ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

Transcript

1 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. Κεφάλαιο Αριθμός σελίδας. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά ;. Τι ονομάζεται διάνυσμα ; Ποια είναι η αρχή ενός διανύσματος και ποιο το πέρας του ; Ποιο είναι το μηδενικό διάνυσμα ; 3. Τι ονομάζεται μέτρο ενός διανύσματος ; Ποιο είναι το μοναδιαίο διάνυσμα ; 4. Ποιος είναι ο φορέας ενός διανύσματος ; Πότε δυο διανύσματα είναι συγγραμμικά ; Όταν δυο διανύσματα είναι παράλληλα λέμε ότι έχουν την ίδια 5. Πότε δυο διανύσματα είναι ομόρροπα ; Όταν δυο διανύσματα είναι ομόρροπα λέμε ότι έχουν την ίδια 6. Πότε δυο διανύσματα είναι αντίρροπα ; Όταν δυο διανύσματα είναι αντίρροπα λέμε ότι έχουν αντίθετη 3 7. Πότε δυο μη μηδενικά διανύσματα είναι ίσα ; 3 8. Αν AB, τότε τι συμπεραίνετε για τα διανύσματα, ; 3 9. Αν Μ είναι το μέσον του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ, τότε τι συμπεραίνετε για τα διανύσματα, ; 3 0. Πότε δυο μη μηδενικά διανύσματα είναι αντίθετα ; 3. Τι ονομάζεται γωνία δύο διανυσμάτων ; Ποιες τιμές μπορεί να πάρει η γωνία θ δύο διανυσμάτων και ; Αν είναι θ = 0, τότε Αν είναι θ = π, τότε 4 Αν είναι θ =, τότε. Τι ονομάζεται άθροισμα ή συνισταμένη δύο διανυσμάτων και ; 6 3. Να γράψετε τέσσερεις ιδιότητες της πρόσθεσης διανυσμάτων που γνωρίζετε Πως ορίζεται η διαφορά δύο διανυσμάτων ; 8 5. Τι ονομάζεται διάνυσμα θέσης ενός σημείου Μ και ποιο σημείο ονομάζεται σημείο αναφοράς στο χώρο ; 9 6. Ποια σχέση συνδέει ένα διάνυσμα με τις διανυσματικές ακτίνες της αρχής και του τέλους του ; 9 7. Ποια σχέση συνδέει τα μέτρα δύο διανυσμάτων με το μέτρο του 9 αθροίσματός τους ; 8. Πως ορίζεται το γινόμενο ενός μη μηδενικού διανύσματος επί έναν πραγματικό αριθμό 0; Αν είναι λ = 0 ή 0, τότε με τι είναι ίσο το γινόμενο ; 9. Τι εννοούμε με το συμβολισμό, όπου με 0;

2 0. Αν είναι λ, μ πραγματικοί αριθμοί,να συμπληρώσετε τις ισότητες : Πυθαγόρειο Γενικό Λύκειο Σάμου Αριθμός σελίδας. Αν είναι λ, μ πραγματικοί αριθμοί,να συμπληρώσετε τις προτάσεις : 0 = 3 Αν και 0, τότε Αν και 0, τότε. Τι ονομάζεται γραμμικός συνδυασμός δύο διανυσμάτων ; 3 3. Να γράψετε τις συνθήκες παραλληλίας δύο διανυσμάτων που 4, 37, 38 γνωρίζετε. 4. Ποια σχέση συνδέει τη διανυσματική ακτίνα του μέσου ενός διανύσματος με τις διανυσματικές ακτίνες της αρχής και του τέλους 5 του ; 5. Αν ένα διάνυσμα του επιπέδου γράφεται στη μορφή xi yj, όπου i και j είναι τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων x x και ψ ψ, αντίστοιχα, τότε πως ονομάζονται τα διανύσματα xi και yj και πως ονομάζονται οι αριθμοί x και y ; 6. Αν γνωρίζουμε τις συντεταγμένες δύο διανυσμάτων, τότε πότε αυτά είναι ίσα μεταξύ τους ; x, y x, y και, τότε να 7. Αν είναι, συμπληρώσετε τις ισότητες : x, y x, y x, y 8. Να γράψετε και να αποδείξετε τη σχέση που δίνει τις συντεταγμένες του μέσου ενός ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ, σε σχέση με τις συντεταγμένες των σημείων Α και Β του επιπέδου. 9. Ποια σχέση δίνει τις συντεταγμένες ενός διανύσματος σε σχέση με τις συντεταγμένες των σημείων Α και Β του επιπέδου ; x, y είναι ένα διάνυσμα του επιπέδου, τότε να γράψετε τον 30. Αν τύπο που δίνει το μέτρο του διανύσματος. 3. Ποιος τύπος δίνει την απόσταση δυο σημείων Α και Β του επιπέδου αν είναι γνωστές οι συντεταγμένες των σημείων αυτών ; x, y x, y τότε ποια είναι η ορίζουσα των 3. Αν είναι, δύο αυτών διανυσμάτων και πως συμβολίζεται ; det, 0, τότε τι συμπεραίνετε για τα διανύσματα 33. Αν είναι και ; Ποια είναι η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα με τον άξονα x x;

3 Αριθμός σελίδας 35. Ποιος είναι ο συντελεστής διεύθυνσης ενός διανύσματος x, y 38 με x 0 ; 36. Πως διατυπώνεται η συνθήκη παραλληλίας δύο διανυσμάτων και 38, με αντίστοιχους συντελεστές διεύθυνσης λ και λ ; 37. Να δώσετε τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου δύο διανυσμάτων Ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα στο εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων ; Αν, τότε με τι ισούται το εσωτερικό γινόμενο ; Αν, τότε με τι ισούται το εσωτερικό γινόμενο 4 ; Αν, τότε με τι ισούται το εσωτερικό γινόμενο ; Οι παραπάνω προτάσεις ισχύουν και αντιστρόφως ; 39. Ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα στο εσωτερικό γινόμενο των ; διανυσμάτων ; 40. Πως ορίζεται το τετράγωνο του, για ένα διάνυσμα ; Να 4 αποδείξετε ότι ισχύει. 4. Αν είναι x, y, x, y,να γράψετε τον τύπο που δίνει το εσωτερικό γινόμενο σε σχέση με τις συντεταγμένες των 4 διανυσμάτων και. 4. Να αποδείξετε ότι ισχύουν οι παρακάτω προτάσεις : εφόσον, // x, y x, y είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα 43. Αν και του επιπέδου που σχηματίζουν γωνία θ, τότε να γράψετε και να αποδείξετε τον τύπο που δίνει το συνθ σε σχέση με τις συντεταγμένες των διανυσμάτων και. 44. Αν και είναι δυο διανύσματα του επιπέδου με 0, τότε ποιο διάνυσμα ονομάζεται προβολή του στο ; Να αποδείξετε ότι Κεφάλαιο Αριθμός σελίδας. Τι ονομάζεται εξίσωση μιας γραμμής C ; 57. Ποια είναι η γωνία που σχηματίζει μια ευθεία ε με τον άξονα x x και ποιες τιμές μπορεί να πάρει ; Τι ονομάζεται συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας ε ; Όλες οι ευθείες του επιπέδου μπορούν να έχουν συντελεστή 58 διεύθυνσης ; 4. Τι γνωρίζετε για τους συντελεστές διεύθυνσης μιας ευθείας και 59 ενός διανύσματος που είναι παράλληλα ; 3

4 5. Να γράψετε τον τύπο που δίνει το συντελεστή διεύθυνσης μιας x, y B x, y ευθείας ε, που διέρχεται από τα σημεία και Πυθαγόρειο Γενικό Λύκειο Σάμου με x x. 6. Έστω δυο ευθείες ε και ε, με αντίστοιχους συντελεστές διεύθυνσης λ και λ. Να γράψετε τις σχέσεις που συνδέουν την παραλληλία και την καθετότητα των ευθειών αυτών σε σχέση με τους συντελεστές διεύθυνσής τους. 7. Να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας ε, που έχει συντελεστή διεύθυνσης λ και διέρχεται από το σημείο Α(x 0, y 0 ). Αν η ευθεία δεν έχει συντελεστή διεύθυνσης, τότε ποια είναι η εξίσωσή της ; 8. Να αποδείξετε ότι κάθε ευθεία του επιπέδου έχει εξίσωση της μορφής Αx + Βψ + Γ = 0, με A 0 ή B 0 και αντιστρόφως, κάθε εξίσωση της παραπάνω μορφής παριστάνει ευθεία γραμμή. 9. Να αποδείξετε ότι Η ευθεία με εξίσωση Αx + Βψ + Γ = 0 είναι παράλληλη, στο διάνυσμα Η ευθεία με εξίσωση Αx + Βψ + Γ = 0 είναι κάθετη στο, διάνυσμα Αριθμός σελίδας Να γράψετε τον τύπο που δίνει το εμβαδόν ενός τριγώνου ΑΒΓ, σε 73 σχέση με την ορίζουσα των διανυσμάτων και. 67 Κεφάλαιο 3 Αριθμός σελίδας. Να γράψετε και να αποδείξετε την εξίσωση του κύκλου που έχει 8 κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ.. Ποιος είναι ο μοναδιαίος κύκλος ; 8 3. Να γράψετε και να αποδείξετε τον τύπο που δίνει την εφαπτομένη του κύκλου 83 C : x + y = ρ σε ένα σημείο του Α(x, y ). 4. Να γράψετε και να αποδείξετε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο Κ(x 0, y 0 ) και ακτίνα ρ. 5. Να αποδείξετε ότι κάθε κύκλος έχει εξίσωση της μορφής x + y + Ax + By + Γ = 0, με Α + Β 4Γ > 0 και αντιστρόφως κάθε εξίσωση της παραπάνω μορφής παριστάνει κύκλο. 6. Πότε η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ = 0 παριστάνει κύκλο ; Ποιο είναι το κέντρο και ποια η ακτίνα του ; 7. Τι ονομάζεται παραβολή με εστία το σημείο Ε και διευθετούσα την 89 ευθεία δ ; Ποιο σημείο είναι η κορυφή της παραβολής ; 8. Να γράψετε την εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή p των αξόνων και εστία το σημείο, 0. Ποια είναι η 9 διευθετούσα της παραβολής αυτής ; Πως ονομάζεται ο αριθμός p ; 4

5 Αριθμός σελίδας 9. Να γράψετε την εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή p των αξόνων και εστία το σημείο 0,. Ποια είναι η 9 διευθετούσα της παραβολής αυτής ; Πως ονομάζεται ο αριθμός p ; 0. Σε ποιο ημιεπίπεδο βρίσκεται ολόκληρη η παραβολή ; 9. Ποια ευθεία ονομάζεται άξονας της παραβολής και ποιες ιδιότητες 9 έχει ;. Να γράψετε τον τύπο που δίνει την εφαπτομένη της παραβολής y = px σε ένα σημείο της Α(x, y ) και 95 να γράψετε τον τύπο που δίνει την εφαπτομένη της παραβολής x = py σε ένα σημείο της Α(x, y ). 3. Ποια είναι η ανακλαστική ιδιότητα της παραβολής ; Τι ονομάζεται έλλειψη με εστίες τα σημεία Ε και Ε ; Ποιο είναι το 00 0 σταθερό άθροισμα και ποια η εστιακή απόσταση της έλλειψης ; 5. Να γράψετε την εξίσωση της έλλειψης με εστίες τα σημεία Ε(γ, 0) και Ε ( γ, 0) και να γράψετε την εξίσωση της έλλειψης με εστίες τα 03 σημεία Ε(0, γ) και Ε (0, γ). 6. Ποια σημεία ονομάζονται κορυφές μιας έλλειψης ; Ποιος είναι ο μεγάλος και ποιος είναι ο μικρός άξονας μιας έλλειψης ; Ποιο 04 ευθύγραμμο τμήμα λέγεται διάμετρος μιας έλλειψης ; 7. Τι ονομάζεται εκκεντρότητα της έλλειψης ; Ποια 05 σχέση συνδέει την εκκεντρότητα ε της έλλειψης με τους αριθμούς α και β ; 8. Να γράψετε τον τύπο που δίνει την εφαπτομένη της έλλειψης σε ένα σημείο της Α(x, y ) και 08 να γράψετε τον τύπο που δίνει την εφαπτομένη της έλλειψης y x σε ένα σημείο της Α(x, y ). 9. Ποια είναι η ανακλαστική ιδιότητα της έλλειψης ; Τι ονομάζεται υπερβολή με εστίες τα σημεία Ε και Ε ; Ποια είναι 3 η εστιακή απόσταση της υπερβολής ;. Να γράψετε την εξίσωση της έλλειψης με εστίες τα σημεία Ε(γ, 0) και Ε ( γ, 0) και να γράψετε την εξίσωση της έλλειψης με εστίες τα 5 6 σημεία Ε(0, γ) και Ε (0, γ).. Ποια είναι η ισοσκελής υπερβολή και ποια είναι η εξίσωσή της ; 6 3. Ποιο είναι το κέντρο της υπερβολής C :, όπου 6 7 ; Ποια σημεία ονομάζονται κορυφές της υπερβολής ; Μπορεί η υπερβολή αυτή να τέμνει τον άξονα ψ ψ ; 4. Ποιες είναι οι ασύμπτωτες της υπερβολής C :, όπου 8 ; 5. Ποιες είναι οι ασύμπτωτες της υπερβολής C : y x ; 9 5

6 Αριθμός σελίδας 6. Τι ονομάζεται εκκεντρότητα της υπερβολής ; Ποια 9 σχέση συνδέει την εκκεντρότητα ε της υπερβολής με τους αριθμούς α και β ; 7. Να γράψετε τον τύπο που δίνει την εφαπτομένη της υπερβολής σε ένα σημείο της Α(x, y ) και 0 να γράψετε τον τύπο που δίνει την εφαπτομένη της υπερβολής y x σε ένα σημείο της Α(x, y ). 8. Ποια είναι η ανακλαστική ιδιότητα της υπερβολής ; ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( β μέρος ) Ερωτήσεις Σωστού Λάθους Να σημειώσετε δίπλα σε κάθε πρόταση που δίνεται παρακάτω αν είναι Σωστή ή Λάθος. Σωστό Λάθος. Αν AB, τότε τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν, τότε είναι 3. Αν, τότε είναι 0 4. Ισχύει ότι 5. Το διάνυσμα, 3, 3 είναι παράλληλο με το διάνυσμα 6. Τα αντίθετα διανύσματα έχουν ίσα μέτρα. 7. Δύο αντίθετα διανύσματα, που δεν είναι κατακόρυφα, έχουν αντίθετους συντελεστές διεύθυνσης. 8. Αν είναι, τότε είναι,, 6

7 9. Αν, τότε τα διανύσματα και είναι συγγραμμικά. 0. Στο ορθοκανονικό σύστημα αξόνων το διάνυσμα i j, με, βρίσκεται στην ευθεία με εξίσωση ψ = x.. Αν είναι 0, τότε η γωνία, είναι οξεία.. Το, με, παριστάνει διάνυσμα. 3. Το παριστάνει διάνυσμα. Σωστό Λάθος 4. Για τα ομόρροπα διανύσματα και ισχύει ότι : 5. Αν είναι 0, με, τότε οπωσδήποτε είναι 0 6. Αν είναι, με τα διανύσματα και να μην είναι συγγραμμικά, τότε είναι κ = λ = Αν ΑΜ είναι διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ, τότε ισχύει ότι 8. Ισχύει ότι 9. Για τα διανύσματα x,3 και x, x, ώστε να είναι μεταξύ τους κάθετα. 0. Ισχύει ότι., υπάρχουν. Ο συντελεστής διεύθυνσης λ μιας ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α(x, y ) και Β(x, y ), ορίζεται πάντοτε ως y y x x. Οι ευθείες με εξισώσεις x + y = και x y =, τέμνονται κάθετα. 3. Οι ευθείες με εξισώσεις y = 3x + και 3x y = 4, τέμνονται. 7

8 4. Τα σημεία Α(α + β, γ), Β(β + γ, α), Γ(γ + α, β), με, είναι συνευθειακά. 5. Η ευθεία που περνά από τα σημεία Α(x, y ) και Β(x, y ), y y έχει εξίσωση y y (x x ), με x x. x x 6. Η εξίσωση της ευθείας που περνά από το σημείο Α(, ) και σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία 35 0, είναι x + y = Αν A B, τότε η εξίσωση Ax + By + Γ = 0 παριστάνει πάντοτε ευθεία. 8. Η ευθεία με εξίσωση Ax + By + Γ = 0, με 0 ή 0,, είναι παράλληλη προς το διάνυσμα 9. Η ευθεία με εξίσωση Ax + By + Γ = 0, με 0, είναι, κάθετη προς το διάνυσμα 30. Η απόσταση του σημείου Μ 0 (x 0, y 0 ) από την ευθεία (ε) που έχει εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0, δίνεται από τον τύπο Ax 0 By0 dm 0, 3. Η απόσταση του σημείου Μ 0 (x 0, y 0 ) από την ευθεία (ε) που έχει εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0, επαληθεύει την x By d M, A B ισότητα Το εμβαδόν ενός τριγώνου ΑΒΓ, είναι ίσο με την ορίζουσα det AB,A 33. Η απόσταση των ευθειών (ε ) : y = λx + β και (ε ) : y = λx + β, δίνεται από τον τύπο d, 34. Η απόσταση των παραλλήλων ευθειών (ε ) : y = x και (ε ) : y = x + είναι ίση με 35. Όλες οι ευθείες της οικογένειας ευθειών : (x + y + ) + λ(3x y 4) = 0, περνούν από το σημείο Α(, ). 36. Το σημείο A, ανήκει στον κύκλο 4(x ημθ) + 4(y συνθ) =, για κάθε 37. Οι κύκλοι C : x + y + x + 3y = 0 και C : x + y + x + 3y + = 0, είναι ομόκεντροι. Σωστό Λάθος 8

9 38. Οι κύκλοι C : (x ) + (y + ) = και C : (x ) +(y + ) = 0 εφάπτονται εξωτερικά. 39. Η εξίσωση (x + y) 4 = xy παριστάνει κύκλο. Σωστό Λάθος 40. Αν το σημείο Α(x, y ) είναι εσωτερικό ενός κύκλου με κέντρο Κ(x 0, y 0 ) και ακτίνα ρ, τότε ισχύει ότι : (x x 0 ) + (y y 0 ) < ρ 4. Η ευθεία με εξίσωση y = 3, είναι παράλληλη στη διευθετούσα της παραβολής C : y = 6x. 4. Ο άξονας x x είναι άξονας συμμετρίας της παραβολής x = 8y. 43. Η παραβολή με εστία Ε(, 0) και κορυφή το Ο(0, 0) έχει παράμετρο p =. 44. Η εστία της παραβολής x = y βρίσκεται πάνω στην ευθεία y = x. 45. Ο κύκλος (x ) + y = και η παραβολή y = x εφάπτονται. 46. Αν η εστιακή απόσταση μιας έλλειψης είναι ίση με το μισό του μεγάλου άξονα, τότε η εκκεντρότητα αυτής της έλλειψης είναι ίση με 47. Το σημείο Α(κ, λ) ανήκει σε κάθε έλλειψη με κέντρο Ο(0, 0), στην οποία ανήκει το σημείο Β( κ, λ). 48. Η έλλειψη x + y = και ο κύκλος x + y = δεν έχουν κοινά σημεία. 49. Η ευθεία y = 3 είναι εφαπτομένη της έλλειψης Οι ελλείψεις C : και C : είναι όμοιες. 9

10 Ερωτήσεις Πολλαπλής Επίλογής Για κάθε πρόταση που δίνεται παρακάτω να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.. Το διάνυσμα, είναι το μηδενικό για : Α. θ = κπ Β. θ = κπ + π Γ. Δ. Καμία τιμή του θ. Το διάνυσμα, άξονα x x, όταν είναι : Α. Β. θ = κπ Γ. 4, και, είναι παράλληλο με τον Δ. θ = κπ + π 8 3. Τα διανύσματα, και, είναι κάθετα όταν : Α. λ = Β. λ = 0 Γ. λ = Δ. λ = 8 4. Αν τα διανύσματα, και, είναι παράλληλα, τότε ο * αριθμός ισούται με : Α. Β. Γ. Δ. 5. Αν, 3 και 3, τότε η γωνία 0, ισούται με : Α. 0 0 Β Γ. 0 0 Δ Η εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από το σημείο Α(, ) και είναι παράλληλη στην ευθεία δ : x + 6y =, είναι y x y x y x Α. 3 Β. 3 Γ. 3 Δ. y x Αν το σημείο M 0, είναι το μέσον του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ με Α(, 5), τότε το σημείο Β έχει συντεταγμένες Α. (, 5) Β. (, 4) Γ. (, 5) Δ. (, 4) 8. Η απόσταση του σημείου Μ(, ) από την ευθεία (ε) : 3x + y + είναι : Α. Β. Γ. Δ Τα σημεία Ο(0, 0), Α(κ, 0), Β(0, λ), με κ, λ > 0, ορίζουν τρίγωνο με εμβαδόν : Α. Β. κλ Γ. ( ) Δ. κλ 0

11 0. Οι ευθείες y = και y 3x σχηματίζουν γωνία ίση με : Α Β Γ Δ Ο κύκλος που έχει κέντρο το σημείο Κ(, ) και εφάπτεται στον άξονα x x, έχει εξίσωση : Α. (x ) + (y ) = Β. (x ) + (y ) = Γ. (x ) + (y ) = 4 Δ. (x ) + (y ) = 4. Η εφαπτομένη του κύκλου x + y = 5 στο σημείο Α(, ) είναι παράλληλη στην ευθεία : Α. x y + = 0 Β. 4x + y + = 0 Γ. y = x Δ. x + y = 4 3. Ο κύκλος x + y α(x + y) = α, α > 0, έχει κέντρο το σημείο : Α. (α, α) Β. (α, α) Γ. (α, α) Δ. (α, α) 4. Η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο Κ(, ) και περνά από το σημείο Α(, ), είναι : Α. (x ) + (y ) = 5 Β. (x ) + (y ) = 4 Γ. (x + ) + (y + ) = 4 Δ. (x + ) + (y + ) = 5 5. Η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ = 0 παριστάνει κύκλο, όταν : Α. Α + Β > 0 Β. Α + Β > 4Γ Γ. Α + Β 4Γ < 0 Δ. 4Α + 4Β > Γ 6. Η παραβολή που έχει εστία Ε(0, ) και κορυφή το Ο(0, 0), έχει εξίσωση : Α. y = 8x Β. y = 8x Γ. x = 8y Δ. x = 8y 7. Η εφαπτομένη της παραβολής y = 6x στο σημείο της Α(, 4), έχει εξίσωση : Α. y = x Β. y = x Γ. y = x + Δ. y = x + 8. Η εφαπτομένη της παραβολής y = px στο σημείο της Α(x, y ), με y 0 έχει συντελεστή διεύθυνσης : p p y Α. Β. y Γ. Δ. y y p p 9. Το σημείο Α(, 4) της παραβολής y = 8x, απέχει από τη διευθετούσα της παραβολής απόσταση ίση με : Α. 4 Β. Γ. 8 Δ Η εξίσωση της έλλειψης που έχει εστίες Ε (0, ), Ε(0, ) και μικρό άξονα μήκους 0, είναι : Α. Β. Γ. Δ Έστω η έλλειψη C : με εστιακή απόσταση γ και μεγάλο άξονα α. Ισχύει πάντα : Α. γ > α Β. γ < α Γ. α > β > γ Δ. 0 < α < β

12 . Η εφαπτομένη της έλλειψης C : x y στο σημείο της M, εξίσωση : Α. x y 4 Β. x y 4 0 Γ. x y 4 Δ. x y 4 0 έχει ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις Σωστού Λάθους. Λ Σ Λ 3 Σ 4 Λ Λ Λ Σ 3 Λ 4 Λ 3 Σ 3 Σ 3 Λ 33 Σ 43 Σ 4 Λ 4 Λ 4 Σ 34 Σ 44 Λ 5 Σ 5 Λ 5 Σ 35 Λ 45 Σ 6 Σ 6 Σ 6 Λ 36 Σ 46 Σ 7 Λ 7 Σ 7 Σ 37 Σ 47 Σ 8 Σ 8 Λ 8 Σ 38 Λ 48 Λ 9 Σ 9 Λ 9 Λ 39 Σ 49 Σ 0 Σ 0 Λ 30 Λ 40 Σ 50 Σ Απαντήσεις στις ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Δ 6 Β Γ 6 Δ Β Γ 7 Δ Β 7 Γ Β 3 Α 8 Δ 3 Α 8 Α 4 Β 9 Α 4 Δ 9 Α 5 Γ 0 Β 5 Β 0 Δ

13 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( γ μέρος ) Ασκήσεις. Αν ισχύει ότι 3, τότε να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά.. Δίνονται οι κ, λ, μ, που δεν είναι όλοι μηδέν και ισχύει ότι κ + λ + μ = 0. Αν ισχύει ότι 0, με τα σημεία Α, Β, Γ να είναι διαφορετικά μεταξύ τους, τότε να δείξετε ότι αυτά είναι συνευθειακά. 3. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να δείξετε ότι για οποιοδήποτε σημείο Μ του επιπέδου του τριγώνου, το διάνυσμα 3 5 είναι σταθερό. 4. Δίνεται τετράπλευρο ΑΓΒΔ και σημείο αναφοράς Ο του επιπέδου του τετραπλεύρου. Αν ισχύει ότι, τότε να δείξετε ότι το ΑΓΒΔ είναι παραλληλόγραμμο. 5. Δίνονται τα διανύσματα,, του επιπέδου και τα σημεία Α, Β, Γ με διανύσματα θέσης 5, 3 4, 3 6. Να δείξετε ότι το Α είναι το μέσον του ΒΓ. 6. Αν είναι, και 4, τότε να δείξετε ότι. 7. Δίνονται τα σημεία Α(, ) και Β(3, 4) και έστω Κ το μέσον του ΑΒ. i. Να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες του σημείου Κ. ii. Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος u. iii. Να βρείτε ένα διάνυσμα u, με Έστω τα σημεία Α(, ), Β(λ, 3λ + ) και Γ(5, 6). Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός λ, ώστε τα σημεία Α, Β και Γ να είναι συνευθειακά. 9. Δίνεται διάνυσμα (3, 4). Να βρεθεί διάνυσμα u //, ώστε u 0.. Αν είναι, και, με και 0, τότε να βρείτε τους 0. Δίνονται τα διανύσματα, 3, 6, 4 και 3, 4 πραγματικούς αριθμούς κ, λ.. Για τα διανύσματα, ισχύουν, 3 και i. Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο,. 6 ii. Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο 3

14 iii. Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο. Δίνονται τα διανύσματα,, 6. Αν είναι u 3. Δίνονται τα διανύσματα, 3 4 Πυθαγόρειο Γενικό Λύκειο Σάμου για τα οποία ισχύουν,, 3 και, τότε να βρεθεί το u, v. και 3, 4. i. Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο iii. Να υπολογίσετε το συνημίτονο της γωνίας, ii. Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο 4. Δίνονται τα διανύσματα u,3 και v 4, 3 διάνυσμα w ώστε w 3v u.. Να βρείτε το μοναδιαίο 5. Για τα διανύσματα θέσης των Α, Β, Γ ισχύει ότι και 6, 3. i. Να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα, και. ii. Να δείξετε ότι iii. Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, και Γ είναι συνευθειακά. 6. Να αναλυθεί το διάνυσμα 3, 4 να είναι παράλληλη στο διάνυσμα, 7. Για τα διανύσματα και ισχύουν :, και βρεθεί ο, ώστε να είναι. σε δύο κάθετες συνιστώσες που η μία.,. Να 3 8. Δίνονται τα σημεία Α(, 5), Β(, 4) και Γ(3, ). i. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α και Β ii. Αν είναι Μ το μέσον του ευθυγράμμου τμήματος ΑΓ, να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Μ και είναι κάθετη στην ευθεία ΑΒ. iii. Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. 9. Δίνονται τα σημεία Α(, 5), Β(, 4) και Γ(3, ). i. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Β και Γ. ii. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α και είναι παράλληλη στην ευθεία ΒΓ. iii. Να βρεθεί η απόσταση του σημείου Α από την ευθεία ΒΓ.

15 0. Δίνεται η εξίσωση : (λ + λ 3)x (λ + λ )y 5λ 3λ + 8 = 0. Για ποιες τιμές του η παραπάνω εξίσωση παριστάνει ευθεία ;. Να δείξετε ότι η εξίσωση : x y 4λy λx 3λ = 0 παριστάνει δύο ευθείες κάθετες μεταξύ τους και να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου τομής τους.. Να δείξετε ότι η εξίσωση : x + xy + y 4λ = 0 παριστάνει δύο ευθείες παράλληλες μεταξύ τους και να βρεθεί η απόστασή τους. Για ποια τιμή του η απόσταση των δύο ευθειών είναι ίση με 4 ; 3. Δίνεται η εξίσωση : (λ )x ( + λ)y + λ = 0 () i. Να δείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει ευθεία για κάθε ii. Να δείξετε ότι όλες οι ευθείες που ορίζονται από την εξίσωση () διέρχονται από το ίδιο σημείο, το οποίο και να βρείτε. iii. Να βρεθεί η τιμή του για την οποία η ευθεία (ε) που ορίζει η () είναι παράλληλη στην ευθεία (δ) : 4x 3y +8 = 0. iv. Για λ =, να βρείτε τη μεσοπαράλληλη ευθεία των ευθειών ε και δ. 4. Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α(, ) και τα δύο ύψη έχουν εξισώσεις y = 3x + και y = x + 3. i. Να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών Β και Γ. ii. Να βρεθεί η εξίσωση της πλευράς ΒΓ. iii. Να βρεθεί η εξίσωση του τρίτου ύψους. 5. Δίνεται ένα τρίγωνο με κορυφές Α(λ, 3λ + ), Β(, ) και Γ(, 3) με και. i. Να δείξετε ότι το σημείο Α κινείται σε ευθεία, καθώς το λ μεταβάλλεται στο. ii. Αν λ =, να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. 6. Δίνονται τα σημεία Μ( + συνθ, 3 ημθ), με. Να δείξετε ότι τα σημεία Μ ανήκουν σε κύκλο, του οποίου να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα. 7. Δίνεται η εξίσωση : (x ) + (y ) + λ(x ) = 0 () i. Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η () παριστάνει κύκλο και στη συνέχεια να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου. ii. Για τις παραπάνω τιμές του, να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του κέντρου του κύκλου. iii. Για τις παραπάνω τιμές του, να δείξετε ότι ο κύκλος διέρχεται από ένα σταθερό σημείο. iv. Να βρείτε τις τιμές του, ώστε ο κύκλος που παριστάνει η () να εφάπτεται στην ευθεία (ε) : 4x + 3y = Δίνονται οι κύκλοι C : x + y 4x 6y = 0 και C : x + y + y 8 = 0 i. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης (ε) του C στο σημείο Α(5, ). 5

16 ii. Να δείξετε ότι η εφαπτομένη (ε) του C στο σημείο Α εφάπτεται και στον C. 9. Δίνεται ο κύκλος C : (x ) + y = 4. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου C που διέρχονται από το σημείο Α(3, 3) και να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας που σχηματίζουν. 30. Δίνεται η εξίσωση x + y +x 4y 0 = 0. i. Να δείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο Κ και την ακτίνα του ρ. ii. Να βρείτε την εφαπτομένη ευθεία του παραπάνω κύκλου στο σημείο του Α(4, ). iii. Δίνεται η παραβολή με εξίσωση y = px, η οποία διέρχεται από το κέντρο του κύκλου. Να βρείτε : την τιμή της παραμέτρου p, την εστία Ε και την διευθετούσα της παραβολής. 3. Δίνεται η παραβολή (C) : y = 4x και η ευθεία (ε) : x 3y + 4 = 0. i. Να βρείτε την εστία Ε και τη διευθετούσα της παραβολής (C). ii. Να βρείτε τα κοινά σημεία Α και Β της ευθείας (ε) και της παραβολής (C). iii. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει διάμετρο την ΑΒ. iv. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής στο σημείο Α. 3. Δίνεται η παραβολή C : y = px και το σημείο της Α(, 4). i. Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής. ii. Να βρείτε την εφαπτομένη (ε ) της παραβολής στο σημείο της Α. iii. Αν η εφαπτομένη (ε ) του παραπάνω ερωτήματος τέμνει την διευθετούσα (δ) της παραβολής στο σημείο Β, να βρείτε την εξίσωση του κύκλου με διάμετρο την ΑΒ. iv. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης (ε ) του κύκλου που διέρχεται από την εστία Ε της παραπάνω παραβολής. 33. Δίνεται η παραβολή με εξίσωση y = px η οποία διέρχεται από το σημείο Α(, ). i. Να βρείτε την παράμετρο p της παραβολής. ii. Αν είναι Ε η εστία της παραβολής και Ε είναι το συμμετρικό του σημείου Ε ως προς την αρχή των αξόνων, τότε να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της παραβολής που άγονται από το σημείο Ε. iii. Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης που έχει εστίες τα σημεία Ε και Ε και έχει εκκεντρότητα Δίνεται η έλλειψη C που έχει εστίες τα σημεία Ε ( 3, 0), Ε(3, 0) και το μήκος του μικρού της άξονα είναι ίσο με 8. i. Να βρείτε το μήκος του μεγάλου άξονα, την εξίσωση και την εκκεντρότητα της έλλειψης. ii. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης (ε ) της έλλειψης στο σημείο της Α(5, 0) και την εξίσωση της εφαπτομένης (ε ) της έλλειψης στο σημείο της Β(0, 4). 6