Δυναμικά, μαθηματικά περιβάλλοντα στην Ειδική Αγωγή

Δυναμικά, μαθηματικά περιβάλλοντα στην Ειδική Αγωγή Μαστρογιάννης Αλέξιος, Σχολικός Σύμβουλος Π.Ε. Αναστόπουλος Αναστάσιος, Δ/ντής Δημ. Σχολείου, Ειδικός Παιδαγωγός Περίληψη: H παρούσα εργασία συνηγορεί αρχικά, υπέρ της προστιθέμενης αξίας, η οποία κεφαλαιοποιείται με την εισαγωγή των ΤΠΕ, ως καίριων διαμεσολαβητικών εργαλείων στην εκπαίδευση και ειδικότερα στην Ειδική Αγωγή. Ακολούθως, γίνεται ιδιαίτερη μνεία σε μια κατηγορία εκπαιδευτικού λογισμικού με τον γενικότερο τίτλο Δυναμικά Περιβάλλοντα Γεωμετρίας. Τα δημοφιλή αυτά, αλληλεπιδραστικά λογισμικά γεωμετρικής οπτικοποίησης, αξιοποιώντας κυρίως τις λειτουργίες της δυναμικής τροποποίησης, του μετασχηματισμού και του «συρσίματος» αποτελούν σήμερα, τους καλύτερους συμμάχους και «αιμοδότες» στη διδασκαλία και μάθηση των Μαθηματικών. Τέλος, επιχειρήθηκε η διερεύνηση των μαθησιακών αποτελεσμάτων με την αξιοποίηση του φιλικού και εύχρηστου δυναμικού λογισμικού Cabri Geometry, με ταυτόχρονη ενεργοποίηση του μοντέλου γεωμετρικής σκέψης των van Hiele, σε μια τάξη Ειδικού σχολείου. Γενικά, από την ενσωμάτωση του λογισμικού στη διδακτική διαδικασία, κατά τη μελέτη απλών γεωμετρικών σχημάτων, διαφάνηκε ότι μπορεί να προκύψουν μαθησιακά οφέλη και παιδαγωγικά ευεργετήματα, με μια συχνότητα εφαρμογής του λογισμικού, 1 με 2 φορές την εβδομάδα, επί 30 λεπτά τη φορά. Λέξεις-κλειδιά: Ειδική Αγωγή, Δυναμικά Περιβάλλοντα Γεωμετρίας, Cabri, van Hiele 1. Οι υπολογιστές στην Ειδική Αγωγή Οι μαθησιακές αλλά και οι άλλες δυνατότητες, που προσφέρουν οι Υπολογιστές στην Ειδική Αγωγή και την Εκπαίδευση, είναι απεριόριστες (Wiener, 1990). Ο υπολογιστής, ήδη καταξιώνεται ως σημαντικό, κρίσιμο, διαμεσολαβητικό εργαλείο για παιδιά με αναπηρία ή με ειδικές εκπαιδευτικές ανάγκες, ενισχύοντας καταφανώς, τις γνωστικές τους δεξιότητες και την οπτική επεξεργασία, την επικοινωνία αλλά και την κοινωνική αλληλεπίδραση, την εξατομίκευση, την ανεξάρτητη μάθηση και την ομαδική εργασία και συνεργασία και τέλος ακόμα και την σχολική επίδοση (Fahetry, 2003; Μαστρογιάννης & Κατσένη, 2009; Straker & Pollock & Maslen, 2009). Η χρήση υπολογιστών από τα παιδιά στο σπίτι και το σχολείο είναι κοινός τόπος σε πολλές χώρες, προσφέροντας σημαντικά ερείσματα στη φυσική, γνωστική και κοινωνική τους ανάπτυξη. Βέβαια, κάποιες πιθανές αρνητικές επιπτώσεις δε θα πρέπει να παραβλέπονται, όπως εθισμός, cyber bullying, ακατάλληλο περιεχόμενο, αϋπνία αλλά και προβλήματα όρασης, όπως επίσης και μυοσκελετικά προβλήματα (Straker & Pollock & Maslen, 2009). Ο λόγος της κρισιμότητας και σπουδαιότητας γενικότερα των Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών (ΤΠΕ) στην Ειδική Αγωγή, είναι επακόλουθο των πολλών νεωτερισμών και πρωτοτυπιών, που πολλαπλασιάζουν και βελτιώνουν τους τρόπους με τους οποίους η τεχνολογία μπορεί να συνδράμει παιδιά με ειδικές εκπαιδευτικές ανάγκες. Αναμφίβολα, οι τεχνολογίες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη βοήθεια των ανθρώπων με ειδικές ανάγκες. Αυτές οι τεχνολογίες, όντως, μπορεί να είναι πολύ περισσότερο από κάποια, απλά εκπαιδευτικά εργαλεία, επειδή έχουν τη δυνατότητα ISSN 1790-8574 1

να αλλάξουν τη ζωή αυτών των ανθρώπων, όχι μόνο στα σχολεία αλλά κυρίως στην κοινωνία (Norte, et all, 2005). Σε περιπτώσεις οι ΤΠΕ παρέχουν φωνή, αποτελούν μέσο γραψίματος, αντικαθιστούν την ελλείπουσα ακοή και όραση, ενώ προσφέρουν και ευκαιρίες σε μαθητές με μαθησιακές δυσκολίες να ελέγχουν τους εξατομικευμένους βηματισμούς τους, σε ένα περισσότερο ασφαλές μαθησιακό περιβάλλον (Wiener, 1990; Μαστρογιάννης & Αναστόπουλος, 2009; Florian, & Hegarty, 2004). Στην αγορά υπάρχει μεγάλη προσφορά για πληθώρα συσκευών και προγραμμάτων, που καλύπτουν όλους τους τομείς των προγραμμάτων σπουδών και όλες τις μορφές των μαθησιακών δυσκολιών (Florian, 2004). Οι τεχνολογίες έχουν προικοδοτήσει με πολλά ωφελήματα την κοινωνία. Ήδη από τη δεκαετία του 1950 ακόμα, οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές είχαν, παράπλευρα αναβαθμιστεί και ως μέσα διδασκαλίας. Κατά τη διάρκεια πολλών ετών, εντούτοις, οι ΤΠΕ δεν χρησιμοποιήθηκαν αποτελεσματικά στα μαθησιακά περιβάλλοντα και δεν καλλιέργησαν τις αναμενόμενες, εκπαιδευτικές προσδοκίες, είτε επειδή οι δάσκαλοι χώλαιναν ως προς την απόκτηση και κατοχή των απαραίτητων δεξιοτήτων είτε επειδή ο εξοπλισμός υπολογιστών, υλικό και λογισμικό, ήταν πάρα πολύ ακριβός (Norte, et all, 2005). Από τις αρχές της δεκαετίας του 80 όμως, οι ελλειμματικές αυτές συνθήκες, σε επίπεδο κατάρτισης δασκάλων και εξοπλισμού, ανατράπηκαν. Το 1980, χρονιά που άρχισε από την IBM η πώληση των πρώτων προσωπικών υπολογιστών, η παραγωγή τους και οι κάτοχοί τους και αυξήθηκαν δραματικά και οι ΤΠΕ αποτελούν ένα αξιοσημείωτο διδακτικό και παιδαγωγικό μέσο, το οποίο δημιουργεί παρωθητικά περιβάλλοντα, προκαλώντας το ενδιαφέρον και παρέχοντας επαρκή κίνητρα και προκλήσεις σε όλους, ανεξαιρέτως, τους μαθητές. Μάλιστα, έρευνες για την αποτελεσματικότητα της διδασκαλίας είχαν δείξει, από τότε ακόμα, ότι οι μαθητές δε μετέρχονται όλοι επιτυχώς, τη μαθησιακή διαδικασία, χρησιμοποιώντας μόνο παραδοσιακές τεχνικές, μεθόδους και μέσα διδασκαλίας (Mokros & Russell, l986; Wiener, 1990). Η αναζήτηση εναλλακτικών τρόπων αποτελεσματικής διδασκαλίας αποτέλεσε εκπαιδευτικό μονόδρομο. Για αυτό και τις χρονιές εκείνες διάφορες μελέτες, σε μια πανεθνική καταγραφή στην Αμερική, ανέφεραν ότι σε ποσοστό 88% τα σχολεία χρησιμοποιούσαν υπολογιστές στην εκπαίδευση μαθητών με αναπηρία ή με ειδικές εκπαιδευτικές ανάγκες (Wiener, 1990). Για αυτούς τους μαθητές οι τεχνολογίες μπορούν να διαδραματίσουν έναν ιδιαίτερα σημαντικό ρόλο (Hasselbring & Glaser, 2000). Σήμερα, σχεδόν σε όλα τα Ειδικά Σχολεία, οι μαθητές έχουν υψηλά επίπεδα εκπαιδευτικού και μαθησιακού ενδιαφέροντος, ενθουσιασμού και παρακίνησης, ως απόρροια της ένταξης των ΤΠΕ στην καθημερινή διδακτική πρακτική (Μαστρογιάννης & Αναστόπουλος, 2009). Ομολογουμένως, τεράστια άλματα έχουν πραγματοποιηθεί ως προς την τεχνολογική βοήθεια των μικρών ανάπηρων παιδιών, με σκοπό την επίτευξη αναπτυξιακών στόχων (Judge, 2001). Η συντριπτική πλειονότητα των δάσκαλων στην Ευρώπη μάλιστα, χρησιμοποιούν τις ΤΠΕ για να προετοιμάσουν τα μαθήματά τους (Balanskat & Blamire, 2007). ISSN 1790-8574 2

Γενικά λοιπόν και αδιαμφισβήτητα, η τεχνολογία αναγνωρίζεται ως σημαντικό και αξιόλογο στοιχείο κατά την προετοιμασία των μαθητών στη δια βίου μάθηση και την ένταξή τους, μελλοντικά, στον εργασιακό χώρο. Μια τέτοια θέαση, αναβαθμίζει τον υπολογιστή σε ξεχωριστό γνωστικό, διαμεσολαβητικό εργαλείο για υποστήριξη της διδασκαλίας και κυρίως της μάθησης, σε διαφορετικά και ποικιλόμορφα μαθητικά περιβάλλοντα (Clark & Rogers & Spradling, 2011). Η τεχνολογία έχει χαρακτηριστεί ως μεγάλος εξισωτής για τους μαθητές με αναπηρία, αφού βοηθά να ξεπεραστούν νοητικές και σωματικές μειονεξίες, αλλά μπορεί και να χρησιμεύσει ως ένα σημαντικό γνωστικό δόρυ, ώστε να υπερνικηθούν ή να αντισταθμιστούν διαφορές μεταξύ των μαθητών. Η προσφορά ίσων ευκαιριών μάθησης αλλά και απρόσκοπτης πρόσβασης στα προγράμματα σπουδών αποτελεί τεχνολογικό δώρημα και παρακαταθήκη (Florian, 2004). Ειδικότερα, πολλά και ποικίλα ερευνητικά δεδομένα καταδεικνύουν ότι υπάρχουν θετικά αποτελέσματα από τη χρήση των ΤΠΕ μεταξύ των μικρών παιδιών με αναπηρία ή με ειδικές εκπαιδευτικές ανάγκες όσον αφορά στις δεξιότητές ανάγνωσης και σύνταξης εγγράφου, στη γλωσσική και κοινωνική τους ανάπτυξη αλλά και στην ανάπτυξη υψηλών δεξιοτήτων κριτικής και λογικομαθηματικής σκέψης (Judge, 2001). Βέβαια, ο αντίκτυπος της τεχνολογίας στις τάξεις δεν είναι δεδομένος, καθότι σύμφωνα με σωρεία ερευνητικών δεδομένων, εξαρτάται από τις στάσεις των δασκάλων, τις φυσικές και κοινωνικές συνθήκες, τη δυνατότητα πρόσβασης στην τεχνολογία και, φυσικά και πρωτίστως, από την ποιότητα του εκπαιδευτικού λογισμικού (Judge, 2001). Πολλά και ποικίλα προγράμματα εκπαιδευτικών λογισμικών με μεγάλη προσαρμοστικότητα, και με την υποστήριξη και την ανάδειξη εξατομικευμένων πρακτικών και μεθόδων, επιτρέπουν στους μαθητές με αναπηρία ή με ειδικές εκπαιδευτικές ανάγκες να κοινοποιούν τα πονήματά τους και να αναδείχνουν τα ταλέντα τους, τα οποία πιθανόν να παρέμεναν εν υπνώσει, με τη χρήση μόνο των παραδοσιακών τεχνικών και μεθόδων (Μαστρογιάννης & Αναστόπουλος, 2009). 2. Δυναμικά Περιβάλλοντα (Συστήματα) Γεωμετρίας Μια διαδεδομένη κατηγορία χρήσεων των ΤΠΕ περιλαμβάνει περισσότερο εποικοδομιστικές προσεγγίσεις. Οι τεχνολογίες που εδράζονται στον εποικοδομισμό, όπως η γλώσσα προγραμματισμού LOGO και τα Δυναμικά Περιβάλλοντα Γεωμετρίας, μπορούν να αλλάξουν την κοινωνία σε πολλούς και διάφορους τομείς αλλά και να της προσδώσουν έναν νέο εκπαιδευτικό προσανατολισμό. Η καθημερινή-μαθησιακή ζωή των ανθρώπων με ειδικές ανάγκες μπορεί να βελτιωθεί, όπως επίσης μπορεί να πριμοδοτηθεί ακόμη και η ένταξή τους στην κοινωνία (Norte, et all, 2005). Έτσι, σύνολα απλών εργαλείων μπορούν να βοηθήσουν παιδιά με αναπηρίες, αξιοποιώντας κυρίως τη δημιουργική, φρέσκια φαντασία τους. Σύμφωνα με τον «πατέρα» του κονστρουκτιονισμού, τον Papert, η γνώση για την ψηφιακή τεχνολογία είναι τόσο σημαντική όσο η ανάγνωση και η γραφή. Η εκμάθηση και η αξιοποίηση των υπολογιστών στην εκπαιδευτική διαδικασία είναι ουσιαστική για το μέλλον των μαθητών μας. Ο σπουδαιότερος, όμως, σκοπός είναι η ISSN 1790-8574 3

χρησιμοποίηση των υπολογιστών τώρα, ως γνωστικό εργαλείο και όχημα για να μαθευτεί οτιδήποτε άλλο (Stager, 2005; Stager, 2006). Ο Papert επιμένει ότι «δεν μπορούμε να κάνουμε κάτι σωστά χωρίς να κάνουμε πρώτα λάθος. Ο μόνος τρόπος για να γίνει κάτι σωστά είναι να εξεταστούν προσεκτικά αυτά που συνέβηκαν, όταν αυτό πήγε στραβά». Τα παιδιά με τη χρήση των υπολογιστών δε φοβούνται και δεν αναθεματίζουν τα λάθη και, εξαιτίας αυτού του γεγονότος, μπορούν συνήθως να λύνουν κάποια προφανώς δυσεπίλυτα προβλήματα με επιστράτευση δημιουργικών λύσεων (Norte, et all, 2005). Σχετικά με τα Μαθηματικά, ο εποικοδομισμός πρεσβεύει πως οι μαθητές εφευρίσκουν ειδικές-προσωπικές μεθόδους, κατά την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων και ότι η μάθηση των Μαθηματικών συντελείται μέσα από τις προσπάθειες επίλυσής τους. Μια δημοφιλή κατηγορία εκπαιδευτικού λογισμικού για τα μαθηματικά αποτελούν τα Δυναμικά Περιβάλλοντα (Συστήματα) Γεωμετρίας, τα οποία χρησιμοποιούνται κυρίως για την κατασκευή σχημάτων και την ανάλυση στόχων και προβλημάτων στη στοιχειώδη Γεωμετρία (Iguchi & Suzuki, 1998). Παρέχουν δυνατότητες κατασκευής και πραγματοποίησης μαθησιακών δραστηριοτήτων σύμφωνα με τις σύγχρονες κοινωνικές και εποικοδομιστικές θεωρήσεις για τη γνώση και τη μάθηση. Η εμφάνισή τους τοποθετείται προς τα τέλη της δεκαετίας του 1980, και αντικαθιστώντας το χάρακα και το διαβήτη επαναστατικοποίησαν τη διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας (Μαστρογιάννης, 2009) και, φυσικά, έχουν επηρεάσει εξαιρετικά θετικά την εκπαίδευση στα μαθηματικά (Hohenwarter & Fuchs, 2004). Τα Δυναμικά Συστήματα Γεωμετρίας χαρακτηρίζονται από τα πλέον διαδομένα εκπαιδευτικά λογισμικά σε όλα τα σχολεία, σε όλο τον κόσμο και είναι από τους καλύτερους (εάν όχι ο καλύτερος) τύπος διερευνητικού λογισμικού και από τα καλύτερα διδακτικά δεκανίκια των μαθηματικών (Iguchi & Suzuki, 1998). Σύμφωνα με τον Richard Noss, το πολιτισμικό χάσμα, που υφίσταται μεταξύ των μαθηματικών που μετέρχονται τα παιδιά ως τμήμα της καθημερινής τους εμπειρίας και των μαθηματικών που μαθαίνουν στο σχολείο, γεφυρώνεται από τις πολλές δυνατότητες του υπολογιστή (Noss, 1988). Τα Δυναμικά Περιβάλλοντα Γεωμετρίας είναι γνωστικά εργαλεία γεωμετρικής οπτικοποίησης (Freixas & Joan-Arinyo & Soto-Riera, 2010; Quaresma & Janicic, 2006), φιλικά προς το χρήστη, δεν απαιτούν γνώσεις προγραμματισμού και έχουν ως παιδαγωγική προμετωπίδα τους την ποικιλία και γενικά την ανάπτυξη υψηλού βαθμού αλληλεπίδρασης και άμεσου χειρισμού όλων των γεωμετρικών αντικειμένων (Laborde et all, 2006). Ένα γεωμετρικό αντικείμενο στην οθόνη διαφοροποιείται δυναμικά και ταυτόχρονα ο μετασχηματισμός αυτός είναι άμεσα παρατηρήσιμος. Η γεωμετρία είναι μια δεξιότητα των ματιών, των χεριών καθώς επίσης και του νου. Οι λέξεις «θεώρημα» και «θέατρο» είναι ομόριζες και σχετίζονται με τις παρουσιάσεις, με τις επιδείξεις, ενώ και οι δύο παρέχουν μιαν αύρα μαγείας γύρω τους (Johnston-Wilder & Pimm, 2005). Τα λογισμικά Δυναμικής Γεωμετρίας προσφέρουν αυτή την αίσθηση της μαγείας, με τη δημιουργία και το συνεχή ISSN 1790-8574 4

μετασχηματισμό διαγραμμάτων και άλλων μαθηματικών μορφών. Τα λογισμικά αυτά δημιουργούν ακριβή και λεπτομερή σχέδια και καταγράφουν τον τρόπο, που ο χρήστης κατασκεύασε κάποιο γεωμετρικό στοιχείο, επιτρέποντας κάθε φορά την άμεση επαναδημιουργία του, μετά από και την οποιαδήποτε αλλαγή σε τιμές και σε παραμέτρους. Βασικό χαρακτηριστικό, λοιπόν, των δυναμικών λογισμικών της Γεωμετρίας είναι η δυναμική τροποποίηση, η μετακίνηση και ο μετασχηματισμός των σχημάτων, με διατήρηση όμως, των βασικών σχέσεων και ιδιοτήτων τους (Laborde et all, 2006; Freixas & Joan-Arinyo & Soto-Riera, 2009; Μαστρογιάννης, 2009; Bantchev, 2010). Οι μαθητές καθίστανται ικανοί όχι μόνο να κατασκευάζουν και να δημιουργούν, αλλά και να τροποποιούν και να παρατηρούν (Kortenkamp & Dohrmann, 2010). Επιπλέον, οι δυνατότητες υπολογισμών, οι γραφικές παραστάσεις και οι δυνατότητες συρσίματος (drag mode) παρέχουν αναλύσεις, γενικεύσεις και ανακαλύψεις ιδιοτήτων (Τουμάσης & Αρβανίτης, 2003; Christou et all, 2004), αφού οι μαθητές δημιουργούν πληθώρα ομοειδών σχημάτων, πειραματίζονται, εξερευνούν και παρατηρούν, προκειμένου να εντοπίσουν σταθερές, πρότυπα και κανονικότητες (Bartolini Bussi et all). Η «επιστράτευση» και αξιοποίηση Λογισμικού Δυναμικής Γεωμετρίας στις γεωμετρικές κατασκευές έχει αυξήσει όχι μόνο το ενδιαφέρον των μαθητών για τη γεωμετρία αλλά έχει ενισχύσει, επίσης, και την κατανόησή της. Αυτή η ερευνητική θετική, μαθησιακή συνιστώσα και παρακαταθήκη μπορεί να ενθαρρύνει τους δασκάλους αλλά και τους υπεύθυνους για την ανάπτυξη προγραμμάτων σπουδών στην κεφαλαιοποίηση των Δυναμικών Λογισμικών ως αποτελεσματικών εργαλείων κατά τη μάθηση της Γεωμετρίας (Idris, 2007). Το Cabri Geometry, που πρωτοπαρουσιάστηκε το 1988 σε ένα συνέδριο στη Βουδαπέστη, υπήρξε το πρώτο παράδειγμα λογισμικού δυναμικής Γεωμετρίας, ενώ σήμερα, βρίσκονται σε σχολική χρήση περίπου 70 τέτοια λογισμικά, αν και τα περισσότερα από αυτά είναι κλώνοι αρχικών Δυναμικών Περιβαλλόντων, τα οποία είναι λιγότερα από δέκα (Laborde et all, 2006). Το αλληλεπιδραστικό λογισμικό Cabri Geometry II εξελληνίστηκε την προηγούμενη δεκαετία και διανεμήθηκε από το Υπουργείο Παιδείας, για χρήση στα σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης. Το φιλικό και εύχρηστο αυτό λογισμικό διαθέτει πλησμονή εργαλείων και λειτουργιών για την πραγματοποίηση διάφορων και ποικίλων αλληλεπιδραστικών γεωμετρικών κατασκευών και δραστηριοτήτων, τα οποία διαδραματίζουν το ρόλο των διαμεσολαβητών, εν είδει νοητικής σκαλωσιάς, μεταξύ των γεωμετρικών εννοιών που ενσωματώνουν και των μαθητών (Μαστρογιάννης 2009; Κορδάκη, 2004). Το Cabri είναι εύκολο να μαθευτεί. Μέσα σε πολύ λίγο χρόνο, όλοι οι μαθητές εξοικειώνονται με πολλά από τα μενού και τις λειτουργίες του λογισμικού και σταδιακά ανεξαρτητοποιούνται (Quesada, 2003). Αυτή η εγγενής του φιλικότητα προς το μαθητή είναι πολύ σημαντική, δεδομένου ότι όλα τα εργαλεία, ακόμη και τα παραδοσιακά όπως ο χάρακας και ο διαβήτης ή ακόμα και το τετραγωνισμένο χαρτί (Kortenkamp & Dohrmann, 2010) δεν είναι αυτομάτως διαχειρίσιμα, αφού απαιτείται να προηγηθούν διδακτικές παρεμβάσεις, όσον αφορά στη σωστή χρήση τους. Μάλιστα, το Cabri επιτρέπει και τη μελέτη γεωμετρικών εννοιών και σχημάτων από ISSN 1790-8574 5

πολύ στοιχειώδεις μαθησιακές αφετηρίες, πλεονέκτημα που πιστώνεται, βέβαια, και σε όλες σχεδόν τις ψηφιακές υποβοηθήσεις (Dimakos & Zaranis, 2010), κατά τη μελέτη της Γεωμετρίας. Για όλες αυτές τις παραπάνω διαλαμβανόμενες αρετές του λογισμικού αλλά και για την πλούσια χρωματική του παλέτα, την άμεση ανταποκρισιμότητα, την προσαρμοστικότητα, αλλά και τη δυνατότητα ενεργοποίησης των εντολών του με τη χρησιμοποίηση ενός μόνο χεριού, αποφασίστηκε η αναβάθμισή του σε γνωστικό, διαμεσολαβητικό εργαλείο, σε μαθητές ενός Ειδικού σχολειού σε μια μεγάλη πόλη της Δυτικής Ελλάδας. Πρότερες επαφές μαθητών με ειδικές εκπαιδευτικές ανάγκες με λογισμικά Δυναμικής γεωμετρίας δεν έχουν μέχρι τώρα καταγραφεί. 3. Δυναμικά Περιβάλλοντα Γεωμετρίας στην Ειδική Αγωγή Στην όλη διδακτική-μαθησιακή διαδικασία το 1ο και κατά τι και το 2ο από τα 5 επίπεδα γεωμετρικής σκέψης των van Hiele, τα οποία, κατά βάση, δεν είναι ηλικιακά συναρτημένα αποτέλεσαν το παιδαγωγικό πρότυπο για τον διδακτικό σχεδιασμό και την υλοποιηθείσα μαθησιακή παρέμβαση. Το μοντέλο γεωμετρικής σκέψης των Van Hiele αναπτύχθηκε από το 1957 και εντεύθεν, από τον Pierre van Hiele και τη σύζυγό του Dina van Hiele-Geldof στο Πανεπιστήμιο της Ουτρέχτης στην Ολλανδία. Αποτελείται από πέντε ιεραρχικά στάδια συλλογιστικών διεργασιών και γεωμετρικής σκέψης, τα οποία έχουν μια συγκεκριμένη και αυστηρή αλληλουχία και καθώς το παιδί προχωράει γραμμικά, από ένα προηγούμενο επίπεδο στο επόμενο, το αντικείμενο των γεωμετρικών του συλλογισμών αλλάζει (Olkun & Sinoplu & Deryakulu, 2005; Van de Walle, 2005; Μαστρογιάννης & Τρύπα, 2010). Τα πέντε επίπεδα γεωμετρικής σκέψης των van Hiele, είναι τα εξής (Πατσιομίτου & Εμβαλωτής, 2010; Μαστρογιάννης & Τρύπα, 2010). Επίπεδο 1: Νοερή Απεικόνιση (Visualisation). Οι μαθητές αναγνωρίζουν οπτικά τα σχήματα ως συνολικές οντότητες και παραβλέπουν τις ιδιότητες και τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά τους. To λογισμικό Cabri Geometry παρέχει τη δυνατότητα εύκολης δημιουργίας όλων των επίπεδων γεωμετρικών σχημάτων, υποστηρίζοντας, σθεναρώς, αυτό το πρώτο επίπεδο van Hiele αλλά και το δεύτερο, που ακολουθεί. Επίπεδο 2: Ανάλυση (Analysis). Οι μαθητές εξοικειώνονται σταδιακά, με την ορολογία, εντοπίζουν τις ιδιότητες κάποιων σχημάτων και μέσω αυτών προβαίνουν σε χαλαρές ομαδοποιήσεις. Αδυνατούν όμως, να εξηγήσουν τις ιδιότητες και τις σχέσεις μεταξύ τους. Επίπεδο 3: Μη Τυπική Παραγωγή (Informal Deduction). Σε αυτό το επίπεδο οι μαθητές μπορούν να επιχειρηματολογήσουν και μέσω μιας ενορατικής κατανόησης των ιδιοτήτων των σχημάτων διατάσσουν λογικά αυτές τις ιδιότητες αξιοποιώντας και την αντίληψη τους ως προς τις αλληλεξαρτήσεις μεταξύ των σχημάτων Επίπεδο 4: Παραγωγή (Deduction). Οι μαθητές, στηριζόμενοι σε ορισμούς και αξιώματα, μέσω αφαιρετικών διαδικασιών αποδεικνύουν θεωρήματα. ISSN 1790-8574 6

Επίπεδο 5: Αυστηρότητα (Rigor). Οι μαθητές, ως φοιτητές πια, με υψηλή μαθηματική σκέψη, μελετούν διάφορα αξιωματικά συστήματα, όπως τη γεωμετρία του Riemman ή την υπερβολική γεωμετρία του Lobachevsky Οι μαθητές, λοιπόν, με τη δημιουργία και μελέτη κατάλληλων ακολουθιακών δραστηριοτήτων, που αφορούν σε κάθε ιεραρχικό επίπεδο, ενθαρρύνονται σε διαδικασίες διερεύνησης που ξεκινούν από την οπτικοποίηση (νοερή απεικόνιση), κατόπιν, «αναλύονται» και, τέλος, μέσω εικασιών και συσχετισμών (3ο επίπεδο) μπορούν να καταλήξουν σε, μαθηματικά αυστηρές αποδείξεις (4ο επίπεδο). Επιπλέον, μια σημαντική παράμετρο στη θεωρία των van Hiele αποτελούν οι πέντε φάσεις μάθησης, οι οποίες προσδιορίζουν τη μετάβαση από ένα επίπεδο γεωμετρικής σκέψης στο επόμενο. Συγκεκριμένα οι φάσεις αυτές είναι (Choi-Koh, 2000; Τζίφας, 2005; Patsiomitou, 2008): Διερεύνηση (inquiry - information) Καθοδηγούμενο προσανατολισμό (guided - directed orientation) Επεξήγηση/ διευκρίνιση (explanation/ explication/explicitation ) Ελεύθερο προσανατολισμό (free orientation) Ολοκλήρωση (integration) Έρευνες έχουν δείξει ότι τα λογισμικά δυναμικής γεωμετρίας ενισχύουν τους μαθητές στη μελέτη των γεωμετρικών εννοιών στα παρωθητικά πλαίσια ενεργοποίησης και αξιοποίησης της θεωρίας των van Hiele (Πατσιομίτου & Εμβαλωτής, 2010). Οι δραστηριότητες που βασίζονται στα επίπεδα σκέψης των van Hiele είναι ευκολότερες και αποτελεσματικότερες με την παρουσία διάφορων τεχνολογικών ερεισμάτων και ειδικά μέσω δυναμικών λογισμικών Γεωμετρίας. Μάλιστα, η διδασκαλία μέσω των επιπέδων Hiele φαίνεται να παρέχει ένα πλήρες πλάνο διδασκαλίας και μάθησης, όταν χρησιμοποιείται ταυτόχρονα ένα δυναμικό εργαλείο-λογισμικό (Abdul Halim & Effandi, 2012; Choi-Koh, 2000), αφού ο διαμεσολαβητικός ρόλος των εργαλείων στην εισαγωγή των γεωμετρικών εννοιών προκρίνεται ως λίαν καθοριστικός (Πατσιομίτου & Εμβαλωτής, 2010). Ανακεφαλαιωτικά και συνοπτικά, οι εκπαιδευτικές πρακτικές που βασίζονται στα πρότυπα Van Hiele και η ταυτόχρονη χρήση Δυναμικών Λογισμικών διαδραματίζουν έναν ειδικό, γενναιόδωρο ρόλο ως προς τη βοήθεια που παρέχουν στους μαθητές για να προχωρήσουν μέσα σε ένα επίπεδο ή ακόμη και να αντιμετωπίσουν και τους μαθησιακούς «σκοπέλους» ενός υψηλότερου επιπέδου (Idris, 2007; Abdul Halim & Effandi, 2011). Το δυναμικό λογισμικό γεωμετρίας αναγνωρίζεται ευρέως ως ένα εργαλείο απεικόνισης που μπορεί να προαγάγει την πρόοδο των μαθητών (Gawlick, 2005) και υποστηρίζεται ότι οι μαθητές με τη βοήθεια δυναμικών χειρισμών κινούνται από το πρώτο προς το δεύτερο van Hiele επίπεδο. Ειδικότερα, το μεγαλύτερο μέρος του εκπαιδευτικού υλικού που προτείνεται για την τάξη φαίνεται να προσιδιάζει περισσότερο με τα επίπεδα 1ο, 2ο και 3ο, δεδομένου ότι τα δυναμικά περιβάλλοντα Γεωμετρίας καλύπτουν και υποστηρίζουν αναφανδόν, τουλάχιστον τα τρία πρώτα επίπεδα γεωμετρικής σκέψης των van Hiele (Μαστρογιάννης & Τρύπα, 2010; Gawlick, 2005; Battista, 1998). Μάλιστα, οι δυναμικοί χειρισμοί βοηθούν ιδιαίτερα στη μετάβαση από το πρώτο στο δεύτερο ISSN 1790-8574 7

επίπεδο van Hiele, αφού οι μαθητές αναλύοντας και μελετώντας τα άπειρα, «ομοειδή» σχήματα που προκύπτουν, μπορεί να ανακαλύψουν τις χαρακτηριστικές ιδιότητές τους και έτσι να τα διακρίνουν και να τα ονοματίσουν (Gawlick, 2005). Σύμφωνα με το πρότυπο, κάθε επίπεδο μάθησης στηρίζεται στο προηγούμενο και επεκτείνει τη σκέψη προετοιμάζοντάς την για το παραπάνω επίπεδο. Αυτό είναι σημαντικό για τους δασκάλους στην επιλογή και την αλληλουχία των εκπαιδευτικών δραστηριοτήτων. Η συνειδητοποίηση και η γνώση των επιπέδων Van Hiele μπορούν να αποτελέσουν ένα σημαντικό πλεονέκτημα και ένα εργαλείο στην τάξη (Idris, 2007). Όπως λέχθηκε, στο 1ο επίπεδο της «Νοερής Απεικόνισης» αναγνωρίζονται κάποιες τυπικές γεωμετρικές μορφές, ενώ στο 2ο της «Ανάλυσης» οι μαθητές με χρήση των λειτουργιών και εργαλείων του λογισμικού, εντοπίζουν ιδιότητες κάποιων σχημάτων, αν και αδυνατούν όμως, να τις εξηγήσουν και να τις ορίσουν. Εστιάζοντας στην ειδική αγωγή και αξιοποιώντας όλα τα προηγούμενα, οι μαθητές με εκπαιδευτικές ανάγκες μπορεί να αντιληφθούν, ίσως, την απειρία των ομοειδών σχημάτων, που παράγονται από το λογισμικό (στην Εικόνα 1, απειρία κύκλων και τριγώνων) και μπορεί να ενθαρρυνθούν και τελικά να οδηγηθούν σε μια σχετική, χαλαρή αναγνώριση και ταξινόμηση (Forsythe, 2010). Εικόνα 1: Το σημείο R στον κύκλο (Ο, R) και το σημείο Α στο τρίγωνο ΑΒΓ μετακινούνται δυναμικά, παράγοντας απειρία ομοειδών σχημάτων Το πρόγραμμα διήρκεσε δυο εβδομάδες επί ένα δίωρο ημερησίως, διεξήχθη από τους δάσκαλους-ειδικούς Παιδαγωγούς και συμμετείχαν όλοι οι μαθητές του σχολείου, ηλικίας 6-14 ετών, οι οποίοι παρουσιάζουν διάφορες, ειδικές εκπαιδευτικές ανάγκες, όπως διάχυτες αναπτυξιακές διαταραχές, νοητική υστέρηση και κινητικά προβλήματα. Κατά την εφαρμογή του προγράμματος στο σχολείο, διαπιστώθηκε ότι όλοι οι μαθητές έδειξαν πρόδηλο ενδιαφέρον και ευαρέσκεια, αν και στα αρχικά στάδια υπήρξε σχετική εναντίωση. Τελικά, η ενασχόλησή τους με τον ηλεκτρονικό ISSN 1790-8574 8

υπολογιστή και με το πρόγραμμα ειδώθηκε και μετεξελίχθηκε σε παιχνίδι και σε μια πρώτη φάση επιτεύχθηκε σημαντική προσήλωσή τους σε αυτό. Δέχτηκαν με ευχαρίστηση τις οδηγίες που αφορούσαν στην λειτουργία του λογισμικού και έδειξαν ενθουσιασμό και αρκετή προθυμία, για να περιεργαστούν τις διάφορες εφαρμογές του. Μάλιστα, παρατηρήθηκε ότι οι απλές εφαρμογές του προγράμματος έγιναν περισσότερο κατανοητές, γεγονός που λειτούργησε καταλυτικά στην περαιτέρω εμπέδωση των τιθέμενων διδακτικών στόχων. Συγκεκριμένα, με βάση τους διδακτικούς στόχους που αφορούν στην ενότητα των γεωμετρικών σχημάτων, ως προς την αναγνώριση, διάκριση και την ονομασία τους, οι μαθητές μέσω του προγράμματος μάλλον ενίσχυσαν τις γνώσεις τους στους παρακάτω τομείς (Εικόνα 2): Αναγνώριση, διάκριση και ονομασία κύκλου Αναγνώριση, διάκριση και ονομασία τριγώνου. Αναγνώριση, διάκριση και ονομασία τετραγώνου. Αναγνώριση, διάκριση και ονομασία ορθογωνίου. Αναγνώριση και διάκριση ευθείας. Εικόνα 2: Χρωματιστά, γεωμετρικά σχήματα Πρώτα σχεδιάστηκαν ένα ένα τα βασικά γεωμετρικά σχήματα (κύκλος, τετράγωνο, τρίγωνο ορθογώνιο και ευθεία). Οι μαθητές αξιοποιώντας κάθε φορά και για κάθε σχήμα, την λειτουργία του συρσίματος και την απειρία των σχημάτων που προκύπτουν, επέμεναν στην ονομασία του. Στη συνέχεια ζητήθηκε από τους μαθητές να απαντήσουν σε μερικά ερωτήματα, όπως για παράδειγμα:. Πώς ονομάζεται το σχήμα που βλέπεις; Δείξε με το δάχτυλό σου ποιο από τα δύο σχήματα είναι ο κύκλος. Δείξε ποιο από τα παρακάτω 4 σχήματα είναι το τετράγωνο. Το παρακάτω σχήμα είναι ένα τρίγωνο ή ένα τετράγωνο; Επιπλέον, να σημειωθεί ότι το πρόγραμμα συνέβαλε επίσης στην επεξεργασία και κατανόηση των χρωμάτων. Οι μαθητές με σχετική και πολλή, ενίοτε, βοήθεια ISSN 1790-8574 9

σχεδίασαν κάποια από τα βασικά γεωμετρικά σχήματα και στην συνέχεια διάλεγαν τα χρώματα που ήθελαν και τα διαφοροποιούσαν χρωματικά. Φυσικά, παρόλη την (τηρουμένων των αναλογιών) σχετικά καλή ανταπόκριση και δεκτικότητα των μαθητών διαπιστώθηκαν ορισμένες δυσκολίες. Οι κυριότερες ήταν οι εξής: Αρκετοί από τους μαθητές δυσκολεύτηκαν να κάνουν σωστή χρήση του «ποντικιού» και να επιλέξουν τα διάφορα εικονίδια του προγράμματος. Όταν περισσότερο «πολύπλοκες» γεωμετρικές εφαρμογές, όπως σημεία κύκλου, ευθείες που διέρχονται από διάφορα σημεία, μέσα ευθύγραμμων τμημάτων, μέτρηση γωνιών, και πολύγωνα ήρθαν στο διδακτικό προσκήνιο, οι περισσότεροι μαθητές παρουσίασαν δυσκολίες ακόμη και κατά την απλή εποπτεία αυτών των κατασκευών. Λόγω των παραπάνω δυσκολιών δεν επιτυγχανόταν η προσοχή και η προσήλωσή τους. Μετά από 20 με 30 περίπου λεπτά παρατηρούνταν μια γενική ανησυχία από τους μαθητές, η οποία εκδηλωνόταν με αρνητισμό, εγκατάλειψη θέσης και προσπάθειας και αγνόηση των διδακτικών προτροπών και «εντολών». 4. Συμπεράσματα- Προτάσεις Συνοπτικά και ως μια συμπερασματική συνόψιση, το συγκεκριμένο λογισμικό μπορεί να εφαρμοστεί στον χώρο της ειδικής αγωγής και εκπαίδευσης, λόγω της ευχρηστίας του και της φιλικότητάς του, ενώ και ίχνη προστιθέμενης αξίας του μπορούν να εντοπισθούν στα χαμόγελα των μικρών μαθητών. Συγκεκριμένα: Οι μαθητές βρήκαν διασκεδαστικό και ευχάριστο τον παιγνιώδη, δυναμικό τρόπο προσέγγισης, μέσω του λογισμικού, των βασικών γεωμετρικών σχημάτων αλλά και χρωμάτων. Μέσω της χρήσης του προγράμματος μπορεί να βελτιωθεί και η «επαφή», η γνωριμία και η εξοικείωση με τον υπολογιστή. Το συγκεκριμένο λογισμικό είναι σημαντικό μέσο διδασκαλίας και πηγή διαδραστικών δραστηριοτήτων. Οι εκπαιδευτικοί μπορούν μέσω των ποικίλων εφαρμογών του να διαμορφώσουν κατάλληλες παιδαγωγικές συνθήκες, ώστε οι μαθητές με αναπηρία να οικοδομήσουν και να κατακτήσουν κάποιες γεωμετρικές έννοιες με εύκολο και ευχάριστο τρόπο. Ακόμα, για παράδειγμα, μπορούν να δημιουργήσουν ένα παραμύθι, μια ιστοριούλα ή και μια απλή ζωγραφιά με διάφορα γεωμετρικά σχήματα. Τέλος, το πρόγραμμα Cabri Geometry (αλλά και γενικά, κάποιο από τα γνωστά Δυναμικά περιβάλλοντα Γεωμετρίας) αποτελεί ένα εκπαιδευτικό, γνωστικό, διαμεσολαβητικό εργαλείο που «διευκολύνει» τον εκπαιδευτικό στο διδακτικό του έργο και θα ήταν αρκετά χρήσιμο, για τους λόγους που προαναφέρθηκαν, να ενσωματωθεί στο πρόγραμμα διδασκαλίας των μαθητών Ειδικών Σχολείων και να εφαρμόζεται για 30 λεπτά, 1 με 2 φορές την εβδομάδα. ISSN 1790-8574 10

Βιβλιογραφικές παραπομπές: Abdul Halim, A. & Effandi, Z. (2012). The Activities Based on Van Hiele s Phase- Based Learning: Experts and Preservice Teachers Views. Journal of Mathematics and Statistics, 8 (3): 385-395 Abdul Halim, A. & Effandi, Z. (2011). Students Perceptions Towards the Van Hiele s Phases of Learning Geometry Using Geometer s Sketchpad Software. Australian Journal of Basic and Applied Sciences, 5(7): 787-792, Balanskat, A. & Blamire, R. (2007). ICT in schools: trends, innovations and issues in 2006-2007. Schoolnet, June 2007, V.1.0, An overview of ICT in schools 2006-2007. Produced for EUN s Steering Committee and stakeholders Bantchev, B. (2010). A Brief Tour to Dynamic Geometry Software. Τελευταία προσπέλαση 30-12-2012, www.math.bas.bg/omi/didmod/articles/bb-dgs.pdf Bartolini Bussi, M. & Chiappini, G. & Reggiani, M. & Robutti, O. (2004). Learning Mathematics with tools. In proceedings of IMCE-10, Copenhagen Battista, M. T. (1998). Computer Environments that Engender Students Construction of Mathematical Ideas and Reasoning: A Constructivist Perspective. Paper presented at the NCTM Standards 2000 Conference. Choi-Koh, S. S. (2000). The Activities Based on van Hiele Model Using Computer as a Tool. Journal of the Korea Society of Mathematical Education Series D: Research in Mathematical Education, Vol. 4, No. 2, 63 77 Christou, C. & Mousoulides, N. & Pittalis, M. & Pitta-Pantazi, D. (2004). Proofs through exploration in dynamic geometry environment. Proceedings of the 28th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education Clark J. & Rogers, M. & Spradling C. (2011). Scratch the workshop and its implications on our world of computing. Journal of Computing Sciences in Colleges, Volume 26, Issue 5, May 2011 Dimakos, G. & Zaranis, N. (2010). The influence of the geometer s sketchpad on the geometry achievement of Greek school students. The teaching of mathematics, Vol. XIII, 2, pp. 113 124 Fahetry, C. (2003). Τι σημαίνει για μένα; Αθήνα: Ελληνικά Γράμματα Florian, L. (2004) Use of technology that supports children with special educational needs, In Florian, L. & Hegarty, J. (eds.) ICT and special educational needs Maidenhead: OUP: 7-20. Florian, B. & Hegarty, J. (2004), ICT and Special Educational Needs: A Tool for Inclusion. McGraw-Hill International Forsythe, S. (2010). A study of the effectiveness of a Dynamic Geometry Program to support the learning of geometrical concepts of 2D shapes. Joubert, M. (Ed.) Proceedings of the British Society for Research into Learning Mathematics 30(2), June 2010 Freixas, M. & Joan-Arinyo, R. & Soto-Riera, A. (2010). A constraint-based dynamic geometry system. Computer-Aided Design, 42, 151_161 Gawlick, T. (2005). Connecting arguments to actions Dynamic geometry as means for the attainment of higher van Hiele levels. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 37(5), 361-370 Hasselbring, T. S. & Glaser, C. H. W. (2000). Use of computer technology to students with special needs. Future of Children, 10(2), 102-122. Hohenwarter, M. & Fuchs, K. (2004). Combination of dynamic geometry, algebra and calculus in the software system GeoGebra. In Proceedings of Computer ISSN 1790-8574 11

Algebra Systems and Dynamic Geometry Systems in Mathematics Teaching Conference Iguchi, I. & Suzuki, K. (1998). Improving Junior-High Geometry by using Construction Software. Tohoku Gakuin University. ATCM Johnston- Wilder, S. & Pimm, D. (2005). Teaching Secondary Mathematics with ICT. Open University Press Judge, S. L. (2001). Computer applications in programs for young children with disabilities: Current status and future directions. Journal of Special Education Technology, 16(1), 29-40 Idris, Ν. (2007). The Effect of Geometers Sketchpad on the Performance in Geometry of Malaysian Students Achievement and van Hiele Geometric Thinking. Malaysian Journal of Mathematical Sciences, 1(2): 169-180 Κορδάκη, Μ. (2004). Δραστηριότητες για τη διδασκαλία των μαθηματικών Δημοτικού με τη χρήση εκπαιδευτικού λογισμικού. 1ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΕΠ- ΔΤΠΕ με θέμα: «Παιδαγωγική αξιοποίηση των ΝΤ στην Πρωτοβάθμια Εκπαίδευση». Διοργάνωση: ΕΕΕΠ-ΔΤΠΕ, Οκτώβριος 2004 Kortenkamp, U. & Dohrmann, C. (2010). User interface design for dynamic geometry software. Acta Didactica Naposensia, Volume 3, Number 2 Laborde, C. & kynigos, C. & Hollebrands, K. & Strässer, R. (2006). Teaching and learning geometry with technology. In Handbook of Research on the Psychology of Mathematics Education: Past, Present and Future, A. Gutiιrrez, P. Boero (eds.), 275 304, Sense Publishers Μαστρογιάννης, Α. & Τρύπα, Α. (2010). ΤΠΕ και Μαθηματικά: Ωφελιμότητα, περιττότητα ή ουτοπία; 5ο Πανελλήνιο Συνέδριο του Ελληνικού Ινστιτούτου Εφαρμοσμένης Παιδαγωγικής και Εκπαίδευσης με διεθνή συμμετοχή και θέμα «Μαθαίνω πώς να Μαθαίνω», Αθήνα, 7-8 - 9 Μαΐου 2010 Μαστρογιάννης, Α. & Κατσένη, Ε. (2009). Ο υπολογιστής, ως εργαλείο διαμεσολάβησης, σε μαθητές με διαταραχές αυτιστικού φάσματος. 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο της Επιστημονικής Ένωσης Εκπαιδευτικών Πρωτοβάθμιας για τη διάδοση των ΤΠΕ στην εκπαίδευση (ΕΕΕΠ-ΔΤΠΕ) με τίτλο: «Σχολείο 2.0», Πειραιάς, 17-18 Οκτωβρίου 2009 Μαστρογιάννης, Α. & Αναστόπουλος, Α. (2009). Λογισμικά ελεύθερης δημιουργικής έκφρασης σε παιδιά με αναπηρία ή με ειδικές εκπαιδευτικές ανάγκες. 5ο Συνέδριο με τίτλο: «Αξιοποίηση των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και της Επικοινωνίας στη διδακτική πράξη», Σύρος 15, 16, 17 Μαΐου 2009 Μαστρογιάννης, Α. (2009). Εκπαιδευτικό Υλικό με χρήση Δυναμικών Περιβαλλόντων Γεωμετρίας. Διπλωματική εργασία για την απόκτηση Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης, Παν/μιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών. Τελευταία προσπέλαση 30-12-2012, http://hdl.handle.net/10889/2922 Mokros, J. R. & Russell, S. J. (1986). Learner-Centered Software: A Survey of Microcomputer Use with Special Needs Students. Journal of Learning Disabilities, v19 n3 p185-90 Norte, S. & Castilho, N. & Condado, P. A. & Lobo, F. G. (2005). GoGoBoard and Logo programming for helping people with disabilities. In Proceedings of EuroLogo 2005: Digital Tools for Lifelong Learning, Warsaw, Poland, August 28-31, 2005 Noss, R. (1988). The computer as a cultural influence in mathematical learning. Educational Studies in Mathematics, 19 251-268 Πατσιομίτου Σ, & Εμβαλωτής, Α. (2010). Επίδραση των μετασχηματισμών δυναμικού διαγράμματος στο συλλογισμό των μαθητών. Στο Α. Τζιμογιάννης (επιμ.), ISSN 1790-8574 12

Πρακτικά Εργασιών 7ου Πανελλήνιου Συνεδρίου με Διεθνή Συμμετοχή «Οι ΤΠΕ στην Εκπαίδευση», τόμος ΙΙ, σ. 445-452 Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου, Κόρινθος, 23-26 Σεπτεμβρίου 2010 Patsiomitou, S. (2008). The Development of Students Geometrical Thinking through Transformational Processes and Interaction Techniques in a Dynamic Geometry Environment. Issues in Informing Science and Information Technology, Volume 5, 2008 Quaresma, P. & Janicic, P. (2006). Integrating dynamic geometry software, deduction systems, and theorem repositories. Mathematical Knowledge Management (MKM-2006), LNAI. 4108 Springer-Verlag, 2006 Quesada, A. (2003). The Impact of Dynamic Geometry Software as a Didactical Tool. Sixteenth Ann. Int. Conf. on Tech. in Colleg. Math., Chicago, IL, Oct. 30- Nov. 2, 2003. Stager, G. (2006). An Investigation of Constructionism in the Maine Youth Center. Doctoral dissertation, The University of Melbourne, 2006 Stager, G. (2005). Papertian constructionism and the design of productive contexts for learning. In Proceedings of EuroLogo 2005: Digital Tools for Lifelong Learning, Warsaw, Poland, August 28-31, 2005 Straker, L. & Pollock, C & Maslen, B. (2009). Principles for the wise use of computers by children, Ergonomics, 52:11, 1386-1401 Τζίφας, Ν. (2005) Η αξιολόγηση της γεωμετρικής σκέψης των μαθητών της Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης: Επίπεδα Van Hiele και διδακτικές προσεγγίσεις με χρήση λογισμικού. Διπλωματική Εργασία, Παν/μιο αθηνών. Τελευταία προσπέλαση 30-10-2012, www.math.uoa.gr/me/dipl/dipl_tzifas.pdf Τουμάσης, Μ. & Αρβανίτης, Τ. (2003). Διδασκαλία Μαθηματικών με χρήση Η/Υ. Αθήνα: Σαββάλας Wiener, R. (1990). Computers for Special Education. Planning for the 1990's. Tech Trends, Volume 35, Number 4, Pages 18-22 ISSN 1790-8574 13