d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n 1
|
|
|
- Τιμοθέα Αλεξανδρίδης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n1
2 x dx = 1 2 b2 1 2 a2 a b b x 2 dx = 1 a 3 b3 1 3 a3 b x n dx = 1 a n +1 bn +1 1 n +1 an +1
3 d dx d dx f (x) = 0 f (ax) = a f (ax) lim d dx f (ax) = lim 0 = = = lim 0 a lim 0 a lim (a )0 = af (ax) f (x + ) f (x) f (a(x + )) f (ax) f (ax + a) f (ax) f (ax + a) f (ax) a f (ax + a) f (ax) a
4 d dx (2x)3 = 2 3 (2x) 2 = 24x 2 d dx (1 + 2x)3 = 2 3 (1+ 2x) 2 = 6(1+2x) 2
5 360 o = 2 rad 180 o = rad 60 o = 3 rad
6 sin(x) cos(x) sin 2 (x) + cos 2 (x) =1 sin( 6 ) = 1 2 cos( 4 ) = 1 2 sin( 4 3 ) = sin( ) = sin( 1 3 ) = 3 2
7 y = ax + bx y 1 y = cx + dx y = a c b x 1 d x 2 A = a c b d y 1 y 2 = A x 1 x 2
8 A = a b c d y 1 y 2 = A x 1 x 2 x 1 x 2 = B y 1 y 2 B = u 11 u 12 = u 21 u 22 u 11 = u 12 = d ad bc b ad bc 1 ad bc u 22 = u 21 = d c b a a ad bc c ad bc
9 A = a c b d dy 1 = adx 1 + bdx 2 by 2 = bcx 1 + bdx 2 y 1 y 2 = A x 1 x 2 dy 1 by 2 = adx 1 bcx 1 d x 1 = ad bc y + b 1 ad bc y 2 y 1 = ax 1 + bx 2 y 2 = cx 1 + dx 2 cy 1 = acx 1 + bcx 2 ay 2 = acx 1 + adx 2 ay 2 cy 1 = adx 2 bcx 2 c x 2 = ad bc y + a 1 ad bc y 2
10
11
12 34000 = 5X + 3Y = 6X + 4Y = 5 3 X Y 4 3 X = Y = = =
13 A = a 11 a 12 a 21 a 22 B = b 11 b 12 b 21 b 22 y 1 = A x 1 y 2 z 1 z 2 x 2 = B y 1 y 2 z 1 z 2 = BA x 1 x 2 BA = b 11a 11 + b 12 a 21 b 11 a 12 + b 12 a 22 b 21 a 11 + b 22 a 21 b 21 a 12 + b 22 a 22
14 y 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 y 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 z 1 = b 11 y 1 + b 12 y 2 z 2 = b 21 y 1 + b 22 y 2 z 1 = b 11 (a 11 x 1 + a 12 x 2 ) + b 12 (a 21 x 1 + a 22 x 2 ) z 2 = b 21 (a 11 x 1 + a 12 x 2 ) + b 22 (a 21 x 1 + a 22 x 2 ) z 1 = (b 11 a 11 + b 12 a 21 )x 1 + (b 11 a 12 + b 12 a 22 )x 2 z 2 = (b 21 a 11 + b 22 a 21 )x 1 + (b 21 a 12 + b 22 a 22 )x 2 z 1 z 2 = b 11 a 11 + b 12 a b a + b a 21 x b a + b a b a + b a x 2
15
16
17 X 1 X 2 Y 1 Y 2 Z 1 Z 2 Z 1 Z 2 Y 1 Y 2 Z 1 Z 2 = 5 3 X X 2 = 2 4 Y = X X 2 Y = X = X X 2 X 2
18
19 V 0 0 f 0 V 0 = f 0 0 V 2 V 1
20 (V 0 V 1 )T f 0 T = V 0 V 1 f 0 f '= V 0 = V 0 f V V 0 0 1
21 T (V 0 + V 2 )T 0 = V 0 T 0 V 0 + V 2 V 0 f = V 0 + V 2 V 0 f 0
22 f = V + V 0 2 f V V 0 0 1
23 V 0 = 340m / s V 1 =± m / s = ±68.70km / h V 2 = f = ± 340 m f 0 f = f + 0 f = f =1.0595
24 v =1 [m / s] x [m] t [s]
25 x [m] 0s 2s v = s 3s v = s 5s v = [m / s] = 2 [m / s] [m / s] = -2 [m / s] [m / s] =1.5 [m / s] t [s]
26 x [m] 0s 1s v = s 2s v = s 3s v = s 4s v = s 5s v = [m / s] = 2 [m / s] [m / s] = 2 [m / s] [m / s] = -2 [m / s] [m / s] =1.5 [m / s] [m / s] =1.5 [m / s] t [s]
27 1s2s x [m] v = [m / s] = 3 [m / s] t[s](t+ )[s] v = t [s] x(t + ) x(t) [m / s] = (t + ) t t v(t) = x(t + ) x(x) lim 0 = dx dt v(t) = dx dt x(t + ) x(t) [m / s]
28 x(t) = a + a t + a t 2 + a t v(t) = d dt x(t) = a + 2a t + 3a t
29 d dx F(x) = f (x) F(x)f(x) f (x) dx = F(b) F(a) a b d dt x(t) = v(t) t 2 v(t) dt = x(t ) x(t ) 2 1 t 1
30 t=0x=0 t v(t) = b 0 + b 1 t + b 2 t 2 t t x(t) = x(0) + (b + b t + b t 2 ) dt = b 0 t b 1t b 2t 3
31
32 d dt v(t)
33 a(t) = d dt v(t) v(t) = d dt x(t) a(t) = d dt d dt x(t) = d2 dt 2 x(t)
34 v(t) = c 0 + c 1 t + c 2 t 2 + c 3 t 3 a(t) = d dt v(t) = c + 2c t + 3c t x(t) = b 0 + b 1 t + b 2 t 2 + b 3 t 3 + b 4 t 4 v(t) = b 1 + 2b 2 t + 3b 3 t 2 + 4b 4 t 3 a(t) = 2b 2 + 6b 3 t +12b 4 t 2
35 a(t) = d dt v(t) t 2 a(t) dt = v(t ) v(t ) 2 1 t 1 v(t) = v(t 1 ) + t t 1 a(t) dt
36 t=0x=0 t=0 a(t) = b 0 + b 1 t + b 2 t 2 t v(t) = v 0 + (b 0 + b 1 t + b 2 t 2 ) dt 0 = v 0 + b 0 t b 1 t b 2 t 3 x(t) = v 0 t b 0 t b 1 t b 2 t 4 = v 0 t b 0t b 1t b 2t 4
37 m
38 m F
39 m 1 m 1 F
40
41 m 1 = 1 2 m m F
42
43 mv p = mv
44
45 p = mv d dt p = F
46
47 F = d dt p t 2 F(t) dt = p(t 2 ) p(t 1 ) t 1 v(t 2 ) = m(t 1 ) m(t 2 ) v(t 1 ) + 1 m(t 2 ) t 2 F(t) dt t 1
48 p = mv d dt p = F m d dt v(t) = F ma(t) = F a(t) = 1 m F
49 t=0x=0 t=0 F(t) = c 0 + c 1 t v(t) = 1 m (c 0t c 1t 2 ) x(t) = 1 m (1 2 c 0t c 1t 3 )
50
51
52 m T
53
54 n u(t,n 1) u(t,n + 1) u(t,n) C m d2 dt 2 u(t,n) = T sin( n ) T sin( n1 )
55 x y sin() = y x 2 + y 2 = 1 1+ y x 2 y x y x y x << 1
56 m d2 dt 2 u(t,n) = T sin( n ) T sin( n1 ) u(t,n + 1) u(t,n) = T T C u(t,n + 1) u(t,n) = T T C u(t, x + C) u(t, x) = T C (x = nc) u(t,n) u(t,n 1) C u(t,n) u(t,n 1) C u(t, x) u(t,x C) C
57 t u(t,x) = u(t, x) = x Lim 0 Lim 0 u(t +,x) u(t, x) u(t,x + ) u(t, x) f (x,y) = c 1 x + c 2 x 2 + c 3 xy 3 x f (x, y) = c 1 + 2c 2 x + c 3 y 3 y f (x, y) = 3c xy 2 3
58 C 0 m 2 u(t, x) 2 t u(t, x + C) u(t,x) = TLim C C 0 = T x = TC u(t, x) x Lim 1 C 0 C = TC 2 u(t, x) 2 x x u(t,x C) u(t, x) x u(t, x) u(t, x C) C u(t, x C)
59 m 2 2 u(t, x) = TC u(t, x) t 2 x t 2 u(t,x) = T 1 u(t, x) x t 2 u(t,x) = T u(t, x) x 2 = m C
60 2 t 2 u(t, x) = v 2 2 x 2 u(t,x)
61 d dx d dx sin(x) = cos(x) cos(x) = sin(x) u(t, x) = sin(k(x vt)) u(t,x) = kv cos(k(x vt)) t 2 t u(t, x) = 2 (kv)2 sin(k(x vt)) u(t, x) = k cos(k(x vt)) x 2 x u(t,x) = 2 (k)2 sin(k(x vt)) 2 t u(t, x) = v x u(t,x) 2
62 sin(k(x vt)) t = 0 x vt t 0 x sin(k(x v vt))
63 sin(k(x vt)) = sin(kx vkt) = sin(kx t) k = 2 = 2 f f
64 2f = sin(k(x vt)) = sin(kx vkt) = sin(kx t) k = 2 = 2 f = vk v = f
65 2 t u(t,x) = T 2 2 x u(t,x) 2 = m C v =± T sin(k(x v vt)) sin(k(x + vt)) v
66 2 t 2 u 1(t,x) = v x 2 u 1(t,x) t u 2 2(t,x) = v 2 2 x u 2(t,x) 2 u 3 (t,x) = a 1 u 1 (t,x) + a 2 u 2 (t,x) 2 t 2 u 3(t,x) = a 1 2 = a 1 v 2 2 = v 2 (a 1 2 t 2 u 1(t, x) + a 2 2 x 2 u 1(t,x) + a 2 v 2 2 x 2 u 1(t, x) + a 2 2 x 2 u 2(t,x) x 2 u 2(t,x)) t 2 u 2(t,x) 2 x 2 u 3(t, x) = a 1 2 x 2 u 1(t,x) + a 2 2 x 2 u 2(t,x)
67 2 t u (t, x) = v x u t u (t, x) = v x u 2 2 (t, x) (t, x) u 3 (t, x) = a 1 u 1 (t, x) + a 2 u 2 (t, x) 2 t u (t, x) = v x u 2 3 (t, x)
68 L x = L 2 x = L 2
69 u(t, L 2 ) = 0 u(t, L 2 ) = 0 u(t,x) = a 1 sin(kx t) + a 2 sin(kx + t) u(t, L 2 ) = a 1 sin( L 2 k t) + a 2 sin( L 2 k + t) = 0 u(t, L 2 ) = a 1 sin( L 2 k t) + a 2 sin( L 2 k + t) = 0
70 sin(x 1 + x 2 ) = sin x 1 cos x 2 + cos x 1 sin x 2 cos(x 1 + x 2 ) = sin x 1 sin x 2 cos x 1 cos x 2
71 0 = a 1 sin( L 2 k t) + a 2 sin( L k + t) 2 = a 1 sin( L 2 k)cos t a cos(l 1 2 k)sint a 2 sin( L 2 k)cos t + a 2 cos( L 2 k)sint 0 = a 1 sin( L 2 k t) + a 2 sin( L k + t) 2 = a 1 sin( L 2 k)cos t a 1 cos( L 2 k)sint A + B 2 (a 2 a 1 )cos( Lk 2 )sint = 0 B-A 2 (a 2 + a 1 )sin( Lk 2 )cost = 0 + a 2 sin( L 2 k)cos t + a 2 cos( L 2 k)sint
72 (a 2 a 1 )cos( Lk 2 ) = 0 (a 2 + a 1 )sin( Lk 2 ) = 0 (a 2 a 1 ) 0 cos( Lk 2 ) = 0 sin(lk 2 ) 0 (a 2 + a 1 ) = 0 cos( Lk 2 ) 0 (a 2 a 1 ) = 0 (a 2 + a 1 ) 0 sin(lk 2 ) = 0
73 cos( Lk 2 ) = 0 and (a + a ) = OR sin( Lk 2 ) = 0 and (a a ) = 0 2 1
74 (a 2 + a 1 ) = 0 u(t, x) =a 1 (sin(kx t) sin(kx + t)) = 2a 1 coskx sint (a 2 a 1 ) = 0 u(t, x) =a 1 (sin(kx t) + sin(kx + t)) = 2a 1 sin kx cost cos( kl 2 ) = 0 kl 2 = 1 2, 3 2, 5 2 k = L, 3 L, 5 L, 7 L sin( kl 2 ) = 0 kl 2 =, 2, 3 k = 2 L, 4 L, 6 L, 8 L
75 = vk f = 2 = 1 2 (n = 1, 2, 3, 4, L) T k = 1 2L T n
76 L = 1 2 f T
77 f 1 = 1 2L f 2 = 1 2L f 2 f 1 = T 2 T 1 T 1 T 2 f 2 f 1 = 1.1 T 2 T 1 = 1.21
78
79
80 E r = 0 B r = 0 E r = t r B r B = μ 0 0 t r E r E r B 0 μ 0
81 r r r F = QE E Q r A = (A x, A y, A z ) r A = x A x + y A y + z A z r A = ( y A z z A y, z A x x A z, x A y y A x ) U = ( x U, y U, z U)
82 0 = 107 4c 2 [C2 /Nm 2 ] = [C 2 /Nm 2 ] μ 0 = [N / A 2 ] = [N / A 2 ] c = [m / s]
83 ( r A ) = ( r A ) 2 r A 2 r A = ( 2 x 2 A x + 2 y 2 A x + 2 z 2 A x, 2 x 2 A + 2 y y 2 A + 2 y z 2 A y, 2 x 2 A + 2 z y 2 A + 2 z z 2 A z)
84 E r = 0 B r = 0 E r = t r B r B = μ 0 0 t r E ( r E ) = t r B r B = μ 0 0 t r E
85 ( r E ) = ( r E ) 2 r E = μ r E = μ r E = μ t 2 t 2 r E r E t 2 r E
86 r E = (0, E (x),0) y y E y = 0 z E z = 0 2 x 2 E y = μ t 2 E y = 1 2 μ 0 0 t 2 E y x 2 E y 2 t 2 E y = c 2 2 x 2 E y
87
88 D
89 X X D D
90 X X = n D n = 1,2,3,4L X = Dsin sin = D n
91 = 532 nm = m = 650 nm = m
92 D = 0.02 mm = m = m, D = n =1 sin = = rad = o n=2 sin = = rad = o = m, D = n =1 sin = = rad = o n=2 sin = = rad = o
93
94
95
96
97 V = [m / s] = [km / h]
98 L L
99 T 2 = (VT 1 ) 2 + L 2 = (ct 1 ) 2 T 1 = 2L L c + V + c 2 V 2 L c V = 2cL c 2 V 2 T 2 T 1 = 2cL c 2 V 2 = 2L c 2 V 2 2L c 2 V ( ( V c )2 1) = 2L c 1 ( V c )2 1 1 ( V 1 c )2
100
101 V = 0
102 c = [m / s]
103
104 t x t v x
105 t = t t x t = 0 t x
106 t 0 t x = x vt t = t x t v x vt
107 x = x vt x = 1 v t 0 1 x t
108 t=0 xm xm x = t x = x 5t 0 = t 5t 4.9t = 9.8 t = 2 x = 0
109 x = 1 v 1 t 0 1 x t x = 1 v 2 x t 0 1 t x = 1 v 2 1 v 1 t x t = 11 v 0 1 (-v ) v (-v 1 ) +11 x t = 1 (v + v ) 1 2 x 0 1 t
110 v 1 + c c c + v 2 c
111 x 2 + y 2 + z 2 = (ct) 2 ( x ) 2 + ( y ) 2 + ( z ) 2 = (ct ) 2 y = y z = z x t = u u 11 x 12 u u t
112 y = y z = z x = u 11 u 12 x t u 21 u 22 t x = 0 d dt x = v 0 = u 11 x + u 12 t u 12 u 11 = v x = u 12 u 11 t x v x
113 x = u 11 u 12 x t u 21 u 22 t x = 0 d dt x = u 12 t t = u 22 t x = v u 12 u 22 = v u 22 = u 11 x = u 12 u 22 t x v x
114 x = u 11 vu 11 t u 21 u 11 x t x 2 + y 2 + z 2 = (ct) 2 ( x ) 2 + ( y ) 2 + ( z ) 2 = (ct ) 2 ( x ) 2 + ( y ) 2 + ( z ) 2 = (ct ) 2 (u 11 x vu 11 t) 2 + y 2 + z 2 = c 2 (u 21 x + u 11 t) 2 u 2 11 x 2 2vu 2 11 xt + v 2 u 2 11 t 2 + y 2 + z 2 = c 2 u 2 21 x 2 + 2c 2 u 21 u 11 xt + c 2 u 2 11 t 2 (u 2 11 c 2 u 2 21 )x 2 + y 2 + z 2 2(vu c 2 u 21 u 11 )xt = (c 2 u 2 11 v 2 u 2 11 )t 2 (u 2 11 c 2 u 2 21 ) = 1 (1) (c 2 u 2 11 v 2 u 2 11 ) = c 2 (2) (vu c 2 u 21 u 11 ) = 0 (3)
115 (2) u 11 = c c 2 v = ( v c )2 (3) u 21 = v c 2 u 11 = ( v c ) c 1 ( v c )2
116 x t = 1 1 ( v c )2 v 1 ( v c )2 ( v c ) c 1 ( v c )2 1 1 ( v c )2 x t x c t = 1 1 ( v c )2 ( v c ) 1 ( v c )2 ( v c ) 1 ( v c )2 1 1 ( v c )2 x ct x w = x w w = ct w = c t = v c = 1 1 2
117 w = ct w = ct = v c = x w = x w x v x
118 1 = v 1 c, 2 = v 2 c 1 1 = 1, 2 2 = x = x w w x x = w w x = w x w = 1 2 ( ) ( ) 1 2 ( ) ( ) x w
119 = ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 (1 + = 1 2 ) ( ) 2 ( ) 2 (1 + = 1 2 ) (1+ = 1 2 ) (1 + = 1 2 ) (1 2 1 )(1 2 2 ) = 1 2 ( )
120 x = 1 2 ( ) ( ) 1 2 w ( ) ( ) x w = x w = = 1 2 = v c v = c v = v 1 + v 2 1+ v 1v 2 c 2
121 v 2 = c v = v + c 1 1+ v 1 c = c 2 v = c v 1 + c 1+ v 1 c = c
122 v v = v + v v = 1 v 2 c 2 = 1.2c 1.35 = c = 8 9 c 0.7c + 0.5c
123 w = ct w = ct = v c = x w = x w
124 w = ct w = ct = v c = x w = x w x v x
125 w = ct w = ct = v c = x w = x w x L 0 ( x, t ) L 0 v x
126 x x = L x = x 1 x = x 2 ( x, t ) L 0 v x
127 x (x,t) x = x 1 x = x 2 t = t 0 x 2 x 1 = L
128 x = x 1 x = x 2 t = t 0 x = w x w t 1 = c x 1 + t 0 t 2 = c x 2 + t 0 x 2 x 1 t 2 t 1
129 x = w x w x = x 1 x = x 2 t = t 0 x = x c t x = x c t x x = (x x ) L < L 0 L = 1 2 L 0 L 0 = L
130 x = v c = 0.8 L = = = = 0.6
131 x = v c = = = 0.6 L = = 3.0 x = x 0
132 x
133 v = 0.5c v = 0.5c 0.5c 0.5c v = = c = 0.8c L 0 = 5 5 L 0 = 0.75 = 10 3 m 1 2 = = 0.6 L = = 2 3 m (= m)
134 L = = = m
135 x = x 0 t t x t v x
136 A = a b c d y 1 y 2 = A x 1 x 2 x 1 x 2 = B y 1 y 2 B = u 11 u 12 = u 21 u 22 u 11 = u 12 = d ad bc b ad bc 1 ad bc u 22 = u 21 = d c b a a ad bc c ad bc
137 w = ct w = ct = v c = x = w x w = 2 (1 2 ) =1 x = w x w
138 x = x 0 t t x t v x x = x + ct 0 ct = x 0 + c t
139 x = x + ct 0 ct = x + ct 0 ct 1 = x 0 + c t 1 ct 2 = x 0 + c t 2 t 2 t 1 = ( t 2 t 1 ) w = ct w = ct t = t = v c = t = t t t = t t 2 1
140 t = t > t 1 t 1 2 x = vt
141 t = t = t = 500 s 1 t 1 v 2 c 1 t = t = 5 3 t
142 (X 1, Y 1, Z 1 ), (X 2, Y 2, Z 2 ), (X 3, Y 3, Z 3 ), (X 4, Y 4, Z 4 ) T 1, T 2, T 3, T 4 (x,y,z) t t
143 [c(t + t T 1 )] 2 = (X 1 x) 2 + (Y 1 y) 2 + (Z 1 z) 2 [c(t + t T 2 )] 2 = (X 2 x) 2 + (Y 2 y) 2 + (Z 2 z) 2 [c(t + t T 3 )] 2 = (X 3 x) 2 + (Y 3 y) 2 + (Z 3 z) 2 [c(t + t T 4 )] 2 = (X 4 x) 2 + (Y 4 y) 2 + (Z 4 z) 2 T 1, T 2, T 3, T 4 t T 1, t T 2, t T 3, t T 4
144 L T = 2L c x T L L = 2 L 2 + Tv 2 T = L c 2 Tv x
145 L = 2 L 2 + Tv 2 2 T = L c T = 2L c ct = 2 L 2 + Tv 2 c 2 T 2 = 4(L 2 + Tv 2 (c 2 v 2 )T 2 = 4L 2 T = 2 2 ) 2L c 2 v = 2L 2 c 1 v c 2 T = T = 1 1 v c T T
146 c = [m / s] sin(kx t) = sin( 2 x 2 f t) = sin( 2 c f (x ct)) sin( 2 c f (x + ct))
147 sin( 2 c f (x ct)) sin( 2 c f (x + ct)) v v
148 sin( 2 c f 0( x c t )) sin( 2 c f (x ct)) sin( 2 c f 0 ( x c t )) x = ct x ct = sin( 2 c f ((x ct) (x + ct))) 0 = sin( 2 c f (( + )x ( + )ct)) 0 = sin( 2 c f 0(1 + )(x ct)) f = (1+ ) f 0
149 f = (1 + ) f 0 = f 0 = (1+ ) 2 (1 )(1 + ) f 0 = f 0
150 sin( 2 c f 0( x + c t )) sin( 2 c f 0( x + c t )) sin( 2 c x = ct f (x + ct)) x ct = sin( 2 c f 0((x ct) + (x + ct))) = sin( 2 c f 0(( )x ( )ct)) = sin( 2 c f 0(1 )(x + ct)) f = (1 ) f 0
151 f = (1 ) f 0 = = = 1 f (1 ) 2 (1 )(1+ ) f f 0
152 > 0 < 0 f = f 0 f = V 0 + V 2 V 0 V 1 f 0 = 1+ (V 2 /V 0 ) 1 (V 1 /V 0 ) f 0
153 10 THz = Hz = 0.5 f = 1+ 1 f 0 = f 0 = 3 f 0 = Hz
154 f 0 v f 2 f 1
155 f 1 = 1+ 1 f 0 f 2 = f 1 = 1+ 1 f 0
156 if R < 1 S = 1 1 R = 1 + R + R2 + R 3 +
157 f 2 = 1+ 1 f 0 = (1+ )( ) f 0 = ( ) f 0 f 2 f 0 = 2( ) f 0 if << 1 f 2 f 0 = 2 f 0
158 v =100 km / h = m / s f 0 =10GHz =10 10 Hz c = m/s = v c = f 2 f 0 = f = 2 f 0 = Hz =1.853KHz
159 y x
160 ( y y 0 )sin + ( x x 0 )cos = 0 y 0 = x 0 = D sin D cos D y ( y y sin + D = D sin )sin + ( x y sin + x cos = x cos D cos )cos = 0 D sin 2 + D cos 2 y = sin cos x x
161 sin( 2 c f 0( D + ct )) = sin( 2 c f 0( x cos + y sin + c t )) y x
162 y sin( 2 c f ( 0 x cos + y sin + c t )) x y sin( 2 c f (x cos + y sin + ct)) x
163 x = x ct ct = x + ct sin( 2 c f ( 0 x cos + y sin + c t )) = sin( 2 c f 0 ((x ct)cos + y sin + (x + ct))) = sin( 2 c f 0(( cos )x + y sin + ( cos + )ct)) = sin( 2 c f 0 ((cos )x + y sin + ( cos + 1)ct)) = sin( 2 c f cos 0(1 cos )( 1 cos x + sin (1 cos ) y + ct))
164 sin( 2 c f 0( x cos + y sin + ct )) = sin( 2 c f cos 0(1 cos )( 1 cos x + sin( 2 c f (x cos + y sin + ct)) sin (1 cos ) y + ct)) f = (1 cos ) f 0 cos cos = 1 cos sin = sin (1 cos ) cos 2 + sin 2 cos = 1 cos = (cos )2 + (1 2 )sin 2 (1 cos ) 2 2 sin + (1 cos ) = cos2 2 cos sin 2 2 sin 2 (1 cos ) 2 = 1 2 cos sin 2 = 1 (1 cos ) 2 2
165 cos = cos 1 cos sin = sin (1 cos ) =0.99 =0.9 =0.8 =0.5 =0.2 =0
166 cos = cos 1 cos if = 2 = 90 cos = 0 cos = = v c = 2 sin = v c
167 V 0 tan = v V 0 v
168 f = (1 cos ) f 0 cos = cos 1 cos if = 2 cos = 0 cos = 0 f = (1 2 ) f 0 = 1 2 f 0
169 y f = 1 2 f 0 x
170 d dt P = F p = m 0 v t t 0 dt 2 d P = t dt F dt t p(t) p(t ) = dt F 0 2 t t 0
171 F t p(t) p(t ) = dt F = (t t )F t 0 m 0 p = m 0 v v(t) v(t 0 ) = v = t t 0 m 0 F v(t) = v(t 0 ) + v
172 v = v + v v 1 v 2 c 2 p(t) p(t 0 ) = p = t F v = tf m 0 v(t) < v(t 0 ) + v
173
174 v ( t ) = 0 0 x x t = t t 0 v = v ( t ) v ( t 0 ) p = m 0 v = t F
175 p = m 0 v = t F v(t 0 ) = v p = tf t = p = t 1 2 t F = m 0 v p = (m + m)(v + v) mv = vm + mv
176 v = 1+ v + v v v c 2 = (v + v )(1 = v v 2 c 2 = (1 2 ) v v v v c 2 + v + v v v c 2 v v c ) v v v v c 2 v = v
177 vm + mv = m (1 2 ) (3/2) v 0 m = v v m 0 (1 2 ) (3/2) (1 m (1 2 ) (3/2) ) m 0 m v = 1 v m 0(1 2 ) (3/2) (1 m (1 2 ) (3/2) ) m 0 0 dm dv = 1 v m 0(1 2 ) (3/2) (1 m (1 2 ) (3/2) ) m 0
178 dm dv = 1 v m 0 (1 2 ) (3/2) (1 m m 0 (1 2 ) (3/2) ) if m = m = m 0 1 (v / c) 2 d dv m = 1 2 m 0 (1 (v / c)2 ) (3/2) (2 v c 2 ) = 1 v m 0(1 (v / c) 2 ) (3/2) 2 (1 m m 0 (1 2 ) (3/2) ) = 1 (1 2 ) = 2
179 = v c m = m 0 1 2
180 p = mv = m v m = m m 0
181 m = m 0 = = = 100kg
182 F x E = Fx d dt E = F d dt x = Fv
183 u 1 = v 1 2 c u = u 2 u 2 = v 2 c = c 2 ( v 2 c 1 v c 1) 2 = c 2
184 u 1 2 u 2 2 = c 2 d dt (u 2 u 2 ) = u 1 ( d dt u 1 ) 2u 2 ( d dt u 2 ) = 0
185 2u 1 ( d dt u 1 ) 2u 2 ( d dt u 2 ) = 0 v 1 2 d dt m 0 v d 1 2 dt m 0 c = 0 v d dt p d dt m 0 c = 0
186 d dt p = F d dt m c 2 = vf = d dt E
187 E = mc 2 m = m m 0 m 0 c 2
188 E = mc 2 = 2m 0 c 2 = m 0 c 2 m c = = 0.75 = v c = 3 2
189 E k = E m 0 c 2 = m 0 c 2 ( 1 1) 1 2
190 1 1 x = x x 2 + x << x = x
191 E k = E m 0 c 2 = m 0 c 2 ( 1 1) 1 2 = m 0 c 2 ( 1 2 v 2 c v 4 c 4 +) = 1 2 m 0v m 0 v 4 c 2 +
192 if v c << 1 E k = m 0 c 2 ( 1 1) 1 2 = 1 2 m 0v 2
193 E = mc 2 E 2 = m 2 c = m 2 c 4 (1 2 ) + m 2 c 2 v = m 0 2 c 4 + c 2 m v 2 E = m 0 2 c 4 + c 2 p 2
194
195
196
197
198
199
200
201 I( f,t) = 2hf 3 h = [J Hz -1 ] c 2 1 e hf /kt 1
202 E = hf n (n = 1,2,3,4,) h = [J Hz -1 ]
203
204
205 kg e e = C kg e
206
207
208
209 h = [J Hz -1 ] hf
210
211
212
213
214
215
216 Hz Hz
217 E = hf n (n = 1,2,3,4,) h = [J Hz -1 ]
218
219 E = hf h = [J Hz -1 ]
220 n X [W] f [Hz] X = nhf h = [J Hz -1 ]
221 n (1 / n) [s]
222 (1 / n) [s]
223
224
225 h = [J Hz -1 ] hf
226 hf h = [J Hz -1 ]
227 c = [m / s] h = [J Hz -1 ] f = c = = Hz E = hf = J
228 E = hf = J 1mW =110-3 [J / s] N[1/ s] = [1/ s] =
L A TEX 2ε. mathematica 5.2
Διδασκων: Τσαπογας Γεωργιος Διαφορικη Γεωμετρια Προχειρες Σημειωσεις Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών Σάμος Εαρινό Εξάμηνο 2005 στοιχεοθεσια : Ξενιτιδης Κλεανθης L A TEX 2ε σχεδια : Dia mathematica
!"#$ % &# &%#'()(! $ * +
,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))
Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης
Γραφικά & Οπτικοποίηση Κεφάλαιο 4 Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Εισαγωγή Στα γραφικά υπάρχουν: 3Δ μοντέλα 2Δ συσκευές επισκόπησης (οθόνες & εκτυπωτές) Προοπτική απεικόνιση (προβολή): Λαμβάνει
Leaving Certificate Applied Maths Higher Level Answers
0 Leavin Certificate Applied Maths Hiher Level Answers ) (a) (b) (i) r (ii) d (iii) m ) (a) 0 m s - 9 N of E ) (b) (i) km h - 0 S of E (ii) (iii) 90 km ) (a) (i) 0 6 (ii) h 0h s s ) (a) (i) 8 m N (ii)
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. Απειροστικός Λογισµός Ι. ιδάσκων : Α. Μουχτάρης. Απειροστικός Λογισµός Ι - 3η Σειρά Ασκήσεων
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Απειροστικός Λογισµός Ι ιδάσκων : Α. Μουχτάρης Απειροστικός Λογισµός Ι - η Σειρά Ασκήσεων Ασκηση.. Ανάπτυξη σε µερικά κλάσµατα Αφου ο ϐαθµός του αριθµητή
x(t) = (x 1 (t), x 1 (t),..., x n (t)) R n R [a, b] t 1:1 c 2 : x(t) = (x(t), y(t)) = (cos t, sin t), t 0, π ]
![x(t) = (x 1 (t), x 1 (t),..., x n (t)) R n R [a, b] t 1:1 c 2 : x(t) = (x(t), y(t)) = (cos t, sin t), t 0, π ]](/thumbs/28/13017068.jpg "x(t) = (x 1 (t), x 1 (t),..., x n (t)) R n R [a, b] t 1:1 c 2 : x(t) = (x(t), y(t)) = (cos t, sin t), t 0, π ]")
συνεχές τόξο (arc) - τροχιά R [a, b] t 1:1 επί x(t) = (x 1 (t), x 1 (t),..., x n (t)) R n x i (t), i = 1, 2,..., n συνεχείς συναρτήσεις, π.χ c 1 : x(t) = (x(t), y(t)) = (1 t, 1 t), t [0, 1] [ c 2 : x(t)
(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x
![(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x](/thumbs/62/47493101.jpg "(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x")
ΕΥΓΕΝΙΑ Ν. ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΥ ΕΠΙΚ. ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ» ΠΑΤΡΑ 2015 1 Ασκήσεις 1η ομάδα ασκήσεων 1. Να χαρακτηρισθούν πλήρως
y(t) S x(t) S dy dx E, E E T1 T2 T1 T2 1 T 1 T 2 2 T 2 1 T 2 2 3 T 3 1 T 3 2... V o R R R T V CC P F A P g h V ext V sin 2 S f S t V 1 V 2 V out sin 2 f S t x 1 F k q K x q K k F d F x d V
Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός
Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.6: Τριγωνομετρικά Ολοκληρώματα Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Γ.6:
ψ (x) = e γ x A 3 x < a b / 2 A 2 cos(kx) B 2 b / 2 < x < b / 2 sin(kx) cosh(γ x) A 1 sin(kx) a b / 2 < x < b / 2 cos(kx) + B 2 e γ x x > a + b / 2
Σπουδές στις Φυσικές Επιστήµες ΦΥΕ 40 Κβαντική Φυσική 014-015 ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Υπόδειξη λύσεων ΑΣΚΗΣΗ 1 Η άρτια κυµατοσυνάρτηση θα δίνεται από (x) = A 3 e γ x x < a b / A cos(kx) B sin(kx) a b / < x < b / A
Answers to practice exercises
Answers to practice exercises Chapter Exercise (Page 5). 9 kg 2. 479 mm. 66 4. 565 5. 225 6. 26 7. 07,70 8. 4 9. 487 0. 70872. $5, Exercise 2 (Page 6). (a) 468 (b) 868 2. (a) 827 (b) 458. (a) 86 kg (b)
Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033
Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische
Review-2 and Practice problems. sin 2 (x) cos 2 (x)(sin(x)dx) (1 cos 2 (x)) cos 2 (x)(sin(x)dx) let u = cos(x), du = sin(x)dx. = (1 u 2 )u 2 ( du)
. Trigonometric Integrls. ( sin m (x cos n (x Cse-: m is odd let u cos(x Exmple: sin 3 (x cos (x Review- nd Prctice problems sin 3 (x cos (x Cse-: n is odd let u sin(x Exmple: cos 5 (x cos 5 (x sin (x
Ολοκλήρωση. Ολοκληρωτικός Λογισμός μιας μεταβλητής Ι
Ολοκλήρωση Ολοκληρωτικός Λογισμός μιας μεταβλητής Ι Το ζητούμενο Είδαμε μεθόδους υπολογισμού για το πώς μεταβάλλονται οι συναρτήσεις στιγμιαία. Αν αθροίσουμε αυτές τις στιγμιαίες μεταβολές θα έχουμε ένα
1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x. 3] x / y 4] none of these
![1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x. 3] x / y 4] none of these](/thumbs/52/30390275.jpg "1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x. 3] x / y 4] none of these")
1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x 3] x / y 4] none of these 1. If log x 2 y 2 = a, then x 2 + y 2 Solution : Take y /x = k y = k x dy/dx = k dy/dx = y / x Answer : 2] y / x
3 }t. (1) (f + g) = f + g, (f g) = f g. (f g) = f g + fg, ( f g ) = f g fg g 2. (2) [f(g(x))] = f (g(x)) g (x) (3) d. = nv dx.
![3 }t. (1) (f + g) = f + g, (f g) = f g. (f g) = f g + fg, ( f g ) = f g fg g 2. (2) [f(g(x))] = f (g(x)) g (x) (3) d. = nv dx.](/thumbs/40/20675264.jpg "3 }t. (1) (f + g) = f + g, (f g) = f g. (f g) = f g + fg, ( f g ) = f g fg g 2. (2) [f(g(x))] = f (g(x)) g (x) (3) d. = nv dx.")
3 }t! t : () (f + g) f + g, (f g) f g (f g) f g + fg, ( f g ) f g fg g () [f(g(x))] f (g(x)) g (x) [f(g(h(x)))] f (g(h(x))) g (h(x)) h (x) (3) d vn n dv nv (4) dy dy, w v u x íªƒb N úb5} : () (e x ) e
γ n ϑ n n ψ T 8 Q 6 j, k, m, n, p, r, r t, x, y f m (x) (f(x)) m / a/b (f g)(x) = f(g(x)) n f f n I J α β I = α + βj N, Z, Q ϕ Εὐκλείδης ὁ Ἀλεξανδρεύς Στοιχεῖα ἄκρος καὶ μέσος λόγος ὕδωρ αἰθήρ ϕ φ Φ τ
Fourier Analysis of Waves
Exercises for the Feynman Lectures on Physics by Richard Feynman, Et Al. Chapter 36 Fourier Analysis of Waves Detailed Work by James Pate Williams, Jr. BA, BS, MSwE, PhD From Exercises for the Feynman
iii) x + ye 2xy 2xy dy
ΕΚΠΑ - Τμήμα Μαθηματικών Διαφορικές Εξισώσεις Ι Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Παραδόσεις Ε. Κόττα-Αθανασιάδου Ασκήσεις (Είναι οι ασκήσεις που αφήνονται για «λύση στο σπίτι» στις παραδόσεις της διδάσκουσας.
Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα
x + = 0 N = {,, 3....}, Z Q, b, b N c, d c, d N + b = c, b = d. N = =. < > P n P (n) P () n = P (n) P (n + ) n n + P (n) n P (n) n P n P (n) P (m) P (n) n m P (n + ) P (n) n m P n P (n) P () P (), P (),...,
a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)
A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3
16 0 17 0 17 0 18 0 18 0 19 0 20 A A = A 1 î + A 2 ĵ + A 3ˆk A (x, y, z) r = xî + yĵ + zˆk A B A B B A = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 = A B θ θ A B = ˆn A B θ A B î ĵ ˆk = A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 W = F
ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Φυσική Γ Λυκείου ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ. Επιμέλεια: ΘΕΟΛΟΓΟΣ ΤΣΙΑΡΔΑΚΛΗΣ
ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Φυσική Γ Λυκείου Επιμέλεια: ΘΕΟΛΟΓΟΣ ΤΣΙΑΡΔΑΚΛΗΣ e-mail: info@iliaskos.gr www.iliaskos.gr - f= f= f t+ 0 ) max
ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΘΗΝΑ 996 Πρόλογος Οι σηµειώσεις αυτές γράφτηκαν για τους φοιτητές του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου και καλύπτουν πλήρως το µάθηµα των
ΙΑΦΑΝΕΙΕΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΜΙΧΑΗΛ ΒΕΛΓΑΚΗΣ, ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 007-8 ΙΑΦΑΝΕΙΕΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΜΙΧΑΗΛ ΒΕΛΓΑΚΗΣ, ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΓΧΕΙΡΙ ΙΑ: α) R. A. SERWAY, PHYSICS FOR SCIENTISTS & ENGINEERS,
Ενημέρωση. Η διδασκαλία του μαθήματος, όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή
Ενημέρωση Η διδασκαλία του μαθήματος, πολλά από τα σχήματα και όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή Φυσική» του Hugh Young των Εκδόσεων Παπαζήση, οι οποίες μας επέτρεψαν τη χρήση
r r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t
r t t r t ts r3 s r r t r r t t r t P s r t r P s r s r P s r 1 s r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r 2s s r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r t r 3 s3 Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t r r r rs
ΣΥΝΟΨΗ 1 ου Μαθήματος
Ενημέρωση Η διδασκαλία του μαθήματος, πολλά από τα σχήματα και όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή Φυσική» του Hugh Young των Εκδόσεων Παπαζήση, οι οποίες μας επέτρεψαν τη χρήση
Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )
Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι
Επίλυση Δ.Ε. με Laplace
Επίλυση Δ.Ε. με Laplace Ν. Παπαδάκης 24 Οκτωβρίου 2015 Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 1 / 78 Περιεχόμενα 1 Παρουσίαση Προβλήματος Επίλυση διαϕορικής εξίσωσης Ορισμός Άλλες μορϕή
Molekulare Ebene (biochemische Messungen) Zelluläre Ebene (Elektrophysiologie, Imaging-Verfahren) Netzwerk Ebene (Multielektrodensysteme) Areale (MRT, EEG...) Gene Neuronen Synaptische Kopplung kleine
a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)
Ενότητα 8: Συναρτησιακά καμπύλων οι οποίες υπόκεινται σε δεσμούς. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 8: Συναρτησιακά καμπύλων οι οποίες υπόκεινται σε δεσμούς Νίκος Καραμπετάκης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2
F (x) = kx x k F = F (x) U(0) U(x) = x F = kx 0 F (x )dx U(x) = U(0) + 1 2 kx2 x U(0) = 0 U(x) = 1 2 kx2 U(x) x 0 = 0 x 1 U(x) U(0) + U (0) x + 1 2 U (0) x 2 U (0) = 0 U(x) U(0) + 1 2 U (0) x 2 U(0) =
εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B
4 Εργο και Ενέργεια 4.1 Εργο σε µία διάσταση Το έργο µιας σταθερής δύναµης F x, η οποία ασκείται σε ένα σώµα που κινείται σε µία διάσταση x, ορίζεται ως W = F x x Εργο ύναµης = ύναµη Μετατόπιση Εχουµε
a (x)y a (x)y a (x)y' a (x)y 0
Γραμμικές Διαφορικές εξισώσεις Ανώτερης Τάξης Έστω ότι έχουμε μια γραμμική διαφορική εξίσωση τάξης n a (x) a (x) a (x)' a (x) f (x) () (n) (n) n n 0 όπου a i(x),i 0,...,n και f(x) είναι συνεχείς συναρτήσεις
..., ISBN: :.!". # -. $, %, 1983 &"$ $ $. $, %, 1988 $ $. ## -. $, ', 1989 (( ). '. ') "!$!. $, %, 1991 $ 1. * $. $,.. +, 2001 $ 2. $. $,, 1992 # $!
!! " 007 : ISBN: # $! % :!" # - $ % 983 &"$ $ $ $ % 988 $ $ ## - $ ' 989 (( ) ' ') "!$! $ % 99 $ * $ $ + 00 $ $ $ 99!! " 007 -!" % $ 006 ---- $ 87 $ (( %( %(! $!$!" -!" $ $ %( * ( *!$ "!"!* "$!$ (!$! "
B G [0; 1) S S # S y 1 ; y 3 0 t 20 y 2 ; y 4 0 t 20 y 1 y 2 h n t: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 1; 3: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 2; 4: r = 10 5 ; a = 10 6 t = 20
x(t) ax 1 (t) y(t) = 1 ax 1 (t) = (1/a)y 1(t) x(t t 0 ) y(t t 0 ) =
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-25: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 26-7 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης
C 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1,
1 1., BD 1 B 1 1 D 1, E F B 1 D 1. B = a, D = b, 1 = c. a, b, c : (1) 1 ; () BD 1 ; () F; D 1 F 1 (4) EF. : (1) B = D, D c b 1 E a B 1 1 = 1, B1 1 = B + B + 1, 1 = a + b + c. () BD 1 = BD + DD 1, BD =
Homework 8 Model Solution Section
MATH 004 Homework Solution Homework 8 Model Solution Section 14.5 14.6. 14.5. Use the Chain Rule to find dz where z cosx + 4y), x 5t 4, y 1 t. dz dx + dy y sinx + 4y)0t + 4) sinx + 4y) 1t ) 0t + 4t ) sinx
ΣΥΝΟΨΗ 3 ου Μαθήματος
Ενημέρωση Η διδασκαλία του μαθήματος, πολλά από τα σχήματα και όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή Φυσική» του Hugh Young των Εκδόσεων Παπαζήση, οι οποίες μας επέτρεψαν τη χρήση
Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14
1 Λ. Ζαχείλας Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Οικονομική Δυναμική 9 Συνεχή δυναμικά συστήματα Μέρος 1 ο Λουκάς Ζαχείλας Ορισμός Διαφορικής
DC BOOKS. H-ml-c-n-s-b- -p-d-n- -v A-d-n-b-p-w-a-p-¼-v
BÀ. tdmj³ Xn-cp-h-\- -]p-cw kz-tz-in. 2004 ap-xâ [-\-Im-cy ]-{X-{]-hÀ- -\cw-k v. XpS- w Zo-]n-I- Zn-\- -{X- nâ. C-t mä am-xr-`q-an Zn-\- -{X- n-sâ {]-Xnhmc _n-kn\-kv t]pm-b "[-\-Im-cy-' n-sâbpw ssz-\w-zn-\
Σημειώσεις Ανάλυσης Ι
Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 6. Συναρτήσεις Πρωταρχική έννοια στη φυσική είναι η έννοια της συνάρτησης. Π.χ. η θέση ενός σωματιδίου ως συνάρτηση του χρόνου x = f(t) ή x(t). Στη πρώτη περίπτωση προσδιορίζουμε
1 GRAMMIKES DIAFORIKES EXISWSEIS DEUTERAS TAXHS
1 GRAMMIKES DIAFORIKES EXISWSEIS DEUTERAS TAXHS Γραμμικές μη ομογενείς διαφορικές εξισώσεις δευτέρας τάξης λέγονται οι εξισώσεις τύπου y + p(x)y + g(x)y = f(x) (1.1) Οταν f(x) = 0 η εξίσωση y + p(x)y +
= df. f (n) (x) = dn f dx n
Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) Ορισμός Cauchy: f (ξ) = lim x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) = f(x) f(ξ) x ξ ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0
Ασκήσεις Κεφ. 1, Κινηματική υλικού σημείου Κλασική Μηχανική, Τμήμα Μαθηματικών Διδάσκων: Μιχάλης Ξένος, email : mxenos@cc.uoi.gr 10 Απριλίου 2012 1. Αν το διάνυσμα θέσης υλικού σημείου είναι: r(t) = [ln(t
Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΤΕΥΧΟΣ 8ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 701-800 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς Τσιφάκης
Σημειωματάριο Δευτέρας, 6 Νοε. 2017
Σημειωματάριο Δευτέρας, 6 Νοε. 2017 Ένα πρόγραμμα για επίλυση ενός 2x2 γραμμικού συστήματος Παρακάτω γράφουμε μια συνάρτηση solve η οποία βρίσκει τις λύσεις του γραμμικού συστήματος για τους αγνώστους.
% APPM$1235$Final$Exam$$Fall$2016$
Name Section APPM$1235$Final$Exam$$Fall$2016$ Page Score December13,2016 ATTHETOPOFTHEPAGEpleasewriteyournameandyoursectionnumber.The followingitemsarenotpermittedtobeusedduringthisexam:textbooks,class
b proj a b είναι κάθετο στο
ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Βρείτε όλα τα σηµεία P τέτοια ώστε η απόσταση του P από το A(, 5, 3) είναι διπλάσια από την απόσταση του P από το B(6, 2, 2). είξτε ότι το σύνολο όλων αυτών των σηµείων είναι σφαίρα.
Έργο Ενέργεια. ΦΥΣ 131 - Διαλ.15 1
Έργο Ενέργεια ΦΥΣ 131 - Διαλ.15 1 ΦΥΣ 131 - Διαλ.15 2 Έργο, Κινητική Ενέργεια και Δυναμική Ενέργεια q Βέλος εκτοξεύεται από ένα τόξο: Ø Η δύναμη μεταβάλλεται καθώς το τόξο επανέρχεται στην αρχική του θέση
!!" #7 $39 %" (07) ..,..,.. $ 39. ) :. :, «(», «%», «%», «%» «%». & ,. ). & :..,. '.. ( () #*. );..,..'. + (# ).
1 00 3 !!" 344#7 $39 %" 6181001 63(07) & : ' ( () #* ); ' + (# ) $ 39 ) : : 00 %" 6181001 63(07)!!" 344#7 «(» «%» «%» «%» «%» & ) 4 )&-%/0 +- «)» * «1» «1» «)» ) «(» «%» «%» + ) 30 «%» «%» )1+ / + : +3
Έργο Κινητική Ενέργεια. ΦΥΣ 131 - Διαλ.16 1
Έργο Κινητική Ενέργεια ΦΥΣ 131 - Διαλ.16 1 Είδη δυνάµεων q Δύο είδη δυνάμεων: Ø Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις και μή συντηρητικές ü Μια δύναμη είναι συντηρητική όταν το έργο που παράγει ασκούμενη
Ταλαντώσεις 6.1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση σε µία ιάσταση Ελατήριο σε οριζόντιο επίπεδο Σχήµα 6.1
6 Ταλαντώσεις 6.1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση σε µία ιάσταση 6.1.1 Ελατήριο σε οριζόντιο επίπεδο Υποθέτουµε ότι το ελατήριο έχει αρχικό µήκος µηδέν, ιδανικό ελατήριο. F=-kx x K M x Σχήµα 6.1 ιαστάσεις µεγεθών
2x 2 y. f(y) = f(x, y) = (xy, x + y)
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Εστω f : R R η συνάρτηση με τύπο y + x sin 1, για y 0, f(x, y) = y 0, για y = 0. (α) Να αποδειχθεί οτι lim f(x, y) = 0. (x,y) (0,0) (β) Να αποδειχθεί οτι το lim(lim f(x, y)) δεν
f (x) g(h) = 1. f(x + h) f(x) f(x)f(h) f(x) = lim f(x) (f(h) 1) = lim = lim = lim f(x)g(h) g(h) = f(x) lim = f(x) 1 = f(x)
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Απειροστικός Λογισµός Ι ιδάσκων : Α. Μουχτάρης Απειροστικός Λογισµός Ι - Λύσεις 2ης Σειράς Ασκήσεων Ασκηση 1. Για κάθε a,b και x 2, η f είναι παραγωγίσιµη.
Γενικά Μαθηµατικά Ι Θέµατα Ιανουαρίου 2015
Γενικά Μαθηµατικά Ι Θέµατα Ιανουαρίου 215 Άσκηση 1: (α) Να υπολογισθεί το γενικευµένο ολοκλήρωµα (ax+b)(x 2 +1) αν το a είναι ϑετικός αριθµός. (ϐ) Το µεσηµέρι, ένα σαλιγκάρι που ϐρίσκεται στο κέντρο ενός
γ 1 6 M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.2 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.05 F 2 2 λ τ M = 6000 M = 10000 M = 15000 M = 6000 M = 10000 M = 15000 1 6 τ = 36 1 6 τ = 102 1 6 M = 5000
Author : Πιθανώς έχει κάποιο λάθος Supervisor : Πιθανώς έχει καποιο λάθος.
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Τμήμα Φυσικής 1ο Σετ Ασκήσεων Γενικών Μαθηματικών ΙΙ Author : Βρετινάρης Γεώργιος Πιθανώς έχει κάποιο λάθος Supervisor : Χ.Τσάγκας 19 Φεβρουαρίου 217 ΑΕΜ: 14638 Πιθανώς
Κεφάλαιο 8. Ορμή, ώθηση, κρούσεις
Κεφάλαιο 8 Ορμή, ώθηση, κρούσεις Στόχοι 8 ου Κεφαλαίου Ορμή και ώθηση. Διατήρηση της ορμής. Μη ελαστικές κρούσεις. Ελαστικές κρούσεις. Κέντρο μάζας. Η μεταβολή της ορμής ενός σωματίου κατά τη διάρκεια
= 0.927rad, t = 1.16ms
P 9. [a] ω = 2πf = 800rad/s, f = ω 2π = 27.32Hz [b] T = /f = 7.85ms [c] I m = 25mA [d] i(0) = 25cos(36.87 ) = 00mA [e] φ = 36.87 ; φ = 36.87 (2π) = 0.6435 rad 360 [f] i = 0 when 800t + 36.87 = 90. Now
Answers - Worksheet A ALGEBRA PMT. 1 a = 7 b = 11 c = 1 3. e = 0.1 f = 0.3 g = 2 h = 10 i = 3 j = d = k = 3 1. = 1 or 0.5 l =
C ALGEBRA Answers - Worksheet A a 7 b c d e 0. f 0. g h 0 i j k 6 8 or 0. l or 8 a 7 b 0 c 7 d 6 e f g 6 h 8 8 i 6 j k 6 l a 9 b c d 9 7 e 00 0 f 8 9 a b 7 7 c 6 d 9 e 6 6 f 6 8 g 9 h 0 0 i j 6 7 7 k 9
Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης.
Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο 2016-17. Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης. 1. Για καθεμία από τις παρακάτω συναρτήσεις ελέγξτε βάσει του ορισμού της παραγωγισιμότητας αν είναι παραγωγίσιμη στο αντίστοιχο
ITU-R P (2012/02) khz 150
(0/0) khz 0 P ii (IPR) (ITU-T/ITU-R/ISO/IEC) ITU-R http://www.itu.int/itu-r/go/patents/en http://www.itu.int/publ/r-rec/en BO BR BS BT F M P RA RS S SA SF SM SNG TF V ITU-R 0 ITU 0 (ITU) khz 0 (0-009-00-003-00-994-990)
Διαφορικές εξισώσεις 302.
Διαφορικές εξισώσεις 32. Μαθηματικό Αθήνας Συλλογή ασκήσεων 1 Λύτες: Βουλγαρίδου Εύα Ορμάνογλου Στράβων Παπαμικρούλη Ελένη Παπανίκου Μυρτώ Καθηγητές: Αθανασιάδου - Μπαρμπάτης Επιμέλεια L A TEX: Βώβος Μάριος
Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας 1
Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας Λουκάς Βλάχος και Χάρης Σκόκος ) Να ϐρεθεί το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων :. f (x) = log x (5x + 3) + sin x. f (x) = (x + ) sin x 3. f 3 (x) = 3 sin
5ppm/ SOT-23 AD5620/AD5640/AD5660. nanodac AD5660 16 AD5640 14 AD5620 12 12 1.25V/2.5V 5ppm/ 8 SOT-23/MSOP 480nA 5V 200nA 3V 3V/5V 16 DAC.
5ppm/ SOT-23 12/14/16nanoDAC AD562/AD564/AD566 nanodac AD566 16 AD564 14 AD562 12 12 1.25V/2.5V 5ppm/ 8SOT-23/MSOP 48nA 5V 2nA 3V 3V/5V 16 DAC 3 to SYNC 1. 1212/14/16nanoDAC 2. 1.25V/2.5V 5ppm/ 3. 8SOT-23
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικά Πεδία Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικά Πεδία Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα I = x ds, όπου c το δεξιό ημικύκλιο x + = 6 α) κινούνοι
Παράρτημα Αʹ. Ασκησεις. Αʹ.1 Ασκήσεις Κεϕαλαίου 1: Εισαγωγή στη κβαντική ϕύση του ϕωτός.
Παράρτημα Αʹ Ασκησεις Αʹ.1 Ασκήσεις Κεϕαλαίου 1: Εισαγωγή στη κβαντική ϕύση του ϕωτός. Άσκηση 1. Συμβατικά στην περιοχή του ηλεκτρομαγνητικού ϕάσματος μακρινό υπέρυθρο (far infrared, FIR) έχουμε μήκος
Differentiation exercise show differential equation
Differentiation exercise show differential equation 1. If y x sin 2x, prove that x d2 y 2 2 + 2y x + 4xy 0 y x sin 2x sin 2x + 2x cos 2x 2 2cos 2x + (2 cos 2x 4x sin 2x) x d2 y 2 2 + 2y x + 4xy (2x cos
. Σήματα και Συστήματα
Σήματα και Συστήματα Βασίλειος Δαλάκας & Παναγιώτης Ριζομυλιώτης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σήματα και Συστήματα 1/14 Πρόβλημα 1 (βιβλίο σελίδα 27) Να υπολογιστεί η βασική
Aquinas College. Edexcel Mathematical formulae and statistics tables DO NOT WRITE ON THIS BOOKLET
Aquinas College Edexcel Mathematical formulae and statistics tables DO NOT WRITE ON THIS BOOKLET Pearson Edexcel Level 3 Advanced Subsidiary and Advanced GCE in Mathematics and Further Mathematics Mathematical
Μέγιστα & Ελάχιστα. ΗΥ111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ
ΗΥ-111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Μέγιστα & Ελάχιστα 1 μεταβλητή: Τύπος Taylor Aν y=f(x) είναι καλή συνάρτηση f '( a) f ''( a) f ( a) f x f a x a x a x a R x 1!! n! n + 1 f ( c) n + 1 Rn ( x) = ( x a), a
Κεφάλαιο T1. Ταλαντώσεις
Κεφάλαιο T1 Ταλαντώσεις Ταλαντώσεις και µηχανικά κύµατα Η περιοδική κίνηση είναι η επαναλαµβανόµενη κίνηση ενός σώµατος, το οποίο επιστρέφει σε µια δεδοµένη θέση και µε την ίδια ταχύτητα µετά από ένα σταθερό
). = + U = -U U= mgy (y= H) =0 = mgh. y=0 = U=0
3761 5226 9585 ). = + U = -U U= mgy (y= H) =0 = mgh. y=0 = U=0 y = mgh mgy, 3761 5226 ) ) =mg 2 F=ma F-B=ma Fmg=m.2g F=3mg F=3B B = F/3 3763 5208 ) ) W 1 = -mgh W 2 =mgh W = W 1 + W 2 = -mgh + mgh=0 3763
Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ
Παράγωγος - ιαφόριση ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των πα- ϱαγώγων πραγµατικών
Αυτόματος Έλεγχος. Ενότητα 4 η : Πρότυπα μεταβλητών κατάστασης. Παναγιώτης Σεφερλής. Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 4 η : Πρότυπα μεταβλητών κατάστασης Παναγιώτης Σεφερλής Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l.
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα 1. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη
L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier
Κεφάλαιο 7 L -σύγκλιση σειρών Fourier 7.1 Χώροι Hilbert 7.1.1 Χώροι µε εσωτερικό γινόµενο και χώροι Hilbert Ορισµός 7.1.1. Εστω X γραµµικός χώρος πάνω από το K. Μια συνάρτηση, : X X K λέγεται εσωτερικό
Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace 1. Επίλυση Γραμμικών
Ανάλυση πολλών μεταβλητών. Δεύτερο φυλλάδιο ασκήσεων.
Ανάλυση πολλών μεταβλητών. Δεύτερο φυλλάδιο ασκήσεων. 1. Ποιά από τα παρακάτω σύνολα είναι συμπαγή; Μία κλειστή μπάλα, μία ανοικτή μπάλα, ένα ανοικτό ορθ. παραλληλεπίπεδο, ένα ευθ. τμήμα (στον R n ), μία
Διαφορικές Εξισώσεις.
Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 2015-16. Λύσεις του έβδομου φυλλαδίου ασκήσεων. 1. Λύστε την παρακάτω δ.ε. με τη δοσμένη αρχική συνθήκη. Σχεδιάστε τις χαρακτηριστικές καθώς και το γράφημα της λύσης
1 Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών
Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών Μερικές χρήσιμες ταυτότητες + r + r 2 + + r n = rn r r + 2 + 3 + + n = 2 n(n + ) 2 + 2 2 + 3 2 + n 2 = n(n + )(2n + ) 6 Ανισότητα Cauchy Schwarz ( n ) 2 ( n x i y i i=
Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- -----------------
Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. 1. Sin ( ) = a) b) c) d) Ans b. Solution : Method 1. Ans a: 17 > 1 a) is rejected. w.k.t Sin ( sin ) = d is rejected. If sin
m i N 1 F i = j i F ij + F x
N m i i = 1,..., N m i Fi x N 1 F ij, j = 1, 2,... i 1, i + 1,..., N m i F i = j i F ij + F x i mi Fi j Fj i mj O P i = F i = j i F ij + F x i, i = 1,..., N P = i F i = N F ij + i j i N i F x i, i = 1,...,
Λύση Για να είναι αντιστρέψιμος θα πρέπει η ορίζουσα του πίνακα να είναι διάφορη του μηδενός =
7. Άσκηση 1 2 1 Εστω ο πίνακας A = 1 3 2. Να δειχθεί ότι ο πίνακας είναι αντιστρέψιμοςκαιστησυνέχειαναυπολογιστείοαντίστροφος. 1 0 1 Για να είναι αντιστρέψιμος θα πρέπει η ορίζουσα του πίνακα να είναι
6. Κεφάλαιο Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Διανυσματικά Πεδία.
6. Κεφάλαιο Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Διανυσματικά Πεδία. 6.1 Διανύσματα στον χώρο. 6.1.1 Ορισμοί Οι μαθηματικές ποσότητες μπορεί να είναι βαθμωτές, όταν είναι αριθμοί οι οποίοι ανήκουν σε ένα
f(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t)
Κεφάλαιο 7 Ακολουθίες και σειρές συναρτήσεων 7.1 Ακολουθίες συναρτήσεων: κατά σημείο σύγκλιση Ορισμός 7.1.1. Εστω X σύνολο, (Y, ρ) μετρικός χώρος και f n, f : X Y (n = 1, 2,...). Λέμε ότι η ακολουθία συναρτήσεων
ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Όρια συναρτήσεων. Άσκηση. Ποιό είναι το σύνολο στο οποίο έχει νόημα και ποιό το σύνολο στο οποίο ισχύει καθεμιά από τις ανισότητες: x+2 > 00, > 000, < < ; x 2 x
Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1: Μαθηματικά Μοντέλα Συστημάτων Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Αόριστο Ολοκλήρωµα ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου
Αόριστο Ολοκλήρωµα ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Ακ. Ετος 2018-2019 Θεωρούµε µια συνάρτηση f : I R, όπου το I είναι διάστηµα του R. Ορισµός Μια συνάρτηση F : I R λέγεται αντιπαράγωγος ή αρχική συνάρτηση
Φυσική για Μηχανικούς
Φυσική για Μηχανικούς Απλή Αρμονική Ταλάντωση Εικόνα: Σταγόνες νερού που πέφτουν από ύψος επάνω σε μια επιφάνεια νερού προκαλούν την ταλάντωση της επιφάνειας. Αυτές οι ταλαντώσεις σχετίζονται με κυκλικά
ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2013
ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 0 ΘΕΜΑ α) Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα x Ox για την απωστική δύναµη F x, > 0 και για ενέργεια Ε. β) Υλικό σηµείο µάζας m µπορεί να κινείται
(s n (f)) g = s n (f g) = f (s n (g)). s n (f) g = (f D n ) g = f (D n g) = f (g D n ) = f s n (g). K n (x)g δ (x) dx. K n (x) dx.
Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωμα Lebesgue (11 1) 3ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Υποδείξεις 1. Εστω f, g : T C ολοκληρώσιμες συναρτήσεις. Δείξτε ότι, για κάθε n N, (s n (f)) g = s n (f g) = f (s n (g)). Υπόδειξη. Θυμηθείτε
4 4 2 = 3 2 = = 1 2
Πιθανότητες και Τυχαία Σήματα Μάθημα 3 ΑΣΚΗΣΗ Εστω ότι έχουμε δύο νομίσματα. Στο νόμισμα A η πιθανότητα να έρθει κεφαλή είναι. Στο νόμισμα B 4 3 η πιθανότητα να έρθει κεφαλή είναι. Δεν είστε σίγουροι ποιο
Rectangular Polar Parametric
Harold s Precalculus Rectangular Polar Parametric Cheat Sheet 15 October 2017 Point Line Rectangular Polar Parametric f(x) = y (x, y) (a, b) Slope-Intercept Form: y = mx + b Point-Slope Form: y y 0 = m
Second Order Partial Differential Equations
Chapter 7 Second Order Partial Differential Equations 7.1 Introduction A second order linear PDE in two independent variables (x, y Ω can be written as A(x, y u x + B(x, y u xy + C(x, y u u u + D(x, y
x3 + 1 (sin x)/x d dx (f(g(x))) = f ( g(x)) g (x). d dx (sin(x3 )) = cos(x 3 ) (3x 2 ). 3x 2 cos(x 3 )dx = sin(x 3 ) + C. d e (t2 +1) = e (t2 +1)
x sin x cosx e x lnx x3 + (sin x)/x e x {}}{ (f(g(x))) = f ( g(x)) g (x). }{{}}{{} f(g(x)) 3x cos(x 3 ). 3x cos(x 3 ) x 3 3x sin(x 3 ) (sin(x3 )) = cos(x 3 ) (3x ). 3x cos(x 3 ) = sin(x 3 ) + C. e ( +).