Εφαρμογές του Πυθαγορείου θεωρήματος- Υπολογισμοί στο Δένδρο του Πυθαγόρα. Σ.Πατσιομίτου 1

Transcript

1 1 ο ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Εφαρμογές του Πυθαγορείου θεωρήματος- Υπολογισμοί στο Δένδρο του Πυθαγόρα Σ.Πατσιομίτου 1 Το Πυθαγόρειο θεώρημα που περιέχεται στα περισσότερα σχολικά εγχειρίδια απεικονίζεται μέσω της οπτικής απόδειξης του από ένα ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζει σαν κλάδους δυο τετράγωνα στις κάθετες πλευρές του και ένα τετράγωνο τον κορμό του δέντρου- στην υποτείνουσα. Αν χρησιμοποιήσουμε αυτό το σχήμα για να επαναλάβουμε τη διαδικασία κατασκευής της οπτικής απόδειξης θα οδηγηθούμε σε μια δομή fractal, όπου η δομή του σχήματος ακολουθιακά και σε σμίκρυνση παραμένει η ίδια όπως συνεχίζει η κατασκευή. Ακόμα στην ακολουθιακή διαδικασία το σχήμα μοιάζει να περιστρέφεται για να δημιουργήσει τους κλάδους του αρχικού δέντρου. Έτσι δημιουργούνται επαναλήψεις της αρχικής δομής, διακλαδιζόμενες Πυθαγόρειες οπτικές αποδείξεις που όμως συνεχώς οδηγούν σε μικρότερα σχήματα κατασκευαστικά. Συνεπώς και υπολογιστικά τα μεγέθη θα μειώνονται συνεχώς. Ποια θα είναι η τελική τιμή του εμβαδού του τετραγώνου στο άκρο κάθε κλάδου; Tο λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας Geometer s Sketchpad περιλαμβάνει το φάκελο Δείγματα στον οποίο περιέχεται ο υποφάκελος Γεωμετρία, μέσα στον οποίο περιέχεται η φράκταλ γκαλερί του λογισμικού. Στην πρώτη σελίδα του πολλαπλών σελίδων αρχείου της φράκταλ γκαλερί εμφανίζεται το Πυθαγόρειο δέντρο της εικόνας επάνω στο οποίο όμως έχει προστεθεί κίνηση. Ποιο σημείο του σχήματος θέτει σε κίνηση τους κλάδους του δέντρου; Οι μαθητές όλων των τμημάτων της Β τάξης συμμετείχαν στη διαδικασία εισαγωγής και διερεύνησης της έννοιας του Πυθαγορείου θεωρήματος με χρήση διαδραστικού πίνακα κατά την προβλεπόμενη από το πρόγραμμα ώρα διδασκαλίας τους. Η κατασκευή ενός ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου και η εφαρμογή του Πυθαγορείου θεωρήματος στις πλευρές του, η επανάληψη της διαδικασίας με κατασκευές τετραγώνων και τριγώνων οδήγησε στη μορφή φράκταλ του Πυθαγόρειου δέντρου. Στο τέλος οι μαθητές περιηγήθηκαν στην φράκταλ γκαλερί του λογισμικού και εντυπωσιάστηκαν από την κίνηση του Πυθαγόρειου φράκταλ δέντρου. 1 Σ.Πατσιομίτου - 1 -

2 Το επόμενο βήμα ήταν να προσπαθήσουν να κατασκευάσουν οι ίδιοι το σχήμα στο τετράδιο τους και στη συνέχεια να οδηγηθούν σε υπολογισμούς των πλευρών και των εμβαδών καθώς και σε συσχέτιση τους. Το πρόβλημα που τέθηκε ήταν το ακόλουθο: ίνεται τετράγωνο πλευράς 5cm. Εξωτερικά του τετραγώνου κατασκευάζουµε ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο. Να υπολογίσετε τις πλευρές του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου που έχει υποτείνουσα την πλευρά του τετραγώνου. Στη συνέχεια να κατασκευάσετε τετράγωνα εξωτερικά των καθέτων πλευρών του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου και να υπολογίσετε τα εµβαδά των τετραγώνων. Να συνεχίσετε την κατασκευαστική διαδικασία οµοίως, όπως και τους υπολογισµούς. Η κατανόηση και επίλυση του προβλήματος επήλθε ως αποτέλεσμα της συνεργασίας μεταξύ τους και με τη διδάσκουσα, αλλά και με κατάλληλες δραστηριότητες (π.χ οπτικοποίηση των πρώτων κατασκευαστικών βημάτων μέσω συνδεόμενων οπτικών αναπαραστάσεων της κατασκευαστικής διαδικασίας του Πυθαγόρειου δέντρου από εικόνες άρθρου της διδάσκουσας, η διδασκαλία στην τάξη με χρήση διαδραστικού αναφορικά με διαδικασίες που αντιμετώπιζαν δυσκολία κ.λ.π). Το απόσπασμα του άρθρου --στο περιοδικό Ευκλείδης Α της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας (ΕΜΕ)-- που περιλαμβάνει τη δραστηριότητα παρατίθεται στη συνέχεια: - 2 -

3 Η εργασία αυτή ανατέθηκε στους μαθητές κατ οίκον λόγω της έλλειψης χρόνου. Παρά τη δυσκολία του προβλήματος συμμετείχαν όλοι οι μαθητές και ένας ικανοποιητικός αριθμός μαθητών οδηγήθηκε σε σωστά αποτελέσματα. Ποιες ικανότητες απαιτούνται για τη λύση του προβλήματος Για να λύσει κάποιος μαθητής το πρόβλημα πρέπει να έχει αναπτύξει την αναπαραστατική ικανότητα καθώς και την ικανότητα υπολογισμών σε επαναληπτικές διαδικασίες. Αναφορικά με τις εργασίες των μαθητών: Στη συνέχεια παρουσιάζονται οι εργασίες των παρακάτω μαθητών λόγω της ορθής κατασκευής του αντικειμένου φράκταλ αλλά και των σωστών υπολογισμών. Ακόμα παρουσιάζεται ενδεικτικά η λύση του θέματος από τους μαθητές: Δημήτρη Ασημάκη, Μαρίας-Νεφέλης Ντούση και Μαντώς Σάμου- Κοκολάκη τμήμα Β1: Ιάσων Αριανούτσος, Δημήτριος Ασημάκης, Αλέξανδρος Βεντούρας, Σοφία Καφρίτσα Γεωργαντά. τμήμα Β2: Αλέξανδρος Κομίνης, Μαρία-Νεφέλη Ντούση, Τερέζα Παναγιωτακοπούλου, Γιώργος Παπαθεοδώρου, Αικατερίνη Πατήρη, Ελίνα Παύλου, Έλενα Πετροπούλου. τμήμα Β3 : Θεοδώρα Παπασπυροπούλου, Μαρία-Λήδα Πετρή, Μαριλένα Σταματίου, Μαντώ Σάμου- Κοκολάκη, Αγγελική Στραβοκεφάλου, Σοφία-Ειρήνη Σιδηροπούλου, Αντώνης Τζανετάκης, Αντιγόνη- Πασχαλίνα Τσαταλπασίδου. (Τα ονόματα των μαθητών αναφέρονται κατ αλφαβητική σειρά)

4 Ηµεροµηνία ανάθεσης εργασίας: 2/12/2011 Ηµεροµηνία πρώτης ανάρτησης των εργασιών των µαθητών στο διαδίκτυο 12/4/2012 Τμήμα Β1-4 -

5 Δημήτρης Ασημάκης - 5 -

6 Ιάσων Αριανούτσος Αλέξανδρος Βεντούρας - 6 -

7 Σοφία Καφρίτσα-Γεωργαντά Σοφία Καφρίτσα-Γεωργαντά - 7 -

8 Τμήμα Β2-8 -

9 - 9 -

10 - 10 -

11 - 11 -

12 - 12 -

13 - 13 -

14 Τμήμα Β3-14 -

15 - 15 -

16 - 16 -

17 - 17 -