Γεωμετρική Οπτική
Φύση του φωτός Θεωρούμε ότι το φως έχει διττή φύση: ΚΥΜΑΤΙΚΗ Βασική ιδέα Το φως είναι μια Η/Μ διαταραχή που διαδίδεται στο χώρο Βασική Εξίσωση Φαινόμενα που εξηγεί καλύτερα (κύμα) μήκος κύματος φωτός c ταχύτητα φωτός Όσα σχετίζονται με τη διάδοση του φωτός ΣΩΜΑΤΙΔΙΑΚΗ Το φως αποτελείται από σωματίδια που ονομάζονται φωτόνια φωτονίου f E h f συχνότητα φωτός ενέργεια σταθερά Planck Όσα σχετίζονται με την αλληλεπίδραση του φωτός με την ύλη (εκπομπή, απορρόφηση φωτός)
Κυματική Φύση του φωτός Στο μάθημα θα χρησιμοποιήσουμε κυρίως την ιδέα της κυματικής φύσης του φωτός.
Σημασία του φωτός Παρότι πρόκειται για ένα μικρό τμήμα του ηλεκτρομαγνητικού φάσματος, το ορατό φως έχει μελετηθεί εκτεταμένα γιατί: 1) Χρησιμοποιείται από πολλούς οργανισμούς για να συγκεντρώσουν πληροφορίες από το περιβάλλον τους. 2) Η ενέργεια που φέρει το φως είναι η κύρια πηγή ενέργειας για όλους τους οργανισμούς στη Γη (φωτοσύνθεση/τροφική αλυσίδα).
Η ιδέα της ακτίνας φωτός Παρότι θα χρησιμοποιήσουμε τη κυματική θεωρία για το φως ΔΕΝ πρόκειται να σχεδιάζουμε κύματα ή μέτωπα κύματος όπως τα παρακάτω. Μέτωπα κύματος Μέτωπα κύματος Πηγή κύματος
Η ακτίνα φωτός Αντί για τα προηγούμενα θα σχεδιάζουμε ακτίνες. Στη σωματιδιακή θεωρία οι ακτίνες είναι οι ευθείες κατά μήκος των οποίων κινούνται τα φωτόνια. Στη κυματική θεωρία πρόκειται για ευθείες που φανταζόμαστε κατά μήκος των οποίων διαδίδεται η ενέργεια του φωτός. Οι ακτίνες είναι κάθετες στα μέτωπα κύματος. Δέσμη φωτός (αποτελούμενη από πολλές ακτίνες) Πηγή Μέτωπα κύματος Ακτίνες
Οι ιδιότητες των ακτίνων φωτός Θα πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η ακτίνα φωτός είναι μια έννοια που κατασκευάζουμε για να μελετήσουμε ορισμένα φαινόμενα που προκαλεί το φως. «Προικίζουμε» τις ακτίνες φωτός με ορισμένες ιδιότητες που είναι: 1) Το φως ταξιδεύει σε ένα διαφανές μέσο κατά μήκος αυτών των ακτίνων. 2) Ακτίνες φωτός μπορούν να διασταυρωθούν χωρίς να αλληλεπιδράσουν.
3) Μια ακτίνα φωτός συνεχίζει να κινείται μέχρι τη στιγμή που θα συναντήσει ύλη οπότε α) στη διαχωριστική επιφάνεια δύο υλικών ανακλάται και διαθλάται. β) ταξιδεύοντας σε ένα υλικό σκεδάζεται και απορροφάται. 4) Κάθε σώμα είναι πηγή ακτίνων φωτός που ξεκινούν από κάθε σημείο του και κινούνται προς όλες τις κατευθύνσεις (αυτόφωτα, ετερόφωτα).
Νόμος ανάκλασης Όταν το φως συναντά τη διαχωριστική επιφάνεια δύο μέσων τότε ανακλάται και μάλιστα κατά τέτοιο τρόπο ώστε: 1) Η προσπίπτουσα και η ανακλώμενη ακτίνα βρίσκονται στο επίπεδο που σχηματίζει η προσπίπτουσα ακτίνα με την κάθετη στο σημείο πρόσπτωσης. 2) Η γωνιές πρόσπτωσης και ανάκλασης είναι ίσες. Κάθετη Προσπίπτουσα ακτίνα Ανακλώμενη ακτίνα Ανακλώσα επιφάνεια
Είδωλα από ανάκλαση σημείου σε επίπεδο κάτοπτρο Έστω σημείο Ρ ενός αντικειμένου και μια ακτίνα φωτός που ξεκινά από αυτό. Η ακτίνα ανακλάται στον καθρέπτη στο σημείο Α και εύκολα αποδεικνύεται ότι το τρίγωνο ΡΑΡ είναι ισοσκελές. Αυτό σημαίνει ότι s = s. Α
Το ίδιο ακριβώς επιχείρημα ισχύει για οποιαδήποτε ακτίνα ξεκινά από το σημείο Ρ. Προεκτείνοντας λοιπόν όλες τις ανακλώμενες ακτίνες, αυτές τέμνονται στο σημείο Ρ ή αλλιώς φαίνεται να πηγάζουν από αυτό το σημείο. Επομένως το μάτι σχηματίζει την εντύπωση ότι το αντικείμενο βρίσκεται στη θέση αυτή (είδωλο του αντικειμένου).
Για ένα εκτεταμένο αντικείμενο μπορούμε να επαναλάβουμε την προηγούμενη διαδικασία αλλά τώρα για κάθε σημείο του αντικειμένου. Έτσι οι ανακλώμενες ακτίνες από κάθε σημείο του υπαρκτού σώματος φαίνονται να προέρχονται από ένα σημείο πίσω από τον καθρέπτη και σε απόσταση s=s, και όλα αυτά τα σημεία σχηματίζουν το είδωλο του υπαρκτού σώματος. Οι ακτίνες από τα διαφορετικά σημεία P και Q του αντικειμένου ανακλώνται σε διαφορετικά σημεία στον καθρέπτη
Σφαιρικό κάτοπτρο Εκτός από τα επίπεδα πολλές φορές χρησιμοποιούμε και καμπύλα κάτοπτρα (σφαιρικά κάτοπτρα). Οπτικός άξονας= Ευθεία που ενώνει το κέντρο C και την κορυφή V F Εστία κατόπτρου= Σημεία στο μέσο της απόσταση CV Κέντρο καμπυλότητας = Το κέντρο του κύκλου μέρος του οποίου είναι το σφαιρικό κάτοπτρο R Κορυφή του κατόπτρου= Το μέσο του κατόπτρου
Είδωλα από ανάκλαση σημείου σε σφαιρικό κάτοπτρο Έστω τώρα ένα σημείο Ρ πάνω στον οπτικό άξονα το οποίο απέχει απόσταση s από την κορυφή V του σφαιρικού κατόπτρου. PBC a a 2 a a 2 PBP ' a 2 Αν τώρα οι γωνίες α,β και φ είναι μικρές τότε: h h h a s s ' R
οπότε καταλήγω στη σχέση: 1 1 2 s s ' R ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΦΑΙΡΙΚΩΝ ΚΑΤΟΠΤΡΩΝ Εξίσωση από την οποία μπορoύμε να υπολογίσουμε Τη θέση του ειδώλου του σημείου Ρ. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Η προηγούμενη σχέση ισχύει ΜΟΝΟ για τις ακτίνες που ξεκινούν από το Ρ και σχηματίζουν μικρή γωνιά με τον οπτικό άξονα (ΠΑΡΑΞΟΝΙΚΕΣ ΑΚΤΙΝΕΣ) Οι υπόλοιπες ακτίνες δεν εστιάζουν στο σημείο Ρ και δημιουργούν τη λεγόμενη σφαιρική εκτροπή.
Εφαρμογή της εξίσωσης των κατόπτρων Έστω ότι το σημείο Ρ βρίσκεται στο άπειρο (πρακτικά αυτό σημαίνει ότι ) τότε: 1 1 2 R s ' s' R 2 δηλ. το είδωλο του σημείου Ρ θα είναι στην εστία του κατόπτρου. Η απόσταση R/2 ονομάζεται εστιακή και σχηματικά έχω: s R
Είδωλα από ανάκλαση εκτεταμένου αντικειμένου σε σφαιρικό κάτοπτρο Στην περίπτωση εκτεταμένου αντικειμένου θα πρέπει να βρούμε για διάφορα χαρακτηριστικά σημεία τις θέσεις των ειδώλων και έτσι να προσδιορίσουμε το είδωλο ολόκληρου του αντικειμένου. Πρακτικά αντί για αυτό δουλεύουμε με τα λεγόμενα ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΑΚΤΙΝΩΝ.
Βασικές ιδέες για την κατασκευή διαγράμματος ακτίνων Μια ακτίνα παράλληλη στον οπτικό άξονα μετά την ανάκλαση διέρχεται από την εστία. Μια ακτίνα που διέρχεται από την εστία μετά την ανάκλαση κινείται παράλληλα στον οπτικό άξονα. Μια ακτίνα που προσπίπτει στην κορυφή του κατόπτρου ανακλάται σχηματίζοντας γωνιά με τον οπτικό άξονα ίση με την γωνία πρόσπτωσης
Σχηματικά έχω: Αντικείμενο Ειδικές ακτίνες Είδωλο ανεστραμμένο
Μια δεύτερη περίπτωση Στο προηγούμενο διάγραμμα ακτίνων το αντικείμενο βρίσκονταν σε απόσταση μεγαλύτερη από την εστιακή. Ας δούμε τώρα το διάγραμμα ακτίνων για ένα αντικείμενο που βρίσκεται σε απόσταση μικρότερη της εστιακής.
Ακτίνα 1: Παράλληλη στον οπτικό άξονα άρα όταν ανακλάται διέρχεται από την εστία. Ακτίνα 2: Περνά από την εστία (η προέτασή της) άρα όταν ανακλαστεί θα φύγει παράλληλα στον οπτικό άξονα. Ακτίνα 3: Περνά από το κέντρο καμπυλότητας (η προέκτασή της) άρα όταν ανακλαστεί θα διέλθει από το ίδιο σημείο. Ακτίνα 4: Κατευθύνεται προς την κορυφή.
Τι θα συμβεί αν εφαρμόσω την εξίσωση των κατόπρων; 1 1 2 1 s f s ' 0 s s ' R f s f Η απόσταση s στην οποία σχηματίζεται το είδωλο είναι αρνητική. Τι σημαίνει αυτό; Το είδωλο εδω σχηματίζεται από την ΠΡΟΕΚΤΑΣΗ και όχι από τις ίδιες τις ανακλώμενες ακτίνες και γιαυτό ονομάζεται ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ
Το κυρτό κάτοπτρο Το κάτοπτρο που μελετήσαμε μέχρι τώρα ονομάζεται ΚΟΙΛΟ. Υπάρχει και η περίπτωση του κυρτού κατόπτρου όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα. Κορυφή κατόπτρου R Πλευρά από την οποία γίνεται η ανάκλαση V Εστία κατόπτρου Κέντρο καμπυλότητας
Κανόνες προσήμων Μπορεί να αποδειχθεί ότι η εξίσωση των κατόπτρων ισχύει και στο κυρτό κάτοπτρο αρκεί να ακολουθήσουμε ορισμένες συμβάσεις για τα πρόσημα: 1) Η ακτίνα καμπυλότητας R (άρα και η απόσταση f) είναι θετικά για κοίλο και αρνητικά για κυρτό κάτοπτρο. 2) Η απόσταση σχηματισμού του ειδώλου s είναι θετική αν το είδωλο είναι πραγματικό και αρνητική αν το είδωλο είναι φανταστικό.
Μεγέθυνση Σε όλες τις προηγούμενες περιπτώσεις το είδωλο και το αντικείμενο είχαν διαφορετικές διαστάσεις (εγκάρσια ως προς το κάτοπτρο). Ορίζω ως μεγέθυνση το λόγο: y' s' m y s
Πρόβλημα Ένας κοίλος καθρέπτης ξυρίσματος έχει ακτίνα καμπυλότητας 240 mm. Α) Που σχηματίζεται το είδωλο του προσώπου ενός άνδρα που στέκεται σε απόσταση 60 mm; Β) Πόσο μεγαλύτερη ή μικρότερη εμφανίζεται μια ουλή μήκους 5 mm;
Πρόβλημα Α) Σε ποια θέση θα σχηματιστεί το είδωλο ενός αντικειμένου που τοποθετείται στην εστία ενός κοίλου κατόπτρου; Σχεδιάστε το διάγραμμα ακτίνων. Β) Να λυθεί το ίδιο πρόβλημα για την περίπτωση κυρτού κατόπτρου.
Πρόβλημα Ένα κερί τοποθετείται 41 cm μπροστά από κοίλο σφαιρικό κάτοπτρο ακτίνας καμπυλότητας 60 cm. Να βρεθεί η θέση του ειδώλου.
Πρόβλημα Κοίλο κάτοπτρο ακτίνας 30 cm είναι απένατι από επίσης κοίλο κάτοπτρο ακτίνας 24 cm. Η απόσταση μεταξύ των κατόπρων είναι 80 cm και οι οπτικοί άξονές τους συμπίπτουν. Ένα μικρό κερί βρίσκεται σε απόσταση 20 cm από το πρώτο κάτοπτρο. Α) Που σχηματίζεται το είδωλό του κεριού στο πρώτο καθρέπτη; Β) Που σχηματίζεται το είδωλο του ειδώλου στο δεύτερο κάτοπτρο;
Νόμος Διάθλασης Όταν το φως συναντά τη διαχωριστική επιφάνεια δύο μέσων τότε διαθλαται και μάλιστα κατά τέτοιο τρόπο ώστε: 1) Η προσπίπτουσα και η διαθλόμενη ακτίνα βρίσκονται στο επίπεδο που σχηματίζει η προσπίπτουσα ακτίνα με την κάθετη στο σημείο πρόσπτωσης. 2) Η γωνιές πρόσπτωσης και διάθλασης σχετίζονται με τον νόμο του Snell. n sin n sin 1 1 2 2