοδοµικού τριγώνου ΑΚΛ; (1) Μοντελοποίηση του προβλήµατος στο λογισµικό Αντιγράφουµε το χάρτη και τον επικολλούµε σε µια σελίδα αρχείου του λογισµικού δυναµικής γεωµετρίας Geometer s Sketchpad (έκδοση 4 ή 5 του λογισµικού). Επιλέγουµε το εργαλείο ευθειών και κατασκευάζουµε δυο - 116 -

ευθείες οι οποίες οπτικοποιούν (α) τη θέση των ευθειών Συγγρού και Λαγουµιτζή στο χάρτη, (β) την καθετότητα των ευθειών αυτών, ιδιότητα η οποία παραµένει αναλλοίωτη σε κάθε σύρσιµο του σηµείου της ευθείας ή της τοµής των ευθειών. Επιλέγουµε τις ευθείες και αλλάζουµε χρώµα, ώστε οι µαθητές να έχουν τη δυνατότητα οπτικοποίησης της αλλαγής των ιδιοτήτων των ευθειών αυτών αλλά και των σηµείων τοµής των ευθειών αυτών. Κατασκευάζουµε το σύστηµα ορθογωνίων συντεταγµένων στο λογισµικό και εξετάζουµε ποιες εξισώσεις ευθειών αναπαριστούν συµβολικά τις δυο ευθείες. Για να λυθεί το πρόβληµα είναι αναγκαίο ο µαθητής/τρια να αναγνωρίσει οπτικά την καθετότητα των ευθειών και να ανακαλέσει τη σχετική θεωρία που συνδέεται µε τους συντελεστές διευθύνσεως των ευθειών. Εποµένως, να µεταφράσει µια εικονική αναπαράσταση του προβλήµατος σε λεκτική και συµβολική, εφαρµόζοντας διαδικαστικά το κατάλληλο θεώρηµα για τη λύση του προβλήµατος. Κατά συνέπεια, να έχει αναπτυγµένη την οπτικοχωρική ικανότητα και τη διαδικαστική γνώση θεωρηµάτων. Εικόνα 3. Μοντελοποίηση του προβλήµατος στο λογισµικό δυναµικής γεωµετρίας Η διαδικαστική ικανότητα επίλυσης συστήµατος δυο εξισώσεων µε δυο αγνώστους, καθώς και η σύνδεση της γεωµετρίας (έννοια ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου και ιδιοτήτων του σχήµατος), της τριγωνοµετρίας (τριγωνοµετρικοί αριθµοί µιας γωνίας) και της άλγεβρας (κλίση ευθείας) είναι ένα ακόµα ζήτηµα. Αυτό που είναι σηµαντικό στο παρόν πρόβληµα είναι ο µαθητής/τρια εννοιολογικά να ταυτίσει την έννοια της ευθείας στο επίπεδο µε την ευθεία στο χώρο, ώστε να τη χειριστεί µέσω των ιδιοτήτων - 117 -

της. Αυτό προϋποθέτει την εννοιολογική κατανόηση των προαναφεροµένων εννοιών. (2) Επίλυση του µοντελοποιηµένου προβλήµατος (α) Αν η ευθεία που αναπαριστά την οδό Συγγρού είναι η y= x, και η ευθεία που αναπαριστά την οδό Λαγουµιτζή είναι η y= -x+13 στο σύστηµα ορθογωνίων συντεταγµένων τότε ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας y= x είναι ίσος µε λ 1 = 1 και της ευθείας y= - x+13 είναι ίσος µε λ 2 = -1. Εποµένως, λ 1 λ 2 = -1, άρα οι ευθείες είναι κάθετες µεταξύ τους. (β) Το σηµείο τοµής των δυο οδών του χάρτη είναι το αποτέλεσµα της επίλυσης του συστήµατος των δυο εξισώσεων : y= x x= - x+13 x= 13/2 y= - x+13 y= x y= x= 13/2 (γ) λ 1 =1 άρα εφβακ =1= εφ 45 ο. Άρα η γωνία ΒΑΚ = 45 ο. Εποµένως το τρίγωνο ΑΒΚ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. (δ) Το σηµείο Κ είναι το σηµείο τοµής της ευθείας y= - x+13 µε τον άξονα χχ. Για y=0 έχουµε x = 13. Εποµένως οι συντεταγµένες του σηµείου Κ είναι (13, 0). Στην ευθεία y= - x+13, για x = 0 έχουµε y = 13. Εποµένως οι συντεταγµένες του σηµείου Λ είναι (0, 13). Τότε, το τρίγωνο ΑΚΛ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές αφού οι αποστάσεις των σηµείων Κ, Λ από το σηµείο Α αρχή των αξόνων-- είναι ίσες µε 13 cm. Το εµβαδόν του τριγώνου ΑΚΛ είναι (ΑΚΛ)= ΑΚ ΑΛ / 2= 169 /2 = 84, 5 cm 2. Το σηµείο Λ είναι το σηµείο τοµής της ευθείας y= - x+13 µε τον άξονα yy. Το σηµείο αυτό έχουµε επιδιώξει να µη φαίνεται στο διάγραµµα, ώστε ο µαθητής να προεκτείνει το ευθύγραµµο τµήµα και να αναγνωρίσει το είδος του τριγώνου από το διάγραµµα. Ο τρόπος λύσης του προβλήµατος εκ µέρους του µαθητή στο σηµείο αυτό δίνει τη δυνατότητα στο δάσκαλο των µαθητών να διερευνήσει (ή και ελέγξει) το επίπεδο γεωµετρικής ανάπτυξης του µαθητή/τριας κατά van Hiele. Αν η αναγνώριση του τριγώνου επιτευχθεί µόνο νοητικά και χωρίς ο µαθητής να φέρει γραµµές, συνεπάγεται ότι έχει προχωρήσει στο επίπεδο γεωµετρικής σκέψης κατά van Hiele και έχει αναπτύξει την αφαιρετική του ικανότητα. ηλαδή, έχει συνδέσει διαδικασίες και έννοιες, αφού αναγνωρίζει τις ιδιότητες του σχήµατος από το διάγραµµα. Εποµένως, έχει αποκτήσει την ικανότητα να µεταφράσει τη διατύπωση του προβλήµατος σε συµβολική έκφραση και στη συνέχεια σε εικονική, έχοντας αναγνωρίσει οπτικά τη λύση του προβλήµατος. - 118 -

Παράδειγµα Β. Στο σιντριβάνι της εικόνας 2 το νερό σχηµατίζει µια παραβολική τροχιά. (α) Από τη γραφική παράσταση να βρείτε το µέγιστο ύψος που µπορεί να φτάσει το νερό και το χρόνο που χρειάζεται γι αυτό. (β) Το συνολικό χρόνο πτώσης του νερού. (γ) Το ύψος του νερού στο 1 sec. (δ) Η καµπύλη της παραβολής είναι h = αt -βt 2 όπου h το ύψος του νερού µετά από t δευτερόλεπτα. Να βρείτε τα α, β. (ε) Αν γνωρίζετε ότι το ύψος του νερού είναι 1m να βρείτε το χρόνο που χρειάστηκε το νερό για να φτάσει σ αυτό το ύψος. (1) Μοντελοποίηση του προβλήµατος στο λογισµικό Αντιγράφουµε µια εικόνα ενός σιντριβανιού που βρίσκουµε στο διαδίκτυο και την επικολλούµε σε µια σελίδα αρχείου του λογισµικού δυναµικής γεωµετρίας Geometer s Sketchpad (έκδοση 4 ή 5 του λογισµικού). Κατασκευάζουµε τη γραφική παράσταση της παραβολής προσεγγίζοντας οπτικά την καµπύλη του σιντριβανιού και τοποθετούµε τις τιµές στους άξονες που θα βοηθήσουν τους µαθητές να οπτικοποιήσουν τις ιδιότητες της καµπύλης. Για να λυθεί το πρόβληµα είναι αναγκαίο ο µαθητής να αναγνωρίσει το σχήµα της παραβολής (οπτικοχωρική ικανότητα) και να µεταφράσει µια εικονική αναπαράσταση του προβλήµατος σε συµβολική. Σηµαντική βοήθεια οι τιµές που έχουν τοποθετηθεί στους άξονες της διαγραµµατικής αναπαράστασης. Από την ικανότητα µετάφρασης του γραφήµατος θα κριθεί εποµένως η ικανότητα του µαθητή/τριας να συνδέει πολλαπλές αναπαραστάσεις, να αναγνωρίζει τις ιδιότητες που έχει το σχήµα (π.χ. στην παραβολή το σηµείο µεγίστου της παραβολής, τη συµµετρία της καµπύλης ως προς άξονα κλπ.) γενικότερα ποιες είναι οι ιδιότητες της καµπύλης. Στη συνέχεια από την καµπύλη να αναγνωρίσει τις συντεταγµένες του διαγράµµατος που αποτελούν το σηµείο τοµής µε τον άξονα xx, το οποίο δεν έχει σηµειωθεί στην γραφική παράσταση. Εποµένως, πρέπει να γνωρίζει την ιδιότητα της παραβολής: «κάθε παραβολή είναι συµµετρική ως προς άξονα συµµετρίας, την ευθεία που διέρχεται από το µέγιστο της παραβολής και είναι κάθετη στον άξονα xx». Το τµήµα (δ) επιλύεται, αν ο µαθητής έχει αναπτύξει την ικανότητα µετάφρασης µεταξύ των δυο µορφών αναπαραστάσεων, καθώς και τη διαδικαστική ικανότητα επίλυσης συστήµατος δυο αγνώστων στην Άλγεβρα. Στο τµήµα (ε) είναι αναγκαία η ικανότητα επίλυσης δευτεροβάθµιας εξίσωσης, αφού αντικαταστήσει τις τιµές των παραµέτρων α, β, δηλαδή των αποτελεσµάτων που έχουν προκύψει στα προηγούµενα - 119 -

βήµατα του προβλήµατος. Στη συνέχεια ο µαθητής να διαπιστώσει ότι τα αποτελέσµατα του είναι αληθή από το γράφηµα της παραβολής, όπου στα χρονικά σηµεία t 1, 2 = 1 sec ή 6 sec το ύψος είναι σε ύψος 1m. Το πρόβληµα εποµένως απαιτεί την ικανότητα µοντελοποίησης στο επίπεδο ικανού χειρισµού αλγεβρικών εννοιών και στη συνέχεια µετάφρασης των αποτελεσµάτων στο πραγµατικό πλαίσιο. (2) Επίλυση του µοντελοποιηµένου προβλήµατος (α) Από τη γραφική παράσταση έχουµε ότι στα t=4 sec το ύψος h =2 m. (β) Ο συνολικός χρόνος πτώσης του νερού είναι 8 sec. (γ) Το ύψος του νερού στο 1 sec είναι h =1 m. (δ) Με αντικατάσταση όπου t=4 sec και h =2 m, καθώς και t=1 sec είναι h =1 m στον τύπο h = αt -βt 2 βρίσκουµε ότι α= 7/6 και β= 1/6. (ε) Ο χρόνος που χρειάστηκε το νερό για να φτάσει σε ύψος 1m µπορεί να υπολογιστεί ως αποτέλεσµα της επίλυσης δευτεροβάθµιας εξίσωσης h = αt -βt 2 => 1= 7/6 t - 1/6 t 2 => t 1, 2 = στα 1 sec ή στα 6 sec. Εικόνα 4. Μοντελοποίηση του προβλήµατος στο λογισµικό δυναµικής γεωµετρίας Παράδειγµα Γ. Στο αναβατόριο της εικόνας κάτω να υπολογιστεί το ύψος στο οποίο βρίσκονται οι εργάτες. (α) Αν γνωρίζουµε ότι οι ευθείες ΚΡ και ΝΗ είναι παράλληλες και η γωνία ΗΝΕ είναι ίση µε 30 ο να εκφράσετε το - 120 -

ύψος του σηµείου Ρ και του σηµείου Η από το έδαφος συναρτήσει του ΑΤ=x. Γνωρίζετε ακόµα ότι ΤΕ= 2 m και ΜΑ = 1 m. (β) Να υπολογίσετε τα ΡΕ, ΗΕ, όταν x = 3. (1) Μοντελοποίηση του προβλήµατος στο λογισµικό Η αντιγραφή και επικόλληση στο λογισµικό Geometer s Sketchpad εικόνας που αναπαριστά το αναβατόριο και στη συνέχεια η κατασκευή συστήµατος αξόνων και ευθειών οι οποίες τέµνουν τους άξονες οδηγεί τους µαθητές στη διαπίστωση της σχέσης µεταξύ της κλίσης ευθείας, της έννοιας της παραλληλίας των ευθειών και της οµοιότητας των τριγώνων (Εικόνα 5). ηλαδή, οι µαθητές θα αναγνωρίσουν τις παράλληλες ευθείες και θα συσχετίσουν την έννοια των παραλλήλων ευθειών µε την έννοια της εφαπτοµένης της γωνίας κλίσης των ευθειών. Στη συνέχεια θα εφαρµόσουν τις ιδιότητες των οµοίων τριγώνων για τον υπολογισµό τµηµάτων. Εικόνα 5. Μοντελοποίηση του προβλήµατος στο λογισµικό δυναµικής γεωµετρίας ιαφορετική διάσταση αποκτά η προσοµοίωση του ψηφιακού σχήµατος στο λογισµικό δυναµικής γεωµετρίας (Εικόνα 6). Στην περίπτωση αυτή το πρόβληµα µπορεί να διαφοροποιηθεί από το προηγούµενο ή να εµπλουτιστεί µε διερεύνηση γεωµετρικών εννοιών (π.χ αναφορικά µε τα είδη των γωνιών που σχηµατίζονται, αν αυτές οι γωνίες είναι ή παραµένουν ίσες όταν το αναβατόριο ανυψώνεται και µε ποιο επιχείρηµα στηρίζουν την άποψή τους, τα είδη των τετραπλεύρων που σχηµατίζονται και τα είδη συµµετρίας του σχήµατος κ.λ.π.). Η διερεύνηση του δυναµικού σχήµατος µπορεί να οδηγήσει τους µαθητές στην ανακάλυψη ιδιοτήτων του σχήµατος - 121 -

µε ενεργητικό τρόπο, το οποίο δεν έχουν δυνατότητα να κάνουν, όταν πρόκειται να χρησιµοποιήσουν µόνο τις ιδιότητες µιας ψηφιακής εικόνας. Για παράδειγµα, ο µαθητής έχει τη δυνατότητα στο δυναµικό περιβάλλον να οπτικοποιήσει τις µεταβολές στις γωνίες λόγω αυξοµείωσης του ύψους και να οδηγηθεί σε συµπεράσµατα µε επαγωγικό συλλογισµό για τα σχήµατα. Εικόνα 6. Προσοµοίωση του προβλήµατος στο λογισµικό δυναµικής γεωµετρίας (2) Επίλυση του µοντελοποιηµένου προβλήµατος (α) Οι γωνίες ΜΚΟ και ΗΝΟ (Εικόνα 5) είναι ίσες ως εντός εκτός και επί τα αυτά των παραλλήλων ευθειών ΚΡ, ΝΗ. AT= x εφν = ΑΤ/ ΝΤ εφν = x/ ΝΤ εφ30 ο = x/ ΝΤ ΝΤ = x 3 ΝΕ = ΝΤ + ΤΕ = x 3 + 2. ΗΕ = εφν ΝΕ= 3 (x 3 + 2) / 3. Το ΜΑΗΡ είναι παραλληλόγραµµο, εποµένως ΡΗ= ΜΑ = 1 m. Άρα ΡΕ= ΡΗ+ ΗΕ = 1+ [ 3 (x 3 + 2)] / 3 = =(3 + 2 3 + 3 x) / 3. (β) ΗΕ = 3 ( 3 3 + 2) / 3 = 3 5/3 και ΡΕ= (3 + 2 3 + 3 3 ) / 3 = (3+ 5 3 )/3 Παράδειγµα Ε. Τροχός κυκλικός αφήνεται να κυλίσει από τα σηµεία Α, Β ενός λοφίσκου. Να υπολογίσετε την απόσταση µεταξύ των δυο σηµείων του λοφίσκου, όταν γνωρίζετε ότι η ακτίνα του τροχού είναι ίση µε 1m. - 122 -

(1) Μοντελοποίηση του προβλήµατος στο λογισµικό Η εικόνα είναι µια προσοµοίωση της δραστηριότητας περιστροφής του τροχού στο δυναµικό περιβάλλον, µε στόχο τη µέτρηση της απόστασης µεταξύ δυο σηµείων Α, Β ενός λόφου. Τα χρώµατα [πράσινο του λόφου] οι προσοµοιώσεις δέντρων [φράκταλ κατασκευές που κάνουν την εικόνα να µοιάζει πραγµατική] και ο τροχός που µπορεί να περιστραφεί και ο µαθητής/τρια έχει την δυνατότητα να µετρήσει τις πλήρεις περιστροφές του στην οθόνη του υπολογιστή βιωµατικά συνιστούν κίνητρο για τη µάθηση των εννοιών. Το πρόβληµα µπορεί να τεθεί στους µαθητές για να διερευνηθεί η κατανόηση της µαθησιακής διαδικασίας µήκους κύκλου, όταν γνωρίζουµε την ακτίνα του κύκλου. Μπορεί να λυθεί από τους µαθητές, όταν αυτοί αναγνωρίσουν το θεµατικό πλαίσιο στο οποίο ανήκει και εποµένως εφαρµόσουν διαδικαστικά τη θεωρία για τη λύση του. Εικόνα 7. Προσοµοίωση του προβλήµατος στο λογισµικό δυναµικής γεωµετρίας Η γνώση που ο µαθητής κατακτά µέσω του προβλήµατος µε ενεργητική µάθηση είναι αποτέλεσµα της ικανότητας οπτικοποίησης και µετατροπής της εικονικής αναπαράστασης σε συµβολική και λεκτική. Εποµένως, η επίλυση του πραγµατικού προβλήµατος στο δυναµικό περιβάλλον έχει ως συνέπεια την ενεργοποίηση του µαθητή, και µια αλληλουχία διαδικασιών για να υπολογίσουν το αποτέλεσµα (Πατσιοµίτου, 2006, 2007). Το πρόβληµα µπορεί να συντελέσει στην αξιολόγηση του τι γνωρίζουν οι µαθητές, ποιες µεθόδους χρησιµοποιούν για την επίλυση και τον τρόπο που µοιράζονται τις ιδέες τους µέσα στο περιβάλλον της τάξης, πώς - 123 -

αναστοχάζονται στα µαθηµατικά καθώς και πώς η µάθηση πληροφορεί ακόµα και για τη γνώση του ίδιου του εκπαιδευτικού. Αυτό συνιστά µέρος ενός διδακτικού κύκλου (Simon, 1995) της µαθησιακής διαδικασίας των εννοιών που αναφέρονται στο Πρόγραµµα Σπουδών. Μη προκατασκευασµένες µοντελοποιήσεις στο στατικό ή δυναµικό περιβάλλον. Παράδειγµα Α. Να περιγράψετε τα είδη συµµετρίας που αναγνωρίζετε στο µοτίβο του υφαντού και να σχεδιάσετε τους άξονες συµµετρίας του σχήµατος και το κέντρο συµµετρίας που αναγνωρίζετε. Να κατασκευάσετε το ίδιο µοτίβο χρησιµοποιώντας (α) το χάρακα και το διαβήτη και (β) ένα λογισµικό δυναµικής γεωµετρίας (π.χ το Geometer s Sketchpad ή το Geogebra). Ανάλυση του προβλήµατος: Εικόνα 8. Εικόνα υφαντού Εικόνα 9. Επεξεργασία του µοτίβου στο λογισµικό δυναµικής γεωµετρίας Εκθέµατα στο Μουσείο Λαϊκής Τέχνης, όπως λαϊκές τοπικές ενδυµασίες των διαφόρων µερών της Ελλάδος (π.χ ορεινής Ηπείρου, Θεσσαλίας, Αιγαίου) ή υφαντά σαν αυτό που απεικονίζεται στην εικόνα 8, αποκτούν ιδιαίτερο ενδιαφέρον, όταν οι µαθητές ανακαλύπτουν τα Μαθηµατικά που εµπεριέχουν. Κυρίαρχο στοιχείο των γεωµετρικών µοτίβων η συµµετρία των µερών του. Για παράδειγµα στο σχέδιο της εικόνας 9 είναι εµφανείς οι συµµετρίες του σχήµατος (κεντρική αξονική συµµετρία ή αξονική συµµετρία των επιµέρους σχηµάτων) αλλά και οι συµµετρίες των σχηµάτων (αξονική ή κεντρική) που απαρτίζουν το συνολικό σχήµα. Η επικόλληση της ψηφιακής εικόνας στο λογισµικό και η επεξεργασία της εικόνας µε κατάλληλους µετασχηµατισµούς (π.χ µεγέθυνση της εικόνας, τοποθέτηση - 124 -

δυναµικών γραµµών σ αυτή για ενίσχυση των παρατηρήσεων, διερεύνηση συµµετρίας των δυναµικών γραµµών µε τα εργαλεία µετασχηµατισµού του λογισµικού κ.λ.π) µπορεί να οδηγήσει τους µαθητές στην κατανόηση του είδους των γεωµετρικών αντικειµένων και των ιδιοτήτων τους στο σχήµα. Παράδειγµα Β. Κάποιος επικαλύπτει σταδιακά την επιφάνεια του διαχωριστικού κάγκελου µεταξύ δυο οικιών. (π.χ αρχικά του σχήµατος που φαίνεται στην εικόνα 10, 11 κ.λ.π.). Να υπολογίσετε την επιφάνεια του µεταλλικού υλικού που είναι αναγκαίο για να επικαλυφθεί σταδιακά η επιφάνεια του διαχωριστικού κάγκελου. Να υπολογίσετε πόσο αυξάνεται η επιφάνεια του µεταλλικού υλικού, όταν γνωρίζετε ότι το τµήµα ΑΕ=0,5m το ΑΖ = 1 m, ΑΜ=1,5 m κ.ο.κ. Ανάλυση του προβλήµατος: Εικόνα 10.Επεξεργασία της εικόνας του διαχωριστικού κάγκελου στο λογισµικό δυναµικής γεωµετρίας Εικόνα 11. Συνδεόµενες Οπτικές Ενεργές Αναπαραστάσεις του προβλήµατος Το παράδειγµα µπορεί να αποτελέσει ένα πρακτικό παράδειγµα που χρησιµεύει για την κατανόηση του κανόνα µε τον οποίο αυξάνονται η περίµετρος και τα εµβαδόν του κύκλου ή του κυκλικού τοµέα, όταν η ακτίνα του κύκλου διπλασιάζεται, τριπλασιάζεται κ.ο.κ, ενώ η επίκεντρη γωνία µε την οποία σχηµατίζεται ο κυκλικός τοµέας παραµένει σταθερή. Οι µαθητές θα αναγνωρίσουν το σχήµα του τεταρτοκυκλίου και θα προσαρµόσουν το γνωστικό σχήµα που έχουν σχηµατίσει νοητικά, ώστε να συµπεριλάβουν την έννοια του κυκλικού τοµέα. Μέσα από τους υπολογισµούς θα ανακαλύψουν ένα κανόνα (pattern) για τη διαδικασία υπολογισµού του εµβαδού του κυκλικού τοµέα, όταν η ακτίνα - 125 -

διπλασιάζεται, τριπλασιάζεται κ.λ.π. Οι συνδεόµενες οπτικές ενεργές αναπαραστάσεις (π.χ. Patsiomitou, 2008) που οι µαθητές θα κατασκευάσουν στο λογισµικό σταδιακά, θα τους βοηθήσουν να αναπτύξουν διαδικαστικά και εννοιολογικά συνδεδεµένες νοητικές αναπαραστάσεις (Patsiomitou, 2012). Παράδειγµα Γ. Να αναπαραστήσετε στο τετράδιο σας το µοτίβο που σχηµατίζεται από τα πλακίδια στην εικόνα. Στη συνέχεια να υπολογίσετε το εµβαδόν του σχήµατος. Πόσες µεθόδους υπολογισµού του εµβαδού µπορείτε να σκεφθείτε; Ανάλυση του προβλήµατος: Εικόνα 12.Μοτίβο προαύλιου χώρου Η αναπαράσταση του µοτίβου µόνο µε παρατήρηση της εικόνας του πραγµατικού περιβάλλοντος και χωρίς να έχει προηγηθεί η φυσική παρατήρηση του αντικειµένου, µπορεί να οδηγήσει σε εµπόδια τους µαθητές αναφορικά µε το είδος του σχήµατος που έχει το εσωτερικό ή εξωτερικό τετράπλευρο, τη συµµετρία του σχήµατος κ.λπ. Οι µαθητές (και ειδικότερα όταν δεν έχει αναπτυχθεί επαρκώς το επίπεδο van Hiele τους) θα αντιµετωπίσουν δυσκολία στην αναπαράσταση του σχεδίου σε περιβάλλον χαρτιού-µολυβιού. Για παράδειγµα στην εικόνα 12, 13 παρουσιάζεται η προσοµοίωση του τετραπλεύρου ΑΒΚΝ, καθώς και του τετραπλεύρου ΕΗΙΖ. Οι πρόσθετες - 126 -

πληροφορίες των τετραπλεύρων του µοτίβου --όπως οι διαστάσεις των πλακιδίων στα οποία διαµερίζεται το ΑΒΚΝ-- βοηθούν να κατανοήσουµε ότι το σχήµα είναι τετράγωνο. Οµοίως, η πληροφορία ότι η γωνία ω είναι ίση µε 90 ο και οι αποστάσεις ΟΖ, ΟΕ είναι ίσες, οδηγεί σε µια ακολουθία αλληλένδετων πληροφοριών για το σχήµα (ιδιότητες του σχήµατος, είδη υποσχηµάτων). Εικόνα 13. Επεξεργασία της εικόνας στο δυναµικό περιβάλλον Το πρόβληµα µπορεί να έχει πολλές εφαρµογές από µαθηµατικής άποψης. Η οργάνωση της δράσης µπορεί να περιλάβει διάφορες φάσεις: την διερεύνηση του µοτίβου από τους µαθητές κατά τη διάρκεια της διδασκαλίας, καθώς και την πειραµατική του µελέτη (π.χ µετρήσεις, είδη υποσχηµάτων), και την αναπαράσταση του µοτίβου (α) σε χαρτί µιλιµετρέ υπό κλίµακα ή και (β) σε υλικό της επιλογής τους. Ακόµα τον υπολογισµό του εµβαδού του σχήµατος µε πολλούς τρόπους: (α) χρησιµοποιώντας ως µονάδα µέτρησης το εµβαδόν του ενός πλακιδίου και στη συνέχεια όλου του σχήµατος, (β) υπολογίζοντας το εµβαδόν του σχήµατος του ενός πλακιδίου σε τετραγωνικά µέτρα και από αυτό το εµβαδόν του συνολικού σχήµατος, (γ) υπολογίζοντας τις διαστάσεις των σχηµάτων (τετραγώνων) και στη συνέχεια --µε τη βοήθεια των τύπων εµβαδού των γεωµετρικών σχηµάτων-- το εµβαδόν του συνολικού σχήµατος. Ο µαθητής εµπλέκεται σε µια διαδικασία µετατροπής της εικόνας του φυσικού περιβάλλοντος και εποµένως πρόκειται για µια διαδικασία µετατροπής της πραγµατικής εικόνας σε εικονική αναπαράσταση, αφού προηγηθεί νοητική επεξεργασία. Παράδειγµα. Πρόκειται να γίνουν κάποιες επισκευές στο Κέντρο Ζορζ Ποµπιντού. Αν ο µηχανικός γνωρίζει την γωνία που σχηµατίζει ο αγωγός µε το παράλληλο επίπεδο, αλλά δεν γνωρίζει τα ύψη στα σηµεία Κ, Ν από το έδαφος προκειµένου να ολοκληρώσει τις επισκευές, µπορείτε να τον βοηθήσετε να τα υπολογίσει; - 127 -

Εικόνα 14. Κέντρο Ζορζ Ποµπιντού Εικόνα 15. Επεξεργασία της εικόνας στο δυναµικό περιβάλλον Ανάλυση του προβλήµατος: Στις εικόνες επάνω παρατηρούµε δυο διαφορετικές όψεις του εξωτερικού αγωγού στο Κέντρο Ζορζ Ποµπιντού από διαφορετικά σηµεία. Η εικόνα 14 δεν µας δίνει σαφείς πληροφορίες για τη σχέση µεταξύ των τµηµάτων του αγωγού. Η µεταφορά µιας διαφορετικής εικόνας στο λογισµικό και η επεξεργασία της εικόνας µε δυναµικές γραµµές, γωνίες κ.λ.π. µπορεί να οδηγήσει σε σχήµα το οποίο µας παρέχει πληροφορίες υπό κλίµακα. Εποµένως η εύρεση της λύσης µε σχετικές διαδικασίες όπως και στα προηγούµενα θέµατα (εύρεση γωνίας κλίσης, κατασκευή γραµµικής εξίσωσης ευθείας, χρήση οµοιότητας των τριγώνων κ.λ.π.) µπορεί να γίνει µε σχετικά απλό τρόπο, όταν ο µαθητής προσοµοιώσει το σχήµα της εικόνας 15, ώστε να πάρει την εικόνα 16. Εικόνα 16. Επίλυση του µαθηµατικού προβλήµατος - 128 -

Παράδειγµα Ε. Μοντελοποίηση fractal τριγώνου του Sierpinski στο χώρο. Ανάλυση του προβλήµατος: Η διαδικασία µοντελοποίησης ενός fractal Sierpinski εξελίσσεται σε διαφορετικές φάσεις. Εικόνα 17α: Σταδιακές φάσεις µοντελοποίησης του τριγώνου Sierpinski µε τα παιδιά του Οµίλου των fractals 1. Κατανόηση της έννοιας των fractal αντικειµένων και διερεύνηση ενός τριγώνου Sierpinski µέσα από εικόνες στο διαδίκτυο. 2. Μοντελοποίηση ενός τριγώνου Sierpinski στο επίπεδο στο περιβάλλον χαρτιού µολυβιού και διαπίστωση της αδυναµίας να προχωρήσουν στο εσωτερικό του σχήµατος µε επαναληπτικές διαδικασίες. 3. Κατασκευή ενός τριγώνου ισοπλεύρου, των µέσων και στη συνέχεια αποθήκευση ως προσαρµοσµένο εργαλείο (custom tool) του λογισµικού δυναµικής γεωµετρίας Geometer s Sketchpad.(Πατσιοµίτου, 2007). 4. Κατασκευή ενός τριγώνου Sierpinski στο δυναµικό περιβάλλον και µε τη βοήθεια διαδραστικού πίνακα, µε εφαρµογή του προσαρµοσµένου εργαλείου. 5. Κατασκευή και επανάληψη της διαδικασίας στο εργαστήριο µε υλικά µέσα (χαρτόνι, ψαλίδι, κόλλα και γεωµετρικά όργανα). - 129 -

6. Επανάληψη της δοµής του αρχικού τριγώνου Sierpinski, ώστε να µοντελοποιηθεί η δοµή του σχήµατος στο επίπεδο. Η διαδικασία αυτή απεικονίζεται µε χαρακτηριστικές εικόνες από την εξέλιξη της διαδικασίας όπως ολοκληρώθηκε την σχολική χρονιά 2011-12 στο 1 ο Πρότυπο Πειραµατικό Γυµνάσιο µε τους µαθητές που συµµετείχαν στον Όµιλο των fractals, του οποίου είχα την ευθύνη. υσκολία συνάντησαν οι µαθητές όχι µόνο στην κατασκευή του προσαρµ. εργαλείου και την εφαρµογή του αλλά και στην εφαρµογή της ορθής διαδικασίας για τη δοµή του τελικού σχήµατος του τριγώνου Sierpinski στον προαύλιο χώρο του σχολείου. Αυτή οφείλεται στο γεγονός ότι είχαµε µιας πολλαπλής µορφής µοντελοποίηση. ηλαδή, (α) τη µοντελοποίηση από την εικόνα του διαδικτύου στο στατικό µέσο, (β) από τη νοητική εικόνα που είχαν σχηµατίσει στο δυναµικό περιβάλλον ως αποκωδικοποίηση στο πραγµατικό περιβάλλον µε χρήση υλικών µέσων. Όλες αυτές οι διαδικασίες οδήγησαν τους µαθητές να κατασκευάσουν στο νου τους συνδεόµενες οπτικές αναπαραστάσεις λόγω της αλληλεπίδρασης µε τις συνδεόµενες οπτικές ενεργές αναπαραστάσεις (Patsiomitou, 2008 a, b, 2010, 2011, 2012) του λογισµικού δυναµικής γεωµετρίας οι οποίες τους οδήγησαν στην ανάπτυξη της ικανότητας δοµικής ανάλυσης των σχηµάτων και στην αποκωδικοποίηση της νοητικής τους εικόνας σε πραγµατική. - 130 -

Εικόνα 17β: Σταδιακές φάσεις µοντελοποίησης του τριγώνου Sierpinski µε τα παιδιά του Οµίλου των fractals στο 1 ο Πρότυπο Πειραµατικό Γυµνάσιο Αθηνών Συζήτηση Σύµφωνα µε τους Μουσουλίδης, Κάττου, Πιττάλης & Χρίστου (2006) Η διαδικαστική γνώση και η έλλειψη πολλές φορές εννοιολογικής κατανόησης, φαίνεται να δυσκολεύει όλους τους µαθητές, αλλά περισσότερο τους µαθητές ηµοτικού, για την επέκταση των µοντέλων που αναπτύσσουν σε διαφορετικές καταστάσεις από αυτές που δίνονται στα διάφορα προβλήµατα (Lesh & Doerr, 2003). Το σηµείο αυτό έχει ιδιαίτερη σηµασία για τους δασκάλους, αφού προτείνεται η κατασκευή προβληµάτων που να ενθαρρύνουν τους µαθητές να εφαρµόσουν τις γνώσεις τους, εµπλέκοντας προϋπάρχουσες έννοιες και διαδικασίες. (http://pek.org.cy/proceedings_2006/1.kefalaio1themata mathimatikis Paideias/1.21.N.Mousoulides et al.pdf, σελ. 268) Αν συγκριθεί µε την παραδοσιακή προσέγγιση, η διαδικασία διδασκαλίας και µάθησης των εννοιών µε πραγµατικά προβλήµατα προσφέρει πολλά πλεονεκτήµατα, αφού συνιστά «τη γέφυρα µεταξύ των Μαθηµατικών ως εργαλείων για την περιγραφή φυσικών καταστάσεων, αλλά και για την ανάλυση των αφαιρετικών δοµών [στα Μαθηµατικά του προβλήµατος]» (Corte, Verschaffel & Greer, 2000, p.71). Η µάθηση των Μαθηµατικών µπορεί να επιτευχθεί τότε για τον κάθε (µεµονωµένο) µαθητή µέσω της «συζήτησης, της πραγµάτευσης, της επιχειρηµατολογίας» (Jaworski, 2003, p. 3) στο κοινωνικό περιβάλλον της τάξης συµπεριλαµβανοµένης της ατοµικής διαπραγµάτευσης των µαθηµατικών εννοιών (Jaworski, 2003). Εποµένως, τα προβλήµατα - 131 -

πραγµατικού πλαισίου θα αποτελέσουν το µέσο, αλλά και το εργαλείο, για να αναπτυχθούν µαθηµατικές συζητήσεις, οι οποίες θα διαφωτίσουν το πώς αντιλαµβάνονται οι µαθητές ένα µαθηµατικό αντικείµενο στο φυσικό περιβάλλον. Από την άλλη οι µαθητές προετοιµάζονται ως πολίτες µε κριτική ικανότητα ανάλυσης των δεδοµένων του περιβάλλοντος αλλά και εφαρµογών του στην µαθηµατική εκπαίδευση. Βιβλιογραφικές αναφορές Almeqdadi, F. (2000). The effect of using the geometer s sketchpad (GSP) on Jordanian students understanding of geometrical concepts. Jordon: Yarmouk University.Ainsworth, S. (1999). The functions of multiple representations. Computers & Education, (33), 131-152. Ainsworth, S. (1999). The functions of multiple representations. Computers & Education, (33), 131-152. Biggs, J., & Collis, K. (1982). Evaluating the Quality of Learning: the SOLO Taxonomy.New York: Academic Press. Biggs, J. & Collis, K. (1991). Multimodal learning and the quality of intelligent behaviour.in H. Rowe (Ed.), Intelligence, Reconceptualization and Measurement. New Jersey.Laurence Erlbaum Assoc. Bruner, J. S. (1966). Towards a Theory of Instruction, New York: Norton. Burkhardt, H. (1981). The real world and mathematics. Glasgow, UK: Blackie Burger, W. F., & Shaughnessy, J. M. (1986). Characterizing the van Hiele levels of development in geometry. Journal for Research in Mathematics Education, 17, 31-48. Cobb, P. & Bauersfeld, H. (1995): Introduction: The coordination of psychological and sociological perspectives in mathematics education. In: P. Cobb & H. Bauersfeld (Eds.), The emergence of mathematical meaning: Interaction in classroom cultures (pp. 1 16). Hillsdale, NJ: Erlbaum. De Corte, E., Verschaffel, L., & Greer, B. (2000). Connecting mathematics problem solving to the real world. Proceedings of the International Conference on Mathematics Education into the 21st Century: Mathematics for living (pp 66-73). Amman, Jordan: The National Center for Human Resource Development. Dubinsky, E. & McDonald, M. A. (2001). APOS: A constructivist theory of learning in undergraduate mathematics education research. In D. Holton - 132 -

(Ed). The Teaching and Learning of Mathematics at University Level: An ICMI Study. New ICMI Study Series, Vol. 7 (pp. 273-280). Dordrecht: Kluwer. Retrieved from http://www.math.kent.edu/~edd/icmipaper.pdf De Villiers, M. (2004). Using dynamic geometry to expand mathematics teachers understanding of proof. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 35, 703 724. Dixon, J. (1996). English language proficiency and spatial visualization in middle school students construction of the concepts of reflection and rotation using the GSP. Dissertation Abstract International, DAI-A 56111, University of Florida. Fuys, D., Geddes, D., & Tischler, R. (1988). The Van Hiele model of thinking in geometry among adolescents. Journal for Research in Mathematics Education: Monograph Number 3. Fuys, D., Geddes, D., & Tischler, R. (Eds). (1984). English translation of selected writings of Dina van Hiele-Geldof and Pierre M. van Hiele. Brooklyn: Brooklyn College. (ERIC Document Reproduction Service No. ED 287 697). Gawlick, Th. (2005). Connecting arguments to actions dynamic geometry as means for the attainment of higher van Hiele levels. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, Vol. 37 (5), 361-370 Goldin, G. (2003). Representation in school mathematics: A unifying research perspective. In J. Kilpatrick, Martin, W., Schifter, D., & National Council of Teachers of Mathematics (Ed.). A research companion to Principles and standards for school mathematics, Vol.17 (pp. 1-4). Reston: National Council of Teachers of Mathematics. Hoffer, A. (1981). Geometry is more than proof. Mathematics Teacher, 74, 11-18 Jackiw, N. (1991). The Geometer's Sketchpad. Berkeley, CA: Key Curriculum Press. Jaworski, B. (2003). Inquiry as a pervasive pedagogic process in mathematics education development, Proceedings of the Third Conference of the European Society for Research in Mathematics Education. Bellaria, Italy. http://www.dm.unipi.it/~didattica/cerme3 Kaput, J. (1987). Representation systems and mathematics. In C. Janvier (Ed.), Problems of representation in the teaching and learning of mathematics (pp. 19-26). New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates. - 133 -

Kaput, J. (1999). Representations, inscriptions, descriptions and learning: A kaleidoscope of windows. Journal of Mathematical Behavior, 17(2), 256-281. Niss, M. (1999), Kompetencer og (?????) Uddannelsesbeskrivelse (Competencies and subject description). Uddanneise, 9, 21-29.OECD (2006). Assessing scientific, reading and mathematical literacy: A framework for PISA 2006. OECD (2006). Assessing scientific, reading, and mathematical literacy: A framework for PISA 2006, http://213.253.134.43/oecd/pdfs/browseit/9806031e.pdf. Patsiomitou, S. (2007) Fractals as a context of comprehension of the meanings of the sequence and the limit in a Dynamic Software environment. Electronic Proceedings of the 8th International Conference on Technology in Mathematics Teaching (ICTMT8) in Hradec Králové (E. Milková, Pavel Prazák, eds.), University of Hradec Králové, ISBN 397-80-7041-285-5 (cd-rom). Patsiomitou, S. (2008). The development of students geometrical thinking through transformational processes and interaction techniques in a dynamic geometry environment. Issues in Informing Science and Information Technology Journal, 5, 353-393. Patsiomitou, S. (2009) The Impact of Structural Algebraic Units on Students Algebraic Thinking in a DGS Environment at the Electronic Journal of Mathematics and Technology (ejmt), 3(3), 243-260. Patsiomitou, S. (2010). Building LVAR (Linking Visual Active Representations) modes in a DGS environment. Electronic Journal of Mathematics and Technology, 4(1), 1-25. Patsiomitou, S. (2011). Theoretical dragging: A non-linguistic warrant leading to dynamic propositions. Proceedings of the 35th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Vol. 1, pp. 361-368. Ankara, Turkey: PME Patsiomitou, S. (2012). A Linking Visual Active Representation DHLP for student s cognitive development. Global Journal of Computer Science and Technology. Vol. 12, issue 6, pp. 53-82 Pegg, J., & Tall, D. (2005). The fundamental cycle of concept construction underlying various theoretical frameworks. International Reviews on Mathematical Education (Zentralblatt für Didaktik der Mathematik), vol. 37, no.6, pp. 468-475. - 134 -