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P P Ó P. r r t r r r s 1. r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s. Pr s t P r s rr. r t r s s s é 3 ñ

ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s

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r r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t

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P P Ô. ss rt çã r s t à rs r ç s rt s 1 ê s Pr r Pós r çã ís r t çã tít st r t

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d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n 1

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Łs t r t rs tø r P r s tø PrØ rø rs tø P r s r t t r s t Ø t q s P r s tr. 2stŁ s q t q s t rt r s t s t ss s Ø r s t r t. Łs t r t t Ø t q s

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Analyse de modèles pour ITER ; Traitement des conditions aux limites de systèmes modélisant le plasma de bord dans un tokamak Thomas Auphan To cite this version: Thomas Auphan. Analyse de modèles pour ITER ; Traitement des conditions aux limites de systèmes modélisant le plasma de bord dans un tokamak. Equations aux dérivées partielles [math.ap]. Aix-Marseille Université, 4. Français. <tel-977893> HAL Id: tel-977893 https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-977893 Submitted on Apr 4 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

P P s t é t q s s P s è s r r t t s t s t s sstè s é s t s r s t t rs s t r r rt r r P rs té P r s rt r P rr r Prés t r rs té s r t P r s t r r rs rs té r t r t ès P rs rs té r t r t ès

r ts r r r r r ès r r té r r tt t ès r é à é ttr s r s à s s s s s tr s r r t é é r s r t r t é t q t s ss à r r r P t r r r s r t ès s s s r t s s s sés t s r r s t q t rté s s t é r r q t t r r s t r r t t êtr r rt rs tt t ès r r é t P rr t ér r r t r térêt rté à s tr ss sé r t s s t r ts st t r ts s P t t r s r é st r tr t à q s rt t s t s s s s st r s r r é t r tt t r r s q t s q r tr r r à éq sé r s t r ts t à r s r 3 s s t q s t s é ût rs t s ss à r r r s r s éq s q é r r t t à q s r t r r r rt rr ët ss t r t t t rt èr à è r r s à r t r s r t r à éq P r ss ré ér r r rr P r P tr r t ss s s r r ss r t t à t t s rs q t r s é r ss r q ét t é ss r r ît q s t t q s s ts t rq é r t s r té t s rt èr t à r r r t t à r rt t é t à r rr é r r r t t q s t rté r t s t s rét r s P t t q t t rs ré r té t t ss à s t s s t t s s r rs s s s r s r à t t r s s t t t t à P t q té r é é r s r r à t s rt r

s t èr s tr t q s é é ts s r r t s é r è s s é étr r t é ér tés s r s t s t s ét é s s s tr s t s ét s t s t s s ét s s r r è t s ét s s r r è s r t s é rés t r ét é s t r é t q t ès és é s rés t ts t s és é tr és é tr és é tr Pé s t r r è r q Prés t t s é s s t sé s é s s t sé t à tr r è s r rs ss s é s t r èr ét é s t Pé s t s s ét é s t t r s é s é t s t t q ε sts ér q s r t r à s té Pé s t r t r à s t rt t q M t rs tr

Pé s t sstè q s é r q s rés t ts st r sstè r q s r è r q é r P s ré r té s r è q s é r P t t rés é s t q s s tt rt Pé s t r è r q q s é r t é rè r t s s t ès s é t s t t q r Pr r étés r è é sé t st t rr r é s t r r t s tr r t t s éq t s t t é tr q r t t s η r è q s é ér tés s r s ét s t s t t Pr s r t s s é r s t t s é r r r è s tr t r è t t é tr q Pé s t r éq t t t Prés t t ét é s t r sé r s t t r è t t é tr q è s tr é s t r r s ts ér q s s tr s s t ès t rs t s s r r è é t r r r

t t s rt t s st s t t s q t tés ér t rs t s s s rt ts t sés s tt t ès s é é ts tés r s r rés t t s t rs s tr s èr é ér c c(... és st t str t t s t r t r à tr s r ètr s q t s s r s r s t é ér ré sés r t é t r t r s t t s st t s t t q 6 ttr s t r q 4

t é t t s N s té s r r s é Γ t s r r s é η és st té r è r t q η φ η P t t é tr q ε P r ètr é s t é ér ε χ χ,χ t s r tér st q s s 3 s é sé s rt t s r r étés ér t s s t s tr s t s t s r t T T =] T,T[ tr T =],T[ tr u, v ér é s rt s r r rt à u v r s t t r t r r rt r s t, x Cc ( t s ss C à s rt t c, c(... st t str t t s t r t r à tr s r ètr s q t s s r s r s t é ér Htan( m T ré sés Htan( m T = { Φ L ( T, α N d, α m = T α Φ L ( T } { H m ( T H m ( T = Φ L ( T, β N, α N d,β + α m = } β d T α Φ L ( T L ( T L ( T = {Φ : T R N, T Φ(t,x,Φ(t,x dtdx} M N (R s s tr s rré s t N N n r s rt t t r t s r T ér é s t t s r r rt à r t èr r W, (,T;V,H W, (,T;V,H = {f L (,T;V, t f L (,T;V } r.,. X Pr t s r ss é à s X ù X = R D,L ( T,V....,. X Pr t s r ss é à s X ù X = R D,L ( T,V,Htan( m T,H m ( T... φ φ s r s s é t

tr tr t q s é é ts s r r t r t ré t r à s r t r ér t t ss té t s r s é r s r é r é tr q s t r rè rés t t s r s é ér s é r t s è s s q s ét és t t t r r r q s st s éré è ét t t èr st é é tr s t r t s P r ré r t ét t t rr r t t rt s é tr s s t s q s s s t t t és rr s é tr s é ss t é r q t êtr r P r é tr q très t s r s é rs r P r r t r s t s é tr ét q r s rt s st s ét s èr s t rst r P r rt r très é é q q s t ér t r s très é é s > K st r r s q s tér ss s tt t ès s tr s r s s s t sés ré s r ré t s é r s é r s é r st ré t ù t s é rs r tér t tr t s t r r r t s r é ér t é t t s rt s t é r s tér t tr t st s à ré s r t t râ à rr èr é r ét q s tt r èr ré t st r rés té r éq t ss s D + 3 T 4He(3.5MeV+ n(4.mev. é r é ss r r r rr èr é r ét q é à ré s é tr st t q st r r à kev rr s à s t ér t r s r r 8 à 9 K q r ét t s é t r s é r P r tr ré t é

P é r 7, 6 M ev r s ré t ss r é é r r r MeV s st rs très r r 35u tés ss t q é r r s s t r ss tr é t ré t ss tr r u t 3u r tér t tr t s r ê ss st ré t s é r é r r q tr s s é r q ss t r t st r t é r à é str s r s r t r r s tr s à s é r q s r t s t s s q s tr s à ss t s s s rs q st r t té é r ét q ré t st à r é r r t r s ré à é r é sé r r s t t r s t ét q ré s t é r ét q t st r r tèr s r q ré t s é r r s s 4 s é r é sé r é ér r t q nθ i τ E.7 m 3.keV.s n és s té s θ i s t ér t r q t τ E t s t é r P r é r r s t s ré t s t ér t r q st rté à θ i 3keV t q s s t rr t s r ss r t s r ré t s s r é r s r t ét q t s r t rt é r t s rès

P s r t ét q s tt r t t r s té s n m 3 t s t τ E r r s s ré t rs s s t sés r s r t ét q s t t t s t s s t s s t r r s s à t r ré t s s t s ré r t r ù s st é r rts s ét q s s t s s s rés r r r s s t té t t r t s t s s r r q q s s s à q q s t s 6 min 3 s r P s s s ré t s s èr s r r s r t r r t r s r r tés à r t é r s r t s s ré s r ré t s é r s t t t é é r t ré t r st s r t t tr s s à ré t r s é r s s r t rt s t s té s n 3 m 3 é é t t s t très rt τ E s r ss t s r s tér tr t st é ér t t à rt r s s s r ré é s s r s r s tér r s s t t r ré t tt t s rt t t à r r s r s r s t r é r s s s r r s s t ss ré sé s s r t é r s st t s s s s r t tt t q s s t s r é à r t t t t P t s t t r tér tr t r s rt r s r r r s r t é r t r é t s r s rt r

P è s s r s r s té r s è s s st t s è s rt r s q r t à q r r t q à q rt s s s èr s sé N rt s s t x j j {,...,N} r q j t ss m j d ( x j j {,...,N},m j dt (t = q j E+ dx j dt B, ù E t B és t r s t t é tr q t ét q t x j t s t r t rr str st s éré é ré t r t s é tr ét q s è st r très s s s st q N t êtr très r s t s té s st t q t r r rt s r m 3 t r r s rs m 3 r à q t r t s 6N s t s à r s t t t ss q rt r r t q s s t s ér q s q s t ss s s è s ét q s s èr t rt t t str t f s (t,x,v s rt s s s t é s x à st t t t t t ss v r s è s tt r rés t t r t ss r s s s s s 6N à s s s s s 6 s è ét q t r s t f coll r t s ts s s s rt s tr s t t rs à éq t t3 t f s +v x + q s m s (E+v B v f s = t f coll. t s ér r q s s é ér q t f s à q s t s t rés r r è s s s s s à 6 s s 3 r s t t 3 r t ss st r r s s t s s r s t r s t s rt r r s t t râ s r t rs t s s s s s s s r t ét q st r s r r t r ét q q r t ré r s s s s à s s st tt r t q été t s r s t r r r r r été t sé s r q rt t r s r à 89 r ss rs t t é t r 3 rs r r rt t s r t ms r èr r è s st s s è s s s st r rés té s 3 é 3 st r t s r ss èr s ss s ù s s t s t s s r r s s t r s s tr r t r ét q st ré sé r t s ér ts ts f s s v s té rt s n s (t,x = f s (t,x,vdv R 3

P rt s n s u s = vf s (t,x,vdv R 3 u s és rs t ss r s è s t s r r ss Π s = P s = m s R 3 v vf s (t,x,vdv t s r r ss s tr p s = n s T s = m s R 3 v u s f s (t,x,vdv é r Φ = m s v v f s (t,x,vdv R 3 t éq t t3 è ét q r tr r s éq t s s r t s té q t té t t é r t t s t éq t s s é t r s r r r sstè s t s é s t s s t q s s s s st ré t à 3 s s t q s ét s ér q s ss q t t sé s r é t s s t tr s s s s s é é ts s r t s st t s s s ù s t r t s tr s s s t réq t s s s è s ét q s s t é ss r s tr r s r r s r st rt t s rt t s st rs s r s t t tr s èr r s è s s s é étr r t tr rés t t ès s s r t s r r t P t t st é r s s r s r r t st rs é ss r r r é étr tt ré t ét q s st s r t t rt s st t t r t r t t r s r ér ts r è s étér r t r t t é t ér t r s é é s s r r r 4 K tér t r té s rr é rt s ss s r q st ss t t sé r t stè ér s r r s r P r r té r r s été t t s r r s s ét q r s r t r q s st ss t t tr s rté s s ét q ré rs ré s r r

P r ét q r é r s r r r ét q rt t r r é 3 r r t r t t r r èr r ét q r é s r r st ré s s t t tr r èr s r ét q r é t r t ù s s ét q s t r é s t tr r ù s s ét q s t rt s st s r r ét s st t r r r s s ét q s r r r èr st s s s st à r st é t r q t rr r s s ét q t s r r é r s s s P q t s tt r t t r r s r s st r r r s s r ss è q st r t rt r r t ét q t tt r t st s t r t é r r t é r s r t à rt s ss t t t s ts s r tés s s r st tt é étr q été r t r r t s s r r é r r r t t r rés té s r r tr tér r t P à rrêt t t t rt é t èr t r q t ér t r s s rs rs s s ré tr t r r èr é s r s 8 9 K rr s ss t t r s r r s st sé r tr r s r r s r r t s t s r r étés r s r s r r s r r é és r ss èr t r tt t r r q t ét q s t s à é t r s t r t s s t r t r q s P tr s t rs s t s s t rs ï t s t rs t q s t à r té r s str ts

P r P t tér r P à rrêt t r st tr tt r s t r t r s r ér s s P t t rt é t èr st é éré t r r s s r t rt r s r st s s t ér t t tr tr s r t t ù s s ét q s t s r s r r ît s r r t r èr r s tér ss r à r t ér t r t r r t t t r r q s t s t é t q s é és r tt str t r s t r t à r t rt r t t r t t ê q s s s s st s q t rr t s s ét q s s r t s rt t 3 ù s s s t rt s s r r ér ts è s s t été ét s r s r s t r r rés t r r t è t sé s é étr s éré st é r t s r r q s s r t t r s r s r rs s é s s éq t s s éré s s t N s té s s é tr s s r q rs s t r s st q s tr st à r q s té s é tr s st r t t é à s té s s r és s t t t é r r r M v é té s s s r t r è M r s st à r à st t t t rès s t ss t sé q t s tr M = M v M Γ = NM t s st à r s q t té t s r t r è W rt té s J η r t é tr q s r t r è ss é à rés st té r è η

P r r r ét q r é r r ét q rt P t rt r r é r t rt r r t r s r r st t rs ré s s t t tr r èr s r ét q r é t r rt r max ϕ R r min r ϑ r δϑ r lim t r r é sstè r é s t r q s t sé s r st r r ϕ st t r ï t ϑ rr s à ï

P φ η t t é tr q D N,D Γ,D W s ts s b t r r è à r t ét q s s r é s t r q s é r t s s r b s é r t b = ù ǫ B = r q(rr q(r ét t t r sé r té é à r t s s ét q t r rt B t ét q Z r r s s r t q r r Z = s s s éq t s t sé s s s s r s é s r t N +B NM v J η B + (D N N+S N ǫ B + B ( φ η N b = B, (( N φ η + N B b t M v +M v M v + B ( φ η M v b+(+z N N + (D Mv M v +S Mv t W +M v W + B ( φ η N b = Z B3 N J η ( N B +(+ZB3 B N b + (D W W ηnj η = N N φ η W = φ η + ln(n, Z ù = b r rés t r t s r t r è s ét q t = r t s r t r r s éq t s s q t à s s t r ù s sé q s rs s t ér t r s q s t é tr q s ét t t t s s rt téw st q t té q t s r t s s t ès s q s tr s t s t s à s ér r s t s s t s t r 3 r r = r min r N = Γ/N = M centre r W = r φ η =.

P r r = r max r N = Γ/N = M mur r W = r φ η =. t r r lim r r max,ϑ = π δϑ M v = + φ η = ln(n ηn ( e Λ φη ϑ W = ù ϑ = ï. t r r lim r r max,ϑ = π + δϑ M v = φ η = ln(n+ηn ( e Λ φη ϑ W =. s t t s t é r s t r s és à r r s è s ts ét és s r t s r tr q rés t t t é r q r rt q s s têt t r r = r lim,ϑ [ (π + δϑ/,( π + δϑ/] s t s t s à s ér r t r é t r s s s r ît q s ré té tt 3 ù r t r st t t r è s ét q st s r rr t êtr r s t r têt t r rr q é étr r è s s rt r térêt r s tés q ét r r s t s r t r t têt st t t r t t é tr q s r s t s t s s r s à s sé s t r r r = r m ax s s r t ét r q s éq t s r tr s rt N,Γ tr t r t t é tr q φ η tr P s rs s t s s r t t s s s t s s t t s ts és à r r s r t é és xr rés t r s ss r ét q t y rr s r à r t r t r y t r r r r r t y = r max r s é étr s t sé s s q s sstê s éq t s ét és r îtr t s st s r été s é r t t st r s ét s r sé s s r s è s ts térêt tr r r rés s s t é r q t ér q s r r étés t é t q s s ét s r sé s t s ét s à s r t s ré st s été ssé à tr s éq s r r q é s r t P t t r s P t r r t r t s P s P r

P é ér tés s r s t s t s ét é s s s tr s t s tt s t s s r è t q r r s q s t s t s q s r t ét é s r s t s é s t s r é è s t é t r rq q st s t ss 3 sé ét r r q s ss à tér r s q s r è s t é à été r sés r é s t q s ss à r t èr st s t s é t s t ès st q é t s t t s s t s t s râ à s r ts s q s r t r M = Γ/N st ré sé q s rs rt s r ss t ré q st 3 s r r q st t r s t r q st à t r s t r t é ss r st r r 5 m P r t à t φ η = ln(n±ηn ( e Λ φη r t r s r ér t t é tr q tr t r t t ré rsq r st tr rsé r r t tt ér s r té Λ P r r t é tr q s s t r t tré s rt t r tt t t s t r r é r st ré ér à t r t φ η = Λ s r t r è s t tt r èr t s ré st st s té s t s t r s rt s r ét è r t t é tr q tr r ît ss s t s s r t t r ù s s ét q s t êtr r è s à r t èr t t r r s ré té s s ét q r r r r s t r sq s t t r è s à rt t t r é s t é r tt r r r t r r t s st à r t st r t r s s s r s r rt été s é s q s t s t s t è s r t t r r t t r sstè sé t s t s t s té s s r s tr s r s s ét s t s t s s tt s t s s rés t r r è t rt s ét s t s t s s t s r s r t ét é tr s s s t r q q s r s s s r s é s t sé s s ét s s t s s t té s à s s r s t r st r t s é é ér t ét s st à r r R d s s r r s t rs ét r s éq t s é s s r à t ét t r tr r s t s t s r r é s r tr r t ét s ss q s s ét s s t s t êtr q é s à s s t r é s

P \ r s t r t st q t é s r t q t t tr t r s r t èr s q é t s t s r èr t s t ét t s t s r t tr ét s s t s t s t été tr t r s r èr s ét s r t èr r é t été tr t r P s é s r r t s s s t t é r t s é t t r r térêt é t r r à r té à t r à q s t s P r rés t r r è t s ét s s s s ér r r è t s s r é ér { Pu = f s st u : R d R D Θ(u = s r. s ét s s r r è t s tt s t t r t t r è t r r r t à t st térêt st q ét st é t s é ér q t sé tr rté s r s é ér q t rs ét r s st t s rr r r st t s r r è t tr térêt st q s rt s s t t s ét t r s s s q r s ér r st t r t t s r r

P ét s t r ét t r s é s ét s st r r t à t r t èr st t ét s r P s t t r s t é ts s s r s r è s t r t èr r é s t s s s q u r rés t t ss é s é t r s éq t s r t s r ss s s é s p r rés t r t r ss s sstè éq t s é t s s s t t ss u t s t s ér ts ts r t èr X t u+(u u u+ p = f +f b u = f b (t,x = d t X(t = s F(t,xδ( x X(t dσ(x(t s r u(t,xδ( x X(t dx, ù δ st s r r f b rr s t r r é r t r r F st é r é st té t s r r t èr t s rs s r r t èr t rtés s r q st r rés té r t èr st é r s ts X k k {,...,K} r t q s s r r δ( x X(t st r é r t t t s rt st s s s s r s r t èr r ét r t èr s r ss s tr èr t ét s é s t q Pu ε + χ ε Θ(u ε = f s. ù Θ st t R D R D s èr à r rés t r s t s t s é ér s t Θ èr à q t t Θ(u = s t s t s Θ(u ε = χ st t r tér st q st st à r q t s \ t s ε és r ètr é s t r t q r ǫ st sé r r r t t é s t rr à s r s t s t s t q s t r s Pu ε t f s t r és é t ε rs χ ε Θ(u ε t ss êtr r é é t ε s st \ ù χ = s tt q Θ(u ε t rs q ε P r t té t s r r r r t à t Θ(u = r ε é t tt t st s é str t r r s s t s s ét s r ss t rs

P P ss té t s r s s s s rtés s tés à r t èr r r t à ttr t s t ss s rs r s ét s s s tr s r ét s t r s s ét é t s ét s st t rr r é s t q t trô r t r s r tr t s ts t é r q s t ér q s s ét s é s t q à tr rs s é éq t r t rr r r r s tr P t t ét é s t st té s r r t tr t rr r é s t é t s é ts tt ét st rés t r r s s s t t P r ré ér r r r s t é ér r à ét t t st rés té s ss s r r t r sé s rs ét s s t s s s t s t s r r è s t q s s t s t r t r r r s t s s s é s t s q s s r q s s ét s s r r è s r t tr s ét s s q t r t t à rt r s rét s t t sé s rés t r s s ét s st t t ét t st tt ét st r ss 3 t r s st à t r s s t s st s st à r s s s r t èr t à s t s r r r r s é ér q t sé à t r s rs s s s s st s s t ét r é s à rt r t r t s s t é r q r t q t s t s t s t s tt ét é ss t s r r r s éq t s è r P r s ét s rr s r rt r à rt s t r3 r ét t t s r t s s ét s t t s t rt èr t té s s s r t ù térêt s t s r s s é s t s s é s st à s ér r t t rtés s à r s s tr rsé s r t r st r rés té s r r r q s t s r t é r r t èr r à r r tt ét st t r r s s r tr é3 ï r t èr t t r s é s s P r tr t t s t q s r t èr st s t ss é t r r t t s t s t s s r s s tr q é s P r tr t ss rr r r r s tr s t t q rés t ét rt s r r t

P \ r s t r ét t t P r tr ét t r t r s s é s s r t s q r t s t s é s s rt èr t tér ss t s ét s r tt t rs r tr r r s t r r s é rés t r ét é s t s ét s é s t t é ér r t à t r r t q s tr s t ôté 3 é sé t r t é ér t té tr s éq t s s r t r è t s 3 é sé r è rt r t s èr s tr s t s t é és à r r t ét s é s t t sé s st rt t st r r è t s s r r t q s t à tr s s t r q ét s st à st r rr r à é s t t ét r s rt t s t t q q ε t rs P r ét s s t s s r t é r q st ss r t r r è s r t q tt t q st s q r s r è s très s s r r r è t q r q é r P r s à st ss ss s r r é ss r t r s st t s rr r à é s t été t s s tr t t t r é t s t t q t r s t r st t rr r st q été t r s r è s é t r ss sq r s sstè s r q s r s tr r t t

P r é ér t st r tér sé r rés r s x/ε a s s t r s é t s t t q s str t é t s t t q s s rés t s r s st é ér t s s t ê s st t rr r r r s à rt r é t s t t q r st r à r r ér q t st r r r s st t s s s t s q tr s r r è t ét s st à ét r rr r à é s t st à r q rés t sstè éq t s ér é s rt s é sé tr s é ér q ré éré é t r r s s t ét r rr r H P s é u num,ε u limite r r L H H rr r s rét s t t êtr é t rr r à é s t ù térêt r s é r r é é s t t é ss r r tér st q é ér t t t rs q ε st é ss r r s s t r r s rs ts s t rr tr r s s s r s s tr P t t t s r é t q t ès s tt t ès tr t r é t q s é s s r t t t à r s t s t s t s Pr èr t s t r s r s ét s é s t q r s è s r q s t ét t tr r ét é s t é ér t s t à t r s t r t t r q ttér t r ét s é s t q r s r è s r q s q s é r s st s très t s tr r tr r r rés t t ét é s t é ér t t s s s é r ét é s t s s t été r sé r r t t ès è r è r è t t é tr q rés st té r è η s è à r è rt t s tr t t à t t r t r t rs t t r sstè s s ét r é P r tr t t r è s rt t s tr s s s é s t s t t Pr s r P t été r sés ét s ét s été ré sé s r s r è s t q s é r s tr ré sé s s r t s sté à t r s ét s à s è s é r s t t t é tr q t ét r t é r q t t ér q t r rt t q rés st té r è η t rs és é s rés t ts t s s tr ré sés s tt t ès r t tr s t è s s t t tr t r s tr s tér ss à sstè r q é s t s té s N t s q t té t Γ s s t à s P s rs ét s é s t s t t sté s ér q t s r è s

P ér q t r.5.4 P s t r ér q.4.5 x r rés t t t t s r x rr s à s ss r ét q s t ér q t t q s s t r ét q r r t r é tr s r t é t r r t s t s à t r s t r tt r èr é s t r ît r t t t r t s ét à s sstè s r q s s é ér r s s r s t s tr st s ré à r r r s rés t t r sstè r q é r r r tér st q t s t s t s s ss t s P r è t r r tr s s s r r è t t é tr q tr t t r è é ss t s ét s rés r t s t t q t r t r q q s ss s s r é s t t s t é r s és é tr s tr s tr s r sstè r q é s t s té N t q t té t Γ s r s st é r r r M = Γ/N r rés t s éré sstè r q à rés r s é r t t N + x Γ = S N s ].4,.4[ ( Γ t Γ+ x N +N = S Γ M(.,.4 = ξ M(.,.4 = +ξ, ù ξ st st t str t t s t r q r t s ss r r q sstè st sé r s ét s é s t q t été t sté s s tr Pr èr t s t sts ér q s r ét tr t r s r t t r îtr à r té t r s t r q st s s t r é r r rt r ètr é s t ε s ét é s t ét é s èr t r M ±( ξ s q t N r é s t s s r r t t q t r st st s q t t s s s r rs r t s t s q r t ss t r s t r è é sé t r é rs

P é sé R d (x d < χ xd < = r R d + (x d > χ xd > = x d = r é s t s t r è t ét sstè s é s r t t r ét r tr s è é s t ét é st s t t N + x Γ = S N s ],.5[ ( Γ t Γ+ x N +N + χ ( Γ ε η N = S Γ, ù st ],.5[ s rr s t à 3 ],.4[ r s q t é r χ st t r tér st q t r q st [.4,.5[ tt é s t tr s s té t s rés t r t à t r s t r rés t t été r ss t é t s t t q r ε t r é r s t sts ér q s s t ét tt ét é s t ].5,.5[ t r st à r r s r t r t s t s t s ér q s x =.5 t x =.5 tr t ét t é t r t t tr s rt r t r à tr t r P r s t t r t r tr s rt r t ré èr α q s s ré tr t r t q t s s és é tr tr s à ét r t tr r r r s t s rés t ts s r ét é s t s s t rés té s tr r st s R d + t rés té s r s tér ss rs à sstè r q é r s étr s u : ] T,T[ R d + R D d t u(t,x+ A j (a(t,x,u(t,x j u(t,x = f(a(t,x,u(t,x (t,x ] T,T[ R d + j= Θ(a(t,x,,u(t,x, = u t< =. (t,x ] T,T[ R d

P s ts sstè A j j {,...,d} f Θ s t s sés ss C (R D R D t a st H (] T,T[ R d + t à rs s R D t t t r rés t r s ér ts r ètr s s q s è s éré s s q a st s H (] T,T[ R d + t r st s s s s t t t té Y R D t s q t Θ t sé r s t s t s ér s t ès s s t s (y,u R D R D, u Θ(y,U r st t té p s r t t y R D,Θ(y, = r tèr s étr s sstè s tr t r st s étr s r S(y, U t q q q s t (y,u R D R D S(y,U st s étr q t é s t r é t (y,u q U st s s U R D t q y st s s Y s q st e > t q r t t (y,u Y U t r t t W R D S(y,UW,W e W, ù, t. és t r s t t r t s r t r s r R D P r t t j {,...,d} S(y,UA j (y,u st s étr q s s r rs q r è st r tér st q q s q r t t (y,u R D R D tr A d (y,u st rs s t s t s s t s sé s êtr s str t t ss t s st à r P r t t y Y s st U R D t q Θ(y,U = rs r q r t q ér s r r étés s t s µ >, y R D, W ker u Θ(y,, S(y,UA d (y,uw,w µ W dimker u Θ(y, st r r r été ss s ré s s t t u = H(a,v ù t H st s èr à q t à t Θ(a(t,x,,u(t,x, = s t éq t à t Pv(t,x, = ù P st tr r t rt s r s s s t r R p {} D p é r t s s q R D P r é r s t t s s èr q é s r ètr s t a st t rés t t r st rs s t é rè s s q s t ès s é r t s s tt s t r r è s t ér é s st t s T > t ε > t s q r t t ε ],ε ] r è é sé t u ε + d j= u ε t< =, A j (u ε j u ε + χ(x ε M(u εu ε = f(u ε (t,x ] T,T[ R d ù M(u ε u ε = (S(u ε ( v H ( H (u ε PH (u ε,

P t q s t u ε H (] T,T[ R d + W, (] T,T[ R d q st ré èr q ôté t r x d = u ε xd > H (] T,T[ R d + t u ε xd < H (] T,T[ R d q s t s rr r é s t s t s t st t s t q ε t rs u ε u H s (] T,T[ R d + = O(ε. tr ss st r r rés t t t é r q s t r r t r é s t r è t s r q q s é r P r r r t é rè r r r sstè r v ε t q u ε = H(a,v ε s èr s t é t s t t q r str r r t s t v ε r è é sé r v a = M n= εn V n t s t s st t s s r s t r è é sé r r é é r t s s r v ε = v a +εw té é éré r r tèr é r r è st rs tr té r s é tér t t P r és é tr rès r ré sé s tr s r s ét s é s t r s sstè s r q s é r s s r rs q és s P t r sé tr r è tr t t s éq t s é s t t é tr q φ r t P r tr t r r è s s s s r s r t é t q ù st t té s t t é à été r é s s éré st rés té s r è s é ét é st rs s t t yφ η η xφ η +ν yφ 4 η = S s ],T[ y φ η t= = y φ ini s y φ η Σ = t yφ 3 Σ = s r ],T[ Σ ( x φ η x= L = η e Λ φ η x= L s r ],T[ { L} ],l[ ( x φ η x=l = η e Λ φ η x=l s r ],T[ {L} ],l[ t ér té φ η s r ],T[ {.5,.5} ]l,[, ù ν rr s à s s té q r r t Λ és t t ré ér à tér r t r r ètr η rr s à rés st té s s r t r è s ét q s r t q η st très r r 6 t rt s tr s r è é t η t rs r è t sé r s s ét r é t é à s st t r s r str t à rs t é r sé r è s ér t q r t r è x st r q r ét r s s r s tr r s t s r rs é r r è r ttr

P tr r rt s ét s t s t t r s r q s t t t t sé s r s éq t s ré ss t s s s r r è r é t s ss s ét é s t r r t é s r sé r s t s st s t à t r t à t s éq t t t r t r χ ε χ és t t r tér st q rt t r t ε rr s t t rs r ètr é s t s rés t ts ér q s t s r tt ét é s t s t r ts s r st t à êtr r és r r s t s r é r P r r è tr ét t s t t r s r st r sé st sé s r é s t r r é r t s rt t r r è t q é r s tr ét s st à s r φ η = p η + ηq η x p η = t q η x= L = é ét t s t s r r (p η,q η s r (φ η,q η r r s é t s s s s q t s r r s t é t é t s s s rt s ts V = { f H (, yf L (,f ér q s r {.5,.5} ]l,[, y f = s r Σ } r r t s r l f,v V = x f x vdydx+ yf yvdydx+ f x=l v x=l dy. s s é é ts V à ér é r r rt à x r t r è V = { f H (, yf L (, x f = s, y f = s r Σ }. t r t s r l f,v V = yf yvdydx+ f x=l v x=l dy. H = { f L (, y f L ( } s r t s r r ǫ > f,v H = ǫ f vdydx+ y f y vdydx. s s é é ts H à ér é r r rt à x r t r è H = { f H (, y f L (, x f = s } r t s r r ǫ > f,v H = ǫ f vdydx+ y f y vdydx. Q = { f L (, x f L (,f x= L = s r ],[ } r t s r f,v Q = x f x vdydx.

P r rq q V H V é t ss é t s A st s s t s φ t s q φ L (,T;V y φ L (,T;L ( y φ L (,T;{f H (, yf L (,f Σ = } yφ L (,T;L ( t φ L (,T;V y t φ L (,T;L ( s A st s s t s φ t s q φ L (,T;V r tr t é t r é t s y φ L (,T;L ( y φ L (,T;{f H (, yf L (, x f = s,f Σ = } yφ L (,T;L ( t φ L (,T;V y t φ L (,T;L ( t rs s t ès s s t s t ès S, y S, ys, t S, ts L ( T t S L ( T C s t S t=t L ( C s C s à é r φ ini H 4 ( φ ini st é t x st à r x φ ini = l ( S t= dydx = yφ 4 ini dydx+ e Λ φ ini x=l dy s r èr s t ès s s t s t s t té t t P r è é tr rs t é rè r s t é rè s t ès r è tr r (φ η,q η A L (,T,Q t q

P ξ H (],T[, v V H (, w Q, T y φ η t=t y vdydxξ(t y φ η t=t y vdydxξ dt+ T + + T +ν T l yφ η yvdydxξdt+ ( e Λ φ η x=l Svdydxξdt T η x q η x wdydxξdt = T l v x=l dyξdt = T x φ η x wdydxξdt T ( e Λ φ η x= L y φ ini y vdydxξ( t q s t s r φ η t q η φ η φ t q η q s L ( T x q η x vdydxξdt v x= L dyξdt ù (φ,q A L (,T,Q st q s t v V, d y φ y vdydx+ x q x vdydx+ν dt yφ yvdydx l + ( exp(λ φ vdy = Svdydx y φ t= = y φ ini. st t rr r s t φ η φ L (,T;L ( c( T,φ,S,Λ η. s t sts ér q s t é t été ré sés r ér r r r è q η t rs s r q tr t sé r ré s t q s t s s s é ér q t t r é é t η

P y tr ér q l Σ t r Σ P s Σ.5 L b r L.5 Σ t r ér q x r rés t t s s 3 t t s r x rr s à s ss r ét q r t b y rr s à r t r

tr Pé s t r r è r q é r é s t s té t t s r tr ét r è é s t sstè r q é s t s té N t q t té t Γ ét q r r r èr ét é s t été tr t r s r t s rés t ts r ts s ét ér q st èt t t q s t é à tér r t r rr t é ér r s r r r t r s t r s tr rès ét ér q é s t r sé r s r t s t s t s sstè N,Γ r s ss r r q s t sé ét s t s ét é s t tr r t s st t s r èr s t r s tr s è ét é té èt q é èr s t é è P r s t t r M = Γ N r tr r r s tr rt é r t t P s s sstè s s r t r s té s N t r t Γ st s t t N + x Γ = S N s ] L,L[ ( Γ t Γ+ x N +N = S Γ M(.,L = M(., L =. t t s rr s à x ] L,L[ r r r rr s à t r t r st tér é s s r r

P P P P P t st é à r té r s tr s rt s r t s s r s r t S N t S Γ s t s t r s s r s és r rq q sstè rr s éq t s r s tr q r ss é r r èr éq t rr s à s r t q t té t èr t s q s r rés t s r t t P r t s s t ré èr t réé r r s s r s r t ( N ( ( t + N Γ Γ N Γ SN x = (t,x R + ] L,L[. Γ S Γ N s rs r r s tr ( M M s t Λ = M t Λ = M + s Λ < Λ sstè st str t t r q s t s t s r q s s s ér t s s q s s r r st sé ré ré s t s ré s ér ts ré é é t r ré ù s st tr t ù r s r M = Γ/N st ér r à à t r s t r t é ss r st r r r s t 5 m ù s st é tr q t r é s tt ré r ér M > s ré sé t M > x L t M < x L r èr s r t t r s r s t s t s M = x = L t M = x = L st s s sq rès s q M = ± à r té st r tèr st q été s r s r t s s s s s rs r r s s t Λ = M t Λ = M + é t q à t r s t r s rs r r s st st à r q r t èr st r tér st q t tr rr s à s rt t q s t x = L x = L s r è s t s t s s t s r q r s t é rè s s s ss r t st t té s t r è r q r t s à q r = st s é r s r tr t s = tr r sstè r q sé s s rt s t s s é èr t é s t s t s r è s M = ξ x = L t M = + ξ x = L ù ξ > st st t é r r è sé s é r t rs t N + x Γ = S N s ] L,L[ ( Γ t Γ+ x N +N = S Γ M(.,L = ξ M(., L = +ξ.

P P P P P 5 m N = M limiteur N = M limiteur -L L x m r é s r r r r t s ss r r s r é s r s ét q Prés t t s é s s t sé P s rs s é s s s t été t stés r rés r r è r q r rés t q q été r t s é s s t sé P r r r r é t t é éré r s ét s é s t s ét é s s s t ts t êtr ér és t êtr s s t èr à r s rs s s t é t q s é ss rés r rr t t éq t s tt 3 rr r s rét s t t êtr s q rr r à é s t r s r r r t r ètr é s t P r s t s ér r s é r r s é r t st s é t r s s r t s rés té r r ët ér r r r st tt t t s t s t rs t t t s rét s t t s t r rè rés t t s é s èr sstè r q s s r s r t { t u+ x f(u = u t= = u. s st s rét sé s (x i r x i+ x i = x r r t r ]x i,x i+ [ r rés t s é s s ss é trô és é r s t ét t i s tr st

P P P P P x i x i x i+ x i+ x i+ 3 x i+ r rés t t t sé té x i s tt rt s tér ss s tr t t s t s t s r s t (u i+ r r s t q st à r q u i+ (t ]x i,x i+ [ u(t,xdx tè r rs éq t s r t r ]x i t ]x i,x i+ [ ]x i,x i+ [ u(.,xdx+f(u(.,x i+ f(u(.,x i = u(,xdx = u (xdx. ]x i,x i+ [,x i+ [ tr t rs t F(u i,u i+ f(u(.,x i+ F st s sé êtr s st t st à r q r t t v R k,f(v,v = f(v t rs é r r sstè s rét sé s t u i +F(u i,u i+ F(u i,u i = u i ( = u (xdx. ]x i,x i+ [ P r F t s s é r s s r t s r sé r r t ét s st à r r r s t à t r tr s s i t i + st à r x i+ s à t r tt r t s t f r r ér q F(u i,u i+ P r r s t r é x i+ s ér r r è é r sé s t rès r t t èr à t r rés t sstè y = w(u t w C é r s A(y = ( w (y f(w (y w (y ȳ = (w(u i+w(u i+ r r y t q t y+a(ȳ x y = { w(ui s x < x i+ y(,x = w(u i+ s x x i+. ét s t rs F(u i,u i+ = f(w (y( +,x i+ st s r t r tr s é st s tr q st rq s s

P P P P P r ts ù t tr rr t s êtr r s té r r t s st rr t tr q t s s é s t st r r r r r r r t é t st é ss r q rr r s rét s t s t ré à rr r à é s t s èr t s s é à r r t râ à r str t t t r s r t s r s t rs t t ét r str t t r t r ét r r ré t s t t ér q F s é t minmod st é èr s t (a,b R,minmod(a,b = (sign(a+sign(bmin( a, b. a t b s t s t rs q é t ss s s t r s t é t s t s q t tés s t s ( t R ui+ (t u i (t +,(u i x (t = minmod, u i(t u i (t. δx δx rs s r str t s u r s s i t i+ u i+,l(t = u i(t+ δx (u i x (t. u i+,r(t = u i+(t δx (u i+ x (t. t s rét s t s t r str t s é r t d t u i + ( ( ( F u δx i+,l,u i+,r F u i,l,u i,r. é t s t t r r r t s rét s t s t r r st é ss r t s r s é t s r r s s r s é ss é t à tr r è t t q r s é r è r q t r é ( N Γ ( t + Γ x Γ N +N = ( ( N(,x N (x =. Γ(, x Γ (x s r str t s N r ét t st é r N n i,l = Nn i + δx (Nn i x t N n i,r = N n i δx (Nn i x,

P P P P P ù ( N (Ni n n x = minmod i+ Ni n δx, Nn i Ni n. δx Γ n i,l,γn i,r s t é s ê èr P r t w t t r s ér r s r s s r t s N t M = Γ/N s r str t s r r M s t é s à rt r s r str t s t s r N t Γ Γ n M n i+,l = i+,l N n t M n Γn i+ = i+,r,r i+,l N n. i+,r s ér q s f n N,i+ t f n Γ,i+ s t és èr s t rr t tr q st s é ss r ( f n N,i+ f n Γ,i+ = F = (( N n i+,l Γ n i+,l ( Γn (t + i+ n,x i+ Ñ n i+ (t + n,x i+, ( N n i+,r Γ n i+,r Γ n i+ (t + n,x i+ +Ñn i+ (t + n,x i+. ù Ñn i+ (t + n,x i+ t Γ n (t + i+ n,x i+ = M n (t + i+ n,x i+ Ñn (t + i+ n,x i+ s t é és rés t r è é r sé ss s t + n st r str t t s r q t n ( ( Ñn i+ M n i+ t M n +,l +Mn i+,r (N ni+,l +Nni+,r ( Ñn i+ i+ N n i+,l +Nn (M ni+ x,l +Mni+,r M n i+,r i+ ( = ( ( Ñn i+ (t n,x N n ( i+ N n M i+ n (t =,l i+ n,x M n s x < x i+ t,r i+,l M n s x x i+. i+,r rr t tr q st é ss r st à r s M n i+,l Mn i+,r t M n i+,l Mn i+,r s Mn i+,l + Mn i+,r + t Mn i+,l Mn i+,r

P P P P P ér q st r é r s ( f n (( N,i+ N n i+ f n = F,l Γ n Γ,i+ i+,l, ( N n i+,r Γ n i+,r Γ n i+ =,l+γn i+,r (Γ (Γ ni+,l ni+ N n +,r N n +N n i+,l i+,r i+,l+nn i+,r + ( { max M }+ ( N n n i+,l, Mn i+,r i+,r Nn i+,l Γ n. i+,r Γn i+,l rs r r s é t st à r s rét s t s t t t r s é r t N,n i Γ,n i N n+ i Γ n+ i = Ni n δt ( δx = Γ n i δt δx = (N,n i f n f n N,i+ N,i ( f n Γ,i+ f n Γ,i +Ni n δt δx = (Γ,n i +Γ n i δt δx +δts n N,i +δts n Γ,i ( f,n f,n N,i+ +f n f n N,i N,i+ N,i ( f,n f,n +f n f n Γ,i+ Γ,i Γ,i+ Γ,i ù s t, n r rés t ét t r é r s é + δt (Sn N,i +S n+ N,i + δt (Sn Γ,i +S n+ Γ,i, s tt s t s tér ss s tr t t s t s t s s r r é s s t tr s s s t s r s t s t t δt t s t t t max i { M n i +}δt δx =.8 s r rs ss s é s t r èr ét é s t r èr ét é s t r sstè été é é r s r t tt ét st sé s r s s ér t s s q s t s q s té s s t r t t sé r tèr r t χ t r tér st q t r st à r q χ(x = s t r t χ(x = rs ε r rés t r ètr é s t t r r t N + x Γ+ χ ε N = ( χs N ( Γ t Γ+( χ x N +N + χ ε (Γ NM = ( χs Γ.

P P P P P r t à tér r t r s tt à r t s s t r s éq t r és é t ε t t χ ε N t χ ε (Γ NM < ε s r t à tér r t r N t Γ NM r q M t x = L t x = L st t q s éq t s r q t té t été é à tér r t r q t s r s r è s t t é t q t s s t r ( Γ ( χ x N +N. st s r r t q r r r t s r r t s t q st s é s s s str t s é t t s q tr s s ss êtr ttr é à r t s t sts ér q s t tré q s s t s r r t s r r M ès s r rs st ts s t é à t r s t r r r t êtr s r r t r r t s tés à r s s t r P r t r rét t tt s r té s rr t q sstè tt s s t s é ér sé s s s r t t s r ss P s r t ès s s t s s r s q t é t t r r îtr s s r s r à t r tt s t é ér sé rr t s t êtr sé t é r s é ér q t sé s t sts ér q s t été ré sés s ss t s t r s s r s S N t S Γ èr à q s t s s t s s t s t s 3 rr s t s ( x N(t,x = exp Γ(t,x = sin.6(t+ ( exp ( πx.8 x.6(t+ s t t st s ré èr t s s r té à t r s t r t ét r s t t ε = 3 st t rs q s r très r t à r té t r r rq ss q s st s r ît tôt t s st r t r s rs M r s tt t r t s rs r r 8 s t s s r è s st té s é à s t è r è tt ét é s t st t q r s M(±L = ± t t q à t r s t r r tr t s s t s s s t s s t é rè s s s s r t ss t st t té s t s t s s t s t s. Pé s t s s tt s t rés t tr é s t q é èr s s t s tt s t rs s rs ts

P P P P P N x =N x x = x limiteur.4.5 x r rés t t x [,.5] 3 ù s s t s rr s à x [,L] L =.4 t tôt é q tr r s ts t ét t r q r ètr é s t ε t rs t r rt t ét q été t sé r è s t r t t s tr s rts é r r tt ét é s t s s t M M s ss N s t r tt r èr t r t r r t s s s t r r q r tèr t r r t t s q s ér t s ré ù M < ù M > r q ôté r tr t s t s r t t s M(t,+L = ξ t M(t, L = + ξ < ξ sstè r q à rés r st rs t st é s t t r s t t N + x Γ+ χ ε N = ( χs N ( Γ t Γ+ x N +N + χ ε (Γ NM = ( χs Γ, s r é r t s r s M = ξ ér st q r t ré t r ( χ q s t r è r è q s t ré èr sq à rt t s T r s é s t s t s r r t t é rè r 3 rr P r t st ér q r é s t ss s r s s t s t ré s s t s ( x N(t,x = exp.6(t+ Γ(t,x = M sin ( πx ( exp.8 x.6(t+. s s t r s S N t S Γ s t s s èr à q s t s ss s ér t s éq t s sstè r q

P P P P P 4 M versus x 8 M 6 4.39.395.4.45.4 x 4 M versus x 8 M 6 4.39.395.4.45.4 x M versus x 8 M 6 4.39.395.4.45.4 x r M t x ε = 3 tr s s ér ts r s t t 8 56 t 4 s trô t s t é s t r sés r s r t s s s t rrêtés q max i {,...,J} ( Mi n > q rr s st ts s ts t =.88 t =.47 t t =.5834 rr s à [,.5] t L =.4 t r s t r t s étr été sé x = r r

P P P P P.5.5...5.5...5..5..5.3.35.4.45.5 r s N(, x r s Γ(, x r M(,x ε =. x...5..5..5.3.35.4.45.5 r s N(, x r s Γ(, x r M(,x ε = 5 x r r é N Γ t M t x à t = ét é s t s s r t ε =. r t ε = 5 r r t s s t s r rés t t s s t s r é s t s t és rr s t à s t ré ér ε = t r st 3 x [.4,.5] s s st δx = 5 tr é s s t s ér q s s r r tr q s s t s t s t s q ε t rs s t s s sé s s s st r t r s t r q M = ξ =.9 s r ê rés t t r ξ =. r t q t é è séq tr t N s t r ît s s t t t q ε P r s t sts ér q s s t ré ér st é r s é r ε = ét r q ε t rs r t ttr é t t ré r s é ér q q s s st s s t t t s é s s r r s t sé r rés t r è st é r

P P P P P L-error for N and dn/dx 4 3 - - -3-4 -5-6 -7-8 -7-6 -5-4 -3 - - epsilon rr r L r N s s + N s t r xn s s t xn s t r L-error for Gamma and dgamma/dx + : in the plasm a, x : in the lim iter, o: x-derivative in the plasm a, *:x-derivative in the lim iter (Delta_x= 4 3 - - -3-4 -5-6 -7-8 -7-6 -5-4 -3 - - epsilon rr r L r Γ s s + Γ s t r xγ s s t xγ s t r L-error for N and dn/dx 4 3 - - -3-4 -5-6 -7-7 -6-5 -4-3 - - epsilon rr r L r N s s + N s t r xn s s t xn s t r L-error for Gamma and dgamma/dx + : in the plasm a, x : in the lim iter, o: x-derivative in the plasm a, *:x-derivative in the lim iter (Delta_x 4 3 - - -3-4 -5-6 -7-7 -6-5 -4-3 - - epsilon rr r L r Γ s s + Γ s t r xγ s s t xγ s t r r rr rs r N x N Γ x Γ r L t L é s t s s s s t és r rés t t r s t t s r s ε,ε 4,ε /4,ε / t ε s s st δx = 5

P P P P P s éq t s s t s N N,n i n δt i = δx ( f n f n N,i+ N,i + δt ε χ Γ n Γ,n i δt ( f n f n i = δx Γ,i+ Γ,i +δt N n+ i = Γ n+ i = (N,n i +Ni n δt δx +δts n N,i +δt χ ε M +δtsγ,i n χ εn,n i ( f,n f,n +f n f n N,i+ N,i N,i+ N,i + δt ε χ ( (Γ,n i +Γ n δt i f,n f,n +f n f n δx Γ,i+ Γ,i Γ,i+ Γ,i χ +δt εn n+ i + δt (Sn N,i +Sn+ N,i +δt χ ε M + δt (Sn Γ,i +Sn+ ù s ér q s f n,f n N,i+ Γ,i s t és à rt r s r s s t, n rr s à ét t r é r s é P r é r r st té s é s t r s é sés s t tr tés èr t ét ér q rés té ss s s st à r r r s s tô s s s t s r ss t s r r è t st s é ss r r r t ér q s s t ré s r é t r t t q ss rés rt ts s à s rét s t t s tr t r t r t q r ètr é s t ε t rs t t t t é r ît q ε t s rs r q é r ss t t O(ε r N s q t st tr t t ré à t st à r q tr s s t r rés r s é ér q t r s t t t ss r s êtr t rés t ét r ε à δx é t r r îtr t r t s é r ss rr r é s t r t O(ε q t st tr r êtr t ré r s é s M à t r s t r r sq s t t r rs s q q rq s rr rs s s r s t êtr é t s r ètr é s t ε s r r rq q P r r L s t r t ss r st O(ε P r s r s L t L s s r N,Γ, x N, x Γ s rr rs r st t r sq st t s q é s t s rr rs x N t x Γ r L t t q ε sq à ε 5 ε t s t t q 5 r tr r O(ε P r ε 5 rr r r L st O( ε t r r à O(ε q ε < 5 Γ,i,

P P P P P - - size -3-4 -5-6 -7-7 -6-5 -4-3 - - epsilon r st t é ss r t t r ètr é s t ε é ss r été é r t x Jbl.4 ù J bl = max{ Ni n <. NI n } t I ér s s q st t t t r s t r t x Jbl st r r é r x ù N tt t 99% r q st sé à tér r 3 é sé r é s t s éré s r r tt é t t t été t r s r t r r r s s t és r rés t t r s t t s r s ε /4,ε / t ε s s st δx = 5

P P P P P s rés t ts t s r s ét s é s t tt s t r tt t tr r s é ts r èr ét é r t r s r t r tr s r r M q st s s t r r rt r ètr é s t s ét é s t rés té s tt s s s t ré t t r s t r ét é s t t r s t s t s é s s s t t é r r ét é s t r r è é ér t s t à t r s t r P r tr s r r r è s t s t s r t t t r é r t ss s ũ(t,x = ln(n(t,x ṽ(t,x = Γ(t,x N(t,x M s sstè r q t t ũ+(m +ṽ x ũ+ x ṽ = Sũ t ṽ + x ũ+(m +ṽ x ṽ = Sṽ t à t ṽ(.,l = t s t s ũ(,. t ṽ(,. s t s s R + ],L[ t r t r t r t è s r t t s r ét é é s s s é r r r t t ès q sstè s t q s é r t s s é r ét t êtr ét à r è s rt r tés tér ss t tt é s t st s t à tér r t r P r rt t é r q x ],L[ été r é r x ],L[ r t é t r r à r r t t à t x = r ét t s t tr ét sq s t s t r s t r s s és r s q M = ξ ξ ],[ ré t t s st x < L t t r rr s à x L χ rr s t rs à t r tér st q t r sstè é sé s é r t rs t ũ+(m +ṽ x ũ+ x ṽ = Sũ t ṽ + x ũ+(m +ṽ x ṽ +χ ṽ = Sṽ s R + R εm ũ(,. t ṽ(,. s t és

P P P P P r t r s s r t s r è é sé s é r t t N + x Γ = S N ( Γ t Γ+ x N +N + χ ( Γ s R + R N = S Γ. ε M N > sstè st éq t à r s s t s s t3 s é t s t t q ε s s tr r q é t s t t q s t ré èr t êtr str t sq à rt q r r t s s t r s t P r r r s s t s r s s q t, x R, ũ ε (t,x ṽ ε (t,x + n= + n= + n= + n= ε n U n, (t,x s x L ε n U n,+ (t,x s x L ε n V n, (t,x s x L t t st ré èr t t x = M ],[ é s (t,x (t,x R + R,(M +V,± (t,x < ε n V n,+ (t,x s x L. n N,U n, (.,L = U n,+ (.,L t V n, (.,L = V n,+ (.,L s t r s s r s Sũ t Sṽ é t s ũ ± ε t ṽ± ε r èr t q tr è t ès s t s ss t s rr t é t t s ér r q M r t t r st t t rs rs s tr s è t ès q q t té ũ ε t ṽ ε st ss r rté s r q t r é t s t t q t t s é ts ũ ε t ṽ ε s r è é sé t t + n= + n= + ε n t U n,± +M ε n x U n,± + ε n t V n,± + + χ ε n= + n= + n= + ε n V n ε k x U k,± + k= + ε n x U n,± +M ε n x V n,± + + n= εn V n,± M = Sṽ. n= + n= + n= ε n x V n,± = Sũ + ε n V n,± ε k x V k,± k=

P P P P P ré rr t s t r s + n= ε n( t U n,± +M x U n,± + ε χv + M + n= n V k,± x U n k,± + x V n,± = Sũ k= ε n( t V n,± + x U n,± +M x V n,± + n k= V k,± x V n k,± +χ V n+,± M = Sṽ. str r U n,±,v n,± ét t s éq t s é s r q ss ε s s éq t s t r s ε x > L rs V,+ (x = r t t x > L s èr s t t ès ré rr (H n : k n,(u k,±,v k,± s t é s s r ],T[ R t V n+,+ st é s r ],T[ ]L,+ [ r rt r T > é t n t s t (H r r s t r s ε P r x < L χ(x = rt r s éq t s t t t t U, +M x U, +V, x U, + x V, = Sũ s R + ],L[ t V, + x U, +M x V, +V, x V, = Sṽ V, (.,L = V,+ (.,L = r t té. r t èr s t r st r tér st q t q t à t s st ss t sstè st sé t ssè q s t ré èr sq à t s T s s t t t r s t s t s t s r rt t é rè r 3 rr é t s t s t s s str t t ss t s st é s tr tt t ès t t ss êtr tr é s tr t str r U, t V, s r ],T[ ],L[ t t s ér s s x > L χ(x = r t t t q (t,x R + R +,V,+ (t,x = t U,+ +M x U,+ = Sũ s ],T[ ]L,+ [ U,+ (.,L = U, (.,L x U,+ = Sṽ V,+ M. r è r q é r st sé M > r tr t r t à t U,+ t V,+ s t é s s r ],T[ ]L,+ [ t ré rr (H n (H n

P P P P P t H n râ t r s ε n s éq t s t t t t U n,± +M x U n,± + n V k,± x U n k,± + x V n,± = k= t V n,± + x U n,± +M x V n,± + n k= x < L χ(x = rs rès t t U n, +M x U n, + V k,± x V n k,± +χ V n+,± M =. n V k, x U n k, + x V n,, = k= t V n, + x U n, +M x V n, + n V k, x V n k, =. k= r t q s t r s r r n s r t t n x V n, = V k, x U n k, k= t V n, + x U n, +(M +V, x V n, = U n, (,. t V n, (,. s t s n V k, x V n k, k= s ],T[ ],L[ V n, (.,L = V n,+ (.,L rès (H n st t té x = L sstè st à à r r tér st q t t à t ss t é t q st sé s sstè st é r s s t s s t é s s r t r t s ], T[ é ré é t r s é s t s t s U n, t V n, st t t s t q s P r x > L χ(x = s V,+ = t V n,+ s t s rt r s éq t s t t t t U n,+ +M x U n,+ + n V k,+ x U n k,+ + x V n,+ = k= n t V n,+ + x U n,+ +M x V n,+ + V k,+ x V n k,+ + V n+,+ =. M k=

P P P P P U n,+ st q s t r è r q é r sé s t n t U n,+ +M x U n,+ = V k,+ x U n k,+ x V n,+ k= U n,+ (,. st U n,+ (.,L = U n, (.,L r t té s ],T[ ]L,+ [ s t V n+,+ râ à r t n V n+,+ = M ( t V n,+ + x U n,+ +M x V n,+ + V k,+ x V n k,+. r r été (H n st ér é st à r q t str r é t s t t q s t sq à rt q r r n t str t é t r ε s s t t s t t é ér é à êtr r ss t str s t s t à rt r é t s t t q ε ù s s r t r r s r s t x/ε a t ré ss r tt str t s èr rt t s t r s st s r èt tr r t tr r r r s t q ét é s t q é s s s é ér é èr s t s t r s t r s s rt r r ç t t t r s s t s ré èr s é s s ssé t < t r r q r è é sé t q s t N, Γ r s t é é ss s st é tré r r è s é ér s tr k=

P P P P P Pr s t r è é sé t N + x Γ = N Sũ ( Γ t Γ+ x N +N + χ ε ( Γ N = N Sṽ +ΓSũ M N t< t Γ t< s t s t s t ré èr éq t ss s s ] T,T[ R t q s t N,Γ s st t rr r s t s N, N N, H s (] T,T[ ],L[ = O(ε Γ Γ, H s (] T,T[ ],L[ = O(ε, ù (N,,Γ, st s t t N, + x Γ, = N, Sũ ( t Γ, Γ, + x +N, = N, Sṽ +Γ, Sũ N, Γ, (., N, (., = M s r x = N, t< = N t< t Γ, t< = Γ t< s t s s ] T,T[ ],L[ ér tr s sstè s é sé s t st r t t t r t ès s t ré èr s ssé ] T,[ r t é t r s r è s és à t té t t t à t t s q s q s st t é à r t < t t q t r à é r r t > s s t tr ét ér q t s r r étés tt ét é s t sts ér q s r t r à s té rt r r ss st t s r s é s s é é s s t r r s s t s P r é t r s r è s st té t r é sé été tr té èr t s s rét s t t s t sé st r t s t s é Ni n t Γ n i r rés t t t rs s rs s N t Γ i t tr s s t x = iδx f n N,i+ t f n Γ,i+ és t s ér q s és r s é r str t t r N t Γ à st t t n t à t r i t i + r s

P P P P P r s s t, n rr s à ét t r é r s é N,n i = Ni n δt ( f n f n +δts δx N,i+ N,i N,i n Γ n Γ,n i δt ( f n f n +δt χ i = δx Γ,i+ Γ,i ε N,n i +δtsγ,i n χ N n+ i Γ n+ i = = (N,n i +δt M ε +Ni n δt ( δx (Γ,n i +Γ n δt i δx f,n f,n N,i+ +f n f n N,i N,i+ N,i ( f,n f,n +f n f n Γ,i+ Γ,i Γ,i+ Γ,i χ +δt M ε + δt (Sn N,i +S n+ N,i +δt χ ε Nn+ i + δt (Sn Γ,i +Sn+ st t rs [,.5] t s étr x = t 3 t t t r st [.4,.5] r r s t sts s t rés tés r r s s t ré èr q st r é ( x ( πx ( N(t,x = exp Γ(t,x = M sin exp.6(t+.8 x.6(t+ s S N,S Γ s t s s èr à q s t s ss s s t s t s r x [,.4] râ à tt s t t ré r è t q ε é t rr r t s r st à ré s r s t t ré s t r s t à rt r r r é t s t t q s t r è é sé t s s t s st t r s été ét é s s r q r ètr é s t ε t rs râ à s r s δx = 5 s rr rs t été é é s r L t L r N x N Γ t x Γ s t r tr r t r t O(ε s st té t t s s s ù t r s t r s s t à t r s s s t ér t êtr s té t ôté st é ss r r r r r r t s r rr r s rét s t s s t r ét r rr r à ét é s t tr ôté r t r t t térêt s ét s é s t ù t st r é t r t ré s r q s t sts ér q s ré sés s t à ét r s r r étés r è t s tés r s r é t t é s t st t à t x =.5 à tér r t r é ss r r r t r s é s éq t s r Γ st é sé s t t s tr s r t s rn P r s t sts ér q s s t s à t x =.5 r t r r é t s t t q P rx >.5 s s é ér q N n i,γn i s t r és r r s t tn BC (t n,x i,n BC (t n,x i M BC (t n,x i ùn BC tm BC s t és r s r ss s ré sé s ss s. Γ,i.

P P P P P...9.9.8.8.7.7.6.6.5.5.4.4.3.3.......5..5..5.3.35.4.45.5 r s N(,x r s Γ(,x r M(,x ε =. x...5..5..5.3.35.4.45.5 r s N(,x r s Γ(,x r M(,x ε = 5 x r r é N Γ t M t x ét é s t s s t à r ε =. t à r t r ε = 5 r éq t s tr ts s r rés t t s t r é r s é ér q t s q s t és rr s t à s t t à t ε t r rr s à 3 x [.4,.5] s s st δx = 5 t < x.4 M N BC (t,x = exp(u,+ (t,x = exp ( 6.5(x tm M BC (t,x = V,+ (t,x+m = M. s ( N BC (t,x = exp(u,+ (t,x = exp t x.4 M + M BC (t,x = V,+ (t,x+m = M. s s t été ts sq à t = s t s t t èr à s t s r t t é s s t s rés t ts s t tr és s r s r r t q t r t O(ε st tt t r r L ê r s ér é s r t r L r ér é N s t r t ss r s s t s t êtr s rt q é r té à tr r t à t rt x =.5 sq r è s tôt êtr sé x.5 r r à tér r s rr t êtr sé r t té t t à t r s t r s rés t ts ér q s s r s t été t s r ç t t r é sé r ( χ Γ ε N M,

P P P P P L-error for N and dn/dx - - -3-4 -5-6 -7-8 -9-7 -6-5 -4-3 - - epsilon rr r L r N s s + N s t r xn s s t xn s t r L-error for Gamma and dgamma/dx + : in the plasm a, x : in the lim iter, o: x-derivative in the plasm a, *:x-derivative in the lim iter (Delta_x= - - -3-4 -5-6 -7-8 -9 - -7-6 -5-4 -3 - - epsilon rr r L r Γ s s + Γ s t r xγ s s t xγ s t r L-error for N and dn/dx + : in the plasm a, x : in the lim iter, o: x-derivative in the plasm a, *:x-derivative in the lim iter (Delta_x - - -3-4 -5-6 -7-8 -9-7 -6-5 -4-3 - - epsilon rr r L r N s s + N s t r xn s s t xn s t r L-error for Gamma and dgamma/dx + : in the plasm a, x : in the lim iter, o: x-derivative in the plasm a, *:x-derivative in the lim iter (Delta_x - - -3-4 -5-6 -7-8 -9-7 -6-5 -4-3 - - epsilon rr r L r Γ s s + Γ s t r xγ s s t xγ s t r r rr rs r N x N Γ t x Γ r L t L é s t s s t r éq t s t é s r rés t t s r s ε /4,ε / t ε s s st t rs δx = 5

P P P P P - - L-error for dn/dx -3-4 -5-6 -7-7 -6-5 -4-3 - - epsilon r rr r r x N r L ét é s t s s t r.4 x.45 s s t és r rés t t s r s ε /4,ε / t ε s s st δx = 5 st t q t r t O(ε st tt t r t s ér tr t r é sé t t r ss s st t t r M /N N t t s rs s t st t r été t s s t q S N = ( χs t S Γ = ( ( Γ(x = Sx t N(x =.S +M + S (.4 +M 4x M M été ét é r s r t M = t s t r t t r ss r δx =. s q t à t M = s ê t s r s rés t ts ss q s st t st t té s t s s r t t t ê rs s t st t r st r t û à s ér q rté r s é t sé s t sts t été ré sés δx sq à 5 4 ε = 3 7 t M =.9,.99 r ê s t ér q s rr s t s r rs s t st t r s t r N st st t t ré t r é t s t t q s t st été r rés té s r tt ét é s t s s N = s t r q q q s r s N t Γ t s s s q s t r tr t s st à r q tt ét é s s t r s t r s r rés t r t èr tr ré t Pé s t r t r à s ét é s t s q ôté t r r è s ré st t q rés té r s r t s s és r s q t r s t t s r q s x s t

P P P P P.7 N versus x.6.5.4.3 N....9.8..5..5..5.3.35.4.45.5 x.8 Gamma versus x.7.6.5 Gam m a.4.3.....5..5..5.3.35.4.45.5 x. M versus x.9.8.7.6 M.5.4.3.....5..5..5.3.35.4.45.5 x r rés t t r q N Γ t M t x à t = é s t s s t t t st s t st t r s t t rr s à r s tr ts s t r rr s à 3 x [.4,.5] r r s ε = 3 t M =.99

P P P P P N.5 x =N.5 x.5 x =.5 x M = N.5 x =N.5 x.5 x =.5 x M = limiteur -.5 -...5 x r rés t t r t r s t t s ét q q r t rr r t r s tt r t r s s t s t s ér q s ét t s t r s r r é t s t t q é t q r t s r t r s t r rs tér r t r s t r és r s s t t t t s q r t ss tr rs r P r é t r é è s s t é r t ré èr α q st s 3 à tér r t r t q t s s t s s t r s s t r sstè t r st sé râ à ré r té α P r s t sts ér q s st x ].5,.5[ t t r rr s à 3 x [.,.] r r sstè é sé t s é r t s t N + x (αγ = S N ( Γ t Γ+ x (α N +N P r α s t s t +sign( x χ ( Γ s R + ].5,.5[. N = S Γ ε M s x ].5,.75] ( ( tanh.6 x.5 + s ].75,.5[ x.75 α(x = s x ].5,.5[ ( ( tanh.6 x+.5 + + s x ].5,.75[ x+.75 s x ].75,.5]. P r s é ér q s t é r r t q s st à r α s s sstè r è r q t tt st

P P P P P Thick black : N(,x, Gray : Gamma(,x, Narrow black : M(,x, epsilon=e Thick black : N(,x, Gray : Gamma(,x, Narrow black : M(,x, epsilon=e 5.5..8..6.5.4.....5.4..6.8.5.5.4.3......3.4.5 x..5.4.3......3.4.5 x r r é N Γ t M t x à t = é s t s s t t t r à s à ε =. t à r t ε = 5 t r rr s à 3 x [.,.] P r ε =. max(n = 5.65 t max( Γ =.7 P r ε = 5 t t max(n = 68.9 t max( Γ = 5.4 st α Γ N t Γ + α ( Γ N α α Γ Γ N N +N N x Γ + χ Γ S N ε N M α = S Γ. st s é t r s é r str t t t s rét s t t s t P r s t sts ér q s r r à ù α s r s s êtr é à s r s s r r N t st s s r r q s rs tt t s r s s s t rt t s s r st t r é s é t s r ètr s s é ér q t êtr q é t t t r r r é t s t t q à tér r t r N st ss t t ré r éq t t à t ss αm rs tr t r r N st tr s rté à t ss αm s t r s t r t st st é q α t rs q s 3 s t s r é s ét ér q r q r ètr é s t ε t rs r r t t ê s rés t ts q r s t r à s t rt t q M t rs P r r t r r tèr sé sstè N,Γ r M été é à ξ rt s t sts ér q s t été ré sés M =.9 rt t ét é s t rsq s r s r t èr r tér st q

P P P P P L-error for N and dn/dx - - -3-4 -5-6 -7-8 -9 - -7-6 -5-4 -3 - - epsilon rr r L r N s s + N s t r xn s s t xn s t r L-error for N and dn/dx + : in the plasm a, x : in the lim iter, o: x-derivative in the plasm a, *:x-derivative in the lim iter (Delta_x - - -3-4 -5-6 -7-8 -9-7 -6-5 -4-3 - - epsilon rr r L r N s s + N s t r xn s s t xn s t r L-error for Gamma and dgamma/dx - - -3-4 -5-6 -7-8 -9 - -7-6 -5-4 -3 - - epsilon rr r L r Γ s s + Γ s t r xγ s s t xγ s t r L-error for Gamma and dgamma/dx - - -3-4 -5-6 -7-8 -9-7 -6-5 -4-3 - - epsilon rr r L r Γ s s + Γ s t r xγ s s t xγ s t r r r é s rr rs r L t L N x N Γ t x Γ ét é s t s s t q é à r t t r à s r r s t és r rés t t s r s ε /4,ε / t ε rr r s s st é é s r s x ].5,.[ ].,.5[ s t r 3 s r q rr r st é st x [.,.75] [.75,.] s 3 ù α(x st s s s s r ts ù rr r été st é r s M =.9 t s st δx = 5

P P P P P st à r M = st rs q st t r s é r é s t s s s s t sté s rs M =.9 r r r t r M =.99 M =.999 t M =.9999 st à r ξ =.,, 3, 4 s s t s tr t q r ε s s t t t èr à q ε O(ξ s rés t ts r s t s ê s q r r r ré é t s s s t tt t rr t r t q M t êtr ér r à t q rr r é s t s r M st O(ε r r é t s t t q rés té s r r t t é r q ét r rs t à t r té r st q r st q st rés s s t s s r tt t s r q s t ér q r r t q ξ t rs s rr t êtr é t q s é st s tr s tr ét é s t é ér t s t été r sé t q é s t s èr t ss 3 s ré s ( t ũ èr à q t t s s t r P = ù P ṽ χ ( ũ st tr r t s t s t t r r ε P ṽ sstè s s r t tr r t é ér s r t r r r èt rés t t s rés t t êtr tr r s t sts ér q s ù rr r r r O(ε st s r é é ss t s s très s s tt ét s r t très r r ss r s r t q s s s t sts ér q s ét t ré sés s r s è s

P P P P P L-error for N and dn/dx - - -3-4 -5-6 -7-8 -9 - -7-6 -5-4 -3 - - epsilon rr r L r N s s + N s t r xn s s t xn s t r M =.99 ξ = L-error for N and dn/dx - - -3-4 -5-6 -7-8 -9 - -7-6 -5-4 -3 - - epsilon rr r L r N s s + N s t r xn s s t xn s t r M =.999 ξ = 3 L-error for N and dn/dx + : in the plasm a, x : in the lim iter, o: x-derivative in the plasm a, *:x-derivative in the lim iter (Delta_x - - -3-4 -5-6 -7-8 -9 - -7-6 -5-4 -3 - - epsilon rr rl rn s s + N s t r xn s s t xn s t r M =.9999 ξ = 4 r rr rs r L r N t x N t ε r é s t s s t t r à s r r s t és r rés t t s r s ε /4,ε / t ε rr r s s st é é s r s x ].5,.[ ].,.5[ s t r 3 s r q rr r st é st x [.,.75] [.75,.] s 3 ù α(x st s s s s r ts ù rr r été st é

tr Pé s t sstè q s é r s rés t ts t é r q s t ér q s t s s tr s t é ér sés à s sstè s r q s q s é r s t s s r r r r tr s é tr s t é rè r ét é s t q st s rés t ts ér q s rés tés tr st t t s t ét r r sé t t r r t t ès s r éq t s é r é t s t t q t st t s é r s r s t tr r rt s r s r èr rt st é é à rés t t s rés t ts ss q s st té t ré r té s t r è r q é r s q s é r t q s r t t s r s t è rt t t é ér s t ét é s t r sé tr s q é str t r r s s rés t ts r q s rés t ts st r sstè r q s tt s t s t r r s t é rè s ss q s s rés t ts s t rés tés s s r s é èr t ér ts s s r s 3 r P r t 3 rr rr ss s r rt r tr t ss s r r è s é r s t s t s r tér st q s s rés t ts t ss été rés tés s rt s s t s ét é s s s r è s é r s s q s é r s tr s r t s s t s rt s t ré èr s t s tér ss à s r è s r q s s r s s s s s s é ér t s r q s s rés t ts ss q s s s t s s tr q s s s s s r ré t s s t tés t t tr t t s r s t rt

P P s r è r q é r s tt s s s t ét r r è r q é r s tér ss r è d A (a t v+ A j (a j v+b(av = f(a s ] T,+ [ R d + j= Cv xd = = s r ] T,+ [ R d v t< = s r ] T,[ R d. t a r rés t s r ètr s s q s s s té ré r t r s tt t a t t t t s s r t s é s à s r ètr s C st tr st t é t tr tr s t, x, v s s q a s t s t t ès s t t ès a :] T,+ [ R d + R D st t q rt t à H (] T,+ [ R d + t q st à r s s té Y R D P r s t é r r L = A t.+ d A j (a(t,x j.+b(a(t,x. j= s q d L = t (A (a(t,x. j (A j (a(t,x.+b(a(t,x. j= s s s s té s tr é s ér t s st t s d s s t s r t t rs s t ès s s t s t ès P r t t y R D,A j (y j {,...,d} t B(y s t s tr s s étr q s s t s ér r r r tér st q t s t s t s s str t t ss t s q s tr t r s t ès s s t s t ès r x d = st r tér st q r t t y R D,A d (y st rs s s s q A d Y L (Y t ès t à t st str t t ss t

P P st c > é t t,y t q r t t y Y t r t t W kerc, A d (yw,w c W dim ker C st r tt r r été C st s r t s r st p rq rr t s r q t ès q q s s s s r tr ts s t r és r t à t s st s r P r s r s t s ér r r sstè r q é r s t ( u t v ( + ( = ( u x= v x= ( u x v ( = ( s ] T,T[ R + s r ] T,T[. r r è ss s st r tér st q s t à t st str t t ss t t rt t rt s r s s r tr t t s rt t t ès A st r é t é s t st à r q st e > t q r t t y Y r t t v R D A (yv,v R D e v R D. ù.,. R D t. R D és t r s t t r t s r t r s r R D t ss t ès ss s s r f t a t ès s s q f( = P r t t t < t r t t x R d + f(a(t,x = s t tt t ès s r t r t té t s t s ssé r sstè r q é r P r ré r té s ts r è r q s s q t ès s t s A j j {,...,d} B t f ér t A j W, (R D j {,...,d} st à r q A j t A j r t r r rt r s t,x s t s L (R D B W, (R D f C (R D t t é ré r té a t f t ès f( = s r t r r q f(a L ( P r st r t s t é r r f(a à é t té à r r f é tr rs t é rè s t q s ss r st q s t r è é r

P P é rè t s t ès s à st λ (L > t q st q s t v e λ(lt L (] T,+ [ R d + r è r q é r r é ss s d A (a t v+ A j (a j v+b(av = f(a s ] T,+ [ R d + j= Cv xd = = s r ] T,+ [ R d v t< = s r ] T,[ R d. s r t t λ > λ (L st t s t vexp( λt L ( λ f(aexp( λt L (. s s t é r s éq t s é a(t,x s t s A j B t f s r t t t s tt r à r s t s é ss r s à é str t t é rè P r t s r r è é èr t ér t q st d A t v λ + A j j v λ +Bv λ +λa v λ = f λ (t,x ] T,+ [ R d + j= Cv λ = v t< =, (t,x ] T,+ [ R d ù λ st st t q r ttr ét r s st t s é r s r rç t s t r λa v λ r t λ P r r tr r tr s r è s t s t s ér r v λ = exp( λtv t f λ = exp( λtf é t rs ér t r ê é r t L λ = A (a(t,x t.+ L λ = t(a (a(t,x. d A j (a(t,x j.+b(a(t,x.+λa (a(t,x. j= d j (A j (a(t,x.+b(a(t,x.+λa (a(t,x. j= é t s s s s ts { } H L = Φ L (] T,+ [ R d +,LΦ L (] T,+ [ R d + { } H Lλ = Φ L (] T,+ [ R d +,L λ Φ L (] T,+ [ R d +.

P P s t t à é t r t P ss q r é t r t P ss t Φ t Ψ ér t rs r t P ss st rs ér t r s t [Φ,Ψ]. = Φ(Ψ(. Ψ(Φ(. é t s s s ts =] T,+ [ R d + =] T,+ [ R d {} =] T,+ [ R d ],]. r s tér ss r r r r r t λ > s s q A j t B ér t s t ès s t é rè t ρ Cc (] T,+ [ R d t q s s rt s t s s rt r t tr (,,...,, t t q ] T,+ [ R ρ(t,xdtdx = d t rs ρ ǫ (t,x = ǫ d+ ρ ( t ǫ, x ǫ rs w H Lλ,[L λ,ρ ǫ ]w ǫ s L (] T,+ [ R d é str t é str t s t tr s ét s tr q s rés t t r w à s rt r é rs r s té t ét r à w L (] T,+ [ R d [L λ,ρ ǫ ] st ér t r t s r C (] T,+ [ R d q s r s r L (] T,+ [ R d è r t ç s r tr r q s rés t t st r r t à s rt r é rs t ét r à q q t w H Lλ t χ Cc (] T,+ [ R d t q χ BR d+(, = t χ (BR d+(, c = ù B Rd+(x,r st rt tr x t r r R d+ é t rs s t ( t w k : (t,x χ k, x w(t, x k t t r ( t χ k (t,x = χ k, x. k t rs r r q w k st à s rt t t q rès t é rè r é s w k k + w s s L ( s L λ w k = χ k L λ w+ d A j v j χ. }{{} k }{{} j= r é }{{} L (

P P t rs r r é w k k + w t L λ w k k + L λ w s [L λ,ρ ǫ ]w k k + [L λ,ρ ǫ ]w t tr s q ér t r [L λ,ρ ǫ ] st t s r C c ( r r L t s r s r L t w C( r q [L λ,ρ ǫ ]w = L λ (ρ ǫ w ρ ǫ (L λ w. s tt ét é str t t X = (t,x. P r r r t t ρ ǫ (L λ w r r t r Y = Z ǫ d ρ ǫ (L λ w = ρ ǫ (Z A j (a(x Z j w(x Z+B(a(X Z+λw(X Z dz = j= ρ(y ] T ǫ,+ [ R d j= + d A j (a(x ǫy ǫ Y j w(x ǫydy ] T ǫ,+ [ R d ρ(y (B(a(X ǫy+λw(x ǫydy. ù Yj és ér é rt r r rt à r Y j s t r st à é r [L λ,ρ ǫ ]w râ à té r t r rt s [L λ,ρ ǫ ]w = = ] T ǫ,+ [ R d ρ(y ] T ǫ,+ [ R d j= d (A j (a(x A j (a(x ǫy ǫ Y j w(x ǫydy + ρ(y(b(a(x B(a(X ǫy w(x ǫydy ] T ǫ,+ [ R d d A j (a(x A j (a(x ǫy d Yj ρ(y +ρ(y Yj A j (a(x ǫy w(x ǫydy ǫ j= j= }{{} + ] T r é r r rt à X,Y à s rt t r r rt à Y ρ(y(b(a(x B(a(X ǫy }{{} ǫ,+ [ R d r é r r rt à X,Y à s rt t r r rt à Y w(x ǫydy. t r r q st st t c(l,ρ é t w t ǫ t q [L λ,ρ ǫ ]w L ( c(l,ρ w L (. s ér t r [L λ,ρ ǫ ] st t s r C c ( r r L t s r s r L ( t t w H Lλ t w δ H Lλ t q s rt w δ st r é t w w δ L ( δ t w δ C( t q w δ w δ L ( δ

P P rs [L λ,ρ ǫ ]w δ L ( [L λ,ρ ǫ ](w δ w δ L ( + [L λ,ρ ǫ ] w δ L (. s t tr r q c(l,ρ st t é t δ,ǫ [L λ,ρ ǫ ] w δ L ( c(l,ρ w δ H ( ǫ. rr à st t s t ù c(l, ρ st t rs st t é t δ,ǫ [L λ,ρ ǫ ]w δ L ( c(l,ρ ( δ + w δ H ( ǫ. s t t r δ t ǫ rs é str t r r t rs tr r q C ( st s s H Lλ r. L ( + L λ. L (] T,+ [ R d + ér t r Ψ (A d Ψ xd = s r r t té C s H ( ( à HLλ à rs é str t t ψ H ( q q rs st r è t Ψ H (R d+ + t q tr Ψ x d = s t ψ ( t Φ C t ré s r s t A d (a(t,x,ψ(t,x,dtdx = v L λψdtdx+ L λ v Ψdtdx. rès é té r3 t t té ér t r r è t t r r q Ψ H ( c ψ H ( ù c é q q st é t t rs A d (a(t,x,ψ(t,x,dtdx v L ( L λψ L ( + L λ v L ( Ψ L ( v L ( c(l Ψ H ( + L λ v L ( Ψ H ( r A j,b W, ( c(l v HLλ ψ H ( rès Ψ H ( c ψ H (. r Cc ( st s s H Lλ t r t t ψ H ( t v Cc ( A d (a(t,x,ψ(t,x,dtdx st t r r s r H Lλ t v A d (a(t,x,ψ(t,x,dtdx s r èr q s r H Lλ é t q (A d v xd = H (

P P s t C (y = CA d (y C L (Y t r t t y Y,v R D Cv = C (ya d (yv =. é str t ré é t é t P r t t Φ C c ( t r t t v HLλ Φ,L λ v L ( = L λ v,φ L ( + Φ xd =,(A d v xd = H (,H (. t x = (x, s s s q v xd = kerc q q (A d v xd = A dkerc s s Φ xd = (A d kerc t r r st st à r Φ xd =,(A d v xd = H (,H ( =. é t s t t E = { Φ C c (,Φ xd = (A d kerc }. t v H Lλ s r r étés s t s s t éq t s Cv xd = = Φ E, Φ,L λ v L ( = L λ Φ,v L ( t t s tt r à tr r st t té s t r è t s L λ E = {L λφ,φ E} ér L λ E sl ( té L λe st s rt r r t s r s L ( r st s s s t r r é r r L L st λ (L t q r t t λ λ (L t G λ : L λ E L ( Ψ = L λφ Φ. st é é r t t r r L t s r r t té s r L λ E é str t r r st t é r t Ψ L λ E st Φ L ( t q Ψ = L λφ t r t s r Ψ t Φ L λφ,φ L ( = t (A Φ,Φ L ( d j (A j Φ,Φ L ( + BΦ,Φ L ( +λ A Φ,Φ L (. j=

P P r st t t à st r q t r A st r é t é s t st e > t q λ A Φ,Φ L ( e λ Φ L (. P r s ér é s s t s s s r t s x,...,x d j {,...,d } j (A j Φ,Φ L ( = j (A j Φ,Φ L ( + A j j Φ,Φ L ( = A j Φ, j Φ L ( r té r t r rt s = A j j Φ,Φ L ( A j st s étr q = j(a j Φ,Φ L ( t s s t j(a j Φ L (. r t t r ér é t r ê s tô ê tr t t t s s t r s r t = T t t = + t (A Φ,Φ L ( = (A Φ t=+,φ t=+ L (R d + }{{} A Φ, j Φ L ( > r A st s étr q é s t (A Φ t= T,Φ t= T L (R d + }{{} = j(a Φ L (. P r t r ér é s x d t r r t t r r x d = t t s r t q t à t st str t t ss t d (A d Φ,Φ L ( = A d Φ, d Φ L ( (A d Φ xd =,Φ x d = L ( = d(a j Φ,Φ L ( (A dφ xd =,Φ x d = L (. tr r r s r q (A d Φ xd =,Φ x d = H (,H ( s s q (A d Φ xd =,Φ x d = L ( < rs rès t ès s t s t s s str t t ss t s r rt t,x,φ(t,x, kerc\ {} s s e Φ(t,x, A d (t,x,φ(t,x,, Φ(t,x, }{{}}{{} RD =. A d kerc (A d kerc q q q Φ(t,x, = rs tr t t r r q (A d Φ xd =,Φ x d = H (,H st s ( d (A d Φ,Φ L ( d(a d Φ,Φ L ( d(a d Φ L (. ré ss t t t s s é tés ré é t r é s t t L λφ L ( Φ L ( L λφ,φ L ( d j (A j + B +λe Φ L (. j=

P P s t és r s λ > λ (L = e d j= j(a j B t Φ L ( λ L λφ L (. tt st t é r st rt t r tr q t G s st é st t P r tr r q G λ st é t tr r té s èr t Ψ L λ E s s q t Φ t Φ s L ( t s q Ψ = L λ Φ = L λ Φ rs r é r té L λ r s tér ss t rs s sstè r q é r L λ (Φ Φ = râ à st t é r q t r r q Φ Φ L ( λ L λ(φ Φ L ( =. G λ s r r t té s r L λ E é t rs s t r è t λ λ (L t { L G : λ E R Ψ G λ (Ψ,f λ L ( st é r t t s r s rt L λe ù f st t r s r é s t é rè rès t é rè s3 st v λ L λe t q Ψ L λ E, G λ(ψ,f L ( = Ψ,v λ L (. s Φ = G λ (Ψ st à r q L λφ = Ψ t t t Ψ L λ E, Φ,f L ( = L λ Φ,v λ L ( = Φ,L λ u λ L (. st à r q v λ st s t r è s rès t é rè s3 é té s r s v λ t G v λ L ( = G L λ E. rès é té rt3 r λ > λ (L G(Ψ L λ E G(Ψ L ( f λ L ( λ Ψ L ( f λ L ( rès t té G éq t s st t s t r v λ v λ L ( λ f λ L (.

P P tt r t é t té v λ s L λ E r s t v = e λt v λ q st rs s t r è t s t tr r q v é s λ > λ (L P r st r t q v t< = t r t s r s L t Ψ L ( t s rt st s s ] T,[ R d + v,ψ L ( = v λ,e λt Ψ L ( v λ L ( e λt Ψ L ( λ f λ L ( Ψ L ( λ f L ( Ψ L ( q λ +. r r s s r t s t tr r q v λ st ss s t ( rt r è r q s s s t st s t t s u (k λ ( C ( N c Hλ t q k N (Cv λ xd = = L λ v (k λ k + L λ v λ = f λ è é str t t é rè r r t é str t t é rè r s s té st t té s t sq à t s T é r r t T > q q r r s t ès s t é rè r ç t t r t s ] T,+ [ r ] T,T[ rs r è r q é r d A (a t v+ A j (a j v+b(av = f(a s ] T,T[ R d + Cv xd = = v t< = j= s r ] T,T[ R d s r ] T,[ R d t q s t v L (] T,T[ R d + s st λ (L > t q r t t λ > λ (L st t s t vexp( λt L (] T,T[ R d + λ f(aexp( λt L (] T,T[ R d +

P P P s ré r té s t és r s r s ré r té s r s t v P r s s tr r q s t s s r q s ts A j (a t B(a s q t r s r f(a s t s s t ré rs s r T s s t ès s ré é t s t ès s t s A j j {,...,d} B t f ér t A j C (R D j {,...,d} B C (R D f C (R D t q r t t t < t r t t x f(a(t,x = t ès ré é t é t q A j (a j {,...,d} t B(a s t s W, (] T,T[ R d + tr t t r t x d s r ér t s r s t t s t,x,...,x d s s s r r r r rés t t ré r té t t t s t s é r s ré r té s r èr r s ç s r é r r à s q s r t sé s s t é t r s à s t Φ :] T,+ [ R D t q Φexp( λt H m (] T,+ [ rs é t r Φ H m,λ = α m λ m α α t α... α d d Φexp( λt L (] T,+ [. t T α = α t α... α d d ér t r ér é t t ss r s s t t s s t é t P r m N t H m tan(] T,+ [ = {Φ L (] T,+ [, α N d, α m T α Φ L (] T,+ [ }. r s r H m tan(] T,+ [ q s èr st. H m tan (] T,+ [ = α m T α. L (] T,+ [. r s s s s tt r rés t t r tt s s s t é rè t s t ès s à t P r t t m N st λ (L,m t q

P P r è r q é r r é ss s d A (a t v+ A j (a j v+b(av = f(a s ] T,+ [ R d + Cv xd = = v t< = j= s r ] T,+ [ R d s r ] T,[ R d t q s t v e λt H (] T,+ [ R d + st st t c(l,m é t f v t λ t q r t t λ > λ (L,m st t s t v H m,λ c(l,m f(a H λ m,λ. rès t é rè st v se λ(l,t L (] T,+ [ R d + rλ (L, s s t r st é à r t tr r q r t t m N v Htan(] T m,+ [ R d + P r s s t s r ér t r ré r s t t t ǫ > t s > { H s R ǫ : tan (R d+ + Hs+ tan (Rd+ + Φ Ψ s t Ψ ǫ t,x Ψ = Φ. t ér t r r t à s r ré r té t s t t r r ètr ǫ rs é r ré r té s t v s s t q q r ér t r R ǫ à v é s r ] T,+ [ R d + r v s r t s r R d+ + r t v t T = s t q v t< = ré r té v s r s s v H m tan (] T,+ [ R d + = v H m tan (R d+ + P r tr r q R ǫ st é s t q r t é rè r P s rs s t êtr s ét s r R ǫ st r s r r étés é q é s ré é t t ǫ > t s N R ǫ st t é r t Htan(R s d+ + rs s s ér t rs Htan s+ (Rd+ + s t r é t r és r r rt à ǫ R ǫ : Htan(R s d+ + Hs tan(r d+ + ǫrǫ : Htan(R s d+ + Hs+ tan (Rd+ + ǫr ǫ : H s tan(r d+ + Hs+ tan (Rd+ +

P P é str t P r é str t t s r tr s r é r r t rs tr s r é r r Φ èr s t F tan (Φ(.,x d (ξ,...,ξ d = Φ(t,x e ıπ(tξ+ d l= x l ξ l dtdx. R d r s r r st rs té ξ = (ξ,...,ξ d r rq rs q r ( Φ (+ ξ s F tan (Φ(.,x d (ξ dξ dx d R d R + st éq t à r. H s tan (R d+ + c(s és à q s st t é t Φ ǫ t R ǫ t Φ H s tan(r d+ + ré s s t s tr s st t s r tr r r tèr r é é t ǫ R ǫ ǫr ǫ ǫr ǫ R ǫ Φ H s tan (R d+ + c(s c(s ( ( R + R + R d (+ ξ m F tan (R ǫ Φ(.,x d (ξ dξ dx d R d (+ ξ s (+ǫ ξ F tan (Φ(.,x d (ξ dξ dx d c(s Φ H s tan (R d+ + r (+ǫ ξ >. ǫr ǫ Φ H s+ tan (Rd+ + c(s ( c(s R + R + c(s Φ H s tan (R d+ + R d (+ ξ s+ (+ǫ ξ ǫ F tan (Φ(.,x d (ξ dξ dx d Rd (+ ξ s ǫ+ǫ ξ (+ǫ ξ }{{ F tan (Φ(.,x d (ξ dξ dx d } ǫr ǫ Φ H s+ tan (Rd+ + c(s ( c(s R + R + c(s Φ H s tan (R d+ +. R d (+ ξ s+ (+ǫ ξ ǫ F tan (Φ(.,x d (ξ dξ dx d Rd (+ ξ s (ǫ+ǫ ξ (+ǫ ξ }{{ F tan (Φ(.,x d (ξ dξ dx d } tr t t q s r ttr s r ré r té v

P P t s R + t Φ Hs tan(r d+ + rs R ǫ Φ ǫ Φ s H s tan(r d+ s r t t s > s sup{ R ǫ Φ H s } < + = Φ ǫ> tan (Rd+ Hs tan(r d+. é str t c(s t c(s és t s st t s é t s ǫ P r tr r r r t ét r R ǫ Φ Φ R ǫ Φ Φ H s tan (R d+ + c(s R + (+ ξ s R +ǫ ξ F tan (Φ(.,x d (ξ dξ dx d d }{{} 4. t rs q r t é rè r é s q s r t r r q R ǫ Φ Φ H s tan (R d+ + ǫ tr s t t è rt s s r q s < s s+ q s r t r r q R ǫ Φ Htan(R s d+ + r q Φ Htan(R s d+ + st éq t à r (+ ξ s / +ǫ ξ F tan(φ(.,x d (ξ L (R d+ +. s t é à q R ǫ Φ H s tan(r d+ + s t s t s s R ǫ Φ H s tan (Rd+ + c(s (+ ξ s / +ǫ ξ F tan(φ(.,x d (ξ L (R d+ +. ( R + R d (+ ξ s (+ǫ ξ F tan(φ(.,x d (ξ dξ dx d r q r t t x d R + t r t tξ R d (+ ξ s (+ǫ ξ F tan(φ(.,x d (ξ é r ît q ǫ > t rs t t ét t s t rès r t ( (+ ξ s R (+ǫ ξ F tan(φ(.,x d (ξ dξ dx d d R + ǫ ( R + (+ ξ s R d. F tan (Φ(.,x d (ξ dξ dx d c(s Φ H s tan (Rd+ +.

P P s { } sup R ǫ Φ H s tan ǫ> (Rd+ + = K < + Φ H s tan (Rd+ + K/c(s c(s > st à r Φ H s + s > s+ r è r ré rr r tr r q Φ st s Htan s+ (R d+ + s s Htan s+4 (R d+ + sq à rr r à Htan(R s d+ + tan(r d+ é str t t é rè t é str t r ré rr s r m s m = rr s t é rè s s s s t t q v λ H m r λ λ(l,m t s tr s q v λ H m tan s s v λ H m r t t λ λ(l,m λ(l,m rr rs r r st t t é rè r r à q r t α N d t q α m r éq t t r A d (a t q ér t r T α R ǫ t t r à r A d (a d A j j (T α R ǫ v λ +A d d (T α R ǫ v λ +B(T α R ǫ v λ +λa (T α R ǫ v λ j= d [ = A d A d A j j,t α ] [ R ǫ vλ A d A d B(a,T α ] R ǫ vλ j= [ λa d A d A,T α ] R ǫ vλ +A d T α A d (a f λ CT α R ǫ v λ = (T α R ǫ v λ t< =. P r ér t r Q r rq q [Q,T α R ǫ ]v λ = Q(T α R ǫ v λ T α R ǫ (Qv λ = [Q,T α ]R ǫ v λ +T α Q(R ǫ v λ T α R ǫ (Qv λ = [Q,T α ]R ǫ v λ T α R ǫ [Q,R ǫ ]R ǫ v λ = [Q,T α ]R ǫ v λ T α ǫr ǫ [Q, t,x ]R ǫ v λ. s [ A d A j j,t α R ǫ ] vλ = [ A d A j j,t α] R ǫ v λ T α ǫr ǫ [A d A j j, t,x ]R ǫ v λ. st r s t r s é té ss s r q t a A j (a,a d (a st H (] T,+ [ R d + t à rs s r é R D P r st t t r T α ǫr ǫ [A d A j j, t,x ]R ǫ v λ, r r r q R ǫ v λ H m tan(] T,+ [ R d + rès t ès ré r r t é t R ǫ s s t é t r t P ss t tr r q [A d A j j, t,x ] st ér t r r é H m tan(] T,+ [ R d +

P P s H m tan (] T,+ [ R d + ǫr ǫ st ér t r r é é t ǫ H m tan (] T,+ [ R d + s H m tan(] T,+ [ R d + λ m α Ad T α ǫr ǫ [A d A j j, t,x ]R ǫ v λ L ( c(l,mλm α R ǫ v λ H m tan (. ùc(l,m st st t s t é t ǫ tλ P r t r [ A d A j j,t α] R ǫ v λ r s t s r s q r t r λ m α [ A d A j j,t α] R ǫ v λ L ( c(l,mλm α R ǫ v λ H m tan (. st t s t r s A d [ A d B(a,T α R ǫ ] vλ t λa d [ A d A,T α R ǫ ] vλ s t ê èr rs λ m+ α Ad [ A d A,T α R ǫ ] vλ L ( c(l,mλm+ α R ǫ v λ H m tan ( c(l,mλ m α R ǫ v λ H m tan (. λ m α Ad [ A d B(a,T α R ǫ ] vλ L (] T,+ [ R d + c(l,mλm α R ǫ v λ H m tan ( c(l,mλ m α R ǫ v H m tan (. P r tt r èr é té t rt t s ts λ m α s é t r s r r st r é q λ t rs + r rès t é rè st λ (L,m t q r t t λ > λ (L,m t st t s t λ m α T α R ǫ v λ L ( c(l,m λ m α ( R ǫ v λ H m λ tan ( + R ǫ f λ H m tan (. ù c(l,m st st t é t s λ t ǫ r λ s s t r R ǫ v λ m,λ c(l,m λ R ǫ f λ H m tan ( c(l,m f m,λ. λ R ǫ v m,λ st r é é t ǫ q s q v λ H m tan( H m ( s r q d v λ = A d d A t v λ A j j v λ Bv λ λa v λ +f λ j= H m tan (. P r ré rr tr q r t t k m d mv λ st sé s é é ts r KT β v λ β m k t K tr t s ts s q t t s rs ér é s s t r é s s d mv λ Htan m k ( v λ Htan( m P r st t é r r. H m,λ t r st t é r s ér é s t t s s q r λ m α T α r λ m α T β γ d β +γ m t ss tr r rs t s st rs tt rs q s s r r r ét r è q s é r

P P é rè t T > r r s t ès s t é rè r ç t t r ] T,+ [ r ] T,T[ st q s t s v H (] T,T[ R d + W, (] T,T[ R d + r è r q é r r é ss s d A (a t v+ A j (a j v+b(av = f(a s ] T,T[ R d + j= Cv xd = = s r ] T,T[ R d v t< = s r ] T,[ R d. s st λ (L,m t st t c(l,m é t f v t λ t q r t t λ > λ (L,m st t s t v H m,λ c(l,m f(a H λ m,λ. s r è q s é r s tér ss t t s r è q s é r s r tér st q s s sstè s r q s q t t t r té st é ér t ss s t tr s s t tés r t s à é t s s rs r s t ré èr t s s s s s rt rs s tt s s s t tr r q s rt s t ré èr s ssé t < rs s t r st ré èr sq à rt s t s T s s t t t st à r q s s t té t t t r îtr rs r é ér t s r t s é t s èr rs r è r q d A (a,v t v+ A j (a,v j v+b(a,vv = f(a,v s ] T,T[ R d + j= Cv xd = = s r ] T,T[ R d v t< = s r ] T,[ R d. s tt s s s t T és ] T,T[ R d + P r tt é str t s r s r s é tér t P r d A (a,v k t v k+ + A j (a,v k j v k+ +B(a,v k v k+ = f(a,v k s ] T,T[ R d + j= Cv k+ x d = = s r ] T,T[ R d v k+ t< = s r ] T,[ R d.

P P v k+ st s t à rt r s rés t ts ré é ts r r è r q é r rès r st é q s t (v k st str t r st r à tr r q r P r é str t r è q s é r s r é ss r r à s s s t s r é té t r r r s r é té r r r s r r. m;λ t Φ,...,Φ p Htan( m T L ( T α.,,...,α.,p N d α.,l = (α,l,...,α d,l t t k N t q p d l= i= α i,l k m rs st r > é t ε,λ,φ,...,φ p q ér p λ m k T α., Φ...T α.,p Φ p,λ r q Φ l m,λ. q l Φ l= s st s t s r s éré s tr r é s s é é ts é str t s ss r s t t T > t d N,m m = d + t λ > rs st κ(m,t,t q é q m,t t T t q r t t Φ H m tan( T L ( T e λt Φ κ(m,t,t λ m m ( Φ m,λ + d Φ m,λ. é str t r Φ Htan( m T s Htan(R m d+ ér t r r t Htan( m T. m,λ st t s Htan(R m d+. H m tan (R d+ r é t r r rt à λ r r s r t r s r r r Φ é t tr s r é r r Φ r ˆΦ(ξ,...,ξ d = Φ(t,x e ıπ(tξ+ d l= x l ξ l dtdx. R d+ r à r t r r r. m,λ Φ q q r t r r s tr s r é s r r s ér é s t t s Φ t ξ = (ξ,...,ξ d ξ = (ξ,...,ξ n t ξ α = ξ α ξα...ξα d d r α N d r q Φ = Φ L ( T Φ L (R d+ ˆΦ L (R d+ = ˆΦ(ξ dξ. R d+

P P Φ L (R d+ = R d+ ( R d+ ( α m ξ α + ξ d α m ξ α ˆΦ(ξ α m ξ α + ξ d dξ α m ξ α ξ α + ξ d ξ α ˆΦ(ξ dξ α m α m ( R d+ ξ α + ξ α m d dξ. α m ξ α s t t t tr r q s té r é té ss s r P r r r t té ré r t r < ( α m ξ α + ξ d + ξ α m d ( ξ (m + + ξ d (m. ξ α r (m > d té r r st t r èr té r é té s r Φ L (R d+ R d+ ξ α + ξ d α m ( c(m R d+ α m ξ α ˆΦ(ξ dξ α m (4π α (ıπ α ξ αˆφ(ξ + (ıπ α + ξ d ξ αˆφ(ξ dξ (4π α + α m c(m,t,t (4π α T α Φ L + (4π α + dt α Φ L, α m α m rès é té P rs t t té ér t r r t Htan( m T s Htan(R m d+

P P tr t t t r ètr λ R d+ ξ α + ξ d ξ α ˆΦ(ξ dξ α m α m c(m,t,t e λt (4π α T α Φ L + λ (4π α + dt α Φ L λ α m α m c(m,t,t e λt T α Φ L + d T α Φ λ L λ α m α m c(m,t,t e λt ( Φ m,λ + d Φ m,λ e λt c(m,t,t λ ( Φ (m m m,λ + d Φ m,λ. st st t κ(m,t,t > é t m,t t T t q e λt Φ κ(m,t,t λ ( Φ m m m,λ + d Φ m,λ. t V t Y s s s s r s t t R D t R D s s t rs q sstè st s étr q t ès P r t t y R D,w R D,A j (y,w j {,...,d} t B(y,w s t s tr s s étr q s s t ès s r r tér st q t t s t s s str t t ss t s r è q s é r s t s é s r r è é r r t ès s t rès é r s t st à r q s s t r r é s èr s t t ès r x d = st r tér st q r t t y R D,W V,A d (y,w st rs s s s q A d Y L (Y V t ès t à t st str t t ss t st c > é t t,y t q r t t y Y t r t t V,W kerc V, A d (y,vw,w c W. dim ker C st r tt r r été C st s r t s r st p s ts C s t ss C st ê r t s r A

P P t ès A st r é t é s t st à r q st e > t q r t t y Y r t t V,W R D, A (y,vw,w R D e W R D P r s t r è s s ss q t ès s t s A j j {,...,d} B t f ér t A j C (R D R D j {,...,d} B C (R D R D f C (R D R D t q f ér ss t ès P r t t y Y,f(y, = t t é é t t é rè s r s q s é r é rè t s t ès s à rs st t st > s s t t t t q st q s t s v H (] T,T[ R d + W, (] T,T[ R d + r è r q é r r é ss s d A (a,v t v+ A j (a,v j v+b(a,vv = f(a,v s ] T,T[ R d + j= Cv xd = = s r ] T,T[ R d v t< = s r ] T,[ R d. s st s r t q t é rè é é ss s s s s t t s é str t t é rè é ré é t r t é rè t s s é tér t t P r rés té s éq t t s t s é tér t s t s ér t v = rès t é rè st s t ré èr v k+ à q q s t t s T s s rs tr r q tt s t v k st r é s W, t H m tan r. m,λ r s t r s t r s r t s r t t t s r st t é r t é rè r tr r r tèr r é s t (v k r st t tt st t é s r r étés v k t s s ér é s t R > t m m = d +3 r R > t q ss r r t t y Y,f(y, = A d f L (Y B R D(,R A d f t rs s t ès s ré rr s r k s t

P P v k + T v k R d v k m m = d +, vk m,λ R r k = tt t ès st é t ér é st rs à tr r éré té s tt t ès st t st t é r r r s r s é r s L é R s s v k s s ér é s èr s r à é str t t é rè r éq t t r A d (a,v k t q ér t r T α t t r à r A d (a,v k d j= A j (v k j ( T α v k+ λ +Ad (v k d ( T α v k+ λ +B(v k ( T α v k+ λ +λa (v k ( T α v k+ λ d = A d (v k [ A d (v k A j j,t α] v k+ λ A d (v k [ A d (v k B(v k,t α] v k+ λ j= λa d (v k [ A d (v k A (v k,t α] v k+ λ +A d (v k T α A d (v k f λ (v k. s q t s r s t t s t s r îtr s é s a s s ts éq t t q st s é ss r t s r ér t r ré r s t R ǫ r ré r té v k+ st é à ss ré r q r st t é r t é rè s s st r q t r r t P ss à s é tés t r r r [ s r s t r s s s é ts à st r s t r A d A d A j j,t α] v λ j {,...,d } sq s t t r r ér é t t s é t r rs λ m α A d (v k [ A d (v k A j (v k j,t α] v k+ λ L ( + T c(l,m,t,r ( T v k m,λ T v k+ + T v k+ m,λ c(l,m,t,r v k m,λ T v k+ + v k+ m,λ }{{} R c(l,m,t,r ( T v k+ + v k+ m,λ, ù c(l,m,t,r st st t q é R s s v k,v k+ tr t r q tt t st s t λ m+ α A d (v k [ A d (v k A (v k,t α] v k+ λ c(l,m,t,rλ ( v k m,λ T v k+ + T v k+ m,λ c(l,m,t,rλ ( v k m,λ T v k+ +λ v k+ m,λ. s à st t é r r r t tr r q r λ λ m (L,m,T,R st t v m,λ c(l,m,t,r λ ( T v k+ + v k+ m,λ + f m,λ.

P P q s t d d T α v k+ λ = A d (v k A j (v k j T α v k+ λ A d (v k B(v k T α v k+ λ j= λa d (v k A (v k T α v k+ λ d j= [ Ad (v k A j j,t α] v k+ λ [ A d (v k B(v k,t α] v k+ λ λ [ A d (v k A (v k,t α] v k+ λ +T α A d (v k f λ (v k. q r t r rès s é tés ré é t s d v k+ m,λ c(l,m,t,r λ ( T v k+ + v k+ m,λ + f m,λ. s t s s é é ts r t s r é té e λt v k+ ( κ(m,t,t v k+ m,λ + d v k+ m,λ. λ m m T v k+ e λt ( κ(m,t,t T v k+ m,λ + d T v k+ m,λ λ m m rs e λt ( κ(m,t,t v k+ m,λ + d v k+ m,λ. λ m m v k+ + T v k+ ( c(l,m,t,r v k+ m,λ + d v k+ m,λ. λ m m q q q e λt v k+ + T v k+ ( K(L,m,T,R T v k+ + v k+ m,λ + f m,λ. λ m m ù K(L,m,T,R st st t s t T λ t s t λ t s q e λ r r e λt v k+ + T v k+ K(L,m,T,R λ m m f m,λ. K(L,m,T,R λ m m f m,λ R t r v k+ + T v k+ R. t d d v k+ A d (v k A j (v k T v k+ j= + A d (v k B(v k v k+ + A d (v k f(v k.

P P s r t rs ér r q st λ (L,m,T,R > é t R,m s s v k,v k+,k t q r t t λ λ (L,m,T,R,T λ v k+ + T v k+ R d v k+ v k+ m,λ R t r r q s t (v k st r é r L t s t tr r q r λ s s t r t r T s s t t t s t (v k st s L (v k r rs t v s L ( T t s t tr r ré r té v s H m tan( T H ( T s r t é rè r é s t q v st s t r è é r r st s t r ré rr ré r té v s r t x d s s r t r t d d v = A d (v A j (v j v A d (v B(vv+A d (v f(v. j= r t t r rés t t s té P t t rés é s t q s s tt rt à s t s ss q s s s s s t q q s t q s s t à r t r t s èr r t t s r s t s st t s é r q s st à r r t s r s L éq t s s t s r t r r r L λ s t r ér é t t r r ôté ss t r è s r ts P ss t é té r r r s r q s rs st t s ér é s s t r è s r t tr r ré r té s s t s s é tér t t P r q rr t r r ét t s ét t t Pé s t r è r q q s é r s tt s t s s r s r ét é s t r sstè r q é r s é ér q s tr ét é s t r sé r térêt s é ér r t t st très r rt é s r s r t q t s t é rè r t s s t ès s s tt s t rés t r rés t t r tr ét é s t r s sstè s r q s é r s s t r rés t t

P P é sé R d ],] (x d χ xd = r R d + (x d > χ xd > = x d = r é s t s sstè é s r s t s d tr t r q s s t s ré èr s r q été rés té s s t é t r s r è s t té t t t r s tr r s r s t é s t s èr r è t s s é s s s ssé s tt ét rr t s ér r r è r q s t d t u(t,x+ Ā j (u(t,x j u(t,x = f(t,x,u(t,x (t,x ] T,T[ R d + j= Θ(u(t,x, = (t,x ] T,T[ R d u t< =. s r s t ré é t tr t t a :] T,T[ R d R D q r t tr tr s s ér ts r ètr s è s q t r è r q ét é r è r q q s s s ér r st s t d t u(t,x+ Ā j (a(t,x,u(t,x j u(t,x = f(a(t,x,u(t,x (t,x ] T,T[ R d + j= Θ(a(t,x,,u(t,x, = (t,x ] T,T[ R d u t< =. s tr r q r s s é r t x = (x,...,x d = (x,x d s r q st sé r è st r rés té s s s q r è s t s t s t ès s é r t s ss s t ès a :] T,T[ R d R D rt t à H (] T,T[ R d

P P f : R D R D R D st ss C t r t t y R D, f(y, = Θ : R D R D R p st ss C t r t t (y,u R D R D, u Θ(y,U r st t té p s r t t y R D,Θ(y, = P r q j Āj : R D R D M D (R st ss C st s étr s r S(y,U t q q q s t (y,u R D R D S(y,U st s étr q t é s t r é t (y,u q U st s s U R D t q y st s s Z R D s q st ē > t q r t t (y,u Z U t r t t W R D S(y,UW,W ē W ù r q, t. és t r s t t r t s r t r s r R D P r t t j {,...,d} S(y,UĀj(y,U st s étr q t t ès q r è st r tér st q st à r q r t t (y,u R D R D tr Ād(y,U st rs s t s t s s t s sé s êtr s str t t ss t s P r t t y Z s st U R D t q Θ(y,U = rs r q r t q ér s r r étés s t s µ >, y R D, W ker u Θ(y,, S(y,UĀd(y,UW,W µ W dimker u Θ(y, st r r r été ss s rès s rés t ts rés tés s s t t r r q st t s τ > t q r è r r éq t tt q s t u s H (] T,τ[ R d + W, (] T,τ[ R d + st Q U,V s s R D t Y Z s R D ér t r r été s t st H C (Y V,Q t q r t t y Y H(y,. st C é r s V rs Q ér t U Q, y Y,Θ(y,U = V = V = = V p = t y Y,H(y, =, ù V R D st t q U = H(y,V t (V,...,V D = V é str t tr u Θ(, st r p tt à ré rr r s t r s s s q tr rré t p p t s s s t ui Θ(, i {,...,p} st rs é t rs t Z : (U,y (Θ(y,U,U p+,...,u D,y t s V = (Θ(y,U,U p+,...,u D t s q u,a Z(, st rs t é rè s t s t s r t r r st s s Q U R D t Y Z R D t s q Z st C é r s é s r Q Y s D r èr s s t s Z r ss t t t H

P P rt r tt t t a st à rs s s Y st à r q t ès (t,x ] T,T[ R d,a(t,x Y r rq q é str t r t t r s r t H t r s t s s ér s és r s q r s ér t s t s t tr s t sé s é (t,x t a(t,x st t s r Āj(u és (t,x Āj(a(t,x,u(t,x t j (Āj (u rr s à a Ā j (a(t,x,u(t,x j a(t,x+ u Ā j (a(t,x,u(t,x j u(t,x tr P st é ét t r t rt s r s s s t r R p {} D p t à t s s s r s t rs Pv = v sstè s é r t d v H(v t v+ Ā j (H(v v H(v j v = f (H(v s ] T,T[ R d + j= Pv xd = = s r ] T,T[ R d. sstè st s t t é à r v H(v S(H(v d A (v t v+ A j (v j v = f(v s ] T,T[ R d + j= Pv xd = = s r ] T,T[ R d v t< = s r ] T,[ R d +. s tt r s t s A j t f s r t èr s t A (v = v H(v S(H(v v H(v A j (v = v H(v S(H(vĀj(v v H(v f(v = v H(v S(H(v f (H(v a H(v t a d Ā j (v a H(v j a. rès s r r étés s r S(H(v t v H(v t é r q A (y,v st r é t é s t r r rt r s (y,v ù y Y t V ér H(y,V Q s st e > é t s V t q r t t y t r t t W R D A (y,vw,w e W r q t ès t s à t str t t ss t st r t r t r è r s t s à t s t str t t ss t s rs st ê r r è j=

P P P r r è r r é r r été t à t t str t t ss t s q r t t V R D t q PV = r q r t q W A d (y,vw,w s r r étés s t s µ >, W kerp, y Y, A d (y,vw,w µ W D p st r rs r r s str t t é t s A d (y,v té s t té s A d (y,v st rs ssè p rs r r s str t t s t s rr t t sstè é sé q st r s êtr tt rt tr A (v ε t v ε + d A j (v ε j v ε + χ ε Pv ε = f(v ε s ] T,T[ R d j= v ε t< = s r ] T,[ R d, ù χ st t r tér st q st st à r q χ xd = t χ xd > = q é s r r rq q t à t r è r r é st Pv xd = = t q t r té s sstè é sé s é r t s t χ ε Pv ε r t q ε t rs r tr t à t Pv ε xd = rés t t r tt rt st t é rè r ss s q st r tèr sé sstè t q st t rr r à é s t é rè s s t ès s t rés té s s tt s t st st t T ],τ[ t q r t t ε ],ε ] r è é sé r é ss s d A (v ε t v ε + A j (v ε j v ε + χ ε Pv ε = f(v ε s ] T,T[ R d v ε t< = j= tt q s t v ε H (] T,T[ R d W, (] T,T[ R d s v ε st ré r q ôté t r x d = st à r v ε xd > H (] T,T[ R d + t v ε xd < H (] T,T[ R d s q q s t s st t s t q ε t rs v v ε H s (] T,T[ R d + = O(ε. t é rè r t é s t é r r è r r é r t r è r t r é s t t é r r r è r q r t é rè s é r t

P P é rè r é r t r r è r d t u+ Ā j (u j u = f(u s ] T,T[ R d + j= Θ(u = x d = u t< =.

P P s s q s t ès s t s t ér é s st t s T τ t ε > t s q r t t ε ],ε ] r è é sé d t u ε + Ā j (u ε j u ε + χ(x ε M(u εu ε = f(u ε (t,x ] T,T[ R d j= u ε t< =, ù M(u ε u ε = (S(u ε ( v H ( H (u ε PH (u ε, t q s t u ε H (] T,T[ R d + W, (] T,T[ R d q st ré èr q ôté t r x d = u ε xd > H (] T,T[ R d + t u ε xd < H (] T,T[ R d r q r S,H t ss r M é t a st t q s t s rr r é s t s t s t r t s t q ε t rs u ε u H s (] T,T[ R d + = O(ε. tr é s t st tr t st r M(u ε u ε (S( ( v H ( H ( PH ( =. r rq q s p < n tr é s t st s rs s st rt ss q s rt s s r ss M s t tr q é r êtr r t t s r t q t r t q st s s s ér r r è r r é r t é rè r s s tt r é s t s t r s s é sés s t s t r és r s t s à t st t u ε u H s = O(ε t êtr t r rété s t r ét é s t é r t s tt rt tt r tér st q èr s tr s rés t ts s r s r è s r q s q s é r s P r tr r t é rè r str r s t r é v a r è é sé râ à é t s t t q rés té s s t s ét s st à tr r q s t t s é r t v a +εw st t q w st s s té P r r r st w ré s é tér t q r t s t (w k k N s s t t s s st t s é r r r r q (w k st r é r L t L t r rs t w s t r è r u st é sq t s τ s rès t é rè s t r è é sé rr t s êtr é sq à t st t t s é t s t t q s é rés t t r t ss t st

P P é t s 3 é sé sq à st t τ t èr q été t r ét é s t s s s é r s s s t s s t s s s s ér r rt T =] T,T[ R d + T =] T,T[ R d + és r st à r r è t à t t q T =] T,T[ R d r rés t 3 é sé st à r t r t t ès t rés té ét r ét r rés t t t é rè r r t r st s s t rés t r è t t tt ét é s t s s é r r t tr s ét s s é t s t t q r str r s t r é r r r é t s t q s t t r + ε n V n, (t,x s x d < n= v ε (t,x + ε n V n,+ (t,x s x d >. n= s t r s V n, t V n,+ s t s sés r s r r étés s t s V n, t< = V n,+ t< = q s t t > T,V n, (t,x,...,x d, = V n,+ (t,x,...,x d, s s str r V n, t V n,+ r rt q r r n V n,± r rés t V n,+ s 3 x d > t V n, ù x d < tt é r t r s r t q t à é r tr s t t s r s sér s n εn V n,± (t,x st s r t t s tér ss s s èr q st q é t r t t s t t = st st t é ér s t q été t r sstè ét é s tr r s s s t r t t j {,...,d} A j (a(t,x,. t f s t ss C t é r r r é t s t t q ss s A j (a(t,x,v ε (t,x f (a(t,x,v ε (t,x + n= + n= ε n A D j ( a(t,x,v,± (t,x,...,v n,± (t,x ε n f D( a(t,x,v,± (t,x,...,v n,± (t,x.

P P s é t s t t q s sstè t χ + ε PV,± + ε (A n (V,± t V n,± + n= d A j(v,± j V n,± j= +F n (V,±,V k,±, V k,±, k n+χpv n+ =, ù F n (V,±,V k,±, V k,±, k n st t q t t t s s t r s q é t V,±, j V,±,...,V n,± j V n,± V n,± s s j V n,± t q t V n,± F n (V,±,V k,±, V k,±, k n st s ér s t t t ès ré rr (H n st rt t s T > é t n t q r t t k n,v k,+ t V k, st é s r r s t t ] T,T[ R d + t ] T,T[ R d s PVn+,+ st é s r ] T,T[ R d t s t (H à rt r s t r s ε rès t r ε PV, = r t t x d < P r x d > χ(x = rès s t r s ε éq t V,+ st s t r è r q s t A (V,+ t V,+ + d A j(v,+ j V,+ +F (V,+ = s ] T,T[ R d + j= PV,+ x d = = PV, x d = V,+ t ] T,[ =. t r è st tr q sstè r r r é s t s à t s str t t ss t s t r r tér st q s st q s t ré èr V,+ H (] T,τ[ R d + st ss ré rq s q V,+ = v s t r è r r r é P r x d < χ(x = A (V, t V, + V, x d = = V,+ x d = V, t ] T,[ =. d A j(v, j V, +F (V, +PV, = s ] T,T[ R d j=

P P PV, = é à été é s t t r V, r st s t à str r (I PV, q st s t (I PA (V, ( (I P t (I PV, d + (I PA j(v, ( (I P j (I PV, j= +(I PF (V, = s ] T,T[ R d (I PV, x d = = (I PV,+ x d = (I PV, t ] T,[ =. s ( V, II ( = (I PV, F II (V, = (I PF (V, t é t s tr s A,II j (V, t D p D p t s q ( (I PA j(v, (I P = A,II j (V, r è t t t êtr r é r t r è r q D p s s p r èr s s t s s t s A,II (V, t V, II + d j= A,II j (V, j V, II +F II(V, = s ] T,T[ R d V, II x d = = V,+ II x d = V, II t ] T,[ =. tr A,II (V, st s étr q t é s t ê q A,II d (V, P r tr r st t té s t sstè ér r q s t s à t s t s str t t ss t s ( W II R D p,w = R(I P = kerp, W II A,II d (V, x d = W II,W II R D p = A,II d (V,+ x d = W II,W II R D p = A d (V,+ x d = }{{} W,W R D p kerp µ W = µ W II, r è r r é s t s à t s str t t ss t s s tr A,II d (V, x d = st s étr q t é é t q tr q N = {} R D p st s s r s r q st µ > t

P P q r t t W II D, A,II d (V,+ x d = W II,W II R D p µ W II é t r tèr str t t ss t s t s à t sstè st T ],τ] t q tt q s t V, II é s r ] T,T[ R d t str r (I PV, t V, sq à st t T r r st ss q T < τ s t PV, st é râ à r t s t t t t éq t r è r P PV, = PA (V, t V, d PA j(v, j V, PF (v,. j= t ré rr râ t r s ε n t t ès (H n st r st à r q r q k n V k,,v k,+ t PV n, s t str ts sq t s T é ré é t P r x d > χ(x = A (V,+ t V n,+ + PV n,+ x d = = PVn, x d = V n,+ t ] T,[ =. d A j(v,+ j V n,+ +F n (V,+,V k,+, V k,+, k n = j= s ] T,T[ R d + F n (V,+,V k,+, V k,+, k n st r r rt à r V n,+ sstè st r è r q é r t rs s t s à t è s t s t s s str t t ss t s s r è r q t q s t V n,+ é sq à st t T tr t s é str t ét t s t (H s x d < χ(x = rès s t r s à r r n V n, ér A (V, t V n, + d A j(v, j V n, j= +F n (V,,V k,, V k,, k n+pv n+, = s ] T,T[ R d V n, x d = = Vn,+ x d = V n, t ] T,[ =.

P P PV n, ét t s t ét r r (I PV n, r r V n, s èr rs s D p r èr s s t s sstè é r ss s (I PA (V, ( (I P t (I PV n, d + (I PA j(v, ( (I P j (I PV n, j= +(I PF n (V,,V k,, V k,, k n = s ] T,T[ R d (I PV n, x d = = (I PVn,+ x d = (I PV n, t ] T,[ =. ê èr q r é str t (H s x d < s t (I PV n, st t str t sq à st t T é s r (H r râ p r èr s s t s r è t t PV n+, s H n st é tré t é t s t t q t êtr str t sq à rt q r r r r t r é t s t t q V,± st s t t r è t q ε t rs é s t st èt st à r q tr é s t st s rs st é ss r rés r r è r q s 3 é sé x d < r r (I PV, r rq q r é ér r é t s t t q sq à rt q r r s à tr r s r s r x d /ε b b st s s s t é rè rt r t t ès ù é t s t t q t t r r s t r s V n (t,x,x d /ε t à ét é s t L ss été s é s rt r r s é s t s t r s r s sq s s r è r q q s é r rr ss s r rt r tr r q r s tr é s t rs é ér t t t r t r r t t s s t s à t r R d + t 3 é sé s t s t s q st s s s tr r Pr r étés r è é sé t st t rr r é s t é t s t t q ré s s t ré é t st s r é t s t r è é sé sq st s t r ss r s s r rs t r s é t sq à rt r r M s r t t s r tr r s t

P P é t s t t t s r r è r q ét é d A (v ε t v ε + A j (v ε j v ε + ε χpv ε = f (t,x ] T,T[ R d v ε t< =. j= s s t ré é t s s ré s t r é v a (t,x = M n= εn V n,± (t,x r M ss 3 r t q d A (v a t v a + A j (v a j v a + ε χpv a = ε M R ε +f (t,x ] T,T[ R d j= v a t< =. é str t t é rè t à r L R ε q st r é é t ε st q q ss s P r M N é t r ε > t v a = M n= εn V n,± st s t r è r é s t d A (v a t v a + A j (v a j v a + ε χpv a = ε M R ε +f (t,x ] T,T[ R d v a t< = j= t R ε st r é r é t ε ],ε ] é str t é t s t t q st r r t s ér r M A j (a(t,x,v a (t,x = ε n A D ( j a(t,x,v,± (t,x,...,v n,± (t,x f (a(t,x,v a (t,x = t r rr t R ε ér ε M R ε = A (v a t v a + = j= n= n= M ε n f D( a(t,x,v,± (t,x,...,v n,± (t,x. n= d A j (v a j v a + ε χpv a f j= d M ε n A D ( j V,±,...,V n,± M M ε p j V n,± + ε n χpv n,± M ε n f D( V,±,...,V n,±. n= p= n=

P P rès é t t r V n,± éq t ss s s réé r t ε M R ε = d M j= n=m+ ε n M p=n M A p j ( V,±,...,V p,± j V n p,± ε M χpv M+,±. s t r s H ( T é t q st st t c > é t ε ],ε ] t q R ε cε M. P r s t r t é rè r r m m = d + t M > 3+ m r s é t s s ér é s t t s t α = (α,...,α d N d ér t r ér é s t t st α s r èr s t T α = α t α x... α d é t ss s t té à s s s é t é t s A( T s s t s v : T R D ér t v H ( T v H tan( T st à r q q q s t α N d,t α v L ( T d v H tan( T v W, q s q v L t q r t t j {,...,d}, j v L és r s tr t st str r w A( T t q v ε = v a +εw s t s t r è é sé st à r d A (v a +εw t (v a +εw+ A j (v a +εw j (v a +εw+ ε χp(v a +εw = f j= (t,x ] T,T[ R d v a t< +εw t< =. x d t s t ér tr t d (A j (v a +εw j (v a +εw A j (v a j v a + ε χpεw= εm R ε (t,x ] T,T[ R d j= w t< =. é t t é r B(U,V,εw : W B(U,V,εwW t q d (A j (v a +εw A j (v a j v a = εb(v a, v a,εww. j= tt t é (a,v a, v a,w t st ss C s t r r r s éq t s s r s s r îtr s r sv a, v a s ér t rb(v a, v a,εw q t rs B(εw

P P s r è r q r w st s t d A (v a +εw t w+ A j (v a +εw j w B(εww+ ε χpw= εm R ε j= (t,x ] T,T[ R d w t< =. P r tr t t rt é r sstè t s r ét t t st s t t rs êtr t ét t rs é r sé sstè s è à s ér r s é tér t t P r w = k N, d A (v a +εw k t w k+ + A j (v a +εw k j w k+ B(εw k w k+ + χ ε Pwk+ = ε M R ε w k+ t< =. j= s ] T,T[ R d s tt à q tt s t r rs w s L ( T s ss s H ( + T H ( T t H ( T st q s tt à tr r t t s t t s t tr é s ér t s st t s v a,t,t t s ér ts ts r è r r é A,...,A d,p s r s té r ttr é r s t t s r s t (w k s L r s à s P r r r r s t (w k s L ( T s s r à s st t s é r s r L st s s r t q r r r s st t s r é s ε st r tt r s q tr t ss s s r s à s q t s r s tt rt é t r s à s Φ L ( T, Φ,λ = e λt Φ L ( T Φ Htan( m T, Φ m,λ = λ m α T α Φ,λ α m Φ H m tan( T, Φ m,λ,ε = α m λ m α ε α T α Φ,λ. t s r rq s s t s q t s êtr t s r s t

P P.,λ st éq t à r. L ( T r r λ é. m,λ t. m,λ,ε s t éq t s à r. H m tan ( T = α m T α. L ( T à λ t ε és ss Φ H m tan( T λ Φ m,λ,ε Φ m,λ,ε ε T Φ m,λ,ε Φ m,λ,ε. t t tr r q st c > é t m s s λ,ε t t ζ m (λ é t ε t q R ε m,λ,ε ζ m (λ R ε c. P sq R ε t< = t q ζ m (λ = O(λ m q λ t rs st t s é r r w k+ tt s s s t r t r r st t é r r r è r q ss s w d A (v a +εb t w+ A j (v a +εb j w B(εb w+ ε χp w = g (t,x T w t< =. j= s tt s s s t b r rés t w k k N t w és w k+ s s st t s s st t s t s r r b w st à r w k w k+ r tr r r ré rr q s t (w k k N st r é r s r s. m,λ,ε t. +. g rr s à ε M R ε t q g m,λ,ε ζ m (λε M t g cε M Pr r été s t ès s s t s s t ér é s b A ( ] T,T[ R d b + b R rs st ε (R ],[ t q r è r q tt s t w A(] T,T[ R d q q s t ε ε (R s st c(r é t g t λ (R > t q t st t é r s t λ > λ (R, λ w,λ + ε χp w,λ c(r λ g,λ. é str t r r été t s s t t s s t s v a (t,x,...,x d = v a (t,x,..., x d t v a+ (t,x,...,x d = v a (t,x,...,+x d.

P P t r è r q s t ( A (u a +εb ( w d ( Aj (u A (u a +εb t + a +εb ( w w + A j (u a +εb j w + j= ( ( Ad (u + a +εb ( w B(εb w A d (u a +εb d ( w w + B(εb + w + w + }{{} =A d + ( ( w g = ε g + w t< = w + t< = w xd = w + xd = =. r rq q r è r q ss s st s étr q t s t s à t q s t s t str t t ss t s t x d = A d (v a +εb xd = = A d (v a+ +εb + xd = t w = w + ( ( w w A d, w + w R N = + A d (v a+ + εb + st s étr q t rs r ε ss 3 t t ε < ε (R s s s s s s s r r s ss és rs r r s str t t é t s A d st s n rés t t t é rè s r t r r st t té ( w, w + H ( + T t ss t r s rés t ts ès 3 rr r 3 r P r t é rè rès s s s s t ss q ( w, w + W, ( + T s t t êtr é r t { w (t,x,..., x d s x d < w(t,x,...,x d = w + (t,x,...,x d s x d. s w t s ér é s t t s T α w s t s L ( T t d w à éq t é t q w H ( T Htan( T st à r q w A( T st t é r r w s w λ (t,x = exp( λt w(t,x t q w λ L ( T = w,λ A (v a +εb st r é t é s t A (εb w λ, w λ L ( T e w λ L ( T d λa (εb w λ + A j (εb j w λ B(εb w λ + ε χp w λ = g λ (t,x ] T,T[ R d j= w λ t< =. t r t s r L ( T w λ d λe w λ L ( T + A j (εb j w λ, w λ L ( T B(εb w λ L ( T j= + ε χp w λ L ( T g λ L ( T w λ L ( T.

P P s r j {,...,d} A j (εb j w λ, w λ L ( T = j (A j (εb w λ, w λ L ( T j (A j (εb w λ L ( T. P r t r ér é t s A (εb w λ, w λ L ( T = (A (εb w λ, w λ L ( T + R d w λ t= T A (εb t=t w λ t= T dx }{{} = r w t<= j (A (εb w λ L ( T. λe w λ L ( T + ε χp w λ L ( T + g L ( T w λ L ( T. R d w λ t=t A (εb t=t w λ t=t dx }{{} d j (A j (εb + B(εb w λ L ( T j= r ç t s é té ré é t t r ε χp w λ L ( T r t t λ >,λe w λ L ( T d j (A j (εb + B(εb w λ L ( T + g λ L ( T. j= s s s t q λ > λ (R = ( d e j= j (A j (εb + B(εb λ w λ L ( T e λ (R g L ( T. r s st t t r χp w λ L ( T ê r é é q ss s st q é χp w λ L ( ε T d j (A j (εb + B(εb w λ L ( T + g L ( T w λ L ( T j= C (R λ g λ L ( T rès λ w λ L ( T e g L ( T (λ > λ (R. t s t c(r = e +C (R t t st t é r s té λ w,λ + ε χp w,λ c(r λ g,λ.

P P é tés r s ér é s t t s w k+ r r r t ét r st t é r r s t ér é s t t s w n+ Pr r été r R > b A(] T,T[ R d t w A(] T,T[ R d s t r è s s q b + b R < ε < ε (R λ > λ (R,m > rs st c(r,m é t w,b,λ,ε t q w ér st t s t λ w m,λ,ε + ε χp w m,λ,ε c(r,m λ ( b m,λ,ε ( T w + χp w + g + g m,λ,ε. é str t r r été t α N d t q α m s tt r s st t s r c(r, m s r t tr tr s é t s w, b, λ, ε rès r q é ér t r ér é t t ε α T α à r è r q t s é r t d ( ε α A j (εb j T α w ε α B(εb( T α w + ( ε ε χp α T α w = j= ( d [ A d (εb A d (εba j(εb j, ε α T α] w [ χa d ε (εbp, ε α T α] w j= + εt α( A d (εbg α ε T α w ] T,[ =. q r s t q é r è t st ε α T α w s st é ss r st r r.,λ r r t é té P r s t r s rt t r t t s t s à é té t r r r s r r é str t ss s rr r s tr ès é té r r r s r r. m,λ,ε t Φ,...,Φ p Htan( m T L ( T α.,,...,α.,p N d α.,l = (α,l,...,α d,l t t k N t p d q l= i= α i,l k m rs st r > é t ε,λ,φ,...,φ p q ér λ m k p d p l= i= ε α i,l T α., Φ...T α.,p Φ p,λ r q Φ l m,λ,ε. q l Φ l= è t r s r q st s é t à r r r.,λ à s t ε

P P [ ] P r st é ss r r é té s r r χa d P, ε α T α w t r t r t êtr é é èr s t L β.,γ.,δ s t s tr s [ χa d P, ε α T α] w = χ βp + L β.,γ.,δ(εbt β v a...t β k v a T γ (εb...t γ l (εbt δ P w. γ q +δ α [ ] ù δ < α r r r.,λ χa d P, ε α T α w q s é tés s t s λ m α [ χa d ε P, ε α T α] w,λ = λm α χ ε α ε βp + L β.,γ.,δ(εbt β v a...t β k v a T γ (εb...t γ l (εbt δ P w γ q +δ α ( λm α ε (γ,...γ l = + (γ,...γ l ( (γ,...γ l = + (γ,...γ l c(r, m ε α χt β v a...t β k v a T δ P w,λ c(r, m ε α χt β v a...t β k v a T γ (εb...t γ l (εbt δ P w,λ c(r,m ε α δ λ δ α λ m δ ε δ χt δ P w,λ εc(r,m( b m,λ,ε χp w + χp w m,λ,ε t t t λ m α [ χa d ε P, ε α T α] w,λ ( c(r,m χp w m,λ,ε +( b m,λ,ε χp w + χp w m,λ,ε. ελ,λ t térêt tr r t ε α s é t r. m,λ,ε r t r r t ε r / ε q st s à trô r r q ε tr t t r r t r r r t st s ss q r t t q s ér é s r r ér r é à α rès é té r r r s r j {,...,d }, [ λ m α A d (εba j(εb j, ε α T α] w c(r,m( εb m,λ,ε T w + w m,λ,ε,λ c(r,m( εb m,λ,ε T w + w m,λ,ε.

P P rs rès é té r r r s r q é tt s r r t r r r t st st t c(r é t b,g,λ,ε t q ε α T α( A d (εbg,λ c(r,m( b m,λ,ε g + g m,λ,ε. t s tr s é tés r é s ss s t t rés t t r s t st t L r t s r t é rè ré rr st é ss r tr r q w + T w R r λ é t r ε s s t t t r q m = d + s s q g m,λ,ε ζ m (λε M ζ m (λ > g cε M b m,λ,ε ζ m (λε M t b + b rs st λ (,m,ε (λ é t b, w t q r t t λ λ (,m t r t t < ε ε (λ s é tés s t s s t ér é s w + w, w + T w ζ m (λε M m 5, w m,λ,ε ζ m (λε M, ε d w m,λ,ε D(λε M 3. ù D(λ st t s t q r s b, w,ε é str t r s ér r r t d d w = A d (εb A j (εb j w+b(εb w χ ε P w+g. j= râ à é té r r r s r ( ε ( ε d w m,λ,ε c(m T w m,λ,ε + w m,λ,ε + b m,λ,ε ( T w + w + g + g m,λ,ε + ε ( χp w m,λ,ε + b m,λ,ε χp w. r q s < ε ε ( t λ λ (,m r t s r s

P P. m,λ,ε t. m,λ,ε ( ε ε ε d w m,λ,ε c(m( + w m,λ,ε + λ λ b m,λ,ε( T w + w + g ǫ + λ g m,λ,ε + λ ε ( χp w m,λ,ε + b m,λ,ε χp w. t t r w m,λ,ε q ( w m,λ,ε + ε d w m,λ,ε c(r,m ε + w m,λ,ε + ε d w m,λ,ε c(r,m rès r s t w m,λ,ε + ε d w m,λ,ε c(r,m w m,λ,ε + λ ε χp w m,λ,ε λ b m,λ,ε( T w + w + g + λ ε b m,λ,ε w +ζ m (λ εm λ ( ( λ w m,λ,ε + χp w m,λ,ε λ ε + λ ε b m,λ,ε( T w + w + g +ζ m (λ εm. λ ( λ b m,λ,ε }{{} ζ m(λε M T w + w + g }{{} cε M +ε M + λ ε b m,λ,ε( T w + w + g +ζ m (λ εm λ. r t q lim λ ζ m (λ = + t q ε r st t ξ é t λ,ε t q ζm(λ + λ ξ (+c. ζ m (λ w m,λ,ε + ε d w m,λ,ε c(r,m ( ε M 3 T w + w +ξζ m (λ ε. λ s é tés P rs t é té rt3 é tr ss s t d N,m m = d +, < ε < t λ > rs st κ(m q é q d,m,t t T t q r t t Φ H m tan( T L ( T e λt ( Φ κ(m λ m m m Φ m,λ,ε ε + + ε d Φ m,λ,ε.

P P r st s r à t s t r w s t à é té s t e λt ( w c(m λ m m m w m,λ,ε ε + + ε d w m,λ,ε. ε T w m,λ,ε w m,λ,ε t ε ε d w m,λ,ε ε d w m,λ,ε e λt ( T w c(m λ m m m ε + T w m,λ,ε + ε d T w m,λ,ε e λt ( c(m λ m m m w m,λ,ε ε + + ε d w m,λ,ε. râ r ts λ λ (,m t < ε ε ( t t e λt ( w + T w c(m λ m m m w m,λ,ε ε + + ε d w m,λ,ε. é té r t t r à e λt ε M 3 ( w + T w c(m,m λ m m m ε + T w + w +ξζ m (λ ε. λ t é t ε (λ,m,m ],ε (] t q c(m,m e λt λ m m ε (λ,m,m s à rt r é té ré é t w + T w ζ m (λε M m 5. M m 5 > st ε 3(λ,m,m ],ε (λ,m,m] t q q q s t ε ε 3 (λ,m,m, w + T w t s t é té M > m +3 t r r q st ε (λ,m,m ],ε 3 (λ,m,m] r ε s s t t t d w s r λ λ (,m t ε ε (λ,m,m r èr é té q s t t é tr r s w m,λ,ε ζ m (λε M é str t t é rè r r t r w = rt t à w A(] T,T[ R d t ér s st t s é ss r s à s ré rr s r r é λ λ (,m st à r R = t r t t ε ],ε (λ,m,m ] s w k m,λ,ε ζ m (λε M r rt m m t w k + w k rs s r r étés s r tt t r r q w k+ + w k+ w k+ m,λ,ε ζ m (λε M ε d w k+ m,λ,ε D(λε M. P r ré rr é t q s t (w k st r é r r. m,λ,ε t ss r r L

P P P r st r r s t (w k tr r q st s t s s L ( T r q s é tér t s é r t d A j (εw k j w k+ B(εw k w k+ + χ ε Pwk+ = ε M R ε. j= t s t ér tr sstè r w k+ r ss s t r w k d A j (εw k j B(εw k + χ ε P ( w k+ w k+ d ( = A j (εw k+ A j (εw k j w k+ j= ( + B(εw k+ B(εw k w k+. λ λ (,m st t é r r s t s r t r r q r ε s s t t t w k+ w k+,λ c d ( ( λ A j (εw k+ A j (εw k j w k+ B(εw k+ B(εw k j= ù c st st t t t é t ε t w k+,w k+ j= w k+.,λ s tr s A j t B t rs ts t s r r rt r s (y,v t w k w k+ w k+ + w k+ tr q r ε s s t t t w k+ w k+,λ wk+ w k,λ. t q s t (w k st r r.,λ t ss r. L ( T ù r (w k rs w L ( T P r r é str t t é rè r st à st r q w A( T t q w st s t r è r r rq r q s s s str t s T w k T w t d w k d w (w k st r é r r. m,λ,ε é t q t tr r s s s t q r t s H m tan( T t s H ( T r d w k,λ st ss r é s w H m tan( T H ( T râ t é rè r é s v ε = v a +εw st s t r è é sé s s st t s é r L ss r t té v ε P r ré rr s rp N t tr r q r q p m p d v ε x d > H m p tan (] T,T[ R d + t p d v ε x d < H m p tan (] T,T[ R d P r p = r q v ε = v a + εw st s t s t s r str t s à x d > t x d < s t r s t t s H m tan(] T,T[ R d + t H m tan(] T,T[ R d

P P t q p m t q q q s t k {,...,p } d kv ε st s H m k T,T[ R d + t s Htan m k (] T,T[ R d d p d v ε = p d A d (v ε A j (v ε j v ε χ ε Pv ε +f(v ε. j= tan (] rès t ès ré rr t ré r té s ts t r r q r q m N, p d v ε st s H m p tan (] T,T[ R d + t s H m p tan (] T,T[ R d v ε rt t à H (] T,T[ R d + t à H (] T,T[ R d st t rr r st s t t s ér t (v a +εw xd > v = εv,+ + +ε M V M,+ +εw ] T,T[ R d + ôt r t é rè r r t s tt s t é r t t s ét é s t r sé s t é rè r r è é r t r q t q r è s t é r r ss r s tr s ét s t s q s é r t s s s rs r t t s t Ā st tr s étr q st t t D D t C st tr st t t p D t r st p D t u(t,x+ā xu(t,x = f(t,x (t,x ] T,T[ ],+ [ Cu(t, = t ] T,T[ u t< =. x ],+ [ t q t t s s t ès s s t s t s t s t s s s s tr C p p sé s p r èr s s C st s sé rs r èr ét st t s t rs t é r t s r v = C p p u p+ u D s s t H t s r t s t s t s é r s u u p.

P P s t s H : v C p p v p+ v D v v p t v H(v = ( C p p I D p. ù I D p st tr t té R D p tr é s t st ( ( ( C M = p p Ip Cp p I D p I D p = ( C p p C p p. t r è é sé s é r t r s s r s t u ε +Ā xu ε + ε Mu ε = f ] T,T[ R u ε t< =. s s rés t ts r ré r tr é s t st é ss r tr r tr é s t E t q kerc s t s s s é éré r s t rs r r s ss és rs r r s é t s s EĀ s s tr é s t s é r t Ψ Ψ Ψ = OE O r rés t t tr rt q q t é rè ( rt r t t ès r s tr é s t r Ψ PΨ ù P st r t r R D s r Ψ kerc r s ét s é s t t r t ès t s é t st r r tr E s q E ét é s t r sé s tr st s r t ê s s é r t s ét s q s é r r té st t q st é s é str t s s t ré s r ss tr é s t st s s tr tr été s s r s s t é r s s r s s t s ré èr s s t s r s sstè s r q s q s é r s t r r q q s rés t ts s t é r s s s r s r r è r t r é s t rt t r è t s s s ét ét é s t r sé s tr t tré r r s t q é èr s t à r r s r q rr r é s t ér st t u u ε H m = O(ε tr s t ét é s t r sé st s s té rès t r té

P P t s q tr r t P r ê s s sstè é r tr é s t st s s q r sé r tr s t rs ôt ét s sstè s r q s s tt t ès r s s s tr r s r èr rt à ét t t é tr q s r è é s t s r tr s ts rr t êtr ét és èr t é r q r t r r é s t r è s t s r q s r s r r tér st q r q ε t rs r r è s rét sé q été t r s r t t r r s r t sq s s é r r s rr t ss ét r rt t ét é s t s r s r s s s s t r s t t s t s t s s s t s

tr r t t s éq t s t t é tr q sq à rés t s s ét é s ét s é s t q é s sstè N, Γ é ér s t à rt s sstè s r q s é r s é t ét sstè N, Γ st q t r é r r è s t s r é étr ré t s tr s q t tés s q s q s t r t é s r s t t ér t r é r s q r t t t é tr q P r é s t t ér t r s t s t s s t t é r é s t été r sé r P r s t t rs s r P s tr s tér ss r à tr r q st t t é tr q φ η η és t rés st té s r t r è s ét q s s s tér ss r à è s é à s s s r sé r s s s r s é r t t yφ η η xφ η +ν yφ 4 η = S s ],T[ y φ η t= = y φ ini s y φ η Σ = t yφ 3 Σ = s r ],T[ Σ ( x φ η x= L = η e Λ φ η x= L s r ],T[ ],l[ { L} ( x φ η x=l = η e Λ φ η x=l s r ],T[ ],l[ {L} t ér té φ η s r ],T[ {.5,.5} ]l,[, ù ν rr s à s s té q r r t Λ és t t ré ér à tér r t r x st r t r è s ét q t y rr s à r t r r r s rt s t st r é q à η > é r è st sé s s s t ès s s s r s é s φ ini t S

P P ér q y l Σ t r Σ tr Σ P s Σ Σ.5 L b r L.5 Σ t r ér q x r rés t t s s 3 t t s r x rr s à s ss r ét q r t b t t s st t s r t èr s s t Σ r t t rt r è à b t Σ r rt r r à b tt r t s r t t t sé s s t s t s t s t r r é r x = L t x = L rr s t à r t é tr q r è à t r s t r s t s s r t t r y = l s t rt s t r s s s t r è s à t t r q très t r t s t t r t st s r s r s t s t s s r t t r q r t sstè sé t t t s t tr rt t s ts tr tr st r s r ét é s t r sstè té ré r t t s t é r s tr té r ît r t q rés st té r è η st très r r 6 sstè rt t rt t s tr rq s q st s r s tt s tr és rts s ét q s s t q s éré è à s r N,Γ s tr P r rés r ér q t éq t é s t t t é tr q t s r s ét s rés r t s t t q s t t r s r s P r s tr r s r s tés ér t s à rés st té η s s r r s ér r è t st t r ss s ( ( x η(x xφ η (x = S x η(x f(x x ] L,L[ η xφ η ( L = ( η( L f( L+ e Λ( L φη( L x = L η xφ η (L = ( η(l f(l N(L e Λ(L φη(l x = L, ù S t f rr s t à s t r s s r s r è st t t q t t s é r ré s s té r t q st st t té s t à st s é t à s é r té s t s t s s r t q r rés st té r è η st très r r 6 à 8

P P rés t ér q r è é èr tés < η Pr èr t st t q rès t t s éq t s sstè r η s r r t η r s r è t t sé s tr t ér q t r s tés à rés r sstè é r q η st r s r t s t é s t t t s t é r q s r tr té s s t s t tr s r s ré à ét è é ér s t r r è t s t q s tr s s t s r s ss q q s rés t ts ér q s ss s ss s ét s é s t s t s t s r t t s η r è s tt s t s s ttr é s tés r rés t é r q t r s r ét rés t t s t t Pr s r P rès rè tr t ét s t P s s r s r r è t q é r s é r s t sts ér q s s r t ts s r s r è s t s q s ét s t é r q s s r t rés té s r s r è s t s s s tr s r t r ét r s r è s s tr s rs q té é r t ré é t r r è t t é tr q t rt s tr s s è t t é tr q s r q r t r è s ét q q st à r s rt t s éq t s q η t rs s r è s t s s s tr s ét és s s t s t rs q t s r t è q s é ér tés s r s ét s t s t t Pr s r è s s é r t s s r r è P η és à r ètr η > r s rt s s t r r η r r r è P sé s tt s t t sstè st s t à rés r r q P η st r r è sé s tr r r s t t tr r è r t st té à s t s r é st r r r r è P η r è P η éq t t q r è t P s t sé t q q s t P η r rs P s s à r q η t rs tt r été tr t r r s è s ét q s t é s s s s é s P t t r s s t s r s è s s s ét q s t r t r s tr t tr t s t é t r rés t ér q r è P η st é ss r str r r t s rèt P η,h ù h és s s rét s t s é très ss q s r s ét s P st é s r

P P P η,h η P,h h h P η η P r é rés t t s r s à tr r rs t s t ét s t P ér t s t q s s t ss s r é t s t t q η sé r r rt rt t t s tt s t s s tr r s s r r èr t q té q t êtr ss 3 t r à ttr t s s é r s r rq s q s ss t t ê s s s é r rsq ss à t s t é q rés t r ét P t sé s r s é r r ttr s s r s é s r s é t t s tés r r t q t t é r q s tér ss à r è é r s t s t r r s èr rt r é s R d r t q d = 3 t t r t èr st s sé s t3 t n r t r s rt t ét rt t q η t rs r è s t { φη = f s φ η n = ηφ η +g s r. s s q f L (,g L ( t q s ér t t t té s t f dx = g dσ t t té ré é t st t é ss r r st s t r è t s t s s s η = t φ η = φ η dx. mes(

P P s rs φ η = φ η + φ η st à r q φ η st t t q m ( φ η = r è s r r é t φ η = f s φ η n = η φ η +η φ η +g s r φ η dx =. t r q r è rt r r s φ η t φ η t té r t t t s s r r t èr r rq q t r r m t φ η s r t φ η ndσ = η φ η dσ +η φ η mes( + φ η dx = η φ η dσ +η φ η mes( + f dx = η φ η dσ +η φ η mes( + gdσ f dx = gdσ r ss s t φ η = φ η dσ. mes( g dσ rès r r g dσ rès r è s réé r t φ η = f s φ η n = η φ η η φ η dσ +g s r mes( φ η dx =. é t s H m( = { v H (, vdx = } r t s r rt H ( s H m( st s rt r st s s s t r r é H ( t é r r r è s s s r t r r φ η H m( t q ψ Hm(, ( φ η ψdx+η φ η ψdσ φ η dσ ψdσ = f ψdx mes( r r é r ré r s t gψdσ.

P P t t t té f dx = gdσ r è st rs éq t r è r r φ η Hm( t q ϕ H (, ( φ η ϕdx+η φ η ϕdσ φ η dσ ϕdσ mes( = f ϕdx gϕdσ. é str t s s r q φ η H m( st s t t ϕ H ( s t ψ = ϕ ϕ st t q ψ H m( rès ( φ η (ϕ ϕ dx+η φ η (ϕ ϕ dσ = f (ϕ ϕ dx g(ϕ ϕ dσ. ϕ st é t x é t q ( φ η ϕdx+η = f (ϕ ϕ dx φ η ϕdσ φ η dσ mes( ( g(ϕ ϕ dσ ϕ φ η dσ ϕ ϕ dσ mes( ϕdσ gdσ. f dx } {{ } = φ η st s t P r ré r q s t r rq r q H m( H ( tr ss q r è r r é é s t φ η = φ η + φ η st éq t r è r r φ η s s η > tη > s φ η = φ η + φ η rs φ η H m( st s t s t s t s φ η H ( st s t ϕ H (, φ η ϕdx+η φ η ϕdσ = f ϕdx gϕdσ. é str t t φ η Hm( s t rs rès tt t st ss s t s s t φ η = φ η mes( φ η dσ tr q φ η H ( st s t

P P P r ré r q s èr q φ η H ( st s t rs s t φ η = φ η φ η H m( t t ϕ H (, φ η ϕdx+η φ η ϕdσ +η φ η ϕdσ = f ϕdx gϕdσ. r t ϕ = φ η dσ = φ η mes(. st à r q φ η st s t t ss r é té P ré rt r q s r t sé à s rs r r s s s tr é té P ré rt r t rt r é à r t èr s t3 rs r t t v H m( v H ( C PW ( v L (, ù C PW ( > é q é té tr P r t t v H ( ù C tr ( > é q v L ( C tr ( v H (, é ss r r t é rè r r 3 s t E s ré t s t (u n s t r é s E rs t tr r s s s t (u n q r t s E rs é tr r rés t t s t Pr s t P r t t η r è t q s t φ η Hm( s tt s t φ η st s t r è s s s t φ η = f φ η n = η φ η φ η dx =. s L ( η φ η dσ +g s H ( mes(

P P é str t P r tr r st t té s t φ η r è q r t é rè r t t L : ψ Hm( f ψdx gψdσ st r é r t s r Hm( s t η a : ( φ η,ψ φ η ψdx+η φ η ψdσ mes( st r é r s r H m( H m( t s r H m( H m( t r s r H m( H m( r φ η Hm(, a( φ η, φ η = φ η L ( +η φ ηdσ ( η φ η dσ mes( φ η dx ψdσ φ η L ( + r rès é té r3 ( φ η dσ φ ηdσmes( C PW ( φ η H ( rès é té P ré rt r s H m(. φ η H m(,a( φ η, φ η C PW ( φ η H (. r rq q st t C PW ( é s η t é rè r t s q r t é t q r è st sé st q φ η Hm( q st s t s r s q é té r té st r η t r st r r η = s é str t ss s r st s s η = t t t t r rét t s t r è rès ϕ Cc ( H (, φ η ϕdx+η φ η ϕdσ mes( } {{ } = φ η ϕ f ϕdx =. φ η dσ ϕdσ = }{{} = r rès é t ér é s s s str t s st éq t à s s s str t s φ η f,ϕ C c (,C c ( =. φ η = f. f ϕdx gϕdσ. }{{} =

P P s t t ès q f L ( s φ η L ( tr t t q r t φ η n = η φ η η φ η dσ +g mes( s H (. P r t s r t é str t st s r r t rt t H div ( = {v L ( d, v L (} P r t t v H div ( t é r ér t r tr r v n t H div ( s H ( à rt r r r ϕ H (, v ϕdx = ϕ vdx+ v n,ϕ H (,H (. q r ss s r t v = φ η t rès éq t ϕ H (, ( φ η f ϕdx+ φ η n,ϕ H (,H ( }{{} = ( +η φ η ϕdσ φ η dσ ϕdσ = gϕdσ. mes( q è é str t r s t tré q r è r φ η st sé t t q η t rs ét t t rt t r è q η t rs Pr s t φ η r rs φ s L ( t φ Hm( st q s t r è φ = f s φ n = g s r φ dx =. st à r q φ st s t r η = P r r r r è t r q φ η = φ η + φ η = φ η mes( φ η dσ st q s t η > s s t φ = φ mes( φ dσ s st c(,f,g > é t η t q t st t φ η φ H ( c(,f,gη.

P P é str t rès é str t é té s r r té t r r q C PW ( φ η H ( a( φ η, φ η = L( φ η f φ η dx g φ η dσ f L ( φ η L ( }{{} φ η H ( + g L( φη L( rès é té r3 f L ( φ η H ( +C tr ( g L ( φ η H ( rès t té ér t r tr s H (. r q C tr ( > st st t é t η t φ η r t t η ( φ η H ( f L C PW ( ( +C tr ( g L (. }{{} é t η s r t t η > φ η st à r s s s s r é H ( rès t tr r s s s t r té ( φ η r t t rs φ s H m( râ à r s s s t ( φ η t tr r q t φ st ss s t r è r η = ss à t η s r è ér é r φ η ψ Hm(, η ψdx +η φ ( φ η ψdσ φ η dσ ψdσ = f ψdx gψdσ mes( q η φ ψdx + = f ψdx gψdσ. r r è s st t à tr r φ Hm( t q ψ Hm(, φ ψdx = f ψdx gψdσ t q s t s t φ ét t é t tr t s t é t r t t s t ( φ η η> t t t st r φ η φ H ( P r t ér tr s r è s s t t t rs ( ( φη φ L ( = η φ η ( φη φ dσ mes( ( η φ η L ( +mes( φ η L ( φ η dσ φ η φ dσ φ η φ L (.

P P rès é té P ré rt r φ η φ H ( +mes( φ η H (η. C PW ( φ η φ = φ η φ mes( φ η φ dσ é t st st t c(, f, g é t η t q φ η φ H ( c(,f,gη. tt r r été r t tr r rt t r è ér é r φ η sts ér q s é s t φ η = φ η + φ η r t é r tt q t té à rt r r è ér é r φ η s r s H ( φ η rs φ = φ + φ ù φ st s t r è r η = st à r sstè r r t s t t s é ér s s ét s P rés té s s r r rq q é s r è s P η t P P r ét r ét r st à ré r r è s rét sé P η,h s h t à ét r s t q η t h t t rs t t q t é r été rés té s s és r s s tt r à tr r ér q t térêt t s r é s t rt t rt t t s s s s ér r r è s t φ η = f s ],[ φ η( = ηφ η (+g φ η( = ηφ η (+g. ù f,g,g t q f dx = g +g s s q f st ré èr r t t r F r t f P r s t sts ér q s s s s f(x = sin(x g = cos( = g = cos(. t rs ttr r s é s s s st t δx s t r

P P rés r r è + δxη + δx η + δxη + δx η φ η, φ η, 3 φ η,k 3 φ η,k t ré s r q q s t t s = K = r s s s = P s st t δx = K φ,i+ φ,i+ φ ( (i+ δx r i {,...,K } ( φ, δx g + φ,k h g = φ,i+ δx(f(δx F( δx + δx ηg δx(f(δx F(δx δx(f((k δx F((K δx δx(f(kδx F((K δx δx + δx ηg. ( φ η,i+ φ η (i+ δx r rq s r q t t t q η t rs t s tr r r r s s té rr rs à ré s r s r r r t sstè é r r très t r s ét s t r t é t t rés r r è é r t s t é s t φ η = φ η + φ η φ η t s r t φ η r st q à r r tt r èr t s r r è s rét sé P η,h rés té s s é ér tés s r s s é s P r r t φ η s rs râ r è s t φ η = f s ],[ φ η( = η ( φη ( φ η ( +g φ η( = η ( φη ( φ η ( +g φ η dx =. t s à s é s s s st t δx r r r φ η s t

P P 8 Conditionnem ent de A versus eta (dx=. 7 6 Conditionnem ent de A 5 4 3 cond A 9 - - - -9-8 -7-6 -5-4 -3 - - eta r t t r. t η tr ss é sstè t r t φ s s t s r s é P t rs rés r sstè é r s t + δx η δx + δx η δx η + δx + δx η η + δx η η + δx η φ η, φ η, 3 φ η,k 3 φ η,k δx(f(δx F( δx +δx 4 η + δx ηg δx η 4+δxη g δx(f(δx F(δx =. δx(f((k δx F((K δx δx(f(kδx F((K δx δx η 4+δxη g δx +δx 4 η + δx ηg tr sstè é r ss s st s rs r t s été té ré s s rét s t r t t à rés t r r t s sstè t t s tr st s étr q t s é s t t r rq q ét r t é t t tt t s s r sstè t t r s r t à t s t s t t s s s tt s t t st t q r ét r t é st ss ré t ss st é t t t tr st à r r rt tr s r r r r t s s t t s t t r r r ét t r rt t q t

P P t é rè r ss r rq q r s r sstè é r t s r t f té F st é s r s r r t s r ét é r t ss s t r r δx(f((i+δx F(iδx r f((i + δx i {,...,K } é èr rr r r t s r s r q ê ét r t é r r ét tr s tés r t s t r t q ét P r sé r è t s s ù s s s t s r é t é s s r r t t r s t r s r q s ss à s r s t s t s t s t s r rq q t îtr r φ η s r tr r s è t s rt t s tr r t s r è s t r r s s r rs s r s s t s r ù s t r t t t r s r é t rr r r L t L r ér t s ét s été r rés té st t q r s rs η s r s q 6 t t s s ét s t é r ss O(η P r tr r s rs η s t t s q 6 s ét t P ss t r φ η t à r rr r q é r ît O(η t tt r rr r s rét s t P r s ét s s t r t é t s t rés t r t s s ss r r φ η r η 6 rr r L s r φ η r à t r r s t t r rs st t P r ér é s r r s tr s r s tr t é r ss rr r L O(η rt t s r r r t r ù t q r η 6 s ét P ré ss t à t r r φ η r φ s ét s ss t s r φ η t r φ η r r η 6 ù rr r s r é s r s é s tr é s r s φ η r r r tr r tér t s ré sé s r ét r t é t s s ét P r tt r st t q r ét r t é st très t r tr q r s é ét P st r r t ès s ts s é P t sé é r r rt φ rt t t φ r r r è r φ r φ à té r s r r t èr tr r q r è à r st é q η = t r r q η s r ét s rét s t s s r st t t à q r tt ét r è é s t r t é tr q r t t é r té s t s t s

P P - Erreur L (phi-phi_ versus eta (dx=. - -3-4 -5 Erreur L -6-7 -8-9 - - - - - -3-4 -5 Cholesky (phi Grad Conj (phi Grad Conj + AP (m oy + fluct ordre - - - -9-8 -7-6 -5-4 -3 - - eta Erreur L (phi-phi_ vs eta (dx=. Erreur L -6-7 -8-9 - - - Cholesky (phi Grad Conj (phi Grad Conj + AP (m oy + fluct ordre - - - -9-8 -7-6 -5-4 -3 - - eta r rr r φ η φ r s r s L t L t η tr s ét s ér t s r φ η r és t r t r è s s ét P r ét s rt és t r t r è s s ét P r ét r t é r és t ét P t s t φ η = φ η + φ η ss t r rés t r ét r t é rr r st ér tr φ η r é r s é t s t t φ P r s rs η s ér r s à 6 s tr s r s s t s

P P Erreur L du gradient - - -3-4 -5-6 -7-8 -9 - - - -3 Erreur L gradient (dphi/dx-dphi_/dx vs eta (dx=. Cholesky (phi Grad Conj (phi Grad Conj + AP (m oy + fluct ordre - - - -9-8 -7-6 -5-4 -3 - - eta r rr r (φ η φ r L t η tr s ét s ér t s r φ η r és t r t r è s s ét P r ét s rt és t r t r è s s ét P r ét r t é r és t ét P t s t φ η = φ η + φ η ss t r rés t r ét r t é rr r st ér tr ( φη,i+ δx φ η,i t φ s tr s r s s t s q q s t r η

P P.4 Moyenne de phi versus eta (dx=., m oyenne phi_=.3896.35.3.5..5..5. Cholesky (phi Grad Conj (phi Grad Conj + AP (m oy + fluct -.5 - - - -9-8 -7-6 -5-4 -3 - - eta r φ η r é t η é s tr s r s st ê q r r P r s rs η s tr t t s s tr s r s s t s

P P.5.4.3 phi en fonction de x (dx=., eta= e- Cholesky (phi Grad Conj (phi Grad Conj + AP (m oy + fluct phi_ exact.. phi. -. -. -.3 -.4 -.5....3.4.5.6.7.8.9. x r r é φ η t x r tr é φ η t r rés t r t r è s s ét P r ét s rt t t r ts t és tr é φ η t r rés t r t r è s s ét P r ét r t é r tr é φ η t r rés t ét P ss t r rés t r ét r t é t r ts tr é φ é t q t

P P 5 Nom bre d iterations versus eta (dx=. Nb d iterations 4 Grad Conj (phi Grad Conj + AP (m oy + fluct 3 - - - -9-8 -7-6 -5-4 -3 - - eta r r tér t s r ét r t é t η rt t t r ts t és r tér t s r rés t r t r è s s ét P r ét r t é r r tér t s r rés t ét P ss t r rés t r ét r t é st t q r s ét s r tér t s st très é é r r 4 t s t ét r t é st t t r

P P - - Erreur L (phi_ exact - phi_ approx vs dx (pas Erreur L ordre ordre -3-4 Erreur L -5-6 -7-8 -9 - -5-4 -3 - - dx r r rr r L ér tr φ r é r s é t φ é t q t

P P s t t s é r r r è s tr s tt s s s t s s é ér s r ét s t t s é r t rs s s t s s tr rés t t r ttr ét r rt t è r t t é tr q é r t r sstè rés t t s ét s t s t s s rés t r s r t sé s r rs rt R d q st r é t à r t èr s t3 s s s ù rés st té s r t r è t r r st à r q s η(x = ηq(x ù η R t q st t t r é t str t t s t s r s èr sstè éq t s é r φ η s t r t t η > ( ηq φ η = ηq f +S s ηq ( φ η n = h(φ η + g s r. ηq t r s t ré é t é s φ η rt t rt t t φ η = φ η + φ η s φ η dx = t φ η st r é à φ η r r t s t h( φ η + φ η dσ = Sdx. P r t r tt r t s t té r r r t t t s s r r t s t t t té q f dx = q gdσ. s râ r t é r t m t q m( φ η = φ η = φ η dx. mes( tr s s q m st é s r H ( t t s à tr r è à ( ηq φ η = ηq f +S s ηq ( φ η n = h( φ η +m( φ η + g s r ηq φ η dx =. P r q s r ss s r s ss t r s s s s s s t ès s s t s

P P t ès st rt r é R d r t èr s t3 f L ( tg L ( t s q t t té s t s t ér é q f dx = q gdσ S L ( q C ( t st s st t s q min,q max > ér t r t t x, < q min < q(x < q max h C ( R ψ h(x,ψ > r t t (x,ψ R P r t t x st a(x R t q h(x,a(x = Sdx. mes( q f dx = t t té t s t r è gdσ st t é ss r s q q t t é rè s t s t s s r h C ( R tr q t a C ( ét t r é r é R d é t q a st r é s r R d s t r t r r st t m : H ( R t q r t t ϕ H ( h(x,ϕ(x+m(ϕdσ = Sdx. r t s st à r d = r rq q r t èr s r è à ts t q H ( L ( é t rs st m râ t é rè s t s t s é t q m st ss C s r H ( s s d = s s r s q (x,ϕ h(x,ϕ(x+m(ϕ st r é r M P r s d s s s r s t ès s s é t r s s r h t ès d = s s t (x,ϕ h(x,ϕ(x+m(ϕ st r é r M s r H ( d > s t s s t s h t ψ h t ψ h s t r é s s r R t t é t M t q x, ψ R, h(x,ψ M t ès s s d > st t êtr s t q é ss r tt t ès s r t r r s t q s r très t s s t

P P s s t ès s t s s d > st q t m t q H ( R m : ϕ m(ϕ t q h(x,ϕ(x+m(ϕdσ = Sdx. s m st ss C s r H ( é str t é str t s d = t é à été t r st s q à tr t r s t s r tr r st m à t é rè s rs t r é r s t ϕ H ( r q t a é r st t t r é s r h(x,a(x = mes( Sdx, h st str t t r ss t r r rt à s s r t é r r ǫ > s s t t t t é s t s a + t a t s q r t t x h(x,a + (x = Sdx+ǫ mes( h(x,a (x = Sdx ǫ. mes( ê q a s t s a + t a s t t s t r é s s r t t χ ϕ+µ<a + t r tér st q ss é à s {x,ϕ(x+ µ < a + (x} r r sq t t x χ ϕ+µ<a+ (x q µ + rès t é rè r é s h ét t s sé r é é t q h(x,ϕ(x+µχ ϕ+µ<a +(xdσ µ +. s h(x,ϕ(x+µdσ = h(x,ϕ(x+µχ ϕ+µ<a +(x }{{} < mes( Sdx+ǫ q lim µ + h(x,ϕ(x+µdσ = lim µ + dσ+ h(x,ϕ(x+µχ ϕ+µ a +(x dσ. }{{} mes( h(x,ϕ(x+µχ ϕ+µ a +(x dσ ê t s t t a r q lim h(x,ϕ(x+µdσ Sdx mes( ǫ. µ Sdx+ǫ Sdx+mes( ǫ.

P P s rès t é rè s rs t r é r s st m(ϕ R t q h(x,ϕ(x+m(ϕdσ = Sdx. té m(ϕ é t h r r rt à s s r P r ré r té m s s t s r t é rè s t s t s s t m ét t é à s t r r q t H ( R R G : (ϕ,z h(x,ϕ(x+zdσ st ss C s rh ( R t s t r r s r ψ h(x,ψ s ϕ(x+z t t ϕ,δϕ H (, z,δz R, G(ϕ+δϕ,z +δz = G(ϕ,z+ ψ h(x,ϕ(x+z(δϕ(x+δzdσ + R(x,ϕ(x+z,δϕ(x+δzdσ ù t R st r st é t té h r rq rs q (δϕ,δz ψ h(x,ϕ(x+z(δϕ(x+δzdσ st t é r t s r H ( R à rs s R r st à tr r q r r t r st o( δϕ H ( + δz ψ h st s sé r é s r R st st t c(h > é t x,ϕ,δϕ,zδz t q x, ϕ,δϕ H (, z,δz R, R(x,ϕ(x+z,δϕ(x+δz c(h(δϕ(x+δz. x, ϕ,δϕ H (, z,δz R, R(x,ϕ(x+z,δϕ(x+δzdσ c(h, δϕ+δz L ( c(h, ( δϕ H ( +δz é t q G st st ss C s r H ( R t rès t é rè s t s t s m st ss C s r H ( s t ès s s r t h ét t tr t s t ré s r q t tr r t s t s h P r r è t t é tr q ét é s s s s t r r ( h(x,ψ = e Λ(x ψ, Λ C ( t S =.

P P s s t s d > S = rr t r r r h s s r h(x,ψ = arctan(λ(x+ψ, Λ C (. s s s té s s t s r s s r îtr tr s t s s r rsq st é t s r t t ϕ H m( m(ϕ és r t m(ϕ s t r r st é é à é str t t é rè s t q tr q q r è st sé t q t ss r à t η é rè s s t ès s t r t t η r è r é ss s ( ηq φ η = ηq f +S s ηq ( φ η n = h(φ η + g s r ηq t q s t φ η H ( s q η t rs φ η r r H rs t φ H ( q ér φ = m( φ + φ ù φ Hm( st q s t r è s t ( q φ = q f s φ n = g s r φ dx =. st η > t q r t t η ],η ] st st t c(,φ,s é t η,φ η t q r t t η [,η ] φ η φ H ( c(,φ,sη. st t té s t r è é r s é tr t ê èr q r s é r r r s t éq t r ér ét t t t q q s ét é str t r q st r é s r r t str t t s t P r é tr r rés t t s s r à r t r t r è ér é r φ η q t t r t r s s t s ré èr s

P P èr s t { } ψ Hm( = v H (, vdx =, ( q φ η ψdx = q f ψdx+η Sψdx q φ η ψdx+ ( φ η n ψdσ = q q f ψdx+η Sψdx q φ η ψdx+η h( φ η +m( φ η ψdσ + q gψdσ = q f ψdx+η t q φ η s t à s r ttr t s r é té P ré rt r r t r s st t s φ η é t s η Sψdx. s φ η = φ η +m( φ η rs r è tr r φ η Hm( t q ψ H m(, q φ η ψdx+η h( φ η +m( φ η ψdσ + q gψdσ = q f ψdx+η Sψdx st éq t r è tr r φ η H ( t q ψ H (, q φ η ψdx+η h(φ η ψdσ + q gψdσ = q f ψdx+ Sψdx. r rq q r è st tr q r t r è t s r φ η é r sstè é str t t φ η H m( s t r è tr q φ η = φ η +m( φ η st s t t s r t t ϕ H ( s ψ = ϕ ϕ Hm( s rès r t t té q f dx = q gdσ q φ η ϕdx+η = q f ϕdx+η r r é t m st s t r è h( φ η +m( φ η ϕdσ +η ϕ Sϕdx+ ϕ Sdx. h( φ η +m( φ η dσ = h( φ η +m( φ η dσ + q gϕdσ Sdx é t q φ η = φ η +m( φ η

P P é r q t s φ η H m( st s t rs t tr r q φ η = φη φ η H m( st s t P r r rq r q ϕ H (, q φ η ϕdx+η h( φ η + φ η ϕdσ + q gϕdσ = q f ϕdx+η Sϕdx. P r tr r q φ η = m( φ η s t r r ϕ = s t t s r r t t té s q é t m st t té à η > é s r r r s t r è tr r φ η H m( s t r è r é ss s ψ Hm(, q φ η ψdx+η t q s t r t t η h( φ η +m( φ η ψdσ + q gψdσ = q f ψdx+η Sψdx é str t r é r s s s K η Hm( èr s t { K η = v Hm(, v H ( C PW ( q max (η ( C tr (mes(m + S L ( +C tr ( q g L ( + q f L ( +η S L ( }, ù C tr ( st st t é té tr v L ( C tr ( v H ( r rq q K η st t r t ss é à r L rt t é rè t t T η K η Hm( w v s t ψ Hm(, v ψdx+η h(w +m(wψdσ + q q gψdσ = q f ψdx+η Sψdx. ê èr q r s é r t tr r q st q t v Hm( s t r è é r t s s T η st é K η Hm( à rs s Hm( s s tr r q T η st à r s K η t w Hm( s ss t φ = v rs v q L ( +η h(w +m(wvdσ + q gvdσ = q f vdx+η Svdx.

P P rès s é tés r3 q v L ( η h(w +m(w L ( v L ( + q g L ( v L ( + q f L ( v L ( +η S L ( v L (. t s t é té P ré rt r t é té tr v L ( C tr ( v H ( t t ù st t ( C PW ( v H q ( ηc tr ( h(w +m(w L ( max }{{} mes( M +C tr ( q g L ( + q f L ( +η S L ( v H ( C PW ( q max (ηc tr (mes(m +C tr ( q g L ( + q f L ( +η S L ( s T η st t t t K η r t ss é à r L rs ê P r q r t é rè t r s tr r q T η st t r r L t (w n s t é é ts K q r rs w K r r L tr s q (T η (w n r rs T η (w r L st r é t tr r s s s t (w n té (w nk q r rs w r sq rt t h t m s t t s é t q h(w nk +m(w nk h(w +m(w r sq rt t t h(w nk +m(w nk st r é é t n k r t ès rès t é rè r é s ψ Hm(, h(w nk +m(w nk ψdx k + h(w +m(w ψdσ. w st é r r t é s s s s t (w n q st s t q q é é ts K r t rs w r s t t èr (w n ψ Hm(, h ( w n +m(w n ψdσ n + h ( w +m(w ψdσ. s s t v n = T η (w n (v n r é s H m( s ré à s s s t rès (v n r t rs v H m( t r ss s L rès t é rè s ss t à t s ôtés ψ Hm(, v ψdx+η q h(w +m(w ψdσ + q gψdσ = q f ψdx+η Sψdx. st à r q v = T η (w s v st é t s s s t (v n é t r t t s t (v n rs v T η st t K η s K η s K η st t r t ss é à r L,.

P P s rès t é rè t r st φ η K η t q φ η = T η ( φ η tré st s t H m( r è t r φ η = φ η +m( φ η s t P r tr r té φ η s t t s éq r è rés r φ η r tr r rs té φ η r r t t r r r à φ η Pr s té s t r è t φ η tφ η s t s t rs ér s éq t s t r r t t st ψ = φ η φ η q r t t r éq t ( φ η φ η L ( +η ( h(φ η h(φ η (φ η φ ηdσ =. } {{ } é t q ( h(φ η h(φ η (φ η φ ηdσ =. h st t str t t r ss t q q ( h(φ η h(φ η (φ η φ η r sq rt t s r é t q φ η φ η = s r s ( φ η φ η L ( = t t φ η = φ η r q r à tr r té s t φ η r è r r é rs φ η φ η = m( φ η m( φ η. r r r ét t s r é t q m( φ η = m( φ η s q φ η = φ η tré st t té s t r è s q r è éq t r φ η H ( t q η s t tr r q φ η r rs φ H ( s t φ = φ +m( φ ψ Hm(, q φ ψdx+ q gψdσ = q f ψdx+ Sψdx. P r s t r st t r H φ η P r t t η >, φ η st s t K r r L t tr r s s s t q r rs t φ L ( s t ss tr r s s s t q r t s H ( φ K H ( t s t r t ss r à t s t tr r q tt t st s t r t η = q φ ψdx+ q gψdσ = q f ψdx+ Sψdx, ψ Hm(.

P P φ st r r é s H m( t tr r st t té t é rè r str t s t φ s t φ = φ +m( φ t t st r rr r φ η φ H ( r rq t q φ η φ H ( = φ η φ H ( + m( φ η m( φ. P r é r φ η φ H ( t ér tr s r è s s r η > t η = q ( φη q φ ψdx+η h( φη +m( φ η ψdσ = η Sψdx, ψ H m(. r t ψ = φ η φ t t s t é té P ré st st t c(,s t q φ η φ H ( c(,sη. P r tr r q m( φ η m( φ c(, φ,sη r η s s t t t s r s t q rès t é rè s t s t s m st ss C s φ st η > t q r t t η η φ η φ H ( c(, φ,sη, ù c(, φ,s é s η φ η è é str t t é rè t r è t t é tr q r t t t à tr r è t t é tr q φ η r q r ét P sé s r é s t rt t rt t t rés té s r r q r s rés t ts t ét és r t é rè è t t é tr q r =] L,L[ s t rés r r è r é ss s ( ( x η(x xφ η (x = S x η(x f(x x ] L,L[ η xφ η ( L = ( η( L f( L+ e Λ( L φη( L x = L η xφ η (L = ( η(l f(l e Λ(L φη(l x = L. t s à ét é s t rt t rt t t φ η = φ η + φ η φ η = φ η dx = m( φ η. mes( ] L,L[

P P r φ η,δx φ,δx L (].4,.4[ t η s rét s t t s s é tré s s s δx = 4 r t r è st s r r é s s r ( ( x η(x x φ η (x = S x η(x f(x x ] L,L[ η x φ η ( L = ( η( L f( L+ e Λ( L φ η( L m( φ η x = L η x φ η (L = ( η(l f(l e Λ(L φ η(l m( φ η x = L. st t té φ η H m(] L,L[ t φ η H (] L,L[ s q r t t q η t rs é t r r ré é t s s t r t t m( φ η s t s t s t s ( m( φ η = ln exp Λ( L φ ( η ( L +exp Λ(L φ η (L ] L,L[ Sdx. s s s t t st ér q r r ér q t rés t t t é r q r t t é rè s r r ét rés r t s t t q st r é ér q t s r ê t ss r q r s é r r r r st à r φ η,δx φ,δx L = O(η

P P sq à rr r à rr r s rét s t t s s é s s trés rés t r è s r t é r st t é r ét t s s t sts ér q s s S = f(x = (x+.4 Λ(x = q(x = st à r η(x = η Pé s t r éq t t t s t à t s r ét t t r t r s ré t s t s t s t s q s ss s t r été ré sés s ét s r sé s r t s t t sté s r èr é s ét s st r s t s s t r s t t r à r t èr r é t tt ét st é ss té ré s r tr t t té s s r s t r st s st s é r r t P r é t r s s ét é tr ét t é s t q r sé r s t t s t sts ér q s s r s s éq t s t q s é r s s t r s rés t ts r tér ss ts é ét st s t t r t r é s t q rr s t t s t s r r s té s q st t r t t s r t Prés t t ét é s t r sé r s t s tt s s s t t rè s r t ét é s t r sé r s t ét été é r t à tr rs r è t q é r s r à s s s tt é s t s t t r t t à rt r s t s t s Pr è r Pr è é sé ε s èr r è r s t u au = f z ].4,.4[ au (.4 = bu(.4+g(.4 a u (.4 = bu(.4+g(.4. au ε + χ ( au ε ε bu ε g(.4 x ].5,.5[ + χ ( au ε ε bu ε g(.4 = f u ε (.5 = u ε (.5 χ = s x [.45,.4] t s χ = s x [.4,.45] t s χ = s x ].5,.4] [.4,.5[ t s s r st ss r t t s s t s t st r rr r

P P ér q χ P s χ.5.4.4.5 x r t sé χ t x ].45,.4[ t rs à χ t s ].4,.45[ t rt t rs ér q à é s t rs u ε ].4,.4[ u H = O(ε t u ε ].4,.4[ u L = O(ε. s t sts ér q s ré sés r s t tr t é r ss rr r u u ε H ( O(ε t s s s s s rés t t t é r q st r sé tt s r t t q t ét r t t r r à r t èr s t t é sé tr té s t s st r rt r s st t s s r r é r rr s t P r r r r r st s t é ss r r tr t t té s s s r t èr ét t t r t s r té é sé été t s s t sts ér q s tr r t r é t rt s t s s ét s é s t st r rs s t sts ér q s q r r tr r r r r s é t ér s s t q r t èr r s t s ts s rét s t q st s r st t s s s r tt ét é s t s rés t ts tér ss ts t s êtr r és ér q t s r r è s t s rt t ét é s t s r s é r s r tr t ss t t s é r s r r s t s s ré s r q q s t sts ér q s s r è t t é tr q r rt r q q s é é ts ré s à è q st t r è t t é tr q q t s rés t t t é r q r t t s t tt ét é s t s r s é r s s s ttr s r r è t t é tr q q rs ét é s t r sé à r è t t é tr q rès é s t rt t t φ η t rt m( φ η s éré st r rés té s r

P P sstè éq t s é sé st rs s t η x φ η + χ ( ε η x φ η (. ( η f(.4 e Λ(.4 φ η(.4 m( φ η + χ ( η ε x φ η (.4+ η ( f(.4 e Λ(.4 φ η(.4 m( φ η = η xf ].5,.5[ φ η (.5 = φ η (.5 ( e Λ( L φ η(.4 +e Λ(L φ η(.4 m( φ η = ln. ù s q t tés s t s χ = s z [.45,.4] t = rs χ = s z [.4,.45] t = rs ε = r ètr é s t < ε s é ér q st à s é t s s s rét s t s t r s é sés été t à s rét s t t r r r r r r s s t sés s r s s t r s t à t r tr s s s s t r s t r st s tr r q s t rs st té à r r s é rr s ét r ér q t rr r s r ér é x φ η r r r rés t à é s t s r t r P r s t sts ér q s t s s r t s t f(x = cos(πx, Λ =, S(x =. ét ér q é t rr r à ét é s t été t s r s r é r ss rr r r L é r ît O(ε sq à rr r à rr r s rét s t s t q st r t t é é à s t q s é ér q st q r r r r t trô r r ét q rés st té t rs s r rs ss s r ts r tt t tr r r s rs t s ét s é s t q r s éq t s ré ss t t t é tr q té r t s è s t P r è t s s r t êtr é ss r t s r ét r t èr r é s t s s t s è s tr P r rés r s rés t ts ré é ts s r è t t é tr q t t r q rt s tés rés s r s t rés st té r è η P r tr t r r è s s s s t r és rs s ét s rés r t s t t q é s t r s st à sé r r φ η s s r

P P - Erreur L en fonction de epsilon (h=., eta=. Resol par AP (psi-> phi O(epsilon - -3 Erreur L -4-5 -6-7 -7-6 -5-4 -3 - - epsilon r rr r L t r ètr é s t ε r s η = 4 t δx = 4 s r é r ss rr r O(ε sq à rr r s rét s t s t

P P - Erreur L en fonction de eta (h=., eps= e- Resol par AP (psi-> phi ordre (en eta - -3 Erreur L -4-5 -6-7 -7-6 -5-4 -3 - - eta r rr r L t rés st té r è η r s ε = t δx = 4 s r é r ss rr r O(η sq à rr r s rét s t s t

P P x s ss r s s ét q t s rt t t s s r r étés tt ét q η t rs s ér t rs sé t st ê r à s é ér s r à r è t q é r t s tr s st r t t r s r t t s q q t r s r ét q s r à s s s r è st s ê s s s s t s é s s r t s st s q r è t t é tr q s sstè à s s s r à tr é s t φ η tt é s t s r é r r ré ér à rt q tr t s s t t s tér ss r è t t é tr q é r t s rt s t q st é r r è é r r é ss s t yφ η η xφ η +ν yφ 4 η = S s ],T[ y φ η t= = y φ ini s y φ η Σ = t yφ 3 Σ = s r ],T[ Σ ( x φ η x= L = η e Λ φ η x= L s r ],T[ { L} ],l[ ( x φ η x=l = η e Λ φ η x=l s r ],T[ {L} ],l[ t ér té φ η s r ],T[ {.5,.5} ]l,[, ù ν > st st t str t t s t t Λ és t t ré ér à tér r t r st t té s t r è à η é st é à r é s rt ré té s s t t r s r t s t t tt s t és r = (].5,.5[ ],[\((].5,.4[ ],l[ (].4,.5[ ],l[, r rés té s r r é r s s té ê s s s ts Σ = ([ L,L] {} ([.5, L] {l} ([L,.5] {l} ([.5,.5] {} Σ L = { L} ],l[ Σ L = {L} ],l[ Σ = Σ L Σ L. ré Σ Σ ({.5} ]l,[ ({.5} ]l,[ r t èr P r t s T > é T ét t s ],T[ s s t s s tr t r s t t ù η t rs P r é t r r è é é ér s r è q η s s r r r t s t é s t t r r s t φ η r rs st t té

P P ér q y l Σ t r Σ tr Σ P s Σ Σ.5 L b r L.5 Σ t r ér q x r r rés t t s s 3 t t s r x rr s à s ss r ét q r t b t t s st t s r t èr s s t Σ r t t rt r è à b t Σ r rt r r à b tt r t s r t t t sé s s t φ t ét r (φ η rs φ s r s tt rt r s t sts ér q s s tr s t rés és s t r ér t t r t s t s r t s q été té r t é s t r r P r tr t r s rés st té r è s s s s ttr ét é s t r r é r t s rt t s r tr t t rés té t ét é ét r r è t q é r rt t s tr tr t s t ss t sé s s é str t tt ét P r rés r ér q t éq t s é r s tr ss è s é é r t é t t ér t r s s t é st é s r t t é tr q èr s t φ η = p η +ηq η, ù p η st é t r x ss é à r è s é t q tr t t x φ η = η x q η P r ss r r té tt é s t r rs r t s é t r s r q η r rq q st ê é q é s t rt t rt t t p η t rô s r à s r t q η s r t à rt t t ér ét t q q η st s é r t s r t t r t é q s é t r s r r s t r s s s éq t s q rés r st s r p η t q η s φ η t q η tr rt tt str té st q r é r t s tr s r s φ η (t,x,y t q η (t,x,y t r s p η (t,y t tr tr s r s q η (t,x,y r r

P P rs r è t r s t r s η xφ η t η xφ η r r s t t x q η t xq η t yφ η xq η +ν 4 yφ η = S s T x φ η = η x q η ( x q η x= L = e Λ φ η x= L ( x q η x=l = e Λ φ η x=l q η x= L = y φ η Σ = s T s r ],T[ Σ L s r ],T[ Σ L s r ],T[ { L} ],[ s r ],T[ Σ yφ 3 η Σ = s r ],T[ Σ φ η t= = φ ini à t =. t à t ér té s rφ η r r rt à r x {.5} ]l,[ t {.5} ]l,[ r t t t s tr t T P r t r rés t ér q r è rr r r éq t x φ η = η x q η r xφ η = η xq η x φ η x=.5 = η x q η x=.5 x φ η x= L = η x q η x= L s T s r ],T[ {.5} ]l,[ s r ],T[ Σ L x φ η x=l = η x q η x=l x φ η x=.5 = η x q η x=.5 s r ],T[ Σ L s r ],T[ {.5} ]l,[. η > é st t té s t φ η s t r t s t rs sé t r r q é s t φ η = p η + ηq η st q r st à ét r rt t q η t rs st à r r tr r q φ t q s s t s r è t r η t s s t é r rr r φ η φ L (,T;L ( r rq q s s rés r r r φ η,q η rs φ,q q η t rs φ é t x é str t st t té φ s t s t ét r ét r t r s à η é é s é tr s é r s ét s é r r r t t t s s r r t rté s s s r ét s s r r r q q s é t s s s q s r t réq t t sés s s é str t s q t s r é t é t s s s rt s ts V = { f H (, yf L (,f ér q s r {.5,.5} ]l,[, y f = s r Σ }

P P r r t s r f,v V = x f x vdydx+ yf yvdydx+ l f x=l v x=l dy. s s é é ts V à ér é r r rt à x r t r è V = { f H (, yf L (, x f = s, y f = s r Σ }. t r t s r f,v V = yf yvdydx+ l f x=l v x=l dy. H = { f L (, y f L ( } s r t s r r ǫ > f,v H = ǫ f vdydx+ y f y vdydx. s s é é ts H à ér é r r rt à x r t r è H = { f H (, x f = s } r t s r r ǫ > f,v H = ǫ f vdydx+ y f y vdydx. Q = { f L (, x f L (,f x= L = s r ],[ } r t s r f,v Q = x f x vdydx. r rq q r t s r f,v H é r ètr ǫ t t r rô r s t tr rs sé t é té t P ré s t r st st t C > é t q t q r t t φ V φ L ( C ( φ x=l L (],l[ + x φ L ( + yφ L (. t V t q V H ét t s rt t à s t q t s t t V r t s r.,. V st ss s rt ré s q V H V r tr t é t r é t s r V st s s H t q s V s H st t é t ss

P P é t s A st s s t s φ t s q φ L (,T;V, y φ L (,T;L (, y φ L (,T;{f H (, yf L (,f Σ = }, yφ L (,T;L (, t φ L (,T;V, y t φ L (,T;L (. s A st s s t s φ t s q φ L (,T;V, y φ L (,T;L (, y φ L (,T;{f H (, yf L (, x f = s,f Σ = }, yφ L (,T;L (, t φ L (,T;V, y t φ L (,T;L (. s rt s s t st tré q s s s t ès s s s r s é s S,φ ini s t φ η st s A r t t η > t rs tr r q q η L (,T,Q é r t q η (t,x,y = η (φ η(t,x,y φ η (t,l,y r r sq t t t ], T[,(x, y s s t q s r t sé rs ét r q η t rs φ η A rs q η L (,T,V é str t s t é à q x q η = η xφ η L (,T,L ( P r rs y φ η L (,T;{f H (, yf L (,f Σ = }, tr q y φ η x= L t yφ η x= L s t s L (,T;L (],[ t s t s rés t ts r s s t rs y q η, yq η L (,T;L ( r rq q y q η Σ = s s t s s t t r r q φ rt t à A t r t s r r èr éq t r t v V

P P v é s t r è r η > v V, d y φ η y vdydx+ x q η x vdydx+ν dt yφ η yvdydx l ( + exp(λ φη x= L l ( v x= L dy + exp(λ φη x=l v x=l dy = Svdydx y φ t= = y φ ini. réé r t t t r è s s s r s t t s r r φ η A t q η L (,T,Q ξ H (],T[, v V H (, w Q, T T y φ η t=t y vdydxξ(t y φ η t=t y vdydxξ dt+ x q η x vdydxξdt T + +ν T l yφ η yvdydxξdt+ ( e Λ φ η x=l T η x q η x wdydxξdt = T l v x=l dyξdt = T x φ η x wdydxξdt. ( e Λ φ η x= L v x= L dyξdt T y φ ini y vdydxξ(+ Svdydxξdt r è r η = st ê q r è s q s s s s sq s r r φ t q s t ér ts r à tr r φ A t q L (,T,Q s t v V, d y φ y vdydx+ x q x vdydx+ν dt yφ yvdydx l + ( exp(λ φ vdy = Svdydx y φ t= = y φ ini. φ st à r r r s t s st t s r r rt à x r è s ét q t s r tr r à v V q sstè

P P s t v V, d y φ y vdydx+ν dt yφ yvdydx l ( + exp(λ φ x=l v x=l dy = y φ t= = y φ ini. Svdydx t s é r φ t q s sstè r r r è s t s r q s s η = st sstè q s ér r r str r φ s s t r é r (φ,v H H yφ y vdydx st s r s r H ù tr t r ètr ǫ > r r tt r é r r (φ,v H H ǫφv + yφ y vdydx t ét r rt t q ǫ t rs s s s s t t ès s t t ès S, y S, ys, t S, ts L ( T t S L ( T C s t S t=t L ( C s C s à é r φ ini H 4 ( φ ini st é t x st à r x φ ini = l ( S t= dydx = yφ 4 ini dydx+ e Λ φ ini x=l dy s t ès s t t é rè s t s t s é ss r s st φ s t r è s t s t s t té t t r rq q r η > s t ès s t s t é ér s s t s t > S é t tr r φ ini ér t s t ès s t r r r t r s st t s r r rt à x t y s s t t é r rés t t q s s é tr r s s t é rè s t ès r è t q s t (φ η,q η A L (,T,Q s r φ η t q η φ η φ s L ( T q η q s L ( T, ù (φ,q A L (,T,Q st q s t st t rr r s t φ η φ L (,T;L ( c( T,φ,S,Λ η.

P P r rq q st t rr r st s é sl ( T r st t q st rt é str t t é rè s st r à r r st t té φ s t s q s t t ét r rt t q η t rs st t s t tt rt st φ s s é r r ét r r è é r r r st φ s t r è é r r ét t s r r s t r r é s r è é r st φ ǫ s r è é r rés té s s t r é r ( exp(λ φ x=l été r é r hφ ǫ x=l +g ù h L (],T[ ],l[ t g L (],T[ ],l[ t s r s s t t s r r étés s t r é s s W, (,T;V,H = {f L (,T;V, t f L (,T;V } s s tr r r r été s t Pr s t s èr r è é r sé s s s r ξ H (],T[, v V, T ǫφ ǫ t=t v + yφ ǫ t=t yvdydxξ(t ǫφ ǫ t=t v + yφ ǫ t=t yvdydxξ dt T T l +ν yφ ǫ yvdydxξdt+ hφ ǫ x=l v x=ldyξdt = ǫφ ini v + y φ ini y vdydxξ(+ T Svdydxξdt T l gv x=l dyξdt. s s q h :],T[ ],l[ R st s L (],T[ ],l[ t q st h min t q r r sq t t t ],T[,y ],l[, h(t,y h min > t q g L (],T[ ],l[,s L ( T t φ ini H ( sstè t q s t φ ǫ W, (,T;V,H s st st t c( T,ν,h min > é t ǫ t q tt s t ér st t é r r t t t [,T] ( ǫ φ ǫ (t L ( + yφ ǫ (t L ( +ν yφ ǫ L (,t;l ( +h min φ ǫ x=l L (,t;l (Σ L c( T,ν,h min ( ( ǫ φ ini L ( + yφ ini L ( + g L (],T[ Σ L + S L ( T. r rq q t t y φ t= = y φ ini été é φ ǫ t= = φ ini

P P é str t r s t tt é str t s st ss t t à é r r s s t s t ès s rés t t é r r t r s t r é t é rè t é rè t sé st sé s r ét r r r è é t r r r r r rq q r r sq t t t ],T[ v Svdydx l gv x=ldy st r é r t s r s rt V rès t é rè s3 t tr r S(t V t q v V, S(t,v V = Svdydx l gv x=l dy. t s t s r ts s r s rt s s r H t V réé r t r è s s r r r φ ǫ W, (,T;V,H = {f L (,T;V, t f L (,T;V } t q ξ Cc (],T[, v V, t ],T[, T T T φ ǫ (t,v H ξ (tdt+ a(t,φ ǫ (t,vξ(tdt = S(t,v V ξ(tdt φ ǫ t= = φ ini H. r é r a(t,.,. : V V R é r a(t,φ,v = ν yφ yvdydx+ tt r é r a(t,.,. st t r é t r r rt à t l h(tφ x=l v x=l dy. a(φ,v ν yφ L ( yv L ( + h φ x=l L (],l[ {L} v x=l L (],l[ {L} (ν + h φ V v V. r r é t r r rt à t l a(φ,φ = ν yφ L ( + hφ x=l dy h h min > ( l min{ν,h min } yφ L ( + φ x=l dy c(ν,h min φ V. rès t é rè st t té s t r è é r sé s é té s t r st t c( T,ν,h > é t φ ǫ,ǫ φ ǫ W, (,T;V,H = φ ǫ L (,T;V + t φ ǫ L (,T;V r é t ( c( T,ν,h min φ ǫ t= H + S L (,T;V + g L (,T;V ( c( T,ν,h min ǫ φ ǫ t= L ( + y φ ǫ t= L ( + S L (,T;V + g L (,T;V.

P P s r t ],T[ ( ǫ φ ǫ (t L ( + yφ ǫ (t L ( + = q q q t ( ǫ φ ǫ t= L ( + yφ ǫ t= L ( ν yφ ǫ L ( dt+ t + t l l h t gφ ǫ x=l dydt+ ( φ ǫ x=l dydt Sφ ǫ dydxdt. ( ǫ φ ǫ (t L ( + yφ ǫ (t L ( +ν yφ ǫ L (,t;l ( +h min φ ǫ x=l L (,t;l (Σ L ( ǫ φ ini L ( + yφ ini L ( + g L (,t;l (Σ L φ ǫ x=l L (,t;l (Σ L + S L (,t;l ( φ ǫ L (,t;l (. t s t s é tés ( ǫ φ ǫ (t L ( + yφ ǫ (t L ( c( T,ν,h min +ν yφ ǫ L (,t;l ( +h min φ ǫ x=l L (,t;l (Σ L ( ( ǫ φ ini L ( + yφ ini L ( + g L (],T[ Σ L + S L ( T è é str t s é r. st φ s s é r s s rs t t r r rés t t s s é r à r t t t

P P Pr s t s t ès r è é r q s st à tr r φ A t q ξ H (],T[, v V, T ǫφ t=t v + y φ t=t y vdydxξ(t y φ t=t y vdydxξ dt = +ν T yφ yvdydxξdt+ y φ ini y vdydxξ(+ T T l Svdydxξdt ( e Λ φ x=l φ x=l v x=l dyξdt t q s t φ A st à r t q φ L (,T;V. y φ L (,T;L (. y φ L (,T;{f H (, yf L (, x f = s,f Σ = }. yφ L (,T;L (. t φ L (,T;V. y t φ L (,T;L (. s st t é r s t r st t c( T > y φ L (,T;L ( + φ L (,T;V c( T ( + y φ ini L ( + S L ( T. t t é ré r té φ t tr r q φ x=l H (],T[ ],l[ t r é té r r q e Λ φ x=l L (],T[ ],l[ s st ss ré q r t r t s s P r t t φ H (],T[ ],l[ st st t c(l,t,λ, φ H (],T[ ],l[ > t q exp(λ φ L (],T[ ],l[ c(l,t,λ, φ H (],T[ ],l[. t K > s s s q φ H (],T[ ],l[ K rs exp(λ φ L (],T[ ],l[ c(l,t,λ,k. é str t t φ H (],T[ ],l[ rès é té r r { T l ( } φ inf k >, exp dydt c(l,t φ H (],T[ ],l[. q q q T l k ( φ exp (c(l,t φ H (],T[ ],l[ dydt +lt.

P P t t s ôtés é té ré é t r exp ( (c(l,t φ H (],T[ ],l[ t t exp ( (c(l,t φ H (],T[ ],l[ T l ( exp (+ltexp ( (c(l,t φ H (],T[ ],l[. é té s r t r T l φ (c(l,t φ H (],T[ ],l[ exp( φ dydt (+ltexp ( (c(l,t φ H (],T[ ],l[. dydt exp(λ φ L (],T[ ],l[ ( (+ltexp ( Λ+(c(l,T φ H (],T[ ],l[. é t rs s é tés é s s s t ès s t r s r t S L (],T[ C s t S t=t L ( C s t s r ttr ét r s st t s é r t s à é str t q st tér ss t q r st s s s st s t st q s t ès s s r S s t q t t q s st q rés t r è st r t r s q S st tr r t r é tr r st t é r q st s t st t tè r r r rt t s t r r P r s èr éq t v = φ t T l yφ t=t L ( +ν yφ L ( T + = T yφ t= L ( + Sφ dydxdt. ( e Λ φ x=l φ x=l dydt t tr r q t f(x = x ( e Λ x ér r s st t s c,c,c 3 str t t s t s s s f(x c x e Λ+ x s x < c Λ = min{λ,} f(x c s c Λ x Λ+ f(x c 3 x s x > Λ+. t t é t r é r s t t yφ t=t L ( +ν yφ L ( T +c +c 3 T l φ x=l >Λ+ T l φ x=l < c Λ ( e Λ+ φ x=l φ x=l dydt φ x=l dydt c lt + yφ t= L ( + S L ( T φ L ( T.

P P r t c 4 = min{c,c 3 } é té ré é t t yφ t=t L ( +ν yφ L ( T +c 4 T l φ x=l dydt }{{} = φ x=l L (],T[ ],l[ c( T + yφ t= L ( + S L ( T mes( φ L (,T;L (. t s s t st t é r é té t P ré yφ t=t L ( +ν yφ L ( T +c 4 φ x=l L (],T[ ],l[ c( T + yφ t= L ( + mes(c S L ( T ( φ x=l L (],T[ ],l[ + T yφ L ( T. rs à q S L ( T s t s s t t t r r mes(c S L ( T c 4. r t t r r t φ x=l L (],T[ ],l[ s r r t é té ré é t êtr s q s s r r t q t S L ( T C s r rs C s c 4 mes(c. s t rr s r r q r st t c ( T,ν > s mes(tc yφ L ( T ν C s yφ L ( T +c ( T,ν, ù c ( T,ν é s φ t t rs é té s t r c 5 ( T,ν > yφ t=t L ( + ν yφ L ( T +c 5( T,ν φ x=l L (],T[ ],l[ c( T + yφ t= L ( + S L ( T c (,ν. s t à à é té t P ré t t st t é r r s t t s tt ét ét rs é r è r r è é r r r s t tr t r ètr ǫ t r t r é r r é é t P r tr t

P P r ètr n N t é r r t r é r r rq q r x t t x R + x /n n tr r st s t r r è s t t st φ ǫ,n W, (,T;V,H t q t r v V, d ǫφ ǫ,n v + y φ ǫ dt y vdydx+ν yφ ǫ,n yvdydx ( ( l φ ǫ,n x=l + exp Λ + φ ǫ,n x=l /n v x=l dy = φ ǫ,n t= = φ ini. φ ǫ,n x=l + φ ǫ,n x=l /n Svdydx st rs s L (],T[ ],l[ r é t q n s r ttr t s r tr r t t t P r t ϕ W, (,T;V,H s èr r è é r sé s t t t st r r φ lin W, (,T;V,H t q v V, d ǫφ lin v + y φ lin y vdydx+ν dt l ( ( + exp Λ φ lin t= = φ ini. ϕ x=l + ϕ x=l /n yφ lin yvdydx ϕ x=l + ϕ x=l /n +φlin x=l v x=l dy = Svdydx s s s té s t t s s s s t r îtr é φ lin ǫ t n rès s rés t ts ré é ts s r r è é r r s t ( ǫ φ lin (t L ( + yφ lin (t L ( +ν yφ lin L (,t;l ( + φlin x=l L (,t;l (],l[ ( ( c( T,ν ǫ φ ini L ( + yφ ini L ( + exp ( Λ ϕ x=l + ϕ x=l /n ( ǫ φ lin (t L ( + yφ lin (t L ( ( c( T,ν ( ǫ φ ini L ( + yφ ini L ( ϕ x=l + ϕ x=l /n L (,t;l (],l[ + S L (,t;l ( +ν yφ lin L (,t;l ( + φlin x=l L (,t;l (],l[ + ( +e Λ+n +n lt..

P P q rès é té t P ré φ lin (t L ( + φlin L (,T,V M( T,ν,n,ǫ. ù M( T,ν,n,ǫ st st t é t φ lin s é t tr tr s n,ǫ é t s X = { φ W, (,T;V,H, φ W, (,T;V,H M( T,ν,n,ǫ } t t G : X X q à ϕ ss φ lin tr q G st t s r X r r rt à r L X st r é r é s t s L (],T[ rès s r r r t r P r r r t té G t s t q W, (,T;V,H st s èr t s L (,T,L (],l[ tt s t s t t t s t s r tr r q W, (,T;V,H L (,T;H ( t t t t s t t s s t t L (,T;H ( L (,T;L (],l[ t té G s tr t t s t t q W, (,T;V,H st s èr t s L (,T,L (],l[ r rs s t (ϕ k é é ts X r t rs ϕ X r r L ( T rès t t W, (,T;V,H s L (,T,L (],l[ s t q à s s s t rès (ϕ k x=l r rs ϕ x=l r t t k φ lin k = G(ϕ k X r rq q à s s s t rès (φ lin k r t s X W, (,T;V,H rs φ lin rès t t W, (,T;V,H s L (,T,L (],l[ t r r q à s s s t rès (φ lin k x=l r rs φlin x=l t ss r à t k + s r t r r v V, d ǫφ dt lin v + y φ lin y vdydx+ν yφ lin yvdydx ( ( l ϕ x=l ϕ x=l + exp Λ + ϕ x=l /n + ϕ x=l /n +φlin x=l v x=l dy = Svdydx φ lin t= = φ ini. s φ lin st q t é t tr t s s s t (G(ϕ k r rs φ lin = G(ϕ r L ( T ù t té G φ ǫ,n st s t r è r t t v V r r X W, (,T;V,H t q r t t t ],T[ ǫ t (φ ǫ,n v + t( y φ ǫ,n yvdydx+ν yφ ǫ,n yv ( ( l φ ǫ,n x=l φ ǫ,n x=l exp Λ + φ ǫ,n x=l /n + φ ǫ,n +φǫ,n v x=l /n x=l dy = Svdydx.

P P s r t q l ( φ ǫ,n x=l + φ ǫ,n x=l +φǫ,n /n φ ǫ,n dy, t t st t r r sq t t t ],T[ ( ǫ φ ǫ,n (t L ( + yφ ǫ,n (t L ( ( + + t l t l φ ǫ,n x=l < c Λ φ ǫ,n x=l c Λ φ ǫ,n x=l exp +ν yφ ǫ,n Λ+ L (],t[ φ ǫ,n x=l + φ ǫ,n x=l /n φ ǫ,n x=l dydt c( T,φ ini,ν. dydt c(,φ ini,ν é t n t ǫ t c Λ é t q Λ t t q r é st φ ǫ,n s tt r à r t r n rs + ét s ǫ rs ét t ét rt t q n + s t (φ ǫ,n n N st r é s W, (,T;V,H é t st s s s t r té (φ ǫ,n t q φ ǫ,n φ ǫ rt s L ( T y φ ǫ,n y φ ǫ yφ ǫ,n yφ ǫ x φ ǫ,n x φ ǫ s L ( T. s φ ǫ,n (t φǫ (t rt t s L ( r t t t [,T] P r st r ss à t q n + r st s q à tr r r t r r ( ( T l exp Λ φ ǫ,n x=l + φ ǫ,n x=l /n φ ǫ,n x=l + φ ǫ,n +φǫ,n v x=l /n x=l dydt. râ à s t W, (,T;V,H s L (,T;L (Σ L t r r q st s s s t r té (φ ǫ,n x=l t q φǫ,n x=l q n + q q q T ( l φ ǫ,n x=l + φ ǫ,n +φǫ,n x=l /n x=l v x=l dydt q n + s s t t s tér ss r à rt t q t t t r r r q rès

P P T l φ ǫ,n x=l < c Λ φ ǫ,n x=l exp ( Λ+ φ ǫ,n x=l + φ ǫ,n x=l /n dydt c(,φ ini,ν. ù c(,φ ini,ν( st é t n t ǫ φ ǫ,n x=l exp Λ + φ ǫ,n st r é s L (],T[ ],l[ t st é r ss t x=l /n t q r t s s t q n + st exp(λ φ ǫ x=l t rt t àl (],T[ ],l[ r v q q sv s é tés ss s t s s q q s t K > T ( ( l φ ǫ,n x=l exp Λ + φ ǫ,n x=l /n T ( ( l exp Λ φ ǫ,n x=l < K T ( ( l + exp Λ φ ǫ,n x=l K ( Λ φ x=l ǫ v x=l dydt ( exp φ ǫ,n x=l + φ ǫ,n x=l /n φ ǫ,n x=l + φ ǫ,n x=l /n Λ φ x=l ǫ v x=l dydt ( exp Λ φ x=l ǫ v x=l dydt. t tr r q r t t δ > st n t q r t t n n r é té ss s s t s t t q δ r r r r r t r r r t q T ( ( l φ ǫ,n ( x=l exp Λ φ ǫ,n x=l < K + φ ǫ,n x=l /n exp Λ φ x=l ǫ v x=l dydt T ( l φ ǫ,n x=l exp Λ K φ ǫ,n x=l < K + φ ǫ,n x=l /n φ ǫ,n x=l v x=l dydt T l + exp(λ φ ǫ φ ǫ,n x=l K x=l v x=l dydt. P r K s s t r T ( ( l φ ǫ,n x=l exp Λ φ ǫ,n x=l < K + φ ǫ,n x=l /n ( exp Λ φ x=l ǫ v x=l dydt δ. K à tt r P r s t r r r t s t t s r t é rè r é s r st r à K é st t r n t q r t t n n T ( ( l exp Λ φ ǫ,n x=l K φ ǫ,n x=l + φ ǫ,n x=l /n ( exp Λ φ x=l ǫ v x=l dydt δ.

P P r t t n > n T ( ( l φ ǫ,n x=l exp Λ + φ ǫ,n x=l /n rs ( exp Λ φ x=l ǫ v x=l dydt δ. r t r r T ( ( l φ ǫ,n x=l φ ǫ,n x=l exp Λ + φ ǫ,n x=l /n + φ ǫ,n +φǫ,n v x=l /n x=l dydt. st q s T l ( ( exp Λ φ ǫ x=l v x=l dydt. st t φ ǫ W, (,T,V,H t q r t t v V t r t t ξ H (],T[ T + +ν = (ǫφ ǫ v + y φ ǫ y v ξ dydxdt φ ǫ (Tvξ(Tdydx+ y φ ǫ (T y vξ(tdydx T T yφ ǫ y vξdydxdt+ Svξdydxdt+ T l y φ ǫ t= yvξ(dydx. ( e Λ φǫ x=l v x=l ξdydt st r t sstè é t v V, d ǫφ ǫ dt v + y φ ǫ y vdydx+ν yφ ǫ yvdydx l ( + e Λ φǫ x=l v x=l dy = Svdydx φ ǫ t= = φ ini. té s r t s t t x exp(λ x t r ss t st t ǫ φǫ t=t L ( + yφ ǫ t=t L ( +ν yφ ǫ L (,T,L ( T l ( + e Λ φǫ x=l φ ǫ x=l ξdydt ǫ φ ini L ( + yφ ini L ( + S L ( T φ ǫ L ( T.

P P r r t é str t ét t rès r t q s sé r S L ( T ǫ φ ǫ (t L ( + yφ ǫ (t L ( + φǫ L (,T;V ( c( T,ν +ǫ φ ini L ( + yφ ini L ( + S L ( T, ù c( T,ν > st é t ǫ t t t t t r ǫ rs r rq q (φ ǫ ǫ st r é s L (,T,V é t ǫ q s r t r r q r φ ǫ rs φ s L ( T t t s é t st r t r é r r t s r s t ès s s r S t φ t= r r r q exp(λ φ ǫ x=l st r é é t ǫ sw, (],T[ ],l[ t r sv H ( s t q v x=l H 3 (],l[ L (],l[ t ξ H (],T[ L (],T[ r tèr r é exp(λ φ ǫ x=l s W, (],T[ ],l[ s ss r s r à s s s t rès s L (],T[ ],l[ rr t s r t é rè r é s r tr r T l ( exp(λ φ ǫ x=l v x=l ξdydt T l r r t é str t ét r q T l ù c( T,ν,φ ini st é t ǫ ( e Λ φǫ x=l φ ǫ x=l dydt c( T,ν,φ ini, ( exp(λ φ x=l v x=l ξdydt. é t T l T l e Λ φǫ x=l φ ǫ x=l dydt+ φ ǫ x=l dydt c( T,ν,φ ini. φ ǫ x=l c Λ φ ǫ x=l > c Λ s c Λ T l φ ǫ x=l c Λ e Λ φǫ x=l dydt c( T,ν,φ ini. T l φ ǫ x=l > c Λ eλ φǫ x=l ξdydt st ss r é é t ǫ t r r q (t,y exp(λ φ ǫ (t,l,y st r é é t ǫ sl (],T[ ],l[ P r ét r r tèr r é exp(λ φ ǫ x=l à W, (],T[ ],l[ t t r r q st ê r s ér é s y exp(λ φ ǫ x=l = yφ ǫ x=l exp(λ φǫ x=l t t exp(λ φ ǫ x=l = tφ ǫ x=l exp(λ φǫ x=l P r ér r r t r r rt à y s r r rt t sstè éq t t à q s ét r s r r étés

P P t sstè r y φ ǫ r é r s U = {f H (, x f = s,f = s r Σ } P r st t R ], l[ q q sstè s s r y φ ǫ W, (,T,U,H u U, d (ǫ y φ ǫ dt u+ y ( y φ ǫ y udydx+ν y ( y φ ǫ yudydx l y + y φ ǫ x=l (Λ exp y φ ǫ (t,l,y dy φ ǫ (t,l,r u x=l dy R = y Sudydx. P r t r r t sstè r r s r è r t t st yv = y u ù v V t q 3 yv Σ = t q U st r tér sé r s t s t s t r t s r Σ rs q V t r îtr s t s t t é ss té r y S L ( T r r t r s t s ét s ré é t s tr q y φ ǫ W, (,T,U,H st q s t rs é té r r ǫ yφ ǫ (T L ( + y( y φ ǫ (T L ( +ν y ( y φ ǫ L ( T + T l e Λ φǫ x=l y φ ǫ x=l dydt = ǫ yφ ǫ ( L ( + T y( y φ ǫ ( L ( + y S y φ ǫ dydxdt. φ ǫ st r é t r é sl (,T,V é t ǫ é t q y φ ǫ st r é t r é s L ( T t s t é té t é té T r3 s r t r ys y φ ǫ dydxdt t t T l e Λ φǫ x=l y φ ǫ x=l dydt c( T,ν,φ ini. ù c( T,ν,φ ini st é t ǫ t s r r q y e Λ φǫ x=l st r é s L (],T[ ],l[ r st à r ê r t e Λ φǫ x=l s tr t t s r s é t

P P t sstè r t φ ǫ rt sstè t ér r t éq t r r rt à t s r t rs r sstè v V, d ǫ t φ ǫ dt v + y ( t φ ǫ y vdydx+ν y ( t φ ǫ yvdydx l t + t φ ǫ x=l (Λ exp y φ ǫ (t,l,ydt φ ǫ (τ,l,y v x=l dy = t Svdydx τ ǫ t (φ ǫ t= v + t y φ ǫ t= yvdydx = ν yφ ini yv +S t= vdydx l ( e Λ φ ini x=l v x=l dy. t t sstè ss s r t éq t é t r s t = r t v = t φ ǫ t t st t t é té r r ǫ tφ ǫ (T L ( + y t φ ǫ (T L ( + y t φ ǫ L ( T T l ( T + t φ ǫ x=l exp Λ φ ǫ x=l dydxdt = t S t φ ǫ dydxdt + ǫ tφ ǫ t= L ( + y t φ ǫ t= L (. s s t r s r s t s t s r s r r s t ét r r r t T r t t t r ts t φ ǫ r t r rt T T t S t φ ǫ dydxdt = T S t= φ ini dydxdt. dydxdt r r r q r té T tsφ ǫ dydxdt+ S t=t φ ǫ t=t dydxdt ts st s sé êtr s L ( T r r t r r r t s r à é té r3 ê r t tr s è t r r r t s s r è r st à ét r φ ǫ t=t L ( P r t r t s r s L ( T éq t sstè t t φ ǫ q ǫ t φ ǫ L ( T + t y φ ǫ L ( T + ν yφ ǫ t=t L ( T l ( T + e Λ φǫ x=l t φ ǫ x=l dydt = t Sφ ǫ dydxdt + S t=t φ ǫ t=t dydx S t= φ ini dydx+ ν yφ ini L (.

P P t r é r éq t t T l ( e Λ φǫ x=l l t φ ǫ x=l dydt = l ( φ ǫ (,L,y+e Λ φǫ (,L,y dy. ( φ ǫ (T,L,y+e Λ φǫ (T,y,L dy t s t t t ès S t=t C s C s st à ét r r és r s r s t q st st t s s t t t r q t r q x+e Λ x x ès q x c Λ ǫ t φ ǫ L ( T + t y φ ǫ L ( T + ν yφ ǫ t=t L ( + l φ ǫ t=t dy c( T,ν,Λ,S,φ ini é t ǫ. rès é té P ré é t q φ ǫ t=t L ( st r é é t ǫ tr s t t q ǫ t φ ǫ t= L ( + y t φ ǫ t= L ( st ré é t ǫ P r r r rq q ǫ t φ ǫ t= y t φ ǫ t= = (S t= 4 yφ ini + xq. r q r t t té (S t= 4 yφ ini dydx l ( e Λ φ ini x=l dy =. r st ss é à t yφ dydx = t Σ y φ dx = s t r t s r s r V t t v V, ǫ t φ ǫ t= v + y t φ ǫ t= yvdy = (S t= 4 yφ ini vdydx l ( e Λ φ ini x=l dy. r t t φ ǫ t= t t st ǫ t φ ǫ t= L ( + y t φ ǫ t= L ( + x t φ ǫ t= L ( }{{} = r t ès S t= yφ 4 ini L ( t φ ǫ t= L ( + e Λ φ ini x=l L (],l[ t φ ǫ t= L (],l[ ( S t= yφ 4 ini L ( +c( e Λ φ ini x=l L (],l[ t φ ǫ t= H (.

P P rès é té P ré rt r r r s t s à s r r é t st st t C PW ( > é t ǫ t q C PW t φ ǫ t= L ( ( S t= yφ 4 ini L ( +c( e Λ φ ini x=l L (],l[ t φ ǫ t= H (. tré q ǫ t φ ǫ ( L ( + y t φ ǫ ( L ( st r é é t ǫ t s s é é ts r r r q T ( l tφ ǫ x=l exp Λ φ ǫ x=l dydx dt st r é é t ǫ rès é té r3 é t q T l t φ ǫ x=l (Λ φ exp ǫ x=l dydx dt ( T l ( T t φ ǫ x=l exp Λ φ ǫ x=l dydx dt l ( exp Λ φ ǫ x=l dydx dt. st ( à r ét t é q t r r r tèr r é s s ér é s q exp Λ φ ǫ x=l st r é s W, (],T[ ],l[ ( é t q exp Λ φ ǫ x=l r rt t q ǫ rsexp ( Λ φ x=l r s tr s t r s r t st é t rt st t P r té r s t st ss 3 ss q sq st sé s r r tèr r s s t t x e x t s r φ t φ s t s r è ér é r φ rs t y φ t=t φ t=t L ( + y (φ φ L ( T + T l ( e Λ φ x=l e Λ φ x=l (φ x=l φ x=l dydt =. } {{ } rs φ = φ st à r té φ r s t st s é tré r st t t à tr r té t st q s ét r r φ η,q η té q P r r r r q (t s s V s s Q = { f L (, x f L (,f x= L = s r ],[ },

P P r é t P r r sq t t t ],T[ r q (t Q s t r è é r φ A é à ét r é v V, l ( x q x vdydx = e Λ φ (v x=l Σ L +v x= L dy ( + S + t yφ v ν 4 y φ vdydx q x= L =. s s q t s t sq tq rs r t r r sq t tt ],T[ v V, x (q q x vdydx = q x= L q x= L =. P r s té é t q v Q, x (q q x vdydx = q x= L q x= L =. st à r x (q q L ( = t q x= L q x= L = r é té t P ré é t té q s Q r q η s s tr r q q η L ( T t xq η L ( T s t r és é t η tr r r (q η η> P r s s r r tr r q s s t ès s t é rè 4 yφ L ( T rés t t s r t s s st t s q s r t t s r q η L ( T t xq η L ( T é str t P r st t R ], l[ q q sstè s t s s r yφ ǫ W, (,T,V,H v V, d dt ǫ yφ ǫ ( v + y y φ ǫ y vdydx+ν l + = y Svdydx, y ( y φ ǫ y vdydx ( yφ ǫ x=l ( yφ ǫ x=l e Λ y y R R y φǫ (t,l,zdzdy (y R yφ ǫ (t,l,r φǫ (t,l,r dy

P P t r t à rt r r t r t t st yv = y u ù v V t q 3 yv Σ = r r t s ét s à é str t r s t tr q sstè t q s t yφ ǫ W, (,T,V,H t q st t s t ǫ yφ ǫ t=t L ( + 3 yφ ǫ t=t L ( +ν 4 yφ ǫ L ( + T l yφ ǫ x=l e Λ φǫ x=l dydt = ǫ yφ ini L ( + 3 yφ ini L ( T + S yφ ǫ dxdydt + T l y φ ǫ x=l yφ ǫ e Λ φǫ x=l dydt. r st à ét r s r é té ss s r ét r té r q t t t r s r à té r t s r rt s T T S yφ ǫ dydxdt = y S y φ ǫ dydxdt. r y φ ǫ L ( T st r é é t ǫ ét t t t r r T l yφ ǫ x=l yφ ǫ e Λ φǫ x=l dydt P r r rq q y φ ǫ x=l st s H (],T[ ],l[ φ ǫ L (,T,V L (,T,H ( φ ǫ x=l L (,T,H 3 (Σ L t φ ǫ L (,T,V L (,T,H ( t φ ǫ x=l L (,T,H 3 (Σ L P r s ét s r r r s s s t s é t q r t t r N y φ ǫ x=l Lr (],T[ ],l[ s s t s ét t t s t φ ǫ t tφ ǫ s t r és é t ǫ s L (,T,H ( s t q r t t r N y φ ǫ x=l L r (],T[ ],l[ st r é é t ǫ s t tr r q e Λ φǫ x=l L (],T[ ],l[ c( T,Λ,ν st r é é t ǫ rès é té t t é rè r r r t t à T l y φ ǫ x=l yφ ǫ e Λ φǫ x=l dydt ( T l y φ ǫ x=l 4 e Λ φǫ x=l dydt T l y φ ǫ x=l L 8 (],T[ ],l[ eλ φǫ x=l L (],T[ ],l[ c( T,Λ,ν ( T l ù c( T,Λ,ν st é t ǫ yφ ǫ x=l e Λ φǫ x=l dydt ( T yφ ǫ x=l e Λ φǫ x=l dydt, l yφ ǫ x=l e Λ φǫ x=l dydt

P P s t à é té st t s t ré t q ré è s t t s é té r s r r c( T,Λ,ν rs st t s t ( T l yφ ǫ x=l e Λ φǫ x=l dydt. ǫ yφ ǫ t=t L ( + 3 yφ ǫ t=t L ( +ν 4 yφ ǫ L ( + T l yφ ǫ x=l e Λ φǫ x=l dydt c(t,l,λ,φ x=l + ǫ yφ ini L ( + 3 yφ ini L ( + y S L ( T y φ ǫ L ( T. s r ét t r é é t ǫ é t q ( 4 yφ ǫ ǫ> st r é é t ǫ s L ( T t rs r t r ǫ rs yφ L (,T,V t rt r 4 yφ L ( T t q 4 yφ st s L ( T s ér r rt t r tr r st q P r tr r st q t r φ η s s t r é str t t é rè rt t tt r èr r q t r è t q é r r s sstè s ér és r φ η t φ t ér s t r t s r t t st φ η ηq η φ A r rq q φ η ηq η φ L (,T,V rès t t rs T +ν + + t y (φ η φ y (φ η ηq η φ dydxdt T T l T l y(φ η φ y(φ η ηq η φ dydxdt ( e Λ φ x= L e Λ φ η x= L s r t q q η x= L = rs (φ η ηq η φ x= L dydt ( e Λ φ x=l e Λ φ η x=l (φ η ηq η φ x=l dydt =.

P P T T l + t y (φ η φ y (φ η φ dydxdt+ν y(φ η φ L ( T ( e Λ φ x= L e Λ φ η x= L (φ η φ x= L dydt l T + ( T η T + T l T l T l ( e Λ φ x=l e Λ φ η x=l (φ η φ x=l dydt t y φ η y q η dydxdt+ν ( e Λ φ η x=l T q η x=l dydt t y φ y q η dydxdt ν ( e Λ φ x= L T q η x= L dydt ( e Λ φ x=l q η x=l dydt t s t r t t é t q T yφ η yq η dydxdt yφ yq η dydxdt =. t y (φ η φ y (φ η φ dydxdt+ν y(φ η φ L ( T + T l ( e Λ φ x= L e Λ φ η x= L (φ η φ x= L dydt+ } {{ } T l ( e Λ φ x=l e Λ φ η x=l (φ η φ x=l dydt+η x q η L ( T }{{} T η T l + ( T Sq η dydxdt η ( e Λ φ x=l t yφ q η dydxdt+ν q η x=l dydt. T 4 yφ q η dydxdt P r s é tés t P ré tr q st st t c( T é t φ,φ η,q η t q q η L ( T c( T x q η L ( T t q η x=l L (],T[ ],l[ c( T x q η L ( T t t rs st t s t x q η L ( T S L ( T q η L ( T + t yφ +ν 4 yφ L ( T q η L ( T + e Λ φ x=l L (],T[ ],l[ x q η L ( T,

P P q q η L ( T c( T,φ,S,Λ t x q η L ( T c( T,φ,S,Λ. ù c( T,φ,S,Λ st é t φ η,q η s s s t rès (q η η> r rs t s L ( T rs t q st ê r ( x q η η> r r t t é té à r tèr r é q η L ( T y (φ η φ t=t L ( +ν y(φ η φ L ( T + T l ( e Λ φ x= L e Λ φ η x= L (φ η φ x= L dydt+ } {{ } T l ( e Λ φ x=l e Λ φ η x=l (φ η φ x=l dydt c( T,φ,S,Λη. } {{ } é t q x (φ η φ L ( T + y(φ η φ L }{{} ( T c( T,φ,S,Λ η. =η xq η L (T s s rs r r s t r s r s é r s ét t t µ : z ( e z z r rq q r t t z R µ(z ω(z ù { z s z ω(z = z s z >. s ér t e Λ φ x=l µ ( φ η x=l φ x=l t t é té ( e Λ φ x=l e Λ φ η x=l (φ η φ x=l = e Λ φ x=l ( e (φ η x=l φ x=l ( φη x=l φ x=l eλ φ x=l φ η x=l φ x=l s φ η x=l φ x=l eλ φ x=l φ η x=l φ x=l s φ η x=l φ x=l >. té r t s r T t rs T l φ η x=l φ x=l T l T l e Λ φ x=l φ η x=l φ x=l dydt+ ( (φη x=l e Λ φ x=l e η x=l Λ φ φ x=l dydt c( T,φ,S,Λη. e Λ φ x=l φ η x=l φ x=l dydt φ η x=l φ x=l >

P P rès é té r3 T l e Λ φ x=l φ η x=l φ x=l dydt φ η x=l φ x=l ( T l r t t r rt é té T l e Λ φ x=l φ η x=l φ x=l dydt φ η x=l φ x=l ( T l e Λ φ x=l dydt. φ η x=l φ x=l exp(λ φ x=l φ η x=l φ x=l dydt c( T,φ,S,Λ η. tr r rès q é té t P ré s t P r t t φ L (,T;V st t ( φ L (,T;L ( C( φ x=l e Λ φ x=l L (],T[ ],l[ + x φ L ( T + yφ L ( T, ù C( é q é str t t r tr r q r t t φ V t r t t t ],T[ ( φ L ( c( φ x=l e Λ φ x=l(t L (],l[ + x φ L ( + yφ L (. é str t st s r à é té t P ré é s s t t s t rés t t té r t é té ss s t t s t é té r3 rt r é té é t ( φ η φ L (,T;L ( c( (φ η x=l φ x=l e Λ φ x=l L (],T[ Σ L + x (φ η φ L ( T + y(φ η φ L ( T c( T,φ,S,Λ η. rq s q s s st t φ η φ r L (,T;L ( s s r L ( T t st t φ η φ r L ( T s s s é ss s t t t r r q t ss r à t s r t r è é s t r r r r t é str t st t é r ét é str t r s t t tr r q φ η L (,T,V st r é é t η

P P P r rs s t q r yφ η rs yφ q η r r t é str t ét t tr r q y t φ η t=t L ( + η x t φ η L ( T +ν y t φ η L ( T = + T l T e Λ φ η x= L t φ η x= L dydt+ T l t S t φ η dydxdt+ y t φ η t= L (. e Λ φ η x=l t φ η x=l dydt é t q t φ η L (,T,V st r é é t η é t q φ η x=l st r é s H (],T[ ],l[ é t η t q e Λ φ η x=l st r é s L (],T[ ],l[ s t y φ η yφ η t q η s t r és s L ( T é t η à s s s t rès t ss r à t s r t r è é s t r r r t r r è t té s t (φ,q été r é é t q q η q φ η φ t s L ( T. ôt é str t t é rè s ts ér q s s tt rt s s r s t sts ér q s s r sstè t ét P sé s r é s t r r t r s s s t s s té r s é t ér s s tré s s s rét s t t s t r s ét s tt r t r t r t té s s é s s r è s t s r r t q r t x t y r s t s t s rs s été s rét s r r è ç èt t t té t r é r s rés t sstè é r à q s t s tr r s r t s φ η t q η r èr rr t t r q s é ér s s st té à é s t r r ét sq φ st s s t r è t s s t r è t r è t

P P s r φ,q st s s ét r é t yφ xq +ν yφ 4 = S s T q x= L = y φ Σ = 3 yφ Σ = φ η t= = φ ini à t = xφ = s T x φ x=.5 = x φ x= L = x φ x=l = x φ x=.5 = ( x q x= L = x φ x=l = e Λ φ x= L ( e Λ φ x=l s r ],T[ Σ L s r ],T[ Σ s r ],T[ Σ s r ],T[ {.5} ]l,[ s r ],T[ { L} ],l[ s r ],T[ {L} ],l[ s r ],T[ {.5} ]l,[ s r ],T[ { L} ],l[ s r ],T[ {L} ],l[ s s rét s t s t é é ts s s té à r t r t rr r t é ts t rs s èr r t r s s st t δx s r t (Ox t δy s r t (Oy s t s st té δt φ n i,j st r t φ η (nδt,.5 + iδx,jδy t qi,j n st r t q η(nδt,.5 + iδx,jδy rs s rét sé t r t à t èr s t r t I t q.5+i δx = L =.4 q n+ I +,j qn+ I,j φ n+ I δx,j ( e = Λ φn I,j φ n I,j. t ê x = L tt é r s t t r s r t r tr rs t q à q s t s s r s r q t t tr t ét P st très s q q s t η > é s r rq r q st r é é t η q st s s r tr rr s t à rés t r è s s ét P P r é t r s r è s r és à s ré t t s s s rés r r è é r r ét t q s t êtr s r q t t s t èq P str t ré t r t s t ét tér t rr t êtr é t t r r s s ts ér q s P r t st r s s s r t ù t r r t sq t st à r l = r q st r rés té s r s s r r étés é tré s s s s s t r s à L =.4 s t t ré s st s t ( t φ η (t,x,y = η cos(πycos(.5πx ln(.5t +Λ. π πcos(πy

P P conditionnem ent 9 8 7 6 5 4 3 9 8 Conditionnem ent vs eta (dx= dy=.5, dt=. Avec m éthode AP (phi et q Sans méthode AP 7-4 -3 - - - -9-8 -7-6 -5-4 -3 - - eta r t t r t rés st té r è η r sstè é r t q à q s t s r t s t r s δx = δy =.5 t δt =. r rq r q t r s r S ss é à s t t ré é η s st s s r q η èr é èr t r ét t é r q s s s t tr é s t r é r s é ér q st r rés té s r ét t rr r r L r r s r q s é ér q st r r s r q ét t tt P r r q η r rq r q é r ss φ approche η φ L ( st O(η t st r rr r s rét s t tt é r ss O(η st r r ss φ η s φ st t r t η = s éq t s tr s tr s s ét é r è é s t t t é tr q s s r t ss t tr ré sé s st à ét r rt t r è q rés st té r è s ét q η t rs t ss r r t t à t η s s éq t s r sstè sé ér q t é è s tr t r t t r é s tr s s éré s q η t s t ét s rés r t s t t q P r t é t r r è s s r ét é ét é s t s t

P P - Erreur L (phi_eta approx - phi_eta exact versus dx (= dy ; t= - Erreur L -3-4 -5-6 dt=. dt=. dt=. dt=. ordre -3 - - dx r φ approche η φ η L ( à t = t s δx = δy r ér ts s t s t η =. s t ré ér st é r éq t s rt t s rt t t r r è t q s t s t s é r s t r r s s s t q é s rés t ts t s r è é s t t t é tr q s r t tré q t st t φ η φ L (] L,L[ = O(η P r è s tr t t é tr q té é à rés st té r è st ê t r t r é t r s tés ér q s r t rés t r s s s t s t s tr ét rés r t s t t q été r sé à rt r é s t r r tr t r t r r è t q é r s tr r è s s é r èr q t φ t s st r s r t q r è t t st sé q s s s r s s ss t st t φ η φ r r L (,T,L ( s s r r L ( T s t sts ér q s t r s ér r q tr ss é sstè é r à rs r ssè t t r é é t η s ss s ér q s é s t r ts t été ré sés è s tr rr s t t s P s t é r q ét é s t r sé rr t r t tr tér rs

P P phi eta approche vs x,y (dx=dy=.35, dt=., eta=., t=.5.4.8.3.6. y..4.9..8 -.5 -.4 -.3 -. -....3.4 x q eta approche vs x,y (dx=dy=.35, dt=., eta=., t=.7..8.5.6 y.4. -.5 -.5 -.4 -.3 -. -....3.4 x -. r r t φ η t q η r δx = δy =.35 dt =. t η =. s t ré ér st é r r q s 3 s x.4 t x.4 rr s t t r t s rs φ η s tt 3 t s s s s q

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